xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y)"

Transcript

1 ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάης Μαθηματικός Φίλος μὲ δή, ὡς ἔοικε, τούτῳ τῷ λόγῳ ὁ ἀγαθὸς ἔσται, ἐχθρὸς δὲ ὁ ποηρός.

2 1. Να βρεθού όλες οι συαρτήσεις f : R R για τις οποίες ισχύει xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y) για κάθε ζευγάρι (x, y) πραγματικώ αριθμώ. Θέτοτας y = x λαμβάουμε xf(x) = xf (x) xf(x) xf (x) = 0 xf(x)[1 f(x)] = 0 Από τη τελευταία λαμβάουμε τις f(x) = 0, x R f(x) = 1, x R { a a R, x = 0 f(x) = 0 x 0 { a a R, x = 0 f(x) = 1 x 0. Να βρείτε όλες τις συαρτήσεις f : R R που δε είαι εκ ταυτότητος ίσες με το μηδέ και ικαοποιού τη f(x)f(y) = f(x y) για κάθε ζευγάρι (x, y) πραγματικώ αριθμώ. Αφού θέλουμε τις συαρτήσεις που δε είαι εκ ταυτότητος ίσες με τη μηδεική, θεωρούμε x 0 R με τη ιδιότητα f(x 0 ) 0. Για x = x 0 και y = 0 έχουμε: f(x 0 )f(0) = f(x 0 ) f(0) = 1 Για y = x θα έχουμε f (x) = f(0) = 1 f(x) 0 για κάθε x R Για y = x λαμβάουμε ( x ) ( x ) f(x)f = f f(x) = 1 Συεπώς, η μοαδική συάρτηση που ικαοποιεί τις συθήκες του προβλήματος είαι η f(x) = 1 για κάθε x R

3 3. Να δείξετε ότι η μοαδική μη μηδεική συάρτηση f : R R που ικαοποιεί τις σχέσεις f(x + y) = f(x) + f(y) και f(xy) = f(x)f(y) για κάθε ζευγάρι (x, y) πραγματικώ αριθμώ, είαι η ταυτοτική συάρτηση. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Θέτοτας στη f(x + y) = f(x) + f(y) y = 0 λαμβάουμε f(0) = 0. Θέτοτας στη f(xy) = f(x)f(y) x = y = 1 λαμβάουμε f(1) = 0 ή f(1) = 1. Α f(1) = 0 τότε f(x) = f(1 x) = f(1)f(x) = 0 οπότε f(x) = 0 για κάθε x R. Υποθέτουμε λοιπό ότι f(1) = 1. Θέτοτας στη f(xy) = f(x)f(y) y = x λαμβάουμε f( x) = f(x). Από τη f(xy) = f(x)f(y) για x 0 έχουμε f( x x = [f( x)] 0, οπότε f(x) 0 ότα x 0. Η f είαι αύξουσα: Πράγματι, για x > y έχουμε x y > 0, οπότε f(y + (x y) = f(y) + f(x y) και επειδή f(x y) 0 έχουμε ότι f(x) f(y). Επειδή f(1) = 1 έχουμε πως για x 1 ισχύει f(x) 0. Για κάθε φυσικό αριθμό ισχύει f() =. Πράγματι, η σχέση ισχύει για = 1 Εστω ότι ισχύει η f() =. Τότε f( +1) = f()+f(1) = +1 και η σχέση ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό. Επειδή 1 = f(1) = f ( ( x x) 1 = f(x)f 1 ( x) έχουμε ότι f 1 ) x = 1, οπότε f(x) για κάθε φυσικό αριθμό ισχύει f ( ) 1 = 1. Εχουμε ( µ ) f = f ( µ 1 ) = f(µ)f ( ) 1 = µ Άρα για κάθε ρητό αριθμό ρ ισχύει f(ρ) = ρ. ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ: 3

4 4 ( µ ) Ισχύει f = µ για οποιουσδήποτε µ, N. Πράγματι, επειδή 1 = 1 ( 1 1 ) = 1 [ ( ) 1 ] = = ( + 1 ) = }{{ } έχουμε ( 1 1 = f(1) = f + 1 ) = f ( ) ( 1 1 = f + f + ) =... = ( ) ( ) 1 1 = f + f f Συεπώς, f ( ) 1 = 1 ( ) 1 + f ( ) 1 = f ( ) 1 = ( ) ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Θα δείξουμε τώρα ότι f(x) = x για κάθε θετικό πραγματικό x. Ας υποθέσουμε ότι δε ισχύει η προς απόδειξη σχέση. Τότε θα υπάρχει έας θετικός αριθμός x 0 με τη ιδιότητα f(x 0 ) x 0. Μπορούμε, χωρίς βλάβη της γεικότητας, α υποθέσουμε ότι x 0 < f(x 0 ). Τότε, μεταξύ τω πραγματικώ αριθμώ x 0 και f(x 0 ), υπάρχει έας ρητός έστω ρ. Προφαώς ισχύει x 0 < ρ < f(x 0 ). Ομως, από τη x 0 < ρ έχουμε f(x 0 ) f(ρ) = ρ, άτοπο. Συεπώς, ισχύει η f(x) = x για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό x. Η ισχύς της σχέσεως για τους αρητικούς πραγματικούς αριθμούς προκύπτει άμεσα από το ότι η f είαι συάρτηση περιττή. 4. Να βρεθού όλες οι συαρτήσεις f : D f R που επαληθεύου τη εξίσωση ( ) ( ) x + 1 x f + f = x x x + 1

5 5 Θέτουμε x + 1 x = y, οπότε x x + 1 = 1 y ( ) 1 Η δοθείσα γίεται f(y) + f y του y με το x : ( ) 1 f(x) + f x = x + 1 x 1. και x = y + 1 y 1. = y + 1 y 1 ή μετά από ατικατάσταση Θέτουμε στη τελευταία x = 1 οπότε λαμβάουμε y ( ) 1 f + f(y) = y + ή μετά από ατικατάσταση του y με το x : y 1 y ( ) 1 f + f(x) = x + x 1 x. Υπολογίζουμε από τις { f(x) + f ( 1 x) = x+1 x 1 f ( ) 1 x + f(x) = x+ 1 x τη f(x) και έχουμε f(x) = 4x + 5 3(1 x). Προφαώς, x 1, 1,. 5. Δίεται η συάρτηση f : R R με f(0) 0, για τη οποία ισχύει η σχέση f(x + y) = f(x) f(y). Να αποδείξετε ότι: i: f(0) = 1. ii: f(x) > 0, x R. iii: f( x) = 1 f(x). iv: f(x 1 + x x ) = f(x 1 )f(x )... f(x ), N. v: f(ρx) = (f(x)) ρ, ρ Q. i: Για x = y = 0 έχουμε ΑΠΟΔΕΙΞΗ: f(0 + 0) = f(0)f(0) f(0) = 1 ii: Για x = y = x έχουμε ( x ) f(x) = f 0

6 6 Θα δείξουμε ότι f(x) 0 για κάθε x R. Πράγματι, έστω x R ώστε f(x) = 0. Για y = x λαμβάουμε f(0) = f(x)f( x) = 0 άτοπο, αφού σύμφωα με το (i) f(0) = 1. Συεπώς, f(x) > 0 για κάθε x R. iii: Για y = x έχουμε 1 = f(x x) = f(x)f( x) f( x) = 1 f(x) iv: Θα χρησιμοποιήσουμε επαγωγή: Για = ισχύει από τη υπόθεση. Εστω ότι ισχύει για. Θα δείξουμε ότι ισχύει για + 1. f(x 1 + x x +1 ) = f((x 1 + x x ) + x +1 ) = = f(x 1 + x x )f(x +1 ) = f(x 1 )f(x )... f(x )f(x +1 ) v: Για N είαι προφαές από τη προηγούμεη ότι f(x) = f (x). Α k αρητικός ακέραιος, τότε k =, N, οπότε f(kx) = f( x) = 1 f(x) = 1 f (x) = f (x) = f k (x) Θα δείξουμε αρχικά ότι ( x ) f = f(x) Εχουμε: f(x) = f ( x ) ( x ) ( x ) = f f = f(x) Α ρ Q τότε υπάρχου ακέραιοι µ,, 0, ώστε ρ = µ, οπότε: ( µ ) ( f(ρx) = f x = f µ x ) = ( x ) [ ] µ = f µ µ = f(x) = (f(x)) = f ρ (x)

7 7 6. Δίεται η συάρτηση f με τύπο f(x) = x 4λx + 5, λ R. Να προσδιοριστεί το πεδίο ορισμού της. Πρέπει x 4λx Επειδή ο συτελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου είαι θετικός, το τριώυμο θα είαι μη αρητικό σε όλο το R εκτός από το διάστημα αάμεσα στις ρίζες του, εφόσο βέβαια υπάρχου ρίζες. Α = (4λ) 0 = 16λ 0 = 4(4λ 5) 4λ 5 < 0 λ < 5 4 λ < 5 τότε το πεδίο ορισμού της f είαι το σύολο R. Α λ = 5, το τριώυμο έχει διπλή ρίζα, οπότε το πεδίο ορισμού της f είαι το σύολο R. Α λ > 5, το τριώυμο έχει ρίζες τις x 1 = λ 4λ 5 και x = λ + 4λ 5, οπότε το πεδίο ορισμού της f είαι το σύολο R (y 1, y ) όπου y 1 = min{x 1, x }, y = max{x 1, x }. 7. Δίεται η συάρτηση f με τύπο x 1, x [1, ) f(x) = x + 7, x [, 3], x, x (3, 4] Να παρασταθεί η συάρτηση γραφικά και α βρεθεί το σύολο τιμώ της.

8 8 7.πγ Το σύολο τιμώ είαι το [0, 4]. 8. Να βρεθού συαρτήσεις f : R R, g : R R, που για κάθε x R επαληθεύου τις f(x) + xg(x) = 1 και xf(x) g(x) = 1 Στη συέχεια α αποδείξετε τη πρόταση «Η συάρτηση h με λαμβάει ακρότατες τιμές». h(x) = (x + 1)f(x) + (x 1)g(x) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Αρχικά υποθέτουμε ότι οι ζητούμεες συαρτήσεις υπάρχου. Τότε, xf(x) g(x) = 1 x xg(x) = x Με πρόσθεση της τελευταίας στη f(x) + xg(x) = 1

9 9 λαμβάουμε Ατικαθιστώτας τη f(x) στη λαμβάουμε (x + 1)f(x) = 1 x f(x) = 1 x x + 1 xf(x) g(x) = 1 x 1 x x x g(x) = 1 g(x) = x + 1 x = x + 1 x + 1 Επαληθεύουμε τέλος ότι οι συαρτήσεις που βρήκαμε ικαοποιού τις δοθείσες σχέσεις. (εύκολο). Θα δείξουμε τώρα ότι η συάρτηση h με λαμβάει ακρότατες τιμές. Γωρίζουμε ότι h(x) = (x + 1)f(x) + (x 1)g(x) h(x) = (x + 1) x x x (x 1) x + 1 x + 1 = x x + 1 (x 1) 0 x + 1 x 0 x + 1 x και οπότε (x + 1) 0 x x 0 x + 1 x x + 1 x (x + 1) x x + 1 x + 1 x + 1 x x + 1 x + 1 x h(x) 1 Τελειώουμε παρατηρώτας ότι 1 = h( 1) και 1 = h(1). 9. Δίεται η συάρτηση f με f(x) = 7x 3 5 x αʹ Να δείξετε ότι η f είαι γησίως αύξουσα σε καθέα από τα διαστήματα (, 5 ) και ( 5, + ).

10 10 βʹ Να βρεθεί συάρτηση h με τη ιδιότητα (f h)(x) = ημx για κάθε x στο οποίο ορίζεται η h. γʹ Να δείξετε ότι η h λαμβάει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο πεδίο ορισμού της. αʹ Εστω x 1 < x < 5. Τότε ΑΠΟΔΕΙΞΗ: x 1 < x < 5 x 1 < x < 5 x 1 5 < x 5 < 0 5 x 1 > 5 x > 0 Άρα, f(x 1 ) < f(x ) 7x x 1 < 7x 3 5 x (7x 1 3)(5 x ) < (7x 3)(5 x 1 ) 35x x 1 x + 6x < 35x 15 14x 1 x + 6x 1 Ομοια, για 5 < x 1 < x έχουμε 9x 1 < 9x x 1 < x 5 < x 1 < x 5 < x 1 < x 0 < x 1 5 < x 5 5 x < 5 x 1 < 0 Άρα, f(x 1 ) < f(x ) 7x x 1 < 7x 3 5 x (7x 1 3)(5 x ) < (7x 3)(5 x 1 ) 35x x 1 x + 6x < 35x 15 14x 1 x + 6x 1 9x 1 < 9x x 1 < x

11 11 βʹ Εχουμε: (f h)(x) = ημx 7h(x) 3 5 h(x) = ημx, h(x) 5 Άρα, 7h(x) 3 5 h(x) = ημx 7h(x) 3 = 5ημx h(x)ημx (7 + ημx)h(x) = 3 + 5ημx h(x) = 3 + 5ημx 7 + ημx Το πεδίο ορισμού της συάρτησης h είαι το D h = {x R : h(x) ημx } = {x R : 7 + ημx 5 } = = {x R : ημx ημx} = {x R} = R γʹ Για ημx = 1 δηλαδή για ξ = π + kπ, k Z λαμβάουμε h(ξ) = 5 εώ για ημx = 1, δηλαδή για η = π + kπ, k Z λαμβάουμε h(η) = 8 9 Αρκεί α δείξουμε ότι Εχουμε, 5 h(x) h(x) ημx 7 + ημx 14 ημx ημx 9 9ημx 1 ημx Επίσης, h(x) ημx 7 + ημx ημx ημx 9ημx 9 ημx 1

12 1 10. Να δείξετε ότι α οι συαρτήσεις f : R R και g : R R είαι γησίως αύξουσες και λαμβάου μόο αρητικές τιμές, τότε η εξίσωση έχει το πολύ μία λύση. 5f(x) + 3g(x) + 8f(x)g(x) = 0 ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Επειδή οι f, g λαμβάου μόο αρητικές τιμές, θα ισχύει f(x)g(x) > 0, x R Διαιρώτας τη δοθείσα εξίσωση με το f(x)g(x) λαμβάουμε τη ισοδύαμή της 5 g(x) + 3 f(x) + 8 = 0 Θεωρούμε τη συάρτηση h(x) = 5 g(x) + 3 f(x) + 8, x R Αρκεί α δείξουμε ότι η h είαι γησίως μοότοη. Πράγματι, επειδή οι f, g είαι γησίως αύξουσες, για x 1 < x θα έχουμε f(x 1 ) < f(x ) < 0 και g(x 1 ) < g(x ) < 0, οπότε και Άρα 3 f(x 1 ) > 3 f(x ) 5 g(x 1 ) > 5 g(x ) h(x 1 ) 8 > h(x ) 8 h(x 1 ) > h(x ) δηλαδή η h είαι γησίως φθίουσα, οπότε η εξίσωση h(x) = 0 έχει το πολύ μία ρίζα. 11. Δίεται η συάρτηση f με f(x) = x x 1. Να βρεθού συαρτήσεις g, h τέτοιες ώστε (g f)(x) = x x + 1

13 13 για κάθε x στο πεδίο ορισμού της f και (f h)(x) = x x + 1 για κάθε x στο πεδίο ορισμού της h. Θέτουμε f(x) = t x x 1 = t x = xt t x(t 1) = t Η τελευταία, για t = 1 είαι αδύατη, εώ για t 1 γίεται Είαι οπότε η x = t t 1 x = t t 1 x 1 t t 1 1 t 1 t ορίζεται για κάθε t 1. Εχουμε, (g f)(x) = x x + 1 g(f(x)) = g(t) = ( t ) t 1 ( t t 1 ) + 1 x x + 1 t g(t) = t + (t 1) g(t) = t t t + 1 Συεπώς, x g(x) = x x + 1 η οποία ορίζεται και για x = 1, οπότε η g έχει πεδίο ορισμού το R, άρα D f D g. Επαλήθευση: g(f(x)) = = f (x) f (x) f(x) + 1 = ( x x 1 x x x(x 1) + (x 1) = ( x ) x 1 ) x x = x x + 1

14 14 Εύρεση της h: f(h(x)) = h(x) h(x) 1 = x x + 1 x h(x) + h(x) = x h(x) x h(x) = x Προφαώς, h(x) 1 οπότε η h είαι καλά ορισμέη. Επαλήθευση: f(h(x)) = x ( x ) 1 = x (x + 1) = x x Α η f : R R είαι γησίως αύξουσα, α προσδιοριστεί συάρτηση g : R R τέτοια ώστε για κάποιο k R και για κάθε x R α επαληθεύει τις (f g)(x + k) f(x) f(g(x) + k) Αρχικά υποθέτουμε ότι υπάρχει η ζητούμεη συάρτηση g. Θα δείξουμε ότι g(x + k) x, x R. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει έα x R για το οποίο ισχύει g(x + k) > x. Τότε, επειδή η f είαι γησίως αύξουσα, θα ισχύει f(g(x + k)) > f(x) άτοπο αφού από τη υπόθεση η g ικαοποιεί τη (f g)(x + k) f(x). Για t = x + k x = t k έχουμε g(x + k) x g(t) t k g(x) x k Θα δείξουμε ότι g(x) + k x. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει x R ώστε x > g(x) + k. Τότε, επειδή η f είαι γμησίως αύξουσα, θα έχουμε f(x) > f(g(x) + k) άτοπο, αφού από τη υπόθεση η g ικαοποιεί τη f(x) f(g(x) + k).

15 15 Συεπώς, Από τις λαμβάουμε ότι g(x) x k g(x) x k, g(x) x k g(x) = x k Επαλήθευση: (f g)(x + k) = f(g(x + k)) = f(x + k k) = f(x) f(x) f(g(x) + k) = f(x k + k) = f(x) f(x) 13. Να βρεθού οι τιμές του λ R ώστε η συάρτηση f με f(x) = (λ 3λ) x 1 x + 3 α είαι γησίως φθίουσα. Είαι { (λ f(x) = 3λ)(x 1) x + 3, x 1 (λ 3λ)(1 x) x + 3, x < 1 f(x) = { (λ 3λ 1)x λ + 3λ + 3, x 1 ( λ + 3λ 1)x + λ 3λ + 3, x < 1 Η f είαι γησίως φθίουσα στο διάστημα [1, + ) ότα λ 3λ 1 < 0 λ 3λ 1 < < λ < Η f είαι γησίως φθίουσα στο διάστημα (, 1) ότα λ + 3λ 1 < 0 λ + 3λ 1 < 0 λ (, 1 ) (1, + )

16 16 Οι σχέσεις αυτές συαληθεύου ότα ( 3 ) ( 17 λ, 1 1, 3 + ) Ελέγχουμε α για τις παραπάω τιμές του λ η f είαι γησίως φθίουσα. Εστω x 1 < 1 x. Τότε και οπότε δηλαδή 14. Δίεται η συάρτηση f με ( λ + 3λ 1)x + λ 3λ + 3 > > ( λ + 3λ 1) + λ 3λ + 3 = (λ 3λ 1)x λ + 3λ + 3 (λ 3λ 1) λ + 3λ + 3 = f(x 1 ) > f(x ) f(x 1 ) > f(x ) f(x) = (1 + 3λ )x + λ µ Να προσδιοριστού οι λ, µ R ώστε για κάθε x R α ισχύει (f f)(x) = 49x + 8µ Συεπώς, Τελικώς, έχουμε (f f)(x) = f(f(x)) = (1 + 3λ )f(x) + λ µ = = (1 + 3λ )[(1 + 3λ )x + λ µ] + λ µ = = (1 + 3λ ) x + (1 + 3λ )(λ µ) + (λ µ) = = (1 + 3λ ) x + (λ µ)(3λ + ) { { (1 + 3λ ) = λ (λ µ)(3λ + ) = 8µ = 7 8(λ µ) = 8µ λ = µ = ή λ = µ =.

17 15. Α για τις γησίως φθίουσες συαρτήσεις f : R R και g : R R ισχύου οι f(x) 0 και g(x) 0 για κάθε x R, α δείξετε ότι η έχει το πολύ μία λύση. Θεωρούμε τη συάρτηση (g f)(x) = (f g)(x) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: h(x) = (g f)(x) (g f)(x) Θα δείξουμε ότι η h είαι γησίως μοότοη. Θεωρούμε x > < x. Τότε 0 f(x ) < f(x 1 ) 17 οπότε 0 g(x ) < g(x 1 ) f(x )g(x ) < f(x 1 )g(x 1 ) (f g)(x ) < (f g)(x 1 ) (f g)(x 1 ) < (f g)(x ) Επίσης, επειδή οι f, g έχου το ίδιο είδος μοοτοίας, η f g είαι γησίως αύξουσα, οπότε (f g)(x 1 ) < (f g)(x ) Με πρόσθεση στη τελευταία της λαμβάουμε (f g)(x 1 ) < (f g)(x ) (f g)(x 1 ) (f g)(x 1 ) < (f g)(x ) (f g)(x ) δηλαδή η h(x) είαι γησίως αύξουσα, επομέως δε μπορεί α έχει περισσότερα από έα σημεία μηδεισμού. 16. Δίεται η συάρτηση f με f(x) = { x λe, 0 x 1 ln x, x > 1

18 18 αʹ Να βρεθού όλες οι τιμές του λ R για τις οποίες η f είαι γησίως αύξουσα. βʹ Να βρεθεί η f 1 ότα λ = 1 e αʹ Στο διάστημα [0, 1] η f έχει τύπο f(x) = x λe και είαι γησίως αύξουσα για κάθε τιμή του πραγματικού λ. Στο διάστημα (1, + ) η f έχει τύπο f(x) = ln x και είαι γησίως αύξουσα Για 0 x 1 1 < x έχουμε f(x 1 ) = x 1 λe 1 λe και f(x ) = ln x 0 οπότε για α είαι η f γησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, πρέπει και αρκεί 1 λe 0 λ 1 e βʹ Για λ = 1 e ο τύπος της συάρτησης είαι f(x) = { x 1, o x 1 ln x x > 1 και επειδή είαι γησίως αύξουσα είαι 1 1, άρα ατιστρέψιμη. Το πεδίο ορισμού της f 1 συμπίπτει με το σύολο τιμώ της f. Το προσδιορίζουμε: Για x [0, 1] έχουμε και D f 1 = {y R : y = f(x)} y = f(x) y = x 1 x = y x 1 0 y y y 0 Για 1 < x έχουμε y = f(x) y = ln x x = e y και 1 < x 1 < e y 0 < y

19 19 Συεπώς, D f 1 = [ 1, + ) Από τα προηγούμεα είαι ακόμα φαερό ότι { x + 1, 1 x 0 f 1 (x) = e x, x > Α η συάρτηση f ικαοποιεί τη για κάθε x R, (f f)(x) = 3x + αʹ Να δειχθεί ότι η f είαι 1 1 και ότι το σύολο τιμώ της είαι όλο το σύολο R. βʹ Να επιλυθεί η εξίσωση 9f(x) + 8 = f 1 (53) αʹ ΑΠΟΔΕΙΞΗ: g(x 1 ) = f(x ) f(f(x 1 )) = f(f(x )) 3x 1 + = 3x + x 1 = x Θεωρούμε y R. Θα δείξουμε ότι υπάρχει x R με τη ιδιότητα y = f(x). Υποθέτουμε ότι ισχύει η y = f(x). Τότε f(y) = f(f(x)) = 3x + x = 1 (f(y) ) 3 Συεπώς, για το τυχαίο y R υπάρχει x R με x = 1 (f(y) ) 3 ώστε f(x) = y, δηλαδή το σύολο τιμώ της f είαι όλο το R. βʹ Επειδή 53 = , είαι 53 = f(f(17)) Συεπώς, 9f(x) + 8 = f 1 (53) 9f(x) + 8 = f 1 (f(f(17))) 9f(x) + 8 = f(17)

20 0 Επειδή 17 = η τελευταία γίεται 9f(x) + 8 = f((f f)(5)) = (f f)(f(5)) = 3f(5) + Άρα, Ομως, οπότε 9f(x) + 6 3f(5) 3f(x) + = f(5) 3f(x) + = (f f)(f(x)) f(5) = (f f)(f(x)) f(5) = f((f f)(x)) 5 = (f f)(x) παρατηρούμε ότι 5 = = (f f)(1) = f(f(1)), οπότε x = 1 Ατίστροφα: Για x = 1 έχουμε: 9f(1) + 8 = 3(3f(1) + ) + = 3((f f)(f(1))) + = = 3(f(f f)(1))+ = 3(f(3 1+))+ = 3f(5)+3 = (f f)(f(5)) = = f((f f)(5)) = f(3 5 + ) = f(17) = = (f 1 f)(f(17)) = f 1 ((f f)(17)) = f 1 ( ) = f 1 (53) Δηλαδή η x = 1 είαι η μοαδική λύση της εξίσωσης. 18. Να βρεθού οι f : R R και g : R R οι οποίες είαι 1 1 και για κάθε x R επαληθεύου τις εξισώσεις 5(f g)(x) + 4(f g 1 )(x) = 36x + 9 f(x) (f g 1 )(x) = 19 Αρχικά υποθέτουμε ότι οι συαρτήσεις που ζητούται υπάρχου. Θέτοτας στη δεύτερη τω εξισώσεω στη θέση του x το g(x) λαμβάουμε f(g(x)) (f g 1 )(g(x)) = 19 (f g)(x) f(x) = 19 (f g)(x) = f(x) + 19

21 1 Επίσης, από τη δεύτερη τω εξισώσεω έχουμε f(x) (f g 1 )(x) = 19 (f g 1 )(x) = f(x) 19 Ατικαθιστώτας τις τελευταίες στη πρώτη τω εξισώσεω έχουμε f(x) 19 5(f(x) + 19) + 4 = 36x f(x) f(x) 38 = 36x + 9 1f(x) = 36x f(x) = Ατικαθιστώτας στη τη τιμή f(x) = 3x 4 λαμβάουμε 36x 48 1 (f g)(x) = f(x) + 19 f(x) = 3x 4 3g(x) 4 = (3x 4) g(x) 4 = 6x + 11 g(x) = x + 5 Για τη πρώτη τω εξισώσεω: Επειδή Επαλήθευση: 5(f g)(x) + 4(f g 1 )(x) = 5(3g(x) 4) 4(3g 1 (x) 4) = = 15g(x) + 1g 1 (x) 36 = 30x g 1 (x) 36 = = 30x + 1g 1 (x) + 39 y = g(x) y = x + 5 x = y 5 x = y 5 η τελευταία γίεται g 1 (x) = x 5 Για τη δεύτερη: 30x + 1g 1 (x) + 39 = 30x + 6(x 5) + 39 = 36x + 9 f(x) (f g 1 )(x) = 3x 4 (3g 1 (x) 4) = = 3x 4 6 x = 3x 4 3x = 19

22 19. Δίεται συάρτηση f : R R για τη οποία ισχύει (f f)(x) = x + 3f(x) για κάθε x R. Να βρεθεί η ατίστροφη της f. (Της f ο τύπος θεωρείται γωστός). Θα δείξουμε αρχικά ότι η f είαι ατιστρέψιμη: f(x 1 ) = f(x ) f(f(x 1 )) = f(f(x )) Θέτουμε f(x) = y, οπότε x 1 + 3f(x 1 ) = x + 3f(x ) x 1 = x f(y) = f(f(x)) = x + 3y f(y) = f 1 (y) + 3y Άρα, f 1 (y) = f(y) 3y f 1 (x) = 1 (f(x) 3x)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )

1.  [0,+   ,      >0,   ) 2. ,    >0,  x   ( ) Σελίδα 1 από 5 ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ α, α ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ του Ατώη Κυριακόπουλου 1 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R = [, ) Θεώρηµα και ορισµός οθέτος, εός πραγµατικού αριθµού α και εός φυσικού αριθµού >, υπάρχει έας

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ : Είαι γωστό ότι για µια συεχή συάρτηση σε έα διάστηµα, το ολοκλήρωµα F ορίζει έα πραγµατικό αριθµό όπου o είαι έα οποιοδήποτε σηµείο του και α έα αυθαίρετο

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Γραπτές αακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Δρ. Πααγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Για το υπολογισμό του βαθμού της ετήσιας επίδοσης τω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0 Η ΕΞΙΣΩΣΗ α+β=0 εξισώσεις πρώτου βαθμού. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 ( ) = ( ) β) 8( ) ( ) = ( + ) 5(5 ) γ) (5 ) ( ) = ( + ) δ) (-)-(-)=7( -)-(+). Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5 α) β) 8

Διαβάστε περισσότερα

Λυµένες Ασκήσεις * * *

Λυµένες Ασκήσεις * * * Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 1 από 6 Μάθηµα 9 ο ΓΙΝΟΜΕΝΟ KRONECKER Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 15 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 91 Α AB, είαι πίακες τύπου µ µ και ατίστοιχα, υπολογίσατε τη

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης,. Λεπίπας, Π. Αγγελόπουλος Άσκηση.3 σελ. 4 α) εύκολο β) Αφού C F θα είαι σ( C) σ( F) και λόφω του α) θα είαι σ( C) F. Για τη απόδειξη του ατίθετου

Διαβάστε περισσότερα

εδάφιο 3, σελ. 181 υπερβολή ή παραβολή. Η ταξινόµηση αυτή παρουσιάζεται στον 1 ο πίνακα, T

εδάφιο 3, σελ. 181 υπερβολή ή παραβολή. Η ταξινόµηση αυτή παρουσιάζεται στον 1 ο πίνακα, T Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 8 Μάθηµα 9 ο ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο, σελ 7, εδάφιο, σελ 75, εδάφιο 3, σελ 8 Ασκήσεις :,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, σελ 75,, 4, 8, σελ 8, II, IV, σελ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις ΜΑΘΗΜΑ.. Η έοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις Θεωρία - Σχόλια - Μέθοδοι - Ασκήσεις α + βi - i α + βi i (β - αi ) ΘΕΩΡΙΑ. Ύπαρξη του i εχόµαστε ότι υπάρχει αριθµός i, µε τη ιδιότητα φαταστική µοάδα. i,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΕΤΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ Για α υπολογίσουμε δυάμεις με ακέραιο εκθέτη σε παράσταση με i χρησιμοποιούμε γωστές ταυτότητες και έχουμε υπόψη ότι: i. v v- = με ακέραιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

φ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4

φ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4 Γιατί οι μέλισσες κάου εξαγωικές τις κηρήθρες τους ; Χριστία Δασκαλάκη Α.Μ. 99 Ημερομηία παράδοσης 9-10-014 Θεωρούμε έα καοικό -γωο και σημειώουμε μια γωία του καθώς και τις γωίες του ισοσκελούς τριγώου

Διαβάστε περισσότερα

ονοµάζεται γεωµετρική πολλαπλότητα αυτής. Τα ιδιοδιανύσµατα αυτά είναι βάση του διανυσµατικού υποχώρου E ( λ 0 ), που ονοµάζεται ιδιόχωρος

ονοµάζεται γεωµετρική πολλαπλότητα αυτής. Τα ιδιοδιανύσµατα αυτά είναι βάση του διανυσµατικού υποχώρου E ( λ 0 ), που ονοµάζεται ιδιόχωρος Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα από 5 Μάθηµα 5 ο Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρία : Γραµµική Άγεβρα : εδάφιο, σε 33 (όχι Πρόταση 63) εδάφιο, σε 4, Πρόταση 65, (χωρίς απόδειξη) και Πρόταση 66 εδάφιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β. Β1. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως ρητή με πρώτη παράγωγο. x Μονοτονία της f oλικό ελάχιστο στο 0 το f(0)=0

ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β. Β1. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως ρητή με πρώτη παράγωγο. x Μονοτονία της f oλικό ελάχιστο στο 0 το f(0)=0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Χ.ΚΟΜΝΗΝΑΚΙΔΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ M.Sc. ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα 262. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα 141

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 7 Μάθημα 8ο ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 8 Το διωυμικό θεώρημα μπορεί α αποτελέσει τη βάση για τη απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι

Διαβάστε περισσότερα

x [ ] T ( ) Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Λυµένες Ασκήσεις * * * * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ

x [ ] T ( ) Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Λυµένες Ασκήσεις * * * * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 4 Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ 5-5 Ασκήσεις :, 4, 6, 8, 9,, σελ 59 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 6 ο πίακας είαι η µοαδική ιδιοτιµή του,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο TEI

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο TEI Βασικές γώσεις Μαθηµατικώ Α και Β Λυκείου που πρέπει α ξέρουµε για α ξεκιήσουµε τις σπουδές µας στο TEI Επιµέλεια Όµηρος Κορακιαίτης Προσθήκες διορθώσεις: Θεολόγος Πααγιωτίδης Άλγεβρα και πράξεις: (ή το

Διαβάστε περισσότερα

lim lim Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x του πεδίου ορισµού της, όταν υπάρχει στο R, το

lim lim Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x του πεδίου ορισµού της, όταν υπάρχει στο R, το ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συάρτηση είαι παραγωγίσιµη σε έα σηµείο του πεδίου ορισµού της, ότα υπάρχει στο R, το lim ( ( Το όριο αυτό οοµάζεται παράγωγος της στο και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι 1,,, k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά Β.1. τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi.

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi. ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Τι οομάζουμε σύολο Μιγαδικώ Αριθμώ; Τι οομάζουμε πραγματικό μέρος - φαταστικό μέρος εός μιγαδικού αριθμού α + βi. Σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ οομάζουμε έα υπερσύολο τω

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ . ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9 0 A Οµάδας.i) Να κάετε τη διαίρεση ( x + 6x 7x+ 0 ) : ( x+ ) και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x + 6x 7x+ 0 x+ x 9x + + x + 9x 8x+ 0 + 8x+

Διαβάστε περισσότερα

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμέο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α .5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

Διαβάστε περισσότερα

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x)

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x) taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f() S + +, R όπου η μέση τιμή και S > η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος μεγέθους Α η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α- Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

ευτέρα, 18 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ευτέρα, 18 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 009 ευτέρα, 8 Μα ου 009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o Α. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πρακτικές και καινοτομίες στην εκπαίδευση και στην έρευνα. Χρόνης Χ. Παναγιώτης pachronis@gmail.com Περίληψη Στόχος της εργασίας αυτής είναι να καταδείξει

Διαβάστε περισσότερα

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες δηλώνουν τη γραµµή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α. . Για παράδειγµα, οι πίνακες

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες δηλώνουν τη γραµµή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α. . Για παράδειγµα, οι πίνακες ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε το ορισµό και τις στοιχειώδεις ιδιότητες τω πιάκω, που είαι ορθογώιες παρατάξεις αριθµώ ή άλλω στοιχείω Οι πίακες εµφαίζοται στη θεωρία τω γραµµικώ

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, που κρατάς στα χέρια σου προέκυψε τελικά μέσα από την εμπειρία και διδακτική διαδικασία πολλών χρόνων στον Εκπαιδευτικό Όμιλο Άλφα. Είναι το αποτέλεσμα συγγραφής πολλών καθηγητών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Μαθηματικών 1 ης Δέσμης 1983

Θέματα Μαθηματικών 1 ης Δέσμης 1983 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης 983 ΖΗΤΗΜΑ Α. α) Α ( ), ( ) ΖΗΤΗΜΑ α β ακολουθίες πραγματικώ αριθμώ με : lim α = α και limβ = β α αποδειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΛΛΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΛΛΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

3Νο. ασκήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ( ) ( 0)

3Νο. ασκήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ( ) ( 0) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π Δ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) 3Νο ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 Να μελετήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΕΤΟΥΣ 007 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Απογευματιή εξέταση στα μαθήματα: «. Άλγεβρα» «.5

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) Να μελετηθεί η συνάρτηση Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις x+ 5 f(x = ως προς τη μονοτονία. x Το πεδίο ορισμού της f(x είναι το {}. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έστω x1 < x

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε .3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 5 ο NΟΡΜΑ ΠΙΝΑΚΑ

Μάθηµα 5 ο NΟΡΜΑ ΠΙΝΑΚΑ Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από 3 Μάθηµα 5 ο NΟΡΜΑ ΠΙΝΑΚΑ Για κάθε αριθµό, η -όρµα του διαύσµατος [ ] = συµβολίζεται και ισούται µε το θετικό αριθµό = = (5) Αποδεικύοται για τη -όρµα οι παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

5.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ

5.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ 5 54 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Εισαγωγή Η αοδοχή τω μιγαδικώ αριθμώ, εκτός αό τις δυατότητες ου άοιξε στη είλυση τω εξισώσεω, έδωσε μεγάλη ευελιξία στο αλγεβρικό λογισμό Για αράδειγμα, η αράσταση

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος.

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύεται σε κάθε συάδελφο Μαθηματικό, αλλά κυρίως σε κάθε έο συάδελφο που πρόκειται α συμμετάσχει στο διαγωισμό του Α.Σ.Ε.Π. Επίσης, απευθύεται σε μαθητές με υψηλούς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 4 ο ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 7, σελ Ασκήσεις : 1, 2, 3, σελ. 107.

Μάθηµα 4 ο ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 7, σελ Ασκήσεις : 1, 2, 3, σελ. 107. Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 8 Μάθηµα 4 ο ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 7, σελ 05 Ασκήσεις :,, 3, σελ 07 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 4 Α ο πίακας R είαι ορθογώιος, αποδείατε ότι I

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικών ( αν) ν αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα & αντιπαραδείγµατα.

Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικών ( αν) ν αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα & αντιπαραδείγµατα. Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικώ ( α) µε ατιπροσωπευτικά παραδείγµατα & ατιπαραδείγµατα. Ιωάης Π. Πλατάρος, Μαθηµατικός, Καπετά Κρόµπα 37, Τ.Κ. 24 2 ΜΕΣΣΗΝΗ, ηλ./ταχ. Plataros@sch.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Α. Να βρεθού οι κ,λ R για τους οποίους είαι ίσα τα πολυώυµα ( λ + 1) x ( κ ) x λ + 1 (x) = και Q(x) = κx λx + κ Β. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ R για τους

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) =

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) = ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηματική Ανάλυση Ι ΟΜΑΔΑ: Α 8 Μαρτίου, 0 Θέμα. (αʹ) Εστω A, B μη κενά σύνολα πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε x y, για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ. Εξέταση Σεπτεμβρίου Επώνυμο συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις. Όνομα. ΑΜ_(13 ψηφία) Σύνολο

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ. Εξέταση Σεπτεμβρίου Επώνυμο συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις. Όνομα. ΑΜ_(13 ψηφία) Σύνολο Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 00 Επώυμο συοπτικές εδεικτικές λύσεις Όομα ΑΜ_( ψηφία) Ημ/ία Αίθουσα Α 4 Σύολο Η εξέταση αποτελείται από 4 Θέματα Κάθε θέμα αξίζει μοάδες Το άριστα είαι 0 μοάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. Μια παράγουσα της f(x)=2x, στο R, είναι η συνάρτηση F(x)=xx 22. Άρα σύμφωνα με το θεώρημα, όλες οι παράγουσες της f στο R, είναι της

π.χ. Μια παράγουσα της f(x)=2x, στο R, είναι η συνάρτηση F(x)=xx 22. Άρα σύμφωνα με το θεώρημα, όλες οι παράγουσες της f στο R, είναι της Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Επιμέλεια: Γιάννης Κυριακόπουλος Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με την παράγουσα συνάρτηση ή αρχική συνάρτηση. Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΑΡΧΕΙ ( ) τέµνει σε άπειρα σηµεία την πλάγια ασύµπτωτή της; 9. Υπάρχει συνάρτηση που να µην είναι η σταθερή η οποία έχει άπειρες

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΑΡΧΕΙ ( ) τέµνει σε άπειρα σηµεία την πλάγια ασύµπτωτή της; 9. Υπάρχει συνάρτηση που να µην είναι η σταθερή η οποία έχει άπειρες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΑΡΧΕΙ. Υάρχει συάρτηση f : R R : f ( ) + f( ) =, για άθε. Υάρχει συάρτηση f ορισµέη αι συεχής [,+ ), η οοία δε αρουσιάζει αρότατο στο 3. ίεται συάρτηση f τέτοια ώστε f f = +, R. Υάρχει συάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους τω ακολουθιώ: α) α = + + β) α = 4 γ) α = δ) α = (-) + +. + 4 Να αποδείξετε ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας α =

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται ολικά ακρότατα της f.

Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται ολικά ακρότατα της f. 1 Ερώτηση: Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, αύξουσα, φθίνουσα, γνησίως μονότονη Mία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν

Διαβάστε περισσότερα