Lp 8 Rezumat. Capitolul 6. PROBLEMA TESTĂRII IPOTEZELOR Ipoteză ştiinţifică - Ipoteză statistică Ipoteză ştiinţifică
|
|
- Μνήμη Αλεξάκης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, pp. Editura Agronomica, Bucuresti, Lp 8 Rezumat Capitolul 6. PROBLEMA TESTĂRII IPOTEZELOR În ştiinţele experimentale verificarea ipotezelor ştiinţifice cere testări statistice. Testăm, deci, anumite ipoteze statistice Ipoteză ştiinţifică - Ipoteză statistică Ipoteză ştiinţifică Sn ipoteză ştiinţifică tentativa de a explica una sau mai multe observaţii. Ea trebuie să fie în concordanţă cu datele şi, dacă e falsă, să permită dovedirea acestui lucru prin experiment. Dacă e adevărată, nu se va putea dovedi niciodată că este falsă, dar nici că este adevărată. Deci, vom considera adevărată o ipoteză atât timp cât nu putem dovedi (prin experiment) că este falsă [13]. De exemplu, vom CONSIDERA că un anumit zar sau o anumită monedă sunt nemăsluite dacă, făcând EXPERIMENTUL aruncării cu zarul sau moneda respectivă de multe ori, vom obţine fiecare faţă cam de acelaşi număr de ori (vezi problemele 12 şi 13 în Lp 9). În caz contrar, spunem că am demonstrat experimental că zarul, respectiv moneda, sunt măsluite (vezi problema 14 din Lp 9) Ipoteză statistică Ipotezele ştiinţifice sunt emise întotdeauna din observaţii parţiale, dar vizează proprietăţi generale. Pentru susţinere au nevoie de verificări prin aşa-numitele ipoteze statistice. Sn ipoteză statistică o aserţiune cu privire la una sau mai multe populaţii statistice. Se prezintă întotdeauna sub forma unui cuplu: ipoteză nulă (sau de nul) H 0 - ipoteză alternativă H A. Exemple pentru una sau două populaţii statistice:
2 104 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, 263 pp. Editura Agronomica, Bucuresti, H 0 : µ = µ 1 0 (sau µ - µ 1 0 = 0) H 0 : µ = µ 1 0 (sau µ - µ 1 0 = 0) * H 0 : µ = µ 1 0 (sau µ - µ 1 0 = 0) H A : µ µ 1 0 (sau µ - µ 1 0 0) H A : µ > µ 1 0 (sau µ - µ 1 0 > 0) H A : µ 1 < µ 0 (sau µ - µ 1 0 < 0) test bilateral test unilateral dreapta test unilateral stânga în care µ 1 şi µ 0 sunt medii de populaţii din care s-au extras aleator unul sau două eşantioane. În se presupune că µ 0 este cunoscut şi s-a extras doar un eşantion de medie m 1 dintr-o populaţie cu media µ 1 necunoscută. Mai puţin riguros (decât formularea de mai sus), putem spune că se testează dacă media unui eşantion m 1 este conformă cu media unei populaţii µ 0. Mai general, se testează dacă o statistică este c o n f o r mă cu un anumit parametru. De aceea, acest tip de test sn test de conformitate. În cazul mediei se întâlneşte şi sub forma "compararea unei medii empirice cu o medie teoretică" Etapele construcţiei şi aplicării unui test statistic Etapele aplicării unui test statistic Observaţii: 1. Formularea clară a problemei pentru care se doreşte o decizie. Cade exclusiv în sarcina biologului, ecologului, medicului, agronomului.. 2. Identificarea: Etapă esenţială. a. variabilei ca tip şi scală Eventual cu ajutorul biometricianului. b. eşantionului ca mod de extragere Randomizare pentru valabilitatea testului. ca volum c. informaţiilor despre distribuţia variabilei în populaţie (gaussianitate, posibilitatea cvasigaussianizării printr-o anumită transformare). 3. a. Stabilirea distribuţiei de eşantionaj care impune b. statistica testului. 4. Bazat pe 1-3 a. formularea cuplului ipoteza nulă - ipoteza alternativă, care determină b. tipul de test (bilateral, unilateral stânga, unilateral dreapta) 5. Stabilirea nivelului de semnificaţie α sub care vom respinge ipoteza nulă (etapă denumită impropriu regula de decizie). Calculabil asistat de biostatistician. Din literatură şi/sau cu asistenţa biometricianului specializat pe domeniul biologic respectiv. De regulă, se preiau din literatura biostatistică sau de statistică matematică aplicată. Abilitate obligatorie pentru a se putea apela, eventual, la programele informatice. De competenţa esenţială a biologului. * vezi Anexa 8.
3 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, pp. Editura Agronomica, Bucuresti, a. Efectuarea calculelor b. obţinerea deciziei statistice prin: I) calcul manual: dacă statistica testului este "mai excentrică" decât α-cuantila corespunzătoare (citită în tabela corespunzătoare) se respinge H 0. II) calcul automat: dacă riscul de respingere a lui H 0 corespunzător statisticii testului (risc notat α c ) < α fixat la pct. 5 se respinge H 0. 1 Ce înseamnă grade de libertate? Etapă cu rol instructiv esenţial. De preferat nu numai pentru uşurinţă ci şi pentru posibilitatea publicării rezultatului împreună cu α c (nivelul cu care putem respinge H 0 ) chiar şi atunci când acceptăm H 0, ori când α c < 1 vezi Numărul de grade de libertate = volumul eşantionului - numărul de relaţii (legături) utilizate în construcţia statisticii testului, pe baza datelor din eşantion. 2 Regiune de acceptare şi regiune de respingere Orice test statistic oferă legea de distribuţie a statisticii sale atunci când ipoteza de nul (H 0 ) este considerată adevărată. De regulă, aceste distribuţii au cel puţin o coadă nemărginită şi valorile sale centrale sunt cele mai probabile (atunci când H 0 este adevărată). De aceea, decizia statistică se va lua prin împărţirea în două zone a domeniului de variaţie al statisticii, adică a zonei de sub distribuţia respectivă: o zonă de respingere a H 0 care acoperă coada sau cozile şi o zonă de acceptare a H 0 plasată pe valorile cele mai probabile. Zona de respingere va avea aria relativă α, adică nivelul de semnificaţie ales Diferenţe semnificative versus nesemnificative în cazul testelor bilaterale Dacă se respinge ipoteza nulă pentru α = 0,05 (= 5%), se spune că testul a evidenţiat o diferenţă semnificativă şi se marchează prin semnul "*". În caz de acceptare, diferenţa este considerată nesemnificativă. Deoarece orice test statistic conduce la decizia: semnificativ / nesemnificativ, testele statistice sn şi teste de semnificaţie (în sens larg). Mai adecvată ar fi fost, poate, denumirea de nivel de decizie, căci regula este aceeaşi la orice test: alegem ipoteza alternativă dacă statistica testului "cade" în zona de respingere a testului (vezi punctul 6. b. I. din tabel şi în continuare). În rezumatul din acest volum referitor la subparagraful se explicitează această exprimare.
4 106 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, 263 pp. Editura Agronomica, Bucuresti, O diferenţă nesemnificativă înseamnă (în cazul testelor statistice) o diferenţă suficient de mică, încât putem considera că a apărut doar ca rezultat al fluctuaţiilor de eşantionaj, adică al inerentelor deosebiri între eşantion şi populaţia specificată în ipoteza nulă. O diferenţă semnificativă înseamnă, în mod contrar, o diferenţă suficient de mare ca să nu o atribuim fluctuaţiilor de eşantionaj, ci să presupunem că provine dintr-un motiv semnificativ, nu din întâmplare, şi anume pentru că eşantionul provine dintr-o populaţie diferită de populaţia din ipoteza nulă Diferenţe foarte semnificative în cazul testelor bilaterale Dacă se respinge ipoteza nulă pentru α = 0,01 (= 1%), se spune că testul a evidenţiat o diferenţă foarte semnificativă şi se marchează prin semnul "**" Diferenţe înalt semnificative în cazul testelor bilaterale Dacă se respinge ipoteza nulă pentru α = 0,001 (= 1 ), se spune că testul a evidenţiat o diferenţă înalt semnificativă şi se marchează prin semnul "***" Niveluri de semnificaţie standard în cazul testelor bilaterale, diagnosticele statistice corespunzătoare şi zona de incertitudine În cazul calculului automat (care produce α c ) sau al utilizării tabelelor directe (care oferă p): Praguri pentru Diagnostic statistic: α c sau p Explicit codificat α c < 0,001 diferenţă înalt semnificativă *** 0,001 α c < 0,01 diferenţă foarte semnificativă ** 0,01 α c < 0,05 diferenţă semnificativă * 0,05 α c diferenţă nesemnificativă n.s. Aceleaşi diagnostice se pot obţine şi prin calcul manual şi consultarea tabelelor indirecte. Despre p-ul de respingere nu vom şti însă decât că se află intre două niveluri tabelate succesiv. De exemplu, dacă vom obţine respingerea lui H 0 pentru α = 0,01 şi acceptarea pentru α = 0,001, vom şti doar că p se află undeva în intervalul [0,001; 0,01). De aceea se spune că s-a respins H 0 cu (un) p < 0,01. (Prin convenţie se subînţelege că p 0,001). În cazul testelor bilaterale, intervalul [0,01; 0,05) pentru α c sau p, sn zonă de incertitudine. În consecinţă, dacă într-un experiment sau observaţie se obţine o diferenţă doar n.s. = non semnificativ.
5 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, pp. Editura Agronomica, Bucuresti, semnificativă (adică în zona de incertitudine) se recomandă repetarea experimentului sau a observaţiei pe un număr superior de cazuri, luându-se decizia finală pe eşantionul de volum mai mare. Această regulă se bazează pe insuficienta repetabilitate a respingerii ipotezei nule (50%) în cazul în care diferenţa este doar semnificativă (p < 0,05) vezi problemele 2, 3 şi Modul de redactare a rezultatului unui test statistic În cazul calculului manual: dacă s-a respins H 0 spunem şi scriem că: "s-a respins ipoteza nulă cu un risc p < α stabilit " sau că "testul a evidenţiat o diferenţă ( / foarte / înalt) semnificativă (p < α stabilit)". Calificativele "foarte" şi "înalt" se pun în funcţie de valorile lui α stabilit după convenţiile de mai sus. dacă s-a acceptat H 0 spunem şi scriem că: "s-a acceptat ipoteza nulă ( ** p α stabilit )" sau că "testul nu a evidenţiat o diferenţă semnificativă (p α stabilit )" sau că "diferenţa este nesemnificativă (p α stabilit )". Notaţiile folosite în redactare şi semnificaţiile lor în cazul testelor bilaterale pot fi centralizate astfel: Convenţii Notaţii Semnificaţie: clasice: prescurtate: p < 0,001 *** S-a respins H 0 cu un risc p < 0,001 p < 0,01 ** S-a respins H 0 cu un risc p < 0,01 dar 0,001 p < 0,05 * S-a respins H 0 cu un risc p < 0,05 dar 0,01 p 0,05 n.s. S-a acceptat H 0, căci s-ar fi putut respinge doar cu un p 0,05. În cazul calculului automat: Respingem H 0 cu p <α c - atunci când α c 0,05 (sau, mai rar, 0,1) pentru biologi şi α c 0,1 (sau 0,2) pentru ecologi, respectiv Acceptăm H 0 (p < α c ) atunci când α c > 0,05 (sau, mai rar, 0,1) pentru biologi şi α c > 0,1 (sau 0,2) pentru ecologi. Observaţia 1: În [4] se afirmă că p (în calcul manual, respectiv α c, în calcul automat) este adesea considerat drept un indice care reflectă gradul de discordanţă între date şi ipoteza nulă. În consecinţă, atunci când este foarte mic (p < 1 ) se crede că, în cazul repetării experimentului, ipoteza nulă va fi ** Aici se gândeşte «deoarece», fără a se spune sau scrie. Se interpretează astfel: «Acceptăm H 0, deoarece p este mai mic doar decât un α c mai mare ca 0,05».
6 108 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, 263 pp. Editura Agronomica, Bucuresti, respinsă aproape sigur, ceea ce este relativ eronat, probabilitatea repetării respingerii lui H 0 fiind doar de 91%. (A se vedea, mai jos, problemele 2, 3, 6 şi 7 inspirate din [4]). Rezultă, de aici, importanţa publicării α c -ului de respingere cu atât mai mult, atunci când este mai mic decât 1. (Am calculat că o respingere cu un p < 0,1 garantează - în cazul distribuţiilor de eşantionaj gaussiene - o repetabilitate a respingerii ipotezei nule de circa 97%.) Este foarte important de publicat α c şi atunci când depăşeşte cu puţin α stabilit. Justificarea acestei recomandări depăşeşte însă nivelul cadrului de faţă. Observaţia 2: ÎN CAZUL TESTELOR UNILATERALE se lucrează fie cu aceleaşi niveluri α, fie cu jumătăţile acestora. Noi recomandăm utilizarea nivelurilor α / 2 (vezi desenul din dreapta a figurii următoare). În acest fel se poate înlătura contradicţia semnalată în desenul din stânga figurii. În figura, sunt reprezentate zonele de acceptare şi de respingere ale unui test unilateral (vezi partea de sus a figurii), respectiv, bilateral (vezi partea de jos a figurii). Am ales intenţionat problema particulară a eficacităţii, respectiv, efectivităţii unui tratament, căci astfel, se observă mai bine contradicţia la care se ajunge dacă nu lucrăm cu varianta recomandată aici. Amintim că efectiv = cu efect şi eficace = cu efect (deci efectiv) în sensul dorit. Vezi şi problemele 8 şi 19 din Lp 9. În desenul din stânga figurii se observă că dacă păstrăm, în cazul testelor unilaterale, pragul pentru riscul α de la testele bilaterale, se produce contradicţia: test declarat eficace, dar inefectiv (vezi punctul marcat printr-un cerc). Contradicţia dispare dacă în cazul testelor unilaterale lucrăm cu α = 0,025 în loc de 0,05, adică, în general, dacă jumătăţim nivelul α de la testele bilaterale, ca în dreapta figurii anterioare. Soluţia provine dintr-un cadru mai general din [4].
7 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, pp. Editura Agronomica, Bucuresti, Tipuri de erori asociate unui test statistic şi riscurile acestora Probabilităţi din care riscuri: Accept H 0 Resping H 0 H 0 adevărat 1 - α α sn riscul furnizorului (riscul de speţa I) H 0 fals β sn riscul beneficiarului (riscul de speţa a II-a) 1 - β = π π sn puterea testului. 1 - α corespunde, în teoria estimaţiei, gradului de încredere Explicarea terminologiei "riscul furnizorului", "riscul beneficiarului" Acceptarea sau respingerea unui lot de produse se face după verificarea unui eşantion extras prin randomizare din acel lot. De regulă, furnizorul menţionează un standard minim de calitate (µ 0 ). Astfel, ipoteza nulă poate fi I 0 : µ 1 µ 0 (H 0 : µ 1 = µ 0 ) vezi Anexa 8. În consecinţă, riscul α de respingere a ipotezei nule când aceasta este adevărată va fi riscul furnizorului, căci acesta este cel care pierde retrăgând de pe piaţă întregul lot când, de fapt acesta corespunde standardului afirmat în ipoteza nulă. Dacă, invers, este adevărată ipoteza alternativă (H A : µ 1 < µ 0), adică lotul nu corespunde standardului afirmat şi totuşi este acceptat, atunci riscul β este al beneficiarului. α β (pentru eşantioane de acelaşi volum n). Pentru micşorarea simultană a ambelor riscuri trebuie mărit volumul eşantionului, n. Sn puterea unui test = 1 - β. Creşte, pentru un α fixat, o dată cu volumul n după o curbă sigmoidă (de forma unui s alungit). Creşterea este cu atât mai rapidă cu cât α este mai mare. Un test T 1 este mai puternic decât un alt test T 2 dacă respinge H 0 cu un volum n 1 < n 2, pentru acelaşi α fixat.
8 110 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, 263 pp. Editura Agronomica, Bucuresti, Justificarea nivelurilor de semnificaţie utilizate în medicină şi ecologie Dacă admitem că, de regulă, ipoteza ştiinţifică devine, într-un test statistic, ipoteză alternativă atunci se consideră: 1 α mic în medicină, biologie şi agricultură α este riscul de a declara bolnav un pacient sănătos şi în consecinţă este riscul de a trata un individ sănătos, ceea ce îl poate îmbolnăvi din cauza efectelor secundare ale medicamentelor. Se ia α mic (1) pentru a respecta principiul hypocratic "primo non nocere, deinde vindecare", (2) din considerente economice, (3) pentru că riscul β chiar dacă ar fi mare afectează un număr mic de indivizi şi (4) β se minimizează prin strategia aplicării mai multor teste sau prin consultarea mai multor medici. În [15] se recomandă pragurile α = 0,001 şi 0,01 pentru medicină şi 0,05 pentru agricultură. 2 α mare în ecologie (α = 0,1 sau 0,2) α este riscul de a declara în pericol un ecosistem atunci când acest lucru nu este adevărat. Se ia mare (1) pentru a se obţine un β mic, β reprezentând probabilitatea de a nu observa o degradare atunci când ea există, ceea ce poate fi dezastruos pentru o întreagă comunitate. β trebuie să fie mic dintr-un singur test, pentru că (2) vinovaţii distrugerii respective limitează la maximum accesul la aplicarea mai multor teste Observaţii importante pentru aplicaţii Observaţii terminologice şi de interpretare statistică Dacă H 0 este respinsă, spunem că: "avem o diferenţă (sau diferenţe, în funcţie de test) semnificativă(e), foarte semnificativă(e), respectiv înalt semnificativă(e)", în funcţie de valoarea lui α şi de tipul testului (bi sau uni lateral). Dacă H 0 nu este respinsă, spunem că: "H 0 POATE FI adevărată ori că NU AVEM SUFICIENTE DATE pentru a fi, eventual, respinsă".
9 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, pp. Editura Agronomica, Bucuresti, Observaţii de filozofia ştiinţei Ipoteza nulă este analogul unei ipoteze ştiinţifice adevărate, amândouă neputând fi dovedite niciodată a fi adevărate. Ipoteza alternativă este omologul unei ipoteze ştiinţifice de testat care, prin acest mecanism, devine sustenabilă (verificabilă) statistic. Mecanismul de testare a unei ipoteze nule este o demonstraţie prin reducere la absurd într-o logică nuanţată: respingem ipoteza nulă atunci când o consecinţă logică din aceasta este (nu chiar absurdă, ci doar) improbabilă Comparaţii între testele binare şi cele statistice Testele statistice sunt o specie de teste binare. Dacă stabilim drept clasă căutată X, mulţimea eşantioanelor posibil a fi extrase aleator din populaţia specificată în ipoteza nulă H 0, atunci: Se = 1- α, iar Sp = π = 1- β. Testele statistice se aplică asupra unor distribuţii teoretice.
10 112 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, 263 pp. Editura Agronomica, Bucuresti, Lp 8 Teste, exerciţii şi probleme TG8. Durata 200'' pe calculator. Intre cele doua riscuri existente intr-un test statistic este adevarata propozitia: 1. Daca alfa creste, creste si beta. 2. Alfa si beta sunt independente. 3. Daca alfa creste, beta scade. Alegeti afirmatia corecta: 1. Daca respingem ipoteza nula ne asumam riscul beta. 2. Daca respingem ipoteza nula ne asumam riscul alfa. 3. Daca acceptam ipoteza nula ne asumam riscul alfa. Gradul de incredere asociat unui interval de incredere corespunde in testarea ipotezelor statistice: 1. lui 1 - alfa, alfa fiind riscul de speta I; 2. lui alfa, alfa fiind riscul de speta I; 3. lui 1 - beta, beta fiind riscul de speta a II-a; Un alfa calculat ne conduce la afirmarea inexistentei unor deosebiri semnificative daca: 1. alfa = 0,05 2. alfa >= 0,05 3. alfa >= 0,05% O ipoteza statistica este: 1. o asertiune cu privire la o ipoteza stiintifica 2. o asertiune cu privire la o populatie statistica 3. o asertiune cu privire la una sau mai multe populatii statistice Ce afirmatie este corecta: 1. Nivelul de semnificatie este riscul de speta a II-a iar puterea unui test este 1 - riscul de speta I.
11 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, pp. Editura Agronomica, Bucuresti, Nivelul de semnificatie este riscul de speta I, iar puterea unui test este 1 - riscul de speta a II-a. Ce afirmatie este corecta: 1. Nivelul de semnificatie = puterea testului 2. Nivelul de semnificatie = gradul de incredere 3. Nivelul de semnificatie = riscul de speta a doua 4. Nivelul de semnificatie = 1 - gradul de incredere Puterea π a unui test statistic: 1. creste o data cu cresterea volumului n al esantionului 2. scade o data cu cresterea volumului n al esantionului 3. nu depinde de volumul n al esantionului Atunci cand nu respigem ipoteza nula H0 spunem ca: 1. H0 este adevarata sau nu avem suficiente date pentru a fi respinsa. 2. H0 poate fi adevarata sau nu avem suficiente date pentru a fi respinsa. 3. H0 poate fi adevarata. 4. H0 este adevarata. TC8. Durata 5'. 1. Ca şi în cazul estimării, verificarea ipotezelor statistice este un tip de statistică. 2. Încercarea de a explica ştiinţific una sau mai multe observaţii se numeşte. 3. Care este afirmaţia corectă: a) o ipoteză falsă nu poate fi dovedită niciodată a fi falsă b) o ipoteză adevărată nu poate fi dovedită niciodată a fi adevărată c) o ipoteză adevărată poate fi dovedită întotdeauna a fi adevărată 4. Ipoteza statistică este o afirmaţie cu privire la una sau mai multe. 5. La aplicarea unui test statistic, decizia statistică de acceptare a H 0 se ia atunci când α c este decât α fixat. 6. În cazul situaţiei de incertitudine a deciziei statistice se recomandă refacerea experimentului utilizând un eşantion cu. 7. Când obţinem α c < 0,001 înseamnă că testul a evidenţiat o diferenţă.
12 114 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, 263 pp. Editura Agronomica, Bucuresti, Se numeşte zonă de incertitudine pentru α c intervalul. 9. Riscul de speţa I se notează cu α şi se numeşte "riscul " sau riscul ". 10. testului se notează cu π şi este egală cu, în care este riscul de speţa a II-a. 11. Cu cât valoarea α este mai, cu atât mai mare este considerat nivelul de semnificaţie respectiv. 12. Corectaţi într-un singur loc afirmaţia următoare: Riscul furnizorului, notat α, apare atunci când H 0 este adevărată şi o accept. 13. În medicină se preferă un risc β, iar în ecologie un risc β. 14. Dacă vrem să micşorăm riscul beneficiarului fără a mări riscul furnizorului, atunci trebuie să. Exerciţii sau probleme rezolvate Recomandare: Înaintea parcurgerii acestor probleme este indicat să se studieze Anexa S-au făcut experimente de inginerie genetică pe un lot dintr-o specie de sfeclă de zahăr cu scopul de a obţine un soi cu dimensiuni mai mari. Din lotul experimental s-a extras apoi un eşantion aleator simplu de 26 de sfecle şi s-au măsurat diametrele acestor exemplare obţinându-se media de 17 cm şi abaterea standard de 2 cm. Ştiind că media în specia originară este de 15 cm, să se testeze dacă noua generaţie de sfeclă de zahăr constituie un soi cu diametrul mai mare decât al soiului originar, adică dacă s-a reuşit obţinerea un soi mai productiv. Rezolvare: Deoarece trebuie să comparăm media unui eşantion cu media unei populaţii statistice, vom aplica un test de conformitate după următoarele etape: 1. Formularea clară a problemei pentru care se doreşte o decizie: Provine sau nu eşantionul de medie m 1 = 17 cm şi volum n = 26 dintr-o populaţie
13 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, pp. Editura Agronomica, Bucuresti, cu media mai mare de 15 cm şi abaterea standard estimată prin abaterea n standard [corectată s c = s ] a eşantionului? n 1 2. Identificarea: a) variabilei: tip măsurătoare pe scală raport; b) eşantionului: eşantion aleator simplu cu volum mic (n = 26 < 30); c) informaţiilor despre distribuţia variabilei în populaţie: Se admite în literatura biostatistică faptul că distribuţia celei mai mari dimensiuni (aici diametrul rădăcinii) pentru un anumit soi este gaussiană.. m µ 3. a) Stabilirea distribuţiei de eşantionaj: t = t n 1 s / n 1 m1 µ b) Statistica testului: t1 =. s / n 1 4. a) Formularea cuplului de ipoteze logice, respectiv, statistice (vezi Anexa 8): I 0 : µ 15cm H 0 : µ = 15cm ipoteze logice ipoteze statistice I A : µ > 15cm H A : µ > 15cm b) Tipul de test: test unilateral dreapta (zona de respingere este dată de t > t n-1,α. 5. Regula de decizie: Stabilim nivelul de semnificaţie α = 2,5 %, - vezi obs. 2 de la a) Efectuarea calculelor: m1 µ t = = = = = s n 1 2 / 25 2 / = b) Obţinerea deciziei statistice prin calcul manual: Valoarea tabelată: t n-1,α = t 25; 0,025 = 2,060 t 1 = 5 > 2,060 se respinge H 0 pentru α = 2,5 %. Observaţie: Următoarea reţetă practică este de preferat. Consultăm tabela Student (vezi Anexa 3) pe linia corespunzătoare numărului de grade de libertate (25 aici) şi căutăm cele două valori critice între care se plasează ca mărime valoarea calculată t 1 (5 aici). Vom găsi doar valoarea 3,725. Citim nivelul de semnificaţie α corespunzătoare testului unilateral (vezi linia de sus a tabelei). 5
14 116 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, 263 pp. Editura Agronomica, Bucuresti, Acesta este 0,5. În concluzie, putem respinge ipoteza nulă (egalitatea mediei cu valoarea 15) cu un risc p < 0,005. Altfel spus, putem afirma, cu un risc sub 0,5, că media eşantionului diferă semnificativ de 15,. Dacă luăm în consideraţie pragurile standard (0,05; 0,01; 0,001) putem afirma existenţa unei diferenţe înalt semnificative (p < 0,001) sau (***). Decizie statistică finală: Se respinge H 0 cu (risc) p < 0,5. Testul a evidenţiat o diferenţă înalt semnificativă (***). Decizie de specialitate: Putem afirma, cu un risc sub 0,5, că s-a obţinut un soi nou! 2. Să se calculeze probabilitatea repetării respingerii ipotezei nule de către un test de conformitate bilateral dacă respingerea s-a făcut cu α c = 0,01 şi media eşantionului, m 1, este tocmai media populaţiei gaussiene de abatere standard σ, din care acesta a fost extras aleator. Rezolvare: Notând cu µ 1 media populaţiei din care s- a extras aleator eşantionul cu media m 1, s-a testat cuplul de ipoteze: H 0 : µ 1 = µ 0 ; H A : µ 1 µ 0. Deoarece α c = 0,01 < α = 0,05, s-a respins ipoteza nulă. (Vezi figura alăturată în care media de eşantionaj, m, se distribuie gaussian, deoarece distribuţia în populaţie este gaussiană şi cu σ cunoscut).
15 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, pp. Editura Agronomica, Bucuresti, Dacă vom repeta, de multe ori, testarea ipotezei (nule) că media populaţiei este egală µ 0 şi, de fapt, media populaţiei, µ 1, este tocmai media eşantionului extras prima oară, m 1 (adică µ 1 = m 1 µ 0 ) atunci media de eşantionaj va fi variabila aleatoare m cu media în µ 1. În această situaţie, ori de câte ori media unui eşantion va fi mai mare decât x, vom respinge ipoteza nulă. Deci proporţia de respingeri este dată de proporţia ariei de la dreapta lui x (aria gri) din aria de sub distribuţia m. Să calculăm în continuare această proporţie. Pentru aceasta, vom aplica m µ 0 transformarea z = variabilelor m şi m. Variabila m va deveni σ / n distribuţia normală standard.
16 118 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, 263 pp. Editura Agronomica, Bucuresti, În schimb, m va deveni o distribuţie normală standard deplasată, m' µ 0 z' = (vezi σ / n figura alăturată), deoarece aplicând translaţia m - µ 0, în loc de m - µ 1, nu s-a mai obţinut centrarea. S-a obţinut doar reducerea, prin comprimarea cu σ / n. Prin standardizare µ 1 va deveni α-cuantila bilaterală superioară z αc /2 deoarece lasă la dreapta sa aria α c / 2 (ca şi µ 1 ), iar punctul de separare a zonei de respingere, notat x în figurile anterioare, va deveni, din acelaşi motiv, z α/2. Astfel, proporţia căutată a devenit proporţia reprezentată de aria gri din aria de sub curba z.
17 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, pp. Editura Agronomica, Bucuresti, Această proporţie se poate determina după ce translatăm în origine curba z. Vom obţine curba z = z - z α c / 2. Evident z α c / 2 s-a deplasat în origine, iar z α/2 a devenit punctul z α/2 z α pe care îl vom - c / 2 nota y. În consecinţă, va trebui să determinăm aria relativă aflată la dreapta acestui punct y (= z α/2 - z αc /2), aria gri din figura de deasupra. În problema noastră, deoarece α = 0,05, z α/2 = 1,96 şi, deoarece α c = 0,01, z αc /2 = 2,58. Deci y = 1,96-2,58 = - 0,62.. În anexa 2 citim (pe linia lui 0,6 şi coloana lui 0,02) aria relativă aflată la stânga punctului 0,62. Aceasta este 0,2676. Prin urmare aria la dreapta punctului y este complementul faţă de 1 al valorii 0,2676. Deci aria căutată are valoarea 1 0,2676 = 0,7324. În concluzie, probabilitatea repetării respingerii ipotezei nule, este, în acest caz, de circa 73%. 3. Să se calculeze probabilitatea repetării respingerii ipotezei nule de către un test de conformitate bilateral dacă respingerea s-a făcut cu α c = 0,05 şi media eşantionului, m 1, este tocmai media populaţiei gaussiene de abatere standard σ, din care acesta a fost extras aleator. Rezolvare: Utilizăm rezolvarea generală din problema anterioară. z α/2 = z αc /2= 1,96 pentru α = α c = 0,05. Deci y = z αc /2 - z α/2 = 1,96 1,96 = 0.. Consultând Anexa 1 pe linia lui 0 şi coloana lui 0 găsim valoarea 0,5. În concluzie probabilitatea repetării respingerii ipotezei nule, este, în acest caz, de 50%. Observaţie: Acest rezultat explică de ce atunci când efectuăm o respingere a ipotezei nule doar cu un p < 0,05, repetarea experimentului ne va conduce la repetarea respingerii doar în circa 50% din cazuri.
18 120 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, 263 pp. Editura Agronomica, Bucuresti, Exerciţii sau probleme propuse 4. Se specifică în reţeta unui anumit produs alimentar că pentru cacao concentraţia minimă este de 10 g în fiecare unitate din acest produs. S-a verificat concentraţia de cacao pe o linie de 50 de unităţi extrase aleator dintr-un lot cu acest produs şi s-a obţinut media 9,6 g. Considerând că abaterea standard de 1 g specificată în reţetă este corectă, se cere să se testeze dacă lotul verificat prin acest sondaj conţine cacao sub limita declarată. 5. Pentru o specie de ţestoase se cunoaşte din literatură că lungimea carapacei la indivizii adulţi este în medie de 25 cm cu o abatere standard de 3 cm. Dintr-o populaţie de ţestoase s-a extras un eşantion aleator simplu de 20 exemplare, având media 23,5 cm. Se cere să se testeze dacă populaţia biologică investigată este, mai degrabă, dintr-o altă specie, sau putem considera că este formată din indivizi dintr-o specie cu lungimea medie a carapacei de 25 cm, eventual specia citată în literatură? 6. Să se calculeze probabilitatea repetării respingerii ipotezei nule de către un test de conformitate bilateral dacă respingerea s-a făcut cu α c = 0,001 şi media eşantionului, m 1, este tocmai media populaţiei gaussiene de abatere standard σ, din care acesta a fost extras aleator. 7. Să se centralizeze într-un tabel probabilităţile repetării respingerii ipotezei nule de către un test de conformitate bilateral dacă respingerea s-a făcut cu una din valorile α c convenţionale (5%, 1%, 1 ) şi valoarea 0,1, media primului eşantion, m 1, fiind tocmai media populaţiei gaussiene de abatere standard σ, din care acesta a fost extras aleator.
9 Testarea ipotezelor statistice
9 Testarea ipotezelor statistice Un test statistic constă în obţinerea unei deducţii bazată pe o selecţie din populaţie prin testarea unei anumite ipoteze (rezultată din experienţa anterioară, din observaţii,
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7
Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 4. 1 Generalitǎţi privind ipotezele statistice şi problema verificǎrii ipotezelor statistice 2
Statisticǎ - curs 4 Cuprins 1 Generalitǎţi privind ipotezele statistice şi problema verificǎrii ipotezelor statistice 2 2 Inferenţǎ statisticǎ privind media populaţiei dacǎ se cunoaşte abaterea standard
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραTESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE
Capitolul 9 TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE D acă în capitolul anterior au fost epuse principalele aspecte ale teoriei selecţiei, în acest capitol vom trata modalitatea de aplicare a teoriei în testarea
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI. Călinici Tudor
ESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI Călinici Tudor 1 Obiective educaţionale Înţelegerea procesului de estimare Însuşirea limbajului specific pentru inferenţa statistică Enumerarea estimatorilor fără bias
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραStatistică descriptivă Distribuția normală Estimare. Călinici Tudor 2015
Statistică descriptivă Distribuția normală Estimare Călinici Tudor 2015 Obiective educaționale Enumerarea caracteristicilor distribuției normale Enumerarea principiilor inferenței statistice Calculul intervalului
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότερα7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραNOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA
NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA INTRODUCERE SI DEFINITII A. PARAMETRI SI STATISTICI Parametru valoare sau caracteristica asociata unei populatii constante fixe notatie - litere grecesti: media populatiei
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραDistributiiContinue de Probabilitate Distributia Normala
8.03.011 STATISTICA -distributia normala -distributii de esantionare lectia 7 30 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/index.asp?item=fisiere&id=88 DistributiiContinue
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραprin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Διαβάστε περισσότεραPRELEGEREA XII STATISTICĂ MATEMATICĂ
PRELEGEREA XII STATISTICĂ MATEMATICĂ I. Teste nonparametrice Testele nonparametrice se aplică variabilelor măsurate la nivel nominal sau ordinal. Ele se aplică pe eşantioane mici, nefiind nevoie de presupuneri
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραsunt comparate grupuri formate din subiecńi diferińi, evaluańi în condińii diferite testul t pentru eşantioane independente ANOVA
M. Popa sunt comparate grupuri formate din subiecńi diferińi, evaluańi în condińii diferite testul t pentru eşantioane independente ANOVA sunt comparate valori măsurate pe acelaşi grup (eşantion) de subiecńi
Διαβάστε περισσότεραAnaliza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Διαβάστε περισσότεραΕμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία
- Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραValori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραLp 11 Rezumat. Capitolul 8. STATISTICĂ BIVARIATĂ. VARIABILE TIP RANG. 81. Sinteza numerică bivariată
6 Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, 63 pp. Lp Rezumat Capitolele următoare, 8 şi 9 conţin metode neparametrice. Capitolul 8. STATISTICĂ BIVARIATĂ.
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότερα4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότερα3 Distribuţii discrete clasice
3 Distribuţii discrete clasice 3.1 Distribuţia Bernoulli Probabil cel mai simplu tip de variabilă aleatoare discretă, variabila aleatoare Bernoulli modelează efectuareaunui experiment în care poate apare
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραErori statistice Puterea testului statistic Mărimea efectului. Marian Popa
Erori statistice Puterea testului statistic Mărimea efectului Marian Popa 2011 Enunţarea ipotezei cercetării (H1) QI mediu al elevilor olimpici este mai mare Enunţarea ipotezei de nul (H0) QI mediu al
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότεραCâmp de probabilitate II
1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente
Διαβάστε περισσότεραDistribuţia binomială Teste statistice neparametrice nominale. M. Popa
Distribuţia binomială Teste statistice neparametrice nominale M. Popa a) parametrice Teste statistice inferenţele sunt probate prin utilizarea parametrilor populaţiei (indicatori care descriu tendinţa
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραCursul 6. Tabele de incidenţă Sensibilitate, specificitate Riscul relativ Odds Ratio Testul CHI PĂTRAT
Cursul 6 Tabele de incidenţă Sensibilitate, specificitate Riscul relativ Odds Ratio Testul CHI PĂTRAT Tabele de incidenţă - exemplu O modalitate de a aprecia legătura dintre doi factori (tendinţa de interdependenţă,
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραExemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni
Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραZgomotul se poate suprapune informaţiei utile în două moduri: g(x, y) = f(x, y) n(x, y) (6.2)
Lucrarea 6 Zgomotul în imagini BREVIAR TEORETIC Zgomotul este un semnal aleator, care afectează informaţia utilă conţinută într-o imagine. El poate apare de-alungul unui lanţ de transmisiune, sau prin
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραScoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa
Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa Scoruri standard cunoaştere evaluare, măsurare evaluare comparare (Gh. Zapan) comparare raportare la un sistem de referință Povestea Scufiței Roşii... 70
Διαβάστε περισσότερα1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Διαβάστε περισσότερα