חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים"

Transcript

1 חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2 יהיו T,T חלוקות של הקטע [,], אם T הינה העדנה של T אזי.S(f, T ) S(f, T ) וכן S(f, T ) S(f, T ) טענה.3 יהיו T T, חלוקות כלשהן של הקטע ] [, אזי ) T.S(f, T ) S(f, [,] (f) := sup x,y [,] התנודה של f בקטע [,] מוגדרת על ידי f(x) f(y) = sup f inf f [,] [,] T = {t k : k n} = { = t < t <... < t n < t n = } קוטר החלוקה } T = { = t < t <.. < t n = מוגדר על ידי: λ(t ) := mx{t k+ t k : k < n} החלוקה } T = { = t <... < t n = מעדנת את החלוקה T אם מתקיים כי k= {t k } n k= {t k }n (נסמן T (T בהינתן שתי חלוקות T ו T ההעדנה המשותפת שלהן הינה חלוקה חדשה המוגדרת על ידי: טענה.4 אם T מעדנת את T על ידי הוספת p נקודות חלוקה אזי T T = {t k : k n} {t k : k n} S(f, T ) S(f, T ) + pλ(t ) [,] (f) S(f, T ) S(f, T ) pλ(t ) [,] (f) אינטגרל עליון ותחתון של פונקציה חסומה f :,] [ R מוגדרים על ידי: f := inf T { S(f, T )} f := sup{s(f, T )} T משפט.5 (משפט דרבו) אם f(x) היא פונקציה חסומה בקטע [,] אזי f = lim λ S(f, T ) f = lim λ S(f, T ) או בניסוח אחר, לכל > ε קיים > δ כך שלכל חלוקה T שעבורה λ(t ) < δ מתקיים S(f, T ) f < ε (ובאותו אופן עבור הגבול השני). תנאים לקיומו של האינטגרל המסוים משפט.6 אם f : [, ] R פונקציה אינטגרבילית בקטע ] [, אזי f חסומה בקטע. משפט.7 עבור פונקציה חסומה f :,] [ R אם מתקיים שוויון בין. f = f = האינטגרל העליון לתחתון, אזי f אינטגרבילית וכן f מסקנה.8 בכדי שפונקציה f תהיה אינטגרבילית בקטע [,] מספיק שהיא תהיה חסומה ותקיים את התנאי הבא: לכל > ε קיימות שתי חלוקות T, T 2 (ייתכן (T = T 2 כך שעבורן מתקיים S(T ) S(T 2 ) < ε סכומי רימן תהי f : [, ] R ותהי } T = { = s < s <... < s n < s n = חלוקה של הקטע [,], סכום רימן של f בקטע [,] הינו σ = f(x i )(s i s i ) נשים לב שהסכום תלוי בחלוקה T וכן בבחירת.x i כאשר ] i [s i, s הנקודות.x i הגדרה. תהי, f : [, ] R נאמר ש f אינטגריבלית רימן על ] [, T כך שלכל חלוקה δ קיים > ε כך שלכל > I אם קיים (f R([, ])) המקיימת λ(t ) < δ ולכל בחירה של נקודות מתאימות לחלוקה מתקיים σ I < ε במידה והגבול הנ"ל אכן קיים הוא יקרא האינטגרל המסוים של f(x) בקטע [,] ויסומן, f(x)dx לכן נוכל לרשום: lim λ(t ) f(x i ) s i = f(x)dx כאשר i s i ) s i = s i s נקודות חלוקה). סכומי דרבו בהינתן f : [, ] R חסומה, וחלוקה < n T = { = t < t <.. < t T) ביחס ל f אזי סכום דרבו עליון (של t n = { n S(f, T ) := (t k+ t k ) sup k= [t k,t k+ ] f

2 משפט.7 (רציפות האינטגרל ( תהי f(x) : [, ] R פונקציה אינטגרבילית,.[, ] הינה פונקציה רציפה ליפשיץ בקטע F (x) := x אזי הפונקציה f(t) dt משפט.8 (גזירות האינטגרל ( תהי f(x) : [, ] R פונקציה אינטגרבילית, F (x) := x גזירה בכל נקודה x בקטע שבה f רציפה הפונקציה f(t) dt ומתקיים F (x) = f(x) משפט.9 (המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי) תהי f(x) פונקציה אינטגרבילית בקטע [,] ותהי (x) F פונקציה רציפה בקטע [,], גזירה בפנים הקטע (פרט אולי למספר סופי של נקודות) ומקיימת f(x) F (x) = לכל x בקטע (פרט אולי למספר סופי של נקודות). אזי f(t) dt = F () F () משפט.9 (תנאי רימן לאינטגרביליות) תהי f :,] [ R פונקציה חסומה ו { T = { = x < x <.. < x n < x n = חלוקה, נסמן (f, T ) := i x i כאשר i x i = x i x ו i התנודה של f בקטע ] i.[x i, x אזי f אינטגרבילית רימן אם ורק אם lim (f, T ) = λ(t ) משפט. תהי f פונקציה חסומה בקטע [,] ו T חלוקה של הקטע. יהי > ε נסמן: G ε = {i : i < ε} E ε = {i : i > ε} התכונות היסודיות של פונקציות אינטגרביליות ושל האינטגרל המסוים משפט.2 יהיו,f g פונקציות אינטגרביליות בקטע [,] אזי:. cf = c אם c R אזי cf(x) אינטגרבילית ומתקיים f הפונקציות g(x) f(x) ± אינטגרביליות ומתקיים = g(x) f(x) ±. f(x) ± g(x) הפונקציה f(x)g(x) אינטגרבילית בקטע. אם קיים קבוע > c כך ש c g(x) לכל ] x [, אזי הפונקציה אינטגרבילית בקטע. g(x) הפונקציה f(x) אינטגרבילית בקטע וכן מתקיים dx f(x) (ההפך לא בהכרח נכון). f(x) dx. f אם g(x) f(x) בקטע אזי g משפט.2 (ערך הביניים האינטגרלי) תהי f(x) פונקציה רציפה בקטע [,] ותהי g(x) פונקציה אינטגרבילית בקטע השומרת על סימן קבוע שם. אזי קיימת נקודה [ c,] כך שמתקיים השוויון: f(x)g(x) = f(c) g(x) שיטות אינטגרציה מסוימות החלפת משתנים תהי f : [, ] R אינטגרבילית ו ] φ : [α, β] [, מונוטונית עולה וגזירה ברציפות, וכן φ(α) = ו.φ(β) = אזי הפונקציה g := f φ(t) φ (t) : [α, β] R אינטגרבילית וכן: ˆ β α f(φ(t)) φ (t) dt = f(t) dt במידה ו f רציפה אזי אין צורך לדרוש ש φ(t) תהיה מונוטונית עולה, מספיק שתקיים את התנאים שצוינו לעיל למעט המונוטוניות וכן שמתקיים.t [α, β] לכל φ(t) אינטגרציה בחלקים נניח כי,f g :,] [ R חסומות, כאשר g ו f גזירות וכן,g f אינטגרביליות, אזי מתקיים: f (x)g(x) dx = [f()g() f()g()] f(t)g (t) dt כאשר i התנודה של f בקטע ] i [x i, x בחלוקה.T משפט. אזי f אינטגרבילית רימן אם ורק אם לכל > ε קיימת חלוקה T כך ש i E ε x i < ε.(x i T, x i = x i x i ) משפחות של פונקציות אינטגרביליות משפט.2 תהי f, :,] [ R אם f מקיימת את אחת מהדרישות הבאות אזי היא אינטגרבילית בקטע..[, רציפה ב [ f ל f מספר סופי של נקודות אי רציפות בקטע. f מונוטונית בקטע. משפט.3 (משפט לבג) תנאי הכרחי ומספיק לכך שפונקציה חסומה f תהיה אינטגרבילית בקטע [,] הוא שקבוצת נקודות אי הרציפות שלה תהיה בעלת מידה אפס. (קבוצת נקודות על הישר הינה בעלת מידה אפס אם לכל > ε קיימת קבוצת קטעים המכסה את הקבוצה, כך שסכום ארכי הקטעים קטן מ ε ). משפט.4 אם f(x) היא פונקציה אינטגרבילית בקטע ] [, ו ( f(x f (x) = לכל x בקטע פרט למספר סופי של נקודות, אזי גם (x) f אינטגרבילית בקטע ומתקיים 2 f (x) dx = כלומר, שינוי פונקציה במספר סופי של נקודות אינו משפיע על ערך האינטגרל. משפטים יסודיים של החשבון האינטגרלי משפט.5 אם f(x) אינטגרבילית בקטע [,] אזי היא אינטגרבילית בכל קטע [β,α] החלקי לו. משפט.6 (אדיטיביות של אינטגרל) יהיו, < c < אם f(x) אינטגרבילית בקטעים [c,] ו [,c] אזי היא אינטגרבילית בקטע [,] ומתקיים = ˆ c + c

3 קריטריונים להתכנסות משפט 2.4 (קריטריון קושי) תהי f : [, ) R ונניח שלכל < < ε קיים וסופי אם ורק אם לכל > מתקיים כי ], f R[, אזי. 2 קיים < B < כך שלכל B <, 2 < מתקיים < ε הגדרה 2.5 תהי, f : [, ) R כך ש [ f R[, לכל. < < נאמר. f < מתכנס בהחלט אם ש f 2 אינטגרלים לא אמיתיים הגדרות הגדרה 2. (קטע אינסופי) תהי f : [, ) R ונניח שלכל < < מתקיים כי [ f. R[, אם קיים הגבול lim אזי הוא נקרא האינטגרל הלא אמיתי של f בקטע (,] ומסומן. אם הגבול קיים וסופי נאמר שהאינטגרל מתכנס. (הגדרה דומה עבור [, )). מתכנס בהחלט, אזי הוא מתכנס. טענה 2.6 אם f מתכנסים ומתבדרים יחדיו. ו g אם < L < האינטגרלים f. f < אם = L אזי < g. g = אם = L אזי = f פונקציות להשוות מולן במידה ומדובר בקטע פתוח [,) (מקרה נפוץ = ) נשווה עם { dx (x ) α = converges, α < diverges, α כאשר x α dx x α = כאשר (x ) α במידה ומדובר בקטע (,] נשווה עם { converges, α > diverges, α טענה 2.9 (השוואה בין אינטגרל לטור) תהי f : [, ) R ונניח ] f R[, מתכנס אם ורק לכל < <. כמו כן נניח f וכן f יורדת. אזי f מתכנס. יתר על כן: n= אם f(n) f(n) n=2 f(n) n= משפט 2. (קריטריון דיריכלה) תהיינה f, g : [, ) R אינטגרביליות על כל תת קטע סגור וסופי. נניח ש f מונוטונית ו g רציפה וכן ( f. C,] אם מתכנס. fg אזי,lim x f(x) חסום וכן = G(x) = x בנוסף g(t) dt משפט 2. (קריטריון אבל) תהיינה f, g : [, ) R אינטגרביליות על כל תת קטע סגור וסופי. נניח ש f מונוטונית ו g רציפה וכן ( f. C,] אם מתכנס. fg מתכנס, אזי בנוסף f חסומה וכן g הגדרה 2.2 (אינטגרל דו סופי) תהי f : R R ונניח כי ] f R[, לכל < < < נגדיר טענה 2.7 תהי f ונניח ] f R[, לכל < < אזי F (x) = x f = f + f קיים (במובן הרחב). האינטגרל מתכנס אם ורק אם חסומה. אם שני האינטגרלים קיימים וסופייים. באופן שקול ניתן לדרוש קיום של הגבול מסקנה 2.8 (השוואה בין פונקציות שומרות סימן) יהיו f g אזי: ˆ N f < g < = lim lim N M M g = f = הגדרה 2.3 (פונקציה לא חסומה) תהי f : (, ] R ונניח כי ] f R[α, המסקנה הנ"ל נכונה גם עבור f g, עבור וסימני אי שוויון הפוכים. לכל, < α < אם קיים הגבול ניסוח גבולי עבור קריטריון ההשוואה נניח ש נקודה בעייתית יחידה עבור,f g x L = lim f אזי g בקטע [,] וקיים lim ε + +ε ˆ אזי הוא נקרא האינטגרל הלא אמיתי של f בקטע [,) ומסומן ב dx. f(x) הערה: במקרה של f חסומה האינטגרל הלא אמיתי קיים ומתכנס אם ורק אם במידה ונגדיר f() = c נקבל כי ].f R[, תכונות בסיסיות נסמן מעתה ב נקודה בעייתית של f, כלומר ± = או קצה קטע פתוח ש f אינה חסומה בו. ניוטון לייבניץ אם f : [, ) R ונניח ש ] f R[, לכל, < < כמו כן נניח f(x) F (x) = לכל ) x [, אזי = lim (F () F ()) = ˆ c (αf(x) + βg(x)) = α + c f(x) + β g(x) אדיטיביות ליניאריות (במידה והגבולות קיימים). מונוטוניות אם f g אזי מתקיים g(x) dx אינטגרציה בחלקים fg = lim [f()g() f()g()] (במידה והגבולות קיימים וכן מתקיימים התנאים על,f g עבור ביצוע אינטגרציה בחלקים) החלפת משתנים נניח כי η) φ : [, ) [c, כאשר φ() = c ו φ וכי < < לכל φ C [, ] כמו כן נניח כי,lim x φ(x) = η עולה. אזי מתקיים: 3 f(φ(t))φ (t) dt = lim ˆ φ() c = ˆ η c f g

4 lim f n (x) dx = קיים ומתקיים אזי f משפט 3.6 (גזירות) תהי f n : [, ] R סדרת פונקציות גזירות ברציפות. כמו כן נניח כי קיימת ] x [, כך ש ) f n (x מתכנסת. סדרת הנגזרות מתכנסת במ"ש,.f n g אזי קיימת f כך ש f n f וכן f.lim f n = משפט 3.7 (ווירשטראס על צפיפות הפולינומים ב [ (C[, לכל [ f C[, קיימת סדרת פולינומים ] P n C[, כך ש.P n f מבחנים להתכנסות במ"ש של טורים משפט M) 3.8 בוחן של ווירשטראס) תהי f n : [, ] R סדרת פונקציות ונניח שיש סדרת מספרים M n כך ש. x f n (x) M n אם הטור n= M n מתכנס בהחלט ובמידה שווה. מתכנס אזי הטור =n f n מבחן לייבניץ נתון טור מהצורה (x) (x D) ( ) n n וכן: ב D. x מונוטונית יורדת לכל n (x) ב D. n (x) אזי (x) ( ) n n מתכנס במ"ש. וכן נתון כי: n= מבחן דיריכלה נתון הטור f(x)g(x).d בתחום x יורדת לכל f n (x).d בתחום f n (x). k N x k n= g n(x) M אזי הטור מתכנס במ"ש. בהקשר הזה כדאי להכיר את שתי הזהויות הטריגנומטריות הבאות, העוזרות להוכיח חסימות של cos(nx) sin(nx), : k n= sin(nx) = cos( x 2 ) cos(k+ 2 )x 2 sin( x 2 ) k n= cos(nx) = sin((k+ 2 )x) sin( x 2 ) 2 sin( x 2 ) מבחן אבל נתון כי g(x) מתכנס במ"ש וכן נתון כי (x) f n מונוטונית (או שומרת סימן) וחסומה במידה אחידה, אזי f(x)g(x) מתכנס במ"ש. מבחני התכנסות לטורים עם איברים קבועים מבחן ההשוואה עבור טורים חיוביים n טור חיובי, אם קיים < q < כך ש n < q מבחן השורש יהי =n n לכל n (החל ממקום מסוים) אזי הטור מתכנס. lim אזי טור חיובי, אם < n n מבחן השורש הגבולי יהי =n n הטור מתכנס. טור חיובי: מבחן המנה יהי =n n +n לכל n (החל ממקום מסוים) הטור מתכנס. n אם < q טור חיובי הטור מתבדר n= n יהי n+ n אם טור חיובי: מבחן המנה הגבולי יהי =n n n+ lim sup( הטור מתכנס. n אם < ) n+ lim inf( הטור מתבדר. n אם ) טור חיובי ו n סדרה מונוטונית יורדת מבחן העיבוי של קושי יהי =n n מתכנסים ומתבדרים יחדיו. ו n= 2n 2 n אזי הטורים n= n עלינו הערה 2.2 באופן כללי כאשר אנו בודקים התכנסות של אינטגרל f לבדוק בנפרד עבור כל אחת מהנקודות הבעייתיות של f בקטע [,]. אם למשל,, נקודות בעייתיות אזי נכתוב f = ˆ α f + α ˆ β f + f + עתה יש לבדוק את ההתכנסות של כל אחד מהאינטגרלים הנ"ל בנפרד, כאשר יתכנס על כל אחד מהאינטגרלים להיות קיים וסופי על מנת שהאינטגרל f (כלומר אם גילינו שאחד האינטגרלים לא קיים וסופי אזי אין צורך להמשיך לבדוק). 3 סדרות וטורי פונקציות (כללי) התכנסות נקודתית תהי f n (x) : [, ] R סדרת פונקציות. אזי f n מתכנסת נקודתית ל f בקטע ] [, אם לכל ] x [, מתקיים כי = (x) lim f n.f(x) התכנסות במידה שווה תהי f n : [, ] R סדרת פונקציות. נאמר ש f f n במידה שווה (נסמן ( f n f אם sup f(x) f n (x) x [,] או באופן שקול, אם לכל > ε קיים N כך שלכל n N וכל x מתקיים. f(x) f n (x) < ε תכונות של התכנסות במ"ש אם f n f וכן g n g אזי.g n ± f n g ± f אם f n f וכן g n g וכמו כן סדרות הפונקציות חסומות במידה אחידה, אזי g n f n gf (לא בהכרח נכון ללא החסימות). משפט 3. (קריטריון קושי להתכנסות במ"ש) תהי f n : [, ] R סדרת פונקציות. f n f אם ורק אם לכל > ε קיים N ε כך שלכל n, m > N ε ולכל ] x [, קיים f n (x) f m (x) < ε (או באופן שקול.(sup [,] f n (x) f m (x) < ε משפט 3.2 תהיינה f, f n : [, ] R ונניח כי f n רציפות וכן, f n f אזי f רציפה. משפט 3.3 (דיני) תהיינה f n : [, ] R סדרת פונקציות רציפות, כך ש f n מתכנסת ל f נקודתית. כמו כן נניח כי f n מונוטונית (כסדרה לכל x קבוע), וכן f = lim f n רציפה. אזי במקרה זה מתקיים כי ההתכנסות היא במ"ש,.f n f β f (הערה: חשוב שמדובר בקטע סגור). משפט 3.4 (אינטגרציה) תהיינה f n : [, ] R ונניח כי.f n f נניח גם כי ] f n R[, לכל,n אזי גם ] f R[, ומתקיים lim f n (x) dx = משפט 3.5 (אינטגרלים לא אמיתיים) תהי f n : [, ) R סדרת פונקציות מתכנס. ונניח כי f n מתכנסת ל f נקודתית וכן כי f n אינטגרביליות ו f n אם בנוסף לכך מתקיים גם : 4 וכן n x f n (x) ψ (החל ממקום. [, ] על כל קטע סופי וסגור f n f קיימת ψ כך ש < ψ מסוים).

5 (C) סכימת צזארו סכום צזארו של טור מוגדר על ידי S + S S n n = lim n ההיררכיה של שיטות הסכימה : סכימה רגילה סכימת צזארו סכימת אבל. משפט 4.8 (מרטן, כפל של טורים) תהיינה n, n C סדרות מספרים, ונגדיר והטור מתכנס בהחלט, וכן n = A אם.c n := n k= k n k (מכפלת קושי של הטורים) מתכנס. אזי הטור c n n = B בהחלט ומתקיים: c n = AB משפט 4.9 (טאובר) תהי { n } R סדרה המקיימת n.n כמו כן נניח כי: מתכנס לכל <. x הטור nx n.lim x קיים וסופי הגבול nx n = s n = s אזי תחת תנאים אלה מתקיים: כאשר z, k C טורי חזקות מרוכבים k= kz k אם נכתוב, n = u n + iv n אזי טור מספרים מרוכב מתכנס (בהחלט) כאשר מתכנסים (בהחלט). k= u k, שני הטורים k= v k, מתכנס בהחלט אם"ם הטור < n טענה 4. הטור n כאשר ) 2 n. n = Re( n ) 2 + Im( משפט 4. (רדיוס התכנסות של טור חזקות מרוכב) המשפט עובר כלשונו, כלומר אם הטור מתכנס עבור z C כאשר. z = r אזי לכל z המקיים z < r הטור מתכנס בהחלט ובמידה שווה. 5 טורי פוריה מכפלה פנימית נגדיר מכפלה פנימית עבור מרחב פונקציות מחזוריות, אינטגרביליות רימן, על ידי < f, g >:= f(x)g(x) dx.p (x) = N פולינום טריגונומטרי הינו ביטוי מהצורה n= N ne i2πnx מקדמי פורייה עבור f : R C מחזורית ואינטגרבילית רימן, נגדיר את מקדמי פורייה על ידי < P, P >= P (t) 2 dt = N n= N ˆP (n) 2 4 טורי חזקות מתכנס למה 4. (רדיוס ההתכנסות של טור חזקות) אם הטור =n nx n עבור x כלשהוא כך ש r x < אזי לכל r < r הטור מתכנס בהחלט ובמידה שווה בקטע ] r.[ r, משפט 4.2 (אבל) לכל טור חזקות קיים > R כך שבקטע (R,R ) הטור מתכנס ובקבוצה R} {x : x > הטור מתבדר. טור חזקות, אזי משפט 4.3 (קושי הדמרד) יהי nx n R = lim n n טור חזקות עם רדיוס משפט 4.4 (רציפות טור חזקות) יהי =n nx n התכנסות > R אזי סכום הטור S(x) הוא פונקציה רציפה בקטע (R,R ). טור חזקות עם רדיוס משפט 4.5 (אינטגרציה איבר איבר) יהי =n nx n התכנסות >,R אזי: הוא בעל אותו רדיוס x n tn dt = n הטור xn+ n+ התכנסות כמו הטור המקורי. = S(x) אזי לכל x < R מתקיים : אם נסמן nx n. x n tn dt = x S(t)dt אם הטור המקורי מתכנס ב R x) = (R x = אזי גם טור האינטגרלים מתכנס בנקודה זו. טור חזקות עם רדיוס התכנסות משפט 4.6 (גזירה איבר איבר) יהי =n nx n >.R אזי: ( nx n ) = n nx n = הטור n= (n + ) n+x n המתקבל מהטור המקורי על ידי גזירה איבר איבר הוא בעל אותו רדיוס התכנסות כמו הטור המקורי.. לכל x < R מתקיים (x) ( nx n ) = S אם טור הנגזרות מתכנס בנקודה x) = R)x = R אזי גם הטור המקורי מתכנס בנקודה זו והשוויון הנ"ל מתקיים. בעל רדיוס התכנסות R ו חיבור טורי חזקות בהינתן =n nx n בעל רדיוס התכנסות R 2 אזי מתקיים השוויון nx n n x n ± n x n = ( n ± n )x n כאשר הטור הנ"ל מתכנס ברדיוס התכנסות } 2 R = min{r, R במידה ו.R = במידה ו R 2 ולפחות ברדיוס R,R R 2 טור חזקות עם רדיוס משפט 4.7 (משפט הגבול של אבל) יהי =n nx n התכנסות > R. אם הטור מתכנס גם בנקודה x = R אזי סכומו S(x) הוא פונקציה רציפה משמאל בנקודה R. ˆf(n) :=< f, e n >= f(x)e i2πnx dx בעל רדיוס התכנסות = (x) P פולינום טריגונמטרי, סכימה על פי אבל נניח כי נתון טור חזקות =n nx n N הערה: נשים לב שאם n= N ne i2πnx מתכנס, אזי מתקיים, אם הטור n אזי מתקיים Pˆ (n) = n, כמו כן עבור,P Q פולינומים טריגו' מתקיים >= Q.< P, בפרט מתקיים N ˆP n= N (n) ˆQ(n) lim n x n = n x אינו מתכנס, ייתכן כי הגבול אולם גם כאשר הטור =n n x lim קיים וסופי. במקרה זה קוראים לו סכום אבל של nx n ((A) הטור ) n 5

6 D N (t) = sin[2π(n + 2 )x] sin πx טענה 5.6 טור פורייה המתאים לפונקציה מחזורית f הינו: ˆf(n)e i2πnx n Z F N (t) := N 2 D N(t) dt = 2 טענה 5.7 גרעין פייר N גרעין פייר מוגדר על ידי n(t) =n D תכונות של גרעין פייר F N (t) = sin2 πnt N sin 2 πt δ > δ δ F N (t) dt וכמו כן מתקיים כי טענה = dt F N(t) טענה σ N f(x) := N N s n f = f(t x)f N (x) dx התכנסות לפונקציה משפט 5.8 (משפט פייר) אם C(R) f מחזורית אזי N s n f f N N כאשר ההתכנסות הינה במידה שווה. כמו כן אם בנקודה x מתקיים כי.σ N f(x ) lim x x אזי + f(x) = + ו lim x x f(x) = התכנסות נקודתית אם f רציפה ליפשיץ בסביבה של x אזי.s N f(x ) f(x ) משפט 5.9 (התכנסות במ"ש) אם < 2 ˆf(n) n Z וגם C(R) f או.s n f f נקודתית, אזי s N f f מסקנה 5. אם (R) f C אזי.s n f f משפט 5. (התכנסות בנורמה) אם C(R) f מחזורית ואינטגרבילית רימן, אזי f s n f (התכנסות בנורמה של.(L 2 טענה 5.2 (הוכחה בתרגול) הפולינומים הטריגונומטריים צפופים במ"ש ב ],C[, כלומר אם ] C[, f קיימת סדרה P N של פולינומים טריגונומטריים כך ש sup f(x) P n (x) x [,] טענה 5.3 (הוכחה בתרגול) הפולינומים הטריגונומטריים צפופים בנורמה ב [,]R, כלומר לכל [,]R f ( מחזורית), קיימת סדרת פולינומים טריגונומטריים P n כך ש P n f ניתן גם לכתוב טור פורייה באמצעות cos(2πnx),sin(2πnx), כלומר הטור המתאים ל f הינו + [ n cos(2πnx) + n sin(2πnx)] n= כאשר > cos(2πnx). =< f, >, n =< f, sin(2πnx) >, n =< f, הקשר בין ˆf(n) למקדמים הנ"ל נתון על ידי: ˆf(n) = 2 ( n i n ) n > ˆf() = n = ˆf(n) = 2 ( n + i n ) n < S N f := N n= N נגדיר את סכום פורייה החלקי על ידי ˆf(n)e i2πnx < f, S N f >=< S N f, f >=< s N f, s N f >= N n= N למה (הטלה) ˆf(k) 2 k Z ˆf(k) 2 אי שוויון בסל f(t) 2 dt k Z ˆf(k) 2 = שיוויון פרסבל f(t) 2 dt למה 5. (הלמה של רימן לבג) עבור f : R C מחזורית ואינטגרבילית רימן, מתקיים כי ˆf(n) טענה 5.2 אם (R) f C אזי ˆf(n) ˆf (n) = i2πn. מסקנה 5.3 אם (R) f C פונקציה מחזורית, אזי < ˆf(n) n= מסקנה 5.4 (דעיכת מקדמים) אם (R) f C k אזי ) k ˆf(n) = o( n. D N (t) := N k= N e i2πkt גרעין דיריכלה טענה 5.5 עבור f : R C מחזורית ואינטגרבילית מתקיים כי s N f(t) := f(t x)d N (x) dx 6

7 טענה 6. יהי X מרחב מטרי:. הקבוצות, X תמיד פתוחות (בפרט R n קבוצה פתוחה). 2. איחוד של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה. 3. חיתוך סופי של קבוצות פתוחות הוא פתוח. טענה 6.2 כדור פתוח (r B(x, הינו תמיד קבוצה פתוחה. קבוצה סגורה A X הינה קבוצה סגורה אם היא מכילה את כל נקודות הגבול שלה. כלומר אם x n A סדרה המקיימת x n x אזי גם.x A טענה 6.3 יהי Xמרחב מטרי:. הקבוצות,X קבוצות סגורות (בפרט R n סגורה) 2. חיתוך של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה. 3. איחוד סופי של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה. טענה 6.4 הקבוצות r) S(x, ו ( r B(x, הן תמיד קבוצות סגורות. קונבולוציה משפט A 6.5 קבוצה פתוחה אם ורק אם A c קבוצה סגורה. פנים הפנים של A X הינו הקבוצה (f g)(x) = עבור פונקציות f, g : R C מחזוריות, נגדיר f(t)g(x t) dt תכונות של קונבולציה סימטריה f g = g f g f רציפה תמיד ( f g)(n) = ˆf(n)ĝ(n) 6 מרחבים מטריים פונקצית מרחק (מטריקה) תהי X קבוצה, פונקציה ) [, X,d : X נקראת פונקצית מרחק אם היא מקיימת:.x = y אם ורק אם d(x, y) וכן = d(x, x) = סימטריה x).d(x, y) = d(y, אי שוויון משולש y).d(x, y) d(x, z) + d(z, int(a) := {x A : r s.t B(x, r ) A}. מרחב מטרי הינו קבוצה X עליה מוגדרת פונקציית מרחק d (d,x). נורמה יהי X מרחב וקטורי, אזי : X R, נקראת נורמה אם היא מקיימת: טענה 6.6 הפנים של קבוצה A הינו החיתוך של כל תתי הקבוצות הפתוחות של.A Ā := {x X : x n A x n x} סגור הסגור של A הינו הקבוצה טענה 6.7 הסגור של קבוצה A הינו חיתוך כל הקבוצות הסגורות המכילות את.A קבוצות קומפקטיות קבוצה A X נקראת קבוצה קומפקטית אם לכל סדרה x} n } A יש תת סדרה המתכנסת לאיבר ב A. קבוצה חסומה קבוצה A X נקראת חסומה אם היא מוכלת בכדור כלשהו. ב R n קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה. משפט 6.8 (בולצאנו וירשטראס) אם קבוצה A R n היא חסומה (ע"פ הנורמה האוקלידית) לכל סדרה ב A יש תת סדרה מתכנסת. משפט 6.9 (הלמה של קנטור) אם i K קבוצה קומפקטית לכל i כך שמתקיים התנאי: i K i K (לכל > (i וגם y,sup x,y Ki x אזי מתקיים K i = {x} חיוביות x לכל x X וכן = x אם ורק אם =.x הומוגניות λ x λx = (כאשר λ סקלר) אי שוויון משולש y x + y x + אם הינה נורמה על מרחב, X אזי הפונקציה y d(x, y) := x הינה פונקציית מרחק. נורמות במרחב R: n באופן כללי עבור < p ניתן להגדיר נורמה. x p = ( n xp i )/p כמו כן, x = mx{x i } n הינה נורמה.. x 2 = n אי שוויון חשוב שפה של קבוצה A, מסומנת A, מוגדרת על ידי int(a) A. = Ā \ הנורמה האוקלידית הסטנדרטית הינה x2 i עבור הנורמה האוקלידית: נשים לב כי השפה היא קבוצה סגורה, כמו כן x A אם ורק אם קיימת סדרה מ A וסדרה מ A c כך ששתי הסדרות מתכנסות ל x. i n : x i y i x y x i y i מאי שוויון זה נובע שאם y x אזי בפרט בכל קואורדינטה i x i y ולהפך. התכנסות סדרה x n במרחב מטרי X מתכנסת ל X y אם מתקיים (y.d(x n, אם קיים גבול הוא יחיד (נובע מאי שוויון המשולש). סדרת קושי במרחב מטרי הינה סדרה המקיימת שלכל > ε קיים N כך שלכל n, m > N מתקיים.d(x n, x m ) < ε כל סדרה מתכנסת במרחב מטרי הינה סדרת קושי, מרחב מטרי נקרא שלם אם כל סדרת קושי בו מתכנסת ) n R הוא מרחב מטרי שלם). קבוצות פתוחות וסגורות כדור פתוח סביב x X ברדיוס.B(x, r) := {x X : d(x, x ) < r} :r כדור סגור סביב x X ברדיוס.B(x, r) := {x X : d(x, x ) r} :r הספירה סביב x X ברדיוס.S(x, r) := {x X : d(x, x ) = r} :r קבוצה פתוחה A X הינה קבוצה פתוחה אם מתקיים משפט 6. (היינה בורל) A X קבוצה קומפקטית אם ורק אם לכל כיסוי פתוח של A קיים תת כיסוי סופי. 7 x A r s.t B(x, r ) A

8 7 חשבון דיפרנציאלי של פונקציות בכמה משתנים העתקות לינאריות ) m f L(R n, R.f(x) = n x if(e i ) אזי (R n בסיס של e i ) x = n אם x ie i כידוע העתקה ליניארית מוגדרת ביחידות (עבור בסיס מסוים) על ידי מטריצה.(A) ij = [f(e j )] i כאשר A m n טענה 7. אם ) m A L(R n, R אזי היא רציפה. עקומות ב R n עקומה/מסילה הינה פונקציה רציפה.γ : [, ] R m אם γ() γ() = אזי המסילה נקראת עקום סגור. אם (,) γ חח"ע אזי היא נקראת עקום פשוט. בהינתן שתי מסילות γ : [, ] R m ו γ 2 : [α, β] R m נאמר שהן שקולות אם קיימת העתקה ] φ : [α, β] [, רציפה, חח"ע ועל המקיימת φ(α) = ו,φ(β) = כך שמתקיים (φ(t)) γ 2 (t) = γ (כלומר, שתי המסילות הן בעלות מסלול משותף). קבוצה קשירה מסילתית A R n תקרא קשירה מסילתית אם לכל,x y A קיימת מסילה γ : [, ] A כך ש γ() = x ו y.γ() = קבוצה קמורה A R n תקרא קמורה אם לכל x, y A ולכל < t < מתקיים.(tx + ( t)y) A (הערה: } t [x, y] := {tx + ( t)y : הינו הקטע שמחבר את x ו y ) קבוצה קשירה פוליגונלית קבוצה A R n נקראת קשירה פוליגונלית אם לכל x, y A קיימות נקודות כך שהקטעים y] [x, x ], [x, x 2 ],..., [x m, מוכלים כולם ב A. גזירות ודיפרנציאביליות גזירת עקומות תהי γ :,] [ R m מסילה, נאמר ש γ גזירה ב t אם קיים γ(t + h) γ(t ) lim = γ (t ) h h באופן שקול נרשום ) m,γ = (γ,..., γ אזי γ גזירה אם ורק אם γ i גזירה לכל i ומתקיים γ (t ) = γ (t ). γ m(t ) נגזרות חלקיות תהי f : U R n כאשר U R n קבוצה פתוחה, נגדיר את הנגזרת החלקית לפי x i f f(x+he x i = f xi = lim i ) f(x) h h f(x = lim,..,x i +h,..,x n ) f(x,..,x n ) h h לצורך חישוב בפועל נתייחס לשאר המשתנים כקבועים ונגזור את f כרגיל (במידה וניתן). טענה,f : U R, U R n 7.2 נניח f גזירה חלקית ביחס ל x i לכל i וכי רציפה ב U. f אזי U, חסומות על f x i דיפרנציאביליות תהי f : U R m ו,x U R n אזי f דיפרנציאבילית בנקודה x אם קיימת ) m A L(R n, R כך ש: f(x) = f(x ) + A(x x ) + o x x ( x x ) גבולות ורציפות יהיו d) (X, d), (Y, מרחבים מטריים ו.f : X Y גבול נניח כי x Ā,A X ו,L Y הגדרה על פי קושי נאמר שהגבול של f בנקודה x הינו L אם מתקיים: ε > δ > s.t x B(x, δ) f(x) B(L, ε) הגדרה על פי היינה נאמר שהגבול של f בנקודה x הינו L אם מתקיים: x n A : x n x f(x n ) L כמו בחדוו"א, ההגדרות הנ"ל שקולות. רציפות פונקציה f רציפה בנקודה x אם מתקיים: ε > δ > : x B(x, δ) f(x) B(f(x), ε) x n A : x n x f(x n ) f(x) או באופן שקול אם מתקיים: טענה 6. אם, f : A R m כלומר ) m f = (f,..., f כאשר,f i : A R אזי f רציפה אם ורק אם f i רציפה לכל i. טענה 6.2 (הרכבה של פונקציות רציפות) יהיו (d,x),(d,y),(d,z) מרחבים מטריים ו.g : Y Z,f : X Y אם f רציפה בנקודה x X ו g רציפה בנקודה.f(x ) Y אזי ההרכבה g f הינה פונקציה רציפה בנקודה.x טענה 6.3 (אריתמטיקה של פונקציות רציפות) יהי (d,x) מרחב מטרי ו f, g : X R פונקציות רציפות בנקודה x אזי:.α, β R לכל הינה פונקציה רציפה ב x αf + βg המכפלה f g הינה פונקציה רציפה בנקודה.x היא פונקציה רציפה בנקודה x. f g אם g אזי המנה הערה: הטענה הראשונה נכונה גם עבור f, g : A R m (כאשר,(A R n ובנוסף במקרה זה גם < f(x), g(x) >: R n R הינה פונקציה רציפה. משפט 6.4 (ווירשטראס) אם f : K Y פונקציה רציפה ו K קבוצה קומפקטית, אזי f(k) קבוצה קומפקטית ב Y. מסקנה 6.5 במידה ו R f : K רציפה ו K קומפקטית, אזי f מקבלת מקסימום ומינימום, כלומר קיימים,m M כך ש x A : f(m) f(x) f(m) משפט 6.6 (שקילות נורמות ב R) n כל נורמה על R n שקולה לנורמה האוקלידית 2. x M (נורמות ו נקראות שקולות אם קיים > M כך ש x M x לכל x במרחב) במקרה כזה נאמר ש A D f (x ) = הינו הדיפרנציאל של f בנקודה.x 8 משפט 6.7 (קנטור) פונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית, רציפה בה במ"ש.

9 R 3 (h) = 3! i,j,k= כאשר קיימת נקודה (,) θ כך ש f xi x j x k (x o + θh)h i h j h k = o( h 3 ) M = sup x [x,x+h] {f xi x j x k נשים לב כי אם נסמן ב n} (x) : i, j, k אזי נקבל כי R 3 (h) n3 6 M h 3 (אם מסתפקים בהגדרת R 3 באמצעות ) 3 o( h מספיק לדרוש דיפרנציאביליות ברציפות מסדר 2). או בניסוח שקול f(x + h) = f(x )+ < f(x ), h > + 2 < 2 f(x )h, h > +R 3 (h) כאשר ) 2 f(x הינה מטריצה n n שנקראת Hessin המקיימת.[ 2 f(x )] ij = f xi x j (x ) סדר r: אם נניח כי f הינה +r C אזי מתקיים f(x +h) = f(x )+ r k= k! i,..,i k n f xi f xi2..f xik (x )h i..h ik +R r+ כאשר +r R מוגדר באופן דומה ל R. 3 מסקנה 7.2 אם f : U R הינה C 2 אזי לכל x U ו h R n כך ש U,[x, x + h] קיימת ) (, θ כך ש f(x + h) = f(x )+ < f(x ), h > + 2 < 2 f(x + θh)h, h > טענה 7.3 אם f דיפרנציאבילית בנקודה x אזי לכל i קיימת הנגזרת החלקית וכן מתקיים: f x i = D f (x )e i f x i טענה 7.4 אם f דיפרנציאבילית קיימת הנגזרת הכיוונית בכל כיוון û המוגדרת f(x. û כאשר = lim +hû) f(x ) h h על ידי טענה 7.5 מספר טענות אודות הדיפרנציאל D: f אם f c אזי f D אם f D בתחום U (פתוח וקשיר פוליגונלית) אז.f c אם f(x) = Ax העתקה לינארית, אזי D f (x) = A D f+g = D f + D g אם D f = A לכל x אזי.f(x) = Ax + c טענה 7.6 אם f דיפרנציאבילית ב x אזי f רציפה ב x. דיפרנציאביליות ברציפות נאמר ש ( f C (U, R m אם מתקיים כי U f : רציפה ב U. x D f (x) וההעתקה x U דיפרנציאבילית בכל R m משפט f 7.7 דיפרנצאיבילית ברציפות אם ורק אם כל הנגזרות החלקיות קיימות ורציפות. f : U V ו, V R m, U R n משפט 7.8 (כלל השרשרת) יהיו.g : V R k נניח כי f דיפרנציאבילית ב U x ו g דיפרנציאבילית ב (,y = f(x אזי φ = g f : U R k דיפרנציאבלית ב x ומתקיים D φ (x ) = D g (f(x ))D f (x ) נקודות קיצון פונקציה f : U ו R פתוחה קבוצה U R n טענה 7.3 תהי x, נניח כי ל f יש נקודת אקסטרמום מקומית ב U דיפרנציאבילית. אזי = ). f(x נקודה קריטית תהי f : U R פונקציה דיפרנציאבילית, נקודה x U נקראת נקודה קריטית אם = ). f(x משפט 7.9 (לגרנז') תהי U R n קבוצה פתוחה ו f : U R m דיפרנציאבילית ב U. אם x, y U שתי נקודות כך ש [x, y] U, אזי קיימת נקודה [y z,x] כך שמתקיים f(y) f(x) =< f(z), y x > משפט 7.4 (מיון נקודות סטציונריות) תהי U R n קבוצה פתוחה, ו f : U R פונקציה.C 2 תהי x U נקודה קריטית:. אם > ) 2 f(x (מטריצת ההסיאן מוגדרת חיובית) אזי x נקודת מינימום מקומית.2 אם < ) 2 f(x אזי x נקודת מקסימום מקומית. 3. אם ) 2 f(x אינה מוגדרת חיובית או שלילית אזי x נקודת אוכף. מסקנה 7.5 במקרה ו U R 2 פתוחה, f : U R 2 פונקציה C 2 ו U x נקודה קריטית אזי: U R n קבוצה נגזרות גבוהות ומשפט טיילור משפט 7. (נגזרות מעורבות) תהי f : U R כאשר פתוחה, נניח כי עבור i j n כלשהם קיים:. הנגזרות f xi, f xj קיימות ורציפות ב.U קיימת ורציפה ב U. f xi x j 2. הנגזרת המעורבת. f xj x i =f xi x j f xj x i בכל U ו אזי קיימת הנגזרת (הערה: בעקרון מדובר בתנאי מקומי, לכן מספיק לדרוש קיום של הנגזרות בסביבה של x ורציפות ב x). אם בנקודה x מתקיים f xx f yy > f 2 xy וכן > xx x, f נקודת מינימום מקומית..2 אם בנקודה x מתקיים f xx f yy > f 2 xy וכן < xx x,f נקודת מקסימום מקומית..3 אם בנקודה x מתקיים x,f xx f yy < f 2 xy נקודת אוכף. 9 משפט 7. (טיילור) סדר :2 נניח כי f : U R הינה x U, C 3 ו h R n כך ש U [x, x + h] אזי מתקיים f(x + h) = f(x ) + f xi (x )h i + 2 f xi f xj (x )h i h j + R 3 (h) i,j=

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות 13 בינואר 211 מרצה: אילון לינדנשטראוס מתרגל: רון רוזנטל סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: http://bit.ly/huji_notes

Διαβάστε περισσότερα

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012 פונקציות מרוכבות 80519 אור דגמי, or@digmi.org 30 בדצמבר 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ גנאדי לוין בשנת לימודים 2013 מייל של המרצב: levin@math.huji.ac.il אפשר לקבוע פגישה. הקורסלאמבוססעלאףספרספציפי,

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי (2)

חשבון אינפיניטסימלי (2) חשבון אינפיניטסימלי (2) איתי שפירא 30 ביוני 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2017. i.j.shpir@gmil.com תוכן עניינים 1 מבוא והשלמות 5 1.1 כלל לופיטל................................. 5 1.2 חקירת פונקציות..............................

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב מערך תרגיל קורס 89-33 סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי למדעי המחשב יוני 05, גרסה 0.9 מבוא נתחיל עם כמה דגשים: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z. פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012 חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 836 II אור דגמי, or@digmi.org ביוני אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ ארז לפיד בשנת לימודים נושאים לקורס. המרחב.C(K). קירוב ע י פולינומים, משפט Stone-Weirstrss

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות סוכם ע"פ הרצאות פרופ' מ.קריבלביץ' 1.2 אידאלים של פולינומים הגדרה 1.13 יהי F שדה. קבוצת פולינומים [x] I F נקראת אידיאל ב [ x ] F אם מתקיים:.0 I.1.2 לכל f 1, f 2 I מתקיים.f

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי סיכומי הרצאות 9 ביולי מרצה: פרופ מתניה בן ארצי מתרגל: מני אקא mennyk@mth.huji.c.il סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmil.com הערה לקראת המבחנים כרגע חסרים מספר דברים

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה.

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. 1 לוגיקה סיכום הגדרות משפטים ודברים חשובים אחרים תודה רבה לניצן פומרנץ על הסיכום הכולל של החומר הקדמה הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. הערה 0.2 נשים לב שלכל שפה יש רובד

Διαβάστε περισσότερα

משוואות דיפרנציאליות רגילות 80320

משוואות דיפרנציאליות רגילות 80320 1 משוואות דיפרנציאליות רגילות 832 דויד שיפרוט 25 ביוני 215 תוכן עניינים Á מבוא 2 1 הגדרות................................................................ 2 4 ÁÁ משוואות מסדר ראשון משוואה לינארי מסדר ראשון:.....................................................

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות 1" (80420) באוניברסיטה העברית,

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס תורת ההסתברות 1 (80420) באוניברסיטה העברית, תורת ההסתברות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות " (80420) באוניברסיטה העברית, 8 2007. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא.............................................

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית

מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים I הרצאות 5 1 מנהלות......................................... 5 2 חבורה יסודית...................................... 5 2.1 הגדרות ועובדות

Διαβάστε περισσότερα

תקצרי הרצאות של פרופ. רועי משולם

תקצרי הרצאות של פרופ. רועי משולם - 240491 מתמטיקה למדעי החיים 1 תקצרי הרצאות של פרופ רועי משולם הרצאה 2 מושגים בגיאומטרית המישור והמרחב 1 u u ( ) המישור האוקלידי: R} R { נקודת המישור נקראת ) ( נקראות וקטורים אורך הוקטור: ) ( נתון ע"י

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה! הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב 24/10/2007 מרצה: פרופ אורנה גרימברג מתרגלים: גבי סקלוסוב,קרן צנזור,רותם אושמן,אורלי יהלום לוגיקה ותורת הקבוצות 234293 אביבתשס ז מבחןסופי מועדב הנחיות: משךהבחינה:

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx פרק 9: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי O 9 ושל בציור שלפניך מתוארים גרפים של הפרבולה f() = נמצאת על הנקודה המלבן CD מקיים: הישר = 6 C ו- D נמצאות הפרבולה, הנקודה נמצאת על הישר, הנקודות ( t > ) OD = t נתון:

Διαβάστε περισσότερα

גירסה liran Home Page:

גירסה liran   Home Page: גירסה 1.00 26.10.03 סיכום באלגברה א מסמך זה הורד מהאתר.hp://uderwar.liveds.co.il אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים:

אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים: אוסף שאלות מס. 5 שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), חשבו את הנגזרת (t) g בשתי דרכים: באופן ישיר: על ידי חישוב ביטוי לפונקציה g(t) וגזירה שלו, בעזרת כלל השרשרת. בידקו

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

סיכום מד"ר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב ע"י: אדריאן קיריש נערך ע"י: תומר שטח 28 ביוני 2011

סיכום מדר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב עי: אדריאן קיריש נערך עי: תומר שטח 28 ביוני 2011 סיכום מד"ר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב ע"י: אדריאן קיריש נערך ע"י: תומר שטח 28 ביוני 2011 1 תוכן עניינים 3 משפט קיום ויחידות............................. 1 3............................ משוואות אוטונומיות

Διαβάστε περισσότερα

ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple  Ó

ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple Â Ó ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ ÂȈ appleâù Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â ÈÂÒÈapple Â Ó תוכן העניינים 7 9 6 0 8 6 9 55 59 6 מושגים בסיסיים... אינטרוולים וסביבות... מאפיינים של פונקציות... סוגי הפונקציות ותכנותיהם...

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

הרצאות בבקרה לא-לינארית (046196) פרק 7.

הרצאות בבקרה לא-לינארית (046196) פרק 7. הרצאות בבקרה לא-לינארית (04696) מאת פרופ' נחום שימקין טכניון הפקולטה להנדסת חשמל חורף תשס"ה פרק 7. יציבות מוחלטת של מערכות משוב נעבור עתה לדיון ביציבות של מערכת משוב מסוג מסוים הכוללת מערכת לינארית ורכיב

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod )

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod ) שדות הגדרת השדה: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות אחת נקראת חיבור ותסומן ב + האחרת נקראת כפל ותסומן ב * כך שתתקיימנה הדרישות הבאות: a, b F a b. סגירות לחיבור: F a F a 0 0 a a a, b, c F a

Διαβάστε περισσότερα

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר עי החמישייה: 2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory trial version

PDF created with pdffactory trial version הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס אלגברה לינארית 2 (80135) באוניברסיטה העברית, אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 ס"מ = CD.

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 סמ = CD. טריגונומטריה במישור 5 יח"ל טריגונומטריה במישור 5 יח"ל 010 שאלונים 006 ו- 806 10 השאלות 1- מתאימות למיקוד קיץ = β ( = ) שאלה 1 במשולש שווה-שוקיים הוכח את הזהות נתון: sin β = sinβ cosβ r r שאלה נתון מעגל

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 2: (או הסתברות ותהליכים סטוכסטים)

תורת ההסתברות 2: (או הסתברות ותהליכים סטוכסטים) תורת ההסתברות : או הסתברות ותהליכים סטוכסטים סוכם על ידי תום חן tomhen@gmail.com בדצמבר 04 שימו לב יתכנו שגיאות בטקסט עידכונים יתבצעו במהלך הסמסטר נא לדווח שגיאות ל gidi.amir@gmail.com או לחלופין שלשמור

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות

לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות גדי אלכסנדרוביץ' תוכן עניינים 2..................................................... מבוא 1 3.................................... תורת הקבוצות הנאיבית מושגי יסוד

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות (1) 80420

תורת ההסתברות (1) 80420 תורת ההסתברות (1) 80420 איתי שפירא 4 באוקטובר 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2017. i.j.shapira@gmail.com תוכן עניינים 0 מבוא והשלמות 6 0.1 נושאים מתורת הקבוצות.......................... 6 0.2 נושאים

Διαβάστε περισσότερα

אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות ד ר אסף חסון, אוניברסיטת בן גוריון בנגב

אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות ד ר אסף חסון, אוניברסיטת בן גוריון בנגב אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות ד ר אסף חסון, אוניברסיטת בן גוריון בנגב יובל אדם Young man, in mathematics you don t understand things. You just get used to them. - John von Neumann תוכן עניינים 2 פרולוג....................................

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאלגברה ליניארית

מבוא לאלגברה ליניארית BEN GURION UNIVERSITY BE ER SHEVA, ISRAEL אוניברסיטת בן גוריון בנגב באר שבע מבוא לאלגברה ליניארית אמנון יקותיאלי המחלקה למתמטיקה אוניברסיטת בן גוריון amyekut@mathbguacil חוברת זו מיועדת לקורסים באלגברה

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015

לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015 לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015 רשימות בקורס לוגיקה למדעי המחשב, סמסטר אביב תשע"ה, אוניברסיטת תל אביב. טעויות קורות אשמח שתעדכנו אותי עליהן ושאתקנן. אמיר שפילקה shpilka@post.tau.ac.il שרייבר

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 0 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי I גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני גירסה 1.00 5.12.2002 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני מסמך זה הינו השני בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות.

לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות. לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 1. מבוא לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות. 1.1. גאומטריית המישור. אוקלידס רצה לדעת

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα