Capitolul FF.03 Interferenţa luminii

Transcript

1 Capitolul FF.3 Interferenţa luminii Cuvinte-cheie principiul superpoziţiei, fazor, undă staţionară, experienţa lui Wiener, bătăi luminoase, frecvenţă purtătoare, frecvenţă de modulaţie, tren de unde, viteză de fază, viteză de grup, termen de interferenţă, dispozitivul lui Young, franje localizate, interfranjă, straturi subţiri, strat antireflex, pană optică, inelele lui Newton, coerenţă temporală, coerenţă spaţială, timp de coerenţă, lungime de coerenţă, rază de coerenţă FF.3.1 Introducere Fenomenul de interferenţă se produce la suprapunerea a două sau mai multe unde coerente şi constă în esenţă în redistribuirea energiei purtate de undele luminoase în zone de maxim şi de zone de minim, numite franje de interferenţă. Acolo unde vibraţiile individuale ale vectorilor de câmp se adună, întărindu-se reciproc, interferenţa este constructivă, iar acolo unde acestea se scad, anihilându-se, se spune că interferenţa este destructivă. Fenomenul depinde de lungimea de undă, prin urmare poate fi responsabil pentru dispersia luminii în culorile componente. Justificarea teoretică a interferenţei luminii se face pornind de la principiul superpoziţiei: dacă într-un punct din spaţiu coexistă mai multe unde luminoase, vectorul intensitate câmp electric al undei rezultante E este suma vectorilor câmp electric E1, E, ai undelor care se suprapun în punctul respectiv: E r, t E r, t E r, t (3.1) 1 La începutul acestei secţiuni dedicate interferenţei vom face o prezentare a metodelor folosite în mod curent pentru suprapunerea undelor, metode care vor fi folosite în analiza fenomenelor de interferenţă şi, ulterior, difracţie. Ca aplicaţie la suprapunerea undelor de aceeaşi frecvenţă sunt discutate undele staţionare, care sunt importante în construcţia cavităţilor laser rezonante. Prezentarea suprapunerii undelor cu frecvenţe uşor diferite are ca scop introducerea conceptului de tren de undă, ca model pentru propagarea luminii în spaţiu. Sunt definite viteza de fază, viteza de grup şi fenomenul de bătăi luminoase. Pot fi de asemenea găsite abordări teoretice şi câteva aplicaţii practice ale mai multor dispozitive optice clasice care utilizează interferenţa luminii: dispozitivul lui Young, straturi subţiri, straturi antireflex, pana optică, inelele lui Newton. Secţiunea se încheie cu o abordare teoretică simplificată a coerenţei temporale, bazată pe analiza Fourier, şi o explicare a coerenţei spaţiale, definindu-se totodată mărimile caracteristice cum ar fi timpul de coerenţă, lungimea de coerenţă şi raza de coerenţă

2 FF.3. Suprapunerea undelor cu aceeaşi frecvenţă Metoda algebrică Dacă două sau mai multe unde cu aceeaşi frecvenţă se propagă în acelaşi timp în acelaşi spaţiu, atunci, conform principiului superpoziţiei, unda rezultantă este suma algebrică a undelor individuale. Matematic, acest principiu rezultă din liniaritatea ecuaţiei diferenţiale a undelor în raport cu funcţiile de undă necunoscute: orice combinaţie liniară a soluţiilor individuale este de asemenea o soluţie. Pentru simplitate considerăm două unde armonice plane, de aceeaşi frecvenţă, care se propagă în aceeaşi direcţie Ox. Ele satisfac ecuaţie de undă unde r r E( x, t) 1 E( x, t), (3.) x v t 1 c v este viteza undei electromagnetice în mediul în care se propagă unda. εμ ε μ O soluţie arbitrară a sa poate fi scrisă sub forma E( x, t) E cos( kx ωt φ ) E cos(ωt kx φ ) E cos[ωt α( x)] în care am introdus notaţia α( x) kx φ pentru termenul de fază dependent de poziţie. Atunci funcţiile de undă care descriu perturbaţia electrică în cele două unde sunt de forma E ( x, t) E cos[ωt α ( x)], E ( x, t) E cos[ωt α ( x)], unde termenii de fază care depind de poziţie sunt daţi de relaţiile 1( x) kx 1 ( x) kx. Conform principiului superpoziţiei, acestea se adună pentru a produce şi rezultanta E( x, t) E ( x, t) E ( x, t). 1 Înlocuind expresiile perturbaţiilor componente, obţinem E cos[ωt α( x)] E cos[ωt α ( x)] E cos[ωt α ( x)]. 1 1 În relaţia de mai sus am introdus notaţiile E şi α( x ) pentru amplitudinea şi termenul de fază dependent de poziţie în unda rezultantă. Scopul calculului următor este să determinăm expresiile lor în funcţie de mărimile corespunzătoare ale undelor care se suprapun E 1, E şi respectiv α 1( x ), α ( x ). Începem prin a dezvolta expresia cosinusului folosind identitatea trigonometrică cos a b cos a cosb sin asin b - -

3 E cosωt cos α E sin ωt sin α E cos ωt cosα E sin ωt sin α E cos ωt cosα E sin ωt sin α. Egalitatea de mai sus trebuie să fie valabilă la orice moment t. Acest lucru este posibil doar dacă factorii care înmulţesc cosωt, respectiv sin ωt sunt aceeaşi în ambii membri ai egalităţii, adică dacă E cosα E cosα E cos α 1 1 E sin α E sin α E sin α. 1 1 Am obţinut două egalităţi pe care le ridicăm la pătrat şi apoi le adunăm. După mai multe calcule de algebrice elementare, găsim cele două expresii căutate şi (3.3) E E E E E cos(α α ) (3.4) E tan α E sin α cosα E E sin α cos α (3.5) Observaţi că α α1 este diferenţa de fază dintre undele care se suprapun δ α α k( x x ) (φ φ ) kx φ Folosind această notaţie, rezultă amplitudinea perturbaţiei în unda rezultantă ca funcţie de amplitudinile perturbaţiilor electrice componente E 1, E şi de diferenţa de fază δ E E E E E cos δ. 1 1 Vom discuta implicaţiile relaţiilor de mai sus atunci când vom prezenta fenomenul de interferenţă. Metoda reprezentării complexe Aşa cum s-a văzut anterior, sumarea algebrică a undelor presupune lucrul cu funcţii trigonometrice. Acesta poate fi incomod, mai ales atunci când este vorba despre adunarea mai multor unde. Reprezentarea funcţiilor de undă ca funcţii exponenţiale complexe este adeseori mai uşor de folosit şi este, aşa cum vom vedea, o reprezentare perfect echivalentă. Aşadar undele care se suprapun sunt scrise sub forma iar unda rezultantă i ωt α1 x i ωt α x 1 1, E E e E E e i t x E Ee ω α

4 În relaţiile de mai sus amplitudinile E, E 1 şi E sunt valori reale. Faza undei devine argumentul mărimii complexe care exprimă intensitatea câmpului electric. Principiul superpoziţiei se exprimă în acest caz printr-o egalitate de funcţii complexe E E1 E. Pentru ca aceasta să fie adevărată, este necesar ca părţile reale, respectiv imaginare să o satisfacă. Punând condiţia şi, respectiv, E E E Re Re Re 1 E E E Im Im Im 1 obţinem cele două egalităti de funcţii reale (3.3) pe care le-am mai întâlnit în metoda de reprezentare algebrică şi au condus la rezultatele (3.4) şi (3.5) privind amplitudinea şi faza undei rezultante. Aceasta demonstrează echivalenţa celor două reprezentări, în sensul că ele conduc la aceleaşi rezultate prin mijloace diferite. Calculul amplitudinii câmpului electric al undei rezultante este mai uşor de făcut în complex. Pe de o parte şi, pe de altă parte E E1 E E1 E i ωt α x i ωt α x E E e E e E * [ E e E e ] [ E e E e ] i(ωt α 1) i(ωt α ) i(ωtα 1) i(ωtα ) 1 1 E E E E [ e e ] E E E E cos δ, i(α α 1) i(α α 1) i(α α 1) i(α α 1) unde am folosit faptul că e e cos(α α ). Prin compararea rezultatelor 1 găsim E E E E E cos(α α ), adică tocmai (3.4), dar cu un volum mai mic de calcule

5 E E 1 β E 1 ωt β 1 β 1 E E 1 E 1 Axa de a) referinţă b) ωt Axa de referinţă Figura 3.1 Metoda fazorială de de compunere a undelor a) Reprezentarea mărimii de câmp electric dintr-o undă electromagnetică printr-un fazor; axa de referinţă corespunde fazei nule a undei reprezentate; b) Reprezentarea celor două unde care se suprapun; observaţi măsurarea unghiurilor în raport cu axa de referinţă E E β β β 1 ωt β 1 β E 1 E 1 E E Axa de referinţă Figura 3. Compunerea celor doi fazori după regula poligonului vectorii se plasează vârf la coadă, respectând fazele iniţiale; pe figură sunt marcate amplitudinea şi faza iniţială ale fazorului reprezentând unda rezultantă. Axa de referinţa corespunde fazei nule. Metoda fazorială Metoda de reprezentare fazorială a mărimii de câmp reduce suprapunerea undelor de aceeaşi frecvenţă la adunarea vectorială. Un fazor este un vector care se roteşte cu aceeaşi frecvenţă ca frecvenţa de vibraţie a undei şi al cărui modul coincide cu amplitudinea vectorului câmp electric în unda electromagnetică rezultantă. În mod similar cu un număr - 5 -

6 complex, un fazor este complet determinat de mărimea şi faza sa (argumentul în terminologia numerelor complexe). În unele manuale se foloseşte o notaţie specială pentru fazori, de exemplu E (ωt α). În reprezentarea fazorială unghiurile pozitive se măsoară în sens direct trigonometric în raport cu axa de referinţă aleasă. Din acest motiv este mai convenabil ca în această reprezentare să exprimăm undele care se suprapun prin fazorii E1(ωt β 1) şi respectiv E (ωt β ) unde β1, α1, ( vezi figurile 3.1a şi 3.1b). În figura 3. sunt reprezentaţi pe aceeaşi diagramă fazorii undelor care se suprapun, precum şi fazorul E (ωt β) al undei rezultante. Pentru a-l găsi pe acesta din urmă am folosit regula de adunare vectorială a poligonului, în care fazorii individuali sunt plasaţi astfel încât varful unuia să coincidă cu punctul de aplicaţie al următorului. În acest caz perturbaţiile electrice în undele care se suprapun, precum şi în unda rezultantă sunt exprimaţi prin proiecţia cu cosinus după axa de referinţă. Figura devine mult mai simplă (figura 3.3) dacă luăm o axă de referinţă rotită cu unghiul ωt faţă de axa iniţială, astfel încât un fazor orientat dupa axa de referinţă să aibă faza ωt şi nu zero, aşa cum se întâmpla iniţial. E E Proiectând fazorii după direcţia axei de referinţă şi cea a axei reciproc perpendiculare, obţinem relaţia E cos[ωt β] E1 cos[ωt β 1] E cos[ωt β ], similară celei din metoda trigonometrică deoarece β β 1 β E 1 E1 E E β β β 1 Axa de referinţă Figura 3.3 Compunerea fazorilor într-un sistem în care axa de referinţă corespunde fazei ωt. α. Aceasta arată că şi metoda fazorială este complet echivalentă, ωt - 6 -

7 conducând la aceleaşi rezultantă ca şi celelalte două metode de adunare a undelor cu aceeaşi frecvenţă. FF.3.3 Unde luminoase staţionare Suprapunerea undei luminoase incidente cu cea reflectată dă naştere la un tip particular de unde, numite staţionare, într-un mod analog cazului undelor elastice (F3). Să ne imaginăm un fascicul de lumină plan monocromatică incident pe o oglindă, ca în figura 3.4. Unda se propagă de la dreapta la stânga în sensul negativ al axei Ox şi este reflectată pe o oglinda perfect reflectătoare. În spaţiul din dreapta oglinzii coexistă unda incidentă şi unda reflectată. Conform principiului superpoziţiei, prin sumarea lor algebrică obţinem unda rezultantă. Intensitatea câmpului electric în cele două unde poate fi scrisă sub forma E E sin( kx ω t ); E E sin( kx ω t ). (3.6) i i r r La scrierea fazei undei incidente am folosit faptul că aceasta este o undă armonică plană regresivă (F47). Amplitudinile sunt egale între ele (şi egale cu E ) pentru că am presupus că oglinda este perfect reflectătoare. Fazele iniţiale în unda incidentă şi cea reflectată sunt notate cu i şi r. În anumite condiţii perturbaţia rezultantă prezintă un aspect staţionar, asemănător cu ceea ce se întâmplă într-o coardă fixată la un capăt (F3) atunci când se aplică o forţă perpendicular pe direcţia corzii. Oglinda Unda incidentă Direcţia de propagare x Unda reflectată Direcţia de propagare x Oglindă Figura 3.4 Producerea undelor staţionare. Unda incidentă şi cea reflectată sunt reprezentate separate. Observaţi saltul de π radiani care apare la reflexia pe suprafaţa oglinzii perfect reflectătoare

8 În acest tip particular de unde, perturbaţia nu se propagă. Evoluţia în timp şi spaţiu a Ventru Nod Oglindă anvelopei amplitudinii câmpului electric din unda rezultantă este prezentată în figura 3.5. Observaţi că există puncte din spaţiu, numite noduri, în care perturbaţia este întotdeauna nulă şi puncte, numite ventre, în care amplitudinea perturbaţiei este maximă la orice moment. Am precizat că un astfel de mod de vibraţie în unda rezultantă este posibil numai dacă este îndeplinită o anumită condiţie. Aceasta constă în necesitatea ca în punctul de incidenţă a luminii pe oglindă intensitatea rezultantă a câmpului electric să fie nulă la orice moment. Cu alte cuvinte, fazele undelor incidentă şi reflectată trebuie să fie de aşa manieră încât în punctul de incidenţă să se producă perturbaţii egale şi de sens opus care, prin suprapunere, să producă un nod. Acest punct are coordonata spaţială x (originea axei Ox a fost aleasă astfel). Faza iniţială a undei incidente poate fi oricând facută zero prin pornirea cronometrului în momentul când aceasta ajunge la oglindă. Atunci expresia intensităţii câmpului electric este E sin( ω ) i E kx t. Punem condiţia pentru a obţine unde staţionare: la orice moment t, de unde rezultă Figura 3.5 Instantanee ale vibraţiei într-o undă staţionară. Maximele se numesc noduri, iar minimele nule ventre. E (, t) E (, t) r E sin( ωt φ ) E sin ωt. r i - 8 -

9 Egalitatea de mai sus este adevărată la moment arbitrar dacă şi numai dacă φ. Prin urmare, expresiile intensităţii câmpului electric în unda incidentă şi cea reflectată care prin suprapunere dau unde staţionare trebuie să fie de forma E E sin( kx ω t); E E sin( kx ω t) (3.7) i r Funcţia de undă staţionară se obţine prin însumarea lor. Efectuând calculele şi folosind α β α β identitatea trigonometrică sin α sin β sin cos, rezultă: E( x, t) E sin( kx ω t) E sin( kx ω t) E sin kx cosωt. Aceasta poate fi scrisă sub forma ecuaţiei unei oscilaţii în timp cu frecvenţa unghiulară x ω. Oscilaţia are amplitudinea E variabilă de la punct la altul de-a lungul axei Ox. unde E( x, t) E x cos ωt (3.8) E x E sin kx. (3.9) În cele figura 3.6 sunt reprezentate funcţiile de undă incidentă şi reflectată (linii subţiri) şi unda staţionară rezultantă (linie groasă) la câteva momente particulare, care determină valori reprezentative (, π / 4, π /, 3π / 4, π, 5π / 4, 3π /, 7π / 4, π ) ale fazei oscilaţiei, ωt. Ele reprezintă instantanee la care poate urmări profilul în spaţiu al undei. staţionare. r a) ωt, ωt π b) ωt π / 4, ωt 5π / 4-9 -

10 c) ωt π /, ωt 3π / d) ωt 3π 4, ωt 7π / 4 e) ωt π Figura 3.6. Reprezentarea grafică a un vibraţiei electrice în unda incidentă E sin( kx ω t), unda reflectată Er E sin( kx ω t) (cu linie subţire) şi unda rezultantă Ei Er (cu linier groasă) ca funcţie de distanţa x, la diferite momente, care determină valorile termenului de fază ωt. Dacă urmăriţi evoluţia spaţială a rezultantei de la un moment la altul veţia avea o reprezentaresimilară celei din figura 3.5 Examinând expresia funcţiei de undă staţionare, se vede că amplitudinea maximă este E E în ventre şi minimă Emin în noduri. Condiţia care dă coordonatele max maximelor este sau sin kx kx mπ, m,1,... (3.1) nod nod π λ xnod mπ xnod m. (3.11) λ - 1 -

11 Nodurile sunt separate printr-o distanţă egală cu o jumătate de lungime de undă. de unde Poziţia ventrelor rezultă din condiţia π (3.1) sin kxventru 1 kxventru (m 1) π π λ xventru (m 1) xventru (m 1), m,1,, (3.13) λ 4 Două ventre consecutive sunt la distanţă de o semiundă. Discuţia precedentă s-a referit strict la cazul în care amplitudinile undelor incidentă şi reflectată sunt egale. Dacă oglinda considerată este parţial reflectătoare şi permite ca o mică parte din lumina incidentă să fie transmisă în spatiul din spatele oglinzii, undele staţionare se pot stabili totuşi. Diferenţa constă în faptul că amplitudinea câmpului în noduri nu mai este nulă iar modul de vibraţie este unul compus dintr-un mod staţionar şi unul de undă progresivă, aşa cum se întâmplă într-o cavitate laser. Existenţa undelor luminoase a fost pusă în evidenţă pentru prima oară în experimentul lui Wiener. Lumina de la o sursă monocromatică este incidentă pe oglinda de sus, ca în figură Oglindă Plan ventre Film fotografic Oglindă Figura 3.7 Unde staţionare luminoase. Experienţa lui Wiener. În punctele în care planul filmului intersectează planele ventrelor se produc după developare zone întunecate, pentru că acolo impresionarea emulsiei fotografice este maximă. şi este reflectată înapoi. Distanţa dintre oglinzi este aleasă astfel încât să fie îndeplinită condiţia de a se stabili unde staţionare, adică această distanţă este număr întreg de semiunde. Atunci când se pune în vecinătatea uneia dintre oglinzi un film fotografic puţin înclinat faţă de aceasta (unghi de ordinul minutelor de grad), pe film se pot observa după developare benzi întunecate. Prezenţa lor se explică prin faptul că acolo planul filmului intersectează diferite planuri ventrale, aşa cum se vede din figura alăturată. Reprezentarea înclinării filmului este mult exagerată, în scopuri didactice. Un sistem de două oglinzi perfect reflectătoare separate printr-o distanţă care este egală cu un număr întreg de semiunde formează un rezonator optic. Datorită îndeplinirii

12 condiţiei necesare, în rezonatorul optic se stabilesc unde staţionare. Cavitatea laser este un rezonator optic în care una dintre oglinzi este slab transmiţătoare (transmisie sub 1%). Să consideră o cavitate laser cu lungimea L în care se propagă radiaţie laser cu lungimea de undă λ. Numărul de noduri care se cuprind în lungimea cavităţii determină numărul de frecvenţe compatibile cu cavitatea respectivă. De fapt numărul respectiv este numit numărul de moduri ale cavităţii şi se notează cu m : L m. λ De exemplu, dacă L 3cm şi λ 6nm, atunci m,3m 6 1 m Acesta este un număr uriaş, datorat valorii extrem de mici a lungimii de undă în raport cu lungimea cavităţii. Frecvenţa modului de ordin m se calculează cu relaţia fm v v v λ m L m L, (3.14) În care am notat cu v viteza luminii laser în mediul amplificator. Conform acestei relaţii diferenţa între frecvenţele a două moduri învecinate, notată cu fmod este v fmod fm 1 fm. (3.15) L Să presupunem că lărgimea de bandă a tranziţiei laser este medie λ. Diferenţiem relaţia dintre frecvenţă şi lungimea de undă λ, centrată pe valoarea f v λ, şi găsim în cele din urmă lărgimea de bandă în frecvenţă (semnul minus este omis pentru ca ne interesează mărimile) Împărţind v f λ. (3.16) f la distanţa care separă două moduri vecine, putem afla numărul de moduri care pot fi susţinute de cavitatea laser: m v λ f λ L. (3.17) v L cavitate f mod Adeseori este preferabil ca un laser să opereze pe un singur mod (laser monomod). În aces caz cavitatea este proiectată astfel încât separarea în frecvenţă a două moduri vecine să fie mai - 1 -

13 mare decât largimea de bandă în frecvenţă a tranziţiei laser condiţia f mod f, ceea ce se reduce la λ L. λ Exemplu Calculaţi numărul de moduri care pot fi susţinute de cavitatea unui lase cu He-Ne, ştiind că lungimea cavităţii este de 3 cm, şi că laserul emite o linie cu lungimea de undă medie de nm şi lărgimea de bandă 1 nm. m 3 9 λ 1 1 m cavitate L 18.3m 3 λ m FF.3.4 Suprapunerea undelor cu frecvenţă diferită Să considerăm două unde având aceeaşi amplitudine E dar frecvenţa diferită, care se propagă în acelaşi mediu nedispersiv, în sensul pozitiv al axei Ox., cos ω E x t E k x t, (3.18) 1 1 1, cos ω E x t E k x t. (3.19) Aplicând principiul superpoziţiei, obţinem intensitatea câmpului electric în unda rezultantă, 1,, E cos k1x ω1t cos kx ωt k k ω ω k k ω ω E x t E x t E x t E cos x t cos x t unde am folosit identitatea trigonometrică α β α β cos α cosβ cos cos. Pentru a simplifica aspectul relaţiei vom introduce următoarele notaţii: (3.) ω ω ω ω ω mod ; ω 1 1 k k k k k 1 1 mod ; k

14 Să facem de la bun început observaţia că frecvenţa ω mod este mică, deoarece este egală cu jumătate din diferenţa între cele două frecvenţe care se suprapun, în timp ce ω este o frecvenţă medie a celor două, deci este relativ mare. Cu aceste notaţii, avem E x, t E cos kmodx ωmodt cos kx ωt. (3.1) Relaţia de mai sus exprimă intensitatea câmpului electric în unda rezultantă. Aceasta nu mai este o unda armonică simplă, aşa cum se întâmpla în cazul suprapunerii undelor de aceeaşi frecvenţă. Ea poate fi descrisă ca o mişcare ondulatorie executată cu frecvenţa înaltă ω, a cărei amplitudine este supusă la rândul său unei oscilaţii în timp şi spaţiu cu frecvenţa joasă ω mod. Pentru a pune în evidenţă această comportare a perturbaţiei electrice în unda rezultantă vom nota amplitudinea variabilă în timp şi spaţiu cu E x t acesteia este Factorul cos k x ω t mod mod x, t E cos k x ω t mod mod mod mod,. Funcţia de undă a E. (3.) este numit unda modulatoare. Ea modulează (în timp şi spaţiu) amplitudinea maximă E la frecvenţa amplitudinii. ω mod şi realizează o anvelopă lent variabilă a Suprapunerea a două unde cu frecvenţa diferită produce o undă rezultantă de forma Factorul coskx ωt, mod, cos ω E x t E x t kx t. (3.3) este numit uneori unda purtătoare. Este interesant să studiem cazul în care frecvenţele celor două unde sunt foarte apropiate ca valoare, ω1 ω ω (ceea ce împlică k1 k k ). În acest caz frecvenţa undei purtătoare şi numărul de unde corespunzător sunt ω ω +ω k k 1 1 ω k k, (3.4) Ceea ce înseamnă că oscilaţiile undei purtătoare se fac la o frecvenţă înaltă aflată într-un domeniu foarte îngust de frecvenţe În figuran 3.8 sunt reprezentate în paralel două unde cu frecvenţe foarte apropiate. Observaţi că acolo unde oscilaţiile sunt în fază, prin suprapunere,

15 Figura 3.8 Suprapunerea undelor cu frecvenţe puţin diferite. În figura de sus cele două vibraţii sunt reprezentate individual, cu linie continuă şi linie punctată. În figura de jos vedeţi rezultatul suprapunerii celor două: acolo unde sunt în faza, se produce un maxim în unda rezultantă iar acolo unde sunt în opoziţie de fază un minim. amplitudinea rezultantă este maximă, dar, pe măsură ce se propagă în spaţiu, diferenţa de fază dintre cele două componente creşte. Când ajunge de ordinul a π radiani, cele două unde sunt în opoziţie de fază iar amplitudinea rezultantă devine minimă. Aşa cum se vede din figură, undele se propagă în spaţiu sub forma unor pulsuri sau trenuri de unde sau pachete de unde. Energia transportată de cele două unde suprapuse în unitatea de timp prin unitatea de suprafaţă este concentrată în aceste pulsuri. Vom vedea că intensitatea undei rezultante pulsează la o frecvenţă mai joasă decât frecvenţa undei purtătoare. Acest fenomen este cunoscut în teoria undelor este cunoscut sub numele de bătăi. Pentru a găsi intensitatea undelor, vom folosi faptul bine cunoscut că aceasta este proporţională cu pătratul amplitudinii. În cazul de faţă, dacă grupăm toate constantele în amplitudinea I, putem scrie că unde I 4E. Folosind mod mod Putem scrie intensitatea undei rezultante sub forma I I cos k x ω t, (3.5) 1 cos α cos α (3.6) I. (3.7) I 1 cos kmod x ωmodt

16 FIZICĂ*F* Aceasta ne spune că frecvenţa bătăilor este de două ori mai mare decât frecvenţa de modulaţie, adică ωbatai ωmod ω1 ω Extinderea în timp şi spaţiu a trenurilor de undă variază invers proporţional cu a) c) e) ωbatai.5 ω b) ωbatai.1 ω ωbatai.15 ω d) ωbatai. ω ωbatai.5 ω f) ωbatai.3 ω Figura 3.9 Comportarea trenului de unde la diferite valori ale raportului dintre frecvenţa bătăilor şi frecvenţa medie. Observaţi scăderea lungimii trenului de unde cu creşterea acestui raport. Figurile au fost obţinute într-un experiment virtual care poate fi accesat pe site-ul (3.8)

17 frecvenţa bătăilor, care nu este altceva decât diferenţa dintre frecvenţele perturbaţiilor care se suprapun. Trenurile de unde lungi sunt caracterizate printr-un raport ωbatai ω 1. În acest caz amplitudinea rezultantei scade foarte lent şi de aceea este o bună a aproximaţie a unei unde electromagnetice plane (să ne amintim că unda electromagnetică plană nu există în realitate este doar un model extrem de util în fizica fenomenelor ondulatorii). Trenurile de undă în care frecvenţa unghiulară a bătăilor este comparabilă cu aceea a undei purtătoare sunt scurte. Comportarea lungimii trenului de undă cu raportul ωbatai ω poate fi observată în figurile 3.9 a) f). Figurile au fost obţinute într-un experiment virtual care poate fi accesat pe site-ul Alte experimente similare interesante pot fi urmărite pe Educypedia Aşa cum se poate vedea, cele mai scurte trenuri de undă corespund cazului în care frecvenţa bătăilor diferă cel mai puţin de frecvenţa purtătoare. Acum putem extinde descrierea de mai sus la cazul suprapunerii mai multor unde cu frecvenţe diferite. În mod asemănător, rezultanta va fi un tren de unde care prezintă aspectul de undă purtătoare modulată în amplitudine. Acolo undele componente sunt aproape în fază, se produce zona de maxim. Deoarece va fi necesară o distanţă mai mare până ce undele revin în fază, este de aşteptat ca separarea pulsurilor să fie mai mare iar extensia spaţială şi temporală a pulsurilor individuale să fie mai mică. Din acest motiv, lumina emisă de sursele convenţionale poate fi descrisă ca o succesiune de pulsuri individuale scurte. În general, orice tip de lumină este alcătuită dintr-un domeniu bine determinat de frecvenţe. Dacă lărgimea de bandă este mică, se spune că lumina are un grad mare de puritate spectrală sau că are un grad mare de monocromaticitate. Trebuie totuşi precizat că chiar şi lumina laser, care este cea mai pură din punct de vedere spectral, prezintă un domeniu bine determinat de frecvenţe apropiate, datorită timpului de viaţă finit al stărilor excitate de pe care se execută tranziţia laser. Considerând o valoare tipică a acestuia 8 m 8 rapid o valoare a lungimii pulsului laser cτ 31 1 s 3m. s τ 8 1 s, se calculează FF.3.5 Viteza de fază şi viteza de grup a luminii Până acum am avut în vedere propagarea undelor într-un mediu nedispersiv. Am arătat că undele se propagă împreună sub forma unor trenuri de unde (pulsuri luminoase) care prezintă maxime şi minime în amplitudine. Singurul mediu perfect nedispersiv este vidul. În

18 vid, orice undă electromagnetică se propagă cu aceeaşi viteză, 8 m c 3 1. Această explică s faptul că în vid atât anvelopa, cât şi unda purtătoare se propagă cu aceeaşi viteză, astfel încât anvelopa este îngheţată (nu are mişcare relativă) faţă de anvelopă. În orice alt mediu există o dispersie mai mare sau mai mică a undelor individuale componente. Altfel spus, acestea se propagă cu viteze diferite.apare ca naturală necesitatea de a defini două tipuri de viteze atunci când trebuie să descriem propagarea unui tren de unde într-un mediu dispersiv. 1. Viteza de fază reprezintă distanţa parcursă în unitatea de timp de frontul de undă (planul de fază constantă) al undei purtătoare. Vom nota această viteză cu v.pentru cazul undelor individuale care oscilează cu frecvenţe apropiate, viteza de vază este dată de relaţia sau ω v (3.9) k ω v (3.3) k. Viteza de grup este prin definiţie distanţa parcursă în unitatea de timp de anvelopa trenului de unde şi se notează cu v g. Aceasta poate fi exprimată prin relaţia v ω ω ω ω k k k k. (3.31) mod g 1 mod 1 Pentru cazul mai multor frecvenţe apropiate, viteza de grup este dată de relaţia: v g ω dω lim k k dk Aşa cum am precizat, în vid unda purtătoare şi anvelopa se propagă împreună cu aceeaşi viteză, adică viteza de fază este egală cu viteza de grup şi egală cu c : (3.3) v vg c (3.33) Într-un mediu dispersiv cele două viteze sunt diferite, iar anvelopa are o mişcare relativă faţă de unda purtătoare. Într-adevăr, ω şi, prin urmare, v g kv, viteza de grup poate fi exprimată ca dω d kv dk dk (3.34) dv vg v k. (3.35) d k

19 dispersie Putem găsi expresia vitezei de grup ca funcţie de lungimea de undă şi de relaţia de n λ. λ vg v 1 n λ dn λ dλ. (3.36) Într-un mediu care prezintă dispersie normală, adică un mediu în care indicele de refracţie scade cu lungimea de undă, d n, viteza de grup este mai mică decât viteza de fază, dλ vg v. Pentru mediile cu dispersie anomală indicele de refracţie creşte cu lungimea de undă, d n şi, prin urmare, viteza de grup este mai mare decât viteza de fază, v v. dλ g Ştiind că Atunci adică Demonstraţie c v n k, derivata vitezei în raport cu numărul de unde este dv d c c dn k k n n k d d d (3.37) dv ck dn c k dn k dn vg v k v v v v, (3.38) d k n d k n n d k n d k v k dn vg v1 n dk. (3.39) Diferenţiind relaţia de definiţie a numărului de unde, Pe care o introducem în relaţia anterioară pentru a găsi expresia sau, după efectuarea calculelor, k π λ, găsim π dk dλ (3.4) λ λ 1 λ dn vg v 1 nλ λ π dλ, (3.41) λ vg v 1 n λ dn λ dλ. (3.4)

20 Observaţi că în conformitate cu relaţia (3.4), viteza de grup într-un mediu care prezintă dispersie normală ( d n ), viteza de grup este mai mică decât viteza de fază vg dλ v, în timp ce într-un mediu în care se manifestă dispersia anomală ( d n ), viteza de grup este mai dλ mare decât viteza de fază. FF.3.6 Interferenţa a două fascicule de lumină Interferenţa optică este fenomenul de suprapunere a două sau mai multe unde luminoase coerente în urma căreia intensitatea rezultantă diferă de aceea obţinută prin simpla însumare a undelor componente. În F3 este prezentata teoria scalara a interferenţei undelor elastice. Caracterul transversal al undelor luminoase impune o abordare mai generala, în care să se ţină seama de natura lor vectorială. Să luăm în consideraţie mai multe unde armonice liniar polarizate E 1, E, care se propagă în acelaşi spaţiu. Vectorul intensitate câmp electric al undelor individuale este de forma: E r, t E cos k r ωt φ j j j j. (3.43) unde j 1,,. Frecvenţa ω a perturbaţiilor electromagnetice este aceeaşi pentru toate undele, dar acestea se pot propaga în direcţii diferite şi, prin urmare, vor avea vectorii de propagare k j diferiţi. Să examinăm vectorul intensitate câmp electric E al undei rezultante. Conform principiului superpoziţiei, acesta este egal cu suma vectorială a componentelor: E r, t E r, t E cos k r ωt φ. (3.44) j j j j j Scopul calculelor următoare este acela de a găsi distribuţia intensităţii luminii în figura de interferenţă. Pentru simplitate, le vom restrânge la cazul a două surse de lumină. Este clar că rezultatele pot fi extinse la un număr arbitrar de surse, dacă aceste se însumează două câte două. j E r, t E1 r, t E r, t. (3.45) E cos k r ωt φ E cos k r ωt φ În secţiunea dedicată undelor electromagnetice s-a arătat că intensitatea unei unde electromagnetice este de forma - -

21 I ε μ E, unde parantezele unghiulare reprezintă media temporală a amplitudinii pătrate a câmpului electric al undei. ε şi μ sunt constanta dielectrică şi permeabilitatea magnetică ale mediului în care se propagă undele luminoase individuale. Introducând în, obţinem ε ε ε ε I E E E E E E μ μ μ μ , (3.46) care poate fi rescrisă sub forma I I1 I I1, (3.47) I 1 este notaţia pe care am făcut-o pentru termenul mixt, care conţine mărimi caracteristice ambelor unde care se suprapun. Acesta este aşa numitul termen de interferenţă: ε I E E μ 1 1, (3.48) Pentru a înţelege semnificaţia sa fizică, trebuie să dezvoltăm calculele, introducând expresiile câmpurilor individuale. Mai întâi vom lua în considerare produsul scalar E1 E şi vom separa în acesta termenii care descriu oscilaţia spaţială de aceia care descriu oscilaţia temporală. E1 E E1 cos k1r ωt φ1 E cos kr ωt φ E1 E cos k1r φ1 t cos, (3.49) kr φ ω t. Folosind relaţia trigonometrică obţinem cos cos cos sin sin în expresia de mai sus, E1 E E1 E cos k1r φ1 cos ωt sin k1r φ1 sin ωt, (3.5) cos kr φ cos ωt sin kr φ sin ωt şi, efectuând înmulţirile, găsim în final că E1 E E1 E[cos k1r φ1 cos kr φ cos ωt cosk1r φ1 sin kr φ cos ωt sin ωt, (3.51) sin k1r φ1 sin kr φ sin ωt sin k r φ cos k r φ sin ωt cosω t]. 1 1 Acum putem să calculăm media temporală a acestui produs scalar. Să ne amintim că - 1 -

22 cos ωt sin ωt 1 cos ωt sin ωt Astfel, folosind (3.51) şi (3.5), obţinem sau E E E E k r k r 1 [cos φ cos φ k1r 1 kr 1 cos 1 φ1 φ sin φ sin φ ], (3.5) 1 E E k r k r 1 E1 E cos k1 k r φ1 φ 1 E E E E 1 1, (3.53) cosδ, (3.54) În această ultimă relaţie am folosit simbolul δ pentru a nota diferenţa de fază dintre undele care se suprapun: δ φ φ ω φ ω φ φ φ k r t k r t k k r , (3.55) Observaţi că δ depinde atât de diferenţa de drum optic dintre undele luminoase în punctul în care acestea se suprapun cât şi de diferenţa de fază iniţială. Expresia căutată a termenului de interferenţă se obţine introducând (3.54) în (3.48) ε I E E μ 1 1 cos δ, (3.56) Acest rezultat arată că mărimea termenului de interferenţă depinde de proprietăţile electrice şi magnetice ale mediului în care se propagă lumina (prin constantele ε şi μ ) precum şi de diferenţa de fază δ, care se presupune că este de asemenea constantă în timp. Se mai poate observa că I 1 depinde de orientarea relativă a direcţiilor de vibraţie ale vectorilor intensitate câmp electric în undele luminoase care se suprapun. Când acestea sunt perpendiculare, E1 E şi, prin urmare, termenul de interferenţă este nul I1. Cu alte cuvinte, undele luminoase în care vectorii de câmp oscilează pe direcţii reciproc perpendiculară nu produc interferenţă prin suprapunere, chiar dacă este respectată condiţia ca diferenţa de fază să fie constantă, adică chiar dacă undele sunt coerente. În astfel de situaţii, suprapunerea conduce la schimbarea stării de polarizare. Aceasta poate fi rotită cu un unghi sau poate deveni circulară ori eliptică, aşa cu se vede în secţiunea dedicată polarizării luminii, - -

23 iar intensitatea luminii rezultante nu va prezenta niciodată zonele succesive de maxim şi minim, care sunt caracteristice interferenţei. În cazul în care direcţiile de vibraţie ale vectorilor de câmp ai undelor care se suprapun sunt paralele ( E1 E ), termenul de interferenţă este nenul (dacă diferenţa de fază este constantă în timp) ε I E E μ 1 1 cosδ şi, ţinând seama de faptul ca intensităţile individuale pot fi scrise ca 1 ε 1 ε I1 E1, I E, μ μ acesta poate fi scris ca I I I cosδ, (3.57) 1 1 Atunci distribuţia intensităţii luminii în figura de interferenţă este data de I I I I I cosδ, (3.58) 1 1 Prezenţa factorului cos δ în acest rezultat explică aspectul figurii de interferenţă, care prezintă zone succesive de maxim, acolo unde cosinusul ia valoarea maximă, +1 şi zone de minim, care corespund valorii minime, -1 a funcţiei cosinus. Numim aceste zone franje de interferenţă. În cazul discutat aici franjele nu sunt localizate, ci se produc în toată regiunea în care undele individuale se suprapun. Vom vedea că există situaţii particulare de surse de lumină coerente pentru care franjele sunt localizate. De fapt, geometria exactă a franjele de interferenţă este determinată de geometria surselor de lumină coerente care produc interferenţa. Aşadar, dacă într-un anumit punct din spaţiu perturbaţiile electromagnetice componente prezintă o diferenţă de fază care este număr întreg de π δ mπ, m, 1,,, (3.59) max atunci punctul respectiv este caracterizat printr-o valoare maximă a intensităţii luminii. Spunem ca undele luminoase interferă constructiv în acel punct. Intensitatea rezultantă într-un punct de maxim se poate exprima în funcţie de valorile individuale ale intensităţii undelor care se suprapun: I I I I I I I, (3.6) max Pe de altă parte, dacă diferenţa de fază într-un punct este număr impar de π, - 3 -

24 min δ m 1 π, m, 1,,, (3.61) atunci se produce un minim de interferenţă. Undele interferă distructiv iar intensitatea rezultantă a luminii în punctul respectiv este I I I I I I I. (3.6) min Valorile extreme între care variază intensitatea luminii în figura de interferenţă pot fi folosite pentru a defini un parametru care măsoară cantitativ gradul de claritate al figurii de interferenţă. Vizibilitatea franjelor V a fost definită pentru prima oară de Michelson prin relaţia I V I max max I I min min. (3.63) Vom vedea că vizibilitatea franjelor poate fi pusă în relaţie directă cu gradul de coerenţă al undelor care se suprapun. Aceasta ia valori cuprinse între zero pentru unde luminoase complet necoerente şi unu pentru unde total coerente. Un caz particular important în practică este acela al surselor coerente identice, astfel că I1 I I. Intensitatea rezultantă va prezenta o distribuţie care se poate scrie sub forma δ I I I. (3.64) 1 cos δ 4 cos Intensitatea corespunzătoare interferenţei total distructive este Imin, iar aceea corespunzătoare interferenţei total constructive este Imax 4I. În mod ideal, interferenţa luminii conduce la o figură alcătuită dintr-o succesiune infinită de franje întunecate (minime) care alternează cu franje luminoase (maxime) de intensitate egală, astfel ca vizibilitatea este maximă, V 1. În realitate numărul de franje care pot fi observate este foarte limitat iar intensitatea luminii scade când ne indepărtăm de centrul de simetrie al figurii de interferenţă. Aceasta se datorează gradului de coerenţă limitat al surselor. FF.3.7 Dispozitivul lui Young Aşa cum am arătat deja, fenomenul de interferenţă se poate produce ocazional chiar şi în lumină albă şi poate fi observat în viaţa de zi cu zi. În laborator interferenţa luminii este folosită în dispozitivele de tip interferometru, care pot fi grupate în conformitate cu tipul de surse coerente de lumină utilizate: dispozitive interferometrice bazate pe divizarea frontului de undă şi dispozitive bazate pe divizarea amplitudinii

25 În cazul dispozitivelor cu divizarea frontului de undă, sursele secundare de lumină coerentă îşi au originea pe acelaşi front de undă primar şi sunt obţinute fie trecând lumina incidentă printr-un sistem de două sau mai multe fante, ceea ce conduce la delimitarea unor regiuni diferite ale frontului de undă incident (dispozitivul lui Young), fie folosind sisteme optice care produc surse de lumină virtuale, secundare (biprisma Fresnel, oglinzile Lloyd). Dispozitivele care utilizează divizarea amplitudinii împart fasciculul incidentîn două fascicule de lumină secundare care parcurg drumuri optice diferite înainte de a se recombina pentru a produce interferenţă. Dispozitivul lui Young este un sistem optic compus în esenţă din două fante identice. Acesta mai conţine şi o fantă individuală care constituie sursa primară. Alegând în mod corespunzător distanţa dintre această primă fantă şi fanta dublă se obţine un front de undă plan x L 1 S 1 L x S d θ O S L Figura 3.1 Dispozitivul lui Young incident pe aceasta din urmă. Cele două fante se constituie în două surse de lumină coerentă (aceeaşi frecvenţă şi diferenţă de fază constantă în timp). Vom nota cu S sursa primară şi cu S 1, S sursele secundare. Fiecare dintre surse este presupusa a fi punctiformă, adică se neglijează dimensiunile deschizăturilor utilizate ca fante. Distanţa dintre cele două fante este notată cu d. Distanţa L de la planul fantei duble până la planul de observare a figurii de interferenţă trebuie să fie mult mai mare decât d, astfel ca aproximaţia paraxialităţii razelor de lumină să fie valabilă. Drumurile parcurse de - 5 -

26 lumină de la sursele secundare până la un punct arbitrar P situat pe ecranul de observare sunt L 1 şi L. Să observăm că fenomenul de interferenţă se produce în orice punct din spaţiul de dincolo de fanta dublă, acolo unde se suprapun undele. Spunem că interferenţa este nelocalizată în acest caz. Unghiul θ dintre cele două fascicule care îşi au originea în S 1 şi S este foarte mic, deoarece acestea nu se abat mult de la direcţia incidentă. Dacă notăm cu x coordonata punctului de suprapunere, în direcţia perpendiculară pe direcţia incidentă, atunci se pot face următoarele aproximaţii unde L x L d, L1 L, sin θ, sin θ tan θ θ, (3.65) d D L este diferenţa dintre drumul optic al faciculelor secundare parcurs între planul fantelor şi ecran. Figura de interferenţă constă dintr-o succesiune franje luminoase (maxime) şi întunecate (minime) care se formează în conformitate cu valoarea diferenţei de fază dintre d fasciculele secundare atunci când se suprapun pe ecran. Pentru început ne propunem să calculăm coordonatele maximelor. Diferenţa de fază se datorează în acest caz exclusiv diferenţei de drum. Diferenţa de drum dintre razele paralele care părăsesc fanta dublă sub unghiul θ este d sin θ, aşa cum se vede şi din figura alăturată. Vom adopta următoarele notaţii: δ max, Lmax diferenţa de fază, respectiv diferenţa de drum corespunzătoare fasciculelor care prin suprapunere dau maxime de interferenţă; θ max şi x max - unghiul şi poziţia unui maxim, măsurate faţă de axa de simetrie a dispozitivului. Astfel, diferenţa de fază este adică: θ θ d sin θ Figura 3.11 Diferenţa de drum dintre razele care părăsesc cele două fante ale dispozitivului după direcţii paralele, înclinate sub unghiul θ în raport cu axa optică a sistemului. π π δmax klmax Lmax d sin θmax mπ, m, 1,,, (3.66) λ λ d sin θ mλ, m, 1,,. (3.67) max - 6 -

27 Condiţia pentru interferenţă constructivă este ca diferenţa dintre drumul optic al undelor luminoase care interferă să fie multiplu întreg de lungimea de undă. Din aceasta rezultă, în aproximaţia paraxialităţii, expresia coordonatele maximelor de interferenţă de ordin m, (m) x max. (m) λ L xmax m, m, 1,,. (3.68) d Condiţia pentru interferenţa distructivă este ca diferenţa de drum optic dintre fasciculele secundare să fie număr impar de jumătăţi de lungimi de undă λ d sin θmin m 1, m, 1,,, (3.69) unde θ min este unghiul sub care se formează cea de-a m-a franjă întuneecată pe ecran. Din aceasta rezultă expresia coordonatele minimelor de ordin m, m min x : m 1 λ L xmin m, m, 1,,. (3.7) d Din relaţiile (3.68) şi (3.7), rezultă că interfranja i, definită ca distanţa dintre două maxime sau minime consecutive este direct proporţională cu produsul dintre lungimea de undă, λ şi distanţa de la fanta dublă pănă la ecran, L şi invers proprţională cu distanţa dintre cele două fante, d : (m+1) (m) (m+1) (m) λl i xmax xmax xmin xmin. (3.71) d Distribuţia intensităţii luminii în figura de interferenţă obţinută cu un dispozitiv Young ideal ca funcţie de poziţia măsurată în direcţia transversală la axa de simetrie poate fi scrisă sub forma sau, echivalent, δ πd I θ 4I cos 4I cos sin θ λ 4 cos π (3.7) I p I p. (3.73) În figura 3.1 este prezentat graficul intensităţii luminii ca funcţie de variabila adimensională d sin θ p λ. Se observă că maximele intensităţii sunt egal distanţate şi se realizează pentru valori întregi ale lui p. De asemenea, valorile maxime sunt de 4 ori mai mari decât intensitatea luminii incidente, Imax 4I. Aceasta nu înseamnă că legea conservării energiei nu funcţionează, ci doar că energia incidentă pe unitatea de timp şi de suprafaţă este redistribuită, astfel încât există zone în care I I (maximele de interferenţă) şi zone în care - 7 -

28 I I (minimele de interferenţă). De fapt, dacă examinaţi cu atenţie figura 3.1 şi vă imaginaţi că duceţi o paralelă la abscisă prin punctul de ordonată I I, puteţi observa că vârfurile care rămân deasupra acesteia umplu perfect golurile rămase dedesubt, astfel încât ceea ce obţinem prin completarea golurilor este o intensitate constantă I (cu preţul dispariţiei franjelor, desigur). Altel spus, energia se conservă, dar în medie pe o distanţă egală cu lungimea de undă şi un interval de timp egal cu o perioadă. Să mai observăm că expresia (3.73) nu descrie cu mare acurateţe distribuţia intensităţii luminii care poate fi obţinută experimental, din cauză că am luat în considerare surse ideale, punctiforme. Efectele de difracţie datorate dimensiunilor finite ale surselor fac ca, în realitate, intensitatea luminii să scadă cu distanţa faţă de axa de simetrie (vezi discuţia de la difracţie). I 4I 1 1 Figura 3.1 Distribuţia intensităţii luminii în figura de interferenţă obţinută cu dispozitivul Young. Variabila considerată pe abscisă este mărimea adimensionalănumeric egală cu raportul dintre diferenţa de drum şi lungimea de undă m d sin θ λ d sin θ λ FF.3.8 Interferenţa fasciculelor multiple Să studiem interferenţa luminii provenind de la un sistem de N fante unidimensionale, adică un sistem asemănător cu dispozitivul Young, cu diferenţa că în loc de două fante avem de-a face cu N astfel de fante. Similar, vom nota distanţa dintre două fante adiacente cu d. Într-o astfel de situaţie reprezentarea algebrică a undelor secundare devine incomodă. De aceea recurgem la metoda complexă. Mărimea de câmp pentru fiecare undă secundară va fi o funcţie complexă de poziţie şi timp. Dacă aranjăm lucrurile astfel încât termenul de fază dependent de poziţie să fie nul pentru prima fantă de sus, de exemplu, expresiile intensităţii câmpului electric în undele secundare provenind de la cele N fante pot fi scrise sub forma complexă următoare: - 8 -

29 ω δ ω δ i ωt N iωt i t i t 1 δ E1 Ee, E Ee, E3 Ee,, EN Ee (3.74) În expresiile de mai sus am notat, ca de obicei, cu E - amplitudinea undelor secundare (aceeaşi pentru că provine de la surse identice) şi cu δ diferenţă de fază dintre undele provenind de la două fante adiacente, π π δ θ l θ d sin θ. Observaţi că diferenţa λ λ de drum dintre razele care provin de la prima şi a treia fantă este dublul diferenţei de drum dintre razele care vin de la prima şi a doua fantă, l θ, şi aşa mai departe. Întrucât diferenţa de fază este proporţională cu diferenţa de drum, expresiile (3.74) ale vibraţiei câmpului electric sunt corecte. Aplicăm principiul superpoziţiei pentru a afla amplitudinea rezultantă: N N N i ωt j1δ iωt i j1δ j j1 j1 j1 E E E e E e e iωt iδ i N 1 δ Ee 1 e e În paranteză identificăm suma unei progresii geometrice care are cu N termeni, primul termen fiind 1 şi raţia l l 3 l Figura 3.13 Interferenţa luminii pe un system de 5 fante unidimensionale echidistante θ 4 l iδ e pe care o calculăm după relaţia cunoscută: iδ 1δ e iδ i N 1 e e 1 N 1 inδ e 1 iδ 1 e 1 iδ e. Rezultă că vibraţia electrică în unda rezultantă poate fi exprimată prin mărimea complexă inδ iωt iδ i N 1 δ iωt e 1 E Ee 1 e e Ee. (3.75) iδ e 1 Aşa cum am arătat, în reprezentarea complexă pătratul amplitudinii se poate afla rapid înmulţind E cu complex conjugata sa * E - 9 -

30 sin inδ inδ e 1e 1 inδ inδ * iωt e 1 iωt e 1 EE Ee E iδ e E iδ iδ iδ e 1 e 1 e 1 e 1 N i N N i N inδ inδ 1 e e 1 cos δ sin δ cos δ sin δ E E iδ iδ 1 e e 1 cosδ i sin δ cosδ i sin δ E Nδ 1 cos Nδ sin E 1 cosδ δ Pornind de la această expresie şi amintindu-ne că intensitatea unei unde este proporţională cu pătratul amplitudinii intensităţii câmpului electric putem scrie distribuţia intensităţii undei luminoase I ca funcţie de diferenţa de fază δ şi de numărul de fante N : Nδ sin I I. (3.76) δ sin Am introdus toate constantele multiplicative în constanta I a cărei semnificaţie fizică este aceea de intensitate a luminii produse de o singură fantă (observaţi că, dacă luaţi N 1 în relaţia (3.76), obţineţi I I ). Să exprimăm intensitatea ca funcţie de unghiul θ : π sin N d sin θ λ I θ I π sin d sin θ λ Vom folosi aceste relaţii în FF.4.4 atunci când vom discuta difracţia luminii pe reţea. Matematic se poate demonstra relativ uşor că valoarea maximă a intensităţii este proporţională cu intensitatea I produsă de fiecare fantă şi cu pătratul numărului N de fante I max (3.77) N I. (3.78) Pentru aceasta folosim expresia (3.76) a intensităţii luminii în figura de interferenţă produsă de un sistem de N fante. Observăm că atunci când δ ia valori care sunt numere întregi de π, apare o nedeterminare în funcţia lui L Hospital: I δ pe care o putem rezolva aplicând regula - 3 -

31 Nδ N Nδ Nδ Nδ Nδ sin sin cos sin cos Imax lim I I lim IN lim δπm δ δπm 1 δ δ δπm δ δ sin sin cos sin cos (3.79) sin Nδ IN lim δπm sin δ Deoarece nedeterminarea nu a fost ridicată, aplicăm încă o dată L Hospital: N N N sin δ cos δ Imax IN lim IN lim IN. (3.8) δπm sin δ δπm cosδ Am demonstrat că intensitatea maximă a luminii în figura de interferenţă obţinută cu un sistem de N fante este de forma I max IN. (3.81) Rezultatul de mai sus are şi o justificare fizică imediată. Dacă diferenţa de fază este număr întreg de π, adică dacă δ π m, m, 1,, N, (3.8) max atunci undele care se suprapun sunt în fază, iar amplitudinea câmpului electric în unda rezultantă este pur şi simplu suma amplitudinilor individuale (în reprezentarea fazorială, fazorii individuali se înşiră pe aceeaşi direcţie), Emax E E NE. Prin urmare, N termeni intensitatea corespunzătoare maximelor respective va fi proporţională cu pătratul lui deci cu pătratul numărului de fante. E max, Acestea sunt maximele principale. Între oricare două maxime principale de ordine consecutive m şi m 1 se mai pot observa N maxime secundare delimitate prin N 1 minime. Minimele se obţin în punctele în care defazajul δ ia valori care anulează funcţia (3.76) a intensităţii luminii. Să ne referim deocamdată la intervalul dintre maximul de ordin zero şi cel de ordin întâi: N δ min π m', m' 1,, N 1, (3.83) lucru care se poate verifica rapid pe oricare dintre figurile De exemplu, pentru N 3, se obţin două minime, corespunzătoare defazajelor π m ', unde ' 1, 3 m, adică în 4π 4., 3 π.1, 3 π.1, 3 4π 4.. Observaţi că din plaja de valori 3 posibile cuprinse între şi N am eliminat capetele intervalului pentru ca acolo se anulează atât numărătorul cât şi numitorul din expresia intensităţii. De fapt, aceste valori corespund

32 maximelor principale de ordin m δ max şi m 1 δ max π pentru intervalul cuprins înte maximul de ordin zero şi cel de ordin întâi este. Condiţia de minim π δ min m ', m ' 1,, N 1 (3.84) N I I I I N 3 N 4 I I δ I I δ N 5 N 6 δ Figura 3.14 Interferenţa luminii pe fante multiple. Valoarea maximă a raportului I I este egal cu pătratul numărului N de fante. Numărul de maxime secundare este N. Defazajul δ este exprimat în radiani. Observaţi producerea maximelor principale în şi π. Pentru fiecare N dat se δ πm π N m', m' 1,, N 1 poate verifica faptul că minimele se realizează în min δ - 3 -

33 m δ Dacă mergem la următorul interval, acela cuprins între m 1 δ max 4π, atunci condiţia de minim va fi de forma max π şi π δmin π m', m ' 1,, N 1 (3.85) N În sfârşit, dacă este vorba despre minimele cuprinse întrre două maxime arbitrare succesive, de ordin m şi m 1, condiţia de realizare a minimelor va fi π δmin π m m ', m' 1,, N 1 (3.86) N În termenii diferenţei de drum, această condiţie se poate scrie sub forma: π π d sin θmin π m m' λ N m' d sin θmin m λ, unde m' 1,, N 1. N Funcţia de distribuţie a intensităţii luminii obţinută folosind un sistem cu 3, 4, 5 şi 6 fante este reprezentată în figura Se vede imediat că valoarea maximă a intensităţii este (3.87) proporţională cu pătratul numărului de fante şi că maximele principale se formează în şi π (domeniul unghiular utilizat în figuri fiind doar între 1 şi 1 radiani). I I N 15 Figura 3.15 Funcţia de distribuţie a intensităţii luminii obţinute cu un sistem de 15 fante echidistante δ