Φώτης Φωτόπουλος Αριστοτέλης Χαραλαµπάκης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Φώτης Φωτόπουλος Αριστοτέλης Χαραλαµπάκης"

Transcript

1 Φώτης Φωτόπουλος Αριστοτέλης Χαραλαµπάκης ΓΕΝΙΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΟΡΙΑΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΘΗΝΑ 996

2 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το τµήµα του µαθήµατος Στατιστική Πιθανότητες που αναφέρεται στις πιθανότητες. Σκοπός των σηµειώσεων αυτών είναι να δοθούν µε σαφήνεια και απλότητα όλες οι έννοιες και οι εφαρµογές που περιέχονται στο µάθηµα των πιθανοτήτων διατηρώντας όµως παράλληλα την επιστηµονική αυστηρότητα και ευκρίνεια που πρέπει να διέπει τέτοιες προσπάθειες. Οι σηµειώσεις αυτές δεν εκδόθηκαν ποτέ από τον εκδοτικό οίκο που είχε αναλάβει την προώθηση των σηµειώσεων για τους φοιτητές ΕΜΠ. Ωστόσο, λόγω των εκτεταµένων δυσκολιών που αντιµετωπίζουν οι φοιτητές στο µάθηµα αυτό αλλά και για την ενδυνάµωση αυτών που επιθυµούν την περαιτέρω εξάσκηση στον τοµέα αυτόν, αποφασίστηκε η έκδοσή τους για πρώτη φορά σε ηλεκτρονική µορφή. Ελπίζουµε η δουλειά αυτή να φανεί χρήσιµη σε όλους τους φοιτητές που ασχολούνται µε τις πιθανότητες. Φ. Φωτόπουλος Α. Χαραλαµπάκης

3 Πρόλογος... Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες... 5 Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση.9... Άσκηση.... Άσκηση.... Κεφάλαιο ο: Τυχαίες Μεταβλητές Και Κατανοµές Αυτών... Άσκηση.... Άσκηση.... Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση.... Άσκηση.... Άσκηση.... Άσκηση.4... Άσκηση.5... Άσκηση.6... Άσκηση Κεφάλαιο ο: Μέσες Τιµές Τυχαίων Μεταβλητών... 5 Άσκηση Άσκηση.... 5

4 4 Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση.6... Άσκηση.7... Άσκηση.8... Κεφάλαιο 4ο: Ειδικές Κατανοµές Πιθανότητας... 4 Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Κεφάλαιο 5ο: Οριακά Θεωρήµατα Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση

5 5 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες Άσκηση. Αν είναι P(A )=,, P(B)=,4 και P(A B )=5% τότε να βρείτε: - την πιθανότητα P(A) - την πιθανότητα P(A B) - την πιθανότητα P(A B). Ω A B A B Σε τέτοιες ασκήσεις, είναι εν γένει χρήσιµο να κάνουµε ένα διάγραµµα Venn. α) Είναι Α=Ω-Α P(A)=P(Ω)-P(A ) P(A)=-P(A )=-, P(A)=,7. β) Από το διπλανό διάγραµµα Venn προκύπτει ότι: A=A B A B P(A) = P(A B ) + P(A B),7 =,5+ P(A B) P(A B) =,. γ) Επίσης, από τον προσθετικό νόµο έχουµε: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) =,7 +,4 -, P(A B) =,9.

6 6 Άσκηση. Αν P(A)=, P(B)=y και P(AB)=z και ορίσουµε ως C={ακριβώς ένα από τα Α και Β}, να βρεθεί η P(C)=; Καταρχήν πρέπει να θυµίσουµε ότι οι συµβολισµοί P(AB) και P(A B) είναι το ίδιο και το αυτό. Έπειτα είναι χρήσιµο το διάγραµµα του Venn. Η έκφραση ακριβώς ένα από τα Α και Β σηµαίνει την ένωση των Α και Β από την οποία έχουµε αφαιρέσει την τοµή των. Με άλλα λόγια, έχουµε C= P(A B) - P(AB). Με τη βοήθεια του προσθετικού νόµου αυτό γράφεται ως εξής: C= P(A) + P(B) -P(AB) - P(AB) = P(A) + P(B) -P(AB) P(C) = +y-z που είναι και η ζητούµενη πιθανότητα. Ένας άλλος τρόπος σκέψης θα ήταν να σκεφτούµε ότι C = AB + A B. Όµως εκ του διαγράµµατος Venn προκύπτει ότι A=AB AB και B=AB A B. Συνεπώς θα έχουµε και P(A)= P(AB) + P(AB ) P(AB ) = -z και οµοίως P(B)=(AB) + P(AB ) P(AB ) = y-z. Τότε από την αρχική σχέση θα παίρναµε C = P(AB ) + P(A B) = -z+y-z P(C)= +y-z, δηλαδή καταλήξαµε στο ίδιο αποτέλεσµα. Άσκηση. Αν Α,Β,Γ είναι τρία οποιαδήποτε ενδεχόµενα, να δείξετε ότι P(A\B) P(A\ΒΓ)*P(Γ\Β) Θα αρχίσουµε από το δεύτερο µέλος της προς απόδειξη σχέσης: P( ABΓ) P( ΓB) P( ABΓ) P( AB) P( A\ BΓ)* P( Γ\ B) = = = P( A\ B) PB ( Γ) PB ( ) PB ( ) PB ( ) και τούτο ισχύει γιατί η τοµή τριών συνόλων Α,Β,Γ είναι εν γένει µικρότερη (ή ίση στην περίπτωση που το Γ είναι ξένο µε τα Α,Β) από την τοµή δυο εξ αυτών.

7 7 Άσκηση.4 Αν Α,Β δυο ενδεχόµενα ξένα µεταξύ τους και P(A)=/, P(B)=/4, να βρείτε τα P(A\A B) και P(B\A B). Κατά τα γνωστά έχουµε: PA ( ( A B)) PA ( \ A B) = = PA ( B) PA ( ) PA ( B) = =. 7 καθότι τα Α και Β είναι ξένα µεταξύ τους και έτσι ο προσθετικός νόµος για την ένωσή των είναι P(A Β) = P(A) + P(B) = 4/7. Εντελώς ανάλογα έχουµε: PB ( \ A B) = PBA ( ( B)) P( A B) = PB ( ) P( A B) = 4 7 = 7 Άσκηση.5 ίνονται δυο δοχεία και που στο πρώτο έχουµε άσπρες και µαύρες µπάλες και στο δεύτερο άσπρες και µαύρες µπάλες. Μεταφέρω ένα σφαιρίδιο από το στο και εν συνεχεία παίρνω ένα από το. Ζητούνται: - Ποιά η πιθανότητα το τελευταίο να είναι άσπρο; - Αν το τελευταίο είναι άσπρο, ποιά η πιθανότητα να είναι και το ο άσπρο;

8 8 Ας υποθέσουµε ότι Α είναι το ενδεχόµενο να πάρω άσπρο σφαιρίδιο από το και Β το ενδεχόµενο να πάρω άσπρο σφαιρίδιο από το. Σε πρώτη φάση ζητούµε το P(Β). Σύµφωνα µε το νόµο ολικής πιθανότητας έχουµε: P(B) = P(B\A)P(A) + P(B\A )P(A ) = (4/6) (/4) + (/6) ( /4) = 7/. ηλαδή, µπορεί να πάρω από το µαύρο σφαιρίδιο και κατόπιν να πάρω άσπρο από το, ή να πάρω άσπρο από το και στη συνέχεια πάλι άσπρο από το. Τώρα, δεδοµένου ότι πήρα άσπρο από το, ποιά η πιθανότητα να έχω πάρει άσπρο και από το ; Όταν ακούµε τη λέξη δεδοµένου σκεφτόµαστε τη δεσµευµένη πιθανότητα. Έτσι χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Bayes έχουµε: P(A\B) = P(B\A) P(A)/P(B), όπου P(B) η πιθανότητα η ολική που βρήκαµε πριν. P(A\B) = (4/6)(/4)/(7/) = 4/7. Άσκηση.6 Ποια η πιθανότητα στο ΛΟΤΤΟ συµπληρώνοντας µια και µόνο εξάδα να έχω τέσσερα σωστά νούµερα; Σε αυτήν την εφαρµογή άµεσου και πρακτικού ενδιαφέροντος, πρέπει να γνωρίζουµε ότι από τα 49 νούµερα, οι δυνατές εξάδες είναι όσες οι συνδυασµοί των ανά 6. Εµείς θέλουµε από τα 6 ευνοϊκά τα τέσσερα χωρίς να µας νοιάζει µε ποια σειρά να τα πετύχουµε (άρα και πάλι θέµα συνδυασµών), και από τα υπόλοιπα 49-6=4 οποιαδήποτε µε οιαδήποτε σειρά. Παρατήρηση: Είναι πολύ σηµαντικό να διαχωρίσουµε την έννοια των διατάξεων από αυτή των συνδυασµών. ιάταξη έχουµε όταν µας ενδιαφέρει η σειρά των αποτελεσµάτων, αλλιώς έχουµε συνδυασµούς. Σύµφωνα µε όσα προαναφέραµε θα είναι:

9 P= 49 6 = 6! 4! 4!( 6 4)! ( 4 4)!! % o 49! ( 49 6)! 6! Άσκηση.7 Έχω 8 φοιτητές εκ των οποίων οι είναι φοιτήτριες. Θα εκλεγούν µόνον οι πέντε. Ποιά η πιθανότητα να υπάρχει ανδροκρατία; (τουλάχιστον φοιτητές) Καταρχήν µπορούν να υπάρχουν άνδρες - γυναίκες, 4 άνδρες - γυναίκα, 5 άνδρες και καµία γυναίκα. Το σύνολο όλων των δυνατών συνδυασµών είναι 8 ανά 5, ενώ οι σκέψεις που γίνονται είναι ανάλογες της προηγούµενης άσκησης. Εποµένως θα πάρουµε: 6 P = , Άσκηση.8 Τέσσερα γράµµατα τοποθετούνται τυχαία σε τέσσερις φακέλους. Να υπολογίσετε την πιθανότητα κανένα γράµµα να µην πάει στο σωστό φάκελο. Έστω Α κ = { το ενδεχόµενο το κ γράµµα να πάει στον κ φάκελο }. Αν P(κανένα στο σωστό) είναι το ζητούµενο, τότε θα πάρουµε: P(κανένα στο σωστό) = - P(τουλάχιστο ένα στο σωστό) = - P(A ) - P(A ) - P(A ) - P(A 4 ) + P(A A ) + P(A A ) + P(A A 4 ) + P(A A ) + P(A A 4 ) + P(A A 4 ) - P(A A A ) - P(A A A 4 ) - P(A A A 4 ) - P(A A A 4 ) + P(A A A A 4 ). Επειδή τα ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα έχουµε:

10 P=- 4P(A ) + 6P(A A ) - 4P(A A A ) + P(A A A A 4 ) () Αρκεί να υπολογίσουµε αυτές τις τέσσερις πιθανότητες. Προφανώς έχουµε να κάνουµε µε µεταθέσεις. Για να είναι συνδυασµοί ή διατάξεις θα έπρεπε το πλήθος των γραµµάτων να ήταν διάφορο (µεγαλύτερο ή µικρότερο) του πλήθους των φακέλων. P(A ) =!/4! = /4. P(A A ) =!/4! = /. P(A A A ) =!/4! = /4. P(A A A A 4 ) =!/4!= /4. Υπενθυµίζουµε ότι!=. Τώρα αντικαθιστώντας στην () εκλαµβάνουµε: P= - + 6/ -4/4 +/4 =9/4. Άσκηση.9 ίδονται τα δυο δοχεία του σχήµατος. Παίρνω δυο σφαιρίδια από το Α και τα τοποθετώ στο Β. Κατόπιν παίρνω ένα σφαιρίδιο από το Β. Να υπολογισθεί α) η πιθανότητα να είναι µαύρο, β) δεδοµένου ότι το τελευταίο είναι µαύρο, ποια η πιθανότητα τα δυο σφαιρίδια που πήρα από το Α να ήταν λευκά; () () 4Λ 5Μ 5Λ 7Μ Α Β α) Aς υποθέσουµε ότι είναι Α το ενδεχόµενο να είναι µαύρο το τελευταίο σφαιρίδιο. Τότε µπορεί να πήρα µαύρο αφού προηγουµένως από το δοχείο (Α) είχα πάρει µαύρα, λευκά, λευκό και ένα µαύρο σφαιρίδιο.

11 P(A)= P(A\ΛΛ)P(ΛΛ) + P(A\MM) P(MM) + P(A\ΛΜ)P(ΛΜ). Είναι P( ΛΛ ) = 4 5 9, PMM ( )= και P( Λ M) = 9. Τότε P(A\ΛΛ) = 7/4, P(A\MM) = 9/4 και P(A\ΛΜ) = 8/4. Βρίσκουµε µε αντικατάσταση P(A)=,579. β) P(ΛΛ\Α) = P(A\ΛΛ) P(ΛΛ) / P(A) =,44 (θεώρηµα Bayes). Άσκηση. Είσοδος δυαδικού συστήµατος επικοινωνίας δηλώνεται από µεταβλητή Χ που παίρνει τιµή ή µε πιθανότητες /4 και /4 αντίστοιχα. Λόγω των σφαλµάτων που προκαλεί ο θόρυβος του συστήµατος, η έξοδος Υ διαφέρει από την είσοδο Χ. ίνονται ότι P(Y=\X=)= /4 και P(Y=/X=)=7 /8. Ζητούνται α) P(Y=), P(Y=),β) P(X=\Y=). α) Θα έχουµε Y= όταν X= (σφάλµα εκποµπής) αλλά και όταν η έξοδος γίνει κανονικά δηλαδή Χ=. Άρα: P(Y=) = P(Y=\X=) P(X=) + P(Y=\X=) P(X=) P(Y=) = (/4) ( /4) + (-7/8) (/4) = 9/. Το µόνο δύσκολο σηµείο είναι ο καθορισµός του P(Y=\X=) καθόσον τα υπόλοιπα δίδονται. Σκεφτόµαστε ως εξής. Όταν το Χ είναι, το Y θα είναι είτε (σωστή µετάδοση) είτε (σφάλµα εκποµπής). Τα δυο αυτά ενδεχόµενα είναι συµπληρωµατικά καθώς άλλη περίπτωση δεν υπάρχει. Άρα θα είναι P(Y=\X=)=-P(Y=\X=)=-7/8 = /8. Ανάλογα: P(Y=) = P(Y=\X=) P(X=) + P(Y=\X=)P(X=) P(Y=) = (7/8) (/4) + (-/4)(/4) = /.

12 β) Θα χρησιµοποιήσουµε το θεώρηµα του Bayes. P( X = \ Y = ) = PY ( = \ X= ) P( X= ) = = =. PY ( = ) 9 9 Άσκηση. Σε µια συγκεκριµένη διαδροµή η πιθανότητα ένα φανάρι να είναι του ιδίου χρώµατος µε το προηγούµενο είναι p. Αν το πρώτο είναι πράσινο µε πιθανότητα α και το δεύτερο κόκκινο µε πιθανότητα -α, να υπολογίσετε την πιθανότητα το τρίτο να είναι πράσινο. Θα ονοµάσουµε Α Κ το ενδεχόµενο το κ φανάρι να είναι πράσινο. Τότε: P(A ) = P(A \A ) P(A ) + P(A \A )P(A ). Από την παραπάνω σχέση ξέρουµε ότι P(A )=-α και P(A \A ) = p. Οµοίως για το πρώτο και δεύτερο φανάρι παίρνουµε: P(A ) = P(A \A ) P(A ) + P(A \A ) P(A ) P(A ) = p α + (-p) ( -α). Άρα παίρνουµε από την αρχική σχέση ότι: P(A ) = p [ pα + (-p)(-α)] + (-p)[-αp - (-p)(-α)] P(A ) = α + (-α) p (-p). Βλέπουµε ότι το όλο πρόβληµα έγκειται στον προσδιορισµό του P(A ) γιατί τότε θα είναι P(A ) = -P(A ). Αυτό συµβαίνει γιατί το δεύτερο φανάρι είναι εξαρτηµένο από το χρώµα που θα έχει το πρώτο, ενώ το πρώτο είναι εντελώς ανεξάρτητο από τα άλλα δυο. Όµοια το τρίτο είναι εξαρτηµένο από το χρώµα που θα έχει το προηγούµενό του, δηλαδή το δεύτερο, που µε τη σειρά του είναι εξαρτηµένο από το χρώµα του πρώτου.

13 Κεφάλαιο ο: Τυχαίες Μεταβλητές Και Κατανοµές Αυτών Άσκηση. Ζητώ το α ώστε να είναι η P συνάρτηση πιθανότητας., PX ( ) a =,,..., = k, α>., αλλου Γνωρίζουµε ότι οι δυο συνθήκες που πρέπει να ισχύουν είναι: P(X)> και Σ P(X) =. Η πρώτη σαφώς ισχύει (α,>). Για τη δεύτερη έχω διαδοχικά: k k kk ( + ) kk ( + ) P( X) = = ( k) = = a a a a n= n= = a = k( k + ). Άσκηση. Ζητώ το α για να είναι η P(X) συνάρτηση πιθανότητας (α>). a, =,,... k PX ( ) =, αλλου O µαθηµατικός λογισµός είναι όµοιος µε την προηγούµενη άσκηση. Έτσι: k a a k a kk k ( + )( + ) = ( ) = = a = 6 n= 6 kk ( + )( k+ ).

14 4 Άσκηση. Για την παρακάτω συνάρτηση να δείξετε ότι είναι σ.π.π. Ποια η P(>) και ποια η P( >/)=;, < f ( ) = a >, αλλου Εδώ, η µια συνθήκη ότι f() παραµένει ως έχει, και προστίθεται η συνθήκη το ολοκλήρωµα της f από - ως να είναι µονάδα. Η πρώτη σαφώς ικανοποιείται. Για τη δεύτερη συνθήκη παίρνουµε: + f ( ) d = ( ) d = ( + ) d + ( ) d = Άρα η συνάρτηση f() είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. P ( > ) = ( d ) = = = / P( > ) = ( + ) d+ ( ) d = / 8+ / 8= / 4. / οι ζητούµενες πιθανότητες. Άσκηση.4 Μια µεταβλητή έχει πυκνότητα (εποµένως καταλαβαίνουµε ότι είναι συνεχής) θ θ e, > f ( ) =,. Να προσδιορισθεί το θ όταν P(X )=P(X>). Επίσης να βρείτε την, < πιθανότητα P(X>\X>). Αφού η f είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα ικανοποιεί τις δυο γνωστές συνθήκες. Από την πρώτη προκύπτει θ>. Από τη δεύτερη έχουµε:

15 5 + - θ θ θ F( ) = f ( ) d = d = e d( = e = θ θe θ) e +, > Βρήκαµε την F(). Αφού P(X )=P(X>)=- P(X ) P(X )= P(X )=/. Άρα F()-F()=/ -e -θ + +- =/ -e -θ =-/ -θ =-Ln θ = Ln. Μας συµφέρει να πάµε µέσω της F(). ηλαδή, αντί για τη διαδικασία αυτή, θα µπορούσαµε κάλλιστα να είχαµε πάρει το ολοκλήρωµα της f() από ως για να βρούµε το θ. Όµως αργότερα θα έπρεπε να πάρουµε και άλλα ολοκληρώµατα για τον προσδιορισµό της πιθανότητας P(X>\X>) πράγµα επίπονο και χρονοβόρο. Τώρα έχουµε: P( X > \ X > ) = P( X > X > ) P( X > ) = P( X > ) P( X > ) P( X ) F( ) = = = P( X ) F() Πρέπει να παρατηρήσουµε ότι είναι πολύ χρήσιµη η σχέση P(A)=-P(A ) γιατί η πιθανότητα P(X a) ισούται µε F(a), ενώ η P(X>a) δεν βρίσκεται απλά χωρίς τη χρήση του παραπάνω τύπου. Άσκηση.5 Η τυχαία µεταβλητή Χ παριστάνει ποσότητα βενζίνης σε χιλιάδες lt. µε συνάρτηση πυκνότητας - πιθανότητας: c, c, f ( ) = c( ),, α) Να υπολογιστεί η σταθερά c. β) Να υπολογιστούν οι πιθανότητες P(X /4), P(/ X 5/), P(>9/4). Για να είναι η f() σππ πρέπει το παρακάτω ολοκλήρωµα να είναι ίσο µε τη µονάδα:

16 6 f d cd cd c d c c c c c c c ( ) = + + ( ) = + + = + c+ c + = 9 4 = c= c=. Προχωρούµε στην εύρεση των ζητούµενων πιθανοτήτων. Έχουµε διαδοχικά: 4 / / 4 9 P( X / 4) = d = = / 5 P X = d + d + d = / P( X > 9/ 4) = 94 / / d = = + = 9/ 4 4 9/ / = 7 8 Άσκηση.6 Η τυχαία µεταβλητή Χ δείχνει το µηνιαίο εισόδηµα ενός υπαλλήλου µε πυκνότητα c f ( )= θ +, α (α,θ>). Ζητούνται α) να βρεθεί η σταθερά c, β) Ποιά η F();, γ) Να υπολογιστεί η πιθανότητα P(β< Χ < λβ) όπου β>α και λ>. α) Το θέµα µας λέει πως η τµ Χ δείχνει το µηνιαίο εισόδηµα µε πυκνότητα, και άρα είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και θα ικανοποιεί τις δυο συνθήκες που πρέπει οι συναρτήσεις αυτού του είδους να πληρούν. Από την πρώτη c> ενώ από τη δεύτερη: a c c f d d a ca ( ) = = c θ θ = ( θ θ + ) = = c = θ a θ a θ θ a - -θ β) Για να βρούµε την F(), αρκεί να ολοκληρώσουµε από µείον άπειρο ως. a a F( ) = f ( ) d = d = θ θ θ + που είναι η ζητούµενη συνάρτηση. θ

17 7 γ) Έχω διαδοχικά µε λογική όµοια µε της προηγούµενης άσκησης: a P( β λ β) = P( λ β) P( β ) = F( λ β) F( β ) = θ β λ θ Άσκηση.7 Αν η τυχαία µεταβλητή έχει πυκνότητα, < f ( ) =, αλλου, και συνάρτηση κατανοµής F ( ), < =, <,, να βρεθεί η κατανοµή g(y) της Y=- lnx. Σε τέτοιες ασκήσεις, η διαδικασία είναι πανοµοιότυπη. Αρχίζουµε από το G(y) και προσπαθούµε να λύσουµε ως προς. Έτσι έχουµε: G(y) = P(Y y) = P(-Ln y) = P(Ln -y) = P( e - y ) = - P( <e - y )= - F(e - y ). όταν ln > -ln < y <, F (e -y ) = όταν < δεν ορίζεται λογάριθµος όταν < ln < -ln > y >, F(e -y ) =e -y. y e, y > Μετά τα παραπάνω προκύπτει: Gy ( ) =., y < Στη συνέχεια παραγωγίζουµε και βρίσκουµε την κατανοµή g(y) της Y=-lnX. y e, y> gy ( ) =, y <

18 8 Άσκηση.8 Αν Χ µια συνεχής τυχαία µεταβλητή σε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f ( ) = e, < < π, να βρεθεί η κατανοµή g(y) της Υ=Χ. Ακολουθούµε ακριβώς τη διαδικασία που εφαρµόσαµε κατά την επίλυση της.7. Εδώ η άσκηση δεν χωρίζει σε πεδία της f() συνεπώς είναι απλούστερη. Έχουµε: G(y) = P(Y y) = P(X y) = P ( X y) = P( - y X y) = F( y) - F(- y). Γνωρίζουµε όµως ότι g(y)=g (y). Επειδή επίσης είναι F( ) = f ( ) d F ( ) = f ( ) έπεται ότι η παραπάνω σχέση θα δώσει: gy G y [ ] y F y y F y ( ) = ( ) = ( ) ( ) y f ( y ) f ( y = + ) = y e π y οπότε έχουµε τελικά gy ( ) = e yπ y. Άσκηση.9 Η τυχαία µεταβλητή Χ έχει πυκνότητα f ( ) = ( + ), π - < < + (Cauchy). Να βρεθεί η κατανοµή g(y) της Y=/X.

19 9 Κατά τη γνωστή µεθοδολογία που έχουµε ακολουθήσει ως τώρα σε ασκήσεις αυτού του είδους, έχουµε: G(y) = P(Y y) = P(/X y) = P(X /y) = - P(X < /y) = -F(/y). Όµως τότε θα είναι gy ( ) = G ( y) = F ( / y) f ( / y) = = y y y π ( + ) y gy ( ) = π ( + y ) που είναι η ζητούµενη κατανοµή. Άσκηση. Η διακύµανση του ηλεκτρικού ρεύµατος µπορεί να θεωρηθεί συνεχής τυχαία µεταβλητή Χ που κατανέµεται οµοιόµορφα στο διάστηµα [,]. Είναι στο διάστηµα αυτό f()=/ όπου [,] και αλλού. Αν το ρεύµα αυτό διέρχεται από αντίσταση Ω, να προσδιορισθεί η συνάρτηση κατανοµής της ισχύος Y=X. Θα την επιλύσουµε µε δυο τρόπους. Αρχίζουµε µε τη γνωστή µεθοδολογία που έχουµε αναφέρει για ασκήσεις αυτού του είδους. y y y y y Gy ( ) = PY ( y) = P( X y) = PX ( ) = P( < X < ) = F( ) F( ) οπότε η σχέση αυτή δίνει κατά τα γνωστά: gy G y y F y y F y ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( + ) = 4 y/ 8 y/. (επειδή f(y)= αν y< και f(y)=/ αν y [,]) O άλλος τρόπος στηρίζεται στο εξής θεώρηµα:

20 Αν Χ µια τυχαία µεταβλητή και y=h() αυστηρά µονότονη, τότε η πυκνότητα δίδεται εκ του τύπου gy ( ) = d f ( h ( y )) dy h ( y). Εποµένως θα είναι στο παράδειγµα αυτό: = d h y = y dy h y = gy f d y = dy h y = ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) * / 8 y / Άσκηση. Ζητείται να δειχθεί αν υπάρχει συνάρτηση πιθανότητας µεταξύ των Χ,Υ. Υ\Χ 4 -,,5,5,,,4, Ας πάρουµε το ζεύγος (Χ,Υ)=(,). Είναι P(X=\Y=)=,. Αλλά P(X=)=+,+, =,. Επίσης P(Y=)= +,++, =,. Βλέπουµε τώρα ότι P(X=)P(Y=) =,6, = P(X=\Y=) άρα συµπεραίνουµε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση πυκνότητας - πιθανότητας. Άσκηση. Να εξετάσετε αν οι Χ,Υ είναι ανεξάρτητες. Υ i \X i 5,,5,5 4,,5, 6,5,,

21 X 5 Y 4 6 P (),5,,45 P y (y),,5,5 Θεωρούµε το (Χ,Υ)=(,). Θα είναι P ()P y ()=,5 *, =,75. Επίσης από τον πρώτο πίνακα τιµών έχουµε P,y (,) =,. Βλέπουµε ότι P ()P y () P,y (,) που όµως σηµαίνει ότι οι µεταβλητές Χ,Υ δεν είναι ανεξάρτητες. Άσκηση. Οι τυχαίες µεταβλητές Χ,Υ έχουν από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) : f 8y,, y, (, y) =, αλλου y Να βρεθούν οι περιθώριες συναρτήσεις και οι δεσµευµένες f (), f y (y), f \ y (\y) και f y\ (y\). Για να βρούµε τις ζητούµενες περιθώριες και δεσµευµένες πιθανότητες, εφαρµόζουµε διαδοχικά τα γνωστά από τη θεωρία ολοκληρώµατα που µας τις παρέχουν. f ydy ydy y ( ) = 8 = 8 = 8 = 4 f y yd yd y y ( ) = 8 = 8 = 8 = 4y( y ) y f f \ y y\ fy, (, y) 8y ( \ y) = = = f ( y) 4y( y ) y y fy, (, y) 8y y ( y\ ) = = = f ( ) 4 y Σηµειώνουµε ότι για τα όρια των ολοκληρώσεων θα είναι & y µας δίνουν συµπτυσσόµενες το διάστηµα y και εποµένως y [,] - [y,]. Επίσης αξίζει να αναφέρουµε ότι για την f () το [,] για την f y (y) το y [,], για

22 τις δε δεσµευµένες πιθανότητες τα αντίστοιχα διαστήµατα θα είναι τα [y,] και y [,]. Άσκηση.4 Η διδιάστατη συνεχής µεταβλητή (Χ,Υ) έχει την πυκνότητα: f,y (,y) = όταν y. Ζητούνται: α) Να βρεθούν οι περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας f (), f y (y) β) να βρεθούν οι πιθανότητες P(X>/), P(Y /), P(X>/ \Υ /) γ) είναι οι Χ,Υ ανεξάρτητες; α) Θα χρησιµοποιήσουµε για την εύρεση των περιθωρίων συναρτήσεων πυκνότητας τα γνωστά µας από τη θεωρία ολοκληρώµατα. f ( ) = dy = dy = ( ), [, ] f ( y) = d = d = y, y [,] y y β) Για να υπολογίσουµε τις ζητούµενες πιθανότητες, θα χρησιµοποιήσουµε ολοκληρώµατα, λαµβάνοντας υπόψη µας για τον ορισµό των ορίων των ολοκληρωµάτων ότι αυτά θα ορίζονται από τα εκάστοτε διαστήµατα που αφορούν τα,y καθώς και από τις τιµές των πιθανοτήτων που µας δίνει η εκφώνηση. Έτσι έχουµε: P ( > ) = ( d ) = = + = / 4 / / / Py ( ) = ydy= y = = 9 9 P ( > I y ) P ( > \ y ) = = Py ( ) 4 γ) α τρόπος: δεν είναι ανεξάρτητες γιατί βλέπουµε ότι f,y (,y) f () f y (y).

23 β τρόπος: Λόγω του ότι η πιθανότητα >/ όταν y / είναι διάφορη του P(>/) οι,y είναι εξαρτηµένες. Άσκηση.5 ίνεται η fy, (, y) = c( y), < <, < y<. Αν η f,y (,y) είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) να βρεθεί η σταθερά c. Σύµφωνα µε τη θεωρία, αφού η f,y (,y) είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, θα πρέπει το διπλό ολοκλήρωµα αυτής να ισούται µε τη µονάδα. Έτσι έχουµε: c( y) ddy = d c( y) dy = d c( y) dy = c d = c 4 = c 8 Πρέπει τώρα 8c= ή c=/8 η ζητούµενη τιµή της σταθεράς c. Άσκηση.6 ίνεται η συνάρτηση f εκτελώντας το µετασχηµατισµό z=y και w=/y., (, y) =, >,y >. Να βρείτε την f z,w (z,w) y y Σε τέτοιου είδους θέµατα, το πρώτο που κάνουµε είναι να επιλύσουµε τους δοσµένους µετασχηµατισµούς ως προς,y: z= y = ( wy) y = wy y = z / w και z= y = z / w = zw Κατόπιν υπολογίζουµε την παρακάτω ορίζουσα:

24 4 w z z w zw zw w -z/w z / w J = = = = = y y / w -z/w zw z / w zw z / w 4w 4w w z w z / w z / w Τώρα η ζητούµενη f z,w (z,w) θα προκύψει από τον πολλαπλασιασµό µε το απόλυτο της ορίζουσας που βρήκαµε, της f,y (,y). ηλαδή: fzw, (, z w)= = wz wz. Άσκηση.7 ίδεται η συνάρτηση f,y (,y) = λ e - λ(+y). Εκτελώντας το µετασχηµατισµό z=+y και w = -y, να βρείτε την f z,w (z,w). Οµοίως το πρώτο βήµα είναι να λύσουµε ως προς,y τους µετασχηµατισµούς: z w z w z w z= + y= w+ y + y = w+ y y =, z= + y = + = + Υπολογίζουµε την ορίζουσα J: z w J = = = = yz yw οπότε τώρα γράφουµε τη ζητούµενη συνάρτηση: λ fzw, (, z w)= e λ z.

25 5 Κεφάλαιο ο: Μέσες Τιµές Τυχαίων Μεταβλητών Άσκηση. Για την f()=c e -, > να βρεθεί η c αν η f() είναι συνάρτηση πυκνότητας, η µέση τιµή της Ε(Χ) και η διασπορά Var(X). Αρχικά θα βρούµε την άγνωστη σταθερά c: c e d = c e d( ) = c e + c e d = c e d( ) = = ce + c e d ce c c c c = = ( ) = = = Για τη µέση τιµή επιλύουµε το παρακάτω ολοκλήρωµα: E X f d ( ) = ( ) = e d = e d =... =. Κατόπιν για τη διασπορά θα έχουµε: Var X [ E X ] f d e ( ) = ( ) ( ) = ( ) d. Η λύση του ολοκληρώµατος αυτού µας παρέχει τη ζητούµενη διασπορά. Άσκηση. Για την f()=e - KX όπου και k>, να βρεθούν: η σταθερά k, η µέση τιµή της E(X), η διασπορά Var (X) και η λοξότητα β. Είναι γνωστό ότι η f() είναι σππ.

26 6 Η άσκηση αυτή είναι βασική. Για τη σταθερά k θα έχω: k k k e k e d e d k e d k k k k e k = = ( ) + = = k k = k = ± k =, αφού το k είναι θετική σταθερά. Υπολογίζω εν συνεχεία τη µέση τιµή Ε(Χ): E( X) = f ( ) d = e d =... =, καθόσον έχουµε ασχοληθεί πρωτύτερα µε το ολοκλήρωµα αυτό. Θα βρούµε κατά τα γνωστά και τη ζητούµενη διασπορά Var(X): [ ] Var( X ) = E( X ) f ( ) d = ( ) e d = ( 4 + 4) e d = = e d 4 e d + 4 e d = = Παρατήρηση η: Είναι πολύ χρήσιµο να γνωρίζοµε εξαρχής την τιµή του k ολοκληρώµατος e d = k!. Αυτό το ολοκλήρωµα λύνεται εν γένει µε τη µέθοδο που δείξαµε, αλλά λόγω της µεγάλης συχνότητας εµφανίσεώς του, πρέπει να το γνωρίζοµε. Παρατήρηση η: Πολλές φορές είναι δύσκολο να υπολογίζοµε τη διασπορά Var(X) µε τη χρήση του παραπάνω ολοκληρώµατος. Συνίσταται να υπολογίζεται αντ αυτού µε τη χρήση του ισοδύναµου τύπου: Var(X)=E(X )-[E(X)]

27 7 Όπου Ε(Χ ) είναι το ολοκλήρωµα f ( ) d που υπολογίζεται απλά. Στο παράδειγµα αυτό θα έχουµε E(X )=6,άρα Var(X) = 6- =. Η λοξότητα β δίδεται εκ του τύπου: β=µ /σ. To σ προκύπτει απλά αν θυµηθούµε ότι Var(X)=σ, άρα σ =. Εποµένως θα είναι σ = ( ) =. Το µ προκύπτει από τον τύπο: µ =Ε[(Χ-Ε(Χ)) ] = Ε(Χ )+Ε(Χ )Ε(Ε(Χ)) -Ε(Χ) Ε[Ε(Χ) ] - Ε(Ε(Χ) ) = Ε(Χ ) - Ε(Χ )Ε(Χ) + Ε(Χ)Ε(Χ) -Ε(Χ), αφού ισχύει Ε(Ε(Χ))=Ε(Χ). Έτσι προκύπτει και ο παραπάνω τύπος του πλαισίου. Για να βρούµε το µ αρκεί να υπολογίσουµε το Ε(Χ ) καθόσον τα λοιπά τα ξέροµε. Είναι εποµένως Ε(Χ 4 )= f ( ) d = e d = 4! = 4. 4 Άρα µ = 4 - *6* + **4 - = 4, άρα β = =. Άσκηση. Σε ένα τυχερό παιχνίδι ρίχνουµε ένα ζάρι έτσι ώστε να κερδίζουµε 9 χρηµατικές µονάδες (πχ δεκαχίλιαρα) για ή, να χάνουµε 8 αν φέρουµε,4,5 και για 6. Αν η τυχαία µεταβλητή Χ δίνει το κέρδος µετά από κάθε ρίψη, να βρεθεί η µέση τιµή Ε(Χ) και η διασπορά Var(X). Θα βρούµε τις επιµέρους πιθανότητες: Χ 9-8 p(x) /6 /6 /6 Σύµφωνα µε τον ορισµό της µέσης τιµής θα έχουµε:

28 8 E( X) = ip( i) = =- δηλαδή θα χάσουµε στο τέλος i= Παρατηρούµε ότι ενώ πριν για την εύρεση της µέσης τιµής Ε(Χ) χρησιµοποιούσαµε ολοκλήρωµα, τώρα χρησιµοποιούµε άθροισµα. Αυτό συµβαίνει για τον εξής απλό λόγο: πριν είχαµε συνάρτηση f() που θα µπορούσε να πάρει άπειρες τιµές σε οιοδήποτε διάστηµα. Εδώ έχουµε διακριτές και πάνω απ όλα πεπερασµένες τιµές που µπορεί να πάρει η Χ που δίνει το κέρδος µετά από κάθε ρίψη. Όµοια θα εφαρµόσουµε τον τύπο Var(X)= E(X ) - (E(X)) E(X ) θα υπολογισθεί µε τη βοήθεια του παρακάτω αθροίσµατος: για τη διασπορά, όπου E( X ) = i pi( ) = =59. 6 i= Αξίζει τέλος να παρατηρήσουµε ότι το δεδοµένο πως αν φέρουµε 6 δεν κερδίζουµε ούτε χάνουµε, δεν επηρέασε καθόλου τη µέση τιµή και τη διασπορά, κάτι που εξάλλου ήταν αναµενόµενο. Άσκηση.4 Ρίχνουµε ένα νόµισµα 5 φορές. Αν η τυχαία µεταβλητή Χ δηλώνει πόσες φορές εµφανίζεται το διατεταγµένο ζεύγος (Κ,Γ) να βρεθούν η κατανοµή της Χ, η µέση της τιµή Ε(Χ), η διασπορά της Var(X). Τα δυνατά αποτελέσµατα (δηλαδή το σύνολο των δυνατών διατεταγµένων πεντάδων που µπορούµε να πάροµε) είναι διάταξη µε επανάληψη των ανά 5 : 5 =. Έχουµε τον παρακάτω πίνακα όπου το Χ δηλώνει πόσες φορές εµφανίζεται το διατεταγµένο ζεύγος (Κ,Γ): Χ p(x) 6/ / 6/

29 9 Κατά τα γνωστά έχουµε: Ε(Χ)=(6/)+(/)+(6/)= και Var(X)=Ε(Χ )-(Ε(Χ)) =(/)+4(6/)-=,75 υπενθυµίζοντας ότι λόγω του διακριτού και πεπερασµένου του πλήθους των τιµών που παίρνει η Χ πρέπει να χρησιµοποιήσουµε άθροισµα και όχι ολοκλήρωµα. Άσκηση.5 Ρίχνοµε ένα νόµισµα πολλές φορές και σταµατάµε όταν εµφανιστεί η όψις Κ. Αν η τυχαία µεταβλητή Χ µετρά τον αριθµό των ρίψεων που απαιτούνται, να βρεθεί η κατανοµή της και η µέση τιµή της. Η άσκηση αυτή παρουσιάζει µια ιδιοµορφία. Ναι µεν οι τιµές που µπορεί να πάρει η Χ είναι διακριτές και πεπερασµένες, δεν µπορούµε όµως να τις καταγράψουµε. Αν υποθέσουµε ότι επιχειρούµε κάτι τέτοιο, θα έπρεπε να χρησιµοποιήσουµε ν-διάστατο πίνακα. Παρόλα αυτά µπορούµε να σκεφτούµε ως εξής: P(X=)=P(K)=/ P(X=)=P(ΓΚ)=/4 P(X=)=P(ΓΓΚ)=/8... P(X=ν)=P(ΓΓ...ΓΚ)=/ ν. Επειδή οι τιµές που µπορεί να πάρει η Χ είναι πεπερασµένες, όπως είπαµε παραπάνω θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε άθροισµα και όχι ολοκλήρωµα. Άρα: E( X) = n 4 8 n. Το άθροισµα αυτό επιλύεται µε τέχνασµα. Θέτω a=/: E( X) = a+ a + a na n. Όµως ξέρουµε ότι a + a a + n a a =, όταν α<. a Αν παραγωγίσουµε ως προς α την τελευταία σχέση παίρνουµε:

30 n + a+ a na = ( a) n a a+ a + a na = ( a) και άρα βρίσκουµε Ε(Χ)= αν αντικαταστήσουµε το α=/. Το αποτέλεσµα σηµαίνει ότι κατά µέσο όρο στη δεύτερη ρίψη θα έλθει η όψη κορώνα, κάτι που αναµενόταν. Άσκηση.6 (Εφαρµογή Τεχνικής Υδρολογίας) Κατά τις µέρες που βρέχει το ηµερήσιο ύψος της βροχής µετρηµένο σε ένα σταθµό σε mm βρέθηκε ότι ακολουθεί την εκθετική κατανοµή F ()=-e -k, όπου, κ=,5mm -. Να βρεθούν: α) η µέση τιµή Ε(Χ) και η διασπορά Var(X) β) η λοξότητα β και η κύρτωση γ γ) η κορυφή και η διάµεσος δ) ο συντελεστής µεταβλητότητας CV. α) Πρέπει να προσέξουµε ότι f()=f ()=ke -k. Κατά τα γνωστά έχουµε: m = f d = k ke d = k k e e d k e k + = ( ) = =. k Επειδή δε Ε(Χ)=µ Ε(Χ)=. Είναι γνωστό ότι Var(X)=E(X ) - [E(X) ]. Έτσι: k! m = f ( ) d = ke = = 8 Var(X)=8-4 Var(X)=4 mm. k β) Θα υπολογίσουµε τα m και m 4 µε τη βοήθεια παρατήρησης προηγούµενης άσκησης ή µε τη βοήθεια ολοκληρωµάτων. Βρίσκουµε ότι:! 4! m = = 48., m4 = 4 = 84.. k k λοξότητα β και την κύρτωση γ. οπότε τώρα µπορούµε να υπολογίσουµε τη

31 µ = Ε[(Χ-Ε(Χ)) ] = Ε(Χ ) - Ε(Χ )Ε(Ε(Χ)) + Ε(Χ)Ε(Ε(Χ) ) - Ε(Ε(Χ)) µ = Ε(Χ ) - Ε(Χ )Ε(Χ) + Ε(Χ)Ε(Χ) - Ε(Χ) µ = 6. Εποµένως β = =. µ 4 = Ε[(Χ-Ε(Χ)) 4 ] = Ε[(Χ-) 4 ] = Ε[(Χ -4Χ+4)(Χ -4Χ+4)] = = Ε(Χ 4-4Χ +4Χ -4Χ +6Χ -6Χ +4Χ -6Χ-6)= = Ε(Χ 4 ) - 8Ε(Χ ) +4Ε(Χ ) -76 Ε(Χ) -6 = = * *4-76* - 6. = Εποµένως γ = = 8,.Θυµίζουµε ότι Var(X) = σ σ = 4. 4 f(),5 γ) Το διπλανό σχήµα µας δίνει το γράφηµα της f() το οποίο τείνει ασυµπτωτικά στον άξονα των, καθώς. Από τον ορισµό της διχοτόµου (διάµεσος) έχουµε: P(X X.5) = / (εξ ορισµού). Είναι F(X.5 )=/ -e -k,5 = / e -k,5 =/.5 =,9 περίπου η διάµεσος. Από τη θεωρία γνωρίζουµε ότι επικρατούσα τιµή ή κορυφή ονοµάζεται η τιµή που µεγιστοποιεί την f() σ.π.π. ή έχει τη µεγαλύτερη πιθανότητα (για διακριτή µεταβλητή). Η κορυφή εποµένως για την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι το,5. δ) Για το συντελεστή µεταβλητότητας CV έχουµε:

32 CV σ 4 = = = m Άσκηση.7 Να δειχθεί η ανισότητα Cauchy - Schwarz [Ε(Χ,Υ)] Ε(Χ )Ε(Υ ). Έχουµε: [Ε(αΧ+Υ) ] Ε(α Χ + αχυ + Υ ) Ε(α Χ ) + Ε(αΧΥ) + Ε(Υ ) α Ε(Χ ) + αε(χ,υ) +Ε(Υ ) () Για να είναι η () πάντα θετική, αρκεί. Έτσι θα είναι: 4[Ε(Χ,Υ)] -4Ε(Χ )Ε(Υ ) [Ε(Χ,Υ)] Ε(Χ )Ε(Υ ) όπερ εδείχθη. Άσκηση.8 ίδονται οι διδιάστατες µεταβλητές Χ,Υ µε αντίστοιχες πιθανότητες: Υ\Χ 6 8,,,,, Ζητείται να βρείτε τα Ε(Χ),Ε(Υ) και Ε(Χ,Υ). Είναι οι Χ,Υ ανεξάρτητες ; Επειδή έχουµε διακριτές και πεπερασµένες τιµές για τη µεταβλητή Χ, είναι σαφές ότι θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε άθροισµα και όχι ολοκλήρωµα. Έτσι: E( X) = p(, y ) = 6*, + 6* + 6*, + 8* + 8*, + 8* + * *, + * = 8 i= j= i i j

33 EY ( ) = yp (, y) = *, + * + *, + * *, = 4 i= j= i i j E( X, Y) = y p(, y ) = 6* *, + 8* * * *, = 6 i= j= i j i j Για να ελέγξουµε αν οι Χ,Υ είναι ανεξάρτητες, θα πάρουµε το ζεύγος (8,) από το δοσµένο πίνακα. Αν υποθέσουµε ότι οι Χ,Υ είναι ανεξάρτητες, τότε θα πρέπει να ισχύει ο παρακάτω τύπος: p( i,y i ) = p( i ) p(y i ) Για το ζεύγος (8,) έχουµε p(x=8)=+,+ =,. Επίσης p(y=) =,++, =,4. Εξάλλου θα είναι p(x=8,y=)=,8 = p(x=8)*p(y=). Συµπεραίνοµε δηλαδή ότι οι Χ,Υ δεν είναι ανεξάρτητες.

34 4 Κεφάλαιο 4ο: Ειδικές Κατανοµές Πιθανότητας Άσκηση 4. Σε ένα πείραµα η πιθανότητας επιτυχίας είναι 5%. Ποια η πιθανότητα σε πειράµατα να έχω επιτυχίες; Τουλάχιστον ; Το δύσκολο στο προβλήµατα αυτά είναι να καταλάβουµε ποιά εκ των κατανοµών θα χρησιµοποιήσουµε. Η επίλυση µετά το σηµείο αυτό είναι απλή αριθµητική αντικατάσταση. Όταν έχουµε σταθερό ποσοστό (εδώ 5%) επιτυχιών ή αποτυχιών πρόκειται για διωνυµική κατανοµή. Αυτό ισχύει γενικά. PX ( = ) =,, =,475 P(τουλάχιστον ) = -P(καµία) - P(µια) = - P(X=) - P(X=). Αλλά PX ( = ) =,,,, PX ( ),,, = = = = PX ( ) =, 599, 5 PX ( ) =, 86 Άσκηση 4. Σε βιβλίο σελίδων υπάρχουν τυπογραφικά λάθη. Ποια η πιθανότητα σε µια σελίδα να βρούµε τουλάχιστον ; Όταν έχουµε πρόβληµα που έχουµε κάποια τιµή ανά ένα µέγεθος (συνήθως χρόνος) τότε έχουµε κατανοµή Poisson. ηλαδή η έκφραση 8 ατυχήµατα ανά εβδοµάδα, µας δίνει

35 5 την πληροφορία ότι έχουµε κατανοµή Poisson. Εδώ έχουµε λάθη σε σελίδες 5 λάθη ανά σελίδα. Άρα λ=5. f ( ) = e λ f ( ) = e 5 λ 5.!! P(X )=-P(X<)=-P(X=)-P(X=)-P(X=) P( X ) = e e e =, !!! Άσκηση 4. Σε ένα δοχείο έχω άσπρα και µαύρα σφαιρίδια (πλήθος Ν=). Παίρνω χωρίς επανάθεση σφαιρίδια. Ποια η πιθανότητα να έχω 4 άσπρα και 6 µαύρα σφαιρίδια. Να βρεθεί επίσης η µέση τιµή και η διασπορά της κατανοµής που θα χρησιµοποιήσετε για το παράδειγµα αυτό. Η Υπεργεωµετρική κατανοµή εµφανίζεται κατά τη δειγµατοληψία χωρίς επανάθεση από πληθυσµό µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων. 4 6 P( X = 4) = =, 79 7% Θα έχουµε µ=ε(χ)=*(/)=, και σ =Var(X)=,5. Άσκηση 4.4 Μια εταιρία πούλησε µηχανές προς χρηµατικές µονάδες την καθεµία. Αν η µηχανή πάθει βλάβη µέσα στο χρόνο εγγύησης, ο αγοραστής παίρνει χρηµατικές µονάδες αποζηµίωσης. Η πιθανότητα η µηχανή να πάθει βλάβη εντός εγγύησης είναι Ρ. Ζητούνται να βρεθούν: α) η πιθανότητα κέρδους και η πιθανότητα ζηµίας της εταιρίας για Ρ=,

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών

ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών Τµ. Επιστήµης των Υλικών Χώρος Πιθανότητας Συµµετρικός Χώρος Πιθανότητας 1 Θεωρούµε ότι ο δειγµατοχώρος Ω είναι πεπερασµένος, Ω= {ω 1,ω 2,...,ω n }. 2 Κάθε δειγµατοσηµείο έχει τις ίδιες ευκαιρίες εµφάνισης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 1 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση 1. Ο εκφωνητής του δελτίου καιρού δίνει

Διαβάστε περισσότερα

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim Κεϕάλαιο 2 Πιθανότητες και Τυχαίες Μεταβλητές Μπορούµε να καταλάβουµε την έννοια της πιθανότητας από τη σχετική συχνότητα εµϕάνισης n i κάποιας τιµής x i µιας διακριτής τ.µ. X. Αν είχαµε τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56)

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56) ΓΕΝΙΚEΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Κώστας Βακαλόπουλος, Κώστας Παπαϊωάννου, Θανάσης Χριστόπουλος Άσκηση ( λ) λ λ 5 Δίνεται η συνάρτηση F(x) x λx. α) Να βρεθεί η F (x). Ν(Β) Άρα: Β = {5}, οπότε

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 4 o Γενιό Λύειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματιά Γενιής Παιδείας γ Ασήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr 4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα

Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα ΦΥΣ 145 - Διαλ.11 1 Ø Καθηµερινά έχουµε να κάνουµε µε αβεβαιότητα αποφάσεις λαµβάνονται απουσία πλήρους πληροφορίας Ø Οι περισσότεροι κλάδοι των επιστηµών «φαίνεται» να

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα