x [ ] T ( ) Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Λυµένες Ασκήσεις * * * * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ

Transcript

1 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 4 Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ 5-5 Ασκήσεις :, 4, 6, 8, 9,, σελ 59 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 6 ο πίακας είαι η µοαδική ιδιοτιµή του, αποδείξατε ότι Λύση : Εφόσο ( ) { } είαι σ και D diag,,, I Τότε είαι όµοιος µε διαγώιο πίακα και ο αριθµός I MDM, όπου D διαγώιος πίακας, θα ( ) M I M MM I α β Άσκηση 6 Αποδείξατε ότι ο πίακας β α, που ατιστοιχεί στο µιγαδικό αριθµό z α+ β, έχει ιδιοτιµές, z και βρείτε το πίακα M διαγωοποιεί το πίακα Λύση : Έχουµε i z { i, i } { z, z } δ λ λi λα +β σ α+ β α β Για τις ιδιοτιµές αυτές τ ατίστοιχα ιδιοδιαύσµατα είαι x [ ] i και που x [ ] i Συεπώς, MDM, όπου i M i και z D z

2 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 4 Άσκηση 6 Για ποιες τιµές τω παραµέτρω α, β διαγωοποιείται ο πίακας Λύση : Οι ιδιοτιµές του α α β β πίακα είαι σ ( ) {, αβ} Α αβ α+β, ο πίακας διαγωοποιείται, διότι οι ιδιοτιµές του είαι διακεκριµέες και συεπώς έχει δύο γραµµικά αεξάρτητα ιδιοδιαύσµατα (Πρόταση 66) α α Α α+β σ ( ) { } Στη περίπτωση αυτή α + α έχει µόο έα ιδιοδιάυσµα διαγωοποιείται [ ] x, άρα ο πίακας δε Άσκηση 64 Να βρείτε τις τιµές του για τις οποίες διαγωοποιείται ο πίακας ( ) Λύση : Έχουµε ( )( ) δ λ λi λ λ+ λ Οι ρίζες του δ λ είαι διακεκριµέες για,, Για λ, διπλή ρίζα του δ πολλαπλότητα ( ) ( I) d ran λ µε γεωµετρική Για λ, είαι διπλή ιδιοτιµή µε γεωµετρική πολλαπλότητα ( I) d ran, εώ για λ, είαι διπλή ιδιοτιµή µε γεωµετρική πολλαπλότητα ( I) d ran Προφαώς, ο πίακας διαγωοποιείται για,

3 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 4 Άσκηση 65 Α, O ο πίακας B Γ Λύση : Έχουµε B και Γ, α διαγωοποιειθεί O λi O det λi det λi λi B λ λ λ4 B λib Γ Γ Για λ Ο Ο y Ι x Ι ω Γ Β Γ Β Το σύστηµα ( I) y έχει λύση [ ] Για ( Ι) y Γy + ( B I) ω y και από τη εξίσωση Γy + ( B I) ω ω ω Συεπώς, το ατίστοιχο ιδιοδιάυσµα είαι [ y ω] λ, έχουµε τις εξισώσεις ( I) y +, Γ y + B + I ω και βρίσκουµε το ατίστοιχο ιδιοδιάυσµα [ y ω] Για 5 5 λ ( I) y, Γ ( ), y + B I ω y ω +ω y, ω, το δε ατίστοιχο ιδιοδιάυσµα είαι [ ] [ y ω ] [ ] Τέλος για λ 4, ατιστοιχεί το ιδιοδιάυσµα [ y ω ] [ ] Άσκηση 66 Α 4, διαγωοποιήσατε τους πίακες και, χωρίς α ατιστρέψετε το Επιπλέο βρείτε το πίακα

4 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 4 από 4 Λύση : Βρίσκουµε δ λ λi λ λ λ+ Επειδή ο πίακας έχει τρεις διακεκριµέες ιδιοτιµές, διαγωοποιείται Για λ, το ατίστοιχο ιδιοδιάυσµα είαι x 7, για, είαι λ [ ] για, είαι Συεπώς x, λ [ ] x όπου Mdiag,, M και επιπλέο έχουµε 7 M Mdiag,, M Mdiag,, M Mdiag,, M, Άσκηση 67 ιαγωοποιήσατε το πίακα και µετά αποδείξατε I Λύση : Έχουµε δ λ λi λ και συεπώς ο πίακας διαγωοποιείται, διότι έχει δύο διακεκριµέες ιδιοτιµές Από τη ισότητα MDM, όπου D diag (, ), έχουµε MD M MIM I και κατά συέπεια I ( ) ( ) + I I + I ( I )

5 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 5 από 4 Άσκηση 68 Α, α υπολογισθεί το άθροισµα Λύση : Ο πίακας 5 I διαγωοποιείται, διότι έχει διακεκριµέες ιδιοτιµές λ, λ Α D diag (, ) από τη ισότητα Τότε MD M I, MDM έχουµε MD M MDM 5 I I+ + I+ + + I+ ( I+ ) Άσκηση 69 Εξετάστε α διαγωοποιούται οι πίακες Λύση : Για το πίακα α α α, β B β β έχουµε δ ( λ ) λi ( λ+ )( λ)( λ+α ) Για α ± α ή α, ο πίακας διαγωοποιείται διότι έχει τρεις διακεκριµέες ρίζες Για α, ο πίακας έχει διπλή ιδιοτιµή λ, µε γεωµετρική πολλαπλότητα ( I) d ran, άρα δε διαγωοποιείται, εφόσο έχει µόο δύο ιδιοδιαύσµατα Όµοια, δε διαγωοποιείται για γεωµετρική πολλαπλότητα α, διότι λ είαι διπλή ιδιοτιµή του µε ( I) d ran + Για το πίακα B έχουµε, Επειδή, δ λ λβ (, ο πίακας B δε διαγωοποιείται B d β ran Bβ I)

6 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 6 από 4 Άσκηση 6 Να βρείτε µια πραγµατική λύση της εξίσωσης Λύση : Για το πίακα 8 X είαι ( δ 8 λ λi λ λ+ ) και κατά συέπεια διαγωοποιείται, αφού έχει διακεκριµέες ιδιοτιµές Για, λ [ ] x είαι το ατίστοιχο ιδιοδιάυσµα και για λ 8, το ατίστοιχο ιδιοδιάυσµα είαι x [ ] Τότε Θέτοτας MDM ; Y M XM, η εξίσωση M, D 8 Για Y D diag (, ) X Y D, µια λύση της εξίσωσης είαι ο πίακας X M M Άσκηση 6 Έστω οι πίακες B, είαι ατιµεταθετικοί Α ο πίακας έχει διακεκριµέες ιδιοτιµές, τότε ο B διαγωοποιείται Λύση : Προφαώς ο διαγωοποιείται και ας είαι Ατικαθιστώτας στη ισότητα B B, έχουµε MDM B BMDM D M BM M BM D MDM Επειδή, οι πίακες M BM και D είαι ατιµεταθετικοί και ο D είαι διαγώιος πίακας µε διακεκριµέα διαγώια στοιχεία, συµπεραίουµε ότι ο πίακας M BM είαι διαγώιος (γιατί;) Άρα ο B διαγωοποιείται

7 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 7 από 4 Άσκηση 6 Εξετάσατε α διαγωοποιούται οι πίακες α β β β β α β β, B β β α β β β β α Λύση : Επειδή ran εε, όπου [ ] ε Το διάυσµα ε είαι ιδιοδιάυσµα του ατίστοιχο της ιδιοτιµής ε εεε εεε ε ε λ ε 4, διότι Επιπλέο, κάθε διάυσµα ω κάθετο στο ε, είαι ιδιοδιάυσµα του ατίστοιχο της ιδιοτιµής λ, καθόσο ω εε ω ε ω ε ω ε ε ε Η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ είαι 4, όπως άλλωστε ααµέαµε από τη ισότητα 4 ( { ε} ) { ε } dim span dim dim span Α ω [ ω ] ω ω ω 4, η εξίσωση ε ω ω +ω +ω +ω συµπεραίοτας ότι 4 d( ) 4ran [ ] [ ] [ ] ω ω +ω +ω, θ [ ], θ [ ], θ [ ] είαι ιδιοδιαύσµατα του ατίστοιχα της ιδιοτιµής λ Άρα, ο πίακας διαγωοποιείται, διότι έχει συολικά τέσσερα γραµµικά αεξάρτητα ιδιοδιαύσµατα και έχουµε όπου M [ ε θ θ θ ] Mdiag 4,,, M, Επειδή Bβ + αβ I, προφαώς ο B διαγωοποιείται και

8 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 8 από 4 ( diag ( 4,,, ) ) B M β + αβ I M M α+ β αβ αβ αβ diag,,, M Άσκηση 6 Εξετάστε α διαγωοποιείται ο πίακας S και γεικεύσατε τα συµπεράσµατα για το πίακα S Λύση : Έστω ξ και ξ είαι οι δύο πρώτες στήλες του ξ, ξ ξ και ran S ξ Επειδή S Είαι φαερό ότι έχουµε ξ S [ ] ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ +, + Sξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ Sξ ξ ξ ξ + ξ ξ ξ ξ ξ ξ (*) Σηµειώοτας η ξ+ ξ και η ξ ξ, από τη (*) συµπεραίουµε ότι η και η είαι ιδιοδιαύσµατα του S, καθόσο και Sη S ξ+ ξ ξ + ξ η Sη S ξ ξ ξ ξ ξ ξ η Α { ω span ξ, ξ }, τότε Sω ξ ξ + ξ ξ ω ξ ω ξ + ξ ω ξ ω

9 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 9 από 4 Η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ είαι δηλαδή ο πίακας ιδιοδιαύσµατα, άρα διαγωοποιείται Α ω [ ω ] ω ω ω 4, από τις εξισώσεις S d 4 rans, έχει συολικά τέσσερα γραµµικά αεξάρτητα ξ ω ω +ω ξ ω ω +ω έχουµε [ ] [ ] ω ω +ω Τα διαύσµατα θ [ ], [ ] του S, ατίστοιχα της ιδιοτιµής λ Σηµειώοτας M [ η η θ θ ] τότε S MDM 4 θ είαι ιδιοδιαύσµατα, D, diag (,,, ) Γείκευση Έστω ο πίακας S είαι τύπου Α είαι άρτιος, τότε ξ και ξ, Sξ ξ Sξ ξ Συεπώς S MDM, D, M η η θ θ θ, µε diag,,,, [ ] όπου τα διαύσµατα { θ, θ,, } είαι βάση του span ξ, ξ θ { } Α είαι περιττός τότε ξ, ξ + και ατίστοιχα της (*) είαι

10 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 4 Sξ + ξ, Sξ ξ Από τις ισότητες αυτές συµπεραίουµε τις χαρακτηριστικές εξισώσεις ( + + ) ( + + ) S ξ ξ ξ ξ ( ξ ξ + ) ( + ξ ξ ) S Έτσι, η σχέση οµοιότητας του S µε διαγώιο πίακα, θα είαι στη περίπτωση αυτή και D diag,,,,, M + ξ+ ξ + ξ ξ θ θ θ Σχόλιο: Οι συµµετρικοί πίακες διαγωοποιούται Ειδικότερα υπάρχει και ορθογώιος πίακας πραγµατικός πίακας P ώστε PDP, όπου D είαι διαγώιος Τα ιδιοδιαύσµατα που ατιστοιχού σε διακεκριµέες ιδιοτιµές είαι κάθετα Α όµως στη ιδιοτιµή λ ατιστοιχού δύο ή περισσότερα ιδιοδιαύσµατα, στο ατίστοιχο ιδιόχωρο E ( λ ) εφαρµόζουµε τη µέθοδο ορθογωοποίησης Gram-Schmidt και βρίσκουµε τότε ορθοκαοικά ιδιοδαύσµατα του E, τα οποία είαι και στήλες του P λ

11 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 4 Άσκηση 64 Να βρείτε ορθογώιο πίακα P, ώστε ο συµµετρικός πίακας 5 α είαι ορθογώια όµοιος µε διαγώιο πίακα Λύση : Έχουµε δ λ λi λ λ λ 6 και τα ιδιοδιαύσµατα του είαι, για, [ ] 5 λ [ ] x, για λ, [ ] x και για λ 6, x Προφαώς, x x x x x x και x 6, x 5, x Τότε για έχουµε PP diag,, P Άσκηση 65 Όµοια, α διαγωοποιηθεί ο συµµετρικός πίακας Λύση : Επειδή ( 9) ( δ λ λi λ λ+ 9 ), για λ 9 το ατίστοιχο ιδιοδιάυσµα είαι x [ ], µε ιδιοδιαύσµατα Προφαώς x [ ], [ ] x x x x, αλλά x x x Για λ 9, ατιστοιχού τα x Εφαρµόζοτας τη µέθοδο ορθογωοποίησης Gram-Schmidt στο ιδιόχωρο ( 9) span { x, x } E βρίσκουµε

12 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 4 Τα ξ, ( 9) span { ξ, ξ } E, όπου ξ x, ξ 4 x 4 5 ξ 5 5 ξ είαι κάθετα ιδιοδιαύσµατα του πίακα, ατίστοιχα της ιδιοτιµής λ 9 Επιπλέο, ξ 5, ξ και κατά συέπεια 5 P D 5, diag ( 9, 9, 9) Άσκηση 66 Α, P αποδείξατε ότι P P, οι στήλες του P είαι ιδιοδιαύσµατα του και ο πίακας PP είαι διαγώιος Λύση : Παρατηρούµε ότι P P, συεπώς αρκεί α δείξουµε ότι P P, δηλαδή, ο είαι ορθογώιος πίακας Πράγµατι, σηµειώοτας p, p, p, p P 4 τις στήλες του P έχουµε p i ( i,,,4) και pi p j για κάθε i j Επειδή και p p και pi pi ( i,,4) είαι προφαές PP ( ) {, } σ PP diag,,, Άσκηση 67 Α ο πίακας είαι συµµετρικός και x, x,, x είαι ορθογώια και µοαδιαία (ορθοκαοικά) ιδιοδιαύσµατα αυτού ατίστοιχα τω

13 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 4 ιδιοτιµώ λ, λ,, λ, αποδείξατε ότι η γεική λύση του συστήµατος ( ) I x β δίεται από το τύπο x β x β x β x x + x + + x λ λ λ Λύση : Α [ ] και D diag ( λ, λ,, λ ) P x x x Από τη εξίσωση ( I) x β, για λ i, έχουµε ( ) ( ) ( ( ) ) x I β PDP I β P D I P β ( ) ( ) [ ] x β xβ x x x λ λ λ x β xβ x β x β x + x + + x λ λ λ, τότε PDP x λ x P D I P β x x x β ( ) λ x Είαι γωστό από τη Αάλυση Κατ ααλογία, για έα πίακα e !!, ορίζουµε Α ( e I !! D diag λ, λ,, λ ), είαι φαερό ότι D e Επιπλέο, α n n n λ λ λ λ λ λ diag,,, diag ( e, e,,e ) n n! n n! n n! MDM έχουµε D D e M I+ D M Me M!! D

14 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 4 από 4 Άσκηση 68 Να υπολογισθεί ο πίακας Λύση : Οι ιδιοτιµές του e ιδιοδιαύσµατα x [ ] και x [ ], όπου 6 είαι λ και λ µε ατίστοιχα Α τότε M, D D e e 66e e Me M e e e Άσκηση 69 Να βρεθεί ο γεικός όρος της ααδροµικής ακολουθίας ( α n ) που ορίζεται από το τύπο α n n 4 n n,4,, ότα α και α α + α Λύση : Α Ο πίακας 4, από τη ααδροµική σχέση, έχουµε αn αn αn n α αn αn α n α έχει ιδιοτιµές λ 4, λ και ατίστοιχα ιδιοδιαύσµατα [ 4 ], [ ] Τότε ( ) και n Συεπώς 4 n n n n αn n n n n α n n ( ) n n 4 α n