ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Transcript

1

2 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βιβλίο Μαθητή ΑΝΑ ΟΧΟΣ ΣΥΓΓΡΑΦΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

3 ΣΥΓΓΡΑΦΙΚΗ ΟΜΑ Α ηµήτριος Αργυράκης Μαθηµατικός Εκπαιδευτικός Β/θµιας Εκπαίδευσης Παναγιώτης Βουργάνας Μαθηµατικός Εκπαιδευτικός Β/θµιας Εκπαίδευσης Κωνσταντίνος Μεντής Μαθηµατικός Εκπαιδευτικός Β/θµιας Εκπαίδευσης Σταµατούλα Τσικοπούλου Μαθηµατικός Εκπαιδευτικός Β/θµιας Εκπαίδευσης Μιχαήλ Χρυσοβέργης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

4 ΚΡΙΤΕΣ - ΑΞΙΟΛΟΓΗΤΕΣ Εµµανουήλ Μανατάκης Επίκουρος καθηγητής Πολυτεχνικής Σχολής Πανεπιστηµίου Πατρών Μιχαήλ Σαλίχος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών Νικόλαος Παπαευστρατίου Μαθηµατικός Εκπαιδευτικός Β/θµιας Εκπαίδευσης ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΥΠΟΕΡΓΟΥ ΚΑΤΑ ΤΗ ΣΥΓΓΡΑΦΗ ηµήτριος Κοντογιάννης Σύµβουλος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

5 Ενότητες Παρουσίασης Γενικά Χαρακτηριστικά 1.5 Βιβλίο Μαθητή 1.5 Βιβλίο Εκπαιδευτικού Αλλαγές που φέρνει το νέο βιβλίο Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου

6

7 Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : Αλγεβρικές παραστάσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο : Εξισώσεις Ανισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο : Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο : Συναρτήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο : Πιθανότητες

8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1o1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (επαναλήψεις- συµπληρώσεις) 1.2 Μονώνυµα - Πράξεις µε µονώνυµα 1.3 Πολυώνυµα - Πρόσθεση και Αφαίρεση Πολυωνύµων 1.4 Πολλαπλασιασµός πολυωνύµων 1.5 Αξιοσηµείωτες ταυτότητες 1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων 1.7 ιαίρεση πολυωνύµων 1.8 Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.. ακέραιων αλγεβρικών παραστάσεων 1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις 1.10 Πράξεις ρητών παραστάσεων

10

11

12

13

14

15 Β ΜΕΡΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : Γεωµετρία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο : Τριγωνοµετρία

16

17

18 H δοµή του βιβλίου του µαθητή Κάθε ενότητα περιλαµβάνει: Τους κύριους στόχους Μια εισαγωγική δραστηριότητα Τη βασική θεωρία Παραδείγµατα Εφαρµογές Ερωτήσεις κατανόησης Προτεινόµενες ασκήσεις και προβλήµατα

19 Σε ορισµένες ενότητες προτείνονται: Σταυρόλεξα και κρυπτόλεξα Θέµατα από την ιστορία των Μαθηµατικών Θέµατα για την εκπόνηση ιαθεµατικών ερευνητικών εργασιών (projects( projects) Εναλλακτικές προτάσεις διδασκαλίας µε Η/Υ καθώς και διευθύνσεις µε ανάλογες προτάσεις στο ιαδίκτυο.

20 Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχει: Mια σύντοµη Επανάληψη-Ανακεφαλαίωση Γενικές ασκήσεις που αναφέρονται στην ύλη του κεφαλαίου

21 Το βιβλίο κλείνει µε: Απαντήσεις - Υποδείξεις για τη λύση των ασκήσεων Ευρετήριο όρων

22 ιαθεµατικά Σχέδια Εργασίας Η κατανόηση φαινοµένων, γεγονότων ή καταστάσεων µέσα από την κατασκευή αναπαραστάσεων Η έννοια της «απόδειξης«απόδειξης» Η µεταβίβαση χαρακτηριστικών από γενιά σε γενιά. Ο Μέντελ και οι νόµοι της κληρονοµικότητας Μεγέθυνση Σµίκρυνση, η γεωµετρία των καλλιτεχνών Υπολογισµός της απόστασης απρόσιτων σηµείων

23 Ιστορικά Σηµειώµατα Ο τετραγωνισµός του κύκλου Το αριθµητικό τρίγωνο του Pascal Πυθαγόρειο Θεώρηµα και Πυθαγόρειες τριάδες Οι Βαβυλώνιοι και η επίλυση της εξίσωσης 2ου βαθµού Η Χρυσή τοµή Η θεωρία των Πιθανοτήτων Υπολογισµός της απόστασης ενός πλοίου από τη στεριά Υπολογισµός του ύψους της Πυραµίδας από το Θαλή Οι θεµελιωτές της Τριγωνοµετρίας

24 1.5 Αξιοσηµείωτες ταυτότητες

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βιβλίο εκπαιδευτικού

51 1.5 Αξιοσηµείωτες ταυτότητες (6 διδακτικές ώρες) ραστηριότητα Με τη δραστηριότητα δίνεται η ευκαιρία στους µαθητές να θυµηθούν την έννοια της ταυτότητας και να γνωρίσουν την ταυτότητα (x + 3) 2 = x 2 + 6x + 9 µέσα από τη γεωµετρική ερµηνεία της. Η δραστηριότητα αυτή µπορεί να συµπληρωθεί µε ένα ακόµη ερώτηµα: δ) Ισχύει η προηγούµενη ισότητα και για αρνητικές τιµές του x;

52 ιδακτικοί στόχοι Οι µαθητές πρέπει: Να γνωρίζουν πότε µια ισότητα λέγεται ταυτότητα, ποιες είναι οι βασικές ταυτότητες, τις οποίες να µπορούν να τις αποδεικνύουν και να τις χρησιµοποιούν. Να αποδεικνύουν άλλες απλές ταυτότητες.

53 ιδακτικές οδηγίες Οι µαθητές πρέπει να µάθουν να διατυπώνουν λεκτικά τις βασικές ταυτότητες και να µην περιοριστούν µόνο στην αναγραφή τους γιατί τους διευκολύνει στη καλύτερη χρησιµοποίησή τους. Η ενότητα αυτή προσφέρεται για την εξάσκηση των µαθητών στην αποδεικτική διαδικασία.

54 Συµπληρωµατικά µπορεί να δοθεί για αντιστοίχιση και ο παρακάτω πίνακας. Για τους οποιουσδήποτε αριθµούς x, y, να αντιστοιχίσετε σε κάθε έκφραση της στήλης Α τη συµβολική της γραφή από τη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β α. Το διπλάσιο γινόµενό τους 1. 2(x + y) 2 β. Το τετράγωνο του αθροίσµατός τους 2. 2xy γ. Το άθροισµα των τετραγώνων τους 3. (x + y) 2 δ. Το τετράγωνο του γινοµένου τους 4. x 2 + y 2 ε. Το διπλάσιο του αθροίσµατός τους 5. (xy) 2 στ. Το διπλάσιο του τετραγώνου του αθροίσµατός τους 6. 2(x + y)

55 Η γεωµετρική ερµηνεία των ταυτοτήτων βοηθά τους µαθητές να τις κατανοήσουν καλύτερα και να διαπιστώσουν την αλληλεξάρτηση της Άλγεβρας µε τηγεωµετρία α 2 + β 2-2αβ = (α - β) 2

56 (α - β) (α + β) = α2 - β2

57 (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3

58 Απαντήσεις στις ερωτήσεις κατανόησης 1) α, γ, δ 2) i) δ, ii) γ iii) γ 3) Λ Σ Λ Λ 4) i) γ, ii) δ 5) Λ Λ Λ Σ 6) i) γ, ii) β, iii) δ, iv) γ v) δ 7) α 4, β 5, γ 1, δ 2, ε 7, στ 8

59 Συµπληρωµατικά θέµατα 1. (ανάλογο είναι και το πρόβληµα 16 της σελ 50) Σκεφτείτε ένα διψήφιο αριθµό και βρείτε το τετράγωνό του. Βρείτε στη συνέχεια το τετράγωνο του αθροίσµατος των ψηφίων του αριθµού που σκεφτήκατε και αφαιρέστε τα δυο αποτελέσµατα. Οαριθµός που βρήκατε διαιρείται ακριβώς µε το9. Μπορείτε να το εξηγήσετε; (Απ.: (10α + β) 2 (α +β ) 2 =99α 2 +18αβ )

60 2. Πόσα από το κάθε είδος των διπλανών σχηµάτων πρέπει να χρησιµοποιήσετε για να σχηµατίσετε ένα τετράγωνο µεπλευρά x x α) x+ 3 β) 2x + 1 (Aπ.: α) β) )

61 3. Να υπολογίσετε από µνήµης τις παραστάσεις α) = β) = = = = =

62 4. α) Να αποδείξετε ότι = = = = β) Με βάση τις προηγούµενες ισότητες να συµπληρώσετε τη φράση: «Η διαφορά των τετραγώνων δύο... φυσικών αριθµών ισούται µε το των αριθµών αυτών.» γ) Να συµπληρώσετε την ισότητα = +

63 6. Οτηλεφωνικόςκατάλογοςµιας πόλης περιέχει 9991 ονόµατα γραµµένα σε λιγότερες από 100 σελίδες και κάθε σελίδα περιέχει τον ίδιο αριθµό ονοµάτων. Ο Γιώργος δεν µπόρεσε να προσδιορίσει πόσες ακριβώς σελίδες περιέχει ο κατάλογος. Ο ηµήτρης όµως παρατήρησε ότι ο αριθµός 9991 = και µε απλούς συλλογισµούς προσδιόρισε ακριβώς τον αριθµό των σελίδων του καταλόγου. Μπορείτε να βρείτε τους συλλογισµούς που έκανε ο ηµήτρης; (Απ.: 9991= = = Άρα έχει 97 σελίδες)

64 Ενδεικτικά προτεινόµενος σχεδιασµός διδασκαλίας της ενότητας 1.5 (6 διδακτικές ώρες ) 1 η διδακτική ώρα - Εισαγωγή στην έννοια της ταυτότητας - Τετράγωνο αθροίσµατος (Απόδειξη και γεωµετρική ερµηνεία) - Ερωτήσεις κατανόησης 1, 2i, ii. - Προτεινόµενες ασκήσεις 1, η διδακτική ώρα - Τετράγωνο διαφοράς - Ερωτήσεις κατανόησης 2 iii, 3, - Παραδείγµατα -Εφαρµογές 1. - Προτεινόµενες ασκήσεις 2, 3, 4, 16, η διδακτική ώρα - Κύβος αθροίσµατος - ιαφοράς - Ερωτήσεις κατανόησης 4, 5 - Παραδείγµατα -Εφαρµογές 2 - Προτεινόµενες ασκήσεις 5. - Εργασία: Τρίγωνο του Pascal. 4 η διδακτική ώρα - Γινόµενο αθροίσµατος επί διαφορά - Ερωτήσεις κατανόησης 6i, ii. Iii. - Παραδείγµατα εφαρµογές 3, 4,5. - Προτεινόµενες ασκήσεις 6, 7, 8, 9, η διδακτική ώρα - ιαφορά Άθροισµα κύβων - Ερωτήσεις κατανόησης 6 iv, v - Παραδείγµατα εφαρµογές 6, 7. - Προτεινόµενες ασκήσεις 10, 13 6 η διδακτική ώρα - Επανάληψη - Ερωτήσεις κατανόησης 7 - Προτεινόµενες ασκήσεις 11, 12, 14 - Γενικές 5, 6 - Εργασία: Πυθαγόρειες τριάδες

65 Το αριθµητικό τρίγωνο του Pascal

66 Από τις ιδιότητες του τριγώνου Pascal αναφέρουµε τις εξής: 1. Οι αριθµοί κάθε σειράς είναι οι συντελεστές των δυνάµεων του διωνύµου α + β. Οι συντελεστές του διωνύµου παίζουν σπουδαίο ρόλο στα προβλήµατα συνδυαστικής και πιθανοτήτων, καθώς δίνουν το πλήθος όλων των δυνατών περιπτώσεων ενός πειράµατος τύχης όπως θα δούµε στο αντίστοιχο κεφάλαιο. 2. Το άθροισµατωναριθµών κάθε σειράς είναι δύναµητου2, π.χ. 1= = 2 = = 4 = = 8 = =16=2 4

67 3. Οι αριθµοί που σχηµατίζουν οι πέντε πρώτες σειρές είναι δυνάµεις του 11, π.χ. 1=11 0, 11 = 11 1, 121 = 11 2, 1331=11 3, = α) H 1 η διαγώνια σειρά περιέχει µόνο τον αριθµό 1. β) H 2 η διαγώνια σειρά περιέχει τους φυσικούς αριθµούς 1, 2, 3, 4, γ) H3 η διαγώνια σειρά περιέχει τους τρίγωνους αριθµούς 1, 3, 6, 10, 15, 21,

68 5. Στο τρίγωνο Pascal εµφανίζεται ακόµηκαιη ακολουθία Fibonaci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, Οι δύο πρώτοι όροι αυτής της ακολουθίας είναι µονάδες, ενώ κάθε άλλος όρος της προκύπτει από το άθροισµα τωνδύοπροηγουµένων όρων.

69 6. ΑνστοτρίγωνοτουΠασκάλ χρωµατίσουµε τιςµονάδες και τους περιττούς αριθµούς, όπως στο σχήµα, τότε εµφανίζεται ένα σχέδιο µε µικρότερα και µεγαλύτερα τρίγωνα. Σχηµατίζεται έτσι ένα fractal που είναι γνωστό µε τοόνοµα τρίγωνο Sierprinski.

70 Οι µαθητές µπορούν να ανακαλύψουν τις ιδιότητες του τριγώνου του Πασκάλ µε τη βοήθεια του καθηγητή τους. Μπορούν ακόµη αυτές να αποτελέσουν θέµα για εργασία στο σπίτι, αν στους µαθητές δοθεί και η σχετική βιβλιογραφία. Βιβλιογραφία - Περιοδικό «Ευκλείδης Α», της Ελληνικής Μαθηµατικής Εταιρείας, διάφορα τεύχη. - Α. Αλµπινίσης κ.ά. Μαθηµατικά Γ Γυµνασίου. - Ε.Τ. Βell, Οι Μαθηµατικοί, Πανεπιστηµιακές εκδόσεις Κρήτης, τόµος Ι, Ηράκλειο Χανς Μάγκνους Εντσενσµπέργκερ, Το πειραχτήρι των αριθµών, εκδόσεις Ψυχογιός, Αθήνα

71 Ένα θέµα από την ιστορία των Mαθηµατικών Πυθαγόρειο Θεώρηµα καιπυθαγόρειεςτριάδες Η πρώτη µέθοδος εύρεσης πυθαγόρειων τριάδων αποδίδεται στους Πυθαγόρειους οι οποίοι σχηµάτιζαν τριάδες από τους αριθµούς της µορφής 2 2 µ + 1 µ 1,, µ, όπου µ περιττός µ = 3, 5, 7, (Οι Πυθαγόρειοι και οι αρχαίοι Έλληνες δε θεωρούσαν την µονάδα ως αριθµό). Κατά τους L. Bunt κ.τ.λοι Πυθαγόρειοι κατέληξαν στους τύπους αυτούς από την ενασχόλησή µε τους παραστατικούς τετράγωνους αριθµούς).

72 Η δεύτερη µέθοδος αποδίδεται στο Πλάτωνα, ο οποίος έδωσε ως λύση τους αριθµούς της 2 µ µ 4 1 µορφής,,µ, όπου µ άρτιος (µ = 4, 6, 8, ) Οι τύποι των Πυθαγορείων και του Πλάτωνα είναι αµοιβαία συµπληρωµατικοί.

73 Με το θέµα των Πυθαγόρειων τριάδων ασχολήθηκε και ο Ευκλείδης, οοποίοςµάλιστα στο λήµµα 1 της πρότασης 28 του Χ βιβλίου των Στοιχείων του δίνει µια µέθοδο εύρεσης δυο τετράγωνων αριθµών των οποίων το άθροισµα είναι τετράγωνος αριθµός (δηλαδή Πυθαγόρειες τριάδες) µε γεωµετρική κατασκευή και µε την προϋπόθεση ότι οι αριθµοί είναι και οι δυο άρτιοι ή καιοιδυοπεριττοί.

74 Το πρόβληµα της κατασκευής Πυθαγόρειων τριάδων από οποιουσδήποτε αριθµούς λύθηκε οριστικά από το ιόφαντο, ο οποίος στηριζόµενος σε µια ταυτότητα, η οποία ήταν γνωστή και στον Ευκλείδη, ανακάλυψε ότι οι αριθµοί της µορφής λ 2 + µ 2, λ 2 -µ 2, 2λµ, όπου, λ, µ θετικοί άνισοι ακέραιοι αριθµοί, αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα. Η λύση περιέχεται στο Βιβλίο του Αριθµητικά, ένα έργο το οποίο πιθανότατα γράφτηκε τον 3 ο µ.χ. αιώνα και αναφέρεται σε προβλήµατα των οποίων οι λύσεις είναι ακέραιοι ή γενικότερα ρητοί αριθµοί.

75 Όταν λύθηκε το πρόβληµα των Πυθαγόρειων τριάδων πολλά συναφή προβλήµατα κίνησαν το ενδιαφέρον των µεταγενέστερων µαθηµατικών. Ένας από αυτούς ο Pierre de Fermat ( ), στο περιθώριο του αντιτύπου των Αριθµητικών του ιόφαντου που διέθετε και πλάι στον ισχυρισµό του ότι δεν υπάρχουν φυσικοί αριθµοί x, y, z, n µε n > 2 ώστε x n + y n = z n, έγραψε : «Έχω ανακαλύψει µια πραγµατικά θαυµάσια απόδειξη, αλλά το περιθώριο αυτό είναι πολύ στενό για να το χωρέσει». Αν διέθετε ή όχι µιαν απόδειξη, δεν θα το µάθουµε ποτέ. Η αναζήτηση όµως για περισσότερα από 350 χρόνια της απόδειξης της πρότασης αυτής, γνωστής ως το τελευταίο θεώρηµα τουfermat, που «υπήρχε και χάθηκε», συνεισέφερε πολλά στην ανάπτυξη των Μαθηµατικών. Η απόδειξη δόθηκε τελικά το 1995 από τον Andrew Wiles.

76 Κατά την διαπραγµάτευση του θέµατος αυτού ητάξη µπορεί να χωριστεί σε οµάδες και η καθεµιά από αυτές να ασχοληθεί µε µια µόνο περίπτωση. Bιβλιογραφία - Αczel A. : Το τελευταίο θεώρηµα τουfermat, εκδόσεις Τροχαλία, L.Bunt- Ph. Jones - J.Bedient : Οι ιστορικές ρίζες των στοιχειωδών Μαθηµατικών, µετάφραση Άννα Φερεντίνου, εκδόσεις Γ. Α. Πνευµατικός, Αθήνα Th. L.Heath : Ιστορία των Ελληνικών µαθηµατικών, Κέντρο Έρευνας Επιστήµης και Εκπαίδευσης, Αθήνα Ε. Σ. Σταµάτη : Ιστορία των Ελληνικών µαθηµατικών, Αθήνα Π. Βερύκιος : Πυθαγόρειες τριάδες και ταυτότητες, περιοδικό της ΕΜΕ «Ευκλείδης Α», τεύχη

77

78

79 Β. Να αποδείξετε ότι (α + β) 3 = α 3 +3α 2 β +3αβ 2 + β 3 Θέµα 2ο Να αποδείξετε ότι (4,5 Mονάδες) (x + 2y) 2 (y 2x)(y + 2x) + (2x y)2 = 9x 2 + 4y 2 (6,5 Mονάδες)

80 B Θέµα 3 ο 4x 4x 2 +1 Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι AΓ = 4x 2-1, ΑΒ = 4x, BΓ = 4x 2 +1 Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. A 4x 2-1 Γ (6,5 Mονάδες)

81 Ιnternet και Μαθηµατικά Οι ταυτότητες Σε διάφορους δικτυακούς τόπους και ιστοσελίδες στο Internet υπάρχουν πολλές αλληλεπιδραστικές δραστηριότητες µε τις βασικές ταυτότητες (π.χ. του YΠΕΠΘ, προτάσεις διδασκαλίας). Ακόµα σε διάφορες ιστοσελίδες υπάρχουν τεστ αυτοαξιολόγησης στα οποία µπορεί να ανατρέξει ο µαθητής προκειµένου να ελέγξει τις γνώσεις του.

82 Σχέδιο ιαθεµατικής ερευνητικής εργασίας (project) Θέµα: Η έννοια της «απόδειξης»

83 Προτεινόµενες δραστηριότητες Οι µαθητές προτείνεται να χωριστούν σε 3 οµάδες. Η πρώτη οµάδα θα ασχοληθεί µε την ιστορική εξέλιξη της απόδειξης στα Μαθηµατικά. Θα διερευνήσει τα υπολογιστικά προσεγγιστικά Μαθηµατικά των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων από τα οποία απουσιάζει η απόδειξη (προβλήµατα που περιέχονται στον πάπυρο του Ριντ (Rhind) και τις βαβυλωνιακές πινακίδες), καθώς και τις απαρχές της µαθηµατικής απόδειξης από τους αρχαίους Έλληνες (Θαλής, Πυθαγόρας, Ευκλείδης κ.ά.). Τη διαφοροποίηση αυτή πρέπει να τη συνδέσει µε την οργάνωση και τη δοµή των κοινωνιών τους (µαζική κοινωνία, δεσποτισµός και θεοκρατία σε αντιδιαστολή µε την προβολή της αξίας της προσωπικότητας και τη δηµοκρατία).

84 Η δεύτερη οµάδα θα ασχοληθεί µε τη έννοια και τη χρήση της απόδειξης: Στο µάθηµα της Γλώσσας : Να ζητηθεί η χρήση της απόδειξης για την αιτιολόγηση µιας άποψης, την υποστήριξη µιας θέσης, τη διευκρίνιση-επεξήγηση ενός θέµατος, τη προβολή επιχειρηµάτων, την ανάπτυξη συλλογισµών.... Στην Ιστορία : Να χρησιµοποιηθεί για την ανάδειξη γεγονότων µέσα από τη χρήση πηγών και ιστορικών µαρτυριών και την τεκµηρίωση ιστορικών κρίσεων. Στην Αρχαιολογία : Χρησιµεύει στη χρονολογική κατάταξη ευρη- µάτων, στη διατύπωση πορισµάτων, επιστηµονικών υποθέσεων κ.ά. Στην καθηµερινή ζωή ( στις εµπορικές συναλλαγές, στο δικαστήριο (απόδειξη της ενοχής αθωότητας ), στη διαφήµιση κ.τ.λ.).

85 Η τρίτη οµάδα θα εντοπίσει τα είδη των αποδείξεων που χρησιµοποιούνται στα Μαθηµατικά (ευθεία - άµεση απόδειξη, απαγωγή στο άτοπο, κ.τ.λ.), όπως τα έµαθαν µέσα από τα σχολικά τους βιβλία και θα τα συνδέσει µε τις αντίστοιχες µορφές απόδειξης που χρησιµοποιούµε στη γλώσσα. Ακόµα µπορεί να τους ζητηθεί να βρουν και άλλα είδη αποδείξεων, π.χ. παραστατικές αποδείξεις.

86 Πηγές : ιαδίκτυο, βιβλία ιστορίας των Μαθηµατικών, λεξικά, εγκυκλοπαίδειες κ.α. Συµπληρωµατικά προτείνονται και τα εξής βιβλία: - Θεόδωρος Εξαρχάκος : Ιστορία των Mαθηµατικών, τόµος Α, Τα µαθηµατικά των Βαβυλωνίων και των Αρχαίων Αιγυπτίων, Αθήνα Μοrris Κline : Τα µαθηµατικά στο υτικό πολιτισµό, τόµος Α, εκδόσεις Κώδικας. - Ο. Neugebauer : Οι θετικές επιστήµες στην αρχαιότητα, Β έκδοση, Μορφωτικό Ίδρυµα Εθνικής Τραπέζης, Αθήνα B.L. van der Waerden : Η αφύπνιση της επιστήµης (Αιγυπτιακά, Βαβυλωνιακά και Ελληνικά Μαθηµατικά) Πανεπιστηµιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο Ιστορία του Ελληνικού Έθνους, Κλασικός Ελληνισµός (2), σελ 523, Εκδοτική Αθηνών.

87 Αλλαγές που φέρνει το νέο βιβλίο Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου Στη διδασκόµενη ύλη Στη διαχείριση της τάξης Στην προσέγγιση του περιεχοµένου

88 Αλλαγές στη διδασκόµενη ύλη: Χωρισµός Άλγεβρας Γεωµετρίας Αναδιάταξη της ύλης Αφαιρέθηκαν: Στατιστική- Συναρτήσεις Α βαθµού- ιανύσµατα Σφαίρα Προστέθηκαν: Παραγοντοποίηση τριωνύµου µε χρήση διακρίνουσας Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.. πολυωνύµων - ιαίρεση πολυωνύµων Σύνολα - Πιθανότητες - Οµοιοθεσία

89 Αλλαγές στη διαχείριση της τάξης (οµαδοσυνεργατική) Με την εισαγωγική δραστηριότητα Με τα σχέδια διαθεµατικών εργασιών Με τις προτάσεις για διδασκαλία µε τη χρήση Η/Υ Με τα θέµατα από την ιστορία των Μαθηµατικών

90 Προσέγγιση περιεχοµένου α) Εισαγωγική ραστηριότητα

91 β) ) Βήµατα Μέθοδος

92 γ) ) Ανάδειξη και αξιοποίηση του λάθους

93 δ) ) ίνεται ιδιαίτερη βαρύτητα στο πρόβληµα και την επίλυσή του: Προβλήµατα απλά σύνθετα Προβλήµατα κλειστού ανοικτού τύπου Προβλήµατα εφαρµοσµένα (Σύνδεση Μαθηµατικών µε άλλες Επιστήµες) Προβλήµατα κατασκευών

94

95

96

97

98

99

100 ε) ) Σταυρόλεξα

101 ΣΤΟΧΟΙ ΠΟΥ ΤΕΘΗΚΑΝ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΓΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Να µπορεί να διδαχτεί στις προβλεπόµενες από το αναλυτικό πρόγραµµα ώρες Να είναι ελκυστικό σε κάθε µαθητή Να είναι προσιτό στον αδύνατο µαθητή Να είναι ενδιαφέρον στον απαιτητικό µαθητή Να συντελεί στο να αγαπηθεί το µάθηµα των Μαθηµατικών

102 ΣΤΟΧΟΙ ΠΟΥ ΤΕΘΗΚΑΝ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΓΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Να διευκολύνει το έργο του καθηγητή Να αναδεικνύει τη διαθεµατικότητα και τη χρησιµότητα των Μαθηµατικών σε άλλες επιστήµες Να διευρύνει τις γνώσεις και να προάγει το οµαδικό πνεύµα Να είναι σύγχρονο κι εναρµονισµένο µε την εποχή µας