6. BULOVA ALGEBRA I LOGIČKA KOLA

Transcript

1 6. ULOVA ALGERA I LOGIČKA KOLA Poznato je da se pojam algebre odnosi na oblast matematike koja se bavi proučavanjem opštih svojstava brojnih sistema i opštih metoda rešavanja problema pomoću jednačina. To, međutim, nije jedina vrsta algebre. Džordž ul ( ) je pronašao novu vrstu algebre, algebru koja se bavi logikom i procesom zaključivanja. Još od prvih grčkih filozofa, logika i zaključivanje se baziraju na upotrebi istinitih i neistinitih ili tačnih i netačnih tvrdnji. Dugo su matematičari pokušavali da matematički izraze logičke zakone "istinu - neistinu" i uvedu ih u oblast algebre. To je prvi put uspelo Džordžu ulu sa publikacijom Ispitivanje zakona mišljenja, objavljenom godine (oole, G.: An Investigation of Laws of Thought, London, Dover Publication Inc., New York, 1854.). ul je uveo zakone logičkog mišljenja u algebru i razvio matematički aparat - novu vrstu algebre, koja je po njemu dobila ime ulova algebra (prekidačka algebra). ulova algebra je ostala u oblasti neprimenjene matematike skoro ceo jedan vek. Prvu primenu ulove algebre pronašao je Šenon u svom članku "Simbolička analiza relejnih i prekidačkih kola" iz godine (Shannon, C.E.: A Smbolic Analsis of Rela and Switching Circuits, Transactions of the AIEE, Vol. 57, 1938.). U tom članku Šenon je upotrebio ulovu algebru koja je time našla svoju primenu u digitalnoj tehnici. U ovoj glavi su dati osnovni identiteti ulove algebre, logička kola kojima se realizuju logičke (ulove) funkcije i potreban aparat za sintezu logičkih mreža, koje čine osnovu digitalne tehnike, tj. savremenih računarskih sistema, telekomunikacija, itd Elementarne logičke funkcije Logičke funkcije se nazivaju još i ulove ili prekidačke funkcije. Elementarne logičke funkcije su: logička ILI (eng. OR) funkcija, logička I (eng. AND) funkcija i logička NE (eng. NOT) funkcija. Elementarne logičke funkcije se realizuju elementarnim logičkim kolima. 41

2 Logička ILI funkcija i logičko ILI kolo Logički izraz za elementarnu logičku ILI funkciju glasi: Izlaz će imati stanje "1", ako je bar jedan od ulaza u stanju "1"; ili: Izlaz će imati stanje "0", ako i samo ako su svi ulazi u stanju "0". Ova funkcija se često naziva uključivo ILI (inkluzivno ILI). Ekvivalentna električna (prekidačka) mreža za dva ulaza izgleda kao na slici 6.1. x 1 x 2 Slika 6.1. Prekidačka ILI mreža Logički operator za funkciju ILI je promenljivih može zapisati u obliku: Y = x1..., ili u obliku Y = x... + x2 x3 x3 x n 1 + x2 + x3 + x3 + x n, ili +, pa se funkcija ILI sa n zbog čega se ova funkcija naziva i logički zbir. Tablica istinitosti (eng. Truth Table) za logičku funkciju ILI sa dve promenljive data je tabelarno: ILI (OR) x 1 x 2 x 1 + x Tabela 6.1. Tabela istinitosti za logičku ILI funkciju Simbol prema standardu ANSI (eng. American National Standard Institute) za ILI logičko kolo (Slika 6.2.) je prihvaćen i koristi se kod prikazivanja šema povezivanja u digitalnoj, a samim tim i računarskoj tehnici. 42

3 x 1 x 2 Slika 6.2. Simbol za logičko ILI kolo prema ANSI standardu Iz tablice istinitosti i sa slike 6.2. neposredno slede neki od ulovih identiteta: A +1=1, A + 0 = A, A + A = A. Za logički zbir tj. logičku ILI funkciju važe, kao i za klasično sabiranje, zakoni: - komutativnost: A + = + A, - asocijativnost: A + + C = ( A + ) + C = A + ( + C) Logička I funkcija i logičko I kolo Logički izraz za elementarnu logičku I funkciju glasi: Izlaz će imati stanje "1", ako i samo ako su svi ulazi u stanju "1"; ili: Izlaz će imati stanje "0", ako je bar jedan od ulaza u stanju "0". Ekvivalentna električna (prekidačka) mreža izgleda kao na slici 6.3. x 1 x 2 Slika 6.3. Prekidačka I mreža Logički operator za funkciju I je ili, pa se funkcija I sa n promenljivih može zapisati u obliku: Y = x1 x2 x3 x3... x n, ili Y = x x x x x n, zbog čega se ova funkcija naziva i logički proizvod. Tablica istinitosti za logičku funkciju I sa dve promenljive data je tabelarno na sledeći način: 43

4 I (AND) x 1 x Tabela 6.2. Tablica istinitosti za logičku I funkciju Simbol za I logičko kolo prikazan je na slici 6.4. x 1 x 2 Slika 6.4. Simbol za logičko I kolo prema ANSI standardu Iz tablice istinitosti neposredno slede osnovni ulovi identiteti: A 1 = A, A 0 = 0, A A = A. Za logički proizvod (logičku I funkciju) važe, kao i za klasično množenje, zakoni: - komutativnost: A = A, - asocijativnost: A C = ( A ) C = A ( C). Pomoću tablice istinitosti se može proveriti da li važi zakon distributivnosti iz klasične algebre za logički zbir i logički proizvod ( A ( + C) = A + AC ). A C +C A(+C) A AC A+AC Tabela 6.3. Provera važnosti zakona distributivnosti 44

5 Na ovaj način, formiranjem tablica istinitosti, može se proveriti valjanost svih logičkih relacija. Problem je što kod dokazivanja logičkih relacija sa velikim brojem promenljivih tablica istinitosti postaje izuzetno velika, a samim tim i nepraktična Logička NE funkcija i logičko NE kolo Logički izraz za elementarnu logičku NE funkciju glasi: Izlaz će imati stanje "1" ako i samo ako ulaz ima stanje "0"; ili: Izlaz će imati stanje "0" ako i samo ako ulaz ima stanje "1". Ova funkcija naziva se i logička negacija ili komplement i izvršava se nad jednom promenljivom, pa zato je i operacija unarna. Logički operator za komplement je, unarni operator, pa se funkcija može zapisati u obliku: Y = A. Tablica istinitosti za logičku NE funkciju je prikazana u tabeli 6.4: A Y Tabela 6.4. Tablica istinitosti za logičku NE funkciju Simbol prema ANSI standardu za NE logičko kolo je prikazan na slici 6.5. Često se za ovo logičko kolo koristi naziv invertor. x Slika 6.5. Simbol za logičku NE funkciju Iz tablice istinitosti neposredno slede osnovni ulovi identiteti: A A = 0, A + A =1, A = A. 45

6 6.2. Logičke funkcije i logička kola NILI i NI Kombinacijom elementarnih logičkih funkcija i odgovarajućih logičkih kola dobijena su izvedena logička kola NILI (eng. Not OR, NOR) i NI (eng. Not AND, NAND). Izvedene logičke funkcije su: NILI: Y = x 1 + x2, NI: Y = x 1 x 2. NILI (NOR) x1 x x x2 x + 1 x Tabela 6.5. Logička NILI funkcija NI (NAND) x1 x2 x 2 1x x 1x Tabela 6.6. Logička NI funkcija Simboli za izvedena logička kola NI i NILI, prema ANSI standardu, prikazani su na slici 6.6., respektivno: x 1 x 1 x 2 x 2 Slika 6.6. ANSI simboli za NI i NILI kolo 46

7 6.3. Logička funkcija isključivo ILI Ekskluzivno ili isključivo ILI (eng. exclusive OR, XOR) spada u složena logička kola, jer se sastoji od elementarnih logičkih kola i predstavlja specifičnu logičku funkciju. Logički izraz za funkciju isključivo ILI glasi: Izlaz će imati vrednost "1" ako i samo ako je broj jedinica na ulazu neparan; ili: Izlaz će imati vrednost "0" ako i samo ako je broj jedinica na ulazu paran. Zbog toga se ova logička funkcija često naziva suma po modulu 2. Logički operator za funkciju XOR je, pa se funkcija XOR sa n promenljivih možemo zapisati u obliku: Y = x x x x x n XOR x1 x2 x 1 x Tabela 6.7. Tablica istinitosti za logičku funkciju EXOR Ova logička funkcija se može realizovati na više načina od kojih su neki prikazani na slici 6.7. Međutim, postoji i elektronsko kolo koje direktno realizuje XOR funkciju. A Y = A + A = A Y = ( A + )( A + ) Slika 6.7. Neki načini realizacije XOR elementarnim logičkim kolima A S obzirom na to da ovo složeno logičko kolo ima veliku primenu u digitalnoj tehnici, ono ima svoj simbol u ANSI standardu koji je prikazani su na slici

8 x 1 x 2 Slika 6.8. Simbol za XOR logičko kolo Iz tablice istinitosti i iskaza za ovu logičku funkciju neposredno slede i odgovarajući osnovni ulovi identiteti: A 1 = A, A 0 = A, A A = 0 A A =1. Za logičku funkciju isključivo ILI (XOR) važe zakoni komutativnosti i asocijativnosti: - komutativnost: A = A, - asocijativnost: A C = ( A ) C = A ( C). koje se dokazuju korišćenjem osnovnih ulovih identiteta. Na primer, A = A + A = A + A = A Generisanje logičkih funkcija Ukupan broj različitih ulaznih stanja za funkciju od n promenljivih izračunava se kao broj varijacija sa ponavljanjem od 2 elementa (0 i 1) n - te n klase 2. Ukupan broj logičkih funkcija od n promenljivih izračunava se takođe kao broj varijacija sa ponavljanjem od 2 elementa (0 i 1), ali je sada n n 2 klasa 2 pa je N = 2. Za = = n biće: N = 2 = 2 4. Značenja funkcija su sledeća: x Tabela 6.8. Logičke funkcije jedne promenljive 0 = 0, logička konstanta 0, 1 = x, ekvivalencija, 48

9 2 = x, negacija (komplement), 3 = 1, logička konstanta 1. Kako broj funkcija koje se mogu ostvariti na bazi n promenljivih iznosi n = N = 2 za n = 2 biće N = 2 = Sve prekidačke funkcije dve promenljive su prikazane u tabeli 6.9. a njihovi nazivi i algebarska definicija u tabeli Prekidačke funkcije A f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f Tabela 6.9. Prekidačke funkcije dve promenljive Naziv funkcije f i Funkcija f i 0. Konstanta 0 1. Konjunkcija (logički proizvod, I funkcija) A 2. Negacija implikacije (inhibiciona funkcija) A 3. Promenljiva A 4. Negacija implikacije (inhibiciona funkcija) A 5. Promenljiva 6. Isključivo ILI (negacija ekvivalencije) A, A 7. Disjunkcija (logički zbir, ILI funkcija) A + 8. Pirs-ova funkcija (NILI, operacija Lukasiewicz-a ) A 9. Ekvivalencija A 10. Komplement promenljive 11. Implikacija A 12. Komplement promenljive A 13. Implikacija A 14. Sheffer-ova funkcija (Ni, negacija konjunkcije) A 15. Konstanta 1 Tabela Prekidačke funkcije dve promenljive 49

10 6.5. De Morganove teoreme De Morgan je bio veliki logičar i matematičar i ulov prijatelj. Između važnih De Morganovih doprinosa logici, posebno su značajne dve teoreme izražene sledećim relacijama: Ι De Morganova teorema: A = A +, ΙΙ De Morganova teorema: A + = A. Logički iskaz za I De Morganovu teoremu glasi: Komplement logičkog proizvoda jednak je logičkom zbiru komplemenata. Logički iskaz za II De Morganovu teoremu glasi: Komplement logičkog zbira jednak je logičkom proizvodu komplemenata. De Morganove teoreme se mogu dokazati pomoću tablice istinitosti ili algebarski. Algebarski dokaz De Morganovih teorema: ( x + ) x = xx + x = 0 + 0x = = 0 jer je: =, A = x + i A A = 0. A x + Tablica istinitosti za I De Morganovu teoremu: I De Morganova teorema A A A A A Tabela Dokaz De Morganovih teorema A = A +, dakle I De Iz jednakosti osenčenih kolona sledi da je Morganova teorema važi. Ako se proširi izraz na desnoj strani jednakosti, dobija se: A + + C = A + C = AC, jer je A = A +, što je dokazano i takođe, A + C = AC. 50

11 Dakle, I De Morganova teorema, za koju je dokazano da važi za dva člana, važi i za tri, pa i za n članova, tj.: AC N = A + + C N. A + + C N = A C... N. I De Morganova teorema praktično znači da su logički sklopovi sa slike 6.9. ekvivalentni. x x x x+ Slika 6.9. Ekvivalentna logička kola po I De Morgan - ovoj teoremi Na sličan način se može dokazati da i II De Morganova teorema važi za n članova. II De Morganova teorema praktično znači da su logički sklopovi sa slike ekvivalentni. x x+ Slika Ekvivalentna logička kola po II De Morgan - ovoj teoremi 6.6. Dodatni logički identiteti Osim formiranja tablica istinitosti, logičke relacije se mogu dokazivati korišćenjem osnovnih ulovih identiteta. Na primer, koristeći osnovne ulove identitete dokazati zakon apsorpcije: A + A = A +. Razvijanjem leve strane identiteta prvo množenjem neutralnim članom a zatim dodavanjem neutralnog člana dobija se x A + A = A( + ) + A = A + A + A + A = = A( + ) + ( A + A) = A + x Prethodni identitet se može dokazati i pomoću tablice istinitosti. 51

12 A A A A + A A Tabela Dokaz zakona apsorpcije tablicom istinitosti Na sličan se može dokazati zakon generalnog sažimanja (dva člana funkcije koji se razlikuju samo po vrednosti jedne promenljive sažimaju se u jedan član bez te promenljive) na identitetu: AC + A + C = AC + C AC + A + C = AC + A( C + C) + C = AC + AC + AC + C = = AC(1 + ) + C(1 + A) = AC + C Primenom De Morganovih zakona je moguće dokazati sledeći identitet: A + A = A Razvijanjem desne strane dobija se A = A + A = A A = ( A + ) ( A + ) = = ( A + ) ( A + ) = AA + A + A + = A + A 6.7. Kombinaciona i sekvencijalna kola Većina logičkih kola koja se realizuju pomoću elementarnih logičkih kola su kombinaciona kola, tj. logička kola čija vrednost na izlazu zavisi od trenutne kombinacije ulaznih veličina. Kombinaciona kola se projektuju za različite namene, počev od logičkih mreža za izvršavanje različitih logičkih i računskih operacija u računaru do mreža za rešavanje različitih praktičnih problema kao što su signalizacija alarma u različitim namenama i slično. Na drugoj strani, često postoji potreba, i to pre svega pri digitalnoj obradi podataka, da se podaci čuvaju i pamte tj. da se memorišu. To znači da ovakva kola moraju da budu u stanju da po prestanku delovanja ulaznih signala zadrže privremeno ili trajno uspostavljena logička stanja. Pri promeni pobudnih signala na ulazu ova kola menjaju zatečena (zapamćena) izlazna stanja u skladu sa funkcijom logičke mreže. To znači da izlazna funkcija kola zavisi osim od stanja ulaza (pobudnih signala) i od parametra koji vodi računa o prethodnom stanju kola. Zbog toga što ova kola zavise od 52

13 vremenskog redosleda (sekvence) logičkih stanja, ona se nazivaju sekvencijalna kola i služe za izgradnju složenijih sekvencijalnih mreža Sinteza kola za aritmetičko sabiranje S obzirom na činjenicu da logičke funkcije realizuju isključivo logičke operacije, od interesa je sinteza logičke mreže za sabiranje dva broja, jer se sve aritmetičke operacije svode na sabiranje Polusabirač Prilikom sinteze kombinacione mreže za sabiranje - sabirača polazi se od tablice istinitosti za sabiranje dva jednobitna binarna broja, bez uzimanja u obzir prethodno (eventualno) nastalog prenosa. Mreža za realizacuju ovakve funkcije se naziva polusabirač - HA (eng. half adder) i u tabeli je prikazana njena tablica istinitosti. A Y1 (Zbir) Y2 (Prenos) Tabela Tablica istinitosti polusabirača Iz tablice istinitosti se vidi da vrednosti za izlaz Y1 (zbir jednobitnih brojeva A i ) odgovaraju funkciji Isključivo ILI, a za izlaz Y2 funkciji I, tj.: Y1 = A Y 2 = A Odgovarajuća logička mreža polusabirača ima izgled kao na slici A Polusabirac Y1 (Zbir) Y2 (Prenos) Slika Logička mreža polusabirača Logička mreža polusabirač može da posluži kao osnovni gradivni element za potpuni sabirač (sabirač koji uzima u obzir prethodno nastali prenos), za dvobitni, i u opštem slučaju za n-bitni sabirač. 53

14 Potpuni sabirač Očigledno je da polusabirač prilikom sabiranja dva broja sa n bitova može da se upotrebi samo za sabiranje bitova najmanje težine, jer prilikom sabiranja ne uzima u obzir prenos koji je nastao od sabiranja prethodnih bitova. Zbog toga je potrebno realizovati logičku mrežu za sabiranje dva jednobitna broja koja će uključivati i prethodno nastali prenos - potpuni sabirač FA (eng. full adder). Tablica istinitosti za potpuni sabirač sa ulazima za dva jednobitna broja A i i ulazni prenos P je prikazana u tabeli A P Y (Zbir) C (prenos) Tabela Tablica istinitosti potpunog sabirača Odgovarajuća logička mreža je prikazana na slici P A Polusabirac Polusabirac Y (Zbir) Slika Logička mreža potpunog sabirača Sabirač dvobitnih i n-bitnih brojeva C (Prenos) Na sličan način, korišćenjem polusabirača i potpunog sabirača moguće je realizovati sabirač dvobitnih brojeva i n-to bitni sabirač. Logičke mreže su prikazane na slikama i Kada je u pitanju dvobitni sabirač treba imati u vidu sledeće činjenice: nema potrebe za uzimanjem u obzir prethodnog prenosa; 54

15 polusabirač nalazi bit manje težine sume korišćenjem funkcije isključivo ILI nad bitovima najmanje težine ulaza; Izlazni prenos polusabirača je u isto vreme ulazni prenos potpunog sabirača; potpuni sabirač računa sumu ulaza A1 i A2 i bit prenosa. A0 0 A1 1 Polusabirac Potpuni sabirac prenos 0 prenos 1 Slika Logička mreža sabirača dva dvobitna broja Kad je u pitanju sabirač dva n-bitna broja bitne su sledeće činjenice: sabirači sa proizvoljno velike binarne brojeve se konstruišu korišćenjem kaskadne veze potpunih sabirača; linija za bit prenosa povezuje sabirače; za n-bitni sabirač je potrebno 2n-1 logičkih kola. S4 3 S3 A3 Potpuni sabirac 2 S2 A2 Potpuni sabirac 1 S1 S0 S1 S2 A1 Potpuni sabirac Slika Logička mreža n-bitnog sabirača 6.9. Sinteza memorijskih kola 0 S0 A0 Polusabirac Pri projektovanju sekvencijalnih kola potrebno je, kao i kod projektovanja kombinacionih kola, da se definišu funkcije koje to kolo treba da ispuni. Osnovna sekvencijalna kola su memorijska kola, odnosno logička kola koja i po prestanku delovanja ulaznog signala zadržavaju uspostavljeno logičko stanje na izlazu (nula ili jedan). Svako od stanja na izlazu treba da bude na neki način održavano i po prestanku delovanja pobudnog signala i to je bitna razlika memorijskog kola od bilo kog kombinacionog kola.. 55

16 RS flipflop Flipflop je bistabilno kolo sa dva stanja koja se izražavaju na standardni način - logičkom nulom i logičkom jedinicom. Pored toga, kod flipflopa se uvodi termin koji opisuje stanje mirovanja (početno stanje) kola koje se naziva resetovano stanje (reset) i prema konvenciji odgovara stanju logičke nule. Stanje koje odgovara logičkoj jedinici se naziva setovano stanje (set). Osnovno memorijsko kolo kod koga postoji samo mogućnost resetovanja i setovanja se naziva RS flipflop. RS flipflop se realizuje uspostavljanjem povratne sprege između dva NILI logička kola. Ulazi memorijskog elementa su označeni sa R (reset) i S (set) a izlaz se izražava logičkom vrednošću na izlazu Q. Na slici je prikazan grafički simbol i logička šema RS flipflopa sa NILI kolima. S R Q Q S R Slika RS flipflop Ovo kolo može da bude samo setovano ili samo resetovano. Njegov rad kao memorijskog elementa može da bude opisan kombinacionom tabelom ili pomoću jednačina prekidačke algebre. Tabela sadrži sve moguće kombinacije nezavisno promenljivih veličina i odgovarajuće izlazne funkcije (stanja). t=t n t=t n +1 R S Q n Q n ND ND Tabela Kombinaciona tablica RS flipflopa Q Q 56

17 Nezavisno promenljive veličine su vrednosti ulaza R i S, kao i prethodno stanje flipflopa na izlazu Q. Pošto su vrednosti izlaza Q važni u dva sukcesivna vremenska intervala, posle određenog vremenskog kvanta, (tzv. taktnog intervala), kombinaciona tabela sadrži vrednosti izlaza u dva susedna taktna intervala t=t n i t=t n +1 u oznaci Q n i Q n +1. (Izlaz Q ima komplemantarnu vrednost izlaza Q.). Iz kombinacione tablice se vidi da je izlazna funkcija flipflopa nedefinisana (ND) u slučaju da se pobudni signali dovedu istovremeno na oba ulaza kola. To znači da se pri ovakvoj pobudi ispoljavaju suprotne tendencije u kolu pa nije sigurno poznato da li će kolo biti setovano ili resetovano. Prekidačka funkcija flipflopa prema stanjima opisanim u tabeli može da se nađe kao zbir logičkih proizvoda jednakih jedinici (potpuna disjunktivna normalna forma), tj.: Qn +1 = RSQ + RSQ + RSQn = RSQn + RS n Prethodni izraz koji opisuje izlaznu funkciju RS flipflopa može da se pojednostavi primenom zakona apsorpcije na sledeći način: Q = RSQ + RS = R( SQ + S) = R( S + Q n+ 1 n n n Najzad, ako se nedefinisana stanja kola ND eliminišu na taj način što se pretpostavi da u posmatranom taktnom intervalu, ili S ili R moraju da imaju vrednost 0 dobija se: Q = S + R n+1 Q n Prethodna jednačina potpuno definiše logiku rada RS flipflopa. RS flipflop ima stanje logičke jedinice na izlazu jedino ako se setuje a zatim se ne resetuje, ili posmatrano unazad, ako je već bio u setovanom stanju a ne resetuje se Pitanja za proveru znanja 1. Elementarne logičke funkcije i elementarna logička kola 2. Izvedene logičke funkcije i izvedena logička kola. 3. Logička funkcija isključivo ILI. 4. Generisanje logičkih funkcija. 5. DeMorganove teoreme. 6. Dodatni logički identiteti. 7. Sinteza kola za aritmetičko sabiranje. 8. Sinteza memorijskih kola. ) 57