FYZIKA II ZBIERKA PRÍKLADOV A ÚLOH. Oľga Holá a kolektív

Transcript

1 FYZIKA II ZBIEKA PÍKLADOV A ÚLOH Oľga Holá a kolektív SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVEZITA V BATISLAVE

2 FYZIKA II - ZBIEKA PÍKLADOV A ÚLOH Autorský kolektív: Doc. NDr. Oľga Holá, PhD. - vedúca autorského kolektívu NDr. Ladislav Bušovský Doc. Ing. Pavol Fedorko, PhD. Doc. NDr. Viliam Laurinc, PhD. Doc. Ing. Peter Lukáč, PhD. Ing. Vladimír Lukeš, PhD. NDr. Miroslav Tokarčík, PhD.

3 Predslov Učebný text "Fyzika II - Zbierka príkladov a úloh", ktorý sa Vám dostal do rúk, je učebnou pomôckou k výpočtovým cvičeniam z fyziky. Je priamym pokračovaním skrípt "Fyzika I - Zbierka príkladov a úloh" - a to pokiaľ ide o obsah aj formu. Spolu tieto skriptá pokrývajú celé učivo fyziky základného kurzu fyziky na FCHPT STU. Keďže sú určené predovšetkým študentom tejto fakulty je členenie učiva v súlade s koncepciou výučby fyziky na FCHPT. Niektoré kapitoly sú preto spracované detailnejšie, niektoré sa týkajú len základných princípov danej oblasti a niektoré oblasti (napr. kinetická teória plynov, termodynamika, geometrická optika, atómová fyzika, atď.) klasického základného kurzu fyziky nie sú v skriptách spracované, pretože sú súčasťou výučby iných predmetov na fakulte. Členenie jednotlivých kapitol je analogické ako v. časti skrípt. V úvode každej kapitoly je prehľad potrebnej teórie a fyzikálnych zákonov z danej oblasti. V časti "Otázky a problémy" kladieme dôraz jednak na zopakovanie teoretických základov danej kapitoly, jednak na ich aplikáciu na vysvetlenie javov zo života okolo nás, súvisiacich s danou problematikou. "iešené príklady" sú vyberané tak, aby ilustrovali a reprezentovali fyzikálnu oblasť danej kapitoly. "Neriešené príklady" - v každej kapitole je zaradený aj dostatočne veľký súbor neriešených príkladov, pričom ich riešenia a výsledky sú uvedené v druhej časti skrípt. Príklady označené * znamenajú buď príklady, ktoré rozširujú základné učivo kurzu alebo patria k náročnejším. Jedným z cieľov pri koncipovaní nadväznosti kapitol bolo ukázať, že fyzika nie je len súhrn nezávislých poznatkov a zákonov v jednotlivých jej oblastiach, ale že tieto vzájomne súvisia a preto je k riešeniu problémov potrebná znalosť fyzikálnych zákonov a vedomostí z predošlých kapitol. V závere skrípt je tabuľková príloha, obsahujúca tabuľky základných a odvodených veličín a ich jednotiek v SI, základných fyzikálnych konštánt a tabuľky niektorých vybraných hodnôt fyzikálnych veličín, potrebných pri riešení jednotlivých príkladov. Tieto hodnoty už nie sú v textoch príkladov priamo uvedené z dôvodov, aby študent pri riešení príkladu samostatne zistil, aké údaje potrebuje a následne si ich v tabuľkách vyhľadal. Na základe našej pedagogickej skúsenosti si uvedomujeme dôležitosť vizuálneho znázornenia a ilustrácie daného problému. Preto skriptá obsahujú dostatočné množstvo ilustračných obrázkov a rovnako doporučujeme študentom, aby si pri riešení príkladov načrtli konkrétnu situáciu. Celkove skriptá "Fyzika II - Zbierka príkladov a úloh" obsahujú viac ako 3 otázok a úloh a viac ako 5 príkladov. Pri ich výbere, zostavovaní ako aj tvorbe nových príkladov sme čerpali a inšpirovali sa z veľkého množstva zbierok príkladov, ktoré uvádzame v zozname použitej literatúry. 3

4 V texte dôsledne používame terminológiu a značenie fyzikálnych veličín ako aj ich jednotiek podľa platných Slovenských technických noriem STN ISO 3- až 3-3 z r Nutným predpokladom úspešnosti riešenia fyzikálnych príkladov tejto zbierky je zvládnutie matematického aparátu - a to základov algebry, trigonometrie, vektorového počtu ako aj základov diferenciálneho a integrálneho počtu. Na záver chceme poďakovať naším externým spolupracovníkom Ing. J. Griačovi, CSc. a NDr. E. Griačovej za pozorné prečítanie rukopisu a ich pripomienky. Osobitné poďakovanie patrí recenzentom Doc. NDr. A. Tirpákovi, PhD. a NDr. Ľ. Horňanskému, PhD. z Fakulty matematiky, fyziky a informatiky UK v Bratislave za ich ochotu a cenné pripomienky k textu. Autori 4

5 Elektrostatické pole vo vákuu. Úvod Základný zákon elektrostatiky je Coulombov zákon, udávajúci silu, ktorou na seba pôsobia statické bodové elektrické náboje, nachádzajúce sa vo vákuu: Q Q F QQ F = r, kde F je sila, ktorou pôsobí elektrický 3 4πε r r náboj Q na náboj Q, r je polohový vektor elektrického náboja Obr.. Coulombov zákon Q vzhľadom na elektrický náboj Q, ε = 8,854 F m je permitivita vákua (tiež "elektrická konštanta") (obr..). Pri súčasnom pôsobení viacerých elektrických bodových nábojov Q i je výsledná sila na bodový elektrický n n Q Qi náboj Q daná na základe princípu superpozície vektorovým súčtom: F = F i = 3 i i= 4πε i= r r i Ak platí Q >> e (elementárny náboj), môžeme uvažovať spojité rozloženie elektrického náboja buď v objeme τ, na ploche S alebo na lineárnom útvare l, pričom definujeme objemovú hustotu náboja dq dq dq ρ ( xyz,, ) =, plošnú hustotu náboja σ ( xy, ) =, resp. dĺžkovú hustotu náboja λ ( ) = dτ ds d. V okolí statických bodových elektrických nábojov vzniká elektrostatické pole, ktoré charakterizujeme intenzitou a potenciálom. Sila, ktorou pole v danom mieste vo vákuu pôsobí na ( x, yz, ) kladný jednotkový náboj Q sa nazýva intenzita poľa E ( xyz,, ) = F. Q Potom intenzita elektrostatického poľa, budeného jediným elektrickým bodovým nábojom Q, sústavou diskrétnych bodových nábojov Q i, resp. spojito rozloženým elektrickým nábojom, bude mať tvar: Q Qi dq E ( Qr, ) = r, E 3 ( Qi, ri) = r, resp. 3 i E( Qr, ) = 3 4πε r 4πε i r 4πε r i τ r kde r, resp. r i sú polohové vektory miesta, v ktorom určujeme intenzitu poľa vzhľadom na element, ktorý toto pole vytvára. Pri spojito rozloženom elektrickom náboji vyjadríme dq pomocou rovníc pre hustotu náboja podľa toho, či máme objemové, plošné alebo dĺžkové rozloženie náboja (obr..). C (x,y,z) τ dq d τ r A (x,y, z) B (x,y,z) S r d dq ds Obr.. Spojito rozložený elektrický náboj r dq Tok vektora intenzity elektrostatického poľa ľubovoľnou plochou S je definovaný vzťahom: Ψ = E d S, kde ds je plošný vektor. Gaussov zákon (v integrálnom tvare): Tok vektora intenzity elektrostatického poľa ľubovoľnou uzavretou plochou, obklopujúcou elektrický náboj, sa rovná podielu celkového elektrického náboja uzavretého touto plochou a permitivity vákua: 5

6 Qi Q d i Q E d S =, resp. =, resp. = ε S ε ε kde ďalšie výrazy na pravej strane odpovedajú diskrétnemu, resp. spojitému rozloženiu elektrických nábojov. ρ Gaussov zákon (v diferenciálnom tvare) div E = vyjadruje, že elektrostatické pole je pole žriedlové. ε Práca, ktorú vykonávajú sily elektrostatického poľa pri prenesení elektrického náboja Q z bodu rb Q Q Q A do bodu B (obr..3) je: W = Q E d r = 4πε ra ra r. B A Elektrostatické pole je konzervatívne (potenciálové), práca dr nezávisí od tvaru dráhy. Preto cirkulácia intenzity pozdĺž r A r B ľubovoľnej uzavretej krivky l sa rovná nule: E dr =,resp. v diferenciálnom tvare platí: rot E =. r Q B V konzervatívnom poli môžeme definovať potenciálnu Obr..3 Práca v elektrostatickom poli energiu. Práca síl poľa sa rovná úbytku potenciálnej energie: W = E pa E pb. Potom potenciálna energia elektrického náboja Q v poli elektrického náboja Q sa rovná práci, ktorú musia vykonať sily poľa pri premiestnení tohto QQ náboja z daného miesta do nekonečna: Ep () r = Wr =. 4πεr Elektrický potenciál v danom mieste elektrostatického poľa je definovaný ako práca, ktorú musia vykonať sily poľa pri premiestnení jednotkového kladného náboja z daného miesta do nekonečna W p ( ) (resp. miesta s nulovým potenciálom): ( ) r E r V r = =. Elektrický potenciál poľa, budeného Q Q jediným bodovým elektrickým nábojom Q, sústavou diskrétnych bodových nábojov Q i, resp. spojito rozloženým elektrickým nábojom, bude mať tvar: Q Qi dq V( r) =, V( r) =, resp. V( r) = 4πε r 4πε i ri 4πε r kde r, resp. r i je vzdialenosť bodu, v ktorom elektrický potenciál počítame od elementu, ktorý elektrostatické pole vytvára. Pri spojito rozloženom elektrickom náboji dosadíme za dq jeden z výrazov pre hustotu náboja, podľa toho, či ide o objemové, plošné alebo dĺžkové rozloženie náboja. Napätie medzi bodmi A a B v elektrostatickom poli sa rovná práci, ktorú musia vykonať sily poľa pri premiestnení jednotkového kladného náboja Q z miesta A do miesta B. Toto napätie sa rovná rozdielu elektrických potenciálov v bodoch A, B: rb WA B U = = d VA VB Q E r = ra. Prácu môžeme potom vyjadriť ako W = Q U. Z tohto vzťahu vyplýva aj jednotka práce elektrónvolt. ovnicu pre potenciálnu energiu môžeme zapísať v tvare: E p = Q V = Q V = ( QV VQ) +, potom zovšeobecnením dostaneme pre potenciálnu energiu sústavy bodových elektrických nábojov vzťah: QQ i j Ep = QjVi =.V prípade spojito rozloženého elektrického náboja môžeme definovať 4πε r i j i j i ij dep εe objemovú hustotu energie w = = a pre celkovú energiu dostaneme: Ep = wdτ ε E dτ dτ =. τ τ Jednotka práce elektrónvolt sa rovná práci vykonanej pri prenose elektrického náboja e medzi miestami s potenciálovým rozdielom V. Platí: ev =,6 9 J. 6

7 Súvis intenzity a elektrického potenciálu v elektrostatickom poli vyjadrujú rovnice E = grad V, resp. dv = E dr. Intenzita E má smer maximálneho poklesu elektrického potenciálu V a veľkosť rovnú úbytku potenciálu na jednotku dĺžky v tomto smere. Elektrická kapacita vodiča charakterizuje schopnosť telesa hromadiť elektrický náboj na Q jednotku potenciálu. Elektrická kapacita izolovaného vodiča je C =. Sústava dvoch vodičov V elektród - symetricky usporiadaných tak, aby elektrické pole bolo uzavreté v konečnej oblasti priestoru, slúžiaca k nazhromažďovaniu elektrostatickej energie, sa nazýva kondenzátor. Elektrická kapacita a) b) Q C kondenzátora je C =, kde Q je elektrický U C C C n náboj na jednej elektróde, U je napätie medzi C elektródami. Elektrostatická energia akumulovaná C Obr..4 adenie kondenzátorov n v kondenzátore je E = QU = CU. a) sériové b) paralelné Pre výslednú elektrickú kapacitu pri sériovom radení (obr..4a) kondenzátorov s elektrickými kapacitami C, C,... C n, platí: =, resp. pri C i Ci ich paralelnom radení (obr..4 b): C = C. i i Elektrický dipól je sústava dvoch rovnako veľkých elektrických nábojov opačného znamienka, ktorých vzájomná vzdialenosť je l. Elektrický moment dipólu je vektor p = Q l smerujúci od záporného elektrického náboja ku kladnému. Elektrický potenciál poľa dipólu v ľubovoľnom bode A(r) je Vd ( ) = pr r a intenzita v tomto bode poľa je 3 d ( ) 5 4πεr E = 3 r 4πε r prr p, kde r je polohový vektor bodu A vzhľadom na stred dipólu a platí, že r >> l (obr..5). Po vložení elektrického dipólu do vonkajšieho homogénneho elektrického poľa E (obr..6), pôsobí na dipól dvojica síl s momentom M = p x E a otáča dipól do smeru tohto poľa. Potenciálna energia dipólu je E p = p E. A(r) Q F r r Q Q Obr..5 Elektrické pole dipólu r F p E Q Obr..6 Dipól v elektrickom poli. Otázky a problémy. Akou výslednou silou pôsobia dva súhlasné a rovnaké elektrické náboje na tretí náboj, ktorý sa nachádza v strede vzdialenosti medzi nimi?. Bodový elektrický náboj je vložený do stredu vzdialenosti medzi dvomi rovnako veľkými nábojmi, ktoré majú elektrický náboj: a) opačného znamienka, b) rovnakého znamienka ako vložený náboj. Posúďte, či sa vložený elektrický náboj nachádza v stabilnej rovnovážnej polohe. 3. Medzi dvoma elektrickými nábojmi Q a Q pôsobí elektrostatická sila. Koľkokrát sa zmení sila, keď elektrický náboj Q a vzdialenosť medzi nábojmi zdvojnásobíme? 4. Dve guľôčky rovnakého polomeru s elektrickými nábojmi 8 μc a μc sa vplyvom elektrostatickej sily dotkli a opäť odpudili do vzdialenosti mm. Určte odpudivú silu pôsobiacu medzi guľôčkami! 7

8 5. Ako sa bude pohybovať nabité zrnko prachu v poli súhlasného bodového elektrického náboja (zanedbajte trenie)? 6. Vypočítajte zrýchlenie, ktoré udeľuje jeden elektrón druhému, keď je vo vzdialenosti mm od neho. 7. Aký počet elektrónov odpovedá elektrickému náboju μc? 8. Vysvetlite nesprávnosť nasledovného tvrdenia: Siločiary elektrostatického poľa sú dráhy, po ktorých by sa pohyboval kladný elektrický náboj, keby bol vložený do tohto poľa. 9. Môže vo vákuu existovať elektrostatické pole, ktoré má v celom priestore poľa rovnaký smer vektora intenzity E a pritom veľkosť intenzity lineárne narastá v smere kolmom na E? Zdôvodnite!. Môžu sa siločiary elektrostatického poľa navzájom pretínať alebo dotýkať? Môžu sa pretínať alebo dotýkať ekvipotenciálne hladiny prislúchajúce rôznym elektrickým potenciálom?. Aká je intenzita elektrostatického poľa: a) v strede rovnomerne nabitého kruhového prstenca; b) v strede rovnomerne nabitého guľového prstenca?. Tri bodové elektrické náboje 9Q, 4Q, Q ležia na priamke každý vo vzdialenosti a od susedného náboja. Aká je intenzita spoločného elektrostatického poľa v bode P? (obr..7) a a a 9Q 4Q Q P Obr Dva bodové elektrické náboje rovnakej veľkosti sú umiestnené vo vákuu. Aká bude výsledná intenzita elektrostatického poľa v strede spojnice týchto nábojov, ak: a) náboje majú rovnakú polaritu, b) náboje majú opačnú polaritu? 4. Aká bude veľkosť intenzity elektrostatického poľa v strede štvorca, ak je pole vytvorené štyrmi bodovými elektrickými nábojmi, umiestnenými vo vrcholoch štvorca, ak sú náboje: a) rovnakej polarity, b) polarita nábojov sa strieda ( + +), c) polarita nábojov je (+ + )? 5. Vo vrcholoch pravidelného šesťuholníka so stranou a sú umiestnené rovnaké bodové elektrické náboje Q. Určte intenzitu a elektrický potenciál elektrostatického poľa v strede šesťuholníka, ak: a) náboje sú rovnakej polarity; b) polarita susedných nábojov je opačná! 6. Intenzita elektrického poľa je daná vzťahom: E = E i, (E = konšt.). Napíšte výraz pre elektrický potenciál tohto poľa! 7. Intenzita elektrického poľa má tvar: E = E x i + E y j + E z k, pričom zložky tohto poľa sú konštantné. Je takéto pole homogénne? Nájdite potenciál tohto poľa! a 8. Intenzita elektrického poľa je E = r, kde a = konšt. Je toto pole homogénne? Nájdite elektrický 3 r potenciál tohto poľa! 9. Vypočítajte intenzitu elektrostatického poľa vo vzdialenosti m od jednomocného iónu, resp. dvojmocného iónu!. V blízkosti povrchu kovovej gule s polomerom 3 cm sme namerali intenzitu elektrického poľa, V m, smerujúcu kolmo k povrchu do stredu gule. Aká je polarita a veľkosť elektrického náboja na guli?. Elektrické pole v blízkosti povrchu Zeme má intenzitu 5 V m a smeruje do stredu Zeme. Aký je celkový elektrický náboj Zeme? Koľko voľných elektrónov pripadá na m zemského povrchu?. Elektrické pole v blízkosti povrchu Zeme má intenzitu 5 V m a smeruje do stredu Zeme. a) Aký je elektrický potenciál Zeme vzhľadom na nekonečno, ak zvolíme V = V; b) Aký bude elektrický potenciál v nekonečne, ak zvolíme nulovým potenciál Zeme? 3. Elektrický potenciál poľa vytvoreného nejakou sústavou nábojov má tvar: V = a (x + y ) + b z, kde a, b sú konštanty. Nájdite intenzitu E tohto poľa a jej veľkosť! 4. Zmení sa intenzita homogénneho elektrického poľa medzi dvomi nekonečnými opačne nabitými rovinami, keď vzdialenosť medzi nimi dvakrát zväčšíte? 5. Aká bude výsledná intenzita elektrického poľa, vytvoreného dvomi nekonečnými rovnobežnými rovinami v priestore medzi nimi, ak: a) plošné hustoty nábojov na rovinách sú rovnaké čo do veľkosti aj polarity; b) majú opačnú polaritu? 6. Dve nekonečné roviny zvierajú uhol 9 a sú homogénne nabité s plošnými hustotami elektrických nábojov 3σ a 4σ. Aká je veľkosť intenzity elektrostatického poľa v priestore. kvadrantu? 8

9 7. Kedy môže malé nabité prachové zrnko visieť medzi dvomi vodorovnými opačne nabitými rovinami? Čo sa stane so zrnkom, ak sa jeho náboj zmenší? Čo treba urobiť, aby znovu nastala rovnováha? 8. Protón sa v homogénnom elektrickom poli, vytvorenom medzi dvomi opačne nabitými vodorovne uloženými rovinami nepohybuje. Zistite, aká musí byť v tomto prípade intenzita poľa! 9. S akým zrýchlením sa bude pohybovať protón v homogénnom elektrickom poli intenzity 7,9 4 V m? Akú dráhu prejde za čas,5 s? 3. Dve rovnobežné dosky sú nabité tak, že rozdiel ich elektrických potenciálov je 5 V a medzi doskami je homogénne elektrické pole. Vypočítajte intenzitu poľa medzi doskami, ak vzdialenosť medzi nimi je 5 cm! Zakreslite aspoň dve ekvipotenciálne hladiny a siločiary takéhoto poľa! 3. Máme dva kladne nabité vodiče, jeden z nich má menší elektrický náboj ale vyšší elektrický potenciál ako druhý. Ako sa budú pohybovať elektrické náboje, keď sa vodiče navzájom dotknú? 3. Experimentálne sme namerali rozloženie ekvipotenciálnych hladín elektrického poľa, pričom platí pre elektrické potenciály V >V (obr..8). Zakreslite približný tvar siločiar tohto poľa a určte, v ktorej oblasti má pole väčšiu intenzitu! Aký uhol zviera siločiara s ekvipotenciálnou hladinou? 33. Nakreslite približný tvar ekvipotenciálnych hladín a siločiar elektrostatického poľa kladného elektrického náboja, ktorý sa nachádza v blízkosti zemského povrchu! 34. Záporný elektrický náboj sa nachádza v elektrickom poli. Bude sa pod účinkom tohto poľa pohybovať v smere vyššieho alebo nižšieho elektrického potenciálu? Ako sa bude pohybovať kladný elektrický náboj? 35. Bodový elektrický náboj vytvára elektrostatické pole, jeho ekvipotenciálne hladiny sú znázornené na obr..9. Vypočítajte prácu, ktorá sa vykoná pri premiestnení určitého elektrického náboja z bodu A do bodu B! Porovnajte práce pri prenesení toho istého náboja z bodu A do bodu C, resp. z bodu B do C. 36. Akú prácu treba vykonať na prenesenie náboja Q = 3 μc z nekonečna do bodu vzdialeného,5 m od náboja Q = μc? 37. Akú prácu treba vykonať pri prenose elektrického náboja 8 μc zo Zeme do bodu s elektrickým potenciálom 6 V, ak elektrický potenciál Zeme je nulový? 38. Elektricky nabitú mydlovú bublinu nafukujte dovtedy, kým sa jej polomer nezdvojnásobí. Elektrický náboj bubliny sa pritom nezmení. Ako sa zmení potenciálna energia? Uľahčuje prítomnosť elektrického náboja nafukovaniu bubliny alebo naopak je prekážkou? 39. Elektrón je urýchľovaný potenciálovým rozdielom V. Koľkokrát vzrastie jeho rýchlosť, ak rozdiel potenciálov zväčšíme štyrikrát? 4. Elektrón urýchľovaný elektrickým poľom sa premiestňuje od nabitej dosky A k doske B a získa pritom kinetickú energiu 6,4 6 J. Aký je rozdiel potenciálov medzi doskami? Ktorá z dosiek má väčší elektrický potenciál? 4. Elektrický náboj, ktorý bol privedený na Zem v dôsledku výboja v atmosfére (blesku) pri potenciálovom rozdieli 3,5 7 V bol 3 C. Koľko energie sa pritom uvoľnilo? Aké množstvo vody by sa touto energiou zohrialo z C na bod varu? 4. Kruh s polomerom 5 cm je umiestnený v homogénnom elektrickom poli intenzity 3,6 V m. Aký je tok intenzity poľa cez kruh, ak jeho rovina je: a) kolmá na siločiary poľa, b) zviera uhol 45 so siločiarami, c) je rovnobežná so siločiarami? 43. Bodový elektrický náboj Q je umiestnený v strede kocky so stranou a. Aký je tok intenzity elektrického poľa cez jednu stenu kocky? 44. Z kocky, ktorá má strany dĺžky 8 cm, vystupuje tok intenzity elektrického poľa,45 3 V m. Aký elektrický náboj sa nachádza vo vnútri kocky? 45. Vypočítajte elektrickú kapacitu Zeme, ak ju považujeme za guľový vodič! 46. Elektrickú kapacitu časti elektrickej siete treba zmenšiť z 36 na pf. Ako musíme pripojiť ďalší kondenzátor do siete, a akú musí mať elektrickú kapacitu? 47. Dva kondenzátory s rovnakou elektrickou kapacitou zapojíme raz do série a potom paralelne. ozdiel výsledných elektrických kapacít v obidvoch zapojeniach je 6 pf. Aká bola elektrická kapacita použitých kondenzátorov? 9 C A V Obr..8 + Obr..9 B V

10 48. Tri kondenzátory s rovnakými elektrickými kapacitami sú pripojené k zdroju. V ktorom prípade akumulujú viac energie a koľkokrát pri ich sériovom alebo paralelnom radení? 49. Máme nabitý doskový kondenzátor a zväčšíme trojnásobne vzdialenosť medzi jeho doskami. Ako sa zmení: a) elektrická kapacita kondenzátora, b) intenzita elektrického poľa medzi doskami, c) rozdiel potenciálov na doskách, d) elektrostatická energia poľa v kondenzátore? 5. Dva nesúhlasné bodové elektrické náboje rovnakej veľkosti vytvárajú elektrostatické pole. Vysvetlite, prečo vo všetkých bodoch poľa, ktoré sú rovnako vzdialené od obidvoch nábojov, je smer intenzity poľa rovnobežný so spojnicou týchto nábojov. 5. Akú prácu treba vykonať na preklopenie dipólu s dipólovým momentom p z polohy súhlasne rovnobežnej s vonkajším elektrickým poľom intenzity E do polohy nesúhlasne rovnobežnej? 5. Aký je tok intenzity elektrického poľa cez uzavretú plochu, obopínajúcu elektrický dipól?.3 iešené príklady. Akou vzájomnou silou na seba pôsobia dve rovnako nabité železné guľôčky s hmotnosťami g vo vzdialenosti m od seba, ak majú celkový elektrický náboj elektrónov o % väčší ako celkový kladný elektrický náboj všetkých jadier? Elektrostatická odpudivá sila medzi guľôčkami je spôsobená prebytočným elektrickým nábojom elektrónov na každej z guľôčok. Počet atómov železa v guľôčke s hmotnosťou m = g je: m N = nna = NA, kde n je látkové množstvo, M je molárna hmotnosť, N A je Avogadrova konštanta. M Po dosadení číselných hodnôt: N =,8. Celkový kladný elektrický náboj každej guľôčky bude: Q = 6 e N = 4,5 4 C. Keďže celkový náboj elektrónov každej guľôčky je o % väčší, bude na každej guľôčke nevykompenzovaný záporný elektrický náboj veľkosti Q e = 4,5 C. Vzájomná Qe odpudivá sila medzi týmito guľôčkami je Coulombova sila veľkosti: F = 4πε = 4,5 4 N.. Elektrické náboje Q, 3Q, 5Q, 3Q sú umiestnené vo vrcholoch štvorca so stranou a. V strede štvorca je umiestnený elektrický náboj Q. Vypočítajte veľkosť a smer výslednej sily, pôsobiacej na tento elektrický náboj! Číselne vypočítajte pre Q =,4 mc, a =, m! Umiestnenie štvorca v súradnej sústave xyz je výhodné podľa obr... Potom na elektrický náboj Q v strede štvorca budú podľa Coulombovho zákona pôsobiť sily: Q 3Q y F = ( i), F, = j 4πε u 4πε u 3Q 5Q 3Q F3 = i, F = ( ), kde u = a 4 j F 4πε u 4πε u - Q Q - 5Q F 3 Výsledná sila je vektorový súčet týchto síl: F x F a 4 Q F = F + F + F3 + F4 = i, F =,9 5 N. πε a 3Q Výsledná sila F pôsobiaca na elektrický náboj Q v strede Obr.. štvorca má smer osi x, jej veľkosť je,9 5 N.

11 .3 Dva elektrické náboje rovnakej polarity a s veľkosťami Q = nc a Q = 8 nc sú vo vzájomnej vzdialenosti l = 9 cm (obr..). V akej vzdialenosti medzi nimi máme umiestniť tretí elektrický náboj a akú musí mať veľkosť a polaritu, aby výsledná sila, pôsobiaca na každý elektrický náboj bola nulová? Vložený elektrický náboj Q musí byť záporný, aby mohla nastať rovnováha síl. Pre každý elektrický náboj môžeme písať vektorové rovnice: F + F =, F + F =, F + F =. Pre veľkosti síl musí potom platiť: QQ QQ F = F = odkiaľ vyjadríme hľadanú vzdialenosť x = 4πε x 4π ε ( x) + Q Q. F Q F x Q F F Obr.. F Q F Z rovnováhy síl pôsobiacich na elektrický náboj Q dostaneme veľkosť náboja Q : QQ QQ x F = F = Q = Q. 4πεx 4πε Analogicky by sme mohli vypočítať veľkosť Q z rovnováhy síl pôsobiacich na elektrický náboj Q, t.j. z rovnice F = F. Po číselnom dosadení dostaneme: x = 3 cm, Q = 8/9 nc..4 Dve rovnaké kovové guľôčky hmotností mg sú každá zavesená na nitiach dĺžky, m, ktoré sú upevnené v jednom bode závesu. Jednu z guľôčok oddialime a nabijeme elektrickým nábojom Q. Po vzájomnom dotyku guľôčok sa rozostúpia tak, že nite zvierajú uhol 6. Určte veľkosť elektrického náboja dodaného prvej guľôčke! Na obr.. je znázornená situácia pred nabitím a po nabití guľôčky elektrickým nábojom Q. Elektrický náboj Q sa po vzájomnom dotyku guľôčok rozdelí a každá z guľôčok bude nabitá elektrickým nábojom Q/. Guľôčky sa rozostúpia v dôsledku vzájomného odpudivého pôsobenia týchto nábojov. Na každú z guľôčok pôsobia 3 sily: tiažová sila F g, sila elektrostatického pôsobenia (Coulombova sila) F e a sila reakcie nite F r. V statickej rovnováhe musí platiť podmienka pre α výslednicu síl, pôsobiacich na zavesenú guľôčku: F r F g + F e + F r =. F Pretože F e F g bude pre veľkosti síl platiť: e Q b α Fe 6πεb F tg = =, pričom rozostup nábojov b dostaneme Obr.. g Fg mg z trigonometrického vzťahu: b/ = l sin α/. Po dosadení b do predošlej rovnice a úprave, vyjadríme nakoniec hľadaný elektrický náboj Q: α Q α α tg Q 8 sin πε mgtg = α =. Číselne Q 45 nc. 64πε mg sin Poznámka: Príklad môžeme riešiť aj pomocou momentovej podmienky rovnováhy MF g + MFe + M Fr =. Ak si za momentový bod zvolíme bod závesu, bude pre veľkosti momentov platiť: Q MFg = MF e mgsin( α/ ) = sin(9 α/ ). Odtiaľ po úprave dostaneme rovnaký výsledok pre Q. 6πε b

12 .5 Nabitá guľôčka hmotnosti g zavesená na niti sa pohybuje po kružnici polomeru 5 cm konštantnou uhlovou rýchlosťou s. Pod bodom závesu A sa nachádza v bode B nepohyblivý rovnako veľký elektrický náboj, pričom platí AS = SB, uhol α = 45, (obr..3). Vypočítajte elektrický náboj Q! Na zavesenú guľôčku opäť pôsobia 3 sily: tiažová sila F g, Coulombova sila F e a sila reakcie nite F r. Výslednica týchto síl je dostredivá sila, spôsobujúca rovnomerný pohyb guľôčky po kružnici s polomerom. Úlohu budeme riešiť zo stanoviska spolurotujúcej vzťažnej sústavy teda neinerciálnej sústavy. Preto okrem spomínaných reálnych síl musíme uvažovať aj silu zotrvačnosti F z, smerujúcu od stredu kružnice. Z hľadiska tejto vzťažnej sústavy sú guľôčky v rovnovážnom stave a môžeme použiť momentovú podmienku rovnováhy, t.j. MFg + MF e + MFr + M Fz =. Ak si za momentový bod zvolíme bod závesu A a jednotkový vektor ρ smeruje pred nákresňu, potom jednotlivé momenty síl sú: moment tiažovej sily: M Fg = l mg sin α ( ρ ), moment zotrvačnej sily: M Fz = l mω sin (π/ α) (ρ ), moment Coulombovej sily: M Q = sin( π α) ρ, moment Fe 4πε sily reakcie nite M Fr =. V pravouhlom trojuholníku ďalej platí: l = /sinα.. Po dosadení momentov do momentovej podmienky, dosadením l a predelením rovnice jednotkovým vektorom ρ dostávame: Q mg + sinα sin α + mω cot g α =. 4πε Odtiaľ vyjadríme hľadaný elektrický náboj: π g ω Q=± εm, číselne Q 37,5 nc. sinα cosα sinα Poznámka: V elektrostatike najčastejšie riešime úlohu nájsť intenzitu a elektrický potenciál poľa daného rozloženia elektrického náboja. Pokiaľ je pole vytvorené sústavou diskrétnych elektrických nábojov, platí princíp superpozície polí. Ak je pole vytvorené spojito rozloženým elektrickým nábojom, rozložíme si celkový elektrický náboj na sústavu elementárnych nábojov dq a počítame integrovaním (cez celú oblasť zaplnenú nábojom) výslednú intenzitu alebo elektrický potenciál. Stačí určiť jednu z týchto veličín a potom využiť súvis medzi intenzitou a elektrickým potenciálom na určenie tej druhej veličiny. Pri symetrickom rozložení elektrických nábojov je výhodné na výpočet intenzity použiť Gaussov zákon..6 Vypočítajte intenzitu výsledného elektrostatického poľa v bode A(4,3), budeného dvomi bodovými elektrickými nábojmi Q = nc, ktorý je v bode (3,) a Q = nc, ktorý je umiestnený v bode (,4). Súradnice bodov sú v m. y Q r r r r Q E r Obr..4 E A x E Umiestnenie elektrických nábojov je znázornené na obr..4. Elektrostatické pole v bode A je superpozíciou polí od elektrických nábojov Q a Q. Pre výslednú intenzitu platí E = E + E, pričom intenzity elektrostatických polí od bodových Q Q elektrických nábojov sú: E = r, 3 E = r 3 4πε r 4πε r kde r, r sú polohové vektory bodu A vzhľadom na body, v ktorých sídlia elektrické náboje Q a Q. Vo vektorových trojuholníkoch platí: r =, = r r r r r, pričom r, r, r sú polohové vektory bodu A, elektrického náboja Q A S B α Q F r F e F g Q F z Obr..3

13 a Q vzhľadom na počiatok súradnicovej sústavy. Po dosadení odpovedajúcich súradníc dostávame: r = i+ j, r = 5 m r = 3 i j, r = m. Keďže polarita elektrického náboja Q je záporná, bude mať intenzita E smer vektora ( r ) (do výsledku už dosadíme potom absolútnu hodnotu elektrického náboja Q ). Vektor výslednej intenzity je: Q Q E = ( i+ j) (3 i j) = (,75 + 3,5 ) 3 3 i j V m, jej veľkosť je E = 3,58 V m. 4πε r r.7 Ekvipotenciálna hladina prechádza bodom poľa s intenzitou E = 5 kv m, vzdialeným od elektrického náboja, ktorý toto pole vytvára o =,5 cm. V akej vzdialenosti od elektrického náboja máme viesť ďalšiu ekvipotenciálnu hladinu, aby napätie medzi ekvipotenciálnymi hladinami bolo 5 V? Ekvipotenciálne hladiny elektrostatického poľa v okolí bodového elektrického náboja sú sústredné guľové plochy a siločiary sú z elektrického náboja radiálne vystupujúce vektory. Pre Q veľkosť intenzity vo vzdialenosti od bodového elektrického náboja Q platí: E = 4πε a Q elektrický potenciál na tejto ekvipotenciálnej hladine je: V = = E. Hľadáme polomery 4πε ekvipotenciálnych hladín,, pre ktoré má platiť: V = V ΔV, resp. V = V +ΔV. Dosadením výrazov pre elektrické potenciály V, E V, (resp.v ): Q E V = 4πε =, V = E, dostaneme rovnicu, z ktorej Q vyjadríme polomer hľadanej ekvipotenciálnej plochy : V E E = E ΔV = E Δ V, resp. E = E+ Δ V. V Obr..5 V Po dosadení číselných hodnôt dostaneme polomery = 3,5 cm, =,8 cm..8 Vypočítajte intenzitu elektrostatického poľa budeného lineárnym vodičom konečnej dĺžky, rovnomerne nabitým s dĺžkovou hustotou elektrického náboja λ = 3 nc m v bode A, ktorého vzdialenosť od vodiča je a = 5 cm, uhly α = 5, α = 5 (obr..6). Príspevok k intenzite elektrostatického poľa v bode A od elektrického náboja dq úseku vodiča dy je: dq λ dy λ de = 4πεr = 4πεr, pričom platí: a y dα dy r = cos α, = tgα dy = a. Po dosadení r a dy do r a cos α y α A de α x predošlej rovnice, dostávame príspevok de už len ako funkciu a α λ de de y jednej premennej uhla α: de = dα. 4πεa Pre x -ovú a y -ovú zložku intenzity platí: Obr..6 λ λ de x = de cosα = cosα dα, de y = de sinα = sinα dα. 4πε a 4πε a Integráciou cez premennú α dostaneme zložky E x, E y výslednej intenzity v bode A od celého vodiča konečnej dĺžky: 3

14 E x α λ λ cosα d α (sinα sin α), 4πε a 4πεa α = = + Veľkosť výslednej intenzity dostaneme E = E + E. x y V našom príklade E x = 55,7 V m, E y = 74,3 V m, E = 58 V m. E y α λ λ sinα d α (cosα cos α). 4πε a 4πεa α = = Poznámka: V limitnom prípade môžeme z uvedených výsledkov dostať intenzitu od priameho nekonečného λ homogénne nabitého vodiča. Dosadením α = α = 9 dostaneme: Ex =, Ey =. πε a.9 Vypočítajte intenzitu a elektrický potenciál elektrostatického poľa vo vzdialenosti r od priameho nekonečného vodiča, ktorý je homogénne nabitý, dĺžková hustota elektrického náboja je λ. Ide o symetrické rozloženie elektrického náboja, preto na výpočet intenzity je výhodné použiť Gaussov zákon. Gaussovu plochu (obr..7) zvolíme v tvare koaxiálneho valca s polomerom r a λ d výškou l. Gaussov zákon bude mať tvar: d E S = ε. λ Vodič predstavuje ekvipotenciálnu hladinu, intenzita má r smer kolmý na vodič. Preto tok cez podstavy valca je nulový ( E ds =, pretože E ds), tok cez plášť valca bude: E Obr..7 λ λ E πr =. Odtiaľ pre intenzitu dostaneme E(r) =. Zo ε πε r súvisu medzi intenzitou a potenciálom: dv = E dr dostaneme integráciou pre elektrický potenciál: λ Vr () = C lnr, kde C je nekonečne veľká konštanta, ktorá sa však pri výpočte napätia, teda πε λ rozdielu potenciálov, odčíta a bude platiť: U = V V = ln. πε Poznámka: Porovnajte výslednú intenzitu s limitným výsledkom príkladu.8!. Nekonečný priamy vodič rovnomerne nabitý elektrickým nábojom s dĺžkovou hustotou náboja λ = 3 7 C m a úsek vodiča dĺžky l = cm rovnomerne nabitý s dĺžkovou hustotou elektrického náboja λ = 7 C m sú umiestnené v jednej rovine navzájom kolmo (obr..8) vo vzdialenosti a = cm. Vypočítajte silu vzájomného pôsobenia medzi nimi! λ a λ Obr..8 Nekonečný vodič vytvára vo svojom okolí elektrostatické pole, ktorého intenzita (podľa príkladu.9) so vzdialenosťou od vodiča klesá. V tomto poli sa nachádza úsek vodiča l. Na elektrický náboj dq = λ dr úseku vodiča pôsobí potom elektrostatické pole silou df: λ df = E dq = λ dr. Celkovú silu vypočítame integráciou: πε r a+ λ λ dr λ λ a+ F = ln πε = =, 3 N. r πε a a. Homogénne nabitý vodič tvaru polkružnice s polomerom = m má elektrický náboj Q = nc rozložený s dĺžkovou hustotou λ. Vypočítajte intenzitu elektrostatického poľa v strede polkružnice! 4

15 Podľa obr..9 bude veľkosť intenzity v strede S od elektrického náboja dq = λ dx, ktorý leží na elemente dq λ dx λ dx = dα polkružnice: de = = = dα. Výsledná intenzita bude vektorovým 4πε 4πε 4πε súčtom takýchto príspevkov, jej smer bude v smere osi symetrie polkružnice teda v smere osi x. Zložky intenzity v smere osi y sa v dôsledku symetrie zrušia, E y =. de Pretože platí: de x = de cosα, dostaneme výslednú intenzitu integráciou: π de λ λ Q S α y Ex = cosα dα = =, kde sme dosadili 4πε π πε επ dα de x de y Q dx dĺžkovú hustotu elektrického náboja λ =. Pre výslednú intenzitu platí: π Obr..9 Q E = E x i + E y j = i = 4,3 i V m. ε π. Elektrický náboj Q je rozložený s dĺžkovou hustotou λ na kružnici s polomerom (obr..). Vypočítajte elektrický potenciál vo vzdialenosti x od stredu kružnice na osi kružnice! Z vypočítaného potenciálu odvoďte vzťah pre intenzitu elektrostatického poľa! Aká bude intenzita a elektrický potenciál v strede kružnice? Nájdite extrémy intenzity poľa a zakreslite približný priebeh V(x), E(x)! Elektrický potenciál poľa budeného spojito dx rozloženým elektrickým nábojom vypočítame integráciou: r dq dα V = 4πε, kde r je vzdialenosť bodu A(x), E r v ktorom elektrický potenciál počítame od elementu x A(x) dq, ktorý toto pole vytvára. Tento elektrický náboj môžeme vyjadriť pomocou dĺžkovej hustoty náboja λ. Obr.. Úsek kružnice dx, kde tento náboj sídli, pomocou uhla dα a polomeru kružnice : dq = λ dx = λ dα.. Pre vzdialenosť r platí: r = + x. Dosadením týchto vzťahov do integrálu a integrovaním cez uhol α dostaneme hodnotu elektrického potenciálu ako funkciu polohy bodu A na osi x: π λ λ V( x) = dα 4πε =. E,V + x ε + x V V max Pre výpočet intenzity poľa E na osi kružnice použijeme súvis medzi E a V: E max V λ x E() x = gradv = i= i, -x max 3 x ε( + x ) výsledná intenzita má smer osi x. Hodnoty elektrického E -E potenciálu a intenzity v strede kružnice sú: V() = λ /(ε ), max x max x E() =. Ak chceme poznať priebeh funkcií V(x), E(x), nájdeme si extrémy týchto funkcií. Z podmienky Obr.. dv λ = x= Vmax = V() = dx ε. Extrémy funkcie E(x) určíme: de λ + 3 x x λ = = =± E 5 max =± dx ε ( + x ) 3 3ε. Približné priebehy funkcií V(x), E(x) sú znázornené na obr... 5

16 .3 Vypočítajte intenzitu a elektrický potenciál elektrostatického poľa v okolí homogénne nabitej nekonečnej roviny! Elektrický náboj na rovine je rozložený s plošnou hustotou σ. Intenzita elektrostatického poľa bude vektor kolmý na nabitú rovinu. Z dôvodov symetrie je vhodné použiť na jej výpočet Gaussov zákon. Za Gaussovu plochu (obr..) si zvolíme povrch valca, tok cez povrch plášťa bude nulový, pretože je tu E ds. Tok cez základne (E ds) bude E d S = E S. Elektrický náboj obopnutý Gaussovou plochou (leží S σ E na vyšrafovanej plôške) môžeme vyjadriť pomocou plošnej hustoty náboja Q= σ ds = σ S. Dosadením do Gaussovho zákona S S S S dostaneme: Q σ S σ d E S = E = r E S = ε ε ε. Obr.. Intenzita nezávisí od vzdialenosti od roviny, v okolí nekonečnej roviny je vytvorené homogénne elektrické pole. Pre elektrický potenciál σ dostaneme: V() r = d C r, kde C je nekonečne veľká konštanta, ktorá sa však pri ε výpočte napätia, teda rozdielu potenciálov, odčíta (analogicky ako v príklade.9) a bude platiť: U σ σ AB ( rb ra ) d ε ε nabitej roviny, ekvipotenciálne hladiny sú roviny rovnobežné s nabitou rovinou, napätie U AB medzi dvomi ekvipotenciálnymi hladinami je teda úmerné vzdialenosti týchto rovín d..4 Vypočítajte intenzitu a elektrický potenciál elektrostatického poľa, ak je elektrický náboj spojito rozložený: a) s plošnou hustotou náboja σ na povrchu gule s polomerom ; b) s priestorovou hustotou náboja ρ vo vnútri gule s polomerom! Znázornite graficky približné priebehy E(r), V(r)! a) Uvažujeme elektrický náboj symetricky rozložený na povrchu gule, preto je výhodné pri výpočte intenzity poľa využiť Gaussov zákon. Za Gaussovu plochu (obr..) si zvolíme povrch sústrednej guľovej plochy s polomerom r. r Ak r <, Gaussova guľa neobopína žiaden náboj, preto bude Q platiť: E ds =, V konšt. ε = E = = E, V V Ak r > z Gaussovho zákona vyplýva: Q Q σ E 4π r = E() r = =, pričom sme vyjadrili E ε 4πεr ε r elektrický náboj Q pomocou plošnej hustoty náboja Q = 4π σ. Pre r =, teda na povrchu nabitej gule bude platiť: Q σ r E ( ) = = 4πε ε Obr..3 Pre elektrický potenciál v oblasti r > dostaneme integráciou: r Q Q σ V( r) = dr = =. 4πεr 4πεr ε r V oblasti r < je elektrický potenciál konštantný a z dôvodov spojitosti rovnaký ako na povrchu 6

17 Q nabitej gule, teda V( ) = σ 4πε = ε. Priebehy E(r), V(r) elektrostatického poľa plošne nabitej gule sú načrtnuté v obr..3. Q b) iešme teraz prípad objemovo nabitej gule s objemovou hustotou elektrického náboja ρ =. 4 π 3 3 V prípade, že polomer Gaussovej plochy zvolíme väčší ako polomer nabitej gule, r >, obopneme celý elektrický náboj a z Gaussovho zákona dostaneme pre intenzitu analogickú závislosť od 3 Q Q ρ vzdialenosti r ako v predošlom prípade: E 4π r = E( r) = = a takisto ε 4πεr 3ε r 3 Q elektrický potenciál V( r) = ρ 4πεr = 3ε r bude závislý od /r. Na E, V povrchu gule (r = ) bude platiť: ( ) Q ρ, ( ) Q ρ V E = = V = =. 4πε 3ε 4πε 3ε E V oblasti r <, obopne Gaussova guľa len časť z celkového 4 3 elektrického náboja, ktorá sa bude nachádzať v objeme π 3 r, z Gaussovho zákona preto vyplýva, že intenzita poľa v oblasti vnútri r nabitej gule nebude nulová (ako tomu bolo pri plošne nabitej guli), ale bude lineárne narastať s polomerom r: Obr..4 4 π 3 ρ r Q d 4π 3 ρ Q E S = E r = E = r = r 3 ε ε 3ε 4πε. Elektrický potenciál poľa v tejto oblasti dostaneme integráciou: V( r) ρ ρ = r dr = C r 7. 3ε 6ε Integračnú konštantu C dostaneme z podmienky spojitosti elektrického potenciálu na povrchu gule pre ρ r = : ρ C ρ = C =. Výsledný tvar elektrického potenciálu v tejto oblasti bude: 3ε 6ε ε ρ r V() r = ( ). Znázornenie priebehov E(r), V(r) pre objemovo nabitú guľu je na obr..4. ε 3 Poznámka: Všimnite si, že pole v okolí plošne alebo objemovo nabitej gule (r > ) je rovnaké ako v prípade bodového elektrického náboja, umiestneného v strede gule..5 Odvoďte vzťah pre elektrickú kapacitu rovinného kondenzátora, ak jeho dosky sú nabité elektrickým nábojom s plošnou hustotou σ, resp. σ, každá z nich má plochu S a vzdialenosť dosiek kondenzátora je d. Okrajové efekty zanedbajte! Odvoďte vzťah pre výslednú elektrickú kapacitu pri sériovom a paralelnom radení kondenzátorov! +σ σ Ak máme dve nekonečné roviny nabité s rovnakou plošnou hustotou elektrického náboja ale opačnej polarity (obr..5), výsledné pole dostaneme superpozíciou polí. Veľkosť intenzity poľa od nekonečnej σ roviny (podľa príkladu.3) je E = E =. V priestore medzi ε rovinami dostaneme výslednú intenzitu danú súčtom týchto intenzít, teda E Obr..5 σ =, z vonkajšej ε E E

18 strany rovín bude E =. ovinný kondenzátor si môžeme predstaviť ako nabité rovnobežné dosky, každá má plochu S, a ich vzájomná vzdialenosť je d. Kladný elektrický náboj Q a rovnako veľký Q záporný náboj Q sú na doskách rozložené rovnomerne s hustotami σ = ± a medzi doskami S Q vytvárajú homogénne pole s intenzitou E = σ ε = ε S. Potom napätie medzi doskami je Q U = Ed = d ε S. Elektrická kapacita kondenzátora je Q S C = = ε. U d Pri sériovom radení kondenzátorov (obr..4) bude v dôsledku elektrostatickej indukcie na Q Q všetkých kondenzátoroch rovnaký elektrický náboj a bude platiť: U = Ui =. Pre C C i i i výslednú elektrickú kapacitu takejto kondenzátorovej batérie dostaneme: =. Pri paralelnom C i Ci radení kondenzátorov majú všetky vetvy spojené uzlom rovnaké napätie a bude platiť pre celkový elektrický náboj Q= Qi CU = CU i. Výsledná elektrická kapacita je C = Ci. i i.6 Vypočítajte výslednú elektrickú kapacitu batérie kondenzátorov (obr..6), ak C = C 5 = 4 μf, C = 3 μf, C 3 = 5 μf, C 4 = μf a napätie medzi bodmi AC, ak napätie medzi bodmi AB je V. Výsledná elektrická kapacita medzi bodmi AB je C AB = C + C + C 3 = μf, výsledná elektrická kapacita medzi bodmi BC je C BC = C 4 + C 5 = 6 μf. Výsledná elektrická kapacita sériového radenia týchto kapacít potom bude: = + =, odtiaľ C C 4 C CAB CBC 4 C = 4 μf. Elektrický náboj na úseku AB musí byť rovnaký A C B C ako na úseku BC, bude teda platiť: CABUAB Q= CABUAB = CBCUBC UBC = = V, C CBC 3 C 5 Obr..6 napätie na celom úseku AC bude U AC = U AB + U BC = 3 V. i.7 Vypočítajte elektrickú kapacitu valcového kondenzátora, ktorý je tvorený sústavou súosových vodivých valcov dĺžky l a polomerov,. Dokážte, že za podmienky <<, bude elektrická kapacita valcového kondenzátora približne rovnaká ako elektrická kapacita doskového kondenzátora! Určte S, d odpovedajúceho doskového kondenzátora! E Obr..7 r Na vnútornom valci kondenzátora (obr..7) s polomerom je homogénne rozložený elektrický náboj +Q, na vonkajšom valci s polomerom elektrický náboj Q. K výpočtu elektrickej kapacity kondenzátora potrebujeme určiť elektrické napätie poľa medzi valcami kondenzátora. Určíme si najprv pomocou Gaussovho zákona intenzitu elektrického poľa. Zvolíme si súosový Gaussov valček s polomerom r a počítame tok vektora intenzity cez jeho plášť (tok cez základne je nulový). Gaussov valček obopol celý elektrický náboj +Q vnútorného valca, preto platí: E d S = Q Eπr = Q E = Q ε ε πrε 8

19 Q Q Napätie potom vypočítame integráciou: U = E dr = dr = ln. πrε πε Q πε πε Hľadaná elektrická kapacita bude: C = =, resp. C, kde sme použili vzťah: U ln ln = ln +. Valcový kondenzátor bude mať rovnakú elektrickú kapacitu ako rovinný kondenzátor, ktorého plocha dosiek je S = π l a vzdialenosť medzi doskami d =..8 Vypočítajte, akou rýchlosťou sa musí pohybovať elektrón, nachádzajúci sa vo valcovom kondenzátore, aby opisoval kružnicu s polomerom r (, ). Sú dané polomery valcových plôch = cm, = cm a napätie na kondenzátore U = 45 V! ýchlosť elektrónu musí byť taká, aby sila elektrického pôsobenia na elektrón medzi valcami kondenzátora bola silou dostredivou, spôsobujúcou pohyb elektrónu po kružnici s príslušným mv eer polomerom. Musí teda platiť: ee= v =. Z predošlého príkladu.7 môžeme r m vyjadriť napätie na valcoch kondenzátora pomocou intenzity poľa v priestore medzi valcami na kružnici s polomerom r: U = Q ln Erln πε =, kde sme úpravu urobili na základe vzťahu E = Q πrε. Ak vyjadríme súčin (E r) z rovnice pre napätie U a dosadíme do výrazu pre rýchlosť eu 6 dostaneme výraz: v = 7 ms. mln.9 Medzi horizontálne uloženými doskami nenabitého kondenzátora sa rovnomerne pohybuje olejová kvapôčka s rýchlosťou v = 3 m s. Pripojením kondenzátora na napätie, vznikne v ňom homogénne elektrické pole s intenzitou E = 6 V m a kvapôčka sa bude voľne vznášať. Vypočítajte elektrický náboj voľných elektrónov a ich počet na kvapôčke! Hustota oleja je ρ = 9 kg m 3, dynamická viskozita vzduchu je η =,7 5 Pa s a hustota vzduchu ρ v =,9 kg m 3. V prípade E =, pôsobia na kvapku oleja nasledovné sily: 4 3 tiažová sila F g = m g j = ρ g τ j =ρ g π 3 j, vztlaková sila F 4 3 A = m V g ( j) = ρ v g π ( j), 3 Stokesova sila odporu prostredia F = 6 π η v ( j). Kladný smer jednotkového vektora j sme zvolili v smere pohybu kvapky. Pohybová rovnica kvapky v tomto prípade bude mať tvar: F g + F A + F = m a =, pretože kvapka sa pohybuje s konštantnou rýchlosťou (a = ). Po dosadení síl, 3 dostaneme skalárnu rovnicu v tvare: ( ρ 4 ρv ) g π 6π ηv =, z ktorej si vyjadríme neznámy 3 9ηv polomer kvapky: =. g( ρ ρ v ) V druhom prípade, keď E = 6 V m, bude pohybová rovnica kvapky: F g + F A + F e + F E = m a =, 9

20 pričom Stokesova sila bude nulová, pretože kvapôčka sa bude vznášať (v E = ): F e = 6πη v E ( j) =. Silu od pôsobenia elektrického poľa môžeme písať: F E = Q E = n e E ( j), kde n je počet voľných elektrónov kvapky. Dosadením do pohybovej rovnice kvapky v elektrickom poli dostaneme: π g( ρ ρv ) 8πηv ηv ( ρ ρv ) g π QE =. Hľadaný elektrický náboj Q = =, 3 3E E g( ρ ρv ) kde sme dosadili výraz pre polomer kvapky. Číselne Q = 4,7 9 C, počet voľných elektrónov n = Q/e = 3.. Dva protóny v jadre hélia sú vzdialené od seba o vzdialenosť =,5 5 m. Aká práca sa musela vykonať, aby sme protóny do tejto vzdialenosti dostali? Práca externej sily pri prenesení dvoch elektrických nábojov rovnakej polarity z nekonečna do vzdialenosti je rovnaká ako práca elektrostatickej odpudivej sily medzi týmito elektrickými nábojmi pri ich vzdialení z daného miesta do nekonečna. Preto platí: e r dr e dr e W = = 3 4πε r =,54 3 J MeV 4πε r 4πε. Bodové elektrické náboje Q = 7 nc, Q = nc ležia na rovnakej spojnici s elektrickým nábojom Q = 3 nc a sú od neho vzdialené o l = cm, l = 5 cm. Akú prácu vykonajú sily poľa, aby si elektrické náboje Q, Q vymenili miesto? Prácu, ktorú konajú sily poľa, aby si elektrické náboje vymenili svoje polohy, môžeme vyjadriť ako úbytok potenciálnej energie, t.j. W = E p E p, kde E p je potenciálna energia pôvodnej konfigurácie elektrických nábojov (obr..8, stav ), E p je potenciálna energia konečnej polohy elektrických nábojov (stav ). Pre potenciálne energie platí: ) Q Q Q ) Q Q Q Obr..8 QQ QQ QQ QQ QQ QQ Ep = + + = + + 4πε 4πε 4π ε( ) 4πε QQ QQ QQ QQ QQ QQ Ep = + + = + + 4πε 4πε 4π ε( ) 4πε Dosadením do výrazu pre prácu W dostaneme: Q( Q Q) Q( Q Q) Q( Q Q)( ) W = Ep Ep = + =. 4πε 4πε Pri číselnom dosadení treba správne dosadiť aj polaritu elektrických nábojov, potom W = 3 4 J. Poznámka: Stav má menšiu potenciálnu energiu ako stav, a je teda stabilnejší. Ak chceme, aby si náboje vymenili svoje miesta, musíme pôsobiť vonkajšou silou, prekonávajúcou sily poľa. Práca tejto sily bude W = 3 4 J.. Uvažujme lineárny kryštál ako nekonečný rad elementárnych elektrických nábojov, umiestnených v rovnakých vzájomných vzdialenostiach pozdĺž priamky, a ich znamienka sa striedajú. Vypočítajte potenciálnu energiu ktoréhokoľvek z týchto elektrických nábojov! Ak si zvolíme ľubovoľný elektrický náboj (obr..9), potom môžeme pre jeho potenciálnu

21 energiu spočítať vždy dva symetrické príspevky od rovnakých elektrických nábojov vo vzdialenostiach a, a,3a... a Obr..9 ( ee ) ( e)( e) ( ee ) e e Ep = = = ln, 4πεa 4πε a 4πε3a 4πε a 3 πε a 3 4 x x x pretože pre súčet nekonečného radu platí: ln( + x) = x V našom prípade je x =. 3 4 e Výsledok môžeme vyjadriť v tvare: E = p 4πε a α, kde α = ln je Madelungova konštanta. Poznámka: Energia je záporná, preto na rozloženie takéhoto kryštálu na jednotlivé ióny je treba vykonať prácu. ovnováha v pozdĺžnom smere je nestabilná, v priečnom smere stabilná, pretože pri vychýlení ľubovoľného elektrického náboja z rovnovážnej polohy v priečnom smere existujú výsledné elektrostatické návratné sily, ktoré vracajú náboj do rovnovážnej polohy, čo neplatí pre pozdĺžny smer..3 Vypočítajte potenciálnu energiu sústavy rovnakých bodových elektrických nábojov Q = 4 μc, ktoré sú umiestnené vo vrcholoch štvorca so stranou a = 8 mm, ak: a) všetky elektrické náboje majú rovnakú polaritu, b) susedné vrcholy sú obsadené nábojmi opačnej polarity. QQ i j Potenciálnu energiu opäť počítame ako súčet príspevkov Ep = QjVi =. i j 4πε i j i rij a) V prípade rovnakej polarity elektrických nábojov dostaneme: Q Q Q Q Q Q Q (4+ ) Ep = Q Q Q 4πε + + a a a + + a + = 97,3 J a a 4πεa b) Ak sa polarita elektrických nábojov vo vrcholoch strieda: ( Q) Q ( Q) Q ( Q) ( Q) Q ( 4) Ep = Q ( Q) Q 4πε + + a a a + + a + = 46,5 J. a a 4πεa.4 Molekula kyseliny soľnej je umiestnená v súradnej sústave xy, os H Cl leží v smere osi x. Molekulu môžeme považovať za elektrický dipól, ktorého elektrický dipólový moment smeruje od Cl k H pozdĺž osi x a jeho veľkosť je p = 3,4 3 C m. Vypočítajte elektrický potenciál a intenzitu elektrického poľa na osi dipólu, ako aj na osi symetrie dipólu vo vzdialenosti r = m. e +e e +e Elektrický potenciál elektrického poľa dipólu v ľubovoľnom bode je V ( r ) = pr d 3 4πεr a intenzita má tvar E d = 3 5 ( ) r 4πε r pr r p. Na osi dipólu platí p r, teda skalárny súčin p r = p r. p Potom elektrický potenciál na osi dipólu bude V = d 4πε r 3 V, intenzita poľa na osi dipólu je: p E d = r p= 6, i V m, intenzita má rovnaký smer ako smer elektrického 5 3 4πεr 4πεr dipólového momentu p. e

22 Na osi symetrie dipólu platí p r, teda skalárny súčin p r =. Elektrický potenciál v každom bode r p p na osi symetrie V d =. Intenzita na osi symetrie dipólu bude: Ed = = 3 ( i) V m, 5 3 4πεr 4πεr má smer opačný ako smer elektrického dipólového momentu p..5 Vypočítajte moment dvojice síl, pôsobiacich na elektrický dipól, umiestnený v homogénnom elektrickom poli E, ak je daný elektrický moment dipólu p = 3 C m, intenzita elektrického poľa E = 5 5 V m a smer vektora p zviera so smerom E uhol α = 3! Aký bude úbytok potenciálnej energie dipólu pri jeho otočení do smeru E? Moment dvojice síl M = p x E, ktorý otáča elektrický dipól umiestnený v homogénnom elektrickom poli má veľkosť: M = p E sin ϕ = 5 5 N m. Jeho smer bude kolmý na rovinu xy a orientovaný za nákresňu: M = M ( k). Uhol pootočenia je konvenciou zavedený proti smeru otáčania hodinových ručičiek, preto vektor pootočenia bude dϕ = dϕ k. y Úbytok potenciálnej energie dipólu sa rovná práci, ktorú vykonajú sily elektrostatického poľa pri jeho otočení do smeru intenzity E: p E Δ E = W = M dϕ = pe sinϕ d ϕ( k ).k = pe cos ϕ ( pe cos ) z dϕ Obr..3 x p ϕ ϕ Δ E = E E p p p Úbytok potenciálnej energie ΔE p = pe ( cosϕ),3 5 J..4 Neriešené príklady.6 Dva rovnaké ióny navzájom vzdialené o = 9 m pôsobia na seba elektrostatickou silou F =,7 9 N. Aký je elektrický náboj na každom ióne? Koľko elektrónov chýba každému iónu?.7 V akej vzájomnej vzdialenosti sú dva protóny, ak elektrostatická odpudivá sila, pôsobiaca na protón od druhého protónu, sa rovná jeho tiaži na zemskom povrchu?.8 Vypočítajte pomer elektrostatických a gravitačných síl vzájomného pôsobenia medzi dvomi elektrónmi a medzi dvomi protónmi! Určte hodnotu špecifického elektrického náboja Q /m pri interakcii rovnakých častíc, pri ktorej by sa tieto sily čo do veľkosti rovnali!.9 Predpokladajte, že elektrón v Bohrovom modeli atómu vodíka sa pohybuje po kruhovej dráhe s polomerom a = 5,3 m. Vypočítajte jeho rýchlosť, frekvenciu a kinetickú energiu!.3 Dve guľôčky s rovnakou hmotnosťou m a elektrickým nábojom Q sa pohybujú po kružnici polomeru okolo elektrického náboja Q, pričom sa náboje nachádzajú na koncoch rovnakého priemeru (obr..3). Nájdite uhlové rýchlosti pohybu nábojov! Q Q Q.3 Vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka so stranou a = cm sa nachádzajú tri rovnaké elektrické náboje s veľkosťou 3 nc. Určte veľkosť sily pôsobiacej na elektrický náboj v ľubovoľnom vrchole! Obr..3.3 Dva bodové elektrické náboje rovnakej veľkosti Q = nc sa nachádzajú vo vzájomnej vzdialenosti 5 cm. Akou silou a v akom smere pôsobia na jednotkový kladný elektrický náboj, nachádzajúci sa vo vzdialenosti 5 cm od každého z nich?