Θαλής (ΜΙΣ:379416) Μέθοδος Φωκά για Ασυνεχή Προβλήματα

Transcript

1 Το Πρόβλημα Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα Διονύσιος Μαντζαβίνος 1, Παπαδοπούλου Έλενα 2, Παπαδομανωλάκη Μαριάννα 2, Σαριδάκης Γιάννης 2, Σηφαλάκης Τάσος 2, Ασβεστάς Μάριος 2 1 Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Θεωρητικής Φυσικής Πανεπιστήμιο Cambridge Cambridge CB3 0WA, UK 2 Εργαστήριο Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Ηλεκτρονικών Υπολογιστών, Πολυτεχνείο Κρήτης Χανιά 73100, Ιούλιος 2013 Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

2 Επισκόπηση Το Πρόβλημα Επισκόπηση Φυσιολογία Εγκεφάλου Πρόβλημα Πολλαπλών Πεδίων Διάχυση Καρκινικών Όγκων στον Εγκέφαλο - ΜΔΕ μοντέλο Swanson, Alvord και Murray ) Ανομοιογένεια εγκεφάλου Εξίσωση διάχυσης με ασυνεχή συντελεστή διάχυσης Μέθοδος Μετασχηματισμού Φωκά Φωκάς ) Αναλυτική λύση - όχι ενδιάμεσα χρονικά βήματα Flyer & Φωκάς 2008) - Παπαθεοδώρου & Κανδύλη 2009) Παρουσίαση Εφαρμογή της μεθόδου Φωκά σε ασυνεχή προβλήματα Διερεύνηση αριθμητικής καταλληλότητας Μια χωρική διάσταση 3 περιοχές Μια χωρική διάσταση n περιοχές Δυο χωρικές διαστάσεις συνεχές πρόβλημα) Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

3 Φυσιολογία Εγκεφάλου Το Πρόβλημα Επισκόπηση Φυσιολογία Εγκεφάλου Πρόβλημα Πολλαπλών Πεδίων Σχήμα: American Journal of Neuroradiology Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

4 Πρόβλημα Πολλαπλών Πεδίων t Επισκόπηση Φυσιολογία Εγκεφάλου Πρόβλημα Πολλαπλών Πεδίων u1x = 0 u 1t = γu 1xx u 2t = u 2xx u 3t = γu 3xx u3x = 0 a w 1 w 2 b ux, 0) = fx) ux, t): πυκνότητα καρκινικών κυττάρων στο x,t) Συνοριακές συνθήκες: Μηδενική ροή fx): αρχική χωρική κατανομή άθροισμα Dirac's deltas) Πολλαπλών Πεδίων: u ικανοποιεί μια διαφορετική ΜΔΕ σε κάθε περιοχή Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

5 Το Πρόβλημα ΜΔΕ u 1t = γu 1xx Divergence μορφή [ ] [e ikx+γk2t u 1 ]t e ikx+γk2t γu 1x + iκu 1 ) = 0, x Ολοκλήρωση στο [a, w 1 ] [0, t] k C w 1 t a 0 [ ] [e ikx+γk2s u 1 ]s e ikx+γk2s γu 1x + iκu 1 ) dsdx = 0 x Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Green Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

6 Η Ολική Συνθήκη στην Πρώτη Περιοχή) e γk2tû 1 k, t) = f 1 k) + γe ikw 1 [ ũ 1x w1, γk 2) + ikũ 1 w1, γk 2) ] γe ika [ ũ 1x a, γk 2 ) + ikũ 1 a, γk 2 ) ] û 1 k, t) = w 1 a w 1 a t e ikx u 1 x, t)dx f 1 r) = e irx f 1 x) dx ũ 1, γk 2 ) = ũ 1x, γk 2 ) = 0 t 0 e γk2s u 1, s) ds e γk2s u 1x, s) ds Μετασχηματισμός Fourier Μετασχηματισμός Fourier t-μετασχηματισμός t-μετασχηματισμός Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

7 Οι α) 1η περιοχή Το Πρόβλημα e γk2tû 1 k, t) = f 1 k) + γe ikw 1 [ ũ 1x w1, γk 2) + ikũ 1 w1, γk 2) ] γe ika [ ũ 1x a, γk 2 ) + ikũ 1 a, γk 2 ) ] 2η περιοχή e k2tû 2 k, t) = f 2 k) + e ikw 2 [ ũ 2x w2, k 2) + ikũ 2 w2, k 2) ] e ikw 1 [ ũ 2x w1, k 2) + ikũ 2 w1, k 2) ] 3η περιοχή e γk2tû 3 k, t) = f 3 k) + γe ikb [ ũ 3x b, γk 2 ) + ikũ 3 b, γk 2 ) ] γe ikw 2 [ ũ 3x w2, γk 2) + ikũ 3 w2, γk 2) ] Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

8 Συνοριακές Συνθήκες - Συνθήκες Συμβατότητας u 1x = 0 u 1 = u 2 u 2 = u 3 u 3x = 0 u 1 u 2 u 3 γu 1x = u 2x u 2x = γu 3x Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

9 Οι β) 1η περιοχή Το Πρόβλημα e k2tû 1 ck, t) = f 1 ck) + γe ickw 1 [ ũ 1x w1, k 2) + ickũ 1 w1, k 2) ] γe icka ickũ 1 a, k 2 ) 2η περιοχή e k2tû 2 k, t) = f 2 k) + e ikw 2 [ ũ 2x w2, k 2) + ikũ 2 w2, k 2) ] 3η περιοχή e ikw 1 [γũ 1x w1, k 2) + ikũ 1 w1, k 2) ] e k2tû 3 ck, t) = f 3 ck) + γe ickb ickũ 3 b, k 2 ) γe ickw 2 [ 1 γ ũ2x w2, k 2) + ickũ 2 w2, k 2) ] όπου c = γ 1/2 Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

10 της Λύσης 1η περιοχή) u 1 x, t) = c 2π cγ 2π cγ 2π e ickx k2 t f1 ck) dk e ickx w 1) e k2 t [ ũ 1x w1, k 2) + ick ũ 1 w1, k 2)] dk ike ickx a) e k2t ũ 1 a, k 2 ) dk Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

11 της Λύσης 2η περιοχή) u 2 x, t) = 1 2π 1 2π 1 2π e ikx k2 t ˆf2 k) dk e ikx w 2) e k2 t [ ũ 2x w2, k 2) + ik ũ 2 w2, k 2)] dk e ikx w 1) e k2 t [ γũ 1x w1, k 2) + ik ũ 1 w1, k 2)] dk Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

12 της Λύσης 3η περιοχή) u 3 x, t) = c 2π cγ 2π cγ 2π e ickx k2 t ˆf3 ck) dk e ickx b) e k2t ik ũ 3 b, k 2 ) dk [ e ickx w2) e k2 t 1 γ ũ2x w2, k 2) + ick ũ 2 w2, k 2)] dk Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

13 Άγνωστες Ποσότητες Το Πρόβλημα Ερώτηση Πως θα υπολογίσουμε αυτές τις ποσότητες? e γk2tû 1 k, t) = f 1 k) + γe ikw 1 [ũ 1x w1, γk 2) + ikũ 1 w1, γk 2) ] γe ika [ũ 1x a, γk 2 ) + ikũ 1 a, γk 2 ) ] Παρατηρείστε ότι u 1x w1, γk 2) = u 1x w 1, γ k) 2) Έτσι αντικαθιστούμε το k με το k στις τρείς ολικές συνθήκες και οδηγούμαστε σε ένα 6 6 γραμμικό σύστημα Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

14 Γραμμικό Σύστημα 6 6 Au=F ickγe icka γicke ickw 1 γe ickw 1 ickγe icka γicke ickw 1 γe ickw 1 A = ike ikw 1 γe ikw 1 ike ikw 2 e ikw 2 ike ikw 1 e ikw 1 γ ike ikw 2 e ikw 2 F = ˆf 1 ck) ˆf 1 ck) ˆf 2 k) ˆf 2 k) ˆf 3 ck) ˆf 3 ck) e k2 t e ickw 2 ickγ e ickw 2 ickγe ickb e ickw 2 ickγ e ickw 2 ickγe ickb û 1 ck, t) û 1 ck, t) û 2 k, t) û 2 k, t) û 3 ck, t) û 3 ck, t) Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

15 Μονοπάτια Ολοκλήρωσης πραγματικός άξονας στο D + + Uk) dk D + Uk) dk πραγματικός άξονας στο D D + D + D + D Complex Plane C D + Uk) dk D Uk) dk D Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

16 Μονοπάτια Ολοκλήρωσης πραγματικός άξονας στο D + + Uk) dk D + Uk) dk πραγματικός άξονας στο D D + D + D + D Complex Plane C D + Uk) dk D Uk) dk D Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

17 Μονοπάτια Ολοκλήρωσης συν) Upper Complex Plane C + ike ickx a) e k2t U k) dk D + Re k 2) > 0 C Re k 2) D + < 0 Re k 2) < 0 C + e ickx a) αναλυτική για Im [k] 0 0 e k2t αναλυτική για Re [ k 2] 0 D = {k C : Re k 2 < 0} ike ickx a) e k2t U k) αναλυτική στο C + \ D Cauchy: + πράσινο μπλέ Jordan: = 0 κόκκινο = 0 μπλέ Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

18 Υπερβολικά Μονοπάτια Το Πρόβλημα Υπερβολή D + dk Παραμετροποίηση hyperbola dk k = kθ) = ±i sinβ iθ) Imagk) D D + Realk) Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

19 Ταχεία Πτώση U θ) dθ R R U θ) dθ Ερώτηση Πώς να επιλέξουμε το R? Το Πρόβλημα Linear Scale Log Scale R R e ickx a) e k2t Uk)dθ Απάντηση e k2t 10 M = θ θ R = 1 2 ln 4t+8M ln 10 t Σχήμα: Πραγματικό μέρος ολοκληρωτέου Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

20 Επαναλαμβανόμενοι Υπολογισμοί R 1 u 1 x 1, t) = + cγ e ickx1 w1) e k 2 t [ ũ 1x w1, k 2) + ickũ 1 w1, k 2)] dθ 2π R 1 R 2 cγ ike ickx1 a) e k 2t ũ 1 a, k 2 ) dθ 2π R 2 R 3 u 1 x 2, t) = + cγ e ickx2 w1) e k 2 t [ ũ 1x w1, k 2) + ickũ 1 w1, k 2)] dθ 2π R 3 R 4 cγ ike ickx2 a) e k 2t ũ 1 a, k 2 ) dθ 2π R 4 Χρησιμοποιούμε κανόνα ολοκλήρωσης με τα ίδια σημεία ολοκλήρωσης για όλα τα διαφορετικά χωρικά σημεία x i, t) Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

21 Ομαλές Λύσεις Το Πρόβλημα Σχήμα: Χρονική εξέλιξη της πύκνότητας των κυττάρων για μια/δυο πηγές, για γ = 05/γ = 02 για t = 02 : 02 : 4 Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

22 Επιλογή του R: R = 1 2 Το Πρόβλημα ln 4t+8M ln 10 t 10 0 E = fr) t=001 t=01 t=1 t= Relative Error R Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

23 Κανόνας Τραπεζίου: Τάξη Σύγκλισης t = 01) 10 0 E = fn), t= R=1 R=5 R=10 R s = Relative Error N Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

24 Κανόνας Τραπεζίου: Τάξη Σύγκλισης t = 1) 10 0 E = fn), t= R=1 R=5 R=10 R s =282 Relative Error N Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

25 Ανακεφαλαίωση I Το Πρόβλημα ΜΔΕ Divergence Μορφή Ολοκλήρωση στο x, t) χωρίο Θεώρημα Green Ολική Συνθήκη Αντίστροφος Fourier Ολοκληρωτική μορφή λύσης Συνθήκες συνοριακές/συμβατότητας Επιπλέον ολικές συνθήκες/σύστημα 6 6 Μονοπάτια ολοκλήρωσης Εύρεση ορίων ολοκλήρωσης Κανόνας ολοκλήρωσης Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

26 n Περιοχές Το Πρόβλημα Μια Διάσταση - n Περιοχές Δυο Διαστάσεις - Συνεχές Πρόβλημα Γενικά Συμπεράσματα t u1x = 0 u1t = γu1xx u2t = u2xx u3t = γu3xx u4t = u4xx u5t = u5xx un 2,t = γun 2,xx un 1,t = un 1,xx unt = γunxx unx = 0 a w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w n 3 w n 2 w n 1 b ux, 0) = fx) ux, t): πυκνότητα καρκινικών κυττάρων στο x,t) Συνοριακές συνθήκες: Μηδενική ροή fx): αρχική χωρική κατανομή άθροισμα Dirac's deltas) Πολλαπλών Πεδίων: u ικανοποιεί μια διαφορετική ΜΔΕ σε κάθε περιοχή Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

27 n Περιοχές - Ολοκληρωτική Λύση u j x, t) = c j 2π e ic jkx k 2 t fj c j k)dk Μια Διάσταση - n Περιοχές Δυο Διαστάσεις - Συνεχές Πρόβλημα Γενικά Συμπεράσματα 1 2πc j e ic jkx w j 1 ) k 2t [ ũ jx w j 1, k 2 ) + ic j k ũ j w j 1, k 2 )]dk 1 2πc j e ic jkx w j ) k 2t [ ũ jx w j, k 2 ) + ic j k ũ j w j, k 2 )]dk γ 1 2, j = 1, 3, 5, c j = 1, j = 2, 4, 6, Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

28 Μια Διάσταση - n Περιοχές Δυο Διαστάσεις - Συνεχές Πρόβλημα Γενικά Συμπεράσματα n Περιοχές - Γραμμικό Σύστημα 2n) 2n) A = Au=W B 1 D 1 E F 1 H 1 I B 2 C 2 D 2 E F 2 G 2 H 2 I B n 1 C n 1 D n 1 E n F n 1 G n 1 H n 1 I n B n C n D n F n G n H n B j = +ic j γ j ke ic jkw j 1 C j = +γ j 1 e ic jkw j 1 γ j = γ, j = 1, 3, 5, D j = ic j γ j ke ic jkw j E j = γ j e ic jkw j γ j = 1, j = 2, 4, 6, F j = ic j γ j ke icjkwj 1 G j = +γ j 1 e icjkwj 1 w 0 = a H j = +ic j γ j ke icjkwj I j = γ j e icjkwj w n = b Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

29 n Περιοχές Το Πρόβλημα Μια Διάσταση - n Περιοχές Δυο Διαστάσεις - Συνεχές Πρόβλημα Γενικά Συμπεράσματα grey white white grey Σχήμα: Χρονική εξέλιξη της πυκνότητας των κυττάρων για γ = 02 για t = 02 : 02 : 4 σε grey-white-grey- και white-grey-white, περιοχές Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

30 Δυο Διαστάσεις Το Πρόβλημα Μια Διάσταση - n Περιοχές Δυο Διαστάσεις - Συνεχές Πρόβλημα Γενικά Συμπεράσματα Καλημέρης & Φωκάς 2009) Εξίσωση Θερμότητας R 2 t q t q x1 x 1 q x2 x 2 = f Dirichlet Συνοριακές Συνθήκες y l 2 z 2 qπλευρά-1, t) =f 1 s, t) qπλευρά-2, t) =f 2 s, t) z 3 l 2 3 Ω l 2 3 x qπλευρά-3, t) =f 3 s, t) Αρχική Συνθήκη qx 1, x 2, 0) = q 0 x 1, x 2 ) l 2 z 1 Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

31 Δυο Διαστάσεις συν) Το Πρόβλημα Μια Διάσταση - n Περιοχές Δυο Διαστάσεις - Συνεχές Πρόβλημα Γενικά Συμπεράσματα z j+1 kx = k 1 x 1 + k 2 x 2 { { w k) = k k 2 2 k 1, k 2 C µ j = k 1, k 2 ) T j λ j = k 1, k 2 ) N j ξ j = x 1, x 2 ) T j η j = x 1, x 2 ) N j z j T j N j Σχήμα: Τοπικό σύστημα αξόνων Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

32 Μια Διάσταση - n Περιοχές Δυο Διαστάσεις - Συνεχές Πρόβλημα Γενικά Συμπεράσματα Δυο Διαστάσεις - Ολοκληρωτική Λύση u x 1, x 2, t) = 1 2π) 2 i 2π) 2 + i 2 2π) π) 2 j=1 R R D R R D k 1 e e ikx wk)t Q k 1, k 2, t) dk 2 dk 1 e D + D l 3 ik 1 2 wk)t 3 j=1 l 3 ik 1 2 wk)t 3 e j=1 l ik 1 2 l 3 e ik 2 2 e wk)t G j k2, k 2 1, t ) P j k 1, k 2, x 1, x 2 ) dk 1 dk 2 G j k 1, k 2, t) P j k 1, k 2, x 1, x 2 ) sin [ 3k 1 + k 2 ) l 4 + j 1) 2π 3 ]dk 1 dk 2 3 G j k 2, k 1, t) P j k 1, k 2, x 1, x 2 ) sin [ l k j 1) )] [ ) 2π 3 sin 3k1 + k l j 1) ]dk 2π 1 dk 2 3 Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

33 Μια Διάσταση - n Περιοχές Δυο Διαστάσεις - Συνεχές Πρόβλημα Γενικά Συμπεράσματα Δυο Διαστάσεις - Ολοκληρωτική Λύση συν) P 1 k 1, k 2, x 1, x 2 ) = P 2 k 1, k 2, x 1, x 2 ) = P 3 k 1, k 2, x 1, x 2 ) = 3 j=1 e ik 2ξ j +k 1 η j ) 3 a j 1 e ik 2ξ j +k 1 η j ) j=1 3 a j 1 e ik2ξj+k1ηj) G 1 k 1, k 2, t) = e iλ3 l 2 3 Q1 k 1, k 2, t) e iλ3 l 2 3 Q1 k 1, k 2, t) ) l 2iλ 1 cos µ 2 G 1 µ1, λ 2 2 1, t ) ) l 2iλ 2 cos µ 1 G 1 µ2, λ 2 2 2, t ) 2iλ 3 G 1 µ3, λ 2 3, t ) j=1 Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

34 Μια Διάσταση - n Περιοχές Δυο Διαστάσεις - Συνεχές Πρόβλημα Γενικά Συμπεράσματα Δυο Διαστάσεις - Ολοκληρωτική Λύση συν) G 2 k 1, k 2, t) = ae iλ l Q2 k 1, k 2, t) ae iλ l Q2 k 1, k 2, t) l 2iλ 1 cos µ π ) G 2 µ1, λ 2 3 1, t ) l 2iλ 2 cos µ π ) G 1 µ2, λ 2 3 2, t ) 2iλ 3 G 1 µ3, λ 2 3, t ) G 3 k 1, k 2, t) = ae iλ l Q3 k 1, k 2, t) ae iλ l Q3 k 1, k 2, t) l 2iλ 1 cos µ 2 2 2π ) G 3 µ1, λ 2 3 1, t ) l 2iλ 2 cos µ 1 2 2π ) G 3 µ2, λ 2 3 2, t ) 2iλ 3 G 3 µ3, λ 2 3, t ) Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

35 Μια Διάσταση - n Περιοχές Δυο Διαστάσεις - Συνεχές Πρόβλημα Γενικά Συμπεράσματα Δυο Διαστάσεις - Ολοκληρωτική Λύση συν) Q j k 1, k 2, t) = Ω Ω Q k 1, k 2, t) = Ω + Ω G j k2, k 2 1, t ) = t 0 e ikx+wk)τ f x 1, x 2, τ) dτdx 1 dx 2 e ikx q j x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 e ikx q 0 x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 t 0 l/2 l/2 e ikx+wk)τ f x 1, x 2, τ) dx 1 dx 2 dτ t 0 e ik2s+k2 2 +k2 1)τ g j s, τ) dsdτ Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

36 Μια Διάσταση - n Περιοχές Δυο Διαστάσεις - Συνεχές Πρόβλημα Γενικά Συμπεράσματα Δυο Διαστάσεις - Ολοκληρωτική Λύση συν) q 1 s, t) q 2 s, t) = q 0 x 1, x 2 ) 91 a a q x x 2, ) 3 2 x x 2 q 3 s, t) 1 a a q x x 2, ) 3 2 x x 2 g 1 s, t) g 2 s, t) = a a f 1 s, t) f 2 s, t) 3 g 3 s, t) 1 a a f 3 s, t) a = e i 2π 3 Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα

37 Συμπεράσματα Μια Χωρική Διάσταση Το Πρόβλημα Μια Διάσταση - n Περιοχές Δυο Διαστάσεις - Συνεχές Πρόβλημα Γενικά Συμπεράσματα Επεκτείνεται αβίαστα σε προβλήματα πολλαπλών πεδίων Αναλυτική λύση σε ολοκληρωτική μορφή) Δεν χρειάζεται η λύση σε προηγούμενα χρονικά βήματα Ομαλή αριθμητική λύση Ανταγωνιστική με συνήθης μεθόδους πχ collocation με Crank Nicolson) Μη γραμμικοί όροι? Δυο Χωρικές Διαστάσεις Ισόπλευρο τρίγωνο - συνεχές πρόβλημα : αναλυτική λύση Αριθμητική λύση? Ασυνεχές πρόβλημα? Σκαληνό τρίγωνο/ορθογώνιο? Ασυνεχές πρόβλημα? Μη γραμμικοί όροι? Σηφαλάκης Τάσος - ΕΕΜΗΥ - Βόλος Μονή Πάου) Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα