Şiruri de tip Fibonacci

Transcript

1 Şiruri de tip iboacci Sirul lui iboacci este o secveta de umere i care fiecare umar se obtie di suma precedetelor doua di sir. Astfel, primele 10 umere ale sirului lui iboacci sut: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... (primele 2 umere sut predefiite, iar restul se obti i mod recursiv, di suma precedetelor doua: 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2, samd...) Secveta umerelor lui iboacci a fasciat de-a lugul istoriei pe foarte multi oamei de stiita, matematiciei, fiziciei, biologi, si, cotiua sa o faca chiar si i prezet. Problema iepurilor iid dată o pereche de iepuri, se ştie că fiecare pereche de iepuri produce î fiecare luă o ouă pereche de iepuri, care la râdul său devie productivă la vârsta de o luă. Să se determie câte perechi de iepuri vor fi după lui. Leoardo di Pisa, cuoscut sub umele iboacci (prescurtare de la filius Boacci adică fiul celui bu ) este cel care a folosit acest şir petru a rezolva problema iepurilor. iboacci, ăscut î Italia, î 1175, a fost educat î Nordul Africii, ude tatăl său deţie u post diplomatic. Reveid î Italia, î 1202 publică u tratat de matematică cu titlul "Liber abaci". Acest tratat coţie aproape toată iformaţia acelui timp, referitoare la aritmetică şi algebră, şi care a avut u rol importat pe parcursul următoarelor secole î dezvoltarea matematicii î Europa. Î particular, î baza acestui tratat, europeii au luat cuoştiţă de scrierea arabică a umerelor, adică de sistemul de umeraţie poziţioal arab, care este cel folosit şi î zilele oastre. La fel, î 1220 publică "Practica geometrica", î 1225 "Liber quadratorum". Tratatul "Liber abaci" a fost reeditat î Ua di problemele discutate i "Liber abaci" este "problema iepurilor", (p i editia aului 1228). Numele lui iboacci apare, pri extidere, î deumirea uor structuri de date (heap iboacci) sau metode de programare (căutare iboacci). 1. Rezolvarea matematică a recureţei ormal, şirul este defiit pri următoarea recureţă: (1) f =f -1 +f -2, ude (2) f 0 =0 şi f 1 =1 Petru a găsi forma geerală a şirului, presupuem că: (3) f =λ. ude λ este u parametru real. Substituim (3) î (1) şi obţiem: λ = λ -1 +λ -2, sau echivalet λ (λ 2 -λ-1)=0. 1

2 Cum f 0, ultima egalitate devie: (4) λ 2 -λ-1=0 adică o ecuaţie pătratică î raport cu parametrul real λ, cu soluţiile: Şirurile de forma verifică egalitatea (1). De aici deducem că ecuaţia de forma (1) posedă mai multe soluţii (o ifiitate). Se verifică uşor că toate şirurile de forma: ude c 1,c 2 sut costate reale fixate, verifică recureţa (1). olosid valorile iiţiale di (2), obţiem că: cu soluţia : Î geeral, termeul de rag di şirul de iboacci are forma: 2. Probleme rezolvate 1. Scara. Î câte moduri diferite poate să urce u om pe o scară cu trepte, dacă el poate urca ua sau două trepte odată? Soluţie: Notăm cu [] umărul căutat. Avem petru =1, [1]=1 (urcă o sigură treaptă) iar dacă =2, [2]=2, adică urcă (1) 1+1 sau (2) 2 trepte. Petru a ajuge la ivelul, adică [], Gigel poate urca ultima dată o treaptă sau două trepte. Deci, []=[-1]+[-2], cu [1]=1, [2]=2. Soluţia problemei este termeul de rag +1 al şirului lui iboacci. Diagrama de mai jos prezită toate posibilităţile de a urca o scară cu =4 trepte. Semul X idică treapta care a fost folosită la u pas. 2

3 2. Scara 2. Georgel vrea să ştie î câte moduri diferite poate să urce o scară cu trepte, dacă poate urca ua sau k trepte odată, ude k este dat. De exemplu, câd k=3, Georgel urcă ua sau trei trepte odată. Soluţie: Petru a ajuge la ivelul, se poate urca de la ivelul -1 sau -k. Î acest caz relaţia de recureţă este []=[-1]+[-k]. Rămâe să stabilim care sut valorile iiţiale. Astfel, avem că [1]=1, [2]=1,,[k-1]=1 şi [k]=2. Rezultă că [k+1]=[k]+[1]=3,ş.a.m.d. 3. Scara 3. Georgel vrea să ştie î câte moduri diferite poate să urce o scară cu trepte, dacă poate urca ua sau k trepte odată, ude k este dat. Di cauza efortului depus, după ce a urcat k trepte poate să urce umai ua, după care poate cotiua cu 1 sau k trepte. De exemplu, câd =5, k=2, Georgel are posibilităţile (1,1,1,1,1), (1,1,1,2), (1,1,2,1), (1,2,1,1), (2,1,1,1), (2,1,2), deci î total 6 modalităţi. Soluţie: La fel ca la problema aterioară, petru a ajuge la ivelul, Georgel poate urca ultima dată 1 sau k trepte odată. Î cazul î care ultima dată a urcat k trepte, îseamă că îaite de acestea a urcat o sigură treaptă (altfel u se mai respectă ceriţele problemei!), deci vie de la ivelul -k-1. Obţiem relaţia de recureţă: []=[-1]+[-k-1], petru >k,iar valorile iiţiale sut [i]=1, petru i=1,,k-1 şi [k]=2. 4. Blocuri. Georgel are o badă de dimesiui 1x pe care vrea să o acopere cu blocuri de tip 1x1 egre şi 1x3 roşii. Câte modalităţi de arajare a blocurilor există? Soluţie: Este aceeaşi relaţie de recureţă de la scara 2: []=[-1]+[-k] cu >k şi aceleaşi codiţii iiţiale. 3

4 5. Blocuri 1-3. Georgel are o badă de dimesiui 1x pe care vrea să o acopere cu blocuri de tip 1x1 egre şi 1x3 roşii, astfel îcât oricare două blocuri roşii (care pot fi de orice lugime) să fie separate de cel puţi u bloc egru. Câte modalităţi de arajare a blocurilor există? Soluţie: Este aceeaşi relaţie de recureţă de la scara 3: []=[-1]+[-k-1] şi aceleaşi codiţii iiţiale. 6. Blocuri Georgel are o badă de dimesiui 1x pe care vrea să o acopere cu blocuri de tip 1x1 egre, 1x2 verzi şi 1x3 albastre. Câte modalităţi de arajare a blocurilor există? Soluţie: Notăm cu [] umărul de posibilităţi de acoperire cerut î euţ. Ultimul bloc adăugat poate fi oricare tip de bloc, astfel că di restricţiile impuse rezultă relaţia de recureţă: []=[-1]+[-2]+[-3] cu codiţiile iiţiale [1]=1, [2]=2, [3]=3. Aceste umere sut cuoscute sub umele de umere Triboacci. Termeul Explicaţie [1]=1 Codiţii iiţiale: 1 [2]=2 Codiţii iiţiale: 1-1,2 [3]=4 Codiţii iiţiale: 1-1-1,1-2,2-1,3 [4]=[3]+[2]+[1]= , 1-1-2, 1-2-1, 2-1-1, 2-2, 1-3, 3-1 [5]=[4]+[3]+[2]= , , , , , 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1, 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1, 2-3, 3-2 Mai jos sut reprezetate toate acoperirile posibile petru o bada de lugime 5: 4

5 7. X şi O. ie S[] o secveţă de caractere costruită umai di simbolurile X şi O astfel îcât să u apară două simboluri O alăturate. Care este umărul de secveţe S[]? Soluţie: Notăm cu [] umărul de secveţe. Costruim primele secveţe şi obţiem: Termeul [1]=2 [2]=3 [3]=5 Explicaţie Codiţii iiţiale: X, O Codiţii iiţiale: XX, XO, OX XXX, XXO, XOX, OXX, OXO Di modul de costruire a şirurilor S[] se observă că toate se obţi di şiruri care îcep cu prefixul X sau OX şi respectă recureţa lui iboacci []=[-1]+[-2], cu valorile iiţiale [1]=2, [2]=3. 8. Domio 1. O tablă dreptughiulară de tip 1x este acoperită folosid piese de domio de dimesiui 1x2 şi pătrate de tip 1x1. Câte modalităţi de acoperire a tablei există? Soluţie: Di primele acoperiri se observă că umărul acestea sut 1, 2, 3, 5 adică umerele căutate sut umerele lui iboacci. 5

6 9. Domio 2. O tablă dreptughiulară de tip 2x este acoperită folosid piese de domio de dimesiui 1x2 sau 2x1. Câte modalităţi de acoperire a tablei există? Soluţie: Notăm cu [] umărul de acoperiri ale uei table de tip 2x. Avem [1]=1, [2]=2. Î geeral, dacă la sfârşit apare o piesă verticală, umărul de acoperiri este dat de [-1] iar dacă apar două piese aşezate orizotal, umărul de acoperiri este [-2]. 10. Domio 2x. O tablă dreptughiulară de tip 2x este acoperită folosid piese de domio de dimesiui 1x2 (de culoare roşie) şi pătrate 2x2 (de culoare galbeă). Câte posibilităţi de acoperire a tablei există? Soluţie: Notăm cu [] umărul căutat. Ultima coloaă poate fi acoperită de u domio vertical, cu [-1], sau u pătrat. Pătratul poate fi format î două moduri: u pătrat 2x2 sau di două domiouri orizotale. Posibilităţile î care domiourile sut plasate vertical a fost deja umărate î [-1]. Relaţia de recureţă este []=[-1]+2*[-2]. Valorile iiţiale sut [1]=1 şi [2]=3, iar [3]=5, [4]= Variate de implemetare î limbajul C++ 1) Variata recursivă, este uşor de scris dar ieficietă: 1. log ib(log ) 2. { 3. if(==0) (==1)retur ; 4. else retur ib(-1)+ib(-2); //aplicăm formula de recureţă 5. } 2) Î cazul apelului recursiv se ajuge ca uele valori să se calculeze de mai multe ori, pri ramificarea apelurilor recursive. Elimiarea calculelor redudate se poate face pri tehica memoizării care duce la calcularea eficietă a valorilor di şirul lui iboacci. Dezavatajul acestei metode este acela că foloseşte u spaţiu de memorie care depide de, adică O(). 1. log [50];//vector global (iiţializat cu 0) log ib(log ) 4. { 5. if(==0) (==1)retur ; 6. if ([]>0) retur []; //dacă valoarea a fost deja calculată o returăm 7. else retur ib(-1)+ib(-2); //aplicăm formula de recureţă 8. } 6

7 3) Variata iterativă, folosid vectori este eficietă ca timp, dar cosumă u spaţiu de memorie î fucţie de, O(): 1. log [50];//vector global (iiţializat cu 0) log ib(log ) 4. { 5. it i; 6. [0]=0; 7. [1]=1; 8. for(i=2;i<=;i++) 9. [i]=[i-1]+[i-2];//aplicam relatia de recureta 10. retur []; 11. } 4) Variata iterativă optimă foloseşte memorie costată, declarăm doar 3 variabile îtregi a,b,c. Acestea corespud celor trei valori di defiiţia recursive a şirului: 1. log ib(log ) 2. { 3. log i,a,b,c; 4. if(<=1)retur ; 5. a=0; 6. b=1; 7. for(i=2;i<=;i++) 8. { 9. c=a+b; 10. a=b; 11. b=c; 12. } 13. retur c; 14. } 5) Variata iterativă cu memorie costată poate fi scrisă folosid doar variabilele a şi b: 1. log ib(it ) 2. { 3. log i,a,b; 4. if(<=1)retur ; 5. a=0;b=1; 6. for(i=2;i<=;i++) 7. { 8. b=a+b; 9. a=b-a; 10. } 11. retur b; 12. } 7

8 6) Variata iterativă poate fi folosită petru calcularea termeilor şirului lui iboacci folosid operaţiile cu umere mari: 1. void ib(log,log a[100001],log b[100001],log c[100001]) 2. { 3. it i; 4. a[0]=1;a[1]=0;//iitializarea lui a 5. b[0]=1;b[1]=1;//iitializarea lui b for(i=2; i<=; i++) 8. { add(a,b,c);//c=a+b 9. copiere(a,b);//a=b 10. copiere(b,c);//b=c 11. } 12. retur; //rezultatul este i vectorul c 13. } 7) Termeii şirului lui iboacci pot fi evaluaţi mai rapid, î timp logaritmic O(log 2 ), folosid metoda matricială. Scriem relaţiile de recureţă ditre termeii şirului sub forma: f +1 = f + f -1 f = f -1 + f -2 Aceste ecuaţii pot fi scrise sub forma matriceală iar pri iducţie matematică se demostrează că: M 1 1, ude M 1 0 Ridicarea la puterea a matricii M poate fi făcută î timp logaritmic, O(log 2 ), ceea ce reduce semificativ timpul de calcul petru valori mari ale ragului. Puterea x poate fi calculată î timp logaritmic folosid metoda Divide et Impera: x 1, k x ( x ) k 2 ( x ), 2 dacă 0, dacă 2k 1 dacă 2k 1. log log P(log a,log b) 2. { log log p=a,r=1; 3. while(b>0) 4. { if(b%2==1)r=r*p; 5. b=b/2; 6. p=p*p; 7. } 8. retur r; 9. } 8

9 9 Valoarea primelor 100 de termei ai şirului lui iboacci sut: [] [] it log log log

10 Cititorul iteresat poate găsi extideri şi probleme mai dificile