ΜΙΑ ΑΚΗΗ ΠΡΟΣΑΗ ΓΙΑ ΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑ TO ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΣΔΡΔΟ

Transcript

1 ΜΙΑ ΑΚΗΗ ΠΡΟΣΑΗ ΓΙΑ ΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑ TO ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΣΔΡΔΟ ην παξαθάησ ζρήκα νη ξάβδνη (ΑΒ) θαη (ΒΓ) έρνπλ κήθνο L= O.75m θαη κάδα m=6 kg ε θάζε κηα. Η ξάβδνο (ΑΒ) ζπλδέεηαη κε άξζξσζε ζην ζεκείν Α κε ην ιείν επίπεδν. ην ζεκείν Β νη δπν ξάβδνη ζπλδένληαη κε άξζξσζε θαη ζρεκαηίδνπλ ζ=60 0 κε ην νξηδόληην επίπεδν. Λείν επίπεδν C 1 C 2 ζ = 60 0 ζ = 60 0 Αθήλνπκε ειεύζεξν ην ζύζηεκα λα θηλεζεί.η θίλεζε ηνπ ζπζηήκαηνο ησλ δπν ξάβδσλ εμειίζζεηαη πάλσ ζην θαηαθόξπθν επίπεδν ΑΒΓ. Eρώηημα 1 0 Να πεξηγξάςεηε ην είδνο ηεο θίλεζεο πνπ ζα θάλεη ε θάζε ξάβδνο. α. Η ξάβδνο ΑΒ εθηειεί επίπεδε πεξηζηξνθηθή θίλεζε γύξσ από ην ζηαζεξό ζεκείν Α ηνπ επίπεδνπ πεξηζηξνθήο κε γσληαθή ηαρύηεηα σ 1. ω 1 1

2 β. Γηα ηελ ξάβδν ΒΓ 1 νο ηξόπνο: ύκθσλα κε ηελ ινγηθή ηνπ ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Μπνξνύκε λα πνύκε όηη θάλεη κεηαθνξηθή θίλεζε κε ηαρύηεηα π Γ κέρξη ηελ ζέζε Γ S θαη κηα ηαπηόρξνλε πεξηζηξνθηθή επίπεδε, γύξσ από ην ζεκείν Γ ηεο ξάβδνπ κε γσληαθή ηαρύηεηα σ 2. ω 2 Σειηθά ε ζέζε ηνπ ζπζηήκαηνο ησλ δπν ξάβδσλ ΑΒΓ είλαη ε παξαθάησ. 2

3 2 νο ηξόπνο: Μπνξνύκε επίζεο λα πνύκε όηη ε ξάβδνο ΒΓ εθηειεί επίπεδε πεξηζηξνθηθή θίλεζε γύξσ από ην ζηιγμιαίο κένηρο περιζηροθής Ο όπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα. (Γεο ηελ πξνζνκνίσζε ζην GeoGebra) Μια μικρή αναθορά ζηο ζηιγμιαίο κένηρο περιζηροθής. Πξέπεη λα ηνλίζσ όηη γηα ηελ πιήξε κειέηε ηνπ ζηηγκηαίνπ θέληξνπ πεξηζηξνθήο ε εξγαζία ηνπ Ξελνθώληα ηεξγηάδε είλαη εμαηξεηηθή. Mερικές επιζημάνζεις. α. Σν ζηηγκηαίν θέληξν πεξηζηξνθήο ελόο ζηεξενύ ζώκαηνο πνπ εθηειεί επίπεδε θίλεζε είλαη έλα ζεκείν ηνπ επίπεδνπ όπνπ όιεο νη ζηνηρεηώδεηο κάδεο ηνπ κεραληθνύ ζηεξενύ εθηεινύλ πεξηζηξνθηθή θίλεζε γηα κηα ζηηγκή σο πξνο απηό. β. Σν ζηηγκηαίν θέληξν πεξηζηξνθήο ζηεξενύ ζώκαηνο ήηαλ θαη παξακέλεη αθίλεην σο πξνο έλα αδξαλεηαθό ζύζηεκα αλαθνξάο. γ. Η ζέζε ηνπ ζηηγκηαίνπ θέληξνπ πεξηζηξνθήο αιιάδεη όρη κε ηελ έλλνηα ηεο θίλεζεο ηνπ αιιά όηη άιιν ζεκείν ηνπ ζηεξενύ ε ηνπ επηπέδνπ παίξλεη ηελ ζεηξά ηνπ γηα λα παίμεη απηόλ ηνλ ξόιν. Πνην ζπγθεθξηκέλα αλ έλα ζεκείν Ο 1 είλαη ην ζηηγκηαίν θέληξν πεξηζηξνθήο ηελ ζηηγκή t 1 έλα άιιν ζεκείν Ο 2 ζα είλαη ην θέληξν πεξηζηξνθήο ηελ ζηηγκή t 2 = t 1 +dt. δ. Ο γεσκεηξηθόο ηόπνο όισλ απηώλ ησλ ζεκείσλ πνπ ηα ζεσξνύκε αθίλεηα σο πξνο έλα αδξαλεηαθό ζύζηεκα αλαθνξάο ιέγεηαη θεληξνεηδέο ρώξνπ ηνπ ζηεξενύ. ε. Ο πξνζδηνξηζκόο ηνπ ζηηγκηαίνπ θέληξνπ πεξηζηξνθήο κηα ζπγθεθξηκέλε ρξνληθή ζηηγκή π.ρ. ζηελ πεξίπησζε ηεο ζηξεθόκελεο ξάβδνπ κπνξεί λα γίλεη αλ είλαη γλσζηέο νη θαηεπζύλζεηο ησλ ηαρπηήησλ δπν δηαθνξεηηθώλ ζεκείσλ ηεο απηή ηελ ζηηγκή. Φέξλσ θάζεηεο ζηα ζεκεία θαη πάλσ ζηηο δηεπζύλζεηο ησλ ηαρπηήησλ. Σν ζεκείν ηνκήο ηνπο απνδεηθλύεηαη όηη είλαη ην ζηηγκηαίν θέληξν πεξηζηξνθήο ηελ ζπγθεθξηκέλε ρξνληθή ζηηγκή. (Βιέπε ην παξαπάλσ ζρήκα). 3

4 ζη. H ρξήζε ηνπ ζηηγκηαίνπ θέληξνπ πεξηζηξνθήο πξνηείλεηαη κόλν γηα ηνλ ππνινγηζκό ηατσηήηων θαη όρη για επιηατύνζεις. Ιδηαίηεξα αλ ην ζηηγκηαίν θέληξν πεξηζηξνθήο βξίζθεηαη πάλσ ζην ζηεξεό ζώκα δεν έτει μηδενική επιηάτσνζη θαη επνκέλσο οι επιηατύνζεις διαθόρων ζωμαηιδίων ηοσ ζηερεού ζώμαηος δεν μπορούν να καθοριζηούν. Eρώηημα 2 0 Σν ζύζηεκα ησλ δύν ξάβδσλ θηλείηαη πξνο ηα θάησ θαη πάλσ ζην αξρηθό επίπεδν ΑΒΓ. Κάπνηα ζηηγκή ε ξάβδνο (ΑΒ) ζρεκαηίδεη γσλία (ζ) κε ην δάπεδν. Να ζρεδηαζηνύλ νη ηαρύηεηεο ησλ ζεκείσλ C 1, B, C 2, Γ. ζ ζ H ξάβδνο ΑΒ εθηειεί επίπεδε πεξηζηξνθηθή θίλεζε γύξσ από ην ζηαζεξό ζεκείν Α. Με θέληξν ην Α θαη αθηίλεο (ΑΒ) θαη (ΑΒ)/2 γξάθσ δπν θύθινπο πνπ ηέκλνπλ ηελ (ΑΒ) ζηα ζεκεία Β θαη C 1. Οη ηαρύηεηεο π Β θαη π c1 ζα βξίζθνληαη πάλσ ζηηο εθαπηόκελεο ζηα ζεκεία Β θαη C 1 θαη κε θαηεύζπλζε ηελ πεξηζηξνθή ηεο ξάβδνπ (ΑΒ). ηελ ξάβδν (ΒΓ) γλσξίδσ ηελ ηαρύηεηα π Β ηνπ άθξνπ Β. Σν άθξν Γ νιηζζαίλεη ζπλερώο ρσξίο ηξηβή πάλσ ζην νξηδόληην επίπεδν πξνο ηα δεμηά κε ηαρύηεηα π Γ. Ο ζρεδηαζκόο ηεο ηαρύηεηαο ζην C 2 θέληξν κάδαο ηεο ΒΓ κπνξεί λα γίλεη σο εμήο : Φέξλσ θάζεηε ζην Β πάλσ ζηελ π Β. απηήλ ηελ δηεύζπλζε πνπ ζπκπίπηεη κε ηελ ΑΒ ζα βξίζθεηαη ην ζηηγκηαίν θέληξν πεξηζηξνθήο ηνπ Β ζηελ ζπγθεθξηκέλε ζέζε. Πνζνηηθά κπνξεί λα πξνζδηνξηζηεί από ηελ ζρέζε (ΒΟ)=π Γ /σ 2. ην άθξν Γ θέξλσ θάζεηε ζηελ π Γ. Πάλσ θαη ζ απηήλ ηελ δηεύζπλζε ζα βξίζθεηαη ην ζηηγκηαίν θέληξν πεξηζηξνθήο ηνπ ζεκείνπ Γ. Άξα ζην ζεκείν ηνκήο Ο ζα είλαη ην ζηηγκηαίν θέληξν πεξηζηξνθήο ηεο ΒΓ ζηελ ζπγθεθξηκέλε ζέζε. 4

5 Με αθηίλα ΟC 2 γξάθσ θύθιν. ην ζεκείν C 2 θαη πάλσ ζηελ εθαπηόκελε πξνο ηελ κεξηά ηεο θίλεζεο βξίζθεηαη ε ηαρύηεηα π c2. Στόλιο: Ο ζρεδηαζκόο ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θέληξνπ κάδαο π c2 αιιά θαη θάζε ζεκείνπ κπνξεί λα γίλεη πνιύ εύθνια κε ηνλ πξνζδηνξηζκό ηνπ ζηηγκηαίνπ θέληξνπ πεξηζηξνθήο. Eρώηημα 3 0 Να δεηρηεί όηη νη δπν ξάβδνη (ΑΒ) θαη (ΒΓ) θάζε ζηηγκή έρνπλ ίδηα γσληαθή ηαρύηεηα πεξηζηξνθήο σ 1 = σ 2. 1 νο Σξόπνο Σν ζύζηεκα ησλ δπν ξάβδσλ (ΑΒ) θαη (ΒΓ) ηελ ζηηγκή t=0 βξίζθεηαη ζηε ζέζε ΑΒΓ θαη ζε ρξόλν dt είλαη ζηελ ζέζε ΑΒ Γ. σ 1 σ 2 Από ην ζεκείν Γ θέξλσ παξάιιειε Γ s πξνο ηελ ΒΓ. Η ξάβδνο ΑΒ έρεη ζηξαθεί θαηά dζ 1 θαη ε ΒΓ θαηά dζ 2. Όκσο dζ 1 = ζ θαη dζ 2 = ζ dζ 1 = dζ 2 dζ 1 /dt = dζ 2 /dt σ 1 = σ 2 2 νο Σξόπνο ηελ πξνεγνύκελε εξώηεζε πξνζδηνξίζακε ην ζηηγκηαίν θέληξν πεξηζηξνθήο ηεο ΒΓ ζηελ ζπγθεθξηκέλε ζέζε. Eίλαη ην ζεκείν Ο. ηελ παξαθάησ εηθόλα ην ηξίγσλν ΑΓΟ είλαη νξζνγώλην ζην Γ (βιέπε ζην 2 0 εξώηεκα πσο νξίδεηαη ην ζεκείν Ο). Σν ηξίγσλν ΒΟΓ είλαη ηζνζθειέο κε ΟΒ=ΒΓ=ΑΒ. Από ηελ πεξηζηξνθή ηεο ξάβδνπ ΑΒ : π Β =σ 1 (AB) από ηελ πεξηζηξνθή ηεο ξάβδνπ ΒΓ : π Β =σ 2 (ΟB) σ 1 =σ 2 5

6 Eρώηημα 4 0 Να ππνινγηζηεί ε γσληαθή ηαρύηεηα πεξηζηξνθήο ηεο θάζε ξάβδνπ ηελ ζηηγκή πνπ ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε ξάβδνο ΑΒ κε ην ιείν νξηδόληην επίπεδν είλαη ζ = 20 0 Οη κεηαηξνπέο ελέξγεηαο ζε ζεξκόηεηα ζηηο αξζξώζεηο είλαη ακειεηέεο. Γίλεηαη όηη ε ξνπή αδξάλεηαο ηεο ξάβδνπ σο πξνο ην θέληξν κάδαο ηεο είλαη Ι cm =1/12mL 2 θαη όηη εκ60 0 = 0,866 εκ20 0 = 0,342 θαη g=9.81m/s 2. Θα ρξεζηκνπνηήζσ ηελ Α.Γ.Δ γηα ην ζύζηεκα ησλ δπν ξάβδσλ ΑΒΓ. Αρτικά (θ =60 0 ) (εηθόλα εθθώλεζεο) Λείν επίπεδν C 1 C 2 ζ = 60 0 ζ = 60 0 Σν ζύζηεκα αξρηθά είλαη αθίλεην 6

7 Tελικά (θ =20 0 ) Ο ππνινγηζκόο ηεο ηειηθήο ελέξγεηαο κπνξεί λα γίλεη κε δπν ηξόπνπο. 1 νο ηξόπνο Θεσξώ θέληξν πεξηζηξνθήο ηεο ξάβδνπ (ΑΒ) ην ζεκείν Α. Δλώ γηα ηελ ξάβδν (ΒΓ) ην ζηηγκηαίν θέληξν πεξηζηξνθήο ηεο ζηελ ζπγθεθξηκέλε ζέζε ην ζεκείν Ο. z όκσο Aπό ην ζεώξεκα ησλ παξάιιεισλ αμόλσλ (Steiner). Όκσο από ηελ Α.Γ.Δ. θαη ηελ (1) θαη (2) 7

8 2 νο ηξόπνο : Θεσξώ θέληξν πεξηζηξνθήο ηεο ξάβδνπ (ΑΒ) ην ζεκείν Α. Δλώ γηα ηελ ξάβδν (ΒΓ) ζεσξώ όηη ην θέληξν κάδαο ηεο C 2 κεηαθέξεηαη κε ηαρύηεηα π C2 θαη ηαπηόρξνλα πεξηζηξέθεηαη κε γσληαθή ηαρύηεηα σ 2 =σ 1. Η ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη: Όκσο από ηελ Α.Γ.Δ. θαη ηελ (1) θαη (3) (3) Eρώηημα 5 0 Να ππνινγίζεηε ηα κέηξα ησλ ηαρπηήησλ σ C1, σ Β, σ C2,σ Γ. Σν κέηξν ηεο ηαρύηεηαο : σ C1 = σ(αβ)/2 π C1 =1,462m/s. σ Β = σ(αβ) π Β = 2,925m/s. σ C2 =σ(0c 2 ) π C2 =2,035m/s. σ Γ = σ(ογ) π Γ = σ2(αβ)εκ20 0 π Γ =2 m/s Βιβλιογραθία 1.Ο ζηηγκηαίνο άμνλαο ζηελ πεξηζηξνθηθή θίλεζε ζηεξενύ ζώκαηνο Ξελνθώληα ηεξγηάδε. 2.Γπλακηθή - Γηαλπζκαηηθή Μεραληθή Ferdinand Beer,E.Russel Johnston, Jr William E. Clausen. Γνγξακαηδάθεο Γηάλλεο gia.dogr@gmail.com 8

9 9