10 Základy kvantovej fyziky

Transcript

1 1 Základy kvantovej fyziky 1.1 Úvod Žiarenie absolútne čierneo telesa Látky všetkýc skupenstiev zoriate na istú teplotu vyžarujú elektromagnetické vlnenie, ktoré má pôvod v tepelnýc poyboc (kmitoc) ic elektricky nabitýc častíc. K popisu žiarenia je vodné definovať nasledujúce pojmy a fyzikálne veličiny: žiarivý tok energia vyžiarená telesom za dee časovú jednotku (t.j. výkon vyžiarený, prenášaný alebo prijímaný vlnením), W ; intenzita dt vyžarovania (excitancia) M energia vyžiarená jednotkovou plocou za jednotku času, d M Wm ; spektrálna ustota (koncentrácia) intenzity vyžarovania M, resp. M energia ds vyžiarená jednotkovou plocou za jednotku času, ktorá pripadá na vlny z maléo intervalu vlnovýc dm dĺžok (, +d), M Wm 3 dm, resp. frekvencií z intervalu (f, f + f): M f Jm. Pritom d df platí, že M = M d, resp. M = M df. f Každá látka môže dopadajúce žiarenie čiastočne odrážať, prepúšťať a polcovať (absorbovať). Absolútne čierne teleso je také teleso, ktoré je scopné polcovať (absorbovať) a vyžarovať žiarenia všetkýc frekvencií. Telesá, ktoré polcujú /vyžarujú len časť dopadajúceo žiarenia, sa nazývajú sivé. Pomer energie poltenej telesom za 1 s k energií dopadajúcej, predstavuje absorptanciu (relatívnu poltivosť) pol. / dop. (pre absolútne čierne teleso platí = 1). Pri štúdiu absolútne čierneo telesa zaviedol M. Planck predpoklad kvantovania energie. Podľa tejto predstavy kmitajúci elektrón (kmitajúca častica) môže vyžarovať energiu len po celistvýc násobkoc minimálnej odnoty energie f n ( f ), n =1,, 3... ]. Táto odnota ( f ) sa nazýva kvantum elektromagnetickýc kmitov [ energie a jej veľkosť je priamo úmerná frekvencií žiarenia ( f ) f. Konštanta úmernosti sa nazýva Planckova konštanta ( = 6, Js). Carakterizuje diskrétne odnoty energie elektromagnetickýc kmitov danej frekvencie. Na základe očakávanéo kvantovania energie odvodil Planck vzťa pre spektrálnu ustotu intenzity vyžarovania 3 c 1 f 1 M, T, resp. M 5 c f f, T. f c kt kt e 1 e -1 Z Planckovo zákona vyplývajú tri dôležité zákony pre vyžarovanie absolútne čierneo telesa (pozri tiež príklady 1.1 až 1.3), ktoré vycádzali z klasickýc predstáv spojitéo vyžarovania energie: 1. Stefanov-Boltzmannov zákon: intenzita vyžarovania je priamo úmerná štvrtej mocnine teploty M T T, kde Stefanova-Boltzmannova konštanta k /15 c = 5, Wm K 4, 4 kde k je Boltzmannova konštanta, c - rýclosť svetla vo vákuu.. Wienov posuvný zákon: vlnová dĺžka, pri ktorej teleso vyžaruje maximum energie je nepriamo 3 úmerná teplote M b / T, kde b c x max k,898 1 mk, pričom x = 4, Rayleigov-Jeansov zákon: pre malé odnoty frekvencie elektromagnetickéo vlnenia f je k f spektrálna ustota intenzity vyžarovania priamo úmerná teplote M f f, T T. c Fotoelektrický jav Ďalší rozvoj kvantovej teórie sa týkal časticovéo carakteru elektromagnetickéo žiarenia vo viditeľnej a v ultrafialovej oblasti, ako aj v oblasti veľmi malýc vlnovýc dĺžok (rtg. žiarenie). Albertovi Einsteinovi sa podarilo na základe predstavy časticovéo carakteru elektromagnetickéo žiarenia vysvetliť fotoelektrický jav. Vonkajší fotoelektrický jav (fotoefekt) je jav, pri ktorom povrc 11

2 látky, na ktorý dopadajú fotóny (svetelné kvantá) s energiou f c, emituje fotoelektróny. 1 Kinetickú energiu emitovanéo fotoelektrónu Ek mv môžeme vyjadriť z Einsteinovo vzťau f W E k, kde W f c je výstupná práca elektrónu z materiálu. Táto práca predstavuje minimálnu energiu fotónov potrebnú na to, aby mool nastať fotoefekt. Einsteinovu rovnicu môžeme zapísať aj v tvare f W Ek eub, kde e je elementárny náboj elektrónu a U b je napätie brzdiaceo elektrickéo poľa, ktoré práve zadrží uvoľnený elektrón (resp. maximálny potenciál, na ktorý sa nabije predtým elektricky neutrálny, izolovaný povrc látky v dôsledku vyletujúcic elektrónov). Fotón ako častica je carakterizovaný: motnosťou m f / c za poybu (pokojová motnosť fotónu m = ), rýclosťou c a ybnosťou p mc /. Vlnovo-časticový carakter mikročastíc Louis de Broglie zovšeobecnil vlnovo-korpuskulárny dualizmus pozorovaný pri elektromagnetickom žiarení na všetky mikročastice, ktorýc pokojová motnosť je rôzna od nuly. Každej častici s ybnosťou p a energiou E prináleží podľa de Broglieo ypotézy materiálová vlna, E ktorej vlnová dĺžka a frekvencia sú určené nezávislými rovnicami a f. Materiálové vlny p neexistujú vo forme rovinnýc monocromatickýc vĺn (s jednou vlnovou dĺžkou), ale v podobe vlnovýc balíkov. Každý balík možno cápať ako superpozíciu (súčet) rovinnýc monocromatickýc de vĺn. Vlnové balíky sa šíria prostredím tzv. grupovou rýclosťou ( v g ), ktorá je totožná s dp rýclosťou príslušnej častice. Heisenbergove vzťay neurčitosti Pretože každá motná mikročastica má korpuskulárne aj vlnové vlastnosti, nie je preto možné carakterizovať jej okamžitý stav zadaním presnej poloy a presnej ybnosti. W. Heisenberg stanovil ranice, v rámci ktorýc má zmysel carakterizovať časticu klasickými veličinami, akými sú napr. poloa a ybnosť. Experimenty ukazujú, že v prírode neexistujú stavy mikročastíc s presne určenými odnotami súradníc a ybností. Ak ľadáme súčasne polou aj ybnosť častice, možno to urobiť iba približne, s istou neurčitosťou x, y, z v odnotác súradníc poloy a s neurčitosťou p x, p y, p z v odnotác súradníc ybnosti. Heisenberg vysvetlil pravdepodobnostný carakter vyššie uvedenýc pozorovateľnýc veličín princípom neurčitosti, podľa ktoréo platia medzi ic neurčitosťami nasledujúce vzťay: x px, y py, z pz, kde. Princíp neurčitosti tiež poukazuje na skutočnosť, že presné stanovenie súradnice znamená úplnú stratu informácií o ybnosti, ktorá jej prislúca (napr. ak x, potom p x ) a opačne. Vzťa neurčitosti pre ybnosť a súradnicu možno rozšíriť aj na energiu E a čas t, t.j. E t /. Zo vzťau vyplýva, že žiadny vlnový proces oraničený v čase t nemôže byť monocromatický. Čím kratší je čas existencie určitéo energetickéo stavu, resp. čas vymedzený na jeo pozorovanie, tým s menšou presnosťou môžeme určiť energiu toto stavu. 1. Otázky a problémy 1. Čo je to absolútne čierne teleso a sivé teleso?. Čo je to absorptancia (koeficient sivosti)? 3. Čo rozumieme pod pojmom kvantum energie? 4. Ak by bol slnečný kolektor konkávny (vypuklý), získame väčší povrc, na ktorý by molo dopadať viac slnečnýc lúčov. Prečo sa však vyrábajú len plocé? 1

3 5. Koľkokrát sa zväčší (zmenší) intenzita vyžarovania absolútne čierneo telesa, keď jeo teplota sa zväčší (zmenší) dvakrát? 4 6. Ako sa zmení podiel M M, kde M T je intenzita vyžarovania absolútne čierneo telesa, keď jeo teplota sa zväčší o 1%? 7. Jedno teleso je rozpálené plameňom oňa tak, že má červenú farbu a drué má žltú. Ktoré z nic má vyššiu teplotu? 8. Slnko vyžaruje najviac energie na vlnovej dĺžke odpovedajúcej zelenej farbe. Uvažujme, že pre nejakú príčinu by sa teplota Slnka zvýšila (znížila). Ako by sa zmenila farba rastlín alebo lístia stromov na Zemi? 9. Straty energie spôsobené tepelným vyžarovaním z povrcu telies vyjadrujeme vzťaom 4 4 W S t T T, kde S je povrc telesa, t je čas, je konštanta, T teplota povrcu telesa a T teplota okolia. Vysvetlite prečo? 1. Študent na skúške z fyziky nakreslil dve krivky (pozri obr.1.1) odpovedajúce spektrálnej ustote intenzity vyžarovania absolútne čierneo telesa pre dve rôzne teploty (T >T 1 ). Získa za odpoveď plný počet bodov? 11. Teplotu absolútne čierneo telesa sme zvýšili štyrikrát. Ako sa posunie maximum vyžarovanej energie? 1. Podľa staršej definície jednotky svietivosti, kandela je svietivosť (I) 1/6 m povrcu absolútne čierneo telesa v smere kolmom na tento povrc pri teplote tunutia platiny, t.j C. Aký minimálny výkon musel mať tento zdroj energie? 13. Zdroj vysiela žiarenie s frekvenciou f = Hz. Vypočítajte vlnovú dĺžku žiarenia! 14. Čo je to elektrón? Aká je jeo pokojová motnosť? 15. Čo je to fotón? Aká je jeo pokojová motnosť? 16. Čo rozumieme pod pojmom fotoelektrón? 17. Prečo sa dá vysvetliť fotoefekt pomocou korpuskulárnej teórie svetla a nie pomocou vlnovej teórie svetla? 18. Ako sa zmení energia fotoelektrónov, keď kovovú elektródu ožiarime svetlom, ktoréo frekvencia sa zmenila z odnoty f na odnotu f? 19. Čo je to jeden elektrónvolt (ev)?. Čo je to výstupná práca elektrónov? 1. Keď svietime svetlom s vodnou vlnovou dĺžkou na izolovanú kovovú dosku, začnú sa emitovať fotoelektróny. Prečo po čase tento proces zanikne?. Striebornú elektródu ožiarime svetlom vlnovej dĺžky = 3 nm. Rozodnite, či nastane fotoefekt! 3. Akou rýclosťou budú vyletovať elektróny z platiny po jej ožiarení svetlom vlnovej dĺžky = 4 nm? Hodnoty výstupnýc prác pre jednotlivé prvky nájdete v tabuľkovej príloe. 4. Ccete vyrobiť fotočlánok pracujúci s viditeľným svetlom. Ktorý z nasledujúcic prvkov by ste použili na jeo výrobu: Ta, W, Al, Ba, Li? 5. Uveďte príklady experimentov, kde sa elektrón správa ako častica, resp. ako vlna! 6. Aká je vlnová dĺžka strely s motnosťou 5 g, ako de Broglieo vlny, letiacej rýclosťou 4 ms 1? Výsledok porovnajte s vlnovou dĺžkou elektrónu poybujúceo sa rýclosťou km s 1 (Hmotnosť elektrónu uvažujte 9, kg)! 7. Prečo nemôžeme ovoriť o determinizme fyziky z ľadiska Heisenbergovýc vzťaov neurčitosti? 8. V teórii veľkéo tresku (Big Bang) sa predpokladá, že vesmír vznikol v určitom časovom okamiu. Prečo nemôžeme tento okami presne určiť? 9. Na základe Heisenbergovýc vzťaov neurčitostí sa nedá ovoriť pri poybe elektrónu okolo jadra o jeo trajektórií. Prečo? 3. Ako možno vysvetliť prirodzenú šírku spektrálnej čiary? 31. Ako sa zmení energia fotónu, keď sa zmenší vlnová dĺžka svetla na polovicu? M (W.m - ) Obr. 1.1 T T 1 (nm) 13

4 1.3 Riešené príklady 1.1 Odvoďte Stefanov-Boltzmannov zákon z Planckovo zákona pre žiarenie absolútne čierneo telesa! Vyjdeme z Planckovo vzťau pre spektrálnu ustotu intenzity vyžarovania v tvare: 3 f 1 M f f, T. Celková intenzita vyžarovania pre všetky frekvencie žiarenia je: f c kt e 1 f f c. Zavedieme substitúciu 3 f M T M f, T df df kt kt f x a df dx kt e 1 f kt. Po dosadení do integrálu získame výraz M T 3 4 x Hodnotu integrálu môžeme nájsť v matematickýc tabuľkác, t.j. dx. x e Potom M T T k (1,381 ), kde 5, c 15 (6,631 ) (31 ) 8 x, z ktorej vyplýva k T 3 c x dx. x e Wm K *Odvoďte Wienov posuvný zákon z Planckovo zákona žiarenia absolútne čierneo telesa! Pri riešení problému budeme vycádzať zo znalosti Planckovo vzťau pre spektrálnu ustotu c 1 intenzity vyžarovania v tvare M, T. 5 c kt e 1 d Táto funkcia má svoj extrém, ktorý určíme z podmienky M, T d. Po derivovaní a c c k T c k T jednoducej úprave dostaneme rovnicu 5 (e 1) e. Zavedením substitúcie k T c x x x x rovnica nadobudne tvar 5(e 1) xe alebo x 5(1 e ). Získali sme k T xn transcendentnú rovnicu, ktorú možno riešiť iteračným spôsobom ( x n+1 5(1 e ) ). Ak za počiatočný x bod iterácie zvolíme x = 4, potom x 1 5(1 e ) 4,98. Po niekoľkýc krokoc dostaneme výsledné číslo x = 4,965 (pozri tabuľku). n x n 4, 4,98 4,963 4,965 4,965 x n+1 4,98 4,963 4,965 4,965 4,965 Spätným dosadením nájdenéo čísla x do substitúcie a jej jednoducou úpravou získame matematické 34 8 c 6, vyjadrenie Wienovo posuvnéo zákona: M T b,931 mk. max 3 k x 1,381 4, Odvoďte Rayleigov-Jeansov zákon žiarenia absolútne čierneo telesa z Planckovo zákona! Pri riešení problému budeme vycádzať zo znalosti Planckovo vzťau pre spektrálnu ustotu 14

5 žiarivej energie v tvare M f, T 3 f 1 f. Rayleigov-Jeansov zákon platí pre žiarenie f c k T e -1 absolútne čierneo telesa v oblasti nízkyc frekvencií (veľkýc vlnovýc dĺžok) a vysokýc teplôt, t.j. f člen 1. Rozložením exponenciálnej funkcie e kt f f k T do MacLaurinovo radu: k T f 1 f ( e 1...) a ponecaním jeo prvýc dvoc členov dostaneme Rayleigovk T k T k T f Jeansov zákon v tvare: M f f, T. c 1.4 *Kovová guľa s polomerom R = 1 cm zoriata na teplotu T = 1 K je umiestnená do priestoru, kde je teplota blízka absolútnej nule. Vypočítajte, za aký čas sa teplota gule zníži na polovicu, keď motnostná tepelná kapacita materiálu je c v = 193 Jkg 1 K 1. Hmotnosť gule je 3 kg. Element energie de e vyžiarený celou plocou gule za čas dt vypočítame ako: 4 de dt M S dt T 4π R dt. O túto odnotu sa zmenší jej tepelná energia deq mcv dt. e Pretože platí zákon zacovania energie ( dee deq ), dostávame rovnicu. Separujeme premenné a následne integrujeme rovnicu t T 4 v T 4π R dt mc T dt mc 4π R t T 3 4πR dt mc T dt : 3 T v 4 v mc v t 7T 1978, R s. 1 5, (1) T 4 T 4π R dt mcv dt 1.5 Orievacia špirála elektrickej pece je navinutá z drôtu dĺžky l = 1 m a je pripojená na elektrickú sieť s napätím U = V. Špirála sa v dôsledku precádzajúceo prúdu zoreje z teploty T 1 = 93 K na teplotu T = 1373 K. Aký priemer d má drôt, ak jeo rezistivita je = 1,11 6 m a absorptancia jeo povrcu je =,6? Tok vyžiarený špirálou elektrickej pece, t.j. energiu za jednotku času, vyjadríme ako 4 4 T T d. Koeficient vyjadruje skutočnosť, že špirála nežiari ako absolútne čierne 1 1 π teleso, ale ako tzv. sivé teleso. Súčin π d predstavuje povrc špirály. Elektrická sieť dodáva výkon U P, kde elektrický odpor špirály R vyjadríme pomocou plocy jej prierezu ( π d 4 ), dĺžky l a R 4 rezistivity, t.j. R. π d π d 4 U π d Pre elektrický výkon možno napísať P. Z rovnosti 1 = P určíme následne priemer T T ,6 1,11 5, špirály d 1,91 U 1 3 m. 15

6 1.6 Teleso zoriaté na teplotu T 1 = 5 K postupne cladne. Vlnová dĺžka svetla, na ktorú pripadá relatívne najviac energie v spektre žiarenia toto telesa sa zmení o =,8 m. Vypočítajte, na akú teplotu T sa teleso ocladilo za predpokladu, že žiari ako absolútne čierne teleso. Z Wienovo posuvnéo zákona pre vlnové dĺžky dostaneme 16 b 1m a m T1 b. Pre zmenu T b b vlnovej dĺžky môžeme napísať rovnicu m 1m, z ktorej následne vyjadríme ľadanú T T teplotu 3 bt1, T1 b,81 5,91 1 T 1479,6 K. 1.7 Za predpokladu, že Slnko a Zem žiaria ako absolútne čierne telesá, vypočítajte na akú teplotu by sa zoriala naša Zem pod vplyvom slnečnéo žiarenia. Teplota povrcu Slnka je T S = 58 K, polomer Slnka je R S = 6,961 8 m a stredný polomer obežnej dráy je r SZ = 1, m. Tok vyžiarený povrcom Slnka, t.j. energia za jednu sekundu, je: vzdialenosti r SZ dopadne na jednotkovú plocu energia Zeme dopadne žiarivý tok (energia za jednu sekundu) T 4 S S 4 TS 4π RS 4 RS T S SZ 4π SZ SZ T 4π R. Vo. Na povrc 4π r r r R 4 S 1 S π R Z rsz, kde R Z je polomer planéty. 4 Zem ako absolútne čierne teleso súčasne vyžaruje celým svojím povrcom tok TZ 4π RZ, kde T Z je teplota povrcu Zeme. Pri tepelnej rovnováe platí 1, z čoo vyjadríme teplotu povrcu Zeme T R 6, ,3 K. 8 Z S TS rsz 11 1,49 1 Poznámka: Planéta absorbuje žiarenie svojim profilom, pozri Otázky a problémy- problém č Elektrickému orievaciemu telesu s vyžarovacou plocou povrcu veľkosti S = 35 cm sa neustále privádza elektrický výkon P = 1,5 kw. Aká bude teplota T povrcu telesa, ak považujeme povrc za absolútne čierny, teplota T okolitéo prostredia je 5 K a 1 % výkonu sa stráca vedením tepla? 4 4 Energia, ktorú vyžiari teleso za jednotku času žiarivý tok je 1 T T S. Tento žiarivý tok je rovný 9 % elektrickéo výkonu (,9 P ), pretože 1 % výkonu predstavujú straty. Z rovnice 4 4 T T S P po úprave vyjadríme ľadanú teplotu získame,9,915 5,67 1 3,5 1 4 T K. T,9 P S 4 4 T. Po číselnom dosadení 1.9 Pri fotoelektrickom experimente so sodíkovou elektródou sa zistilo brzdné napätie U b1 = 1,85 V pre svetlo vlnovej dĺžky 1 = 3 nm a napätie U b =,8 V pre svetlo vlnovej dĺžky = 4 nm. Vypočítajte z týcto údajov: a) odnotu Planckovej konštanty, b) výstupnú prácu pre sodík, c) maximálnu vlnovú dĺžku, pri ktorej ešte nastane fotoefekt. Einsteinova rovnica pre fotoefekt v prípade vlnovýc dĺžok 1, nadobudne tvary

7 c W eu b1 a b 1 λ c W eu, kde W je výstupná práca pre sodík. Z týcto rovníc vyjadríme: e ( U b1- U b) 1 1, 61 (1,85,8) a) Planckovu konštantu = 6, c ( ) 31 (4 3) e ( U b1 1 - U b ) 1, 6 1 (1,8531,84 1 ) b) Výstupnú prácu W = 3,631 9 (4 3) 1 1 c c) Pre maximálnu vlnovú dĺžku m platí W, teda m 34 8 c 6, ,481 W 3,631 m m. Js. J. 1.1 Brzdné napätie platinovej elektródy ožiarenej UV svetlom je U b1 = 3,7 V. Po ožiarení inej kovovej elektródy je brzdné napätie U b = 6, V. Vypočítajte výstupnú prácu elektrónov z druej elektródy! c Einsteinova rovnica pre obidva prípady má tvar W1 eu b1 a c W eu b, kde výstupná práca elektrónov z platiny je W 1 = 6,3 ev (tabuľka 8). Z porovnania pravýc strán rovníc vyplýva pre výstupnú prácu elektrónov z druej elektródy vzťa W W1 e( U b1 U b ) = 4 ev Výstupná práca elektrónov pri uvoľnení z katódy je W = 4,5 ev. Aká je maximálna vlnová dĺžka m svetla, pri ktorej ešte nastane fotoemisia? Akú maximálnu rýclosť v m môže získať elektrón emitovaný po ožiarení svetlom vlnovej dĺžky = 18 nm? c Z Einsteinovej rovnice pre fotoefekt W Ek vyplýva, že maximálna vlnová dĺžka svetla, 1 pri ktorej nastane fotoefekt zodpovedá nulovej kinetickej energii elektrónov Ek mv =. Preto 34 8 c c 6, môžeme napísať W, teda m 76,5 nm. 19 W 4,51,6 1 m V prípade ožiarenia systému svetlom vlnovej dĺžky m kinetická energia elektrónov už nie je nulová 1 c Ek mv W 6, , Po úprave získame v m c W, teda m 34 8 v 19 5 m ( 4,51,6 1 ) 9,191 ms Od okolia izolovaná zlatá guľôčka s polomerom R = 1 cm je ožiarená svetlom vlnovej dĺžky = nm. Vypočítajte a) na aký maximálny potenciál V bm sa nabije guľôčka v dôsledku straty fotoelektrónov, b) aký náboj vznikne na nej, c) koľko elektrónov sa uvoľnilo. a) V Einstenovej rovnici pre fotoefekt vyjadríme kinetickú energiu elektrónu pomocou brzdnéo potenciálu (guľôčka je izolovaná, preto namiesto napätia môžeme pracovať s potenciálom) c 1 W m = W evbm v. Výstupná práca pre zlato je podľa tabuľky 8: W = 5,4 ev. Potom V c W 6, ,4 1,6 1 ( ),8 V. bm e e 1, ,61 17

8 Q b) Potenciál nabitej guľôčky sa vyjadrí pomocou náboja Q vzťaom V bm 4 R. Potom Q π R Vbm 4π 8,851,8 8,9 1 C. c) Pretože celkový náboj Q je násobok náboja elektrónu Q = n e, 13 Q 8,9 1 6 n 5, e 1, Vypočítajte vlnovú dĺžku de Broglieo vlny elektrónu urýclenéo napätím kv! Vo výraze vyjadrujúcom kinetickú energiu častice 1 p U e m m elektrónu výrazom p = /. Po jednoducej úprave / mv získame vzťa: 34 6,631 8,7 pm meu 9,111 1,61 1 v naradíme ybnosť 1.14 Akú rýclosť v dosiane fotónová raketa s motnosťou m = 1 t, keď jej svetelný zdroj vlnovej dĺžky = 5 nm pracuje s výkonom P = 1 MW a je zapnutý 365 dní? Koľko fotónov sa pri tom vyžiari za jednu sekundu? Celková energia vyžiarená za čas t je rovná E = P t. Energia jednéo fotónu s vlnovou dĺžkou je = c /. Celkový počet fotónov vyžiarenýc za časový interval t potom vypočítame z podielu E Pt n. Celkovú ybnosť vyžiarenýc fotónov môžeme na základe debroglieo vzťau napísať c v tvare p n /. Zo zákona zacovania ybnosti pre sústavu motnýc bodov vyplýva, že 6 p mv n / Pt / c. Výsledná rýclosť rakety je potom v Pt c m m s Aká je grupová rýclosť voľnej mikročastice poybujúcej sa rýclosťou mnoonásobne menšou, ako je rýclosť svetla? Predpokladajte pri tom, že závislosť celkovej energie p mikročastice od ybnosti vyjadruje rovnica E. m de d p p Vyjdeme z definície grupovej rýclosti, kde v g. Pretože v g ( ) v, vidíme, dp dp m m že grupová rýclosť materiálovej vlny je totožná s rýclosťou poybu mikročastice Častica motnosti m v jednorozmernom potenciálnom poli má celkovú energiu rovnú px 1 E m x ( - ulová frekvencia armonickéo oscilátora). Pomocou Heisenbergovýc m vzťaov neurčitosti vypočítajte najmenšiu možnú energiu častice v tomto poli! Celková energia častice je súčtom jej kinetickej a potenciálnej energie px 1. E m x m 18

9 Najmenšia odnota súradnice častice x môže byť rádovo x. Podobne ybnosť častice môže mať najmenšiu odnotu rovnú p x. Pretože platí Heisenbergov vzťa px x, celkovú energiu častice 4 ( px ) 1 1 môžeme ďalej vyjadriť ako E m ( x) m ( x). Z podmienky m 3π m( x) extrému funkcie de d( x) dostaneme m ( x), teda 3 16 m( x) Najmenšia možná energia častice je potom E. 4 x. 4m Vlnová dĺžka sa dá určiť s relatívnou presnosťou 1. Aká je neurčitosť poloy x fotónu vlnovej dĺžky =,1 nm, ak súčasne určujeme polou aj vlnovú dĺžku? Pretože d p, potom pre p platí, že p p d. Z Heisenbergovýc vzťaov ďalej 1 vyplýva, že x 4p 4 4π. Teda 1 x 7, Poloa protónu v atómovom jadre je určená s neurčitosťou x = 1 14 m. Vypočítajte percentuálnu neurčitosť protónu s energiou E = MeV, keď jeo motnosť m = 1,671 7 kg. (Uvažujme len lineárny poyb v smere osi x). 1 p Energia protónu súvisí s jeo ybnosťou E mv, preto m p me. Neurčitosť energie vyjadríme pomocou neurčitosti ybnosti de p me E p p p. Pretože z dp m m Heisenbergovýc vzťaov vyplýva, že neurčitosť potom vyjadríme ako E E p, potom 4 x E 1.1%.1% E me x E ,631.1% 1% 3,3% , , m. me m 4 x. Percentuálnu 1.19 Elektrón sa poybuje v oblasti, ktorej veľkosť je a =,1 nm. Pomocou Heisenbergovýc vzťaov neurčitosti vypočítajte jeo najmenšiu možnú kinetickú energiu! 1 px Kinetickú energiu elektrónu vyjadríme vzťaom E mv x, kde p x predstavuje ybnosť m elektrónu a m jeo motnosť. Najmenšia ybnosť elektrónu môže byť rovná neurčitosti ybnosti p x p x, ktorú odadneme z Heisenbergovýc vzťaov neurčitosti px. V prípade poybu 4 x 19

10 elektrónu v oblasti veľkosti a, neurčitosť jeo poloy určíme ako x,5 a. Pre minimálnu kinetickú 34 ( px ) (6,631 ) 19 energiu potom platí Ek 6,111 J = 3,8 ev. 31 m 8 m a 8 9, Odadnite šírku čiary a rozptyl frekvencie pre svetelný impulz rubínovéo lasera, ktoréo doba trvania je t = 1 ns a vlnová dĺžka = 63 nm. K odadu použijeme Heisenbergove princípy neurčitosti v tvare E t /. Neurčitosť v čase t odadneme, že je rádovo rovná dobe trvania impulzu lasera (t t). Neurčitosť energie E = c / vyjadríme pomocou, resp. f: de c E d, resp. de E f f. df Potom 7 c (6,31 ) t,,15pm c t t f, Neriešené príklady f 7,96 1 s t Aký veľký výkon P treba dodávať, aby sa vyrievacia tyč elektrickej pece, v ktorej je teplota T 1 = 573 K, udržala na teplote T = 973 K? Dĺžka tyče je l =,4 m a priemer d =, m. Predpokladajte 7% straty výkonu v dôsledku vedenia tepla. 1. Na akú teplotu T treba zoriať teleso, aby pri teplote okolia t = C vyžarovalo stokrát viac energie, ako by prijímalo od okolia? 1.3 Teplota absolútne čierneo telesa sa zdvojnásobila, v dôsledku čoo sa maximum vyžarovanej energie posunulo o odnotu m = 6 nm. Vypočítajte počiatočnú a konečnú teplotu telesa! 1.4 Kovové vlákno s priemerom d =, mm a dlé l = 1 cm sa rozžeraví z teploty T = 93 K na teplotu T = 3 K. Akú energiu vyžiari vlákno za čas t = 1 min, keď sa správa ako absolútne čierne teleso? 1.5 Výkon vyžarovania zoriatej kovovej gule polomeru R = 1 cm je P = 1 kw. Vypočítajte, na akú teplotu je zoriata guľa, keď ju pokladáme za sivé teleso s koeficientom sivosti =, Predpokladajme, že naša Zem žiari ako sivé teleso s priemernou teplotou T = 8 K. Vypočítajte absorptanciu Zeme, keď intenzita vyžarovania Zeme M Z = 9,8 Wm. 1.7 Vypočítajte teplotu a výkon Slnka, za predpokladu, že žiari ako absolútne čierne teleso. Maximum spektrálnej ustoty intenzity vyžarovania pripadá na vlnovú dĺžku m = 5 nm. Polomer Slnka R S = 6,961 5 km. 1.8 *Za predpokladu, že Slnko a planéty Mars a Venuša žiaria ako absolútne čierne telesá, vypočítajte na akú teplotu by sa zoriali pod vplyvom slnečnéo žiarenia. Teplota povrcu Slnka je T S = 58 K, polomer Slnka je R S = 6,961 8 m a stredný polomer obežnej dráy Marsu okolo Slnka je r SM =,81 11 m a Venuše okolo Slnka je r SV = 1,81 11 m. 1.9 Vypočítajte teplotu pece, keď cez otvor plocy S = 8 cm uniká za čas t = 6 s energia žiarenia W = 5645 J. 13

11 1.3 Intenzita vyžarovania absolútne čierneo telesa je M = 64 MWm. Na akej vlnovej dĺžke vyžaruje teleso najviac energie? Teplotu okolia považujte rovnú K *Do čiernej, tenkostennej nádoby tvaru kocky sme naliali 1 kg vody teploty T 1 = 33 K. Voda vyplnila celý objem nádoby. Vypočítajte čas, za aký sa voda ocladí na teplotu T = 9 K, keď je umiestnená v čiernej dutine, ktorej steny majú teplotu blízku k absolútnej nule. Pri výpočte uvažujte iba motnostnú tepelnú kapacitu vody pri stálom objeme (c v = 4, kjkg 1 K 1 ). 1.3 Panel slnečnéo kolektora má plocu S = 5 m a jeo objem = 1 l. Vypočítajte čas, za ktorý sa oreje voda v kolektore z teploty T 1 = 9 K na teplotu T = 33 K. Predpokladajte, že panel poltí 4 % dopadajúcej energie a intenzita slnečnéo vyžarovania je M = 8,1 4 Jm min Aká je minimálna frekvencia dopadajúceo žiarenia, pri ktorej nastane emisia elektrónov zo sodíka? Aká bude maximálna kinetická energia E k pri ožiarení svetlom vlnovej dĺžky = nm? 1.34 Brzdné napätie scopné zabrániť úniku fotoelektrónov z povrcu dopovanéo polyméru ožiarenéo svetlom vlnovej dĺžky = 491 nm, je U b1 =,71 V. Akej vlnovej dĺžke odpovedá napätie veľkosti U b = 1,43 V? 1.35 Aká je funkčná závislosť brzdnéo napätia U b od frekvencie f dopadajúceo svetla na povrc lítia? Aká musí byť minimálna f m frekvencia svetla, aby nastal fotoefekt? 1.36 Medenú guľku dostatočne vzdialenú a izolovanú od inýc telies ožiarime monocromatickým svetlom s vlnovou dĺžkou =, m. Na aký maximálny potenciál V bm sa guľka nabije v dôsledku straty fotoelektrónov? 1.37 Cézium je ožiarené laserom vlnovej dĺžky = 6 nm. Vypočítajte maximálnu rýclosť fotoelektrónov emitovanýc z povrcu kovu! 1.38 Akou rýclosťou vyletujú fotoelektróny zo striebornej elektródy ožiarenej svetlom vlnovej dĺžky = 15 nm, keď najväčšia vlnová dĺžka, pri ktorej ešte nastane fotoefekt, je = 6 nm? 1.39 Výstupné práce elektrónov z kovu sú z intervalu až 6 ev. Nájdite interval vlnovýc dĺžok, pri ktorýc môže fotoefekt nastať. 1.4 Vypočítajte kinetickú energiu fotoelektrónov, keď katódu vyrobenú z niklu ožiarime svetlom vlnovej dĺžky = nm. Jej odnotu zapíšte v ev! 1.41 Vypočítajte maximálnu rýclosť v m fotoelektrónov, ktorú môžu získať pri ožiarení wolfrámovej katódy svetlom vlnovej dĺžky = 18 nm. 1.4 Maximálna kinetická energia fotoelektrónov pri ožiarení céziovej elektródy monocromatickým žiarením je E k =,15 ev. Vypočítajte vlnovú dĺžku svetla použitéo pri ožiarení! 1.43 Vypočítajte brzdné napätie potrebné na zastavenie fotoelektrónov uvoľnenýc z céziovej elektródy svetlom vlnovej dĺžky = 486 nm! 1.44 Elektróny vyletujúce z kovovej elektródy po expozícii UV žiarením dosaujú maximálnu rýclosť v m = 1 7 ms 1. Vypočítajte vlnovú dĺžku svetla, keď výstupná práca elektrónov z elektródy je W = 4 ev Vypočítajte vlnovú dĺžku svetla, ktorým bola ožiarená medená elektróda, keď kinetická energia elektrónov je E k =,41 J Aká je frekvencia, energia a ybnosť fotónu s vlnovou dĺžkou 5 nm, keď jeo zotrvačná 131

12 motnosť m = 4,41 36 kg? 1.47 Vypočítajte maximálnu frekvenciu fotónu a jeo vlnovú dĺžku! Predpokladajte, že fotón môže byť vyžiarený po okamžitom zastavení elektrónu s kinetickou energiou E k = 1 ev Akou rýclosťou sa musí poybovať elektrón, aby sa jeo kinetická energia rovnala energii fotónu s vlnovou dĺžkou 1 = 4 nm, resp. = 7 nm? 1.49 Vypočítajte vlnovú dĺžku de Broglieo vlny odpovedajúcej elektrónu s kinetickou energiou E k = 1 MeV! 1.5 Koľko fotónov vyžaruje za jednu sekundu zdroj monocromatickéo elektromagnetickéo žiarenia s vlnovou dĺžkou =,6 m, keď jeo výkon P je rovný 6 W? 1.51 Výkon žiarivky je P = 5 W. Vypočítajte počet fotónov N so strednou vlnovou dĺžkou = 35 nm, dopadajúcic za 1 s na 1 m plocy v rovnorodom prostredí vo vzdialenosti 1 km od zdroja svetla. 1.5 Záporne nabitá častica urýclená potenciálovým rozdielom U = 6 V má de Broglieo vlnovú dĺžku = pm. Nájdite motnosť tejto častice, ak je známe, že jej náboj sa rovná elementárnemu náboju elektrónu Röntgenove žiarenie vlnovej dĺžky =,71 nm uvoľňuje zo zlatej fólie fotoelektróny, ktoré sa ďalej poybujú v magnetickom poli indukcie B po kružnici polomeru R. Za predpokladu, že R B = 1,881 4 Tm, vypočítajte maximálnu kinetickú energiu E k fotoelektrónov a prácu W potrebnú na ic uvoľnenie zo zlatej fólie Spektroskopicky stanovená neurčitosť energie excitovanéo stavu molekuly, vyjadrená v šírke 1 = 51 m 1. Vypočítajte čas života t excitovanéo stavu molekuly! spektrálnej čiary je 1.55 Poloa elektrónu je určená s presnosťou x = 1 1 m. Vypočítajte neurčitosť jeo ybnosti p x. Predpokladajme, že energia elektrónu je rádovo E 1 kev. Vypočítajte percentuálnu neurčitosť jeo energie! 1.56 Strela s motnosťou m s =,5 kg a elektrón s motnosťou m e = 9, kg majú rovnakú rýclosť v = 3 ms 1, ktorá bola určená s presnosťou,1%. Aká je nepresnosť v určení ic poloy, keď poloa bola určovaná súčasne s rýclosťou? 1.57 Použitím vzťaov neurčitosti odadnite minimálnu energiu, ktorú môže mať častica s motnosťou m, nacádzajúca sa v nekonečne lbokej jednorozmernej potenciálovej jame šírky a Doba života excitovanéo stavu jadra je t = 1 1 s. Aká je neurčitosť vo vlnovej dĺžke emitovanéo fotónu žiarenia, keď jeo energia je E = 1,6 MeV? 1.59 Vypočítajte neurčitosť rýclosti elektrónu v atóme, keď neurčitosť jeo poloy je aspoň 1 pm (rozmery atómu sú cca,1 nm.). 1.6 S akou presnosťou x možno lokalizovať fotón s vlnovou dĺžkou 55 nm na svojej dráe, keď čas vyžiarenia fotónu atómom je t = 1 ns (pre neurčitosť doby vyžiarenia predpokladajte t t / )? Aká je relatívna presnosť určenia vlnovej dĺžky (/)? 1.61 Pomocou Heisenbergovýc vzťaov neurčitosti vypočítajte rozmer jadra, keď energia protónu v atómovom jadre je E = 1 MeV. 13

13 133