ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΩΝ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΩΝ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 1 Μια χρδή με μιόμρφη κατανμή σφαιριδίν απτελείται από τρία σφαιρίδια και τέσσερα τμήματα μήκυς α, ενώ η ριακή συνθήκη είναι ότι και τα δύ άκρα της χρδής είναι ελεύθερα (αυτά είναι συνδεδεμένα με αβαρείς κρίκυς, πυ γλιστρύν χρίς τριβή γύρ από δύ ράβδυς). Να πρσδιριστύν ι σχηματισμί και ι συχνότητες τν τρόπν εγκάρσιας ταλάντσης της χρδής με τα σφαιρίδια. Λύση Η εξίσση για τις μετατπίσεις τν σφαιριδίν είναι: (t) y n (Ain nα Bco nα)co(t φ) (1) Οι ριακές συνθήκες στα δύ ελεύθερα άκρα της χρδής είναι: y x x0 0 και y x x4α 0 () Απόδειξη της (): N Fcoθ θ F Finθ Fcoθ F θ N Finθ Σε κάθε αβαρή κρίκ ασκείται μια κάθετη δύναμη Ν από τη ράβδ και μια δύναμη F από τη χρδή η πία έχει τη διεύθυνση της εφαπτμένης της χρδής στ κάθε άκρ. Έτσι λόγ ισρρπίας στην ριζόντια διεύθυνση είναι: N Fcoθ Αλλά η κάθετη δύναμη Ν ισύται με την τάση Τ με την πία έχει τεντθεί η χρδή πότε: T N Fcoθ F T/ coθ (3) Κατά την κατακόρυφη διεύθυνση επειδή ι κρίκι είναι αβαρείς (είναι Μα=0) πότε ισχύει: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ (3) in θ Fin θ 0T 0 T tan θ 0 (4) coθ Αλλά η κλίση της χρδής στα ελεύθερα άκρα είναι: τελικά: y t anθ πότε η (4) δίνει x x0 ή x4α y x x0 0 και y x x4α 0 ριακές συνθήκες τύπυ Neuann Επμένς επειδή είναι x=nα η (1) δίνει: y x (A co nα B in nα) co(t φ) (5) Άρα στα ελεύθερα άκρα ι ριακές συνθήκες () λόγ της (5) δίνυν: y Για x=0 ή n=0: 0 A co(t φ) 0 A 0 x και για x=4α ή n=4: x0 (6) y x x4α 0 (A co 4α B in 4α) co(t φ) 0 (6) B in 4α co(t φ) 0 in 4α 0 4α π π, 1,,3 (7) 4α Αλλά από τη σχέση διασπράς της χρδής με σφαιρίδια (-18) είναι: 4T α in α (7) 4T π in α 8 Άρα ι συχνότητες, ι κυματάριθμι και τα μήκη κύματς τν τρόπν εγκάρσιας ταλάντσης της χρδής είναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Για =1: Για =: Για =3: 4T π in, α 8 π, 4α λ π T π in, α 4 π, α λ π 4T 3π in, α 8 3π, 4α λ π α 4α 8α 3 Οι σχηματισμί τν τριών αυτών τρόπν ταλάντσης φαίννται στ ακόλυθ σχήμα: α ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Να βρεθύν ι σχηματισμί και ι συχνότητες τν τρόπν για τις εγκάρσιες ταλαντώσεις μιας χρδής με 5 σφαιρίδια μιόμρφα κατανεμημένα, με τ ένα άκρ της χρδής σταθερό και τ άλλ ελεύθερ. Τπθετείστε τα 5 αντίστιχα σημεία στ διάγραμμα της σχέσης διασπράς (). Λύση Η εξίσση για τις μετατπίσεις τν σφαιριδίν είναι: (t) y n (Ain nα Bco nα)co(t φ) (1) Οι ριακές συνθήκες για τα δύ άκρα της χρδής είναι για x nα 0 : y 0 επειδή τ y αριστερό άκρ είναι σταθερό και για x 6α : 0 x x6α ελεύθερ. Άρα από την (1) πρκύπτει: επειδή τ δεξιό άκρ είναι Για x=nα=0 : 0 Bco(t φ) 0 0 y y n Οπότε (t) Ain nαco(t φ) y και A co nα co(t φ) x () Έτσι η () για x nα 6α δίνει: y x x6α 0 A co6αco(t φ) 0 co 6α 0 π π π 6α π, 1,,3,4,5 (3) 6α 1α Αλλά από τη σχέση διασπράς της χρδής με σφαιρίδια (-18) είναι: α (3) 4T 4T π π in in (4) α α 1 4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άρα ι συχνότητες,ι κυματάριθμι και τα μήκη κύματς τν τρόπν εγκάρσιας ταλάντσης της χρδής είναι: Για =1: Για =: Για =3: Για =4: Για =5: 4T π π π 1 in, 1, λ1 α 8 4α 1 8α 4T 5π 5π π in,, λ α 4 1α 4T 7π 7π π 3 in, 3, λ3 α 4 1α 4T 3π in, α 8 3π, 4α λ 3 π T 11π in, α 4 11π, 1α λ π α 5 4α 7 8α 3 4α 11 Οι σχηματισμί αυτών τν τρόπν ταλάντσης της χρδής φαίννται στ ακόλυθ σχήμα: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Τ διάγραμμα της σχέσης διασπράς (4) και τα αντίστιχα σημεία τν τιμών,,, φαίννται στ ακόλυθ σχήμα , 5 ax 4T α O π/α ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 3 Θερείστε μια διάταξη Ν συζευγμένν σφαιριδίν μάζας τ καθένα, τα πία ενώννται με ελατήρια σταθεράς και μήκυς α τ καθένα. Η διάταξη τπθετείται πάν σε λεί ριζόντι τραπέζι και τα ελατήρια πυ συνδέυν τα σφαιρίδια έχυν τ φυσικό τυς μήκς στην κατάσταση ισρρπίας τυ συστήματς. α) Να βρεθεί η διαφρική εξίσση κίνησης τυ n στύ σφαιριδίυ. β) Να βρεθεί η σχέση διασπράς τυ συστήματς. γ) Στ όρι τυ συνεχύς, δηλαδή για α πλύ μικρό να βρεθεί η διαφρική εξίσση κίνησης. Λύση (n-1) (n) (n+1) α α y n-1 y n y n+1 (y (n) n -y n-1 ) (y n+1 -y n ) α) Έστ τα τρία διαδχικά σφαιρίδια n-1, n και n+1, τα πία στην κατάσταση ισρρπίας βρίσκνται στις θέσεις x=(n-1)α, x = nα και x = (n+1)α αντίστιχα. Σε μια τυχαία φάση τυ συστήματς ι διαμήκεις μετατπίσεις τν σφαιριδίν n-1, n και n+1 είναι yn 1, yn και αντίστιχα από τη θέση ισρρπίας τυς. Έτσι στ n-στό σφαιρίδι ασκείται δύναμη από τ αριστερό ελατήρι ίση με (yn yn1) και από τ δεξιό ελατήρι η δύναμη (yn 1 yn ), αφύ τ αριστερό ελατήρι έχει επιμηκυνθεί κατά yn y n 1 και τ δεξιό κατά yn 1 yn (επειδή y y ). yn1 n n1 yn 1 Άρα σύμφνα με τ νόμ τυ Newton η εξίσση κίνησης τυ n-στύ σφαιριδίυ είναι: d yn F α n (yn1 yn ) (yn yn1 ) dt ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ d yn (yn 1 yn yn 1) (1) dt Δηλαδή παρατηρείται ότι η διαφρική εξίσση αυτύ τυ συστήματς είναι πανμιότυπη με τη διαφρική εξίσση της χρδής με σφαιρίδια (-) με απλή αντιστίχιση τυ με τ T/α. β) Η γενική λύση της (1) παρέχει την εξίσση της μετατόπισης τυ n-στύ σφαιριδίυ και είναι: y n (Ain nα Bco nα)co(t φ) () y n 1 Ομίς είναι: [Ain (n 1)α Bco (n 1)α]co(t φ) Οπότε : y n 1 και [Ain (n 1)α Bco (n 1)α]co(t φ) yn 1 yn 1 [Ain( nα α) Bco(nα α) Ain( nα α ) Bco(nα α)]co(t φ) [ Ain nαco α A co nαin α Bcon αco α Bin nαin α Ain nαco α A co nαin α B co nαco α Bin nα in α]co(t φ) ( Ain nα co α Bco nα co α)co(t φ) yn 1 n1 y ( in nα Bco nα)co α co(t φ) (3) Άρα αντικαθιστώντας τις () και (3) στην (1) πρκύπτει: (Ain nα Bco nα) co(t φ) (A in nα Bco nα)(co α 1) co(t φ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ (co α 1) (1 co α) 4 α in (4) Δηλαδή παρατηρείται και πάλι ότι η σχέση διασπράς (4) είναι πανμιότυπη με αυτήν της χρδής με σφαιρίδια (-18), όπυ πάλι τ αντιστιχεί με τ Τ/α. γ) Στ όρι τυ συνεχύς, δηλαδή για απστάσεις α πλύ μικρές, ι διαμήκεις μετατπίσεις τν σφαιριδίν από τη θέση ισρρπίας μπρύν να γραφύν ς: (t) y n y(nα, t) y(x, t) y(x, t) 1 y(x, t) yn 1(t) y(nα α, t) y(x α, t) y(x, t) α α (5) x x y n 1 (t) y(nα α, t) y(x α, t) y(x, t) y(x, t) α x 1 y(x, t) α x όπυ ι συναρτήσεις y(x α, t) και y(x α, t) αναπτύχθηκαν σε σειρές Taylor γύρ από τ σημεί x=nα για σταθερό t και κρατήθηκαν όρι μέχρι δεύτερης τάξες ς πρς α. Συνεπώς αντικαθιστώντας τις σχέσεις (5) στην (1) πρκύπτει: y(x, t) t α y(x, t) x (6) Η διαφρική εξίσση (6) απτελεί την κυματική εξίσση τυ συστήματς, όπυ υ α / είναι η ταχύτητα διάδσης της κίνησης κατά μήκς της διάταξης αυτής. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 4 Τ μόρι τυ βενζλίυ μπρεί να πρσεγγιστεί με έξι ίσες σημειακές μάζες, πυ μπρύν να λισθαίνυν, χρίς τριβή, στην περιφέρεια ριζντίυ δακτυλίυ. Οι μάζες συνδένται με ίδια ελατήρια σταθεράς. Όταν τ σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση ισρρπίας, ι μάζες είναι διατεταγμένες στις κρυφές καννικύ εξαγώνυ. Θερείστε ότι τ σύστημα διαταράσσεται λίγ από την κατάσταση ισρρπίας. α) Να γράψετε τις εξισώσεις κίνησης για κάθε μία από τις έξι μάζες. β) Να βρείτε τις συχνότητες τν καννικών τρόπν ταλάντσης τυ συστήματς. Λύση y 1 1 y 3 y 3 4 y 4 Για την μελέτη της κίνησης τν 6 σημειακών μαζών επιλέγνται ι συντεταγμένες y r (r 1,,...,6) πυ περιγράφυν τις απμακρύνσεις κάθε μάζας από τη θέση ισρρπίας. Οι απμακρύνσεις αυτές θερύνται μικρές (πρσέγγιση μικρών γνιών) και παριστάννται στ Σχήμα 1. y 6 6 y 5 5 Σχήμα 1 y r F r-1 y r-1 y r+1 Fr 1 r r+1 r-1 Σχήμα (y r1 y r ) (y Στ Σχήμα φαίνεται η μάζα r πυ γειτνεύει με τις r-1 και r+1 μάζες. Στη συνέχεια θα εξαχθεί η διαφρική εξίσση κίνησης της r- στής μάζας. Επειδή τα ελατήρια θερύνται επιμηκυνμένα, ι δυνάμεις πυ ασκύνται στη μάζα r είναι Fr 1 (yr1 yr ) και Fr 1 (yr yr1) και φαίννται στ σχήμα. Επμένς σύμφνα με τν νόμ τυ Newton η εξίσση κίνησης της r-στής μάζας είναι: r Fr α y ) y r1 r r Fr 1 F r1 y r ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ y r (yr1 yr yr1 ) r=1,,,6 (1) Η σχέση (1) παρέχει τις διαφρικές εξισώσεις πυ περιγράφυν την κίνηση τν έξι μαζών όπυ λόγ περιδικότητας της δμής είναι πότε για r=1 είναι : y y r6 7 y 1 y r () και για r=0 είναι : y y 6 (3) Άρα ι εξισώσεις κίνησης για κάθε μάζα πρκύπτυν από την (1) βάζντας τιμές στ r. (3) Για r=1: y 1 (y y1 y ) y 1 (y y1 y6) Για r=: y (y3 y y1) Για r=3: y 3 (y 4 y3 y ) Για r=4: y 4 (y5 y 4 y3) Για r=5: y 5 (y6 y5 y 4 ) () Για r=6: y 6 (y7 y6 y5) y 6 (y1 y6 y5) β) Για την εύρεση τν συχντήτν τν καννικών τρόπν ταλάντσης θερύνται λύσεις της μρφής: y r Cco rθcot (4) πυ υπακύυν τη συνθήκη λόγ περιδικότητας της δμής : y (5) r y r 6 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Αντικαθιστώντας την (4) στην (1) και απαιτώντας να ισχύει για κάθε t πρκύπτει: Cco rθ [C co(r 1)θ Cco rθ Cco(r 1)θ] co rθ co(r 1)θ co rθ co(r 1) θ co rθ co(r 1)θ co(r 1)θ (6) Χρησιμπιώντας την τριγνμετρική ταυτότητα : πρκύπτει ότι: co A B A B co B co co co( r 1)θ co(r 1)θ co rθ coθ πότε η (6) γίνεται: co rθ co rθ coθ coθ (1 coθ) (7) όπυ τ co rθ 0 για να μην πρκύπτυν μηδενικά πλάτη και γι αυτό απλπιήθηκε. Επίσης από τη συνθήκη περιδικότητας (5) και λόγ της (4) πρκύπτει: y r (4) y Ccorθcot Cco(r 6)θcot corθ co(r 6) θ r 6 ( r 6)θ nπ rθ (r 6 r)θ nπ 6θ nπ nπ θ, n 0,1,,3,4,5 (8) 3 Σημειώνεται ότι τ n=0,1,,r-1 γιατί πάν από την τιμή r-1 δηλαδή την r πρκύπτυν επαναλαμβανόμενες λύσεις. Άρα η (7) λόγ της (8) δίνει τις συχνότητες τν καννικών τρόπν ταλάντσης ς: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Συνεπώς: nπ 1 co n=0,1,,3,4,5 (9) 3 Για n=0: 1 co Για n=1: π co 1 3 Για n=: 3 π co co π 11 Για n=3: 4 4 Για n=4: 5 4π co Για n=5: 6 5π co Παρατηρείται ότι ι τρόπι ταλάντσης και 6 και ι 3 και 5 έχυν ίσες συχνότητες αντίστιχα και επμένς δεν μπρύν να διακριθύν. Τ φαινόμεν αυτό νμάζεται εκφυλισμός. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 5 Θερείστε ένα σύστημα συζευγμένν εκκρεμών σε διαδχικές ίσες απστάσεις α μεταξύ τυς και με ίσα νήματα μήκυς τ καθένα. Οι μάζες τν εκκρεμών είναι η κάθε μία και συνδένται με ελατήρια σταθεράς, ενώ ι δύ ακραίες μάζες τν εκκρεμών είναι ελεύθερες (δηλαδή δε συνδένται μέσ ελατηρίν με τα τιχώματα). Οι μάζες εκτελύν μικρές ταλαντώσεις ώστε ι κινήσεις τυς να θερύνται διαμήκεις. α) Να βρεθεί η διαφρική εξίσση κίνησης τυ n-στύ εκκρεμύς. β) Να βρεθεί η εξίσση μετατόπισης κάθε εκκρεμύς και η σχέση διασπράς τυ συστήματς. γ) Στ όρι τυ συνεχύς, δηλαδή για α πλύ μικρό να βρεθύν η διαφρική εξίσση κίνησης και η σχέση διασπράς. Λύση n-1 n n+1 α θ n α F 1 y n-1 g y n y n+1 F x α) Έστ τα τρία διαδχικά εκκρεμή n-1, n και n+1, τα πία στην κατάσταση ισρρπίας βρίσκνται στις θέσεις x=(n-1)α, x=nα και x=(n+1)α αντίστιχα. Σε μια τυχαία θέση τυ συστήματς ι διαμήκεις μετατπίσεις τν εκκρεμών n-1, n και n+1 είναι yn 1, yn και yn 1 αντίστιχα από τη θέση ισρρπίας τυς. Έτσι στ n-στό εκκρεμές ασκείται τ βάρς τυ g, η τάση τυ νήματς Τ και ι δυνάμεις τν ελατηρίν F1 (yn yn1) από τ αριστερό και F (yn 1 yn ) από τ δεξιό ελατήρι αντίστιχα, όπς φαίννται στ σχήμα. Θερώντας μικρές ταλαντώσεις, ώστε ι κινήσεις να θερύνται ριζόντιες κατά την κατακόρυφη διεύθυνση λόγ ισρρπίας ισχύει: T coθ n g g 0 T (1) coθ n ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ενώ ς νόμς τυ Newton στη διεύθυνση x δίνει την εξίσση κίνησης τυ n-στύ εκκρεμύς: F α n Tin θ n F F 1 y n (1) ( 1) gt αnθ n ( y n y n1 ) ( y n1 y n ) y n y n gtαnθ n (y n1 yn y n1 ) () Αλλά από τ σχήμα εύκλα φαίνεται ότι: γίνεται: tan θn y / πότε η εξίσση κίνησης () g y n y n (y n1 y n y n1 ) (3) n β) Η γενική λύση της (3) πυ παρέχει την εξίσση της μετατόπισης τυ n-στύ εκκρεμύς είναι: y n (Ain nα Bco nα)co(t φ) (4) Εφαρμόζντας την ριακή συνθήκη για τα ελεύθερα άκρα τυ συστήματς πρκύπτει: y x xnα0 (4) 0(Aco nα B in nα) co(t φ) A co(t φ) 0 A 0 n0 0 Άρα η εξίσση (4) γίνεται : y n Bco nαco(t φ) (5) Αντικαθιστώντας την (5) στην (3) πρκύπτει η εξίσση διασπράς ς: g y n y n [B co(nα nα) co(t φ) y Bco(nα nα)co(t φ)] n ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ g yn yn (yn co α yn ) g (1 co α) g g 4 α (1 co α) in (6) γ) Στ όρι τυ συνεχύς, δηλαδή για απστάσεις α πλύ μικρές, ι διαμήκεις μετατπίσεις τν εκκρεμών από τη θέση ισρρπίας μπρύν να γραφύν ς: (t) y n y(nα, t) y(x, t) y n 1 (t) y(nα α, t) y(x α, t) y(x, t) y(x, t) α x 1 y(x, t) α x (7) y n 1 (t) y(nα α, t) y(x α, t) y(x, t) y(x, t) α x 1 y(x, t) α x όπυ ι συναρτήσεις y(x-α,t) και y(x+α,t) αναπτύχθηκαν σε σειρές Taylor γύρ από τ σημεί x=nα για σταθερό t και κρατήθηκαν όρι μέχρι δεύτερης τάξης ς πρς α. Συνεπώς αντικαθιστώντας τις σχέσεις (7) στην (3) πρκύπτει: y(x, t) t α y(x, t) g y(x, t) x (8) Η εξίσση (8) λέγεται εξίσση Klein-Gordon. Επίσης επειδή τ α είναι μικρό θα είναι και τ α/ μικρό, πότε θα ισχύει η πρσέγγιση in( α / ) α / και επμένς η σχέση διασπράς (6) στ όρι τυ συνεχύς γίνεται: g α (9) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 6 Μια γραμμική διάταξη συζευγμένν εκκρεμών έχει τ ένα άκρ ελεύθερ στ z=0, ενώ τ άλλ άκρ της διάταξης στ z=nα=l είναι ακίνητ. Θερείστε ότι η σταθερά τν ελατηρίν σύζευξης είναι και ότι τα ελατήρια πυ συνδέυν τις μάζες τν εκκρεμών έχυν τ φυσικό τυς μήκς στην κατάσταση ισρρπίας τυ συστήματς. α) Γράψτε την εξίσση κίνησης τυ n-στύ εκκρεμύς. β) Θερείστε στ όρι τυ συνεχύς ότι y n (t) y(z,t) και y n 1 (t) y(z α,t) και αναπτύξτε τ σε σειρά Taylor περί τ z, όπυ α η απόσταση μεταξύ τν διαδχικών εκκρεμών. Δείξτε ότι η εξίσση κίνησης παίρνει τη μρφή της κυματικής εξίσσης τυ Klein-Gordon: y(z α, t) y (z, t) α t y(z, t) y(z, t) z όπυ g / γ) Αναζητείστε λύσεις της μρφής καννικών τρόπν ταλάντσης y(z, t) A(z) co(t φ) και βρείτε τη διαφρική εξίσση πυ ικανπιεί τ πλάτς A(z). Μελετήστε τις περιπτώσεις, και. δ) Αν η διάταξη διεγείρεται στ ελεύθερ άκρ z=0 με μια αρμνική δύναμη συχνότητας παράλληλη πρς τη διάταξη και αν < να δείξετε ότι η εξάρτηση τυ πλάτυς από τ z είναι της μρφής: A A(z) 1 e L (e z e L e z ), όπυ Σχλιάστε την εξάρτηση τυ πλάτυς A(z) για την ριακή περίπτση Λύση A σταθερά L. α z=0 y(z,t) z=l ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

19 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ α,β) Η απόδειξη τν δύ αυτών ερτημάτν γίνεται ακριβώς ίδια όπς αναλύεται στα ερτήματα α) και γ) τυ Θέματς 5. γ) Υπθέτντας ότι ένας μναδικός τρόπς ταλάντσης έχει διεγερθεί τότε όλα τα σημεία τυ συστήματς ταλαντώννται με την ίδια συχνότητα και φάση, πότε η λύση της κυματικής εξίσσης Klein-Gordon τυ συστήματς έχει τη μρφή: y(z, t) A(z) co(t φ) (1) Αντικατάσταση της σχέσης (1) στην κυματική εξίσση Klein-Gordon δίνει τη διαφρική εξίσση πυ ικανπιεί τ πλάτς A(z). α A(z) co(t φ) d A(z) g co(t φ) A(z) co(t φ) dz d A(z) dz α g A(z) 0 () Για την επίλυση της διαφρικής εξίσσης () διακρίννται ι ακόλυθες περιπτώσεις: g 1) Αν g / τότε είναι: 0 από την πία πρκύπτει η α σχέση διασπράς : α g (3) και η λύση της διαφρικής εξίσσης () είναι: A(z) Cin z Dco z (4) όπυ ι σταθερές C, D πρσδιρίζνται από τις ριακές συνθήκες. Άρα η μετατόπιση y(z,t) λόγ τν (1) και (4) γίνεται: y(z, t) (Cin z Dco z)co(t φ) (5) Αλλά επειδή τ άκρ z=0 είναι ελεύθερ θα ισχύει: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

20 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ y(z, t) z z0 (5) 0(Ccoz D in z) co(t φ) Cco(t φ) 0 C 0 z0 0 Επμένς η σχέση (5) γίνεται: y(z, t) Dco z co(t φ) (6) Επίσης επειδή τ άκρ z=l είναι σταθερό ισχύει: y(l, t) (6) 1 0 Dco Lco(t φ) 0 co L 0 L r π 1 π r r, r 0,1,,... (7) L Συνεπώς η σχέση διασπράς (3) λόγ της (7) δίνει τις δυνατές τιμές της συχνότητας. r α π L 1 r g, r 0,1,,... (8) ) Αν g / τότε η σχέση () γίνεται: d A(z) dz 0 da(z) dz C da(z) C dz A(z) Cz D (9) Οπότε η σχέση (1) παίρνει τη μρφή: y(z, t) (Cz D) co(t φ) (10) Από τις ριακές συνθήκες όμς για τ ελεύθερ άκρ z=0 είναι: Οπότε: y(z, t) z z0 0 Cco(t φ) 0 C 0 y(z, t) Dco(t φ) (11) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

21 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ενώ για τ ακλόνητ άκρ z=l είναι: y(l, t) (11) 0 Dco(t φ) 0 D 0 Δηλαδή στην περίπτση αυτή είναι y(z,t)=0 και τ σύστημα δεν ταλαντώνεται. 3) Αν g / o τότε είναι: α g α g 0 και η λύση της διαφρικής εξίσσης () είναι: A(z) Ce z De z (1) Άρα η μετατόπιση y(z,t) λόγ τν (1) και (1) είναι: y(z, t) (Ce z De z )co(t φ) (13) Στ ελεύθερ άκρ z=0 η ριακή συνθήκη δίνει: y(z, t) z z0 (13) 0 ( Ce z De z )co(t φ) z Ce De 0 C D (14) ενώ η ριακή συνθήκη στ ακλόνητ z=l δίνει: y(l, t) (13) 0 (Ce L De L (14) )co(t φ) 0 Ce L Ce L 0 C D 0 Οπότε: y(z,t)=0, δηλαδή τ σύστημα δεν ταλαντώνεται. Από τα παραπάν συμπεραίνεται ότι τ σύστημα ταλαντώνεται μόν όταν και γι αυτό η συχνότητα g / λέγεται συχνότητα απκπής. g / ή ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

22 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ δ) Επειδή σύμφνα με τα πρηγύμενα θα ισχύει η σχέση (13): y(z, t) (Ce z De z )co(t φ) (15) Λόγ όμς της διέγερσης τυ συστήματς στ ελεύθερ άκρ τυ z=0 από αρμνική δύναμη συχνότητας η μετατόπιση στ σημεί αυτό θα είναι: y ( 0,t) (15) 0 0 A co(t φ) (Ce De )co(t φ) A co(t φ) C D (16) A όπυ είναι τ πλάτς πυ πρσδίδει η εξτερική δύναμη. Από την ριακή συνθήκη στ ακλόνητ άκρ z=l πρκύπτει: A y(l, t) (15) 0 (Ce L L L De L )co(t φ) 0 Ce De 0 (17) Συνεπώς λύνντας τ σύστημα τν εξισώσεν (16) και (17) πρκύπτει: L e A C A και L L e 1 1 e L e L A A D (18) L e 1 1 e Άρα τ πλάτς A(z) είναι: A(z) Ce z De (18) z A A(z) 1 e A e 1 e L (e z z L e Ae 1 e L L z e e L z ) Για L ι σχέσεις (18) δίνυν C A και D 0 πότε η σχέση (15) γίνεται: y(z, t) A Δηλαδή πρκύπτει ταλάντση με πλάτς φθίνει καθώς αυξάνει τ z. e z A(z) co(t φ) A e z, πυ εξαρτάται από τη θέση z και ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

23 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 7 Σύστημα συζευγμένν εκκρεμών απτελείται από δύ μάδες. Η πρώτη μάδα (από z=0 μέχρι z=l) απτελείται από εκκρεμή μήκυς 1, ενώ η δεύτερη (από z=l μέχρι απτελείται από εκκρεμή μήκυς. Κάθε εκκρεμές απέχει από τα γειτνικά τυ απόσταση α και συνδέεται με αυτά με ελατήρια σταθεράς. Θερείστε γνστό ότι στ όρι τυ συνεχύς η ταλάντση y(z,t) περιγράφεται από την εξίσση Klein-Gordon. Τ πρώτ εκκρεμές της διάταξης (z=0) διεγείρεται σε ταλάντση της μρφής y (t) y(z 0, t) A cot, με 1 z ) συχνότητα, όπυ 1 g / 1 g /. α) Γράψτε τις λύσεις y και y της εξίσσης για τις δύ περιχές Ι (0<z<L) και ΙΙ ( L z ). β) Εφαρμόστε στην y την ριακή συνθήκη στ z=0. γ) Βρείτε την πλήρη λύση για κάθε z εφαρμόζντας τις συνθήκες συνέχειας της απμάκρυνσης y και της παραγώγυ dy/dz στ σημεί αλλαγής τυ ελαστικύ μέσυ z=l. δ) Υπδείξτε (αριθμητικό ή γραφικό) τρόπ υπλγισμύ τν συχντήτν συντνισμύ (ιδισυχντήτν) τυ συστήματς. ε) Συζητήστε αναλγίες με άλλα κλασικά (π.χ. αέρας ινόσφαιρα) ή κβαντικά (π.χ. βήμα δυναμικύ) συστήματα, καθώς και με συστήματα τυ τύπυ Ι-ΙΙ-Ι (π.χ. αέρας πλάσμα αέρας ή πηγάδι δυναμικύ στην κβαντμηχανική). Λύση 1 α F z=0 y (z,t) z=l y (z,t) z α) Καταρχήν από την ανίσση τν συχντήτν πρκύπτει: 1 g / 1 g / 1, δηλαδή τα εκκρεμή της μάδας ΙΙ είναι μικρότερα σε μήκς από αυτά της μάδας Ι, όπς φαίνεται και στ σχήμα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

24 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Στ όρι τυ συνεχύς η ταλάντση y(z,t) ικανπιεί την εξίσση Klein-Gordon: y(z, t) α y(z, t) y(z, t) (1) t z Αναζητώντας λύσεις της μρφής καννικών τρόπν ταλάντσης: y(z, t) A(z) co(t φ) () και αντικαθιστώντας στην εξίσση (1) πρκύπτει η διαφρική εξίσση πυ ικανπιεί τ πλάτς A(z). α A(z) co(t φ) d A(z) co(t φ) dz A(z) co(t φ) d A(z) ( )A(z) 0 (3) dz α Η εξίσση (3) δίνει τη μρφή τυ πλάτυς A(z) στις περιχές Ι και ΙΙ. Έτσι στην περιχή Ι για 0<z<L είναι g / 1 και από την ανισότητα τυ πρβλήματς είναι: 0 Άρα θέτντας ( ) 0 (4) α d A (z) η (3) γράφεται: A (z) 0 dz και η γενική της λύση (αφύ 0) είναι: A (z) Cin z Dco z (5) Ενώ στην περιχή ΙΙ για L z είναι g / και από την ανισότητα τυ πρβλήματς είναι: 0 ( ) 0 Οπότε θέτντας ( ) (6) α η (3) γράφεται: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

25 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ d A(z) ( dz α )A d A(z) (z) 0 A dz (z) 0 και η γενική της λύση είναι: A (z) Ee z Fe z (7) Οι εξισώσεις (5) και (7) αντιστιχύν στις περιχές τυς, δηλαδή η (5) ισχύει για 0<z<L και η (7) για z>l και πρκειμένυ να υπάρχει ενιαίς συμβλισμός σε όλη την περιχή ανακλιμακώνεται η μεταβλητή z σε z-l, δηλαδή στην υσία μετατπίζεται τ σύστημα αξόνν στ σημεί z=l. Οπότε ι λύσεις τν πλατών γίννται: A (z) Cin (z L) Dco (z L) και και A (z) (zl) (zl) Ee Fe (8) Άρα τελικά ι λύσεις είναι: y και y της εξίσσης (1) στις δύ περιχές, λόγ τν () και (8) y (z,t) [Cin (z L) Dco (z L)]co(t φ) (9) y (z, t) [Ee (zl) Fe (zl) ]co(t φ) (10) β) Επειδή τ άκρ της διάταξης στ σημεί z=0 διεγείρεται από δύναμη πυ τ ταλαντώνει με εξίσση απμάκρυνσης y(t) A cot, η ριακή συνθήκη στ σημεί αυτό είναι: y (z 0,t) y(t) A cot y (0,t) A cot (9) (9) [ Cin ( L) Dco ( L)]co(t φ) A cot Αλλά για να ισχύει η σχέση αυτή για κάθε χρνική στιγμή t πρέπει φ=0 πότε: Cin ( L) Dco ( L) A Cin L Dco L A (11) Η σχέση (11) απτελεί την έκφραση της ριακής συνθήκης στ z=0 για την y (z, t). γ) Στ σημεί συνέχειας z=l ισχύυν ι ριακές συνθήκες: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

26 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ y (z L,t) y (z L,t) (1) και dy dz zl dy dz zl (13) Επειδή ι λύσεις πρέπει να είναι φραγμένες, δηλαδή όταν z πρέπει τ y (z,t) 0 συντελεστής F της σχέσης (10) πρέπει να είναι μηδέν (F=0), γιατί αν y (z,t) και ι λύσεις είναι μη φραγμένες. Οπότε η (10) απλπιείται στην: F 0 τότε y (z, t) Ee (zl) co(t φ) (14) Επμένς από την ριακή συνθήκη (1) λόγ τν (9) και (14) πρκύπτει: y (z L, t) y (z L, t) (Cin 0 Dco 0)co(t φ) Ee 0 co(t φ) C0 D1 E1 D E A (15) Ενώ από την ριακή συνθήκη (13) λόγ τν (9) και (14) πρκύπτει: dy dz zl dy dz zl [C co (z L) D in (z L)]co(t φ) zl (zl) e co(t φ) zl E ( C co 0 D in 0) co(t φ) E e 0 co(t φ) C E (15) C E C A (16) Άρα ι πλήρεις λύσεις για τις δύ περιχές μετά την εφαρμγή τν συνθηκών συνέχειας στ σημεί z=l, δηλαδή ι σχέσεις (9), (14) λόγ τν (15), (16) είναι: y (z, t) A in (z L) co (z L) co(t φ) (17) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

27 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ (zl) και y (z, t) Ae co(t φ) (18) δ) Η σχέση (11) λόγ τν (15) και (16) δίνει: Ao Ain L A co L Ao A (19) in L co L Η σχέση (19) δίνει τ πλάτς της ταλάντσης σε σχέση με τις αρχικές συνθήκες. Παρατηρείται ότι όταν τ πάρει τέτιες τιμές ώστε παρανμαστής της (19) να μηδενίζεται, τότε τ πλάτς Α θα γίνει άπειρ, αγνώντας σε πρώτη πρσέγγιση την απόσβεση πυ επιβάλλει η. Αυτές ι τιμές τυ ρίζυν τις ιδισυχνότητες τυ συστήματς, δηλαδή τότε παρατηρείται συντνισμός. Επμένς συντνισμός υπάρχει όταν: L y (z,t) in L co in L 0 L co L in L co L 1 in L L 1 in L 1 in L in L (0) Για τν υπλγισμό τν ιδισυχντήτν πρέπει να επιλυθεί η (0). Δηλαδή: L arcin (1) Θέτντας ξ1 L και ξ arcin θα επιλυθεί γραφικά η εξίσση ξ1( ) ξ( ) και ι λύσεις τυ πρβλήματς είναι τα σημεία τμής τν γραφικών παραστάσεν τν δύ αυτών συναρτήσεν. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

28 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Επίσης λόγ της (0) επειδή: 1 0 αυτή θα αναζητηθεί η γραφική λύση της (1). δηλαδή στην περιχή Για 0 είναι ξ ξ 0 και 0 arcin 0 Για είναι ξ L και ξ arcin 1 π Η γραφική επίλυση της (1) φαίνεται στ ακόλυθ σχήμα. ξ 1,ξ π/ ξ 1 ( ) Ο ξ ( ) Από την παραπάν γραφική παράσταση παρατηρείται ότι ι συναρτήσεις ξ1 ( ) και ξ( ) τέμννται στ σημεί όπυ δηλαδή όταν: ξ ξ L π π L () Άρα από τις σχέσεις (4) και (6) είναι α g 1 και α g πότε αντικαθιστώντας στην () πρκύπτυν ι ιδισυχνότητες. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

29 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ε) Ένα μέσ, στ πί είναι δυνατόν να διατηρηθύν ημιτνικά κύματα νμάζεται διασκρπιστικό μέσ, όπς είναι η περιχή Ι στ πρόβλημα αυτό και σημαίνει ότι η τιμή της συχνότητας τν κυμάτν δεν είναι χαμηλότερη από τη συχνότητα απκπής, πυ στην περιχή Ι είναι o 1 g / 1 και ισχύει o1. Αντιθέτς ένα μέσ στ πί δεν μπρύν να διατηρηθύν ημιτνικά κύματα, αλλά υπάρχυν εκθετικά κύματα νμάζεται άεργ μέσ, όπς η περιχή ΙΙ τυ πρβλήματς. Η ινόσφαιρα της Γης (αέρας ινόσφαιρα) είναι παράδειγμα διασκρπιστικύ μέσυ για τα ηλεκτρμαγνητικά κύματα, για συχνότητες πάν από τη συχνότητα απκπής η πία νμάζεται συχνότητα ταλάντσης πλάσματς και συγχρόνς είναι παράδειγμα άεργυ μέσυ για συχνότητες χαμηλότερες από την. Οι σχέσεις διασπράς για διεγερμένες ταλαντώσεις στην ινόσφαιρα της Γης είναι όμιες με τις αντίστιχες σχέσεις (4) και (6) για συζευγμένα εκκρεμή και είναι: p p p c, για p και p c, για p Αν μια διασκρπιστική περιχή περικλείεται ανάμεσα σε δύ άεργες περιχές απείρυ πάχυς τότε μπρύν να δημιυργηθύν τρόπι ελεύθερν ταλαντώσεν τν εκκρεμών στην διασκρπιστική περιχή σαν τα εκκρεμή να είχαν εγκλβιστεί μεταξύ δύ τίχν. Αυτή η εικασία είναι σστή και ι τρόπι νμάζνται δέσμιι τρόπι ταλάντσης και εμφανίζνται περίπυ στις συχνότητες συντνισμύ τυ συστήματς πυ μελετήθηκε. Αυτή είναι και η αναλγία τν κβαντικών συστημάτν με τα συζευγμένα εκκρεμή. Δηλαδή ι δέσμιες καταστάσεις τν ατόμν εμφανίζνται στις συχνότητες συντνισμύ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ