Φώτης Φωτόπουλος Αριστοτέλης Χαραλαµπάκης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Φώτης Φωτόπουλος Αριστοτέλης Χαραλαµπάκης"

Transcript

1 Φώτης Φωτόπουλος Αριστοτέλης Χαραλαµπάκης ΓΕΝΙΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΟΡΙΑΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΘΗΝΑ 996

2 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το τµήµα του µαθήµατος Στατιστική Πιθανότητες που αναφέρεται στις πιθανότητες. Σκοπός των σηµειώσεων αυτών είναι να δοθούν µε σαφήνεια και απλότητα όλες οι έννοιες και οι εφαρµογές που περιέχονται στο µάθηµα των πιθανοτήτων διατηρώντας όµως παράλληλα την επιστηµονική αυστηρότητα και ευκρίνεια που πρέπει να διέπει τέτοιες προσπάθειες. Οι σηµειώσεις αυτές δεν εκδόθηκαν ποτέ από τον εκδοτικό οίκο που είχε αναλάβει την προώθηση των σηµειώσεων για τους φοιτητές ΕΜΠ. Ωστόσο, λόγω των εκτεταµένων δυσκολιών που αντιµετωπίζουν οι φοιτητές στο µάθηµα αυτό αλλά και για την ενδυνάµωση αυτών που επιθυµούν την περαιτέρω εξάσκηση στον τοµέα αυτόν, αποφασίστηκε η έκδοσή τους για πρώτη φορά σε ηλεκτρονική µορφή. Ελπίζουµε η δουλειά αυτή να φανεί χρήσιµη σε όλους τους φοιτητές που ασχολούνται µε τις πιθανότητες. Φ. Φωτόπουλος Α. Χαραλαµπάκης

3 Πρόλογος... Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες... 5 Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση.9... Άσκηση.... Άσκηση.... Κεφάλαιο ο: Τυχαίες Μεταβλητές Και Κατανοµές Αυτών... Άσκηση.... Άσκηση.... Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση.... Άσκηση.... Άσκηση.... Άσκηση.4... Άσκηση.5... Άσκηση.6... Άσκηση Κεφάλαιο ο: Μέσες Τιµές Τυχαίων Μεταβλητών... 5 Άσκηση Άσκηση.... 5

4 4 Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση.6... Άσκηση.7... Άσκηση.8... Κεφάλαιο 4ο: Ειδικές Κατανοµές Πιθανότητας... 4 Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Κεφάλαιο 5ο: Οριακά Θεωρήµατα Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση

5 5 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες Άσκηση. Αν είναι P(A )=,, P(B)=,4 και P(A B )=5% τότε να βρείτε: - την πιθανότητα P(A) - την πιθανότητα P(A B) - την πιθανότητα P(A B). Ω A B A B Σε τέτοιες ασκήσεις, είναι εν γένει χρήσιµο να κάνουµε ένα διάγραµµα Venn. α) Είναι Α=Ω-Α P(A)=P(Ω)-P(A ) P(A)=-P(A )=-, P(A)=,7. β) Από το διπλανό διάγραµµα Venn προκύπτει ότι: A=A B A B P(A) = P(A B ) + P(A B),7 =,5+ P(A B) P(A B) =,. γ) Επίσης, από τον προσθετικό νόµο έχουµε: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) =,7 +,4 -, P(A B) =,9.

6 6 Άσκηση. Αν P(A)=, P(B)=y και P(AB)=z και ορίσουµε ως C={ακριβώς ένα από τα Α και Β}, να βρεθεί η P(C)=; Καταρχήν πρέπει να θυµίσουµε ότι οι συµβολισµοί P(AB) και P(A B) είναι το ίδιο και το αυτό. Έπειτα είναι χρήσιµο το διάγραµµα του Venn. Η έκφραση ακριβώς ένα από τα Α και Β σηµαίνει την ένωση των Α και Β από την οποία έχουµε αφαιρέσει την τοµή των. Με άλλα λόγια, έχουµε C= P(A B) - P(AB). Με τη βοήθεια του προσθετικού νόµου αυτό γράφεται ως εξής: C= P(A) + P(B) -P(AB) - P(AB) = P(A) + P(B) -P(AB) P(C) = +y-z που είναι και η ζητούµενη πιθανότητα. Ένας άλλος τρόπος σκέψης θα ήταν να σκεφτούµε ότι C = AB + A B. Όµως εκ του διαγράµµατος Venn προκύπτει ότι A=AB AB και B=AB A B. Συνεπώς θα έχουµε και P(A)= P(AB) + P(AB ) P(AB ) = -z και οµοίως P(B)=(AB) + P(AB ) P(AB ) = y-z. Τότε από την αρχική σχέση θα παίρναµε C = P(AB ) + P(A B) = -z+y-z P(C)= +y-z, δηλαδή καταλήξαµε στο ίδιο αποτέλεσµα. Άσκηση. Αν Α,Β,Γ είναι τρία οποιαδήποτε ενδεχόµενα, να δείξετε ότι P(A\B) P(A\ΒΓ)*P(Γ\Β) Θα αρχίσουµε από το δεύτερο µέλος της προς απόδειξη σχέσης: P( ABΓ) P( ΓB) P( ABΓ) P( AB) P( A\ BΓ)* P( Γ\ B) = = = P( A\ B) PB ( Γ) PB ( ) PB ( ) PB ( ) και τούτο ισχύει γιατί η τοµή τριών συνόλων Α,Β,Γ είναι εν γένει µικρότερη (ή ίση στην περίπτωση που το Γ είναι ξένο µε τα Α,Β) από την τοµή δυο εξ αυτών.

7 7 Άσκηση.4 Αν Α,Β δυο ενδεχόµενα ξένα µεταξύ τους και P(A)=/, P(B)=/4, να βρείτε τα P(A\A B) και P(B\A B). Κατά τα γνωστά έχουµε: PA ( ( A B)) PA ( \ A B) = = PA ( B) PA ( ) PA ( B) = =. 7 καθότι τα Α και Β είναι ξένα µεταξύ τους και έτσι ο προσθετικός νόµος για την ένωσή των είναι P(A Β) = P(A) + P(B) = 4/7. Εντελώς ανάλογα έχουµε: PB ( \ A B) = PBA ( ( B)) P( A B) = PB ( ) P( A B) = 4 7 = 7 Άσκηση.5 ίνονται δυο δοχεία και που στο πρώτο έχουµε άσπρες και µαύρες µπάλες και στο δεύτερο άσπρες και µαύρες µπάλες. Μεταφέρω ένα σφαιρίδιο από το στο και εν συνεχεία παίρνω ένα από το. Ζητούνται: - Ποιά η πιθανότητα το τελευταίο να είναι άσπρο; - Αν το τελευταίο είναι άσπρο, ποιά η πιθανότητα να είναι και το ο άσπρο;

8 8 Ας υποθέσουµε ότι Α είναι το ενδεχόµενο να πάρω άσπρο σφαιρίδιο από το και Β το ενδεχόµενο να πάρω άσπρο σφαιρίδιο από το. Σε πρώτη φάση ζητούµε το P(Β). Σύµφωνα µε το νόµο ολικής πιθανότητας έχουµε: P(B) = P(B\A)P(A) + P(B\A )P(A ) = (4/6) (/4) + (/6) ( /4) = 7/. ηλαδή, µπορεί να πάρω από το µαύρο σφαιρίδιο και κατόπιν να πάρω άσπρο από το, ή να πάρω άσπρο από το και στη συνέχεια πάλι άσπρο από το. Τώρα, δεδοµένου ότι πήρα άσπρο από το, ποιά η πιθανότητα να έχω πάρει άσπρο και από το ; Όταν ακούµε τη λέξη δεδοµένου σκεφτόµαστε τη δεσµευµένη πιθανότητα. Έτσι χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Bayes έχουµε: P(A\B) = P(B\A) P(A)/P(B), όπου P(B) η πιθανότητα η ολική που βρήκαµε πριν. P(A\B) = (4/6)(/4)/(7/) = 4/7. Άσκηση.6 Ποια η πιθανότητα στο ΛΟΤΤΟ συµπληρώνοντας µια και µόνο εξάδα να έχω τέσσερα σωστά νούµερα; Σε αυτήν την εφαρµογή άµεσου και πρακτικού ενδιαφέροντος, πρέπει να γνωρίζουµε ότι από τα 49 νούµερα, οι δυνατές εξάδες είναι όσες οι συνδυασµοί των ανά 6. Εµείς θέλουµε από τα 6 ευνοϊκά τα τέσσερα χωρίς να µας νοιάζει µε ποια σειρά να τα πετύχουµε (άρα και πάλι θέµα συνδυασµών), και από τα υπόλοιπα 49-6=4 οποιαδήποτε µε οιαδήποτε σειρά. Παρατήρηση: Είναι πολύ σηµαντικό να διαχωρίσουµε την έννοια των διατάξεων από αυτή των συνδυασµών. ιάταξη έχουµε όταν µας ενδιαφέρει η σειρά των αποτελεσµάτων, αλλιώς έχουµε συνδυασµούς. Σύµφωνα µε όσα προαναφέραµε θα είναι:

9 P= 49 6 = 6! 4! 4!( 6 4)! ( 4 4)!! % o 49! ( 49 6)! 6! Άσκηση.7 Έχω 8 φοιτητές εκ των οποίων οι είναι φοιτήτριες. Θα εκλεγούν µόνον οι πέντε. Ποιά η πιθανότητα να υπάρχει ανδροκρατία; (τουλάχιστον φοιτητές) Καταρχήν µπορούν να υπάρχουν άνδρες - γυναίκες, 4 άνδρες - γυναίκα, 5 άνδρες και καµία γυναίκα. Το σύνολο όλων των δυνατών συνδυασµών είναι 8 ανά 5, ενώ οι σκέψεις που γίνονται είναι ανάλογες της προηγούµενης άσκησης. Εποµένως θα πάρουµε: 6 P = , Άσκηση.8 Τέσσερα γράµµατα τοποθετούνται τυχαία σε τέσσερις φακέλους. Να υπολογίσετε την πιθανότητα κανένα γράµµα να µην πάει στο σωστό φάκελο. Έστω Α κ = { το ενδεχόµενο το κ γράµµα να πάει στον κ φάκελο }. Αν P(κανένα στο σωστό) είναι το ζητούµενο, τότε θα πάρουµε: P(κανένα στο σωστό) = - P(τουλάχιστο ένα στο σωστό) = - P(A ) - P(A ) - P(A ) - P(A 4 ) + P(A A ) + P(A A ) + P(A A 4 ) + P(A A ) + P(A A 4 ) + P(A A 4 ) - P(A A A ) - P(A A A 4 ) - P(A A A 4 ) - P(A A A 4 ) + P(A A A A 4 ). Επειδή τα ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα έχουµε:

10 P=- 4P(A ) + 6P(A A ) - 4P(A A A ) + P(A A A A 4 ) () Αρκεί να υπολογίσουµε αυτές τις τέσσερις πιθανότητες. Προφανώς έχουµε να κάνουµε µε µεταθέσεις. Για να είναι συνδυασµοί ή διατάξεις θα έπρεπε το πλήθος των γραµµάτων να ήταν διάφορο (µεγαλύτερο ή µικρότερο) του πλήθους των φακέλων. P(A ) =!/4! = /4. P(A A ) =!/4! = /. P(A A A ) =!/4! = /4. P(A A A A 4 ) =!/4!= /4. Υπενθυµίζουµε ότι!=. Τώρα αντικαθιστώντας στην () εκλαµβάνουµε: P= - + 6/ -4/4 +/4 =9/4. Άσκηση.9 ίδονται τα δυο δοχεία του σχήµατος. Παίρνω δυο σφαιρίδια από το Α και τα τοποθετώ στο Β. Κατόπιν παίρνω ένα σφαιρίδιο από το Β. Να υπολογισθεί α) η πιθανότητα να είναι µαύρο, β) δεδοµένου ότι το τελευταίο είναι µαύρο, ποια η πιθανότητα τα δυο σφαιρίδια που πήρα από το Α να ήταν λευκά; () () 4Λ 5Μ 5Λ 7Μ Α Β α) Aς υποθέσουµε ότι είναι Α το ενδεχόµενο να είναι µαύρο το τελευταίο σφαιρίδιο. Τότε µπορεί να πήρα µαύρο αφού προηγουµένως από το δοχείο (Α) είχα πάρει µαύρα, λευκά, λευκό και ένα µαύρο σφαιρίδιο.

11 P(A)= P(A\ΛΛ)P(ΛΛ) + P(A\MM) P(MM) + P(A\ΛΜ)P(ΛΜ). Είναι P( ΛΛ ) = 4 5 9, PMM ( )= και P( Λ M) = 9. Τότε P(A\ΛΛ) = 7/4, P(A\MM) = 9/4 και P(A\ΛΜ) = 8/4. Βρίσκουµε µε αντικατάσταση P(A)=,579. β) P(ΛΛ\Α) = P(A\ΛΛ) P(ΛΛ) / P(A) =,44 (θεώρηµα Bayes). Άσκηση. Είσοδος δυαδικού συστήµατος επικοινωνίας δηλώνεται από µεταβλητή Χ που παίρνει τιµή ή µε πιθανότητες /4 και /4 αντίστοιχα. Λόγω των σφαλµάτων που προκαλεί ο θόρυβος του συστήµατος, η έξοδος Υ διαφέρει από την είσοδο Χ. ίνονται ότι P(Y=\X=)= /4 και P(Y=/X=)=7 /8. Ζητούνται α) P(Y=), P(Y=),β) P(X=\Y=). α) Θα έχουµε Y= όταν X= (σφάλµα εκποµπής) αλλά και όταν η έξοδος γίνει κανονικά δηλαδή Χ=. Άρα: P(Y=) = P(Y=\X=) P(X=) + P(Y=\X=) P(X=) P(Y=) = (/4) ( /4) + (-7/8) (/4) = 9/. Το µόνο δύσκολο σηµείο είναι ο καθορισµός του P(Y=\X=) καθόσον τα υπόλοιπα δίδονται. Σκεφτόµαστε ως εξής. Όταν το Χ είναι, το Y θα είναι είτε (σωστή µετάδοση) είτε (σφάλµα εκποµπής). Τα δυο αυτά ενδεχόµενα είναι συµπληρωµατικά καθώς άλλη περίπτωση δεν υπάρχει. Άρα θα είναι P(Y=\X=)=-P(Y=\X=)=-7/8 = /8. Ανάλογα: P(Y=) = P(Y=\X=) P(X=) + P(Y=\X=)P(X=) P(Y=) = (7/8) (/4) + (-/4)(/4) = /.

12 β) Θα χρησιµοποιήσουµε το θεώρηµα του Bayes. P( X = \ Y = ) = PY ( = \ X= ) P( X= ) = = =. PY ( = ) 9 9 Άσκηση. Σε µια συγκεκριµένη διαδροµή η πιθανότητα ένα φανάρι να είναι του ιδίου χρώµατος µε το προηγούµενο είναι p. Αν το πρώτο είναι πράσινο µε πιθανότητα α και το δεύτερο κόκκινο µε πιθανότητα -α, να υπολογίσετε την πιθανότητα το τρίτο να είναι πράσινο. Θα ονοµάσουµε Α Κ το ενδεχόµενο το κ φανάρι να είναι πράσινο. Τότε: P(A ) = P(A \A ) P(A ) + P(A \A )P(A ). Από την παραπάνω σχέση ξέρουµε ότι P(A )=-α και P(A \A ) = p. Οµοίως για το πρώτο και δεύτερο φανάρι παίρνουµε: P(A ) = P(A \A ) P(A ) + P(A \A ) P(A ) P(A ) = p α + (-p) ( -α). Άρα παίρνουµε από την αρχική σχέση ότι: P(A ) = p [ pα + (-p)(-α)] + (-p)[-αp - (-p)(-α)] P(A ) = α + (-α) p (-p). Βλέπουµε ότι το όλο πρόβληµα έγκειται στον προσδιορισµό του P(A ) γιατί τότε θα είναι P(A ) = -P(A ). Αυτό συµβαίνει γιατί το δεύτερο φανάρι είναι εξαρτηµένο από το χρώµα που θα έχει το πρώτο, ενώ το πρώτο είναι εντελώς ανεξάρτητο από τα άλλα δυο. Όµοια το τρίτο είναι εξαρτηµένο από το χρώµα που θα έχει το προηγούµενό του, δηλαδή το δεύτερο, που µε τη σειρά του είναι εξαρτηµένο από το χρώµα του πρώτου.

13 Κεφάλαιο ο: Τυχαίες Μεταβλητές Και Κατανοµές Αυτών Άσκηση. Ζητώ το α ώστε να είναι η P συνάρτηση πιθανότητας., PX ( ) a =,,..., = k, α>., αλλου Γνωρίζουµε ότι οι δυο συνθήκες που πρέπει να ισχύουν είναι: P(X)> και Σ P(X) =. Η πρώτη σαφώς ισχύει (α,>). Για τη δεύτερη έχω διαδοχικά: k k kk ( + ) kk ( + ) P( X) = = ( k) = = a a a a n= n= = a = k( k + ). Άσκηση. Ζητώ το α για να είναι η P(X) συνάρτηση πιθανότητας (α>). a, =,,... k PX ( ) =, αλλου O µαθηµατικός λογισµός είναι όµοιος µε την προηγούµενη άσκηση. Έτσι: k a a k a kk k ( + )( + ) = ( ) = = a = 6 n= 6 kk ( + )( k+ ).

14 4 Άσκηση. Για την παρακάτω συνάρτηση να δείξετε ότι είναι σ.π.π. Ποια η P(>) και ποια η P( >/)=;, < f ( ) = a >, αλλου Εδώ, η µια συνθήκη ότι f() παραµένει ως έχει, και προστίθεται η συνθήκη το ολοκλήρωµα της f από - ως να είναι µονάδα. Η πρώτη σαφώς ικανοποιείται. Για τη δεύτερη συνθήκη παίρνουµε: + f ( ) d = ( ) d = ( + ) d + ( ) d = Άρα η συνάρτηση f() είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. P ( > ) = ( d ) = = = / P( > ) = ( + ) d+ ( ) d = / 8+ / 8= / 4. / οι ζητούµενες πιθανότητες. Άσκηση.4 Μια µεταβλητή έχει πυκνότητα (εποµένως καταλαβαίνουµε ότι είναι συνεχής) θ θ e, > f ( ) =,. Να προσδιορισθεί το θ όταν P(X )=P(X>). Επίσης να βρείτε την, < πιθανότητα P(X>\X>). Αφού η f είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα ικανοποιεί τις δυο γνωστές συνθήκες. Από την πρώτη προκύπτει θ>. Από τη δεύτερη έχουµε:

15 5 + - θ θ θ F( ) = f ( ) d = d = e d( = e = θ θe θ) e +, > Βρήκαµε την F(). Αφού P(X )=P(X>)=- P(X ) P(X )= P(X )=/. Άρα F()-F()=/ -e -θ + +- =/ -e -θ =-/ -θ =-Ln θ = Ln. Μας συµφέρει να πάµε µέσω της F(). ηλαδή, αντί για τη διαδικασία αυτή, θα µπορούσαµε κάλλιστα να είχαµε πάρει το ολοκλήρωµα της f() από ως για να βρούµε το θ. Όµως αργότερα θα έπρεπε να πάρουµε και άλλα ολοκληρώµατα για τον προσδιορισµό της πιθανότητας P(X>\X>) πράγµα επίπονο και χρονοβόρο. Τώρα έχουµε: P( X > \ X > ) = P( X > X > ) P( X > ) = P( X > ) P( X > ) P( X ) F( ) = = = P( X ) F() Πρέπει να παρατηρήσουµε ότι είναι πολύ χρήσιµη η σχέση P(A)=-P(A ) γιατί η πιθανότητα P(X a) ισούται µε F(a), ενώ η P(X>a) δεν βρίσκεται απλά χωρίς τη χρήση του παραπάνω τύπου. Άσκηση.5 Η τυχαία µεταβλητή Χ παριστάνει ποσότητα βενζίνης σε χιλιάδες lt. µε συνάρτηση πυκνότητας - πιθανότητας: c, c, f ( ) = c( ),, α) Να υπολογιστεί η σταθερά c. β) Να υπολογιστούν οι πιθανότητες P(X /4), P(/ X 5/), P(>9/4). Για να είναι η f() σππ πρέπει το παρακάτω ολοκλήρωµα να είναι ίσο µε τη µονάδα:

16 6 f d cd cd c d c c c c c c c ( ) = + + ( ) = + + = + c+ c + = 9 4 = c= c=. Προχωρούµε στην εύρεση των ζητούµενων πιθανοτήτων. Έχουµε διαδοχικά: 4 / / 4 9 P( X / 4) = d = = / 5 P X = d + d + d = / P( X > 9/ 4) = 94 / / d = = + = 9/ 4 4 9/ / = 7 8 Άσκηση.6 Η τυχαία µεταβλητή Χ δείχνει το µηνιαίο εισόδηµα ενός υπαλλήλου µε πυκνότητα c f ( )= θ +, α (α,θ>). Ζητούνται α) να βρεθεί η σταθερά c, β) Ποιά η F();, γ) Να υπολογιστεί η πιθανότητα P(β< Χ < λβ) όπου β>α και λ>. α) Το θέµα µας λέει πως η τµ Χ δείχνει το µηνιαίο εισόδηµα µε πυκνότητα, και άρα είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και θα ικανοποιεί τις δυο συνθήκες που πρέπει οι συναρτήσεις αυτού του είδους να πληρούν. Από την πρώτη c> ενώ από τη δεύτερη: a c c f d d a ca ( ) = = c θ θ = ( θ θ + ) = = c = θ a θ a θ θ a - -θ β) Για να βρούµε την F(), αρκεί να ολοκληρώσουµε από µείον άπειρο ως. a a F( ) = f ( ) d = d = θ θ θ + που είναι η ζητούµενη συνάρτηση. θ

17 7 γ) Έχω διαδοχικά µε λογική όµοια µε της προηγούµενης άσκησης: a P( β λ β) = P( λ β) P( β ) = F( λ β) F( β ) = θ β λ θ Άσκηση.7 Αν η τυχαία µεταβλητή έχει πυκνότητα, < f ( ) =, αλλου, και συνάρτηση κατανοµής F ( ), < =, <,, να βρεθεί η κατανοµή g(y) της Y=- lnx. Σε τέτοιες ασκήσεις, η διαδικασία είναι πανοµοιότυπη. Αρχίζουµε από το G(y) και προσπαθούµε να λύσουµε ως προς. Έτσι έχουµε: G(y) = P(Y y) = P(-Ln y) = P(Ln -y) = P( e - y ) = - P( <e - y )= - F(e - y ). όταν ln > -ln < y <, F (e -y ) = όταν < δεν ορίζεται λογάριθµος όταν < ln < -ln > y >, F(e -y ) =e -y. y e, y > Μετά τα παραπάνω προκύπτει: Gy ( ) =., y < Στη συνέχεια παραγωγίζουµε και βρίσκουµε την κατανοµή g(y) της Y=-lnX. y e, y> gy ( ) =, y <

18 8 Άσκηση.8 Αν Χ µια συνεχής τυχαία µεταβλητή σε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f ( ) = e, < < π, να βρεθεί η κατανοµή g(y) της Υ=Χ. Ακολουθούµε ακριβώς τη διαδικασία που εφαρµόσαµε κατά την επίλυση της.7. Εδώ η άσκηση δεν χωρίζει σε πεδία της f() συνεπώς είναι απλούστερη. Έχουµε: G(y) = P(Y y) = P(X y) = P ( X y) = P( - y X y) = F( y) - F(- y). Γνωρίζουµε όµως ότι g(y)=g (y). Επειδή επίσης είναι F( ) = f ( ) d F ( ) = f ( ) έπεται ότι η παραπάνω σχέση θα δώσει: gy G y [ ] y F y y F y ( ) = ( ) = ( ) ( ) y f ( y ) f ( y = + ) = y e π y οπότε έχουµε τελικά gy ( ) = e yπ y. Άσκηση.9 Η τυχαία µεταβλητή Χ έχει πυκνότητα f ( ) = ( + ), π - < < + (Cauchy). Να βρεθεί η κατανοµή g(y) της Y=/X.

19 9 Κατά τη γνωστή µεθοδολογία που έχουµε ακολουθήσει ως τώρα σε ασκήσεις αυτού του είδους, έχουµε: G(y) = P(Y y) = P(/X y) = P(X /y) = - P(X < /y) = -F(/y). Όµως τότε θα είναι gy ( ) = G ( y) = F ( / y) f ( / y) = = y y y π ( + ) y gy ( ) = π ( + y ) που είναι η ζητούµενη κατανοµή. Άσκηση. Η διακύµανση του ηλεκτρικού ρεύµατος µπορεί να θεωρηθεί συνεχής τυχαία µεταβλητή Χ που κατανέµεται οµοιόµορφα στο διάστηµα [,]. Είναι στο διάστηµα αυτό f()=/ όπου [,] και αλλού. Αν το ρεύµα αυτό διέρχεται από αντίσταση Ω, να προσδιορισθεί η συνάρτηση κατανοµής της ισχύος Y=X. Θα την επιλύσουµε µε δυο τρόπους. Αρχίζουµε µε τη γνωστή µεθοδολογία που έχουµε αναφέρει για ασκήσεις αυτού του είδους. y y y y y Gy ( ) = PY ( y) = P( X y) = PX ( ) = P( < X < ) = F( ) F( ) οπότε η σχέση αυτή δίνει κατά τα γνωστά: gy G y y F y y F y ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( + ) = 4 y/ 8 y/. (επειδή f(y)= αν y< και f(y)=/ αν y [,]) O άλλος τρόπος στηρίζεται στο εξής θεώρηµα:

20 Αν Χ µια τυχαία µεταβλητή και y=h() αυστηρά µονότονη, τότε η πυκνότητα δίδεται εκ του τύπου gy ( ) = d f ( h ( y )) dy h ( y). Εποµένως θα είναι στο παράδειγµα αυτό: = d h y = y dy h y = gy f d y = dy h y = ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) * / 8 y / Άσκηση. Ζητείται να δειχθεί αν υπάρχει συνάρτηση πιθανότητας µεταξύ των Χ,Υ. Υ\Χ 4 -,,5,5,,,4, Ας πάρουµε το ζεύγος (Χ,Υ)=(,). Είναι P(X=\Y=)=,. Αλλά P(X=)=+,+, =,. Επίσης P(Y=)= +,++, =,. Βλέπουµε τώρα ότι P(X=)P(Y=) =,6, = P(X=\Y=) άρα συµπεραίνουµε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση πυκνότητας - πιθανότητας. Άσκηση. Να εξετάσετε αν οι Χ,Υ είναι ανεξάρτητες. Υ i \X i 5,,5,5 4,,5, 6,5,,

21 X 5 Y 4 6 P (),5,,45 P y (y),,5,5 Θεωρούµε το (Χ,Υ)=(,). Θα είναι P ()P y ()=,5 *, =,75. Επίσης από τον πρώτο πίνακα τιµών έχουµε P,y (,) =,. Βλέπουµε ότι P ()P y () P,y (,) που όµως σηµαίνει ότι οι µεταβλητές Χ,Υ δεν είναι ανεξάρτητες. Άσκηση. Οι τυχαίες µεταβλητές Χ,Υ έχουν από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) : f 8y,, y, (, y) =, αλλου y Να βρεθούν οι περιθώριες συναρτήσεις και οι δεσµευµένες f (), f y (y), f \ y (\y) και f y\ (y\). Για να βρούµε τις ζητούµενες περιθώριες και δεσµευµένες πιθανότητες, εφαρµόζουµε διαδοχικά τα γνωστά από τη θεωρία ολοκληρώµατα που µας τις παρέχουν. f ydy ydy y ( ) = 8 = 8 = 8 = 4 f y yd yd y y ( ) = 8 = 8 = 8 = 4y( y ) y f f \ y y\ fy, (, y) 8y ( \ y) = = = f ( y) 4y( y ) y y fy, (, y) 8y y ( y\ ) = = = f ( ) 4 y Σηµειώνουµε ότι για τα όρια των ολοκληρώσεων θα είναι & y µας δίνουν συµπτυσσόµενες το διάστηµα y και εποµένως y [,] - [y,]. Επίσης αξίζει να αναφέρουµε ότι για την f () το [,] για την f y (y) το y [,], για

22 τις δε δεσµευµένες πιθανότητες τα αντίστοιχα διαστήµατα θα είναι τα [y,] και y [,]. Άσκηση.4 Η διδιάστατη συνεχής µεταβλητή (Χ,Υ) έχει την πυκνότητα: f,y (,y) = όταν y. Ζητούνται: α) Να βρεθούν οι περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας f (), f y (y) β) να βρεθούν οι πιθανότητες P(X>/), P(Y /), P(X>/ \Υ /) γ) είναι οι Χ,Υ ανεξάρτητες; α) Θα χρησιµοποιήσουµε για την εύρεση των περιθωρίων συναρτήσεων πυκνότητας τα γνωστά µας από τη θεωρία ολοκληρώµατα. f ( ) = dy = dy = ( ), [, ] f ( y) = d = d = y, y [,] y y β) Για να υπολογίσουµε τις ζητούµενες πιθανότητες, θα χρησιµοποιήσουµε ολοκληρώµατα, λαµβάνοντας υπόψη µας για τον ορισµό των ορίων των ολοκληρωµάτων ότι αυτά θα ορίζονται από τα εκάστοτε διαστήµατα που αφορούν τα,y καθώς και από τις τιµές των πιθανοτήτων που µας δίνει η εκφώνηση. Έτσι έχουµε: P ( > ) = ( d ) = = + = / 4 / / / Py ( ) = ydy= y = = 9 9 P ( > I y ) P ( > \ y ) = = Py ( ) 4 γ) α τρόπος: δεν είναι ανεξάρτητες γιατί βλέπουµε ότι f,y (,y) f () f y (y).

23 β τρόπος: Λόγω του ότι η πιθανότητα >/ όταν y / είναι διάφορη του P(>/) οι,y είναι εξαρτηµένες. Άσκηση.5 ίνεται η fy, (, y) = c( y), < <, < y<. Αν η f,y (,y) είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) να βρεθεί η σταθερά c. Σύµφωνα µε τη θεωρία, αφού η f,y (,y) είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, θα πρέπει το διπλό ολοκλήρωµα αυτής να ισούται µε τη µονάδα. Έτσι έχουµε: c( y) ddy = d c( y) dy = d c( y) dy = c d = c 4 = c 8 Πρέπει τώρα 8c= ή c=/8 η ζητούµενη τιµή της σταθεράς c. Άσκηση.6 ίνεται η συνάρτηση f εκτελώντας το µετασχηµατισµό z=y και w=/y., (, y) =, >,y >. Να βρείτε την f z,w (z,w) y y Σε τέτοιου είδους θέµατα, το πρώτο που κάνουµε είναι να επιλύσουµε τους δοσµένους µετασχηµατισµούς ως προς,y: z= y = ( wy) y = wy y = z / w και z= y = z / w = zw Κατόπιν υπολογίζουµε την παρακάτω ορίζουσα:

24 4 w z z w zw zw w -z/w z / w J = = = = = y y / w -z/w zw z / w zw z / w 4w 4w w z w z / w z / w Τώρα η ζητούµενη f z,w (z,w) θα προκύψει από τον πολλαπλασιασµό µε το απόλυτο της ορίζουσας που βρήκαµε, της f,y (,y). ηλαδή: fzw, (, z w)= = wz wz. Άσκηση.7 ίδεται η συνάρτηση f,y (,y) = λ e - λ(+y). Εκτελώντας το µετασχηµατισµό z=+y και w = -y, να βρείτε την f z,w (z,w). Οµοίως το πρώτο βήµα είναι να λύσουµε ως προς,y τους µετασχηµατισµούς: z w z w z w z= + y= w+ y + y = w+ y y =, z= + y = + = + Υπολογίζουµε την ορίζουσα J: z w J = = = = yz yw οπότε τώρα γράφουµε τη ζητούµενη συνάρτηση: λ fzw, (, z w)= e λ z.

25 5 Κεφάλαιο ο: Μέσες Τιµές Τυχαίων Μεταβλητών Άσκηση. Για την f()=c e -, > να βρεθεί η c αν η f() είναι συνάρτηση πυκνότητας, η µέση τιµή της Ε(Χ) και η διασπορά Var(X). Αρχικά θα βρούµε την άγνωστη σταθερά c: c e d = c e d( ) = c e + c e d = c e d( ) = = ce + c e d ce c c c c = = ( ) = = = Για τη µέση τιµή επιλύουµε το παρακάτω ολοκλήρωµα: E X f d ( ) = ( ) = e d = e d =... =. Κατόπιν για τη διασπορά θα έχουµε: Var X [ E X ] f d e ( ) = ( ) ( ) = ( ) d. Η λύση του ολοκληρώµατος αυτού µας παρέχει τη ζητούµενη διασπορά. Άσκηση. Για την f()=e - KX όπου και k>, να βρεθούν: η σταθερά k, η µέση τιµή της E(X), η διασπορά Var (X) και η λοξότητα β. Είναι γνωστό ότι η f() είναι σππ.

26 6 Η άσκηση αυτή είναι βασική. Για τη σταθερά k θα έχω: k k k e k e d e d k e d k k k k e k = = ( ) + = = k k = k = ± k =, αφού το k είναι θετική σταθερά. Υπολογίζω εν συνεχεία τη µέση τιµή Ε(Χ): E( X) = f ( ) d = e d =... =, καθόσον έχουµε ασχοληθεί πρωτύτερα µε το ολοκλήρωµα αυτό. Θα βρούµε κατά τα γνωστά και τη ζητούµενη διασπορά Var(X): [ ] Var( X ) = E( X ) f ( ) d = ( ) e d = ( 4 + 4) e d = = e d 4 e d + 4 e d = = Παρατήρηση η: Είναι πολύ χρήσιµο να γνωρίζοµε εξαρχής την τιµή του k ολοκληρώµατος e d = k!. Αυτό το ολοκλήρωµα λύνεται εν γένει µε τη µέθοδο που δείξαµε, αλλά λόγω της µεγάλης συχνότητας εµφανίσεώς του, πρέπει να το γνωρίζοµε. Παρατήρηση η: Πολλές φορές είναι δύσκολο να υπολογίζοµε τη διασπορά Var(X) µε τη χρήση του παραπάνω ολοκληρώµατος. Συνίσταται να υπολογίζεται αντ αυτού µε τη χρήση του ισοδύναµου τύπου: Var(X)=E(X )-[E(X)]

27 7 Όπου Ε(Χ ) είναι το ολοκλήρωµα f ( ) d που υπολογίζεται απλά. Στο παράδειγµα αυτό θα έχουµε E(X )=6,άρα Var(X) = 6- =. Η λοξότητα β δίδεται εκ του τύπου: β=µ /σ. To σ προκύπτει απλά αν θυµηθούµε ότι Var(X)=σ, άρα σ =. Εποµένως θα είναι σ = ( ) =. Το µ προκύπτει από τον τύπο: µ =Ε[(Χ-Ε(Χ)) ] = Ε(Χ )+Ε(Χ )Ε(Ε(Χ)) -Ε(Χ) Ε[Ε(Χ) ] - Ε(Ε(Χ) ) = Ε(Χ ) - Ε(Χ )Ε(Χ) + Ε(Χ)Ε(Χ) -Ε(Χ), αφού ισχύει Ε(Ε(Χ))=Ε(Χ). Έτσι προκύπτει και ο παραπάνω τύπος του πλαισίου. Για να βρούµε το µ αρκεί να υπολογίσουµε το Ε(Χ ) καθόσον τα λοιπά τα ξέροµε. Είναι εποµένως Ε(Χ 4 )= f ( ) d = e d = 4! = 4. 4 Άρα µ = 4 - *6* + **4 - = 4, άρα β = =. Άσκηση. Σε ένα τυχερό παιχνίδι ρίχνουµε ένα ζάρι έτσι ώστε να κερδίζουµε 9 χρηµατικές µονάδες (πχ δεκαχίλιαρα) για ή, να χάνουµε 8 αν φέρουµε,4,5 και για 6. Αν η τυχαία µεταβλητή Χ δίνει το κέρδος µετά από κάθε ρίψη, να βρεθεί η µέση τιµή Ε(Χ) και η διασπορά Var(X). Θα βρούµε τις επιµέρους πιθανότητες: Χ 9-8 p(x) /6 /6 /6 Σύµφωνα µε τον ορισµό της µέσης τιµής θα έχουµε:

28 8 E( X) = ip( i) = =- δηλαδή θα χάσουµε στο τέλος i= Παρατηρούµε ότι ενώ πριν για την εύρεση της µέσης τιµής Ε(Χ) χρησιµοποιούσαµε ολοκλήρωµα, τώρα χρησιµοποιούµε άθροισµα. Αυτό συµβαίνει για τον εξής απλό λόγο: πριν είχαµε συνάρτηση f() που θα µπορούσε να πάρει άπειρες τιµές σε οιοδήποτε διάστηµα. Εδώ έχουµε διακριτές και πάνω απ όλα πεπερασµένες τιµές που µπορεί να πάρει η Χ που δίνει το κέρδος µετά από κάθε ρίψη. Όµοια θα εφαρµόσουµε τον τύπο Var(X)= E(X ) - (E(X)) E(X ) θα υπολογισθεί µε τη βοήθεια του παρακάτω αθροίσµατος: για τη διασπορά, όπου E( X ) = i pi( ) = =59. 6 i= Αξίζει τέλος να παρατηρήσουµε ότι το δεδοµένο πως αν φέρουµε 6 δεν κερδίζουµε ούτε χάνουµε, δεν επηρέασε καθόλου τη µέση τιµή και τη διασπορά, κάτι που εξάλλου ήταν αναµενόµενο. Άσκηση.4 Ρίχνουµε ένα νόµισµα 5 φορές. Αν η τυχαία µεταβλητή Χ δηλώνει πόσες φορές εµφανίζεται το διατεταγµένο ζεύγος (Κ,Γ) να βρεθούν η κατανοµή της Χ, η µέση της τιµή Ε(Χ), η διασπορά της Var(X). Τα δυνατά αποτελέσµατα (δηλαδή το σύνολο των δυνατών διατεταγµένων πεντάδων που µπορούµε να πάροµε) είναι διάταξη µε επανάληψη των ανά 5 : 5 =. Έχουµε τον παρακάτω πίνακα όπου το Χ δηλώνει πόσες φορές εµφανίζεται το διατεταγµένο ζεύγος (Κ,Γ): Χ p(x) 6/ / 6/

29 9 Κατά τα γνωστά έχουµε: Ε(Χ)=(6/)+(/)+(6/)= και Var(X)=Ε(Χ )-(Ε(Χ)) =(/)+4(6/)-=,75 υπενθυµίζοντας ότι λόγω του διακριτού και πεπερασµένου του πλήθους των τιµών που παίρνει η Χ πρέπει να χρησιµοποιήσουµε άθροισµα και όχι ολοκλήρωµα. Άσκηση.5 Ρίχνοµε ένα νόµισµα πολλές φορές και σταµατάµε όταν εµφανιστεί η όψις Κ. Αν η τυχαία µεταβλητή Χ µετρά τον αριθµό των ρίψεων που απαιτούνται, να βρεθεί η κατανοµή της και η µέση τιµή της. Η άσκηση αυτή παρουσιάζει µια ιδιοµορφία. Ναι µεν οι τιµές που µπορεί να πάρει η Χ είναι διακριτές και πεπερασµένες, δεν µπορούµε όµως να τις καταγράψουµε. Αν υποθέσουµε ότι επιχειρούµε κάτι τέτοιο, θα έπρεπε να χρησιµοποιήσουµε ν-διάστατο πίνακα. Παρόλα αυτά µπορούµε να σκεφτούµε ως εξής: P(X=)=P(K)=/ P(X=)=P(ΓΚ)=/4 P(X=)=P(ΓΓΚ)=/8... P(X=ν)=P(ΓΓ...ΓΚ)=/ ν. Επειδή οι τιµές που µπορεί να πάρει η Χ είναι πεπερασµένες, όπως είπαµε παραπάνω θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε άθροισµα και όχι ολοκλήρωµα. Άρα: E( X) = n 4 8 n. Το άθροισµα αυτό επιλύεται µε τέχνασµα. Θέτω a=/: E( X) = a+ a + a na n. Όµως ξέρουµε ότι a + a a + n a a =, όταν α<. a Αν παραγωγίσουµε ως προς α την τελευταία σχέση παίρνουµε:

30 n + a+ a na = ( a) n a a+ a + a na = ( a) και άρα βρίσκουµε Ε(Χ)= αν αντικαταστήσουµε το α=/. Το αποτέλεσµα σηµαίνει ότι κατά µέσο όρο στη δεύτερη ρίψη θα έλθει η όψη κορώνα, κάτι που αναµενόταν. Άσκηση.6 (Εφαρµογή Τεχνικής Υδρολογίας) Κατά τις µέρες που βρέχει το ηµερήσιο ύψος της βροχής µετρηµένο σε ένα σταθµό σε mm βρέθηκε ότι ακολουθεί την εκθετική κατανοµή F ()=-e -k, όπου, κ=,5mm -. Να βρεθούν: α) η µέση τιµή Ε(Χ) και η διασπορά Var(X) β) η λοξότητα β και η κύρτωση γ γ) η κορυφή και η διάµεσος δ) ο συντελεστής µεταβλητότητας CV. α) Πρέπει να προσέξουµε ότι f()=f ()=ke -k. Κατά τα γνωστά έχουµε: m = f d = k ke d = k k e e d k e k + = ( ) = =. k Επειδή δε Ε(Χ)=µ Ε(Χ)=. Είναι γνωστό ότι Var(X)=E(X ) - [E(X) ]. Έτσι: k! m = f ( ) d = ke = = 8 Var(X)=8-4 Var(X)=4 mm. k β) Θα υπολογίσουµε τα m και m 4 µε τη βοήθεια παρατήρησης προηγούµενης άσκησης ή µε τη βοήθεια ολοκληρωµάτων. Βρίσκουµε ότι:! 4! m = = 48., m4 = 4 = 84.. k k λοξότητα β και την κύρτωση γ. οπότε τώρα µπορούµε να υπολογίσουµε τη

31 µ = Ε[(Χ-Ε(Χ)) ] = Ε(Χ ) - Ε(Χ )Ε(Ε(Χ)) + Ε(Χ)Ε(Ε(Χ) ) - Ε(Ε(Χ)) µ = Ε(Χ ) - Ε(Χ )Ε(Χ) + Ε(Χ)Ε(Χ) - Ε(Χ) µ = 6. Εποµένως β = =. µ 4 = Ε[(Χ-Ε(Χ)) 4 ] = Ε[(Χ-) 4 ] = Ε[(Χ -4Χ+4)(Χ -4Χ+4)] = = Ε(Χ 4-4Χ +4Χ -4Χ +6Χ -6Χ +4Χ -6Χ-6)= = Ε(Χ 4 ) - 8Ε(Χ ) +4Ε(Χ ) -76 Ε(Χ) -6 = = * *4-76* - 6. = Εποµένως γ = = 8,.Θυµίζουµε ότι Var(X) = σ σ = 4. 4 f(),5 γ) Το διπλανό σχήµα µας δίνει το γράφηµα της f() το οποίο τείνει ασυµπτωτικά στον άξονα των, καθώς. Από τον ορισµό της διχοτόµου (διάµεσος) έχουµε: P(X X.5) = / (εξ ορισµού). Είναι F(X.5 )=/ -e -k,5 = / e -k,5 =/.5 =,9 περίπου η διάµεσος. Από τη θεωρία γνωρίζουµε ότι επικρατούσα τιµή ή κορυφή ονοµάζεται η τιµή που µεγιστοποιεί την f() σ.π.π. ή έχει τη µεγαλύτερη πιθανότητα (για διακριτή µεταβλητή). Η κορυφή εποµένως για την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι το,5. δ) Για το συντελεστή µεταβλητότητας CV έχουµε:

32 CV σ 4 = = = m Άσκηση.7 Να δειχθεί η ανισότητα Cauchy - Schwarz [Ε(Χ,Υ)] Ε(Χ )Ε(Υ ). Έχουµε: [Ε(αΧ+Υ) ] Ε(α Χ + αχυ + Υ ) Ε(α Χ ) + Ε(αΧΥ) + Ε(Υ ) α Ε(Χ ) + αε(χ,υ) +Ε(Υ ) () Για να είναι η () πάντα θετική, αρκεί. Έτσι θα είναι: 4[Ε(Χ,Υ)] -4Ε(Χ )Ε(Υ ) [Ε(Χ,Υ)] Ε(Χ )Ε(Υ ) όπερ εδείχθη. Άσκηση.8 ίδονται οι διδιάστατες µεταβλητές Χ,Υ µε αντίστοιχες πιθανότητες: Υ\Χ 6 8,,,,, Ζητείται να βρείτε τα Ε(Χ),Ε(Υ) και Ε(Χ,Υ). Είναι οι Χ,Υ ανεξάρτητες ; Επειδή έχουµε διακριτές και πεπερασµένες τιµές για τη µεταβλητή Χ, είναι σαφές ότι θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε άθροισµα και όχι ολοκλήρωµα. Έτσι: E( X) = p(, y ) = 6*, + 6* + 6*, + 8* + 8*, + 8* + * *, + * = 8 i= j= i i j

33 EY ( ) = yp (, y) = *, + * + *, + * *, = 4 i= j= i i j E( X, Y) = y p(, y ) = 6* *, + 8* * * *, = 6 i= j= i j i j Για να ελέγξουµε αν οι Χ,Υ είναι ανεξάρτητες, θα πάρουµε το ζεύγος (8,) από το δοσµένο πίνακα. Αν υποθέσουµε ότι οι Χ,Υ είναι ανεξάρτητες, τότε θα πρέπει να ισχύει ο παρακάτω τύπος: p( i,y i ) = p( i ) p(y i ) Για το ζεύγος (8,) έχουµε p(x=8)=+,+ =,. Επίσης p(y=) =,++, =,4. Εξάλλου θα είναι p(x=8,y=)=,8 = p(x=8)*p(y=). Συµπεραίνοµε δηλαδή ότι οι Χ,Υ δεν είναι ανεξάρτητες.

34 4 Κεφάλαιο 4ο: Ειδικές Κατανοµές Πιθανότητας Άσκηση 4. Σε ένα πείραµα η πιθανότητας επιτυχίας είναι 5%. Ποια η πιθανότητα σε πειράµατα να έχω επιτυχίες; Τουλάχιστον ; Το δύσκολο στο προβλήµατα αυτά είναι να καταλάβουµε ποιά εκ των κατανοµών θα χρησιµοποιήσουµε. Η επίλυση µετά το σηµείο αυτό είναι απλή αριθµητική αντικατάσταση. Όταν έχουµε σταθερό ποσοστό (εδώ 5%) επιτυχιών ή αποτυχιών πρόκειται για διωνυµική κατανοµή. Αυτό ισχύει γενικά. PX ( = ) =,, =,475 P(τουλάχιστον ) = -P(καµία) - P(µια) = - P(X=) - P(X=). Αλλά PX ( = ) =,,,, PX ( ),,, = = = = PX ( ) =, 599, 5 PX ( ) =, 86 Άσκηση 4. Σε βιβλίο σελίδων υπάρχουν τυπογραφικά λάθη. Ποια η πιθανότητα σε µια σελίδα να βρούµε τουλάχιστον ; Όταν έχουµε πρόβληµα που έχουµε κάποια τιµή ανά ένα µέγεθος (συνήθως χρόνος) τότε έχουµε κατανοµή Poisson. ηλαδή η έκφραση 8 ατυχήµατα ανά εβδοµάδα, µας δίνει

35 5 την πληροφορία ότι έχουµε κατανοµή Poisson. Εδώ έχουµε λάθη σε σελίδες 5 λάθη ανά σελίδα. Άρα λ=5. f ( ) = e λ f ( ) = e 5 λ 5.!! P(X )=-P(X<)=-P(X=)-P(X=)-P(X=) P( X ) = e e e =, !!! Άσκηση 4. Σε ένα δοχείο έχω άσπρα και µαύρα σφαιρίδια (πλήθος Ν=). Παίρνω χωρίς επανάθεση σφαιρίδια. Ποια η πιθανότητα να έχω 4 άσπρα και 6 µαύρα σφαιρίδια. Να βρεθεί επίσης η µέση τιµή και η διασπορά της κατανοµής που θα χρησιµοποιήσετε για το παράδειγµα αυτό. Η Υπεργεωµετρική κατανοµή εµφανίζεται κατά τη δειγµατοληψία χωρίς επανάθεση από πληθυσµό µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων. 4 6 P( X = 4) = =, 79 7% Θα έχουµε µ=ε(χ)=*(/)=, και σ =Var(X)=,5. Άσκηση 4.4 Μια εταιρία πούλησε µηχανές προς χρηµατικές µονάδες την καθεµία. Αν η µηχανή πάθει βλάβη µέσα στο χρόνο εγγύησης, ο αγοραστής παίρνει χρηµατικές µονάδες αποζηµίωσης. Η πιθανότητα η µηχανή να πάθει βλάβη εντός εγγύησης είναι Ρ. Ζητούνται να βρεθούν: α) η πιθανότητα κέρδους και η πιθανότητα ζηµίας της εταιρίας για Ρ=,

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49

p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 206-207 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Από κοινού συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων :

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων : 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : Είναι το πηλίκο f κ A = ν ενδεχόµενου Α σε ν το πλήθος εκτελέσεις του πειράµατος όπου κ το πλήθος των πραγµατοποιήσεων του. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 16 εκεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ενδιαφέρον τόσο από ϑεωρητική άποψη, όσο και από άποψη εφαρµογών, παρουσιάζει και η από κοινού µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

IV ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές

IV ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές IV ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές 1 Λυµένες Ασκήσεις Άσκηση 1 Ας υποθέσουµε ότι το πείραµά µας συνίσταται στην ϱίψη τίµιων νοµισµάτων. Ας συµβολίσουµε µε Y τον αριθµό που µας λέει πόσες ϕορές εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

P(200 X 232) = =

P(200 X 232) = = ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. (i Υποθέτοντας ότι επιτρέπονται επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό

10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό ο Φροντιστηριο ΗΥ7 - Επαναληπτικό Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 7 Ιανουαρίου 4 Ασκηση. Το σήµα s µεταδίδεται από ένα δορυφόρο αλλά λόγω της επίδρασης του ϑορύβου το λαµβανόµενο σήµα έχει τη µορφή X s + W. Οταν

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Συµπλήρωµα στα παραδείγµατα που υπάρχουν στο Εγχειρίδιο του Μαθήµατος ρ. Α. Μαγουλάς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας Διάλεξη 5: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω η ποιότητα ενός προϊόντος που παίρνουμε από ένα σύνολο προϊόντων με απλή τυχαία δειγματοληψία. Ανάλογα με το αν το προϊόν είναι ελαττωματικό, καλο ή άριστο, η παίρνει τις τιμές,

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 25 Νοεµβρίου 2009 Ορισµός Εστω X µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας f(x) = e λ λx, x = 0, 1,..., (1) x! όπου 0 < λ

Διαβάστε περισσότερα

Κανονική Κατανομή. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Κανονική Κατανομή. τεχνικές. 73 άλυτες ασκήσεις.

Κανονική Κατανομή. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Κανονική Κατανομή. τεχνικές. 73 άλυτες ασκήσεις. Κανονική Κατανομή Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Κανονική Κατανομή τεχνικές 73 άλυτες ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8// Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Οι παραγγελίες ακολουθούν την κατανομή Poisson. Σύμφωνα με τα δεδομένα ο

Οι παραγγελίες ακολουθούν την κατανομή Poisson. Σύμφωνα με τα δεδομένα ο ΘΕΜΑ 1 ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 10) Μια βιοτεχνία καθαρισμού ρούχων λειτουργεί καθημερινά 8 ώρες. Η βιοτεχνία δέχεται κατά μέσο όρο 4 παραγγελίες την ημέρα για καθαρισμό ενδυμάτων. (ι). Να υπολογισθεί η πιθανότητα να

Διαβάστε περισσότερα

Θα λύσετε ένα από τα έξι πακέτα ασκήσεων που ακολουθούν, τα οποία είναι αριθµηµένα από 0 έως5. Ο κάθε φοιτητής βρίσκει το πακέτο που του αντιστοιχεί

Θα λύσετε ένα από τα έξι πακέτα ασκήσεων που ακολουθούν, τα οποία είναι αριθµηµένα από 0 έως5. Ο κάθε φοιτητής βρίσκει το πακέτο που του αντιστοιχεί Θα λύσετε ένα από τα έξι πακέτα ασκήσεων που ακολουθούν, τα οποία είναι αριθµηµένα από 0 έως5. Ο κάθε φοιτητής βρίσκει το πακέτο που του αντιστοιχεί από τον αριθµό µητρώου του. Συγκεκριµένα υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών

ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών Τµ. Επιστήµης των Υλικών Χώρος Πιθανότητας Συµµετρικός Χώρος Πιθανότητας 1 Θεωρούµε ότι ο δειγµατοχώρος Ω είναι πεπερασµένος, Ω= {ω 1,ω 2,...,ω n }. 2 Κάθε δειγµατοσηµείο έχει τις ίδιες ευκαιρίες εµφάνισης

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε

Διαβάστε περισσότερα

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 19/04/2016 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραµα Πείραµα: Οποιαδήποτε διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στη Θεωρία Πιθανοτήτων

Σηµειώσεις στη Θεωρία Πιθανοτήτων Σηµειώσεις στη Θεωρία Πιθανοτήτων Μέρος Α. Τι είναι οι Πιθανότητες. Είναι συνηθισµένο να ορίζουµε λοιπόν µαθηµατικές διαδικασίες, τις οποίες ονοµάζουµε µοντέλα ή πρότυπα, ώστε να περιγράψουν φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα