ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΟΡΔΗΣ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΟΡΔΗΣ Συγγραφή Ειμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Βρείτε τους σχηματισμούς και τις συχνότητες των τριών ρώτων κανονικών τρόων εγκάρσιας ταλάντωσης μιας συνεχούς ιδανικής χορδής μήκους και γραμμικής υκνότητας ρ, η οοία τείνεται με τάση Τ. Θεωρείστε ότι τα δύο άκρα της χορδής είναι ελεύθερα, δηλαδή είναι συνδεδεμένα με δύο δακτυλίδια αμελητέας μάζας, τα οοία ολισθαίνουν χωρίς τριβή άνω σε δύο αράλληλες ράβδους αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ο χαμηλότερος κανονικός τρόος ταλάντωσης έχει άειρο μήκος κύματος. Ποια είναι η τιμή της μικρότερης συχνότητας και σε τι είδους κίνηση αντιστοιχεί; Λύση Η κίνηση της χορδής ικανοοιεί την κυματική εξίσωση: y ρ T t y, υ T /ρ (όου είναι η ταχύτητα διάδοσης της κίνησης στη χορδή) η γενική λύση της οοίας για τη μετατόιση y(, της χορδής σε ένα συγκεκριμένο τρόο (στάσιμο κύμα) είναι της μορφής: y(, (Ai co ) co(ωt φ) () όου =/λ είναι ο κυματάριθμος και λ το μήκος κύματος. Εειδή τα άκρα της χορδής είναι ελεύθερα ισχύουν οι συνοριακές συνθήκες τύου Newma, δηλαδή η κλίση της χορδής στα ελεύθερα άκρα της είναι κάθε χρονική στιγμή ίση με μηδέν. Δηλαδή ισχύουν οι συνοριακές συνθήκες: y(, y(, () Εομένως εειδή η () ρέει να ικανοοιεί τις συνοριακές συνθήκες () για κάθε χρονική στιγμή t, θα ισχύει: y(, (A co i ) co(ωt φ) ( A co i ) co(ωt φ) A co(ωt φ) A ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Οότε η () αίρνει τη μορφή: y(, co co(ωt φ) () Έτσι αό τη δεύτερη συνοριακή συνθήκη ροκύτει: y(, () i co(ωt φ) i co(ωt φ), i t Είσης τα μήκη κύματος είναι:,,,,... (4) (4) λ λ,,,,... (5) λ / Συνεώς αό τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής ροκύτουν οι συχνότητες των κανονικών τρόων ταλάντωσης ως: Κι εειδή (4) υ T υ λf f υ f,,,,... (6) λ ρ ω f είναι: ω (6) T f ω,,,,... (7) ρ Άρα ο χαμηλότερος κανονικός τρόος ταλάντωσης, για = σύμφωνα με την (7) έχει συχνότητα ω o και σύμφωνα με την (5) έχει λ o, δηλαδή έχει άειρο μήκος κύματος. Είσης εειδή: υ f λ f υ / λ υ ή υ o σταθ. o o o o Δηλαδή η χορδή είτε είναι ακίνητη είτε κινείται με σταθερή ταχύτητα. o o Για τους τρεις ρώτους κανονικούς τρόους ταλάντωσης, σύμφωνα με τις (4), (5) και (7) ισχύει: o Για =:, λ, ω T ρ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Για =: T, λ, ω ω ρ Για =: T, λ, ω ω ρ Η σχηματική ανααράσταση αυτών των τρόων ταλάντωσης φαίνονται ακολούθως: y λ = λ = λ = λ / = = = ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Μεθοδολογία Είδη οριακών συνθηκών χορδής: ) Αν μια χορδή είναι ακτωμένη, δηλαδή έχει σταθερά ακλόνητα άκρα, τότε ισχύουν οι συνθήκες Dirichlet: y(, και y(, ) Αν μια χορδή είναι ελεύθερη, δηλαδή τα άκρα της μορούν να κινούνται ελεύθερα μέσω αβαρών δακτυλίων, τότε ισχύουν οι συνθήκες Neuma: y(, και y(, ) Στη γενική ερίτωση, όου μια χορδή έχει ένα σταθερό (στο =) και ένα ελεύθερο (στο =) άκρο τότε ισχύει συνδυασμός των αραάνω. Δηλαδή: y( y(,, και ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Μια ιδανική χορδή γραμμικής υκνότητας ρ είναι τεντωμένη με δύναμη Τ και έχει σταθερό άκρο στο =, ενώ το άκρο στο = είναι ελεύθερο να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά μήκος στυλίσκου μέσω αβαρούς δακτυλιδιού. α) Βρείτε τις συχνότητες των κανονικών τρόων ταλάντωσης. β) Όταν ταλαντώνεται μόνο με τη συχνότητα, όση είναι η ολική ενέργεια ; Λύση α) Η γενική εξίσωση της μετατόισης y(, της χορδής αό τη θέση ισορροίας είναι: y(, ω (Ai co ) co(ωt φ) () E = = Λόγω όμως του ελεύθερου άκρου της χορδής στο = ισχύει η συνοριακή συνθήκη: (, () y (A co i ) co(ωt φ) (A co i ) co(ωt φ) A co(ωt φ) A Άρα η () γίνεται: y(, co co(ωt φ) () t Είσης λόγω του ακλόνητου άκρου στο σημείο = ισχύει η συνοριακή συνθήκη: () y(, co co(ωt φ) co ( ) t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ( ),,,,... () Άρα οι συχνότητες των κανονικών τρόων ταλάντωσης, σύμφωνα με τη θεμελιώδη κυματική εξίσωση είναι: υ λ f, όου λ το μήκος κύματος, ταχύτητα διάδοσης κίνησης στη χορδή. f ω η συχνότητα και υ T /ρ η Οότε: ω ω ( ) ( ) T υ υ ω υω,,,,... (4) ρ β) Όταν η χορδή ταλαντώνεται με συχνότητα ω, δηλαδή με κάοιο κανονικό τρόο ταλάντωσης τότε έχει κινητική ενέργεια : y ρ d t (5) T y και δυναμική ενέργεια: V d (6) Αλλά αό την () ροκύτει: y t ω co i( ω t φ) y και i co(ω t φ) Συνεώς η (5) δίνει: K ρω i (ωt φ) co d ρω i (4) (ωt φ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ (4) T i 4 ( ω t φ) (7) Ενώ η (6) δίνει: T T V co (ωt φ) i d co (ω t φ) V T co (ωt φ) (8) 4 Άρα η ολική ενέργεια της χορδής είναι: (7),(8) E V E T 4 () E 6 T ( ),,,,... ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Ομογενής χορδή με ολική μάζα m και μήκος βρίσκεται υό τάση Τ. Το ένα άκρο της στο = είναι ακλόνητο, ενώ το άλλο άκρο της στο = φέρει δακτύλιο μάζας Μ, ο οοίος μορεί να κινείται κάθετα στον άξονα, κατά μήκος ενός οριζόντιου φορέα αράλληλου στον άξονα y χωρίς τριβές. Δείξτε ότι οι κανονικές συχνότητες της χορδής δίνονται αό τις ρίζες της εξίσωσης ta( ) m / M. Λύση Fcoθ F θ N Fiθ Mg = = Η γενική εξίσωση της μετατόισης της χορδής y(, σε ένα κανονικό τρόο ταλάντωσης είναι: y(, (Ai co ) co(ωt φ) () Εειδή το άκρο στο = είναι ακλόνητο ισχύει η οριακή συνθήκη: () y(, (Ai co ) co(ωt φ) t co(ωt φ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Δηλαδή η () αίρνει τη μορφή: y(, Ai co(ωt φ) () Για τη συνθήκη στο άκρο = μελετάται η κίνηση του δακτυλίου, ο οοίος δέχεται μια κάθετη δύναμη Ν αό την κάθετη ράβδο, το βάρος Mg και μια δύναμη F αό τη χορδή, η οοία έχει τη διεύθυνση της εφατομένης της χορδής στο άκρο αυτό. Η κάθετη δύναμη Ν ισούται με την τάση Τ ου έχει τεντώσει τη χορδή. Λόγω ισορροίας του δακτυλίου στην οριζόντια διεύθυνση ροκύτει: T N Fcoθ T Fcoθ F () coθ Ενώ για την κίνηση του δακτυλίου κατά την κατακόρυφη διεύθυνση y ο ος νόμος του Newto δίνει: () F Mα Mg Fi θ Mα Mg Ttαθ Mα (4) όου y(=,. y(, α είναι η ειτάχυνση του δακτυλίου ου βρίσκεται στη θέση t Είσης στη θέση = η κλίση της χορδής είναι: ta θ y(, Αντικαθιστώντας τις αραάνω στη σχέση (4) ροκύτει: y(, y(, Mg T M (5) t Έτσι αγνοώντας το βάρος του δακτυλίου Mg εειδή είναι ολύ μικρό και λαμβάνοντας υόψη την (), η (5) δίνει: y(, T M y(, t () TA co co(ωt φ) MAω i co(ωt φ) t T co Mω i ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ T ta (6) Mω Αλλά: T T T T ω υ ω ω (7) ρ ρ m / m όου ρ=m/ η υκνότητα της χορδής. Συνεώς η (6) λόγω της (7) δίνει την εξίσωση ου αρέχει τις κανονικές συχνότητες της χορδής ως: tα T T M m m M m tα M Σημείωση: Στην ερίτωση ου ο δακτύλιος είναι αβαρής η σχέση (5) δίνει τη γνωστή οριακή y(, συνθήκη του ελεύθερου άκρου χορδής. Δηλαδή η κλίση της χορδής στη θέση αβαρούς δακτυλίου είναι μηδέν. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 4 Βρείτε τη σχέση ου ικανοοιεί ο κυματάριθμος των κανονικών τρόων ταλάντωσης (στάσιμων κυμάτων) σε ιδανική χορδή μήκους, υκνότητας ρ, η οοία βρίσκεται υό σταθερή τάση Τ και έχει το ένα άκρο της σταθερό, ενώ το άλλο είναι στερεωμένο άνω σε ελατήριο σταθεράς δυνάμενο να κινηθεί μόνο κάθετα στην κατεύθυνση της χορδής. Στη θέση ισορροίας της η χορδή είναι οριζόντια. Αγνοήστε τη δύναμη βαρύτητας. Λύση F θ y(, N y(, = = Η εξίσωση της μετατόισης y(, της χορδής σε ένα κανονικό τρόο ταλάντωσης είναι: y(, (Ai co ) co(ωt φ) () Αλλά εειδή το άκρο στο = είναι σταθερό ισχύει η οριακή συνθήκη: () y(, (Ai co ) co(ωt φ) t co(ωt φ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Οότε η () γίνεται: y(, Ai co(ωt φ) () Εειδή το άκρο = μορεί να κινείται μόνο κατακόρυφα μορεί να θεωρηθεί ότι το άκρο αυτό κινείται ροσδεμένο σε αβαρή δακτύλιο χωρίς τριβή άνω σε κατακόρυφη ράβδο, στον οοίο είναι ροσδεμένο και το ελατήριο. Συνεώς σε μια τυχαία θέση όου ο δακτύλιος έχει μετατοιστεί κατά y(, ασκείται σε αυτόν μια κάθετη δύναμη Ν αό τη ράβδο, μια δύναμη F αό τη χορδή στη διεύθυνση της εφατομένης της στο άκρο = και η δύναμη y(, αό το ελατήριο. Έτσι λόγω ισορροίας του δακτυλίου στην οριζόντια διεύθυνση ισχύει: T N Fcoθ T Fcoθ F () coθ όου η κάθετη δύναμη Ν ισούται με την τάση Τ ου έχει τεντώσει τη χορδή. Είσης κατά την κατακόρυφη διεύθυνση y η συνισταμένη δύναμη ισούται με το γινόμενο της μάζας εί την ειτάχυνση του δακτυλίου. Αλλά η μάζα του δακτυλίου είναι αμελητέα οότε ισχύει: () Fi θ y(, T ta θ y(, (4) Αλλά στη θέση = η κλίση της χορδής είναι: y(, ta θ Οότε η (4) δίνει: y(, T () y(, () TA co co(ωt φ) A i co(ωt φ) (T co i )A co(ωt φ) T co i t T ta (5) Η σχέση (5) αρέχει τις δυνατές τιμές του κυματάριθμου των κανονικών τρόων ταλάντωσης της χορδής αυτής. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 5 Να ροσδιοριστεί η κυματική εξίσωση μιας μη ομογενούς χορδής. Λύση T i θ θ T T co θ T co θ T θ T i θ y(, T T Έστω ένα τμήμα μήκους και μάζας Δm μιας μη ομογενούς ελαστικής χορδής υκνότητας ρ(). Αρχικά η χορδή βρίσκεται άνω στον άξονα και τείνεται με τάση στο άκρο και τάση στο άκρο. Δηλαδή η τάση δεν είναι σταθερή αφού η χορδή είναι μη ομογενής. Σε μια τυχαία χρονική στιγμή t το τμήμα αυτό της χορδής Δ υφίσταται μια μέση μετατόιση y(, αό τη θέση ισορροίας και οι τάσεις στα άκρα και είναι αντίστοιχα, ενώ σχηματίζουν γωνίες με τον άξονα. Οι οριζόντιες συνιστώσες των τάσεων ισούνται με τις αρχικές τάσεις, δηλαδή: T και T T θ T και T θ και T Tcoθ / co και T T coθ / co θ () θ T Ενώ η συνισταμένη κατακόρυφη δύναμη, σύμφωνα με τον ο νόμο του Newto είναι: () y y T i θ T i θ m T ta θ T ta θ m () t t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ Αλλά οι κλίσεις των άκρων είναι: y ta θ και y ta θ () Οότε η () λόγω των () γίνεται: t y m y T y T t y m im y T y T im t y ρ() y T() t y d dm y T() y T() ρ() t y κυματική εξίσωση μη ομογενούς χορδής

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 6 α) Κατακόρυφη χορδή γραμμικής υκνότητας ρ βρίσκεται υό την είδραση του βάρους της. Δείξτε ότι η κυματική εξίσωση την οοία ικανοοιούν εγκάρσιες ταλαντώσεις μικρού λάτους, έτσι ώστε η χορδή να βρίσκεται συνεχώς σε σταθερό κατακόρυφο είεδο (ου εριείχε τη χορδή σε κατάσταση ισορροίας) έχει τη μορφή: y y y g g t β) Αν το μήκος της χορδής είναι και μια διαταραχή δημιουργείται στο κάτω άκρο της, να υολογιστεί ο χρόνος ου ααιτείται για να φτάσει η διαταραχή αυτή στο άνω άκρο της χορδής. Λύση άξονα. Τ dm +d Τ θ y(, θ Έστω ένα τμήμα μήκους d και μάζας dm μιας κατακόρυφης χορδής υκνότητας ρ. Αρχικά η χορδή βρίσκεται άνω στον άξονα και τείνεται με τάση άκρο και τάση στο άκρο +d. Δηλαδή η τάση δεν είναι σταθερή αφού κάθε σημείο της χορδής τείνεται αό το βάρος του τμήματος της χορδής ου βρίσκεται κάτω αό το σημείο αυτό. Σε μια τυχαία χρονική στιγμή t το τμήμα αυτό της χορδής d υφίσταται μια μέση μετατόιση y(, αό τη θέση ισορροίας και οι τάσεις στα άκρα και +d είναι αντίστοιχα, ενώ σχηματίζουν γωνίες θ και θ με τον T και T T T στο Έτσι η κάθετη δύναμη άνω στο στοιχείο d είναι T i θ T i θ και σύμφωνα με το ο νόμο του Newto η εξίσωση κίνησής του είναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Εειδή όμως οι γωνίες θ y T i θ T i θ dm () t και θ είναι ολύ μικρές ισχύουν: y i θ tαθ και y i θ tαθ (όου οι δείκτες αναφέρονται στο σημείο ου υολογίζεται η d αράγωγος) οότε η () γράφεται: y T d y T y dm t () Αλλά το ρώτο μέλος της εξίσωσης () ορίζει τη διαφορική μεταβολή του χωρικό διάστημα d οότε η () γίνεται: y T() εί το y y T() d dm t () Εειδή όμως είναι dm=ρd και η τάση του νήματος στο σημείο είναι ίση με το βάρος του τμήματος μήκους της χορδής, δηλαδή T=ρg, η () τελικά δίνει: y y y y ρg d ρd ρg ρg t y ρ t t y y y g g β) Η ταχύτητα διάδοσης κυμάτων στη χορδή αυτή είναι : υ / ρ όου σε κάθε σημείο της χορδής είναι Τ=ρg εομένως : υ ρg / ρ υ g d dt g dt d g Η τελευταία σχέση δίνει το στοιχειώδη χρόνο ου ααιτείται για να μεταδοθεί μια διαταραχή αό τη θέση μέχρι τη θέση +d. Οότε ολοκληρώνοντας αυτή αό = έως = υολογίζεται ο ζητούμενος χρόνος ως : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ t dt d g t g d g t / g ΘΕΜΑ 7 Χορδή μάζας m και μήκους κρέμεται μέσα σε εδίο βαρύτητας ειτάχυνσης g, αό ακλόνητη οροφή (= ), φέρνοντας στο άλλο άκρο (=) σημειακή μάζα Μ. α) Υολογίστε την τάση της χορδής ως συνάρτηση της αόστασης αό το κάτω άκρο της. β) Γράψτε την εξίσωση κίνησης για μια στοιχειώδη μάζα dm της χορδής, ου αντιστοιχεί σε μήκος d και βρίσκεται σε αόσταση αό το κάτω άκρο της χορδής και αράγετε την αντίστοιχη εξίσωση κύματος. Λύση Σ α) Ένα τυχαίο σημείο Σ της χορδής, σε αόσταση αό το άκρο της, τείνεται αό το βάρος του τμήματος της χορδής μήκους, ου βρίσκεται κάτω αό το σημείο αυτό και αό το βάρος της σημειακής μάζας Μ. Η μάζα του τμήματος της χορδής είναι ρ=m/ (όου ρ=m/ η γραμμική υκνότητα της χορδής) και το βάρος του είναι mg/. Άρα η τάση της χορδής στη θέση είναι : Μ m g Mg () β) Η εξίσωση κίνησης μιας στοιχειώδους μάζας dm της χορδής εξάγεται με τον ίδιο ακριβώς τρόο όως ανατύχθηκε στο Θέμα 6 και ροκύτει η σχέση (). Δηλαδή : Αλλά y y T() d dm () t m dm ρd d και λόγω της () η () δίνει την κυματική εξίσωση ως : m y m y g Mg d d t m g y m y g Mg m y t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

19 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 8 t y M y y g g g m Χορδή συνολικού μήκους αοτελείται αό δύο τμήματα μήκους / και / με γραμμικές υκνότητες αντίστοιχα. Η χορδή τείνεται με τάση Τ μεταξύ δύο σταθερών σημείων. Αν το σημείο ένωσης των δύο τμημάτων είναι ακίνητο να υολογισθούν οι συχνότητες των κανονικών τρόων ταλάντωσης και ο λόγος των μεγίστων μετατοίσεων του συστήματος των δύο χορδών. Λύση ρ και ρ 4 ρ ρ ρ / / y (, y (, Οι εξισώσεις των μετατοίσεων και κάθε τμήματος της χορδής σε ένα κανονικό τρόο ταλάντωσης, όου όλα τα σημεία της χορδής έχουν την ίδια συχνότητα και την ίδια φάση, αλλά διαφορετικό κυματάριθμο σε κάθε τμήμα είναι: y (, (A co i ) co(ωt φ) για / () y (, (A co i ) co(ωt φ) για / () όου θεωρήθηκε για ευκολία ως αρχή του άξονα το σημείο ένωσης των δύο τμημάτων της χορδής, έτσι ώστε τα άκρα της χορδής να βρίσκονται στις θέσεις / και = / αντίστοιχα. Εειδή όμως το σημείο ένωσης των δύο τμημάτων = είναι ακίνητο ισχύουν οι οριακές συνθήκες: () y (, A co(ωt φ) A () y και (, A co(ωt φ) A Οότε οι σχέσεις () και () αίρνουν την αλοοιημένη μορφή: y (, i co(ωt φ) () ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

20 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ y (, i co(ωt φ) (4) Είσης αό τις οριακές συνθήκες Dirichlet των ακίνητων άκρων =-/ και =/ ροκύτουν: () y ( /, i co(ωt φ) i co(ωt φ) i,,,... (5) και (4) ( /, i co(ωt φ) i y m m, m,,... (6) Άρα αό τις σχέσεις διασοράς του κάθε τμήματος είναι: T ω και ρ ω T ρ Και εειδή η συχνότητα ω είναι κοινή στα δύο τμήματα θα ρέει: T ρ T ρ ρ ρ m ρ 4ρ m m (5),(6) Συνεώς οι δυνατές ιδιοσυχνότητες του συστήματος είναι: ω m m T, m 4,8,,... (7) ρ 4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

21 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Εειδή το σημείο ένωσης των δύο τμημάτων της χορδής είναι ακίνητο, η χορδή θα έχει την ίδια κλίση αριστερά και δεξιά του σημείου αυτού, δηλαδή θα ισχύει: ta φ ta φ y(, y (, (),(4) co co(ωt φ) co co(ωt φ ) ρ ρ είναι η μέγιστη μετατόιση του αριστερού τμήματος και όου μετατόιση του δεξιού τμήματος της χορδής. η μέγιστη ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

22 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 9 Τελείως ελαστική χορδή γραμμικής υκνότητας ρ και μήκους είναι στερεωμένη στα άκρα της και βρίσκεται υό σταθερή τάση Τ. Αρχικά η χορδή είναι ακίνητη και μετατοισμένη αό τη θέση ισορροίας της, έχοντας άρει τη μορφή ου εριγράφει κάοια συνεχής συνάρτηση φ(). Να εριγράψετε την κίνησή της αν αφεθεί ελεύθερη. Λύση φ() = = Η γενική μορφή της τυχαίας κίνησης της ομογενούς ελαστικής χορδής είναι: y(, (A co i ) co(ω t φ ) Οι οριακές συνθήκες Dirichlet για τα ακλόνητα άκρα της χορδής δίνουν: () () Για το άκρο =: y(, A co(ω t φ ) A Οότε η () αίρνει την αλοοιημένη μορφή: y(, i co(ω t φ ) () Για το άκρο =: ( ) y(, i co(ω t φ ) t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

23 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ i,,,... () Άρα η () λόγω της () αίρνει τη μορφή: y(, i co(ω t φ ) (4) όου οι συχνότητες ω ροσδιορίζονται αό τη σχέση διασοράς ως: ω () T T ω,,,... (5) ρ ρ Στη συνέχεια εφαρμόζονται οι αρχικές συνθήκες. Εειδή αρχικά για t= η χορδή είναι ακίνητη, θα ισχύει για κάθε ότι όλα τα σημεία της χορδής έχουν αρχική ταχύτητα μηδενική. Δηλαδή: y(, t t (4) i co(ω t φ ) t t i ( ω )i( ωt φ ) t ω i i φ i φ φ Εομένως η (4) γίνεται: y(, Τέλος αό την αρχική μορφή της χορδής φ() θα ισχύει: i coωt (6) y(, t (6) ) φ() i φ( ) (7) Αό την τελευταία σχέση (7) υολογίζονται οι συντελεστές συνάρτησης φ()., ανάλογα με τη μορφή της ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

24 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Χορδή μήκους και γραμμικής υκνότητας ρ, τείνεται με τάση Τ μεταξύ δύο σταθερών σημείων. Υολογίστε τη συνάρτηση αομάκρυνσης y(, αν οι αρχικές συνθήκες αομάκρυνσης είναι y (, t ) και y(, t ) D( / ) /. Λύση Σύμφωνα με το Θέμα 9 η γενική έκφραση της αομάκρυνσης της χορδής στερεωμένης στα δύο άκρα της είναι η σχέση (6). y(, i coωt () Αό την αρχική συνθήκη της θέσης της χορδής ροκύτει: y(, t ) D () i D D i i... i... Πολλαλασιάζοντας και τα δύο μέλη της αραάνω εξίσωσης με i( / ) και ολοκληρώνοντας κατά μήκος της χορδής αό = μέχρι = δίνει: D i i d... i d... i d () Εειδή όμως ισχύει η σχέση: για m m i i d / για m τελικά η () αίρνει την αλοοιημένη μορφή: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

25 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ D i d () Όου το ολοκλήρωμα της () υολογίζεται με αραγοντική ολοκλήρωση ως εξής: i d dco co co d co d co d i di i i d co (co co ) [( ) ] ( ) 4 Άρα η () δίνει: D 4 8D Άρα η έκφραση () για την μετατόιση της χορδής είναι: y(, 8D i coω t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

26 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 8D T T i co t i co t... ρ 8 ρ Ιδανική χορδή μήκους και γραμμικής υκνότητας ρ, τείνεται με τάση Τ μεταξύ δύο σταθερών σημείων. Τη χρονική στιγμή t= η χορδή αομακρύνεται αό την κατάσταση ηρεμίας έτσι ώστε y(=/, t=)=d με όλα τα ενδιάμεσα σημεία να κατανέμονται γραμμικά μεταξύ της αομάκρυνσης αυτής και των ακλόνητων άκρων (όως στο σχήμα). Στη συνέχεια η χορδή αφήνεται ελεύθερη με μηδενική ταχύτητα όλων των σημείων της. Να υολογιστεί η κίνηση της χορδής για t> ως γραμμικός συνδυασμός όλων των κανονικών τρόων ταλάντωσης. Λύση y D =/ = = Εειδή η χορδή έχει στερεωμένη τα άκρα της και αρχικά είναι ακίνητη η γενική έκφραση της μετατόισης της χορδής y(, συμίτει με αυτή ου ροέκυψε στο Θέμα 9 και είναι: y(, i coω t () Η αρχική συνθήκη της θέσης της χορδής είναι: Έτσι η () λόγω της () δίνει: D, για / y (, t ) () D, για / ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

27 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ i D, D, για για / / Πολλαλασιάζοντας και τα δύο μέλη της εξίσωσης () με i( / ) και ολοκληρώνοντας αό = μέχρι =, και λαμβάνοντας υόψη τη σχέση m i i d για m και / για m= ροκύτει: i i d / D i d / D i () d / D i d ( )i d (4) / όου τα αραάνω ολοκληρώματα υολογίζονται με αραγοντική ολοκλήρωση ως εξής: / i d / d co co / / co d / i i i ( ) i,,,... και / ( )i d / ( )dco ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

28 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ( )co / / co d i i i / ( ) i,,,... Άρα η (4) δίνει: ( ) ( ) D 8D,,,... Συνεώς η έκφραση για την κίνηση της χορδής είναι: y(, 8D ( ) i coω t 8D i co T t ρ i 9 co T t ρ 5 5 i co 5 T t ρ... ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

29 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Μια χορδή μήκους και γραμμικής υκνότητας ρ τείνεται με τάση Τ ανάμεσα σε δύο σταθερά στηρίγματα. Η χορδή αρχικά είναι ευθύγραμμη και δέχεται χτύημα με ένα σφυρί ώστε τα σημεία /<</ να αοκτήσουν αρχική ταχύτητα υο κατά μήκος του άξονα y, ενώ τα υόλοια σημεία της δεν έχουν αρχική ταχύτητα. Να βρείτε την εξίσωση κίνησης της χορδής y(,. Λύση υ() υ ο =/ =/ = = Η γενική μορφή της εξίσωσης κίνησης της χορδής είναι: y(, (A co i ) co(ω t φ ) () Εφαρμόζοντας τις οριακές συνθήκες Dirichlet στα ακλόνητα άκρα ροκύτουν: Στο άκρο =: y ( Δηλαδή η () γράφεται :, () A co(ω t φ ) A ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

30 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ y(, i co(ω t φ ) () Στο άκρο =: y (, ( ) i co(ω t φ ) i,,,... () Άρα η () λόγω της () αίρνει τη μορφή: t y(, i co(ω t φ ) (4) όου οι συχνότητες ω ροσδιορίζονται αό τη σχέση διασοράς ως: ω () T T ω,,,... (5) ρ ρ Σύμφωνα με την αρχική συνθήκη της θέσης εειδή η χορδή αρχικά είναι ευθύγραμμη στη θέση ισορροίας της, θα ισχύει για κάθε : y(, t ) ( 4) i coφ t coφ φ Εομένως η (4) γίνεται: y (, i coω t / y (, i i ωt (6) Εφαρμόζοντας τώρα τη συνθήκη για την αρχική ταχύτητα ροκύτει: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

31 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ y(, t t (6) υ() i ω coω t υ() t ω i υ() ω i... ω i... υ( ) (7) Πολλαλασιάζοντας και τα δύο μέλη της εξίσωσης (7) με i(/) και ολοκληρώνοντας σε όλο το μήκος της χορδής αό = μέχρι = ροκύτει: ω i i d... ω i d... υ() i d ω / d / / υ ο i d / d ω υ / ο / i d / ω υο co υο co co / υ ο ω co (5) co υ ο ρ T co co Άρα : y(, υ ο ρ T co co i i T ρ t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

32 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Ιδανική χορδή μήκους και γραμμικής υκνότητας ρ, ου τείνεται με τάση Τ, έχει το ένα άκρο της (=) στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο, ενώ το άλλο άκρο της (=) είναι ελεύθερο να κινείται χωρίς τριβές με τη βοήθεια αβαρούς δακτυλίου άνω σε κάθετη στη χορδή ράβδο. Τη χρονική στιγμή t= και ενώ όλα τα σημεία της χορδής βρίσκονται στη θέση ισορροίας τους (y(,t=)=), η χορδή διεγείρεται με μια κατανομή ταχυτήτων η οοία αίρνει μέγιστη τιμή υο στο σημείο =/ και μειώνεται γραμμικά (όως στο σχήμα), μηδενιζόμενη στα άκρα της χορδής. Να βρείτε την αομάκρυνση της χορδής y(, για t>. Λύση υ(,t=) υ ο =/ = = Η γενική εξίσωση για την αομάκρυνση της χορδής είναι: y (, (A co i ) co(ω t φ ) () Στη συνέχεια εφαρμόζονται οι οριακές συνθήκες στα άκρα της χορδής. Έτσι στο άκρο = ου είναι ακίνητο ισχύει η συνθήκη: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

33 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ y(, () A co(ω t φ t ) A Οότε είναι: y(, i co(ω t φ ) () Ενώ στο άκρο = ου είναι ελεύθερο ισχύει η συνθήκη Newma (δηλαδή η κλίση της χορδής στο άκρο αυτό είναι μηδέν): y(, ( ) co co(ω t φ ) co t,,,... () Είσης οι συχνότητες ω αό τη σχέση διασοράς είναι: ω () T T υ ω,,,... (4) ρ ρ Ακολούθως εφαρμόζονται οι αρχικές συνθήκες. Έτσι εειδή αρχικά για t= η χορδή βρίσκεται στη θέση ισορροίας θα ισχύει: y(, t ) ( ) i coφ coφ φ Άρα η σχέση () αίρνει τη μορφή: y (, i coω t y(, i i ωt (5) Ενώ η συνθήκη για την αρχική ταχύτητα δίνει: y(, t t (5) υ() ω i coω t υ() t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

34 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ω i υ() ω i... ω i... υ() (6) Πολλαλασιάζοντας και τα δύο μέλη της εξίσωσης (6) με i και ολοκληρώνοντας σε όλο το μήκος της χορδής αό = μέχρι = ροκύτει: ω i i d... ω i d... υ() i d (7) Αλλά είναι: i m i d m και i d co d 4 i Οότε η (7) γίνεται: ω υ() i d (8) Σύμφωνα με το σχήμα η συνάρτηση υ() έχει τη μορφή: υ υ() υ o o, ( ), για για / / Εομένως η (8) δίνει: / υo υo ω i d ( )i d (9) / όου τα αραάνω ολοκληρώματα υολογίζονται με αραγοντική ολοκλήρωση ως εξής: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

35 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ / / / d co co ) d(co d i / i co i co / και / d d / ) (co ) ( ) i ( d / / co )co ( = / i co i i co Άρα τελικά η (9) δίνει: i i co υ ω o i i co ω 4υ όου τα και ω δίνονται αό τις σχέσεις () και (4). Άρα η κίνηση της χορδής δίνεται αό την y(, της σχέσης (5), όου οι συντελεστές είναι αυτοί ου ροσδιορίστηκαν αραάνω.

36 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 4 Χορδή μήκους και γραμμικής υκνότητας ρ τείνεται με τάση Τ και έχει το ένα άκρο της στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο, ενώ το άλλο άκρο της είναι ελεύθερο να κινείται με τη βοήθεια αβαρούς δακτυλιδιού άνω σε κάθετη στη χορδή ράβδο, χωρίς τριβές. Τη χρονική στιγμή t= και ενώ όλα τα σημεία της χορδής βρίσκονται στη θέση ισορροίας τους (y(,t=)=), η χορδή διεγείρεται με μια κατανομή ταχυτήτων η οοία αυξάνει ημιτονοειδώς μηδενιζόμενη στο άκρο = και αίρνει μέγιστη τιμή υο στο άλλο άκρο = (όως στο σχήμα). Να βρείτε την αομάκρυνση y(, της χορδής για t>. Λύση υ(,t=) υ ο = = Ακολουθώντας την ίδια ακριβώς διαδικασία του Θέματος και εφαρμόζοντας τις οριακές και τις αρχικές συνθήκες του ροβλήματος ροκύτουν ομοίως οι σχέσεις (5) και (6). Δηλαδή είναι: y (, i i ωt () όου T και ω,,,... () ρ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

37 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ και η συνθήκη της αρχικής ταχύτητας δίνει: ω i ω i... ω i... υ() () Αλλά σύμφωνα με το σχήμα η συνάρτηση υ() έχει τη μορφή: υ() υο i, (4) Συνεώς η () λόγω της (4) και των () δίνει: T i ρ T i... ρ υ ο i Άρα για να ισχύει η αραάνω σχέση για κάθε θα ρέει οι συντελεστές των ομοίων συναρτήσεων στα δύο μέλη να είναι ίσοι. Δηλαδή είναι: T υ ρ υ ρ T ο ο και... Εομένως η αομάκρυνση της χορδής () γίνεται: y(, i i ω t y(, υ ο ρ T i i T t ρ Δηλαδή στην ερίτωση αυτή η χορδή κινείται μόνο με τον θεμελιώδη (=) κανονικό τρόο ταλάντωσης. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

38 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 5 Χαλύβδινη γέφυρα μήκους = m ροσομοιάζει με μη ιδανική χορδή της οοίας η σχέση διασοράς έχει τη μορφή: όου υ ο 4m/ ec και υ ω υο υ σταθερά η οοία εξαρτάται αό την κατασκευή της γέφυρας υ ). (αν η γέφυρα ήταν τελείως ελαστική θα ήταν α) Θεωρείστε ότι τα άκρα της γέφυρας είναι ακλόνητα και βρείτε τα ειτρεόμενα μήκη κύματος των εγκάρσιων στάσιμων κυμάτων ου ανατύσσονται στη γέφυρα. β) Εκφράστε τις ειτρεόμενες συχνότητες εγκάρσιας ταλάντωσης της γέφυρας συναρτήσει των και. υο, υ, γ) Με τη βοήθεια της σχέσης διασοράς υολογίστε, συναρτήσει των οσοστιαία μεταβολή ω ω ο ω ω ω ο ο της συχνότητας ω υο, υ, και, την των κανονικών τρόων ταλάντωσης ως ρος την αντίστοιχη συχνότητα ω ο των κανονικών τρόων ταλάντωσης στην ερίτωση ου η γέφυρα συμεριφερόταν ως ιδανική χορδή ( υ ). δ) Η εριοχή ου θα κατασκευαστεί η γέφυρα είναι σεισμογενής και αρατηρήσεις έδειξαν ότι οι τοικοί σεισμοί έχουν διάρκεια Δt μεγαλύτερη αό,5 ec. Εκτιμήστε κατά ροσέγγιση τι διάστημα τιμών θα ρέει να λαβαίνει η σταθερά σεισμοί να μην ροκαλούν εγκάρσιες ταλαντώσεις της γέφυρας. Λύση υ, ώστε οι τοικοί Α Β ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

39 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ α) Η γενική εξίσωση αομάκρυνσης της γέφυρας είναι η εαλληλία των κανονικών τρόων ταλάντωσης: y(, (A i co ) co(ω t φ () ) όου ω είναι οι συχνότητες των κανονικών τρόων ταλάντωσης και / λ είναι οι κυματάριθμοι των κανονικών τρόων ταλάντωσης. Αφού τα άκρα της γέφυρας είναι ακλόνητα η αομάκρυνση y(, υακούει στις συνοριακές συνθήκες Dirichlet: y(=,= και y(=,=. Δηλαδή: y (, () (A co)co(ω t φ ) co(ω t φ t ) Οότε είναι: y (, A co co(ω t φ () ) Είσης είναι: y(, A ( ) t A i co(ω t φ ) A i i λ λ,,,... () Η σχέση () δίνει τα ειτρεόμενα μήκη κύματος και για =m είναι: λ m, m,,67m,,5m,,4m,... β) Με τη βοήθεια της δοσμένης σχέσης διασοράς και αντικαθιστώντας την τιμή των κυματάριθμων / ου βρέθηκαν αραάνω ροκύτουν οι ειτρεόμενες συχνότητες ως: υ υ υ ω υο υο ω υο (4) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

40 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ γ) Αν η γέφυρα συμεριφερόταν ως ιδανική χορδή θα ήταν υ=, οότε οι συχνότητες των κανονικών τρόων ταλάντωσής της θα ήταν, σύμφωνα με την (4): ωο υο (5) Εομένως η οσοστιαία μεταβολή της συχνότητας ω είναι: ω ω ο ω ω ω ο ο (4),(5) υ ο υ υ ο υ ο υ υ ο ω ω ο υ υ ο δ) Το εύρος Δω της ζώνης συχνοτήτων των αρμονικών συνιστωσών ενός σεισμού με χρονική διάρκεια μεγαλύτερη αό Δt=,5 ec δίνεται ροσεγγιστικά αό τη σχέση: ω ω,8 rad / ec (6) t,5ec Εομένως για να μην ροκαλούνται εγκάρσιες ταλαντώσεις στη γέφυρα αό το σεισμό θα ρέει όλες οι ειτρεόμενες συχνότητες εγκάρσιας ταλάντωσης της γέφυρας να βρίσκονται έξω αό το διάστημα Δω. Εειδή ω ω... αρκεί να ισχύει: ω ω ω (4),(6),8 υ ο υ,8 υ ο υ υ υο,8 υ υ,8 m υ 6 4,8 υ 6,4 υ 8 5 m / ec ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

41 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 6 Μια μη ιδανική χορδή μήκους έχει τα άκρα της ακλόνητα στερεωμένα. Η σχέση διασοράς της χορδής αυτής είναι: 4 ω υο β, όου υο και β σταθερές. Να βρεθούν τα μήκη κύματος των στασίμων κυμάτων ου μορούν να ανατυχθούν στη χορδή και να ροσδιοριστούν οι αντίστοιχες συχνότητες. Λύση Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία του ερωτήματος (α) του Θέματος 5, δηλαδή αίρνοντας τη γενική εξίσωση αομάκρυνσης της χορδής y(, και εφαρμόζοντας τις οριακές συνθήκες Dirichlet στα άκρα της χορδής ροκύτουν οι ειτρεόμενοι κυματάριθμοι ως:,,,... () Ενώ τα ειτρεόμενα μήκη κύματος είναι: () λ,,,... () λ λ Τέλος αντικαθιστώντας τις τιμές ειτρεόμενες συχνότητες ως: της () στη δοσμένη σχέση διασοράς ροκύτουν οι ω υ ο β 4 () ω υ ο β ω υ ο β ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

42 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 7 Μεταλλική γέφυρα μήκους συμεριφέρεται ως μη ιδανική χορδή της οοίας οι εγκάρσιες ταλαντώσεις διαδίδονται κατά μήκος του άξονα με ταχύτητα c και υακούουν στην κυματική εξίσωση: y y c ωοy t α) Υολογίστε τη σχέση διασοράς. β) Τα δύο άκρα της γέφυρας είναι ακλόνητα και κατά τη χρονική στιγμή t= η γέφυρα έχει μηδενική αομάκρυνση αό την κατάσταση ισορροίας της, αλλά υφίσταται λόγω εξωτερικών αιτίων μια στιγμιαία κατανομή ταχυτήτων υ() 4υο. Δείξτε ότι η ταλάντωση της γέφυρας έχει τη μορφή,ω, A. y(, A i i ω t και υολογίστε τα Λύση α) Η μετατόιση y(, για ένα κανονικό τρόο ταλάντωσης της γέφυρας είναι: y(, (Ai co ) co(ωt φ) () Αντικαθιστώντας τη σχέση () στη δοσμένη κυματική εξίσωση της γέφυρας ροκύτει η σχέση διασοράς ως: () y(, t c y(, ω o y(, ω (Ai co ) co(ωt φ) c o (Ai co ) co(ωt φ) ω (Ai co ) co(ωt φ) t ω c ω o ω o c ω () β) Η γενική εξίσωση ταλάντωσης της γέφυρας ροκύτει ως εαλληλία των κανονικών τρόων ταλάντωσής της και είναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

43 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ y (, (A i co ) co(ω t φ () ) Εφαρμόζοντας τις οριακές συνθήκες Dirichlet στα ακλόνητα άκρα της γέφυρας ροκύτουν: () Στο άκρο =: y(, co co(ω t φ ) Δηλαδή η () αλοοιείται στη μορφή: t y(, A i co(ω t φ ) (4) Στο άκρο =: y(, A ( 4) A i co(ω t φ ) t i,,,... (5) Σύμφωνα με τη σχέση διασοράς () οι συχνότητες ω είναι: ω c ω (5) ο ω c ω ο c ω ωο,,,... (6) Είσης σύμφωνα με την αρχική συνθήκη θέσης, εειδή η χορδή αρχικά έχει μηδενική αομάκρυνση στη θέση ισορροίας της, θα ισχύει για κάθε : y(, t ) ( 4) A A i coφ coφ φ Εομένως η (4) γίνεται: y (, A i coω t y(, A i i ωt (7) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

44 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Τέλος εφαρμόζοντας τη συνθήκη της αρχικής ταχύτητας θα υολογιστούν οι συντελεστές. Δηλαδή: A y(, t t (7) υ() Aω i coω t υ() t A ω i 4υ o (8) Κατά τα γνωστά λέον ολλαλασιάζοντας και τα δύο μέλη της εξίσωσης (8) με i και ολοκληρώνοντας αό = μέχρι =, στο αριστερό μέλος ως γνωστόν ειβιώνει μόνο ο όρος με δείκτη και ροκύτει: A ω i d 4υ o i d A ω 4υ ο 4 A υ o ω όου το δεύτερο ολοκλήρωμα υολογίζεται με διαδοχική ολοκλήρωση κατά αράγοντες όως έγινε αναλυτικά στο Θέμα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ