Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία"

Transcript

1

2

3 < < ; (y k )

4

5

6 0

7

8

9

10

11

12 LU n n

13

14

15 M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i a ii r i ; n = 4 f n ; f n (x) := 1 nx; x 2 [0; 1/n]; f n (x) := 0; x 2 (1/n; 1] p n ; n = 20; f (x) := (1 + 25x 2 ) 1 :

16 T n ; n = 0; : : : ; 6 p n ; n = 20; f (x) := (1 + 25x 2 ) 1 ; x y s(x); n = 20 f (x) := (1 + 25x 2 ) 1 [x j 2 ; x j +2 ]: H) y y H) U; U = I 2uu T ; x x i x n = 2 3 i x i

17 x 0 = 3 x 0 = 2 x 0 = 0

18

19 LU LU

20

21 0; 1; 2; 3; : : : ; 9: 3: N ; N 1 ; : : : ; 0; 1 ; 2 ; : : : 0 9 N N 1 : : : 0: 1 2 : : : ( N N 1 : : : 0: 1 2 : : : ) 10 N 10 N + N 1 10 N : N N 1 : : : 0 p; p(x) = N x N + N 1 x N ;

22 x = 10; : 1 2 : : : P 1 k=1 kx k ; x = 1/10 4:130 4:12 9 = 4:12999 : : : : 9 P 1 i=1 10 i = 1: k 0 k k 0 k 9; k 9; ( N N 1 : : : 0: 1 2 : : : ) 10 N 0 x x ˇ 2 ˇ = 2 ˇ = 8 ˇ = 16 ˇ 0; 1; : : : ; ˇ 1 ˇ > 10; 10; : : : ; ˇ 1 k ˇ; ( N : : : 0: 1 2 : : : )ˇ Pk=N kˇk: 1 (100110:11) = (38:75) 10 : ˇ ˇ; i ˇ ˇ; (53473) 8 = = (22331) 10 : (7 + 8

23 (4 + 8 ( ))); x p; p(x) = N x N + N 1 x N ; i; 0 i N; p(x) p(x) = 0 + x( 1 + x( x( N 1 + x N )) ) y N i = N 1; : : : ; 0: y i + x y; y p(x): y i + x y; i; x y; y; x p N N x (0 < x < 1); ˇ; (:11) 2 = = = (:75) 10: ii ˇ: (369) 10 0; 1; 2; : : : (369) 10 = ( : : : 2 1 0) 8 = ( 1 + 8( 2 + ) ): : 8; 0 = 1: (46) 10 ; 1 + 8( 2 + ): 1 46 : 8; 1 = 6:

24 2 + 8( 3 + ): 2 = = 0 (369) 10 = (561) 8 : x ˇ x = (: 1 2 : : : )ˇ = 1ˇ 1 + 2ˇ 2 + : ˇ ˇx = ( 1 : 2 : : : )ˇ: 1 ˇx (: 2 : : : )ˇ (: 2 : : : )ˇ ˇ; 2 x = (:372) 10 1 ; 2 ; : : : (:372) 10 = (: 1 2 : : : ) 2 : 2x = 0:744 1 = 0; 1 := 0: = 1:488 2 = 1; 2 := 0: = 0:976 3 = 0; 3 := 0: = 1:952 4 = 1; 4 := 0: = 1:904 5 = 1; 5 := 0:904 : (:372) 10 = (:01011 : : : ) 2 : x x i i i +j j 1; i+j = i : i + 1 x j; (i+1) ; (i+2) ; : : : ; (i+j ) `; (i++`j ) = (i+) ; = 1; 2; : : : ; j: i = 0; x j = 0 j > i: x ˇ1 ˇ2: x (0 < x < 1)

25 x x = X = n 2 4n+1 n=1 (:1) 10 = (: : : : ) 2 : x; ˇ; x = (:d 1 d 2 : : : )ˇe; d 1 0; d i ˇ e ( :d 1 d 2 : : : ); ˇ: e: (:00598) 10 = : ; (111:001) 2 = : e ˇ: ˇ; t;

26 L U e ˇ L; U L U x 0 x = :d 1 d 2 : : : d t ˇe; :d 1 d 2 : : : d t t ˇ d 1 0 e L e U: M = M (ˇ; t; L; U ) ˇ = 2; t = 4; L = 1 U = 2: M = M (2; 4; 1; 2) : = 1/4 : = 3:75: [ 1 ; 1 ]; [ 1 ; 1] [1; 2] M: [ 1 ; 1 ] 4 2 : ; : ; : ; : : : ; : ; : ; 1 + i ; i = 0; 1; : : : ; 8; [ 1 ; 1] : ; : ; : ; : : : ; : ; : ; 1 + i ; i = 0; 1; : : : ; 8; 2 16 [1; 2] : ; : ; : ; : : : ; : ; : ; 1 + i ; i = 0; 1; : : : ; 8: [2; 3:75] 8 M; : ; : ; : ; : : : ; : ; 2 + i ; i = 0; 1; : : : ; 7: M M (2; 4; 1; 2): ˇ; t; L; U; M d i = ˇ 1; 1 i t; e = U :10 : : : 0ˇL M e: M :1 ˇL M:

27 ˇ = 10; t = 5; 1 (= :110 1 ) 10 5 (= :110 4 ) M; = 1:00001 ˇ; t; L; U M; M t [L; U ]: M M x 0 < jxj < :1 ˇL: x x :1 ˇL :d 1 d 2 : : : d t ˇU ; d i = ˇ 1; i = 1; : : : ; t; (x): (x) x M jx (x)j jx yj y 2 M: x 0 x = 0; (x) = x

28 ˇ t L U ˇ1 t : : : : : ˇ ˇ (x) x ˇ 1 ˇ1 t : x 2 (x) = x; x x 0 ; x 00 x 0 < x < x 00 : j (x) xj 1 2 jx0 x 00 j j (x) xj jxj jx0 x 00 j 2jxj : x x = qˇk; q = :d 1 d 2 : : : d t d t+1 : : : x; x 0 = :d 1 d 2 : : : d t ˇk x 00 = (:d 1 d 2 : : : d t + ˇ t )ˇk; jx 0 x 00 j = ˇk t : 1ˇ :d 1 q < 1; jxj = qˇk ˇk 1 : j (x) xj jxj jx0 x 00 j 2jxj 1 2 ˇ1 t :

29 (x) x t x ˇ = 10; t = 5; x = (: 1 : : : 5 6 : : : ) 10 k : 6 5; 5 (x) = x 00 := (: 1 2 : : : ) 10 k : 6 < 5; (x) = x 0 := (: 1 2 : : : 5)10 k : 6 = 5 i = 0; i 7; x 00 x 0 : x (x) x = (:d 1 d 2 : : : d t d t+1 : : : )ˇk; (x) = (:d 1 d 2 : : : d t )ˇk; d t : 1 2 x 0 :1 ˇL ˇU (x) j (x) xj jxj u; u; 1 ˇ1 t ; u = 2 ˇ1 t : u 1:

30 ? +; ; ; : x; y M; x? y z := (x)? (y) : x; y (x); (y); (x)? (y) 2t (x)? (y) M (): ˇ = 10; t = 5; U = L = 10; () x = 5891:26 y = : z (x) = : ; (y) = : ; (y) +4; (x) + (y) = : : z = (x) + (y) = : : z; x + y x + y (= 5891: ); (x + y) (= : ) (x) + (y) R: M = 1; ˇ = ; = : ( + ˇ) + 1; + (ˇ + ) 1:0001: 1 + x = 1 x = 0: x = (x 2 M ); 1 + x (1 + x) =

31 (1:00004) = 1: x 2 R 0 < x < x 0 < x < ˇ1 t /2 1 + x = 1 x : 1 ˇ1 t /2; 1: ˇ; t " " > 1: " "/2; "? : x; y; x? y (x)? (y) x? y x? y (x) = x(1 + ") " = "(x); j"j u:

32 " = (x) x x " i ; 1 i m; j" i j u < 1; "; j"j u; my (1 + " i ) = (1 + ") m : i=1 := Q m i=1 (1 + " i); (1 u) m (1+u) m : (1 + x) m [ u; u]; " 2 [ u; u] = (1 + ") m ; x y (x) = x(1+" 1 ) (y) = y(1+" 2 ); j" i j u: z := (x) (y) = xy(1 + " 1 )(1 + " 2 )(1 + " 3 ) = xy(1 + ") 3 j"j u; ˇ ˇz xy ˇ = ˇˇ(1 + ") 3 1ˇˇ = ˇˇ3" + 3" 2 + " 3ˇˇ 3u + 4u 2 : xy u 1; u 2 u: u; (x) x(1 + "1 ) z := = = x (y) y(1 + " 2 ) y 1 + " " 2 (1 + " 3 )

33 j" i j u: 1/(1 + " 2 ) = 1 + ı ı = " 2 /(1 + " 2 ); jıj u/(1 u): j"j u ˇ ˇz x/y ˇ = ˇˇ(1 + ") 2 (1 + ı) 1ˇˇ = ˇˇ2" + ı + " 2 + 2"ı + ı" 2ˇˇ 3u + ; x/y u 2 ; z := (x) + (y) = x(1 + " 1 ) + y(1 + " 2 ) = x(1 + " 1 )(1 + " 3 ) + y(1 + " 2 )(1 + " 3 ) = x(1 + ") 2 + y(1 + ı) 2 ; j"j; jıj u: z = (x + y) + 2("x + ıy) + " 2 x + ı 2 y u 2 ; z (x + y) + 2("x + ıy): ˇ ˇz (x + y) x + y ˇ + ıy ˇ 2ˇ"x ˇ 2u jxj + jyj : x + y jx + yj x; y jxj + jyj = jx + yj 2u: x; y x y " u; ı u; 2uˇˇ(x y)/(x + y)ˇˇ; 2u x y: x = : y = : ; x + y = : : ˇ = 10; t = 5; U = L = 10; z := (x) + (y) = (:45143 :45116) = :00027 = : :

34 ˇ (x + y) ˇz ˇ ; x + y 88 2u = 10 4 z = : ; 4 5 :451 x; y; (x); (y) (x) + (y) z: x = ; y = x+y = 1000 z = (x)+ (y) = 0 t = 10 x y z x y z = (x + y) = (x + y)(1 + "); ˇ ˇz (x + y) x + y ˇ = j"j u: ˇ = 10; t = 5; x = :12346; y = :12345: z = (x) + (y) = (x + y) = x + y = 10 5

35 ˇ = 10; t = 10 p 7892 p 7891 : p p 7892 = : ; p 7891 = : : : ; p x p y = x y p x + p y ; p 7892 p 7891 = 1 p p 7891 = : f (x) = x x jxj x!0 ( x)/x = 1; x = x (x 3 /6) + "(x); j"(x)j jxj 5 /120; f (x) x 3 /6 jxj 5 /120: x 3 /6

36 S n = 1 + nx k=1 1 k 2 + k : 1 k 2 + k = 1 k 1 k + 1 ; S n = n 1 = 2 1 n + 1 n + 1 : S 9 = 1:9 S 99 = 1:99 S 999 = 1:999 S 9999 = 1:9999: S n S 0 = 1; S k = S k 1 + S 1 1 ; k = 1; : : : ; n; k(k + 1) k = 1; 2; : : : ; n: 1 S S + k(k + 1) :

37 n zs n 9 1: : : : ˇ = 10; t = 10 zs n S n = T n T 0 = 1 n(n + 1) ; T k = T k 1 + T n = T n 1 + 1; 1 ; k = 1; : : : ; n 1; (n k)(n k + 1) zt n n zt n 9 1: : : : n N i; 1 i N; i

38 s N = P N i=1 i; s 1 = 1; s k = s k 1 + k; k = 2; 3; : : : ; N; s k ; k = 1; 2; : : : ; N: i s k s 1 = 1; s k = ( s k 1 + k); k = 2; 3; : : : ; N: " i ; j" i j u; s 1 = 1 s 2 = ( s 1 + 2) = ( s 1 + 2)(1 + " 1 ) = 1(1 + " 1 ) + 2(1 + " 1 ) s 3 = ( s 2 + 3) = ( s 2 + 3)(1 + " 2 ) = 1(1 + " 1 )(1 + " 2 ) + 2(1 + " 1 )(1 + " 2 ) + 3(1 + " 2 ) s 4 = ( s 3 + 4) = ( s 3 + 4)(1 + " 3 ) = 1(1 + " 1 )(1 + " 2 )(1 + " 3 ) + 2(1 + " 1 )(1 + " 2 )(1 + " 3 ) : + 3(1 + " 2 )(1 + " 3 ) + 4(1 + " 3 ) s 4 ; jı i j u s 4 = 1(1 + ı 1 ) 3 + 2(1 + ı 1 ) 3 + 3(1 + ı 2 ) 2 + 4(1 + ı 3 ): j"j u (1+") k = 1+k"+ O(k 2 u 2 ); k = 2; 3: u 1 s 4 1(1 + 3ı 1 ) + 2(1 + 3ı 1 ) + 3(1 + 2ı 2 ) + 4(1 + ı 3 ) = s 4 + (3ı 1 ) 1 + (3ı 1 ) 2 + (2ı 2 ) 3 + ı 3 4; i 1 > 2 > 3 > ;

39 1 < 2 < 3 < ; ı i : s N ; [ u; u] ; " 1 ; " 2 2 [ u; u]; " 3 2 [ u; u] " 1 + " 2 = jj + jj " 3 : x = " 1 + " 2 ; jxj jj + jj u: " 3 := x/ jj + jj ; j" 3 j u: s 1 = 1: jıj; j" 2 j u; s 2 = ( s 1 + 2)(1 + ı) = ( 1 + 2)(1 + ı) = s 2 + s 2 ı = s 2 + js 2 j" 2 : jı 0 j u; s 3 = ( s 2 + 3)(1 + ı 0 ) = s 2 + js 2 j" (1 + ı 0 ) = s 3 + js 2 j" 2 (1 + ı 0 ) s 3 + js 2 j" 2 + s 3 ı 0 ; js 2 j " 2 ı 0 = O(u 2 ): " 3 2 [ u; u] s 3 s 3 + js 2 j + js 3 j " 3 O(u 2 ): s N s N + js 2 j + + js N j " N j" N j u; O(u 2 ): N = js 2 j + js 3 j + + js N j;

40 ˇ ˇ s N s N N ˇˇˇ / s N js N j u =: N u; s N u N = N /js N j; k N = (N 1) 1 + (N 1) 2 + (N 2) N s N i zs n zt n N = n + 1; 1 = 1; k = s N = S n = 2 1/(n + 1); N = 2n n: Η προεπισκόπηση των επόμενων σελίδων δεν είναι διαθέσιμη m = 1 ; k = 2; : : : ; N; k(k 1) n + 1 Z m 1 2n n 1 dx m > 0; x m 2; m < m < m 1 ;

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

2. Επίλυση μη Γραμμικών Εξισώσεων

2. Επίλυση μη Γραμμικών Εξισώσεων 2. Επίλυση μη Γραμμικών Εξισώσεων Ασκήσεις 2.4 Έστω (x n ) n2n η ακολουθία των προσεγγίσεων, την οποία δίνει η μέθοδος της διχοτόμησης για την εξίσωση f (x) = 0 με f : [ 1; p 2]! R; f (x) := x 3 3 2 x2

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

K K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. 14 εκεµβρίου Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6. Παρεµβολή 14 εκεµβρίου / 28

Αριθµητική Ανάλυση. 14 εκεµβρίου Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6. Παρεµβολή 14 εκεµβρίου / 28 Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 1 / 28 Τα πολυώνυµα Chebyshev Αν η f (n+1) (x) είναι συνεχής, τότε υπάρχει ένας αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη)

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) (L) Θέμα 1 α) i Ένα σύνολο A X λέγεται γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ

Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ . Μέθοδος Frobenius Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ d w Γενική µορφή της γραµµικής.ε. ης τάξης: dz + P (z)dw + Q(z)w = dz Μορφή της.ε. όταν το σηµείο z = z είναι κανονικό ανώµαλο σηµείο d w dz

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Καηηγορημαηικός Λογιζμός

ΔΙΑΚΡΙΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Καηηγορημαηικός Λογιζμός ΔΙΑΚΡΙΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Καηηγορημαηικός Λογιζμός Μοπθέρ Θεωπημάηων Υπάξρεη έλα αληηθείκελν ώζηε λα ηζρύεη θάηη. Υπαξμηαθόο πνζνδείθηεο Γηα θάζε αληηθείκελν ηζρύεη όηη θάηη. Καζνιηθόο πνζνδείθηεο 2 Καηηγοπήμαηα

Διαβάστε περισσότερα

max f( x,..., x ) st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0

max f( x,..., x ) st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0 Μαθηματικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης - Εστιάζουμε στο ακόλουθο πρόβλημα μεγιστοποίησης μιας αντικειμενικής συνάρτησης f υπό ένα σύνολο ανισοτικών περιορισμών: max f( x,..., x ) { x,..., x } st. : g ( x,...,

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών

Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών Ν. Καδιανάκη Αν. Καθηγητή Ε.Μ.Π. Σημειώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών ΑΘΗΝΑ Απαγορεύεται η ανατύπωση, αναδημοσίευση, αντιγραφή όλου ή μέρους του παρόντος βιβλίου, η αποθήκευση σε ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Πρώτοι αριθµοί και τα Βασικά Θεωρήµατά τους Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 1 Πρωτοι αριθµοι και τα Βασικα Θεωρηµατα τους Στη µνήµη

Διαβάστε περισσότερα

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 ) Εστω X : Ω R d τυχαίο διάνυσμα με ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X Εχουμε δει ότι η γνώση της κατανομής καθεμιάς από τις X, X,, X d δεν αρκεί για να προσδιορίσουμε την κατανομή του X, αφού δεν περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 63 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo

Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ημερομηνία έκδοσης καταλόγου: 6/11/2011 Κωδικός Προϊόντος Είδος Ανταλλακτικού Μάρκα Μοντέλο F000000884 Inverter Lenovo 3000 C200 F000000885 Inverter Lenovo 3000 N100 (0689-

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2016/ringtheory2016.html 15 Φεβρουαρίου 2017 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτική Φωτογραμμετρία

Αναλυτική Φωτογραμμετρία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αναλυτική Φωτογραμμετρία Ενότητα # 3: Μαθηματικό υπόβαθρο Αναλυτικής Φωτογραμμετρίας Καθηγήτρια Όλγα Γεωργούλα Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

x(n) h(n) = h(n) x(n)

x(n) h(n) = h(n) x(n) ΣΥΝΕΛΙΞΗ Ορισμός: H συνέλιξη δύο σημάτων x(n) και h(n) είναι ένα τρίτο σήμα y(n) που ορίζεται ως yn ( ) = x(n) h(n) = x(k)h( n k) k= M yn ( ) = x(n) h(n) = lim x(k)h(n k) M (M+ ) k= M Tο κάθε δείγμα του

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν.

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Εκπαιδευτικός Οργανισµός ΒΙΤΑΛΗ Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 10 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Περιεχόμενα 1 Γενικά. 1 1.1 Μερικές διαφορικές εξισώσεις............................ 1 1.2 Διαφορικοί τελεστές................................. 2 1.3

Διαβάστε περισσότερα

V r,k j F k m N k+1 N k N k+1 H j n = 7 n = 16 Ṽ r ñ,ñ j Ṽ Ṽ j x / Ṽ W 2r V r D N T T 2r 2r N k F k N 2r Ω R 2 n Ω I n = { N: n} n N R 2 x R 2, I n Ω R 2 u R 2, I n x k+1 = x k + u k, u, x R 2,

Διαβάστε περισσότερα

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A ΚEΦΑΛΑΙΟ Πίνακες Εστω και είναι το σώµα των πραγµατικών και των µιγαδικών αριθµών αντιστοίχως Στο εξής όταν γράφουµε F θα εννοούµε είτε το είτε το Ορισµός Eστω F = ή και m, Κάθε ορθογώνια διάταξη m A F

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 8 Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Περιεχόμενα 8 Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Περιεχόμενα 8 Μέθοδοι Βελτιστοποίησης 1 8.1 Βέλτιστη σχεδίαση συστημάτων αυτόματης ρύθμισης.......... 1 8.2 Ολοκληρωτικά κριτήρια........................... 5 8.2.1 Το γραμμικό βέλτιστο........................

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

A = B = Ψ(1) = Ψ(0) = γ) Αφαιρώντας τη δεύτερη σχέση από την πρώτη έχουμε

A = B = Ψ(1) = Ψ(0) = γ) Αφαιρώντας τη δεύτερη σχέση από την πρώτη έχουμε 1 Prìblhma 2 και α Εχουμε ότι a 11 =1 a 21 = a 12 = 1 a 22 = b 11 = b 21 = b 12 = b 22 =1 A = B = ( 1 1 ( και επομένως det A =detb =, οπότε οι συνθήκες είναι αμιγείς. β Εχουμε ότι ( ( 1 2 1 A =, B = 1

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Μαθηματική προτυποποίηση στις σύγχρονες επιστήμες και την

Διαβάστε περισσότερα

AkoloujÐec sunart sewn A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

AkoloujÐec sunart sewn A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA AkoloujÐec sunrt sewn A. N. Ginnkìpouloc, Tm m Sttistik c OPA Eisgwg Στη διάλεξη αυτή θα μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης ακολουθίων συναρτήσεων και συγκεκριμένα την έννοια της ομοιόμορφης σύγκλισης.

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. και ακτίνα 1 3. Σ Λ

ΚΥΚΛΟΣ. και ακτίνα 1 3. Σ Λ 1 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc 1. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά να κυκλώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ

Διαβάστε περισσότερα

Linear Equations Direct Methods

Linear Equations Direct Methods Lier Equtios Direct ethods Πέμπτη, Μαΐου 5 :8 πμ 5.5. Σελίδα 5.5. Σελίδα 5.5. Σελίδα 3 5.5. Σελίδα 4 5.5. Σελίδα 5 Lier Equtios - Direct ethods Δευτέρα, 5 Μαΐου 5 5:5 μμ 5.5.5 Σελίδα 5.5.5 Σελίδα 5.5.5

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Λουκά. Εργαστήριο Matlab Πολυώνυμα - Παρεμβολή. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών.

Μαρία Λουκά. Εργαστήριο Matlab Πολυώνυμα - Παρεμβολή. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών. Μαρία Λουκά Εργαστήριο Matlab Πολυώνυμα - Παρεμβολή Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών. Στη MATLAB τα πολυώνυμα αναπαριστώνται από πίνακες που περιέχουν τους συντελεστές τους σε φθίνουσα διάταξη. Για

Διαβάστε περισσότερα

!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%' " (&! #!$"/001

!#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%'  (&! #!$/001 !"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. ') '#*#(& )!#)! ##%' " (&! #!$"/001 ')!' &'# 2' '#)!( 3(&/004&' 5#(& /006 # '#)! 7!+8 8 8 #'%# ( #'## +,-'!$%(' & ('##$%('9&#' & ('##$%('9')

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή,

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ

Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 27/3/13 Μέθοδος ελαχίστου υπολοίπου (Minimum residual) Θέµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ = U1SV 1 V 2 A = [U1 U2] S = diag(σ 1,...,σ r ) R r r. και σ 1 σ r > 0. Ειδικότερα,

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ = U1SV 1 V 2 A = [U1 U2] S = diag(σ 1,...,σ r ) R r r. και σ 1 σ r > 0. Ειδικότερα, ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 22/5/2012 ιάσπαση SVD ιάσπαση SVD Θεώρηµα Εστω το µητρώο A R m n τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6 η : Μερική Παράγωγος ΙΙ Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πορώδη µέσα - Εξισώσεις ροής

Πορώδη µέσα - Εξισώσεις ροής ΝΟΜΟΣ DARCY Πορώδη µέσα - Εξισώσεις ροής (1) Αρχή διατήρησης µάζας - Εξίσωση συνέχειας (2) Εξισώσεις κίνησης (εξισώσεις Navier-Stokes) Ροή συνήθως στρωτή, µε πολύµικρό αριθµό Reynolds =έρπουσα ροή, εποµένως:

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα στην επίλυση

Ειδικά θέματα στην επίλυση Ενότητα 5: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες Ειδικά Θέματα Αριθμητικής Παραγώγισης Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Αλγεβρικών Εξισώσεων Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ειδικά θέματα

Διαβάστε περισσότερα

x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2

x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2 ¾ λ¹ ÐÓÒ Ó ÙÖ ½ ¼ º õ ¹ ¹ ÙÖ ¾ ÙÖ º ÃÐ ¹ ½ ¼º ¹ Ð Ñ ÐÙÐÙ µ λ¹ λ¹ ÐÙÐÙ µº λ¹ º ý ½ ¼ ø λ¹ ÃÐ º λ¹ ÌÙÖ Ò ÌÙÖ º ÌÙÖ Ò ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ ÇÊÌÊ Æ Ä Çĺ ý λ¹ ¹ º Ö ÙØ ÓÒ Ñ Ò µ Ø ¹ ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö µ ¹ λ¹ º λ¹ ÙÒØ ÓÒ Ð

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 16 εκεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ενδιαφέρον τόσο από ϑεωρητική άποψη, όσο και από άποψη εφαρµογών, παρουσιάζει και η από κοινού µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικοί μετασχηματιμοί εικόνας

Γεωμετρικοί μετασχηματιμοί εικόνας Γεωμετρικοί μετασχηματιμοί εικόνας Μάθημα: Υπολογιστική Οραση 1 Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί Ορισμός σημείου στονευκλείδιοχώρο: p=[x p,y p,z p ] T, όπου x p, y p, z p πραγματικοί αριθμοί. ΕστωΕ 3 τοσύνολοτωνp.

Διαβάστε περισσότερα

Σειρές Fourier και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών

Σειρές Fourier και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών Κεφάλαιο 9 Σειρές Fourier και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε αναπτύγματα συναρτήσεων σε σειρές Fourier και την εφαρμογή τους στην επίλυση προβλημάτων συνοριακακών τιμών (ΠΣΤ)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 29 ΙΟΥΛΙΟΥ 2006 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 29 ΙΟΥΛΙΟΥ 2006 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΟΓΙΚΗ - ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Εντολές επανάληψης Εντολές επανάληψης while for do-while ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Παράδειγμα #1 Εντολή while

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Εντολές επανάληψης Εντολές επανάληψης while for do-while ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Παράδειγμα #1 Εντολή while ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Εντολές επανάληψης Εντολές επανάληψης Στη C++ υπάρχουν 3 διαφορετικές εντολές επανάληψης: while for do-while 1 2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Εντολή while Παράδειγμα #1 Κατασκευάστε πρόγραμμα που για

Διαβάστε περισσότερα

A B. (f; B) = f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + 0.x k x n f(x 2 ) = a 12 x 1 + a k2 x k + 0.x k x n

A B. (f; B) = f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + 0.x k x n f(x 2 ) = a 12 x 1 + a k2 x k + 0.x k x n ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ III ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN 1 Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση Εστω A = ker(f i ) και B = ker(f i+1 ) Δείξτε ότι (i) A B και (ii) f(b) A Αποδ: (i) Εστω x ker(f i ) Τότε f i (x)

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωτικός Λογισμός

Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Ορισμένο Ολοκλήρωμα Αόριστο Ολοκλήρωμα o Ιδιότητες Αόριστου Ολοκληρώματος o Βασικά Αόριστα ολοκληρώματα o Τεχνικές Ολοκλήρωσης o Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Εφαρμογές Ολοκληρώματος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Η Κβαντική θεωρία του φωτός

Κεφάλαιο 1. Η Κβαντική θεωρία του φωτός ΤΕΤΥ Σύγχρονη Φυσική Κεφ. 1-1 Κεφάλαιο 1. Η Κβαντική θεωρία του φωτός Εδάφια: 1.a. Kλασική θεωρία - Ηλεκτρομαγνητικά κύματα 1.b. Ακτινοβολία μέλανος σώματος 1.c. Νόμος του Planck 1.d. Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ

Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 6/3/13 Σταθµισµένη νόρµα (Νόρµα ενέργειας) Οταν ένα µητρώο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων

1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων 1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων Εξίσωση πρώτης τάξης µε συνθήκες αρχικών τιµών ΠΡΟΒΛΗΜΑ : Να ευρεθεί συνάρτηση y = y(x) η οποία για x [a, b] ικανοποιεί την εξίσωση y = f(x, y) υπό την αρχική συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Eisagwg sthn Anˆlush II

Eisagwg sthn Anˆlush II Eisgwg sthn Anˆlush II Μ. Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Φθινόπωρο 006 Prìlogoc Οι σημειώσεις αυτές διαφέρουν από τις παλιότερες κατά πολύ.. Εχει προστεθεί ύλη και έχουν γίνει πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ Μια συνάρτηση f : A B C αντιστοιχίζει σε κάθε ζεύγος (a,b) (με Γράφουμε τότε a A και b B ) ένα στοιχείο c C f(a,b)c Η συνάρτηση αυτή μπορεί να χαρακτηριστεί και

Διαβάστε περισσότερα

2

2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 Χειµερινό Εξάµηνο Ρόδος, Νοέµβριος 2014 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Ι ΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθηµα: ΥΓ00003 "ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις

Διαβάστε περισσότερα

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 1 Εισαγωγή Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 3 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Ζήτηµα 1ο Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 Α.1. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α 1 και διαφορά ω. (Μοάδες 3) Α.. Να γράψετε τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογή της γενικής λύσης

Εφαρμογή της γενικής λύσης Εφαρμογή της γενικής λύσης Να βρεθούν οι χαρακτηριστικές συχνότητες του συστήματος ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 1 x 1 x m 1 m k 1 k 1 k 3 Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι: U = 1 kx 1 + 1 k 1 ( x x 1 ) + 1 kx

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Επιμέλεια: ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΥΧΝΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Άσκηση 1 Δίνοντας το ολοκλήρωμα στη Mathematica παίρνουμε την τιμή του: 0 40 100 140558 z 2z 15

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ε. ΣΤΑΥΡΟΥΛΑΚΗΣ ΜΑΡΙΑ Ε. ΣΤΑΥΡΟΥΛΑΚΗ ΑΛΙΚΗ Δ. ΜΟΥΡΑΝΤΟΒΑ

ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ε. ΣΤΑΥΡΟΥΛΑΚΗΣ ΜΑΡΙΑ Ε. ΣΤΑΥΡΟΥΛΑΚΗ ΑΛΙΚΗ Δ. ΜΟΥΡΑΝΤΟΒΑ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ε. ΣΤΑΥΡΟΥΛΑΚΗΣ ΜΑΡΙΑ Ε. ΣΤΑΥΡΟΥΛΑΚΗ ΑΛΙΚΗ Δ. ΜΟΥΡΑΝΤΟΒΑ Υπολογιστική Μηχανική Συγγραφή Γεώργιος Ε. Σταυρουλάκης Μαρία Ε. Σταυρουλάκης Αλίκη Δ. Μουράντοβα Κριτικός αναγνώστης Ευριπίδης Μυστακίδης

Διαβάστε περισσότερα

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) =

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) = ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηματική Ανάλυση Ι ΟΜΑΔΑ: Α 8 Μαρτίου, 0 Θέμα. (αʹ) Εστω A, B μη κενά σύνολα πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε x y, για

Διαβάστε περισσότερα

Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι

Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι Ανάλυση ροής φορτίου Υπεύθυνος μαθήματος thpapad@ee.duth.gr Τομέας Ενεργειακών Συστημάτων Εργαστήριο ΣΗΕ Περιεχόμενα Μαθήματος Γενικά Διαμόρφωση μαθηματικού μοντέλου Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

III.5 Μέθοδοι Παραγοντοποίησης

III.5 Μέθοδοι Παραγοντοποίησης III.5 Μέθοδοι Παραγοντοποίησης III.5. Μέθοδος διάσπασης LU Η µέθοδος πραγµατοποίησης η διάσπασης διάσπασης ενός πίνακα Α στη µορφή LU αναφέρεται στο πρόβληµα της A=LU (III.5.) Όπου Ο L είναι κάτω τριγωνικός

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / 009-0 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα Έστω η γραμμική απεικόνιση T : με (α) Βρείτε τον πίνακα της T, I Ως προς την κανονική βάση

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος X X X ), όπου X ~ N (,) και όλα τα X μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε ( ) (,, ) (, )

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr - f= f= f t+ 0 ) max

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ &ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ &ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ &ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Πολυπλοκότητα αλγορίθμων πολυωνυμικής παρεμβολής συνάρτησης μιας μεταβλητής Πτυχιακή εργασία του Λυπίτκα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου ) Δίνεται ο πίνακας Α= 5) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου ) Δίνεται ο πίνακας Α= 5) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 1998 Α 4 1 4) Δίνεται ο πίνακας Α= 0 1 0 0 3 α) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. Είναι ο πίνακας Α διαγωνοποιήσιμος ; β) Να βρεθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. 1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος

Διαβάστε περισσότερα

ιαφορικές Εξισώσεις 1

ιαφορικές Εξισώσεις 1 Κεφάλαιο 6 ιαφορικές Εξισώσεις 1 6.1 Γενικά Για τη επίλυση των διαφόρων προβληµάτων υπάρχουν γενικά δύο τύποι µαθηµατικών µοντέλων. 1. Στατικά µοντέλα, π.χ. το κυκλοφοριακό σύστηµα µιας πόλης, ελαχιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ιστοσελίδα:

Ιστοσελίδα: ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ÌÀÄ ½ Ð Ü Ιστοσελίδα: www.telecom.tuc.gr/courses/tel412 ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ¼ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø Συνελικτικοι Κωδικες (n, k) L blocks ½ ¾ k ½ ¾ k ½ ¾ k [ ] g1 G T kl

Διαβάστε περισσότερα

l dmin dmin p k δ i = m p (p l ) p l µ p BCH µ WB t (q+) l l i m h(x) A B C = A B k SNR rec. db k SNR rec. db SNR rec. db p = p = p = SNR rec. db p = k = q = t k σ p(k;{a i} n i= ) n σ p(n;{a i} n i= )

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Θεωρία Οµάδων Συµµετρίας

Εισαγωγή στην Θεωρία Οµάδων Συµµετρίας Εισαγωγή στην Θεωρία Οµάδων Συµµετρίας Τι µας χρειάζεται; Προβλέπει τη φασµατοσκοπία και τη συµπεριφορά ατόµων και µορίων Πράξεις Συµµετρίας: κινήσεις του µορίου κατά τις οποίες η τελική γεωµετρία του

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ. Τι είναι οι πίνακες; Μονοδιάστατοι πίνακες. Απλές μεταβλητές: Κεντρική μνήμη

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ. Τι είναι οι πίνακες; Μονοδιάστατοι πίνακες. Απλές μεταβλητές: Κεντρική μνήμη ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Μονοδιάστατοι πίνακες Τι είναι οι πίνακες; Απλές μεταβλητές: Κεντρική μνήμη 32 10 0001 a e z Ονόματα μεταβλητών 1 2 Τι είναι οι πίνακες; Πίνακες: Κεντρική μνήμη x Όνομα πίνακα 3 Τι είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014 ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ Ιωάννινα 0 Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5. Νόρμες.................................... 6. Υπαρξη και μονοσήμαντο.......................... 8 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Περίληψη Αλγόριθµοι τύπου Brute-Force Παραδείγµατα Αναζήτησης Ταξινόµησης Πλησιέστερα σηµεία Convex hull Βελτιστοποίηση Knapsack problem Προβλήµατα Ανάθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Άσκηση 1 η 1 η Εργασία ΔΙΠ50 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών

Διαβάστε περισσότερα