Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ (ΚΑΙ Ο ΣΥΛΒΕΣΤΕΡ) ΚΑΙ ΤΑ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ (ΚΑΙ Ο ΣΥΛΒΕΣΤΕΡ) ΚΑΙ ΤΑ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ"

Transcript

1 Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ (ΚΑΙ Ο ΣΥΛΒΕΣΤΕΡ) ΚΑΙ ΤΑ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ [ Στην ιστοσελίδα διάβασα για την (τελικά υποτιθέµενη) «διαίρεση του Φιµπονάτσι». Για να επιβεβαιώσω τα γραφόµενα σε αυτήν την ιστοσελίδα αποφάσισα να διαβάσω, ένα µέρος, από το ίδιο το βιβλίο του Φιµπονάτσι στην αγγλική µετάφρασή του. Όπως και εσείς θα διαπιστώσετε το σενάριο της ιστοσελίδας είναι τελείως φανταστικό. Πάντως αξίζει να ασχοληθείτε και µε την παραπάνω ιστοσελίδα, όπου γίνεται ένα γεφύρωµα των αιγυπτιακών κλασµάτων µε τον Φιµπονάτσι και ιδιαίτερα µε την διάσηµη ακολουθία του και είναι µια καλή ευκαιρία να την γνωρίσουν και οι µαθητές σας. Υλικό για την ακολουθία αυτή µπορείτε να βρείτε στο υλικό πολλών από τα παλαιότερα βιβλία στην ιστοσελίδα του Θαλής και Φίλοι (π.χ στο «Το θεώρηµα του Παπαγάλου» ή στο «Καταραµένα µαθηµατικά» και σε άλλα). Το παρακάτω υλικό µας δίνει µια πολύ καλή ευκαιρία να εµβαθύνουµε στο έργο του Φιµπονάτσι και µέσω αυτού να κατανοήσουµε την εξέλιξη των αριθµητικών συστηµάτων. Αρχικά το παρακάτω κείµενο ξεκινά µε το θέµα της διαίρεσης έτσι όπως την περιγράφει ο Φιµπονάτσι στο 5ο κεφάλαιο. Επίσης ενδιαφέρον, σε σχέση µε τα Αιγυπτιακά µαθηµατικά έχει η ενασχόληση του Φιµπονάτσι µε τις κλασµατικές µονάδες. Το θέµα αυτό αναπτύσσεται στο κεφάλαιο 7. Αρχικά όµως παραθέτω αποσπάσµατα από την εισαγωγή της αγγλικής µετάφρασης του Liber Abaci.] ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η πρώτη πλήρης έκδοση του διάσηµου βιβλίου Liber Abaci («Bιβλίο του άβακα» ή «Βιβλίο των υπολογισµών») σε µια µοντέρνα γλώσσα (τα Αγγλικά) µόλις το 2002 από τον L. E. Sigler. [Μπορείτε να το βρείτε σε Google book] Στην εισαγωγή της µετάφρασης αυτής διαβάζουµε (συνοπτικά) τα παρακάτω: - Κάποια βιογραφικά στοιχεία του Φιµπονάτσι ( δεν τα αναφέρω γιατί µπορεί κανείς πολύ εύκολα να τα βρει στο διαδύκτιο). - Ήξερε σε βάθος πολλά από τα µαθηµατικά του Μεσογειακού κόσµου, δηλαδή Αιγυπτιακά, Συριακά, Αρχαία Ελληνικά (ιδιαίτερα τα Στοιχεία του Ευκλείδη), Ρωµαϊκά και Αραβικά (ιδιαίτερα την δουλειά του Αλ Κβαρίσµι) και µέσω των αράβων το ινδικό αριθµητικό σύστηµα. Έτσι: «Είδε καθαρά τα πλεονεκτήµατα της χρήσης των µαθηµατικών των Αράβων και ιδιαίτερα των Ινδικών ψηφίων και του δεκαδικού αριθµητικού συστήµατος, τους υπολογιστικούς αλγόριθµους και την άλγεβρά τους. Η γνώση των ινδικών ψηφίων άρχισε να φτάνει στην Ευρώπη περίπου στα µέσα του 10ου αιώνα από τους Άραβες µέσω της Ισπανίας, ωστόσο δεν χρησιµοποιούνταν ιδιαίτερα, µέχρι την εποχή του Φιµπονάτσι. Ο Φιµπονάτσι έγραψε αυτό το βιβλίο για να γνωρίσει στους Ιταλούς τα καλύτερα µέχρι τότε µαθηµατικά του κόσµου σε µία χρηστική µορφή» 1

2 - «Οι υπολογισµοί ήταν µια δραστηριότητα των ανθρώπων από τους αρχαίους χρόνους. Είχαν βρεθεί τρόποι να διευκολύνονται από τους Έλληνες και τους Ρωµαίους αλλά αυτοί οι τρόποι είχαν αναπτυχθεί πάνω στους άβακες». (Αναφέρει κάποια στοιχεία για τους άβακες και καταλήγει ότι είχαν τον ρόλο που σήµερα έχουν οι ηλεκτρονικοί µικροϋπολογιστές). - «Οι Ινδοί και οι Άραβες χρησιµοποίησαν αριθµούς σε ένα θεσιακό σύστηµα και µεθόδους για τις βασικές πράξεις που δεν έχουν ανάγκη τον άβακα. Τα ρωµαϊκά ψηφία και άλλα παρόµοια συστήµατα για να γράφουµε τους αριθµούς δεν διευκολύνουν τους υπολογισµούς. Οι υπολογισµοί γίνονταν µε τον άβακα και οι απαντήσεις γράφονταν µε τους Ρωµαϊκούς αριθµούς. Αντίθετα µε τα ινδικά ψηφία µε το θεσιακό σύστηµα µπορούµε και να κάνουµε τους υπολογισµούς και να γράψουµε το αποτέλεσµα. Είναι αυτές οι µέθοδοι που µαθαίνουν σήµερα οι µαθητές στο σχολείο. Στον Μεσαίωνα στην Ευρώπη αυτές οι καινούργιες αριθµητικές διαδικασίες ονοµάζονταν αλγόριθµοι, για να διαχωρίζονται από τους υπολογισµούς µε άβακα. Ο Φιµπονάτσι διδάσκει αυτούς τους αλγόριθµους στο βιβλίο του Liber Abaci. Στην Ιταλία αυτές τις γραπτές διαδικασίες υπολογισµών, της άλγεβρας και γενικά των πρακτικών µαθηµατικών τις ονόµαζαν τον Μεσαίωνα ως «abaco».» - (Αναφέρει ότι το βιβλίο αυτό ήταν παραπάνω από ένα βιβλίο για τους υπολογισµούς. Περιέχει πολλές από τις µέχρι τότε γνώσεις για την αριθµητική, την άλγεβρα και την λύση προβλήµατος. Πέρα από την πρακτική του αξία έχει και θεωρητική (αποδεικτική) αξία. «Το Liber Abaci ήταν καλά µαθηµατικά όταν γράφτηκε και παραµένει και σήµερα ένα βιβλίο µε καλά µαθηµατικά. Είναι ένα βιβλίο µε σοβαρά µαθηµατικά πάνω στην αριθµητική και τα εφαρµοσµένα µαθηµατικά γραµµένο από έναν σπουδαίο και δηµιουργικό µαθηµατικό» ) - «Θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι µονολότι η λέξη abaci προέρχεται από την λέξη abacus, αναφέρεται στο παράδοξο για τον 13ο αιώνα του υπολογισµού χωρίς τον άβακα. Έτσι το Liber Abaci δεν πρέπει να µεταφράζεται ως «το βιβλίο του άβακα» (αλλά «το βιβλίων των υπολογισµών»). Ένας maestro d abbaco ήταν ένα άτοµο που υπολόγιζε κατευθείαν µε τα ινδικά ψηφία χωρίς την χρήση του άβακα και abaco είναι η επιστήµη του να το κάνει αυτό». - Στις υπόλοιπες σελίδες της εισαγωγής αναφέρονται κυρίως,περιληπτικά, τα περιεχόµενα του βιβλίου (το γνωστό πρόβληµα µε τα κουνέλια βρίσκεται στο 13ο κεφάλαιο). Το κεφάλαιο που µας ενδιαφέρει εδώ είναι το 7ο όπου ο Φιµπονάτσι, ανάµεσα στα άλλα, «συζητά τον διαχωρισµό ενός κλάσµατος σε άθροισµα κλασµατικών µονάδων. Αυτό το αντικείµενο µας πάει πολύ πίσω, στα Αιγυπτιακά µαθηµατικά και την προτίµησή τους στις κλασµατικές µονάδες και για αυτό το λόγο αυτό το θέµα συχνά καλείται Αιγυπτιακά κλάσµατα» 2

3 Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Ο ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Στο κεφάλαιο 1 (σελίδες 21 22) παραθέτει πίνακες πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού (προπαίδεια). [Ο πολλαπλασιασµός του, που παρουσιάζει µε πολλά παραδείγµατα στο κεφάλαιο 2, έχει πολλές οµοιότητες µε τον δικό µας. Είναι πιο σύντοµος στην γραφή του αλλά απαιτεί περισσότερες πράξεις µε το µυαλό από ότι ο δικός µας. Για παράδειγµα: 37 37: πολλαπλασίασε το 7 7. Κάνει 49. Γράψε 9 και κράτησε στο µυαλό σου 4. Πολλαπλασίασε το 3 7 και το 7 3 και πρόσθεσέ τα µαζί µε το 4. Κάνει 46. Γράψε το 6 και κράτησε το 4. Πολλαπλασίασε το 3 3 και πρόσθεσε το 4. Κάνει 13. Άρα ο αριθµός είναι ο ] Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο. Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω: - «Όταν κανείς επιθυµεί να ξέρει να διαιρεί οποιονδήποτε αριθµό µε οποιονδήποτε άλλον, είναι απαραίτητο, όπως και στην πρόσθεση, πρώτα να διαιρεί όλους τους αριθµούς µε τους αριθµούς από το 2 έως το 10. Και αυτό δεν είναι δυνατόν να γίνει πριν εισαχθεί σε διαιρέσεις κυρίων αριθµών που θα ξέρει απ έξω. Αυτές οι διαιρέσεις δίνονται σε πίνακες στις επόµενες σελίδες. Αλλά το πρώτο που πρέπει να διδαχθεί είναι πως τα µικρά κλάσµατα γράφονται. Αν πάνω από ένα νούµερο βάλλουµε µια κλασµατική γραµµή και πάνω από αυτήν ένα άλλο νούµερο, το πάνω νούµερο σηµαίνει τον αριθµό των µερών που καθορίζονται από το κάτω νούµερο. Το κάτω νούµερο ονοµάζεται denominator και το πάνω ονοµάζεται numerator. [Σ.τ.µ. οι ονοµασίες αυτές (στα λατινικά) δόθηκαν από τον Φιµπονάτσι]. Και αν πάνω από τον αριθµό 2 γραφτεί ο αριθµός 1, αυτό σηµαίνει το ένα από τα δύο µέρη του όλου, δηλαδή το µισό, (οµοίως 1/3, 1/4.1/19 σηµαίνει το δεκαενακοστό µέρος του όλου). Αν πάνω από το 3 βάλλουµε το 2 σηµαίνει τα δύο από τα τρία µέρη του όλου (και άλλα τέτοια παραδείγµατα). - Παρακάτω περιγράφει τα composed κλάσµατα: 3

4 Αναφέρουµε ένα παράδειγµα τέτοιου κλάσµατος (διαβάζουµε από δεξιά προς τα αριστερά): (µε συνεχόµενη όµως γραµµή). Αυτό σηµαίνει: Έχει ενδιαφέρον το σχετικό σχόλιο του µεταφραστή: «Αυτά τα composed κλάσµατα, τα οποία έχουν Αραβική καταγωγή, χρησιµοποιούνται συστηµατικά από τον Φιµπονάτσι και χρησιµοποιούνται σε συνδυασµό µε το θεµελιώδες θεώρηµα της Αριθµητικής που υποδεικνύει την ανάλυση των αριθµών σε γινόµενο πρώτων αριθµών (ή άλλων χρήσιµων παραγόντων). Αυτού του είδους τα κλάσµατα δεν χρησιµοποιούνται σήµερα. Τα δεκαδικά κλάσµατα είναι µια ειδική περίπτωση τέτοιων κλασµάτων. Για παράδειγµα: 3,1416 =. Συνεπώς κάποιος θα µπορούσε να υποθέσει ότι ο Φιµπονάτσι γνώριζε τα δεκαδικά κλάσµατα ή τουλάχιστον ήταν κοντά σε αυτό. Γιατί δεν χρησιµοποίησε περισσότερο τα δεκαδικά κλάσµατα; Απλά γιατί οι κλασµατικές µονάδες µέτρησης σπάνια χρησιµοποιούνταν στον κόσµο που ζούσε. Για παράδειγµα το νόµισµα της Πίζας δεν είχε δεκαδικές υποδιαιρέσεις. 2 pounds, 7 soldi, 3 denari γράφονταν pounds. Ωστόσο όταν τα δεκαδικά κλάσµατα ήταν απαραίτητα, τα χρησιµοποιούσε. (Αναφέρει 2 συγκεκριµένα παραδείγµατα από το βιβλίο). Με βάση αυτά τα παραδείγµατα είναι δύσκολο να αρνηθούµε ότι ο Φιµπονάτσι χρησιµοποίησε δεκαδικά κλάσµατα. Ο συµβολισµός των composed κλασµάτων, κατά συνέπεια καλύπτει µεγάλη γενικότητα που ο Φιµπονάτσι χρησιµοποίησε για να αντιµετωπίσει τα διαφορετικά ήδη µέτρησης. - Στην συνέχεια ο Φιµπονάτσι προτείνει να µάθουµε απ έξω τους παρακάτω πίνακες: 4

5 5

6 «Ένας καθολικός κανόνας για την διαίρεση αριθµών από αριθµούς µε ένα ψηφίο» Παράδειγµα: 365:2 Αν θέλει κανείς να διαιρέσει το 365 µε το 2 γράφει στον πίνακα το 2 σε ένα µέρος του πίνακα και τραβάς µια γραµµή από πάνω και ένα άλλο 2 κάτω από το 5 και ξεκινάς διαιρώντας το 3 µε το 2, λέγοντας το 1/2 του 3 είναι 1 και περισσεύει 1. Μετά γράφεις το 1 κάτω από το 3 και το 1 που περισσεύει το γράφεις από πάνω, όπως φαίνεται στον πρώτη εικόνα. Και το υπόλοιπο 1 ζευγαρώνει µε το 6 κάνοντας 16. Παίρνεις το 1/2 του 16 που είναι το 8. Βάζεις το 8 κάτω από το 6 και το 1 κάτω από το 3 όπως φαίνεται στην δεύτερη εικόνα. Και καθώς δεν υπάρχει υπόλοιπο στην διαίρεση µε του 16, διαιρείς το 5 µε το 2. Το πηλίκο είναι 2 και το υπόλοιπο 1. Γράφεις το 2 κάτω από το 5 και το 1 πάνω από το 2 το οποίο θα κάνουµε παρανοµαστή και έτσι θα έχουµε το 1/2 του όλου και πριν από το 1/2 γράφεις το πηλίκο 182 της διαίρεσης όπως φαίνεται στην τρίτη εικόνα. [Κάνει και την επαλήθευση µε πολλαπλασιασµό του 182 1/2 επί 2]. Όµοια για να διαιρέσεις το 365 µε το 3: Γράφεις το 3 (διαιρέτης) κάτω από το 5 (του 365) και διαιρείς το 3 (του 365) µε το 3 (διαιρέτης). Το πηλίκο είναι 1 το οποίο το βάζεις κάτω από το 3 (του 365). Επίσης διαιρείς το 3 (διαιρέτης) µε το 6 (του 365). Το πηλίκο είναι 2 το οποίο το βάζεις κάτω από το 6. Μετά διαιρείς το 5 µε το 3. Το πηλίκο είναι 1 και το υπόλοιπο 2. Βάζεις το 1 (πηλίκο) κάτω από το 5 και το (υπόλοιπο) 2 αριθµητή σε κλάσµα µε παρανοµαστή το 3. Έτσι το πηλίκο είναι 121 2/3. Διαίρεση του 1346 µε το 4: 6

7 διαιρείς το 13 µε το 4, βάζεις το πηλίκο 3 κάτω από το 3 και το υπόλοιπο 1 κάτω από το 3. Ζευγαρώνεις το 1 µε το 4 και παίρνεις το 14. Προσθέτεις τα τέταρτα του 14 που είναι 3 και περισσεύουν 2. Βάζεις το 3 κάτω από το 4 και το υπόλοιπο 2 από πάνω. Το 2 ζευγαρώνει µε το 6 και κάνει 26. Το 26 διαιρείται µε το 4 και δίνει πηλίκο 6 και υπόλοιπο 2. Βάζεις το 6 κάτω από το 6 και φτιάχνεις το κλάσµα 2/4 που είναι ίσο µε το 1/2 του όλου. Και µετά από αυτό βάζεις το πηλίκο της διαίρεσης που είναι το 336. Συνολικά το πηλίκο είναι 336 1/2. Συνεπώς ξέραµε πως έχουµε 13 εκατοντάδες καθώς η τρίτη θέση είναι εκατοντάδες Η διαίρεση του 5439 από το 5 Η διαίρεση του 9000 από το 7 Η διαίρεση του από το 8 Η διαίρεση του από το 9 Η διαίρεση των αριθµών από το 11 Η διαίρεση του από το 13 Αν θέλεις να διαιρέσεις το µε το 13, τότε το 13 µπαίνει κάτω από το 86, διαιρείς το 123 µε το 13 γιατί το 12 είναι µικρότερο από το 13. Το πηλίκο θα είναι 9 και το υπόλοιπο : 13 = /13 Και 9 φορές το 13 κάνει 117 και το υπόλοιπο από το 123 είναι 6. Βάζεις το 9 κάτω από το 3 του 123 και το υπόλοιπο 6 το βάζεις πάνω από το 3 και το ζευγαρώνεις µε το 7

8 5. Αυτό κάνει 65 του οποίου το 1/13 είναι 5. Έτσι βάζεις το 5 κάτω από το 5 και πάνω από το 8 βάζεις 0 γιατί το 8 είναι µικρότερο από το 13 και ζευγαρώνεις το 8 µε το 6 που είναι στην πρώτη θέση. Θα γίνει 86 του οποίου το 1/13 είναι 6 και αφήνει υπόλοιπο 8. Βάζεις το 6 στην πρώτη θέση του πηλίκου και το 8 πάνω από την γραµµή κλάσµατος του 13. Πως διαιρώ µε το 10: Π.χ. 167: 10 = 16 7/10 ή 1673: 10 = 167 3/10 Εδώ ξεκινάει οι διαίρεση των αριθµών από Incomposite (όχι σύνθετοι) (or primes) (πρώτους) αριθµούς µε δύο θέσεις. Κάποιοι αριθµοί δεν είναι σύνθετοι και είναι εκείνοι που στην Αριθµητική και στην Γεωµετρία καλούνται πρώτοι. Αυτό οφείλεται στο ότι δεν υπάρχει µικρότεροι αριθµοί, εκτός από την µονάδα, που να µετρούν τον αριθµό (να είναι παράγοντες του αριθµού). Οι άραβες τους ονοµάζουν hasam. Οι έλληνες τους ονοµάζουν linear (γραµµικοί) ενώ τους σύνθετους epipedi (επίπεδους) που είναι εµβαδά όπως ονοµάζονταν από τον πιο ικανό γεωµέτρη, τον Ευκλείδη. [Σ.τ.µ: π.χ το 65 οι Έλληνες το αντιλαµβάνονταν ως το εµβαδόν ορθογωνίου µε πλευρές 5 και 13] Τους σύνθετους τους ονοµάζουµε κανονικούς αριθµούς και τους πρώτους µη κανονικούς. Η διδασκαλία της διαίρεσης για τους πρώτους και τους σύνθετους δεν είναι η ίδια. Γενική περιγραφή (µε λόγια) της διαίρεσης αριθµού µε πρώτο. Περιγραφή διαιρέσεων µε το 17, το 19 και το 23 και µετά επαληθεύσεις των παραπάνω διαιρέσεων. Ακολουθεί διαίρεση µε το 59. Πως διαιρεί µε σύνθετους αριθµούς (σελ. 70) Για παράδειγµα θα κάνουµε την διαίρεση 749: 75 : Πρώτα παρατηρείς τον κανόνα για να βρίσκεις στους αριθµούς παράγοντα το 5 και βρίσκεις τον κανόνα για το 75 που είναι [που είναι µια άλλη γραφή του ] Διαιρείς το 749 µε το 3 που δίνει πηλίκο 249 και υπόλοιπο 2 το οποίο βάζεις πάνω από το 3 στο κλάσµα και διαιρείς το 249 µε το 5 δηλαδή από αυτό που προηγείται του 3 στο κλάσµα. Το πηλίκο είναι 49 και αφήνει υπόλοιπο 4. Αυτό το 4 το βάζεις πάνω από το 5 και διαιρείς πάλι το 49 µε το 5 αυτό που είναι στο τέλος του κλάσµατος. Το πηλίκο είναι 9 και το υπόλοιπο 4. Το 4 το βάζεις πάνω από το 5 και το 9 το βάζεις πριν από το κλάσµα. Και έτσι το πηλίκο της διαίρεσης 749:75 είναι 8

9 [δηλαδή: 9 + ] Σελίδα 78: Από το κεφάλαιο 6 Πολλαπλασιασµός 11 1/2 22 1/3 [Κάνει τους µικτούς κλάσµατα και πολλαπλασιάζει τους αριθµητές και τους παρανοµαστές. Τέλος διαιρεί τον αριθµητή µε τον παρανοµαστή και βρίσκει: Σελίδα 107: Από το κεφάλαιο 7 Διαίρεση του 83 µε το 5 2/3 (έχει ενδιαφέρον η εξήγηση που δίνει) «Αν θέλεις να διαιρέσεις το 83 µε το 5 2/3 τότε κάνεις τρίτα της µονάδας των αριθµών έτσι: Θα πολλαπλασιάσεις το 5 µε το 3 που είναι κάτω από το κλάσµα, και προσθέτεις το 2. Αυτό κάνει 17 τρίτα. [5 2/3 = 17/3]. Μετά πολλαπλασιάζεις το 83 µε το 3 για να βγάλεις τα τρίτα (as you make thirds out of it). Αυτό θα κάνει 249 τρίτα. [83 = 249/3] Τότε διαιρείς το 249 µε το 17 και το πηλίκο θα είναι 14 11/17 για την αρχική διαίρεση. [83: (5 2/3) = (249/3) : (17/3) = 249:17 = 14 11/17 ] Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι η διαίρεση του 83 µε το 5 2/3 είναι η ίδια µε την διαίρεση του 249 µε το 17. Και αυτό είναι που ο πιο επιφανής γεωµέτρης Ευκλείδης δηλώνει στο βιβλίο του: οποιοδήποτε λόγο έχει ένας αριθµός µε έναν άλλο, τον ίδιο λόγο έχουν τα ίδια πολλαπλάσιά τους. [ ] [Προκύπτει από την πρόταση 12 του βιβλίου VII των Στοιχείων του Ευκλείδη]. Και πολλαπλασίασες συνεπώς και το 83 και το 5 2/3 µε το 3. Συνεπώς το 249 και το 17 θα βρίσκονται στον ίδιο λόγο. Πράγµατι το 17 είναι τριπλάσιο του 5 2/3 και το 249 είναι τριπλάσιο του 83. Και αν αντιθέτως θέλεις να διαιρέσεις το 5 2/3 µε το 83 [διαίρεση µε µεγαλύτερο διαιρέτη!] τότε διαιρείς το 17 µε τον κανόνα για το 249 που είναι το 1/249 (το γράφει σε µορφή composed κλάσµατος) και το πηλίκο θα είναι (το γράφει σε µορφή composed κλάσµατος) για την επιδιωκόµενη διαίρεση» 9

10 [ Αλλά 17: 249 είναι το 1/249 του 17 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο (σχετικά µε τις κλασµατικές µονάδες, βρίσκουµε τα παρακάτω): [Για τον διαχωρισµό των κλασµάτων σε κλασµατικές µονάδες] [1] Σηµείωση του µεταφραστή: Αυτό το θέµα αναφέρεται στο πρόβληµα της έκφρασης οποιουδήποτε γνησίου κλάσµατος σαν άθροισµα κλασµατικών µονάδων, π.χ 5/6 = 1/2 + 1/3. Οι Αιγύπτιοι γενικά θεωρούσαν µια κλασµατική έκφραση µη τελειωµένη µέχρι να εκφραστεί σαν ένα άθροισµα κλασµατικών µονάδων. «Στο πρώτο και στο δεύτερο µέρος αυτού του κεφαλαίου διδαχθήκαµε πώς να προσθέτουµε µαζί κάποια κλάσµατα σε ένα µόνο κλάσµα. Σε αυτό το µέρος τώρα µαθαίνουµε πώς να διαχωρίζουµε κλάσµατα µε κάποια µέρη σε άθροισµα κλασµατικών µονάδων και πώς να βλέπουµε τα µέρη κάθε κλάσµατος, να ξέρουµε τις τιµές του µέρους ή των µερών ενός ακεραίου. Αυτή η δουλειά είναι πράγµατι χωρισµένη σε 7 κατηγορίες. Η πρώτη από τις οποίες είναι όταν το µεγαλύτερο νούµερο, που είναι κάτω από την κλασµατική γραµµή, διαιρείται από το µικρότερο δηλαδή αυτό που είναι πάνω από την κλασµατική γραµµή. Ο κανόνας για την πρώτη κατηγορία είναι πως διαιρείς το µεγαλύτερο µε το µικρότερο και θα έχεις το µέρος το οποίο το µικρότερο είναι από τα µεγαλύτερα. [Σ.τ.µ: Η πρώτη κατηγορία είναι: ] 10

11 Για παράδειγµα: Θα θέλαµε να ξέραµε τι µέρος του ακεραίου είναι το 3/12. Το 12 πράγµατι διαιρείται δια του 3, αυτό κάνει 4 το οποίο το λες 1/4 και τόσο το 3/12 είναι µέρος της ακέραιης µονάδας. Και για τον ίδιο λόγο το 4/20 είναι το 1/5 της ακέραιης µονάδας, τα 5/100 είναι το 1/20 επειδή 100:5 = 20 το οποίο το καταλαβαίνεις για παρόµοιες καταστάσεις. Αυτοί οι κανόνες για την πρώτη κατηγορία είναι στην πραγµατικότητα χωρισµένοι σε τρία µέρη από τα οποία το πρώτο λέγεται απλό, το δεύτερο σύνθετο και το τρίτο αντιστραµµένο σύνθετο. Το απλό είναι ο τρόπος που ανέφερα. Το σύνθετο είναι.(το παραλείπω) Η δεύτερη κατηγορία που είναι [Σ.τ.µ. = ] όταν το µεγαλύτερο νούµερο δεν µπορεί να διαιρεθεί µε το µικρότερο αλλά από το µικρότερο µπορούν να γίνουν τέτοια µέρη τα οποία µπορούν να διαιρεθούν integrally [µε όρους ακεραίων;] µε το µεγαλύτερο. Στον κανόνα για αυτήν την κατηγορία παίρνεις µέρη του µικρότερου από τα οποία µπορείς να διαιρέσεις το µεγαλύτερο και ο µεγαλύτερος διαιρείται µε καθένα από αυτά τα µέρη και θα έχεις κλασµατικές µονάδες τις οποίες κάνει ο µικρότερος από τον µεγαλύτερο. Για παράδειγµα: θέλουµε να διαχωρίσουµε τα 5/6 στο άθροισµα των απλών µερών του ακεραίου. Επειδή το 6 δεν διαιρείται µε το 5, το 5/6 δεν είναι από την πρώτη κατηγορία αλλά επειδή το 5 µπορεί να διαχωριστεί σε δύο µέρη δηλαδή σε 3 και 2 από τα οποία το µεγαλύτερο δηλαδή το 6 το διαιρεί, το 5/6 είναι από την δεύτερη κατηγορία. [ Άρα ][Ο Φιµπονάτσι λέει: «Τα 5/6 είναι 1/3 1/2 του ακεραίου 1. (δεν βάζει + ανάµεσα)] Στην συνέχεια παραθέτει του παρακάτω πίνακες [Προηγουµένως αναφέρει: But because in this part. ] 11

12 12

13 [ Ας πάρουµε ένα παράδειγµα: στον πίνακα µε τα µέρη του 24: Γράφει 5. Αυτό προκύπτει από τον παραπάνω κανόνα 2 αφού: = Οι αιγύπτιοι θα το έκαναν (υποθέτω) ως εξής: (ξεκίνα από το 24 για να φτάσεις στο 5) 1 24 Άρα 24:5 = / 3 1 / 2 Η τρίτη κατηγορία [ Σ.τ.µ. ] είναι όταν 1 παραπάνω από το µεγαλύτερο νούµερο διαιρείται µε το µικρότερο. Ο κανόνας είναι: διαιρείς τον αριθµό που είναι κατά ένα µεγαλύτερο από τον µικρότερο και το πηλίκο της διαίρεσης θα είναι το µέρος του ακεραίου 1 και θα είναι µικρότερο από το µεγαλύτερο και σε αυτό προσθέτεις το ίδιο µέρος από το µέρος που είναι ο µεγαλύτερος αριθµός. Για παράδειγµα, θέλεις να φτιάξεις κλασµατικές µονάδες από το 2/11 το οποίο ανήκει σε αυτήν την κατηγορία γιατί ένα παραπάνω από το 11, δηλαδή το 12, διαιρείται µε το 2 που είναι πάνω από την γραµµή. Από την διαίρεση προκύπτει το πηλίκο 6 που παράγει το 1/6, και σε αυτό προσθέτουµε το 1/6 του 1/11 δηλαδή (composed fraction ). Οµοίως: 3/11=, 4/11 =, 6/11 = 13

14 [ Μπορούµε να το δούµε από τον τύπο κατευθείαν: ] Στην ίδια κατηγορία Είναι πράγµατι από την ίδια κατηγορία όταν από τον µικρότερο αριθµό που είναι πάνω από την κλασµατική γραµµή µπορούν να φτιαχτούν δύο µέρη από τα οποία το ένα µαζί µε τον µεγαλύτερο αριθµό integrally χωρίζονται ακριβώς σαν 8/11 και 9/11. Δύο µέρη µπορούν να γίνουν από το 8/11, δηλαδή το 6/11 και το 2/11 ενώ για το 6/11 έχουµε σύµφωνα µε αυτόν τον κανόνα δυο κλασµατικές µονάδες 1/22 και 1/2 και για το 2/11 έχουµε 1/66 και 1/6. Έτσι για το 8/11 θα έχουµε 1/66 + 1/22 + 1/6 + 1/2. Όµοια 9/11 = 6/11 + 3/11 = 1/44 + 1/22 + 1/4 + 1/2 και 10/11 = 1/33 + 1/22 + 1/3 + 1/2 Η τέταρτη κατηγορία είναι όταν ο µεγαλύτερος αριθµός είναι πρώτος αριθµός και ο µεγαλύτερος συν ένα διαιρείται από τον µικρότερο πλην ένα, όπως οι 5/11 και 7/11. Ο κανόνας είναι: αφαιρείς ένα από τον µικρότερο από τον οποίο κάνεις µια κλασµατική µονάδα, δηλαδή µε οποιοδήποτε αριθµό είναι κάτω από την γραµµή κλάσµατος και µετά θα σου µείνουν τα µέρη της τρίτης κατηγορίας. Αν αφαιρέσεις το 1/11 από το 5/11, τότε θα σου µείνουν τα 4/11 το οποίο ισούται µε 1/33 + 1/3 (προηγούµενη περίπτωση) και αν προσθέσεις το 1/11 θα πάρεις 1/33 + 1/3 + 1/11. Με τον ίδιο κανόνα 7/11 = 1/22 + 1/11 + 1/2. Και 6/19 = 1/76 + 1/19 + 1/4 Και 7/29 = 1/5 + 1/29 + 1/145 Και για το 3/7 θα πάρεις 3/7 = 1/28 + 1/7 + 1/4. [Πράγµατι: αφού ο (7 + 1) διαιρείται µε τον (3 1) είµαστε στην 4η κατηγορία. Οπότε παίρνουµε την κλασµατική µονάδα 1/7 και την αφαιρούµε από το 3/7 οπότε έχουµε: 3/7 1/7 = 2/7. Το 2/7 είναι στην 3η κατηγορία αφού 2/7 = Οπότε 2/7 = 1/4 + 1/(4 7) και τελικά 3/7 = 1/28 + 1/7 + 1/4. ] [αλήθεια πως αποδεικνύεται γενικά αυτός ο κανόνας;] Η πέµπτη κατηγορία είναι όταν ο µεγαλύτερος αριθµός είναι ζυγός και διαιρείται από τον µικρότερο πλην 2. Ο κανόνας είναι: όταν αφαιρείς 2 από τον µικρότερο αριθµό το οποίο 2 θα σου δώσει ένα κλάσµα από την πρώτη κατηγορία και η διαφορά πραγµατικά θα είναι στην τρίτη κατηγορία. Για παράδειγµα το 11/26. Αν αφαιρέσεις από το 11/26 το 2/26 (το οποίο πρώτη κατηγορία κάνει 1/13) θα πάρεις 9/26. Το 9/26 είναι (τρίτη κατηγορία) 9/26 = = 1/3 + 1/78. 14

15 Άρα 11/26 = 1/13 + 1/3 + 1/78. Με τον ίδιο κανόνα έχεις: 11/62 = 2/62 + 9/62 = 1/ /31 = 1/7 + 1/ /31. Η έκτη κατηγορία είναι όταν ο µεγαλύτερος διαιρείται ακριβώς µε το 3 και ο µεγαλύτερος συν ένα διαιρείται από τον µικρότερο µείον τρία, όπως το 17/27. Ο κανόνας είναι: [περιγράφει τα παρακάτω:] Δηλαδή: 17/27 = 3/ /27 = 1/9 + 1/54 + 1/2, όπου για το 3/27 χρησιµοποιήσαµε τον πρώτο κανόνα και για το 14/27 τον τρίτο κανόνα. Όµοια: 20/33 = 1/66 + 1/11 + 1/2. Η έβδοµη κατηγορία, ο κανόνας της οποίας είναι πολύ χρήσιµος, είναι όταν δεν υφίσταται καµία από τις παραπάνω κατηγορίες. Τότε διαιρείς τον µεγαλύτερο αριθµό µε τον µικρότερο και θεωρείς το πηλίκο ανάµεσα σε αυτά τα δύο νούµερα αν βγαίνει ανάµεσα στο 3 και το 4 και τότε ξέρεις ότι το µικρότερο νούµερο είναι µικρότερο από 1/3 και µεγαλύτερο από 1/4 του µεγαλυτέρου. Και αν βγαίνει ανάµεσα στο 4 και στο 5, το µικρότερο θα είναι λιγότερο από το 1/4 και µεγαλύτερο από 1/5 του µεγαλυτέρου. Και έτσι καταλαβαίνεις για κάθε δύο νούµερα, ανάµεσα σε ποιους ακέραιους βγαίνει το πηλίκο. Μετά παίρνεις την κλασµατική µονάδα από το µεγαλύτερο µέρος που το µικρότερο νούµερο είναι του µεγαλύτερου..[συνεχίζει την περιγραφή µε λόγια] Για παράδειγµα: Θέλεις να κάνεις κλασµατικές µονάδες µέρη του 4/13. Το πηλίκο της διαίρεσης 13: 4 είναι ανάµεσα στο 3 και στο 4. Εποµένως τα 4/13 της µονάδας είναι µικρότερο από το 1/3 της µονάδας και µεγαλύτερο από το 1/4 της µονάδας. Εποµένως ξέρεις ότι το 1/4 είναι η µεγαλύτερη κλασµατική µονάδα που µπορείς να πάρεις από το 4/13. Αφαιρείς 4/13 1/4 και βρίσκεις [ο Φιµπονάτσι χρησιµοποιεί εδώ και τα composed fractions που µάλλον καλύτερα να αποφύγουµε] 3/52 που γράφεται 1/52 + 1/26 ( από την δεύτερη κατηγορία αφού ) Το 3/52 µπορείς να το βρεις και διαφορετικά από την έβδοµη κατηγορία: Αν διαιρέσεις το 52:3 το πηλίκο θα είναι 17 και πάνω. Συνεπώς το 1/18 είναι το µεγαλύτερο µοναδιαίο κλάσµα που είναι µέσα στο 3/52. Μετά διαιρείς το 52 µε το 18. Το πηλίκο είναι 2 8/9 που αφαιρείς από το 3. Μένει το 1/468. Έτσι έχεις 3/52 = 1/ /18 και 4/13 = 1/ /18 + 1/4. Οµοίως βρίσκεις: 17/29 = 1/ /12 + 1/2 15

16 16

17 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΣΙΛΒΕΣΤΕΡ Συλβέστερ ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: EGYPTIAN FRACTIONS Πρώτος ανακάλυψε αυτή την µέθοδο ο Φιµπονάτσι (το 1202) αλλά δεν απέδειξε γιατί λειτουργεί. Ο Συλβέστερ (το 1880) απέδειξε την ορθότητά της. Ο αλγόριθµος είναι: 17

18 Θεώρηµα: Ο Φιµπονάτσι Συλβέστερ αλγόριθµος είναι σίγουρο ότι θα παράξει µία έκφραση από το πολύ p όρους. Απόδειξη: Στην πράξη αυτή η χειρότερη περίπτωση (δηλαδή το r να είναι πάντα 1 και συνεπώς να απαιτούνται ακριβώς p βήµατα για να ολοκληρωθεί ο αλγόριθµος, σπάνια συµβαίνει. Από την άλλη µεριά όµως το πρόβληµα µε αυτήν την µέθοδο είναι ότι οι παρανοµαστές µπορεί να αυξάνουν υπερβολικά. Για παράδειγµα, για το 5/121 µε αυτήν την µέθοδο έχουµε: Σύγκρινέ το µε την βέλτιστη λύση: Ο Φιµπονάτσι είχε αναγνωρίσει αυτήν την ανεπάρκεια σηµειώνοντας ότι: αλλά και υποθέτοντας ότι κανείς θα πρέπει να δοκιµάσει ένα µικρότερο πρώτο κλάσµα αν η πρώτη προσπάθεια δεν παράξει µια «κοµψή» λύση. Δεν όρισε τι ορίζει 18

19 ως κοµψό και τότε αυτό έγινε λιγότερο ένας αλγόριθµος και περισσότερο ένα πρόβληµα δοκιµής λάθους. Β] Στην παρακάτω ιστοσελίδα θα βρεις παραπάνω πληροφορίες και κυρίως πολύ ενδιαφέρουσες διαδραστικές εφαρµογές. [Για τον Συλβέστερ υπάρχουν αναφορές και σε άλλα αρχεία της επεξεργασίας του βιβλίου «Αχµές, ο γιος του φεγγαριού» ] ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΜΑΔΑ ΘΑΛΗΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΙ ΝΑΟΥΣΑ 2010 ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΑΧΜΕΣ Σωτήρης Συριόπουλος 19

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ. Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω:

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ. Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω: Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω: - «Όταν κανείς επιθυµεί να ξέρει να διαιρεί οποιονδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiouris@sch.gr) «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΣΤΟΧΟΙ ΧΡΟΝΟΣ Αριθμοί και πράξειςακέραιοι 2, 3, 4, 5 2. να μπορούν να εκφράζουν αριθμούς μέχρι και το 1.000.000 με διάφορους τρόπους

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Τι συμβαίνει όταν η περίοδος δεν ξεκινάει αμέσως μετά το κόμμα όπως συμβαίνει με τον αριθμό 3,4555 και θέλουμε να γραφεί σαν κλάσμα; 345 Υπήρχαν πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 29.02.12 Χ. Χαραλάμπους Ο πάπυρος του Rhind---Ahmes 81 από αυτά τα προβλήματα έχουν λύσεις που αναφέρονται σε κλασματικές ποσότητες Πρόβλημα 3, π. του Rhind: «να διαιρέσεις 6 φραντζόλες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π. Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) Κοινό όταν δύο άτομα έχουν ένα κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και Εκτίμηση Αρ3.12 Εκτιμούν και υπολογίζουν το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο αριθμών μέχρι το 100 000 και επαληθεύουν

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου:

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Όλα τα κενά τετράγωνα με ροζ χρώμα πρέπει συμπληρωθούν είτε με μονοψήφιους αριθμούς είτε με ένα από τα μαθηματικά σύμβολα: +, -, >,

Διαβάστε περισσότερα

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ 5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ Μετρούμε αλλά και υπολογίζουμε Στο προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιήσαμε το μέτρο, αλλά και άλλα όργανα με τα οποία μετρούμε το μήκος. Το σχήμα που μετρούμε με το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1. Ταξινόμηση αντικειμένων ως προς τα χαρακτηριστικά τους Βάλε μαζί σε έναν κύκλο τα λουλούδια με το ίδιο χρώμα και το ίδιο όνομα. Κοίταξε προσεκτικά την εικόνα και απάντησε: Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Αριθμητικά συστήματα 123, 231, 312 Τι σημαίνουν; Τι δίνει αξία σε κάθε ίδιο ψηφίο; Ποια είναι η αξία του κάθε ψηφίου; Αριθμητικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Αριθμητικοί τελεστές Οι αριθμητικοί τελεστές είναι: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση +,-,*,/ ύψωση σε δύναμη ^ πηλίκο ακέραιης διαίρεσης δύο ακεραίων αριθμών div υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο Κλάσµατα Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια Όπως φαίνεται όµως ο Σάκης έφαγε 1 κοµµάτι από τα 8 Το κοµµάτι

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Δεκαδικά κλάσματα Δεκαδικοί αριθμοί Μάθημα 7 ο Σε κάθε κλάσμα έχουμε : όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12+ 7 = 19 Οι αριθμοί 12 και 7 ονομάζονται ενώ το 19 ονομάζεται.. 3+5 =, 5+3 =...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού)

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 1 Γεια σας και πάλι! Συγχαρητήρια για την επιτυχία σας στην πρώτη ενότητα! 2 Σε αυτό το video θα θυμηθούμε τη διαδικασία επίλυσης πρωτοβάθμιας ανίσωσης, δηλαδή όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Στο εργαστήρι πληροφορικής. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Στο εργαστήρι πληροφορικής. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο εκαδικά κλάσµατα δεκαδικοί αριθµοί Στο εργαστήρι πληροφορικής Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να διαβάζουµε, να γράφουµε και να συγκρίνουµε δεκαδικούς

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Μαθήµατα σε συνέχειες από τον δάσκαλο Σταµάτη Γλάρο

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Μαθήµατα σε συνέχειες από τον δάσκαλο Σταµάτη Γλάρο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Μαθήµατα σε συνέχειες από τον δάσκαλο Σταµάτη Γλάρο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2 ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο Αριθµοί µεγαλύτεροι από το 1.000.000 Βλέπουµε στον διαδραστικό πίνακα µια γέφυρα, ένα δρόµο ή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία 1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Η δική µας Εικασία Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν να διχοτοµούν µια τυχαία γωνία µε χρήση κανόνα και διαβήτη, και, κατά συνέπεια, µπορούσαν να διαιρέσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ. Αν α-β>0 τότε α>β «Αν η διαφορά είναι θετικός αριθμός τότε ο πρώτος αριθμός δηλαδή το α είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο δηλαδή το β»

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ. Αν α-β>0 τότε α>β «Αν η διαφορά είναι θετικός αριθμός τότε ο πρώτος αριθμός δηλαδή το α είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο δηλαδή το β» ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών μεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται πιο δεξιά στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Αν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο αριθμούς α και β βρίσκουμε τη διαφορά τους

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις. Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο μπουκάλι χώρεσε το 1 5

Λυμένες ασκήσεις. Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο μπουκάλι χώρεσε το 1 5 23 ο Κεφάλαιο 44 Λυμένες ασκήσεις εκτός βιβλίου Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο μπουκάλι χώρεσε το 1 5 του βαρελιού, ενώ το δεύτερο χώρεσε το 0,3 του βαρελιού. Άδειασε

Διαβάστε περισσότερα

(αριθµός καρβελιών ή ποτηριών προς αριθµό των χεκάτ σπυριών σιταριού = πεσού µπύρας ή ψωµιού)

(αριθµός καρβελιών ή ποτηριών προς αριθµό των χεκάτ σπυριών σιταριού = πεσού µπύρας ή ψωµιού) ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΕΣΟΥ [ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: ΤΟΥ GILLINGS R. 1971 Το πεσού είναι ένα µέτρο της πυκνότητας της µπύρας ή του ψωµιού, αφού έχουν ήδη παρασκευαστεί. Δεν είναι ένα µέτρο της ποιότητας του κριθαριού, του

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών 1 Αριθμητικό Σύστημα Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθμού με διακεκριμένα σύμβολα Ένας αριθμός αναπαρίσταται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΙΑ ΠΑΓΓΕ Περιεχόμενα 2 Δυαδικό Σύστημα Προσημασμένοι δυαδικοί αριθμοί Αφαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΠΡΟΣΘΕΣΗ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΠΡΟΣΘΕΣΗ Θέματα μελέτης Ορθότητα και απόδοση αλγορίθμων Παρουσίαση και ανάλυση αλγορίθμου για πρόσθεση Al Khwarizmi Αλγόριθμοι Το δεκαδικό σύστημα εφευρέθηκε στην Ινδία περίπου το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Πρόσθεση Φυσικών Αριθμών Μάθημα 5 ο Για να προσθέσω φυσικούς αριθμούς πρέπει να προσθέσω τις μονάδες των αριθμών αυτών, μετά τις δεκάδες των αριθμών, μετά τις εκατοντάδες κλπ. Η πρόσθεση φυσικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγοριοποίηση των στρατηγικών σε πολυψήφιους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις

Κατηγοριοποίηση των στρατηγικών σε πολυψήφιους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις Κατηγοριοποίηση των στρατηγικών σε πολυψήφιους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις Στις ενότητες 4.1.3 και 4.1.4. παρουσιάσαμε την κατηγοριοποίηση των στρατηγικών της προπαίδειας και στην ενότητα 4.2.2. την

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων Ταυτότητα διαίρεσης Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ ( ) και δ ( ), με

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ:

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ: ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13 5. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...25

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ-19 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: 2 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,

Διαβάστε περισσότερα

5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ

5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 5.4.1. Αποτελέσματα από το πρόγραμμα εξ αποστάσεως επιμόρφωσης δασκάλων και πειραματικής εφαρμογής των νοερών

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική Χωρίζεται σε έξι βασικούς κλάδους: Κλασική μηχανική Θερμοδυναμική Ηλεκτρομαγνητισμός Οπτική Σχετικότητα Κβαντική μηχανική είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

3. Παρατηρώ παρακάτω πώς σχηματίζονται οι αριθμοί από το 1 έως το 10: 5 + 1 4 + 1. Κάνω τις ασκήσεις

3. Παρατηρώ παρακάτω πώς σχηματίζονται οι αριθμοί από το 1 έως το 10: 5 + 1 4 + 1. Κάνω τις ασκήσεις 3. Παρατηρώ παρακάτω πώς σχηματίζονται οι αριθμοί από το 1 έως το 10: 9 + 1 7 + 1 8 + 1 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 1 + 1 0 + 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Κάνω τις ασκήσεις 1. Γράφω με τη σειρά μέσα στα κυκλάκια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5. Μονοψήφιος πολλαπλασιασμός Προβλήματα αναλογίας

ΕΝΟΤΗΤΑ 5. Μονοψήφιος πολλαπλασιασμός Προβλήματα αναλογίας Μονοψήφιος πολλαπλασιασμός Προβλήματα αναλογίας ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.13 Αναπτύσσουν και εφαρμόζουν αλγόριθμους της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού με τριψήφιους

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα