O XΡONOΣ. Προοίµιο. Γιατί έγινε αυτό το δοκίµιο;

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "O XΡONOΣ. Προοίµιο. Γιατί έγινε αυτό το δοκίµιο;"

Transcript

1 1 O XΡONOΣ Προοίµιο Γιατί έγινε αυτό το δοκίµιο; Ο χρόνος στις Φυσικές επιστήµες εµφανίζει χαρακτηριστικά, που τον φέρνουν να είναι προσωπική υπόθεση κάθε ανθρώπου. Εµφανίζεται να συστέλεται ή να διαστέλεται ανάλογα µε την θέση ή την κινητική κατάσταση του παρατηρητή, να µεταβάλλεται προς µία κατεύθυνση ή την αντίθετή της, ανάλογα µε την οργάνωση ή αποδιοργάνωση του συστήµατος που µελετά ο παρατηρητής. Τα προηγούµενα σπρώχνουν τον µελετητή προς µία κατεύθυνση διαχωρισµού του χρόνου σε φυσικό χρόνο, που εξαρτάται από τις µετρήσεις, µε όλα τα παραπά νω χαρακτηριστικά, και σε απόλυτο ιδεατό χρόνο, εκείνον της φιλοσοφίας, που παραµένει σταθερός µη εξαρτώµενος από ανθρώπινες παρεµβάσεις. Στην περίπτωση που προβούµε σε έναν τέτοιο διαχωρισµό, όλοι και περισσότερο οι φιλόσοφοι αντιλαµβάνονται ότι πρέπει να βρεθεί µία γέφυρα από τον ιδεατό προς τον φυσικό χρόνο, ειδάλλως ο πρώτος δεν έχει καµία αξία και η φιλοσοφία αποξενώνεται από την πραγµατικότητα. Η Φυσική επιστήµη από την άλλη πλευρά είναι υποχρεωµένη να πορευθεί µε όλα αυτά τα τερτίπια προσπαθώντας να βρεί στον χρόνο πέρα από τα προηγούµενα και αντικειµενικά χαρακτηριστικά, γιατί η Φυσική δεν είναι προσωπική υπόθεση κανενός ούτε ασκείται ατοµικά. Στο δοκίµιο γίνεται µία απόπειρα να εντοπιστούν τετοια αντικειµενικά χαρακτηριστικά. Π. ΚΑΡΓΑΔΟΣ Φυσικός

2 2 Εισαγωγή Τι είναι ο χρόνος; Είναι ένα ερώτηµα που τίθεται σε όλα τα πεδία διαλογισµού του ανθρώπου, από τα πλέον απλά στα οποία περιλαµβάνονται θέµατα της καθηµερινής του δραστηριότητας, µέχρι εκείνα που συνήθως συναντώνται στην φιλοσοφία. Σε αυτό το υψιπετές φιλοσοφικό επίπεδο είχε διερωτηθεί και ο Άγιος Αυγουστίνος ο Ιππώνιος, ο θεωρούµενος πατέρας της δυτικής χριστιανικής εκκλησίας, τι είναι ο χρόνος; Η απάντηση του µπορούµε να πούµε ότι συνοψίζει ένα µεγάλο µέρος αυτού του κειµένου. «Αν δεν µου τεθεί το ερώτηµα καταλαβαίνω τον χρόνο, αν όµως µε ρωτήσετε δεν ξέρω να απαντήσω». Στο κείµενο αυτό δεν προτιθέµεθα βέβαια να εµπλακούµε σε φιλοσοφική ανάλυση του ερωτήµατος, αφού έτσι κι αλλιώς απέχουµε πολύ από τον χώρο της φιλοσοφίας, θα προσπαθήσουµε όµως να εξετάσουµε πως προσεγγίζεται το ερώτηµα αυτό από την πλευρά της φυσικής επιστήµης. Στην φυσική θεωρούµε τον χρόνο πρώτη έννοια, µη οριζόµενη, ή αλλιώς θεµελιώδες µέγεθος (1). Η έλλειψη ορισµού οποιουδήποτε τύπου, µας εµποδίζει να απαντήσουµε ευθέως στο ερώτηµα, εν τούτοις παρατηρούµε οτι έχουµε µια αντίληψη του χρόνου κυρίως : α. µέσω αυτού που καλούµε ροή χρόνου, β. µέσω της συµµετοχής του στους φυσικούς νόµους και τέλος γ. µέσω της διάκρισης παρελθόντος και µέλλοντος. Παρόλο όµως που δεν τον ορίζουµε, τον χρόνο µπορούµε και τον µετράµε, και γιαυτό άλλωστε τον θεωρούµε φυσικό µέγεθος (2). Πράγµατι έχουµε ρολόγια, χρονόµετρα, ηµερολόγια, βιογραφίες, και ακόµα στην σχετικότητα µιλάµε για διαστολή ή συστολή του χρόνου επεξηγώντας, ότι υπό ορισµένες καταστάσεις µέτρησης, ο χρόνος ρέει πιο αργά ή πιο γρήγορα και ενδεχοµένως σταµατά (3). Η µέτρηση είναι µια φυσική διαδι κασία και από αυτή πρέπει να ξεκινήσουµε αν θέλουµε να κατανοήσουµε καλύτερα τον χρόνο. Τι µετράµε; πώς το µετράµε; πως αρχίσαµε να µετράµε; Α. Μέτρηση του χρόνου. Η µέτρηση του χρόνου βασίστηκε στην περιοδικότητα ορισµένων φαινοµένων. Τα πρώτα περιοδικά φαινόµενα που κίνησαν το ενδιαφέρον του ανθρώπου, µπορούµε να φανταστούµε ότι, ήταν η εναλλαγή ηµέρας-νύχτας, ο σεληνιακός κύκλος, ο ετήσιος ηλιακός κύκλος. Αυτή η περιοδική εµφάνιση ορισµένων γεγονότων υποθέτουµε ότι, στην πρώιµη φάση της νοήµονος ζωής (4), έδωσε την αντίληψη του χρόνου που ρέει. Είναι επίσης λογικό να υποθέσουµε ότι και η γήρανση καθώς και η διάρκεια ορισµέ νων φαινοµένων, συνέβαλε στην δηµιουργία αντίληψης για τον χρόνο, αλλά η µέτρη ση βασίστηκε στην περιοδικότητα (5). Έχουµε βέβαια και στον ανθρώπινο οργανισµό εσωτερικές λειτουργίες που παρουσιάζουν περιοδικότητα. Έχουµε π.χ τον έµµηνο κύκλο στις γυναίκες, τον καρδιακό ρυθµό, τον αναπνευστικό ρυθµό κ.α. Οι περιοδικό τητες αυτές δεν είναι οι ίδιες για όλους τους ανθρώπους, αλλά και για τον ίδιο τον άνθρωπο εξαρτώνται από πολλούς παράγοντες εσωτερικούς και εξωτερικούς. Η συνεχής επίδραση του φυσικού περιβάλλοντος επάνω στον άνθρωπο έχει φέρει κοντά αυτούς τους ρυθµούς ( τον καρδιακό π.χ. ρυθµό στου 75 παλµούς ανά sec και τον έµµηνο κύκλο στις 28 ηµέρες). Και αυτές οι περιοδικότητες θα µπορούσαν να αποτελέσουν µια βάση µέτρησης του χρόνου. Η έστω και µικρή όµως διαφοροποίηση

3 3 τους από άνθρωπο σε άνθρωπο καθιστά µη πρακτική την χρήση τους σαν µονάδες χρόνου. Όταν έχουµε ένα επαναλαµβανόµενο φαινόµενο του οποίου η περίοδος θεωρείται σταθερή (6), αυτή την περίοδο λαµβάνουµε σαν φυσική µονάδα χρόνου. Επιπλέον δηµιουργούµε πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια αυτής θεωρώντας αυθαί ρετα το ενδιάµεσο διάστηµα καθώς και τις προεκτάσεις αυτού ως ένα οµοιόµορφο συνεχές. Κατ αυτόν τον τρόπο θεωρούµε τον χρόνο σαν ένα πεδίο µε τιµές παρό µοιες εκείνων του πεδίου των πραγµατικών αριθµών, που εκτείνονται από το µείον άπειρο έως το συν άπειρο, όπου αυθαίρετα ονοµατίζουµε µια τιµή ως αρχή, και που µπορούµε να σχηµατίσουµε ένα διάστηµα Δt όσο µικρό θέλουµε ώστε να τείνει οριακά στο µηδέν. Αυτή η προσοµoίωση του χρόνου ως πεδίο χρονικών στιγµών, όπως οι πραγµατικοί αριθµοί δηµιούργησε µια αντίληψη απολυτότητας και οµοιοµορ φίας ( που διαθέτουν άλλωστε οι πραγµατικοί αριθµοί) (7). Στο σηµείο αυτό µπορούµε να κάνουµε µια παρατήρηση. Διαπιστώνουµε ότι µετράµε τον χρόνο παρατηρώντας την εµφάνιση ενός γεγονότος. Παρακολουθούµε δηλαδή ένα περιοδικό φαινόµενο και διακρίνουµε την εµφάνιση του γεγονότος καθώς και την ανυπαρξία του, µεταξύ δύο διαδοχικών εµφανίσεων. Στην ουσία δηλαδή ορίζουµε ως «φυσική µονάδα χρόνου» την ανυπαρξία του γεγονότος µεταξύ δύο διαδοχικών εµφανίσεων του. Αυτή την «φυσική µονάδα χρόνου» κατατέµνουµε στην συνέχεια σε ένα άπειρο σύνολο τιµών που αποκαλούµε χρονικές στιγµές, όπως ακριβώς κάνουµε µε το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Τέλος προεκτείνουµε αυτό το διάστηµα ώστε να καλύψει οµοιόµορφα γειτονικά διαστήµατα. Τι είναι όµως αυτά τα διαστήµατα; Ένα οµοιόµορ φο συνεχές που µας δηλώνει την παρουσία του µε την εµφάνιση του περιοδικού φαινοµένου; Ή δεν υπάρχει τίποτε ενδιάµεσα παρά µόνο η αριθµητική κλίµακα στο µυαλό µας; Στην πρώτη περίπτωση προσπαθούµε στηριζόµενοι στα περιοδικά φαινό µενα και στους πραγµατικούς αριθµούς απλά να µετρήσουµε αυτό το συνεχές, ενώ στην δεύτερη περίπτωση δεχόµαστε ότι δεν υπάρχει αυτό το συνεχές παρά µόνο κατά την εµφάνιση του περιοδικού φαινοµένου. Σε κάθε περίπτωση όµως, για να µετρήσου µε τον χρόνο απαιτούνται περιοδικά φαινόµενα (8) καθώς επίσης και το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Β. Γεγονότα. Στα επόµενα ορίζουµε ως γεγονός, ή συµβάν, την απειροελάχιστη αλλαγή του ενερ γειακού περιεχοµένου ενός στοιχείου του χώρου (9). Υπ αυτή την έννοια µια µετρήσι µη πεπερασµένη αλλαγή θα παρίσταται από µια ακολουθία συµβάντων, ενώ µια σταθερή κατάσταση από απουσία συµβάντων. Όλες οι αλλαγές αναφέρονται σε σύστηµα αναφοράς συνδεδεµένο µε τον παρατηρητή. Με µαθηµατικούς όρους το στοιχειώδες συµβάν ε ορίζεται ως η µεταβολή ενέργειας ε=δε που παρατηρείται σε ένα στοιχείο του χώρου v τέτοιο ώστε v=δv 0. Ας φανταστούµε τώρα ότι µπορού µε να βάλουµε µια ετικέτα σε κάθε στοιχειώδες συµβάν και ότι η ετικέτα αυτή είναι ένας πραγµατικός αριθµός που κατά παράδοση την λέµε χρονική στιγµή. Διαπιστώ νουµε ότι έχουµε άπειρους αριθµούς, έτσι που όσο πυκνή και αν είναι η εµφάνιση των στοιχειωδών συµβάντων µπορούµε πάντοτε να αντιστοιχίσουµε κάθε συµβάν µε µία ετικέτα. Οι ετικέτες που αναγράφουν τους πραγµατικούς αριθµούς έχουν βέβαια καθορισµένη και µοναδική διάταξη και η αντιστοίχιση µε τα συµβάντα µπορεί να γίνει µόνο αν και αυτά έχουν καθορισµένη σειρά που πρέπει να αναζητήσουµε. Η σειρά αυτή µπορεί να αναζητηθεί σε συσχετίσεις µεταξύ των γεγονότων (10). Αν αυτό είναι εφικτό, ένα φαινόµενο θεωρούµενο ως πεπερασµένο σύνολο συσχετισµένων συµβάντων, θα αντιστοιχεί σε ένα διατεταγµένο σύνολο πραγµατικών αριθµών που

4 4 θα είναι τα επιθέµατα αυτών των συµβάντων. Τα όρια λοιπόν αυτού του φαινοµένου, όπως καθορίζονται στο πεδίο των πραγµατικών αριθµών, είναι αυτό που λέµε διάρκεια του φαινοµένου (σχ.1). Σε κάθε συµβάν αντιστοιχεί µία µόνο ετικέτα, αλλά η ίδια ετικέτα µπορεί να διατεθεί και σε περισσότερα συµβάντα. Τίποτα δεν µας εµποδίζει ένα συµβάν να πάρει ετικέτα ταυτάριθµη µε εκείνη ενός άλλου συµβάντος αρκεί να µη διαταράσσονται οι συσχετίσεις µεταξύ των συµβάντων (11). ε > τ 2 ε > τ 1 ε κ > τ k ε k > τ k +1 Αλλαγή ενέργειας ΔΕ σε χώρο ΔV Πεδίο τιµών των επιθεµάτων τ k Σχήµα 1 Υπάρχουν όµως συσχετίσεις µεταξύ των γεγονότων; Η συσχέτιση γεγονότων µπορεί να γίνει µε διάφορους τρόπους. Εδώ δεν αναφερόµαστε σε χρονικές συσχετίσεις, δεν µας ενδιαφέρουν δηλαδή γεγονότα που συνέβησαν σε σύµπτωση µε την ίδια ένδειξη ενός ρολογιού. Μας ενδιαφέρει η αναζήτηση µιας σχέσης µεταξύ δύο γεγονότων που να µας επιτρέπει να τα ταξινοµήσουµε χωρίς την βοήθεια ενός ρολογιού, ανεξάρτητα δηλαδή του χρόνου (12). Μπορούµε να κάνουµε αυτή την ταξινόµηση; Υπάρχουν οι παρακάτω τρείς τουλάχιστον περιπτώσεις που µπορούµε να κάνουµε ταξινόµηση δύο γεγονότων χωρίς την βοήθεια ενός ρολογιού. - όταν έχουµε µια σχέση αιτίας αποτελέσµατος (13) - όταν έχουµε µη αναστρέψιµα φαινόµενα (14) - όταν έχουµε γεγονότα κατ εκτέλεση µιας µονόφορης γραµµικής µη κυκλικής κίνησης (15). Η συσχέτιση δύο γεγονότων δεν είναι απαραίτητο να είναι άµεση γιατί µας χρειάζεται µόνο για την ταξινόµηση. Θεωρούµε δηλαδή ότι τ κ < τ κ+1 όταν ε κ και ε κ+1 συνδέονται µονοσήµαντα µε δύο άλλα µεγέθη g k και g k+1 αντίστοιχα, µεταξύ των οποίων υπάρχει αποδεδειγµένως σχέση αιτίας-αποτελέσµατος. Σηµειώνουµε πάντως ότι η συσχέτιση των γεγονότων βοηθά στην ταξινόµησή τους, δεν είναι όµως ικανή προς τούτο συνθήκη. Ακόµη και σχέση αιτίας-αποτελέσµατος δεν είναι πάντοτε σε θέση να µας ξεκαθαρίσει την σειρά γεγονότων. Αυτό συµβαίνει π.χ. όταν η σχέση δεν είναι αιτιοκρατική, όταν δηλαδή το ίδιο γεγονός ε δεν παράγει πάντοτε το ίδιο αποτέλεσµα. Το γεγονός π.χ. ε µπορεί να προκαλεί το ε 1 ή το ε 2. Οι δύο αυτές συσχετίσεις ταξινο µούν το ε 1 ως προς το ε,και το ε 2 ως προς το ε, δεν γνωρίζουµε όµως την διάταξη των ε 1 και ε 2. Το πρόβληµα της ταξινόµησης των συµβάντων αντιµετωπίζουν και οι ιστορικοί όταν θέλουν να τα ταξινοµήσουν χρονικά χωρίς να τους απασχολεί τι σηµαίνει χρόνος. Και εκεί βασίζονται σε συσχετίσεις και προηγούµενες ταξινοµήσεις χωρίς όµως να µπορούν πάντοτε να το λύσουν. Αν µάλιστα προσέξουµε πιο πολύ θα δούµε ότι αυτή η χρονική ταξινόµηση δεν είναι τίποτε περισσότερο από την επικόλ

5 5 ληση µιάς ετικέτας σε κάθε συµβάν (µόνο που αυτή την ετικέτα την λέµε τέταρτη διάσταση ) (16). Και τι γίνεται όταν δεν υπάρχουν γεγονότα; Κόσµος χωρίς γεγονότα δεν έχει ανάγκη χρόνου. Αν υπάρχει χρόνος υπεράνω γεγονότων, αυτός είναι απόλυτος µη µετρούµενος µεταφυσικός χρόνος. Και πάλι τι γίνεται όταν υπάρχουν γεγονότα µη αντιληπτά από τον άνθρωπο; Ας σηµειώσουµε εδώ ότι η πραγµατικότητα ενός γεγονότος απαιτεί πιστοποίηση από πολλούς ανθρώπους και για πολύ καιρό. Μπορούµε λοιπόν να πούµε ότι υπάρχουν γεγονότα για τα οποία δεν έχουµε άµεση αντίληψη, αλλά έµµεσες διαπιστώσεις, που σε συνδυασµό µε σχέσεις λογικής, µας οδηγούν στην αποδοχή της ύπαρξης τους. Για αυτά τα γεγονότα, που πλέον τα θεωρούµε πραγµατικά, µπορούµε να δεχθούµε ότι υπάρχουν ετικέτες. Ίσως να µην γνωρίζουµε την αριθµητική τους τιµή, αλλά δεχόµαστε ότι συνυπάρχουν µε τα γεγονότα. Βλέπουµε ότι µπορούµε να βρούµε συσχετίσεις µεταξύ γεγονότων για να τα ταξινοµήσουµε, µπορούµε όµως να το εξασφαλίσουµε αυτό για όλα τα συµβάντα; Επισηµαίνουµε ότι οι συσχετίσεις των γεγονότων καθορίζουν την σειρά των επιθεµά των. Πως λειτουργούν όµως αυτές οι συσχετίσεις; Ας υποθέσουµε πάλι ότι στην µνήµη µας έχουν καταγραφεί δύο γεγονότα. Πως ξέρουµε ποιό έγινε πρώτα και ποιό µετά. Από ότι γνωρίζουµε στο µυαλό µας δεν υπάρχει register εισόδου που να επικολά τον χρόνο εισόδου. Η χρονική στιγµή του συµβάντος προσδιορίζεται, ή όντας προσκολληµένη εξωτερικά στην ίδια την πληροφορία, ή συνάγεται από επεξεργασία µετά την είσοδό της στον εγκέφαλο, βασισµένη στην συσχέτισή του µε άλλα συµβάντα. Το ΟΧΙ π.χ. του 1940, και η εθνική εξέγερση του 1821 είναι καταγραφές που φέρνουν αφ εαυτές τον χρόνο τέλεσής τους. Το µεγάλο πλήθος των καταγραφών όµως δεν κουβαλά χρονική επισηµανση, αυτή πρέπει να συναχθεί εγκεφαλικά. Θυµάµαι π.χ. ότι κάποια φορά έπινα καφέ µε τον φίλο µου τον Αποστόλη στην στοά του βιβλίου, και θυµάµαι ακόµη ότι κάποτε µε πόναγε η µέση µου, ποιό προηγήθηκε του άλλου; Δεν υπάρχει άλλος τρόπος να το απαντήσω παρά αφού το συσχετίσω µε άλλες καταγραφές στην µνήµη µου. Ψάχνωντας στην µνήµη µου βρίσκω οτι στην συνάντηση µιλήσαµε για το πρόβληµα της µέσης µου άρα πρέπει να προηγήθηκε της συνάντησης. Βλέπουµε έτσι ότι οι αιτιώδεις σχέσεις καθορίζουν το πριν από το µετά (17). Λάθος επεξεργασία αυτών των συσχετίσεων οδηγεί πολλές φορές σε λάθος ταξινόµηση, σε εσφαλµένη δηλαδή διαφοροποίηση του πριν από το µετά. Είναι γνωστό ότι σε πολλές αφηγήσεις κατατίθεται διαφορετική σειρά των γεγονότων, που σηµαίνει ότι ο χρόνος δεν είναι µέγεθος ανεξάρτητο των συσχετίσεων µε άλλα γεγονότα. Οι συσχετίσεις αυτές έχουν µία αντικειµενική βάση πού γίνεται όµως κατανοητή µέσα από εγκεφαλική επεξεργασία διαφορετική από άνθρωπο σε άνθρωπο, γι αυτό ο καθένας µας έχει διαφορετική αίσθηση του χρόνου. Γ. Βέλος του χρόνου. Βέλος του χρόνου ονοµάζουµε την µονοκατευθυντικότητα της ροής του χρόνου (18). Δεχόµαστε δηλαδή ότι ο χρόνος όχι µόνο δεν είναι στατικό µέγεθος αλλά µεταβάλ λεται προς µία µόνο κατεύθυνση. Δεν υπάρχει δηλαδή αναστροφή του χρόνου. Η άποψη αυτή είναι αντικείµενο συζητήσεων στο χώρο των φυσικών επιστηµών, πολλοί δε είναι εκείνοι που υποστηρίζουν και το αντίθετο. Κατ αρχήν τι εννοούµε

6 6 λέγοντας κατεύθυνση χρόνου. Μία απάντηση βασίζεται στο αναλλοίωτο των φυσικών νόµων στην αλλαγή του t σε t, µία άλλη στην δυνατότητα αντιστροφής στην διαδοχή των γεγονότων. Παρατηρούµε ότι οι νόµοι της µηχανικής του Newton, του ηλεκτροµαγνητισµού του Maxwell, της κβαντοµηχανικής του Shrοndiger και της σχετικότητας του Einstein, είναι όλοι τους σε συµµετρική µορφή ως προς τον χρόνο, ενώ στην καθηµερινή µας ζωή δεν παρατηρούµε αναστροφή της διαδοχής των γεγονότων. Βλέπουµε εδώ δύο οµάδες προσέγγισης του θέµατος. Τον κόσµο των θεωρητικών επιστηµόνων και τον κόσµο των επιστηµόνων των συστηµάτων (βιολό γων, χηµικών, µηχανικών), που ασχολούνται µε τα θερµοδυναµικά συστήµατα και τον µακρόκοσµο γενικά. Η πρώτη κατηγορία εντυπωσιάζεται από την συµµετρία ως προς τον χρόνο των παραπάνω θεµελιωδών νόµων, ενώ η δεύτερη βασίζεται στον δεύτερο νόµο της θερµοδυναµικής, όπως διατυπώνεται από τους Claussius και Kelvin πάνω στην έννοια της εντροπίας. Η ισχύς του νόµου αυτού είναι πειραµατικά τόσο ελεγµένη ώστε να λέει ο Eddington «αλλοίµονο στην άποψη που δεν ικανοποιεί τον δεύτερο νόµο της θερµοδυναµικής, η αποτυχία της είναι δεδοµένη (19)». Από την άλλη πλευρά δεν µπορούµε να αµφισβητήσουµε την ισχύ των βασικών νόµων της φυσικής, όπως έχουν διατυπωθεί, και τις επιτυχίες τους στην δόµηση της σηµερινής τεχνολογίας. Τι από τα δύο ισχύει; Πριν δοθεί κάποια απάντηση ας παρατηρήσουµε τα παρακάτω. α. Η συµµετρία ως προς τον χρόνο της µαθηµατικής διατύπωσης ενός νόµου δεν απο τελεί βεβαίωση ύπαρξης και πραγµατικής συµµετρίας. Οι µαθηµατικές φόρµες των νόµων είναι ανθρώπινα κατασκευάσµατα (20) για την προσέγγιση της πραγµατικό τητας και πολλές είναι οι περιπτώσεις που αναζητούµε καλύτερες προσεγγίσεις (21). Η πειραµατική όµως επιβεβαίωση των βασικών νόµων µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι προσεγγίζουν την συµµετρία (22) στα όρια του λάθους κατά την µέτρηση. Πέραν αυτού είναι γνωστή η σύνδεση της συµµετρίας ως προς τον χρόνο µε την διατήρηση της ενέργειας (23). Η αρχή διατήρησης της ενέργειας θεωρούµε ότι ισχύει τόσο για ένα σωµατίδιο όσο και για συστήµατα σωµάτων (24). β. Οι βασικοί νόµοι αναφέρονται στην συµπεριφορά µεµονωµένων σωµάτων και στην αλληλοεπίδραση δύο σωµάτων. Είναι γνωστή η αδυναµία εφαρµογής των νόµων αυτών σε πολλαπλά συστήµατα, όπου δε επιτυγχάνεται βασίζεται στην αρχή της επαλληλίας που ισχύει µόνο στα συστήµατα γραµµικής συµπεριφοράς. Η µετάβαση της µελέτης από ένα σώµα σε µία πολλαπλότητα σωµάτων γίνεται πάντοτε αφαιρώντας επιδράσεις που θεωρούνται αµελητέες, η προσέγγιση όµως αυτή µας αποµακρύνει πάντοτε από µία ολοκληρώσιµη λύση. γ. Η θερµοδυναµική θεωρείται η επιστήµη των συστηµάτων, είτε στην κλασσική είτε στην στατιστική της µορφή. Και οι δύο µορφές, παρά τις διαφορές στην µεθόδευση εφαρµογής τους, συγκλίνουν στα αποτελέσµατα τους (25). Δεν υπάρχει ακόµα αµφισβήτηση του δεύτερου νόµου της. Σύµφωνα µε την τρέχουσα διατύπωση του νόµου αυτού «σε ένα αποµονωµένο σύστηµα σωµάτων κάθε µη αντιστρεπτή µεταβο λή επιφέρει αύξηση της εντροπίας (26)», οδηγεί δηλαδή το σύστηµα σε µία πιο πιθανή, πιο άτακτη κατάσταση. Η κατάσταση αυτή είναι πιο κοντά στην θερµοδυ ναµική ισορροπία, όπου η εντροπία του γίνεται µέγιστη και η ελεύθερη ενέργειά του ελάχιστη. δ. Σε ένα αποµονωµένο σύστηµα σωµάτων έχουµε εξ ορισµού µόνο αυθόρµητες (spontaneous) µεταβολές, οι οποίες είναι µη αντιστρεπτές και αυξάνουν την εντροπία του. Σε ένα ανοικτό σύστηµα όµως µπορούµε να έχουµε αυθόρµητες µεταβολές που

7 7 αυξάνουν την εντροπία του, αλλά και εξωτερικά οδηγούµενες µεταβολές που ενδεχοµένως την ελαττώνουν. Συνολικά δηλαδή η εντροπία ενός ανοικτού συστήµα τος µπορεί να αυξάνεται, να ελαττώνεται, ή να παραµένει σταθερή. Αν βέβαια µεγαλώσουµε τα όρια του προηγούµενου συστήµατος ώστε να συµπεριλάβει και τις πηγές των εξωτερικών του επιδράσεων, και θεωρήσουµε και το νέο σύστηµα µονω µένο, τότε πάλι η ολική εντροπία θα έχει αυξηθεί (27). ε. Όταν σε ένα σύστηµα σωµάτων, είτε µονωµένο είτε ανοικτό, έχουµε µία διατε ταγµένη ακολουθία γεγονότων, αυτή δηµιουργεί ένα βέλος χρόνου. Πράγµατι ας θεωρήσουµε (Σχ. 2), ένα σύνολο συµβάντων που το ταξινοµούµε στο πεδίο των πραγµατικών αριθµών και σε κάθε συµβάν ε n αντιστοιχούµε µία ετικέτα t n που την λέµε χρονική στιγµή. Τότε η διατεταγµένη αλληλουχία των συµβάντων οδηγεί σε µία διατεταγµένη αλληλουχία των χρονικών στιγµών. Ο χρόνος δηλαδή στο σύστηµα αυτό ρέει προς την κατεύθυνση της διαδοχής των γεγονότων. Αν αυτά δεν µπορούν να αναστραφούν ούτε ο χρόνος µπορεί να αναστραφεί. ε > > t 1 ε > > t 2 ε > > t 3 ε n >n > t n Συσχετισµένα γεγονότα Πεδίο πραγµατικών αριθµών Χρονικές στιγµές Σχ. 2 Οι προηγούµενοι συλλογισµοί καταλήγουν στα εξής: - Στο σύµπαν, που είναι εξ ορισµού κλειστό και µονωµένο, η εντροπία συνεχώς αυξάνεται, ώσπου να καταλήξει στην θερµοδυναµική ισορροπία που αποκαλούµε θερµικό θάνατο. - Όλα τα εντός του σύµπαντος συστήµατα είναι ανοικτά, και σε αυτά η µεταβολή της εντροπίας τους µπορεί να πάρει οποιοδήποτε ή µηδενικό πρόσηµο (28). - Σε ένα οργανωµένο σύνολο όπου οι αλληλοεπιδράσεις των µελών του είναι πιο έντονες από τις εξωτερικές επιδράσεις η εντροπία του συνεχώς θα αυξάνεται όσο αυτό παραµένει ζωντανό, όσο δηλαδή συµβαίνουν σε αυτό µεταβολές. - Το βέλος του χρόνου συµβαδίζει µε την διάταξη των γεγονότων. Από τα προηγούµενα µπορούµε να πούµε ότι διαπιστώνουµε για όλο το σύµπαν ένα κοσµολογικό και ένα θερµοδυναµικό βέλος του χρόνου µε κατεύθυνση τον θερµικό θάνατο, αλλά σε επιµέρους ανοικτά, και κατ εξοχήν στα έµβια συστήµατα, η εντρο πία µπορεί να µεταβάλλεται και προς τις δύο κατευθύνσεις και ως εκ τούτου δεν µπορεί να συσχετισθεί µε µία µοναδική κατεύθυνση του χρόνου (29). Το ίδιο παρατη ρούµε στις αλληλοεπιδράσεις σωµάτων που θεωρούµε στοιχειώδη. Εκείνο όµως που δεν µπορεί να αντιστραφεί είναι η εξέλιξη ορισµένων γεγονότων που συµβαίνουν σε συστήµατα σωµάτων. Δεν είναι δυνατόν ένας γέρος να γίνει νέος, ένα κοµµάτι ξύλο να αναδηµιουργηθεί από την στάχτη του, ένα έµβρυο να συρρικνωθεί σε ένα γονι µοποιηµένο ωάριο, σπασµένα γυαλιά να ανασυστήσουν το βάζο από το οποίο προήλ

8 8 θαν, ένα ακτινοβολούµενο κύµα να επιστρέψει στην πηγή του. Ένα άστρο να ξανα µαζέψει την ενέργεια που σκόρπισε και να εκταθεί πάλι σε ένα πλήθος αερίων και σωµατιδίων από το οποίο γεννήθηκε. Τελικά δεν γνωρίζουµε αν υπάρχει ένα µονα δικό βέλος χρόνου, σίγουρα όµως στα συστήµατα σωµάτων υπάρχει µία εξέλιξη γεγονότων που δεν αναστρέφεται, έστω και αν τοπικά συνεπάγεται µείωση της εντροπίας. Αυτή η αποδοχή του νόµου της µη αναστροφής των γεγονότων είναι ο κύριος τρόπος συσχέτισης τους. Ας το δούµε αυτό µε ένα παράδειγµα. Έστω ότι παρατηρούµε δύο φωτογραφίες του ίδιου προσώπου. Πως µπορούµε να καταλάβουµε ποιά προηγήθηκε αν δεν υπάρχει χρονική καταγραφή επάνω της από ανθρώπινο χέρι; Ερευνούµε αν σε µία από αυτές το πρόσωπο είναι πιο γερασµένο, ή αν το χαρτί είναι κιτρινισµένο, ή εξετάζουµε τον ρουχισµό του µήπως βγάλουµε συµπέρασµα από την µόδα της εποχής. Ψάχνουµε δηλαδή σχέσεις αιτιώδεις µη αναστρέψιµες για να µπορέ σουµε να προσδιορίσουµε το πριν και το µετά. Αν οι µεταβολές που παρατηρούµε είναι αναστρέψιµες αδυνατούµε να προσδιορίσουµε χρόνο. Θα µπορούσε κάποιος να αντιτείνει ότι η τεχνολογία µπορεί να προσδιορίσει την παλαιότητα του χαρτιού. Βέβαια µα πάλι καταφεύγουµε στο µη αναστρέψιµο γεγονός της γήρανσης. Πάλι όµως θα µπορούσε να διερωτηθεί κάποιος, µήπως βάζουµε το κάρο πριν το άλογο; Μήπως ο χρόνος σέρνει τον χορό; Μήπως ο χρόνος προκαλεί τις µη αναστρέψιµες αλλαγές; Μήπως ο χρόνος φέρνει αναπόφευκτα την γήρανση; Αν καταλήξουµε σε αυτό το συµπέρασµα πρέπει αφού υπάρχουν και αναστρέψιµα γεγονότα, που και αυτά προκαλούνται από τον χρόνο, να δεχθούµε ότι ο χρόνος µπορεί να πηγαίνει εµπρός πίσω, για την µητέρα πού κυοφορεί εµπρός και για έµβρυο στην µήτρα της πίσω. Πρέπει τότε ακόµα να δεχτούµε ότι όπου ισχύει το αναλλοίωτο των νόµων στην αντικατάσταση του t µε το -t ο χρόνος δεν έχει κατεύθυνση ούτε µπορούµε να διακρίνουµε αίτιο από αιτιατό. Μία άλλη αντιµετώπιση θα ήταν να πούµε ότι ο χρόνος δεν έχει καµία σχέση µε τα γεγονότα, είναι αυθύπαρκτη οντότητα που την θεωρούµε θεµελιώδες µέγεθος για την φυσική επιστήµη. Τα γεγονότα συµβαίνουν εντός του χρόνου όπως συµβαίνουν και εντός του χώρου. Το γιατί συµβαίνουν γεγονότα δεν το χρεώνεται ο χρόνος και ο χώρος, αλλά θα πρέπει να αποτελεί αντικείµενο άλλης έρευνας. Στην περίπτωση όµως αυτή προκύπτει πρόβληµα µέτρησης, γιατί ενώ η ύπαρξη ύλης µας δίνει την δυνατότητα να µετρήσουµε τον χώρο, απαιτούνται µεταβολές για να µετρήσουνε τον χρόνο (30). Είναι όµως η δυνατότητα µέτρησης απαραίτητη για την ύπαρξη µιάς οντότητας; Όχι αλλά κακώς τότε θεωρούµε τον χρόνο φυσικό µέγεθος, αφού χωρίς γεγονότα δεν µπορούµε να τον µετρήσουµε. Δ. Ο χρόνος σε κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας (31). Θερµοδυναµική ισορροπία µπορούµε να έχουµε και σε ανοικτά και σε µονωµένα συστήµατα. Πρέπει να εξετασθούν και οι δύο περιπτώσεις. Ας δούµε πρώτα τα µονω µένα συστήµατα. Σε κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας ένα µονωµένο σύστηµα έχει καταλήξει στην πιο πιθανή κατάσταση, εκείνη της µέγιστης αταξίας, ή ελάχιστης ελεύθερης ενέργειας. Η εντροπία του τότε είναι η µέγιστη δυνατή. Καµία µεταβολή δεν συµβαίνει πλέον σε ένα µονωµένο σύστηµα, κανένα γεγονός. Πως αντιµετωπίζου µε τότε τον χρόνο; Αν συνδέσουµε τον χρόνο µε τα γεγονότα ή την εντροπία, δηλαδή µε το γίγνεσθαι, τότε δεν υπάρχει χρόνος εντός του συστήµατος. Ίσως κάποιος αντιτείνει ότι ο χρόνος εκτός συστήµατος τρέχει, τα ρολόγια δουλεύουν, οι άνθρωποι γερνούν, πώς λέµε ότι ο χρόνος στο σύστηµα σταµάτησε; Δεν είναι αντιφατικό να

9 9 λέµε ότι εντός του µονωµένου συστήµατος δεν υπάρχει χρόνος και εκτός αυτού ο χρόνος ρέει κανονικά; Υποθέσαµε όµως ότι το σύστηµα είναι κλειστό αποµονωµένο, δεν µπορεί να ανταλλάξει ύλη-ενέργεια µε το περιβάλλον του. Δεν υπάρχει ροή πλη ροφορίας µέσα από τα όρια του συστήµατος. Έχουµε βέβαια τότε µία κατάσταση που το µέσα και το έξω είναι δύο διαφορετικοί κόσµοι πού δεν γνωρίζει τίποτα ο ένας για τον άλλο. Το µέσα θεωρείται ανύπαρκτο, το έξω είναι ζωντανό, εξελίξιµο. Η κατάσταση αυτή είναι ιδεατή γιατί δεν υπάρχει σύστηµα απόλυτα µονωµένο. Τέτοιο µπορεί να νοηθεί µόνο το Σύµπαν για το οποίο σε κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας δεν νοείται και χρόνος. Πέραν όµως αυτού δεν είναι αντιφατικό να έχουµε διάφορους χρόνους σε διαφορετικά σηµεία του χώρου, αφού µε την εισαγωγή της σχετικότητας ο χρόνος δεν θεωρείται πλέον απόλυτο µέγεθος. Αν για να αποφύγουµε την ανυπαρξία του, θεωρήσουµε τον χρόνο αυθύπαρκτη οντότητα ανεξάρτητη των γεγονότων, τότε πάλι θα πρέπει να τον τοποθετήσουµε πέραν του φυσικού χώρου, ως µη µετρούµενο πλέον µέγεθος. Η φυσική επιστήµη δεν µπορεί πλέον να ασχοληθεί µε έναν τέτοιο χρόνο. Αυτή είναι µία µεταφυσική οντότητα του ευρύτερου φιλοσοφικού πεδίου. Τι γίνεται αντίστοιχα όταν εξετάζουµε ένα ανοικτό σύστηµα, ένα σύστηµα δηλαδή που ανταλλάσει ύλη, ενέργεια, πληροφορία, µε το περιβάλλον του; Ένα ανοικτό σύστηµα δεν µπορεί να βρεθεί σε κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας, παρά µόνο αν βρεθεί σε κατάσταση µηδενικού ισοζυγίου ανταλλαγών µε το περιβάλλον του. Εκεί η µεταβολή της εντροπίας µπορεί να πάρει θετικές, αρνητικές ή µηδενική τιµή. Όσο δε πιο µακριά βρίσκεται το σύστηµα από την θερµοδυναµική του ισορροπία, τόσο πιο έντονη είναι η µεταβολή της εντροπίας του. Στις χαοτικές µάλιστα µεταβολές παρατηρούνται και φαινόµενα αυτοργάνωσης της ύλης, που προοιωνίζονται την εµφάνιση ζωής. Μακριά από την κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας παρατηρούνται ταχείες µεταβολές της εντροπίας, που για όσους την συνδέουν µε το βέλος του χρόνου, ερµηνεύονται σαν ταχεία ροή του χρόνου. Επειδή ο όρος ταχύτητα ροής του χρόνου είναι τουλάχιστον ακατανόητος θα ήταν καλύτερα να αναφερόµαστε µόνο στα γεγονότα και να λέµε ότι µακράν της κατάστασης θερµοδυναµικής ισορροπίας η διαδοχή των γεγονότων είναι ταχεία, ή να λέµε ότι η πυκνότητα των χρονικών στιγµών που αντιστοιχούν στα γεγονότα είναι µεγάλη, ή ακόµα ότι το πλήθος των επιθεµάτων κατά την ταξινόµηση των γεγονότων, έχει αριθµούς, που στο πεδίο των πραγµατικών αριθµών, είναι κοντά κοντά. Στην θεωρία της µεγάλης έκρηξης το Σύµπαν ξεκίνησε µε ένα πρώτο συµβάν. Αυτή ήταν και η αρχή του χρόνου. Η εξέλιξή του έγινε µε αρχικά τεράστιες και ταχείες µεταβολές της εντροπίας που συνεχίζονται µε πιο αργό ρυθµό, ενώ σε ορισµένες περιοχές, όπου παρατηρείται οργάνωση της ύλης, έχουµε και πρόσκαιρη µείωση της εντροπίας. Το Σύµπαν όµως οδεύει προς την θερµοδυναµική ισορροπία όπου δεν υπάρχει χρόνος. Με το πλέον αποδεκτό λοιπόν µοντέλο γέννησης και θανάτου του Σύµπαντος, ο χρόνος έχει αρχή και τέλος. Ε. Ο χρόνος στην θεωρία της σχετικότητας. Στην φυσική, κλασσική ή σχετικιστική ο χρόνος εµφανίζεται µόνο ως χρονικό διάστη µα. Μόνο στην κοσµολογία και ιδιαίτερα στο µοντέλο της µεγάλης έκρηξης ορίζεται αρχή χρόνου. Σε όλους τους φυσικούς νόµους εµπλέκεται µόνο το χρονικό διάστηµα. Στην κλασσική φυσική αυτό το διάστηµα θεωρείται απόλυτο υπό την έννοια ότι δεν εξαρτάται από το σύστηµα αναφοράς του παρατηρητή. Ο κάθε παρατηρητής έχει την

10 10 ευχέρεια να επιλέξει το δικό του αδρανειακό σύστηµα αναφοράς µε το δικό του χρο νόµετρο, και την δική του µονάδα χρόνου. Αν αλλάξει την µονάδα χρόνου που χρησιµοποιεί, δεν θα αλλάξουν οι φυσικοί νόµοι και ο κόσµος, ούτε θα συµβεί κάτι τέτοιο αν ο καθένας χρησιµοποιεί το δικό του χρονόµετρο. Οι νόµοι της µηχανικής ισχύουν σε κάθε περίπτωση, µε οποιοδήποτε αδρανειακό σύστηµα αναφοράς και οποιοδήποτε σύστηµα µονάδων. Μόνο η ανάγκη συνεννόησης µεταξύ των ανθρώπων επιβάλλει την χρήση κοινού συστήµατος αναφοράς και κοινής µονάδας χρόνου, όπου δε τούτο δεν είναι εφικτό χρησιµοποιούµε τους µετασχηµατισµούς του Galileo για να µεταβούµε από το ένα σύστηµα αναφοράς στο άλλο, πάντοτε όµως για αδρανειακά συστήµατα και µε την ίδια µονάδα χρόνου που εθεωρείτο απόλυτο µέγεθος. Στην ειδική θεωρία της σχετικότητας ισχύουν τα προηγούµενα όχι µόνο για τους νόµους της µηχανικής αλλά γενικά για όλους τους νόµους της φυσικής. Η µετάβαση από το ένα σύστηµα στο άλλο γίνεται όµως µε τους µετασχηµατισµούς Lorentz (32), και ο χρόνος δεν θεωρείται απόλυτο µέγεθος, αλλά υπόκειται και αυτός στους εν λόγω µετασχηµατισµούς, πάλι όµως υπό την προϋπόθεση ότι τα συστήµατα αναφοράς παραµένουν αδρανειακά. Το ότι το χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο γεγονότων έχει άλλες τιµές σε δύο διαφορετικά αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µεταφράζεται στην καθοµιλουµένη των φυσικών ως διαφορετική ροή του χρόνου στα δύο συστήµατα, ως συστολή ή διαστολή του χρόνου. Στην γενική θεωρία της σχετικότητας, τα παραπάνω ισχύουν και στα µη αδρανειακά συστήµατα, όπως πλέον αυτό καθορίζεται από τις εξισώσεις του Einstein, που διαµορφώνουν την καµπυλότητα του χωροχρόνου και καθορίζουν την κίνηση των σωµάτων και την διάδοση της ακτινοβολίας. Σηµειώνουµε µόνο στο σηµείο αυτό ότι η διαστολή ή συστολή του χρόνου εξαρτάται επιπλέον και από την πυκνότητα ενέργειας και την πίεση στον χώρο όπου γίνεται η µέτρηση. Πάλι στην καθοµιλουµένη των φυσικών, διαφορετικά ρέει ο χρόνος κοντά στο ορίζοντα µιάς µαύρης τρύπας από ότι στην επιφάνεια της γης, διαφορετικά στο επίπεδο της θάλασσας από ότι στο Έβερεστ. Και στην ειδική και στην γενική σχετικότητα πάντως ο χρόνος αντιµετωπίζεται φορµαλιστικά ως τέταρτη διάσταση σε ένα χωροχρονικό συνεχές. Τα γεγονότα είναι µεταβολές που στην ειδική σχετικότητα συµβαίνουν σε ένα παγιωµένο αυθύπαρκτο συνεχές, ενώ στην γενική σχετικότητα σε ένα συνεχές που διαµορφώνεται από την ύλη/ενέργεια (33). Η διαπίστωση ότι ο χρόνος παίρνει διαφορετικές τιµές και εξελίσσεται διαφορετικά στα διάφορα συστήµατα αναφοράς µας αποµακρύνει από την δυνατότητα να τον θεωρήσουµε αυθύπαρκτη οντότητα, πέρα δηλαδή από τα τεκταινόµενα στον χώρο. Όταν αλλάζουν οι καταστάσεις στον χώρο, αλλάζει και η συµπεριφορά του χρόνου. Αν πάλι τον θεωρήσουµε αυθύπαρκτη οντότητα ανεξάρτητη και από τον χώρο και από τις µετρήσεις, τότε παύουµε να τον θεωρούµε φυσικό µέγεθος και πρέπει να τον κατατάξουµε στον χώρο της µεταφυσικής. ΣΤ. Ο χρόνος στην κβαντική φυσική. Ο χρόνος εµφανίζεται και στην γνωστή σχέση ΔΕ.Δt>h που χαρακτηρίζει την απροσδιοριστία στην ενέργεια. Ο όρος «απροσδιοριστία» δέχεται πολλές ερµηνείες που δεν είναι του παρόντος να αναλυθούν. Υπό οποιαδήποτε όµως ερµηνεία (34) η ανισότητα αυτή δείχνει µία σχέση της ενέργειας µε τον χρόνο λέγοντας µας ότι µία ποσότητα ενέργειας ΔΕ δεν µπορεί να µετρηθεί σε χρονικό διάστηµα Δt µικρότερο του h/δε. Παρόλο που στην φυσική, η ενέργεια σε οποιαδήποτε µορφή είναι κβαντω µένη, προσπερνάµε µάλλον επιπόλαια την εµπλοκή του χρόνου στην παραπάνω σχέση. Και όµως η σχέση αυτή ευθέως µας δείχνει ότι και ο χρόνος πρέπει να είναι

11 11 κβαντωµένος. Η απροσδιοριστία ενός χρονικού διαστήµατος µας οδηγεί σε αδυναµία να προσδιορίσουµε χρονικές στιγµές, σε αδυναµία δηλαδή να προσδιορίσουµε µεταβολές της εντροπίας. Oύτε καν το πρόσηµο ενδεχόµενης µεταβολής της εντροπίας στο διάστηµα αυτό δεν µπορούµε να υπολογίσουµε. Με άλλα λόγια στο διάστηµα Δt δεν γνωρίζουµε ούτε αν υπάρχει ούτε προς τα που ρέει ο χρόνος. Τότε τι συµβολίζει το Δt; Έναν χρόνο ενδεχοµένως απόκρυφο; Ένα χρόνο υπαρκτό πέρα από ανθρώπινη προσέγγιση; Ή µήπως απλά ένα διάστηµα πραγµατικών αριθµών; Ό,τι και να είναι, το σίγουρο είναι ότι δεν µπορεί να µετρηθεί, άρα δεν µπορεί να λογίζεται φυσικό µέγεθος. Από την άλλη πλευρά όµως, η ιστορία των φυσικών επιστηµών µας βεβαιώνει ότι πολλά είναι τα φυσικά µεγέθη που δεν γνωρίζαµε, απλά τα υποθέταµε και δεν µπορούσαµε να µετρήσουµε. Το γεγονός δηλαδή ότι αδυνατούµε σε κάποιες περιπτώσεις να µετρήσουµε ένα διάστηµα Δt δεν σηµαίνει ότι τότε δεν υπάρχει χρόνος. Πράγµατι, αλλά η αδυναµία µέτρησης δε µας επιτρέπει και να το δεχτούµε. Εάν ενδεχοµένως εδικαιώνετο η άποψη του Einstein περί ύπαρξης κρυµµένων παραµέτρων, τότε µόνο θα µπορούσαµε να απαλλαγούµε από την απροσδιοριστία και την τυχαιότητα της κβαντοµηχανικής, προσδοκία όµως που µετά παρέλευση 80 και πλέον ετών δεν έχει επαληθευθεί. Βέβαια άλλο η απροσδιοριστία και άλλο η κβάντωση του χρόνου και παρόλο που όπως αναφέραµε τούτο υποδεικνύεται από τις σχέσεις απροσδιοριστίας, δεν έχει µέχρι τώρα αποδειχθεί ένα τέτοιο ενδεχόµενο. Ο χρόνος εξακολουθεί να θεωρείται συνεχές µέγεθος (35). Υπάρχει και η άποψη πως και ο χώρος είναι κβαντωµένος στις τρείς του διαστάσεις και αυτό συµπαρασύρει και τον χρόνο σε κβάντωση (36). Είναι αλήθεια ότι και ο χρόνος Planck (37) στην κοσµολογία θέτει ένα ερώτηµα για την συνέχεια του χρόνου, που έτσι κι αλλιώς αντιµετωπίζει τον χρόνο ως οντότητα µε αρχή και τέλος. Ας προσπαθήσουµε να τα δούµε όλα από την αρχή. Ξεκινήσαµε µε µία εικόνα όπου ενέργεια και χρόνος είναι δύο µεγέθη, µετρούµενα φυσικά µεγέθη, που µεταβάλονται, ή µπορούν να µεταβληθούν κατά ένα συνεχή τρόπο, όπως ορίζεται η συνέχεια στο πεδίο των πραγµατικών αριθµών. Η εικόνα αυτή έχρηζε φυσικά πειραµατικής συµφω νίας. Η έρευνα έφερε όµως δύο σηµαντικές αλλαγές, διαπιστώσαµε ότι : - Η ενέργεια δεν µπορεί να υπάρχει σε οποιαδήποτε ποσότητα παρά µόνο σε ακέραια πολλαπλάσια ένος ελαχίστου κβάντου. - Το χρονικό διάστηµα ύπαρξης µίας ποσότητας ενέργειας ΔΕ δεν µπορεί να είναι µικρότερο από h/δε. Και στις δύο πιο πάνω περιπτώσεις δεν αντιµετωπίζουµε δυσκολία στην κατανόηση της συµπεριφοράς της ενέργειας. Μας είναι αποδεκτή µία εικόνα που η ενέργεια δεν υπάρχει, ή υπάρχει σε καθορισµένες µόνο ποσότητες. Τι γίνεται όµως µε τον χρόνο στις αντίστοιχες περιπτώσεις; Αυτά τα κενά της ύπαρξης της ενέργειας τα καλύπτει ο χρόνος; Φαίνεται να καταλήγουµε σε τρείς δυνατές απαντήσεις. Ή θα πούµε ότι ο µετρούµενος χρόνος δεν σχετίζεται µε τα τερτίπια της ενέργειας, πράγµα που θα µας φέρει σε αντίθεση µε την γενική σχετικότητα που θέλει τον χωροχρόνο να διαµορφώ νεται από την ενέργεια, ή θα πούµε ότι όπως είναι αποδεκτό σε ορισµένες περιπτώ σεις να µην υπάρχει ενέργεια, έτσι συµβαίνει και µε τον χρόνο, ή τέλος θα δεχθούµε έναν χρόνο µη µετρούµενο, υπεράνω χώρου και ενέργειας δηλαδή ένα χρόνο θεό.

12 12 Ζ. Χρόνος και πραγµατικότητα. Μέχρι τώρα ο χρόνος εµφανίζεται άµεσα συνδεδεµένος µε τα γεγονότα, αφενός οντο λογικά, αφού η θερµοδυναµική δεν δίνει νόηµα στην ύπαρξη χρόνου χωρίς µεταβολές στην ενέργεια, αλλά και πρακτικά, αφού η µέτρησή του, που επίσης για πολλούς οριοθετεί την ύπαρξη του, απαιτεί περιοδικά γεγονότα. Πότε όµως ένα γεγονός λογίζεται ως πραγµατικό; Έχουν υπόσταση τα συµβάντα γύρω µας; Και αν ναι, έχει αξία αυτή η υπόσταση αν δεν είναι ίδια για όλους µας; Στο κεφάλαιο Α για την µέτρηση του χρόνου, αναφερθήκαµε στην ύπαρξη εσωτερικών ρυθµών που οδηγούν βασικές λειτουργίες του ανθρώπινου οργανισµού. Αυτοί οι ρυθµοί δηµιουργούν µια εσωτερική αντίληψη του χρόνου που λόγω της διαφοροποιήσεως από άνθρωπο σε άνθρωπο δεν µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να µετρήσουµε τον χρόνο. Πλέον αυτού, η εσωτερική αυτή αντίληψη χρόνου εξαρτάται από την ηλικία µας και από την εκάστοτε συναισθηµατική µας κατάσταση. Αλλιώς αντιλαµβάνεται τον χρόνο ένα παιδί από έναν ηλικιωµένο. Αλλιώς ένας άνθρωπος απορροφηµένος στην εργασία του απο κάποιον που τρέχει κυνηγηµένος. Ο εσωτερικός χρόνος είναι σίγουρα υποκειµενικός και δεν µπορεί να αποτελέσει τον παγκόσµιο χρόνο. Αυτός ο παγκόσµιος χρόνος πρέπει να συναρτηθεί µε εξ αντικειµένου γεγονότα. Τα γεγονότα όµως γίνονται αντιληπτά από τις αισθήσεις µας, µε την βοήθεια οργάνων µέτρησης/παρατήρησης, µε τελικό επεξεργαστή της πληροφορίας τον ανθρώπινο εγκέφαλο, που γνωρίζουµε πάλι πόσο επηρρεάζεται στην λειτουργία του, από συναισθήµατα, από προηγούµενες γνώσεις ή και ακόµη προκαταλήψεις του. Για το ίδιο συµβάν δεν έχουµε λοιπόν όλοι την ίδια εικόνα και αυτό είναι µέρος της αβεβαιότητάς µας για τον περιβάλλοντα κόσµο. Δεν µπορούµε λοιπόν να δεχθούµε την υποκειµενική εικόνα ενός γεγονότος ως την µοναδική στον κόσµο. Οι πολλές όµως εικόνες από πολλούς ανθρώπους για το ίδιο συµβάν, µας δίνουν µεγαλύτερη βεβαιότητα για ένα γεγονός. Για να αποφύγουµε µάλιστα και τον κίνδυνο οµαδικής παραίσθησης µπορούµε να προσθέσουµε και την διάρκεια παραµονής της εικόνας στον εγκέφαλο και να ονοµάσουµε πραγµατικό γεγονός εκείνο που δηλώνεται από πλείονες ανθρώπους για ικανό χρονικό διάστηµα (38). Υπάρχουν επιπλέον γεγονότα για τα οποία δεν έχουµε, µέσω παρατήρησης άµεση αντίληψη, οδηγούµαστε στην αποδοχή της ύπαρξης τους από άλλα πραγµατικά γεγονότα σε συνδυασµό µε λογικές διεργασίες. Γι αυτά δεχόµαστε και την ύπαρξη χρονικών στιγµών έστω και αν δεν γνωρίζουµε την αριθµητική τους τιµή (39). Μέσα από µια αλυσσίδα παρατήρησηςλογικής επαγωγής µπορούµε να µιλάµε για γεγονότα της προϊστορικής περιόδου, για την παλαιολιθική εποχή, ή την πληθωριστική εποχή της κοσµολογίας (40). Μπορούµε λοιπόν να ισχυριζόµαστε ότι έχουµε χρόνο όταν έχουµε πραγµατικά, όπως τα ορίσαµε, γεγονότα και ότι η πραγµατικότητα των γεγονότων κρίνεται από τα νοήµονα όντα. Άραγε όµως έχουµε χρόνο χωρίς νοήµονα όντα; Το ερώτηµα έχει δύο σκέλη : - Υπήρχε χρόνος πριν την εµφάνιση του ανθρώπου; - Υπάρχει χρόνος όταν δεν πρόκειται να εµφανισθεί ποτέ ο άνθρωπος; Για το πρώτο σκέλος του ερωτήµατος µπορούµε να πούµε πως ναί υπήρχε χρόνος, αφού αυτό αποδεικνύεται από την ύπαρξη γεγονότων πριν την εµφάνιση του ανθρώ που. Το δεύτερο σκέλος δεν είναι αποφάνσιµο, αφού ο χρόνος µετρείται από τις αλλαγές. Αν όµως δεν πρόκειται να υπάρξουν ποτέ νοήµονα όντα για να διαπιστώ σουν την ύπαρξη αλλαγών τότε δεν µπορεί να διατυπωθεί το ερώτηµα. Ερωτήµατα τίθενται µόνο από νοήµονα όντα, που έστω και εκ των υστέρων µπορούν να διαπιστώ

13 13 σουν την ύπαρξη αλλαγών και να εκτελέσουν µετρήσεις. Το ερώτηµα «υπάρχει κάτι χωρίς νοήµον ον να το εξακριβώσει ;» είναι µή αποφάνσιµο ( 41). Η. Παρελθόν -Παρόν -Μέλλον. Τον χρόνο τον διακρίνουµε σε παρελθόντα παρόντα και µέλλοντα. Η διάκριση αυτή φαίνεται κοινότυπη, αλλά αποτελεί ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά που µας δίνει την αίσθηση ύπαρξης χρόνου. Παρελθόντα αποκαλούµε τον χρόνο που πέρασε. Τι συγκεκριµένα πέρασε; Ο χρόνος είδαµε ότι δεν νοείται χωρίς γεγονότα. Αυτό πού πέρασε είναι τα γεγονότα. Το σύνολο των τετελεσµένων γεγονότων ορίζει το παρελθόν. Πιο συγκεκριµένα ο παρελθών χρόνος συγκροτείται από το σύνολο των ετικετών που έχουµε επικολλήσει στα τετελεσµένα γεγονότα. Αυτά που αποκαλούµε τετελεσµένα γεγονότα διακρίνονται σε αυτά που αναγνωρίζονται από ένα άτοµο και σε αυτά που αναγνωρίζονται από πολλούς ανθρώπους και για µεγάλο χρονικό διάστηµα. Έχουµε λοιπόν ένα προσωπικό παρελθόν και ένα πραγµατικό παρελθόν (42). Το παρελθόν δηλαδή περιγράφεται και προσδιορίζεται από πραγµατικά γεγονότα και αντίστροφα η πραγµατικότητα νοείται µόνο σε παρελθόντα χρόνο. Ας δούµε τώρα πως κατατάσσουµε τα γεγονότα στο παρελθόν. Όπως είδαµε στο κεφάλαιο Β, χρειαζόµαστε συσχετίσεις για να ταξινοµήσουµε τα γεγονότα. Η παρατήρηση και η λογική µας καθοδηγούν στο να εντοπίζουµε τις συσχετίσεις µεταξύ των γεγονότων, που καθορίζουν την ταξινόµησή τους και που διαµορφώνουν αυτό που αποκαλούµε κλίµακα χρόνου. Μέχρι που όµως µπορούµε να πάµε αξιόπιστα προς τα πίσω; Μπορούµε να πάµε πίσω από την «ιστορική περίοδο»; πιο πίσω από την εµφάνιση ζωής; Μπορούµε µελετώντας το σύµπαν να φθάσουµε στην έναρξη της ακτινοβολίας υποβάθρου; Είναι το µοντέλο της νουκλεοσύνθεσης περιγραφή πραγµατικού γεγονό τος ή παραµένει στο στάδιο της εν δυνάµει πραγµατικότητας; Είναι ο χρόνος Planck µία πραγµατικότητα; Έχουµε δηλαδή γεγονότα µε αυτή την ετικέτα; Δεν υπάρχει αµφιβολία πως όσο πιο πίσω πάµε τόσο λιγοστεύουν τα πραγµατικά γεγονότα και επίσης πιο πολύ καταφεύγουµε στην λογική παρά στην άµεση παρατήρηση για να αποδεχθούµε την πραγµατικότητα. Όσο πιο πίσω πάµε τόσο πιο πολύ µεγαλώνει η συµβολή της αιτιοκρατίας για την αναγνώριση των γεγονότων, άρα και του παρελθόν τος. Η αιτιοκρατία είναι που µας κάνει να δεχόµαστε ότι και αν ακόµα δεν έχουµε εντοπίσει τα αίτια κάποιων γεγονότων αυτά πρέπει να υπάρχουν και µάλιστα ψάχνουµε να τα ανακαλύψουµε. Για τους φυσικούς που θεωρούνται θετικιστές (43), η πραγµατικότητα ελαττώνεται εκθετικά όσο πιό πίσω πάµε στο παρελθόν. Για τους υπόλοιπους όµως που διατηρούν την αιτιοκρατία και την δύναµη της λογικής ως κύριο εργαλείο στοχασµού, το παρελθόν είναι µία πραγµατικότητα. Ίσως το απώτατο παρελθόν θα πρέπει να το βλέπουµε ως µία εντός εισαγωγικών πραγµατικότητα που περιµένει στον προθάλαµο της επιστηµονικής καταξίωσης. Τι θα µπορούσαµε να πούµε µετά από όλα αυτά για το µέλλον; Έχουµε γεγονότα στο µέλλον; Όχι δεν έχουµε γεγονότα στο µέλλον. Έχουµε όµως πρόβλεψη γεγονότων για το µέλλον, έχουµε αναµονή γεγονότων, που µάλιστα πολλές φορές τα θεωρούµε βέβαια. Μελλοντικός χρόνος είναι το σύνολο των χρονικών στιγµών που θα επικολήσουµε στα αναµενόµενα, προβλέψιµα ή µη, γεγονότα. Το ότι «αύριο θα κερδίσω στο Lotto» δεν είναι γεγονός, ίσως γίνει αύριο µετά την κλήρωση, η δε πιθανότητα γι αυτό είναι πολύ µικρή. Υπάρχει όµως και η δήλωση «αύριο θα

14 14 ανατείλει ο ήλιος». Και αυτή η δήλωση δεν αποτελεί γεγονός, η πιθανότητα όµως να γίνει πραγµατικότητα είναι εξόχως µεγάλη. Και οι δύο πιο πάνω δηλώσεις αποτελούν εντός εισαγωγικών γεγονότα που αναµένουµε να συµβούν µε µικρή ή µεγάλη πιθανότητα. Η πιθανότητα αυτή καθορίζεται από αιτιώδεις σχέσεις που ίσχυσαν στο παρελθόν, που δεχόµαστε ότι θα εξακολουθούν να ισχύουν και µάλιστα θα προκαλέσουν τα ίδια αποτελέσµατα που η εφαρµογή τους είχε αποδώσει στο παρελθόν. Κανένας όµως δεν µας βεβαιώνει ότι οι ίδιες αιτιώδεις σχέσεις που διέπουν τα γεγονότα σήµερα θα ισχύουν και στο µέλλον και κανένας επίσης δεν µας βεβαιώνει ότι οι σχέσεις αυτές θα είναι αιτιοκρατικές, ότι θα παράγουν δηλαδή τα ίδια αποτελέσµατα αν τροφοδοτηθούν µε τα ίδια αίτια. Φαίνεται ως εκ τούτου ότι η πρόβλεψη για µελλοντικά γεγονότα γίνεται διαρκώς ασθενέστερη όσο µακρύτερα βλέπουµε στο µέλλον. Γι αυτό ο µελλοντικός χρόνος δεν είναι πραγµατικός. Μοιάζει σαν κβαντική διείσδυση πέραν ενός φράγµατος δυναµικού που τοποθετείται στο «τώρα». Όλα τα γεγονότα που προσβλέπουµε στο µέλλον είναι εντός εισαγωγικών, κάτι σαν εικονική πραγµατικότητα, ενώ η πιθανότητα να απαλλαγούν των εισαγωγικών µειώνεται όσο αποµακρύνονται από το τώρα. Και τέλος τι είναι το παρόν; Τι είναι το τώρα; Αν µε βάση ένα γεγονός ε 0, που µας ορίζει µία χρονική στιγµή τ 0, εξετάσουµε µία άλλη χρονική στιγµή τ p, τέτοια ώστε να ικανοποιεί τις δύο επόµενες συνθήκες, τότε η τ p ορίζει το τώρα. Συνθήκη 1 η : Το διάστηµα τ p -τ 0 να είναι θετικό συνεχώς αυξανόµενο. Συνθήκη 2 η : Το διάστηµα τ p -τ 0 να περιέχει µόνο πραγµατικά γεγονότα. Η χρονική στιγµή τ p αποτελεί τότε το σύνορο του παρελθόντος και του µέλλοντος και είναι αυτό που αποκαλούµε τώρα. Είναι σαν ένα κινούµενο διάφραγµα που αυξάνει συνεχώς το παρελθόν, προσθέτοντας γεγονότα, χωρίς να αφαιρεί τίποτα από το µέλλον. Ας δούµε πάλι το διάστηµα τ p -τ 0 πως διαµορφώνεται αν λάβουµε την αρχική στιγµή τ 0 τέτοια ώστε να περιληφθούν στο διάστηµα τ p -τ 0 µόνο πρόσφατα γεγονότα της τελευταίας ώρας ή ηµέρας και ταυτόχρονα προσθέσουµε έναν µικρό όρο τ f ώστε να συµπεριλάβουµε και µικρής εµβέλειας προβλέψιµα γεγονότα. Τότε αυτό το χρονικό διάστηµα Τ π =τ p -τ 0 +τ f αποκαλούµε παρόν. Είναι πρόδηλον ότι το τώρα παρόλο που ορίζεται µε µαθηµατικούς όρους είναι δυσκολο να απεικονισθεί, και επίσης το παρόν περιέχει αρκετή ασάφεια, γιατί ο καθένας το εννοεί διαφορετικά, αφού δεν προσδιορίζονται επακριβώς οι όροι τ 0 και τ f. Πλέον αυτού επειδή το διάστηµα Τ π είναι σχετικά µικρό, εµπεριέχει γεγονότα, µόνο κατά την κρίση εκάστου, πραγµατικά, γιατί δεν υπάρχει διαθέσιµος χρόνος για επικοινωνία (44). Έτσι ο καθέ νας συµπεριλαµβάνει στην έννοια παρόν διάφορα συµβάντα, κυρίως προσωπικού ενδιαφέροντος, στα οποία κυριαρχούν εσωτερικές σωµατικές και εγκεφαλικές λει τουργίες. Η. Διάρκεια χρόνου. Λέµε ότι ο χρόνος έχει διάρκεια. Ένα χρονικό διάστηµα διαρκεί 5 min ή ένα έτος ή έναν αιώνα. Λέµε ότι υπάρχουν µεγάλα ή µικρά χρονικά διαστήµατα, το διάστηµα π.χ. των 5 ωρών είναι µεγαλύτερο εκείνου των 4 ωρών. Δεχόµαστε λοιπόν ότι ο χρό νος έχει διάρκεια και συγκρίνουµε χρονικά διαστήµατα. Ας αναρωτηθούµε όµως πόσες χρονικές στιγµές τ i υπάρχουν στο χρονικό διάστηµα Δt 1 =5 min. Ας δούµε

15 15 πρώτα πόσοι πραγµατικοί αριθµοί υπάρχουν στο διάστηµα 0-5 του R. Προφανώς άπειροι αριθµοί. Στο διάστηµα 0-6; Πάλι άπειροι αριθµοί. Ποιό αριθµητικό διάστηµα είναι µεγαλύτερο το 0-5 ή το 0-6; Και τα δύο περιέχουν άπειρο αριθµό πραγµατικών αριθµών, το 0-6 όµως περιέχει και τους αριθµούς απο 5 έως 6. Άρα παραβλέποντας τους απειρισµούς λέµε ότι το διάστηµα των πραγµατικών αριθµών 0-6 είναι µεγα λύτερο του 0-5. Μπορούµε τώρα να πούµε το ίδιο και για τα χρονικά διαστήµατα Δt 2 =6 min και Δt 1 =5 min; Πως έχουµε ορίσει το χρονικό διάστηµα στο κεφάλαιο Β; Ως ένα συνολο χρονικών στιγµών. Και πως ορίσαµε την χρονική στιγµή; Ως έναν πραγµατικό αριθµό που προσκολλάται σε κάθε γεγονός. Άρα ένα χρονικό διάστηµα περιέχει τόσες χρονικές στιγµές, όσα γεγονότα συνέβησαν εντός αυτού. Το χρονικό διάστηµα Δt 1 =5 min χωράει ένα µεγάλο αριθµό συµβάντων και το Δt 2 =6 min ακόµη µεγαλύτερο, αλλά το πόσα συµβάντα περιέχει κάθε διάστηµα δεν το καθορίζουν τα µαθηµατικά αλλά η ύπαρξη συµβάντων. Σε αυτό λοιπόν που αποκαλούµε χρονικό διάστηµα 6 min µπορεί να συνέβησαν λιγώτερα γεγονότα από εκείνο των 5 min και παρόλο που το διάστηµα Δt 2 =6 min χωράει περισσότερες χρονικές στιγµές από το Δt 1 =5 min, το Δt 1 να αποδεικνύεται πυκνότερο σε συµβάντα (45). Γι αυτό δεν πρέπει να µας ξενίζει που στην κοσµολογία αναφερόµαστε σε χρονικά διαστήµατα της τάξεως του s και να αναρωτιόµαστε τι προλαβαίνει να συµβεί στο χρονικό αυτό διάστηµα. Άπειρα γεγονότα συνέβησαν κατά την πληθωριστική περίοδο της κοσµο λογίας που διήρκεσε s. Η διάρκεια κάθε χρονικού διαστήµατος δεν αποκτά αξία από το αριθµητικό διάστηµα από το οποίο περιγράφεται, αλλά από την πυκνότητα των γεγονότων σε αυτό το διάστηµα (46). Αυτά τα πυκνά διαστήµατα φαίνεται να έχουν την µεγαλύτερη σηµασία στην εξέλιξη του σύµπαντος (47). Θ. Οµοιοµορφία χρόνου. Είδαµε στο κεφάλαιο Α ότι η µέτρηση του χρόνου βασίζεται στην περιοδικότητα ορισµένων φαινοµένων. Ας δούµε ως παράδειγµα το ρολόϊ µίας εκκλησίας που κτυπά ει λέµε τις ώρες. Αυτό σηµαίνει ότι κάθε τόσο επαναλαµβάνει έναν ήχο και το διάστηµα απουσίας του ήχου µεταξύ δύο διαδοχικών κτυπηµάτων λέµε ότι είναι µία ώρα. Αν στο µεσοδιάστηµα αυτό συµβαίνουν άλλα γεγονότα και επιθυµούµε να τα ταξινοµήσουµε σε σχέση µε αυτή την ώρα, την χωρίζουµε σε εξήντα ίσα µέρη έκαστο των οποίων το λέµε λεπτό ώρας. Μα τι ακριβώς χωρίζουµε; Δεν έχει υλική υπόσταση αυτό που χωρίζουµε, ένας αριθµός είναι, συγκεκριµένα η µονάδα. Άρα χωρίζουµε τον αριθµό 1 σε 60 κλάσµατα. Και γιατί σε εξήντα; Μάλλον πρέπει να ανατρέξουµε πίσω στην ιστορία των Βαβυλωνίων να το εξηγήσουµε, αλλά σε κάθε περίπτωση αυτό έναι αυθαίρετο. Θα ήταν µάλιστα καλύτερα αν το χωρίζαµε σε εκατό ίσα µέρη. Και γιατί ίσα µέρη; Δεν θα µπορούσαµε να ακολουθήσουµε µία λογαριθµική κλίµακα επιµε ρισµού; Πέρα από το ότι εκείνη την εποχή δεν γνώριζαν τι σηµαίνει λογάριθµος, πρακτικοί πάλι λόγοι επέβαλαν αυτόν τον αυθαίρετο ισοµερή χωρισµό. Κάθε εξηκοστό της ώρας το καλέσαµε min και µε τον ίδιο τρόπο καθε min το χωρίσαµε σε εξήντα sec. Από εκεί και πέρα ακολουθήσαµε το δεκαδικό σύστηµα και έχουµε δέκατα, εκατοστά κ.λ.π. του sec. Η δηµιουργία αυτής της κλίµακας δεν αναφέρεται σε χρονικές στιγµές. Αντίθετα, οι χρονικές στιγµές αναφέρονται στην κλίµακα. Η χρονική στιγµή είναι ο αριθµός από την κλίµακα που θα επικολληθεί στο γεγονός όταν συµβεί. Αν δεν συµβεί γεγονός η κλίµακα µένει µία απλή διάταξη πραγµατικών αριθµών, οµοιόµορφα κατανεµηµένων. Αντίθετα η πυκνότητα των συµβάντων δεν παραµένει σταθερή, όπως π.χ. κατά την φάση ανάπτυξης ενός εµβρύου, ή κατά την

16 16 πληθωριστική φάση ανάπτυξης του σύµπαντος. Εκείνο που µένει σταθερό σε όλη την κλίµακα του χρόνου, ανεξάρτητα της πυκνότητας των συµβάντων είναι η ισχύς των φυσικών νόµων, που οδηγεί κατά Noether στη διατήρηση της ενέργειας. Πρέπει να σηµειώσουµε ακόµη ότι η πυκνότητα γεγονότων εξαρτάται και από το σύστηµα αναφοράς που χρησιµοποιούµε. Τούτο µας κάνει να χρησιµοποιούµε τους δυσνόη τους όρους συστολή ή διαστολή του χρόνου. Μία αντιµετώπιση του θέµατος θα µπορούσε να είναι η χρήση µίας κλίµακας, που να εξαρτάται από το σύστηµα αναφο ράς, την πυκνότητα της ενέργειας και την πυκνότητα των συµβάντων, τότε όµως θα χάναµε αυτή την κοινή αντίληψη που έχουµε για τον χρόνο. Έχουµε λοιπόν για πρακτικούς λόγους δηµιουργήσει αυθαίρετα µία γραµµική κλίµακα γιά την µέτρηση του χρόνου, τον οποίο επίσης φανταζόµαστε να ρέει οµαλά. Ο συνδυασµός της οµαλής ροής επάνω σε µία γραµµική κλίµακα είναι αυτό που καλούµε οµοιοµορφία του χρόνου. O χρόνος όµως ως σύνολο χρονικών στιγµών δεν είναι καθόλου οµοιόµορφα κατανεµηµένος ούτε στον χώρο ούτε στην γραµµική µας κλίµακα, από την οποία παίρνει τις τιµές του. Αξίζει να σταθούµε λίγο σε αυτό που µας φαίνεται σαν ροή του χρόνου και που µας δίνει µία αίσθηση συνεχούς αλλαγής στο περιβάλ λον µας. Μία συνήθης διάκριση του χώρου από τον χρόνο είναι ότι τον µεν χώρο µπορούµε να το νοήσουµε στατικό ενώ τον χρόνο όχι. Είναι αξιοσηµείωτο ότι αντίληψη του χρόνου, έχουµε µέσα από αυτό που καλούµε ροή του χρόνου. Οποιαδή ποτε περί χρόνου αντίληψη εξατµίζεται αν περιορίσουµε την σκέψη µας σε στάσιµα αµετάβλητα συστήµατα. Είµαστε συνηθισµένοι να λέµε ότι τα αντικείµενα βρίσκον ται ή κινούνται στον χώρο σαν να βρίσκονται στον αέρα ή στο νερό. Αυτό συνέβαλε στο να θεωρούµε τον χώρο γεµάτο από µία ουσία, τον αιθέρα. Λέµε επίσης ότι ο χρόνος ρέει σαν να τον µετράµε ως ρευστό που περνάει από µπροστά µας, µε διαφορετική πολλές φορές ταχύτητα ροής. Ο χρόνος βέβαια δεν είναι ρευστό. Αυτό που καλούµε ροή χρόνου είναι η διαδοχή των γεγονότων που συµβαίνουν στον κόσµο. Αυτή την συνεχή διαδοχή των γεγονότων µας διευκολύνει να την παριστούµε µέσω ενός µεγέθους που καλούµε χρόνο. Ι. Χρόνος ή γεγονότα. Μέχρι τώρα η οποιαδήποτε προσπάθεια να νοηθεί ο χρόνος κυµαίνεται µεταξύ δύο αντιδιαµετρικών απόψεων. Μίας άποψης που τον τοποθετεί στο οντολογικό πεδίο της φιλοσοφίας και µίας δεύτερης άποψης που τον αντιµετωπίζει εµπειρικά µέσα στο διαθέσιµο γνωστικό πεδίο των φυσικών επιστηµών. Είναι προφανές ότι το παρόν πόνηµα ακολουθεί την δεύτερη άποψη και για να γίνει αυτό πιό διάφανο θα συγκεν τρώσουµε στα επόµενα τα στοιχεία εκείνα που νοµίζουµε ότι την δικαιολογούν. Τα στοιχεία αυτά εκπορεύονται από τον χώρο της φυσικής επιστήµης είτε ως πορίσµατα κρατούσας θεωρίας είτε ως αποτέλεσµα πειραµατικών διεργασιών. - Ο χρόνος όπως και ο χώρος διαµορφώνεται κατά την γενική θεωρία της σχετικό τητας από την ενέργεια και τις εκφάνσεις αυτής πυκνότητα και πίεση. - Ο χρόνος δεν µπορεί να µετρηθεί χωρίς γεγονότα, χωρίς δηλαδή µεταβολές στην ενέργεια. Στην θερµοδυναµική ισορροπία δεν υπάρχει µετρούµενος χρόνος. - Η εξάρτηση του χρόνου από τα γεγονότα τον διαφοροποιεί σε τοπικό ή παγκόσµιο, σε πραγµατικό για το παρελθόν και υποθετικό για το µέλλον, µίας κατεύθυνσης ή της

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α.

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. Θέµατα & Ασκήσεις από: www.arnos.gr 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22 ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύµφωνα µε τη θεωρία του εµπειρισµού

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Κ. Ι. Παπαχρήστου Τοµέας Φυσικών Επιστηµών, Σχολή Ναυτικών οκίµων papachristou@snd.edu.gr Θα συζητήσουµε µερικά λεπτά σηµεία που αφορούν το έργο ενός χρονικά µεταβαλλόµενου

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr Έστω µάζα m. Στη µάζα κάποια στιγµή ασκούνται δυο δυνάµεις. ( Βλ. σχήµα:) Ποιά η διεύθυνση και ποιά η φορά κίνησης της µάζας; F 1 F γ m F 2 ιατυπώστε αρχή επαλληλίας. M την της Ποιό φαινόµενο ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Η μουσική των (Υπερ)Χορδών. Αναστάσιος Χρ. Πέτκου Παν. Κρήτης

Η μουσική των (Υπερ)Χορδών. Αναστάσιος Χρ. Πέτκου Παν. Κρήτης Η μουσική των (Υπερ)Χορδών Αναστάσιος Χρ. Πέτκου Παν. Κρήτης H σύγχρονη (αγοραία) αντίληψη για την δηµιουργία του Σύµπαντος (πιθανά εσφαλµένη..) E t Ενέργεια Χρόνος String Theory/M-Theory H Ιστορία της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Κβαντική µηχανική Τύχη ή αναγκαιότητα Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Ηφυσικήστόγύρισµα του αιώνα «Όλοι οι θεµελιώδεις νόµοι και δεδοµένα της φυσικής επιστήµης έχουν ήδη ανακαλυφθεί και

Διαβάστε περισσότερα

Το ταξίδι στην 11η διάσταση

Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το κείμενο αυτό δεν αντιπροσωπεύει το πώς παρουσιάζονται οι 11 διστάσεις βάση της θεωρίας των υπερχορδών! Είναι περισσότερο «τροφή για σκέψη» παρά επιστημονική άποψη. Οι σκέψεις

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια 8 Κρούσεις Στην µηχανική µε τον όρο κρούση εννοούµε τη σύγκρουση δύο σωµάτων που κινούνται το ένα σχετικά µε το άλλο.το ϕαινόµενο της κρούσης έχει δύο χαρακτηριστικά : ˆ Εχει πολύ µικρή χρονική διάρκεια.

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΡΑΝ ΛΑΦΟΡΓΚ: TA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΖΩΗΣ

ΛΟΡΑΝ ΛΑΦΟΡΓΚ: TA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΛΟΡΑΝ ΛΑΦΟΡΓΚ: TA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΖΩΗΣ Ο διάσηµος µαθηµατικός µιλάει για την παγκόσµια γλώσσα της επιστήµης του, την αλήθεια, την οµορφιά, τη µοναξιά του ερευνητή αλλά και το πώς µπορούµε να ανακαλύψουµε

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό.

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 91 9. Άσκηση 9 ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. 9.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε τα φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008 Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση;

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Ξεκινώντας θα ήθελα να θυµίσω κάποια στοιχεία που σχετίζονται µε τον ορισµό της συχνότητας σε ένα περιοδικό φαινόµενο, άρα και στην ΑΑΤ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο τρίτο. Κεφάλαιο τρίτο

Κεφάλαιο τρίτο. Κεφάλαιο τρίτο Κεφάλαιο τρίτο Αυτό που ξέρουµε σαν αρρώστια είναι το τελικό στάδιο µιας βαθύτερης ανωµαλίας και είναι φανερό ότι για να εξασφαλίσουµε πλήρη επιτυχία στη θεραπεία, το ν' αντιµετωπίσουµε µόνο το τελικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. Μέρος 1ον : ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά.

ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. Μέρος 1ον : ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 53 ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. 5. Άσκηση 5 5.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Μην ξεχνάµε την διαπεραστική µατιά του Λυγκέα.

Μην ξεχνάµε την διαπεραστική µατιά του Λυγκέα. Η φύση του φωτός Το ρήµα οράω ορώ ( βλέπω ) είναι ενεργητικής φωνής. Η όραση θεωρείτο ενεργητική λειτουργία. Το µάτι δηλαδή εκπέµπει φωτεινές ακτίνες( ρίχνει µια µατιά ) οι οποίες σαρώνουν τα αντικείµενα

Διαβάστε περισσότερα

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Η Εντροπία Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Θερμοδυναμική +Στατιστική Μηχανική= Θερμική Φυσική Η Θερμοδυναμική ασχολείται με τις μακροσκοπικές

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών 1 Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ της Κωτσογιάννη Μαριάννας Περίληψη 1. Αντικείµενο- Σκοπός Αντικείµενο της διπλωµατικής αυτής εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs. Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός hp://www.perifysikhs.com Αναζητώντας την αιτία των κινήσεων Η µελέτη των κινήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

< > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ

< > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ Κ. Γ. ΝΙΚΟΛΟΥΔΑΚΗΣ 1 < > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ Επαναλαμβάνουμε την έκπληξή μας για τα τεράστια συμπλέγματα γαλαξιών, τις πιο μακρινές

Διαβάστε περισσότερα

Η «ΦΥΣΗ» ΤΟΥ ΚΕΝΟΥ ΚΑΙ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ

Η «ΦΥΣΗ» ΤΟΥ ΚΕΝΟΥ ΚΑΙ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ 1 Η «ΦΥΣΗ» ΤΟΥ ΚΕΝΟΥ ΚΑΙ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Θα αποδεχτούµε ότι το παν αποτελείται από το κενό και τα άτοµα, όπως υποστήριξε ο ηµόκριτος; Αν δεχτούµε σαν αξίωµα αυτή την υπόθεση, τι είναι το κενό και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων; ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ Είδαµε ότι η φυσική κίνηση ενός σωµατιδίου σε συντηρητικό πεδίο ικανοποιεί την αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton µε Λαγκρανζιανή, όπου η κινητική ενέργεια του

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010

Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010 Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010 Η φυσική υψηλών ενεργειών µελετά το µικρόκοσµο, αλλά συνδέεται άµεσα µε το µακρόκοσµο Κοσµολογία - Μελέτη της δηµιουργίας και εξέλιξης του

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα Κεφάλαιο T3 Ηχητικά κύµατα Εισαγωγή στα ηχητικά κύµατα Τα κύµατα µπορούν να διαδίδονται σε µέσα τριών διαστάσεων. Τα ηχητικά κύµατα είναι διαµήκη κύµατα. Διαδίδονται σε οποιοδήποτε υλικό. Είναι µηχανικά

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική - 2012: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/05/15

Σύγχρονη Φυσική - 2012: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/05/15 Διάλεξη 14: Μεσόνια και αντισωματίδια Μεσόνια Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως (διάλεξη 13) η έννοια των στοιχειωδών σωματίων άλλαξε πολλές φορές μέχρι σήμερα. Μέχρι το 1934 ο κόσμος των στοιχειωδών σωματιδίων

Διαβάστε περισσότερα

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας που διατύπωσε ο Αϊνστάιν, το βαρυτικό πεδίο κάθε μάζας δημιουργεί μια καμπύλωση στον χώρο (μάλιστα στον χωροχρόνο),

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων

Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων Την διετύπωσε ο Γαλιλαίος εξετάζοντας την περίπτωση της οριζόντιας βολής. «Η µετά χρόνο t θέση ενός κινητού που συµµετέχει σε δύο κινήσεις προσδιορίζονται, εάν φανταστούµε

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Θεσσαλονίκη 2012 2 Περιεχόµενα 1 υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΙΝ ΥΝΩΝ (MULTIPLE DECREMENT TABLES) Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία αρχίζοντας από µια οµάδα γεννήσεων ζώντων που αποτελεί την ρίζα του πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 1. Ένα κιλό νερού σε θερμοκρασία 0 C έρχεται σε επαφή με μιά μεγάλη θερμική δεξαμενή θερμοκρασίας 100 C. Όταν το νερό φτάσει στη θερμοκρασία της δεξαμενής,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

3α. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ «ΠΑΡΑ ΟΞΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3α. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ «ΠΑΡΑ ΟΞΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3α. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ «ΠΑΡΑ ΟΞΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παράδειγµα: Το τρένο του Άινστάιν Ένα τρένο κινείται ως προς έναν αδρανειακό παρατηρητή Ο µε σταθερή ταχύτητα V. Στο µέσο ακριβώς του τρένου

Διαβάστε περισσότερα

Αγωγός μέσα σε εξωτερικό Ηλεκτρικό Πεδίο Ε0. Προσοχή! όταν λέμε εξωτερικό πεδίο δεν εννοούμε ότι το πεδίο δεν υπάρχει μέσα στον αγωγό.

Αγωγός μέσα σε εξωτερικό Ηλεκτρικό Πεδίο Ε0. Προσοχή! όταν λέμε εξωτερικό πεδίο δεν εννοούμε ότι το πεδίο δεν υπάρχει μέσα στον αγωγό. Αγωγός μέσα σε εξωτερικό Ηλεκτρικό Πεδίο Ε0. Προσοχή! όταν λέμε εξωτερικό πεδίο δεν εννοούμε ότι το πεδίο δεν υπάρχει μέσα στον αγωγό. Απλώς εννοούμε ότι οι πηγές αυτού του πεδίου βρίσκονται εκτός αγωγού.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΧΡΗΣΗΤΟΥ ΤΟΥΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ SALSAJ ΓΙΑΤΟΝ ΤΟΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΗΣΜΑΖΑΣ ΜΑΖΑΣΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Κοσµολογία. Το παρελθόν, το παρόν, και το µέλλον του Σύµπαντος.

Κοσµολογία. Το παρελθόν, το παρόν, και το µέλλον του Σύµπαντος. Κοσµολογία Το παρελθόν, το παρόν, και το µέλλον του Σύµπαντος. Τι είναι όµως η Κοσµολογία; Ηκοσµολογία είναι ο κλάδος της φυσικής που µελετά την δηµιουργία και την εξέλιξη του Σύµπαντος. Με τον όρο Σύµπαν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

H ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΑ ΑΠΟ 100 ΧΡΟΝΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΟΣ

H ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΑ ΑΠΟ 100 ΧΡΟΝΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΟΣ H ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΑ ΑΠΟ 100 ΧΡΟΝΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΟΣ ΔΡ. ΣΠΥΡΟΣ ΒΑΣΙΛΑΚΟΣ ΚΕΝΤΡΟ ΕΡΕΥΝΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΑΘΗΝΩΝ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΑΘΗΝΩΝ 25/11/2015 Η ΧΡΥΣΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΗΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ 96% του Σύμπαντος

Διαβάστε περισσότερα

Άλλος ένας χάρτης- µάθηµα, που χειρίζεται δύο βασικά θέµατα: - Το θέµα των υποδοχών, αµοιβαίων ή µεικτών, και - Το θέµα του χρονικού προσδιορισµού.

Άλλος ένας χάρτης- µάθηµα, που χειρίζεται δύο βασικά θέµατα: - Το θέµα των υποδοχών, αµοιβαίων ή µεικτών, και - Το θέµα του χρονικού προσδιορισµού. Άλλος ένας χάρτης- µάθηµα, που χειρίζεται δύο βασικά θέµατα: - Το θέµα των υποδοχών, αµοιβαίων ή µεικτών, και - Το θέµα του χρονικού προσδιορισµού. Με αυτόν τον ωριαίο χάρτη επιβεβαιώνεται, ακόµα µια φορά,

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Η ανατοµία ενός λανθασµένου ορισµού

Η ανατοµία ενός λανθασµένου ορισµού Η ανατοµία ενός λανθασµένου ορισµού Όταν σε έναν ορισµό της Φυσικής εµπλέκεται ποσοτική σχέση, είναι πολύ πιο δύσκολο να δοθεί αυτός ο ορισµός, από ότι ένας αντίστοιχος ορισµός στα Μαθηµατικά Για πολλούς

Διαβάστε περισσότερα

Α. Σηµεία γενικότερου προβληµατισµού

Α. Σηµεία γενικότερου προβληµατισµού Εξαναγκασµένος αρµονικός ταλαντωτής χωρίς απόσβεση Το καλοκαίρι που πέρασε, η «περιπέτεια» της φθίνουσας κλόνισε την πίστη µου στην αυθεντία των πανεπιστηµιακών µας βιβλίων. Σοκαρίστηκα διαπιστώνοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Γ ΕΚ ΟΣΗΣ Μετά την τρίτη έκδοση του βιβλίου µου µε τα προβλήµατα Μηχανικής για το µάθηµα Γενική Φυσική Ι, ήταν επόµενο να ακολουθήσει η τρίτη έκδοση και του παρόντος βιβλίου µε προβλήµατα Θερµότητας

Διαβάστε περισσότερα

Λίγα για το Πριν, το Τώρα και το Μετά.

Λίγα για το Πριν, το Τώρα και το Μετά. 1 Λίγα για το Πριν, το Τώρα και το Μετά. Ψάχνοντας από το εσωτερικό κάποιων εφημερίδων μέχρι σε πιο εξειδικευμένα περιοδικά και βιβλία σίγουρα θα έχουμε διαβάσει ή θα έχουμε τέλος πάντων πληροφορηθεί,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ

ΤΟ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ 682 ΤΟ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ Παπαχρήστου Βασίλειος Χημικός, MSc στη διδακτική της Χημείας vasipa@in.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το παρόν CD-Rom αποτελείται από τέσσερις ενότητες: Η πρώτη ενότητα αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

Q = (2 3 5... P) + 1.

Q = (2 3 5... P) + 1. Η ΑΠΟΛΟΓΙΑ ΕΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ G.H. Hardy ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ Η Η ΦΑΝΕΡΟ ότι, αν θέλουµε να έχουµε οποιαδήποτε πιθανότητα να προχωρήσει η συζήτηση, οφείλω να δώσω παραδείγµατα «πραγµατικών» µαθηµατικών θεωρηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Ο πίνακας Μ μπορεί να ληφθεί χωρίς καμμία έλλειψη γενικότητας ως

Διαβάστε περισσότερα

A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013

A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013 Θεωρητικό Μέρος A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013 Θέμα 1 ο Στις ερωτήσεις A1, A2, A3, A4 και Β μία μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής

Διαβάστε περισσότερα

e-seminars Αναπτύσσομαι 1 Προσωπική Βελτίωση Seminars & Consulting, Παναγιώτης Γ. Ρεγκούκος, Σύμβουλος Επιχειρήσεων Εισηγητής Ειδικών Σεμιναρίων

e-seminars Αναπτύσσομαι 1 Προσωπική Βελτίωση Seminars & Consulting, Παναγιώτης Γ. Ρεγκούκος, Σύμβουλος Επιχειρήσεων Εισηγητής Ειδικών Σεμιναρίων e-seminars Πρωτοποριακή Συνεχής Επαγγελματική και Προσωπική Εκπαίδευση Προσωπική Βελτίωση Αναπτύσσομαι 1 e Seminars Copyright Seminars & Consulting Page 1 Περιεχόμενα 1. Γιατί είναι απαραίτητη η ανάπτυξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης

ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κίνηση ενός σώµατος καθώς πέφτει ελεύθερα υπό την επίδραση του βάρους του. Πιο συγκεκριµένα θα επαληθεύσουµε τις

Διαβάστε περισσότερα