Πλιάκης Νικόλαος, Δήμος Σωτήριος

Transcript

1 Πολιτικές Stackelberg σε παίγνια συμφόρησης Η Διπλωματική παρουσιάστηκε ενώπιον του διδακτικού προσωπικού του Πανεπιστημίου Αιγαίου, σε μερική εκπλήρωση των απαιτήσεων για το Δίπλωμα του Μηχανικού Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων. Πλιάκης Νικόλαος, Δήμος Σωτήριος Καρλόβασι Σάμου, 2/10/2008

2 2

3 Η ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΕΠΙΚΥΡΩΝΕΙ ΤΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΔΗΜΟΥ ΣΩΤΗΡΙΟΥ ΠΛΙΑΚΗ ΝΙΚΟΛΑΟΥ Δημήτριος Φωτάκης, Επιβλέπων, Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Τζουραμάνης Θεόδωρος, Μέλος Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ευστάθιος Σταματάτος, Μέλος, Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 3

4 Περιεχόμενα Κ1 Εισαγωγή Δρομολόγηση σε δίκτυα συγκοινωνιών και διαδίκτυα υπολογιστών Θεωρία Παιγνίων Παιχνίδι των δύο φυλακισμένων Το τίμημα της Αναρχίας Παίγνια Συμφόρησης Το παράδειγμα του Pigou Το παράδοξο του Braess Πολιτική Stackelberg Περιήγη Κ2 Μοντέλο & Φορμαλισμοί Ορισμός Παιγνίου στην στρατηγική μορφή του Ορισμός Παιγνίου Συμφόρησης Ισορροπίες Nash και βέλτιστες δρομολογήσεις Αμιγείς Ισορροπίες Nash Ύπαρξη και ποικιλότητα ισορροπιών Nash Βέλτιστη λύση Συσχέτιση ισορροπιών Nash και βέλτιστων λύσεων Πολιτικές Stackelberg Πολιτική LLF Πολιτική Scale Πολιτική Arc Cover Πολιτική Path Cover Συνδυασμοί πολιτικών Scale και LLF με την πολιτική Cover Κ3 Παρόντες & μελλοντικοί στόχοι Στόχοι της εργασίας Μελλοντική εργασία

5 Κ4 Προδιαγραφές & απαιτήσεις μιας εφαρμογής για παίγνια συμφόρησης Στιγμιότυπα εισόδου κατασκευή δικτύων Διεπιφάνεια Χρήστη Βέλτιστη λύση και ισορροπία Nash Προδιαγραφές των πολιτικών Stackelberg Κ5 Υλοποίηση Η βιβλιοθήκη Boost Λίστες γειτνίασης Περιγραφείς (Descriptors) Επαναλήπτες (Iterators) Αναζήτηση συντομότερων μονοπατιών Διασύνδεση με το εργαλείο Graphviz Η εμπειρία μας με τη boost/graph (Πλεονεκτήματα & μειονεκτήματα) Η γεννήτρια παραγωγής γραφημάτων Κατασκευή συγκεκριμένου γραφήματος Κατασκευή τυχαίου γραφήματος Ο Αλγόριθμος SSP Υπολόγισμος της βέλτιστης ισορροπίας Nash Υπολόγισμος της βέλτιστης δρομολόγησης Στρατηγικές Αποθήκευση των στρατηγικών που επιλέγουν οι παίκτες Ο αλγόριθμος Flow Decomposition Υλοποίηση των πολιτικών Stackelberg Πολιτική Largest Latency First (LLF) Πολιτική Scale Πολιτική ArcCover Πολιτική PathCover Συνδυασμός του Cover με τον LLF και τον Scale Κ6 Πειραματική αξιολόγηση των αποτελεσμάτων Επίδραση του αριθμού των συντονισμένων χρηστών στο τίμημα της ευστάθειας Επίδραση του συνολικού αριθμού χρηστών στο τίμημα της ευστάθειας

6 6.3. Επίδραση του μεγέθους του γράφου στο τίμημα της ευστάθειας Κ7 Συμπεράσματα Παράρtημα Βιβλιογραφία

7 Περίληψη Σε αυτή την εργασία ασχολούμαστε με τις διάφορες πολιτικές Stackelberg που έχουν δημιουργηθεί και υλοποιηθεί για την κατανομή ενός συνόλου παικτών σε δίκτυα. Εξηγούμε κάποιες γενικές θεωρητικές αρχές για τα δίκτυα συγκοινωνιών και τα διαδίκτυα υπολογιστών, καθώς και για τη θεωρία παιγνίων και πώς αυτή μπορεί να εφαρμοστεί στην περίπτωση που μελετούμε. Δίνουμε τον ορισμό του τι είναι ένα παιχνίδι συμφόρησης και η πολιτική Stackelberg και εξηγούμε τη σχέση αυτών των δύο. Ακολουθεί η περιγραφή και η φορμαλιστική αναπαράσταση του μοντέλου πάνω στο οποίο θα εργαστούμε. Στο ίδιο κεφάλαιο περιγράφονται γενικά και οι αλγόριθμοι τους οποίους θα χρησιμοποιήσουμε για την εξαγωγή των τελικών συμπερασμάτων. Θέτουμε τους στόχους της εργασίας αυτής και αμέσως μετά εξηγούμε τις προδιαγραφές που θα πρέπει να πληρεί μία εφαρμογή που σκοπό έχει να υλοποιήσει αυτούς τους στόχους. Ακολούθως, μεταβαίνουμε στο κεφάλαιο της υλοποίησης, το οποίο δίνει στον αναγνώστη πληροφορίες σχετικές με την κατασκευή της εφαρμογής όπως την υλοποιήσαμε, καθώς και τα σημαντικότερα τμήματά της και τους ψευδοκώδικες που περιγράφουν τους αλγόριθμους των πολιτικών Stackelberg που ακολουθούμε. Το τελευταίο κεφάλαιο αποτελείται από τα πειράματα τα οποία εκτελέσαμε με τη βοήθεια όλων των παραπάνω και τις γραφικές παραστάσεις των αποτελεσμάτων, στο οποίο περιγράφονται και όλες οι επιμέρους παράμετροι τις οποίες εισαγάγαμε στο κάθε γράφημα. 7

8 8

9 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Δρομολόγηση σε δίκτυα συγκοινωνιών και διαδίκτυα υπολογιστών Όλες οι πόλεις και τα χωριά συνδέονται με δρόμους μεταξύ τους. Άλλοι είναι μικροί, άλλοι είναι μεγάλοι, άλλοι έχουν συνέχεια κίνηση, άλλοι σχεδόν δεν χρησιμοποιούνται. Αλλά και στο εσωτερικό των πόλεων υπάρχουν πάρα πολλοί δρόμοι οι οποίοι συνδέουν τα μέρη μεταξύ τους. Οι δρόμοι χρησιμοποιούνται συνέχεια από ανθρώπους που θέλουν να μετακινηθούν από ένα σημείο σε ένα άλλο. Είναι προφανές ότι σε έναν δρόμο όσο περισσότεροι κινούνται τόσο αυξάνει η κίνηση με αποτέλεσμα να αυξάνεται ο χρόνος άφιξης στον προορισμό μας! Ακόμη όλοι γνωρίζουμε ότι δεν συνεισφέρουμε όλοι το ίδιο στην κίνηση! Διαφορετική επίπτωση έχουν τα παπάκια, διαφορετική τα αμάξια και διαφορετική τα λεωφορεία και τα φορτηγά. Όλο αυτό το σύνολο συνθέτει ένα δίκτυο συγκοινωνιών. Τα δίκτυα αυτά είναι αρκετά πυκνά με αποτέλεσμα στον καθένα μας, που θέλει να μετακινηθεί από ένα σημείο S σε ένα σημείο Τ, να παρουσιάζονται αρκετές εναλλακτικές διαδρομές. Αλήθεια όμως, με πιο κριτήριο επιλέγουμε την διαδρομή που θα ακολουθήσουμε; Μήπως επιλέγουμε εκείνη την διαδρομή που νομίζουμε ότι θα είναι η συντομότερη; Ή μήπως πιο συγκεκριμένα επιλέγουμε την διαδρομή που νομίζουμε ότι θα έχει την λιγότερη κίνηση; Ας σημειώσουμε ορισμένα χαρακτηριστικά : (1) ο καθένας επιλέγει την διαδρομή που θα ακολουθήσει μόνος του * όπως εκείνος νομίζει (2) όλοι σκεπτόμενοι το δικό μας όφελος και μόνο επιλέγουμε με εγωιστικό ιδιοτελή τρόπο το δρομολόγιο (3) και αυτό διότι ποτέ δεν σκεπτόμαστε την δικιά μας συνεισφορά στην συμφόρηση των δρόμων. Τώρα φαντασθείτε κάποιος να μας έλεγε ποια ακριβώς διαδρομή θα ακολουθήσουμε κάθε πρωί να πάμε στην δουλεία μας!! Μάλλον αυτό δεν μπορεί να συμβεί. Ακόμα και αν κάποιος δοκίμαζε να παίξει το ρόλο του τροχονόμου δρομολογητή κανείς δεν θα τον άκουγε, αλλά και δεν θα ήταν δυνατό να παρακολουθήσει τα εκατομμύρια των χρηστών του οδικού δικτύου! * εξαίρεση αποτελούν ειδικοί χρήστες των συγκοινωνιακών δικτύων όπως τα φορτηγά τα οποία για παράδειγμα δεν μπορούν να κυκλοφορούν στις εθνικές οδούς τα Σαββατοκύριακα καθ όλη την διάρκεια της ημέρας 9

10 Τα μεγάλα διαδίκτυα όπως το Διαδίκτυο (The Internet) παρουσιάζουν ορισμένες ομοιότητες με τα δίκτυα συγκοινωνιών. Το Διαδίκτυο χρησιμοποιείται από δισεκατομμύρια χρήστες από όλον τον κόσμο. Τα ζεύγη αφετηρίας προορισμού είναι αμέτρητα, όπως και ο όγκος της κίνησης που δρομολογείται. Ο κεντρικός έλεγχος και η κεντρική παρακολούθηση είναι ανέφικτη. Και σε αυτήν την περίπτωση ο κάθε χρήστης ενδιαφέρεται να εξυπηρετήσει την δικιά του κίνηση όσο το δυνατόν πιο γρήγορα αδιαφορώντας παντελώς για το τι γίνεται στο δίκτυο (πέραν της γραμμής που χρησιμοποιεί) αλλά ιδίως για την συμφόρηση που ίδιος προκαλεί και την βιώνουν άλλοι χρήστες. Αλήθεια, πότε ενδιαφερθήκατε για το πόσο υποφέρουν οι υπόλοιποι (ιδίως σε κοινόχρηστο κανάλι) όταν κατεβάζετε Terabytes (επί το πλείστον άχρηστων) πολυμεσικών δεδομένων; Όλα τα παραπάνω οδηγούν στο συμπέρασμα ότι το σενάριο όπου ο μέγας στρατηγόςδιαχειριστής του δικτύου θα μας λεει τι να κάνουμε και εμείς θα τον αρκούμε δεν είναι και τόσο ρεαλιστικό...! Και αυτό διότι όση προσπάθεια και να δοθεί, λίγο πολύ ο καθένας θα κάνει ό,τι τον εξυπηρετεί χωρίς να λογαριάζει τίποτα. Πώς μπορούμε όμως να χειριστούμε αυτήν την κατάσταση; 1.2 Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων είναι, μεταξύ των άλλων, ένα χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο το οποίο μας βοηθά να κατανοήσουμε και να προβλέψουμε την συνολική κατάσταση συστημάτων τα οποία αποτελούνται από πολλές συνιστώσες όπου η καθεμία κάνει ακριβώς ότι θέλει *...όπως στα συστήματα που περιγράψαμε προηγούμενα. Ένα τυπικό παιχνίδι αποτελείται από Ν παίκτες καθένας από τους οποίους έχει ένα πεπερασμένο εύρος επιλογών. Κάθε παίκτης συνοδεύεται από μία συνάρτηση κόστους η οποία είναι συνάρτηση των επιλογών του. Μία ακολουθία από επιλογές ονομάζεται στρατηγική. Αντικειμενικός στόχος του κάθε παίκτη είναι να μειώσει (ή αυξήσει) όσο το δυνατόν περισσότερο την συνάρτηση κόστους του. Το παιχνίδι διεξάγεται με τις εξής παραδοχές: οι παίκτες δρουν αυτόνομα, στρατηγικά ιδιοτελώς και δεν συνεργάζονται. * βέβαια το κάνω ότι θέλω στον πραγματικό κόσμο πάντα γίνεται μέσα σε κάποια πλαίσια που θέτουν ορισμένοι κανόνες, πιο συγκεκριμένα στην θεωρία παιγνίων θεωρούμε ότι οι συνιστώσες δρουν στρατηγικά και λογικά ως προς κάποιο κριτήριο κάνουν αυτό που αντικειμενικά τους ωφελεί 10

11 Πολλά από τα παιχνίδια αυτά, ύστερα από ένα πεπερασμένο αριθμό βημάτων *, φτάνουν σε μία κατάσταση στην οποία κανείς παίκτης δεν μπορεί να βελτιώσει το κόστος του αν μεμονωμένα αλλάξει την στρατηγική του. Όταν συμβαίνει αυτό τότε λέμε ότι το σύστημα βρίσκεται σε αμιγή ισορροπία Nash (ή αμιγών στρατηγικών). Η ισορροπία αυτή μπορεί να μην είναι μοναδική. Ο John Forbes Nash το 1951 απέδειξε ότι σε κάθε παίγνιο μη συνεργαζόμενων παικτών όπου το εύρος των επιλογών είναι πάντα πεπερασμένο και οι παίκτες επιλέγουν στρατηγικές βάση προκαθορισμένων πιθανοτήτων, υπάρχει τουλάχιστον μία ισορροπία όπου κανείς παίκτης δεν ωφελείται αν μεμονωμένα αλλάξει την στρατηγική του. Η κατάσταση αυτή ονομάζεται Μικτή Ισορροπία Nash (ή μεικτών στρατηγικών). Εν αντιθέσει η αμιγής ισορροπία Nash δεν υπάρχει πάντα. Τέλος σε κάθε παίγνιο ορίζουμε ως κοινωνικό κόστος τα άθροισμα των κοστών που πληρώνουν οι παίκτες. Το κοινωνικό κόστος είναι ένα μέτρο της τιμής κόστους ή επίδοσης της κατάστασης του όλου συστήματος Παιχνίδι των δύο φυλακισμένων Έστω ότι η αστυνομία συλλαμβάνει δύο κακοποιούς που ανήκουν στην ίδια συμμορία για ένα έγκλημα που έχουν διαπράξει μαζί. Όμως η αστυνομία δεν έχει αρκετά στοιχεία για να τους ενοχοποιήσει. Κατά τα γνωστά ακολουθείται η ανακριτική διαδικασία όπου οι ύποπτοι ανακρίνονται χωριστά ο ένας από τον άλλο. Ο κάθε παίκτης (κακοποιός) έχει δύο επιλογές: (α) να το παίξει ανήξερος (β) να καρφώσει τον συνάδελφό του. Στον πίνακα παρακάτω, βλέπουμε το κόστος που πληρώνει ο κάθε παίκτης ανάλογα με τις στρατηγικές που θα ακολουθήσουν και οι δύο. Όπως φαίνεται αν κανείς τους δεν μιλήσει εκτίουν και οι δύο ποινή 6 μήνες φυλάκιση. Αν ο ένας εκ των δύο καταδώσει τον άλλο, αυτός που μίλησε βγαίνει ελεύθερος και ο άλλος κάθεται στην φυλακή για 10 χρόνια. Αν και οι δύο μιλήσουν τότε και οι δύο εκτίουν ποινή 7 ετών! Όπως είπαμε στην αρχή της ενότητας θεωρούμε ότι οι παίκτες δεν συνεργάζονται και δρουν τελείως ιδιοτελώς προκειμένου ο καθένας στατηγικές του Β να βελτιώσει την θέση του. Επίσης οι δεν μιλά μιλά παίκτες σκέφτονται στρατηγικά, δηλαδή στρατηγικές του Α δεν μιλά μιλά (1/2, 1/2) (0, 10) (10, 0) (7, 7) εκτελούν την κίνηση που αντικειμενικά ωφελεί το προσωπικό τους συμφέρον. Έστω λοιπόν ότι ο Β δεν μιλά. Ο Α έχει δύο επιλογές: αν δεν μιλήσει θα φυλακιστεί για 6 μήνες. Αν όμως μιλήσει θα φύγει ελεύθερος. Το ατομικό συμφέρον (ελαχιστοποίηση της * σε κάθε βήμα ένας παίκτης κάνει μία κίνηση στην διεθνή βιβλιογραφία ονομάζεται Prisoners dilemma 11

12 συνάρτησης κόστους) υπαγορεύει την 2 η στρατηγική. Έστω τώρα ότι ο Β μιλά. Και πάλι ο Α έχει δύο επιλογές. Αν δεν μιλήσει φυλακίζεται για 10 χρόνια, ενώ αν μιλήσει η ποινή πέφτει στα 7 χρόνια. Συνεπώς και πάλι ο Α θα επιλέξει την δεύτερη στρατηγική. Τελικά ο Β σκέφτεται και δρα με τον ίδιο τρόπο με αποτέλεσμα ο ένας να καρφώνει των άλλον και οι δυο μαζί να φυλακίζονται για 7 χρόνια ο καθένας. Η συγκεκριμένη κατάσταση αποτελεί αμιγή ισορροπία Nash. Εδώ η φυσική σημασία του κοινωνικού κόστους (επίδοση της λύσης του παιχνιδιού) μπορεί να είναι το κόστος για τον αρχηγό της συμμορίας ο οποίος χάνει δύο από τα «παλικάρια» του για 7 χρόνια!!! Παρατηρούμε πως στο συγκεκριμένο παιχνίδι η ισορροπία Nash (που οδηγηθήκαμε εκεί με ιδιοτελή και ατομιστική συμπεριφορά) είναι με διαφορά η χείριστη λύση από άποψη κοινωνικού κόστους *. Η βέλτιστη λύση, επιτυγχάνεται όταν κανείς δεν μιλά, με κοινωνικό κόστος 1 έναντι 14 της ισορροπίας Nash. Όπως φαίνεται από το παράδειγμα μία ισορροπημένη λύση όχι μόνο δεν είναι η καλύτερη για το σύστημα και τους ίδιους τους παίκτες αλλά ενδέχεται πολλές φορές να είναι πάρα πολύ άσχημη. Συνεπώς το να αφήσουμε σε ένα δίκτυο υπολογιστών να κάνει ο καθένας ότι θέλει μάλλον δεν είναι καλή λύση. 1.3 Το τίμημα της Αναρχίας Προκειμένου να μετρήσουμε το πόσο ανεπαρκής (ως προς το κοινωνικό κόστος) είναι μία ισορροπία Nash, ορίζουμε 2 μέτρα, το τίμημα της αναρχίας (price of anarchy) και το τίμημα της ευστάθειας (price of stability). Το τίμημα της αναρχίας, PofA, ορίζεται ως το πηλίκο του κοινωνικού κόστους της χείριστης ισορροπίας Nash με το βέλτιστο δυνατό κοινωνικό κόστος. PofA = χείριστη _ ισορροπ ία _ Nash βέλτιστη _ λύση Αν PofA 1 τότε η χείριστη ισορροπία δεν είναι αξιοσημείωτα χειρότερη από την βέλτιστη λύση και κατά συνέπεια το να αφήσουμε τον κάθε παίκτη να δράσει όπως νομίζει είναι μία πολύ καλή (και φυσικά πολύ φθηνή) λύση για το σύστημα. Τυχαίνει δηλαδή το γενικό συμφέρον και τα επιμέρους ατομικά να μην συγκρούονται. Αν το PofA απέχει πολύ από την μονάδα τότε η ιδιοτελής συμπεριφορά των παικτών είναι καταστροφική για * Το παιχνίδι των δύο φυλακισμένων δείχνει με τον καλύτερο τρόπο πόσο ανίσχυρο είναι το ατομικό συμφέρον έναντι του γενικού και πως το γενικό συμφέρον αν προωθηθεί προωθεί αυτομάτως τα επιμέρους ατομικά! 12

13 το σύστημα και εν συνεχεία για τους ίδιους τους παίκτες και θα πρέπει να αρχίσουμε να σκεφτόμαστε τρόπους να την χειριστούμε. Βέβαια είναι προφανές ότι για παιχνίδια που οι παίκτες προσπαθούν να ελαχιστοποιήσουν την αντικειμενική τους συνάρτηση τότε PofA 1 ενώ για παίγνια όπου θέλουν να την μεγιστοποιήσουν τότε PofA 1. Δυστυχώς όμως η εύρεση της χείριστης ισορροπίας Nash σε ένα τυχαίο παίγνιο είναι NPcomplete πρόβλημα. Αυτό σημαίνει ότι σε πολύπλοκα παίγνια πραγματικού χρόνου, όπως η δρομολόγηση στο Internet, μέχρι να βρούμε το τίμημα της αναρχίας, προκειμένου να εκτιμήσουμε το worst case σενάριο του να αφήσουμε τους χρήστες ελεύθερους να δρομολογήσουν την κίνησή τους, η κίνηση τελικώς θα δρομολογηθεί με κάποιον τρόπο και..., εμείς ακόμα θα υπολογίζουμε! Επιπροσθέτως ένα παίγνιο μπορεί να έχει πολλές ισορροπίες. Ενδέχεται ακόμη οι ισορροπίες αυτές να εμφανίζουν πολύ μεγάλες διαφορές ως προς το κοινωνικό κόστος το οποίο επιφέρουν. Ας φανταστούμε ένα παίγνιο για το οποίο υπάρχουν 5 διαφορετικές. Οι 4 από αυτές είναι αμελητέα χειρότερες από την βέλτιστη λύση. Η χείριστη έστω ότι έχει πιθανότητα 0,2% να εμφανιστεί και επιφέρει PofA = 10!!!. Υπάρχει λοιπόν λόγος να αγχωνόμαστε για ένα σενάριο (όσο δυσμενές και αν είναι) το οποίο πρακτικά ενδεχομένως και να μην εμφανιστεί ποτέ; Συνεπώς το PofA δεν λέει και πάντα την αλήθεια! Για τους δύο παραπάνω λόγους ορίζουμε και ένα άλλο μέτρο του κόστους που επιφέρει η μη συνεργατική και ιδιοτελής συμπεριφορά. Το μέτρο αυτό ονομάζεται τίμημα της ευστάθειας, PofS, και ισούται με το πηλίκο του κοινωνικού κόστους της βέλτιστης ισορροπίας Nash προς το βέλτιστο δυνατό κοινωνικό κόστος. PofS = βέλτιστη _ ισορροπ ία _ βέλτιστη _ λύση Nash Όπως είναι φυσικό, υπάρχει παρόμοια με το PofA επιχειρηματολογία σχετικά με το πόσο αξιόπιστο είναι το PofS. Το σίγουρο πάντως είναι ότι μπορούμε να έχουμε μία καλύτερη εικόνα αν υπολογίσουμε και τα δύο μέτρα, αν είναι εφικτό να υπολογίσουμε το PofA. 1.4 Παίγνια Συμφόρησης * Ένα παίγνιο συμφόρησης διαδραματίζεται σε ένα (κατευθυνόμενο συνήθως) βεβαρυμένο γράφο G(V,E) όπου V το σύνολο των κορυφών και Ε το σύνολο των ακμών που συνδέουν * στην διεθνή βιβλιογραφία Congestion game, εδώ εισαγάγουμε ανεπίσημα την έννοια και προσπαθούμε να εξηγήσουμε χοντρικά τι είναι. Φορμαλιστικό ορισμό του παίγνιου συμφόρησης δίνουμε στο 2 ο κεφάλαιο της εργασίας 13

14 μία κορυφή με μία άλλη. Ο γράφος θα μπορούσε να αναπαριστά ένα οδικό ή ένα τηλεπικοινωνιακό δίκτυο. Οι παίκτες είναι οι χρήστες του δικτύου που θέλουν να μεταβούνε από μία περιοχή (κόμβος του G) S σε μία περιοχή (κόμβος του G) T ή να κατεβάσουν ένα αρχείο από τον server S (κόμβος του G) στον υπολογιστή τους(κόμβος Τ). Κάθε ακμή e E συνδέεται με μία συνάρτηση ce(n) του αριθμού των παικτών που χρησιμοποιούν την ακμή. Σε ένα δίκτυο τηλεπικοινωνιών μπορεί να αντιπροσωπεύει την καθυστέρηση που βιώνει ένας χρήστης αν το κανάλι χρησιμοποιείται από n χρήστες. Αποκλειστικός σκοπός του κάθε παίκτη είναι να βρει το συντομότερο, αναφορικά με τις ce(n) συναρτήσεις, S T μονοπάτι έτσι ώστε να δρομολογήσει μέσω αυτού την κίνησή του. Συνεπώς αντικειμενική συνάρτηση για κάθε παίκτη είναι η καθυστέρηση που βιώνει χρησιμοποιώντας ένα s t μονοπάτι. Η καθυστέρηση αυτή ισούται με το άθροισμα των καθυστερήσεων που βιώνει ο παίκτης σε κάθε ακμή που ανήκει στο μονοπάτι που επιλέγει. Τα διαφορετικά s t μονοπάτια που υπάρχουν αποτελούν το σύνολο των στρατηγικών που διαθέτει ο κάθε παίκτης. Συνεπώς ο κάθε παίκτης επιλέγει εκείνη την στρατηγική που ελαχιστοποιεί την αντικειμενική του συνάρτηση. Επειδή προκειμένου να φτάσει ο χρήστης από το S στο T χρησιμοποιεί ένα πεπερασμένο πλήθος ακμών, το σύνολο Ε συχνά αναφέρεται ως σύνολο πόρων. Άρα οι παίκτες προσπελαύνουν εκείνους τους πόρους για τους οποίους πληρώνουν το μικρότερο δυνατό κόστος. Το δίκτυο όμως με την σειρά του από όλη αυτή τη δοσοληψία υποφέρει από μία συμφόρηση. Προκειμένου να βγάλουμε συμπεράσματα για το πόση «κίνηση» υπάρχει στο δίκτυο ορίζουμε ως κοινωνικό κόστος το άθροισμα όλων των καθυστερήσεων που βιώνει ο κάθε παίκτης, ή πιο απλά το άθροισμα Σe E (nce(n)). Διακρίνουμε 2 μεγάλες κατηγορίες παιχνιδιών συμφόρησης, το ατομικό και το μη ατομικό. Στο μη ατομικό παίγνιο συμφόρησης θεωρούμε ότι οι παίκτες είναι πάρα πολλοί και ο καθένας ελέγχει ένα απειροελάχιστο κομμάτι της όλης κίνησης του δικτύου. Το όνομα μη ατομικό προέρχεται από το γεγονός ότι σε αυτήν την κλάση ο κάθε μεμονωμένος παίκτης δεν μπορεί να επηρεάσει από μόνος του το δίκτυο. Για παράδειγμα σκεφτείτε την συμφόρηση που προκαλεί ένα και μόνο αμάξι στην εθνική οδό Αθηνών Κορίνθου. Αντιθέτως στο ατομικό παίγνιο συμφόρησης ο κάθε παίκτης ελέγχει ένα μη αμελητέο, διακριτό και μη κατακερματιζόμενο κομμάτι της κίνησης του όλου δικτύου. Οπότε ένας μεμονωμένος παίκτης μπορεί να ασκήσει επιρροή, έστω και ελάχιστη, στην συμφόρηση του δικτύου. Σε ένα τυπικό παίγνιο συμφόρησης διαφορετικοί χρήστες έχουν διαφορετικές αφετηρίες και προορισμούς. Αν συμβαίνει αυτό τότε λέμε ότι το παίγνιο είναι μη συμμετρικό (multi 14

15 commodity). Αν όλοι έχουν την ίδια αφετηρία και τον ίδιο προορισμό τότε το παίγνιο ονομάζεται συμμετρικό (single commodity). Επίσης σε ένα τυπικό παίγνιο συμφόρησης είναι εύλογο να υποθέσουμε ότι διαφορετικοί χρήστες έχουν διαφορετικό όγκο κίνησης να δρομολογήσουν. Για παράδειγμα ένα e mail με ένα κατόπιν αιτήσεως σύγχρονο βίντεο διαφέρουν πάρα πολύ όσον αφορά την συμφόρηση που προκαλείται. Αν συμβαίνει αυτό τότε λέμε ότι το παίγνιο είναι βεβαρημένο * (weighted). Ακολουθούν δύο πολύ απλά και κλασικά παίγνια συμφόρησης τα οποία παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον Το παράδειγμα του Pigou Έστω το παραπάνω γράφημα το οποίο αποτελείται από δύο κόμβους, s και t, και δύο παράλληλες ακμές από το s στο t. H πάνω ακμή έχει σταθερό κόστος 100 ανεξάρτητο από τους παίκτες που την χρησιμοποιούν. Η κάτω ακμή έχει, για τον κάθε παίκτη που την χρησιμοποιεί, κόστος n, όπου n ο αριθμός των παικτών που την περιδιαβαίνουν. Σε αυτό το γράφημα εκτυλίσσεται ένα παίγνιο συμφό ρησης με 100 παίκτες με το ίδιο βάρος (ελέγχουν το ίδιο ποσό κίνησης) όπου όλοι θέλουν να μετακινηθούν από το s στο t. Κατά την βέλτιστη εκδοχή για το δίκτυο οι μισοί παίκτες χρησιμοποιούν την πάνω ακμή και οι άλλοι μισοί την κάτω. Η συγκεκριμένοι λύση επιφέρει συνολική συμφόρηση (κοινωνικό κόστος) 50* *50 = Όμως η συγκεκριμένη λύση δεν αποτελεί ισορροπία Nash. Αυτό διότι ένας από τους παίκτες που χρησιμοποιούν την πάνω ακμή παρατηρεί ότι αν επιλέξει την κάτω ακμή θα μειώσει την αντικειμενική του συνάρτηση, από 100 που πληρώνει τώρα θα πληρώσει 51. * είναι προφανές ότι ένα μη ατομικό παιχνίδι δεν μπορεί ποτέ να είναι βεβαρημένο διότι μερικές φορές το τίποτα (φόρτος του παίκτη) κάνει επίσης τίποτα. 15

16 Στην συνέχεια ένας ακόμα παίκτης από τους 49 που απομένουν στην πάνω ακμή θα αλλάξει την στρατηγική του για να πληρώσει 52 έναντι 100 που πληρώνει αν δεν την αλλάξει. Όλοι οι υπόλοιποι με εξαίρεση έναν ακολουθούν την ίδια στρατηγική διότι έτσι μειώνουν την αντικειμενική τους συνάρτηση. Ο τελευταίος παίκτης που απομένει αν μείνει στην πάνω ακμή θα πληρώσει 100, αν ακολουθήσει την κάτω μιας και θα είναι ο 100 ος θα πληρώσει πάλι 100. Άρα ότι και να κάνει έχει το ίδιο κόστος και το σύστημα θα βρίσκεται σε ισορροπία Nash. Αν ακολουθήσει την πάνω ακμή θα προκύψει η βέλτιστη ισορροπία Nash με κοινωνικό κόστος *99 = 9901, ενώ άμα ακολουθήσει την κάτω ακμή θα προκύψει η χείριστη ισορροπία Nash με κοινωνικό κόστος 0* *100 = Συνεπώς για το ατομικό παράδειγμα του Pigou με 100 χρήστες έχουμε: PofS = 1,32 PofA = 1, = 4/3 To παράδειγμα του Pigou μεταξύ των άλλων παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, διότι ορίζει το άνω φράγμα του κόστους της αναρχίας για μη ατομικά παίγνια συμφόρησης με γραμμικές συναρτήσεις κόστους στις ακμές, το οποίο είναι 4/3. Το αντίστοιχο άνω φράγμα για το ατομικό παίγνιο συμφόρησης όπου οι συναρτήσεις κόστους των ακμών είναι γραμμικές είναι ( 3 + 5) 2 2, Το παράδοξο του Braess Έστω ένα κράτος το οποίο μεταξύ των άλλων έχει τις πόλεις s, t, a, b. Παρακάτω παραθέτουμε το τμήμα του οδικού δικτύου το οποίο καθιστά την πόλη t προσπελάσιμη από την πόλη s. Έστω ότι καθημερινά κινούνται ακριβώς 100 πολίτες από την πόλη s στην πόλη t και όλοι οι πολίτες διαθέτουν αμάξι της ίδιας κατηγορίας(προκαλούν την ίδια συμφόρηση). Όπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα (1.4) ο κάθε παίκτης έχει δύο επιλογές: είτε να επιλέξει το μονοπάτι P1 είτε το P2. Στην βέλτιστη εκδοχή οι παίκτες μοιράζονται στα δύο μονοπάτια. Η συγκεκριμένη λύση αποτελεί και την μοναδική ισορροπία Nash διότι κανείς παίκτης δεν ωφελείται αν επιλέξει διαφορετική διαδρομή. Ο κάθε παίκτης βιώνει κόστος 150 και το δίκτυο βιώνει κόστος 2 * (50* *100) = Έστω τώρα ότι η κυβέρνηση αυτού του κράτους αποφασίζει, προκειμένου να ανακουφίσει τους πολίτες τις αλλά και το δίκτυο από την συμφόρηση που βιώνουν, να κατασκευάσει έναν δρόμο από την πόλη α στην πόλη β. Επιπλέον ο δρόμος που κατασκευάζεται είναι αρκετά φαρδύς χρησιμοποιώντας την τελευταία λέξη της τεχνολογίας στην οδοποιία, έτσι 16

17 ώστε ανεξάρτητα από το πόσοι τον χρησιμοποιούν αυτός να επιφέρει μηδενική καθυστέρηση. Έτσι παίρνουμε το παρακάτω γράφημα όπου ο κάθε χρήστης πλέον έχει 3 υποψήφιες διαδρομές. Πόσο όμως βελτιώνεται η συμφόρηση; Αν κάποιος παίκτης ακολουθήσει το μονοπάτι P1 η το P2 θα πληρώσει κόστος n, ενώ αν ακολουθήσει το μονοπάτι Ρ3 θα πληρώσει n + n. Με δεδομένο ότι n 100 για τους 99 από τους 100 παίκτες το μονοπάτι Ρ3 εγγυημένα ελαχιστοποιεί την αντικειμενική του συνάρτηση. Έτσι λοιπόν 99 παίκτες ακολουθούν την διαδρομή s a b t. Ο 100 ος παίκτης όποια διαδρομή και να επιλέξει από τις τρεις βιώνει την ίδια συμφόρηση. Αν επιλέξει το μονοπάτι Ρ3 προκύπτει η χείριστη ισορροπία Nash κατά την οποία όλοι οι παίκτες πληρώνουν 200, την στιγμή που πλήρωναν 150 πριν το «αναπτυξιακό» έργο. Το κοινωνικό κόστος σε αυτήν την περίπτωση σκαρφαλώνει στο από που ήταν προηγούμενα. Αν ο 100 ος παίκτης επιλέξει το μονοπάτι P1 η το P2 θα προκύψει η βέλτιστη ισορροπία Nash κατά την οποία ο 100 ος παίκτης πληρώνει 200 ενώ όλοι οι υπόλοιποι 199. Το κοινωνικό κόστος είναι Αξίζει να σημειώσουμε ότι η βέλτιστη λύση είναι να αγνοηθεί πλήρως η ύπαρξη της νέας ακμής!!! Δηλαδή οι μισοί στο P1 και οι άλλοι μισοί στο P2 17

18 Κατά συνέπεια ένας καλός δρόμος δεν βελτιώνει κατ ανάγκη την συμφόρηση! Για το παράδοξο του Braess με 100 παίκτες έχουμε : PofS = 1, PofA = 1, = 4/3 Ο τρόπος που παρουσιάσαμε το παράδοξο του Braess είναι εμπνευσμένος από τα πραγματικά γεγονότα που οδήγησαν στην ανακάλυψή του. Την δεκαετία του 60 στην Γερμανία κατασκευάζονταν πάρα πολλοί δρόμοι προκειμένου να εξυπηρετηθούν οι πολίτες της. Παρατηρήθηκε όμως ότι, παραδόξως, όσο αυξάνονταν οι δρόμοι τόσο αυξανόταν η συμφόρηση. Την εξήγηση σε αυτό το ακατανόητο γεγονός την έδοσε ο Γερμανός μαθηματικός Dietrich Braess με το ομώνυμο παράδοξό του. 1.5 Πολιτική Stackelberg Μέχρι στιγμής έχουμε καταγράψει δύο πάρα πολύ σημαντικά στοιχεία για συστήματα όπως τα μεγάλα δίκτυα υπολογιστών σαν το Internet. Α) Ο κεντρικός έλεγχος και δρομολόγηση καθίστανται ολοένα και περισσότερο ανέφικτες και οι χρήστες τείνουν να θέλουν να εκτελέσουν ιδιοτελή μη συνεργατική δρομολόγηση. Β) Αν αφήσουμε τους χρήστες να κάνουν ότι θέλουν δρομολογώντας την κίνησή τους όπως θέλουν, το πιο πιθανό είναι το σύστημα να καταλήξει σε δυσμενή κατάσταση για όλους. Οπότε τι μπορούμε να κάνουμε...; Ας πάρουμε κάποιες ιδέες από τον πραγματικό κόσμο. Στα οδικά δίκτυα κάποιοι ειδικοί χρήστες όπως τα φορτηγά υπόκεινται σε περισσότερους περιορισμούς και μπορεί για αυτούς να επιτευχθεί μιας κάποιας μορφής κεντρικός έλεγχος. Όπως προείπαμε τα φορτηγά δεν μπορούν να κυκλοφορούν στην εθνική οδό πριν την δύση του ηλίου τα Σαββατοκύριακα. Μίας άλλης μορφής κεντρικός έλεγχος μπορούν να θεωρηθούν οι λεωφορειόδρομοι οι οποίοι μειώνουν την συμφόρηση που βιώνουν τα λεωφορεία. Με το ίδιο σκεπτικό μπορούμε να υποθέσουμε ότι στους χρήστες ενός τηλεπικοινωνιακού δικτύου (ή δικτύου υπολογιστών) προσφέρονται δύο ειδών υπηρεσίες, μια φθηνή και μία ακριβή. Οι επιλέγοντες την ακριβή υπηρεσία αφήνονται να δρομολογήσουν το φόρτο τους ελεύθερα όπως εκείνοι καταλαβαίνουν. Οι υπόλοιποι που επιλέγουν την φθηνή υπηρεσία υπόκεινται σε κεντρικό συντονισμό, δηλαδή καθορίζει ο διαχειριστής του δικτύου το δρομολόγιο που θα ακολουθήσουν. Οπότε, δεδομένου ότι μπορούμε να «κουμαντάρουμε» ένα ποσοστό των παικτών, οι οποίοι ονομάζονται συνεργαζόμενοι ή κεντρικά ελεγχόμενοι ή ανιδιοτελείς παίκτες, το βασικό ερώτημα τροποποιείται ως εξής: 18

19 «Πως θα πρέπει να κατανείμουμε τους κεντρικά ελεγχόμενους παίκτες έτσι ώστε το παίγνιο να μεταβεί σε μία καλύτερη ισορροπία Nash μετά την επίδραση όλων των παικτών;» Αν ισχύουν όλες οι υποθέσεις που αναλύσαμε σαν λογικές, τότε η απάντηση στο παραπάνω ερώτημα αποτελεί την μόνη σοβαρή και εφικτή λύση για όλα τα προβλήματά μας, όσον άφορα την συμφόρηση. Μία κατανομή, με κάποια φιλοσοφία ή λογική, των κεντρικά ελεγχόμενων παικτών σε μονοπάτια του γράφου G ονομάζεται πολιτική Stackelberg. Ένας αλγόριθμος ο οποίος υλοποιεί μία πολιτική Stackelberg ονομάζεται αλγόριθμος Stackelberg. Η ιδέα ενός τέτοιου μοντέλου όπου υπάρχει μία διάκριση μεταξύ των παικτών, των δυνατοτήτων τους και της επιρροής τους εισήχθη από τον Γερμανό οικονομολόγο Heinrich Freiherr von Stackelberg ο οποίος στην εργασία του «Market Structure and Equilibrium» που δημοσίευσε το Οι πρώτοι που μίλησαν για δρομολόγηση Stackelberg σε παίγνια συμφόρησης ήταν οι Korilis, Orda και Lazar το Στην παρούσα διπλωματική ασχολούμαστε με πολιτικές Stackelberg σε συμμετρικά, μη βεβαρημένα ατομικά παίγνια συμφόρησης *. Δηλαδή έχουμε διακριτούς παίκτες με διακριτή δυναμική ο καθένας αλλά ακριβώς την ίδια (αφού ελέγχουν τον ίδιο όγκο κίνησης). Επίσης όλοι οι παίκτες θέλουν να δρομολογήσουν κίνηση από μία κοινή αφετηρία s σε ένα κοινό προορισμό t. Για τα γραφήματα στα οποία θα εκτυλίσσονται τα παιχνίδια θα κάνουμε την εύλογη και φυσική υπόθεση ότι ο κόμβος t είναι πάντα προσπελάσιμος από τον s και την όχι και τόσο εύλογη υπόθεση ότι τα γραφήματα δεν περιέχουν κύκλους. Στόχος είναι μέσα από μία πληθώρα πειραμάτων να προσδιορίσουμε πόση βελτιστοποίηση προσφέρουν οι πολιτικές Stackelberg γενικά και ποια πολιτική δείχνει καλύτερη και υπό ποιες συνθήκες. Στα πειράματα θα μελετήσουμε την επίδραση που έχουν διάσημες πολιτικές, καθώς το μέγεθος του γραφήματος αυξομειώνεται, καθώς οι παίκτες αυξομειώνονται, καθώς το ποσοστό των κεντρικά συντονιζόμενων χρηστών αυξομειώνεται και όλα αυτά όταν οι συναρτήσεις καθυστέρησης στις ακμές είναι γραμμικές (μέτρια αύξηση), πολυωνυμικές (γρήγορη αύξηση), όταν είναι λογαριθμικές ή ριζικές (αργή αύξηση) και τέλος όταν είναι συνδυασμός των παραπάνω. * για ένα τυχαίο βεβαρημένο ατομικό παίγνιο συμφόρησης δεν είναι εγγυημένο ότι υπάρχει αμιγής ισορροπία Nash η υπόθεση αυτή δεν είναι τόσο περιοριστική όσο ενδεχομένως να ακούγεται διότι ένας παίκτης ο οποίος δρα στρατηγικά ποτέ δεν θα επιλέξει να κάνει κύκλους για να φτάσει στον προορισμό, με δεδομένο φυσικά ότι υπό το συγκεκριμένο πρίσμα δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν αρνητικά κόστη στις ακμές. 19

20 1.6 Περιήγηση Η παρούσα εργασία αποτελεί μία μελέτη των αλγορίθμων Stackelberg σε ατομικά, συμμετρικά, μη βεβαρημένα παίγνια συμφόρησης. Οι αλγόριθμοι που μελετάμε είναι 6 (LLF, Scale, Path Cover, Arc Cover, Combined Cover LLF, Combined Cover Scale). Το περιεχόμενο της εργασίας μας οργανώνεται ως εξής. Στο δεύτερο κεφάλαιο, στην παράγραφο 2.2 εισάγουμε το μοντέλο το οποίο χρησιμοποιούμε και περιγράφει ένα τέτοιο παιχνίδι. Στην συνέχεια ορίζουμε την ισορροπία Nash( 2.3.1) και αποδεικνύουμε και εξηγούμε γιατί στα παιχνίδια που επικεντρώνουμε υπάρχει πάντα, και ενδέχεται να είναι περισσότερες από μία( 2.3.2). Στην παράγραφο ορίζουμε την βέλτιστη λύση ως προς το κοινωνικό κόστος ως ελαχιστοποιητή του συνολικού ατομικού κόστους των παικτών. Ακολουθεί η παράγραφος στην οποία αποδεικνύουμε μία πάρα πολλή σημαντική ισοδυναμία μεταξύ βέλτιστων λύσεων και ισορροπιών Nash. Στην παράγραφο 2.4 παραθέτουμε συνοπτικά την φιλοσοφία της κάθε πολιτικής Stackelberg που θα μελετήσουμε καθώς και ένα παράδειγμα για την επαγόμενη ισορροπία στο παράδοξο του Braess για 100 παίκτες όταν ο αλγόριθμος ελέγχει το 25% Στο τρίτο κεφάλαιο παραθέτουμε και αιτιολογούμε τους σκοπούς μας και το πλαίσιο της εργασίας μας. Εξηγούμε γιατί εστιάζουμε στην μελέτη του PofS και παραθέτουμε ένα ενδιαφέρον και απλό παράδειγμα με γραμμικές συναρτήσεις καθυστέρησης στις ακμές για το οποίο ορισμένες πολιτικές χειροτερεύουν το PofS αντί να το βελτιώνουν! Στο κεφάλαιο 4 αναλύουμε τις απαραίτητες και επιθυμητές απαιτήσεις για ένα περιβάλλον λογισμικού με το οποίο θα είναι δυνατό να υλοποιήσουμε τους στόχους και τις προσδοκίες που θέσαμε στο 3 ο κεφάλαιο. Στο κεφάλαιο 5 περιγράφουμε το πώς εμείς κατασκευάσαμε το λογισμικό, σύμφωνα πάντα με τις προδιαγραφές του 4 ου κεφαλαίου, με το οποίο κάναμε τα πειράματα. Αρχικά περιγράφουμε πολύ συνοπτικά τη βιβλιοθήκη boost/graph την οποία την αντλήσαμε από το Ίντερνετ και η οποία παρέχει στον προγραμματιστή έτοιμες μεθόδους αναπαράστασης και επεξεργασίας γραφημάτων ( 5.1). Ακολουθεί η περιγραφή ενός τμήματος της εφαρμογής το οποία παράγει τυχαία στιγμιότυπα ( 5.2). Στην ενότητα 5.3 περιγράφουμε την υλοποίηση του αλγορίθμου SSP προκειμένου αυτός να υπολογίζει την βέλτιστη ισορροπία Nash και την βέλτιστη λύση. Στην ενότητα 5.4 δείχνουμε πώς αποθηκεύουμε τις στρατηγικές που ακολουθούν οι παίκτες και τον αλγόριθμο flow decomposition με την βοήθεια του οποίου εξάγουμε τις στρατηγικές των παικτών με δεδομένο πόσοι παίκτες χρησιμοποιούν την κάθε ακμή. Τέλος περιγράφουμε αναλυτικά την υλοποίηση του κάθε αλγορίθμου Stackelberg. Στο 6 ο κεφάλαιο παραθέτουμε αναλυτικά αποτελέσματα για επιλεγμένα πειράματα και βάσει αυτών συγκρίνουμε τους αλγορίθμους και εξάγουμε συμπεράσματα για αυτούς, το 20

21 οποίο αποτελεί και την αντικειμενικό σκοπό της εργασίας μας. Όλα τα πειράματα εκτελούνται για την περίπτωση γραμμικών, πολυωνυμικών(τριώνυμο), λογαριθμικών και μείγματος συναρτήσεων καθυστέρησης. Στην παράγραφο 6.1 μελετάμε την επίδραση του ποσοστού των συντονισμένων χρηστών. Στην συνέχεια ( 6.2) εξετάζουμε την επιρροή που έχει το μέγεθος των χρηστών στην απόδοση των αλγορίθμων. Ακολουθούν πειράματα που εξετάζουν την επίπτωση της αύξησης του μεγέθους του γράφου( 6.3). Στο 7 ο κεφάλαιο κλείνουμε την εργασία αναφέροντας συνοπτικά τα συμπεράσματα στα οποία καταλήγουμε μετά από την εκτέλεση των πειραμάτων που περιγράφονται στο 6 ο κεφάλαιο. Η βιβλιογραφία καθώς και ενδιαφέροντα άρθρα εκτίθενται στο παράρτημα Α. 21

22 Κεφάλαιο 2 Μοντέλο & Φορμαλισμοί 2.1 Ορισμός Παιγνίου στην στρατηγική μορφή του r ( r r u σ ), * αποτελεί τον ορισμό ενός παιγνίου όπου Ν είναι οι παίκτες, S r = i i i (S1, S2,, SN) ένα διάνυσμα του οποίου κάθε συντεταγμένη Si = { σ1, σ 2, K, σ μ } είναι το i σύνολο των στρατηγικών που είναι διαθέσιμες στον παίκτη i. Το σύμβολο σ ξ αντιπροσωπεύει το γεγονός ότι ο παίκτης i επιλέγει την ξ οστή στρατηγική. Ορίζουμε ως φάση, διαμόρφωση ή γύρο του παιχνιδιού το διάνυσμα r 1 2 Ν σ = ( σ α, σ β,..., σ ω ), όπου αντιπροσωπεύει την στρατηγική που ακολουθεί (επιλέγει) ο κάθε παίκτης σε ένα γύρο του παιχνιδιού. r r r r r Η διανυσματική συνάρτηση u ( σ ) = ( u1( σ ), u2( σ ), K, u Ν ( σ ) ) του ορισμού ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση (utility function). Κάθε συντεταγμένη u (σ r j ) της αντικειμενικής συνάρτησης, είναι και αυτή μία συνάρτηση του γύρου r σ ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση του παίκτη j και αντιπροσωπεύει το κόστος ή το κέρδος(payoff) που έχει ο παίκτης j από τον γύρο r r σ του παιχνιδιού, δηλαδή όταν όλοι παίξουν όπως υπαγορεύει το σ. Όπως αναφέραμε και στο 1 ο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας, οι παίκτες θέλουν να Η τριάδα Γ = N S, ( ) βελτιώσουν το προσωπικό τους συμφέρον και μόνο. Για να το πετύχουν αυτό δρουν αυτόνομα, ιδιοτελώς και δεν συνεργάζονται. Συνεπώς η αντικειμενική συνάρτηση είναι η κινητήριος δύναμη σε ένα παίγνιο σαν αυτά που μελετάμε. Τα αποτελέσματα αυτής, υπαγορεύουν σε κάθε παίκτη ποια στρατηγική τον συμφέρει να ακολουθήσει. Αν οι παίκτες προσπαθούν να ελαχιστοποιήσουν την αντικειμενική τους συνάρτηση τότε αυτή καλείται και συνάρτηση κόστους, ενώ αν προσπαθούν να την αυξήσουν τότε αυτή καλείται και συνάρτηση κέρδους. Αν όλοι οι παίκτες έχουν ίδια σύνολα στρατηγικών επιλογών, Si = Sj i,j {1,2,,N} τότε το παίγνιο λέγεται συμμετρικό. * Ένα διάνυσμα S επίσης συμβολίζεται και ως S, S, S ~ και αν έχει ν συντεταγμένες ως (S i ) i ν στην διεθνή βιβλιογραφία configuration 22

23 2.2 Ορισμός Παιγνίου Συμφόρησης. Δοθέντος ενός (κατευθυνόμενου συνήθως) γραφήματος G(V,E) * ορίζουμε ως ατομικό r r παίγνιο συμφόρησης την τετράδα ( Ν, Ε, S, d r o f ( r σ )), όπου Ν είναι το πλήθος των παικτών και Ε το σύνολο των ακμών το οποίο συνήθως καλείται και σύνολο πόρων. Αξίζει να σημειωθεί ότι για N + το παίγνιο γίνεται μη ατομικό. Κάθε παίκτης i θέλει να κινηθεί ή να δρομολογήσει ένα φορτίο από μία κορυφή του γράφου si σε μία άλλη κορυφή ti Οι συντεταγμένες του S r είναι τα σύνολα στρατηγικών για i i i E i κάθε παίκτη. Ισχύει ότι Si = { σ1, σ 2, K, σ μ} 2. Επίσης κάθε σ λ είναι ένα υπαρκτό si ti μονοπάτι. Συγκεκριμένα το Si αποτελείται από όλα τα si ti μονοπάτια. Ορίζουμε ως φάση, διαμόρφωση, γύρο, δρομολόγηση ή λύση του παιχνιδιού το διάνυσμα r 1 2 Ν σ = ( σ α, σ β,..., σ ω ), όπου αντιπροσωπεύει την στρατηγική (μονοπάτι) που ακολουθεί (επιλέγει) ο κάθε παίκτης σε ένα γύρο του παιχνιδιού. Αν όλοι οι παίκτες έχουν την ίδια αφετηρία και τον ίδιο προορισμό, τότε το παίγνιο ονομάζεται συμμετρικό και, όπως είναι προφανές, όλοι έχουν το ίδιο πεδίο στρατηγικών. Σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε να αντικαταστήσουμε το διάνυσμα S r E με το κοινό σύνολο S = { σ1, σ 2, K, σ μ} 2 και να ορίσουμε το συμμετρικό r παίγνιο συμφόρησης ως ( Ν, Ε, S, d r o f ( r σ )). Σε αυτήν την περίπτωση το διάνυσμα r δρομολόγησης θα είναι σ = σ, σ,..., σ ). ( α β ω Δεδομένης μία μονάδας μέτρησης του φορτίου (ή όγκου) που κάθε παίκτης θέλει να r r r r δρομολογήσει, τότε η συνάρτηση f ( σ ) = ( f1( σ ),..., f m ( σ )) αντιστοιχίζει σε κάθε ακμή το φορτίο που θα περάσει από αυτήν δεδομένης μίας δρομολόγησης r σ. Αν το παίγνιο είναι μη βεβαρημένο, τότε η μονάδα μέτρησης φόρτου δεν είναι αναγκαία και αν δεν έχει οριστεί κάποια τέτοια, τότε για κάθε ακμή e, f ( r e σ ) είναι το πλήθος των παικτών που χρησιμοποιούν τον πόρο e. Στο εξής ως f ( r e σ ) ή f e ή n e θα συμβολίζουμε τον αριθμό των παικτών που χρησιμοποιούν την ακμή e. Η ποσότητα f e αποτελεί την συμφόρηση της ακμής e. r r r r d r = f 1 1 m m, είναι η συνάρτηση καθυστέρησης των Η συνάρτηση d o f ( σ ) ( d ( f ( σ )),..., ( ( σ ))) ακμών. Δηλαδή για κάθε ακμή e, de(n),όπου n οι παίκτες που διέρχονται από την e, είναι το κόστος καθυστέρηση που βιώνει ο κάθε ένας από τους παίκτες που χρησιμοποιούν την ακμή για να την διασχίσουν. ακμή e είναι d e :{0,1,2,..., N} R+ μη φθίνουσα, μη * όπου V είναι το σύνολο των κορυφών και Ε το σύνολο των ακμών ή το φορτίο που διέρχεται από την e στην περίπτωση βεβαρημένου παιχνιδιού. 23

24 αρνητική συνάρτηση * Επίσης οι συναρτήσεις de αν και είναι διακριτές (λόγω ασυνέχειας του πεδίου ορισμού των) ωστόσο θα είναι πάντα τέτοιες έτσι ώστε να ήταν συνεχείς αν ορίζονταν στο [0,Ν]. Σε ένα παίγνιο συμφόρησης κάθε παίκτης προσπαθεί να βρει το συντομότερο μονοπάτι, δηλαδή αυτό για το οποίο βιώνει την ελάχιστη δυνατή καθυστέρηση, δεδομένων των μονοπατιών που έχουν επιλέξει οι υπόλοιποι χρήστες. Δηλαδή προσπαθούν να επιλέξουν εκείνη την στρατηγική (μονοπάτι) που ελαχιστοποιεί την ποσότητα r r r d f ( σ ) l σ ; d, σ. Η συνάρτηση li, η οποία υπολογίζει το ατομικό κόστος, είναι η e σ λ ( ) ( ) e e = i λ αντικειμενική συνάρτηση του παίκτη i και σ λ είναι η στρατηγική που ακολουθεί ο παίκτης. Την συνάρτηση li θα την ονομάζουμε συνάρτηση ατομικού κόστους του παίκτη i. Η κίνηση των παικτών εντός του δικτύου επιφέρει καθυστέρηση στο ίδιο το δίκτυο. Ορίζουμε ως κόστος ακμής (διαφορετικό από την συνάρτηση κόστους) ή συνολική καθυστέρηση όλων των χρηστών που χρησιμοποιούν την ακμή, το γινόμενο των παικτών που κινούνται στο δίκτυο με το κόστος που πληρώνει ο κάθε παίκτης, δηλαδή e E είναι r r r n fe ( ) Ce = fe( ) de( fe( )) Ce nede ( ne ) e = σ σ σ = Με όμοιο τρόπο ορίζουμε το κόστος όλου του δικτύου, ή αλλιώς το κοινωνικό κόστος, ως εξής: r r r r C Γ; σ C σ C = C = f σ d f σ = n d ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) e E e e E e e e e E e e n e Σε όλη την υπόλοιπη έκταση της εργασίας τα παίγνια συμφόρησης θα θεωρούνται ότι είναι συμμετρικά και μη βεβαρυμένα εκτός και αν ρητώς δηλώνεται το αντίθετο. 2.3 Ισορροπίες Nash και βέλτιστες δρομολογήσεις Για ένα δοθέν διάνυσμα x r r = ( x1, K, x n ) ορίζουμε ως x ( ) i x i = x1,..., xi 1, xi+ 1,..., xn ( x x ) = ( x,..., x, x, x,..., x ) i, i 1 i 1 i i+ 1 n και ως Αμιγείς Ισορροπίες Nash Όπως αναφέραμε και στο πρώτο κεφάλαιο μία δρομολόγηση r σ θα είναι σε ισορροπία Nash ανν κανείς παίκτης δεν μπορεί να επωφεληθεί αν μεμονωμένα αλλάξει την στρατηγική του. Δηλαδή δοθείσας της λύσης r σ δεν μπορεί να βρεθεί συντομότερο * η συγκεκριμένη υπόθεση είναι πάρα πολύ σημαντική, πάνω σε αυτήν στηρίζονται σχεδόν όλοι οι αλγόριθμοι και όλη η θεωρία και η συμπεριφορά του παιγνίου. Ωστόσο αυτός ο περιορισμός δεν πρέπει να φαντάζει καθόλου περιοριστικός. Τα πραγματικά προβλήματα, η μελέτη των οποίων μας οδήγησε στο να ορίσουμε τα παίγνια συμφόρησης ικανοποιούν και με το παραπάνω τον εν λόγω περιορισμό. Φαντασθείτε πόσο ρεαλιστικός είναι ένας δρόμος που όταν τον πάρει κανείς γυρίζει τον χρόνο πίσω!!! 24

25 μονοπάτι για έναν παίκτη i την στιγμή που υπόλοιποι παραμένουν αμετακίνητοι στις στρατηγικές τους. Φορμαλιστικά, έχουμε, ότι η λύση r σ είναι σε ισορροπία Nash αν και μόνο αν παίκτη i που επιλέγει το μονοπάτι σi S στο r σ, στρατηγική si S ισχύει r r r l σ d, σ l s ; d, σ, s, όπου li η συνάρτηση ατομικού κόστους του παίκτη i. i ( ) ( ( )) i ; i i i i Ύπαρξη και ποικιλότητα ισορροπιών Nash Προκειμένου να μελετήσουμε την ύπαρξη και την ποικιλότητα ισορροπιών Nash θα προσπαθήσουμε να κατασκευάσουμε μία συνάρτηση Φ της λύσης σ r, της οποίας τα τοπικά ελάχιστα θα βρίσκονται σε αντιστοιχία με τις ισορροπίες Nash του παιγνίου. To 1956 οι Beckman et al. και το 1969 οι Dafermos και Sparrow, ανεξάρτητα οι μεν από τους δε, εισήγαγαν μία συνάρτηση που πληρεί την παραπάνω ιδιότητα, την οποία την r r fe ( σ ) ονόμασαν συνάρτηση δυναμικού και ισούται με Φ( σ ) = d ( x)dx. Απαραίτητη e E 0 προϋπόθεση για να υπάρχει η συνάρτηση δυναμικού σε ένα μη ατομικό παίγνιο, είναι οι συναρτήσεις καθυστέρησης των ακμών να είναι συνεχείς, αύξουσες και θετικές. Δηλαδή η Φ υποθέτει ότι οι συναρτήσεις de δεν είναι διακριτές αλλά συνεχείς (απαραίτητη προϋπόθεση για να είναι ολοκληρώσιμες) στο [0,Ν], οπότε το παίγνιο γίνεται μη ατομικό. Η συνάρτηση Φ, έχει την ιδιότητα να μεταβάλλεται ακριβώς όσο μεταβάλλεται το ατομικό κόστος κάθε παίκτη όταν αυτός αλλάζει την στρατηγική του. Εφόσον ο κάθε παίκτης προσπαθεί να ελαχιστοποιήσει το ατομικό κόστος του και αφού η οποιαδήποτε αλλαγή σε αυτό αντικατροπτίζεται στην Φ, τότε αυτή θα βρίσκεται σε ένα ελάχιστο όταν κανείς παίκτης δεν θα μπορεί μεμονωμένα να αλλάξει την στρατηγική του. Συνεπώς για ένα παιχνίδι το οποίο επιδέχεται συνάρτησης δυναμικού υπάρχει πάντα τουλάχιστον μία αμιγής ισορροπία Nash. O Rougharden το 2002 απέδειξε με χρήση της συνάρτησης δυναμικού ότι σε ένα μη ατομικό παίγνιο συμφόρησης υπάρχει πάντα ισορροπία Nash (αμιγών στρατηγικών) και αυτή είναι ουσιωδώς μοναδική! Εφόσον οι συναρτήσεις των ακμών είναι αύξουσες, τότε οι συναρτήσεις d e ( x)dx θα είναι κυρτές, οπότε και η Φ θα είναι κυρτή. Ως τέτοια θα έχει ένα και μοναδικό ελάχιστο, το οποίο θα είναι ολικό. Με το ουσιωδώς μοναδική ισορροπία εννοούμε ότι, αν και οι λύσεις r σ που ελαχιστοποιούν την Φ μπορεί να είναι περισσότερες από μία, εφόσον θα δίνουν την ίδια τιμή στην Φ τότε θα έχουν το ίδιο κοινωνικό κόστος. Επειδή εμείς μελετάμε την επίδραση στο κοινωνικό κόστος, δύο ή περισσότερες τέτοιες λύσεις μπορούν να θεωρηθούν απόλυτα ισοδύναμες! e 25

26 e Το 1973 εισήχθη από τον Rosenthal η διακριτή συνάρτηση δυναμικού Φ( σ ) = d ( i) r f r ( σ ) e E i= 1 διακριτή συνάρτηση δυναμικού έχει την ίδια λειτουργικότητα με την συνεχή. Σε αντίθεση με τα μη ατομικά παίγνια η υπόθεση για αύξουσες συναρτήσεις καθυστέρησης δεν είναι απαραίτητη προκειμένου ένα ατομικό παιχνίδι να επιδέχεται συνάρτησης δυναμικού. Εφόσον ο αριθμός των παικτών είναι πεπερασμένος και εφόσον τα s t μονοπάτια (δηλαδή οι διαθέσιμες στρατηγικές) είναι και αυτά πεπερασμένα, τότε συνεπάγεται ότι και οι δρομολογήσεις (λύσεις) θα είναι και αυτές πεπερασμένες. Μία από αυτές τις πεπερασμένες λύσεις θα είναι ολικό ελάχιστο της συνάρτησης δυναμικού Φ, οπότε η ύπαρξη έστω και μίας ισορροπίας Nash είναι εγγυημένη. Μία τέτοια συνάρτηση Φ επιδέχεται κάθε ατομικό μη βεβαρυμένο παίγνιο συμφόρησης και καθε βεβαρυμένο παίγνιο με γραμμικές συναρτήσεις καθυστέρησης. Η διακριτή συνάρτηση Φ, όπως και η συνεχής, έχει την ιδιότητα να μεταβάλλεται ακριβώς όσο μεταβάλλεται το ατομικό κόστος κάθε παίκτη, όταν αυτός αλλάζει την στρατηγική r r r r του. Φορμαλιστικά έχουμε ότι l i ( σ i ; d, σ ) li ( si ; d, ( σ i, si )) = Φ( σ ) Φ( ( σ i, si )),όταν ο παίκτης i αλλάζει την στρατηγική του από σι σε s i. Η απόδειξη αυτής της ιδιότητας ξεφεύγει από το πλαίσιο και τους στόχους της παρούσας εργασίας, ωστόσο μπορούμε να την δούμε στην πράξη μέσω ενός παραδείγματος. Έστω το παίγνιο συμφώρησης με 3 παίκτες το οποίο διαδραματίζεται στο γράφημα του σχήματος δίπλα. Όπως φαίνεται υπάρχουν τρεις διαθέσιμες στρατηγικές. Έστω ότι αρχικά ο πρώτος παίκτης ακολουθεί την στρατηγική σ 1 ενώ οι άλλοι δύο την στρατηγικήσ 3. Δηλαδή έχουμε την δρομολόγηση r σ Α = ( σ1, σ 3, σ 3 ). Για την συνάρτηση δυναμικού θα έχουμε 2,5 από το πρώτο μονοπάτι και (2+3)+(2+5)+(1+2) από το τρίτο μονοπάτι, δηλαδή Φ( r σ Α ) = Το ατομικό κόστος του τρίτου παίκτη θα είναι r r l 3 ( σ 3 ; d, σ Α ) = 10. Έστω τώρα ότι ο τρίτος παίκτης αποφασίζει να αλλάξει την στρατηγική r του και να ακολουθήσει το μονοπάτι σ 2. Η νέα δρομολόγηση θα είναι σ Β = ( σ1, σ 3, σ 2 ) με την συνάρτηση δυναμικού να γίνεται Φ( r σ ) = 12 και το ατομικό κόστος του παίκτη να Β e * Η * Μία από τις πολλές ερμηνείες ενός ολοκληρώματος σε ένα διάστημα (α,β) είναι το άθροισμα όλων των αριθμών μεταξύ α και β οι οποίοι είναι άπειροι. Στον διακριτό κόσμο αυτό ισοδυναμεί με ένα απλό άθροισμα των όρων ανάμεσα στα α και β Ωστόσο η προϋπόθεση για αύξουσες d e είναι απαραίτητη προκειμένου να έχουμε υπολογισμό της ισορροπίας Nash που ελαχιστοποιεί την συνάρτηση δυναμικού σε πολυωνυμικό χρόνο. 26

27 r r l 3 σ 2 d σ Β =. Εύκολα μπορεί κανείς κανείς να επαληθεύσει ότι η αλλαγή στο ατομικό κόστος του παίκτη ισοδυναμεί με την αλλαγή στην συνάρτηση δυναμικού. γίνεται ( ;, ) 4. 5 Ένα ατομικό παίγνιο, όπως φαίνεται και από τα σχήματα 1.3 και 1.6, ενδέχεται να έχει πολλές, ουσιωδώς διαφορετικές, ισορροπίες Nash. Αυτό συμβαίνει διότι η συνάρτηση f ( r e σ ) d i e δεν είναι κατ ανάγκη κυρτή όπως συμβαίνει στην περίπτωση της ολοκλήρωσης. i= 1 () Έτσι η συνάρτηση Φ ενδέχεται να είναι μη κυρτή και ως τέτοια μπορεί να έχει πολλά ελάχιστα. Ένα από αυτά όμως (το μικρότερο) θα είναι και ολικό ελάχιστο. Όλα τα ελάχιστα αντιστοιχούν σε ισορροπίες Nash, η βέλτιστη ισορροπία Nash είναι το ολικό ελάχιστο της Φ Βέλτιστη λύση Μία λύση ή δρομολόγηση είναι η βέλτιστη όταν το παιχνίδι βιώνει το ελάχιστο δυνατό κοινωνικό κόστος C. Φορμαλιστικά, μία λύση r N σ i = 1S είναι βέλτιστη αν ικανοποιείται η r r r συνθήκη min r { fe ( σ ) de( fe( σ ))} = min{ r C} σ βέλτιστη δρομολόγηση. σ e E σ Όπως είπαμε και στην παράγραφο 2.2 ο κάθε παίκτης προσπαθεί να ελαχιστοποιήσει το κοινωνικό κόστος του li. Δηλαδή επιλέγει εκείνη την στρατηγική σ λ για την οποία ισχύει r r r min{ l σ ; d, σ } = min{ d f ( σ ). Αν αθροίσουμε αυτή την σχέση για όλους τους σ λ i ( ) ( )} λ σ λ e e σ λ e r ( )} παίκτες παίρνουμε min{ l ( σ ; d, σ )} = min{ d ( f ( σ ))} = min{ f ( σ ) d f ( σ ) r σ N i i= 1 λ r r r σ N i= 1 e σ το οποίο σημαίνει ότι η βέλτιστη λύση σ r ελαχιστοποιεί το συνολικό ατομικό κόστος. Κατα συνέπεια οι παίκτες κατά μέσο όρο βιώνουν την ελάχιστη δυνατή καθυστέρηση αν και μόνο αν ακολουθήσουν την βέλτιστη δρομολόγηση Συσχέτιση ισορροπιών Nash και βέλτιστων λύσεων Ας ξεχάσουμε για λίγο ότι οι συναρτήσεις κόστους των ακμών (de) είναι διακριτές. Ας υποθέσουμε ότι ορίζονται σε όλο το διάστημα [0,Ν],δηλαδή είναι συνεχείς και συνεπώς διαφορίσμες στο [0,Ν] *. Η συνεισφορά μίας ακμής στο κοινωνικό κόστος θα είναι xde(x), όπου x το κλάσμα του [0,Ν] που διέρχεται από την ακμή e. Υποθέτουμε ακόμη ότι οι xde(x) θα είναι κυρτές. Η παράγωγος της παραπάνω ποσότητας (xede(xe)) θα είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνεισφοράς στο κοινωνικό κόστος συναρτήσει της ροής xe της ακμής. Αν αντικαταστήσουμε σε κάθε ακμή e Ε την συνάρτηση κόστους de(x) με την συνάρτηση i e e r r σ e E e r e e * Με αυτήν την υπόθεση το παίγνιο μετατρέπεται σε μη ατομικό, με συνολικό προς δρομολόγηση φορτίο Ν και με την κάθε ακμή να μπορεί χρησιμοποιηθεί από οποιοδήποτε πραγματικό κλάσμα του Ν. 27

28 r r ( r σ ) (xde(x)) = D(x) θα δημιουργηθεί το παίγνιο = Ν, Ε, S, D o f ( ) Γ. Η συνάρτηση ατομικού κόστους του παίκτη i στο νέο παίγνιο θα είναι r r r r r ( ) ( ) ( fe( σ )) de( fe( σ )) Li σ λ ; D, σ = De fe( σ ) = δ r = ( xede( xe )), όπου σ λ η στρατηγική e σ λ e σ δf σ λ e( ) e σ λ που επιλέγει ο παίκτης i και xe = f e(σ r ) ήτοι η συμφόρηση στην ακμή e. Με χρήση της Li() ο κάθε παίκτης i επί της ουσίας θα προσπαθεί να ελαχιστοποιήσει τη συνεισφορά στο κοινωνικό κόστος που ο ίδιος προκαλεί στο παιχνίδι Γ. Συνεπώς μία δρομολόγηση σ r που αποτελεί ισορροπία Nash στο παιχνίδι Γ, θα βελτιστοποιεί το κοινωνικό κόστος για το αρχικό παιχνίδι Γ * και αντίστροφα, μία βέλτιστη λύση (ως προς το κοινωνικό κόστος) στο Γ θα είναι ισορροπία Nash στο Γ. Συνεπώς βέλτιστες λύσεις και λύσεις σε ισορροπία Nash συνδέονται, με την διαφοροποίησή τους να συνίσταται στις διαφορετικές συναρτήσεις κόστους των ακμών υπό την επίδραση των οποίων αυτές οι λύσεις εξάγονται Aντίστοιχα συμπεράσματα ισχύουν και για διακριτά παίγνια. Με δεδομένο ότι η παράγωγος μίας ακολουθίας α(κ) είναι α(κ) α(κ 1) και nde(n) είναι η συνεισφορά στο κοινωνικό κόστος έχουμε ότι De ( n) = nde( n) ( n 1) de( n 1). Άρα αντικαθιστώντας τις συναρτήσεις de με τις De και υπολογίζοντας την βέλτιστη ισορροπία Nash, υπολογίζουμε ουσιαστικά την βέλτιστη λύση. ( ) Συνοψίζοντας, μία λύση r σ που είναι η βέλτιστη ισορροπία Nash στο Γ = Ν, Ε, S, D( f e ) είναι βέλτιστη λύση στο Γ = Ν, Ε, S, d r ( ) και αντίστροφα. ( ) f e Με δεδομένη την αντιστοιχία βέλτιστης ισορροπίας Nash και βέλτιστης λύσης μπορούμε να εξάγουμε επαληθεύσουμε την συνάρτηση δυναμικού ως εξής: Για την περίπτωση μη ατομικού παίγνιου συμφόρησης έχουμε ότι αντικαθιστώντας τις συναρτήσεις κόστους των ακμών de με τις h ( x) d ( y)dy e x = 0 τότε η ανιδιοτελής συμπεριφορά των παικτών θα έχει ως e αποτέλεσμα την μείωση του κοινωνικού κόστους (υπολογισμένο με τις de). Άρα μπορούμε να κατασκευάσουμε την απαιτούμενη συνάρτηση Φ(σ r ) η οποία ονομάζεται συνάρτηση r r fe ( σ ) δυναμικού και είναι Φ( σ ) = d ( x)dx. Εκ κατασκευής μία δρομολόγηση r σ που e E 0 e είναι ισορροπία Nash αποτελεί ένα ελάχιστο της συνάρτησης δυναμικού Φ. Για ατομικό r fe ( σ ) r Φ σ = d i παίγνιο συμφόρησης έχουμε ότι ( ) ( ) e E i= 1 e r * όπως φαίνεται και από τα σχήματα 1.3 και 1.5 είναι πιθανόν ένα παιχνίδι να έχει πολλές ισορροπίες Nash με διαφορετικό κοινωνικό κόστος, ενώ όσες λύσεις είναι βέλτιστες έχουν το ίδιο κοινωνικό κόστος, το οποίο σημαίνει ότι μία βέλτιστη λύση είναι ουσιωδώς μοναδική. Άρα το παιχνίδι Γ μπορεί να έχει πολλές ισορροπίες Nash και προφανές δεν μπορούν να είναι όλες βέλτιστες για το Γ. Αφού υποθέσαμς ότι οι d e είναι συνεχείς καμπύλες και αφού εμείς εστιάζουμε στα σημεία {d e (0), d e (1),...,d e (Ν)} της καμπύλης τότε προκύπτει ότι η d e είναι ακολουθία. 28

29 2.4 Πολιτικές Stackelberg Όπως είπαμε οι πολιτικές Stackelberg μας δίνουν το δικαίωμα να χειριστούμε κεντρικά ένα ποσοστό των παικτών. Ο πρωταρχικός σκοπός είναι, χρησιμοποιώντας αυτήν την εξουσία που μας δίνεται, να μειώσουμε το PofA (ή/και το PofS) ή ισοδύναμα να προσεγγίσουμε την βέλτιστη λύση. Προκειμένου να δηλώσουμε την ύπαρξη και την ποσότητα των ανιδιοτελών χρηστών θα τροποποιήσουμε τον ορισμό του παιχνιδιού συμφόρησης στην r r r r r r r r πεντάδα Γ = ( Ν, n s, Ε, S, ζ o f ( σ )) ( Ν, α, Ε, S, ζ o f ( σ )), όπου ns το πλήθος των ανιδιοτελών χρηστών και α = 100Ν ns το ποσοστό των ανιδιοτελών χρηστών ως προς το συνολικό πλήθος όλων των παικτών. Οι κεντρικά συντονιζόμενοι παίκτες που βρίσκονται σε μία ακμή e θα είναι ns;e. Από όλες τις πιθανές κατανομές των ns ανιδιοτελών παικτών στα s t μονοπάτια του γράφου G, μία είναι η βέλτιστη (βέλτιστη δρομολόγηση Stackelberg), η οποία αποτελεί την βέλτιστη εφικτή προσέγγιση της βέλτιστης λύσης. Επιπροσθέτως η βέλτιστη δρομολόγηση Stackelberg εγγυημένα δεν χειροτερεύει το PofS. Δυστυχώς ή εύρεση αυτής της δρομολόγησης είναι NP hard πρόβλημα. Στην παρούσα διπλωματική εργασία θα μελετήσουμε διάφορες πολιτικές τις οποίες θα αναφέρουμε στο παρόν εδάφιο. Όλες οι πολιτικές που θα υλοποιήσουμε ουσιαστικά αποτελούν heuristics της βέλτιστης Stackelberg δρομολόγησης και ως τέτοια μπορούν μονάχα να προσεγγίσουν την εν λόγω δρομολόγηση, όπως επίσης είναι δυνατόν να λαθέψουν. Το λάθος αυτό μεταφράζεται σε αύξηση του τιμήματος της ευστάθειας και το παράδοξο αυτό ονομάζεται παράδοξο επιδείνωσης του τιμήματος της ευσταθείας. Όλες οι Stackelberg πολιτικές λειτουργούν με βάση την βέλτιστη λύση του παιχνιδιού, την οποία και προσπαθούν με κάποιο τρόπο να την προσεγγίσουν. Όλοι οι Stackelberg αλγόριθμοι ακολουθούν συγκεκριμένο μοτίβο το οποίο περιγράφεται με λεπτομέρεια στο κεφάλαιο 5. Στις επόμενες υποενότητες παρουσιάζουμε όλες τις Stackelberg πολιτικές με τις οποίες θα ασχοληθούμε. Προτού προχωρήσουμε αξίζει να σημειωθεί, όπως υποδηλώνεται και από το παράδοξο του Braess, ότι το πρόβλημα με την ιδιοτελή δρομολόγιση είναι ότι λίγο ή πολύ όλοι οι χρήστες επιλέγουν τα «καλύτερα», δηλαδή τα πιο «φθηνά» μονοπάτια με αποτέλεσμα σε αυτά να υπάρχει έντονος συνωστισμός και λόγω αυτού να αυξάνεται η συμφόρηση σε σημείο που τα «καλά» μονοπάτια να γίνονται αξιοσημείωτα ως πολύ «άσχημα»! 29

30 2.4.1 Πολιτική LLF Ο αλγόριθμος αυτός εισήχθη από τον Tim Roughgarden και τα αρχικά του σημαίνουν Largest Latency First. Η φιλοσοφια του υποδηλώνεται από το ίδιο το όνομα του αλγορίθμου. Η βασική ιδέα είναι να κατανείμουμε όλους τους κεντρικά συντονιζόμενους παίκτες στα «χειρότερα», ως προς το τι πληρώνει ο κάθε παίκτης, μονοπάτια της βέλτιστης λύσης. Αυτά τα μονοπάτια γενικά έχουν μικρή πιθανότητα να χρεισιμοποιηθούν από τους ιδιοτελείς παίκτες. Ο στόχος έιναι να μείνουν ελέυθερα τα «καλά» μονοπάτια για τους ιδιοτελείς χρήστες, τα οποία τελικώς θα χρησιμοποιήσουν. Έτσι προσδοκούμε μείωση των PofA και PofS με το να μειώσουμε τον συνωστισμό στις επιθυμητές διαδρομές! H πολυπλοκότητα του αλγορίθμου είναι γραμμική στο πλήθος των μονοπατιών της βέλτιστης λύσης. Στην χειρότερη περίπτωση θα τρέξει τόσες φορές ακριβώς όσα είναι και τα μονοπάτια. Ο αλγόριθμος LLF εισήχθη για την μελέτη γραφημάτων δύο κόμβων s και t με πολλές παράλληλες ακμές. Στα συγκεκριμένα παιχνίδια η συμπεριφορά του αλγορίθμου αγγίζει την τελειότητα. Σε πολλά άλλα πιο σύνθετα προβλήματα όμως ο LLF αποτελεί μία όχι και τόσο καλή πολιτική. Στα σχήματα 2.1 και 2.2 παραθέτουμε τις επαγόμενες ισορροπίες ύστερα από LLF πολιτική στο παράδοξο του Braess για 100 παίκτες όταν ελέγχουμε 25. Η βέλτιστη πολιτική όπως φαίνεται και από το σχήμα 1.4 κατανέμει 50 παίκτες στο μονοπάτι P1 και 50 στο P2. Και τα δύο έχουν για τον κάθε παίκτη κόστος 150. Ο LLF επιλέγει ένα από τα δύο, έστω το P1 και κατανέμει εκεί και τους 25 παίκτες. Όλοι οι υπόλοιποι παίκτες πλην του τελευταίου βρήσκουν συμφέρον το μονοπάτι P3. Ο τελευταίος παίκτης αν ακολουθήσει το P2 (σχήμα 2.2) θα πληρώσει 175 και το παιχνίδι θα οδηγηθεί στην βέλτιστη ισορροπία Nash με κοινωνικό κόστος 99* * *75 = έναντι που θα είχαμε χωρίς την εφαρμογή της LLF πολιτικής. Το PofS βελτιώνεται στο 1, έναντι 1,3267. Αν όμως ο τελευτάος παίκτης επιλέξει και αυτός το μονοπάτι P3 τότε θα οδηγηθούμε στην χείριστη 30

31 ισορροπία Nash με κοινωνικό κόστος 100* * *75 = έναντι που θα είχαμε χωρίς τον LLF. Το PofA μειώνεται στο 1, έναντι του 4/3=1, Πολιτική Scale * Ο αλγόριθμος δέχεται ως έισοδο την βέλτιστη λύση και μεταξύ των Ν παικτών παικτών επιλέγει τυχαία τους ns από αυτούς, και τους θεωρεί ανιδιοτελείς. Στην συνέχεια εξαναγκάζει τους ανιδιοτελείς παίκτες που ο ίδιος επέλεξε να ακολουθήσουν την στρατηγική που θα ακολουθούσαν στην βέλτιστη λύση. Αν η βέλτιστη πολιτική κατανέμει οe παίκτες σε μία ακμή e, τότε o Scale αναμένεται να κατανείμει εκεί οe = ns/ν παίκτες. H πολυπλοκότητα του Scale είναι γραμμική στο πλήθος των ανιδιοτελών παικτών. Στο σχήμα 2.3 παραθέτουμε τη επαγόμενη ισορροπία ύστερα από Scale πολιτική στο παράδοξο του Braess για 100 παίκτες όταν ελέγχουμε 25. Σύμφωνα με τα παραπάνω αναμένουμε 12,5 παίκτες σε κάθε μία ακμή από αυτές που αποτελούν τα μονοπάτια P1 και P2. Έστω ότι κατανέμονται 12 παίκτες στο P1 και 13 στο P2. Όλοι οι υπόλοιποι παίκτες βρίσκουν συμφέρον το μονοπάτι P3 οδηγώντας το παιχνίδι στην μοναδική του ισορροπία Nash με κοινωνικό κόστος 87* * * *78 = έναντι ή στην χείριστη και την βέλτιστη περίπτωση αντίστοιχα. Αξίζει να σημειωθεί ότι με χρήση LLF τα αντίστοιχα κοινωνικά κόστη είναι και Ακόμη PofA=PofS = 1, έναντι 1, και αν δεν είχαμε εφαρμόσει πολιτική Scale. Οι αντίστοιχες ποσότητες για την LLF πολιτική είναι 1, και 1, Πολιτική Arc-Cover O αλγόριθμος αυτός εισήχθη από τον Δημήτρη Φωτάκη. Ακολουθεί τη φιλοσοφία της πλήρους κάλυψης των ακμών του γράφου με παίκτες, χωρίς όμως να ξεπερνούμε το όριο που επιβάλλει η βέλτιστη λύση όσον αφορά τη ροή σε αυτές. Για αυτό το λόγο ο αλγόριθμος Cover μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε στιγμιότυπα, στα οποία ο αριθμός των * για την ακρίβεια ο αλγόριθμος που θα περιγράψουμε ονομάζεται randomized Scale. επειδή το παίγνιο είναι ατομικό προφανώς αναμένουμε 12 ή 13 31