( 1) ( t) DODATAK A. Tablički integrali koji se često koriste za razvoj funkcija u Furijeov red i računanje Furijeove i Laplasove transformacije
|
|
- Δανάη Λύκος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 DODATAK A A DODATAK A Tbliči iegrli oji e čeo orie rvoj fucij u Furijeov red i rčuje Furijeove i Lplove rformcije ( d P I = = + ( I e P ( d C e, gde je P poliom -og red. = d Specijlo, P = I = C + e P = I = C + e ( P = I = C + e ( + 3 e ( cob + bi b II I = e co b d = C + + b e ( b cob + i b III I = e i b d = C + + b b e IV I = e b d = C +, b >, Log b + Log b
2 DODATAK B B DODATAK B Vži rvoji: e =, C! = + i( = (, C ( +! = co( = (, C (! = + ih( =, C ( +! = coh( =, C (! = ( + =,,, < C = l( + =, <, C = 7 (
3 DODATAK C C DODATAK C Ao fucij x( ipujv Dirihleove ulove iervlu [ τ, T F + τ ], d e o om iervlu može rvii u red obli j ( [ ] F π xf = X e = A[] + ( A[ ]co( F + B[ ]i( F, F T = = F gde u τ + TF τ + TF j [ ] ( F X = xe d, A[] xd (, T = F T τ F τ τ+ TF τ+ TF A[ ] = x(co( F d, B[ ] x(i( F d. T = F T τ F τ Fucij xf ( evivle periodičom produžeju iervl [ τ, T F + τ ] fucije x(. Formlo e piše Alerivi obli rvoj: =, Pri ome je C [ ] A[ ] B [ ] X [ ] F x( X[ ]. π x ( = C[] + C[ ]co( + ϕ, =, T F F F = B [ ] A [ ] = + =, ϕ = rc = rg ( X [ ] X [ ] = ( A [ ] jb [ ]/,, X[] = A[]. F,
4 DODATAK C C Tbel C: Oobie oeficije Furijeovog red Orgil x( = x( + T Sli X[ ] F x( X[ ] x( + by( X [ ] + by[ ] j [ ] Xe x( x( X[ ] x * ( X * [ ] X [ ], o je T = T / x (, > X, / celobrojo o je TF = T, / ecelobrojo x( X, / m celobrojo m TF = mt, / m ecelobrojo + T x( y( = x( y( τ dτ TXY [ ] [ ] x( y( X [ ] Y[ ] F d x ( d x( τ dτ Ao je x ( R j X[ ] j X [ ] A [ ] = X[ ] + X [ ] = = Re{ X [ ]}, * * ( B [ ] = j X[ ] X [ ] = = Im{ X [ ]} * X [ ] = X [ ] ϕ = ϕ Re{ X [ ]} = Re{ X[ ]} Im{ X [ ]} = Im{ X[ ]} X [ ] = X[ ] Arg( X [ ] = Arg( X [ ]
5 DODATAK C C3 Tbel C: Rvoj oovih fucij u Furijeov red... Orgil x( Sli X[ ] ulov j e δ [ m] TF = mt i( j ( δ[ + m] δ[ m] TF = mt co( ( δ[ + m] + δ[ m] TF = mt δ [ ] comb( = δ ( = comb m[ ] x( X [ ] TF = mt = m Oov period rec w... w x( T... Oov period ri w... w x( T... Oov period ic w... Oov period u( u( w w x( w ( T... e m jw m w w ic T T w w ic T T wt w w rec T T jw ( e jw TF TF TF = T = T = T + TF = T
6 DODATAK C C4 Tbel C3. Oove oobie Furijeove rformcije oiulih igl orgil li x( X ( j, X( = j x( + by( X ( j + by ( j x( T jt X( j e xe ( j X ( j ( x * ( X * ( j x( X ( j x( X ( / x(* y( X ( j Y( j x( y( ( ( X j π Y j d x ( d j X( j x( τ dτ + πδ( X ( j j x( d j X( j d * X( j = X ( j x( relo x ( e xo ( x ( X ( j X ( j Re{ X( j} = Re{ X( j} Im{ X( j} = Im{ X( j} X( j = X( j Arg( X ( j = Arg( X ( j Re{ X( j} Im{ X ( j} X( j π x( π x(
7 DODATAK C C5 Tbel C4. Furijeove rformcije oovih oiulih igl e e (! πδ( u( πδ( j δ ( j πδ( e rec( ic( / π ic( rec( / π comb( comb( / π co( π ( δ ( + + δ ( jπ δ+ δ i( ( ( ( ic ( ri( / π u( ri( ic ( / π, Re{ } > e π, u(, Re{ } > e co( u(, Re{ } e i( u(, Re{ } > + j /4 e π ( + j + j > ( + j + ( + j +
8 DODATAK D D DODATAK D: Bodeovi dijgrmi B( Ne je H ( = rciol fucij relim oeficijeim, ompleog A( rgume. Koreovi poliom A ( ivju e polovi fucije H(, oreovi poliom B( u ule rciole fucije. Nule i polovi u omplee veličie oje mogu imi: i reli i imgiri deo rliči od ule, mo reli deo rliči od ule mo imgiri deo rliči od ule. Uolio je reli deo ore poiiv od e ore li u deoj polurvi oordiog iem ( Re{ },Im{ } i že e d je u deoj polurvi omplee promeljive.uolio je egiv, li e u levoj polurvi, uolio je ul, li e imgiroj oi. Rciol fucij e može pii u obliu proivod člov prvog red: ( + H ( = K, ( + pri čemu je red -e ule p red -og pol. Međuobim možejem moom oji drže ojugovo omplee oree, dobijju e človi drugog red be ompleih oeficije. Geerliov imped odeor i lem Komple predv igl po i ruj u eleričom olu, može e dobii o Furijeov rformcij igl ruj i po u vremeom domeu { ic( } = Ic( j { uc( } = Uc( j Uolio u iduivoi i pciivoi evie od učeoi: duc duc Uc( j ic = C { ic} = C = C j { uc} = = Zc d d Ic( j jc dil dil UL( j ul = L { ul} = L = L j { il} = jl= ZL d d IL( j Rdi jedovoi, može e rćeo pii j =. N oovu og: Zc ( j = Zc ( = i Z L ( j = Z L( = L. C V ( ( Fucij preo eleričog ol, primer: ( i j V ili ( i H j = H =, gde je = j, Vu( j Vu( iovremeo je Furijeov rformcij impulog odiv ol odiv Dirov impul. B( Ao je preo fucij rciol fucij po rgumeu, o je obli H ( =, A( gde u A ( i B( poliomi. Nule poliom A( e ivju polovi fucije preo, ule p p
9 DODATAK D D poliom B( e ivju ule fucije preo. Pri ome ule i polovi oji imju reli deo rliči od ule iu orei odgovrjućih ompleih poliom A( i B( rele vredoi učeoi jer je = j, čl ( + = ( j + Re{ } + j Im{ } vu relu vredo. Poliomi u imeiocu i brojiocu preoe fucije e mogu rvii člove prvog i drugog red + ( + + ( Q H ( = K = p p p ( + p ( + + p Q p = A ( + ( + p p ( ( p + + p Q Q p + + Uicji pojediih ir u preooj fuciji reriiu Bodeovih dijgrm Uicj rele oe A = H ( : Uicj mpliudu reriiu: dodje Δ H ( = A Log( A db =, A > Uicj fu reriiu: dodje Δϕ( = π, A < Uicj čl prvog red relom ulom (ul je red ( + / Uicj mpliudu reriiu: p + db + db/dec Sli D.. Uicj fu reriiu: ul e li u levoj polurvi omplee promeljive, > π / log( π / 4 π / dec 4 log(. Sli D..
10 DODATAK D D3 ul e li u deoj polurvi omplee promeljive, <, π / 4 π / dec 4 π /. Sli D.3. log( Uicj čl prvog red relim polom (pol je red /( + / p Uicj mpliudu reriiu: db/dec db p log( Sli D.4. Uicj fu reriiu: pol e li u levoj polurvi omplee promeljive, p >, p π / 4 π 4 /dec π / log(. p p Sli D.5. pol e li u deoj polurvi omplee promeljive, p <,
11 DODATAK D D4 π / π / 4 π 4 /dec. p p Sli D.6. p Uicj čl drugog red prom ojugovo ompleih ul Uicj mpliudu reriiu: log( ( + + Q + 4dB + 4dB/dec Δ H ( db log( Sli D.7. Odupje reriie od idelog lučj dvoruom ulom ( + = jed je Δ H( = Log = Log( Q Q. Pred miu či d vredoi Q for veće od doli do propdj reriie ipod db. Uicj fu reriiu: ul e li u levoj polurvi omplee promeljive, >, π π / π / dec Q > log(. Sli D.8. ul e li u deoj polurvi omplee promeljive, <,
12 DODATAK D D5 π / π / dec Q > π. Sli D.9. Uicj čl drugog red prom ojugovo ompleih polov Uicj mpliudu reriiu: log( ( p + + Q p Δ H ( db 4dB/dec 4dB p Sli D.. p Odupje reriie od idelog lučj dvoruim polom jed je H( Log( reriie id db log( ( / + Δ p = Q. Z vredoi Q for veće od doli do ibijj p Uicj fu reriiu: pol e li u levoj polurvi omplee promeljive, p >, π / π / dec Q > π log(. p p p Sli D.. pol e li u deoj polurvi omplee promeljive, p <,
13 DODATAK D D6 π π / π / dec Q > log(. p p p Sli D.. Uicj ule u uli, lim ( + = Ampliud rerii počije poiivim gibom od + db/dec + db/dec log( Sli D.3. N počeu fe reriie dodje e + π / Uicj pol u uli, lim /( + p = / p Ampliud rerii počije egivim gibom od reriie oduim e π /. db/dec db/dec. N počeu fe log( Sli D.4. Aimpoo pošje fucije preo d. Kd u redovi poliom u imeiocu i brojiocu preoe fucije rličii mogu upii dv lučj: H ( d. Td e mpliud rerii vršv impoom prem + pod gibom od + db/dec, f rerii vredošću fe od + π /. + db/dec log( Sli D.5.
14 DODATAK D D7 H ( / d. Td e mpliud rerii vršv impoom prem pod gibom od db/dec, f rerii vredošću fe od π /. db/dec log( Sli D.6. NAPOMENA: Polovi fucije preo u deoj polurvi, vio od ierprecije, mogu d če d je iem ebil, ili d je eul, o d mpliud i f rerii vog iem, oim u veg eolio pecifičih lučjev, emju pričog čj. Uolio e liom eog iem dobiju polovi u deoj polurvi, d e jčešće rdi o grešci u projeovju ili u moj lii.
15 DODATAK E E DODATAK E: Oove defiicije i eoreme oure iegrcije fucije omplee promeljive Defiicij : Pod ooliom če u ompleoj rvi podrumev e up č oje je < ε gde je ε d poiiv o oj e iv polupreči ove oolie. Defiicij : Nepreid riv = (, [, b], iv e pro ili Jordov riv o vo i oji pripdju [, b], vži ( (. Ao je pri om = b, že e d je vore Jordov riv. Ao je Jordov riv gl, ili deo po deo gl, od e o iv our ili puj. Defiicij 3: Ao e iegrcij po ouri obvlj rejem u meru uproom reju lje čoviu, d e ouri iegrl piuje o f ( d ili mo o f ( d +. Defiicij 4: Obl G je jedoruo pove u očom delu rvi o vu voreu Jordovu rivu G vži d je i G, odoo d obuhv mo če i G. U uproom je obl višeruo pove. Defiicij 5: Ne je f fucij omplee promeljive defii i diferecijbil u voj či obli G oim u očo mogo č. Z fuciju f e d je liič fucij u obli G. Tče u ojim fucij ije liič ivju e igulre če ili igulriei fucije f. Ao liič fucij f im ivod u voj či obli G, že e d je fucij regulr ili holomorf u obli G. Z fuciju e že d je liič ili regulr u či o je liič ili regulr u eoj oolii če. Defiicij 6: Ne je igulrie liiče fucije f (. Rliuju e ri lučj. Ao je lim f ( = Cgde je C o, ču e že d je prividi, olojiv igulrie fucije f. Ao je lim f( =, č e ove pol fucije f. Ao lim f ( e pooji, č e iv eecijli igulrie fucije f. Defiicij 7: Ne je f fucij omplee promeljive, f ( = u( x, y + jv( x, y, = x+ jy. Ao je u obli G ipujeo u v v u =, i =, x y x y že e d fucij f u obli G ipujv Koši-Rimove ulove.
16 DODATAK E E Teorem : Koši Rimovi ulovi Fucij f je diferecijbil u či = x+ jy o i mo o u prcijli ivodi ux, uy, vx i v y epreidi u či ( x, y i u oj či vže Koši-Rimovi ulovi. Teorem : Košijev iegrl eorem Ne je f fucij omplee promeljive regulr u jedoruo poveoj obli G i o je je prvi ivod epreid u G, d je f( d =, gde je Gvore our. Teorem 3: Košijev iegrl formul Ne je i gde je G vore our G jedoruo pove obl u očom delu rvi i e je f liič fucij u obli G. Td vže formule: f( d f ( π j =,! f( d d f ( j =. ( d π + Defiicij 8: Ne je fucij f liič u jedoruo poveoj obli G i e je Gvore our. O fucije u či e defiiše o Re f ( = f(. π j d = Pri ome č može bii jedii pol ili eecijli igulrie u obli G. i gde je Teorem 4: Ao je č regulr č ili prividi igulrie fucije f, d je Re f( =. Teorem 5: Ne je pol og red liiče fucije f. Td e o fucije u či može irčui o ( f d Re f ( = lim ( (. = (! d Teorem 6: Ne je f liič fucij u obli G oj je ogriče voreom ourom. Ne u,,..., vi igulriei fucije f i le e u uuršjoi obli G. Td je ipujeo: f ( d = π j Re f(. = = Teorem 7: Rvoj rciole fucije u prcijle rlome Ne je R ( rciol fucij omplee promeljive u obli G, polovim p G, =,.., oju vži R ( o.td e R ( može pii o = = = R ( Re p R(
17 DODATAK E E3 Do: Ne je i, G obl oj drži ve plove fucije R (. Td je R ( u obli ex regulr o d vži: R( R( R( R( R( = d d d Re π j = = = π j π j p + + = =. Teorem 8: Ne je pro pol rciole fucije p R ( oju vži R ( o om polu defiiše prcijli rlom R oji odgovr om polu: P A R =, A lim ( ( P P = R. P P Do: Do leduje eporedo i eoreme 7.. O u Teorem 9: Ne je pol red rciole fucije p R ( oju vži R ( o. O u om polu defiiše prcijlih rlom R, R,..., P R P oji odgovrju om polu: P m Am d R =, A lim (( ( Pm m m P ( ( m! m P = P d R. Do: N oovu eoreme 7 vži: R ( d ( ( Re lim P R =. = (! p P d Pošo je oovu Ljbicove formule i ivod proivod dve fucije: d d ( (( P R( = (( P R( ( = = ( P ( P ( (! ( =! ( R( ( R( = + (! ( + = = ( dobij e d je: ( P R ( R ( Re lim ( ( = = + ( (! = P p = P ( P R ( P R ( ( lim ( ( + lim ( ( +... (! P P ( (! P P R P P ( ( m P + lim ( R( lim ( P R( m ( (! m P P ( P P R Pm R R P
18 DODATAK E E4 Teorem : Ne je H( = P(/ Q( preo fucij oj im pr ojugovo ompleih polov prvog red, P = + jβ, i P = jβ. Njim odgovr prcijli rlom obli A + B R ( =, P ( + β Td e oe A i B rčuju po formuli A+ B A = Im{ Q}, = Re{ Q}, β gde je lim(( Q = + β H (. β P Pri ome je { ( } A B R e + = A P co β + i β u(. β Do: Dire prime Teoreme 9 pr ojugovo ompleih polov dje ržei do. Teorem : Ao je H( = P(/ Q( preo fucij oj im mo proe polove, d vži P ( P( Re = P = Q ( Q ( Do: Pošo e Q( može pii o Q ( = ( P Q (, i o e diferecir lev i de r dobij e Q ( = ( P Q ( + Q(. Ao e pui d dobij e P Q ( P = ( P P Q ( P + Q( P = Q( P. N oovu og je P ( ( ( ( ( ( Re lim P P P P lim P P = = = = P. Q ( Q ( Q( Q( Q ( p = p P P P P Teorem : rčuje ivere Lplove rformcije Ne je X ( rciol fucij omplee promeljive oju vži P ( { x( } = X( = i lim X( Q ( =, i e u vi polovi fucije X ( leve re prve = σ, σ R. Td je > ipujeo: σ + j d x( = e X( d Re e X( lim ( p e X( π j = = pv (! j v v σ = = = pv d P
19 DODATAK E E5 Do: Ne je d iegrl I po ouri = Im{ } B, li E.: C R I = e X( d = + = I + I, + DAB BCD A = σ σ = Re{ } = I, = I DAB BCD D Sli E.. jθ jθ Uvodeći meu = ρe, d = jρe dθ drugi iegrl poje 3 π / ρ ( co( θ + ji( θ jθ I = e X( ρ, θ jρe dθ = 3 π / π / ρ co( θ j(rg{ X( ρ, θ + ρi( θ + θ} = j ρe X( ρθ, e dθ. π / Kd R či d = ρ. Ko je π / θ 3 π / co( θ co( ρe ρ θ eži uli. Zbog ulov eoreme i (, jed uli: < < <, či d fucij X ρ θ eži uli p je i vredo iegrl I ρ co( θ (rg{ ( ρ, θ + ρi( θ + θ} ( ρ ρ θ D 3 π / lim I = lim ( lim (, j X e X d = j e X e dθ =. R R ρ B π / σ + j lim I = e X( d, jer d e R beočo poveć, ugo DAB R σ j Iegrl I poje poje prv, our DAB poje prv = σ. Npome: Ulov lim X( = je evivle ulovu d je poliom u imeiocu višeg red od poliom u brojiocu.
20 DODATAK E E6 Tbel E. Oove eoreme oobie Lplove rformcije Opercij f ( F ( Adiivo f ( + f ( F ( + F ( Možeje lrom f ( F ( 3 d Diferecirje f ( d F( F ( 4 d d f ( F( F( + F ( + 5 d ( + f ( F( F ( d = 6 Iegrcij f ( τ dτ F( 7 f ( τ dτ F( + f ( d 8 Kšjeje f ( u( F( e 9 Kšjeje u ompleom domeu f ( e F( Diferecirje u ompleom domeu f( ( ( F ( Iegrcij u ompleom domeu f ( F ( d Slirje f (, F 3 Kovolucij u vremeom f ( ( domeu f F ( F ( 4 Kovolucij u ompleom f ( ( domeu f F ( F ( j 5 6 Sli periodiče fucije f ( + = f( f ( + = f( π e f ( e f ( e + e d d
21 DODATAK E E7 Tbel E. Oovi rformcioi provi X( x( δ ( u( / / π 3/ / π +! ( =,, 3 + e e + (! ( =,, 3 ( + + ( + ( + co( i( coh( ih( i( (i( co(
22 DODATAK F F DODATAK F: Oove eoreme oobie Z rformcije Tbel F. Oovi rformcioi provi (be obli overgecije: x[] X[] δ [ ] u[ ] 3 u[ ] ( 4 ( + u [ ] + 5 u [ ] + m 6 u[ ], m ( 3 + m+ + ( 7 m ( u[ ], m 8 co[ θ ] u[ ] ( co θ coθ + 9 i[ θ ] u[ ] iθ coθ + coh[ θ ] u[ ] ( coh θ cohθ + ih[ θ ] u[ ] ihθ cohθ + m Određivje pre overgecije uilerle Z rformcije: Ne je Z rformcij i x[ ], X ( = x[ ] omple red overge u preu = R < < R, < R < R <. Pre overgecije (obl, regio, ROC ovog red može e ipii primeom bilo og od odgovrjućih rierijum i eorije ompleih redov. Primeom Dlemberovog rierijum pre overgecije e određuje ledeći či: ( + x [ + ] x [ + ] x [ + ] lim < lim < > lim, x x [ ] x [ ] [ ] odle proiili d je [ + ] x [ ] x R = lim. Z R e može uvijii bilo oj rel vredo im d u vi polovi fucije X ( uur di uvojeog polupreči R.
23 DODATAK F F Iver Z rformcij Ne je X ( li i x[ ]. Td e i x[ ] može odredii oovu ourog iegrl x[ ] = X( d π j, + gde our obuhv ve polove fucije X (. N oovu Košijeve eoreme o leduje: gde u,,..., N vi polovi fucije vredoi promeljive, fucij imi i dodi pol u uli. N = = X(. Pri ome reb vodii rču d mle x[ ] = Re X(. X( može pored polov oji poiču od fucije X ( Ne je { } X ( = Z x [ ], x [ ] = <, d vže ledeće eoreme: i i i Teorem : Liero Ne u x x [ ] i y y [ ] = = iovi vi d { } r < < R d vži Z λx μy λz x μz y, λ, μ, Z x pooji r R < <, { } { + } = { } + { } ( R ROC: mx ( r, r mi ( R, R Teorem : Teorem o pomerju rgume { } { } Z x [ + ] = Z x x[]. b { } p p Z x[ + p] = ( X( x[ ]. c { } Do: p Z x [ p] = X(. = ( + { } = = p + < <. Z x[ + ] = x[ + ] = x[ + ] = ( X( x[]. ( b Z{ x[ + p] } = x[ + p] = x[ + p] = = p p p = ( X( x[] x[]... x[ p] ( c Z{ x[ p] } = p x[ p] = p, pošo je x [ ] = = < leduje do. Z y Teorem 3: Teorem o možeju epoecijlim iom lirje igl u ompleom domeu Ne je C. Td vži Z{ x[ ] } = X, r R < <
24 DODATAK F F3 Do: ROC: Ko je { } Z x[ ] = x[ ] = x[ ] = X. = = r < < R dobij e d je r< < R Teorem 4: Teorem o lici ojugovo ompleog rgume { } * * * Z x [ ] = X ( Do: * * - * * * x [ ] = x [ ]( = X (. = = ROC: Pošo je ipujeo d je mej. lim * [ ] * [ ] [ ] x[ ] x + x + = lim, obl overgecije e e x Teorem 5: Teorem o lici oče ume origil Ne je Do: y [ ] x [ ], d je = Z{ y } = Po defiiciji vži d je Z { y} dobij e X ( [ ] =. [ ] ( x [ ] = = =. Ao e uvede me x[ ] = [ + ] [ ] Z{ [ ]} + + Z{ [ ]} { } = Y( = ( [ ] [] = Z [ ] + = = Z{ [ + ] } Z{ [ ] } Z{ x[ ] } X ( = = =. Teorem 6: Teorem o ivodu lie diferecirje igl u ompleom domeu: Z{ x[ ] } dx ( =. d d =. d b Z { x[ ] } ( ( X( Do: q Ao e uvede me = e, i defiiše e d je Y( q = X(. Vži d je dy ( q = = dq = q x[ ] e Z { x[ ] }.
25 DODATAK F F4 Pošo je leduje d je b q Sme = e : X( dx( d dx( = =, q d dq d dx ( = x e = Z x d q [ ] { [ ] }. = d X( d X( d q = = ( x[ e ], dq d dq = d X( ( x = [ ]. d = Teorem 7: Teorem o prcijlom ivodu = x [, ], N, Ci e red [, ] Ne je d i x x uiformo overgir = u preu r < < R fuciji X (., Ne je X (, liič fucij u om iom preu. Td vži: Z x [, ] = X (,. Do: [, ] [, ] Z x = x = x [, ] = X(, = = Teorem 8: Prevlov eorem d xy [ ] [ ] = X( Y π i = +. Do: y [ ] x[ y ] [ ] = X( d Xy ( [ ] d πi = πi + + d d xy [ ] [ ] = X( ( y [ ] X( Y. πi = πi = + = + Teorem 9: Teorem o ovoluciji { [ ] [ ]} Z x * x = X ( X ( Do: Z { [ ] [ ]} [ ] [ ] [ ] [ ] x * x = x x = x x u( Promeom redoled umirj dobij e: = = = =
26 DODATAK F F5 + Z{ x[ ] * x[ ] } = x[ ] x[ ] u( = = = ( = x[ ] x[ ] u(. = = Ao e uvede me m = dobij e { [ ] [ ]} [ ] m [ ] [ ] m = = [ ] = = m= = m= Z x * x x x m u( m x x m X ( X (. Teorem : Teorem o ovoluciji ompleom domeu Z { xy [ ] [ ]} = X( ρ Y dρ πi ρ, ROC: rr ρ + < <+. Do: N oovu Pervlove eoreme vži [ ] [ ] ( [ ] ( x y X d y X y[ ] d i ρ ρ ρ π πi ρ ρ = = = = + = + = ρ d ρ dρ = ( ρ y [ ] X( ρ = πi = X( ρ Y ρ π i ρ ρ +. + ROC: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x+ y+ x+ y+ r = lim = lim lim = r r. xy x y Teorem : Teorem o počeoj i rjjoj vredoi origil (prv i drug grič eorem x[] = lim X(, b x[ ] = lim X( x[ i] i= lim x[ ] = lim X( = lim ( X( Do: x [ ] lim X ( = x + lim []. = x = = Teorem : Teorem o iegrlu lie x[ ] X( = x[ ] + [ ] x [ ] X( x[] Z u[ ] = d Do: ( X( x[] d = x[ ] x[] d x[ ] d x[ ] d = = = = = = x [ ] x [ ] = x [ ] d= = Z u[ ]. = = i
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότεραBeskonačni redovi 1.1 BROJEVNI REDOVI. Beskonačni brojevni red (numerički red, red sa konstantnim članovima) predstavlja sumu u :
Besoči redovi. BROJEVNI REDOVI Besoči brojevi red umeriči red, red s osttim človim predstvlj sumu u : svih člov eog besočog brojevog iz { } Zbirove u u u u. s u, s u u, K, s u. zivmo prcijli zbirovi. Kžemo
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότεραČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1
54 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Repetitio est mter studiorum. [Povljje je mj učej / zj.] (LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V s e d m i c i.. Pojm i osov svojstv griče vrijedosti iz Pojmovi iz
Διαβάστε περισσότεραMašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 10 i 11 1
Mš fule Beog - Meh 3 Peve lee lče ehe Geele ooe o e o e o elh č č olož e oeđe 3 Deovh oo ( o e elue holooh ecoh žvućh ve ( f α (α e olož e oeđe evh oo ev e o u ouo oeđuu olož elog e u oou vu e geele ooe
Διαβάστε περισσότερα1. Functions and Operators (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) 2. Trigonometric Identities (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) (2.5) (2.6) (2.7) (2.8) (2.
ECE 3 Mh le Sprig, 997. Fucio d Operor, (. ic( i( π (. ( β,, π (.3 Im, Re (.4 δ(, ; δ( d, < (.5 u( 5., (.6 rec u( + 5. u( 5., > rc( β /, π + rc( β /,
Διαβάστε περισσότεραQ π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
Διαβάστε περισσότεραDodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)
Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.
Διαβάστε περισσότεραm i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
Διαβάστε περισσότεραSarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1
Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò
Διαβάστε περισσότεραVeliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.
Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc
Διαβάστε περισσότεραΝόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα
Διαβάστε περισσότεραΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
Διαβάστε περισσότεραΤο άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A P r e d v j z č e t v r t u s e d m i c u s t v e (u demsoj 009/00. godii) G L A V A N I Z O V I I R E D O V I.. Općeito o izovim Izdržti, to je temelj vrlie.
Διαβάστε περισσότεραΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραMatematički osnovi Z transformacije
Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno
Διαβάστε περισσότεραot ll1) r/l1i~u (X) f (Gf) Fev) f:-;~ (v:v) 1 lý) æ (v / find bt(xi (t-i; i/r-(~ v) ta.jpj -- (J ~ Cf, = 0 1l 3 ( J) : o-'t5 : - q 1- eft-1
- la /:_ )( -( = Y () :: ÚlJl:: ot ll) r/li~u (X) f (Gf) Fev) f:-;~ (v:v) lý) æ (v / find bt(i (t-i; i/r-(~ v) bj Ll, :: Qy -+ 4",)( + 3' r.) '.J ta.jpj -- (J ~ Cf, = l 3 ( J) : o-'t5 : - q - eft- F ~)ç2..'
Διαβάστε περισσότεραErrata (Includes critical corrections only for the 1 st & 2 nd reprint)
Wedesday, May 5, 3 Erraa (Icludes criical correcios oly for he s & d repri) Advaced Egieerig Mahemaics, 7e Peer V O eil ISB: 978474 Page # Descripio 38 ie 4: chage "w v a v " "w v a v " 46 ie : chage "y
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Διαβάστε περισσότεραKinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke
Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski
Διαβάστε περισσότερα6.642, Continuum Electromechanics, Fall 2004 Prof. Markus Zahn Lecture 8: Electrohydrodynamic and Ferrohydrodynamic Instabilities
6.64, Continuum Electromechnics, Fll 4 Prof. Mrus Zhn Lecture 8: Electrohydrodynmic nd Ferrohydrodynmic Instilities I. Mgnetic Field Norml Instility Courtesy of MIT Press. Used with permission. A. Equilirium
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραΙ ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.
Διαβάστε περισσότεραΑλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη
Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων
Διαβάστε περισσότεραSLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότερα5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.
728!. -θ-cr " -;. '. UW -,2 =*- Os Os rsi Tf co co Os r4 Ι. C Ι m. Ι? U Ι. Ι os ν ) ϋ. Q- o,2 l g f 2-2 CT= ν**? 1? «δ - * * 5 Ι -ΐ j s a* " 'g cn" w *" " 1 cog 'S=o " 1= 2 5 ν s/ O / 0Q Ε!θ Ρ h o."o.
Διαβάστε περισσότεραskupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom.
Nizovi. Osovi pojmovi kod izov.. Defiicij i osovi pojmovi Defiicij... Svko preslikvje f : N R, skup prirodih brojev u skup relih brojev, zivmo re izom. Broj koji se ovim preslikvjem dodeljuje prirodom
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟΝ ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΥ ΕΦΗΜΕΡΙΔΣ ΤΗΣ ΔΗΜΚΡΑΤΙΑΣ υπ Άρ. 62 τής 19ης ΜΑΙΥ 1961 ΝΜΘΕΣΙΑ ΜΕΡΣ III ΚΙΝΤΙΚΙ ΝΜΙ ΤΥΡΚΙΚΗΣ ΚΙΝΤΙΚΗΣ ΣΥΝΕΛΕΎΣΕΩς Ό κττέρ νόμς της Τυρκικής Κιντικής Συνελεύσεις όστις υπεγράφη
Διαβάστε περισσότεραΠερικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr
Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr Προς: Μαθητές Α, Β & Γ Λυκείου / Κάθε ενδιαφερόμενο Αγαπητοί Φίλοι Όπως σίγουρα
Διαβάστε περισσότεραFURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Διαβάστε περισσότεραRešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.
šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td
Διαβάστε περισσότερα!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!
" "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότερατροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)
ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni principi kompresije 2D i 3D signala. 2D transformacija kompakcija energije. Estimacija pokreta u 3D signalima
OADP: Kompreija lie i ideo igala Ooi priipi ompreije D i 3D igala D traformaija ompaija eergije Katoaje D igala Kodoaje D igala Etimaija poreta u 3D igalima oi ad 06 traa OADP: Kompreija lie i ideo igala
Διαβάστε περισσότεραNeodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότεραpi r p p c i i c i (0) i c i (x) i c i, av i c i i C i i C i P i C i W i d d D i i D i p i D in D out e e F F = I c j i i J V k i k b k b = K ic i K id i n P m P Pe i i r si i r p R R = R T V W i x x X
Διαβάστε περισσότερα!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα1. Τριγωνοµετρικές ταυτότητες.
. Τριγωνοµετρικές ταυτότητες. co( y co( co( y i( i( y i( y i( co( y co( i( y ± m (. ± ± (. π m (. 3 co ± i( i ± π ± co( (. co( co ( i ( (. 5 i( i( co( (. 6 j j co( + (. 7 j j j i ( (. 8 ( ( y ( y + ( +
Διαβάστε περισσότεραSpecijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.
Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u
Διαβάστε περισσότεραTables of Transform Pairs
Tble of Trnform Pir 005 by Mrc Stoecklin mrc toecklin.net http://www.toecklin.net/ December, 005 verion.5 Student nd engineer in communiction nd mthemtic re confronted with trnformtion uch the -Trnform,
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραVILJUŠKARI. 1. Viljuškar se koristi za utovar standardnih euro-pool paleta na drumsko vozilo u sistemu prikazanom na slici.
VILJUŠKARI 1. Viljuškar e korii za uoar andardnih euro-pool palea na druko ozilo u ieu prikazano na lici. PALETOMAT a) Koliko reba iljuškara da bi ree uoara kaiona u koji aje palea bilo anje od 6 in, ako
Διαβάστε περισσότεραOBRASCI ELEMENTARNE MATEMATIKE SY jun 2008.
OBRASCI ELEMENTARNE MATEMATIKE SY347 9. ju 008. Priroi rojevi u kup vih pozitivih elih rojev, N {,, 3,...}. Celi rojevi u kup vih pozitivih i etivih elih rojev i ule, Z {...,, 3, 0,,, 3,...}. Rioli rojevi
Διαβάστε περισσότερα6.642 Continuum Electromechanics
MIT OpenCourseWre http://ocw.mit.edu 6.64 Continuum Electromechnics Fll 8 For informtion out citing these mterils or our Terms of Use, visit: http://ocw.mit.edu/terms. 6.64, Continuum Electromechnics,
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ04.01 5 ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής Όπως συμβαίνει στη φύση έτσι και ο άνθρωπος θέλει να πετυχαίνει σπουδαία αποτελέσματα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό
Διαβάστε περισσότεραΠαρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση.
(, ) =,, = : = = ( ) = = = ( ) = = = ( ) ( ) = = ( ) = = = = (, ) =, = = =,,...,, N, (... ) ( + ) =,, ( + ) (... ) =,. ( ) = ( ) = (, ) = = { } = { } = ( ) = \ = { = } = { = }. \ = \ \ \ \ \ = = = = R
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα3607 Ν. 7.28/88. E.E., Παρ. I, Αρ. 2371,
E.E., Παρ. I, Αρ. 271, 16.12. 607 Ν. 7.2/ περί Συμπληρματικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 5) τυ 19 εκδίδεται με δημσίευση στην επίσημη εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς- - Αριθμός
Διαβάστε περισσότεραΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ. κατά τον άξονα Ζ.
ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι κύκλοι κατεργασίας χρησιµοποιούνται για ξεχόνδρισµα - φινίρισµα ενός προφίλ χωρίς να απαιτείται να προγραµµατίζουµε εµείς τα διαδοχικά πάσα της κατεργασίας. Έτσι, στο πρόγραµµα περικλείουµε
Διαβάστε περισσότεραMolekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine
Διαβάστε περισσότεραHMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
HMY : Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμοί Σημάτων Ενέργεια και Ισχύς Σήματος Βασικές κατηγορίες σημάτων Περιοδικά σήματα Άρτια και περιττά σήματα Εκθετικά σήματα Μετασχηματισμοί σημάτων (signal
Διαβάστε περισσότεραΟ αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +
Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που
Διαβάστε περισσότερα1777 Ν. 57(ΙΙ)/97. τίτλος
E.E. Παρ. Ι(ΙΙ) Αρ. 196, 7.11.97 1777 Ν. 7(ΙΙ)/97 περί Συμπληρωματικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 19) τυ 1997 εκδίδεται με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφωνα με τ Άρθρ 2 τυ Συντάγματς.
Διαβάστε περισσότεραAppendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci
3 H 12.35 Y β Low 80 1 - - Betas: 19 (100%) 11 C 20.38 M β+, EC Low 400 1 5.97 13.7 13 N 9.97 M β+ Low 1 5.97 13.7 Positrons: 960 (99.7%) Gaas: 511 (199.5%) Positrons: 1,199 (99.8%) Gaas: 511 (199.6%)
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΡΙΤΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Αρ της 30ής ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2004 ΑΙΟΙΚΗΤΪΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ
K.AJI. 75/2004 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΡΙΤ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΚΡΑΤΙΑΣ Αρ. 906 της 0ής ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΥ 2004 ΑΙΙΚΗΤΪΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΡΣ Ι Κννιστικές Διικητικές Πράξεις Αριθμός 75 Ι ΠΕΡΙ ΦΑΡΜΑΚΩ ΑΘΡΩΠΙΗΣ ΡΗΣΗΣ (ΕΛΕΓΣ
Διαβάστε περισσότερα!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%' " (&! #!$"/001
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. ') '#*#(& )!#)! ##%' " (&! #!$"/001 ')!' &'# 2' '#)!( 3(&/004&' 5#(& /006 # '#)! 7!+8 8 8 #'%# ( #'## +,-'!$%(' & ('##$%('9&#' & ('##$%('9')
Διαβάστε περισσότεραSkripta za usmeni ispit iz IM1
Skript z usmei ispit iz IM T Pojmovi (logičkog) iskz i predikt Defiicij: Sud ili iskz je deklrtiv izjv koj u pogledu istiitosti zdovoljv dv pricip: sud je ili istiit ili eistiit (pricip iskljucej treceg)
Διαβάστε περισσότεραSolve the difference equation
Solve the differece equatio Solutio: y + 3 3y + + y 0 give tat y 0 4, y 0 ad y 8. Let Z{y()} F() Taig Z-trasform o both sides i (), we get y + 3 3y + + y 0 () Z y + 3 3y + + y Z 0 Z y + 3 3Z y + + Z y
Διαβάστε περισσότεραPIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης
Σηµειώσεις Μιαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1. Εισαωικά 5 Η αλεβρική δοµή 5 Η τοπολοική δοµή τού 6 Το εκτεταµένο µιαδικό επίπεδο 7 Συνεκτικότητα
Διαβάστε περισσότεραTEORIA SISTEMELOR AUTOMATE. Prof. dr. ing. Valer DOLGA,
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE Prof. dr. ig. Vler DOLGA, Curi_7_ Aliz i ruul iemelor liire i domeiul im II. Sieme de ordiul. Ruul iemului l emle drd imul uir re uir rm 3. Noiui rivid clie iemului de ordiul
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότεραtel , version 1-7 Feb 2013
!"## $ %&' (") *+ '#),! )%)%' *, -#)&,-'" &. % /%%"&.0. )%# "#",1 2" "'' % /%%"&30 "'' "#", /%%%" 4"," % /%%5" 4"," "#",%" 67 Y% !"!"# $ %& & # &$ ' '#( ''# ))'%&##& *'#$ ##''' "#$ %% +, %'# %+)% $
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραEstimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design
Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του τρίτου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις. Αν προκύψει αλγεβρική σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές x, y η οποία δεν λύνεται
Διαβάστε περισσότεραDéformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.
Διαβάστε περισσότεραgr mol g lit mg lit mlit lit mol NaCl 96 NaCl HCl HCl
1 ( - ) ( ) : 5 ( CH 3 COOH ).1 0 /1M NaOH35ml CH COOH 3 = /3 gr mol 211/05 mg 3 /5mgr 210 /1gr 3 /5gr ppm.2 mg mlit mg lit g lit µg lit.3 1mol (58 /8 NaCl ) 0 /11F 14 /9ml NaCl.4 14 /9 96 0 /0149 0 /096
Διαβάστε περισσότεραPoularikas A. D. Distributions, Delta Function The Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing. Ed. Alexander D. Poularikas Boca Raton: CRC
Pulrik A. D. Diribui, Del Fuci The Hbk f Frmul Tble fr Sigl Prceig. E. Aleer D. Pulrik Bc R: CRC Pre LLC, 999 5 Diribui, Del Fuci 5. Te Fuci 5. Diribui 5.3 Oe-Dimeil Del Fuci 5.4 Emple 5.5 Tw-Dimeil Del
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραw = f(z) = z + i C(0,4) 2πi z 2 (z 2) 3 dz = 1 8. f(z) = (z 2 + 1)(z + i). e z 1 e z 1 = 3 cos 2θ
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β Θ. (αʹ) Εστω ο μετασχηματισμός w f() + i i, C, i. 6 Μαρτίου, 25 Δείξτε ότι η w f() απεικονίζει
Διαβάστε περισσότεραX = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας
Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική
Διαβάστε περισσότεραMesh Parameterization: Theory and Practice
Mesh Parameterization: Theory and Practice Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer To cite this version: Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer. Mesh Parameterization: Theory and Practice. This document is
Διαβάστε περισσότερα!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667
!"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000
Διαβάστε περισσότεραFourier Transform. Fourier Transform
ECE 307 Z. Aliyziioglu Eleril & Compuer Engineering Dep. Cl Poly Pomon The Fourier rnsform (FT is he exension of he Fourier series o nonperiodi signls. The Fourier rnsform of signl exis if sisfies he following
Διαβάστε περισσότερα1. Από την αρχική σελίδα του web site του ΙΚΑ http://www.ika.gr επιλέγετε την ελληνική σημαία για να εισέλθετε στην κεντρική σελίδα του ΙΚΑ.
1. Από την αρχική σελίδα του web site του ΙΚΑ http://www.ika.gr επιλέγετε την ελληνική σημαία για να εισέλθετε στην κεντρική σελίδα του ΙΚΑ. (Προτείνόμενοί φυλλομετρητές: Mozllla Firefox, Internet Explorer)
Διαβάστε περισσότερα! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.
! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$
Διαβάστε περισσότεραMATRICES WITH CONVOLUTIONS OF BINOMIAL FUNCTIONS, THEIR DETERMINANTS, AND SOME EXAMPLES
Journl of Alger umer Teor: Avne n Applon Volume umer 9 Pge -7 MATRICES WITH COVOLUTIOS OF BIOMIAL FUCTIOS THEIR DETERMIATS AD SOME EXAMPLES ORMA C SEVERO n PAUL J SCHILLO Meove Lne Wllmvlle Y USA e-ml:
Διαβάστε περισσότερα~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
~ ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f ( ) u( x, y) iv( x, y ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο x iy αν ικανοποιούνται
Διαβάστε περισσότερα-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003
-! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραFormulas of Agrawal s Fiber-Optic Communication Systems. Section 2-1 (Geometrical Optics Description) NA n 2 ; n n. NA( )=n1 a
Formula o grawal Fier-Oti Commuiatio Sytem Chater (troutio 8 max m M E h h M m 4 6.66. J e.6 9 m log mw S, Chater (Otial Fier SFMMF: i i ir Z Setio - (Geometrial Oti eritio i Z S log i h max E ii o ; GFMMF:
Διαβάστε περισσότερα( () () ()) () () ()
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t, ( t, z( t, t I = [ a, b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραSvojstvene vrednosti matrice
6 Svojstvee vredosti mtrice 6. LINERN TRNSFORMCIJ VEKTOR ko je... eki skup promeljivih y y... y drugi skup promeljivih koje su s prvim veze ekim relcijm: ili u vektorskoj formi: (... ) i y f... i i y f()
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραcele mai ok referate
Permur www.refereo.ro cele m o refere.noue de permure. Fe A o mulme f de elemee, dc A{,, 3,, }. O fuce becv σ:aàa e umee permure ubue de grdul. P:Numrul uuror permurlor de ord ee egl cu!..produul compuere
Διαβάστε περισσότερα