TEORIA ERORILOR DE MĂSURĂ

Transcript

1

2

3 EM TEORIA ERORILOR DE MĂSURĂ CUVITE CHEIE TEMA APLICAŢIEI Măsurare Erori sistematice Erori întâmplătoare Valoarea medie, abaterea pătratică medie Erori absolute, erori relative Măsurare indirectă, eroarea unei măsurări indirecte Măsurarea mărimilor fizice este activitatea principală în orice eperienţă de laborator, dar nu numai în asemenea situaţii (gândiţi-vă, de eemplu, la măsurarea gradului de poluare a aerului pe o arteră de circulaţie cu trafic intens). Gradul de încredere în valorile măsurate este strâns legat de corectitudinea cu care au fost făcute măsurătorile şi de erorile care puteau interveni. De aceea, este necesară stabilirea unor reguli stricte privind modul de efectuare a măsurătorilor şi stabilirea gradului de eroare a acestora. Aplicaţia de faţă urmăreşte să vă familiarizeze cu aceste reguli. SCOPUL APLICAŢIEI Cunoaşterea tipurilor de erori de măsură. Cunoaşterea modului de calcul al erorilor în măsurătorile directe şi indirecte.

4 DEFIIŢII ŞI FORMULE Măsurarea unei mărimi fizice înseamnă a determina de câte ori se cuprinde în ea o mărime fizică de acelaşi fel, aleasă ca unitate de măsură. Măsurarea poate fi directă sau indirectă. De eemplu, distanţa dintre două obiecte ar putea fi măsurată în mod direct cu rigla, dar ar putea fi determinată şi indirect cunoscând viteza luminii şi măsurând timpul în care o rază de lumină parcurge distanţa dintre ele. În funcţie de cazul concret se alege una dintre cele două metode de măsură. Operaţia de măsurare este însoţită de erori. Erorile de măsură pot fi împărţite în două categorii: sistematice şi întâmplătoare. Erorile sistematice pot avea la origine mai multe cauze : defectele aparatelor de măsură (de eemplu, ora afişată de un ceas care nu merge eact), utilizarea unui principiu de măsură greşit (de eemplu, aprecierea cantităţii de lichid dintr-un vas tronconic pe baza înălţimii acestuia) sau greşelilor făcute de observator (de eemplu, plasarea sa incorectă faţă de aparatul de măsură, ceea ce conduce la citirea incorectă a indicaţiilor aparatului). Aceste erori pot fi înlăturate doar prin repararea aparatului defect, regândirea principiului măsurătorii sau înlăturarea greşelilor de observare. Erorile întâmplătoare se datorează în special lipsei de precizie a citirilor indicaţiilor instrumentelor de măsură şi constituie un factor legat eclusiv de persoana eperimentatorului. În acest cazuri, rezultatul unei măsurători este fie mai mare, fie mai mic în comparaţie cu valoarea corectă. Caracterul statistic al erorilor întâmplătoare face ca la repetarea de un mare număr de ori a determinărilor numărul valorilor mai mari decât cele reale să egaleze practic numărul valorilor mai mici. Rezultă de aici că erorile întâmplătoare pot fi compensate prin repetarea de un mare număr de ori a determinărilor şi medierea rezultatelor obţinute. Printre erorile întâmplătoare întâlnim şi erorile grosolane, care se pot distinge de celelalte prin aceea că oferă valori complet diferite de şirul celorlalte valori eperimentale. Erorile grosolane sunt înlăturate prin refacerea măsurătorii sau ignorarea rezultatului aberant. Valoarea medie. Inerent, la măsurarea directă a oricărei mărimi fizice se face o eroare de măsură. Repetând determinările de un număr mare de ori, rezultatele se distribuie simetric în jurul valorii adevărate. De aceea, prin medierea aritmetică a datelor obţinute, mai ales dacă numărul determinărilor este foarte mare, 4

5 eistă posibilitatea ca erorile care supraestimează valoarea adevărată să se compenseze cu acelea care o subestimează. Acesta este motivul pentru care, în urma şirului de măsurători, valoarea acceptată ca rezultat final este media aritmetică a rezultatelor tuturor măsurătorilor, adică valoarea medie. Abaterea pătratică medie. Faptul că valoarea medie aproimează cel mai bine valoarea adevărată a mărimii fizice pe care o măsurăm, nu înseamnă că ştim şi cât de siguri putem fi de precizia măsurătorii. Precizia este legată de intervalul dintre cea mai mică valoarea obţinută prin măsurare şi cea mai mare valoare. Cu cât acest interval este mai mare în comparaţie cu valoarea medie a mărimii măsurate, cu atât precizia măsurătorii este mai mică şi încrederea în privinţa rezultatului obţinut este ea mai mică. Imaginaţi-vă că aţi da eamen din aceeaşi materie cu profesori diferiţi. Dacă la toate eamenele aţi obţine note între 5 şi 7, aţi putea fi destul de siguri că ştiţi de nota 6. Dar dacă gama notelor obţinute ar fi între şi, media fiind tot 6, aţi mai avea siguranţa că aţi fost eaminat corect? De aceea, alături de valoarea medie, trebuie prezentată şi o valoare care să eprime precizia măsurătorii. În cale mai multe cazuri această valoare complementară este abaterea pătratică medie, a cărei formulă şi a cărei semnificaţie vă vor fi prezentate în paginile următoare. Eroarea absolută reprezintă intervalul în care este cel mai probabil să se afle valoarea mărimii măsurate. Eroarea relativă este raportul dintre eroarea absolută şi valoarea medie a mărimii măsurate. De eemplu, dacă cumpăraţi o pungă de zahăr pe care scrie Gramaj : g ± g eroarea absolută de măsură este de g, iar cea relativă de %. Măsurarea indirectă a unei mărimi fizice se face atunci când nu este posibilă măsurarea ei directă. Se utilizează o lege a fizicii care cuprinde atât mărimea fizică pe care dorim s-o măsurăm indirect, cât şi alte mărimi fizice a căror măsurare directă este posibilă. Valoarea pe care o căutăm se eprimă în virtutea legii folosite, în funcţie de valorile măsurate ale celorlalte mărimi fizice. Eroarea finală de măsurare este determinată cunoscând erorile făcute la măsurarea fiecăreia dintre mărimile fizice implicate. 5

6 ASPECTE TEORETICE Teoria erorilor întâmplătoare Să presupunem că trebuie măsurată o mărime fizică oarecare X. Pentru aceasta se face un şir de determinări care generează valorile :,,. Aceste valori diferă între ele şi este puţin probabil ca măcar una dintre ele să reprezinte valoarea eactă a mărimii căutate. Când toate măsurătorile au fost efectuate în aceleaşi condiţii de precizie eperimentală se poate presupune că abaterile ξ k ( k - X) sunt distribuite statistic în jurul lui zero. Dacă numărul determinărilor este foarte mare, >>, atunci probabilitatea de apariţie a unei abateri ξ k este cu atât mai mică cu cât valoarea abaterii este mai mare. Mai mult, valori egale ale abaterilor, dar opuse ca semn, sunt egal probabile. Rezultă de aici că funcţia de distribuţie a abaterilor depinde doar de modulul abaterii sau de pătratul ei : f f(ξ ) Împărţind domeniul de valori pe care le ia abaterea în intervale ξ egale între ele şi reprezentând numărul valorilor eperimentale din fiecare interval în funcţie de abaterea ξ corespunzătoare, obţinem graficul alăturat. Se observă că numărul cel mai mare de determinări furnizează valori ale abaterii cuprinse în jurul lui zero, în intervalul - ξ ma / şi ξ ma /. Când numărul determinărilor este etrem de mare,, probabilitatea ca abaterea să se găsească în intervalul de valori (ξ, ξ dξ) se poate scrie ca o funcţie continuă : a aξ lim f ( ξ )dξ e dξ π Un asemenea tip de distribuire a abaterilor se numeşte distribuţia normală a lui Gauss sau clopotul lui Gauss. Constanta reală şi pozitivă a este o mărime care caracterizează precizia determinărilor (pentru valori mici ale lui a clopotul lui Gauss es- 6

7 te mai larg, ceea ce înseamnă că eistă multe valori ale lui ξ care se abat semnificativ de la valoarea nulă). Aria de sub clopot reprezintă probabilitatea unei valori a lui ξ cuprinsă între - şi, adică evenimentul cert. Prin urmare, mărimea ariei este unitară. Pentru un număr infinit de determinări, valoarea medie <ξ> a abaterii ξ se poate calcula cu relaţia : ξ ξf ( ξ )dξ a π ξe aξ aξ dξ e aπ Abaterea este eprimată în funcţie de valorile măsurate eperimental şi de valoarea reală a mărimii fizice măsurate : ξ k ( k - X) În cazul unui număr finit de determinări, media valorilor ξ k se calculează ca medie aritmetică a valorilor obţinute : ξ ( k X ) k X ξ k k k k Se obţine : X k ξ ξ k Atunci, în urma unui mare număr de determinări (când <ξ> <ξ> ), rezultă : X <> Cel mai probabil, valoarea eperimentală căutată este egală cu media aritmetică a valorilor determinate prin măsurare : X k k Acest rezultat arată că datorită caracterului statistic al erorilor de măsură eistă tendinţa ca erorile prin adaus să compenseze erorile prin lipsă dacă şirul de determinări este suficient de lung. Să calculăm acum media pătratelor abaterilor. Când putem scrie : a aξ ξ ξ f ( ξ )dξ ξ e dξ π a Pe de altă parte, pentru un număr finit de măsurători, şirul datelor eperimentale furnizează valoarea : 7

8 ( ) ( ) X X X X X k k k k k ξ ξ Putem scrie şi : ( ) i i k k i i k k i i ( ) i i i k k k k i i ( ) ( ) i i i i k k k k i i Din cele două relaţii rezultă : ( ) ( ) X i i ξ Deci : ( ) ( ) X i i ξ Când are valori suficient de mari, se poate considera că valorile celor două medii ale pătratelor abaterilor sunt practic egale : <ξ > <ξ >, rezultând : ( ) ( ) X a i i Mai putem observa că : ( ) ( ) ξ ξ k k j j j j j j X X X Dar : ( ) k k j j ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ Având în vedere că rezultatele determinărilor sunt distribuite simetric în jurul valorii medii (ceea ce înseamnă că practic pentru orice produs pozitiv ξ i ξ j vom întâlni un produs negativ, egal în modul, ξ k ξ l ) singurii care nu se vor reduce sunt termenii care reprezintă pătratele factorilor ξ i şi putem scrie : ( ) ( ) ( ) ξ ξ ξ i i i i i i k k j j X X Relaţia ( ) ( X a i i ) devine : 8

9 a i i i ( i ) ( i ) ( i ) Deoarece pentru >> putem face aproimaţia :, rezultă : ( i ) ( ) a i Valorile ξ ± au o semnificaţie deosebită pentru funcţia de distribuţie f(ξ), reprezentând punctele ei de infleiune. Între aceste două coordonate este cuprinsă a aproape 75% din aria clopotului, adică circa trei sferturi din valorile măsurătorilor. Din acest motiv, cantitatea ( ) a i ( i ) poate fi considerată ca un criteriu de stabilire a preciziei măsurătorii, purtând numele de eroare (sau abatere) pătratică medie şi fiind notată cu σ. Eroarea pătratică medie are formula : Î REZUMAT : σ ( i ) i Valoarea cea mai probabilă care este atribuită unei mărimi fizice ca urmare a unui şir de măsurători este media aritmetică a valorilor obţinute prin măsurare : X k k Intervalul în care este cuprinsă valoarea reală a mărimii măsurate este, cu o probabilitate de 75%, egal cu : X [ σ, σ] k unde : σ ( k ) Pentru ca aceste afirmaţii să fie adevărate este necesar ca numărul determinărilor să fie suficient de mare, adică. Rezultatele acestei teorii sunt implementate în programe după care rulează chiar şi simplele calculatoare de buzunar (mai precis, acelea care au implementate funcţii statistice). Cu atât mai mult, teoria erorilor întâmplătoare este integrată în aplicaţiile complee cum ar fi Ecel sau Mathcad. 9

10 Uneori, atunci când numărul determinărilor eperimentale este prea mic pentru a mai putea utiliza considerentele statistice, evaluarea preciziei măsurătorii este prezentată sub forma erorii aparente medii, δ, calculată ca medie aritmetică a modulelor abaterilor faţă de valoarea medie : i i δ Şi în acest caz cea mai probabilă valoare a mărimii măsurate este dată de media aritmetică a valorilor eperimentale : X k k iar rezultatul este prezentat sub forma : X δ, δ [ ] Erori absolute, erori relative Diferenţele dintre valorile individuale ale unei măsurători şi valoarea medie, adică abaterile, se mai numesc şi erori absolute. De asemenea eroarea pătratică medie sau eroarea aparentă medie sunt tot erori absolute. Erorile absolute oferă informaţie despre precizia măsurătorii, dar această informaţie este incompletă. Să spunem că am măsurat o lungime cu o eroare absolută de mm. Este aceasta o eroare mare sau o eroare mică? Răspunsul la această întrebare depinde şi de valoarea medie a măsurătorii. Dacă lungimea măsurată a fost de m, atunci eroarea este mică, dar dacă lungimea măsurată era de 5 mm, eroarea era foarte mare. Pentru a caracteriza precizia unei măsurători şi din acest punct de vedere se foloseşte mărimea numită eroare relativă. Eroarea relativă se eprimă în procente şi reprezintă raportul dintre eroarea absolută şi valoarea medie a măsurătorii : σ δ ε % sau ε % Erorile relative sub 5% pot fi considerate acceptabile în condiţiile eperimentale pe care le oferă laboratorul de fizică al facultăţii. În unele cazuri erorile de măsurare se datorează chiar instrumentelor de măsură utilizate. Dacă am dori să măsurăm lăţimea unei foi de hârtie cu o riglă obişnuită, am constata că aproape niciodată marginea acesteia nu se aliniază perfect unei diviziuni a riglei. De aceea rezultatul pe care îl oferim este aproimativ, urmând a ne decide dacă el este, de eemplu,, cm sau, cm. Luând această decizie, acceptăm o eroare absolută de măsură egală cu jumătatea celei mai mici diviziuni a scalei aparatului de măsură (în cazul relatat, de,5 mm). Eroarea relativă a unei asemenea determinări este dată de raportul dintre valoarea care corespunde jumătăţii intervalului dintre două diviziuni consecutive şi valoarea măsurată.

11 Se spune că rigla este un instrument având o anumită clasă de precizie. Această clasă de precizie nu este legată doar de distanţele dintre două diviziuni consecutive ale riglei ci şi de precizia cu care au fost trasate acestea, sau chiar temperatura la care lucrăm. Orice aparat de măsură are o anumită clasă de precizie, iar micşorarea erorilor relative care apar la măsurare impune folosirea unui aparat de măsură având o clasă de precizie corespunzătoare. Calculul erorilor la o măsurare indirectă În unele cazuri, mărimile fizice nu se măsoară direct, ci indirect, utilizând o anumită lege a fizicii şi măsurând celelalte mărimi fizice implicate. De eemplu, utilizând legea perioadei unui pendul gravitaţional : T π am putea determina ac- l g l celeraţia gravitaţională după relaţia : g 4π. În acest caz, este suficientă măsurarea lungimii şi perioadei pendulului, pentru a găsi prin calcul valoarea acceleraţiei T gravitaţionale. Problema pe care ne-o punem este aceea a preciziei măsurătorii. Mai eact, cunoscând preciziile cu care s-au determinat lungimea şi perioada, să estimăm precizia măsurării indirecte a acceleraţiei gravitaţionale. Pentru a estima precizia unei măsurători indirecte, vom presupune mai întâi că legea utilizată este de forma : y f (,,...) Diferenţiala acestei funcţii este : f f dy d d... În cazul unei măsurări destul de precise erorile de măsură absolute δ k sunt mici, şi pot asimilate diferenţialelor : f f δy δ δ... Eroarea relativă la determinarea mărimii y va fi : δy f f ε y δ δ... y f Putem pune în evidenţă erorile relative la măsurarea mărimilor,, astfel : f δ f δ f f ε y... ε ε... f f f f Termenii acestei sume pot lua atât valori pozitive, cât şi valori negative. Pe de altă parte erorile de măsurare pot fi făcute atât în eces, cât şi în lipsă. În cel mai defavorabil caz toţi termenii acestei sume vor fi pozitivi.

12 Eroarea calculată corespunde întotdeauna celui mai defavorabil caz, astfel încât epresia finală pe care o obţinem este :... f f f f y ε ε ε Rezultă că : eroarea relativă la o măsurare indirectă se poate calcula ca o sumă ponderată a erorilor relative de măsură ale mărimilor implicate. Factorii ponderatori pot fi calculaţi doar cunoscând forma eplicită a legii utilizate. De eemplu, în cazul pendulului gravitaţional : pentru T s, δt, s ε T % pentru l 5 mm, δl mm ε l,% π π π π π T l T l T f f T T l l f f T l ) ( l,t f g %, % %, f f f f T l g ε ε ε ε ε Eistă şi cazuri ceva mai complicate, în care mărimea pe care dorim s-o măsurăm indirect se poate eprima ca o sumă de funcţii de mai multe variabile : ( ) ( ) 4, g, f y Eroarea absolută este : ε ε ε ε ε ε δ δ δ g g g g g f f f f f g f g f y g f Eroarea relativă se calculează cu relaţia : g f g g g g g f f f f f y y y ε ε ε ε δ ε 4 4 4

13 EXEMPLE Măsurare directă : valoare medie, abaterea pătratică medie Fie şirul de date : r. crt ,7,58,6,57,6,69,55,7,7,64 Calculul direct al mediei este : i i, 7, 58, 6, 57, 6, 69, 55, 7, 7, 64 6, 4, 64 Calculul direct al abaterii pătratice medii σ ( i ) i este : σ, 9 (, 6) (, 4) (, 7) (, ), 5 (, 9), 74 σ 9 9, 6447, 7, 6 Eroarea relativă la determinarea lui este : σ, 6447 ε % %, 44%, 64 Prezentarea rezultatului final se face cu un număr de zecimale care reflectă eroarea. În cazul nostru, eroarea de,644 ne arată că a doua zecimală a mediei este deja imprecisă, astfel încât următoarele zecimale nu mai au relevanţă. De aceea, prezentarea finală a rezultatului trebuie să fie :,64 ±,6.

14 i i În acelaşi eemplu, eroarea aparentă medie δ ar fi fost :, 9, 6, 4, 7,, 5, 9, 7, 6, 54 δ, 54 Dacă doriţi să prelucraţi aceleaşi date utilizând calculatorul ştiinţific din Windows, procedaţi astfel : Deschideţi programul (linkul se poate găsi în folderul Accesorii ) Din meniul Vizualizare alegeţi varianta Ştiinţific Se va afişa pe ecran ceea ce vedeţi în imaginea alăturată Apăsaţi butonul Sta Veţi observa că se activează butoanele Ave, Sum, s, Dat şi se activează o fereastră numită Casetă de statistici, căreia puteţi să nu-i daţi mare importanţă, doar să nu o închideţi Introduceţi fiecare valoare a lui, având grijă să apăsaţi după fiecare nouă dată butonul Dat După ce aţi terminat introducerea datelor, apăsând butonul Ave calculatorul afişează valoarea medie şi apăsând butonul s obţineţi pe afişaj valoarea abaterii pătratice medii. Închizând caseta statistică care este prezentă pe ecran alături de calculator, ieşiţi din modul de lucru cu funcţii statistice. Şi programul Ecel poate fi folosit pentru a calcula valorile medii şi abaterile pătratice medii. Pentru început va trebui să deschideţi programul şi să introduceţi datele eperimentale fie pe o linie, fie pe o coloană. 4

15 Apoi veţi selecţiona o celulă, să spunem A, şi veţi deschide meniul Insert, de unde veţi alege opţiunea Function : Se va deschide o fereastră de forma următoare : Pentru a calcula media şi abaterea pătratică medie trebuie să folosiţi funcţiile AVERAGE şi STDEV. În figură, este deja selectată funcţia AVERAGE şi vă este indicată şi funcţia STDEV. După ce aţi selectat funcţia dorită, apăsaţi butonul OK. Se va deschide fereastra Function Arguments. Caseta umber este selectată automat. În acest moment, este suficient ca ţinând apăsat butonul stâng al mouse-ului să selectaţi toate numerele a căror medie doriţi să o obţineţi (pe ecran, căsuţele selectate sunt înconjurate de un chenar format dintr-o linie întreruptă mişcătoare) : 5

16 În căsuţa A scrie acum AVERAGE(A:J) iar în caseta umber apare plaja de căsuţe selectate : A:J. Deja fereastra Function Arguments vă indică valoarea medie în dreptul tetului Formula result. Pentru a încheia, nu vă mai rămâne decât să apăsaţi butonul OK, iar rezultatul va fi înscris în căsuţa A. Pentru a obţine şi abaterea pătratică medie, va trebui să selectaţi o altă căsuţă, de eemplu A, şi să repetaţi operaţiile, folosind de această dată funcţia STDEV. Măsurare indirectă : eroarea măsurării Să ne imaginăm că doriţi să măsuraţi rezistenţa interioară a unei surse de curent continuu (o baterie sau un acumulator). O metodă (nu reostat foarte eactă, dar simplă) ar fi să utilizaţi circuitul electric alăturat. Legea a doua a lui Kirchhoff V arată că într-un asemenea circuit tensiunea electromotoare a sursei este proporţională cu intensitatea curentului electric şi cu suma dintre rezis- A E,r tenţa interioară a sursei şi rezistenţa totală a circuitului eterior : E I( r R) Dacă ne situăm în ipoteza că ampermetrul şi voltmetrul din circuit sunt ideale (adică simpla lor prezenţă în circuit nu introduce erori de măsură suplimentare), iar firele de legătură au rezistenţă neglijabilă, ajungem la concluzia că rezistenţa circuitului eterior aparţine în întregime reostatului. Prin deplasarea cursorului reostatului, putem face să varieze rezistenţa acestuia. Astfel, pentru două poziţii ale cursorului, putem scrie : 6

17 ( ) ( ) R r I E R r I E Eliminând tensiunea electromotoare E între cele două ecuaţii, obţinem : ( ) R I R I I I r Conform legii lui Ohm, produsul IR este chiar tensiunea U la bornele rezistorului. Această tensiune este măsurată de voltmetrul inserat în circuit. Obţinem în final : I I U U r Aparatele de măsură din circuit ne permit să aflăm valorile intensităţilor şi tensiunilor în cele două cazuri, iar prin calcul putem determina indirect valoarea rezistenţei interioare. Să presupunem că am obţinut următoarele valori : U (, ±,) V, U (,4 ±,) V, I (5 ± 5) ma, I (5 ± 5) ma Rezistenţa interioară are valoarea : ( ) ( ) Ω Ω A V ,,,,, r Ce eroare de măsură s-a făcut? Dacă diferenţiem epresia lui r obţinem : di I r di I r du U r du U r dr ( ) ( ) di I I U U di I I U U du I I du I I dr Eroarea absolută δr se calculează utilizând modulele acestor cantităţi : ( ) ( ) ( )( ( ) ) I I I I U U I I U U I I I U U I I I U U U I I U I I r δ δ δ δ δ δ δ δ δ Eroarea relativă este : ( )( ) ( ) I I I I U U U U I I U U I I I I U U I I U U r δ δ δ δ δ δ δ δ ε Obţinem : %,,,,, r ε În aceste condiţii eperimentale, nu putem pretinde că am măsurat rezistenţa interioară a sursei! Eroarea este atât de mare încât valoarea de 6,6 Ω nu poate fi susţinută eperimental. Dacă precizia instrumentelor de măsură ar fi fost de zece ori mai mare (, V, V, 5 ma,5 ma) eroarea era doar de 8,6%, iar rezultatul de 6,6 Ω credibil. 7

18 TEMĂ Ce lungime aţi putea măsura cu o riglă obişnuită fără ca eroarea să depăşească %? Dacă aveţi la dispoziţie o riglă de cm şi doriţi să măsuraţi lungimea unei mese din laborator, ce eroare absolută credeţi că se face? Fie două şiruri de date, corespunzând măsurătorilor făcute de doi operatori diferiţi : A:,;,5;,5;,5;,; ;,5;,;,;,5 B:,;,;,5;,;,5;,9;,6;,;,4;,5 Prin ce se deosebesc rezultatele obţinute de ei? Aruncaţi în aer de de ori o monedă. Evident, veţi constata că după cădere, moneda vă înfăţişează capul sau pajura. Înregistraţi şi de câte ori la rând se întâmplă să obţineţi doar cap sau doar pajură. Faceţi un tabel de date în care înscrieţi dacă a căzut cap şi a urmat pajură, dacă a căzut cap şi a urmat tot cap, dacă a căzut de trei ori la rând cap, etc. Faceţi acelaşi lucru, dar punând un semn negativ dacă situaţia este inversă. Calculaţi în final suma cifrelor din tabel. Ce vă spune această sumă? Verificaţi de câte ori apare aceeaşi cifră în tabel. Ce constataţi? Studiind datele, ce cotă de pariu aţi accepta pentru a susţine că dacă la prima aruncare a căzut cap, la a doua va cădea tot cap? Inversaţi cerinţa în cazul circuitului electric prezentat ca eemplu şi aflaţi eroarea făcută la determinarea prin aceeaşi metodă a tensiunii electromotoare. Acceleraţia gravitaţională ar putea fi determinată cunoscând înălţimea de la care cade liber un corp greu şi timpul de cădere : g h/t. Găsiţi formula erorii relative în cursul acestei determinări. 8

19 AD MĂSURARE, SISTEMUL ITERAŢIOAL, AALIZĂ DIMESIOALĂ CUVITE CHEIE TEMA APLICAŢIEI Măsurare Teorema fundamentală a unităţilor de măsură Mărimi fizice fundamentale şi mărimi fizice derivate Formulele dimensionale ale mărimilor fizice Analiza dimensională Metoda lui Rayleigh Fizica este în bună măsură o ştiinţă eperimentală. Legile sale fundamentale se descoperă prin cercetări de laborator, care implică măsurarea unor mărimi fizice şi găsirea corelaţiilor dintre acestea. Fizica modernă, în particular, dar şi alte ştiinţe eacte, necesită utilizarea unui sistem de unităţi de măsură, întocmit pe principii de simplitate, adecvare, universalitate. Sistemul Internaţional de Unităţi de Măsură (SI) corespunde în acest moment cel mai bine acestor nevoi. De aceea, urmărim familiarizarea dvs. cu acest sistem. SCOPUL APLICAŢIEI Însuşirea noţiunii de mărime fizică măsurabilă, cunoaşterea mărimilor fizice fundamentale şi unităţilor lor de măsură în Sistemul Internaţional. Iniţierea în metodele analizei dimensionale şi rezolvarea de probleme dimensionale utilizând metoda lui Rayleigh. 9

20 DEFIIŢII ŞI FORMULE Măsurare înseamnă compararea a două mărimi fizice de acelaşi fel, dintre care una este luată ca etalon. Rezultatul măsurării este un număr. Acest număr nu poate avea o semnificaţie ulterioară dacă nu este specificat şi etalonul (numit în mod obişnuit unitate de măsură. De eemplu, măsurând camera cu pasul şi găsind că acesta intră de şase ori în lungimea camerei, informaţia că lungimea încăperii este 6 este absolut inutilă dacă nu adăugăm şi cuvântul paşi. Teorema fundamentală a unităţilor de măsură afirmă că raportul numerelor care reprezintă rezultatele măsurării unei aceleiaşi mărimi fizice cu două etaloane diferite este egal cu inversul raportului dintre cele două etaloane. Cunoaşterea acestei teoreme ne ajută să găsim valoarea pe care am determina-o măsurând cu un anumit etalon, în funcţie de rezultatul măsurării cu alt etalon, doar cunoscând raportul celor două etaloane. De eemplu, un coleg al dumneavoastră are un monitor cu diagonala de de inch. Dacă doriţi să ştiţi mărimea diagonalei în centimetri, nu este nevoie să mergeţi la el acasă cu ruleta pentru a o măsura personal. Este suficient să ştiţi că inch are aproimativ,5 cm, pentru a calcula mărimea diagonalei :,5 5,5 cm. În sistemele de unităţi de măsură eistă mărimi fizice având etaloane a căror definire se face în mod arbitrar. Aceste mărimi fizice se numesc mărimi fizice fundamentale, iar unităţile lor de măsură sunt unităţile de măsură fundamentale ale sistemului de unităţi de măsură. Alte mărimi fizice au unităţi de măsură care se definesc cu ajutorul unităţilor de măsură fundamentale. Acestea se numesc mărimi fizice derivate, iar unităţile lor de măsură sunt unităţi de măsură derivate. În Sistemul Internaţional eistă doar şapte mărimi fizice fundamentale, restul mărimilor fizice fiind mărimi derivate. Mărimile fizice fundamentale ale unui sistem de unităţi de măsură se mai numesc dimensiunile sistemului de unităţi de măsură. Relaţia care eistă între o unitate de măsură derivată şi unităţile de măsură fundamentale poate fi transpusă în mod mai general ca o relaţie cu dimensiunile sistemului de unităţi de măsură. Această relaţie se numeşte formulă dimensională. Analiza dimensională este domeniul care se ocupă cu stabilirea relaţiilor între formulele dimensionale ale diferitelor mărimi fizice. Pe baza acestor relaţii se

21 pot uneori determina forme aproimative ale unor legi valabile în anumite situaţii eperimentale. Chiar dacă formulele determinate utilizând analiza dimensională sunt doar aproimative, ele pot constitui un mare ajutor în simplificarea eperimentelor care urmează să stabilească forma corectă a legilor respective. De asemenea, prin analiza dimensională se pot pune în evidenţă rapoarte adimensionale ale unor mărimi fizice, numite criterii, care sunt utilizate pentru a caracteriza preponderenţa unui anumit efect fizic în raport cu altul. De eemplu, raportul adimensional (adică fără unitate de măsură) între densitatea unui corp şi densitatea unui lichid (ρ corp /ρ lichid ) constituie un criteriu de flotabilitate. Dacă valoarea criteriului este supraunitară, corpul se scufundă complet în lichid, iar în caz contrar, pluteşte. Analiza dimensională se asociază şi cu o altă metodologie de lucru, denumită similitudine. Dacă formulele dimensionale care caracterizează un anumit proces fizic (de eemplu, mecanic) coincid cu acelea care se referă la alt proces fizic (de eemplu, electric), atunci prin studiul eperimental al unuia dintre ele şi utilizând ştiinţa similitudinii se pot trage concluzii asupra rezultatelor care s-ar obţine studiind celălalt proces. Metoda lui Rayleigh constituie o modalitate relativ simplă de a stabili posibile formule matematice care să descrie interdependenţa mărimilor fizice care caracterizează desfăşurarea unui anumit proces fizic. În esenţă, metoda presupune că una dintre mărimile implicate în proces este un produs de puteri necunoscute ale celorlalte mărimi. Considerentele de analiză dimensională permit găsirea de relaţii între eponenţii (puterile) din formulă, rezultatul fiind în cazul cel mai favorabil chiar legea care guvernează respectivul proces, determinată până la nivelul unei constante ce urmează a fi măsurată eperimental. Metoda Rayleigh este eficientă mai ales în studiul unor procese fizice în care numărul parametrilor implicaţi este mic, în caz contrar aplicarea ei devenind greoaie. În situaţiile mai complicate se foloseşte o altă metodă, numită teorema, care are avantajul de a fi mai corectă din punct de vedere fizic.

22 ASPECTE TEORETICE Scopul fizicii este acela de a stabili legile în virtutea cărora se desfăşoară procesele din natură. Aceste legi pot fi eprimate atât sub formă calitativă cât şi sub formă cantitativă. Forma calitativă a unei legi fizice este de cele mai multe ori prea vagă pentru a avea aplicaţii practice. De aceea, este necesară stabilirea unei forme cantitative pentru fiecare lege a fizicii. Forma cantitativă a unei legi a fizicii este o relaţie matematică între mărimi fizice măsurabile. Mărimile fizice măsurabile sunt, aşa cum le spune şi numele, acele mărimi fizice care pot fi măsurate. Iată definiţia măsurării : măsurarea unei mărimi fizice înseamnă compararea ei cantitativă cu o mărime fizică de aceeaşi natură, aleasă ca unitate de măsură. Vom folosi în continuare următoarele notaţii : A mărimea fizică măsurabilă <A> unitatea de măsură a valoarea numerică rezultată în urma măsurării Între aceste mărimi eistă următoarea relaţie : A a A Evident, aceeaşi mărime fizică poate fi măsurată cu două unităţi de măsură diferite : A A a ; a A A Făcând raportul celor două valori numerice, rezultă : a A a A Această relaţie a primit denumirea de teorema fundamentală a unităţilor de măsură şi se enunţă astfel : măsurând o mărime fizică cu două unităţi de măsură diferite, raportul valorilor numerice obţinute este invers proporţional cu raportul celor două unităţi de măsură, fiind independent de mărimea fizică măsurată. Forma cantitativă a unei legi fizice poate fi eprimată în două moduri diferite :

23 formula matematică, adică relaţia matematică dintre mărimile fizice : A F( A,A,...A n ) formula fizică, adică relaţia matematică dintre valorile mărimilor fizice : a f ( a,a,...a n ) În general, determinarea unei legi a fizicii se face pe cale eperimentală, găsindu-se corelaţiile între valorile mărimilor fizice care intervin. Aceste valori sunt stabilite utilizând unităţi de măsură specifice fiecăreia dintre mărimile fizice implicate. Totalitatea unităţilor de măsură ataşate mărimilor fizice cunoscute la un moment dat se numeşte sistem de unităţi de măsură. Dacă unităţile de măsură aparţinând unui sistem de unităţi de măsură sunt definite în mod arbitrar atunci sistemul de unităţi de măsură se numeşte incoerent. Folosirea unui sistem de unităţi de măsură incoerent generează neajunsuri în ceea ce priveşte relaţia dintre formulele fizică şi matematică ale unei legi a fizicii. Eliminarea discrepanţelor între formula fizică şi cea matematică este aceea care impune reducerea la minimum posibil a mărimilor fizice care au unităţi de măsură alese arbitrar. Dacă într-un sistem de unităţi de măsură numărul mărimilor fizice fundamentale este cel mai mic posibil, sistemul de unităţi de măsură se numeşte sistem coerent de unităţi de măsură. Dacă eistă mărimi fizice distincte şi n legi fizice independente, obţinem n relaţii între unităţile de măsură ale celor mărimi fizice, numărul mărimilor fizice fundamentale devenind egal cu diferenţa n. otând mărimile fizice fundamentale cu : F, F... F -n şi unităţile lor de măsură (stabilite arbitrar) cu : F, F... F n rezultă că unităţile de măsură derivate se pot eprima ca produse ale unor anumite puteri ale unităţilor fundamentale : k k k F ϕ ϕ ϕ F... F n A ( n )k În istoria ştiinţei şi tehnicii s-au folosit diverse sisteme coerente de unităţi de măsură. Utilizarea lor simultană putea duce la confuzii. De aceea prin hotărârea Conferinţei Generale de Măsuri şi Greutăţi (Paris, 96) s-a adoptat un sistem de unităţi de măsură unic pe plan internaţional, bazat pe sistemul metric. Acesta poartă denumirea de Sistemul Internaţional de Unităţi de Măsură sau, prescurtat, SI.

24 Sistemul Internaţional este un sistem coerent care cuprinde şapte mărimi fizice fundamentale, numite dimensiuni ale acestui sistem de unităţi. Tabelul următor cuprinde lista mărimilor fizice fundamentale ale Sistemului Internaţional : Mărimea fizică Simbolul dimensional Unitate de măsură Simbolul unităţii de măsură LUGIME L metru m TIMP T secundă s MASĂ M kilogram kg TEMPERATURĂ Θ kelvin K CATITATE DE kilomol kmol SUBSTAŢĂ ITESITATEA CURETULUI ELECTRIC ITESITATE LUMIOASĂ I amper A E candelă cd Toate cele şapte unităţi de măsură fundamentale sunt definite în mod arbitrar (de eemplu, kelvinul este a 7,6-a parte din intervalul de temperatură între zero absolut şi temperatura punctului triplu al apei distilate). Toate celelalte unităţi de măsură utilizate de Sistemul Internaţional sunt unităţi de măsură derivate (de eemplu, viteza se măsoară în metri pe secundă). Sistemul metric (folosit pentru prima oară după Revoluţia Franceză din 789) a urmărit eprimarea simplă a multiplilor sau submultiplilor unităţilor de măsură fundamentale. Ideea principală a fost aceea că multiplii sau submultiplii se precizează prin folosirea unor prefie, adăugate unităţii de măsură. Aceste prefie nominalizează multiplicarea (sau demultiplicarea) prin sau. Iată, în continuare, prefiele folosite la ora actuală : 4

25 PREFIX SIMBOL VALOARE Multiplicare... Terra T... Giga G 9.. Mega M 6. kilo k hecto h deca da UITATE FUDAMETALĂ Demultiplicare, deci d -, centi c -, mili m -,. micro µ -6,.. nano n -9,... pico p -,... femto f -5,... atto a -8 Omogenitatea dimensională a legilor fizicii, formula dimensională a unei mărimi fizice Fie un de unităţi de măsură sistem coerent şi fie F, F... F m mărimile fizice fundamentale ale acestuia. Fie de asemenea formula matematică A f ( A,A,...A ) n şi formula fizică a f ( a,a,...a ) n ale unei legi a fizicii. Deoarece sistemul de unităţi de măsură este coerent, forma matematică a celor două formule este identică. În această situaţie, unitatea de măsură a mărimii A se eprimă astfel : f ( A,A,...An ) A f ( a,a,...an ) Unitatea de măsură A nu poate depinde de valorile particulare a, a,... a n pe care le iau mărimile fizice A, A,... A n! Rezultă că legea fizică a f ( a,a,...a n ) trebuie să fie o funcţie omogenă în raport cu unităţile de măsură ale mărimilor fizice de care depinde : 5

26 f n ( A,A,...A ) f ( a A,a A,...a A ) A A... A f ( a,a,... a ) n n n Această cerinţă care trebuie satisfăcută de legea fizică se numeşte condiţia de omogenitate. Dacă condiţia de omogenitate este satisfăcută, rezultă : A A A Pe de altă parte, unităţile de măsură derivate A, A,... A n se eprimă în funcţie de unităţile fundamentale, conform relaţiilor : F sau : A... A n ϕk ϕk k F F... F m Înlocuind în relaţia rezultată din condiţia de omogenitate obţinem : ϕ F ϕ... F F ϕ F ϕm m ϕ F ϕ ϕ ϕm ϕn ϕn ϕmn ( F F... F ) ( ) n m... F F... Fm ϕ ϕ... F m... ϕ n ϕ n m... F F m ϕ ϕ m n ϕ ϕ ϕ mk m n... ϕ n... ϕ Deoarece unităţile de măsură F, F,... F m au fost definite arbitrar, relaţia poate fi satisfăcută doar dacă eponenţii aceleiaşi unităţi de măsură valori egale în cei doi membri ai ecuaţiei : ϕ ϕ ϕ... ϕn n... ϕm ϕm ϕm... ϕmn Ele sunt echivalente următoarei formulări a condiţiei de omogenitate : n mn n n n Termenii unei epresii matematice, care corespunde unei legi a fizicii, trebuie să aibă acelaşi grad de omogenitate în raport cu fiecare dintre unităţile de măsură fundamentale. Condiţia de omogenitate este independentă de unităţile de măsură ale mărimilor fizice fundamentale ale sistemului de unităţi de măsură. Deoarece condiţia de omogenitate depinde doar de alegerea mărimilor fizice fundamentale, putem introduce noţiunea de dimensiune asociată unei mărimi fizice fundamentale F i, notată [F i ]. 6

27 În aceste condiţii, relaţiilor între unităţile de măsură derivate şi unităţile de măsură fundamentale : k k k F ϕ ϕ ϕ F... F m A le corespund relaţii asemănătoare între dimensiunea mărimii derivate şi dimensiunile mărimilor fundamentale : ϕ [ ] [ ] [ ] [ ] k ϕ Ak F F k ϕ... Fm mk Acest tip de relaţie poartă numele de formulă dimensională a unei mărimi fizice. Metoda Rayleigh Să presupunem că suntem în situaţia că trebuie să determinăm epresia eactă a unei legi a fizicii, încă necunoscută, de forma : A f ( A,A,...A n ) Eistă o infinitate de relaţii matematice posibile între mărimile fizice A,A, A n. u toate aceste relaţii matematice au şi sens fizic! Pot avea sens fizic doar epresiile care verifică condiţia de omogenitate : [ A ] [ A ] [ A ]...[ An ] n Ce avantaje ar putea rezulta din acest fapt? Pentru a înţelege cum putem utiliza condiţia de omogenitate dimensională, să eaminăm în continuare un : EXEMPLU Să considerăm că viteza v cu care atinge solul un corp lăsat liber la o înălţime h depinde şi de masa sa m şi de acceleraţia gravitaţională g. Frecările se pot neglija. Căutăm o lege a fizicii de forma : ( h, m, g ) v f Formulele dimensionale ale mărimilor care intervin sunt : L v SI ; h SI L ; m SI M ; g T Conform condiţiei de omogenitate dimensională avem : [] [ ] [ ] [ ] v h m g sau : sau : [] [] [ ] [] SI L L T L M L T - T M L - T M mk T L 7

28 Dimensiunile sistemului de unităţi de măsură sunt mărimi independente, ceea ce are drept urmare faptul că eponenţii lor din membrul stâng trebuie să fie egali cu eponenţii din membrul drept al epresiei : - Soluţiile acestui sistem de ecuaţii sunt :,, Rezultă că relaţia de omogenitate are forma : sau : [] v [] h [ m] [ g] [] v [ gh] Se ştie că legea vitezei căderii libere a unui corp în câmpul gravitaţional terestru este : v gh Comparând condiţia de omogenitate dimensională cu legea vitezei, remarcăm asemănarea lor! Diferenţa este dată doar de un coeficient numeric adimensional. Concluzia pe care o sugerează acest eemplu este următoarea : Cel puţin în anumite cazuri, epresia matematică a unei legi a fizicii corespunde până la unii factori numerici adimensionali cu epresia matematică a condiţiei de omogenitate. Desigur, eemplul studiat a fost unul particular. În cazul general, eistă următoarele posibilităţi :. umărul ecuaţiilor independente ale sistemului de ecuaţii, p m, este mai mare decât numărul n al eponenţilor j. În acest caz, sistemul de ecuaţii este incompatibil. Sensul fizic al acestei situaţii matematice este acela că numărul mărimilor fizice luate în considerare este prea mic, fenomenul studiat depinzând şi de alte mărimi fizice. Legea pe care o căutăm A f ( A,A,...A n ) nu eistă!. umărul ecuaţiilor independente ale sistemului de ecuaţii, p m, este egal cu numărul n al eponenţilor j. În acest caz, sistemul de ecuaţii este compatibil determinat, iar eponenţii j sunt unic determinaţi. Sensul fizic este acela că eistă o singură relaţie matematică între mărimile fizice considerate care să reprezinte o lege a fizicii. 8

29 . umărul ecuaţiilor independente ale sistemului de ecuaţii, p m, este mai mic decât numărul n al eponenţilor j. În acest caz, sistemul de ecuaţii este compatibil nedeterminat. Dintre eponenţii j, p se eprimă în funcţie de ceilalţi (n - p) eponenţi, luaţi ca parametri. Sensul fizic este că eistă mai multe epresii matematice compatibile cu legea fizică căutată. Rayleigh şi-a propus să determine forma concretă a legii fizice în cazurile al doilea şi al treilea. Pentru aceasta el face următoarea afirmaţie suplimentară : Ipoteza lui Rayleigh : omogenitatea în raport cu dimensiunile mărimilor fizice este o consecinţă a omogenităţii în raport cu însăşi mărimile fizice ce intervin în epresia unei legi fizice. Matematic această ipoteză se poate eprima astfel : A f ( A,A,...A n ) A A A... A [ ] [ ] [ ] [ ] n n A KA A...A n n unde K este o constantă numerică ([K] ). În cazul al doilea, această ipoteză, ne permite să afirmăm că legea fizică căutată are o formă unică : ( µ,...µ ) ( µ ) mn n,...µ mn A K A... A În cazul al treilea, în funcţie de rangul nedeterminării, (n - p), se vor introduce parametrii λ, λ,... λ n-p, astfel încât soluţiile sistemului de ecuaţii sunt de forma : µ,... µ ; λ, λ,... λ Conform ipotezei lui Rayleigh, rezultă : A j K j A j i i ( ) mn n ( µ,...µ mn;λ,λ,...λn-p ) n j ( µ,...µ mn;λ,λ,...λn-p )... A adică A reprezintă o sumă finită sau infinită de epresii matematice compatibile cu legea fizică cerută, diferind una de cealaltă prin valorile parametrilor λ. Valorile parametrilor K j şi λ, precum şi numărul de termeni ai sumei urmează să se stabilească pe cale eperimentală. În final, putem face următoarele observaţii asupra metodei lui Rayleigh : Ea reprezintă o cale lesnicioasă pentru determinarea epresiei matematice a unor legi fizice simple, care depind de un număr redus de parametri. Dificultatea de a o utiliza creşte odată cu mărirea numărului de parametri fizici implicat de legea căutată. Ipoteza lui Rayleigh privind omogenitatea legilor fizicii nu este valabilă în toate cazurile şi de aceea soluţiile pe care le obţinem sunt uneori eronate sau incomplete. n n-p 9

30 ALTE EXEMPLE Determinaţi formula dimensională a lucrului mecanic. Rezolvare Formula de definiţie a lucrului mecanic este : L Fd cos Prin urmare, formula dimensională este : [ L ] [ F][ d][ cos] Dimensiunea deplasării d este lungime L, iar funcţia cosinus este adimensională: [cos ]. Pentru a găsi dimensiunea forţei, vom utiliza principiul fundamental al dinamicii : F ma [ F ] [ m][ a] M[ a] Folosind definiţiile acceleraţiei şi vitezei, mai obţinem : v [ ] [ v] [ v] a a t [ t] T s [] [ s] L v v t [ t] T Rezultă : L ML [ a ], [ F] T T În final : ML - [ L ] L T M T Determinaţi formula dimensională a constantei gazelor perfecte. Rezolvare Vom porni de la ecuaţia de stare a gazului ideal : pv pv νrt R [ R] νt Dar : V L, ν, T iar : [ ] [ ] [ ] Θ [ p][ V ] [ ν][ T ]

31 Rezultă p F S M LT [ p] Θ ML [ F] M T [ S] L LT - - [ R ] L L T M Θ Determinaţi formula dimensională a tensiunii electrice. Rezolvare Formula de definiţie a tensiunii electrice este : L U q unde L este lucrul mecanic făcut de câmpul electric la deplasarea sarcinii q. Sarcina electrică poate fi definită în funcţie de intensitatea curentului electric : dq I dq I dt [ q] [ I ][ t] IT dt Rezultă : ML - - [ U ] T L T M I IT Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a determina formula presiunii hidrostatice. Rezolvare Presiunea hidrostatică depinde de densitatea ρ şi adâncimea h ale lichidului, precum şi de acceleraţia gravitaţională g. Putem scrie : p f ( ρ,h,g ) Conform condiţiei de omogenitate dimensională, putem scrie : [ p] [ ρ] [ h] y [ g] z Substituind cu formulele dimensionale corespunzătoare, rezultă : De aici : L T M L ( ) ( ) y - L T M L T M ( L T M ) z y z T M L Prin egalarea eponenţilor celor trei dimensiuni, obţinem : T -z M

32 y z - z Soluţiile acestui sistem de ecuaţii sunt, y şi z. Prin urmare, condiţia de omogenitate dimensională se scrie astfel : [ p] [ ρ] [ h] [ g ] Conform ipotezei făcute de Rayleigh, condiţia de omogenitate ar reflecta chiar legea căutată : p Kρgh K fiind un coeficient numeric adimensional care urmează să fie determinat pe cale eperimentală. Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a determina înălţimea h la care urcă un lichid de densitate ρ într-un tub capilar de rază r. Coeficientul de tensiune superficială al lichidului este σ şi se măsoară în /m, iar acceleraţia gravitaţională este g. Se ştie că înălţimea este invers proporţională cu raza tubului capilar. Rezolvare Înălţimea cerută depinde de densitatea ρ şi coeficientul de tensiune superficială σ ale lichidului, de raza tubului capilar r, precum şi de acceleraţia gravitaţională g. Putem scrie : h f ( ρ, σ,r,g ) Condiţia de omogenitate dimensională este : y z w - [] [][][][] ( ) - h r g ( ) y ( )( z - ρ σ L T M L T M L T M L T M L T M ) w Se formează sistemul de ecuaţii : z w - y w y Acesta este un sistem compatibil simplu nedeterminat. Va trebui ca una dintre necunoscute să fie luată ca parametru. Fie aceasta w. Soluţiile sunt w, y -w şi z w. Prin urmare, condiţia de omogenitate dimensională se scrie astfel : [] [ ] w [ ] w h ρ σ [ r] w [ g] w Putem scrie şi : Conform ipotezei lui Rayleigh : [] h [] r [][][] ρ r g [ σ] w

33 ρgr h Kr σ Cantitatea conţinută în paranteză este un comple adimensional. În adevăr : [][][] ρ r g [ σ] w - - ( L T M )( L T M ) ( L T M ) - ( L T M ) În general, fiecărei variabile luată ca parametru îi corespunde câte un comple adimensional. Dacă folosim şi informaţia oferită de enunţ, rezultă că eponentul w al razei capilarului trebuie să aibă valoarea -. Rezultă w - şi : σ h K ρgr Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a găsi relaţia de legătură între viteza termică a moleculelor unui gaz, masa molară a gazului, temperatura gazului şi constanta gazelor ideale. Rezolvare Condiţia de omogenitate dimensională este : y z - - [] v [][ T ][ R] ( ) ( )( y µ L T M Θ L T M Θ L T M Θ L T M Θ ) z Soluţiile sunt -/, y / şi z /. Conform ipotezei lui Rayleigh : RT v K µ Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a găsi frecvenţa de oscilaţie ν a unei plăcuţe de cuarţ în funcţie de grosimea d a plăcuţei, de densitatea cuarţului ρ şi de modulul de elasticitate E (care se măsoară în /m ). Rezolvare Condiţia de omogenitate dimensională este : y z - [ ] [ d] [ ] [ E] ( ) - ( )( y - - ν ρ L T M L T M L T M L T M ) z Soluţiile sunt -, y -/ şi z /. Prin urmare, condiţia de omogenitate dimensională se scrie astfel : [ ν ] [ d] [ ρ] / [ E] / Conform ipotezei lui Rayleigh : E ν K d ρ

34 TEMĂ Determinaţi formula dimensională a inductanţei electrice. Indicaţie Energia câmpului magnetic al unui curent electric are formula LI W m Determinaţi formula dimensională a inducţiei magnetice. Indicaţie Forţa electromagnetică are epresia F BIl sin Un corp se roteşte uniform pe o traiectorie circulară de rază r. Viteza unghiulară a rotaţiei este ω. Folosiţi metoda Rayleigh pentru a afla forţa centripetă. Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a găsi relaţia de legătură între putere, forţă şi viteză. Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a determina timpul de urcare al unui corp aruncat vertical în sus. Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a determina viteza iniţială v a unui autoturism care frânează cu acceleraţia a până la oprire. Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a găsi relaţia de legătură între putere, intensitatea curentului electric şi tensiunea electrică. Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a găsi relaţia de legătură între fluul de inducţie magnetică, inductanţă şi intensitatea curentului electric. 4

35 UM UITĂŢI DE MĂSURĂ, TRASFORMĂRI DE UITĂŢI DE MĂSURĂ CUVITE CHEIE TEMA APLICAŢIEI Sistemul Internaţional Sistemul MKS Sistemul CGS Sistemul MKfS Sistemul anglo-american Sistemul CGSε Sistemul CGSµ Sistemul CGS Gauss Unităţi de măsură tolerate În decursul timpului atât în ştiinţă, cât şi în tehnică s-au folosit numeroase unităţi de măsură, destinate măsurării aceloraşi mărimi fizice. În Antichitate şi Evul Mediu, mijloacele reduse de comunicare între diverse regiuni geografice făceau posibilă eistenţa unor sisteme de unităţi de măsură locale, dintre care unele se mai păstrează şi astăzi. Doar epoca modernă, în care a devenit necesară comunicarea globală, a impus unificarea şi standardizarea sistemelor de unităţi măsură. Cu toate acestea, eistă cărţi şi manuale vechi care mai folosesc unităţi de măsură aparent neobişnuite celui familiarizat cu Sistemul Internaţional. De aceea este necesar să cunoaştem unităţile de măsură care nu mai sunt în uz şi să le putem transforma în cele cu care se operează la momentul actual. SCOPUL APLICAŢIEI Familiarizarea cu sisteme de unităţi de măsură sau cu unităţi de măsură mai puţin cunoscute. Formarea capacităţii de a transforma valori ale unor mărimi fizice eprimate în anumite unităţi de măsură în valori eprimate în alte unităţi de măsură. 5

36 DEFIIŢII ŞI FORMULE Sistemul Internaţional de Unităţi de Măsură (SI) este folosit prin lege atât în ţara noastră, cât şi pe plan internaţional. Tabelul următor cuprinde lista mărimilor fizice fundamentale ale Sistemului Internaţional : Mărimea fizică Simbolul dimensional Unitatea de măsură Simbolul unităţii de măsură LUGIME L metru m TIMP T secundă s MASĂ M kilogram kg TEMPERATURĂ Θ kelvin K CATITATE DE SUBSTAŢĂ kilomol kmol I amper A ITESITATE A CURETULUI ELECTRIC ITESITATE LUMIOASĂ E candelă cd Sistemul MKS a fost la origine un sistem de unităţi de măsură folosit în tehnică, în domeniul mărimilor fizice mecanice. Dimensiunile sale sunt lungimea, masa şi timpul, iar unităţile de măsură corespunzătoare sunt metrul, kilogramul şi secunda. Sistemul CGS a fost la origine un sistem de unităţi de măsură folosit în fizică sau alte ştiinţe eperimentale şi acoperă tot domeniul mărimilor fizice mecanice. Dimensiunile sale sunt lungimea, masa şi timpul, iar unităţile de măsură corespunzătoare sunt centimetrul, gramul şi secunda. Formulele dimensionale ale mărimilor fizice sunt aceleaşi atât în sistemul CGS, cât şi în sistemul MKS, dar unităţile de măsură diferă. Sistemul MKfS a fost la origine un sistem de unităţi de măsură folosit în tehnică, în domeniul mărimilor fizice mecanice. Dimensiunile sale sunt lungimea, forţa şi timpul, iar unităţile de măsură corespunzătoare sunt metrul, kilogramul-forţă şi secunda. Sistemul de unităţi de măsură anglo-american are o foarte lungă istorie. 6

37 Încă din timpurile când a fost elaborată Magna Carta (5), a fost necesară includerea în conţinutul ei a unor prevederi legate de măsurile folosite pentru cereale şi vinuri. Câţiva ani mai târziu, printr-o ordonanţă regală, s-a stabilit o lungă listă de unităţi şi standarde, care a rămas în vigoare aproape 6 de ani. De atunci datează yardul, divizat în trei picioare, de câte inch fiecare. Multiplul yardului este prăjina (5,5 yarzi). Interesantă este şi originea cuvântului inch. Această unitate de măsură îşi trage numele din vechile cuvinte englezeşti unce (sau ynche ), care, la rândul lor provin din latinul uncia, care era a douăsprezecea parte din piciorul roman. Vechiul ynche a fost definit de regele David I al Scoţiei, pe la anul 5. Un ynche trebuia să fie egal cu lăţimea degetului gros al unui bărbat, la baza unghiei. Pentru a se evita încurcăturile sau confuziile, în practică se măsurau lăţimile degetelor a trei bărbaţi de staturi de la mic, la mediu şi la mare, după care se făcea media aritmetică. Pe vremea regelui Edward al II-lea, la începutul secolului 4, un inch se definea ca lungimea a trei seminţe de orz uscate, puse cap la cap. Din 959, oficial, un inch reprezintă,54 centimetri. Epansiunea colonială şi comercială a Angliei a făcut ca măsurile de englezeşti de lungime, masă, volum să capete importanţă deosebită la nivelul comerţului mondial. Din acest motiv, chiar după dobândirea independenţei, Statele Unite ale Americii nu au adoptat sistemul metric, preferând păstrarea celui englezesc. Principalul neajuns al sistemului de unităţi anglo-american este legat de transformările dificile între unităţile de măsură. Sistemele CGSε (sistemul absolut de unităţi electrostatice), CGSµ (sistemul absolut de unităţi electromagnetice) şi CGS Gauss (sistemul absolut de unităţi al lui Gauss) au în comun ca unităţi de măsură fundamentale centimetrul, gramul şi secunda, dar atribuie valori convenţionale, unitare, adimensionale, unor constante fizice universale (în CGSε permitivitatea electrică a vidului este egală cu, în CGSµ permeabilitatea magnetică a vidului este egală cu, iar în sistemul Gauss aceste două constante universale sunt ambele egale cu unitatea. Dacă în domeniul mecanicii folosirea acestor sisteme de unităţi de măsură nu are prea mare influenţă, în electromagnetism ecuaţiile câmpului electromagnetic se scriu sub o formă neraţionalizată. Unităţile de măsură tolerate nu aparţin Sistemului Internaţional şi nici altor sisteme de unităţi de măsură, dar se folosesc din motive practice, istorice sau pur şi simplu din inerţie. În general, se recomandă evitarea lor, şi cu toate acestea le putem întâlni adesea în viaţa de zi cu zi. 7

38 ASPECTE TEORETICE Vom oferi în continuare câteva tabele de transformări, punând în evidenţă doar un număr de mărimi fizice mai importante. Mărimea fizică RELAŢII ÎTRE UITĂŢI DE MĂSURĂ MECAICE Î SISTEMELE SI (MKS) ŞI CGS Unitatea de măsură în SI Formula dimensională Simbolul unităţii de măsură în SI 8 Unitatea de măsură în CGS Simbolul unităţii de măsură în CGS Raportul între unităţile de măsură lungime L M T metru m centimetru cm m cm timp L M T secundă s secundă s s s masă L M T kilogram kg gram g kg g viteză L M T - metru pe secundă acceleraţie L M T - metru pe secundă la pătrat m/s m/s centimetru pe secundă centimetru pe secundă la pătrat cm/s m/s cm/s cm/s m/s cm/s forţă L M T - newton dyn dyn 5 dyn impuls L M T - kilogram - metru pe kg m/s gram - centimetru pe secundă g cm/s kg m/s 5 g cm/s secundă energie L M T - joule J erg erg J 7 erg putere L M T - watt W erg pe secundă erg/s W 7 erg/s presiune L - M T - pascal Pa barye barye Pa barye densitate L - M T kilogram pe metru cub kg/m gram pe centimetru cub g/cm kg/m - g/cm momentul forţei moment cinetic moment de inerţie L M T - newton - metru L M T - kilogram metru pătrat pe secundă L M T kilogram metru pătrat m kg m /s kg m dyn - centimetru gram - centimetru pătrat pe secundă gram - centimetru pătrat dyn cm m 7 dyn cm g cm /s kg m /s 7 g cm /s g cm kg m 7 g cm

39 Atât sistemul CGS cât şi sistemul MKS sunt sisteme de unităţi de măsură coerente. Mai mult, mărimile fizice fundamentale ale celor două sisteme sunt aceleaşi. Rezultă de aici că transformările de unităţi de măsură între cele două sisteme, revin, de fapt, la redefinirea unităţilor de măsură fundamentale : F K F i adică noile unităţi de măsură sunt multipli ai vechilor unităţi, factorii K i fiind doar coeficienţi numerici. Condiţia de omogenitate dimensională corespunzătoare unei legi a fizicii de forma : A f ( A,A,...A n ) este : i i şi devine : K ϕ F F...K ϕ F ϕ m ϕ ϕ F ϕ ϕ...k ϕ m.. ϕ m mn m... F m... ϕ În virtutea condiţiei de omogenitate, n F m ϕ n m ϕ n m... K F F m ϕ ϕ ϕ ϕ m ϕ.. ϕ n n... ϕ m F n... ϕ n mn n ϕ.. ϕ ϕm.. ϕmnn Fm ϕ ϕ ϕ... ϕn n, rezultând ϕ ϕ.. ϕn n K K ş.a.m.d., astfel încât toţi coeficienţii numerici se simplifică, rămânându-ne : F ϕ... F m ϕ m ϕ.. ϕn n ϕm.. F... F Concluzia este aceea că date fiind două sisteme de unităţi de măsură coerente, bazate pe aceleaşi mărimi fizice fundamentale, formulele dimensionale ale mărimilor fizice au aceeaşi formă în ambele sisteme, diferite fiind doar unităţile de măsură. Pornind de la această concluzie, putem găsi o relaţie generală după care se poate face transformarea unei unităţi de măsură din MKS în CGS sau invers. Avem : λ µ τ [ A ] CGS [ A] MKS L M T Atunci : λ τ µ A cm s g Rezultă : Deci : A A A A MKS CGS MKS CGS A CGS MKS λ τ m m s kg λ τ cm s g µ µ λ s τ kg m cm µ λ m kg g µ λ µ λ µ ( ) ( ) 9 ϕ mn n n n

40 astfel încât, în final obţinem : A MKS λµ A CGS În tehnică, s-a folosit în paralel cu sistemul MKS sistemul MKfS (metru - kilogram-forţă - secundă). Mărimile fizice fundamentale ale celor două sisteme sunt diferite. Aşa cum am văzut sistemul MKS este bazat pe lungime (L), timp (T) şi masă (M), în timp ce sistemul MKfS are ca mărimi fundamentale lungimea (L), timpul (T) şi forţa (F). În aceste condiţii, formulele dimensionale ale mărimilor fizice sunt diferite în cele două sisteme. Să luăm ca eemplu puterea mecanică, definită ca lucrul mecanic efectuat în unitatea de timp : L P t obţinem următoarele relaţii dimensionale P L t L T M T L T M [ ] SI [ ] SI [ ] SI [ P] [ L] [ t] [ F] [ d] [ t] F L T L T F MKfS MKfS MKfS MKfS MKfS unităţile de măsură corespunzătoare sunt P m s kg W P SI MKfS m Dacă ţinem cont că kgf 9,8, rezultă P P s MKfS SI kgf 9,8 MKfS (watt) kgf m s adică unitatea de măsură a puterii în MKfS este de 9,8 ori mai mare decât în SI. În general, relaţiile de transformare ale formulelor dimensionale şi ale unităţilor de măsură din sistemul MKfS în Sistemul Internaţional se scriu astfel: λ' τ' ϕ' [ A] L T F [ A] A MKfS MKfS m λ' s τ' kgf ϕ' A SI SI L 9,8 λ' ϕ' -ϕ' m T τ' ϕ' λ' ϕ' s M ϕ' τ' ϕ' kg ϕ' Pentru mărimile mecanice mai importante, tabelul de transformări între MKS şi CGS este următorul : 4

41 RELAŢII ÎTRE UITĂŢI DE MĂSURĂ MECAICE Î SISTEMELE SI (MKS) ŞI MKfS Mărimea fizică Unitatea de măsură în SI Simbolul unităţii de măsură în SI 4 Unitatea de măsură în MKfS Simbolul unităţii de măsură în MKfS Raportul între unităţile de măsură lungime metru m metru cm m m timp secundă s secundă s s s masă kilogram kg kilogram kg kg kg /9,8 kgf s /m viteză acceleraţie metru pe secundă metru pe secundă la pătrat m/s metru pe secundă m/s m/s m/s m/s metru pe secundă la pătrat m/s m/s m/s forţă newton kilogram-forţă kgf /9,8 kgf energie joule J kilogram-forţă - kgf m J /9,8 kgf m metru putere watt W kilogram-forţă metru pe secundă kgf m/s W /9,8 kgf m/s presiune pascal Pa kilogram-forţă pe metru pătrat kgf/m Pa /9,8 kgf/m e vom mărgini în continuare să prezentăm, fără prea multe amănunte, unităţile de măsură ale unor mărimi electromagnetice în SI, CGSµ şi CGSε : UITĂŢI DE MĂSURĂ Mărimea fizică SI CGSµ CGSε Intensitatea curentului amper (A) biot (Bi) statamper (sta) electric (I) Sarcina electrică coulomb (C) abcoulomb (abc) statcoulomb (stc) (Q) Tensiunea electrică volt (V) abvolt (abv) statvolt (stv) (U) Rezistenţa electrică ohm (Ω) abohm (abω) statohm (stω) (R) Capacitatea electrică farad (F) abfarad (abf) statfarad (stf) (C) Inductanţa (L) henry (H) abhenry (abh) stathenry (sth) Intensitatea câmpului electric (E) volt pe metru (V/m) abvolt pe centimetru (abv/cm) statvolt pe centimetru (stv/cm) Inducţia câmpului magnetic (B) tesla (T) gauss (Gs) stattesla (stt)

42 Alături de unităţile de măsură aparţinând diferitelor sisteme de unităţi de măsură, putem întâlni şi unităţile de măsură tolerate. Acestea sunt menţinute fie datorită caracterului lor istoric, fie pentru că utilizarea lor este răspândită în practică. Vom menţiona în continuare câteva dintre cele mai cunoscute unităţi de măsură tolerate: ume Simbol Mărimea măsurată Relaţia cu unitatea SI tonă t masa t kg carat ct masa ct -4 kg unitate atomică de masă uam masa uam,67-7 kg kilogram-forţă kgf forţa kgf 9,8 bar bar presiunea bar Pa atmosferă fizică atm presiunea atm 5 Pa atmosferă tehnică at presiunea at 98 Pa milimetru coloană de mercur mmhg presiunea mmhg, Pa (torr) (torr) milimetru coloană de apă mmh O presiunea mmh O 9,8 Pa calorie cal căldura cal 4,8 J kilowatt-oră kwh energia kwh,6 6 J electron-volt ev energia ev,6-9 J cal-putere CP puterea CP 75,5 W litru l volumul l, m angstrom Å lungimea Å - m Cu titlu de curiozitate, deoarece nu mai au de mult timp semnificaţia originală, vom menţiona şi câteva unităţi de măsură româneşti : ume Mărimea măsurată Relaţia cu unitatea SI litră volum, dm în Muntenia,,8 dm în Moldova litră masă,8 kg în Muntenia,, kg în Moldova oca volum,88 dm în Muntenia,,5 dm în Moldova oca masă,7 kg în Muntenia,,9 kg în Moldova baniţă volum de cereale circa 4 dm ar suprafaţă de teren m cot lungime,664 m în Muntenia,,67 m în Moldova vadră volum,88 dm în Muntenia,,5 dm în Moldova prăjină lungime 5,9 m în Muntenia, 6,69 m în Moldova prăjină suprafaţă de teren,8 m în Muntenia, 79 m în Moldova dram volum, cm în Muntenia,,8 dm în Moldova dram masă,8 g în Muntenia,, g în Moldova Iată şi câteva unităţi de măsură anglo-americane : 4

43 inch,54 cm picior,48 m yard,944 m milă terestră,69 km milă marină,85 km acru,447 ha gallon (SUA),7854 l, gallon (MB) 4,546 l pintă (SUA),47 l, pintă (MB),568 l uncie 8,495 g livră (funt) 45,59 g În strânsă legătură cu sistemele de unităţi de măsură se găsesc şi valorile constantelor fizice universale. Iată, în continuare, un tabel cu cele mai reprezentative dintre acestea : Constante fizice universale Denumirea constantei Simbol Valoarea în SI Accceleraţia gravitaţională la latitudinea g g 9,866 m/s de 45, la nivelul mării Constanta gravitaţională k k 6,67 - m /kg Constanta gazelor ideale R R 8 J/(kmol K) Volumul molar în condiţii normale Vµ Vµ,446 m /kmol umărul lui Avogadro A A 6,88 6 kmol - Constanta lui Boltzmann k k,847 - J/K umărul lui Faraday F F 965, C/echiv-gram Masa de repaus a protonului m p m p, kg Masa de repaus a electronului m e m e 9,66 - kg Sarcina electrică a electronului e e -,6-9 C Sarcina specifică a electronului e/ m e e/ m e -,759 C/kg Viteza luminii în vid c c, m/s Constanta lui Planck h h 6,64-4 J s Constanta lui Rydberg R R,977 7 m - Permitivitatea electrică absolută a vidului ε ε 8,856 - F/m Permeabilitatea magnetică absolută a µ µ 4π -7 H/m vidului Lungimea de undă Compton Λ Λ,4 - m Constanta Stefan-Boltzmann σ σ 5, W/(m K 4 ) 4

44 EXEMPLU Sistem de unităţi de măsură bazat pe constante fizice universale Într-un sistem de unităţi de măsură, aşa cum este şi Sistemul Internaţional, unităţile de măsură fundamentale sunt stabilite în mod arbitrar. Pentru a evita definirea arbitrară a unităţilor de măsură fundamentale, s-ar putea imagina un sistem de unităţi de măsură bazat pe un număr de constante fizice universale. Definirea arbitrară a unităţilor de măsură ar fi înlocuită în acest caz cu atribuirea unor valori egale cu unitatea acestor constante fizice. Să luăm în discuţie următoarea propunere de sistem de unităţi de măsură : constanta universală valoarea şi unitatea de măsură în SI formula dimensională în SI noua formulă dimensională noua valoare şi unitate de măsură viteza luminii c,998 8 m/s LT - C c Ei în vid (einstein) constanta lui h 6,66-4 Js L MT - H h Pl Planck (planck) constanta γ 6,67 - L M - T - G γ e gravitaţională m /kg (newton) sarcina e,6-9 C TI E e Mi electronului (millikan) constanta lui k,8 - L MT - Θ - K k Bo Boltzmann J/K (boltzmann) numărul lui A 6, 6 - A Av Avogadro kmol - (avogadro) e propunem să determinăm formula dimensională şi valoarea unei mărimi fizice în noul sistem al mărimilor fizice fundamentale (SMU). fie formulele dimensionale ale unei mărimi A în cele două sisteme de unităţi de măsură : [ A] SI L T M I Θ [ A] β β β β4 β5 β6 C H G E K SMU problema pe care trebuie s-o rezolvăm constă în a găsi epresiile eponenţilor β, β,... β 6 în funcţie de eponenţii,,... 6 şi formulele dimensionale ale noilor mărimi fundamentale 44

45 mai întâi, vom înlocui în a doua formulă dimensională noile dimensiuni cu cele vechi : [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β - β - β β - - β - β - SMU Θ MT L TI T M L MT L LT A am efectuat astfel transformarea formulei dimensionale a mărimii A, obţinând : [ ] β β β β β β β β β β β β β β β SI SMU Θ I M T L A deoarece eponenţii celor două modalităţi de eprimare a formulei dimensionale a mărimii A în SI trebuie să fie egali, rezultă : β β β β β β β β β β β β β β β putem transcrie acest sistem de ecuaţii sub forma matricială : β β β β β β sau, pe scurt : ( ) ( ) ( ) β B unde (B) este matricea dimensională de trecere de la SMU la SI. determinantul matricei de transformare este unitar, iar inversa matricei de transformare este : ( ) B în aceste condiţii matricea (β) este dată de : 45

46 ( ) ( ) ( ) β B sau : β β β β β β formula dimensională şi unitatea de măsură ale mărimii A în SMU devin : [ ] SMU SMU Av Bo Mi e Pl Ei A A K E G H C Fie o altă constantă fizică universală: ε 8,856 - F/m. Deoarece : 4 m kg s A m C J s A m V s A m V C m F Rezultă : [ ] 4 Θ I M T L ε SI şi :,,, 4,, În aceste condiţii : β β β β β β β β β sau : 46

47 [ ε ] C H E SMU Conform acestei formule, noua unitate de măsură a permitivităţii este : Mi ε Ei Pl Mi SMU Ei Pl Raportul unităţilor de măsură din cele două sisteme de unităţi este : SI -9 (,6 C) Mi 8-4 ε, 998 m 6,66 Js SMU Ei Pl s,9 4 4 ε A s A s kg m kg m Conform teoremei fundamentale a unităţilor de măsură, raportul valorilor numerice ale permitivităţii electrice absolute a vidului în cele două sisteme de unităţi de măsură este invers proporţional cu raportul unităţilor de măsură. Rezultă : ( ε ) val ε SMU SI - 8,856 ε,9 SMU - - sau : ε SMU 8,856 -,9-68,545 sau : ε Mi 68,545 Ei Pl Am urmărit prin acest eemplu să rezolvăm cea mai compleă problemă de transformare a unităţii de măsură a unei mărimi fizice (şi implicit a valorii sale numerice) dintr-un sistem de unităţi de măsură bazat pe anumite mărimi fizice fundamentale în alt sistem de unităţi de măsură, bazat pe alt set de mărimi fundamentale. Concluzia este următoarea : Operaţia de transformare a valorii şi unităţii de măsură este posibilă dacă se cunosc relaţiile dimensionale şi numerice între mărimile fizice fundamentale ale celor două sisteme de unităţi de măsură, precum şi formula dimensională şi valoarea numerică a mărimii considerate într-unul din cele două sisteme de unităţi de măsură. 47

48 TEMĂ Eprimaţi în milibari presiunea de 75 torr. O forţă de 4 kgf face un lucru mecanic de 5 erg. Calculaţi deplasarea punctului de aplicaţie al forţei. Diferenţa de presiune între gazul dintr-o incintă şi aerul atmosferic este de mm coloană de mercur. Eprimaţi diferenţa de presiune în centimetri coloană de apă. Un motor de 5 CP funcţionează jumătate de oră. Eprimaţi lucrul mecanic făcut în kilowaţi-oră. Puterea calorifică a unui cărbune este 6 kcal/kg. Eprimaţi puterea calorifică a cărbunelui în Sistemul Internaţional. Un grad Celsius corespunde ca diferenţă de temperatură cu,8 grade Fahrenheit, iar temperatura de C reprezintă o valoare de F. Temperatura normală a corpului omenesc este de 6 C. Ce valoarea are temperatura normală a corpului într-o ţară care foloseşte termometre gradate în scara Fahrenheit? Înălţimea unui american este de 5 picioare. Este acesta înalt sau scund? A fost prins cu ocaua mică este o epresie care datează din perioada Unirii Principatelor. Cel care vinde cu ocaua mică era persoana care vindea în Muntenia având ca unitate de măsură ocaua moldovenească. Dacă aţi fi cheltuit de lei cumpărând carne de porc, ce sumă ar fi câştigat nemeritat acela care vindea cu ocaua mică? Câţi electron-volţi are un kilowatt-oră? 48

49 PD PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMETALE CUVITE CHEIE TEMA APLICAŢIEI Tabele de date Reprezentări grafice Metoda celor mai mici pătrate Metode de fitare a datelor eperimentale În munca de laborator eistă câteva etape importante : proiectarea şi eecutarea dispozitivului eperimental, achiziţia de date şi prelucrarea datelor obţinute. Fiecare dintre aceste etape îşi are importanţa ei, dar scopul final este atins doar printr-o bună cunoaştere a modalităţilor şi tehnicilor care manipulează datele eperimentale, cu obiectivul de a stabili formularea matematică a legii pe care o căutăm sau o verificăm. Acesta este şi motivul pentru care considerăm importantă aplicaţia de faţă. SCOPUL APLICAŢIEI Cunoaşterea modului de alcătuire a tabelelor de date eperimentale. Formarea abilităţii de a reprezenta grafic datele obţinute eperimental. Capacitatea de a folosi tehnica de calcul în scopul prelucrării datelor eperimentale. 49

50 DEFIIŢII ŞI FORMULE Tabelele de date sunt necesare pentru prezentarea ordonată şi sugestivă a rezultatelor determinărilor eperimentale. Eistă reguli de întocmire a tabelelor de date care vor fi prezentate în cuprinsul acestui material. Reprezentările grafice constituie de multe ori un ajutor preţios în efortul de a stabili corelaţii matematice între datele eperimentale. Curba obţinută ca grafic poate sugera adesea forma matematică a legii pe care urmăm să o stabilim în final. De asemenea, reprezentarea grafică a unor legi ale fizicii sau tehnicii permite găsirea cu uşurinţă a unor valori care ar fi identificate relativ dificil în tabele de date (de eemplu, reprezentarea grafică a presiunii vaporilor saturanţi ai apei în funcţie de temperatură este o modalitate foarte simplă de a stabili presiunea de saturaţie cunoscând temperatura, în comparaţie cu localizarea aceleiaşi valori într-un tabel de date întins pe o întreagă pagină de carte). Valoarea unei reprezentări grafice stă şi în modul în care este făcută. Paginile următoare vor cuprinde eplicaţii care să vă familiarizeze cu modul corect de realizare a unei reprezentări grafice de calitate. Utilizând tehnica de calcul şi programe adecvate (Ecel, Mathcad, Origin, etc.) se pot obţine reprezentări grafice de foarte bună calitate. Metoda celor mai mici pătrate sau metoda regresiei liniare este utilizată pentru trasarea graficelor. O curbă eperimentală se trasează printre punctele eperimentale, lăsând de o parte şi de alta cam acelaşi număr de puncte. Metoda celor mai mici pătrate permite găsirea traseului cel mai puţin depărtat de fiecare punct în parte, dar care este totuşi o curbă continuă, fără variaţii prea bruşte. Fitarea datelor eperimentale este procedeul prin care dintr-un şir de date eperimentale se pot trage concluzii cu privire la forma matematică a unei anumite legi a fizicii. În esenţă, fitare (din englezescul a potrivi) înseamnă să cauţi funcţia matematică care să ofere cea mai bună corelare între datele eperimentale. Trebuie menţionat că funcţia găsită prin fitare nu este şi în mod necesar adevărata lege după care decurge procesul respectiv! În funcţie de domeniul de valori al parametrului eperimental se pot găsi formule aproimative, valabile doar în domeniul considerat. Diferitele metode de fitare sunt integrate în programe de calcul cum ar fi Ecel, Mathcad, Mathlab şi altele. 5

51 ASPECTE TEORETICE Înregistrarea datelor eperimentale, reprezentare grafică Înregistrarea datelor eperimentale se face în tabele întocmite în prealabil. Orice tabel trebuie să cuprindă un cap de tabel. Capul de tabel : cuprinde în mod obligatoriu simbolul mărimii fizice şi unitatea de măsură este aşezat în mod obişnuit deasupra coloanelor rezervate datelor, dar poate fi plasat uneori şi la stânga lor poate cuprinde uneori formula de calcul utilizată pentru obţinerea valorilor din coloana respectivă umăr curent Aparat sau element Scopul eperienţei Valoare constantă (unitate de Mărime măsurată (unitate de 5 Valoare finală (unitate de măsură) Coloanele tabelului de date sunt rezervate fie mărimilor considerate ca utilizat măsură) măsură) variabile independente, fie datelor obţinute elem. I CCC y y prin măsurare, fie rezultatelor. Primele y coloane din Spaţiu pentru date Cap de tabel plasat la stânga Spaţiu pentru rezultate Cap de tabel plasat deasupra datelor stânga sunt rezervate pentru mărimile independente, iar următoarele mărimilor măsurate. În fine, ultimele coloane cuprind rezultatele, de Eemplu de întocmire a unui tabel de date multe ori calculate în funcţie de mărimile măsurate. Tabelul de date poate avea un nume, care, de cele mai multe ori, descrie scopul pentru care sunt făcute măsurătorile eperimentale. Valorile mărimilor independente sunt trecute în tabel înainte de efectuarea eperienţei. Unităţile de măsură trebuie astfel alese încât numerele care sunt trecute în tabel să nu fie ecesiv de mari sau de mici. Astfel, nu este indicat să fie trecută în tabel valoarea (t ),4 (s), ci valoarea (t ) 4, (µs) sau valoarea (t ) 4, ( -6 s). umărul de zecimale cu care este trecută în tabel o anumită mărime trebuie să cores-

52 pundă preciziei cu care ea a fost determinată. Astfel, nu este indicat să fie trecută în tabel valoarea (v ),45867 (m/s), ci valoarea (v ),4 (m/s) dacă precizia măsurătorii este de ordinul a %. În fine, pentru facilitarea citirii datelor, pe aceeaşi coloană, valorile prezentate vor avea acelaşi număr de zecimale, iar virgulele care separă zecimalele de întregi vor fi plasate una sub alta. În multe cazuri prezentarea sau chiar prelucrarea datelor eperimentale este facilitată de reprezentările grafice. Avantajele acestora sunt: permit observarea cu uşurinţă a variaţiilor mărimii studiate în raport cu variaţia parametrului ales, evidenţiind eventualele maime sau minime curba trasată printre punctele eperimentale este o reprezentare mai eactă a legăturii dintre mărimea studiată şi parametru decât fiecare pereche de date eperimentale în parte sugerează relaţia matematică dintre mărimea studiată şi parametru Întocmirea unei reprezentări grafice se supune unor reguli practice care vor fi prezentate în continuare : graficele se trasează pe hârtie milimetrică sau pe caroiaje întocmite anterior formatul hârtiei trebuie să fie suficient de mare pentru ca aspectul curbei să nu aibă de suferit (este recomandat formatul A5 sau A6) intervalele de valori ale aelor trebuie astfel alese încât curba obţinută să fie repartizată pe întreaga suprafaţă a graficului aceasta înseamnă şi faptul că valorile coordonatelor aelor nu trebuie să înceapă obligatoriu de la zero, fiind de preferat ca originea aei să corespundă celei mai mici valori reprezentate, iar etremitatea sa celei mai mari distanţa dintre două linii îngroşate pe hârtia milimetrică sau distanţa dintre două linii alăturate ale caroiajului trebuie să corespundă unui număr de unităţi ale mărimii reprezentate care să permită reprezentarea cu uşurinţă a valorilor intermediare (de eemplu, în cazul hârtiei milimetrice, distanţa dintre două linii îngroşate poate corespunde la o unitate, la două unităţi, la cinci unităţi sau la zece unităţi, dar este nepractic ca ea să corespundă la şapte unităţi) fiecare pereche de date se va reprezenta ca un punct pe suprafaţa graficului, iar acest punct va fi bine marcat (însemnat, de eemplu, cu o steluţă) coordonatele punctelor eperimentale nu se notează pe grafic (ele pot fi deduse cu ajutorul marcajelor principale de pe aele de coordonate) curba eperimentală va fi trasată printre puncte, lăsând de o parte şi de alta cam acelaşi număr de puncte este util ca trasarea curbei să fie făcută cu un florar se va urmări ca aspectul curbei să fie cât mai continuu, fără variaţii bruşte de pantă sau de curbură dacă un punct eperimental este plasat mult în afara curbei, este recomandat ca măsurătoarea respectivă să fie refăcută 5

53 dacă în acelaşi grafic se reprezintă mai multe curbe, ele vor fi trasate cu culori diferite, iar punctele eperimentale corespunzătoare vor fi marcate în mod diferit Y X Y Valorile numerice corespunzătoare gradaţiilor aelor sunt prea dese! (ar fi fost suficient ca ele să fie marcate din cinci în cinci) X Curba este obţinută prin unirea punctelor eperimentale! Domeniul de valori al fiecărei ae este prea mare, astfel încât curba nu este distribuită în întreaga suprafaţă a graficului! Cum nu trebuie făcută o reprezentare grafică! 5

54 Graficul Xf(Y) Y(u.m.) 5 45 Puncte eperimentale X Y Curbă trasată printre puncte X(u.m.) Cum trebuie făcută reprezentarea grafică! Metoda celor mai mici pătrate y Să urmărim eemplul din figura alăturată. Să presupunem că legea fizică pe care o vom pune în evidenţă este o lege liniară. Putem duce printre punctele eperimentale mai multe drepte care să corespundă criteriilor de întocmire a unei reprezentări grafice. Care dintre aceste drepte reprezintă cel mai corect legea căutată? Metoda celor mai mici pătrate răspunde tocmai acestei întrebări. Conform metodei celor mai mici pătrate, panta dreptei şi coordonata intersecţiei sale cu aa Oy vor fi astfel alese încât suma pătratelor distanţelor de la fiecare punct eperimental la dreaptă să fie minimă. 54

55 55 k k k ' y y d Să urmărim figura alăturată. Presupunem că parametrii k ai măsurătorii au fost determinaţi precis (de eemplu, acul instrumentului de măsură era poziţionat eact în dreptul unei gradaţii a scalei). În schimb, mărimile corespunzătoare, y k, nu mai sunt stabilite tot atât de precis prin măsurare. Considerăm că valoarea corectă a mărimii y corespunde punctului y' k de pe dreaptă. Distanţa dintre aceste puncte este : y a b y k, y' k k, y k Conform ecuaţiei dreptei, obţinem : b a ' y k k şi deci : b a y d k k k Suma pătratelor distanţelor de la dreaptă la toate punctele eperimentale este : ( ) k k k b a y S sau : k k k k k k k k k k k ab y b y a b a y S Împărţind la, punem în evidenţă valorile medii : ab y b y a b a y S Factorul S/ este o funcţie de doi parametri necunoscuţi, a şi b. Valoarea sa este minimă atunci când derivatele parţiale în raport cu a şi b se anulează simultan : σ b y a a σ a y b b Rezultă : y y a şi : y y a y b

56 Dreapta căutată are ecuaţia : y y y ( ) y unde : k y yk k y k yk k k k k Metoda celor mai mici pătrate se poate utiliza şi în cazul altor tipuri de funcţii decât cele liniare. De eemplu, în cazul y c p, logaritmăm relaţia : ln y pln lnc şi observăm că ln y este funcţie liniară de ln. Constantele p şi ln c pot fi calculate acum utilizând metoda celor mai mici pătrate. Alte modalităţi de fitare a datelor eperimentale Eistă şi numeroase legi ale fizicii care nu sunt eprimabile prin funcţii liniare sau eponenţiale. Un eemplu ar fi legea spaţiului în mişcarea rectilinie uniform variată : v t t a t t Aproimatii polinomiale ale functiei y sin ( ) ( ) 56 Această lege are o formă polinomială. Chiar şi legi cu mult mai complicate pot fi puse sub formă polinomială, gradul polinomului fiind cu atât mai mare cu cât intervalul de valabilitate este mai mare şi precizia mai necesară. De eemplu, elongaţia unui oscilator armonic y sin, poate fi aproimată ca funcţie polinomială prin ( măsurat în radiani) : 5 7 y...! 5! 7! 5 7 y În graficul alăturat, curba îngroşată este graficul sinusului, iar liniile întrerupte sunt prima şi a doua aproimaţie polinomială. Cea de-a treia aproimaţie se suprapune eact peste graficul sinusului. Se poate face şi o teorie care să eplice modul prin care se găsesc coeficienţii polinomului în funcţie de datele eperimentale. Rezultatele acestei teorii sunt implementate în programe de calcul tabelar, cum ar fi programul Ecel.

57 EXEMPLU Să presupunem că dorim să verificăm eperimental legea perioadei micilor oscilaţii ale unui pendul gravitaţional : l T π g Valoarea acceleraţiei gravitaţionale este cunoscută : g 9,8 m/s. În cursul eperienţei vom varia (şi măsura) lungimea firului de suspensie şi vom calcula perioada împărţind timpul necesar efectuării unui anumit număr de oscilaţii complete la acest număr. l Trebuie să demonstrăm prin eperiment că perioada T este o funcţie lineară de şi g să găsim că panta dreptei respective este egală cu π. În acest scop, vom folosi metoda regresiei lineare. Ceasul cu care lucrăm are precizia de secundă, iar lungimea firului se poate măsura cu precizie de centimetru. Pentru fiecare lungime a firului de suspensie vom face câte 5 măsurări ale perioadei. Să presupunem că am obţinut următoarele date eperimentale : Pentru lungimea de 9 cm, 5 oscilaţii se fac în s, 6 oscilaţii în s, 7 oscilaţii în 5 s, 8 oscilaţii în 6 s şi 9 oscilaţii în 9 s Pentru lungimea de cm, 5 oscilaţii se fac în s, 6 oscilaţii în 4 s, 7 oscilaţii în 6 s, 8 oscilaţii în 8 s şi 9 oscilaţii în s Pentru lungimea de 8 cm, 5 oscilaţii se fac în s, 6 oscilaţii în 6 s, 7 oscilaţii în 9 s, 8 oscilaţii în s şi 9 oscilaţii în 4 s Pentru lungimea de 6 cm, 5 oscilaţii se fac în 5 s, 6 oscilaţii în 8 s, 7 oscilaţii în s, 8 oscilaţii în 4 s şi 9 oscilaţii în 7 s Pentru lungimea de 95 cm, 5 oscilaţii se fac în 7 s, 6 oscilaţii în s, 7 oscilaţii în 4 s, 8 oscilaţii în 7 s şi 9 oscilaţii în s Prima problemă pe care o întâlnim este aceea de a pune aceste date într-o formă mai ordonată, de a calcula perioadele corespunzătoare şi eroarea măsurării. Vă pot recomanda să lucraţi în modul următor : Deschideţi programul Ecel Înscrieţi în căsuţele de la A4 la A8 numerele curente ale determinărilor :,,,4,5 Înscrieţi în căsuţele B, E, H, K,, lungimile firului :,9 (m),, (m),,8 (m),,6 (m) şi,95 (m) Înscrieţi în căsuţele B4-8, E4-8, H4-8, K4-8, 4-8 numerele de oscilaţii 57

58 Înscrieţi în căsuţele C4-8, F4-8, I4-8, L4-8, M4-8 intervalele de timp corespunzătoare Foaia Ecel arată acum aşa : Selectaţi căsuţa D4, şi apoi daţi un click în caseta f, după care tastaţi semnul Selectaţi căsuţa C4, apăsaţi tasta de împărţire şi apoi selectaţi căsuţa B4. Tastaţi Enter Selectaţi din nou căsuţa D4 Foaia Ecel arată acum aşa : Remarcaţi pătrăţelul din colţul dreapta-jos al căsuţei D4. Duceţi pointer-ul mouse-ului pe acest pătrăţel (observaţi că el se transformă într-o cruciuliţă), apăsaţi butonul stâng al mouse-ului şi, ţinându-l apăsat, trageţi colţul (pătrăţelul) în jos, până la căsuţa D8. Eliberaţi butonul mouse-ului, şi selectaţi o căsuţă liberă Foaia Ecel arată acum aşa : 58

59 Coloana D cuprinde acum valorile perioadelor pentru cele cinci determinări corespunzătoare lungimii de,9 m Eroarea de măsurare este destul de mare ( secundă la până la 9 secunde). De aceea numărul mare de zecimale este inutil. Considerând că eroarea este de ordinul a %, înseamnă că numai primele trei cifre ale unui număr sunt semnificative. De aceea, valoarea,4857 trebuie rotunjită la,4. Pentru a realiza aceasta procedaţi astfel : Mai întâi selectaţi toate căsuţele de la D4 la D8 Apoi, deschideţi meniul Format şi alegeţi opţiunea Cells Se va deschide o fereastră nouă : Format Cells În meniul Category alegeţi opţiunea umber, iar în caseta Decimal places introduceţi valoarea Apăsaţi butonul OK Rezultatul va fi că toate numerele in coloana D sunt acum rotunjite până la două zecimale Realizaţi aceleaşi operaţiuni pe coloanele G, J, M şi P (evident folosind coloanele de date corespunzătoare). Pe pagina următoarea puteţi vedea modul în care arată foaia Ecel în acest moment. Este momentul să alcătuim un tabel care să conţină şi alte elemente decât acelea cuprinse de programul Ecel Fără a închide programul Ecel, deschideţi programul Word, iar pentru mai multă siguranţă tastaţi de câteva ori Enter Reveniţi la Ecel şi selectaţi toate căsuţele între A şi P8 Daţi comanda Copy (aflată şi pe bara Standard, sau în meniul Edit 59

60 Reveniţi în Word şi daţi comanda Lipire (sau Paste ). Rezultatul va fi următorul :,9,,8,6 5, 5, 5,6 5 6, 6 4, 6 6, ,4 7 6,9 7 9, , 8 8,5 8, , 9, 9 4,67 9 u arată prea bine, dar nu vă descurajaţi! Selectaţi prima căsuţă a tabelului, deschideţi meniul Table : Alegeţi opţiunea AutoFit şi, apoi, AutoFit to Window Rezultatul operaţiunii este prezentat în continuare : 6

61 ,9,,8,6,95 5, 5, 5,6 5 5, 5 7,4 6, 6 4, 6 6,67 6 8, 6,5 7 5,4 7 6,9 7 9,7 7, 7 4, , 8 8,5 8,6 8 4, 8 7, , 9, 9 4,67 9 7, 9,44 Selectaţi toate celulele tabelului Din bara Table and Borders alegeţi opţiunile şi, apoi din bara Formatting alegeţi opţiunile Center şi Times ew Roman. Tabelul capătă înfăţişarea :,9,,8,6,95 5, 5, 5,6 5 5, 5 7,4 6, 6 4, 6 6,67 6 8, 6,5 7 5,4 7 6,9 7 9,7 7, 7 4, , 8 8,5 8,6 8 4, 8 7, , 9, 9 4,67 9 7, 9,44 Pe linia a treia a tabelului, începând cu coloana a doua, înscrieţi următoarele informaţii (caracterele greceşti se pot selecta prin apăsarea butonului Ω din bara Standard ) :,9,,8,6,95 t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) 5, 5, 5,6 5 5, 5 7,4 6, 6 4, 6 6,67 6 8, 6,5 7 5,4 7 6,9 7 9,7 7, 7 4, , 8 8,5 8,6 8 4, 8 7, , 9, 9 4,67 9 7, 9,44 Selectaţi prima linie a tabelului şi daţi comanda Merge Cells (evidenţiată în bara Table and Borders ). Veţi obţine :,9,,8,6,95 t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) 5, 5, 5,6 5 5, 5 7,4 6, 6 4, 6 6,67 6 8, 6,5 7 5,4 7 6,9 7 9,7 7, 7 4, , 8 8,5 8,6 8 4, 8 7, , 9, 9 4,67 9 7, 9,44 6

62 Selectaţi prima linie din tabel şi înscrieţi tetul PERIOADELE DE OSCILAŢIE, Î FUCŢIE DE LUGIMEA FIRULUI DE SUSPESIE (tetul este scris în Times ew Roman, mărimea ) PERIOADELE DE OSCILAŢIE, Î FUCŢIE DE LUGIMEA FIRULUI DE SUSPESIE,9,,8,6,95 t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) 5, 5, 5,6 5 5, 5 7,4 6, 6 4, 6 6,67 6 8, 6,5 7 5,4 7 6,9 7 9,7 7, 7 4, , 8 8,5 8,6 8 4, 8 7, , 9, 9 4,67 9 7, 9,44 În linia a doua, contopiţi căsuţele -5, 6-8, 9-, -4 şi 5-7 prin selectare şi aplicarea comenzii Merge Cells : PERIOADELE DE OSCILAŢIE, Î FUCŢIE DE LUGIMEA FIRULUI DE SUSPESIE,9,,8,6,95 t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) 5, 5, 5,6 5 5, 5 7,4 6, 6 4, 6 6,67 6 8, 6,5 7 5,4 7 6,9 7 9,7 7, 7 4, , 8 8,5 8,6 8 4, 8 7, , 9, 9 4,67 9 7, 9,44 Adăugaţi unitatea de măsură a lungimii : PERIOADELE DE OSCILAŢIE, Î FUCŢIE DE LUGIMEA FIRULUI DE SUSPESIE,9 (m), (m),8 (m),6 (m),95 (m) t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) 5, 5, 5,6 5 5, 5 7,4 6, 6 4, 6 6,67 6 8, 6,5 7 5,4 7 6,9 7 9,7 7, 7 4, , 8 8,5 8,6 8 4, 8 7, , 9, 9 4,67 9 7, 9,44 În căsuţa a doua din prima coloană, înscrieţi tetul l În căsuţa a treia din prima coloană înscrieţi tetul.c.. Obţineţi : PERIOADELE DE OSCILAŢIE, Î FUCŢIE DE LUGIMEA FIRULUI DE SUSPESIE l,9 (m), (m),8 (m),6 (m),95 (m).c. t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) 5, 5, 5,6 5 5, 5 7,4 6, 6 4, 6 6,67 6 8, 6,5 7 5,4 7 6,9 7 9,7 7, 7 4, , 8 8,5 8,6 8 4, 8 7, , 9, 9 4,67 9 7, 9,44 6

63 Cu aceasta, primul tabel de date al lucrării este terminat. Dacă doriţi ca el să fie mai sugestiv îl puteţi pune sub forma (cum veţi reuşi este deja un eerciţiu pentru dumneavoastră!) : PERIOADELE DE OSCILAŢIE, Î FUCŢIE DE LUGIMEA FIRULUI DE SUSPESIE l,9 (m), (m),8 (m),6 (m),95 (m).c. t (s) T (s) t (s) T (s) 5, 5, 5,6 5 5, 5 7,4 6, 6 4, 6 6,67 6 8, 6,5 7 5,4 7 6,9 7 9,7 7, 7 4, , 8 8,5 8,6 8 4, 8 7, , 9, 9 4,67 9 7, 9,44 Este deja momentul să ne îndreptăm către finalizarea prelucrării datelor Va trebui să determinăm valorile medii ale perioadelor, eroarea de măsură şi l valorile factorului g Pentru început deschideţi din nou tabelul Ecel În coloana A-6 înscrieţi numerele curente,,,4,5 În coloana D-6 înscrieţi valorile lungimilor firului de suspensie Selectaţi căsuţa E şi apoi daţi un click în caseta f, tastaţi, apoi scrieţi SQRT(D/9,8) şi finalizaţi tastând Enter Selectaţi din nou căsuţa E şi trageţi colţul din dreapta-jos, acoperind coloana E, până la E6 Rotunjiţi la două zecimale numerele din coloana E. În acest moment aveţi calculate valorile lui pentru toate cele cinci lungimi considerate l g Pentru a calcula valorile medii ale perioadelor, precum şi abaterile pătratice medii, procedaţi aşa cum v-a fost indicat în lucrarea Teoria erorilor de măsură. Mediile perioadelor le treceţi în coloana B, iar abaterile pătratice în coloana C. Dacă este nevoie, rotunjiţi din nou rezultatele la două zecimale Porţiunea din foaia Ecel cu care aţi lucrat ar trebui să arate aşa : Este momentul să importaţi acest tabel în documentul Word Selectaţi toate căsuţele de la A la E6 şi procedaţi în acelaşi mod ca la operaţia anterioară de importare şi formatare a unui tabel de date Ar trebui să obţineţi : t (s) T (s) t (s) T (s) t (s) T (s) 6

64 PERIOADELE DE OSCILAŢIE ŞI ABATEREA PĂTRATICĂ MEDIE l r. crt. <T> (s) σ T l (m) g,5,7,9,,6,5,,7,65,4,8,4 4,,,6,49 5,4,5,95,55 (s) Ultima etapă constă în trasarea graficului, utilizând metoda celor mai mici pătrate Reveniţi la foaia Ecel Deschideţi meniul Insert şi alegeţi opţiunea Chart Se va deschide o nouă fereastră : În lista Chart type alegeţi opţiunea XY (Scatter). Pe ecranul monitorului apare : Dacă căsuţa aflată sub inscripţia Chart sub-type este înnegrită apăsaţi butonul et >. În caz contrar, selectaţi mai întâi căsuţa şi apoi apăsaţi et > Înfăţişarea ferestrei cu care lucraţi se modifică după cum urmează : 64

65 Daţi un click pe Series Fereastra îşi schimbă înfăţişarea şi arată ca în imaginea din dreapta. Apăsaţi butonul Add şi din nou veţi observa că fereastra îşi schimbă înfăţişarea : Trebuie acum să introduceţi datele eperimentale Acestea se introduc în casetele X Values şi Y Values. Procedaţi astfel : Daţi un click în caseta X Values Apoi selectaţi toate valorile numerice din coloana E-6 ca în imaginea următoare : (adică valorile factorului l ) g După aceea daţi un click în caseta Y Values şi selectaţi tot cuprinsul ei În continuare, selectaţi toate valorile numerice din coloana B-6 După aceste operaţii, fereastra din foaia Ecel ar trebui să arate 65

66 Apăsaţi butonul et Fereastra îşi schimbă din nou înfăţişarea În meniul Titles, caseta Chart title, scrieţi PERIOADA DE OSCILAŢIE A PEDULULUI GRAVITAŢIOAL Î FUCŢIE DE LUGIMEA FIRULUI DE SUSPESIE Treceţi la meniul Gridlines şi marcaţi căsuţa Major gridlines de sub titlul Value (X) ais În meniul Legend, deselectaţi opţiunea Show legend În fine, apăsaţi butonul Finish Fereastra Chart Options se închide şi pe foaia Ecel apare un grafic Pe pagina următoare puteţi vedea înfăţişarea pe care o capătă acum foaia Ecel Graficul mai trebuie prelucrat pentru a ajunge la forma finală Mai întâi, fiând cursorul mouse-ului pe el îl veţi trage într-o porţiune a foii, în care să nu obtureze tabelele de date Apoi, veţi da un dublu click pe suprafaţa sa în porţiunea cenuşie, fără ca vârful cursorului să atingă nici liniile de marcaj, nici punctele eperimentale : 66

67 Se va deschide o nouă fereastră : Selectaţi opţiunea one din zona Area şi apoi apăsaţi butonul OK Daţi un dublu click pe una din liniile de marcaj verticale Din nou se deschide o fereastră, în care alegeţi tab-ul Scale : Această fereastră vă solicită să alegeţi valorile etreme pe aa O. l Deoarece are valoarea minimă g 67

68 egală cu, şi cea maimă egală,55, este bine să înscrieţi în caseta Minimum valoarea,, iar în caseta Maimum valoarea,6 Apăsaţi butonul OK Daţi acum un dublu click pe o linie de marcaj orizontală Va apărea o fereastră asemănătoare cu cea anterioară, dar care face referire la valorile minimă sau maimă ale lui y T. Daţi valoarea minimă şi cea maimă,6, după care apăsaţi din nou butonul OK Zona graficului se modifică aşa cum este arătat mai jos : Urmează să trasaţi dreapta prin metoda celor mai mici pătrate şi să aflaţi panta ei Pentru început daţi un click-dreapta pe unul dintre punctele eperimentale Apare pe ecran o casetă având şi opţiunea Add Trendline. Selectaţi-o! Din nou se deschide o fereastră, numită Add Trendline : Marcaţi căsuţa Linear şi apăsaţi butonul OK Rezultatul este apariţia pe grafic a unei drepte, care este chiar dreapta căutată : Pentru a afla panta acestei drepte procedaţi astfel : Daţi un click într-un punct oarecare al dreptei Se deschide o casetă, în care selectaţi opţiunea Format Trendline Efectul este deschiderea unei noi ferestre, numită Format Trendline 68

69 Selectaţi tab-ul Options, iar fereastra va arăta ca în figura alăturată Selectaţi căsuţa Display equation on chart, după care apăsaţi butonul OK Fereastra se închide, iar în interiorul graficului apare o căsuţă de tet, care, de obicei nu este poziţionată convenabil De aceea, aşezaţi cursorul mouse-ului pe ea, apăsaţi butonul stâng şi, ţinându-l apăsat trageţi căsuţa de tet într-o poziţie convenabilă. Puteţi chiar formata tetul din căsuţă, schimbând fontul şi mărimea acestuia, înlocuind literele care de la bun început sunt y şi prin acelea pe care le doriţi dumneavoastră. De asemenea se poate reduce numărul zecimalelor. După aceste operaţii, graficul ar trebui să arate aşa : Ultima etapă pe care trebuie s-o parcurgeţi este importul graficului în documentul Word Pentru aceasta, daţi un click în interiorul suprafeţei graficului Veţi observa că el arată ca în figura de mai sus 69

70 Daţi comanda Copy Redeschideţi documentul Word şi daţi comanda Lipire ( Paste ) Rezultatul va fi următorul :,6,4,,,8,6,4,, PERIOADA DE OSCILAŢIE A PEDULULUI GRAVITAŢIOAL Î FUCŢIE DE LUGIMEA FIRULUI DE SUSPESIE T 6, -,65,,5,4,45,5,55,6 Daţi un click pe suprafaţa figurii (în acest mod o selectaţi) şi apoi încadraţi-o într-un chenar (comanda Insert Frame ) :,6,4,,,8,6,4,, PERIOADA DE OSCILAŢIE A PEDULULUI GRAVITAŢIOAL Î FUCŢIE DE LUGIMEA FIRULUI DE SUSPESIE T 6, -,65,,5,4,45,5,55,6 În acest moment, graficul poate fi deplasat în orice punct al foii şi poate fi redimensionat. Redimensionarea se face prin selectarea graficului şi acţiunea asupra celor opt pătrăţele care sunt marcate pe marginile cadrului O altă modalitate de redimensionare este selectarea graficului, urmată de deschiderea meniului Format şi alegerea comenzii Picture. Se va deschide o fereastră care vă oferă informaţii despre modul în care puteţi face redimensionarea, precum şi alte operaţii. În mare, cam acestea sunt operaţiunile necesare pentru a face o prezentare de calitate a rezultatelor pe care le-aţi obţinut în urma măsurătorilor eperimentale. Mai rămâne de discutat un aspect : valoarea pe care am obţinut-o pentru pantă este de 7

71 6,, puţin diferită faţă de cea teoretică : π 6,8. Evident, diferenţa se datorează erorilor eperimentale. Eroarea relativă este : 6, 6, 8 ε %, 6% 6, Având în vedere că abaterea pătratică medie la determinarea perioadei a avut chiar şi valori de 7%, rezultatul obţinut este neobişnuit de bun pentru condiţiile eperimentale menţionate la începutul acestui material. În fine, cum trebuie să arate în cele din urmă modul de prezentare a rezultatelor? Iată un eemplu : 7

72 TEME Urmăriţi pas cu pas instrucţiunile epuse în eemplul precedent şi încercaţi să obţineţi o pagină de prezentare a datelor, asemănătoare cu cea pe care v-o sugerează acest referat. u ar fi neindicat să vă stabiliţi o cale proprie, chiar diferită de aceea pe care am epus-o. u uitaţi că Isaac ewton, Albert Einstein şi iels Bohr nu aveau la dispoziţie decât creionul şi hârtia! Legea Boyle-Mariotte (valabilă pentru transformarea izotermă a unei cantităţi de gaz ideal) are forma pv const. Încercaţi să verificaţi eperimental această lege. Variaţi volumul ocupat de gaz cu câte cm, începând de la 9 cm până la cm. La volumul de 9 cm, presiunea gazului este egală cu presiunea atmosferică normală : 76 mmhg (76 torr). Măsurarea diferenţei de presiune între gazul eaminat şi presiunea atmosferică constă în determinarea diferenţei de nivel între mercurul cuprins în două ramuri ale unui tub în formă de U. Diferenţele de nivel înregistrate eperimental sunt :, 7 mm, 56 mm, 88 mm, mm, 8 mm, 99 mm, 4 mm, 9 mm, 4 mm. Întocmiţi un tabel de date şi verificaţi în ce măsură produsul dintre presiune şi volum este constant. Calculaţi abaterea pătratică medie. Reprezentaţi grafic funcţia p p(v). Considerând că p este o funcţie de o putere necunoscută a lui V, determinaţi această putere. Puteţi folosi în acest scop metoda celor mai mici pătrate. Vom prezenta în continuare un tabel cu date eperimentale privind presiunea vaporilor saturanţi ai apei la diverse temperaturi. Tabelul mai cuprinde şi umiditatea absolută a aerului, eprimată în g(apă)/cm. Se cere să prelucraţi datele oferite în acest tabel. Trebuie să obţineţi graficul presiunii vaporilor saturanţi în funcţie de temperatură şi graficul umidităţii absolute în funcţie de temperatură. De asemenea, trebuie să determinaţi funcţiile polinomiale de gradele până la 5 care oferă legile de variaţie ale presiunii vaporilor saturanţi şi umidităţii absolute în funcţie de temperatură. Apreciaţi ce grad are polinomul care eprimă cel mai simplu aceste legi. 7

73 Presiunea şi umiditatea absolută a vaporilor de apă saturanţi la diferite temperaturi Temperatura ( C) Presiunea (torr) Umiditatea absolută (g/m ) Temperatura ( C) Presiunea (torr) Umiditatea absolută (g/m ) -,5,4,,4-9,, 4,, - 8,,54 5,8,8-7,5,76 6,6,6-6,76,99 7 4,5 4,5-5,,4 8 5,5 5,4-4,8,5 9 6,5 6, -,57,8 7,5 7, -,68 4, 8,7 8, - 4, 4,47 9,8 9,4 4,58 4,84,,6 4,9 5, 4,4,8 5, 5,9 5,8, 5,7 6, 6 5, 4,4 4 6, 6,4 7 6,7 5,8 5 6,6 6,8 8 8,4 7, 6 7, 7, 9, 8,7 7 7,5 7,8,8, 8 8, 8, 5 4,8 9,6 9 8,6 8,8 4 55, 5, 9, 9,4 45 7,88 64,5 9,8, 5 9,5 8,,5,7 55 8, 4, După ce aţi rezolvat problema precedentă, verificaţi care aproimaţie polinomială vă oferă, şi cu ce precizie, presiunea vaporilor saturanţi ai apei la temperatura de C : 76 torr. Dacă rezultatul nu vă satisface, ce eplicaţie puteţi da? Ştiind că apa fierbe la temperatura la care presiunea vaporilor saturanţi egalează presiunea atmosferică şi că presiunea atmosferică variază µ gh după legea p p e RT, unde p 76 torr, µ 9 kg/kmol, g 9,8 m/s, R 8 J/kmol K şi T K, iar h este altitudinea faţă de nivelul mării, aflaţi la ce altitudine, fierbând un ou, indiferent de intervalul de timp, 7

74 acesta va rămâne crud? Temperatura minimă la care trebuie să fiarbă un ou pentru a se întări este de minimum 7 C. Umiditatea relativă este raportul procentual între presiunea parţială a vaporilor de apă la o anumită temperatură şi presiunea vaporilor saturanţi la aceeaşi temperatură. Presiunea parţială se calculează după ecuaţia de m stare a gazului perfect pv RT, unde m este masa gazului (sau vaporilor), iar V este volumul ocupat de tot amestecul de gaze (vapori). Masa µ molară a aerului este 9 kg/kmol, iar masa molară a apei este 8 kg/kmol. Presupunând că la temperatura de C umiditatea absolută este de % şi că amestecul aer-apă este separat de eterior, determinaţi umiditatea absolută a amestecului la 4 C. Confortul termic depinde de umiditatea relativă (cu cât umiditatea relativă este mai mare, cu atât avem o senzaţie de zăpuşeală mai accentuată). La care dintre cele două temperaturi confortul termic este mai favorabil? 74

75 GR STUDIUL GOLIRII UUI REZERVOR CU LICHID CUVITE CHEIE TEMA APLICAŢIEI Metoda Rayleigh Ecuaţia de continuitate Debit Conservarea energiei mecanice Legea lui Bernoulli Studiul scurgerii lichidului dintr-un rezervor. Fenomenul este prezentat din prisma analizei dimensionale, precum şi din prisma unor principii fundamentale ale fizicii. Aplicaţia are la bază un program de simulare pe calculator, bazat pe soluţiile analitice ale ecuaţiilor rezultate din principiul conservării masei şi principiul conservării energiei mecanice, neglijând unii factori reali cum ar fi curgerea turbulentă şi manifestarea efectelor de vâscozităţii. De aceea, ar fi recomandabil ca studenţii să încerce studiul amintit în condiţii eperimentale reale. SCOPUL APLICAŢIEI a) verificarea legii curgerii lichidului dintr-un rezervor, în condiţii ideale b) determinarea ariei secţiunii transversale a rezervorului c) determinarea debitului sursei de alimentare astfel încât nivelul lichidului să nu depăşească un anumit nivel de siguranţă 75

76 DEFIIŢII ŞI FORMULE Metoda Rayleigh : procedură utilizată pentru a găsi formule matematice compatibile cu o lege a fizicii care depinde de un set dat de mărimi fizice S Ecuaţia de continuitate : eprimă conservarea masei de substanţă în cazul curgerii unui lichid, forma ei este următoarea : S v S v, unde S şi S sunt ariile secţiunilor transversale ale jetului de lichid, iar v şi v sunt vitezele de curgere a lichidului în punctele corespunzătoare celor două secţiuni produsul Sv este egal cu debitul volumic al lichidului D S v v Debit : debitul poate fi de două tipuri : masic sau volumic debitul masic D m reprezintă masa de lichid care trece în unitatea de timp prin secţiunea transversală a unui jet de lichid debitul volumic D reprezintă volumul de lichid care trece în unitatea de timp prin secţiunea transversală a unui jet de lichid notând densitatea lichidului cu ρ, relaţia între debitul masic şi debitul volumic este : D m ρd Conservarea energiei mecanice : este o lege generală a fizicii care se aplică sistemelor fizice izolate de eterior, în interiorul cărora nu acţionează forţe neconservative (de eemplu, forţe de frecare) aplicând legea conservării energiei mecanice în cazul curgerii laminare (fără vârtejuri) a unui lichid se obţine legea lui Bernoulli : ρv p ρgh const unde p este presiunea statică, ρ este densitatea lichidului, v este viteza de curgere a lichidului, h este înălţimea măsurată în raport cu un nivel de referinţă, iar g este acceleraţia gravitaţională. Termenul ρv / se numeşte presiune dinamică, iar termenul ρgh se numeşte presiune de poziţie. 76

77 GOLIREA REZERVORULUI ASPECTE TEORETICE Considerăm un rezervor cilindric care conţine o cantitate de lichid. dv S S Aria transversală a rezervorului este S. Lichidul se poate scurge printr-un orificiu de secţiune s, aflat la baza rezer- v vorului. Iniţial, înălţimea lichidului din rezervor este h. După un timp t de la începutul scurgerii, înălţimea lichidului h h - dh din rezervor devine h. dv Dorim să determinăm legea care stabileşte modul în care înălţimea h variază în funcţie de timpul t. În lipsa s u oricăror alte informaţii, putem recurge la metoda Rayleigh. În acest scop, va trebui mai întâi să stabilim lista mărimilor fizice implicate în procesul de curgere a lichidului. Evident, mărimi implicate sunt : h, h, t, S şi s. La acestea trebuie adăugată acceleraţia gravitaţională g deoarece curgerea se face sub influenţa gravitaţiei şi, eventual, densitatea lichidului ρ. Vom mai face ipoteza că procesul de scurgere se desfăşoară în condiţii ideale : frecările sunt neglijabile, curgerea este laminară, etc. Legea pe care o căutăm va fi de forma : h f ( h,t,s,s,g,ρ) Conform condiţiei de omogenitate dimensională, rezultă : [] h [ h ] [ t] y [ S] z [ s] w [ g] v [ ρ] q Înlocuind cu formulele dimensionale, rezultă : L L sau : L T Rezultă sistemul de ecuaţii Soluţiile sale sunt : T y M L ( ) v ( ) q LT ML z w L L z w vq yv T z w v q y v q M q 77

78 q y v y z w Conform ipotezei lui Rayleigh, rezultă : sau : h Kh y zw g S s h Kh t h h h Pe lângă factorul adimensional K eistă trei parametri (y, z, w) cu valori nedeterminate. Consecinţa este aceea că eistă un număr infinit de combinaţii, fiecare dintre ele corespunzând unei valori aparţinând unuia dintre cei trei parametri. Este momentul să recurgem la considerente de natură fizică pentru a găsi valorile corecte ale parametrilor necunoscuţi. Eistă două legi generale pe care le putem aplica : conservarea masei de lichid conservarea energiei mecanice Din prima condiţie decurge ecuaţia de continuitate : Sv su (u este viteza de curgere în dreptul orificiului de secţiune s, iar v este viteza de curgere la suprafaţa lichidului din rezervor). Pentru a aplica a doua condiţie de natură fizică, vom considera un interval de timp foarte scurt dt. În acest interval de timp, o cantitate de lichid dv trece prin orificiu, rezultatul fiind scăderea nivelului de lichid din rezervor cu dh (vezi şi figura). Deoarece am făcut ipoteza că procesul de curgere este ideal, rezultă că energia mecanică se conservă. Deci, energia mecanică a stratului de lichid de volum dv de la suprafaţă la începutul intervalului de timp dt trebuie să fie egală cu energia mecanică a jetului de volum dv format la baza rezervorului la sfârşitul intervalului de timp dt : dm v dm u dm gh (termenul dm gh reprezintă energia potenţială gravitaţională faţă de nivelul de referinţă care corespunde bazei rezervorului, iar termenii care conţin pătratul vitezei reprezintă valorile energiei cinetice). Rezultă : v gh u Eliminând viteza u a jetului cu ajutorul ecuaţiei de continuitate, obţinem : y t y S z s z w g y w 78

79 gh s S v otând S/s cu σ şi derivând în raport cu timpul, rezultă : ( ) ( ) ( ) σ σ σ g a v g va dt dh g dt dv v (dh/dt -v rezultă din aceea că dh este negativ (nivelul lichidului descreşte) iar viteza de curgere îndreptată în jos este considerată pozitivă; faptul că acceleraţia este negativă indică faptul că orientarea ei este inversă în raport cu orientarea acceleraţiei gravitaţionale sau cu orientarea vitezei de curgere, ceea ce arată că viteza de scurgere lichidului se micşorează în timp). Rezultatul obţinut arată că acceleraţia este constantă, ceea ce înseamnă că înălţimea lichidului din rezervor descreşte după o lege corespunzătoare mişcării uniform variate : a t t v h h Această relaţie indică faptul că eponentul y din formula obţinută folosind metoda Rayleigh poate lua doar trei valori :, şi. Să discutăm aceste cazuri pe rând. Cazul y Avem : w z h s h S h K h Parametrii z şi w pot lua încă valori arbitrare. De aceea, luând în consideraţie toate valorile posibile ale acestor parametri, putem scrie : h s, h S F h h unde funcţia h s, h S F este necunoscută. Dar, aşa cum rezultă din ecuaţia determinată din considerente fizice, termenul care nu depinde de timp trebuie să fie constant şi egal cu h. Aceasta impune ca funcţia F să fie constantă şi egală cu. Cazul y Avem : gt h s h S K h w z Parametrii z şi w pot lua încă valori arbitrare. De aceea, luând în consideraţie toate valorile posibile ale acestor parametri, putem scrie : 79

80 h s, h S F gt h unde funcţia h s, h S F este necunoscută. Dar, aşa cum rezultă din ecuaţia determinată din considerente fizice, termenul care depinde de pătratul timpului trebuie să fie proporţional cu o constantă care este : ( ) σ g a. Aceasta impune ca funcţia F să fie constantă şi egală cu ( ) σ. Cazul y Avem : t gh h s h S K h w z Parametrii z şi w pot lua încă valori arbitrare. De aceea, luând în consideraţie toate valorile posibile ale acestor parametri, putem scrie : h s, h S F t gh h unde funcţia h s, h S F este necunoscută. Dar, aşa cum rezultă din ecuaţia determinată din considerente fizice, termenul direct proporţional cu timpul trebuie să fie proporţional cu viteza iniţială de curgere : v. Folosind ecuaţia lui Galilei, şi deoarece la sfârşitul timpului de scurgere viteza de scurgere se anulează, obţinem : σ gh a h v a h v Concluzia este aceea că funcţia F este egală cu : σ. În final, concluzia acestei analize este aceea că ecuaţia nivelului lichidului este: ( ) σ σ gt t gh h h Eperimental, va trebui să determinăm validitatea acestei legi şi să calculăm aria secţiunii rezervorului, cunoscând aria orificiului de scurgere. 8

81 UMPLEREA REZERVORULUI D Considerăm acelaşi rezervor, prevăzut cu orificiu de S scurgere, alimentat permanent cu lichid de o sursă cu debitul volumic D. În cazul ideal, considerentele fizice de care trebuie ţinut seamă sunt aceleaşi : conservarea masei de lichid conservarea energiei mecanice Condiţia de conservare a masei conduce la ecuaţia de continuitate : h Sv D su Condiţia de conservare a energiei mecanice se eprimă prin relaţia : v gh u s Eliminând viteza u între cele două relaţii, obţinem ecuaţia : S SD D v v gh s s s Eistă două posibilităţi : fie debitul este suficient de mare astfel încât nivelul lichidului să depăşească înălţimea rezervorului, fie debitul are o asemenea valoare încât, în timp, nivelul lichidului se stabilizează la o anumită cotă. În al doilea caz, viteza lichidului din rezervor, la suprafaţa sa, se anulează (h const v ). Din ecuaţia anterioară obţinem înălţimea maimă pe care o poate atinge lichidul : D h ma gs Eperimental, se poate verifica validitatea acestei relaţii. OTĂ Se poate determina analitic, în condiţiile amintite, relaţia între înălţimea momentană a lichidului din rezervor şi timp. Epresia este : e gs t DS S s s gh D S s S s e s S s gh D După cum se poate remarca, înălţimea se află într-o relaţie destul de complicată cu timpul. Eaminând epresia, putem totuşi remarca faptul că, matematic vorbind, înălţimea limită (maimă) nu se atinge decât după un timp infinit de lung. Din punct de vedere practic, timpul de umplere este finit, valoarea sa depinzând de gradul de precizie cu care putem măsura înălţimea lichidului din rezervor. S s 8

82 MATERIALE ŞI APARATE Programul GOLREZ Tehnică de calcul necesară prelucrării rezultatelor 4 5 EXPLICAŢII : () control de incrementare-decrementare a suprafeţei orificiului de scurgere, () indicator de nivel, () slider pentru modificarea debitului de alimentare cu lichid, (4) tabel de date care se completează efectuând un click pe indicatorul de nivel, (5) mâţă care studiază fenomenul. 8

83 MOD DE LUCRU Se deschide programul GOLREZ. Se fiează valoarea (cm ) cu ajutorul controlului (). Se foloseşte sliderul () pentru a stabili debitul. Se recomandă ca debitul să fie mare, astfel încât rezervorul să se umple repede. Se apasă butonul Umplere şi se urmăreşte creşterea nivelului lichidului până la limita superioară a cotei 56 de pe indicatorul de nivel (). În momentul în care s-a atins această înălţime se apasă butonul Stop. Se apasă butonul Golire Se urmăreşte nivelul lichidului. Când acesta trece prin dreptul limitei superioare al unei cote de pe indicatorul de nivel se dă un click pe cota respectivă. Tabelul de date (4) se va completa automat cu valoarea nivelului lichidului şi cu momentul de timp corespunzător. După completarea tabelului, se notează datele într-o foaie Ecel Se apasă butonul Reiniţializare, după care se reiau procedurile până la completarea tabelului DATE EXPERIMETALE ALE CURGERII Cu ajutorul programului Ecel se fitează datele, corespunzător unei funcţii polinomiale de gradul al doilea. În total, în urma fitării, trebuie obţinute ecuaţii (câte una pentru fiecare suprafaţă a orificiului de scurgere înălţimi iniţiale). Aceste ecuaţii se trec în tabelul LEGEA CURGERII Se verifică dacă media termenilor care nu depind de timp este comparabilă cu înălţimea iniţială Se verifică dacă coeficienţii termenului în t au valori comparabile pentru valori egale ale ariei orificiului de scurgere şi se face media lor pentru fiecare valoare a ariei orificiului de scurgere Ştiind că valoarea coeficientului lui t g g este C S s, se S C s calculează S cu ajutorul celor cinci valori medii calculate anterior (g 98 cm/s ). În final se calculează valoarea medie a lui S şi se trece în rubrica corespunzătoare pe pagina PRELUCRAREA DATELOR. D FACULTATIV : se verifică relaţia h ma alegând o valoare predeterminată gs a înălţimii maime şi calculând debitul corespunzător, după care cu sliderul () se fiează această valoare a debitului şi se urmăreşte umplerea rezervorului. 8

84 PRELUCRAREA DATELOR C h (cm) DATE EXPERIMETALE ALE CURGERII Înălţime iniţială h (cm) Înălţime iniţială h (cm) Aria orificiului de scurgere s (cm ) Aria orificiului de scurgere s (cm ) t (s) h (cm) t (s) h (cm) t (s) h (cm) t (s) h (cm) t (s) h (cm) t (s) h (cm) t (s) h (cm) t (s) h (cm) t (s) h (cm) t (s) h (cm) h (cm) ECUAŢIA CURGERII s (cm ) s (cm ) ) ) ) 4) 5) Aria secţiunii transversale a rezervorului S.. cm STUDEŢI SEMĂTURA CADRULUI DIDACTIC 84

85 FL ETALOAREA UUI GEERATOR DE OSCILAŢII ELECTRICE UTILIZÂD METODA FIGURILOR LISSAJOUS CUVITE CHEIE TEMA APLICAŢIEI generator de oscilaţii electrice etalonare osciloscop sumarea oscilaţiilor perpendiculare figuri Lissajous metoda celor mai mici pătrate În montajele electronice, este uneori necesar să verificăm frecvenţa semnalului electric furnizat de un circuit oscilant. Alteori, se poate întâmpla ca generatorul de curent alternativ de frecvenţă variabilă pe care îl folosim să nu furnizeze un semnal de frecvenţă egală cu aceea indicată de afişajul aparatului. De aceea, este necesar să măsurăm aceste frecvenţe, prin comparare cu frecvenţa unui generator etalon. O metodă practică de realizare a acestei comparaţii vă este prezentată în lucrarea de faţă. SCOPUL APLICAŢIEI Etalonarea scalei de măsură a frecvenţei aparţinând unui generator de oscilaţii electrice, utilizând un generator etalon. 85

86 DEFIIŢII ŞI FORMULE IFORMAŢIE SUPLIMETARĂ Într-un circuit electric închis, format dintr-un condensator şi o bobină tensiunea autoindusă în bobină este egală cu tensiunea la di q bornele condensatorului : L (unde i este intensitatea cu- dt C rentului, iar q este sarcina acumulată pe condensator). Intensitatea curentului electric este egală cu viteza de variaţie a sarcinii : astfel încât : di dt d q q&&. Ecuaţia tensiunii devine : dt q & q q& ω q LC Această ecuaţie este similară cu aceea a oscilatorului armonic şi are soluţia : q q sin ω t ϕ i i cos ω t ( ) ( ) ϕ dq i, dt Generatorul de oscilaţii electrice : este un aparat de laborator destinat obţinerii unor curenţi electrici alternativi, cu frecvenţă reglabilă, cuprinsă sursa într-un interval larg de valori de C L L' U funcţionarea sa se bazează pe întreţinerea şi amplificarea curentului energie electric dintr-un circuit oscilant circuitul oscilant este format dintr-un condensator şi o bobină, legate cuplaj în paralel la o sursă de curent electric inductiv care asigură energia necesară întreţinerii oscilaţiei tensiune de ieşire frecvenţa proprie a circuitului oscilant : ν π LC (unde L este inductanţa bobinei şi C capacitatea condensatorului) şi poate fi modificată prin schimbarea capacităţii condensatorului variabil C 86

87 condensatorul variabil C poate fi construit din două sau mai multe plăci metalice semicirculare, alternativ capabile să fie rotite în jurul centrului lor sau fie indicator plăci în funcţie de unghiul de rotaţie al semicirculare plăcilor mobile, suprafaţa pe care plăcile se suprapun variază. Capacitatea sistemului de plăci este proporţională cu suprafaţa cadran comună, astfel încât eistă o relaţie de legătură între capacitate şi unghiul de rotaţie deoarece frecvenţa proprie depinde de valoarea capacităţii, rezultă că ea este în cele din urmă o funcţie de unghiul de rotaţie al plăcilor şi ar putea fi măsurată prin vizualizarea acestuia cu ajutorul unui indicator pe un cadran circular Etalonarea semnifică în cazul nostru stabilirea unei corespondenţe între frecvenţa curentului alternativ furnizat de oscilator şi unghiul de rotaţie al plăcilor condensatorului, aşa cum este el indicat pe cadran. Osciloscopul : este un aparat electronic de laborator, destinat vizualizării unor caracteristici plăci de sursa de defleie electroni ale curenţilor electrici variabili, cum ar fi - intensitatea sau frecvenţa y funcţionarea osciloscopului se bazează pe devierea unui fascicol paralel de electroni (emis de catodul tubului catodic al osciloscopului) în zona de suprapunere a două câmpuri electrice (sau magnetice) cu ecran linii de câmp perpendiculare atât între ele, cât şi faţă de direcţia fascicolului de electroni dacă tensiunea electrică variabilă de măsurat (U y ) se aplică plăcilor de defleie verticale atunci fascicolul de electroni este deviat în direcţie verticală, proporţional cu valoarea acestei tensiuni analog, aplicarea unei tensiuni plăcilor de defleie orizontale determină devierea orizontală a fascicolului de electroni la capătul drumului său fascicolul de electroni cade pe un ecran fluorescent, ceea ce are ca rezultat apariţia în locul de impact a unui punct luminos, numit spot dacă spotul se deplasează suficient de rapid, mişcarea sa nu poate fi urmărită cu ochiul şi se creează impresia că pe ecran eistă o linie luminoasă care evidenţiază traiectoria spotului 87

88 Adunarea (sau compunerea) oscilaţiilor perpendiculare are loc atunci când un punct material participă simultan la două mişcări oscilatorii pe direcţii perpendiculare. Figurile Lissajous : reprezintă traiectoriile urmate de corpurile care oscilează simultan după două direcţii perpendiculare ele sunt curbe închise atunci când raportul celor două frecvenţe de oscilaţie este un număr raţional (adică raportul a două numere întregi) o figură Lissajous se înscrie întrun dreptunghi de bază A şi înălţime A y, unde A şi A y reprezintă amplitudinile oscilaţiei orizontale, respectiv celei verticale dacă se notează cu n numărul punctelor de tangenţă ale unei figuri Lissajous închise cu latura orizontală a dreptunghiului circumscris şi cu n y numărul punctelor de tangenţă cu latura verticală, atunci este valabilă relaţia: ν n y ν n unde ν şi ν y sunt frecvenţele celor două oscilaţii. A y y Metoda celor mai mici pătrate: este utilizată pentru a construi funcţia y() A B care aproimează cel mai bine perechile de date eperimentale (, y ), (, y ),, ( n, y n ) dreapta y() se trasează astfel încât suma pătratelor distanţelor de la fiecare punct eperimental la această dreaptă să fie minimă. se poate demonstra că valorile coeficienţilor A şi B se calculează cu relaţiile: y ; B y A n n i yi i y i i i i i ; y ; ; y n n n n n n i 88

89 PRICIPIUL METODEI Dacă poate fi eaminată traiectoria unui punct material care participă simultan la două mişcări oscilatorii pe direcţii perpendiculare, atunci este posibilă determinarea raportului frecvenţelor de oscilaţie. Cunoscând una dintre frecvenţe, cealaltă poate fi determinată prin calcul. Pentru a măsura pe această cale frecvenţa unei surse de curent electric alternativ, este suficient să aplicăm tensiunea dată de sursă plăcilor de defleie verticală ale tubului catodic al unui osciloscop electronic, provocând astfel oscilaţia verticală a fascicolului de electroni. De asemenea este necesar ca pe plăcile de defleie orizontală să se aplice tensiunea alternativă generată de o sursă-etalon, determinând în acest mod şi oscilaţia orizontală a fascicolului electronic. Consecinţa este că punctele de impact ale fascicolului de electroni cu ecranul tubului catodic vor forma o figură Lissajous. Cunoscând frecvenţa sursei-etalon şi eaminând figura Lissajous, astfel încât să determinăm raportul frecvenţelor de oscilaţie, vom afla frecvenţa sursei de etalonat cu relaţia : n νy ν n De eemplu, pentru figura prezentată în cuprinsul referatului lucrării practice se obţine : νy ν Frecvenţa astfel calculată, considerată ca frecvenţa reală a curentului furnizat de sursa de etalonat, se compară cu frecvenţa citită pe cadranul acestei surse, a cărei valoare ν' y se presupune a fi eronată. Scopul operaţiunii de etalonare este acela ν y (Hz) (frecvenţa reală) ν' y (Hz) (frecvenţa indicată de scala aparatului) 89 y de a atribui o valoare corectă fiecărei diviziuni de pe cadranul sursei de etalonat. Deoarece sursa de curent electric alternativ cercetată a mai fost etalonată în momentul construcţiei, este de aşteptat ca abaterile de la valorile măsurate ale frecvenţei la valorile citite pe cadran să fie mici, iar frecvenţa reală să fie o funcţie practic liniară de frecvenţa citită. În aceste condiţii operaţiunea de etalonare se reduce la aceea de a trasa grafic dreapta corespunzătoare.

90 Deoarece orice determinare eperimentală comportă erori de măsurare sau de altă natură, este previzibil că punctele eperimentale nu se vor aşeza cu precizie de-a lungul unei drepte. De aceea, pentru a trasa dreapta va trebui utilizată metoda celor mai mici pătrate. MATERIALE ŞI APARATE generator de curent electric alternativ sursă-etalon de curent electric alternativ osciloscop electronic conductoare electrice de coneiune SCHIŢA DISPOZITIVULUI EXPERIMETAL EXPLICAŢII : () generator-etalon, () generator care trebuie etalonat, () osciloscop, (4) şi (7) disc cu scala de măsură a frecvenţei, (6) şi () butoane pentru reglajul fin al frecvenţei, (5) şi (8) potenţiometre pentru reglarea valorii tensiunii de ieşire, (9) ecranul osciloscopului, () buton de reglare pe orizontală a poziţiei spotului, () buton de reglare pe verticală a poziţiei spotului. 9

91 MOD DE LUCRU se branşează sursa etalon (), generatorul de etalonat () şi osciloscopul electronic () la reţeaua electrică şi se pun în funcţiune se verifică dacă sursa etalon este conectată la intrarea O a osciloscopului, iar generatorul de etalonat la intrarea Oy se reglează dimensiunile figurii Lissajous de pe ecranul osciloscopului cu ajutorul potenţiometrelor (5) şi (8) şi se centrează figura rotind butoanele () şi () ale osciloscopului se fiează de la butonul (6) frecvenţa sursei etalon, indicată de cadranul (4), la prima valoare notată în tabelul de rezultate se reglează cu butonul () frecvenţa generatorului de etalonat până la formarea figurii Lissajous având caracteristicile din tabelul de rezultate se citeşte frecvenţa sursei de etalonat pe cadranul (7) şi i se notează valoarea în tabelul de rezultate se repetă determinările până la completarea coloanei ν' y a acestui tabel se calculează mediile : ν' y ν ν' i yi yi i i ν' y ; νν y ' y se calculează panta A cu relaţia : νν y ' y 44 ν' y A 649 se calculează valoarea coordonatei punctului de intersecţie al graficului cu aa Oy, utilizând relaţia : B 44 A ν' y se face reprezentarea grafică a relaţiei ν y Aν' y B, trecându-se în acelaşi grafic şi poziţiile punctelor eperimentale operaţiunile relatate în caseta de mai sus se pot face mai uşor prelucrând datele în modul prezentat în lucrarea Prelucrarea datelor eperimentale 9

92 PRELUCRAREA DATELOR ETALOAREA UUI GEERATOR DE OSCILAŢII ELECTRICE UTILIZÂD METODA FIFURILOR LISSAJOS nr. crt. ν (Hz) n n y ν y (Hz) ν' y (Hz) A B REZULTATE FIALE ν y Aν' y B ν y...ν' y... 8 GRAFICUL FRECVEŢEI REALE Î FUCŢIE DE FRECVEŢA MĂSURATĂ ν y ( Hz) ) ) ) 4) STUDEŢI 6 SEMĂTURA CADRULUI DIDACTIC ν' y ( Hz) 9

93 TK DETERMIAREA VITEZEI DE PROPAGARE A SUETELOR PRI AER UTILIZÂD TUBUL KÖIG CUVITE CHEIE TEMA APLICAŢIEI unde acustice, sunete lungimea de undă fenomenul de interferenţă osciloscop tubul König generator de curent electric alternativ de frecvenţă reglabilă cască telefonică, microfon metoda celor mai mici pătrate Viteza sunetului într-un gaz depinde de temperatura, eponentul adiabatic şi masa molară ale gazului după relaţia : γrt c µ Aceasta este o formulă teoretică, iar măsurarea vitezei sunetului se poate face prin diverse alte metode care fac apel la fenomenele întâlnite în cursul propagării undelor sonore. Unul dintre acestea este interferenţa. Dispozitivul realizat de König utilizează interferenţa şi permite determinarea valorii vitezei sunetului, prin simple măsurători de lungime şi intensitate a sunetului. SCOPUL APLICAŢIEI Determinarea eperimentală a vitezei de propagare a sunetelor în aer. 9

94 DEFIIŢII ŞI FORMULE Undele acustice : sunt unde mecanice longitudinale se pot propaga prin medii solide, lichide sau gazoase reprezintă un fenomen de transfer de energie, fără transport de substanţă se propagă cu viteză constantă în mediile omogene şi izotrope Sunetele sunt unde mecanice, longitudinale, cu frecvenţa cuprinsă între 6 şi 6 Hz Lungimea de undă (λ) reprezintă distanţa pe care se propagă unda în timp de o perioadă : c λ c T ν unde : c viteza de propagare a undei (numită şi viteză de fază) T perioada de oscilaţie a undei ν frecvenţa undei Fenomenul de interferenţă : este un fenomen specific propagării undelor reprezintă rezultatul compunerii în aceeaşi regiune din spaţiu a două sau mai multe unde coerente (adică unde având aceeaşi frecvenţă de oscilaţie şi diferenţă de fază constantă în timp) se manifestă printr-o redistribuire spaţială a energiei undelor care se compun, caracterizată de prezenţa maimelor şi minimelor de interferenţă condiţia de apariţie a maimelor de interferenţă este ca diferenţa de drum între undele care se compun să fie egală cu un număr întreg de lungimi de undă, iar condiţia de apariţie a minimelor de interferenţă este ca diferenţa de drum să fie egală cu un număr semiîntreg de lungimi de undă poate fi obţinut pe cale eperimentală doar prin împărţirea unei unde sonore iniţiale în două unde secundare separate care parcurg drumuri diferite până în regiunea în care se întâlnesc din nou Osciloscopul este un aparat electronic comple, utilizat în această lucrare pentru vizualizarea amplitudinii tensiunii electrice aplicate la bornele sale 94

95 Tubul König este un dispozitiv format din două tuburi îndoite în formă de U, ale căror capete coincid. El permite, la un capăt, divizarea unei unde sonore în alte două unde şi reunirea lor la celălalt capăt. Unul dintre tuburi se poate alungi, permiţând ca undele sonore să parcurgă drumuri de lungime diferită. Generatorul de curent electric alternativ de frecvenţă reglabilă : are ca element constructiv principal un circuit de curent electric oscilant, format dintr-o bobină şi un condensator variabil oscilaţiile electrice generate de circuitul oscilant sunt amplificate şi determină prezenţa unei tensiuni electrice alternative la bornele de ieşire ale aparatului valoarea frecvenţei poate fi reglată modificând capacitatea condensatorului variabil din circuitul oscilant Casca telefonică : este un traductor curent electric-sunet, adică un dispozitiv care transformă un curent electric variabil în sunet principiul ei de funcţionare se bazează pe un electromagnet şi o membrană metalică membrană curentul electric variabil determină în miezul electromagnetului un câmp magnetic variabil, care, la rândul său provoacă acţiunea unor forţe variabile asupra membranei, care o aduc în stare de oscilaţie mecanică oscilaţiile mecanice ale membranei generează sunetul Microfonul : este un traductor sunet-curent electric, adică un dispozitiv care transformă sunetul în curent electric variabil principiul său de funcţionare este asemănător cu cel al căştii telefonice, cu deosebirea că de această dată vibraţiile membranei sunt cele care determină apariţia curentului electric variabil în înfăşurarea electromagnetului Metoda celor mai mici pătrate : este utilizată pentru a construi dreapta y() A B care aproimează cel mai bine perechile de date eperimentale (, y ), (, y ),, ( n, y n ). Se arată că : y y A ; B y A n n i yi i y i i i i i ; y ; ; y n n n n 95 n n i

96 PRICIPIUL METODEI Să considerăm o sursă S de sunet de frecvenţă constantă. Sunetele plecate din S pot urma drumurile SAI şi SBI, reunindu-se în punctul I, unde interferă. S l l l A B C l l l I Să presupunem că în punctul I se produce un minim de interferenţă. În acest caz diferenţa de drum între undele care interferă este un număr semiîntreg de lungimi de undă : λ l l k ; k ( ) Z Deplasând punctul de refleie B în poziţia C, rezultatul interferenţei din I se modifică. Să presupunem că poziţia lui C corespunde altui minim de interferenţă (primul care se poate obţine în timpul deplasării BC). În acest caz k creşte cu o unitate : [( ( ) )] λ l l k Făcând diferenţa dintre cele două relaţii, obţinem : l l λ sau : λ l l Deoarece : ( ) λ c ν rezultă posibilitatea de a determina viteza de fază după relaţia : ( ) c ν l l cu condiţia de a cunoaşte frecvenţa sunetului şi diferenţa de drum (l - l ). În practică, putem obţine un sunet de frecvenţă dată (numit şi sunet pur) cu ajutorul unui generator de curent alternativ de frecvenţă reglabilă şi al unei căşti telefonice, care transformă în sunet curentul alternativ furnizat de generator. 96

97 Două tuburi îndoite în formă de U conduc sunetul R furnizat de casca (C) pe două căi de la sursă la punctul de (S) C interferenţă, aflat în dreptul (B) unui microfon (M). Tubul superior este mobil, iar deplasarea sa poate fi măsurată cu aju- (I) M torul unei rigle gradate R. (A) Acest dispozitiv, care permite măsurarea diferenţei de drum dintre două sunete coerente care provin de la aceeaşi sursă, se numeşte tub König. Microfonul îngăduie transformarea sunetului obţinut prin interferenţă într-un semnal electric, a cărui amplitudine este direct proporţională cu tăria sunetului. Semnalul electric obţinut poate fi analizat cu ajutorul unui osciloscop, iar amplitudinea sa este vizualizată ca înălţime a liniei luminoase care apare pe ecranul osciloscopului. Deoarece lungimea deplasării între poziţiile tubului superior care corespund minimelor succesive de interferenţă este dată de relaţia : l c l ν rezultă că aceasta este o funcţie lineară de inversul frecvenţei. Găsind prin măsurare mai multe perechi eperimentale (l - l, /ν) şi determinând funcţia lineară corespunzătoare (l l A /ν B)prin utilizarea metodei celor mai mici pătrate, putem determina viteza de fază a sunetului ca fiind dublul pantei funcţiei lineare (c A). Trebuie făcut şi un comentariu în privinţa preciziei cu care se face această determinare. Frecvenţele ν se pot măsura cu precizie destul de mare dacă generatorul de curent alternativ este corespunzător. În laborator, această precizie este, teoretic, de,%. Distanţele l şi l se pot măsura pe riglă cu precizie de mm. La o frecvenţă a sunetului de Hz, diferenţa l l ar trebui să fie de aproimativ 8,5 cm. Eroarea relativă făcută la o asemenea determinare este : δl mm ε, 4% l l 85 mm ceea ce înseamnă pentru măsurarea vitezei sunetului c o eroare de aproape 5%. Eroarea este amplificată de dificultatea de a observa pe ecranul osciloscopului momentul eact în care înălţimea liniei luminoase este minimă sau maimă, ceea ce are drept consecinţă o eroare de măsurare a diferenţei l l mai mare decât aceea asigurată de riglă. De aceea măsurătorile trebuie făcute cu o atenţie deosebită! 97

98 MATERIALE ŞI APARATE generator de curent electric alternativ tub König cască telefonică, microfon osciloscop electronic conductoare de coneiune Oy SCHIŢA DISPOZITIVULUI EXPERIMETAL EXPLICAŢII : () ramura fiă a tubului König, () ramura mobilă a tubului König, () riglă, (4) cască telefonică, (5) microfon, (6) firele de coneiune la generatorul de curent alternativ, (7) generatorul de curent alternativ, (8) afişajul generatorului, (9) potenţiometru pentru reglarea frecvenţei, () fire de coneiune la osciloscop, () osciloscop, () ecranul osciloscopului şi linia luminoasă care trebuie observată. OTĂ : este posibil ca frecvenţa tensiunii de la bornele generatorului de curent alternativ să fie măsurată cu un frecvenţmetru. În acest caz, valoarea frecvenţei se citeşte pe afişajul frecvenţmetrului şi nu pe acela al generatorului. 98

99 MOD DE LUCRU se verifică dacă casca telefonică este racordată la generatorul de curent alternativ şi microfonul la bornele Oy ale osciloscopului se alimentează de la reţeaua electrică şi se pun în funcţiune generatorul de curent alternativ şi osciloscopul, iar dacă este necesar şi frecvenţmetrul se stabileşte frecvenţa generatorului la valoarea ν Hz pe ecranul osciloscopului trebuie să apară o dungă luminoasă verticală se alungeşte tubul superior al aparatului König până ce se observă pe ecranul osciloscopului un minim al înălţimii dungii luminoase în acest moment se citeşte şi se notează în tabelul de date valoarea indicată în dreptul poziţiei cursorului pe rigla gradată (l ) se alungeşte din nou tubul superior până la apariţia următorului minim, citindu-se şi notându-se în tabel poziţia corespunzătoare (l ) se readuce tubul superior la limita din stânga şi se stabileşte frecvenţa generatorului la o nouă valoare, indicată în tabelul de date, repetându-se măsurătorile până la completarea acestuia se calculează diferenţele de lungime (l - l ) şi se notează în tabel În cazul în care faceţi calculele manual : se calculează viteza sunetului în aer cu relaţia: y y c ( y y ) dm m 8958, ms s se trasează graficul l - l f(/ν) dacă utilizaţi programul Ecel pentru a trasa graficul şi a determina panta A, pentru a afla viteza sunetului va trebui să transformaţi valoarea pantei eprimată în dm/ms în m/s (prin înmulţire cu ) şi apoi să dublaţi valoarea obţinută. 99

100 PRELUCRAREA DATELOR MĂSURAREA VITEZEI SUETULUI Î AER UTILIZÂD TUBUL KÖIG r. crt. ν (khz) /ν (ms) y l -l (dm) l (dm) l (dm),,,,99,,8 4,,769 5,4,74 6,5,6667 7,6,65 8,7,588 9,8,5556,9,56 GRAFICUL DISTAŢEI ÎTRE DOUĂ MIIME COSECUTIVE Î FUCŢIE DE IVERSUL FRECVEŢEI l l (dm) REZULTATE FIALE c.. m/s STUDEŢI ) ) ) 4) /ν (ms) SEMĂTURA CADRULUI DIDACTIC

101 OSCILATORUL AMORTIZAT OA CUVITE CHEIE TEMA APLICAŢIEI oscilaţii oscilatorul armonic oscilatorul amortizat coeficient de amortizare forţă arhimedică vâscozitate, coeficient de vâscozitate (viscozitate) legea lui Stokes Oscilaţiile armonice, neamortizate, sunt de fapt doar idealizări ale situaţiilor reale. În cazul unui oscilator real, amortizarea este datorată forţelor de rezistenţă la înaintare. Rezultatele acţiunii acestora sunt micşorarea amplitudinii şi vitezei de oscilaţie. Dacă un corp se deplasează în interiorul unui lichid, asupra sa acţionează forţe de frecare cu lichidul, numite forţe de vâscozitate. Forţele de vâscozitate sunt proporţionale cu viteza de deplasare a corpului. Măsurând amortizarea oscilaţiilor efectuate de un corp imersat într-un lichid, putem determina prin calcul coeficientul de vâscozitate al lichidului. SCOPUL APLICAŢIEI Determinarea eperimentală (prin simulare) a coeficientului de vâscozitate al unui lichid.

102 DEFIIŢII ŞI FORMULE Oscilaţii : Un sistem fizic efectuează oscilaţii mecanice dacă parametrii care-l descriu iau succesiv valori care variază alternativ în jurul valorilor care caracterizează starea de echilibru a sistemului În cazul în care parametrii ce caracterizează sistemul mecanic iau valori egale după intervale de timp egale, oscilaţia se numeşte oscilaţie periodică, iar intervalul de timp caracteristic acesteia se numeşte perioada oscilaţiei şi se notează cu T. Oscilatorul armonic : Mişcările oscilatorii de tipul Asin( ω t ϕ) sau Acos( ω t ϕ) se numesc oscilaţii armonice. Parametrii care intervin în epresie au următoarele semnificaţii : elongaţia oscilaţiei, A amplitudinea oscilaţiei, ω - pulsaţia oscilaţiei, ϕ - faza iniţială a oscilaţiei, Φ ωt ϕ - faza oscilaţiei, t momentul de timp. Ecuaţia diferenţială a oscilatorului armonic este : a ω & ω Condiţia necesară pentru ca un corp să oscileze armonic este aceea ca rezultanta forţelor care acţionează asupra sa să fie de tip elastic : R -k. Oscilatorul amortizat : Mişcarea oscilatorie amortizată este descrisă matematic prin ecuaţia diferenţială : && γ& ω, unde γ se numeşte coeficient de atenuare. Pentru a avea loc oscilaţia periodică este necesar să fie îndeplinită condiţia: ω γ >. În cazul oscilatorului amortizat, elongaţia depinde de timp după legea : γt A e sin ωt ϕ unde γ ( ) ω ω. Amplitudinea scade în timp după legea : A A e. Perioada oscilaţiei (definită drept dublul intervalului de timp care corespunde la două treceri succesive ale oscilatorului prin poziţia de echilibru) are epresia : T π ω γt

103 Condiţia necesară pentru ca un corp să oscileze după legea de mai sus este aceea ca rezultanta forţelor care acţionează asupra sa să fie suma dintre o forţă de tip elastic şi o forţă de rezistenţă la înaintare, proporţională cu viteza : R -k fv. A ρ lichid Forţa arhimedică : Este rezultanta forţelor de presiune pe care le eercită un fluid aflat la echilibru asupra unui corp imersat în acel fluid Forţa arhimedică este numeric egală cu greutatea volumului de lichid dezlocuit de corp, are aceeaşi direcţie ca şi greutatea, dar este orientată de jos în sus Epresia sa matematică este : F V g, unde ρ lichid este densitatea lichidului, V corp este volumul de lichid dezlocuit de corp (egal şi cu volumul corpului dacă acesta se află în întregime în lichid), iar g este acceleraţia gravitaţională Vâscozitatea : este proprietatea lichidelor (fluidelor) de a curge cu mai multă sau mai puţină uşurinţă este rezultatul forţelor de frecare care apar între straturile de fluid alăturate şi curg cu viteze diferite Legea eperimentală a vâscozităţii a fost r v(rdr determinată de ewton şi are forma : v(r) v(r) df dr ds corp () r dv df ηds dr Enunţul este următorul : forţa de frecare care se eercită între straturile de fluid vecine este proporţională cu aria de contact ds a acestora şi cu gradientul vitezei de curgere a fluidului dv/dr în direcţie perpendiculară aceleia de curgere. Forţele de frecare acţionează astfel încât să mi micşoreze viteza straturilor rapide şi să o mărească pe aceea a straturilor lente. Coeficientul de viscozitate dinamică (sau viscozitatea) η este o constantă de material care caracterizează fluidul. Legea lui Stokes se referă la forţa de frecare care se eercită asupra unui corp sferic ce se deplasează în interiorul unui fluid. Epresia ei este : F S 6 πηrv unde r este raza corpului sferic, iar v este viteza de deplasare a corpului în interiorul fluidului. Dacă lichidul udă corpul, η este chiar viscozitatea lichidului.

104 PRICIPIUL METODEI v a Să eaminăm situaţia din figura alăturată. Folosim un corp F A F S format dintr-o sferă (de rază r) continuată printr-un tub lung, cilindric, de rază r < r. Corpul are pereţi din sticlă foarte subţiri şi este gol pe dinăuntru. În interiorul sferei sunt introduse câteva alice din plumb care constituie aproape toată masa corpului. Alicele de plumb aflate în sferă asigură stabilitatea, astfel încât, introdus într-un l G lichid, corpul pluteşte, tija având direcţie verticală, iar sfera şi o parte din tijă fiind cufundate în lichid. Un asemenea corp se numeşte densimetru (sau areometru) şi serveşte la măsurarea densităţii unor lichide. Dacă este scos din poziţia de echilibru, fiind tras sau împins în direcţie verticală, densimetrul oscilează, amplitudinea fiind mai mare la început şi descrescând treptat, până la anulare. Să eaminăm forţele care acţionează în timpul oscilaţiei : Greutatea Masa densimetrului este concentrată aproape în totalitate în interiorul sferei. În aceste condiţii, este convenabil să afirmăm că masa se poate eprima în funcţie de volumul sferei şi densitatea medie : 4πr 4πr m ρ G ρg Valoarea densităţi medii poate fi ajustată în funcţie de dorinţă, folosind mai multe sau mai puţine alice de plumb. În cazul de faţă, vom considera că densitatea medie este 4 kg/m. Forţa arhimedică Aceasta este proporţională cu volumul lichidului dezlocuit şi are doi termeni : unul corespunzător sferei şi celălalt porţiunii de tijă aflate sub nivelul lichidului : 4

105 g l r g r F l l A ρ π ρ π 4 (ρ l densitatea lichidului, l lungimea porţiunii de tijă aflată în lichid) Forţa arhimedică cu care aerul acţionează asupra porţiunii de tijă aflată în afara lichidului se poate neglija. Forţele de frecare Forţa de frecare principală se eercită între lichid şi sferă. Epresia ei este dată de legea lui Stokes : F S πηrv 6 unde η este viscozitatea lichidului, iar v este viteza mişcării oscilatorii. Se mai eercită forţe de frecare între tijă şi lichid, sau între tijă şi aer, dar ele pot fi neglijate. Ar mai putea fi menţionate şi forţele de tensiune superficială care apar la suprafaţa lichidului, în zona de contact cu tija. Vom considera că şi acestea sunt neglijabile. Conform principiilor dinamicii, putem calcula acceleraţia densimetrului : F A F S G ma rv g l r g r g r a r l l πη ρ π ρ π ρ π ρ π ρ η ρ ρ ρ ρ 9 4 r v g r l r g a l l La echilibru, corpul fiind în repaus (v ), acceleraţia este nulă. otând cu l lungimea porţiunii de tijă aflată sub nivelul lichidului în poziţia de echilibru, obţinem : g r l r g l l ρ ρ ρ ρ 4 Scăzând ultima ecuaţie din cea anterioară, obţinem : ( ) ρ η ρ ρ 9 4 r v g r l l r a l Putem face notaţiile : v dt dv a dt dl v l l & & & & ρ ρ ω l r g r 4 ρ η γ 4 9 r Cu aceste notaţii, ecuaţia diferenţială de mişcare capătă forma : ω γ & & & Această ecuaţie diferenţială descrie mişcarea oscilatorie amortizată şi are soluţia următoare : 5

106 unde γ A e ( ωt ) γt sin ϕ ω ω, iar ϕ este faza iniţială. Viteza mişcării oscilatorii este : γt ( ωt ϕ ) ωa e cos( ωt ) γt v & γae sin ϕ La momentele de timp t i când oscilatorul trece prin poziţia de echilibru avem : sin( ωti ϕ ) cos( ωti ϕ ) ± Rezultă : v i γt i ±ωa e vi ωa adică modulul vitezei oscilatorului la trecerea prin poziţia de echilibru este o funcţie eponenţială de timp. Prin logaritmare, rezultă : e γt i ln v i γt i ln ( ω ) A Logaritmul modulului vitezei oscilatorului la trecerea prin poziţia de echilibru este o funcţie lineară de timp, panta dreptei corespunzătoare fiind chiar factorul de amortizare γ. Cunoscând factorul de amortizare, densitatea medie a densimetrului şi raza porţiunii sferice, putem calcula viscozitatea lichidului după formula : 4r ργ η 9 Mişcarea oscilatorie amortizată este periodică, în sensul că trecerile succesive prin poziţia de echilibru au loc la intervale de timp egale între ele : T π t ti ti i ω Cunoscând relaţia între ω şi ω, putem scrie : π ω γ ω t r g ρl γ 4r ρ ( ) π ( t) Rezultă că putem calcula densitatea lichidului după relaţia : 6

107 4r π ρ l ρ γ r ( ) g t Cunoscând factorul de amortizare, densitatea medie a densimetrului, raza porţiunii sferice, raza secţiunii tijei şi intervalul de timp între două treceri succesive prin poziţia de echilibru putem calcula viscozitatea lichidului după formula de mai sus. Rază laser Diodă laser Fotocelulă Cronometru electronic h Diodă laser Tija densimetrului (porţiune transparentă) Fotocelulă Tija densimetrului (porţiune opacă) Orizontala corespunzătoare poziţiei de echilibru Pentru a măsura momentele de timp t i se poate concepe un montaj eperimental, asemănător aceluia prezentat în figura de mai sus. Diodele laser sunt poziţionate simetric, la mică distanţă de orizontala corespunzătoare poziţiei de echilibru a densimetrului. Tija densimetrului are o porţiune transparentă. De fiecare dată când aceasta trece prin dreptul diodelor laser, raza laser o traversează şi cade pe o fotocelulă, care, la rândul ei, transmite un puls de tensiune către un cronometru electronic ce înregistrează momentul de timp. Fiecărei treceri a densimetrului prin dreptul poziţiei de echilibru îi corespund două pulsuri, unul provenind de la dioda, iar celălalt de la dioda. Se înregistrează astfel două momente de timp : t i şi t i. Momentul trecerii prin dreptul poziţiei de echilibru t i se poate aproima prin media : ti' ti" ti iar viteza densimetrului prin relaţia : s vi t " t ' i i 7

108 MATERIALE ŞI APARATE programul de simulare Oscam EXPLICAŢII : () cronometru, () icon (click-ul pe acest icon declanşează cronometrul şi eliberează densimetrul), () tabel cu momentele de timp t i şi t i, (4) buton de pornire/resetare, (5) buton de oprire, (6) buton de închidere a programului. 8