Πρόβληµα Απόκρυψης. Ποιο είναι το εµφανές αντικείµενο (χρώµα) σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής;

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πρόβληµα Απόκρυψης. Ποιο είναι το εµφανές αντικείµενο (χρώµα) σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής;"

Transcript

1 Πρόβληµα Απόκρυψης Ποιο είναι το εµφανές αντικείµενο (χρώµα) σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής; Σ Εµφανές αντικείµενο στο σηµείο Σ Επίπεδο προβολής Χωρίζονται σε αλγόριθµους απόκρυψης ακµών και επιφανειών. Χρησιµοποιούν άµεσα ή έµµεσα ταξινόµηση στις διαστάσεις X Y και Z. 8.

2 Αλγόριθµοι Απόκρυψης Χωρίζονται σε αλγόριθµους χώρου αντικειµένων και αλγόριθµους χώρου εικόνας. Αλγόριθµοι χώρου αντικειµένων συγκρίνουν αντικείµενα µεταξύ τους για να βρουν το πλησιέστερο σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής: Για κάθε αντικείµενο π {Εύρεση των ορατών τµηµάτων του π µέσω σύγκρισης (Χ,Υ,Ζ) µε όλα τα άλλα αντικείµενα; Χρωµατισµός των ορατών τµηµάτων του π στην οθόνη } Αλγόριθµοι χώρου εικόνας έχουν την εξής µορφή: Για κάθε pixel ρ της εικόνας {Εύρεση του πλησιέστερου αντικειµένου που τέµνεται από την ακτίνα προβολής που περνά από το ρ; Χρωµατισµός του ρ µε το χρώµα του πλησιέστερου αντικειµένου στο σηµείο τοµής } 2 ( ) Αλγόριθµοι χώρου αντικειµένων είναι O Π ενώ αλγόριθµοι χώρου εικόνας είναι O( Π Ρ) όπου Π οαριθµός των πολυγώνων και P οαριθµός των pixels. 8.2

3 Αλγόριθµοι Απόκρυψης Υπολογιστική ακρίβεια. Αλγόριθµοι χώρου εικόνας: ακρίβεια που απαιτεί η ανάλυση της εικόνας. Αλγόριθµοι χώρου αντικειµένων: ακρίβεια ορισµού αντικειµένων (=ακρίβεια υπολογιστή). Θέση στη γραφική σωλήνωση εξόδου. Αλγόριθµοι χώρου αντικειµένων: µετά την προβολή (διακεκοµµένη γραµµή). Αλγόριθµοι χώρου εικόνας: ενσωµατώνονται στη διαδικασία παράστασης στην οθόνη. ιαγραφή πίσω επιφανειών. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3 Μαθηµατικά Μοντέλα ΣΣΑ 3 Μετασχ/σµοί Μοντέλου ΠΣΣ (WCS) 3 Μετασχ/σµός Παρατήρησης ΣΣΠ (ECS) ιαγραφή Πίσω Επιφανειών 3 Αποκοπή Είσοδοι (για κάθε καρέ) Παράσταση Στην Οθόνη: Σάρωση Αντιταύτιση Φωτισµός Υφή Απόκρυψη Ακµών/ Επιφανειών 2 D ΣΣΟ 2 (SCS) Προβολή 8.3

4 Αλγόριθµοι Απόκρυψης Τεχνικές βελτίωσης αποτελεσµατικότητας αλγορίθµων απόκρυψης. Εκµετάλλευση προοπτικού µετασχηµατισµού. Εκµετάλλευση συνάφειας. Περιβάλλοντες όγκοι. ιαµερισµός χώρου. 8.4

5 Προοπτικός Μετασχηµατισµός Σ ( ) ( ) Ζήτηµα απόκρυψηςµεταξύ δύο σηµείων x,y,z και Σ2 x2,y2,z2 υπάρχει µόνο αν τα δύο σηµεία βρίσκονται πάνω στην ίδια ακτίνα προβολής. Y Π Y Π Σ Σ 2 Ακτίνες προβολής Σ Σ 2 Ακτίνες προβολής X Π Παράλληλη προβολή Z Π X Π Προοπτική προβολή Z Π Συνθήκη απόκρυψης στην παράλληλη προβολή. ( x = x2 ) & ( y = y2 ) Συνθήκη απόκρυψης στην προοπτική προβολή. ( x / z = x2 / z2 ) & ( y / z = y2 / z2 ) Απαιτεί (ακριβή) διαίρεση µε z. Η διαίρεση αυτή γίνεται κατά την προοπτική προβολή. Η προοπτική προβολή µετατρέπει τις ακτίνες προβολής σε παράλληλες. Φυλάµε z συντεταγµένη για σύγκριση βάθους. 8.5

6 Συνάφεια Συνάφεια: ιδιότητα γεωµετρικών οντοτήτων να διατηρούν τοπικά σταθερές τις τιµές των χαρακτηριστικών τους ή να τις µεταβάλλουν οµαλά. Π.χ. αυξητικός υπολογίσµος z σηµείων πολυγώνου. Είδη συνάφειας: Συνάφεια ακµής. Συνάφεια επιφάνειας. Συνάφεια γραµµών σάρωσης. Συνάφεια καρέ. 8.6

7 Περιβάλλοντες Όγκοι Απλούστεροι όγκοι από τα αντικείµενα που περιβάλλουν για µείωση κόστους συγκρίσεων κατά την ταξινόµηση στις διαστάσεις Χ, Υ και Ζ. Συχνά έχουν τη µορφή ορθογώνιου παραλληλογράµµου (2 ) ή ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου (3 ). Οχι απαραίτητα κλειστοί. Αν οι περιβάλλοντες όγκοι δύο αντικειµένων δεν τέµνονται τότε ούτε τα αντικείµενα τέµνονται. Το αντίθετο δεν ισχύει πάντα. 8.7

8 ιαµερισµός Χώρου ιαµέριση χώρου σε σύνολο διατεταγµένων µερών (π.χ. voxels). Τα µέρη του χώρου που καταλαµβάνει ένα αντικείµενο ορίζουν έµµεσα τη διάταξή του σε σχέση µε άλλα αντικείµενα. 8.8

9 ιαγραφή Πίσω Επιφανειών Αν η γωνία µεταξύ V και N είναι > 90 τότε η επιφάνεια είναι πίσω (αόρατη). V N < 90 < 90 B Γ > 90 A Μια επιφάνεια είναι ορατή αν V N = Vx N x + Vy N y + Vz N Μειώνει όγκο δεδοµένων κατά ~50%. Λύνει πρόβληµα απόκρυψης για ένα κυρτό αντικείµενο. z > 0 8.9

10 ιαγραφή Πίσω Επιφανειών Λειτουργείστοχώροαντικειµένων και είναι O Π. V µπορεί να υπολογισθεί από µία κορυφή P της επιφάνειας. Αν ο παρατηρητής βρίσκεται στο κέντρο του ΣΣΠ τότε V = P µπορεί να υπολογισθεί από 3 διαδοχικές, µη συγγραµµικές κορυφές P P2 και N = A B = P P P N ( ) ( ) N 2 3 P P A B 3 P 2 ( ) Προσοχή A B B A. Χρήση σειράς κορυφών. P P3 8.0

11 Αλγόριθµοι Απόκρυψης Επιφανειών Ακολούθησαν την εµφάνιση της πλεγµατικής οθόνης. 4 Βασικές κατηγορίες. z-buffer (πιο διαδεδοµένος). scanline. ταξινόµηση κατά βάθος. υποδιαίρεση επιφάνειας. 8.

12 Αλγόριθµοι Απόκρυψης Επιφανειών Βασική πράξη: σύγκριση βάθους 2 στοιχείων µε ίδιοχυ. Η προοπτική προβολή διευκολύνει. Μετατρέπει ακτίνες προβολής ώστε να είναι παράλληλες του Z. Ίσες αποστάσεις στον Ζ π δεν µετασχηµατίζονται σε ίσες αποστάσεις στον Ζ ο. Ζ ο µεταβάλλεται ταχύτερα καθώς πλησιάζει τη µέγιστη τιµή του (). Y Π X Π Z Π Y O Πρoοπτική προβολή Z O X O 8.2

13 Αλγόριθµος z-buffer Απαιτεί ύπαρξη µνήµης βάθους (z-buffer) για κάθε pixel. Οι τιµές βάθους βρίσκονται (για τα περισσότερα σχήµατα) µε παρεµβολή. Έµµεση ταξινόµηση. Για κάθε pixel ο z-buffer φυλάει την ελάχιστη (ως τώρα) τιµή βάθουςστο pixel αυτό. Αρχικοποίηση στο µέγιστο z (πίσω επίπεδο αποκοπής). 8.3

14 Αλγόριθµος z-buffer /* Αλγόριθµος z-buffer */ /* Αρχικοποίηση: m,n οι διαστάσεις της οθόνης */ for (x=0; x<m; x++) { for (y=0; y<n; y++) { z_buffer[x,y]=f; frame_buffer[x,y]=background; } } /*Επεξεργασία πολυγώνων*/ for (π=0; π<number_of_polygons(); π++) { /*Επεξεργασία scanlines πολυγώνου ymin ymax*/ for (y=ymin; y<=ymax; y++) { } /*Βρες µε γραµµική παρεµβολή µεταξύ των αντίστοιχων κορυφών, τις τιµές τοµής µε scanline y :xleft,xright τις τιµές βάθους στις τοµές :zleft,zright τις τιµές χρωµατισµού στις τοµές :cleft,cright*/ for (x=xleft; x<=xright; x++) { } 8.4 /*µέγιστο βάθος*/ /*φόντο*/ /*Βρες µε γραµµική παρεµβολή µεταξύ xleft και xright την τιµή βάθους z και χρώµατος c σε κάθε pixel x,y*/ if (z<z_buffer[x,y]) { z_buffer[x,y]=z; frame_buffer[x,y]=c; } }

15 Αλγόριθµος z-buffer Τοµές πλευρών πολυγώνου µε scanlines βρίσκονται µε λίστα ενεργών πλευρών. Γραµµική παρεµβολή z. z z z a β γ = z = z = z α ( z z ) 2 ( z z ) 3 ( z z ) β α y y y y s 2 s 3 x x γ β y y y y x a x a Y o y 3 y 2 ( x, y z ) 2 2, 2 ( x, y z ) 3 3, 3 ( x, y, z ) γ s γ y s ( x, y, z ) a s a ( x, y, z ) β s β γραµµή σάρωσης y ( x, y z ), 8.5

16 Αλγόριθµος z-buffer ( ) O Π S, όπου Π οαριθµός πολυγώνων και S o µέσος αριθµός pixel ανά πολύγωνο. Για τυπικές σκηνές Π S m n (σταθερό). Πλεονεκτήµατα z-buffer: Ευκολία υλοποίησης σε H/W ή S/W. Επεξεργασία πολυγώνων µε τυχαία σειρά. υνατότητα χρήσης για µη πολυγωνικά αντικείµενα (µε συνάρτηση βάθους). Ανάγκη σε µνήµη: Ένας καλός z-buffer απαιτεί 32 bits/pixel. Για ανάλυση 024x024 αυτό συνεπάγεται 4Mbytes. 8.6

17 Ειδικές Εφαρµογές z-buffer Συνδυασµός εικόνων Έστω ( F A, Z A ), ( FB, ZB ) οι frame και z-buffer εικόνων A και Β. ΑκαιΒµπορεί να δηµιουργήθηκαν χωριστά. Συνδυασµός: for (x=0; x<m; x++) for (y=0; y<n; y++) {Z C [x,y]=(z A [x,y]<z B [x,y])?z A [x,y]:z B [x,y]; F C [x,y]=(z A [x,y]<z B [x,y])?f A [x,y]:f B [x,y]; } Τοποθέτηση 3 αντικειµένων σε σκηνή µεχρήσηz-buffer. 3 cursor. εν µεταβάλλουµεπεριεχόµενα z-buffer. 8.7

18 Αλγόριθµοι Απόκρυψης Ακµών Ανάπτυξη την εποχή της διανυσµατικής οθόνης. Σήµερα χρήσιµοι για παράσταση περιγραµµάτων (π.χ. δοκιµές animation). Εξετάζουµε γενικό αλγόριθµογια µη διαφανή πολυγωνικά αντικείµενα που δεν διαπερνά το ένα το άλλο: Βήµα : ιαίρεση ακµών σε τµήµατα που είναι είτε ολικώς εµφανή είτε ολικώς µηεµφανή. Βήµα 2: Καθορισµός, για κάθε τέτοιο τµήµα, εάν είναι εµφανές. 8.8

19 Αλγόριθµος Απόκρυψης Ακµών Λειτουργείστοχώροαντικειµένων µετά τον αποκλεισµόπίσωεπιφανειών, την αποκοπή και την προβολή: Ενα τµήµα ακµής δεν είναι εµφανές µόνο αν κρύβεται από κάποια επιφάνεια (πολύγωνο). Υπολογισµός των σηµείων τοµής της προβολής κάθε ακµής µε τις προβολές των ακµών όλων των άλλων πολυγώνων: Ο(e 2 ) για e ακµές. Με χρήση της παραµετρικής εξίσωσης. Εστω ακµή k = P P 2 και προβολή της k = P P2 k = P + µ ( P2 P ) µε µ [ 0,] Τα n(k') σηµεία τοµής της k' µε άλλεςακµές δίνονται από τιµές της παραµέτρου µ,µ 2,,µ n(k') µ µ 0 2 µ n ( k ) Κάθε ζεύγος (µ i, µ i+ ) ορίζει ένα τµήµα ακµής. 8.9

20 Αλγόριθµος Απόκρυψης Ακµών Καθορισµός ορατότητας τµήµατος ακµής: Αρκεί ο έλεγχος ορατότητας οποιουδήποτε σηµείου του. Εστω το µέσον m του k' µεπαραµετρική τιµή: σ 2 m = P + σ ( µ + µ ) = i i+ ( P P ) (8.) Ορατότητα m εξαρτάται από m της k: m δεν είναι απαραίτητα µέσον της k. 2 Y Π k m m Επίπεδο προβολής l k Z Π X Π 8.20

21 Αλγόριθµος Απόκρυψης Ακµών Απειρα σηµεία της l προβάλοντια στο m. Οµως γνωρίζουµε επιπλέονταάκραp και P 2 της k: m = v m (8.2) m = P + µ ( P2 P ) για κάποιο µ (8.3) Από τις (8.), (8.2) και (8.3) : v ( P + σ ( P2 P )) = P + µ ( P2 P ) (σ δοσµένο, ν, µ άγνωστα, µ το ζητούµενο) Από την προοπτική προβολή: Αρα: d P = = P P2 P2 z z2 P P2 P v d + σ = P + ( P2 P ) z z2 z µ (8.4) d 8.2

22 Αλγόριθµος Απόκρυψης Ακµών Η z-συντεταγµένη της (8.4) είναι: v d = z + µ z Λύνοντας ως προς v και αντικαθιστώντας στην (8.4): z z µ σ P σ µ P2 + σ µ P µ σ z z Η (8.5) ισχύει για οποιαδήποτε P και P2. Χρησιµοποιώντας τα σηµεία µε x = και x 2 =0 και παίρνοντας τη x-συντεταγµένη της (8.5): z σ ( µ ) µ ( σ ) 2 = 0 z Τελικά: σ z µ = σ ( z z2 ) + z2 ( ) 2 z ( ) ( ) ( ) ( ) 2 P 0 2 = 2 (8.5) 8.22

23 Αλγόριθµος Απόκρυψης Ακµών Για διερεύνηση ορατότητας m (συνεπώς k) εξετάζουµε σηµείο τοµής µε επίπεδο κάθε πολυγώνου π που δεν περιέχει την k. l = a m Η l τέµνει το επίπεδο του π στο w Για σηµείο του π, ισχύει w v 0 = a w 0 N = v ( ) 0 Αρα, υπολογίζουµε τοα w (και το ) από την m a w m v 0 N = w ( )

24 Αλγόριθµος Απόκρυψης Ακµών Αν a w > τότε το π βρίσκεται πίσω από την k. Αν aw τότε πρέπει να ελεγχθεί αν το w είναι εσωτερικό του π : Αν είναι, τότε το π καλύπτει το τµήµα τηςk. Αν όχι, τότε το π δεν καλύπτει το τµήµα τηςk (πρέπει βέβαια να εξετασθούν και τα άλλα πολύγωνα). Για αντικείµενα που διαπερνά το ένα το άλλο πρέπει να προστεθούν στη δοµή παράστασης οι ακµές τοµής. 8.24

25 Αλγόριθµος Απόκρυψης Ακµών Βελτίωση απόδοσης (εύρεση τοµών ακµών): Χρήση περιβαλλόντων ορθογώνιων παραλληλογράµµων για µείωση κόστους υπολογισµού τοµών ακµών: u min = min( u, u2), vmin = min( v, v2), umax = max( u, u2), vmax = max( v, v2) V P u max,v max ( ) V P 2 ( ) u max,v max k k P 2 u min,v min ( ) U u min,v min ( ) P U ύο ευθύγραµµα τµήµατα k και k 2 δεν τέµνονται αν: u < u ή u < u ή v < v ή v < v max, min,2 max,2 min, max, min,2 max,2 min, 8.25

26 Αλγόριθµος Απόκρυψης Ακµών Βελτίωση απόδοσης (εύρεση τοµών ακµών): Ταξινόµηση προβολών ακµών σύµφωνα µε αυξανόµενες u min τιµές. υαδική αναζήτηση στην ταξινοµηµένηλίσταπριναπόέλεγχοτοµής. Επεκτείνεται στις u max, v min και v max τιµές. Βελτίωση απόδοσης (έλεγχοι ορατότητας): Χρήση περιβάλλοντος ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου πολυγώνου π κατά τον έλεγχο τοµής µε l. 8.26

27 Αλγόριθµοι Scanline Επέκταση βασικού αλγόριθµου σάρωσης πολυγώνου (πολλά πολύγωνα): Ιδια είδη συνάφειας. Χώρος εικόνας. Τοµές πολυγωνικών 3 αντικειµένων µε επίπεδοy=y s είναι πολύγωνα: Προβολές ακµών των πολυγώνων αυτών στο ΧΥ διαιρούν γραµµή σάρωσης σε span. Σε κάθε span αντιστοιχεί ορατή ακµή (χρώµα αντίστοιχου πολυγώνου). Εύρεση ορατής ακµής µετά από ταξινόµηση ως προς z. Απαγορεύονται πολύγωνα που τέµνονται. Z o Τοµή y=y s s s2 s 3 s4 s Spans X o

28 Αλγόριθµοι Scanline /*Aλγόριθµος scanline*/ ηµιούργησε µε Bucket-sort ένα y-bucket µε πληροφορίες για κάθε πλευρά του πολυγώνου (κεφ. 2); /*Επανάληψη γραµµών σάρωσης*/ for (ys=0; ys<n; ys++) {/*Επανάληψη ενεργών πολυγώνων (που τέµνουν ys)*/ for (π=0; π<max_active; π++) {Εύρεση ακµής τοµής π µε επίπεδο y=ys; Εισαγωγή ακµής σε λίστα ακµών τοµής ταξινοµηµένη ως προς xs; Καθoρισµός span από λίστα ακµών τοµής; /*Επανάληψη span*/ for (s=0; s<max_span; s++) {Αποκοπή ενεργών ακµών (που τέµνουν s) σταόριατουs; Εύρεση βάθους αποκοµµένων ακµώνσεένααπόταάκρατουs; Επιλογή ορατής αποκοµµένης ακµής (ελάχιστο βάθος); Χρωµατισµός ορατής αποκοµµένης ακµής; } } } Χρήση ΛΕΠ για αποδοτικότητα. Απόδοση εξαρτάται από # πολυγώνων και # span. 8.28

29 Αλγόριθµοι Λίστας Προτεραιότητας Ταξινόµηση πολυγώνων κατά βάθος και εµφάνιση µε σωστήσειρά: Οχι πάντα δυνατή (επικάλυψη z-έκτασης, τεµνόµενα πολύγωνα). ιαµερισµός πολυγώνων. Μεγάλη πολυπλοκότητα. Χώρος αντικειµένων, αν αποτέλεσµα θεωρηθεί η ταξινοµηµένη λίστα.. Αλγόριθµος ταξινόµησης κατά βάθος (Newell 972). 2. Αλγόριθµος BSP δένδρου (Fuchs 983). 8.29

30 Αλγόριθµος Ταξινόµησης κατά Βάθος Ταξινόµηση κατά φθίνουσα απόσταση από κέντρο προβολής. Σύγκριση P προ Q δεν είναι πάντα εύκολη. Χρήση περιβάλλοντος παραλληλεπιπέδου [x min (P), y min (P), z min (P)], [x max (P), y max (P), z max (P)]. 8.30

31 Αλγόριθµος Ταξινόµησης κατά Βάθος Απόφαση P προ Q µε 5 ελέγχους αύξουσας πολυπλοκότητας:. εν επικαλύπτονται x-εκτάσεις P και Q. 2. εν επικαλύτπονται y-εκτάσεις P και Q. 3. To P βρίσκεται στον ηµιχώρο του επιπέδου που ορίζεται από το Q στον οποίο δεν βρίσκεται το κέντρο προβολής (σχήµα Α): Πρόσηµο A Q x + BQ y + CQ z + DQ ) Πρόσηµο( AQ 0 + BQ 0 + CQ 0 + D κορυφή (x, y, z) του P. 4. Το Q βρίσκεται στον ηµιχώρο του επιπέδου που ορίζεται από το P στον οποίο βρίσκεται το κέντρο προβολής (σχήµα Β). 5. εν επικαλύπτονται οι προβολές των P και Q στο ΧΥ. ( Q ) X o Q P X o Q P Κέντρο προβολής Α Z o 8.3 Κέντρο προβολής Β Z o

32 Αλγόριθµος Ταξινόµησης κατά Βάθος Αν κανένας από τους παραπάνω 5 ελέγχους δεν ισχύει, γίνεται εναλλαγή των P και Q και επαναλαµβάνονται οι έλεγχοι 3 και 4. Αν και πάλι κανένας δεν ισχύει, κόβουµε το ένα πολύγωνο µε το επίπεδο του άλλου και επαναλαµβάνουµε τους ελέγχους. 8.32

33 Αλγόριθµος BSP ένδρου (Binary Space Partitioning) Εστω επίπεδο Ε που διαχωρίζει σύνολο πολυγώνων σκηνής: Πολύγωνα που βρίσκονται στο ίδιο τµήµα µε σηµείο προβολής δεν µπορεί να αποκρύπτονται από πολύγωνα του άλλου τµήµατος. Χρήση διαχωριστικών επιπέδων που συνεπάγονται λιγότερες τοµές πολυγώνων. ιαχωρισµός σταµατάει όταν ένα σύνολο περιέχει πολύγωνο. Παράσταση σε δένδρο (BSP δένδρο): Εσωτερικοί κόµβοι: επίπεδα διαχωρισµού. Φύλλα = µη περαιτέρω διαχωριζόµενες περιοχές. Λύση προβλήµατος απόκρυψης για θέση παρατήρησης b µε ενδοδιατεταγµένη διαδροµή BSP δένδρου: Εστω διαχωριστικό επίπεδο (πολύγωνο) P (κόµβος δένδρου). Πρώτα παρίστανται τα πολύγωνα του τµήµατος που δεν βρίσκεται το b. Μετά παριστάνεται το P. Τέλος παρίστανται τα πολύγωνα του τµήµατος που βρίσκεται το b. Αναδροµική διαδικασία. 8.33

34 Αλγόριθµοι Υποδιαίρεσης Επιφάνειας Αναδροµική διαίρεση επιπέδου προβολής: Αν πολύγωνο καλύπτει τµήµα πλήρως, τότε αυτό παίρνει το χρώµα του πολυγώνου. Αναδροµήσταµατά επίσης στο µέγεθος του pixel. Εκµετάλλευση συνάφειας επιφάνειας (µεγάλα πολύγωνα, σταθερού χρώµατος). Αλγόριθµος Warnock: Αναδροµή σταµατάαναπόένατµήµα περνάτοπολύ ακµή πολυγώνου. Συγκρίσεις προβολής πολυγώνου P µε περιοχή οθόνης Β. Χρήση περιβάλλοντων ορθογωνίων: P : x P, y P, x P, y P B : [ min ( ) min ( )] [ max ( ) max ( )] [ x ( B), y ( B) ], [ x ( B), y ( B) ] min min max 4 περιπτώσεις σχέσης P και B: (D: Disjoint) P εξωτερικό της Β. (C: Contained) P εσωτερικό της Β. (S: Surrounding) P καλύπτον πλήρως την Β. (I: Intersecting) P τέµνον την Β. Π.χ. σχέση D εξασφαλίζεται εάν ισχύει: x P > x B ή x P < x B 8.34 max ( min ( ) max ( )) ( max ( ) min ( )) ( y ( P) > y ( B) ) ή ( y ( P) < y ( B) ) min max max min ή

35 Αλγόριθµοι Υποδιαίρεσης Επιφάνειας Περιπτώσεις αλγόριθµου Warnock:. Αν για όλα τα πολύγωνα ισχύει η σχέση D, τότε δίνεται στην B το χρώµα του φόντου. 2. Αν υπάρχει µοναδικό P µε σχέσηc µε τηνβ, τότε δίνουµε αρχικά χρώµα φόντου στην Β και µετά εµφανίζουµε τοp. 3. Αν υπάρχει Ρ µε σχέσηs µε τηνβ, χωρίς να υπάρχουν άλλα πολύγωνα πουναπεριέχονταιήνατέµνουν την Β, τότε η Β παίρνει το χρώµα τουρ. 4. Αν υπάρχει Ρ µε σχέσηs µε τηνβ και όλα τα άλλα πολύγωνα που περιέχονται ή τέµνουν την Β βρίσκονται σε µεγαλύτερη απόσταση από τον παρατηρητή, τότε η Β παίρνει το χρώµα του Ρ. 5. ιαφορετικά γίνεται αναδροµική διαίρεση της Β. Σχέση S προϋποθέτει: ( xmin ( P) < xmin ( B) ) & ( xmax ( P) > xmax ( B) ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ymin P < ymin B & ymax P > ymax B και εξασφαλίζεται αν καµία ακµή τουρ δεν τέµνει την Β (αλγόριθµος αποκοπής). & ( x ( P) y ( P) ) max, max ( x ( P) y ( P) ) min, min 8.35

36 Αλγόριθµοι Υποδιαίρεσης Επιφάνειας Αναδροµικές διαιρέσεις Warnock: Μείωση υποδιαιρέσεων µε βάση κορυφές πολυγώνων (Weiler - Atherton): Αλγόριθµοι υποδιαίρεσης περιοχής έχουν µεγάλο κόστος για πεπλεγµένες σκηνές. 8.36

37 Σύγκριση Μεθόδων Απόκρυψης Αλγόριθµος Αριθµός Πολυγωνικών Επιφανειών depth - sort 0,4 0 6, z-buffer 7, , ,5 0 6 Scan - line 0, , Υποδιαίρεση επιφάνειας,

38 Απόκρυψη 3 Μαθηµατικών Επιφανειών Αλγόριθµος κινητού ορίζοντα: Παράσταση F(x, y, z)=0 µε σύνολοκαµπυλών από τοµές της F µε επίπεδα παράλληλα στα XY, XZ ή YZ. Y Z z z 2 z z 5 z 4 3 X Πρέπει να αποκρυφθούν τα τµήµατα καµπυλών που δεν φαίνονται. 8.38

39 Αλγόριθµος Κινητού Ορίζοντα Βασικά βήµατα (έστω τοµές µε επίπεδα παράλληλα στο XY): Ταξινόµηση z-τιµών σύµφωνα µε απόσταση από παρατηρητή. Εύρεση σηµείων της y = f ( x, z) z από πλησιέστερο προς πιο αποµακρυσµένο, στην ανάλυση (x) της οθόνης. Αν, για κάποιο x, ητιµή τουy που παίρνουµε είναι µεγαλύτερη από οποιαδήποτε προηγούµενη τότε η καµπύλη είναι εµφανής στο σηµείο αυτό (χρήση array µέγιστων y-τιµών) Y z z 5 z 4 z 3 2 X 8.39

40 Αλγόριθµος Κινητού Ορίζοντα Πρόβληµα γιακαµπύλες που εµφανίζονται στο κάτω µέρος της επιφάνειας (π.χ. z 5,z 6 ). Y Λύση µε χρήση δεύτερου array y min τιµών και κατάλληλη τροποποίηση αλγορίθµου. z z 6 5 z 4 z 3 z z 2 X 8.40

41 Σκιές Παραµεληµένη περιοχή, παρά τη µεγάληοπτικήσηµασία των σκιών. Εύρεση σκιών εύρεση µη ορατών επιφανειών ως προς φωτεινή πηγή (για σηµειακή πηγή): Χρήση αλγορίθµων απόκρυψης. Για σταθερό σκηνικό και σταθερή θέση φωτεινής πηγής, εύρεση σκιών είναι ανεξάρτητη από θέση παρατηρητή. Απλός αλγόριθµος για σκιά αντικειµένου που βρίσκεται πάνω σε επίπεδη επιφάνεια (Blinn): S = P a L Για την z-συντεταγµένη ισχύει (S z =0): 0 = Αρα S P a l και S = P a l x = x x y y y P a l ή a = z z P l z z 8.4

42 Απόκρυψη και Παρακολούθηση Ακτίνας (Ray Tracing) Αλγόριθµος παρακολούθησης ακτίνας (Whitted): Ακτίνες που ορίζονται από σηµείο παρατήρησης και κάθε pixel ακολουθούνται ώσπου να συναντήσουν αντικείµενο. Εκεί διασπώνται ανάλογα µε µοντέλο. Ουσιαστικά λύνει πρόβληµα απόκρυψης. Επίπεδο προβολής (οθόνη) 8.42

Εισαγωγή. Γραφικά. Μοντέλο (Πληροφορίες για Περιεχόµενο εικόνας. Επεξεργασία Εικόνων. Εικόνα. Τεχνητή Όραση 1.1. Εργα: : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Εισαγωγή. Γραφικά. Μοντέλο (Πληροφορίες για Περιεχόµενο εικόνας. Επεξεργασία Εικόνων. Εικόνα. Τεχνητή Όραση 1.1. Εργα: : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ Εισαγωγή Μιάεικόνααξίζει1000 λέξεις : Ανθρώπινοοπτικόκανάλι: 30-40 Μbits/s (=64-85 M λέξεις /min µε 4 γράµµατα/λέξη, 7bits/γράµµα). Γραπτό κείµενο: 600-1200 λέξεις/min. 100.000 αποδοτικότερη επικοινωνία

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics

Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics 1. Βασικοίγραφικοίαλγόριθμοι 2. Αρχέςγραφικώνπλεγματικώνοθονώνraster 3. Μετασχηματισμοί2 και3 διαστάσεωνκαι συστήματασυντεταγμένων 4. Προβολέςκαιμετασχηματισμοίπαρατήρησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods)

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΝΤΙΝΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ (MSC) Καθηγητής Εφαρμογών ΚΑΡΔΙΤΣΑ 2010 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΦΩΤΟΑΠΟΔΟΣΗ: ΕΝΝΟΟΥΜΕ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΟΛΩΝ ΕΚΕΙΝΩΝ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012 0B Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Περιεχόμενα Πίνακας Περιεχομένων...2 Περιεχόμενα...2 Προγραμματιστικές λεπτομέρειες υλοποίησης...3 geom.h...3

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες Bézier και Geogebra

Καµπύλες Bézier και Geogebra Καµπύλες Bézier και Geogebra Κόλλιας Σταύρος Ένα από τα προβλήµατα στη σχεδίαση δυσδιάστατων εικόνων στα προγράµµατα γραφικών των υπολογιστών είναι η δηµιουργία οµαλών καµπυλών. Η λύση στο πρόβληµα αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής Αναστάσιος Κεσίδης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός Θέματα που θα αναπτυχθούν Εισαγωγή στις τομογραφικές μεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ Μια εικόνα μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια προβολή ψηφιδοπλέγματος, μια εικόνα καθορίζεται πλήρως από το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΝΤΙΝΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ (MSC) Καθηγητής Εφαρμογών ΚΑΡΔΙΤΣΑ 2013 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΦΩΤΟΑΠΟΔΟΣΗ: ΕΝΝΟΟΥΜΕ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΟΛΩΝ ΕΚΕΙΝΩΝ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Περίληψη Αλγόριθµοι τύπου Brute-Force Παραδείγµατα Αναζήτησης Ταξινόµησης Πλησιέστερα σηµεία Convex hull Βελτιστοποίηση Knapsack problem Προβλήµατα Ανάθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

To SIMULINK του Matlab

To SIMULINK του Matlab ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Β ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΘ. Κ. ΚΥΠΑΡΙΣΣΙΔΗΣ, ΛΕΚΤΟΡΑΣ Χ. ΧΑΤΖΗΔΟΥΚΑΣ Τ.Θ. 472 54 124 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Μάθημα: ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ακαδ.

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. διπολικά τρανζίστορ διακρίνονται σε: 1. τρανζίστορ γερµανίου (Ge) και. 2. τρανζίστορ πυριτίου (Si ).

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. διπολικά τρανζίστορ διακρίνονται σε: 1. τρανζίστορ γερµανίου (Ge) και. 2. τρανζίστορ πυριτίου (Si ). 7. Εισαγωγή στο διπολικό τρανζίστορ-ι.σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1 7. TΟ ΙΠΟΛΙΚΟ ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ Ανάλογα µε το υλικό διπολικά τρανζίστορ διακρίνονται σε: 1. τρανζίστορ γερµανίου (Ge) και 2. τρανζίστορ πυριτίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη παρουσίαση των Γραφικών με Η/Υ

Σύντομη παρουσίαση των Γραφικών με Η/Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές και συνολικότερα τα προϊόντα της πληροφορικής έχουν μεταμορφώσει (με τρόπο ο οποίος γίνεται άμεσα ή έμμεσα αντιληπτός) τη ζωή δισεκατομμυρίων ανθρώπων στον

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις µε παλµογράφο

Μετρήσεις µε παλµογράφο Η6 Μετρήσεις µε παλµογράφο ΜΕΡΟΣ 1 ο ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟΣ Α. Γενικά Κατά την απεικόνιση ενός εναλλασσόµενου µεγέθους (Σχήµα 1), είναι γνωστό ότι στον κατακόρυφο άξονα «Υ» παριστάνεται το πλάτος του µεγέθους, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1 Εικόνα Εισαγωγή Ψηφιακή αναπαράσταση Κωδικοποίηση των χρωμάτων Συσκευές εισόδου και εξόδου Βάθος χρώματος και ανάλυση Συμβολική αναπαράσταση Μετάδοση εικόνας Σύνθεση εικόνας Ανάλυση εικόνας Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων

ΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων ΜΑΘΗΜΑ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Έστω οι συναρτήσεις : A R, :Β R Το τυχαίο A, µε την A. αντιστοιχίζεται στην τιµή Αν η τιµή αυτή ( ) B θα αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης

Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης Προγραμματίζω με το ΒΥΟΒ 1 Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης Από το μάθημα της Φυσικής γνωρίζουμε ότι κίνηση σημαίνει αλλαγή της θέσης ενός αντικειμένου. Οι εντολές κίνησης που μας παρέχει το ΒΥΟΒ χωρίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης

Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης 7η Δραστηριότητα Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης Περίληψη Οι υπολογιστές χρησιμοποιούνται συχνά για την ταξινόμηση καταλόγων, όπως για παράδειγμα, ονόματα σε αλφαβητική σειρά, ραντεβού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική και τη συµµετρική ιδιότητα του Θ. Λύση Μεταβατική Ιδιότητα (ορισµός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)). Για

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση Γεωµετρική θεώρηση του Φωτός Ανάκλαση ηµιουργίαειδώλουαπόκάτοπτρα. είκτης ιάθλασης Νόµος του Snell Ορατό Φάσµα και ιασπορά Εσωτερική ανάκλαση Οπτικές ίνες ιάθλαση σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕ ΙΟΜΕΛΕΤΗΣ ΜΕ Η/Υ

2. ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕ ΙΟΜΕΛΕΤΗΣ ΜΕ Η/Υ 2. ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕ ΙΟΜΕΛΕΤΗΣ ΜΕ Η/Υ Μια τυπική διάταξη συστήµατος σχεδιοµελέτης µε χρήσηh/y - CAD, αποτελείται από τον εξοπλισµό (Hardware), το Λογισµικό του συστήµατος σχεδιοµελέτης (Software)

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Περιοχή εργασίας. Τμ. Γραφιστικής (Γραφιστική με Η/Υ - In Design) 2

Περιοχή εργασίας. Τμ. Γραφιστικής (Γραφιστική με Η/Υ - In Design) 2 Περιοχή εργασίας A. Παράθυρο εγγράφου B. Συγκέντρωση πινάκων συμπτυγμένων σε εικονίδια Γ. Γραμμή τίτλου πίνακα Δ. Γραμμή μενού E. Γραμμή επιλογών Στ. Παλέτα εργαλείων Ζ. Κουμπί σύμπτυξης σε εικονίδια Η.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα