Πρόβληµα Απόκρυψης. Ποιο είναι το εµφανές αντικείµενο (χρώµα) σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής;

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πρόβληµα Απόκρυψης. Ποιο είναι το εµφανές αντικείµενο (χρώµα) σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής;"

Transcript

1 Πρόβληµα Απόκρυψης Ποιο είναι το εµφανές αντικείµενο (χρώµα) σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής; Σ Εµφανές αντικείµενο στο σηµείο Σ Επίπεδο προβολής Χωρίζονται σε αλγόριθµους απόκρυψης ακµών και επιφανειών. Χρησιµοποιούν άµεσα ή έµµεσα ταξινόµηση στις διαστάσεις X Y και Z. 8.

2 Αλγόριθµοι Απόκρυψης Χωρίζονται σε αλγόριθµους χώρου αντικειµένων και αλγόριθµους χώρου εικόνας. Αλγόριθµοι χώρου αντικειµένων συγκρίνουν αντικείµενα µεταξύ τους για να βρουν το πλησιέστερο σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής: Για κάθε αντικείµενο π {Εύρεση των ορατών τµηµάτων του π µέσω σύγκρισης (Χ,Υ,Ζ) µε όλα τα άλλα αντικείµενα; Χρωµατισµός των ορατών τµηµάτων του π στην οθόνη } Αλγόριθµοι χώρου εικόνας έχουν την εξής µορφή: Για κάθε pixel ρ της εικόνας {Εύρεση του πλησιέστερου αντικειµένου που τέµνεται από την ακτίνα προβολής που περνά από το ρ; Χρωµατισµός του ρ µε το χρώµα του πλησιέστερου αντικειµένου στο σηµείο τοµής } 2 ( ) Αλγόριθµοι χώρου αντικειµένων είναι O Π ενώ αλγόριθµοι χώρου εικόνας είναι O( Π Ρ) όπου Π οαριθµός των πολυγώνων και P οαριθµός των pixels. 8.2

3 Αλγόριθµοι Απόκρυψης Υπολογιστική ακρίβεια. Αλγόριθµοι χώρου εικόνας: ακρίβεια που απαιτεί η ανάλυση της εικόνας. Αλγόριθµοι χώρου αντικειµένων: ακρίβεια ορισµού αντικειµένων (=ακρίβεια υπολογιστή). Θέση στη γραφική σωλήνωση εξόδου. Αλγόριθµοι χώρου αντικειµένων: µετά την προβολή (διακεκοµµένη γραµµή). Αλγόριθµοι χώρου εικόνας: ενσωµατώνονται στη διαδικασία παράστασης στην οθόνη. ιαγραφή πίσω επιφανειών. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3 Μαθηµατικά Μοντέλα ΣΣΑ 3 Μετασχ/σµοί Μοντέλου ΠΣΣ (WCS) 3 Μετασχ/σµός Παρατήρησης ΣΣΠ (ECS) ιαγραφή Πίσω Επιφανειών 3 Αποκοπή Είσοδοι (για κάθε καρέ) Παράσταση Στην Οθόνη: Σάρωση Αντιταύτιση Φωτισµός Υφή Απόκρυψη Ακµών/ Επιφανειών 2 D ΣΣΟ 2 (SCS) Προβολή 8.3

4 Αλγόριθµοι Απόκρυψης Τεχνικές βελτίωσης αποτελεσµατικότητας αλγορίθµων απόκρυψης. Εκµετάλλευση προοπτικού µετασχηµατισµού. Εκµετάλλευση συνάφειας. Περιβάλλοντες όγκοι. ιαµερισµός χώρου. 8.4

5 Προοπτικός Μετασχηµατισµός Σ ( ) ( ) Ζήτηµα απόκρυψηςµεταξύ δύο σηµείων x,y,z και Σ2 x2,y2,z2 υπάρχει µόνο αν τα δύο σηµεία βρίσκονται πάνω στην ίδια ακτίνα προβολής. Y Π Y Π Σ Σ 2 Ακτίνες προβολής Σ Σ 2 Ακτίνες προβολής X Π Παράλληλη προβολή Z Π X Π Προοπτική προβολή Z Π Συνθήκη απόκρυψης στην παράλληλη προβολή. ( x = x2 ) & ( y = y2 ) Συνθήκη απόκρυψης στην προοπτική προβολή. ( x / z = x2 / z2 ) & ( y / z = y2 / z2 ) Απαιτεί (ακριβή) διαίρεση µε z. Η διαίρεση αυτή γίνεται κατά την προοπτική προβολή. Η προοπτική προβολή µετατρέπει τις ακτίνες προβολής σε παράλληλες. Φυλάµε z συντεταγµένη για σύγκριση βάθους. 8.5

6 Συνάφεια Συνάφεια: ιδιότητα γεωµετρικών οντοτήτων να διατηρούν τοπικά σταθερές τις τιµές των χαρακτηριστικών τους ή να τις µεταβάλλουν οµαλά. Π.χ. αυξητικός υπολογίσµος z σηµείων πολυγώνου. Είδη συνάφειας: Συνάφεια ακµής. Συνάφεια επιφάνειας. Συνάφεια γραµµών σάρωσης. Συνάφεια καρέ. 8.6

7 Περιβάλλοντες Όγκοι Απλούστεροι όγκοι από τα αντικείµενα που περιβάλλουν για µείωση κόστους συγκρίσεων κατά την ταξινόµηση στις διαστάσεις Χ, Υ και Ζ. Συχνά έχουν τη µορφή ορθογώνιου παραλληλογράµµου (2 ) ή ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου (3 ). Οχι απαραίτητα κλειστοί. Αν οι περιβάλλοντες όγκοι δύο αντικειµένων δεν τέµνονται τότε ούτε τα αντικείµενα τέµνονται. Το αντίθετο δεν ισχύει πάντα. 8.7

8 ιαµερισµός Χώρου ιαµέριση χώρου σε σύνολο διατεταγµένων µερών (π.χ. voxels). Τα µέρη του χώρου που καταλαµβάνει ένα αντικείµενο ορίζουν έµµεσα τη διάταξή του σε σχέση µε άλλα αντικείµενα. 8.8

9 ιαγραφή Πίσω Επιφανειών Αν η γωνία µεταξύ V και N είναι > 90 τότε η επιφάνεια είναι πίσω (αόρατη). V N < 90 < 90 B Γ > 90 A Μια επιφάνεια είναι ορατή αν V N = Vx N x + Vy N y + Vz N Μειώνει όγκο δεδοµένων κατά ~50%. Λύνει πρόβληµα απόκρυψης για ένα κυρτό αντικείµενο. z > 0 8.9

10 ιαγραφή Πίσω Επιφανειών Λειτουργείστοχώροαντικειµένων και είναι O Π. V µπορεί να υπολογισθεί από µία κορυφή P της επιφάνειας. Αν ο παρατηρητής βρίσκεται στο κέντρο του ΣΣΠ τότε V = P µπορεί να υπολογισθεί από 3 διαδοχικές, µη συγγραµµικές κορυφές P P2 και N = A B = P P P N ( ) ( ) N 2 3 P P A B 3 P 2 ( ) Προσοχή A B B A. Χρήση σειράς κορυφών. P P3 8.0

11 Αλγόριθµοι Απόκρυψης Επιφανειών Ακολούθησαν την εµφάνιση της πλεγµατικής οθόνης. 4 Βασικές κατηγορίες. z-buffer (πιο διαδεδοµένος). scanline. ταξινόµηση κατά βάθος. υποδιαίρεση επιφάνειας. 8.

12 Αλγόριθµοι Απόκρυψης Επιφανειών Βασική πράξη: σύγκριση βάθους 2 στοιχείων µε ίδιοχυ. Η προοπτική προβολή διευκολύνει. Μετατρέπει ακτίνες προβολής ώστε να είναι παράλληλες του Z. Ίσες αποστάσεις στον Ζ π δεν µετασχηµατίζονται σε ίσες αποστάσεις στον Ζ ο. Ζ ο µεταβάλλεται ταχύτερα καθώς πλησιάζει τη µέγιστη τιµή του (). Y Π X Π Z Π Y O Πρoοπτική προβολή Z O X O 8.2

13 Αλγόριθµος z-buffer Απαιτεί ύπαρξη µνήµης βάθους (z-buffer) για κάθε pixel. Οι τιµές βάθους βρίσκονται (για τα περισσότερα σχήµατα) µε παρεµβολή. Έµµεση ταξινόµηση. Για κάθε pixel ο z-buffer φυλάει την ελάχιστη (ως τώρα) τιµή βάθουςστο pixel αυτό. Αρχικοποίηση στο µέγιστο z (πίσω επίπεδο αποκοπής). 8.3

14 Αλγόριθµος z-buffer /* Αλγόριθµος z-buffer */ /* Αρχικοποίηση: m,n οι διαστάσεις της οθόνης */ for (x=0; x<m; x++) { for (y=0; y<n; y++) { z_buffer[x,y]=f; frame_buffer[x,y]=background; } } /*Επεξεργασία πολυγώνων*/ for (π=0; π<number_of_polygons(); π++) { /*Επεξεργασία scanlines πολυγώνου ymin ymax*/ for (y=ymin; y<=ymax; y++) { } /*Βρες µε γραµµική παρεµβολή µεταξύ των αντίστοιχων κορυφών, τις τιµές τοµής µε scanline y :xleft,xright τις τιµές βάθους στις τοµές :zleft,zright τις τιµές χρωµατισµού στις τοµές :cleft,cright*/ for (x=xleft; x<=xright; x++) { } 8.4 /*µέγιστο βάθος*/ /*φόντο*/ /*Βρες µε γραµµική παρεµβολή µεταξύ xleft και xright την τιµή βάθους z και χρώµατος c σε κάθε pixel x,y*/ if (z<z_buffer[x,y]) { z_buffer[x,y]=z; frame_buffer[x,y]=c; } }

15 Αλγόριθµος z-buffer Τοµές πλευρών πολυγώνου µε scanlines βρίσκονται µε λίστα ενεργών πλευρών. Γραµµική παρεµβολή z. z z z a β γ = z = z = z α ( z z ) 2 ( z z ) 3 ( z z ) β α y y y y s 2 s 3 x x γ β y y y y x a x a Y o y 3 y 2 ( x, y z ) 2 2, 2 ( x, y z ) 3 3, 3 ( x, y, z ) γ s γ y s ( x, y, z ) a s a ( x, y, z ) β s β γραµµή σάρωσης y ( x, y z ), 8.5

16 Αλγόριθµος z-buffer ( ) O Π S, όπου Π οαριθµός πολυγώνων και S o µέσος αριθµός pixel ανά πολύγωνο. Για τυπικές σκηνές Π S m n (σταθερό). Πλεονεκτήµατα z-buffer: Ευκολία υλοποίησης σε H/W ή S/W. Επεξεργασία πολυγώνων µε τυχαία σειρά. υνατότητα χρήσης για µη πολυγωνικά αντικείµενα (µε συνάρτηση βάθους). Ανάγκη σε µνήµη: Ένας καλός z-buffer απαιτεί 32 bits/pixel. Για ανάλυση 024x024 αυτό συνεπάγεται 4Mbytes. 8.6

17 Ειδικές Εφαρµογές z-buffer Συνδυασµός εικόνων Έστω ( F A, Z A ), ( FB, ZB ) οι frame και z-buffer εικόνων A και Β. ΑκαιΒµπορεί να δηµιουργήθηκαν χωριστά. Συνδυασµός: for (x=0; x<m; x++) for (y=0; y<n; y++) {Z C [x,y]=(z A [x,y]<z B [x,y])?z A [x,y]:z B [x,y]; F C [x,y]=(z A [x,y]<z B [x,y])?f A [x,y]:f B [x,y]; } Τοποθέτηση 3 αντικειµένων σε σκηνή µεχρήσηz-buffer. 3 cursor. εν µεταβάλλουµεπεριεχόµενα z-buffer. 8.7

18 Αλγόριθµοι Απόκρυψης Ακµών Ανάπτυξη την εποχή της διανυσµατικής οθόνης. Σήµερα χρήσιµοι για παράσταση περιγραµµάτων (π.χ. δοκιµές animation). Εξετάζουµε γενικό αλγόριθµογια µη διαφανή πολυγωνικά αντικείµενα που δεν διαπερνά το ένα το άλλο: Βήµα : ιαίρεση ακµών σε τµήµατα που είναι είτε ολικώς εµφανή είτε ολικώς µηεµφανή. Βήµα 2: Καθορισµός, για κάθε τέτοιο τµήµα, εάν είναι εµφανές. 8.8

19 Αλγόριθµος Απόκρυψης Ακµών Λειτουργείστοχώροαντικειµένων µετά τον αποκλεισµόπίσωεπιφανειών, την αποκοπή και την προβολή: Ενα τµήµα ακµής δεν είναι εµφανές µόνο αν κρύβεται από κάποια επιφάνεια (πολύγωνο). Υπολογισµός των σηµείων τοµής της προβολής κάθε ακµής µε τις προβολές των ακµών όλων των άλλων πολυγώνων: Ο(e 2 ) για e ακµές. Με χρήση της παραµετρικής εξίσωσης. Εστω ακµή k = P P 2 και προβολή της k = P P2 k = P + µ ( P2 P ) µε µ [ 0,] Τα n(k') σηµεία τοµής της k' µε άλλεςακµές δίνονται από τιµές της παραµέτρου µ,µ 2,,µ n(k') µ µ 0 2 µ n ( k ) Κάθε ζεύγος (µ i, µ i+ ) ορίζει ένα τµήµα ακµής. 8.9

20 Αλγόριθµος Απόκρυψης Ακµών Καθορισµός ορατότητας τµήµατος ακµής: Αρκεί ο έλεγχος ορατότητας οποιουδήποτε σηµείου του. Εστω το µέσον m του k' µεπαραµετρική τιµή: σ 2 m = P + σ ( µ + µ ) = i i+ ( P P ) (8.) Ορατότητα m εξαρτάται από m της k: m δεν είναι απαραίτητα µέσον της k. 2 Y Π k m m Επίπεδο προβολής l k Z Π X Π 8.20

21 Αλγόριθµος Απόκρυψης Ακµών Απειρα σηµεία της l προβάλοντια στο m. Οµως γνωρίζουµε επιπλέονταάκραp και P 2 της k: m = v m (8.2) m = P + µ ( P2 P ) για κάποιο µ (8.3) Από τις (8.), (8.2) και (8.3) : v ( P + σ ( P2 P )) = P + µ ( P2 P ) (σ δοσµένο, ν, µ άγνωστα, µ το ζητούµενο) Από την προοπτική προβολή: Αρα: d P = = P P2 P2 z z2 P P2 P v d + σ = P + ( P2 P ) z z2 z µ (8.4) d 8.2

22 Αλγόριθµος Απόκρυψης Ακµών Η z-συντεταγµένη της (8.4) είναι: v d = z + µ z Λύνοντας ως προς v και αντικαθιστώντας στην (8.4): z z µ σ P σ µ P2 + σ µ P µ σ z z Η (8.5) ισχύει για οποιαδήποτε P και P2. Χρησιµοποιώντας τα σηµεία µε x = και x 2 =0 και παίρνοντας τη x-συντεταγµένη της (8.5): z σ ( µ ) µ ( σ ) 2 = 0 z Τελικά: σ z µ = σ ( z z2 ) + z2 ( ) 2 z ( ) ( ) ( ) ( ) 2 P 0 2 = 2 (8.5) 8.22

23 Αλγόριθµος Απόκρυψης Ακµών Για διερεύνηση ορατότητας m (συνεπώς k) εξετάζουµε σηµείο τοµής µε επίπεδο κάθε πολυγώνου π που δεν περιέχει την k. l = a m Η l τέµνει το επίπεδο του π στο w Για σηµείο του π, ισχύει w v 0 = a w 0 N = v ( ) 0 Αρα, υπολογίζουµε τοα w (και το ) από την m a w m v 0 N = w ( )

24 Αλγόριθµος Απόκρυψης Ακµών Αν a w > τότε το π βρίσκεται πίσω από την k. Αν aw τότε πρέπει να ελεγχθεί αν το w είναι εσωτερικό του π : Αν είναι, τότε το π καλύπτει το τµήµα τηςk. Αν όχι, τότε το π δεν καλύπτει το τµήµα τηςk (πρέπει βέβαια να εξετασθούν και τα άλλα πολύγωνα). Για αντικείµενα που διαπερνά το ένα το άλλο πρέπει να προστεθούν στη δοµή παράστασης οι ακµές τοµής. 8.24

25 Αλγόριθµος Απόκρυψης Ακµών Βελτίωση απόδοσης (εύρεση τοµών ακµών): Χρήση περιβαλλόντων ορθογώνιων παραλληλογράµµων για µείωση κόστους υπολογισµού τοµών ακµών: u min = min( u, u2), vmin = min( v, v2), umax = max( u, u2), vmax = max( v, v2) V P u max,v max ( ) V P 2 ( ) u max,v max k k P 2 u min,v min ( ) U u min,v min ( ) P U ύο ευθύγραµµα τµήµατα k και k 2 δεν τέµνονται αν: u < u ή u < u ή v < v ή v < v max, min,2 max,2 min, max, min,2 max,2 min, 8.25

26 Αλγόριθµος Απόκρυψης Ακµών Βελτίωση απόδοσης (εύρεση τοµών ακµών): Ταξινόµηση προβολών ακµών σύµφωνα µε αυξανόµενες u min τιµές. υαδική αναζήτηση στην ταξινοµηµένηλίσταπριναπόέλεγχοτοµής. Επεκτείνεται στις u max, v min και v max τιµές. Βελτίωση απόδοσης (έλεγχοι ορατότητας): Χρήση περιβάλλοντος ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου πολυγώνου π κατά τον έλεγχο τοµής µε l. 8.26

27 Αλγόριθµοι Scanline Επέκταση βασικού αλγόριθµου σάρωσης πολυγώνου (πολλά πολύγωνα): Ιδια είδη συνάφειας. Χώρος εικόνας. Τοµές πολυγωνικών 3 αντικειµένων µε επίπεδοy=y s είναι πολύγωνα: Προβολές ακµών των πολυγώνων αυτών στο ΧΥ διαιρούν γραµµή σάρωσης σε span. Σε κάθε span αντιστοιχεί ορατή ακµή (χρώµα αντίστοιχου πολυγώνου). Εύρεση ορατής ακµής µετά από ταξινόµηση ως προς z. Απαγορεύονται πολύγωνα που τέµνονται. Z o Τοµή y=y s s s2 s 3 s4 s Spans X o

28 Αλγόριθµοι Scanline /*Aλγόριθµος scanline*/ ηµιούργησε µε Bucket-sort ένα y-bucket µε πληροφορίες για κάθε πλευρά του πολυγώνου (κεφ. 2); /*Επανάληψη γραµµών σάρωσης*/ for (ys=0; ys<n; ys++) {/*Επανάληψη ενεργών πολυγώνων (που τέµνουν ys)*/ for (π=0; π<max_active; π++) {Εύρεση ακµής τοµής π µε επίπεδο y=ys; Εισαγωγή ακµής σε λίστα ακµών τοµής ταξινοµηµένη ως προς xs; Καθoρισµός span από λίστα ακµών τοµής; /*Επανάληψη span*/ for (s=0; s<max_span; s++) {Αποκοπή ενεργών ακµών (που τέµνουν s) σταόριατουs; Εύρεση βάθους αποκοµµένων ακµώνσεένααπόταάκρατουs; Επιλογή ορατής αποκοµµένης ακµής (ελάχιστο βάθος); Χρωµατισµός ορατής αποκοµµένης ακµής; } } } Χρήση ΛΕΠ για αποδοτικότητα. Απόδοση εξαρτάται από # πολυγώνων και # span. 8.28

29 Αλγόριθµοι Λίστας Προτεραιότητας Ταξινόµηση πολυγώνων κατά βάθος και εµφάνιση µε σωστήσειρά: Οχι πάντα δυνατή (επικάλυψη z-έκτασης, τεµνόµενα πολύγωνα). ιαµερισµός πολυγώνων. Μεγάλη πολυπλοκότητα. Χώρος αντικειµένων, αν αποτέλεσµα θεωρηθεί η ταξινοµηµένη λίστα.. Αλγόριθµος ταξινόµησης κατά βάθος (Newell 972). 2. Αλγόριθµος BSP δένδρου (Fuchs 983). 8.29

30 Αλγόριθµος Ταξινόµησης κατά Βάθος Ταξινόµηση κατά φθίνουσα απόσταση από κέντρο προβολής. Σύγκριση P προ Q δεν είναι πάντα εύκολη. Χρήση περιβάλλοντος παραλληλεπιπέδου [x min (P), y min (P), z min (P)], [x max (P), y max (P), z max (P)]. 8.30

31 Αλγόριθµος Ταξινόµησης κατά Βάθος Απόφαση P προ Q µε 5 ελέγχους αύξουσας πολυπλοκότητας:. εν επικαλύπτονται x-εκτάσεις P και Q. 2. εν επικαλύτπονται y-εκτάσεις P και Q. 3. To P βρίσκεται στον ηµιχώρο του επιπέδου που ορίζεται από το Q στον οποίο δεν βρίσκεται το κέντρο προβολής (σχήµα Α): Πρόσηµο A Q x + BQ y + CQ z + DQ ) Πρόσηµο( AQ 0 + BQ 0 + CQ 0 + D κορυφή (x, y, z) του P. 4. Το Q βρίσκεται στον ηµιχώρο του επιπέδου που ορίζεται από το P στον οποίο βρίσκεται το κέντρο προβολής (σχήµα Β). 5. εν επικαλύπτονται οι προβολές των P και Q στο ΧΥ. ( Q ) X o Q P X o Q P Κέντρο προβολής Α Z o 8.3 Κέντρο προβολής Β Z o

32 Αλγόριθµος Ταξινόµησης κατά Βάθος Αν κανένας από τους παραπάνω 5 ελέγχους δεν ισχύει, γίνεται εναλλαγή των P και Q και επαναλαµβάνονται οι έλεγχοι 3 και 4. Αν και πάλι κανένας δεν ισχύει, κόβουµε το ένα πολύγωνο µε το επίπεδο του άλλου και επαναλαµβάνουµε τους ελέγχους. 8.32

33 Αλγόριθµος BSP ένδρου (Binary Space Partitioning) Εστω επίπεδο Ε που διαχωρίζει σύνολο πολυγώνων σκηνής: Πολύγωνα που βρίσκονται στο ίδιο τµήµα µε σηµείο προβολής δεν µπορεί να αποκρύπτονται από πολύγωνα του άλλου τµήµατος. Χρήση διαχωριστικών επιπέδων που συνεπάγονται λιγότερες τοµές πολυγώνων. ιαχωρισµός σταµατάει όταν ένα σύνολο περιέχει πολύγωνο. Παράσταση σε δένδρο (BSP δένδρο): Εσωτερικοί κόµβοι: επίπεδα διαχωρισµού. Φύλλα = µη περαιτέρω διαχωριζόµενες περιοχές. Λύση προβλήµατος απόκρυψης για θέση παρατήρησης b µε ενδοδιατεταγµένη διαδροµή BSP δένδρου: Εστω διαχωριστικό επίπεδο (πολύγωνο) P (κόµβος δένδρου). Πρώτα παρίστανται τα πολύγωνα του τµήµατος που δεν βρίσκεται το b. Μετά παριστάνεται το P. Τέλος παρίστανται τα πολύγωνα του τµήµατος που βρίσκεται το b. Αναδροµική διαδικασία. 8.33

34 Αλγόριθµοι Υποδιαίρεσης Επιφάνειας Αναδροµική διαίρεση επιπέδου προβολής: Αν πολύγωνο καλύπτει τµήµα πλήρως, τότε αυτό παίρνει το χρώµα του πολυγώνου. Αναδροµήσταµατά επίσης στο µέγεθος του pixel. Εκµετάλλευση συνάφειας επιφάνειας (µεγάλα πολύγωνα, σταθερού χρώµατος). Αλγόριθµος Warnock: Αναδροµή σταµατάαναπόένατµήµα περνάτοπολύ ακµή πολυγώνου. Συγκρίσεις προβολής πολυγώνου P µε περιοχή οθόνης Β. Χρήση περιβάλλοντων ορθογωνίων: P : x P, y P, x P, y P B : [ min ( ) min ( )] [ max ( ) max ( )] [ x ( B), y ( B) ], [ x ( B), y ( B) ] min min max 4 περιπτώσεις σχέσης P και B: (D: Disjoint) P εξωτερικό της Β. (C: Contained) P εσωτερικό της Β. (S: Surrounding) P καλύπτον πλήρως την Β. (I: Intersecting) P τέµνον την Β. Π.χ. σχέση D εξασφαλίζεται εάν ισχύει: x P > x B ή x P < x B 8.34 max ( min ( ) max ( )) ( max ( ) min ( )) ( y ( P) > y ( B) ) ή ( y ( P) < y ( B) ) min max max min ή

35 Αλγόριθµοι Υποδιαίρεσης Επιφάνειας Περιπτώσεις αλγόριθµου Warnock:. Αν για όλα τα πολύγωνα ισχύει η σχέση D, τότε δίνεται στην B το χρώµα του φόντου. 2. Αν υπάρχει µοναδικό P µε σχέσηc µε τηνβ, τότε δίνουµε αρχικά χρώµα φόντου στην Β και µετά εµφανίζουµε τοp. 3. Αν υπάρχει Ρ µε σχέσηs µε τηνβ, χωρίς να υπάρχουν άλλα πολύγωνα πουναπεριέχονταιήνατέµνουν την Β, τότε η Β παίρνει το χρώµα τουρ. 4. Αν υπάρχει Ρ µε σχέσηs µε τηνβ και όλα τα άλλα πολύγωνα που περιέχονται ή τέµνουν την Β βρίσκονται σε µεγαλύτερη απόσταση από τον παρατηρητή, τότε η Β παίρνει το χρώµα του Ρ. 5. ιαφορετικά γίνεται αναδροµική διαίρεση της Β. Σχέση S προϋποθέτει: ( xmin ( P) < xmin ( B) ) & ( xmax ( P) > xmax ( B) ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ymin P < ymin B & ymax P > ymax B και εξασφαλίζεται αν καµία ακµή τουρ δεν τέµνει την Β (αλγόριθµος αποκοπής). & ( x ( P) y ( P) ) max, max ( x ( P) y ( P) ) min, min 8.35

36 Αλγόριθµοι Υποδιαίρεσης Επιφάνειας Αναδροµικές διαιρέσεις Warnock: Μείωση υποδιαιρέσεων µε βάση κορυφές πολυγώνων (Weiler - Atherton): Αλγόριθµοι υποδιαίρεσης περιοχής έχουν µεγάλο κόστος για πεπλεγµένες σκηνές. 8.36

37 Σύγκριση Μεθόδων Απόκρυψης Αλγόριθµος Αριθµός Πολυγωνικών Επιφανειών depth - sort 0,4 0 6, z-buffer 7, , ,5 0 6 Scan - line 0, , Υποδιαίρεση επιφάνειας,

38 Απόκρυψη 3 Μαθηµατικών Επιφανειών Αλγόριθµος κινητού ορίζοντα: Παράσταση F(x, y, z)=0 µε σύνολοκαµπυλών από τοµές της F µε επίπεδα παράλληλα στα XY, XZ ή YZ. Y Z z z 2 z z 5 z 4 3 X Πρέπει να αποκρυφθούν τα τµήµατα καµπυλών που δεν φαίνονται. 8.38

39 Αλγόριθµος Κινητού Ορίζοντα Βασικά βήµατα (έστω τοµές µε επίπεδα παράλληλα στο XY): Ταξινόµηση z-τιµών σύµφωνα µε απόσταση από παρατηρητή. Εύρεση σηµείων της y = f ( x, z) z από πλησιέστερο προς πιο αποµακρυσµένο, στην ανάλυση (x) της οθόνης. Αν, για κάποιο x, ητιµή τουy που παίρνουµε είναι µεγαλύτερη από οποιαδήποτε προηγούµενη τότε η καµπύλη είναι εµφανής στο σηµείο αυτό (χρήση array µέγιστων y-τιµών) Y z z 5 z 4 z 3 2 X 8.39

40 Αλγόριθµος Κινητού Ορίζοντα Πρόβληµα γιακαµπύλες που εµφανίζονται στο κάτω µέρος της επιφάνειας (π.χ. z 5,z 6 ). Y Λύση µε χρήση δεύτερου array y min τιµών και κατάλληλη τροποποίηση αλγορίθµου. z z 6 5 z 4 z 3 z z 2 X 8.40

41 Σκιές Παραµεληµένη περιοχή, παρά τη µεγάληοπτικήσηµασία των σκιών. Εύρεση σκιών εύρεση µη ορατών επιφανειών ως προς φωτεινή πηγή (για σηµειακή πηγή): Χρήση αλγορίθµων απόκρυψης. Για σταθερό σκηνικό και σταθερή θέση φωτεινής πηγής, εύρεση σκιών είναι ανεξάρτητη από θέση παρατηρητή. Απλός αλγόριθµος για σκιά αντικειµένου που βρίσκεται πάνω σε επίπεδη επιφάνεια (Blinn): S = P a L Για την z-συντεταγµένη ισχύει (S z =0): 0 = Αρα S P a l και S = P a l x = x x y y y P a l ή a = z z P l z z 8.4

42 Απόκρυψη και Παρακολούθηση Ακτίνας (Ray Tracing) Αλγόριθµος παρακολούθησης ακτίνας (Whitted): Ακτίνες που ορίζονται από σηµείο παρατήρησης και κάθε pixel ακολουθούνται ώσπου να συναντήσουν αντικείµενο. Εκεί διασπώνται ανάλογα µε µοντέλο. Ουσιαστικά λύνει πρόβληµα απόκρυψης. Επίπεδο προβολής (οθόνη) 8.42

#9 Γραφική Υπολογιστή

#9 Γραφική Υπολογιστή #9 Γραφική Υπολογιστή 1. Βασικοί γραφικοί αλγόριθµοι, 2. Αρχές γραφικών πλεγµατικών οθονών raster 3. Μετασχηµατισµοί 2 και 3 διαστάσεων και συστήµατα συντεταγµένων, 4. Προβολές και µετασχηµατισµοί παρατήρησης,

Διαβάστε περισσότερα

Αποκοπή 4.1. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ) Τµήµα Πληροφορικής 1 2 (SCS) Θέση παρατηρητή. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών

Αποκοπή 4.1. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ) Τµήµα Πληροφορικής 1 2 (SCS) Θέση παρατηρητή. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Αποκοπή Αποκοπή αντικειµένου (π.χ. πολυγώνου) ως προς αντικείµενο αποκοπής (π.χ. πολύγωνο, πυραµίδα, κύβος). Για αποφυγή αντεστραµµένης εµφάνισης αντικειµένων όπισθεν παρατηρητή. Για σηµαντική µείωση όγκου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων

Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων Προσέγγιση µαθηµατικών σχηµάτων από διακριτά pls: Ευθύγραµµο τµήµα, κύκλος, κωνικές τοµές, πολύγωνο. S/W ή H/W. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε 3Δ. 3ο Μάθημα Αποκοπή. Γραφικα. Ευάγγελος Σπύρου

Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε 3Δ. 3ο Μάθημα Αποκοπή. Γραφικα. Ευάγγελος Σπύρου Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε 3Δ Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε

Διαβάστε περισσότερα

Στο Κεφάλαιο 5 µελετώντας την προβολή του τρισδιάστατου χώρου στο επίπεδο της κάµερας εξετάστηκε

Στο Κεφάλαιο 5 µελετώντας την προβολή του τρισδιάστατου χώρου στο επίπεδο της κάµερας εξετάστηκε Κεφάλαιο 6 Αποκοπή (clipping) Στο Κεφάλαιο 5 µελετώντας την προβολή του τρισδιάστατου χώρου στο επίπεδο της κάµερας εξετάστηκε η διαδικασία προβολής µεµονωµένων σηµείων και µόνο προς το τέλος του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικές Σκιές. Θ. Θεοχάρης Ι. Κακαδιάρης - Γ. Πασσαλής

Γεωμετρικές Σκιές. Θ. Θεοχάρης Ι. Κακαδιάρης - Γ. Πασσαλής Γεωμετρικές Σκιές Θ. Θεοχάρης Ι. Κακαδιάρης - Γ. Πασσαλής Περιεχόμενα Σ1 Χαρακτηριστικά Σκιών στα Γραφικά Σ2 Απλές Σκιές Σ3 Σύγχρονοι Αλγόριθμοι Σκιών 2 Εισαγωγή (1) Οι σκιές είναι σημαντικές στην κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, Τ.Ε.Π Π.Μ, Μάθημα: Γραφικά με Η/Υ

Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, Τ.Ε.Π Π.Μ, Μάθημα: Γραφικά με Η/Υ ΓΡΑΦΙΚΑ Γέμισμα ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΕΜΙΣΜΑΤΟΣ Για τις πλεγματικές οθόνες υπάρχουν: Αλγόριθμοι γεμίσματος:, που στηρίζονται στη συνάφεια των pixels του εσωτερικού ενός πολυγώνου Αλγόριθμοι σάρωσης: που στηρίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Γραφικά. Μοντέλο (Πληροφορίες για Περιεχόµενο εικόνας. Επεξεργασία Εικόνων. Εικόνα. Τεχνητή Όραση 1.1. Εργα: : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Εισαγωγή. Γραφικά. Μοντέλο (Πληροφορίες για Περιεχόµενο εικόνας. Επεξεργασία Εικόνων. Εικόνα. Τεχνητή Όραση 1.1. Εργα: : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ Εισαγωγή Μιάεικόνααξίζει1000 λέξεις : Ανθρώπινοοπτικόκανάλι: 30-40 Μbits/s (=64-85 M λέξεις /min µε 4 γράµµατα/λέξη, 7bits/γράµµα). Γραπτό κείµενο: 600-1200 λέξεις/min. 100.000 αποδοτικότερη επικοινωνία

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι Αποκοπή (clip)?

Τι είναι Αποκοπή (clip)? Αποκοπή Τι είναι Αποκοπή (clip)? Η διαδικασία απεικόνισης μόνο των τμημάτων των αντικειμένων που βρίσκονται μέσα σε μια περιοχή Από μεγαλύτερη 2Δ σκηνή στην οποία έχουμε ήδη τιμές για τα piels Κατά την

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics

Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics 1. Βασικοίγραφικοίαλγόριθμοι 2. Αρχέςγραφικώνπλεγματικώνοθονώνraster 3. Μετασχηματισμοί2 και3 διαστάσεωνκαι συστήματασυντεταγμένων 4. Προβολέςκαιμετασχηματισμοίπαρατήρησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods)

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή

Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή Αποκοπή Οι αλγόριθμοι αποκοπής έχουν σχεδιαστεί έτσι ώστε να είναι αποτελεσματικοί στο να εντοπίζουν τα τμήματα μίας σκηνής ή ενός αντικειμένου σε συντεταγμένες προβολής που βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα & Αλγόριθµοι Φωτισµού

Μοντέλα & Αλγόριθµοι Φωτισµού Μοντέλα & Αλγόριθµοι Φωτισµού Μοντέλο φωτισµού: συγκεκριµένη και απλοποιηµένη παράσταση φυσικών νόµων που διέπουν τον φωτισµό. Τοπικό: λαµβάνει υπ όψη µόνο άµεση πρόσπτωση φωτός (π.χ. Phog). Γενικό: λαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering)

Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering) Υφή Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering) Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3D Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης Απομάκρυνση Πίσω Επιφανειών

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διάλεξη #07

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διάλεξη #07 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #07 Γραμμές και Πολύγωνα: Εισαγωγή Αναπαράσταση 2D και 3D Χρωματισμός πολυγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Περικοπής και Απομάκρυνσης Κρυμμένων Επιφανειών

Αλγόριθμοι Περικοπής και Απομάκρυνσης Κρυμμένων Επιφανειών Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 5 Αλγόριθμοι Περικοπής και Απομάκρυνσης Κρυμμένων Επιφανειών Εισαγωγή Το οπτικό μας πεδίο είναι περιορισμένο ενώ παράλληλα υπάρχει παρεμπόδιση μεταξύ αντικειμένων βλέπουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς

Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #08 Αποκοπή (εισαγωγή) Σημειακή Αποκοπή Αποκοπή Ευθύγραμμων Τμημάτων (line

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία. Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006

Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία. Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006 Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006 Επισκόπηση Ετικέτες σε συνιστώσες (Component labelling) Hough μετασχηματισμοί (transforms) Πλησιέστερος

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή Γραφικά με Η/Υ Εισαγωγή Πληροφορίες μαθήματος (1/4) Υπεύθυνος μαθήματος: Μανιτσάρης Αθανάσιος, Καθηγητής ιδάσκοντες: Μανιτσάρης Αθανάσιος: email: manits@uom.gr Μαυρίδης Ιωάννης: email: mavridis@uom.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ Ένα γεωμετρικό μοντέλο είναι μια αριθμητική περιγραφή ενός αντικειμένου, που περιλαμβάνει το μέγεθος, το σχήμα, καθώς και άλλες ιδιότητές του. Η περιγραφή του μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί 2 & 3

Μετασχηµατισµοί 2 & 3 Μετασχηµατισµοί & 3 Περιγράφονται σαν σύνεση βασικών: µετατόπιση αλλαγή κλίµακαςπεριστροφή στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση δεδομένων (data visualization)

Απεικόνιση δεδομένων (data visualization) Απεικόνιση δεδομένων (data visualization) Χρήση γραφικών για την αναπαράσταση δεδομένων από διάφορες πηγές Ιατρικές εφαρμογές (π.χ. αξονική τομογραφία) Μαθηματικά μοντέλα και συναρτήσεις Προσομοίωση διεργασιών

Διαβάστε περισσότερα

Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως

Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Χρώµα: κλάδος φυσικής, φυσιολογίας, ψυχολογίας, τέχνης. Αφορά άµεσα τον προγραµµατιστή των γραφικών. Αν αφαιρέσουµε χρωµατικά χαρακτηριστικά, λαµβάνουµε ασπρόµαυρο φως. Μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών & Εικονική Πραγματικότητα. Μετασχηματισμός απεικόνισης & Αλγόριθμοι αποκοπής

Γραφικά Υπολογιστών & Εικονική Πραγματικότητα. Μετασχηματισμός απεικόνισης & Αλγόριθμοι αποκοπής Γραφικά Υπολογιστών & Εικονική Πραγματικότητα Μετασχηματισμός απεικόνισης & Αλγόριθμοι αποκοπής Βασικές λειτουργίες απεικόνισης μετατροπή του παγκόσμιου συστήματος συντεταγμένων, ενός αντικειμένου, σε

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Παρατήρησης και Προβολές

Μετασχηματισμοί Παρατήρησης και Προβολές Μετασχ. Γραφικά Παρατήρησης Υπολογιστών και Προβολές Μετασχηματισμοί Παρατήρησης και Προβολές Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Στάδια Προβολής στο Επίπεδο Περνάμε από WCS στοτοπικόσύστημα συντεταγμένων του παρατηρητή

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Απεικόνιση Γραφικά ΥφήςΥπολογιστών Απεικόνιση Υφής Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Τι Είναι η Υφή; Η υφή είναι η χωρική διαμόρφωση των ποιοτικών χαρακτηριστικών της επιφάνειας ενός αντικειμένου,

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές. Απαραίτητες αφού 3 αντικείµενα απεικονίζονται σε 2 συσκευές.

Προβολές. Απαραίτητες αφού 3 αντικείµενα απεικονίζονται σε 2 συσκευές. ροβολές Απαραίτητες αφού 3 αντικείµενα απεικονίζονται σε συσκευές. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3 Μαθηµατικά Μοντέλα ΣΣΑ 3 Μετασχ/σµοί Μοντέλου ΣΣ (WCS) 3 Μετασχ/σµός αρατήρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

4ο Μάθημα Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

4ο Μάθημα Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης 4ο Μάθημα Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Εισαγωγή Προοπτική Προβολή Παράλληλη Προβολή Ορθογραφικές Προβολές Πλάγιες Παράλληλες

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ 4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ Ευθείες γραµµές και παραβολικά τµήµατα µπορούν να µοντελοποιηθούν µε τη χρήση κυβικών πολυωνυµικών τµηµάτων. Τα κυκλικά ελλειπτικά ή υπερβολικά τµήµατα όµως προσεγγίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικοί Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 35)

Γεωµετρικοί Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 35) Γεωµετρικοί Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 35) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Γινόµενα σηµεία, τοµή ευθυγράµµων τµηµάτων Εύρεση κυρτών περιβληµάτων: Ο αλγόριθµος του Grm και ο αλγόριθµος του

Διαβάστε περισσότερα

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Αναπαράσταση μοντέλου Το 3D μοντέλο το αποθηκεύουμε στην μνήμη με τις εξής δομές δεδομένων: Λίστα κορυφών Λίστα τριγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Λειτουργία σηµείο γραµµή σε πολύγωνο

Λειτουργία σηµείο γραµµή σε πολύγωνο Λειτουργία σηµείο γραµµή σε πολύγωνο 2 5 7 3 1 6 8 4 2 5 1 6 7 8 3 4 Υπολογισµός του ελάχιστου περιβάλλοντος ορθογώνιου παραλληλόγραµµου του πολυγώνου που εξετάζεται. Ο υπολογισµός αυτών γίνεται εύκολα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΝΤΙΝΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ (MSC) Καθηγητής Εφαρμογών ΚΑΡΔΙΤΣΑ 2010 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΦΩΤΟΑΠΟΔΟΣΗ: ΕΝΝΟΟΥΜΕ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΟΛΩΝ ΕΚΕΙΝΩΝ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών 22D D σχημάτων (ευθεία

Γραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών 22D D σχημάτων (ευθεία Γραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών 2D σχημάτων (ευθεία) Σχεδίαση ευθείας θί με σάρωση (παρουσίαση προβλήματος) σχεδίαση ευθείας AB, με σάρωση, όπου A=(0,1) και B=(5,4) ποιο είναι το επόμενο pixel

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση καμπυλών και επιφανειών

Απεικόνιση καμπυλών και επιφανειών Απεικόνιση καμπυλών και επιφανειών Αφού μοντελοποιήσουμε τα αντικείμενα αλληλεπιδραστικά με καμπύλες και επιφάνειες πρέπει να τα απεικονίσουμε Αν χρησιμοποιούμε ray tracing πρέπει να υπολογίσουμε τομές

Διαβάστε περισσότερα

Προγραµµατιστικές Τεχνικές

Προγραµµατιστικές Τεχνικές Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αγρονόµων Τοπογράφων Μηχανικών Προγραµµατιστικές Τεχνικές Βασίλειος Βεσκούκης ρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Υπολογιστών ΕΜΠ v.vescoukis@cs.ntua.gr Ρωµύλος Κορακίτης

Διαβάστε περισσότερα

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 2 Σκελετοί Λύσεων

Κατ οίκον Εργασία 2 Σκελετοί Λύσεων Κατ οίκον Εργασία 2 Σκελετοί Λύσεων 1. (α) Αλγόριθµος: ηµιούργησε το σύνολο P που αποτελείται από τα άκρα όλων των ευθυγράµµων τµηµάτων. Βρες το κυρτό περίβληµα του P µε τον αλγόριθµο του Graham. Ορθότητα:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Σχήµα 1 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Η κυλινδρική επιφάνεια ή κύλινδρος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας α, (γενέτειρα) η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. 1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων

Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων Προσέγγιση µαθηµατικών σχηµάτων από διακριτά pixels: Ευθύγραµµο τµήµα, κύκλος, κωνικές τοµές, πολύγωνο. S/W ή H/W. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι: ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ Η ΦΥΣΗ ΤΩΝ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ...

ΜΕΡΟΣ Ι: ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ Η ΦΥΣΗ ΤΩΝ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ... ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι: ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ...1 1. Η ΦΥΣΗ ΤΩΝ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ...3 Κατηγορίες των Γεωγραφικών εδοµένων...3 Γεωγραφικές οντότητες...3 ιαστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος B Δημιουργία Συντεταγμένων Υφής

Απεικόνιση Υφής. Μέρος B Δημιουργία Συντεταγμένων Υφής Απεικόνιση Γραφικά ΥφήςΥπολογιστών Απεικόνιση Υφής Μέρος B Δημιουργία Συντεταγμένων Υφής Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Γενικά Είδαμε ότι μπορούμε να αποθηκεύσουμε συντεταγμένες υφής στις κορυφές των τριγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 16_10_2012 ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 2.1 Απεικόνιση του ανάγλυφου Μια εδαφική περιοχή αποτελείται από εξέχουσες και εισέχουσες εδαφικές μορφές. Τα εξέχοντα εδαφικά τμήματα βρίσκονται μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

auth Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - Εξάμηνο 4ο

auth Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - Εξάμηνο 4ο Σχεδίαση Αλγορίθμων Διαίρει και Βασίλευε http://delab.csd.auth.gr/courses/algorithms/ auth 1 Διαίρει και Βασίλευε Η γνωστότερη ρημέθοδος σχεδιασμού αλγορίθμων: 1. Διαιρούμε το στιγμιότυπο του προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση Η/Υ και Πληροφορικής στην Μηχανική

Αξιοποίηση Η/Υ και Πληροφορικής στην Μηχανική ΠΠΜ100 & ΜΜΠ100: Εισαγωγή στην Μηχανική Αξιοποίηση Η/Υ και Πληροφορικής στην Μηχανική ιάλεξη 4 η 2 Οκτωβρίου Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Περιεχόµενα ιάλεξη #1:

Διαβάστε περισσότερα

Η γνώση του αναγλύφου

Η γνώση του αναγλύφου ΨΗΦΙΑΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ε ΑΦΟΥΣ Η γνώση του αναγλύφου συµβάλλει στον προσδιορισµό Ισοϋψών καµπυλών Κλίσεων του εδάφους Προσανατολισµού Ορατότητας Μεταβολών Κατανοµής φωτισµού ιατοµών Χωµατισµών Υδροκρίτη Οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

επιστρέφει το αμέσως μεγαλύτερο από το x στοιχείο του S επιστρέφει το αμέσως μικρότερο από το x στοιχείο του S

επιστρέφει το αμέσως μεγαλύτερο από το x στοιχείο του S επιστρέφει το αμέσως μικρότερο από το x στοιχείο του S Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών,, τα οποίo είναι υποσύνολο του. Υποστηριζόμενες λειτουργίες αναζήτηση(s,x): εισαγωγή(s,x): διαγραφή(s,x): διάδοχος(s,x): προκάτοχος(s,x):

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες)

Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες) Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2015-16 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Τι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Υλοποίηση. Θεωρητική & πρακτική επίδοση αλγορίθµου Υλοποιήσεις σε υλικό ή λογισµικό. Απαιτήσεις της συγκεκριµένης εφαρµογής.

Υλοποίηση. Θεωρητική & πρακτική επίδοση αλγορίθµου Υλοποιήσεις σε υλικό ή λογισµικό. Απαιτήσεις της συγκεκριµένης εφαρµογής. Υλοποίηση Είδαµε τι κάνει η OpenGL, αλλά όχι πως το κάνει. Θα εξετάσουµε αλγορίθµους που χρησιµοποιούνται από τα πακέτα γραφικών για να υλοποιήσουν τις επεξεργασίες που πρέπει να κάνουν. Υλοποίηση Πως

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι 1 Έννοια Ανεπίσημα, ένας αλγόριθμος είναι μια βήμα προς βήμα μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος ή την διεκπεραίωση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Oι οπτικές επιδράσεις, που μπορεί να προκαλέσει μια εικόνα στους χρήστες, αποτελούν ένα από τα σπουδαιότερα αποτελέσματα των λειτουργιών γραφικών με Η/Υ. Τον όρο της οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ

ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Συµπληρωµατικές Σηµειώσεις Προχωρηµένο Επίπεδο Επεξεργασίας Εικόνας Σύνθεση Οπτικού Μωσαϊκού ρ. Γ. Χ. Καρράς Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Μηχανολογικών

Διαβάστε περισσότερα

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

#11 Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως

#11 Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως # Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Χρώµα: κλάδος φυσικής, φυσιολογίας, ψυχολογίας, τέχνης. Αφορά άµεσα τον προγραµµατιστή των γραφικών. Αν αφαιρέσουµε χρωµατικά χαρακτηριστικά, λαµβάνουµε ασπρόµαυρο φως. Μόνο

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι αλγόριθμος; Υποπρογράμματα (υποαλγόριθμοι) Βασικές αλγοριθμικές δομές

Τι είναι αλγόριθμος; Υποπρογράμματα (υποαλγόριθμοι) Βασικές αλγοριθμικές δομές Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2015-16 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Τι είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Ένα σωματίδιο με μάζα m=4 βρίσκεται αρχικά (t=0) στη θέση x=(2,2)

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Διατύπωση Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη από κλέφτες. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM. Μάθηµα : Αλγοριθµικές Βάσεις στη Γεωπληροφορική ιδάσκων : Συµεών Κατσουγιαννόπουλος Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.. Μέθοδοι παρεµβολής. Η παρεµβολή σε ψηφιακό µοντέλο εδάφους (DTM) είναι η διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Αποκοπή στις 3D Διαστάσεις

Γραφικά Υπολογιστών: Αποκοπή στις 3D Διαστάσεις ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Αποκοπή στις 3D Διαστάσεις Πασχάλης Ράπτης ttp://aetos.it.teite.gr/~praptis praptis@it.teite.gr 2 Περιεχόμενα Θα δούμε μερικά demos προοπτικών προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΝΤΙΝΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ (MSc) Καθηγητής Εφαρμογών ΚΑΡΔΙΤΣΑ 2013 ΜΕΡΟΣ 1 0 Τι είναι φωτοαποδοση: Εννοούμε τη διαδικασία καθορισμού όλων εκείνων των στοιχείων και παραμέτρων ώστε

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Διαλέξεις #13-#14 Εισαγωγικά στοιχεία Προοπτική, Παράλληλη, Πλάγια Υπολογισμός Παράλληλης Προβολής Υπολογισμός Προοπτικής Προβολής Παραδείγματα

Διαλέξεις #13-#14 Εισαγωγικά στοιχεία Προοπτική, Παράλληλη, Πλάγια Υπολογισμός Παράλληλης Προβολής Υπολογισμός Προοπτικής Προβολής Παραδείγματα Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διαλέξεις #13-#14 Εισαγωγικά στοιχεία Προοπτική, Παράλληλη, Πλάγια Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012 0B Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Περιεχόμενα Πίνακας Περιεχομένων...2 Περιεχόμενα...2 Προγραμματιστικές λεπτομέρειες υλοποίησης...3 geom.h...3

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική 2. Αλγόριθμοι

Πληροφορική 2. Αλγόριθμοι Πληροφορική 2 Αλγόριθμοι 1 2 Τι είναι αλγόριθμος; Αλγόριθμος είναι ένα διατεταγμένο σύνολο από σαφή βήματα το οποίο παράγει κάποιο αποτέλεσμα και τερματίζεται σε πεπερασμένο χρόνο. Ο αλγόριθμος δέχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ & ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕ ΣΥΓΧΩΝΕΥΣΗ

ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ & ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕ ΣΥΓΧΩΝΕΥΣΗ ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ & ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕ ΣΥΓΧΩΝΕΥΣΗ (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ, Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani, σελ. 55-62 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Κεφάλαιο 5) Δυαδική αναζήτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Ορισµός του Προβλήµατος Ευθυγράµµιση : Εύρεση ενός γεωµετρικού µετασχηµατισµού που ϕέρνει κοντά δύο τρισδιάσ

Εισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Ορισµός του Προβλήµατος Ευθυγράµµιση : Εύρεση ενός γεωµετρικού µετασχηµατισµού που ϕέρνει κοντά δύο τρισδιάσ Εισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Αλγόριθµοι Ευθυγράµµισης Τρισδιάστατων Αντικειµένων Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 20 Οκτωβρίου 2005 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Απόδοση 3D σκηνών - Κινούµενα γραφικά

Απόδοση 3D σκηνών - Κινούµενα γραφικά Απόδοση 3D σκηνών - Κινούµενα γραφικά Περιεχόµενα ενότητας Καταστολή κρυµµένων επιφανειών - Αλγόριθµος z-buffer Τρισδιάστατες επιφάνειες: Κύβος Σφαίρα Κώνος - Κύλινδρος - Κυκλικός δίσκος ακτύλιος Τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστηριακές Ασκήσεις Απεικόνισης - Αποκοπής

Φροντιστηριακές Ασκήσεις Απεικόνισης - Αποκοπής Φροντιστηριακές Άσκηση Βρες τον πίνακα μετασχηματισμού που θα σχεδιάζει σημεία που περιέχονται σε ένα παράθυρο του οποίου η χαμηλότερη αριστερή γωνία είναι στο (3,3) και η ψηλότερη δεξιά γωνία είναι στο

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική παρατήρηση & παρατήρηση με υπολογιστή

Κλασσική παρατήρηση & παρατήρηση με υπολογιστή Κλασσική παρατήρηση & παρατήρηση με υπολογιστή Πολλέςαπότιςεργασίεςσχεδίασης (αρχιτεκτονικό, μηχανολογικό σχέδιο, κινούμενα σχέδια) γίνονται με υπολογιστή Ο χρήστης θα πρέπει να μπορεί να παράξει «κλασικές»

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα