ΜΑΘΗΜΑ Πράξεις Συζυγής

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ. Πράξεις Συζυγής Ασκήσεις Εξισώσεις Από σχέση σε σχέση ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Α, είαι οι ρίζες της εξίσωσης + i + = + i. 5 = 7 + i = 0 + = = = 7, α αποδείξετε ότι =, = 7 = 7 ( + ) + i = + i = 6 + i = + i. Α, είαι οι ρίζες της εξίσωσης =, α αποδείξετε ότι i + i = 7 Υπόδειξη = = = 0 και ακολούθησε τη άσκηση

2 . Α γωρίζουµε ότι η εξίσωση α + +β= i, α βρείτε τους α, β. Η ρίζα επαληθεύει τη εξίσωση α( i 0 µε, αβ R έχει ρίζα το µιγαδικό ) + i + β = 0 α [ i + (i ) ] + i + β = 0 α [ i ] + i + β = 0 α αi + i + β = 0 ( α + + β) (α + ) = 0 α + + β = 0 και α + = 0 β = α και α = β = ( ) και α = β = και α = β = 5 και α =. Στο σύολο C α λυθεί η εξίσωση = = 0 ( + ) + (+ 9) = 0 ( + ) + ( + ) = 0 ( + )( +) = 0 + = 0 ή + = 0 = ή = = ή = i ή = i Παραγοτοποίηση 5. Στο σύολο C α λυθεί η εξίσωση Υπόδειξη Ακολούθησε τη άσκηση = 0.

3 6. Στο σύολο C α λυθεί η εξίσωση + = 0 + = 0 ( ) ( ) = 0 ( )( ( )( + + ) ( ) = ) = 0 ( )( + ) = 0 = 0 ή = 0 ή = ± i + = 0 ( = = ) 7. Στο σύολο C α λυθεί η εξίσωση + + 7= 0 Υπόδειξη. Σχήµα Horner µε έα από τους διαιρέτες ±, ± 7 του 7. Η εξίσωση γίεται ( )( + + 7) = 0 Παραγοτοποίηση Σχήµα Horner

4 8. Να δείξετε ότι, δύο από τις ρίζες της εξίσωσης ( ) + = 0. = () = 0 = είαι ρίζες και της εξίσωσης ( )( + + ) = 0 = 0 ή + + = 0 = ή + = () Ότα =, τότε ( ) + = ( ) Ότα + = Από µικρότερο εκθέτη σε µεγαλύτερο =, τότε ( ) + = + () = ( ) = = ( ) 7 () = 0 ( ) 7 = = ( + ) () = + ( + ) = 0

5 5 9. Α, είαι οι ρίζες της εξίσωσης ισχύει + = = 0, α βρείτε κάθε = 8 =, = ± i = ± i, = + i i = i ( ( = = i+ i = i = + i (+ ( i + i = i N, ώστε α + = 0 = =, = ( = () Ατί α δουλεύουµε µε δύο µιγαδικούς, δουλεύουµε µε έα, το Για = κ, είαι ( κ =, δε ικαοποιείται η () Για = κ +, είαι ( ) κ+ i = ( κ ( = ( = i, δε ικαοποιείται η () Για = κ +, είαι ( ) κ+ i = ( κ ( i ) = ( ) = ικαοποιείται η () Για = κ +, είαι ( ) κ+ i = ( κ ( i ) Εποµέως = κ +, κ Z. = ( i ) = i, δε ικαοποιείται η ()

6 6 0. Στο σύολο C α λύσετε τη εξίσωση 0 συθ + =, όπου 0 < θ < π, 0, π, οι Στη συέχεια, α αποδείξετε ότι, καθώς το θ µεταβάλλεται στο διάστηµα ( ) εικόες τω ριζώ της παραπάω εξίσωσης κιούται στο κύκλο που έχει κέτρο τη αρχή τω αξόω και ακτία. = 6 ηµ θ συ θ 6 = 6 ( συ θ ) = 6 = συθ± i ηµθ = (συθ±ηµθ ) = συθ± ηµθ = (συθ ) + (ηµθ ) = συ θ + ηµ θ = ( συ θ + ηµ θ ) = = Άρα =, οπότε η εικόα του κιείται στο κύκλο που έχει κέτρο τη αρχή τω αξόω και ακτία.. Στο σύολο C α λύσετε τη εξίσωση συθ + συ θ+ 9ηµ θ= 0, όπου θ R. Στη συέχεια, α αποδείξετε ότι, καθώς το θ µεταβάλλεται στο R, οι εικόες τω ριζώ της παραπάω εξίσωσης κιούται σε µια έλλειψη. = 6συ θ (συ θ + 9ηµ θ ) = 6συ θ 6συ θ 6ηµ θ = 6ηµ θ = συθ± 6i ηµθ = συθ + iηµθ ή συθ iηµθ Έστω = x + yi Θα είαι x = συθ και y = ± ηµθ Αλλά x = συ θ και συ θ = x y = 9ηµ θ και ηµ θ = συ θ + ηµ θ =, άρα x y 9 + y 9 = που είαι εξίσωση έλλειψης.

7 7. Στο σύολο C α λύσετε τη εξίσωση ηµ θ ηµθ + +συ θ= 0, όπου θ 0, π. ( ) Στη συέχεια, α αποδείξετε ότι, καθώς το θ µεταβάλλεται στο διάστηµα ( 0, π ), οι εικόες τω ριζώ της παραπάω εξίσωσης κιούται σε µια υπερβολή. = 6ηµ θ ηµ θ ( + συ θ ) = 6ηµ θ 6ηµ θ ηµ θ συ θ = ηµ θ συ θ ηµθ± i ηµθσυθ = = ηµ θ ηµθ ± i συθ ηµθ Έστω = x + yi Θα είαι x = και y = ± συθ ηµθ ηµθ x ηµθ = και y ηµθ = ± συθ ηµθ = x και y x = ± συθ Αλλά ηµθ = και συθ = ± y x x συ θ + ηµ θ =, άρα x + y = x + y = x x y = x y = που είαι εξίσωση υπερβολής. Έστω C και { 0,} Να αποδείξετε ότι N, έτσι ώστε α ισχύει = = 0 ( ) ( ) = 0 + = 0 + = = = 0. = = ( 00 ) = ( ) =

8 8. Για τους, C δίεται ότι + =. Να αποδείξετε ότι + = 0 i ( ) + = + + ( = = 0 () + )( + + = 0 =. ) = 0 ( + ) i ( ) = + + = = 0 που ισχύει από τη () 5. Α C και + = 0 + = 0, α αποδείξετε ότι i ii = = = ( ) = = = i 5 = = ( ) = ii 8 Αρκεί α δειχθεί ότι + 8 = 6 + = =. 8 5 Είαι = = ( )( ) = () = 5 = =. Από µεγαλύτερο εκθέτη σε µικρότερο 6 = ( 8 ) = ( ) = + = + = () 6 8 () + () + = + =

9 9 6. Α C και + =, α αποδείξετε ότι 5 + = + 5. Η υπόθεση + = + = = () 5 Αρκεί α αποδείξουµε ότι + = = + (A) Θα εκφράσουµε κάθε µία από τις δυάµεις () = ( ) = + + ( ) = + + = () 6 = = ( ) = 6 = ( ) ( ) = ( ) = () 6 6 () + () + = + (5) ( ) = + = () Από µικρότερο εκθέτη σε µεγαλύτερο 6 6 = ( ),( ) =. = + = + (6) 6 6 Από τις (5), (6) + = + δηλαδή η (Α)

10 0 7. ίεται ο µιγαδικός = + i και ο = +. Να αποδείξετε ότι + + = 0 i ii = =, όπου = i = N. = + i i = 0 i = i i + + = 0 = = = ( ) = ii = ( + ) = + + = ( ) = + + = = + = Άρα ( ) = =

11 8. Για τους, C δίεται ότι + = Να αποδείξετε ότι + = 0 i Να βρείτε το µικρότερο N για το οποίο ισχύει = + = 0 Αρκεί α δειχθεί ότι = = = = () = 0 0 =, που ισχύει από τη (), υψώοτας στη 5η i () = ± i Θέλουµε α είαι = = (± i ) = Άρα ο µικρότερος N είαι ο, αφού για =,, δε επαληθεύεται.