Variabile aleatoare şi funcţii de repartiţie

Transcript

1 Caitolul 4 Variabile aleatoare şi funcţii de reartiţie 4. Variabile aleatoare Variabila aleatoare este una din noţiunile fundamentale ale teoriei robabilitãţilor şi a statisticii matematice. In urma unui roces tehnologic de relucrare se constatã cã deşi condiţiile de uzinare sunt identice între reerele relucrate la anumite erioade de tim eistã diferenţe în cea ce riveşte dimensiunile rescrise. De asemeni în cadrul unei cercetãri eerimentale se constatã cã între valorile numerice mãsurate eistã diferenţe chiar dacã condiţiile de desfãşurare a eerimentului rãmân neschimbate. Dacã ne referim la o singurã mãsurãtoare, variabila aleatoare este acea mãrime care în cadrul unui eeriment oate lua o valoare necunoscutã arioric. Pentru un şir de mãsurãtori, variabila aleatoare este o noţiune care-l caracterizeazã din douã uncte de vedere: - caracterizare din unct de vedere cantitativ - variabila aleatoare ne dã informaţii rivind valoarea numericã a mãrimii mãsurate - caracterizare din unt de vedere calitativ - variabila aleatoare ne dã informaţii rivind frecvenţa de aariţie a unei valori numerice într-un şir. Dacã valorile numerice ale unui şir de date aarţin mulţimii numerelor întregi sau raţionale atunci se defineşte o variabilã aleatoare discretã. In cazul aartenenţei valorilor la mulţimea numerelor reale se defineşte o variabila aleatoare continuã. Primul caz se întâlneşte în cazul numãrului de iese defecte etras dintr-un lot de

2 7 Caitolul 4 fabricaţie care aarţine totdeauna mulţimii numerelor întregi. Al doilea caz în cercetarea eerimentalã la mãsurarea forţei de aşchiere sau a momentului când valorile obţinute aarţin mulţimii numerelor reale O variabilã aleatoare se noteazã cu litere mari A,B,X, cu litere mici notându-se valorile osibile:,,,..., n. 4.. Variabile aleatoare discrete Considerãm un eeriment în urma cãruia entru variabila X rezultã valorile,,... n. Probabilitatea ca o valoare oarecare i sã aibã valoarea i este P(X i ) i. Pentru toate valorile mãsurate se oate construi un tablou de forma:, X :,,, n sau X : i, i n n i care oartã denumirea de tabloul reartiţiei. In rima linie sunt trecute toate valorile osibile ale caracteristicii şi în a doua sunt trecute toate robabilităţile de aariţie. Alicaţia 4. Se aruncã un zar de de ori obţinându-se entru cifra aariţii, entru cifra 8 aariţii entru cifra aariţii entru cifra 4 aariţii entru cifra 5 5 de aariţii entru cifra 6 5 aariţii. Probabilitatea aariţiei cifrelor,,...,6 este: Tabloul reartiţiei este: 8 P(),P( ).8P( ), 5 5 P( 4 ),P( 5 ),5P(6 ),5 (4.) (4.) X : (4.),,8,,,5,5 Alicaţia 4. Considerãm un lot de bucãţi entru care coeficientul de rebut este 5% Se efectueazã o singurã etragere. Sã se construiascã variabila aleatoare a numãrului de iese defecte. Deoarece coeficientul de rebut este 5% numãrul ieselor defecte este de 5. Efectuând o singurã etragere se oate ca sã nu fie etrasã nici o iesã defectă şi-n acest caz numãrul ieselor defecte este zero, sau o iesã defectã. Notând cu robabilitatea de-a etrage o iesã defectã şi cu q robabilitatea de a etrage o iesã bunã, valorile robabilitãţilor sunt:,5; q,95.. In consecinţã valorile robabilitãţii de-a etrage iese defecte şi a robabilitãţii de-a etrage o iesã defectã sunt:

3 Variabile aleatoare şi funcţii de reartiţie 7 P(X)q,95; P(X),5. Variabila aleatoare este: X : (4.4),95,5 Alicaţia 4. Pentru un lot de de bucãţi cu un coeficient de rebut de % sã se construiascã variabila aleatoare a numãrului de iese defecte. Din lot ot fi etrase,,, maim 4 iese defecte. Fie A evenimentul etragerii unei iese bune. A evenimentul etragerii unei iese defecte; A evenimentul etrageri a douã iese defecte,..., A 4 evenimentul etragerii a 4 iese defecte. Calculul acestor robabilitãţi ne conduce la valorile: P( X P( X P( X P( X ) P( ),98 P( X ) P( ) A A 4 ) P( ) P( ) P( / ),6 4 A I A A A A 99 4 ) P( A A A ) P( A ) P( A / A ) P( A / A A ),46 6 I I I ) P( A I AI AI A4 ) P( A ) P( A / A ) P( A / A I A ) P( A4 / A I AI A ), (4.5) Tabloul reartiţiei are forma: X :,98 4 4,46 6,546 8 (4.6),5 Legãtura care eistã între variabila aleatoare şi robabilitatea de aariţie a acesteia oartã denumire de lege de reartiţie. Legea de reartiţie se oate rerezenta grafic sub forma diagramei cu bare (Fig.4.), histograme, oligonul reartiţiei (Fig.4.) In cazul în care se oate determina o eresie analiticã care sã stabileascã o robabilitate..5. robabilitate variabila variabila Fig.4. Rerezentarea legii de reartiţie Fig.4. Rerezentarea legii de reartiţie

4 7 Caitolul 4 (diagrama cu bare) (oligonul frecvenţelor) legãturã între variabila aleatoare şi robabilitate, aceasta oartã denumirea de funcţie de robabilitate: Eresia ei analiticã este: P( X ) P( ) (4.7) i i Deoarece orice eeriment oate avea un singur rezultat totalitatea valorilor distincte şi osibile formeazã un sistem comlet de evenimente incomatibile. Pentru mulţimea ale cãrei erechi ordonate definesc reartiţia se oate scrie: n i i In multe alicaţii ne intereseazã robabilitatea evenimentului X< i. Si-n acest caz se oate construi un tablou al reartiţiei care are forma:,,... n X : (4.9), +, n Rerezentarea graficã a acestui tablou al reartiţie are forma din (Fig ). Dacã este osibilã determinarea unei eresii analitice care sã stabileascã o legãturã între valorile aleatoare şi robabilitãţile resective aceastã funcţie va urta numele de funcţie de reartiţie: Eresia ei este: F( i (4.8) ) P( X ) (4.) Cunoscând funcţia de robabilitate a unei variabile aleatoare discrete funcţia de reartiţie va fi : F ( ) P( X ) P( X i ) P( ) (4.) i i i robabilitate variabila robabilitate variabila Fig.4. Rerezentarea legii de reartiţie rin histogramã Fig.4.4 Graficul funcţiei de reartiţie la o variabilã aleatoare

5 Variabile aleatoare şi funcţii de reartiţie 7 Obs. Intre notiunea de robabilitate si notiunea de frecventa entru variabile aleataore discrete oate fi us semnul de egalitate, cea ce face ca teoria robabilitatilor sa oata fi alicata in statistica. 4.. Variabile aleatoare continue In cazul variabilelor aleatoare continue, construirea unui tablou al reartiţiei nu este realizabilã deoarece eistã o infinitate de valori osibile. In aceste cazuri entru a utea analiza şirurile de valori se utilizeazã funcţia de reartiţie. Construcţia ei imlicã determinarea robabilitãţii evenimentului X<. Eresia ei va fi definitã de integrala: F ( ) P( X < ) f ( )d F' ( )d (4.) unde f() rerezintã densitatea de robabilitate, care oate fi definitã ca rimã derivatã (dacã eistã) a funcţiei de reartiţie F() adicã: f ( ) lim F( + ) F( ) F' ( ) (4.) f() f() f()d Fig. 4.5 Graficul densitãţii de robabilitate Fig.4.6 Rerezentarea elementului de robabilitate. Rerezentarea graficã a funcţiei densitate de robabilitate este rezentatã în figura 4.5. Ne utem imagina cã aceasta s-ar utea obţine dintr-o histogramã la care numãrul de dretunghiuri ar tinde sre infinit şi grosimea sre zero. Mãrimea f()d se numeşte element de robabilitate şi rerezintã robabilitatea ca valoarea variabilei aleatoare sã se gãseascã în intervalul ds. Aceastã robabilitate este egalã cu aria dretunghiului elementar cu baza egalã cu ds. Dacã ds tinde sre zero, aria dretunghiului tinde sre zero, cea ce ne duce la concluzia cã robabilitatea obţinerii unei valori este egalã cu zero, deci ar fi un eveniment imosibil. Deoarece o astfel de concluzie este aradoalã trebuie evidenţiatã definiţia robabilitãţii care ne conduce la o interretare care evidenţeazã fatul cã frecvenţa unui astfel de eveniment este zero şi nu fatul cã un astfel de

6 74 Caitolul 4 eveniment nu oate avea loc. Sre deosebire de cazul variabilelor aleatoare discrete la care funcţia densităţii de robabilitate are semnificaţia unei robabilitãţi la variabilele aleatoare continue acest fat nu este valabil şi-n consecinţã semnul folosit la variabile aleatoare discrete este înlocuit rin <. Eresia P(X<) se citeşte robabilitatea ca X sã fie cel mult egal cu. Geometric, funcţia de reartiţie entru variabile aleatoare continue este rerezentatã de aria haşuratã curinsã între curba densitãţii de robabilitate şi aa absciselor, iar aria totalã este egalã cu unitatea. Deci graficul oricãrei funcţii la care aria mãrginitã de aceasta şi aa absciselor este egalã cu unitatea oate fi curba densitãţii de robabilitate. Obţinută rin integrare graficul funcţiei de reartiţie este rezentat în figura 4.7, şi are urmãtoarele rorietãţi: - asimtotã dreata F(); - asimtotã dreata F(); - funcţie strict crescãtoare; entru < F( )<F( ), Construcţia funcţiei densitãţii de robabilitate eerimentare se face cu frecventa F() Fig.4.7 Graficul funcţiei de reartiţie entru o variabila aleatoare continua X ajutorul histogramei (Fig.4.8), trasând rin unctele determinate de maimul fiecãrui subinterval şi mijlocul acestuia o curbã. Fig.4.8 Construcţia graficului densităţii de robabilitate eerimentale 4. Aartenenţa unei variabile aleatoare la un interval dat Se considerã o variabilã aleatoare la care i s-a determinat funcţia densitãţii de robabilitate resectiv funcţia de reartiţie. Considerând un interval [ab], ne intereseazã sã determinãm care este robabilitatea ca o valoare sã aarţinã acestui interval, resectiv P(a X b). Se face convenţia ca intervalul sã fie închis la unul din caete şi deschis la celãlalt. Pentru a erima robabilitatea aartenenţei la un interval vom considera urmãtoarele evenimente:

7 Variabile aleatoare şi funcţii de reartiţie 75 - A - evenimentul X<b; - B - evenimentul X<a; - C - evenimentul a X b. Evenimentele B şi C sunt incomatibile şi între cele trei evenimente eistã relaţiile: AB U C Ţinând cont de rorietãţile oeraţiilor cu evenimente: P ( A ) P( BU C ) P( B ) + P( C ) (4.4) sau de unde Pe baza definiţiei funcţiei de reartiţie sau P ( X < b ) P( X < a ) + P( a X < b ) (4.5) P ( a X b ) P( < b ) P( X < a ) (4.6) P( a X < b ) F( b ) F( a ) (4.7) b P ( a X < b ) f ( )d f ( )d f ( )d (4.8) a In concluzie robabilitatea ca o variabilã sã aarţinã intervalului [a,b] este egalã cu aria traezului curbiliniu mărginit de aa curba densitãţii de robabilitate f() şi dretele a şi b. f() b a P(a X<b) a b Fig.4.9 Interretarea geometrica a aarteneţei variabilei aleatoare la un interval 4.4 Funcţii de reartiţie Studiind diverse fenomene, se constatã cã deşi acestea aarţin unor ştiinţe diferite reartiţia în frecvenţa a acestora este asemãnãtoare resectiv cã histogramele au aceeaşi formã. Sre eemlu 9% din fenomenele fizice se suun legii normale de reartiţie (legea Gauss-Lalace). Un studiu mai amãnunţit a us în evidentã rorietãţile acestora şi gradul lor de alicare. Unele dintre legile de reartiţie au devenit clasice având un grad ridicat de utilizare. Dintre acestea se ot menţiona reartiţia binomialã, reartiţia hiergeometricã, reartiţia Poisson, reartiţia normalã, reartiţia χ, reartiţia Student, reartiţia Fischer O clasificare a acestora oate fi fãcutã funcţie de tiul variabilei aleatoare utilizat şi anume în reartiţii discrete entru VAD şi reartiţii continue entru VAC.

8 76 Caitolul Reartiţii discrete Reartiţia binomialã Aceastã reartiţie coresunde urmãtorului ti de eeriment: Fie A un eveniment care se roduce cu robabilitatea. Evenimentul contrar este A care se roduce cu robabilitatea q. Cele douã formeazã un sistem de evenimente, roducerea unuia ecluzând roducerea celuilalt. Se reetã eerimentul de n ori. In cele n ocazii evenimentul A s-ar utea sã nu se roducã nici o datã, s-ar utea sã se roducã o datã, s-ar utea roduce de n ori. Ne intereseazã sã determinãm de fiecare datã robabilitatea de realizare a evenimentului A. In acest caz am utea scrie un tablou de reartiţie de urmãtoarea formã: X :... n (4.)... n unde în rima linie sunt trecute numãrul de realizãri ale evenimentului A şi-n linia a doua sunt trecute robabilitãţile de realizare. Pentru a determina relaţia cu ajutorul cãreia vom determina aceste robabilitãţi lecãm de la observaţia cã acest ti de eeriment coresunde controlului de fabricaţie a unui lot la care se fac n etrageri unând de fiecare datã iesa etrasã la loc. Lotul trebuie verificat dacã are un coeficient de rebut. Fie A evenimentul se etrage o iesã şi aceasta iesã este defectã. Probabilitatea unui astfel de eveniment este egalã cu coeficientul de rebut. Evenimentul contrar îl rerezintã cazul în care iesa etrasã este bunã, robabilitatea unui astfel de eveniment fiind q. Prin unerea la loc a iesei duã constatarea calitãţii acesteia nu se modificã coeficientul de rebut şi nici robabilitatea etragerii unei iese defecte în cazul reetãrii eerimentului. Luãm în considerare urmãtoarele cazuri: Cazul - se etrage o singurã iesã. Pot avea loc urmãtoarele evenimente: - iesa etrasã este bunã; robabilitatea acestui eveniment: P(A)q; - iesa etrasã este defectã; robabilitatea unui astfel de eveniment este: P(A)q; Tabloul reartiţiei numãrului de iese defecte este: (4.4) q Cazul - se etrag consecutiv douã iese unând de fiecare data iesa la loc. Pot avea loc urmãtoarele evenimente: - ambele iese sunt bune - robabilitatea acestui eveniment este: P(A)P(A)q ;

9 Variabile aleatoare şi funcţii de reartiţie o iesã bunã şi una defectã - robabilitatea acestui eveniment este P(A)P(A)+P(A)P(A)q+qq; ambele iese sunt defecte; robabilitatea acestui eveniment este: P(A)P(A). Tabloul reartiţiei numãrului de iese defecte este: (4.5) q q Termenii liniei a doua aarţin unei dezvoltãri binomiale la uterea a doua. Continuând entru n,4,... se observã cã linia a doua a tabloului oate fi comletatã cu termenii binomului lui Newton de unde şi denumirea reartiţiei. Pentru cazul general n tabloul reartiţiei este:... q C q (4.6) C q... Pentru nn tabloul reartiţiei este: C n q n C n q n C n q n C n q n C n n n q Funcţia de robabilitate a reartiţiei binomiale este datã de eresia: P().749 (4.7) P( X ) P( ) n C q (4.8) 4% n n P() 4% % 6% 8% n Fig. 4. Funcţia de robabilitate a reartiţiei Fig.4. Diagrama oligonalã a funcţiei de binomiale cu 4% şi n robabilitate cu reartiţie binomialã cu n; 4%-% Funcţia de robabilitatea se oate rerezenta rin diagrama cu bare (Fig.4.) sau rin diagrama oligonalã, (Fig.4.). Funcţia de reartiţie a reartiţiei binomiale este datã de eresia: P ( ) F( ) P( ) C q (4.9) Formulele entru rincialele valori tiice ale variabilelor aleatoare sunt, (Fig.4.): n n

10 78 Caitolul 4 Tab. 4. Indicatorii teoretici ai unei variabile aleatoare cu reartiţie binomialã n n i i i Media M[X], µ, X M [ X ] Mod M o ( n q ) < M o < ( n + ) Disersia D[X], σ, S D [ X ] n( ) nq Abaterea standard σ, s σ nq q n Momente m, M m M M [ X ] D[ X ] nq( q nm )M 4 nq nq( 6 q + nq ) Asimetria γ γ q nq Ecesul γ 6 q γ nq Alicatia 4.4 Dintr-un lot având coeficientul de rebut % se etrag consecutiv unând de fiecare datǎ iesa etrasǎ la loc 4 unitǎţi.. Sǎ se construiascǎ variabila aleatoare a numǎrului de iese defecte;. Sǎ se stabileascǎ decizia de accetare/resingere a lotului: Variabila aleatoare a numǎrului de iese defecte se construieşte utilizând (4.7, 4.8). în care: 4 C C C,,9,,9 4,,9 4,656 65,6%,486 4,86%,,% C C ,,9,,9,96 9,6%,6,6%% rezultând: 4 65,6 9,6 4,86,6, Variabila aleatoare a cel mult iese defecte se construieşte utilizând, (4.9):

11 Variabile aleatoare şi funcţii de reartiţie ,6 94,77 99,6 99,99, Decizia de accetare: lotul este accetat dacǎ-n 4 verificǎri consecutive se gǎseşte cel mult o iesǎ defectǎ. Reartiţia hiergeometricã. Modelul matematic al acestei reartiţii este similar celui binomial, diferenţa constând în fatul cã elementul etras entru control nu se mai întoarce în lot, şi-n consecinţã la fiecare nouã etragere se modificã condiţiile şi deci şi robabilitatea de etragere a unei iese defecte. Din acest motiv etragerea se mai numeşte fãrã întoarcere. Se considerã un lot la care trebuie verificat coeficientul de rebut. Cunoscând mãrimea lotului n se ot determina numãrul de iese defecte a resectiv numãrul de iese bune b. a n b n( ) (4.4) Se efectueazã m etrageri consecutivã fãrã a une iesa etrasã la loc; în cele m etrageri consecutive ot sã rezulte iese defecte, iesã defectã,..., sau m iese defecte. In consecinţã utem construi un tablou de reartiţie în care e rima linie sã trecem numãrul ieselor defecte şi-n linia a douã robabilitatea fiecãruia de-a fi etras. X :... n (4.4)... n Aceastã robabilitate care determinã funcţia de robabilitate are eresia: m C a Cb P( X ) P( ) m (4.4) C Funcţia de reartiţie este: m P ( X ) F( ) m C a b (4.4) C n Princialii indicatori ai variabilei aleatoare cu reartiţie hiergeometricã sunt rezentaţi în (Tab. 4.): Tab.4. Indicatorii teoretici ai variabilei aleatoare cu reartiţie binomialã. Media M[X], µ, X M [ X ] n n i i i m

12 8 Caitolul 4 Mod M o nm qn + m nm + n + m + < M o < n + n + Daca n >> m m q < M < m + q n m mq n m n >> m D X n D[ X ] Disersia D[X], σ, S Daca [ ] mq Dacã n este foarte mare, reartiţia hiergeometricã se aroie de reartiţia binomialã cu coeficientul de rebut obţinut din relaţia 4.4. Alicatia 4.5 Dintr-un lot de de bucǎţi având coeficientul de rebut 8% se etrag consecutiv fǎrǎ a une iesa etrasǎ la loc unitǎţi.. Sǎ se construiascǎ variabila aleatoare a numǎrului de iese defecte;. Sǎ se stabileascǎ decizia de accetare/resingere a lotului: Numǎrul ieselor defecte/bune, (4.4): a,8 8 b (,8) 9 Variabila aleatoare a numǎrului de iese defecte se construieşte utilizând (4.4, 4.4). în care: C8 * C C C8 * C C 9 9, ,67%,59,59% C8 * C C C8 * C C 9 9,7,7%,4,4%% rezultând: 77,67,7,59,4 Variabila aleatoare a cel mult iese defecte se construieşte utilizând, (4.4): 77,67 98,7 99,96, Decizia de accetare: Deoarece robabilitatea de-a acceta/resinge lotul nu este

13 Variabile aleatoare şi funcţii de reartiţie 8 curinsǎ între 95% (riscul furnizorului), şi 9% (riscul beneficiarului), este necesarǎ recalcularea arametrilor entru alte mǎrimi ale eşantionului (m4, 5, unitǎţi). Reartiţia Poisson Este reartiţia evenimentelor rare. Aceastã reartiţie se alicã în cazul avariilor la maşini sau a accidentelor. Dacã se noteazã cu λ densitatea de aariţie a unui eveniment în unitatea de tim, atunci µλt rerezintã media aariţiilor în intervalul t. Posibilitatea aariţiei de ori a evenimentului în acelaşi interval este: ( λt) λ t µ P( X ) P( ) e e (4.44)!! In figurile sunt rezentate diagrama cu bare şi diagramele oligonale ale funcţiei de robabilitate Poisson entru diferite valori ale arametrului µ. µ P() P().6 u,5.5 u.4. u. u Fig. 4. Funcţia de robabilitate a reartiţiei binomiale cu µ.,5 Funcţia de reartiţie are eresia: P( X ) e Fig.4. Diagrama oligonalã a funcţiei de robabilitate cu reartiţie Poisson µ µ (4.45)! Reartiţia Poisson se alicã în cazul reartiţiei binomiale dacã coeficientul de rebut este foarte mic <, şi mãrimea lotului mare n>5. Relaţia care se alicã este: P( ( n ) X ) P( ) n e (4.46) Princialii indicatori ai reartiţiei Poisson sunt rezentaţi în tabelul 4. Tab.4. Indicatorii teoretici ai variabilei aleatoare cu reartiţie Poisson. n µ M X i i e µ µ Media M[X], µ, X [ ] µ Mod M o i µ < M o < µ )

14 8 Caitolul 4 Disersia D[X], σ, S [ ] µ D X Abaterea standard σ, s σ µ Momente m, M m M µ m µ M µ + µ m µ M 4 µ + µ + µ µ + µ Asimetria γ γ µ Ecesul γ γ µ Alicatia Reartiţii continue Reartiţia uniformã Este reartiţia la care toate valorile variabilei aleatoare au aceeaşi robabilitate. Eresia densitãţii de robabilitate este: f ( ) b a Funcţia de reartiţie are eresia: ( a,b) ( a,b) (4.47), a F ( ) a,a < < b (4.48), b Diagramele densităţii şi funcţiei de reartiţie sunt rezentate în figurile Indicatorii teoretici sunt rezentaţi în tabelul 4.4 f() F().5 /(b-a).5 a b a b Fig. 4.4 Densitatea de robabilitate a Fig.4.5 Funcţia de reartiţie a reartiţie

15 Variabile aleatoare şi funcţii de reartiţie 8 reartiţiei uniforme uniforme Tab.4.4 Indicatorii teoretici ai variabilei aleatoare cu reartiţie uniformã Media M[X], µ, X M [ X ] Disersia D[X], σ, S D[] Momente m m Reartiţia eonenţialã Reartiţia eonenţială are densitatea de reartiţie: f ( Funcţia de reartiţie are eresia: + b d b a a b a m m m M b [ ] d b a a ( a b) ) λ e λ ; λ >, (4.49) λ e, > F( ), < Indicatorii teoretici sunt rezentaţi în tabelul 4.5. (4.5) Tab.4.5 Indicatorii teoretici ai variabilei aleatoare cu reartiţie eonenţialã Media M[X], µ, X [ ] Disersia D[X], σ, S [] M X λ λ e d D m m Momente m M [] m m λ λ λ λ λ e d λ 4.7. Diagramele densităţii şi funcţiei de reartiţie sunt rezentate în figurile 4.6.

16 84 Caitolul 4 f() F().5,68 l / l,6 l.5 / l Fig. 4.6 Densitatea de robabilitate a reartiţiei eonenţiale Fig.4.7 Funcţia de reartiţie a reartiţie eonenţiale Reartiţia normalã Este cea mai imortantã lege de reartiţie fiind cunoscutã sub denumirea de legea Gauss-Lalace. Reartiţia Gauss a fost rima reartiţie studiatã, fiind caracterizatã de arametrii µ şi σ. Notarea ei se face rin N(µ,σ). Densitatea de robabilitate are eresia: ( µ ) f ( ) e π (4.5) σ π Notatã simbolic rin N(µ, σ ), graficul reartiţiei are formã de cloot cu urmãtoarele rorietãţi: - admite un maim unic entru µ; - are o simetrie în raort cu dreata µ; - îşi modificã conveitatea în unctele µ - σ şi µ + σ - modificarea arametrului µ translateazã curba de-a lungul aei, (Fig.4.9) - modificarea arametrului σ modificã ascuţirea curbei, (Fig.4.8) Funcţia de reartiţie normalã este datã de eresia: f() F( ) P( X < ) σ π σ,5 σ f() σ ( µ ) d e σ (4.5) µ µ µ µ

17 Variabile aleatoare şi funcţii de reartiţie 85 Fig. 4.8 Curbele densitãţii de robabilitate cu aceeaşi medie Şi disersii diferite Valoarea funcţiei de reartiţie este rerezentatã în figura 4. rin aria haşuratã. Indicatorii teoretici au relaţiile din tabelul 4.6. Asimetria şi alatizarea entru reartiţia Gauss sunt egale cu zero. Fig. 4.9 Curbele densitãţii de robabilitate cu aceeaşi disersie şi medii diferite Cunoscând arametrii µ, σ F(), e, baza relaţiei 4.5 se oate determina analitic valoarea robabilitãţii P(X<a).,5 Calculul nu este rea simlu şi-n racticã s-a recurs la tabele. Deoarece entru, fiecare µ, σ, ar trebui sã eiste un tabel, µ Lalace a cãutat o metodã care sã ermitã Fig. 4. Funcţia de reartiţie Gauss un calcul mai simlu şi raid a acestei robabilitãţi. Reartiţia gãsitã de el îi oartã numele. Reartiţia Lalace, notatã rin N(, ) se obţine din reartiţia Gauss cu ajutorul schimbãrii de variabilã: Tab. 4.6 Indicatorii teoretici ai variabilei cu reartiţie Gauss Media M[X], µ, X M [ X ] f() F() f ( )d Disersia D[X], σ, S Momente M Asimetria γ de ordin imar M + de ordin ar M M ( + )M [] D[] 5 D[] D M 4 + M 6 Ecesul γ z µ (4.5) σ Prin folosirea acestei transformãri reartiţia oartã denumirea de reartiţie normalã. Densitatea de robabilitate este:

18 86 Caitolul 4 z f ( z ) e π Funcţia de reartiţie Lalace are eresia: (4.54) F( ) f ( )d e π z d (4.55) Valorile funcţiilor densitate de robabilitate şi ale funcţiei de reartiţie sunt date tabelar: Regula celor σ Considerând o variabila aleatoare X cu reartiţie normalã N(µ,σ ) Ne unem roblema determinãrii robabilitãţii entru care abaterea unei valori oarecare faţã de medie sã fie mai micã decât, adicã -µ <. P( µ ) P( µ µ + F( ) F( ) F( ) ) P( z ) 99, 74% (4.56) Probabilitatea evenimentului contrar este,6% deci o robabilitate foarte micã. Conform rinciiului certitudinii ractice acest eveniment oate fi considerat imosibil. Reartiţia χ. Considerãm o variabilã aleatoare X,,..., n cu valorile normal reartizate, N(, ). Suma ãtratelor variabilelor aleatoare z i constituie o nouã variabilã aleatoare notatã cu χ. Matematic aceasta rerezintã suma erorilor mãsurãtorilor ânã la χ i i i zi i i valoarea I. este: ( i µ ) σ Densitatea de robabilitate a reartiţiei χ f ( ) ν 4.57 f() µ ±σ 99,74% entru νn- grade de libertate Fig.4. Probabilitatea ca o valoare sa fie curinsa in intervalul ±σ ν ( ) e entru ν Γ ( ) (4.58)

19 Variabile aleatoare şi funcţii de reartiţie 87 In variabila aleatoare... n robabilitãţile,, n- sunt indeendente având... n osibilitatea sã ia orice valoare curinsã între şi. Probabilitatea n va lua o valoare care însumatã cu celelalte robabilitãţi va da valoarea unu. In acest caz aceastã robabilitate nu mai este indeendentă ci deinde de celelalte valori. In consecinţã numãrul valorilor indeendente entru un şir de numere este n- şi este egal cu numărul gradelor de libertate. Valorile calculate ale funcţiei de reartiţie se gãsesc tabelate. Reartiţia Student. Considerãm douã variabile una cu reartiţie normalã N(, ) şi una cu reartiţie χ, având ν grade de libertate. Acestea ot forma o nouã variabilã care se calculeazã cu relaţia: z i t i χ (4.59) ν şi care matematic rerezintã raortul dintre eroarea mãsurãtorii i şi suma erorilor mãsurãtorilor. Densitatea de robabilitate a reartiţiei Student este: ν + ν + Γ + t f ( t ) νπ ν ν Γ Valorile calculate ale funcţiei de reartiţie se gãsesc tabelate. Reartiţia Fischer (4.6) Considerãm douã variabile aleatoare X şi X indeendente, cu reartiţie χ având resectiv ν şi ν grade de libertate. Acestea ot forma o nouã variabilã care se calculeazã cu relaţia: i υ F i (4.6) υ i şi care matematic rerezintã raortul dintre erorile mãsurãtorilor i. Densitatea de robabilitate a reartiţiei Fischer este: υ Γ * * Γ ( ) υ υ υ + υ υ f ( F ) * (4.6) υ υ Γ Γ ( υ + υ ) Indicatorii teoretici au eresiile:

20 88 Caitolul 4 Media M[X], µ, X M [ F] Disersia D[X], σ, S D[ F] υ υ υ ( υ + ) υ + υ ( υ ) ( υ 4 ) Valorile calculate ale funcţiei de reartiţie se gãsesc tabelate. 4.5 Utilizarea tabelelor la calculul arametrilor functiiilor de reartitie continue Pentru calcularea arametrilor sunt definite urmatoarele notiuni, (Fig ): -α nivel de semnificatie; θ a - θ b interval de semnificatie; α risc; (- θ a ) U (θ b ) interval de incredere. Riscul oate fi unilateral (dreata sau stinga) si-n acest caz θ a θ α resectiv θ b -θ α. In cazul unui risc bilateral simetric cele doua limite se noteaza cu θ a θ α/ resectiv θ b -θ α/. Parametrii functiilor de reartitie calculati e baza formulelor 4.54, 4.58, 4.6, 4.6 ot fi determinati utilizind tabele rezentat in Anea.-4. Se intilnesc doua situatii:. se da robabilitatea, notata -α determinindu-se arametrul statistic caracteristic fiecarei functii de reartitie: - z α entru reartitia normala; - t α entru reartitia Student; - χ α entru reartitia χ ; - F ν;ν;α entru reartitia Fischer.. se da valoarea arametrului statistic carcteristic functiei de reartitie si se cere robabilitatea.

21 Variabile aleatoare şi funcţii de reartiţie 89 Risc Unilateral Risc Bilateral -α Nivel de semnificatie -α Nivel de semnificatie Interval de semnificatie α Risc α/ Risc Interval de semnificatie α/ Risc Fig.4. Legatura intre intervalul de semnificatie si robabilitate entru un risc unilateral θ α θ -α/ θ α/ Fig.4. Legatura intre intervalul de semnificatie si robabilitate entru un risc bilateral Pentru o functie de reartitie oarecare legatura dintre intervalul de semnificatie si nivelul de semnificatie, (Fig.4,-4.) este data de relatia: P ( θ < θα ) α (4.6) entru risc unilateral, sau de relatia: entru risc bilateral. Alicatia 4.6 P ( θ α < θ < θ ) α α (4.64) Pentru reartitia normala cu un risc unilateral dreata se da valoarea lui z α,58. Se cere sa se determine riscul. Din tabelul reartitiei normale, (Anea ), Fig.4.4: Nivelul de semnificatie este -α,949 94,9% Riscul α,57 5,7%

22 9 Caitolul 4 -α94,9% α5,7% z α,58 P(z< z α)-α P(z> z α)α Z,,,,,4,5,6,7,8,9,,.,5,949 Fig.4.4 Determinarea riscului entru un interval se semnificatie dat-reartitia normala Alicatia 4.7 Pentru reartitia normala cu un risc unilateral dreata se da valoarea nivelului de semnificatie -α95%. Se cere determinarea limitei z α. Din tabelul reartitiei normale, (Anea ), Fig.4.5, valorile cele mai aroiate de nivelul de semnificatie sunt rezentate in tabelul de mai jos si carora le coresund: -α,949594,95%. -α,95595,5%. z α,64 z α,65 Deoarece 95% se afla in mijlocul intervalului [,9495,955} rezulta ca valoarea limitei z α,645. -α95% α5% z α,645 P(z< z α)-α P(z> z α)α Z,,,,,4,5,6,7,8,9,,.,6,9495,955

23 Variabile aleatoare şi funcţii de reartiţie 9 Fig.4.4 Determinarea intervalului de semnifictie entru un risc unilateral dreata datreartitia normala Alicatia 4.8 Pentru reartitia normala cu un risc bilateral simetric de 5%, se cere determinarea intervalului de semnificatie -α95% α/,5% P(-z α/z< z α/)-α -z α/ -,965 z α/,965 P(-z α/>z) U P(z< z α/)α Z,,,,,4,5,6,7,8,9,,.,9,9744,9756 Fig.4.6 Determinarea intervalului de semnificatie entru un risc bilateral simetricreartitia normala Riscul bilateral se imarte simetric. Din tabelul reartitiei normale, (Anea ), Fig.4.6, nivelul de semnificatie entru care trebuie determinata limita din dreata z α/ este -α95%+,5%97,5%. Valorile cele mai aroiate de nivelul de semnificatie sunt rezentate in tabelul de mai jos si carora le coresund: -α,974497,44%. -α,975697,56%. zα,96 zα,97 Deoarece 97,5% se afla in mijlocul intervalului [,9744,9756] rezulta ca valoarea limitei z α/,965. Functia de reartitie normala este simetrica cea ce conduce la determinarea limtei din stinga -z α/ -,965. Alicatia 4.9 Pentru reartitia χ cu un risc unilateral dreata se da valoarea lui χ α,6, si numarul gradelor de libertate ν8. Se cere determinarea riscului. Din tabelul reartitiei χ, (Anea ), Fig.4.7, riscul este α, %.

24 9 Caitolul 4 -α9% α% χ α,6 P(χ <χ α )-α P(χ >χ α )α ν,995,99,975,95,9.,,,5,5. 8,6 Fig.4.7 Determinarea riscului entru un interval se semnificatie dat-reartitia χ Alicatia 4. Pentru reartitia χ cu un risc unilateral dreata, se da valoarea nivelului de semnificatie -α95% si numarul gradelor de libertate ν. Se cere determinarea limitei χ α Riscul este α5%. Din tabelul reartitiei χ, (Anea ), Fig.4.8, valoarea limitei χ α este χ α 8,7. -α95% α5% χ α 8, P(χ <χ α )-α P(χ >χ α )α ν,995,99,975,95,9.,,,5,5. 8,7 Fig.4.8 Determinarea limitei intervalului de semnifictie entru un nivel de semnificatie unilateral dat rertitia χ Alicatia 4. Pentru reartitia χ cu un risc bilateral simetric de 5%, se cere determinarea

25 Variabile aleatoare şi funcţii de reartiţie 9 intervalului de semnificatie entru ν5 grade de libertate. α/,5% -α95% α/,5% P(χ -α/<χ <χ α/)-α χ -α/6,6 χ α 7,488 P(χ -α/>χ ) U P(χ <χ α/)α ν,995,99,975,95,9.,,,5,5. 5 6,6 7,488 Fig.4.9 Determinarea intervalului de semnificatie entru un risc bilateral simetricreartitia χ Riscul bilateral se imarte simetric. Din tabelul reartitiei χ, (Anea ), Fig.4.8, entru riscul, α,5%,5, limita din dreata χ α este χ α 7,488. Pentru artea stinga aria totala este 99,75%,9975. Valoarea limitei din stinga este χ -α/6,6. Alicatia 4. Pentru reartitia Student cu un risc unilateral dreata se da valoarea lui t α,8, si ν grade de libertate. Se cere sa se determine riscul. Din tabelul reartitiei Student, (Anea ), Fig.4., entru ν grade de libertate riscul este α,5 5%. Tabelul se citeste de jos in sus

26 94 Caitolul 4 P(t> t α)α P(t< t α)-α,8 8 ν,5,,5,5,,5,,5, Nivel de semnificatie entru testul unilateral -α95% α5% z α,8 Fig.4. Determinarea riscului entru un interval se semnificatie dat-reartitia Student Alicatia 4. Pentru reartitia Student cu un risc unilateral dreata de α% si ν5 grade de libertate, se cere determinarea limitei t α. Din tabelul reartitiei Student, (Anea ), Fig.4., valoarea determinata este t α,4. Tabelul se citeste de jos in sus.

27 Variabile aleatoare şi funcţii de reartiţie 95 P(t> t α)α P(t< t α)-α 5,4 8 ν,5,,5,5,,5,,5, Nivel de semnificatie entru testul unilateral -α9% α% z α,8 Fig.4. Determinarea limitei intervalului de semnifictie entru un risc unilateral dreata dat-reartitia Student Alicatia 4.4 Pentru reartitia Student cu un risc bilateral simetric de 5% si ν grade de libertate, se cere determinarea limitelor intervalului de semnificatie. -t α/ -,965 t α/,965 -α95% α/,5% P(-t α/<t<t α/)-α P(-t α/<t) U P(t > t α/) α ν,5,5,,5,,,,,.,75 Nivel de semnificatie entru testul bilateral

28 96 Caitolul 4 Fig.4. Determinarea limitelor intervalului de semnificatie entru un risc bilateral simetric-reartitia Student Riscul bilateral se imarte simetric. Din tabelul reartitiei Student, (Anea ), Fig.4., limita din dreata este t α/,75 Functia de reartitie Student este simetrica cea ce conduce la determinarea limtei din stinga -tα/ -,75. Alicatia 4.5 Pentru reartitia Fischer cu un risc unilateral dreata α% si numarul gradelor de libertate ν, resectiv ν5, se cere determinarea limitei intervalului de semnifictie F ν, ν, α Riscul este α%. Din tabelul reartitiei Fischer, (Anea 4), Fig.4., valoarea limitei F ν, ν, α este F ν, ν, α,4. -α9% α% F ν,ν,α,4 P(F< F ν,ν,α )-α P(F> F ν,ν,α )α ν \ν ,4 Fig.4. Determinarea limitei intervalului de semnificatie entru un nivel de semnificatie unilateral dat reartitia Fischer Alicatia 4.6 Pentru reartitia Fischer cu un risc bilateral simetric de %, se cere determinarea limitelor intervalului de semnificatie entru ν5 grade de libertate, resectiv ν

29 Variabile aleatoare şi funcţii de reartiţie 97 α% -α8% α% P(F ν,ν,-α/ <F< F ν,ν,α/ )-α F ν,ν,-α/,54 F ν,ν,α/,4 P(F ν,ν,-α/ >F) U P(F<F ν,ν,α/ )α ν \ν ,9,84 Fig.4.4 Determinarea limitelor intervalului de semnificatie entru un risc bilateral simetric- reartitia Fischer Riscul bilateral se imarte simetric. Din tabelul reartitiei Fischer, (Anea 4), Fig.4.4, entru riscul, α%,, si ν5 grade de libertate, resectiv ν grade de libertate, limita din dreata F ν, ν, α/ este F ν, ν, α/,9. Limita din stinga se calculeaza utilizind aceasi anea e baza relatiei F ν, ν, -α/ / F ν, ν, α/. Valoarea obtinute este F ν, ν, -α/ /,84,54.