Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ-ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα
|
|
- Ἰφιγένεια Βλαχόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ-ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα 9η Ενότητα: Προβλήματα ικτυακών Ροών Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cse.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών ευτέρα, 16 Ιανουαρίου 2017
2 Σκελετός Ομιλίας 1 Εισαγωγικά: Το Πρόβλημα της Ανάθεσης Καθηκόντων 2 Totally Unimodular Μητρώα στον Γραμμικό Προγραμματισμό 3 Ροές Ελάχιστου Κόστους 4 Συνδυαστικά Προβλήματα Ως ικτυακές Ροές Ταιριάσματα σε ιμερή Γραφήματα Μέγιστες Ροές Ελάχιστες Αποστάσεις Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [2 / 45]
3 Πρόβλημα Ανάθεσης Καθηκόντων (Ι) ΕΙΣΟ ΟΣ: n καθήκοντα πρέπει να ανατεθούν σε n εργαζόμενους. Η ανάθεση του καθήκοντος t i T = {t 1,... t n } στον εργαζόμενο w j W = {w 1,..., w n } έχει κόστος c i,j R. Πρέπει να γίνει ανάθεση όλων των καθηκόντων στους εργαζομένους, ώστε κάθε εργαζόμενος να αναλάβει ακριβώς ένα καθήκον. ΣΤΟΧΟΣ: Η εύρεση της ανάθεσης με το ελάχιστο συνολικό κόστος. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [3 / 45]
4 Πρόβλημα Ανάθεσης Καθηκόντων (Ι) ΕΙΣΟ ΟΣ: n καθήκοντα πρέπει να ανατεθούν σε n εργαζόμενους. Η ανάθεση του καθήκοντος t i T = {t 1,... t n } στον εργαζόμενο w j W = {w 1,..., w n } έχει κόστος c i,j R. Πρέπει να γίνει ανάθεση όλων των καθηκόντων στους εργαζομένους, ώστε κάθε εργαζόμενος να αναλάβει ακριβώς ένα καθήκον. ΣΤΟΧΟΣ: Η εύρεση της ανάθεσης με το ελάχιστο συνολικό κόστος. Γραμμικό Πρόγραμμα: Η μεταβλητή απόφασης x i,j {0, 1} δηλώνει αν ο εργαζόμενος w j αναλαμβάνει το καθήκον t i. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [3 / 45]
5 Πρόβλημα Ανάθεσης Καθηκόντων (Ι) ΕΙΣΟ ΟΣ: n καθήκοντα πρέπει να ανατεθούν σε n εργαζόμενους. Η ανάθεση του καθήκοντος t i T = {t 1,... t n } στον εργαζόμενο w j W = {w 1,..., w n } έχει κόστος c i,j R. Πρέπει να γίνει ανάθεση όλων των καθηκόντων στους εργαζομένους, ώστε κάθε εργαζόμενος να αναλάβει ακριβώς ένα καθήκον. ΣΤΟΧΟΣ: Η εύρεση της ανάθεσης με το ελάχιστο συνολικό κόστος. Γραμμικό Πρόγραμμα: Η μεταβλητή απόφασης x i,j {0, 1} δηλώνει αν ο εργαζόμενος w j αναλαμβάνει το καθήκον t i. (IAP) min. s.t. : i [n] j [n] c i,j x i,j w j W x i,j = 1, t i T t i T x i,j = 1, w j W x i,j {0, 1}, t i T, w j W Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [3 / 45]
6 Πρόβλημα Ανάθεσης Καθηκόντων (ΙΙ) Q Πώς λύνουμε το (IAP); Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [4 / 45]
7 Πρόβλημα Ανάθεσης Καθηκόντων (ΙΙ) Q Πώς λύνουμε το (IAP); A1 «Εύκολοι» τρόποι: Απαρίθμηση (enumeration) όλων των ακέραιων λύσεων, κι επιλογή εκείνης με το ελάχιστο κόστος. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [4 / 45]
8 Πρόβλημα Ανάθεσης Καθηκόντων (ΙΙ) Q Πώς λύνουμε το (IAP); A1 «Εύκολοι» τρόποι: Απαρίθμηση (enumeration) όλων των ακέραιων λύσεων, κι επιλογή εκείνης με το ελάχιστο κόστος. Απαγορευτικό πλήθος (n! εφικτές ακέραιες λύσεις). Πχ, για n = 20 εργαζόμενους και καθήκοντα, πρέπει να ελεγχθούν 20! = >2 61 αναθέσεις. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [4 / 45]
9 Πρόβλημα Ανάθεσης Καθηκόντων (ΙΙ) Q Πώς λύνουμε το (IAP); A1 «Εύκολοι» τρόποι: Απαρίθμηση (enumeration) όλων των ακέραιων λύσεων, κι επιλογή εκείνης με το ελάχιστο κόστος. Απαγορευτικό πλήθος (n! εφικτές ακέραιες λύσεις). Πχ, για n = 20 εργαζόμενους και καθήκοντα, πρέπει να ελεγχθούν 20! = >2 61 αναθέσεις. Εφαρμογή γενικών τεχνικών αναζήτησης βέλτιστης ακέραιας λύσης (πχ, Branch & Bound). Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [4 / 45]
10 Πρόβλημα Ανάθεσης Καθηκόντων (ΙΙ) Q Πώς λύνουμε το (IAP); A1 «Εύκολοι» τρόποι: Απαρίθμηση (enumeration) όλων των ακέραιων λύσεων, κι επιλογή εκείνης με το ελάχιστο κόστος. Απαγορευτικό πλήθος (n! εφικτές ακέραιες λύσεις). Πχ, για n = 20 εργαζόμενους και καθήκοντα, πρέπει να ελεγχθούν 20! = >2 61 αναθέσεις. Εφαρμογή γενικών τεχνικών αναζήτησης βέλτιστης ακέραιας λύσης (πχ, Branch & Bound). Αποδεκτή μέθοδολογία, αν δεν υπάρχει καλύτερος τρόπος. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [4 / 45]
11 Πρόβλημα Ανάθεσης Καθηκόντων (ΙΙ) Q Πώς λύνουμε το (IAP); A1 «Εύκολοι» τρόποι: Απαρίθμηση (enumeration) όλων των ακέραιων λύσεων, κι επιλογή εκείνης με το ελάχιστο κόστος. Απαγορευτικό πλήθος (n! εφικτές ακέραιες λύσεις). Πχ, για n = 20 εργαζόμενους και καθήκοντα, πρέπει να ελεγχθούν 20! = >2 61 αναθέσεις. Εφαρμογή γενικών τεχνικών αναζήτησης βέλτιστης ακέραιας λύσης (πχ, Branch & Bound). Αποδεκτή μέθοδολογία, αν δεν υπάρχει καλύτερος τρόπος. A2 Πιο αποδοτικός τρόπος: Υπάρχει; Από τι εξαρτάται; Είναι ανιχνεύσιμο αυτό; Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [4 / 45]
12 Σκελετός Ομιλίας 1 Εισαγωγικά: Το Πρόβλημα της Ανάθεσης Καθηκόντων 2 Totally Unimodular Μητρώα στον Γραμμικό Προγραμματισμό 3 Ροές Ελάχιστου Κόστους 4 Συνδυαστικά Προβλήματα Ως ικτυακές Ροές Ταιριάσματα σε ιμερή Γραφήματα Μέγιστες Ροές Ελάχιστες Αποστάσεις Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [5 / 45]
13 Ακεραιότητα Λύσεων Γραμμιμών Συστημάτων Εξισώσεων Q Εστω ακέραιο n n μητρώο A Z n n, και ακέραιο διάνυσμα a Z n. Πότε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων Ax = a έχει ακέραιες λύσεις; Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [6 / 45]
14 Ακεραιότητα Λύσεων Γραμμιμών Συστημάτων Εξισώσεων Q Εστω ακέραιο n n μητρώο A Z n n, και ακέραιο διάνυσμα a Z n. Πότε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων Ax = a έχει ακέραιες λύσεις; Κανόνας του Cramer: Εστω det(a) 0. Τότε: Μοναδική λύση x = A 1 a, ΚΑΙ i [n], x i = det(a(i)) det(a) όπου A(i) είναι το n n μητρώο του οποίου οι στήλες ταυτίζονται με αυτές του A, εκτός από τη i στή στήλη A[*, i] του A, που αντικαθίσταται από το διάνυσμα σταθερών όρων a. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [6 / 45]
15 Ακεραιότητα Λύσεων Γραμμιμών Συστημάτων Εξισώσεων Q Εστω ακέραιο n n μητρώο A Z n n, και ακέραιο διάνυσμα a Z n. Πότε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων Ax = a έχει ακέραιες λύσεις; Κανόνας του Cramer: Εστω det(a) 0. Τότε: Μοναδική λύση x = A 1 a, ΚΑΙ i [n], x i = det(a(i)) det(a) όπου A(i) είναι το n n μητρώο του οποίου οι στήλες ταυτίζονται με αυτές του A, εκτός από τη i στή στήλη A[*, i] του A, που αντικαθίσταται από το διάνυσμα σταθερών όρων a. ΙΚΑΝΗ (ΟΧΙ ΑΝΑΓΚΑΙΑ) ΣΥΝΘΗΚΗ ΑΚΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [6 / 45]
16 Ακεραιότητα Λύσεων Γραμμιμών Συστημάτων Εξισώσεων Q Εστω ακέραιο n n μητρώο A Z n n, και ακέραιο διάνυσμα a Z n. Πότε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων Ax = a έχει ακέραιες λύσεις; Κανόνας του Cramer: Εστω det(a) 0. Τότε: Μοναδική λύση x = A 1 a, ΚΑΙ i [n], x i = det(a(i)) det(a) όπου A(i) είναι το n n μητρώο του οποίου οι στήλες ταυτίζονται με αυτές του A, εκτός από τη i στή στήλη A[*, i] του A, που αντικαθίσταται από το διάνυσμα σταθερών όρων a. ΙΚΑΝΗ (ΟΧΙ ΑΝΑΓΚΑΙΑ) ΣΥΝΘΗΚΗ ΑΚΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ if det(a) { 1, 1} a Z n then x = A 1 a Z n Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [6 / 45]
17 Total Unimodularity: Μια Χρήσιμη Ιδιότητα ΟΡΙΣΜΟΣ: Ενα μητρώο A είναι totally unimodular ΑΝΝ για κάθε τετραγωνικό υπομητρώο του B ισχύει: det(b) { 1, 0, 1}. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [7 / 45]
18 Total Unimodularity: Μια Χρήσιμη Ιδιότητα ΟΡΙΣΜΟΣ: Ενα μητρώο A είναι totally unimodular ΑΝΝ για κάθε τετραγωνικό υπομητρώο του B ισχύει: det(b) { 1, 0, 1}. ΘΕΩΡΗΜΑ Αν το A είναι totally unimodular και a Z n, τότε κάθε κορυφή του πουλυέδρου P = {x : Ax a} είναι ακέραιο διάνυσμα. [Total Unimodularity Ακεραιότητα] Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [7 / 45]
19 Total Unimodularity: Μια Χρήσιμη Ιδιότητα ΟΡΙΣΜΟΣ: Ενα μητρώο A είναι totally unimodular ΑΝΝ για κάθε τετραγωνικό υπομητρώο του B ισχύει: det(b) { 1, 0, 1}. ΘΕΩΡΗΜΑ Αν το A είναι totally unimodular και a Z n, τότε κάθε κορυφή του πουλυέδρου P = {x : Ax a} είναι ακέραιο διάνυσμα. ΕΞΗΓΗΣΗ: [Total Unimodularity Ακεραιότητα] [Total Unimodularity Ακεραιότητα] 1 Κάθε κορυφή v χαρακτηρίζεται από ένα ελάχιστο σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων και δεσμευτικών ανισοτήτων. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [7 / 45]
20 Total Unimodularity: Μια Χρήσιμη Ιδιότητα ΟΡΙΣΜΟΣ: Ενα μητρώο A είναι totally unimodular ΑΝΝ για κάθε τετραγωνικό υπομητρώο του B ισχύει: det(b) { 1, 0, 1}. ΘΕΩΡΗΜΑ Αν το A είναι totally unimodular και a Z n, τότε κάθε κορυφή του πουλυέδρου P = {x : Ax a} είναι ακέραιο διάνυσμα. ΕΞΗΓΗΣΗ: [Total Unimodularity Ακεραιότητα] [Total Unimodularity Ακεραιότητα] 1 Κάθε κορυφή v χαρακτηρίζεται από ένα ελάχιστο σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων και δεσμευτικών ανισοτήτων. 2 Εστω B το (τετραγωνικό, αντιστρέψιμο) υπομητρώο του A που αντιστοιχεί στις συγκεκριμένες ανισότητες, και Bx = b, το υποσύστημα γραμμικών ανισοτήτων. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [7 / 45]
21 Total Unimodularity: Μια Χρήσιμη Ιδιότητα ΟΡΙΣΜΟΣ: Ενα μητρώο A είναι totally unimodular ΑΝΝ για κάθε τετραγωνικό υπομητρώο του B ισχύει: det(b) { 1, 0, 1}. ΘΕΩΡΗΜΑ Αν το A είναι totally unimodular και a Z n, τότε κάθε κορυφή του πουλυέδρου P = {x : Ax a} είναι ακέραιο διάνυσμα. ΕΞΗΓΗΣΗ: [Total Unimodularity Ακεραιότητα] [Total Unimodularity Ακεραιότητα] 1 Κάθε κορυφή v χαρακτηρίζεται από ένα ελάχιστο σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων και δεσμευτικών ανισοτήτων. 2 Εστω B το (τετραγωνικό, αντιστρέψιμο) υπομητρώο του A που αντιστοιχεί στις συγκεκριμένες ανισότητες, και Bx = b, το υποσύστημα γραμμικών ανισοτήτων. 3 Το B είναι totally unimodular και det(b) { 1, 1}. Η λύση v = [ B 1 b ; 0 ] είναι ακέραια (βλ. Cramer). Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [7 / 45]
22 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Totally Unimodular Μητρώο A = Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [8 / 45]
23 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Totally Unimodular Μητρώο A = Εύκολα διαπιστώνεται ότι πρόκειται για totally unimodular μητρώο. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [8 / 45]
24 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Totally Unimodular Μητρώο A = Εύκολα διαπιστώνεται ότι πρόκειται για totally unimodular μητρώο. Για ΟΠΟΙΟ ΗΠΟΤΕ ακέραιο διάνυσμα σταθερών όρων a = [a 1 ; a 2 ; a 3 ] ισχύει ότι: y = Ax a...pivots... x 1 x 2 x 3 = a 1 a 2 + a 3 a 2 a 3 a 3 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [8 / 45]
25 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: ΟΧΙ Totally Unimodular Μητρώο B = Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [9 / 45]
26 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: ΟΧΙ Totally Unimodular Μητρώο B = ΟΧΙ totally unimodular μητρώο: det(b) = 2. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [9 / 45]
27 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: ΟΧΙ Totally Unimodular Μητρώο B = ΟΧΙ totally unimodular μητρώο: det(b) = 2. Ενδέχεται να μην είναι εξασφαλισμένη η ακεραιότητα κορυφών του {x : Bx = b; x 0}. Πχ: Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [9 / 45]
28 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: ΟΧΙ Totally Unimodular Μητρώο B = ΟΧΙ totally unimodular μητρώο: det(b) = 2. Ενδέχεται να μην είναι εξασφαλισμένη η ακεραιότητα κορυφών του {x : Bx = b; x 0}. Πχ: Για το ακέραιο διάνυσμα σταθερών όρων b = [1; 1; 1] ισχύει ότι: y = Bx b...pivots... x 1 x 2 x 3 = Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [9 / 45]
29 Επιλυσιμότητα (ILP) με Totally Unimodular Μητρώο Συντελεστών (Ι) ΘΕΩΡΗΜΑ Εστω το ακόλουθο ζεύγος γραμμικών προγραμμάτων: [Ακεραιότητα (LP ) με Totally Unimodular Μητρώο Συντελεστών] (P) min.{c x : Ax a; x 0} (D) max.{a y : A y c; y 0} Αν A { 1, 0, 1} m n, a Z m, c Z n και το A είναι totally unimodular, τότε τα (P), (D) έχουν βέλτιστη λύση με ακέραιες τιμές. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [10 / 45]
30 Επιλυσιμότητα (ILP) με Totally Unimodular Μητρώο Συντελεστών (Ι) ΘΕΩΡΗΜΑ Εστω το ακόλουθο ζεύγος γραμμικών προγραμμάτων: [Ακεραιότητα (LP ) με Totally Unimodular Μητρώο Συντελεστών] (P) min.{c x : Ax a; x 0} (D) max.{a y : A y c; y 0} Αν A { 1, 0, 1} m n, a Z m, c Z n και το A είναι totally unimodular, τότε τα (P), (D) έχουν βέλτιστη λύση με ακέραιες τιμές. ΕΞΗΓΗΣΗ: Όλες οι κορυφές είναι ακέραια διανύσματα, και κάποια από αυτές είναι βέλτιστη λύση. [Ακεραιότητα (LP ) με Totally Unimodular Μητρώο Συντελεστών] Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [10 / 45]
31 Επιλυσιμότητα (ILP) με Totally Unimodular Μητρώο Συντελεστών (ΙΙ) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Για επίλυση του ΑΚΕΡΑΙΟΥ γραμμικού προγράμματος (ILP) min.{c x : Ax a; x N n } όπου το μητρώο συντελεστών A { 1, 0, 1} m n είναι totally unimodular και a Z m, αρκεί να βρούμε μια βέλτιστη βασική εφικτή λύση του γραμμικού προγράμματος (RLP) min.{c x : Ax a; x 0} που συμβαίνει να έχει ακέραιες τιμές. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [11 / 45]
32 Επιλυσιμότητα (ILP) με Totally Unimodular Μητρώο Συντελεστών (ΙΙ) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Για επίλυση του ΑΚΕΡΑΙΟΥ γραμμικού προγράμματος (ILP) min.{c x : Ax a; x N n } όπου το μητρώο συντελεστών A { 1, 0, 1} m n είναι totally unimodular και a Z m, αρκεί να βρούμε μια βέλτιστη βασική εφικτή λύση του γραμμικού προγράμματος (RLP) min.{c x : Ax a; x 0} που συμβαίνει να έχει ακέραιες τιμές. Q Πώς μπορούμε να βρούμε μια βέλτιστη λύση με ακέραιες τιμές για το (ILP) όταν το A είναι totally unimodular, και a Z m ; Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [11 / 45]
33 Επιλυσιμότητα (ILP) με Totally Unimodular Μητρώο Συντελεστών (ΙΙ) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Για επίλυση του ΑΚΕΡΑΙΟΥ γραμμικού προγράμματος (ILP) min.{c x : Ax a; x N n } όπου το μητρώο συντελεστών A { 1, 0, 1} m n είναι totally unimodular και a Z m, αρκεί να βρούμε μια βέλτιστη βασική εφικτή λύση του γραμμικού προγράμματος (RLP) min.{c x : Ax a; x 0} που συμβαίνει να έχει ακέραιες τιμές. Q Πώς μπορούμε να βρούμε μια βέλτιστη λύση με ακέραιες τιμές για το (ILP) όταν το A είναι totally unimodular, και a Z m ; A Εκτέλεση του SIMPLEX στο (RLP). Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [11 / 45]
34 Επιλυσιμότητα (ILP) με Totally Unimodular Μητρώο Πολυωνυμικού Συντελεστών Χρόνου Επιλυσιμότητα (ΙΙΙ) Επιλυσιμότητα Συνδυαστικών Προβλημάτων μεσω (και) Γραμμικού Προγραμματισμού Perfect Bipartite Matching Maximum Bipartite Matching General Matching Weighted Bipartite Matching Stable Matching Minimum Spanning Trees Maximum Flows Shortest Paths Graph Orientation Min Cost Flows Matroid Intersection Submodular Flows Linear Programming 7 ΠΛΕ047: Γραμμικός Προγραμματισμός (Φθινόπωρο 2012) Σπύρος Κοντογιάννης Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [12 / 45]
35 Κατευθυνόμενα Γραφήματα (Κατευθυνόμενο) Γράφημα: ιατεταγμένος ζεύγος G = (V, A) όπου V είναι ένα σύνολο διακεκριμένων αντικειμένων (κορυφές), και A V V ένα σύνολο κατευθυνόμενων ακμών (τόξων) που ορίζουν μια διμελή σχέση στο V. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [13 / 45]
36 Κατευθυνόμενα Γραφήματα (Κατευθυνόμενο) Γράφημα: ιατεταγμένος ζεύγος G = (V, A) όπου V είναι ένα σύνολο διακεκριμένων αντικειμένων (κορυφές), και A V V ένα σύνολο κατευθυνόμενων ακμών (τόξων) που ορίζουν μια διμελή σχέση στο V. Πίνακας Πρόσπτωσης Κατευθυνόμενου Γραφήματος (δίχως ανακυκλώσεις): Ενα μητρώο M G { 1, 0, 1} V E που στις γραμμές αντιστοιχούν οι κορυφές, στις στήλες αντιστοιχούν οι ακμές, και κάθε στήλη υποδεικνύει την ουρά (με +1) και την κεφαλή (με 1) της αντίστοιχης ακμής, ενώ όλες οι άλλες θέσεις ισούνται με 0: v V, a A, M G [v, a] = 1, v = tail(a) 1, v = head(a), 0, διαφορετικά. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [13 / 45]
37 Παράδειγμα Αναπαράστασης Γραφήματος με Πίνακα Πρόσπτωσης Α Β C F E D Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [14 / 45]
38 Παράδειγμα Αναπαράστασης Γραφήματος με Πίνακα Πρόσπτωσης Α Β C F E D M G = AB AD AF CA CD1 CD2 CE CF EB A B C D E F Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [14 / 45]
39 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (Ι) ΘΕΩΡΗΜΑ Για οποιοδήποτε κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, A) (δίχως βρόχους), ο πίνακας πρόσπτωσης M G είναι totally unimodular. [Total Unimodularity του Πίνακα Πρόσπτωσης] Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [15 / 45]
40 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (Ι) ΘΕΩΡΗΜΑ Για οποιοδήποτε κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, A) (δίχως βρόχους), ο πίνακας πρόσπτωσης M G είναι totally unimodular. [Total Unimodularity του Πίνακα Πρόσπτωσης] ΕΞΗΓΗΣΗ: Κάνουμε μαθηματική επαγωγή στο μέγεθος 1 k n του τετραγωνικού k k υποπίνακα του M G που εξετάζουμε. [Total Unimodularity του Πίνακα Πρόσπτωσης] Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [15 / 45]
41 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (Ι) ΘΕΩΡΗΜΑ Για οποιοδήποτε κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, A) (δίχως βρόχους), ο πίνακας πρόσπτωσης M G είναι totally unimodular. [Total Unimodularity του Πίνακα Πρόσπτωσης] ΕΞΗΓΗΣΗ: Κάνουμε μαθηματική επαγωγή στο μέγεθος 1 k n του τετραγωνικού k k υποπίνακα του M G που εξετάζουμε. [Total Unimodularity του Πίνακα Πρόσπτωσης] [Βάση] Για k = 1, είναι προφανές από τον ορισμό του M G. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [15 / 45]
42 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (Ι) ΘΕΩΡΗΜΑ Για οποιοδήποτε κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, A) (δίχως βρόχους), ο πίνακας πρόσπτωσης M G είναι totally unimodular. [Total Unimodularity του Πίνακα Πρόσπτωσης] ΕΞΗΓΗΣΗ: Κάνουμε μαθηματική επαγωγή στο μέγεθος 1 k n του τετραγωνικού k k υποπίνακα του M G που εξετάζουμε. [Total Unimodularity του Πίνακα Πρόσπτωσης] [Βάση] Για k = 1, είναι προφανές από τον ορισμό του M G. [Επαγωγική Υπόθεση] Για κάθε 1 m k, οποιοδήποτε m m υπομητρώο C του M G έχει: det(c) { 1, 0, 1}. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [15 / 45]
43 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (Ι) ΘΕΩΡΗΜΑ Για οποιοδήποτε κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, A) (δίχως βρόχους), ο πίνακας πρόσπτωσης M G είναι totally unimodular. [Total Unimodularity του Πίνακα Πρόσπτωσης] ΕΞΗΓΗΣΗ: Κάνουμε μαθηματική επαγωγή στο μέγεθος 1 k n του τετραγωνικού k k υποπίνακα του M G που εξετάζουμε. [Total Unimodularity του Πίνακα Πρόσπτωσης] [Βάση] Για k = 1, είναι προφανές από τον ορισμό του M G. [Επαγωγική Υπόθεση] Για κάθε 1 m k, οποιοδήποτε m m υπομητρώο C του M G έχει: det(c) { 1, 0, 1}. [Επαγωγικό Βήμα] Για τον (k + 1) (k + 1) υποπίνακα D διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: [Περίπτωση 1] Υπάρχει μηδενική στήλη det(d) = 0. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [15 / 45]
44 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: [Επαγωγικό Βήμα] (συνέχεια) [Total Unimodularity του Πίνακα Πρόσπτωσης] [Περίπτωση 2] εν υπάρχει μηδενική στήλη, και υπάρχει στήλη με ένα μη μηδενικό στοιχείο στο M G. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [16 / 45]
45 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: [Επαγωγικό Βήμα] (συνέχεια) [Total Unimodularity του Πίνακα Πρόσπτωσης] [Περίπτωση 2] εν υπάρχει μηδενική στήλη, και υπάρχει στήλη με ένα μη μηδενικό στοιχείο στο M G. det(d) = (±1) det(c) { 1, 0, 1} για k k υποπίνακα C του D (και του M G ). / Επαγ. Υπόθεση: det(c) { 1, 0, 1} / [Περίπτωση 3] Κάθε στήλη του M G έχει ακριβώς δύο μη μηδενικά στοιχεία. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [16 / 45]
46 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: [Επαγωγικό Βήμα] (συνέχεια) [Total Unimodularity του Πίνακα Πρόσπτωσης] [Περίπτωση 2] εν υπάρχει μηδενική στήλη, και υπάρχει στήλη με ένα μη μηδενικό στοιχείο στο M G. det(d) = (±1) det(c) { 1, 0, 1} για k k υποπίνακα C του D (και του M G ). / Επαγ. Υπόθεση: det(c) { 1, 0, 1} / [Περίπτωση 3] Κάθε στήλη του M G έχει ακριβώς δύο μη μηδενικά στοιχεία. Ο ακόλουθος μη μηδενικός γραμμικός συνδυασμός (όλων) των γραμμών του D δίνει το σημείο 0: nk=1 D[k, *] = 0. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [16 / 45]
47 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: [Επαγωγικό Βήμα] (συνέχεια) [Total Unimodularity του Πίνακα Πρόσπτωσης] [Περίπτωση 2] εν υπάρχει μηδενική στήλη, και υπάρχει στήλη με ένα μη μηδενικό στοιχείο στο M G. det(d) = (±1) det(c) { 1, 0, 1} για k k υποπίνακα C του D (και του M G ). / Επαγ. Υπόθεση: det(c) { 1, 0, 1} / [Περίπτωση 3] Κάθε στήλη του M G έχει ακριβώς δύο μη μηδενικά στοιχεία. Ο ακόλουθος μη μηδενικός γραμμικός συνδυασμός (όλων) των γραμμών του D δίνει το σημείο 0: nk=1 D[k, *] = 0. Υπάρχει γραμμική εξάρτηση ως προς τις γραμμές του D. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [16 / 45]
48 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: [Επαγωγικό Βήμα] (συνέχεια) [Total Unimodularity του Πίνακα Πρόσπτωσης] [Περίπτωση 2] εν υπάρχει μηδενική στήλη, και υπάρχει στήλη με ένα μη μηδενικό στοιχείο στο M G. det(d) = (±1) det(c) { 1, 0, 1} για k k υποπίνακα C του D (και του M G ). / Επαγ. Υπόθεση: det(c) { 1, 0, 1} / [Περίπτωση 3] Κάθε στήλη του M G έχει ακριβώς δύο μη μηδενικά στοιχεία. Ο ακόλουθος μη μηδενικός γραμμικός συνδυασμός (όλων) των γραμμών του D δίνει το σημείο 0: nk=1 D[k, *] = 0. Υπάρχει γραμμική εξάρτηση ως προς τις γραμμές του D. det(d) = 0. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [16 / 45]
49 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: [Επαγωγικό Βήμα] (συνέχεια) [Total Unimodularity του Πίνακα Πρόσπτωσης] [Περίπτωση 2] εν υπάρχει μηδενική στήλη, και υπάρχει στήλη με ένα μη μηδενικό στοιχείο στο M G. det(d) = (±1) det(c) { 1, 0, 1} για k k υποπίνακα C του D (και του M G ). / Επαγ. Υπόθεση: det(c) { 1, 0, 1} / [Περίπτωση 3] Κάθε στήλη του M G έχει ακριβώς δύο μη μηδενικά στοιχεία. Ο ακόλουθος μη μηδενικός γραμμικός συνδυασμός (όλων) των γραμμών του D δίνει το σημείο 0: nk=1 D[k, *] = 0. Υπάρχει γραμμική εξάρτηση ως προς τις γραμμές του D. det(d) = 0. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [16 / 45]
50 Μη κατευθυνόμενα Γραφήματα Μη κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, E): V είναι ένα σύνολο διακεκριμένων αντικειμένων (κορυφές), και E {{u, v} : u, v V} ένα σύνολο μη κατευθυνόμενων ακμών που ορίζουν μια συμετρική διμελή σχέση στο V. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [17 / 45]
51 Μη κατευθυνόμενα Γραφήματα Μη κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, E): V είναι ένα σύνολο διακεκριμένων αντικειμένων (κορυφές), και E {{u, v} : u, v V} ένα σύνολο μη κατευθυνόμενων ακμών που ορίζουν μια συμετρική διμελή σχέση στο V. Πίνακας Πρόσπτωσης Μη Κατευθυνόμενου Γραφήματος (δίχως ανακυκλώσεις): Ενα μητρώο M G {, 0, 1} V E που στις γραμμές αντιστοιχούν οι κορυφές, στις στήλες αντιστοιχούν οι ακμές, και κάθε στήλη υποδεικνύει την ουρά και την κεφαλή (με 1) της αντίστοιχης ακμής: { 1, v e v V, e E, M G [v, e] = 0, διαφορετικά. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [17 / 45]
52 Μη κατευθυνόμενα Γραφήματα Μη κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, E): V είναι ένα σύνολο διακεκριμένων αντικειμένων (κορυφές), και E {{u, v} : u, v V} ένα σύνολο μη κατευθυνόμενων ακμών που ορίζουν μια συμετρική διμελή σχέση στο V. Πίνακας Πρόσπτωσης Μη Κατευθυνόμενου Γραφήματος (δίχως ανακυκλώσεις): Ενα μητρώο M G {, 0, 1} V E που στις γραμμές αντιστοιχούν οι κορυφές, στις στήλες αντιστοιχούν οι ακμές, και κάθε στήλη υποδεικνύει την ουρά και την κεφαλή (με 1) της αντίστοιχης ακμής: { 1, v e v V, e E, M G [v, e] = 0, διαφορετικά. ιμερές Γράφημα G = (V = X Y, E): Το σύνολο κορυφών διαμερίζεται από τα X, Y (άρα, X Y = και X Y = V) και όλες οι ακμές του E έχουν τα άκρα τους σε διαφορετικά μερίδια (δλδ, E {{u, v} : u X, v Y}. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [17 / 45]
53 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (ΙΙΙ) ΘΕΩΡΗΜΑ [Total Unimodularity Μη Κατευθυνόμενων ιμερών Γραφημάτων] Για κάθε μη κατευθυνόμενο, διμερές γράφημα G = (V = X Y, E), το μητρώο πρόσπτωσης M G είναι totally unimodular. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [18 / 45]
54 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (ΙΙΙ) ΘΕΩΡΗΜΑ [Total Unimodularity Μη Κατευθυνόμενων ιμερών Γραφημάτων] Για κάθε μη κατευθυνόμενο, διμερές γράφημα G = (V = X Y, E), το μητρώο πρόσπτωσης M G είναι totally unimodular. ΕΞΗΓΗΣΗ: Επαγωγή στη διάσταση ενός k k υπομητρώου του M G. [Βάση] Για k = 1, προφανές. [Total Unimodularity Μη Κατευθυνόμενων ιμερών Γραφημάτων] Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [18 / 45]
55 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (ΙΙΙ) ΘΕΩΡΗΜΑ [Total Unimodularity Μη Κατευθυνόμενων ιμερών Γραφημάτων] Για κάθε μη κατευθυνόμενο, διμερές γράφημα G = (V = X Y, E), το μητρώο πρόσπτωσης M G είναι totally unimodular. ΕΞΗΓΗΣΗ: Επαγωγή στη διάσταση ενός k k υπομητρώου του M G. [Βάση] Για k = 1, προφανές. [Υπόθεση] Εστω ότι για k {1,..., n 1}, κάθε m m υπομητρώο C (1 m k) έχει: det(c) { 1, 0, 1}. [Βήμα] Εστω (k + 1) (k + 1) υπομητρώο D του M G. [Περίπτωση 1] Υπάρχει μηδενική στήλη det(d) = 0. [Total Unimodularity Μη Κατευθυνόμενων ιμερών Γραφημάτων] Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [18 / 45]
56 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (ΙΙΙ) ΘΕΩΡΗΜΑ [Total Unimodularity Μη Κατευθυνόμενων ιμερών Γραφημάτων] Για κάθε μη κατευθυνόμενο, διμερές γράφημα G = (V = X Y, E), το μητρώο πρόσπτωσης M G είναι totally unimodular. ΕΞΗΓΗΣΗ: Επαγωγή στη διάσταση ενός k k υπομητρώου του M G. [Βάση] Για k = 1, προφανές. [Υπόθεση] Εστω ότι για k {1,..., n 1}, κάθε m m υπομητρώο C (1 m k) έχει: det(c) { 1, 0, 1}. [Βήμα] Εστω (k + 1) (k + 1) υπομητρώο D του M G. [Περίπτωση 1] Υπάρχει μηδενική στήλη det(d) = 0. [Total Unimodularity Μη Κατευθυνόμενων ιμερών Γραφημάτων] [Περίπτωση 2] εν υπάρχει μηδενική στήλη και υπάρχει στήλη με ένα μη μηδενικό στοιχείο, στο D. det(d) = (±1) det(c) { 1, 0, 1} για κάποιο k k υπομητρώο C του D, άρα και του M G. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [18 / 45]
57 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (ΙΙΙ) Πίνακα Πρόσπτωσης (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: έχει που που νου) ιο, [Total Unimodularity Μη Κατευθυνόμενων ιμερών Γραφημάτων] a1 [Βήμα] (συνέχεια) e3 [Περίπτωση 3] a2 Κάθεe4 στήλη του D έχει δυο μη μηδενικά στοιχεία. a3 a4 e1 e2 e5 e6 e7 e9 e8 b1 a 1 b2 e 14 e 13 e 21 a b3 2 e 22 e 31 e 32 a b4 3 e 42 e 43 e 13 e 14 e 21 e 22 e 31 e 32 e 42 e 43 e 44 a a a D a b b b b a 4 e 44 Σπύρος Κοντογιάννης Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [19 / 45] b 1 b 2 b 3 b 4
58 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (ΙΙΙ) Πίνακα Πρόσπτωσης (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: έχει που που νου) ιο, [Total Unimodularity Μη Κατευθυνόμενων ιμερών Γραφημάτων] [Βήμα] (συνέχεια) e3 [Περίπτωση 3] a2 Κάθεe4 στήλη του D έχει δυο μη μηδενικά στοιχεία. a1 Κάθε στήλη a3 του D έχει ακριβώς ένα μη μηδενικό στοιχείο σε κάθε μερίδιο. a4 e1 e2 e5 e6 e7 e9 e8 b1 a 1 b2 e 14 e 13 e 21 a b3 2 e 22 e 31 e 32 a b4 3 e 42 e 43 e 13 e 14 e 21 e 22 e 31 e 32 e 42 e 43 e 44 a a a D a b b b b a 4 e 44 Σπύρος Κοντογιάννης Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [19 / 45] b 1 b 2 b 3 b 4
59 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (ΙΙΙ) Πίνακα Πρόσπτωσης (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: έχει που που νου) ιο, [Total Unimodularity Μη Κατευθυνόμενων ιμερών Γραφημάτων] [Βήμα] (συνέχεια) e3 [Περίπτωση 3] a2 Κάθεe4 στήλη του D έχει δυο μη μηδενικά στοιχεία. a1 e1 e2 e5 e6 Κάθε στήλη a3 του D έχει ακριβώς ένα μη μηδενικό στοιχείο σε κάθε μερίδιο. Ο ακόλουθος γραμμικός e7 e8 συνδυασμός a4 των γραμμών του D δίνει το 0: x X D[x, *] e9 y Y D[i, *] = 0 b1 a 1 b2 e 14 e 13 e 21 a b3 2 e 22 e 31 e 32 a b4 3 e 42 e 43 e 13 e 14 e 21 e 22 e 31 e 32 e 42 e 43 e 44 a a a D a b b b b a 4 e 44 Σπύρος Κοντογιάννης Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [19 / 45] b 1 b 2 b 3 b 4
60 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (ΙΙΙ) Πίνακα Πρόσπτωσης (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: έχει που που νου) ιο, [Total Unimodularity Μη Κατευθυνόμενων ιμερών Γραφημάτων] [Βήμα] (συνέχεια) e3 [Περίπτωση 3] a2 Κάθεe4 στήλη του D έχει δυο μη μηδενικά στοιχεία. a1 e1 e2 e5 e6 Κάθε στήλη a3 του D έχει ακριβώς ένα μη μηδενικό στοιχείο σε κάθε μερίδιο. Ο ακόλουθος γραμμικός e7 e8 συνδυασμός a4 των γραμμών του D δίνει το 0: x X D[x, *] e9 y Y D[i, *] = 0 b1 a det(d) = 0. 4 e 44 e 13 e 14 e 21 e 22 e 31 e 32 e 42 e 43 e 44 a a a D a b b b b a 1 e 14 e 13 e 21 a b3 2 e 22 e 31 e 32 a b4 3 e 42 e 43 Σπύρος Κοντογιάννης Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [19 / 45] b2 b 1 b 2 b 3 b 4
61 Θεμελιώδεις Ιδιότητες Γραφημάτων (ΙΙΙ) Πίνακα Πρόσπτωσης (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: έχει που που νου) ιο, [Total Unimodularity Μη Κατευθυνόμενων ιμερών Γραφημάτων] [Βήμα] (συνέχεια) e3 [Περίπτωση 3] a2 Κάθεe4 στήλη του D έχει δυο μη μηδενικά στοιχεία. a1 e1 e2 e5 e6 Κάθε στήλη a3 του D έχει ακριβώς ένα μη μηδενικό στοιχείο σε κάθε μερίδιο. Ο ακόλουθος γραμμικός e7 e8 συνδυασμός a4 των γραμμών του D δίνει το 0: x X D[x, *] e9 y Y D[i, *] = 0 b1 a det(d) = 0. 4 e 44 e 13 e 14 e 21 e 22 e 31 e 32 e 42 e 43 e 44 a a a D a b b b b a 1 e 14 e 13 e 21 a b3 2 e 22 e 31 e 32 a b4 3 e 42 e 43 Σπύρος Κοντογιάννης Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [19 / 45] b2 b 1 b 2 b 3 b 4
62 Ιδιότητα ικτύου Ενα τετραγωνικό μητρώο A { 1, 0, 1} n n έχει την ιδιότητα δικτύου (network property) αν κάθε στήλη του A έχει το πολύ ένα κελί με τιμή 1, το πολύ ένα κελί με τιμή 1, και όλα τα υπόλοιπα κελιά με τιμή 0. ηλαδή, το άθροισμα απόλυτων τιμών των κελιών του, ανήκει στο {0, 1, 2} και το άθροισμα (δίχως απόλυτες τιμές) των κελιών του ανήκει στο { 1, 0, 1}. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [20 / 45]
63 Ιδιότητα ικτύου Ενα τετραγωνικό μητρώο A { 1, 0, 1} n n έχει την ιδιότητα δικτύου (network property) αν κάθε στήλη του A έχει το πολύ ένα κελί με τιμή 1, το πολύ ένα κελί με τιμή 1, και όλα τα υπόλοιπα κελιά με τιμή 0. ηλαδή, το άθροισμα απόλυτων τιμών των κελιών του, ανήκει στο {0, 1, 2} και το άθροισμα (δίχως απόλυτες τιμές) των κελιών του ανήκει στο { 1, 0, 1}. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η κλάση των τετραγωνικών totally unimodular μητρώων, είναι υποκλάση των μητρώων με την ιδιότητα δικτύου. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [20 / 45]
64 Σκελετός Ομιλίας 1 Εισαγωγικά: Το Πρόβλημα της Ανάθεσης Καθηκόντων 2 Totally Unimodular Μητρώα στον Γραμμικό Προγραμματισμό 3 Ροές Ελάχιστου Κόστους 4 Συνδυαστικά Προβλήματα Ως ικτυακές Ροές Ταιριάσματα σε ιμερή Γραφήματα Μέγιστες Ροές Ελάχιστες Αποστάσεις Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [21 / 45]
65 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Ορισμός ίκτυο: Κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, A) όπου i V, b i Z είναι η ακέραια απαίτηση παροχής / κατανάλωσης του διαμοιραζόμενου αγαθού στον κόμβο i. Ο i είναι: Κόμβος παροχής (supply node), αν b i >0. Κόμβος απαίτησης (demand node), αν b i <0. Κόμβος μεταγωγής (transhipment node), αν b i = 0. b(v) > 0 b(v) < 0 v v DC Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [22 / 45]
66 a = ij A, c ij Z είναι το κόστος μεταφοράς (ανά μονάδα ροής του αγαθού) στην ακμή a, ενώ l ij, u ij N είναι κάτω και άνω φράγματα στη χωρητικότητα (capacity) ως προς την επιτρεπόμενη ροή που κινείται κατά μήκος του a. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [22 / 45] Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Ορισμός ίκτυο: Κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, A) όπου i V, b i Z είναι η ακέραια απαίτηση παροχής / κατανάλωσης του διαμοιραζόμενου αγαθού στον κόμβο i. Ο i είναι: Κόμβος παροχής (supply node), αν b i >0. Κόμβος απαίτησης (demand node), αν b i <0. Κόμβος μεταγωγής (transhipment node), αν b i = 0. b(v) > 0 b(v) < 0 v v DC
67 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Εφικτές Ροές Εφικτή Ροή: Οποιοδήποτε διάνυσμα x = (x ij ) N A τ.ώ.: να ικανοποιούνται οι εξής περιορισμοί: Περιορισμοί Χωρητικότητας (Capacity): ij A, l ij x ij u ij a 10 e d c 65 b f g 9 5 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [23 / 45] -2
68 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Εφικτές Ροές Εφικτή Ροή: Οποιοδήποτε διάνυσμα x = (x ij ) N A τ.ώ.: να ικανοποιούνται οι εξής περιορισμοί: Περιορισμοί Χωρητικότητας (Capacity): ij A, l ij x ij u ij Περιορισμοί Εξισορρόπησης Ροών (Flow Balance): i V, ik A x ik ki A x ki = b i a 10 e d c 65 b f g 9 5 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [23 / 45] -2
69 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Εφικτές Ροές Εφικτή Ροή: Οποιοδήποτε διάνυσμα x = (x ij ) N A τ.ώ.: να ικανοποιούνται οι εξής περιορισμοί: Περιορισμοί Χωρητικότητας (Capacity): ij A, l ij x ij u ij Περιορισμοί Εξισορρόπησης Ροών (Flow Balance): i V, ik A x ik ki A x ki = b i a 10 e d c 65 b f g 9 5 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [23 / 45] -2
70 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Το (MCF) ως Ακέραιο ΓΠ ΕΙΣΟ ΟΣ: G = (V, A), c Z A, l, u N A, b Z V. Ακέραιο ΓΠ για (MCF): (MCF) minimize s.t. ij A c ij x ij ik A x ik ki A x ki = b i, i V x ij l ij, ij A x ij u ij, ij A x ij N, ij A Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [24 / 45]
71 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Το (MCF) ως Ακέραιο ΓΠ ΕΙΣΟ ΟΣ: G = (V, A), c Z A, l, u N A, b Z V. Ακέραιο ΓΠ για (MCF): (MCF) minimize s.t. Σε μορφή μητρώων: ij A c ij x ij ik A x ik ki A x ki = b i, i V x ij l ij, ij A x ij u ij, ij A x ij N, ij A (MCF) minimize { c x : M G x = b; u x l; x N A } Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [24 / 45]
72 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Μερικές Απλοποιήσεις του (MCF) 1 Τα κάτω φράγματα χωρητικότητας μπορούν να απαλειφθούν, δίχως βλάβη της γενικότητας. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [25 / 45]
73 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Μερικές Απλοποιήσεις του (MCF) 1 Τα κάτω φράγματα χωρητικότητας μπορούν να απαλειφθούν, δίχως βλάβη της γενικότητας. Αλλαγή μεταβλητής: ij A, f ij = x ij l ij N Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [25 / 45]
74 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Μερικές Απλοποιήσεις του (MCF) 1 Τα κάτω φράγματα χωρητικότητας μπορούν να απαλειφθούν, δίχως βλάβη της γενικότητας. Αλλαγή μεταβλητής: ij A, f ij = x ij l ij N 2 Τα άνω φράγματα χωρητικότητας μπορούν να απαλειφθούν, με κατάλληλο μετασχηματισμό: i bi c ij u ij j bj i bi c ij 0 k -uij j bj+uij Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [25 / 45]
75 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Μερικές Απλοποιήσεις του (MCF) 1 Τα κάτω φράγματα χωρητικότητας μπορούν να απαλειφθούν, δίχως βλάβη της γενικότητας. Αλλαγή μεταβλητής: ij A, f ij = x ij l ij N 2 Τα άνω φράγματα χωρητικότητας μπορούν να απαλειφθούν, με κατάλληλο μετασχηματισμό: f ij + it A\{ij} f it ti A f ti = b i, jt A f jt f ij tj A\{ij} f tj = b j, f ij u ij i bi c ij u ij j bj f ik + it A\{ik} f it ti A f ti = ˆb i = b i, f jk + jt A\{jk} f jt tj A f tj = ˆb j = b j + u ij, f ik f jk = ˆb k = u ij bj+uij i bi c ij 0 k Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [25 / 45] -uij j
76 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Μοντελοποίηση (UMCF) ίχως Χωρητικότητες Ακμών (χβτγ) ΕΙΣΟ ΟΣ: Κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, A), με κόστη ακμών c Z A, και απαιτήσεις κορυφών b Z V. Ακέραιο ΓΠ: minimize ij A c ij f ij (UMCF) s.t. ik A f ik ki A f ki = b i, i V f ij N, ij A Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [26 / 45]
77 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Μοντελοποίηση (UMCF) ίχως Χωρητικότητες Ακμών (χβτγ) ΕΙΣΟ ΟΣ: Κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, A), με κόστη ακμών c Z A, και απαιτήσεις κορυφών b Z V. Ακέραιο ΓΠ: minimize ij A c ij f ij (UMCF) s.t. ik A f ik ki A f ki = b i, i V f ij N, ij A Σε μορφή μητρώων: (UMCF) minimize { c f : M G f = b; f N A } Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [26 / 45]
78 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Μοντελοποίηση (UMCF) ίχως Χωρητικότητες Ακμών (χβτγ) ΕΙΣΟ ΟΣ: Κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, A), με κόστη ακμών c Z A, και απαιτήσεις κορυφών b Z V. Ακέραιο ΓΠ: minimize ij A c ij f ij (UMCF) s.t. ik A f ik ki A f ki = b i, i V f ij N, ij A Σε μορφή μητρώων: (UMCF) minimize { c f : M G f = b; f 0 } Επιλύσιμο λόγω της total unimodularity του μητρώου συντελεστών!!! Ισοδύναμο (χαλαρωμένο) ΓΠ. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [26 / 45]
79 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows υϊκό Ροών Ελαχίστου Κόστους Πρωτεύον πρόγραμμα ροών ελάχιστου κόστους: (UMCF) minimize { c f : M G f = b; f 0 } υϊκό πρόγραμμα; Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [27 / 45]
80 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows υϊκό Ροών Ελαχίστου Κόστους Πρωτεύον πρόγραμμα ροών ελάχιστου κόστους: (UMCF) minimize { c f : M G f = b; f 0 } υϊκό πρόγραμμα; (DMCF) maximize { b y : (M G ) y c } Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [27 / 45]
81 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows υϊκό Ροών Ελαχίστου Κόστους Πρωτεύον πρόγραμμα ροών ελάχιστου κόστους: (UMCF) minimize { c f : M G f = b; f 0 } υϊκό πρόγραμμα; (DMCF) maximize { b y : (M G ) y + z = c; z 0 } Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [27 / 45]
82 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows υϊκό Ροών Ελαχίστου Κόστους Πρωτεύον πρόγραμμα ροών ελάχιστου κόστους: (UMCF) minimize { c f : M G f = b; f 0 } υϊκό πρόγραμμα; (DMCF) maximize { b y : (M G ) y + z = c; z 0 } Σε λεπτομέρεια: maximize i V b i y i (DMCF) s.t. y j y i + z ij = c ij, ij A z ij 0, ij A Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [27 / 45]
83 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows υϊκό Ροών Ελαχίστου Κόστους Πρωτεύον πρόγραμμα ροών ελάχιστου κόστους: (UMCF) minimize { c f : M G f = b; f 0 } υϊκό πρόγραμμα; (DMCF) maximize { b y : (M G ) y + z = c; z 0 } Σε λεπτομέρεια: maximize i V b i y i (DMCF) s.t. y j y i + z ij = c ij, ij A z ij 0, ij A Συνθήκη Βελτιστότητας (Συμπληρωματική Χαλαρότητα); Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [27 / 45]
84 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows υϊκό Ροών Ελαχίστου Κόστους Πρωτεύον πρόγραμμα ροών ελάχιστου κόστους: (UMCF) minimize { c f : M G f = b; f 0 } υϊκό πρόγραμμα; (DMCF) maximize { b y : (M G ) y + z = c; z 0 } Σε λεπτομέρεια: maximize i V b i y i (DMCF) s.t. y j y i + z ij = c ij, ij A z ij 0, ij A Συνθήκη Βελτιστότητας (Συμπληρωματική Χαλαρότητα); ij A, x ij z ij = 0 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [27 / 45]
85 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Μονοπάτια και Κύκλοι σε Κατευθυνόμενο Γράφημα G = (V, A) a e d c b f g Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [28 / 45]
86 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Μονοπάτια και Κύκλοι σε Κατευθυνόμενο Γράφημα G = (V, A) (Κατευθυνόμενο) Μονοπάτι: Ακολουθία v 1, v 2,..., v k από k διαφορετικές κορυφές του V, τ.ώ. i {1,..., k 1}, v i v i+1 A. a e d c b f g Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [28 / 45]
87 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Μονοπάτια και Κύκλοι σε Κατευθυνόμενο Γράφημα G = (V, A) Μη κατευθυνόμενο Μονοπάτι: Ακολουθία v 1, v 2,..., v k από k διαφορετικές κορυφές του V, τ.ώ. i {1,..., k 1}, {v i v i+1, v i+1 v i A. a e d c b f g Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [28 / 45]
88 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Μονοπάτια και Κύκλοι σε Κατευθυνόμενο Γράφημα G = (V, A) (Κατευθυνόμενος) Κύκλος: Ακολουθία v 1, v 2,..., v k, v k+1 = v 1 από k διαφορετικές (εκτός της τελευταίας, που ταυτίζεται με την πρώτη) κορυφές του V, τ.ώ. i {1,..., k}, v i v i+1 A. a e d c b f g Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [28 / 45]
89 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Μονοπάτια και Κύκλοι σε Κατευθυνόμενο Γράφημα G = (V, A) Μη κατευθυνόμενος Κύκλος: Ακολουθία v 1, v 2,..., v k, v k+1 = v 1 από k διαφορετικές κορυφές του V, τ.ώ. i {1,..., k}, {v i v i+1, v i+1 v i } A. a f c d b e g Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [28 / 45]
90 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Μονοπάτια και Κύκλοι σε Κατευθυνόμενο Γράφημα G = (V, A) (Κατευθυνόμενο) Μονοπάτι: Ακολουθία v 1, v 2,..., v k από k διαφορετικές κορυφές του V, τ.ώ. i {1,..., k 1}, v i v i+1 A. Μη κατευθυνόμενο Μονοπάτι: Ακολουθία v 1, v 2,..., v k από k διαφορετικές κορυφές του V, τ.ώ. i {1,..., k 1}, {v i v i+1, v i+1 v i A. (Κατευθυνόμενος) Κύκλος: Ακολουθία v 1, v 2,..., v k, v k+1 = v 1 από k διαφορετικές (εκτός της τελευταίας, που ταυτίζεται με την πρώτη) κορυφές του V, τ.ώ. i {1,..., k}, v i v i+1 A. Μη κατευθυνόμενος Κύκλος: Ακολουθία v 1, v 2,..., v k, v k+1 = v 1 από k διαφορετικές κορυφές του V, τ.ώ. i {1,..., k}, {v i v i+1, v i+1 v i } A. a f c d b e g Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [28 / 45]
91 Μη συνδεδεμένο άκυκλο & συνδεδεμένο (όχι ισχυρά) συνδεδεμένο ισχυρά συνδεδεμένο Γεννητικό (συνδετικό) δένδρο: Ενα συνδεδεμένο, άκυκλο υπογράφημα που περιλαμβάνει όλες τις κορυφές του G. ΥΠΟΘΕΣΗ: Σε προβλήματα δικτυακών ροών θεωρούμε (χβτγ) ότι το δίκτυο είναι συνδεδεμένο γράφημα. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [29 / 45] Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Συνδεσιμότητα και Ακυκλικότητα Κατευθυνόμενου Γραφήματος G = (V, A) Συνδεδεμένο γράφημα: Για κάθε ζεύγος κορυφών υπάρχει μη κατευθυνόμενο μονοπάτι που τις ενώνει. Ισχυρά συνδεδεμένο γράφημα: Για κάθε ζεύγος κορυφών υπάρχει κατευθυνόμενο μονοπάτι που τις ενώνει. Άκυκλο γράφημα: εν υπάρχει (ως υπογράφημα) μη κατευθυνόμενος κύκλος. ένδρο: Συνδεδεμένο & άκυκλο γράφημα. a e a e a e a e d d d d c b c b c b c b f g f g f g f g
92 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Ισορροπημένες & ενδρικές Ροές Εφικτή Ροή: i V, ij A f ij ji A f ji = b i ij A, fij 0 a d 48 7 c f 24 g FEASIBLE FLOW b 7 e 19-2 a d e c 65 b f 24 g a 6 d e 6 f c 3 6 b 3 2 g A TREE SOLUTION AND A BALANCED FLOW Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [30 / 45]
93 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Ισορροπημένες & ενδρικές Ροές Ισορροπημένη Ροή: i V, ij A f ij ji A f ji = b i ij A,f ij 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Σε μια ισορροπημένη ροή μπορεί να «ρέει» ποσότητα του διακινούμενου αγαθού προς τη λάθος κατεύθυνση μιας ακμής (αρνητική ροή). a d 48 7 c f 24 g a FEASIBLE FLOW d 48 7 c f 24 g b b 7 7 e 19 e a 6 d e 6 f c 3 6 b 3 2 g A TREE SOLUTION AND A BALANCED FLOW Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [30 / 45]
94 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Ισορροπημένες & ενδρικές Ροές Ισορροπημένη Ροή: i V, ij A f ij ji A f ji = b i ij A,f ij 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Σε μια ισορροπημένη ροή μπορεί να «ρέει» ποσότητα του διακινούμενου αγαθού προς τη λάθος κατεύθυνση μιας ακμής (αρνητική ροή). ενδρική Ροή: Μια ισορροπημένη ροή που αναθέτει μηδενική τιμή σε όλες τις ροές των ακμών εκτός ενός (συγκεκριμένου) γεννητικού δένδρου του G. a d 48 7 c f 24 g a FEASIBLE FLOW d 48 7 c f 24 g A TREE SOLUTION AND A BALANCED FLOW Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [30 / 45] a 6 f 6 c 3 65 d 6 38 b b b e 19 e 19 e 2 g -2-2
95 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Κατασκευή ενδρικής Ροής (Ι) ΕΙΣΟ ΟΣ: Ενα δίκτυο με απαιτήσεις στους κόμβους, και ένα γεννητικό δένδρο του. Αυθαίρετη επιλογή κόμβου του δένδρου ως ρίζα. Εξισορρόπηση στους κόμβους, από τα φύλλα προς τη ρίζα: Ξεκινώντας από τα φύλλα, μεταφέρουμε την απαίτηση ροής στους γονείς, μέχρι να συρρικνώσουμε το δένδρο σε μια κορυφή. Οριστικοποιούμε τη ροή της δενδρικής ακμής που επιτρέπει τη μεταφορά. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [31 / 45]
96 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Κατασκευή ενδρικής Ροής (Ι) ΕΙΣΟ ΟΣ: Ενα δίκτυο με απαιτήσεις στους κόμβους, και ένα γεννητικό δένδρο του. Αυθαίρετη επιλογή κόμβου του δένδρου ως ρίζα. Εξισορρόπηση στους κόμβους, από τα φύλλα προς τη ρίζα: Ξεκινώντας από τα φύλλα, μεταφέρουμε την απαίτηση ροής στους γονείς, μέχρι να συρρικνώσουμε το δένδρο σε μια κορυφή. Οριστικοποιούμε τη ροή της δενδρικής ακμής που επιτρέπει τη μεταφορά. a -6 e -2 d -6 c b 9 5 f g Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [31 / 45]
97 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Κατασκευή ενδρικής Ροής (Ι) ΕΙΣΟ ΟΣ: Ενα δίκτυο με απαιτήσεις στους κόμβους, και ένα γεννητικό δένδρο του. Αυθαίρετη επιλογή κόμβου του δένδρου ως ρίζα. Εξισορρόπηση στους κόμβους, από τα φύλλα προς τη ρίζα: Ξεκινώντας από τα φύλλα, μεταφέρουμε την απαίτηση ροής στους γονείς, μέχρι να συρρικνώσουμε το δένδρο σε μια κορυφή. Οριστικοποιούμε τη ροή της δενδρικής ακμής που επιτρέπει τη μεταφορά. d: x(ad) = 6 x(ad) = 6-6 a 6-6 d -6 e -2 c b 9 5 f g Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [31 / 45]
98 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Κατασκευή ενδρικής Ροής (Ι) ΕΙΣΟ ΟΣ: Ενα δίκτυο με απαιτήσεις στους κόμβους, και ένα γεννητικό δένδρο του. Αυθαίρετη επιλογή κόμβου του δένδρου ως ρίζα. Εξισορρόπηση στους κόμβους, από τα φύλλα προς τη ρίζα: Ξεκινώντας από τα φύλλα, μεταφέρουμε την απαίτηση ροής στους γονείς, μέχρι να συρρικνώσουμε το δένδρο σε μια κορυφή. Οριστικοποιούμε τη ροή της δενδρικής ακμής που επιτρέπει τη μεταφορά. d: x(ad) = 6 x(ad) = 6-6 a e e: x(ge) = 2 x(ge) = 2 c -6 d b 2 9 f g 5-2 = 3 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [31 / 45]
99 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Κατασκευή ενδρικής Ροής (Ι) ΕΙΣΟ ΟΣ: Ενα δίκτυο με απαιτήσεις στους κόμβους, και ένα γεννητικό δένδρο του. Αυθαίρετη επιλογή κόμβου του δένδρου ως ρίζα. Εξισορρόπηση στους κόμβους, από τα φύλλα προς τη ρίζα: Ξεκινώντας από τα φύλλα, μεταφέρουμε την απαίτηση ροής στους γονείς, μέχρι να συρρικνώσουμε το δένδρο σε μια κορυφή. Οριστικοποιούμε τη ροή της δενδρικής ακμής που επιτρέπει τη μεταφορά. d: x(ad) = 6 x(ad) = 6-6 a e e: x(ge) = 2 x(ge) = 2 d a: x(fa) = 6 x(fa) = c b 9-6 = 3 f g 5-2 = 3 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [31 / 45]
100 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Κατασκευή ενδρικής Ροής (Ι) ΕΙΣΟ ΟΣ: Ενα δίκτυο με απαιτήσεις στους κόμβους, και ένα γεννητικό δένδρο του. Αυθαίρετη επιλογή κόμβου του δένδρου ως ρίζα. Εξισορρόπηση στους κόμβους, από τα φύλλα προς τη ρίζα: Ξεκινώντας από τα φύλλα, μεταφέρουμε την απαίτηση ροής στους γονείς, μέχρι να συρρικνώσουμε το δένδρο σε μια κορυφή. Οριστικοποιούμε τη ροή της δενδρικής ακμής που επιτρέπει τη μεταφορά. d: x(ad) = 6 x(ad) = 6-6 a e e: x(ge) = 2 x(ge) = 2 d a: x(fa) = 6 x(fa) = f: x(fb) = = 3 f c 3 b g 5-2 = 3 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [31 / 45]
101 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Κατασκευή ενδρικής Ροής (Ι) ΕΙΣΟ ΟΣ: Ενα δίκτυο με απαιτήσεις στους κόμβους, και ένα γεννητικό δένδρο του. Αυθαίρετη επιλογή κόμβου του δένδρου ως ρίζα. Εξισορρόπηση στους κόμβους, από τα φύλλα προς τη ρίζα: Ξεκινώντας από τα φύλλα, μεταφέρουμε την απαίτηση ροής στους γονείς, μέχρι να συρρικνώσουμε το δένδρο σε μια κορυφή. Οριστικοποιούμε τη ροή της δενδρικής ακμής που επιτρέπει τη μεταφορά. d: x(ad) = 6 x(ad) = 6-6 a e e: x(ge) = 2 x(ge) = 2 d a: x(fa) = 6 x(fa) = = c b f: x(fb) = = 3 3 c: x(bc) = 6 x(bc) = = 3 f g Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [31 / 45]
102 Ροές Ελάχιστου Κόστους Min Cost Flows Κατασκευή ενδρικής Ροής (Ι) ΕΙΣΟ ΟΣ: Ενα δίκτυο με απαιτήσεις στους κόμβους, και ένα γεννητικό δένδρο του. Αυθαίρετη επιλογή κόμβου του δένδρου ως ρίζα. Εξισορρόπηση στους κόμβους, από τα φύλλα προς τη ρίζα: Ξεκινώντας από τα φύλλα, μεταφέρουμε την απαίτηση ροής στους γονείς, μέχρι να συρρικνώσουμε το δένδρο σε μια κορυφή. Οριστικοποιούμε τη ροή της δενδρικής ακμής που επιτρέπει τη μεταφορά. d: x(ad) = 6 x(ad) = 6-6 a e e: x(ge) = 2 x(ge) = 2 d a: x(fa) = 6 x(fa) = = c b f: x(fb) = = c: x(bc) = 6 x(bc) = = 0 f g b: x(gb) = 3 x(gb) = 3 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 9η ενότητα [31 / 45]
9η Ενότητα: Προβλήματα ικτυακών Ροών
Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 9η Ενότητα: Προβλήματα ικτυακών Ροών Σπύρος Κοντογιάννης kontog@cse.uoi.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)
Διαβάστε περισσότεραCSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα
Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &
Διαβάστε περισσότεραΑς υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ / ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα 4η Ενότητα: Γραμμικά Συστήματα Εξισωσεων και Pivots Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΕξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης
Διαβάστε περισσότερα21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου
Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΔ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1
Διαβάστε περισσότεραΟι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα
Διαβάστε περισσότερα{ i f i == 0 and p > 0
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση δικτύων διανομής
ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών
Διαβάστε περισσότεραΑποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα
Διαβάστε περισσότερα1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Εαρινό Εξάμηνο 0 Ασκήσεις για προσωπική μελέτη Είναι απολύτως απαραίτητο να μπορείτε να τις λύνετε, τουλάχιστον τις υπολογιστικές! Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί πίνακες,
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Ερευνα Ι
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία
1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις και ιδιότητές τους
Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss
Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις
Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.
Διαβάστε περισσότεραRing Routing and Wavelength Conversion. Γιώργος Ζώης
Ring Routing and Wavelength Conversion Γιώργος Ζώης Ενότητες της παρουσίασης 1. Directed Ring Routing Wavelength Conversion σε WDM δίκτυα. 2. Wavelength Conversion σε shortest path δρομολογήσεις. 3. Επιπλέον
Διαβάστε περισσότερατους στην Κρυπτογραφία και τα
Οι Ομάδες των Πλεξίδων και Εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Λαμπροπούλου Σοφία Ιούλιος, 2013 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης
Διαβάστε περισσότεραΤρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων
Διαβάστε περισσότερα5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις
5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραG περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. spanning tree στο γράφημα G.
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 2014-2015 Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα
ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. 3 Γεννήτριες συναρτήσεις Συνήθεις γεννήτριες συναρτήσεις Βασικές γεννήτριες συναρτήσεις
Περιεχόμενα Γραφήματα 5. Εισαγωγή ιστορικό....................................... 5. Γραφήματα δεσμών........................................ 6.. Βασικοί ορισμοί...................................... 6..
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός
Διαβάστε περισσότερα17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ
15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα
Διαβάστε περισσότερα«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»
HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος
Διαβάστε περισσότερα602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις
602. Συναρτησιακή Ανάλυση Υποδείξεις για τις Ασκήσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα 1 2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 23 3 Γραμμικοί τελεστές και γραμμικά
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτικές ιδιότητες
8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ
Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ Ενότητα 1: Υδρολογική προσομοίωση 1.2. Βελτιστοποίηση (Βαθμονόμηση) Υδρολογικών Μοντέλων Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο
Διαβάστε περισσότεραΤο δεντροπλάτος και το γνήσιο δεντροπλάτος.
Διπλωματική Εργασία Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών μπλ : Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα στη Λογική και Θεωρία Αλγορίθμων και Υπολογισμού Το δεντροπλάτος και το γνήσιο δεντροπλάτος.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα
Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!
Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη
Διαβάστε περισσότεραΜία χρονοσειρά (time serie) είναι μια ακολουθία
Matching Βάση Χρονοσειρών Μία χρονοσειρά (time serie) είναι μια ακολουθία πραγματικών αριθμών, που αντιπροσωπεύουν μετρήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής σε ίσα χρονικά διαστήματα πχ Οι τιμές των μετοχών
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2
Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα
Διαβάστε περισσότερα12/1/2006 Διακριτά Μαθηματικά. Ορισμός. Υπό γράφημα Τ γραφήματος Γ καλείται συνδετικό (ή επικαλύπτον)
ΣΥΝΔΕΤΙΚΑ ΔΕΝΤΡΑ Ορισμός. Υπό γράφημα Τ γραφήματος Γ καλείται συνδετικό (ή επικαλύπτον) δέντρο (spanning tree) του Γ εάν αυτό είναι δέντρο και περιέχει όλες τις κορυφές του Γ. Παράδειγμα. Στο παρακάτω
Διαβάστε περισσότερα14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εισαγωγή Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος ιαδικαστικά Θέματα Ο τελικός βαθμός προτείνω να υπολογισθεί
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Σημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Φεβρουαρίου 08 Κεφάλαιο Το Μιγαδικό Εκθετικό Είναι γνωστό ότι η εκθετική συνάρτηση e x έχει το ανάπτυγμα
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ
ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΑΝΤΙΟΠΗ ΓΙΓΑΝΤΙ ΟΥ Τοµεάρχης Λειτουργίας Κέντρων Ελέγχου Συστηµάτων Μεταφοράς ιεύθυνσης ιαχείρισης Νησιών ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΡΗΤΗΣ 2009 Εγκατεστηµένη Ισχύς (Ατµοµονάδες, Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο
Διαβάστε περισσότεραΤο υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά
1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να
Διαβάστε περισσότεραΣυγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης
Συγκέντρωση Κίνησης 6.1. Εισαγωγή Σε ένα οπτικό WDM δίκτυο, οι κόμβοι κορμού επικοινωνούν μεταξύ τους και ανταλλάσουν πληροφορία μέσω των lightpaths. Ένα WDM δίκτυο κορμού είναι υπεύθυνο για την εγκατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραHY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.
HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων
Διαβάστε περισσότεραΜονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ
Διαβάστε περισσότεραΗ ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.
A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με
Διαβάστε περισσότερα(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις
(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα
Διαβάστε περισσότεραΠαραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.
Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΟ Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών
1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε
Διαβάστε περισσότεραΜεταγλωττιστές ΙΙ. nkavv@uop.gr. Καταμερισμός καταχωρητών. Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr Μεταγλωττιστές ΙΙ
Μεταγλωττιστές ΙΙ Καταμερισμός καταχωρητών Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr 01 Δεκεμβρίου 2010 Γενικά για τον καταμερισμό καταχωρητών Καταμερισμός καταχωρητών (register allocation): βελτιστοποίηση μεταγλωττιστή
Διαβάστε περισσότεραΕστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.
2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση Black-Scholes
8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το
Διαβάστε περισσότεραΠαντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.
2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
ιαφορικές Εξισώσεις Μετασχηματισμοί Laplace Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 11 Μαΐου 2015 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace Ορισμός μετασχηματισμού
Διαβάστε περισσότεραΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΜητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή
Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα 11.1. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα είναι διαιρεμένα σε μια ιεραρχία τριών επιπέδων: Στα δίκτυα πρόσβασης, τα μητροπολιτικά δίκτυα και τα δίκτυα κορμού. Τα δίκτυα κορμού
Διαβάστε περισσότεραΔιανυσματικές Συναρτήσεις
Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το
Διαβάστε περισσότεραΚατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες
5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)
Διαβάστε περισσότεραΠ. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ
Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ Δεδομένου ενός προβλήματος Q, ο πρώτος σκοπός μιας εξαντλητικής αναζήτησης είναι να μας εφασφαλίσει
Διαβάστε περισσότερα(13 ο ) ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΙII: «βέλτιστο στατικό ευρετήριο»
(13 ο ) ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΙII: «βέλτιστο στατικό ευρετήριο» Βέλτιστο στατικό «μεροληπτικό» ευρετήριο «Ευρετήρια» ονομάζουμε δομές οι οποίες μας διευκολύνουν να εντοπίζουμε τα καταχωρισμένα στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις. Σημερινό μάθημα
Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6)
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1.1 έως 1.3, να γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/56 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες
Διαβάστε περισσότεραΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1α ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Οι επιστήμονες ταξινομούν τους οργανισμούς σε ομάδες ανάλογα με τα κοινά τους χαρακτηριστικά. Τα πρώτα συστήματα ταξινόμησης βασιζόταν αποκλειστικά στα μορφολογικά
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΜεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε (X = = (X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές στην κίνηση Brown
13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΑνελίξεις σε συνεχή χρόνο
4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΟΜΑ Α ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚ3Ν ΕΠΙΣΤΗΜ3Ν Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΟΜΑ Α ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚ3Ν ΕΠΙΣΤΗΜ3Ν Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ε4ι6έλεια: Βουδούρη Καλλιρρόη ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1, 2, 4 ΟΝΟΜΑ:.. ΘΕΜΑ Α Α. Να ση6ειώσετε
Διαβάστε περισσότεραMartingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα
3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,
Διαβάστε περισσότεραΈννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν
1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή
Διαβάστε περισσότεραΚληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading
Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΤο κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:
Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΟΜΑ Α ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚ3Ν ΕΠΙΣΤΗΜ3Ν Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΟΜΑ Α ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚ3Ν ΕΠΙΣΤΗΜ3Ν Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ε4ι6έλεια: Βουδούρη Καλλιρρόη ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1, 2, 4 ΟΝΟΜΑ:.. ΘΕΜΑ Α Α. Να ση6ειώσετε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
Διαβάστε περισσότερα(7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα»
(7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα» Σύντομα προλεγόμενα: πού να ψάξουμε για δραστικούς αλγορίθμους; Θα αρχίσουμε από αυτό το κεφάλαιο την ξενάγησή
Διαβάστε περισσότεραΜεταγλωττιστές ΙΙ. nkavv@uop.gr. Γέννηση ενδιάμεσης αναπαράστασης. 10 Νοεμβρίου 2010. Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr Μεταγλωττιστές ΙΙ
Μεταγλωττιστές ΙΙ Γέννηση ενδιάμεσης αναπαράστασης Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr 10 Νοεμβρίου 2010 Η έννοια της ενδιάμεσης αναπαράστασης Ενδιάμεση αναπαράσταση (IR: intermediate representation): απλοποιημένη,
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 1η Ενότητα: Εισαγωγικά
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 1η Ενότητα: Εισαγωγικά Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές διαφορικές εξισώσεις
14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ. ΘΕΜΑ 1ο
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε
Διαβάστε περισσότεραιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27
ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull
Διαβάστε περισσότεραΕυρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα
17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη
Διαβάστε περισσότεραΟ τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2
12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει
Διαβάστε περισσότερα