ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΠΥΛΩΝΩΝ ΧΑΛΥΒ ΙΝΩΝ ΓΕΦΥΡΩΝ ΛΟΓΩ ΙΕΛΕΥΣΗΣ ΣΥΡΜΩΝ

Transcript

1 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΠΥΛΝΝ ΧΑΛΥΒ ΙΝΝ ΓΕΦΥΡΝ ΛΟΓ ΙΕΛΕΥΣΗΣ ΣΥΡΜΝ Ιωάης Γ. Ραυτογιάης & Αηά-Χριστιάα Αωγιάτη Σχολή Πολιτικώ Μηχαικώ, Εργαστήριο Μεταλλικώ Κατασκευώ Εικό Μετσόβιο Πολυτεχείο, Αήα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στη εργασία αυτή διερευάται το φαιόµεο του παραµετρικού συτοισµού πυλώω χαλύβδιω γεφυρώ λόγω διέλευσης συρµώ. Το πρόβληµα αάγεται στη µελέτη δυαµικής αστάειας ευύγραµµω ράβδω λιβόµεω αξοικά µε δύαµη µεταβαλλόµεη ως προς το χρόο. Εά το εύρος της λιπτικής δύαµης σε έα πυλώα είαι µικρότερο από το κρίσιµο φορτίο λυγισµού, ο πυλώας εκτελεί µόο αξοική ταλάτωση. Για ορισµέες όµως τιµές του λόγου ιδιοσυχοτήτω διαµήκους και καµπτικής ταλάτωσης, εµφαίζεται παράλληλα προς τη αξοική και καµπτική ταλάτωση µε διαρκώς αυξαόµεο εύρος που εδέχεται α οδηγήσει σε αστοχία του πυλώα. Το φαιόµεο αυτό του παραµετρικού συτοισµού εµφαίζεται ακόµα και για πολύ µικρό εύρος διακύµασης της λιπτικής δύαµης. Στη παρούσα εργασία διερευώται οι συήκες υπό τις οποίες µπορεί α λάβει χώρα το φαιόµεο αυτό. Με χρήση απλώ προσοµοιωµάτω µελετάται η επίδραση γεωµετρικώ δεδοµέω και φορτίω σε πυλώες χαλύβδιω γεφυρώ λόγω διέλευσης συρµώ και εξάγοται χρήσιµα συµπεράσµατα για το σχεδιασµό τους προς αποφυγή του φαιοµέου αυτού.. ΕΙΣΑΓΓΗ Η δυαµική αστάεια ελαστικώ συστηµάτω αποτελεί έα έο ααπτυσσόµεο κλάδο της εωρίας ελαστικότητας µε ατικείµεο προβλήµατα ταλατώσεω και ευστάειας ελαστικώ συστηµάτω. Κύριο χαρακτηριστικό τω προβληµάτω δυαµικής αστάειας είαι ότι µπορεί α λάβει χώρα αστάεια του φορέα ακόµα και για πολύ µικρό εύρος διακύµασης του δυαµικού φορτίου. Τότε ο φορέας εκτελεί ταλάτωση διαρκώς αυξαόµεου εύρους µε αποτέλεσµα αστοχία υλικού και πιαό κατάρρευση λόγω µεγάλω παραµορφώσεω. Τούτο δε µπορεί α συµβεί για τιµές δυαµικού φορτίου πολύ µικρότερες από τις ατίστοιχες του στατικού φορτίου λυγισµού. Οι γέφυρες είαι φορείς που δέχοται κατά βάση δυαµικά φορτία και συεπώς η συµπεριφορά τους έχει δυαµικό χαρακτήρα. Έστω η γέφυρα ΑΒΓ δύο αοιγµάτω l και l που διαέτει έα πυλώα ύψους l ως φαίεται στο Σχήµα α. Θεωρούµε ότι η γέφυρα εδράζεται απλά επί του πυλώα, ο οποίος δέχεται µόο κατακόρυφα φορτία λόγω της αωδοµής και της διέλευσης φορτίω κυκλοφορίας. Εά τα φορτία κυκλοφορίας είαι υπό τη µορφή συρµού κιούµεου µε ταχύτητα v, ο πυλώας φορτίζεται αξοικά µε έα λιπτικό φορτίο P(t) συαρτήσει του χρόου το οποίο είαι της µορφής P(t) P + P Φ(t) () όπου P είαι το τµήµα της λιπτικής δύαµης που οφείλεται στα µόιµα φορτία της γέφυρας και P είαι το τµήµα που οφείλεται στα φορτία κυκλοφορίας, εώ Φ(t) είαι η χροική συάρτηση τω φορτίω κυκλοφορίας (βλ. Σχήµα β).

2 Σχ. : Μοτέλο γέφυρας µε έα πυλώα υπό διέλευση συρµού και χροική συάρτηση P(t) Τότε, η εξίσωση δυαµικής ισορροπίας του πυλώα που αφορά καµπτική ταλάτωση είαι EI w (x, t) + P(t) w (x, t) + m w(x, & t) () όπου ΕΙ είαι η καµπτική δυσκαµψία του πυλώα, m είαι η καταεµηµέη µάζα του πυλώα και w(x,t) είαι το βέλος κάµψεως του πυλώα συαρτήσει του χρόου. Για τη εξ() ααζητούµε λύση της µορφής χωριζοµέω µεταβλητώ, ως εξής w(x, t) W (x) T (t) () όπου W (x) είαι οι συαρτήσεις σχήµατος που ατιστοιχού στις -ιδιοµορφές ταλάτωσης του πυλώα και T (t) είαι οι ατίστοιχες χροικές συαρτήσεις που α προσδιοριστού στη συέχεια. Οι συαρτήσεις σχήµατος προσδιορίζοται µε βάση τις συοριακές συήκες του φορέα, όπου για τη περίπτωση αµφιαρρωτής ράβδου είαι πx W (x) si () l Εισάγοτας τις εξ() και () στη εξ() έχοµε π π πx EI T (t) [ P + P Φ(t) ] T (t) + m T&& (t) si (5) l l l Για α ισχύει η εξ(5) για κάε t, πρέπει η παράσταση µέσα στη αγκύλη α είαι µηδέ και άρα έχοµε T& π π (t) + EI T (t) [ P + P Φ(t) ] T (t) (6) ml ml ή P P (t) T& π + Φ (t) + EI T (t) m P (7) l E όπου P E είαι το στατικό κρίσιµο φορτίο Euler για τη -ιδιοµορφή π EI PE (8) l Εά ω είαι οι ιδιοσυχότητες ελεύερης ταλάτωσης του πυλώα, α έχοµε π EI ω (9) ml και η εξ(7) γράφεται ως ακολούως P P (t) T& + Φ (t) + ω T (t) P () E Τέλος, ορίζουµε τα ακόλουα µεγέη

3 P ω () PE και P µ () (PE P ) όπου είαι η συχότητα ελεύερης ταλάτωσης του πυλώα που λίβεται αξοικά µε το φορτίο P και µ µια αδιάστατη ποσότητα που καλείται παράµετρος διέγερσης. Ατικαιστώτας τις εξ() και () στη εξ() και παραλείποτας το δείκτη επειδή η εξ() ισχύει για κάε, έχοµε T(t) & + µφ(t) T(t) () [ ]. ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΑΣΤΑΘΕΙΑΣ Θεωρούµε ότι η χροική συάρτηση του φορτίου P λόγω διέλευσης του συρµού είαι περιοδική και µπορεί αρχικά α προσεγγισεί µε τη µορφή Φ(t)sit (βλ. Σχήµα β), όπου είαι η συχότητα τω φορτίω του συρµού που υπολογίζεται συαρτήσει της ταχύτητας v και της µεταξύ τους απόστασης s, και ο χρόος αάγεται βάσει της σχέσης * t * π/-t. Έτσι λοιπό, η εξ() γράφεται T& (t) + [ µ cost] T (t) () Ααζητούµε πρώτα περιοδική λύση [] µε περίοδο Τ της µορφής t t T (t) a si + b cos,,5, (5) Εισάγοτας τη εξ(5) στη εξ() και εξισώοτας τους συτελεστές τω ίδιω όρω si(t/) και cos(t/) καταλήγουµε στο ακόλουο οµογεές γραµµικό σύστηµα µε αγώστους τα a και b + µ a a µ a µ (a + a ) (,5,7,) + (6a) b b µ b µ (b + b ) (,5,7,) + (6b) Παρατηρούµε ότι µόο η πρώτη εξίσωση κάε υποσυστήµατος ως προς τα a και b διαφέρει στο πρόσηµο του µ, εώ οι άλλες ταυτίζοται. Για λύση διάφορη της τετριµµέης πρέπει η ορίζουσα τω συτελεστώ τω αγώστω a και b α είαι µηδέ, άρα 9 (7) 5 Στη συέχεια, ααζητούµε περιοδική λύση [] µε περίοδο Τ της µορφής

4 t t T (t) b + a si + b cos (8),,6, και ακολουώτας τη ίδια διαδικασία καταλήγουµε στο εξής οµογεές γραµµικό σύστηµα µε αγώστους τα a και b a a µ (9a) a µ (a + a ) (,,6,) + b b b µ (b + b ) (9b) b µ (b + b ) + (,,6,) Θέτοτας πάλι τις ορίζουσες τω συτελεστώ τω αγώστω ίσες µε µηδέ έχοµε () 9 και () 9 Οι εξισώσεις (7), () και () λέγοται εξισώσεις οριακώ ή κρίσιµω συχοτήτω και συδέου τις συχότητες της εξωτερικής φόρτισης µε τη συχότητα της δοκού και τη έταση της εξωτερικής φόρτισης. ς κρίσιµες συχότητες οούται οι συχότητες της εξωτερικής φόρτισης που ατιστοιχού στα όρια τω περιοχώ αστάειας. Η κύρια (πρώτη) περιοχή αστάειας προκύπτει από το µηδεισµό του πρώτου όρου της διαγωίου της ορίζουσας (7), δηλαδή () Η δεύτερη περιοχή δυαµικής αστάειας προκύπτει από το µηδεισµό τω ας τάξεως οριζουσώ εξ() και εξ(), που είαι οι εξής, () 5

5 Από αυτές προκύπτου οι ακόλουες εκφράσεις για τα όρια της δεύτερης περιοχής αστάειας + µ () µ Για το προσδιορισµό τω ορίω της τρίτης περιοχής δυαµικής αστάειας χρησιµοποιούµε τη ας τάξεως ορίζουσα εξ(7), που είαι 9 (5) και η οποία δίει ± 9µ ( ± 9µ ) + 6( µ m µ ) (6) 8 Κατόπι αυτώ, είµαστε σε έση α χαράξουµε τις τρεις πρώτες περιοχές δυαµικής αστάειας / συαρτήσει του µ για τιµές πρακτικού εδιαφέροτος µ Σχ. : Περιοχές δυαµικής αστάειας / συαρτήσει του µ. Η ΕΠΙΡΡΟΗ ΤΗΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ Στη περίπτωση που υπάρχει απόσβεση, η εξ() παίρει τη µορφή EI w (x, t) + P(t) w (x, t) + c w(x, & t) + m w(x, & t) (7) και ακολουώτας τη ίδια διαδικασία που εκτέηκε παραπάω, καταλήγουµε στη εξίσωση T(t) & + λ T(t) & + [ µφ(t) ] T(t) (8) όπου λc/m. Κάοτας το ακόλουο µετασχηµατισµό λt T(t) e f (t) (9) η εξ(8) µετά από πράξεις παίρει τη µορφή & f (t) + [ (t)] λ Φ f (t) () Θέτοτας λ () και 6

6 µ µ () λ η εξ() λαµβάει τη µορφή της εξ(), δηλαδή & f (t) + [ µ Φ(t)] f (t) () η οποία έχει ήδη ααλυεί παραπάω. Συεπώς, οι περιοχές δυαµικής αστάειας παρουσία απόσβεσης δίδοται και πάλι από το Σχήµα, όπου οι τιµές τω αξόω / και µ ατικαίσταται µε τις τιµές / και µ, ατίστοιχα. 5. ΑΚΡΙΒΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ TOY ΕΞΤΕΡΙΚΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Φ(t) Στη περίπτωση εώρησης της ακριβούς συάρτησης του εξωτερικού φορτίου Φ(t) που είαι πριοωτής µορφής, ακολουούµε τη ίδια διαδικασία [] και εωρούµε περιοδική λύση της µορφής της εξ(5). Η συάρτηση Φ(t) ααλύεται σε σειρά Fourier ως εξής ( φ cost) Φ( t) () όπου φ T Φ(t) cos t dt T cos t dt µε Τπ/. Εποµέως, η εξ() γίεται T(t) & + µ cos t T(t) (6) όπου µ µ φ και µp /(P E -P ). Εισάγοτας τη εξ(5) στη εξ(6) και ακολουώτας τη ίδια διαδικασία, καταλήγουµε στη ακόλουη εξίσωση οριακώ συχοτήτω ( µ ) ( µ ) 9 ( µ ) ( µ ) (7) 5 ( µ ) ( µ ) 5 6. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Έστω µια γέφυρα δύο αοιγµάτω l l m µε έα πυλώα ύψους l m πάω από τη οποία διέρχεται συρµός µε φορτία άξοα P 6kN αά s8m και ταχύτητα v8km/h. Ο πυλώας αποτελείται από σύετη χαλύβδιη διατοµή και έχει τα ακόλουα χαρακτηριστικά: Ε.x 8 kn/m, I.m, m8kg/m και φορτίζεται από µόιµα P kn. Θεωρούµε ότι η αξοική δύαµη στο πυλώα µεταβάλλεται ηµιτοοειδώς λόγω της διέλευσης του συρµού, και υπολογίζουµε 7.5sec -, 6.69sec -, µ. και /.. Το σηµείο (µ., /.) πέφτει εκτός τω περιοχώ αστάειας του Σχήµατος και ο πυλώας εκτελεί φραγµέη καµπτική ταλάτωση, όπως φαίεται στο Σχήµα (α). Ας εωρήσουµε στη συέχεια το ίδιο σύστηµα, όπου όµως ο συρµός διέρχεται µε ταχύτητα v6km/h για τη οποία υπολογίζουµε.5sec -, 6.69sec -, µ. και /.997. Το σηµείο (µ., /.997) πέφτει ετός της πρώτης περιοχής αστάειας του Σχήµατος και ο πυλώας πλέο εκτελεί καµπτική ταλάτωση διαρκώς αυξαόµεου εύρους, όπως φαίεται στο Σχήµα (β). (5) 7

7 Σχ. : Καµπτική ταλάτωση πυλώα χωρίς απόσβεση για διέλευση συρµού µε ταχύτητες 8km/h και 6km/h ατίστοιχα Στο Σχήµα (α) φαίεται η απόκριση του πυλώα της παραπάω γέφυρας µε απόσβεση λ.5 και ταχύτητα διέλευσης v6km/h. Εδώ, παρατηρούµε ότι το µετατοπισµέο σηµείο (µ, / ) \πέφτει ακριβώς εκτός του κάτω ορίου της κύριας ζώης αστάειας του Σχήµατος και η κίηση είαι φραγµέη. Στο Σχήµα (β) φαίοται οι ζώες δυαµικής αστάειας για πριοωτή µορφή της συάρτησης του φορτίου Φ(t) που προκύπτει από τη γραµµή επιρροής της αξοικής του πυλώα. Παρατηρούµε ότι η δεύτερη και η τρίτη περιοχή αστάειας µετατοπίζοται προς χαµηλότερες τιµές του λόγου /, εώ τα εύρη και τω τριώ περιοχώ περιορίζοται µ Σχ. : Καµπτική ταλάτωση πυλώα µε απόσβεση λ.5 για διέλευση συρµού µε ταχύτητα 6km/h και περιοχές αστάειας για πριοωτή µορφή της Φ(t) 7. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Το φαιόµεο του παραµετρικού συτοισµού εδέχεται α λάβει χώρα σε πυλώες χαλύβδιω γεφυρώ λόγω διέλευσης συρµώ για συγκεκριµέες περιπτώσεις µάζας και γεωµετρίας πυλώα και ταχύτητες διέλευσης τω συρµώ. Στη πράξη, το φαιόµεο αυτό περιορίζεται δραστικά λόγω της απόσβεσης της κατασκευής. Επίσης, η περίπτωση αστοχίας του πυλώα λόγω µεγάλω παραµορφώσεω προϋποέτει δυσαάλογα µεγάλο µήκος συρµώ σε συάρτηση µε τα χαρακτηριστικά αοίγµατα τω συήω οδικώ ή σιδηροδροµικώ γεφυρώ. 8. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. BOLOTIN VV. The dyamic stability of Elastic Systems (traslated from Russia). Holde-Day Ic., Sa Fracisco, 96.. MCLACHLAN NW. Theory ad Applicatio of Mathieu Fuctios. Dover Publicatios, New York, 96. 8

8 PARAMETRIC RESONANCE OF STEEL BRIDGES PYLONS DUE TO PERIODIC TRAFFIC LOADS Ioais G. Raftoyiais School of Civil Egieerig, Laboratory of Metal Structures Natioal Techical Uiversity of Athes, Greece Athia-Christiaa Aogiati School of Civil Egieerig, Laboratory of Metal Structures Natioal Techical Uiversity of Athes, Greece 578 SUMMARY This paper deals with the parametric resoace of steel bridges pylos due to timedepeded traffic loads. The aalysis follows the basic lies of Boloti's techique for the solutio of o-liear problems of dyamic stability. I this work, the cases of forced vibratig pylos with ad without dampig subjected to siusoidal ad arbitrary exteral dyamic forces actig axially are ivestigated. Through the aforemetioed solutio method, useful results regardig the dyamic stability of pylos are obtaied ad illustrative examples for various cases of geometry ad loadig are preseted i the form of plots ad diagrams. 9