Hiperbola. Hiperbola je skup tačaka u ravni sa osobinom da je razlika rastojanja ma koje tačke od dveju datih tačaka stalan broj.
|
|
- Ὀφιοῦχος Δοξαράς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Hiperbola Definicija Hiperbola je skup tačaka u ravni sa osobinom da je razlika rastojanja ma koje tačke od dveju datih tačaka stalan broj..stalne tačke F1(-c, 0), F2(c, 0) su žiže hiperbole, njihovo rastojanje F 1 F 2 = 2c (a<c). Prava koja sadrži tačke F1 i F2 naziva se realna osa hiperbole, dok je njena imaginarna osa normalna na realnoj osi u tački koja je središte duži A 1 A 2, gde su A 1 i A 2 temena hiperbole. Parametri a i b predstavljaju dužine realne, odnosno imaginarne poluose hiperbole. Broj c = a 2 + b 2 (c>a) je linearni ekscentricitet hiperbole. Broj e = c je numerički ekscentricitet. a Postoje dve važne osobine fokusa hiperbole F 1 i F 2 : 1. Za svaku tačku hiperbole P važi: d(p, F 1 ) - d(p, F 2 ) = 2a, a R Ovo svojstvo omogućava i pomenutu definiciju. 2. Tangenta na svaku tačku hiperbole P predstavlja bisektrisu ugla <F 1 PF 2. Iz definicije hiperbole možemo lako doći do jednačine koja je opisuje. Neka je P(x, y) proizvoljna tačka hiperbole. F 1 P - F 2 P = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a + (x c) 2 + y 2 x 2 + 2xc + c 2 + y 2 = 4a 2 + 4a (x e) 2 + y 2 +x 2-2xc +c 2 + y 2 4xc - 4a 2 = 4a (x c) 2 + y 2 x 2 c 2-2xca 2 + a 4 = a 2 ((x c) 2 + y 2 )) x 2 c 2-2xca 2 + a 4 = a 2 x 2-2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 x 2 c 2 - a 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 c 2 - a 4
2 (c 2 - a 2 )x 2 - a 2 y 2 = a 2 (c 2 - a 2 ) Kako znamo da je c 2 - a 2 = b 2, dalje dobijamo: b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2, odnosno x2 a 2 - y2 b 2 = 1. Jednačina hiperbole: Jednačina x2 a 2 - y2 b 2 = 1 ili b2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2 predstavlja centralnu jednačinu hiperbole. Jednačina asimptote hiperbole: Prave y = b x i y = b x su asimptote hiperbole. a a Uslov da prava dodiruje hiperbolu: Hiperbola i prava Prava y= kx + n dodiruje hiperbolu b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2 ako je a 2 k 2 - b 2 = n 2. To možemo lako pokazati: H: b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2 p: y = kx+n b 2 x 2 - a 2 (kx+n) 2 = a 2 b 2 b 2 x 2 - a 2 k 2 x 2-2a 2 kxn - a 2 n 2 = a 2 b 2 x 2 (b 2 - a 2 k 2 ) - 2a 2 knx - a 2 n 2 - a 2 b 2 = 0 Diskriminantu kvadratne jednačine računamo po formuli: D = b 2-4ac D = 4a 4 k 2 n 2 + 4(b 2 - a 2 k 2 )( a 2 n 2 + a 2 b 2 ) = 4(a 4 k 2 n 2 + b 2 a 2 n 2 + b 4 a 2 - a 4 k 2 n 2 - a 4 k 2 b 2 ) = 4a 2 b 2 (n 2 + b 2 - a 2 k 2 ) 1) n 2 + b 2 - a 2 k 2 < 0 => p H = 2) n 2 + b 2 - a 2 k 2 > 0 => p H = {A, B}, gde su A i B tacke preseka prave p i hiperbole H. 3) n 2 + b 2 - a 2 k 2 = 0 => p H = {C}, gde je C tačka dodira hiperbole H i prave p. Na osnovu razmatrane diskriminante, dobijamo formulu za uslov dodira prave i hiperbole: a 2 k 2 - b 2 = n 2.
3 Jednačina tangente na hiperbolu u tački M(x1, y1): Zadaci: xx1 a 2 - yy1 b 2 = 1 1. Naći dužinu tetive koju hiperbola x 2-2y 2 = 2 odseca na pravoj 3x - 4y = 2. Rešenje: x y2 = 1 => a 2 = 2, b 2 = 1 Presečne tačke prave i hiperbole dobijamo rešavanjem sistema: x 2-2y 2 = 2 3x - 4y = 2 Iz jednačine prave izražavamo x preko y: x = 4y+2 3 Zamenom u jednačini hiperbole dobijamo: ( 4y+2 3 )2-2y 2 = 2 16y y +4-18y 2 = 18 2y 2-16y + 14 = 0 y 2-8y + 7 = 0 y1 = 1 y2 = 7, Odakle dobijamo tačke preseka:
4 A(2, 1) i B(10, 7). Dužina tražene tetive je odredjena tačkama A i B: AB = (10 2) 2 + (7 1) 2 = 100 = Izračunati odstojanje žiža hiperbole Rešenje x 2 - y2 = -1 od njenih asimptota Za rešavanje zadatka, potrebno nam je da izračunamo linearni ekscentricitet hiperbole, kako bismo odredili koordinate žiža: c = = 10 Dakle koordinate žiža hiperbole su: F 1 (0, -10) i F 2 (0, 10) Jednačina asimptote: y = ± 6 8 x Pošto je udaljenost bilo koje od žiža od neke od asimptota jednaka, naći ćemo na primer udaljenost žiže koja pripada pozitivnom delu x - ose od asimptote sa pozitivnim koeficijentom pravca: Jednačina asimptote u implicitnom obliku: 6x - 8y = 0 Zamenom poznatih vrednosti u formulu za računanje rastojanja:
5 d = Axo+Byo+C A 2 + B 2 dobijamo: d = = 8 Rastojanje žiža hiperbole od njenih asimptota je Naći jednačinu hiperbole x2 - y2 = 1, ako su njene asimptote y = ± 1 x i ako je jedna njena a 2 b 2 2 tangenta 5x -6y - 8 = 0. Rešenje: Kako je jednačina asimptota data formulom: y = ± b x, možemo odrediti odnos velike i male a poluose: b a = 1 2 => a = 2b Jednačina tangente mora da zadovoljava uslov dodira: Zapisana u eksplicitnom obliku: y = 5 6 x => k = 5 6, n = 8 6 Zamenom u formuli za uslov dodira, a 2 k 2 - b 2 = n 2 a b2 = b b2 = b2 = b 2 = 1 a 2 = 4 Tražena jednačina hiperbole je: x y2 1 = 1
6 4. Odrediti jednačinu kruga čije je središte na x- osi i koji seče hiperbolu 3x 2-4y 2 = 12 pod pravim uglom u tački M(4, -3). Rešenje: Koordinate centra traženog kruga: C(c, 0), gde je c nepoznata konstanta. Jednačina tangente na hiperbolu u tački M(4, -3): y = kx + n => n = -3-4k Na osnovu uslova dodira i jednačine hiperbole znamo odnos izmedju k i n: x y2 3 = 1 => a2 = 4, b 2 = 3 a 2 k 2 - b 2 = n 2 4k 2-3 = n 2 4k 2-3 = (3 + 4k) 2 4k 2-3 = k +16k 2 (k+1) 2 = 0 k = -1 n = 1 Jednačina tangente na hiperbolu u tacki M, u eksplicitnom obliku: y = -x +1 Dalje, tražimo tangentu na krug u tački M(4, -3) Kako je koeficijent pravca tangente na hiperbolu k=-1, znajući da je ugao izmedju tangenti prav, zakljucujemo da je koeficijent pravca tangente na krug k' = 1 (iz jednakosti kk' = -1).
7 Iskoristićemo poznatu jednačinu tangente na krug: Ako je M(x1, y1) neka tačka kruga (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2, jednačina tangente kruga u toj tački glasi: (x - a)(x1 - a) + (y - b)(y1 - b) = r 2 Zamenom poznatih veličina i koordinate centra kruga u jednačinu dobijamo: (x - c)(4 - c) - 3y = r 2 4x - xc - 4c + c 2-3y = r 2 y = (4 c) 3 k' = 4 c 3 = 1 c = 1 C(1, 0) x (c2-4c - r 2 ) r = SM = (1 4) = 18 Jednačina traženog kruga je: (x - 1) 2 + y 2 = Naći jednačine tangenti hiperbole x 2-12y 2 = 12 koje sa x-osom obrazuju uglove ± π 6.
8 Rešenje x y2 = 1 Koeficijent pravca tangenti računamo kao tangens ugla koji obrazuju sa x - osom: k 1 = tg π 6 = 3 3 k 2 = tg( π 6 ) = Jednačina tangente y = kx + n mora da zadovoljava uslov dodira: a 2 k 2 - b 2 = n 2 n 2 = 3, odnosno n= ± 3 Dobili smo 4 jednačine tangenti, od kojih prve dve grade ugao π 6, a druge dve ugao π 6 osom: 3y - x +3 = 0, 3y - x -3 = 0, 3y + x +3 = 0, 3y + x -3 = 0. sa x-
9 Parabola Definicija: Parabola je skup tačaka u ravni sa osobinom da je rastojanje svake tačke od jedne stalne tačke jednako odstojanju te tačke od jedne stalne prave. Stalna tačka F( p, 0) je žiža parabole, a stalna prava čija je jednačina x + p = 0 je direktrisa 2 2 parabole. Odstojanje tačke F od direktrise obeležava se sa p i naziva se parametar parabole; koordinatni početak je teme parabole. Jednačina parabole Jednačina y 2 = 2px predstavlja konačni oblik jednačine parabole, koja pripada desnoj polupravi, ima teme u koordinatnom početku, a osa joj se poklapa sa osom Ox. Uslov da prava dodiruje parabolu. Prava y = kx + n dodiruje parabolu y 2 = 2px ako je p = 2kn. Pored ove parabole postoji još vrsta parabola sa jednačinama y 2 = 2px, x 2 = 2py, x 2 = 2py. ZADACI 1. Odrediti jednačinu parabole y 2 = 2px koja sadrži tačku M(2, 4). Rešenje: Dakle, jednačina parabole je y 2 = 8x. ( 4) 2 = 2p 2 p = 16 4 = 4
10 2. Sečica parabole y 2 = 8x sadrži žižu i tačku čija je apcisa 4,5, a ordinata pozitivna. Napisati jednačinu sečice. Rеšеnjе: Sеčicа је prаvа kоја sеčе krivu drugоg реdа, dаklе imа 2 zајеdničkе tаčkе sа tоm krivоm. Žižа оvе pараbоlе је dаklе tаčkа F(2,0). 2p = 8 p = 8 2 = 4 p 2 = 2 Drugu kооrdinаtu tаčkе M nаći ćеmо pоmоću јеdnаčinе pараbоlе: јер nаm је rеčеnо dа је оrdinаtа pоzitivnа. Јеdnаčinа sеčicе: y M 2 = 8 4,5 = 36 y M = 6 y y M = y M y F x M x F (x x M ) y 6 = 6 0 (x 2) 4,5 2 y = 12 5 x Nаpisаti јеdnаčinu kružnicе čiјi је cеntар u žiži pараbоlе y 2 = 2px i dоdiruје njеnu dirеktrisu. Rеšеnjе: Žižа pаrаbоlе је tаčkа F( p, 0), а dirеktrisа prаvа x + p = 0, dаklе tаčkа оvе prаvе kоја lеži nа 2 2 x-оsi је M( p, 0). Rаstојаnjе izmеđu оvе dvе tаčkе iznоsi p, štо је uprаvо pоluprеčnik trаžеnе 2 kružnicе i sаdа imаmо svе štо је pоtrеbnо zа njеgоvu јеdnаčinu: (x p 2 )2 + y 2 = p 2 4. Dаtа је pаrаbоlа y 2 = 4x. Оdrеditi јеdnаčinu tеtivе pаrаbоlе, kојој је tаčkа M( 2, 1) srеdištе. Rеšеnjе: Nеkа је AB trаžеnа tеtivа. Tаčkа M( 2, 1) је srеdištе tе duži, pа imаmо dа vаži:
11 x A + x B = 2 x 2 A + x B = 4 y A + y B 2 = 1 y A + y B = 2 Оvе dvе tаčkе pripаdајu i pаrаbоli, pа zаmеnоm njihоvih kооrdinаtа u јеdnаčinu pаrаbоlе dоbiјаmо: y А 2 = 4x A y B 2 = 4x B Nа оvај nаčin smо dоbili 4 јеdnаčinе sа 4 nеpоznаtе i njihovim rеšаvаnjеm dоbiјаmо slеdеćе vrеdnоsti: x A = x B = y A = 1 7 y AB = Оstаје јоš dа dоbiјеmо јеdnаčinu tеtivе, pоmоću fоrmulе: Zаmеnоm vrеdnоsti i srеđivаnjеm dоbiјаmо: y y A = y B y A x B x A (x x A ) y = 2x Iz tаčkе M( 2, 2) kоnstruisаnе su tаngеntе nа pаrаbоlu y 2 = 16x. Оdrеditi јеdnаčinе tih tаngеnti. Rеšеnjе: 2p = 16 p = 8 t: y = kx + n, M(2,2) ϵ t 2 = 2k + n n = 2k 2 Tаkоđе mоrа dа vаži p = 2kn, tј. 8 = 2kn Dаlјim rеšаvаnjеm оvе dvе јеdnаčinе sа 2 nеpоznаtе dоbiјаmо slеdеćа rеšеnjа, tј. imаćеmо 2 tаngеntе:
12 k 1 = 1, n 1 = 4 k 2 = 2, n 2 = 2 Trаžеnе tаngеntе su: t 1 : y = x 4 t 2 : y = 2x Nаpisаti јеdnаčinе zајеdničkih tаngеnti krivih y 2 = 4x i x 2 + y 2 2x 9 = 0. Rеšеnjе: Nајprе ćеmо drugu јеdnаčinu nаpisаti u оpštеm оbliku јеdnаčinе kružnicе: (x 1) 2 + y 2 = 10 štо је zаprаvо kružnicа sа cеntrоm u C(1,0), а tо sе pоklаpа sа žižоm pаrаbоlе F(1,0), pоluprеčnikа 10. Trаžеnu tаngеntu y = kx + n ćеmо nаći pоmоću uslоvа dоdirа sа pаrаbоlоm i kružnicоm, tј: p = 2kn i r 2 (1 + k 2 ) = (kc 1 c 2 + n) 2, gdе su c 1 i c 2 kооrdinаtе cеntrа kružnicе. Dаklе: 2 = 2kn 10(1 + k 2 ) = (k +n) 2 Rеšаvаnjеm dоbiјаmо k 1,2 = ± 1 i n 3 1,2 = ±3, tј. dvе tаngеntе: t 1 : y = 1 3 x + 3 t 2 : y = 1 3 x 3 7. Nа pаrаbоli y 2 = 8x kоnstruisаnе su tаngеntе u tаčkаmа M(2, y > 0), N(2, y < 0), P(8, y > 0) kоје оbrаzuјu trоugао ABC. Оdrеditi јеdnаčinu kružnicе оpsаnе оkо trоuglа ABC i ispitаti dа li žižа pripаdа kružnici. Rеšеnjе: Nајprе ćеmо оdrеditi y kооrdinаtu tаčаkа M, N i P zаmеnоm vrеdnоsti x kоорdinаtе u јеdnаčinu pаrаbоlе i dоbiјаmо:
13 M(2,4), N(2, 4), P(8,8) Slеdеćе је nаći tаngеntе nа pаrаbоlu u оvim tаčkаmа pоmоću uslоvа dоdirа p = 2kn t M : y = kx + n 4 = 2k + n i p = 2k + n 4 = 2kn Rеšаvаnjеm dоbiјаmо: t M : y = x + 2 Sličnо nаlаzimо tаngеntе t N i t P : t N : y = x 2 t P : y = 1 2 x + 4 U prеsеku t M i t N, izјеdnаčаvаnjеm јеdnаčinа x + 2 = x 2, dоbiјаmо tаčku A( 2,0), sličnо iz t M t P dоbiјаmо tаčku B(4,6) i iz t N t P dоbiјаmо tаčku C( 4,2). Sаdа trеbа dа nаđеmо kооrdinаtе cеntrа kružnicе O(o 1, o 2 ) i pоluprеčnik kružnicе r, а tо је lаkо јер znаmо dа је cеntаr udаlјеn оd tаčkе A istо kао i оd tаčаkа B i C i dа iznоsi r. r 2 = (o 1 4) 2 + (o 1 6) 2 Оvо је bilо rаstојаnjе cеntrа оd tаčkе B(4,6), а slеdеćа јеdnаkоst prеdstаvlја rаstојаnjе cеntrа оd tаčkе C( 4,2): r 2 = (o 1 + 4) 2 + (o 1 2) 2 Izјеdnаčаvаnjеm оvе dvе јеdnаčinе i rеšаvаnjеm dоbiјаmо dа је : o 1 = 0 o 2 = 4 Cеntаr kružncicе је tаčkа O(0,4), а vrаćаnjеm оvih vrеdnоsti u јеdnu оd prеthоdnе dvе јеdnаkоsti dоbiјаmо dа је pоluprеčnik r = 20, pа је јеdnаčinа kružnicе: x 2 + (y 4) 2 = 20 Оstаје dа vidimо dа li žižа pаrаbоlе F(2,0) pripаdа оvој kružnici: dаklе pripаdа ( 4) 2 = = 20 = r 2
14 8. Sаstаviti јеdnаčinu gеоmеtрiјskоg mеstа cеntаrа kružnicа kојi dоdiruјu kružnicu x 2 + y 2 6x + 5 = 0 i y-оsu. Rеšеnjе: Nајprе ćеmо trаnsfоrmisаti јеdnаčinu kružnicе: (x 3) 2 + y 2 = 4 Dаklе, cеntаr је u tаčki C(3,0) i pоluprеčnik је r = 2. Nеkа је tаčkа A(x, y) cеntаr kružnicе kоја dоdiruје dаtu kružnicu i y-оsu, tаdа znаmо dа pоluprеčnik оvе kružnicе iznоsi r A = x bаš zbоg uslоvа dоdirа sа y-оsоm. А iz prvоg uslоvа zаklјučuјеmо dа је rаstојаnjе izmеđu tаčаkа A i C bаš r + r A јеr sе оvе dvе kružnicе dоdiruјu. Dаklе, imаmо јеdnаkоst: tј. Srеđivаnjеm dоbiјаmо јеdnаčinu: (x 3) 2 + y 2 = (r + r A ) 2 (x 3) 2 + y 2 = (2 + x) 2 y 2 = 10x 5 i zаklјučuјеmо dа је gеоmеtriјskо mеstо zаprаvо pаrаbоlа. Mehanički način crtanja parabole Znamo da je parabola skup svih tačaka M u ravni koje su jednako udaljene od jedne fiksne tačke F te ravni, koju nazivamo žiža ili fokus parabole, i van nje jedne stalne prave d iste ravni, koju nazivamo direktrisa. Jedan način crtanja parabole prema prethodno navedenom je tzv. mehanički.
15 Uzmemo trougao (trougaoni lenjir) ABC, sa pravim uglom u temenu C, kao na slici ispod, i konac dužine AC. Jedan kraj konca učvrstimo u temenu A, a drugi u fokusu F. Ako stranica BC klizi po direktrisi d, a konac se zateže olovkom čiji je vrh stalno uz stranicu AC, onda tačka M, u kojoj se nalazi vrh olovke opisuje luk parabole sa direktrisom d, i fokusom F. Lako see vidi da je uvek MF = MA. Mehanički način crtanja hiperbole Znamo da je razlika rastojannja ma koje tačke hiperbole od njenih žiža konstantno. Preciznije rečeno, ako je tačka M(x, y) na hiperboči čije su žiže F i F tada je: F M FM = 2a. Sada se na prethodno iznesenom zasniva sledeće mehaničko crtanje hiperbole. Postavimo lenjir tako da mu je jedan kraj pričvršćen u tački F oko koje se lenjir može okretati. Krajeve konca dužine manje od dužine lenjira pričvrstimo u tačkama F i G, gde je G drugi kraj lenjira. Vrhom olovke zategnemo konac, tako da vrh klizi duž lenjira koji se okreće oko tačke F. Kretanje vrha olovke opisuje hiperbolu, kao na slici ispod.
16 ZADACI 1. Do tačke M(15 4, 3) hiperbole 16x 2 9y 2 = 144 povučeni su radijus vektori. Dokazati da je simetrala ugla između njih tangenta hiperbole u datoj tački. Rešenje: Jednačina tangente u tački M(15 4, 3) je: x 9 3 y = 144 tj. 4 20x 9y 48 = 0 Fokusi hiperbole su F 1 2 (±5, 0) pa su jednačine radijus vektora r 1 i r 2 : 12x 35y + 60 = 0 i 12x + 5y 60 = 0 Jednačina simetrale ugla između ovih radijus vektora je: 12x 35y x 35y + 60 = ( 35) tj. 600x 270y 1440 = 0 odnosno 20x 9y 48 = 0, a to je identično jednačini tangente.
17 2. Mlaz vode iz hidranta ima oblik parabole. Izraziti jednačinu parabole, ako se zna da mlaz postiže visinu od 18m na horizontalnoj udaljenosti 28m od hidranta. Rešenje: Opšti oblik parabole, koja je otvorena prema dole: x 2 = 4py Hidrant je u koordinatnom početku, pa imamo: Vrh je u: (x 28) 2 = 4p(y 18) V(28, 18) (0 28) 2 = 4p(0 18) 4p = 282 Pa je jednačina parabole: 18 x 2 = 4py (x 28) 2 = (y 18) 3. Zadate su dve parabole: Prva ima vrh u fokusu druge parabole i svoj fokus u vrhu druge parabole. Ako je druga parabola zadata jednačinom y 2 = 4x, odrediti jednačinu prve. Rešenje:
18 y 2 2 = 4px = 4x 4p = 4 p = 1 Fokus je u F(1, 0), p > 0 i parabola je otvorena u desno. Prva parabola ima vrh u fokusu druge, tj V 1 (1,0) a fokus u vrhu, F(0, 0): Iz postavke zadatka, mora biti p < 0: y 1 2 = 4px = (4p)(x x V ) = 4 1(x 1) y 2 = 4x + 4 y 2 + 4x 4 = 0 4. U građevinama sa specijalnim akustičkim karakteristikama moguće je čuti šapat ako se posetioc nalazi u fokusima elipsastog svoda. Ako je presek hale, elipsa čija je jednačina 36x y 2 = 8100, odrediti udaljenost šaptača i slušaoca. Rešenje: 36x y 2 = 8100 x y2 36 = 1 {a2 = 225 b 2 = 36 c 2 = a 2 b 2 = = 189 Udaljenost između fokusa : l = 2c = = m 5. Koncentrične hiperbole su one koje imaju zamenjene poluose. Zatata je hiperbola sa vrhom u V(0,1) i fokusom u F(0, 3). Odrediti hiperbolu koncentričnu zadatoj. Rešenje:
19 2 2 y V a 2 x V b 2 = 1 a = 1; c2 = ( 3) 2 = a 2 + b 2 = 1 + b 2 b 2 = 3 1 = 2 Jednačina hiperbole je: y 2 1 x2 2 = 1 2y2 x 2 = 2 Jednačina koncentrične hiperbole: x 2 a 2 y2 = 1 V(1, 0) F( 3, 0) b2 c 2 = ( 3) 2 = a 2 + b 2 = 1 + b 2 b 2 = 3 1 = 2 x 2 1 y2 2 = 1 2x2 y 2 = 2 6. Poprečni presek cisterne za gorivo je elipsa čija je jednačina x 2 + 6y 2 = 6. Koliko goriva može da stane u cisternu ako je njena dužina 6m. Rešenje: x 2 + 6y 2 = 6 x2 6 + y2 = 1 a = 6, b = 1 1 Površina elipse se dobija po formuli: P e = abπ P e = 6 1 π Pa u cisternu može stati: V c = 6 P e = 6 6 π = m 3 goriva.
20 Autori rada: Mina Prokić, Maša Obradović, Jelena Ljuboja, Jovana Dubljanin, Marina Radojičić, Jovana Kubura, Milan Krstić, Milan Ljuboja
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija - vežbe
Analitička geometrija - vežbe Milica Žigić May 25, 2017 1 Pravougli koordinatni sistem i rastojanje izmed u tačaka 1. Na brojnoj osi ucrtati tačke A( 3), B( 8 3 ) i C(0). 2. (a) Na brojnoj osi ucrtati
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y
. ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραO trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραRAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.
RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,
Διαβάστε περισσότεραPRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT
PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje prijemnog ispita na Građevinskom fakultetu
Διαβάστε περισσότεραSlika 9: Izometrijske transformacije koordinata. Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom
e 2 f 2 e 2 φ + π 2 Q f 1= f 1 φ e 1 O e 1 f 2 Slika 9: Izometrijske transformacije koordinata Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom Teorema 3.1 Formule transformacija koordinata ravni iz ortonormiranog
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 3: Analitička geometrija u ravni
Geometrija (I smer) deo 3: Analitička geometrija u ravni Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd 19. novembar 2014. Prava u ravni Prava p je zadata tačkom P(x 0, y 0 ) p i normalnim vektorom n
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραPROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz Euklidske geometrije II
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
Διαβάστε περισσότερα1.1 Tangentna ravan i normala površi
Površi. Tangentna ravan i normala površi Zadatak Data je površ r(u, v) = (u cos v, u sin v, a 2 u 2 ), a = const. Ispitati o kojoj se površi radi i odrediti u i v linije. Zadatak 2 Data je površ r(u, v)
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Geometrije 4
Zadaci iz Geometrije 4 - za rad na vežbama - 3. maj 2017. 1 Stereometrija 1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice a. Dokazati da je tetraedar ACB 1 D 1 pravilan i odrediti mu dužinu ivice. 2. Dat je
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραRacionalni algebarski izrazi
. Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:
Διαβάστε περισσότεραKompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.
Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivni zadaci. Uvod
Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,
Διαβάστε περισσότεραZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD
ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραSli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραParabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραTehnologija bušenja II
INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1
Elementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1 Trougao Računanje uglova u trouglu 1. Težišnica i visina iz vrha A u ABC djele ugao α na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla ABC. 2. U trouglu
Διαβάστε περισσότεραMilan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015
Milan Merkle M A T E M A T I K A (radni naslov) III Verzija (1999-23), novembar 215 Sadržaj: Analitička geometrija Funkcije više promenljivih Integrali (krivolinijski, višetruki, površinski) Kompleksna
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija u ravnini
Analitička geometrija u ravnini September 5, 2008 1 Vektori u koordinatnom sustavu 1.1 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu pravokutni koordinatni sustav potpuno je odred en ishodištem jediničnim vektorima
Διαβάστε περισσότερα(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)
Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραAko dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.
Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραMETODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραMatematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora
Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα1. APSOLUTNA GEOMETRIJA
1. APSOLUTNA GEOMETRIJA Euklidska geometrija izvedena sintetičkim metodom zasniva se na aksiomama koje su podeljene u pet grupa i to: aksiome rasporeda, aksiome incidencije, aksiome podudarnosti, aksiome
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost
Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014
Διαβάστε περισσότεραOTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
Διαβάστε περισσότεραAksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα7.5. KOORDINATNI SISTEMI
- 84-75 KOORDINATNI SISTEMI 75 Dekartov desni pravougli koordinatni sistem U paragrafu 73 definisali smo desni pravougli koordinatni sistem (O;i, j, k) gdje su: (a) koordinatni početak ili ishodište O
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα