ii

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ Παθητικότητα και Ευστάθεια Εισόδου Καταστάσεων, με Εφαρμογή σε Ρομποτικούς Βραχίονες Μεταπτυχιακή Διπλωματική Εργασία Μόσχος Ιωάννης Επιβλέπων: Καραμπετάκης Νικόλαος Καθηγητής Α.Π.Θ. ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 017 i

2 ii

3 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ Παθητικότητα και Ευστάθεια Εισόδου Καταστάσεων, με Εφαρμογή σε Ρομποτικούς Βραχίονες Μεταπτυχιακή Διπλωματική Εργασία Μόσχος Ιωάννης Επιβλέπων: Καραμπετάκης Νικόλαος Καθηγητής Α.Π.Θ. Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την Ζ. Δουλγέρη Ν. Καραμπετάκης Γ. Ροβιθάκης Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Καθηγητής Α.Π.Θ. ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 017 iii

4 ... Μόσχος Ιωάννης Πτυχιούχος Μαθηματικός Α.Π.Θ. Copyright Μόσχος Ιωάννης, 017 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη φύση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Α.Π.Θ. iv

5 Περίληψη Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε τις ιδιότητες της απώλειας ενέργειας (dissipativity), της παθητικότητας και ευστάθειας εισόδου καταστάσεων καθώς και της ασυμπτωτικής ευστάθειας σε μη γραμμικά συστήματα, με εφαρμογή σε ρομποτικούς βραχίονες και στον έλεγχο τους από γραμμικούς PD ελεγκτές και μη γραμμικές μορφές του. Πρώτον, γίνεται μια σύντομη αναφορά των δυναμικών εξισώσεων Euler-Lagrange και της ευστάθειας Lyapunov για τους ρομποτικούς βραχίονες. Στη συνέχεια, παρουσ- ιάζουμε τις έννοιες των συστημάτων με απώλειες ενέργειας και των παθητικών συστημάτων και την σύνδεση που έχουν με την ευστάθεια Lyapunov. Δεύτερον, προχωράμε στην μελέτη της ευστάθειας εισόδου καταστάσεων για ρομποτικούς βραχίονες η οποία περιγράφεται από διαφορίσιμες ανισότητες απώλειας ενέργειας. Εισάγουμε την έννοια της ευστάθειας εισόδου καταστάσεων και τις ειδικές μορφές της ευστάθειας εξόδου και εισόδου-εξόδου καταστάσεων για μη γραμμικά συστήματα. Επιπλέον, παραθέτουμε την ολοκληρωτική ευστάθεια εισόδου καταστάσεων, καθώς μας επιτρέπει να εφαρμόσουμε σε ασταθή συστήματα εισόδους που τα καθιστούν ευσταθή, δίνοντας παραδείγματα με ρομποτικούς βραχίονες. Τέλος, εξετάζουμε την σύνδεση της ευστάθειας Lyapunov και παθητικότητας με την ευστάθεια εισόδου καταστάσεων για ρομποτικούς βραχίονες. Λέξεις κλειδιά: Ελεγχος Βραχίονα, Ευστάθεια κατά Lyapunov, PD Ελεγκτής, Σύστημα με Απώλεια Ενέργειας, Παθητικό Σύστημα, Ευστάθεια Εισόδου Καταστάσ- εων, Ευστάθεια Εισόδου-Εξόδου Καταστάσεων, Ολοκληρωτική Ευστάθεια Εισόδου Καταστάσεων, Σχέση Παθητικότητας και Ολοκληρωτικής Ευστάθειας Εισόδου Καταστάσεων, Συναρτήσεις Σύγκρισης. v

6 Abstract In the present thesis we examine the properties of dissipativity, passivity and inputto-state stability, as well as the asymptotic stability in nonlinear systems, with application in robot manipulators and their control using the linear PD controller and some nonlinear forms of the controller. Firstly, we briefly analyze the dynamical equations Euler-Lagrange and Lyapunov stability for robot manipulators. Afterwards, we present the concept of dissipative and passive systems and their connection with Lyapunov stability. Secondly, we proceed in the study of input-to-state stability for robot manipulators, which is described with differential dissipation inequalities. We introduce the concept of input-to-state stability and the special cases of input-output to state and output-to-state stability for nonlinear systems. In addition, we state the integral input-to-state stability, which allows us to apply inputs in unstable systems to render them stable, with examples in robot manipulators. Finally, we exam the connection between the Lyapunov stability and input-to-state stability for robot manipulators. Key Words: Control of Robot Manipulators, Lyapunov Stability, Dissipative Systems, PD Controller, Passive Systems, Input-to-State Stability, Input-Output to State Stability, Integral Input-to-State Stability, Connection Between Passivity and Integral Input to State Stability, Comparison Functions. vi

7 Contents Abstract v 1. Προαπαιτούμενα Δυναμική εξίσωση βραχίονα Σημεία ισορροπίας Σημεία ισορροπίας βραχίονα Ευστάθεια συστήματος Ευστάθεια σημείου ισορροπίας Ευστάθεια βραχίονα με PD ελεγκτή Ασυμπτωτική ευστάθεια σημείου ισορροπίας Ασυμπτωτική ευστάθεια βραχίονα με PD ελεγκτή Σύνοψη Συστήματα με απώλεια ενέργειας και παθητικά συστήματα Βασικοί ορισμοί για συστήματα με απώλειες ενέργειας Ειδικές μορφές ανισοτήτων απώλειας ενέργειας QSR συστήματα με απώλειας ενέργειας Ευστάθεια σε συστήματα με απώλεια ενέργειας Βραχίονας απώλειας ενέργειας με PD ελεγκτή Παθητικότητα Μορφές παθητικότητας Διασυνδεδεμένα παθητικά συστήματα Ευστάθεια παθητικών συστημάτων Παθητικότητα βραχίονα με PD ελεγκτή Αυστηρή Παθητικότητα βραχίονα με μη γραμμικό PD ελεγκτή Σύνοψη Ευστάθεια εισόδου καταστάσεων Ορισμός ευστάθειας εισόδου καταστάσεων Χαρακτηρισμοί ISS-Lyapunov συνάρτησης Ευστάθεια εισόδου καταστάσεων βραχίονα με PD ελεγκτή Ευστάθεια εισόδου-εξόδου καταστάσεων Ορισμός ευστάθειας εξόδου καταστάσεων Ευστάθεια εξόδου καταστάσεων βραχίονα με PD ελεγκτή Ορισμός ευστάθειας εισόδου-εξόδου καταστάσεων Ευστάθεια εισόδου-εξόδου καταστάσεων βραχίονα με PD ελεγκτή. 55 i

8 Contents 3.3. Ικανές συνθήκες για ευστάθεια εισόδου καταστάσεων Quassi ISS-Lyapunov συνάρτηση Quassi ISS Lyapunov συνάρτηση για βραχίονα με περιστροφικές αρθρώσεις και PD ελεγκτή Θεωρήματα ελέγχου ευστάθειας εισόδου καταστάσεων Ευστάθεια εισόδου καταστάσεων βραχίονα με PD ελεγκτή, χωρίς εύρεση ISS Lyapunov συνάρτησης Ολοκληρωτική ευστάθεια εισόδου καταστάσεων Ορισμός ολοκληρωτικής ευστάθειας εισόδου καταστάσεων Παρατηρήσεις σε σχετικές έννοιες Ολοκληρωτική ευστάθεια εισόδου καταστάσεων βραχίονα με PD ελεγκτή Πίνακας σχέσεων ευστάθειας εισόδου καταστάσεων Σύνοψη Σχέσεις διαφορίσιμων ανισοτήτων απώλειας ενέργειας Σχέση παθητικότητας και ολοκληρωτικής ευστάθειας εισόδου κατασ- τάσεων Ολοκληρωτική ευστάθεια εισόδου καταστάσεων για παθητικούς βραχίονες Σχέση αυστηρής παθητικότητας και Ολοκληρωτικής ευστάθειας εισόδου καταστάσεων Ολοκληρωτική ευστάθεια εισόδου καταστάσεων σε αυστηρά παθητικό βραχίονα με μη γραμμικό PD Πίνακας σχέσεων παθητικότητας και ευστάθειας εισόδου καταστάσεων Σύνοψη A. Μαθηματικό Υπόβαθρο 91 A.1. Βασικές Εννοιες A.. Συναρτήσεις Σύγκρισης B. Αποδείξεις 103 B.1. Αποδείξεις Κεφαλαίου B.. Αποδείξεις Κεφαλαίου B.3. Αποδείξεις Κεφαλαίου C. Προγράμματα προσομοίωσης 15 C.1. Bραχίονας δυο αρθρώσεων με γραμμικό PD ελεγκτή C.. Βραχίονας δυο αρθρώσεων με μη γραμμικό PD ελεγκτή C.3. Bραχίονας δυο περιστροφικών αρθρώσεων με μη γραμμικό PD ελεγκτή 131 Bibliography 135 ii

9 1. Προαπαιτούμενα Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζεται η δυναμική των βραχιόνων που να χρησιμοποιηθεί και η ευστάθεια υπό την έννοια Lyapunov. Το παρόν κεφάλαιο μπορεί να χωριστεί σε δυο τμήματα, το πρώτο περιγράφει την Euler-Langragre εξίσωση που θα έχουν οι ρομποτικοί βραχίονες, η οποία είναι η συνηθέστερη στη βιβλιογραφία, ενώ στο δεύτερο τμήμα παρουσιάζεται η ευστάθεια Lyapunov και η εφαρμογή της σε ρομποτικούς βραχίονες Δυναμική εξίσωση βραχίονα Το πρώτο βήμα στην ανάπτυξη μιας πρακτικής θεωρίας μη γραμμικού ελέγχου είναι να ειδικεύεται στην κατηγορία των συστημάτων που μελετώνται, καθώς δεν υπάρχει μια καθολική θεωρία για την μελέτη μη γραμμικών συστημάτων. Σε αντίθεση με τα γραμμικά συστήματα και τη γραμμική θεωρία ελέγχου, η οποία είναι ολοκληρωμένη ως ένα βαθμό. Σε αυτό το τμήμα θα περιγράψουμε την κλάση των συστημάτων που θα εξετάσουμε, δηλαδή την δυναμική εξίσωση ενός ρομποτικού βραχίονα, υπό την μορφή των Euler- Lagrange εξισώσεων. Από καθαρή μαθηματική πλευρά αποτελούν ένα σύνολο συνηθών διαφορικών εξισώσεων με συγκεκριμένη δομή. Ενας βραχίονας με n βαθμούς ελευθερίας με γενικευμένες συντεταγμένες q R n και εξωτερικές δυνάμεις τ R n, θα περιγράφετε από τις Euler-Lagrange εξισώσεις, ( ) d L (q, q) L (q, q) = τ (1.1) dt q q όπου L (q, q) = K (q, q) U(q) είναι η λαγκραζιανή συνάρτηση, με K (q, q) η κινητική ενέργεια που ορίζεται, K (q, q) = 1 qt H(q) q όπου H(q) R nxn ο γενικευμένος πίνακας αδράνειας που ικανοποιεί H(q) = H(q) T > 0 και U η δυναμική ενέργεια, που περιλαμβάνει την αποθηκευμένη ενέργεια του βραχίονα που δημιουργείται από την επίδραση του βαρυτικού πεδίου, η οποία είναι φραγμένη από κάτω, δηλαδή υπάρχει c R, τέτοιο ώστε U(q) c για κάθε q R n. Κάνοντας 1

10 Προαπαιτούμενα αντικατάσταση την λαγκραζιανή συνάρτηση στην (1.1), παίρνουμε, Ισχύει ότι [ ( ) d ] 1 dt q qt H(q) q U(q) ( 1 q qt H(q) q U(q)) = τ. [ ( ) d ] 1 dt q qt H(q) q = H(q) q + Ḣ(q) q και ( 1 q qt H(q) q) = 1 qt Ḣ(q) q Λαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω ισότητες η Euler-Lagrange εξίσωση γίνεται, H(q) q + Ḣ(q) q 1 q [ q T H(q) q ] + U(q) q = τ. (1.) Σε συμπαγή μορφή γράφεται, H(q) q + C(q, q) q + g(q) = τ, (1.3) όπου C(q, q) q = Ḣ(q) q 1 [ q T H(q) q ] q g(q) = U(q). q H εξίσωση (1.3) είναι μια μη γραμμική διανυσματική διαφορική εξίσωση των καταστάσ- εων [ q T q T ] T που περιγράφει την δυναμική εξίσωση ενός βραχίονα με n βαθμούς ελευθερίας. Ορίζουμε με C(q, q) q ένα διάνυσμα n διάστασης που αναπαριστά τα διανύσματα των φυγόκεντρων δυνάμεων και των δυνάμεων Coriolis, g(q) ένα διάνυσμα n διάστασης που αντιστοιχεί στη βαρυτική επίδραση και τ ένα διάνυσμα n διάστασης που αναπαριστά τις εξωτερικές δυνάμεις, το οποίο συνήθως αναφέρεται στις ροπές και στις δυνάμεις που εφαρμόζονται στις αρθρώσεις από τους ενεργοποιητές. Η επίδραση της βαρύτητας θα παραλείπεται κάποιες φορές, γιατί μπορεί να απαλειφθεί με την εισ- αγωγή ενός επιπλέον όρου g(q) στο διάνυσμα ελέγχου τ. Παρόλο που η πολυπλοκότητα της εξίσωσης (1.3) μεγαλώνει με την αύξηση των βαθμών ελευθερίας του βραχίονα, η συγκεκριμένη μορφή φέρει κάποιες ιδιότητες που είναι χρήσιμες στην περίπτωση κατασκευής ελεγκτή και στην ανάλυση της ευστάθειας του βραχίονα με την μέθοδο Lyapunov, καθώς μας επιτρέπουν να παίρνουμε αποτελέσματα

11 1.1 Δυναμική εξίσωση βραχίονα για την γενική περίπτωση n βαθμών ελευθερίας χωρίς να κάνουμε άμεση χρήση των στοιχείων των πινάκων H, C και g. Ο πίνακας αδράνειας H(q), είδαμε ότι είναι στενά συνδεδεμένος με την κινητική ενέργεια του βραχίονα. Ο πίνακας H(q) έχει πεπερασμένη διάσταση, επίσης είναι θετικά ορισμένος και συμμετρικός, ενώ τα στοιχεία του είναι συναρτήσεις του διανύσματος q. Επιπλέον ο πίνακας αδράνειας ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες: Υπάρχει ο αντίστροφος του και είναι θετικά ορισμένος. Για κάθε q R n, ισχύει λ min (H(q)) H(q) a 1 (1 + q ), (1.4) με a 1 R, ενώ στην περίπτωση που ο βραχίονας έχει μόνο περιστροφικές αρθρώσεις ισχύει ότι λ min (H(q)) H(q) λ max (H(q)). (1.5) Για κάθε q, q R n, ισχύει Ḣ a (1 + q ) q, με a R, ενώ στην περίπτωση που ο βραχίονας έχει μόνο περιστροφικές αρθρώσεις ισχύει ότι Ḣ a q. Ο πίνακας των φυγόκεντρων δυνάμεων και των δυνάμεων Coriolis C(q, q) έχει στοιχεία που είναι συναρτήσεις των διανυσμάτων q και q. Οι σημαντικότερες ιδιότητες του είναι: Ο πίνακας C(q, q) δεν είναι μοναδικός, αλλά ο C(q, q) q είναι μοναδικός. Για κάθε q R n, ισχύει C(q, 0) = 0. Για κάθε q, q R n, ισχύει C(q, q) a 3 (1 + q ) q, με a 3 R, ενώ στην περίπτωση που ο βραχίονας έχει μόνο περιστροφικές αρθρώσεις ισχύει ότι C(q, q) a 3 q. (1.6) Οι σταθερές a 1, a και a 3 εξαρτώνται από τις παραμέτρους του βραχίονα, δηλαδή από την μάζα και το μήκος του κάθε μέλους. Επιπλέον, ο πίνακας 1 Ḣ(q) C(q, q) είναι αντισυμμετρικός και Ḣ(q) = C(q, q) + C T (q, q), (1.7) 3

12 Προαπαιτούμενα ενώ για κάθε q, q R n ισχύει ( ) 1 q T H(q) C(q, q) q = 0. (1.8) Η σχέση (1.8), όπως θα δούμε παρακάτω παίζει καθοριστικό ρόλο για την εξαγωγή αποτελεσμάτων ως προς τις έννοιες που θα μελετηθούν οι ρομποτικοί βραχίονες. Παραπάνω αναφέρθηκαν κάποιες από τις ιδιότητες που θα χρησιμοποιηθούν στο παρόν κείμενο, οι αποδείξεις και περαιτέρω ιδιότητες μπορεί να βρει κάποιος στα R.Kelly, V. Santibáñez and A. Loría ([1]), John j. Craig ([]), ενώ στο Romeo Ortega, Antonio Loría, Per J. Nicklasson and Hebertt Sira-Ramrez ([3]) υπάρχει αναλυτικά η μέθοδος παραγωγής της Euler-Langrage και της Χαμιλτονιανής περιγραφής συστημάτων, καθώς και η σχέση που έχουν οι δυο περιγραφές. 1.. Σημεία ισορροπίας Εστω ένα μη γραμμικό σύστημα, ẋ = f(x), (1.9) με x(t) R nx1 οι καταστάσεις του συστήματος και f : R n R n τοπικά Lipchitz, θα λέμε ότι το σημείο x e είναι ένα σημείο ισορροπίας για το σύστημα με μηδενική είσοδο, αν το x(t) γίνει ίσο με το x e, τότε το σύστημα θα παραμείνει ίσο με το x e για όλα τα μελλοντικά t, δηλαδή το x e να ικανοποιεί την σχέση 0 = f(x e ). Ειδικότερα στους ρομποτικούς βραχίονες που θα μελετήσουμε, τα σημεία ισορροπίας είναι οι γωνίες των περιστροφικών και οι αποστάσεις των πρισματικών αρθρώσεων. Σε όλους τους ορισμούς και τα θεωρήματα που ακολουθούν θεωρούμε ότι x e = 0 για χάρην απλότητας, στην περίπτωση που ισχύει x e 0, τότε μπορούμε να κάνουμε αλλαγή μεταβλητών για να έχουμε σαν σημείο ισορροπίας το 0, θέτοντας v = x x e = v = ẋ = v = f(x) = f(v + x e ) = g(v). Οπότε το ισορροπίας v e του νέου συστήματος v = g(v) είναι το v e = 0, αφού g(0) = f(0 + x e ) = Σημεία ισορροπίας βραχίονα Εστω ένας βραχίονας n βαθμών ελευθερίας, του οποίου η δυναμική δίνεται από την (1.3), για να βρούμε το σημείο ισορροπίας ανοικτού βρόγχου πρώτα γράφουμε την (1.3) 4

13 1. Σημεία ισορροπίας στην μορφή, [ d q dt q ] = [ q H(q) 1 (τ C(q, q) q g(q)) ]. (1.10) Στη συνέχεια μηδενίζουμε τις καταστάσεις q, q, όπου προκύπτει q = 0 και τ = g(q). Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχει σημεία ισορροπίας είναι το τ να είναι σταθερό και να υπάρχει μια λύση q R n για την αλγεβρική εξίσωση g(q ) = τ, στην περίπτωση αυτή τα πιθανά σημεία ισορροπίας είναι τα [ q T q T ] T = [ q T 0 T ] T R n. Στην ειδική περίπτωση που τ = 0, τα πιθανά σημεία ισορροπίας είναι τα [ q T q T ] T = [ q T 0 T ] T R n, με q μια λύση της g(q ) = 0. Από τον ορισμό του g(q) σαν την μερική παράγωγο της δυναμικής ενέργειας, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι τα q είναι τα διανύσματα που η δυναμική ενέργεια έχει πιθανό ακρότατο. Αντίστοιχα για g(q) = 0, τότε αρκεί τ = 0 για να υπάρχει σημείο ισορροπίας, συγκεκριμένα έχει άπειρα σε πλήθος σημεία ισορροπίας [ q T q T ] T = [ q T 0 T ] T. Στο παρόν κείμενο μας ενδιαφέρουν τα σημεία ισορροπίας κλειστού βρόγχου, καθώς θα βγάλουμε χρήσιμα συμπεράσματα για ελεγκτές που χρησιμοποιούνται ήδη και πιθανούς ελεγκτές για την επίτευξη συγκεκριμένων ιδιοτήτων όπως είναι η παθητικότητα και η ευστάθεια εισόδου καταστάσεων, καθώς και την σχέση που έχουν αυτές οι έννοιες. Θεωρούμε ένα βραχίονα της μορφής (1.10), χωρίς την επίδραση της βαρύτητας και ως δράση ελέγχου τον γραμμικό PD, ο οποίος θα χρησιμοποιηθεί στις περισσότερες εφαρμογές: τ = K D q K P (q q d ), με K D, K P θετικά ορισμένοι, συμμετρικοί πίνακες και ως επιθυμητό σήμα σταθερό q d R n ή μεταβαλλόμενο q d (t) L, η (1.10) γίνεται [ d q dt q ] = [ q H(q) 1 ( K D q K P (q q d (t)) C(q, q) q) Συγκεκριμένα, στην περίπτωση που το διάνυσμα q d είναι σταθερό έχουμε: [ d q dt q ] = [ q H(q) 1 ( K D q K P (q q d ) C(q, q) q) ] ]. (1.11), (1.1) όπου για [ q T q ] T = [ 0 T 0 T ] T στην (1.1), βρίσκουμε q = 0 και q = 0. Οπότε το σημείο ισορροπίας του βραχίονα με PD ελεγκτή είναι το [ q T q T ] T = [ 0 T 0 T ] T. 5

14 Προαπαιτούμενα Παράδειγμα Βραχίονας με περιστροφική και πρισματική άρθρωση. Θεωρούμε τον ρομποτικό βραχίονα του fig.1.1([3]). Figure 1.1.: Βραχίονας αρθρώσεων. Οπου M και L είναι η μάζα και το μήκος του ενδιάμεσου μέλους αντίστοιχα, και m η σημειακή μάζα του ελεύθερου μέλους. Αν ορίσουμε σαν r την θέση της πρισματικής άρθρωσης και θ την γωνία της περιστροφικής άρθρωσης, η δυναμική διατύπωση του συστήματος σε μορφή Euler-Lagrange θα είναι η ακόλουθη: (mr + ML /3) θ + mrṙ θ = τ m r mr θ = F, (1.13) όπου τ η εξωτερική ροπή που ασκείτε στην περιστροφική άρθρωση και F η εξωτερική δύναμη που ασκείτε στην πρισματική άρθρωση. Ως δράση ελέγχου παίρνουμε τον γραμμικό PD ελεγκτή, τ = k d1 θ kp1 (θ θ d ) F = k d ṙ k p (r r d ), (1.14) με k p1, k p, k d1, k d > 0 και q d = [θ d, r d ] T το επιθυμητό σήμα εισόδου. Πρώτα θα πρέπει να διατυπώσουμε το σύστημα (1.13) στο χώρο καταστάσεων, θέτοντας z 1 = θ, z = r 6

15 1.3 Ευστάθεια συστήματος και z 3 = θ, z 3 = ṙ, έχουμε ż 1 ż ż 3 ż 4 = z 3 mz z 3 z 4 k d1 z 3 k p1 (z 1 θ d ) mz +ML /3 z 4 mz z 3 k d z 4 k p (z r d ) m. (1.15) Για ż i = 0, i = 1,, 3, 4, προκύπτει z 3 = 0, z 4 = 0 και z 1 = θ d, z = r d, άρα το σημείο ισορροπίας του βραχίονα είναι το z e = [θ d, r d, 0, 0] T. Για να έχουμε ως σημείο ισορροπίας το μηδενικό διάνυσμα, αρκεί να ορίσουμε x = z z e για να προκύψει το νέο σύστημα: ẋ 1 ẋ ẋ 3 ẋ 4 = x 3 m(x +r d )x 3 x 4 k d1 x 3 k p1 x 1 m(x +r d ) +ML /3 x 4 mx 3 (x +r d ) k d x 4 k p x m το οποίο έχει σημείο ισορροπίας το x e = 0., (1.16) 1.3. Ευστάθεια συστήματος Εχοντας ορίσει το σημείο ισορροπίας ενός συστήματος και τον τρόπο εύρεσης του, μπορούμε να προχωρήσουμε στην έννοια της ευστάθειας των σημείων ισορροπίας υπό την έννοια Lyapunov. Η βασική ιδέα της ευθύς μεθόδου Lyapunov βασίζεται στην παρατήρηση ότι κάθε φυσικό σύστημα του οποίου η συνολική ενέργεια μειώνεται συνεχόμενα, τότε αναγκαστικά κάποια χρονική στιγμή t θα ηρεμήσει στο σημείο ισορροπίας του. Η μεθοδολογία που ακολουθείτε είναι η εύρεση μιας γενικευμένης συνάρτησης ενέργειας για το σύστημα και η μελέτη αυτής της συνάρτησης, το πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι δεν απαιτείται η γνώση της λύσης του συστήματος. Οι συναρτήσεις αυτές πρέπει να φέρουν δυο ιδιότητες, να είναι θετικά ορισμένες και να είναι φθίνουσες, η συνηθέστερη ονομασία αυτών είναι συναρτήσεις Lyapunov. Οι αποδείξεις των θεωρημάτων ευστάθειας Lyapunov αυτής της παραγράφου παραλείπονται, επειδή υπάρχουν αναλυτικά σε κάθε βιβλίο μη γραμμικού ελέγχου (π.χ. Horacio J. [5], K. Khalil [6], E. Slotine [7]) Ευστάθεια σημείου ισορροπίας Σ αυτή την παράγραφο μελετάμε την ευστάθεια μη γραμμικών συστημάτων της μορφής (1.9). 7

16 Προαπαιτούμενα Ορισμός Ευστάθεια ([5]). Το σημείο ισορροπίας x e = 0 είναι ευσταθές, αν R > 0 υπάρχει r(r) > 0, τέτοιο ώστε αν x 0 x e < r, τότε x(t) x e < R t 0. Διαφορετικά το x e είναι ασταθές. Ο παραπάνω ορισμός εκφράζει το γεγονός ότι θέλουμε η λύση του συστήματος θα είναι κοντά στο σημείο ισορροπίας x e, χωρίς να συγκλίνει αναγκαστικά στο x e. Ουσιαστικά κάνουμε χρήση της ευκλείδειας νόρμας, για να πούμε ότι η λύση θα παραμένει μέσα στην περιοχή που ορίζεται από το x(t) x e < R, δεδομένου ότι η αρχική συνθήκη είναι κοντά στο σημείο ισορροπίας, δηλαδή x 0 x e < r. Θεώρημα Lyapunov Ευστάθεια ([5]). Εστω x e = 0 το σημείο ισορροπίας του συστήματος (1.9) και V : D R, D R n μια συνεχής διαφορίσιμη συνάρτηση, τέτοια ώστε : V (0) = 0. V (x(t)) > 0 x D {0}. V (x(t)) 0 x D {0}. Τότε το σημείο x = 0 είναι ευσταθές. Οπότε μια ικανή συνθήκη για να είναι το σύστημα ευσταθές στο x = 0, είναι να έχει συνεχής διαφορίσιμη, θετικά ορισμένη συνάρτηση V (x(t)) και η παράγωγος της να είναι αρνητικά ημι-ορισμένη Ευστάθεια βραχίονα με PD ελεγκτή Σ αυτή τη παράγραφο θα δειχθεί ότι ο βραχίονας με δυναμική (1.1) και σταθερό επιθυμητό σήμα q d R n είναι ευσταθής. Μια προφανής υποψήφια συνάρτηση Lyapunov του ρομποτικού βραχίονα είναι η μηχανική του ενέργεια: V ( q, q) = 1 qt H(q) q + 1 qt K p q, (1.17) όπου ο πρώτος όρος εκφράζει την κινητική και ο δεύτερος την δυναμική ενέργεια του βραχίονα. Η V είναι θετικά ορισμένη καθώς V ( q, q) 1 λ min(h (q)) q + 1 λ min(k p ) q 8

17 1.3 Ευστάθεια συστήματος και μηδενίζεται όταν [ q T q ] T T [ = 0 T 0 ] T T. Παίρνουμε την παράγωγο ως προς τον χρόνο κατά μήκος των τροχιών του βραχίονα: V ( q, q) = 1 qt Ḣ(q) q + q T H(q) q + q T K p q = 1 qt Ḣ(q) q + q T ( C (q, q) q K D q K p q) + q T K p q = q T K D q 0, όπου έγινε χρήση της (1.8). Από την τελευταία ανισότητα έχουμε ότι η V είναι φθίνουσα. Συνεπώς από το θεώρημα το σημείο ισορροπίας [ q T q ] T T [ = 0 T 0 ] T T είναι ευσταθές Ασυμπτωτική ευστάθεια σημείου ισορροπίας Σ αυτή την παράγραφο μελετάμε την ασυμπτωτική ευστάθεια μη γραμμικών συστημάτων της μορφής (1.9). Ορισμός 1.3. Ασυμπτωτική ευστάθεια ([5]). Το σημείο ισορροπίας x e = 0 είναι ασυμπτωτικά ευσταθές, αν είναι ευσταθές και επιπλέον υπάρχει r 1 > 0, τέτοιο ώστε x 0 < r 1 = lim [x(t)] 0. t Με βάση τον παραπάνω ορισμό θέλουμε να είναι ευσταθές, δηλαδή οι λύσεις να παραμένουν μέσα στην περιοχή x(t) x e < R και επιπλέον κάθε λύση που ξεκινάει αρκετά κοντά στο x e να συγκλίνει στο σημείο ισορροπίας x e καθώς t +. Θεώρημα 1.3. Lyapunov Ασυμπτωτική Ευστάθεια ([5]). Εστω x e = 0 το σημείο ισορροπίας του συστήματος (1.9) και V : D R, D R n μια συνεχής διαφορίσιμη συνάρτηση, τέτοια ώστε : V (0) = 0. V (x(t)) > 0 x D {0}. V (x(t)) < 0 x D {0}. Τότε το σημείο x = 0 είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. 9

18 Προαπαιτούμενα Άρα μια ικανή συνθήκη για έχουμε ασυμπτωτική ευστάθεια είναι να έχει συνεχής διαφορίσιμη, θετικά ορισμένη συνάρτηση V (x(t)) και η παράγωγος της να είναι αρνητικά ορισμένη, σε αντίθεση με την απλή ευστάθεια που απαιτεί αρνητικά ημι-ορισμένη παράγωγο. Επιπλέον αν η V είναι ακτινικά μη φραγμένη (Παρ.A, Ορ.Α.1.), τότε το x e = 0 είναι ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές. Θεώρημα LaSalle ([5]). συνάρτηση και επιπλέον ισχύουν: Εστω V : D R μια συνεχής διαφορίσιμη M ένα συμπαγές σύνολο του D, αναλλοίωτο ως προς τις λύσεις του (1.9), V (x) 0 x M, S = {x : x M, όπου V = 0}, N το μεγαλύτερο αναλλοίωτο σύνολο στο S, τότε κάθε λύση που ξεκινάει στο M πλησιάζει το N καθώς t +. Με βάση το θεώρημα του LaSalle, μπορούμε να καταλήξουμε στο εξής σημαντικό πόρισμα, αν θεωρήσουμε την V θετικά ορισμένη. Πόρισμα ([5]). Εστω V : D R μια συνεχής διαφορίσιμη, θετικά ορισμένη συνάρτηση, με V 0 D. Εστω S = {x : x M, όπου V = 0} και καμία λύση δεν παραμένει όμοια στο S, εκτός από την x = 0. Τότε το σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Αν επιπλέον D = R n και η V είναι ακτινικά μη φραγμένη, η αρχή των αξόνων είναι ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές. Το παραπάνω πόρισμα αποτελεί σημαντικό αποτέλεσμα, γιατί μπορούμε να ελέγχουμε την ασυμπτωτική ευστάθεια σε αυτόνομα συστήματα με V αρνητικά ημι-ορισμένη Ασυμπτωτική ευστάθεια βραχίονα με PD ελεγκτή Η ασυμπτωτική ευστάθεια είναι σημαντική για τις ρομποτικούς βραχίονες, επειδή μας ενδιαφέρει η ακρίβεια, όπως είναι τα ρομπότ που χρησιμοποιούνται στον ιατρικό τομέα ή την αποφυγή αστοχίας υλικών σε βραχίονες που χρησιμοποιούνται στην βιομηχανία, δηλαδή θέλουμε να έχουμε μηδενικό σφάλμα μόνιμης κατάστασης. 10

19 1.3 Ευστάθεια συστήματος Ασυμπτωτική ευστάθεια βραχίονα με εφαρμογή του θεωρήματος LaSalle Για τον βραχίονα (1.1), βρήκαμε ότι το σημείο ισορροπίας [ q T q ] T T [ = 0 T 0 ] T T είναι ευσταθές, τώρα θα εφαρμόσουμε το θεώρημα LaSalle, για να δείξουμε ότι στην πραγματικότητα είναι ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές. Εχουμε βρει ότι η παράγωγο της (1.17), ισούται με V ( q, q) = q T K D q. Το σύνολο S ορίζεται S = {( q, q) T R n : V ( q, q) = 0} = { q = 0, q R n }. Για να ανήκει μια λύση y(t) = [ q T q T ] T στο S για κάθε t 0, θα πρέπει αναγκασ- τικά q(t) = 0 για κάθε t 0. Επομένως, θα πρέπει να ισχύει και q(t) = 0 t 0. Τώρα για y(t) S για κάθε t 0, η συνάρτηση κλειστού βρόχου (1.1) του βραχίονα γίνεται: K P q = 0. Επειδή K P > 0, θα έχουμε ότι q = 0, t 0, άρα η [ q T (0) q T (0) ] T [ = 0 T 0 ] T T είναι η μόνη αρχική συνθήκη στο S για την οποία y(t) S για κάθε t 0. Επιπλέον, η V είναι ακτινικά μη φραγμένη. Επομένως από το Πόρισμα 1.3.1, το σημείο ισορροπίας [ q T q ] T T [ = 0 T 0 ] T T θα είναι ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές. Παράδειγμα Για τον βραχίονα του παραδείγματος 1..1, παίρνουμε M = 3kg, m = 1kg και L = 1m, ορίζουμε ως επιθυμητό σήμα το q d = [ ] T, αρχικές συνθήκες q = [ 0 0 ] T, q = [ ] T και KP = diag {15, 15}, K D = diag {10, 10}. Το fig.1. παρουσιάζει το σφάλμα θέσης μόνιμης κατάστασης του βραχίονα, το οποίο συγκλίνει στο μηδέν. Για τον ίδιο βραχίονα έγινε προσομοίωση (fig.1.3) με μεταβαλλόμενο σήμα q d (t) = [ sign( θ), 0 ] T και KP = diag {15, 1}, K D = diag {1, 1}. Μπορούμε να δούμε ότι ο PD ελεγκτής δεν είναι αρκετός για να κάνει το σύστημα ευσταθές στην περίπτωση που το επιθυμητό σήμα μεταβάλλεται, όπως φαίνεται από το fig.1.3. Το σήμα αυτό παρόλο που προκαλεί προβλήματα στην λύση του συστήματος λόγω ασυνεχούς ανάδρασης, είναι σημαντικό γιατί προσομοιώνει τον θόρυβο που δημιουργείτε από την ανάκρουση όταν η κίνηση των αρθρώσεων πραγματοποιείται με γρανάζια και την τριβή Coulomb, αν πολλαπλασιαστεί το σήμα με έναν θετικό αριθμό f c, που καλείται συντελεστής τριβής Coulomb. 11

20 Προαπαιτούμενα Figure 1..: Απόκριση σφαλμάτων βραχίονα για σταθερό q d. Figure 1.3.: Απόκριση καταστάσεων βραχίονα για q d (t) = [ sign( θ), 0 ] T. Μπορούμε να δούμε ότι οι καταστάσεις του βραχίονα δεν είναι φραγμένες (fig.1.4) και για το συνεχές φραγμένο σήμα q d = [ 3tanh( θ) 0 ] T. 1

21 1.3 Ευστάθεια συστήματος Figure 1.4.: Απόκριση καταστάσεων βραχίονα για συνεχές φραγμένο σήμα. Ασυμπτωτική ευστάθεια βραχίονα με αρνητικά ορισμένη συνάρτηση Lyapunov. Θεωρούμε ένα βραχίονα με περιστροφικές αρθρώσεις και PD ελεγκτή και q d R n να είναι σταθερό, τότε μπορούμε να δείξουμε ότι θα είναι ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές στο σημείο ισορροπίας [ q T q ] T T [ = 0 T 0 ] T T R n με την χρήση μιας αρνητικά ορισμένης συνάρτησης Lyapunov (R. Kelly [1]). Θεωρούμε ως υποψήφια συνάρτηση Lyapunov: V ( q, q) = 1 qt H(q) q + 1 qk P q εtanh( q) T H(q) q (1.18) με ε > 0, q = q q d και tanh( q) = [ tanh( q 1 ) tanh( q )... tanh( q n ) ] T. Πρώτα θα πρέπει να δείξουμε ότι η (1.18) είναι θετικά ορισμένη και αντινικά μη φραγμένη, V ( q, q) 1 q λ min (H(q)) + 1 q λ min (K P ) εtanh( q) T H(q) q, (1.19) 13

22 Προαπαιτούμενα στη συνέχεια κάνουμε χρήση της ιδιότητας tanh( q) q, στην ανισότητα tanh( q) T H(q) q tanh( q) λ max (H(q)) q = tanh( q)h(q) q q λ max (H(q)) q. Ετσι η (1.19) γίνεται, V ( q, q) 1 4 q λ min (H(q))+ 1 ) 1 q λ min (K P )+( 4 q λ min(h(q)) ε q λ max (H(q)) q, προσθαφαιρούμε τον όρο ε λ max (H(q)) λ min (H(q)) q στην παρένθεση της παραπάνω ανισότητας για να δημιουργήσουμε την ταυτότητα a ab + b = (a b) και ξεχνάμε τον θετικό όρο που προκύπτει: V ( q, q) 1 4 q λ min (H(q))+ 1 ( ) 1 4 q λ min (K P )+ q 4 λ min(h(q)) ε λ max(h(q)). λ min (H(q)) Θέλουμε λ min (H(q))λ min (K P ) λ max (H(q)) ε, για να είναι θετικά ορισμένη η V. Δεδομένου ότι ισχύει η τελευταία ανισότητα, η (1.18) γίνεται V ( q, q) 1 4 q λ min (H(q)) q λ min (K P ), άρα είναι θετικά ορισμένη και ακτινικά μη φραγμένη. Η παράγωγος της V ως προς τον χρόνο κατά μήκος των τροχιών του βραχίονα είναι η V ( q, q) = q T H(q) q + 1 qt Ḣ(q) q + q T K P q εtanh( q) T Ḣ(q) q εtanh( q) T H(q) q +ε q T sech ( q) T H(q) q = q T K D q εtanh( q) T K D q εtanh( q) T K P q + ε q T sech ( q) T H(q) q εtanh( q) T C T (q, q) q, (1.0) όπου έγινε χρήση των ιδιοτήτων (1.7), (1.8). Τώρα μένει να βρούμε ένα άνω όριο της V, από μια αρνητικά ορισμένη συνάρτηση ως προς τα q, q. Κάνοντας χρήση της 14

23 1.3 Ευστάθεια συστήματος ιδιότητας sech ( q) 1, παίρνουμε, q T sech ( q) T H(q) q q λ max (H(q)). Επιπλέον, ισχύουν και tanh( q) T K P q λ min (K P ) tanh( q) tanh( q) T K D q tanh( q) λ max (K D ) q. Ενώ για το άνω όριο του tanh( q) T C T (q, q) q, έχουμε tanh( q) T C T (q, q) q q C(q, q)tanh( q) a 3 q tanh( q) a 3 q n, κάνοντας εφαρμογή των (1.6) και tanh( q) n, R n. Κάνοντας χρήση των παραπάνω ορίων στην (1.0), καταλήγουμε στην σχέση V ( q, q) q ( λ min (K D ) + ελ max (H(q)) + εa 3 n ) ε λ min (K P ) tanh( q) ( λmin (K P ) tanh( q) ) ε + tanh( q) λ max (K D ) q, 4 στη συνέχεια προσθαφαιρούμε τον όρο λ max(k D ) 4λ min (K P ) q στην παρένθεση της παραπάνω ανισότητας για να δημιουργήσουμε την ταυτότητα a ab + b = (a b), ( V ( q, q) q λ max (K D ) ) λ min (K D ) ελ max (H(q)) εa 3 n ε 4 4λ min (K p ) ελ min (K P ) tanh( q). (1.1) Για να είναι αρνητικά ορισμένη η (1.1) θα πρέπει λ min (K P ) > 0 που ισχύει εξ ορισμού και λ min (K D ) ελ max (H(q)) εa 3 n ε λ max (K D ) 4λ min (K p ) > 0 = 4λ min (K D )λ min (K p ) > ε. (1.) 4λ min (K p ) [λ max (H(q)) + k c1 n] + λmax (K D ) Οπότε, δεδομένου ότι ισχύει η (1.) η V θα είναι αρνητικά ορισμένη. 15

24 Προαπαιτούμενα Άρα, ένας βραχίονας με περιστροφικές αρθρώσεις θα είναι ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές στο σημείο ισορροπίας του αν ικανοποιούνται ταυτόχρονα οι: λ min (H(q))λ min (K P ) ε, λ max (H(q)) 4λ min (K D )λ min (K p ) 4λ min (K p ) [λ max (H(q)) + k c1 n] + λmax (K D ) > ε. Παράδειγμα PD ελεγκτή. Βραχίονας με δυο περιστροφικές αρθρώσεις και Η δυναμική του βραχίονα είναι της μορφής (1.3), όπου: H(q) = C(q, q) = g(q) = 0 [ l m + l 1 l m cos(q ) + l 1(m 1 + m ) l m + l 1 l m cos(q ) l m + l 1 l m cos(q ) l m [ l1 l m sin(q ) q m l 1 l sin(q ) q m l 1 l sin(q ) q 1 0 ], ], και τ ο PD ελεγκτής. Παίρνουμε m 1 = kg, m = 1.5kg και l 1 = l = 1m ορίζουμε ως επιθυμητό σήμα το q d = [ 0.7 ] T (rad), αρχικές συνθήκες q = [ 0 0 ] T, q = [ ] T και KP = diag {90, 80}, K D = diag {70, 50}. Το fig.1.5 παρουσιάζει την απόκριση των καταστάσεων θέσης, οι οποίες συγκλίνουν στο επιθυμητό σήμα q d. 16

25 1.4 Σύνοψη Figure 1.5.: Απόκριση βραχίονα με περιστροφικές αρθρώσεις Σύνοψη Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάσαμε την δυναμική εξίσωση του βραχίονα, την ολική ασ- υμπτωτική ευστάθεια ενός συστήματος και την αποδείξαμε για ρομποτικούς βραχίονες με δράση ελέγχου τον γραμμικό PD για q d σταθερό, επειδή η ολική ασυμπτωτική ευστάθεια είναι η μόνη μορφή ευστάθειας που θα χρειαστούμε για τα θεωρήματα και για τις εφαρμογές πάνω στους ρομποτικούς βραχίονες. Για περαιτέρω πληροφορίες σχετικά με την εκθετική ευστάθεια, την ομοιόμορφη ευστάθεια, την ευστάθεια γραμμικών συστημάτων και την ευστάθεια σε μη αυτόνομα συστήματα βλέπε τα J. Marquez ([5]), K. Khalil ([6]), E. Slotine ([7]) και Λ. Καρακώστας ([8]). 17

26

27 . Συστήματα με απώλεια ενέργειας και παθητικά συστήματα Η έννοια των συστημάτων με απώλειες ενέργειας (dissipativity) αποτελεί μια βασική ιδιότητα των φυσικών συστημάτων άρρηκτα συνδεδεμένη με το φαινόμενο της απώλειας ενέργειας. Παρουσιάστηκε πρώτη φορά από τον Willems ([9]) και βασίστηκε στην έννοια της παθητικότητας των ηλεκτρονικών κυκλωμάτων που συνδέει την αποθηκευμένη ενέργεια του κυκλώματος με την παρεχομένη ενέργεια, με χαρακτηριστικό παράδειγμα την απώλεια ηλεκτρικής ενέργειας ως θερμότητα από τις αντιστάσεις ενός κυκλώματος. Τα συστήματα με απώλειες ενέργειας αποτελούν ένα ισχυρό σύνδεσμο ανάμεσα στη θεωρία συστημάτων, την φυσική και την μηχανική. Εχουν ευρεία χρήση στους παραπάνω τομείς, γιατί είναι απλές και μπορούν να εφαρμοστούν ολικά, καθώς μέσω γενικευμένων συναρτήσεων Lyapunov, είναι εφικτό να μελετηθούν ιδιότητες και έννοιες όπως η ευρωστία, η ευστάθεια και η επίδοση συστημάτων μέσω των ανισοτήτων απώλειας ενέργειας που συνδέουν την ενέργεια που μπορεί να αποθηκεύσει ένα σύστημα και τον ρυθμό παροχής ενέργειας στο σύστημα, ως προς τις εισόδους και τις εξόδους. Οι ιδιότητες αυτές είναι ιδιαίτερα σημαντικές για έναν βραχίονα καθώς η έννοια της απόσβεσης είναι άμεσα συνδεδεμένη με την ευστάθεια του. Ειδικότερα για την παθητικότητα, οι βραχίονες που έχουν την τάση να μην μπορούν να αποθηκεύσουν περισσότερη ενέργεια από αυτή που τους παρέχεται, είναι ιδιαίτερα σημαντική για την ορθή λειτουργία τους..1. Βασικοί ορισμοί για συστήματα με απώλειες ενέργειας Θεωρούμε το μη γραμμικό σύστημα: Σ : ẋ(t) = f(x(t), u(t)) y(t) = h(x(t)), (.1) 19

28 Συστήματα με απώλεια ενέργειας και παθητικά συστήματα όπου x X R nx1, u U R mx1, y Y R px1 είναι οι καταστάσεις η είσοδος και η έξοδος αντίστοιχα, και X, U, Y είναι οι χώροι κατάστασης, εισόδου και εξόδου. Ορισμός.1.1 Ρυθμός Παροχής ([11]). Ο ρυθμός παροχής w(t) = w(u(t), y(t)) είναι μια πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο UxY, τέτοια ώστε για κάθε u U και κάθε αρχική συνθήκη x 0 X και y = h(x, x 0 ), να ικανοποιεί την σχέση ˆ t1 t 0 w(t) dt <, (.) για κάθε t 1 t 0 0. Η (.) αποτελεί το ρυθμό παροχής ενέργειας του συστήματος στο χρονικό διάστημα [t 0, t 1 ]. Ορισμός.1. Συστήματα με απώλειες ενέργειας ([11]). Το σύστημα Σ θα ονομάζεται σύστημα με απώλεια ενέργειας ως προς το ρυθμό παροχής w(t), αν υπάρχει μια θετικά ημι-ορισμένη συνάρτηση S(x) : X R +, η οποία ονομάζεται συνάρτηση αποθήκευσης, τέτοια ώστε, για κάθε t 1 t 0 0, x 0 X και u U, S(x(t 1 )) S(x(t 0 )) ˆ t1 t 0 w(u(t), y(t))dt. (.3) t 0 Η ανισότητα (.3) ονομάζεται ανισότητα απώλειας ενέργειας, η συνάρτηση αποθήκευσης S(x(t i )) μπορεί να ερμηνευτεί ως η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη από το σύστημα σε χρόνο t i, ενώ ο όρος t 1 w(u(t), y(t))dt αντιπροσωπεύει την ενέργεια που τροφοδοτείται εξωτερικά στο σύστημα Σ το χρονικό διάστημα [t 0, t 1 ]. Ετσι, με βάση την (.3) η αποθηκευμένη ενέργεια S(x(t 1 )) του συστήματος την χρονική στιγμή t 1, είναι το πολύ ίση με το άθροισμα της αρχικής ενέργειας που είχε το σύστημα την χρονική στιγμή t 0 και την συνολική εξωτερική ενέργεια που τροφοδοτήθηκε στο σύστημα το χρονικό διάστημα [t 0, t 1 ], δηλαδή δεν υπάρχει εσωτερική παραγωγή ενέργειας. Επιπλέον, αρκεί η S να είναι θετικά ημι-ορισμένη, σε αντίθεση με τα θεωρήματα ευστάθειας που παρουσ- ιάστηκαν στην παράγραφο

29 .1 Βασικοί ορισμοί για συστήματα με απώλειες ενέργειας Ορισμός.1.3. Σύστημα με διαφορίσιμη ανισότητα απώλειας ενέργειας ([5]). Το σύστημα Σ θα ονομάζεται σύστημα με απώλεια ενέργειας, ως προς το ρυθμό παροχής w(t) = w(u(t), y(t)), αν υπάρχει μια συνεχής διαφορίσιμη συνάρτηση S(x) : X R +, η οποία ονομάζεται συνάρτηση αποθήκευσης, που να ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: 1. Υπάρχουν κλάσης K συναρτήσεις α 1 και α τέτοιες ώστε : α 1 ( x ) S(x) α ( x ), x R n. Για την παράγωγο της S, ισχύει: S x f(x, u) w(u(t), y(t)), x Rn, y = h(x). (.4) Από την πρώτη συνθήκη του ορισμού.1.3 η συνάρτηση αποθήκευσης πρέπει να είναι θετικά ορισμένη και ακτινικά μη φραγμένη, σε αντίθεση με τον ορισμό.1., που αρκεί να είναι θετικά ημι-ορισμένη για να είναι σύστημα με απώλεια ενέργειας. Η συγκεκριμένη μορφή συστημάτων θα μας απασχολεί κατά κόρον στα επόμενα κεφάλαια Ειδικές μορφές ανισοτήτων απώλειας ενέργειας Στη συνέχεια παρουσιάζουμε δυο ειδικές μορφές ανισοτήτων με απώλεια ενέργειας, που θα τις χρειαστούμε στα επόμενα κεφάλαια για την επίτευξη βασικών θεωρημάτων της ολοκληρωτικής ευστάθειας εισόδου καταστάσεων και όπως θα δούμε αποτελούν τον σύνδεσμο μεταξύ της παθητικότητας και της ευστάθειας εισόδου καταστάσεων και της ολοκληρωτικής ευστάθειας εισόδου καταστάσεων. Για τους δυο ορισμούς που ακολουθούν υποθέτουμε για το σύστημα (.1) ότι x(t) R nx1,u(t) : R 0 R m, y(t) R px1, η f : R n R m R n είναι τοπικά Lipchitz, η h : R n R p είναι συνεχής και f(0, 0) = h(0) = 0. Επίσης υποθέτουμε ότι η u είναι μετρήσιμη συνάρτηση και τοπικά ουσιαστικά φραγμένη συνάρτηση. Ορισμός.1.4 h-dissipative ([4]). Ενα σύστημα της μορφής (.1) και με έξοδο h θα λέμε ότι είναι εξόδου-σύστημα με απώλεια ενέργειας, αν υπάρχει συνεχής, διαφορίσιμη, θετικά ορισμένη και ακτινικά μη φραγμένη συνάρτηση V, μαζί με μια σ K και θετικά ορισμένη συνάρτηση α 4, έτσι ώστε DV (x)f(x, u) α 4 ( h(x) ) + σ( u ), (.5) x R n και για όλα τα u R m. Στην περίπτωση που V είναι κλάσης C, τότε θα λέμε ότι είναι λείο εξόδου-σύστημα με απώλεια ενέργειας (smooth h-dissipative). 1

30 Συστήματα με απώλεια ενέργειας και παθητικά συστήματα Ορισμός.1.5 Zero-output dissipative ([4]). Αν ισχύει η ανισότητα (.5) για h = 0, δηλαδή, αν υπάρχει διαφορίσιμη, ακτινικά μη φραγμένη και θετικά ορισμένη συνάρτηση V και σ K, έτσι ώστε να ισχύει DV (x)f(x, u) σ( u ), (.6) για x R n, u R m,τότε λέμε ότι το σύστημα είναι μηδενικής-εξόδου σύστημα με απώλεια ενέργειας. Στην περίπτωση που V είναι κλάσης C, τότε θα λέμε ότι είναι λείο μηδενικής-εξόδου σύστημα με απώλεια ενέργειας (smooth zero-output dissipative). Οι δυο νέοι ορισμοί που παρουσιάστηκαν αποτελούν δυο ειδικές περιπτώσεις διαφορίσ- ιμων ανισοτήτων απώλειας ενέργειας..1.. QSR συστήματα με απώλειας ενέργειας Ως υποψήφια συνάρτηση αποθήκευσης γίνεται κατανοητό ότι μπορούμε να πάρουμε πάντα μια γενικευμένη συνάρτηση Lyapunov, αν όχι την εξίσωση της συνολικής ενέργειας του συστήματος. Σε αυτήν την παράγραφο θα παρουσιάσουμε μια χρήσ- ιμη κλάση συναρτήσεων για πιθανούς ρυθμούς παροχής, την QSR, όπου θα δούμε παρακάτω ότι η παθητικότητα και η ευστάθεια πεπερασμένου κέρδους αποτελούν ειδικές περιπτώσεις του QSR ρυθμού παροχής. Για δεδομένους σταθερούς πίνακες Q R pxp, S R pxm, R R mxm, με Q, R συμμετρικούς, ορίζουμε ως QSR ρυθμό παροχής w(t) = w(u(t), y(t)) την: w(t) = y T Qy + y T Su + u T Ru = [ y T u T ] [ Q S S T R ] [ y u και αντίστοιχα ένα σύστημα θα ονομάζεται QSR σύστημα με απώλειας ενέργειας (QSR dissipative), αν υπάρχει συνάρτηση αποθήκευσης V (x) : X R +,τέτοια ώστε x(0) = x 0 X και για όλα τα u U να ισχύει ] V (x(t)) y T Qy + y T Su + u T Ru. (.7).1.3. Ευστάθεια σε συστήματα με απώλεια ενέργειας Σε αυτή την παράγραφο θα μελετήσουμε την ευστάθεια συστημάτων με απώλεια ενέργειας. Επιπλέον, θα παρουσιαστεί η σύνδεση που υπάρχει μεταξύ συστημάτων με

31 .1 Βασικοί ορισμοί για συστήματα με απώλειες ενέργειας απώλεια ενέργειας και της ευστάθειας ενός συστήματος. Στα παρακάτω θεωρήματα θεωρούμε ότι το σύστημα (.1) έχει σημείο ισορροπίας το x e για μηδενική είσοδο. Θεώρημα.1.1 Ευστάθεια συστήματος με απώλεια ενέργειας ([5]). Εσ- τω Σ ένα σύστημα με απώλεια ενέργειας, ως προς την συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση αποθήκευσης S(x) : X R +, η οποία ικανοποιεί την (.4) και οι παρακάτω συνθήκες ισχύουν: 1. Το σημείο ισορροπίας x e είναι γνησίως τοπικό ελάχιστο της S: S(x e ) < S(x), x σε μία περιοχή του x e.. Ο ρυθμός παροχής w(t) = w(u(t), y(t)) είναι τέτοιος ώστε w(0, y) 0, y. Τότε το x e είναι ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας για το σύστημα ẋ = f(x, 0). Για να αποδείξουμε το θεώρημα.4.1, ορίζουμε την συνάρτηση V (x) = S(x) S(x e ). Η V είναι συνεχώς διαφορίσιμη και θετικά ορισμένη από την συνθήκη 1 του θεωρήματος x σε μία περιοχή του x e. Η παράγωγος της V κατά μήκος των τροχιών του Σ δίνεται από V (x) = V f(x, u), x με βάση την συνθήκη του θεωρήματος και την ανισότητα (.4) έχουμε ότι V f(x, 0) x w(0, y) 0, έτσι με βάση το θεώρημα 1..1, ευστάθειας Lyapunov το x e είναι ευσταθές σημείο ισορροπίας. Το θεώρημα.4.1 υποδηλώνει την ευστάθεια συστημάτων με απώλεια ενέργειας. Επιπλέον, εισαγάγει μια νέα κλάση συναρτήσεων, αυτή των συναρτήσεων αποθήκευσης, για την δημιουργία και κατασκευή νέων συναρτήσεων Lyapunov για την μελέτη εννοιών που σχετίζονται με τις συναρτήσεις Lyapunov και δίνει ξεκάθαρα την σύνδεση που υπάρχει ανάμεσα στην ευστάθεια του συστήματος και των συστημάτων με απώλεια ενέργειας. 3

32 Συστήματα με απώλεια ενέργειας και παθητικά συστήματα Θεώρημα.1. Ασυμπτωτική ευστάθεια για σύστημα με απώλεια ενέργειας ([5]). Εστω Σ ένα σύστημα με απώλεια ενέργειας, ως προς την συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση αποθήκευσης S(x) : X R +, η οποία ικανοποιεί την (.4) και οι παρακάτω συνθήκες ισχύουν: 1. Το σημείο ισορροπίας x e είναι γνησίως τοπικό ελάχιστο της S: S(x e ) < S(x) x σε μία περιοχή του x e.. Αν ικανοποιείται η δεύτερη συνθήκη του θεωρήματος..1 και καμία λύση της ẋ = f(x, 0) εκτός της x(t) = x e ικανοποιεί την w(0, y) = 0, με y = h(x, 0). Τότε το σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Για να αποδείξουμε το θεώρημα.4., ορίζουμε την συνάρτηση V (x) = S(x) S(x e ). Η V είναι συνεχώς διαφορίσιμη και θετικά ορισμένη από την συνθήκη 1 του θεωρήματος x σε μία περιοχή του x e, από την συνθήκη η παράγωγος της V κατά μήκος των τροχιών του Σ θα είναι αρνητικά ορισμένη V f(x, 0) < 0, x x x e και V f(x, 0) = 0 x όταν x = x e, έτσι με βάση το θεώρημα του LaSalle το x e είναι ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας Βραχίονας απώλειας ενέργειας με PD ελεγκτή Θεωρούμε τον βραχίονα (1.1) με την προσθήκη σήματος εισόδου u(t) : [ d q dt q ] = [ q H(q) 1 ( C(q, q) q K D q K P (q q d ) + u(t)) ] (.8) με q d R n σταθερό. Παίρνουμε ως υποψήφια συνάρτηση Lyapunov του ρομποτικού βραχίονα την μηχανική του ενέργεια (1.17). Στη συνέχεια παίρνουμε την παράγωγο της (1.17) ως προς τον χρόνο κατά μήκος των τροχιών του βραχίονα: V ( q, q) = 1 qt Ḣ(q) q + q T H(q) q + q T K p q + q T u(t) = 1 qt Ḣ(q) q + q T ( C (q, q) q K D q K p q) + q T K p q + q T u(t) = q T K D q + q T u(t), όπου έγινε χρήση της (1.8). Οπότε ο βραχίονας είναι σύστημα με απώλεια ενέργειας με ρυθμός παροχής: w(u, y) = q T K D q + q T u, για έξοδο y = q και είσοδο u(t). Επίσης για Q = K D, S = I n /, R = 0 ο βραχίονας είναι QSR dissipative. 4

33 . Παθητικότητα Για u(t) = 0 το σημείο ισορροπίας x e = [ q q ] T [ = 0 ] T 0 είναι ολικό ελάχιστο της V και ο ρυθμός παροχής γίνεται: w(0, y) = q T K D q 0, οπότε ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος.4.1, άρα ο βραχίονας είναι ευσταθής. Επιπλέον, με αντικατάσταση του x e στην (.8) μπορούμε να δούμε ότι η μόνη λύση για την οποία ισχύει w(0, y) = 0 είναι μόνο το σημείο ισορροπίας x T e = [ q T q T ] T = [ 0 T 0 T ] T, άρα ο βραχίονας είναι ολικά ασυμπτωτικά ευσταθής με βάση το θεώρημα.4., καθώς η V είναι ακτινικά μη φραγμένη. Φυσικά, έχουμε ήδη δείξει ότι ο βραχίονας είναι ολικά ασυμπτωτικά ευσταθής στο κεφάλαιο 1, αλλά βλέπουμε ότι θα μπορούσαμε να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα με την χρήση της θεωρίας των συστημάτων με απώλεια ενέργειας... Παθητικότητα Η παθητικότητα όπως αναφέρθηκε στην αρχή του κεφαλαίου βασίστηκε στα παθητικά στοιχεία ενός κυκλώματος, όπως είναι οι αντιστάσεις, τα πηνία και οι πυκνωτές και αναπτύχθηκε σε μια γενική θεωρία για συστήματα. Ο έλεγχος της παθητικότητας αποτελεί συχνά μέρος των απαιτήσεων ασφαλείας σε συστήματα δικτύων και σε χώρους που συνεργάζονται μηχανές και άνθρωποι. Ο γενικός ορισμός ενός συστήματος που είναι παθητικό είναι ότι δεν μπορεί να παράξει ενέργεια από μόνο του και μπορεί μόνο να χάσει την ενέργεια που είχε αρχικά, αυτό μπορεί να μεταφραστεί ως εξής: για να υπάρχει αύξηση στην έξοδο ενός συστήματος απαιτείται αύξηση της εισόδου. Επιπλέον, η παθητικότητα αποτελεί ειδική περίπτωση συστημάτων με απώλεια ενέργειας και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο της ευστάθειας ενός συστήματος ή ενός διασυνδεδεμένου δικτύου. Η παθητικότητα είναι μια επιθυμητή ιδιότητα για τους ρομποτικούς βραχίονες, καθώς σε πολλές εφαρμογές όπως είναι η βιομηχανία, το διάστημα και η ιατρική απαιτείται η συνεργασία με ανθρώπους. Προτού δώσουμε έναν πιο αυστηρό ορισμό θα πρέπει να ορίσουμε την μορφή των συστημάτων που γίνεται έλεγχος της παθητικότητας, έστω το μη γραμμικό σύστημα ẋ = f(x, u) y = h(x), (.9) όπου f : R n R m R n είναι τοπικά Lipchitz με f(0, 0) = 0 και h : R n R n συνεχής με h(0) = 0. 5

34 Συστήματα με απώλεια ενέργειας και παθητικά συστήματα..1. Μορφές παθητικότητας Ορισμός Παθητικότητας..1 ([6]). Το σύστημα (.9) θα ονομάζεται παθητικό, αν υπάρχει συνεχής, θετικά ημιορισμένη, διαφορίσιμη συνάρτηση V, τέτοια ώστε V x f(x, u) u T y, (x, u) R n R m, (.10) όπου ο όρος u T y ερμηνεύεται ως η παρεχόμενη ενέργεια στο σύστημα. Η σχέση (.10) υποδηλώνει ότι δεν υπάρχει εσωτερική δημιουργία ενέργειας. Επιπλέον στην περίπτωση που ισχύει V = u T y, το σύστημα ονομάζεται παθητικό χωρίς απώλειες. Η ενέργεια που παρέχεται στο σύστημα θα είναι μεγαλύτερη ή ίση με το ρυθμό μεταβολής της αποθηκευμένης ενέργειας, ενώ στην περίπτωση της ισότητας το σύστημα δεν έχει απώλεια ενέργειας. Το σύστημα (.9) θα ονομάζεται εισόδου-προπορευόμενο παθητικό, αν υπάρχει συνεχής, θετικά ημι-ορισμένη, διαφορίσιμη συνάρτηση V, τέτοια ώστε V (x) u T y u T ψ(u), (x, u) R n R m (.11) για κάποια συνάρτηση ψ. Επιπλέον, αν ισχύει u T ψ(u) > 0 και η (.11) για κάθε u 0, τότε θα ονομάζεται αυστηρά εισόδου παθητικό. Η ενέργεια που απορροφά το σύστημα στο χρονικό διάστημα [0, t] θα είναι μεγαλύτερη από την αύξηση της αποθηκευμένης ενέργειας, εκτός και αν η είσοδος είναι μηδενική. Το σύστημα (.9) θα ονομάζεται εξόδου παθητικό, αν υπάρχει συνεχής, θετικά ημι-ορισμένη, διαφορίσιμη συνάρτηση V, τέτοια ώστε V (x) u T y y T ϕ(y), (x, u) R n R m (.1) για κάποια συνάρτηση ϕ. Επιπλέον, αν ισχύει y T ϕ(y) > 0 και η (.1) για κάθε y 0, τότε θα ονομάζεται αυστηρά εξόδου παθητικό. Η ενέργεια που απορροφά το σύστημα στο χρονικό διάστημα [0, t] θα είναι μεγαλύτερη από την αύξηση της αποθηκευμένης ενέργειας, εκτός και αν η έξοδος είναι μηδενική. Το σύστημα (.9) θα ονομάζεται αυστηρά παθητικό, αν υπάρχει συνεχής, θετικά ημι-ορισμένη, διαφορίσιμη συνάρτηση V, τέτοια ώστε V (x) u T y a(x), (x, u) R n R m (.13) για κάποια θετικά ορισμένη συνάρτηση a. Η ενέργεια που απορροφά το σύσ- τημα στο χρονικό διάστημα [0, t] θα είναι μεγαλύτερη από την αύξηση της αποθηκευμένης ενέργειας, εκτός και αν η είσοδος και η έξοδος είναι μηδενική. 6

35 . Παθητικότητα Από τον ορισμό της ευστάθειας και της παθητικότητας μπορούμε να δούμε ότι αυτές οι δυο έννοιες είναι στενά συνδεδεμένες, καθώς κάνοντας την υπόθεση ότι η V είναι θετικά ορισμένη και θέτοντας την είσοδο με μηδέν στην σχέση (.10) η V είναι αρνητικά ημι-ορισμένη, οπότε από το θεώρημα 1..1, έχουμε ότι το σύστημα θα είναι ευσταθές, επιπλέον αν η V είναι ακτινικά μη φραγμένη το σύστημα είναι ολικά ευσταθές. Ενώ στην περίπτωση που η συνάρτηση αποθήκευσης είναι θετικά ορισμένη, η V 0 και ισχύει η πρόταση τότε είναι ασυμπτωτικά ευσταθές και ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές για V ακτινικά μη φραγμένη. Επίσης μπορούμε να γράψουμε την συνθήκη της παθητικότητας στη παρακάτω γενική μορφή: V (x) u T y εa(x) δy T y ζu T u, (x, u) R n R m (.14) ε = δ = ζ = 0, το σύστημα είναι παθητικό, ε > 0, το σύστημα είναι αυστηρά παθητικό, δ > 0, το σύστημα είναι αυστηρά εξόδου παθητικό, ζ > 0, το σύστημα είναι αυστηρά εισόδου παθητικό, όπου για ε = 0 έχουμε τον ορισμό του QSR dissipative. Συγκεκριμένα στη περίπτωση που το σύστημα είναι αυστηρά εξόδου παθητικό, δηλαδή ε = ζ = 0, θα είναι και πεπερασμένου κέρδους L ευσταθές (Παρ.Α.1, Ορισμός Α.1.11). Για να το αποδείξουμε αυτό ([6]), αρκεί να πάρουμε την (.14) και να κάνουμε μερικές πράξεις. Ξεκινάμε προσθαφαιρώντας τον όρο ut u και στην συνέχεια σπάμε τον όρο δ δ yt y : V (x) u T y δy T y = ut u δ ut u δ + ut y δy T y ut u δ δ yt y + ( ) δ yt y + ut y ut u δ ut u δ δ yt y (u δy)t (u δy). δ Επειδή ο τελευταίος όρος είναι αρνητικός μπορούμε να τον διώξουμε, V (x) ut u δ δ yt y. Με ολοκλήρωση και στα δυο μέλη της τελευταίας ανισότητας στο διάστημα [0, ρ], παίρνουμε, ˆ ρ 0 V (x(t))dt 1 δ ˆ ρ 0 u T (t)u(t)dt δ ˆ ρ 0 y T (t)y(t)dt = 7

36 Συστήματα με απώλεια ενέργειας και παθητικά συστήματα ˆ ρ 0 ˆ ρ 0 δ yt (t)y(t)dt 1 δ y T (t)y(t)dt 1 δ ˆ ρ ˆ ρ y T (t)y(t)dt 0 y ρ L 1 δ u ρ L + ˆ ρ δ 0 0 ˆ 1 ρ u T (t)u(t)dt (V (x(t)) V (x(0)) /δ = u T (t)u(t)dt + V (x(0) = δ 0 δ V (x(0), u T (t)u(t)dt + V (x(0) = δ όπου κάναμε χρήση της ταυτότητας α + β α + β, α, β 0 και της υπόθεσης ότι V (x(t)) 0. Περαιτέρω πληροφορίες σχετικά με την πεπερασμένου κέρδους L ευστάθεια ο αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει στα K. Khalil [6], Christian Ebenbauer, Tobias Raff and and Frank Allogöwer [10] και A. J. van der Schaft [1]. Παράδειγμα..1 Παθητικότητα Euler-Lagrange συστημάτων. Θεωρώντας ως V = 1 qt H q μια πιθανή συνάρτηση αποθήκευσης, μπορούμε εύκολα να δούμε ότι η περιγραφή του βραχίονα με την Euler-Langrage μορφή αποκαλύπτει την ιδιότητα της παθητικότητας για το σύστημα. Λαμβάνοντας της παράγωγο της V ως προς το χρόνο κατά μήκος των τροχιών καταλήγουμε : V = 1 qt Ḣ q + q T H q = 1 qt Ḣ q + q T ( C(q, q) q + τ) = q T τ. Οπότε ένας βραχίονας με εισόδους τις εξωτερικές ροπές και δυνάμεις, και έξοδο τις ταχύτητες των θέσεων των αρθρώσεων είναι παθητικός χωρίς απώλειες ενέργειας.... Διασυνδεδεμένα παθητικά συστήματα Μια από τις βασικές ιδιότητες που φέρουν τα παθητικά συστήματα είναι ότι διατηρείται η παθητικότητα σε συστήματα ανάδρασης. Σ αυτή την παράγραφο θα γίνει αναφορά μόνο ενός θεωρήματος, για περαιτέρω πληροφορίες και αποτελέσματα προτείνονται τα Romeo Ortega, Antonio Loría, Per J. Nicklasson and Hebertt Sira-Ramrez ([3]), J. Marquez ([5]), K. Khalil ([6]), Bao, Jie, Lee, Peter L. ([11]), A. J. van der Schaft ([1]). Θεωρούμε ένα σύστημα ανάδρασης (fig..1) με στοιχεία της μορφής: 8

37 . Παθητικότητα H 1 : ẋ 1 (t) = f 1 (x 1, e 1 ) y 1 (t) = h 1 (x 1, e 1 ), H : ẋ (t) = f (x, e ) y (t) = h (x, e ). Επίσης, κάνουμε τις ίδιες υποθέσεις για τις f i, h i, i = 1, που έγιναν για το σύστημα (.9). Figure.1.: Σύνδεση ανάδρασης([5]) Το σύστημα κλειστού βρόγχου θα έχει την μορφή: ẋ = f(x, u) H : y = h(x, u) όπου x = [ ] T [ ] T [ ] T x 1 x, y = y1 y και u = u1 u. Θεώρημα..1 ([6]). Το σύστημα κλειστού βρόγχου (fig..1) δυο παθητικών συστημάτων της μορφής H 1, H είναι παθητικό. Για την απόδειξη του θεωρήματος, ορίζουμε ως V 1 (x 1 ) και V (x ) τις συναρτήσεις αποθήκευσης των H 1 και H αντίστοιχα. Λόγω της παθητικότητας των H 1 και H θα 9

38 Συστήματα με απώλεια ενέργειας και παθητικά συστήματα έχουμε: και V 1 (x 1 ) e T 1 y 1 V (x ) e T y. Παίρνοντας ως V (x) = V 1 (x 1 ) + V (x ) την συνάρτηση αποθήκευσης του συστήματος ανάδρασης θα έχουμε: V (x) e T 1 y 1 + e T y = (u 1 y ) T y 1 + (u + y 1 ) T y = u T 1 y 1 + u T y u T y. Οπότε το σύστημα H είναι παθητικό...3. Ευστάθεια παθητικών συστημάτων Προτού δούμε πότε ένα παθητικό σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές θα πρέπει να δώσουμε τον ορισμό του παρατηρήσιμου μηδενικής κατάστασης (ZSO): Tο σύστημα (.9) θα λέμε ότι είναι παρατηρήσιμο μηδενικής κατάστασης (ZSO), αν καμία λύση της ẋ = f(x(t), 0) δεν μένει αναλλοίωτη στο σύνολο S = {x R n : y = h(x) = 0}, εκτός απο την x(t) = 0. Ετσι έχουμε το εξής θεώρημα: Θεώρημα.. ([6]). Το σύστημα (.9) με σημείο ισορροπίας x e = 0, θα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές, όταν ισχύουν μια από τις παρακάτω συνθήκες : Είναι αυστηρά παθητικό. Είναι αυστηρό εξόδου παθητικό και παρατηρήσιμο μηδενικής κατάστασης. Επιπλέον, αν η συνάρτηση αποθήκευσης είναι ακτινικά μη φραγμένη το σημείο ισορροπίας είναι ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές. Απόδειξη: Παράρτημα Β1, σελ Το θεώρημα.. δίνει την σχέση μεταξύ παθητικότητας και ευστάθειας, όπου παρατηρούμε ότι η παθητικότητα δεν είναι αρκετή για να μας εγγυηθεί την ασυμπτωτική ευστάθεια του συστήματος αν δεν ισχύει η πρόταση Επειδή τις περισσότερες εφαρμογές μας ενδιαφέρει η ασυμπτωτική ευστάθεια συστημάτων ανάδρασης, όπως είναι ο βραχίονας με τον PD ελεγκτή, παρακάτω αναφέρεται ένα θεώρημα για την μελέτη της. 30