Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real
|
|
- Φώτιος Αλιβιζάτος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi cea fracţioară a uui umăr real, precum şi uele probleme reprezetative Lecţia se adresează clasei a VIII a Recomadăm şi parcurgerea materialului propus clasei a VII a petru aceeaşi etapă Data: 9 octombrie Autor: Lucia Dragomir, Liceul Băăţea Oţelu Roşu I Defiiţii, otaţii, proprietăţi Dacă u umăr real a are scrierea zecimală a = a0, aa a (evidet 0 defieşte pri [ a] a Z şi a, a, a, { 0,,,,9 } ), atuci partea îtreagă a lui a se otează cu [ ] a0, dacă a 0 = a0, dacă a < 0 a şi se Mai simplu de reţiut: partea îtreagă a lui a este cel mai mare umăr îtreg care u îl depăşeşte pe a (este aşadar cel mult egal cu a); dacă facem apel la reprezetarea pe axă a umerelor reale, atuci [ a] este primul umăr îtreg di stâga lui a Î baza axiomei lui Arhimede, se poate spue şi: petru orice umăr real a, există u uic umăr îtreg, otat cu [ a ], astfel îcât [ a] a < [ a] + ; aşadar, petru orice a R avem: [ a] umai dacă k a < k + Pri defiiţie, partea fracţioară a umărului real a este { a} = a [ a] ; evidet { } [ 0,) = k Z dacă şi a Vom trece î revistă câteva proprietăţi şi rezultate utile, des folosite î rezolvarea problemelor, fără să uităm a spue că acestea vor uşura trecerea peste uele obstacole apărute, de exemplu, î aritmetică, î aaliza matematică, î chestiui de umărare şi combiatorică P [ ] a < a a, a R P a < k [ a] < k, a R, k Z P [ k + α ] = k k Z α [ ),, 0, P [ a + k] = [ a] + k, a R, k Z Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0
2 P 5 { a + k} = { a}, a R, k Z Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 P 6 [ ] [ ] { } { } { } { } {[ ]} a = a, a = a, a = a = 0, a R P 7 Dacă, a b R şi [ a] [ b] =, atuci a b < ( Reciproca este falsă; e suficiet u cotraexemplu: a =, b = ) P 8 { a} = { b} ( a b) Z, a, b R P 9 [ a] + [ b] [ a + b] [ a] + [ b] +, a, b R P 0 [ x] + [ x] =, x R \ Z a + a + = a, a R (idetitatea lui Hermite; de remarcat că aceasta admite o P [ ] [ ] a + a + a a a, a, = R N ) geeralizare destul de des utilizată: [ ] [ ] P Expoetul umărului prim p di descompuerea î factori primi ai umărului! este + p + + p p Să se arate că [ a] [ b], II Probleme istructive = Ndacă şi umai dacă a = b Soluţie: Dacă a = b prima egalitate este evidetă Presupuâd că a b şi [ a] [ b], (Gheorghe Adrei, OJ Costaţa, 996) = N,obţiem a { a} b { b} ( a b) { a} { b} (,) = =, N Dacă a > b, membrul stâg al ultimei egalităţi poate fi oricât de mare, cotradicţie Aalog dacă a < b, aşadar a = b Dacă, a b R, să se arate că { a} + { b} = dacă şi umai dacă ( a b) + Z şi a, b R \ Z Soluţie: Dacă a, b R \ Z şi ( a + b) Z,atuci { a} + { b} [ 0, ); cum { a} + { b} = a [ a] + b [ b] Z,deducem că { a} + { b} { 0, } Deoarece { a} { b} 0 am ajuge la, a b Z, cotradicţie), obţiem { a} + { b} = Reciproc, dacă { a} { b} { a} 0, { b} 0 şi, di = { a} + { b} = a [ a] + b [ b], deducem ( a b) + Z (Gheorghe Adrei) + (î caz cotrar + =, avem Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0
3 Să se determie partea îtreagă a umărului Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 +, N (Cocurs Florica TCâmpa,00) Soluţie: Deoarece < + +, N,deducem că + + < + şi astfel + = +, N Să se arate că partea fracţioară a umărului +, N este mai mică decât 0,5 Soluţie: Deoarece < + < +, N, avem că { } cu + = + Rămâe de arătat că (Cocurs Uirea,00) + = şi deci + < 0, 5, ceea ce este echivalet + < 0, < + + 0, 065, ultima iegalitate fiid evidet adevărată 5 Să se calculeze suma S = , N (Cocurs Reghi,005) + Soluţie: Folosid P, avem imediat S = ; k + deoarece 0 < <, k N, k (iegalitate imediată), ajugem la S = + + = + k 6 Să se rezolve ecuaţia [ x] [ x] [ x] [ x] = 0 (Adrei Eckstei, OL Timiş, 009) Soluţie: Este aturală folosirea proprietăţii P 0 (cu evideta observaţie că [ x] + [ x] = 0, x Z ) Avem astfel că, dacă x Z, ecuaţia coduce la = 0, evidet fals, deci ecuaţia u are soluţii îtregi Dacă x Z şi x Z, se ajuge la egalitatea + ( ) + = 0 (falsă şi aceasta) Dacă x Z, dar x Z, atuci [ x] [ x] [ x] [ x] = 0 + ( ) + = 0, aşadar orice x Z petru care x Z este soluţie a ecuaţiei, mulţimea soluţiilor acesteia fiid + S = Z Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0
4 Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a Să se calculeze suma S = (OL Arad,006) Soluţie: Pri ridicări la pătrat se arată imediat că + ( + ) < +, N, şi deci ( + ) = +, N Folosid acest rezultat, deducem imediat că S = = 58 8 Se cosideră umerele p, q, q p N şi ( ) are partea fracţioară strict mai mare decât 0,75 Soluţie: Di q p rezultă că Deducem astfel că p a = p + q + p Să se arate că a este iraţioal şi p < p + q p + p < p + p + şi astfel (Adria PGhioca,ON 000) p < p + q < p + + q R \ Q Deoarece a = p + q + p p + q şi p, obţiem şi că a R \ Q Cosiderăm acum ( ) b p q p < + <, rezultă că b < Să observăm acum că a + b = ( p + q) = c N, aşadar c < c b = a < c, de ude [ a] = c şi deci { a} = a [ a] = c b c + = b > = + Deoarece 0 ( p q p) 9 Să se arate că + =, + + N (Gheorghe Eckstei) Soluţie: Dacă = k N, atuci k k k ( k ) k ( k ) < + < + + (aţi sesizat ultimul pas!?) Evidet acum : + > k + + şi = + = + + ( k ) ( k ) < k + Ultima iegalitate este adevărată deoarece ea este succesiv echivaletă cu: ( ) ( ) k k + < ( k + ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) < + + < + Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0
5 Aşadar + = k =, + + N Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 k k 0 Să se arate că pri împărţirea lui k Zla N se obţie câtul şi restul Soluţie: Notăm câtul şi restul cu q, respectiv r şi avem: k = q + r, cu 0 r < Deducem acum: q + r k q + k q = < = q +, aşadar q = Pe de altă parte, k k k q + r = = q = r Observaţie: Această problemă pue î evideţă faptul că, dacă N, atuci î mulţimea {,,,,k } avem exact k multipli de Să se determie câte umere aturale eule, mai mici decât 00, u sut divizibile ici cu, ici cu Soluţie: Ne referim aşadar la mulţimea {,,,,99 } î care avem 99 = 9 de umere divizibile cu 99 şi = de umere divizibile cu Am fi poate tetaţi să dăm rezultatul 99 (9 + ), îsă trebuie să remarcăm că uele umere au fost umărate de două ori (de exemplu 6,, 8, ) 99 umărul acestora este egal cu = 6 Abia acum putem da rezultatul corect: avem 99 (9 + 6) = de umere cu proprietatea di euţ Observaţie: Să remarcăm aici că soluţia foloseşte de fapt u biecuoscut pricipiu de umărare, aume Pricipiul icluderii şi excluderii Este vorba despre următorul rezultat: () Dacă A şi B sut două mulţimi fiite, atuci A B = A + B A B (pricipiul icluderii şi excluderii petru două mulţimi) () Dacă A, B, C sut trei mulţimi fiite, atuci A B C = A + B + C A B B C C A + A B C (pricipiul icluderii şi excluderii petru trei mulţimi) Să se determie care este expoetul lui î descompuerea î factori primi ai umărului 00! = Soluţie: Î mulţimea {,,,,00 } avem = 50 de umere divizibile cu ; ditre aceste 50 de 5 Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0
6 umere, fiecare al doilea este divizibil cel puţi cu puterea a doua a lui sut de umere; ditre acestea, fiecare al doilea este divizibil cel puţi cu cotiuare, ţiem cot că ( ) k+ cu k { } Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a = de astfel Raţioăm la fel î 7 > 00 şi că fiecare factor al lui 00! care este divizibil cu k, dar u şi,,,,,5,6,, se socoteşte, î modul idicat, de k ori ca fiid divizibil cu,,,, k Expoetul căutat este astfel = = Observaţie: Evidet, puteam folosi direct proprietatea P, ţiâd cot doar de faptul că 00 0,, 7 k = k N k ; am preferat îsă aici să vedem efectiv cum se ajuge la aceasta Dacă a, b, c, d sut patru umere aturale cosecutive eule,să se arate că a + b + c + d = a + b + c + d Soluţie: Cosiderăm a =, b = +, c = +, d = +, N şi otăm (Daa Piciu,Cocurs GhŢiţeica,006) x =, y = + 6 Pri ridicări la pătrat se arată imediat că < + 6 şi < + 6, de ude ajugem la + < + = ; deducem astfel că + 5 [ x] + 6 = [ y] 5 x 6 y Deoarece + 6 u este pătrat perfect ( pătratele perfecte sut de forma m sau 8p + ), rezultă + 5 = + 6, adică [ x ] [ y ] = Să se determie x, y R petru care [ x] { y} { x} [ y] = = (Cocurs GM, 006) Soluţie: Deoarece { y} [ 0,), di prima ecuaţie deducem că [ x ] =, de ude { y } = ; aalog, di a doua ecuaţie avem că [ y ] = şi { } x =, deci x = +, y = 6 Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0
7 5 Să se arate că, dacă,,, { a b x y } mi, < Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 a b x ysut umere reale astfel îcât [ ax by] [ bx ay] + = +,atuci Soluţie: Folosid P7 avem [ ax + by] = [ bx + ay] ( ax + by) ( ay + bx) <, de ude a( x y) + b( y x) < ( a b)( x y) <, cocluzia fiid imediată 6 Să se determie umerele aturale petru care = + Soluţie: Dacă = k N, atuci avem = k +, adică k + = k, de ude (Traia Duţă,OL Braşov,006) (Bulleti Math,Caada) k k + < k + ; pri ridicare la pătrat, prima iegalitate coduce la k ( k ) şi, deoarece k N, obţiem k { 0,,,} (codiţie ecesară,u şi suficietă); este îsă suficiet să îlocuim valorile obţiute şi ajugem doar la k = sau k =, de ude = 7 sau = 0 7 Să se determie cel mai mare umăr atural x petru care 000!este divizibil cu Soluţie: Numărul este prim şi divide fiecare al -lea umăr atural, aşadar există 6+x (Juriu OBMJ,000) 000 = 86 umere care sut mai mici sau egale cu 000 şi sut divizibile cu Aalog, doar trei umere mai mici sau egale cu 000 sut divizibile cu mare umăr atural căutat este x = 89 6 = 8, deci 8 Determiaţi umerele aturale care verifică următoarele proprietăţi: 89 divide 000!; rezultă că cel mai a) este u umăr atural de trei cifre, ultimele două fiid egale cu b) ordie) este u umăr atural de patru cifre, acestea fiid,0,, ( u eapărat î această (Lucia Dragomir, Cocurs RMCS, 0) Soluţie : = a00 00 a < 00 a + () Notăm cu A mulţimea umerelor de patru cifre formate cu cifrele, 0,, ; cel mai mic elemet al acestei mulţimi este 0, iar cel mai mare ot ; di = k A deducem că 0 şi <, de ude Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0
8 < Di () rezultă astfel că {,,5} a = se ajuge la { 6000, 600, 600} a = Petru 5 euţ Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 a Petru a = se obţie k A, la fel petru 9 Să se arate că dacă m şi sut umere aturale prime ître ele, atuci m m ( ) m ( m )( ) =, umere care verifică ambele codiţii di Soluţie: Cosiderăm î pla puctele A(,0), B(, m), C(0, m) Î iteriorul dreptughiului OABC se află ( m )( ) pucte de coordoate îtregi; deoarece ( ) astfel de pucte, iar sub diagoală se află ( m )( ) m, =, pe diagoala OB u se află pucte de forma ( k h) (Gauss),, cu k, h N Petru k km fixat, există pucte şi astfel, î total, sub diagoala OB sut km pucte Idetificâd cele două rezultate ajugem la ( m )( ) k= 0 km = Observaţie: Soluţia geometrică oferă şi avatajul de a remarca faptul că egalitatea di cocluzie este adevărată şi dacă umerele m şi,,schimbă locurile 0 Se cosideră umerele aturale m şi, Să se determie umerele reale x petru care [ x + ] + x + x x m = k= 0 (Mircea Becheau,ON,988) Soluţie: Presupuem că pri împărţirea lui m la se obţie câtul q şi restul r Petru ca egalitatea di euţ să fie adevărată, deoarece părţile îtregi di membrul stâg pot diferi pri cel mult o uitate, trebuie ca cei mai mici termei di membrul stâg să fie egali cu q, iar r ditre ei să fie egali cu q + r = atuci [ ] Dacă 0, x + = x + = = x + = q coduce la q x + x, < + < < x + < q + de ude Dacă r 0, trebuie să avem x x + [ ] r r x + = q +, de ude x q, q x + x x q = + = = + = r + şi 8 Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0
9 Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 q x + < < x + < q + x + < < x + < q + x q, q r + r + + r r + III Probleme propuse x x () Rezolvaţi ecuaţia = () Petru orice x, y, z, x y z se otează α = + + y + z z + x x + y Determiaţi α Ioaa şi Gheorghe Crăciu, Plopei () Demostraţi că, petru orice x ( 0,), există Z petru care { x} () Arătaţi că + = 0, N < Olimpiada locală Bucureşti, 007 Olimpiada locală Iaşi, 007 (5) Determiaţi umărul elemetelor mulţimii M = { +, 0} N Bibliografie: [] Gheorghe Adrei, Io Cucurezeau, Costati Caragea Probleme de algebră, Fucţiile parte îtreagă şi parte fracţioară, Editura Gil, 996 [] Mihai Oucu Drimbe 00 de idetităţi şi iegalităţi cu partea îtreagă, Editura Gil, 00 [] (colectiv) Matematică (olimpiade şi cocursuri şcolare) Editura Paralela 5, 009, 00, 0 [] Gazeta Matematică (GM), colecţia [5] Revista de Matematică di Timişoara, colecţia 00 0 [6] Revista de matematică a elevilor şi profesorilor di Caraş Severi (RMCS), colecţia Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0
Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a
CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a
Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IV-a SUBIECTUL Aflaţi difereţa ditre umerele aturale [( 4 a : ) :1 5] 4 6 = 4 [( b 7 ): 5 8] 8 5 = 7 a şi b ştiid că ele verifică egalităţile: Gheorghe Loboţ Suma a două
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραEXAMENE ŞI CONCURSURI
8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )
Διαβάστε περισσότεραPolinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραExamenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Διαβάστε περισσότεραBAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότερα4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραSoluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. 2/2013
Rezultă căb 7 +b m 5 b 0, m, N şi, de aici, cocluzia problemei. XII.145. Fie (A, +, ) iel cu 1 0, avâd u umăr impar de elemete, î care are loc implicaţia:,,dacă x xy + y = 1 + 1 + 1 + 1, atuci x + y =
Διαβάστε περισσότεραClasa a V-a. Clasa a VI-a. Clasa a VII-a
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ MATEMATICA, DE DRAG EDIŢIA I, 4-6006 Clasa a V-a a+ b Numerele a, b, c, d N verifică relaţia: b+ c + c+ d + d+ a + = 5 Calculaţi: a + b+ c+ d 7 (G M /006) Suma a două
Διαβάστε περισσότεραClasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραSOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ
CLASA a IV-a U gospodar are î curte găii și iepuri, î total 30 de capete și 84 de picioare. Săptămâal, petru hraa uei păsări sut folosite, î medie, 500 g de grăuțe, iar petru hraa uui iepure de 4 ori mai
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραSala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ
Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότεραDETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR
DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR IOANA MONICA MAŞCA Prezetăm mai multe procedee de calcul al puterilor matricelor ilustrate pri probleme cu soluţii cometate. Putem realiza selecţii de metode şi/sau exemple
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA NAŢIONALĂ aprilie FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL Filiera tehologică: profilul
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότερα5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότερα1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =
Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,
Διαβάστε περισσότεραAlgebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen.
Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1 - rezolvari mate MT1
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri
Διαβάστε περισσότερα3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela
MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Διαβάστε περισσότερα3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Διαβάστε περισσότερα6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Διαβάστε περισσότερα2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE
Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραAnaliza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Διαβάστε περισσότεραîn care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
Διαβάστε περισσότεραStructuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat 2009
Grup Fie G-evidã şi *: GxG G, (x,y) x*y, œx,y0g. Axiomele grupului: G1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,z G (asociativitatea); G2. e G astfel îcât x*e = e*x = x, x G (e elemet eutru); G3. x G x G astfel îcât x *x
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV
CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV Prezetarea uor elemete de bază di teoria mulţimilor, teoria relaţiilor biare, fucţii, sisteme de umere ş. a. presupue cuoscute elemete de logică matematică la ivelul maualelor
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραCERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON
CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează
Διαβάστε περισσότεραsistemelor de algebrice liniarel
Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris
Διαβάστε περισσότερα