Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων

Transcript

1 Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων Προσέγγιση µαθηµατικών σχηµάτων από διακριτά pixels: Ευθύγραµµο τµήµα, κύκλος, κωνικές τοµές, πολύγωνο. S/W ή H/W. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3Δ Μαθηµατικά Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σµοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σµός Παρατήρησης Αποµάκρυνση Πίσω Επιφανειών 3Δ Αποκοπή Είσοδοι (για κάθε καρέ) Παράσταση στην οθόνη Απόκρυψη Γραµµών/ Επιφανειών Προβολή

2 Ευθύγραµµο Τµήµα: Βασικός Αλγόριθµος Κριτήρια καλού αλγόριθµου ευθύγραµµου τµήµατος: " Σταθερό πάχος ανεξάρτητο κλίσης, όχι κενά (συνεκτική) " Pixels όσο το δυνατόν πλησιέστερα στη µαθηµατική πορεία της " Ταχύτητα

3 Πάχος 1 pixel Ευθύγραµµο Τµήµα: Βασικός Αλγόριθµος

4 Ευθύγραµµο Τµήµα: Βασικός Αλγόριθµος Τεταρτηµόρια Οκταµόρια

5 Ευθύγραµµο Τµήµα: Βασικός Αλγόριθµος Έστω ευθύγραµµο τµήµα µεταξύ P1 (x1, y1) και Pn (xn, yn) 1ου οκταµορίου. Για κάθε σηµείο P(x, y) του ευθύγραµµου τµήµατος ισχύει:: y = s x + b s = y y n 1 = Δy x n x 1 Δx Δy Y (x n, y n ) b = y 1 x n y n x 1 x n x 1 (x 1, y 1 ) b Δx X

6 Τα βήµατα είναι: Ευθύγραµµο Τµήµα: Βασικός Αλγόριθµος

7 Ευθύγραµµο Τµήµα: Βασικός Αλγόριθµος Ο αντίστοιχος βρόχος σχεδίασης των pixels της ευθείας είναι:: void line1(int x1, int y1, int xn,int yn) { float s,b,y; int x; s=(yn-y1) / (xn-x1); b=(y1*xn - yn*x1) / (xn-x1); for (x=x1; x<=xn; x++) { y=s*x+b; setpixel(x, round(y)); } }

8 Ευθύγραµµο Τµήµα: Βασικός Αλγόριθµος Οι τιµές του Y άξονα στρογγυλεύονται στο πλησιέστερο pixel

9 Ευθύγραµµο Τµήµα: Βελτιωµένος Αλγόριθµος Ο πολλαπλασιασµός µέσα στο βρόγχο µπορεί να απλοποιηθεί αφού ισχύει: x i+1 = x i + 1 y i+1 = sx i+1 + b = sx i + b + s = y i + s Οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν για το 1ο οκταµόριο

10 Ευθύγραµµο Τµήµα: Βελτιωµένος Αλγόριθµος Ο αντίστοιχος βρόγχος σχεδίασης των pixels της ευθείας είναι:: void line2(int x1, int y1, int xn,int yn) { float s,y; int x; s=(yn-y1) / (xn-x1); y=y1; for (x=x1; x<=xn; x++) { setpixel(x, round(y)); y=y+s; } }

11 Ευθύγραµµο Τµήµα: Κατάργηση στρογγύλευσης (round) Error είναι η απόσταση του pixel (xi+1,yi) από ιδεατή ευθεία Η στρογγύλευση µπορεί να αντικατασταθεί από σταδιακή επαύξηση του σφάλµατος και σύγκριση: Αν η νέα, επαυξηµένη τιµή του Y ξεπερνά το εύρος του pixel, τότε η σχεδίαση γίνεται στο επόµενο κατά Υ pixel

12 Ευθύγραµµο Τµήµα: Κατάργηση στρογγύλευσης (round) void line3(int x1, int y1, int xn, int yn) { float s,error; int x,y; s=(yn-y1) / (xn-x1); y=y1; error=0; for (x=x1; x<=xn; x++) { setpixel(x, y); error=error+s; if (error>=0.5) { y++; error-- } } }

13 Ευθύγραµµο Τµήµα Χρήση Μόνο Ακεραίων (Αλγόριθµος Bresenham) " Αντικατάσταση πραγµατικών µεταβλητών από ακέραιες µε κατάλληλη κλιµάκωση s, error & συνθήκης επιλογής " Πολλαπλασιάζουµε µε dx = xn-x1 s = dy " Πολλαπλασιάζουµε µε dx Συνθήκη error dx/2 error dx/2 error 0 & αρχική αφαίρεση dx/2 από error " Πολλαπλασιάζουµε µε dx error=error-dx

14 Ευθύγραµµο Τµήµα Χρήση Μόνο Ακεραίων (Αλγόριθµος Bresenham) void bresenham(int x1, int y1, int xn, int yn) { int error,x,y,dx,dy; dx=xn-x1; dy=yn-y1; error=-dx/2; y=y1; for (x=x1; x<=xn; x++) { setpixel(x,y); error=error+dy; if (error>=0) { y++; error=error-dx } } }

15 Αλγόριθµος Bresenham για Κύκλο (2o οκταµόριο) " Έστω ότι βρισκόµαστε στο pixel (xi,yi) " Το επόµενο pixel θα είναι είτε το (xi+1,yi) είτε το (xi+1,yi-1) για το 2ο οκταµόριο (δεξιόστροφη πορεία) " Για το 1ο οκταµόριο αντιστοίχως το επόµενο pixel θα είναι είτε το (xi,yi+1) είτε το (xi-1,yi +1) (αριστερόστροφη πορεία) " Άρα αν setpixel(x,y) για τιο 2 ο οκταµόριο, τότε setpixel(y,x) για το 1ο οκταµόριο " Η απόφαση στηρίζεται στην απόσταση της αναµενόµενης τιµής του Υ επί της τροχιάς του κύκλου από τα δυο υποψήφια pixels " Προσπαθούµε να υπολογίσουµε την επόµενη θέση µε µοναδικά στοιχεία την τρέχουσα θέση και την ακτίνα του κύκλου Το επόµενο pixel για το 2 ο οκταµόριο

16 Κύκλος 8-πλή συµµετρία, δηµιουργούµε ένα οκταµόριο (έστω 2 ο ) circle_symmetry (x,y,colour) int x,y,colour; {setpixel(x,y,colour); setpixel(y,x,colour); setpixel(y,-x,colour); setpixel(x,-y,colour); setpixel(-x,-y,colour); setpixel(-y,-x,colour); setpixel(-y,x,colour); setpixel(-x,y,colour); } 2.16

17 Αλγόριθµος Bresenham συνέχεια " Μεταβλητές απόφασης: (πάντα >0) d 1 = y i 2 y 2 d 2 = y 2 ( y i 1) 2 " Αν d1 < d2, επιλέγεται το πάνω pixel, αλλιώς το κάτω " Διαφορετικά: Αν e i =d 1 -d 2 >0 σχεδίασε το κάτω pixel " Για x = x i +1, ισχύει y 2 = r 2 - (x i +1) 2 από Πυθαγόρειο θεώρηµα " Έτσι: e i = y i 2 r 2 + x i + 1 ( ) 2 + ( y i 1) 2 r 2 + ( x i + 1) 2 = 2( x i + 1) 2 + y 2 i + ( y i 1) 2 2r 2

18 Αλγόριθµος Bresenham συνέχεια Η τιµή e i+1 υπολογίζεται επαναληπτικά ως εξής: ( ) y i+1 ( ) y i+1 e i+1 = 2 x i = 2 x i + 2 = 2x 2 2 i + 8x i y i+1 = 2 x i + 1 ( ) 2 2r 2 ( ) 2 2r 2 + y i y i y i+1 ( ) x i y i+1 2y i r 2 2y i r 2 = e i y 2 i y 2 2 i + 2y i 1+ 4x i y i = e i + 4x i y i+1 y i ( ) 2( y i+1 y i ) 2y i Για τον υπολογισµό του e i+1 χρησιµοποιείται το εξής τέχνασµα: Αν e i < 0 y i+1 = y i e i+1 = e i + 4( x i + 1) + 2 Αν e i 0 y i+1 = y i 1 e i+1 = e i + 4x i ( y i 1) 2 2 y i e i+1 = e i + 4 x i + 1 ( ) 2 y i 1 y i ( ) + 2 4( y i 1) ( ) Θεωρώντας σαν πρώτο σηµείο του 2ου οκταµορίου το σηµείο (x,y)=(0,r) e 1 = 2 + r 2 + ( r 1) 2 2r 2 = 3 2r

19 Χρησιµοποιώντας για σηµείο εκκίνησης το (0,r), παίρνουµε e 1 = 2 + r 2 + r 1 ( ) 2 2r 2 = 3 2r void circle(int r) { int x,y,e; x=0; y=r; e=3-2*r; while (x<=y) { setpixel(x,y); x++; if (e>=0) { y--; e=e-4*y; } e=e+4*x+2; } } Αλγόριθµος Bresenham συνέχεια

20 Αλγόριθµος Bresenham Κύκλος µε Kέντρο (x0,y0) void circle(int r, int x0, int y0) { int x,y,e; x=0; y=r; e=3-2*r; while (x<=y) { setpixel(x+x0,y+y0); } } x++; if (e>=0) { y--; e=e-4*y; } e=e+4*x+2;

21 Χρωµατισµός - Γέµισµα Πολυγώνων " Ζητείται ο χρωµατισµός του εσωτερικού ενός πολυγώνου που ορίζεται από τυχαία ευθύγραµµα τµήµατα " Αλγόριθµος (ΥX) Υ Γραµµή σάρωσης X

22 Χρωµατισµός - Αλγόριθµος ΥΧ " Βρίσκουµε αναλυτικά τις τοµές της κάθε πλευράς µε τις γραµµές σάρωσης και τις αποθηκεύουµε σε µια λίστα " Ταξινοµούµε τη λίστα πρώτα κατά Υ και µετά κατά Χ " Αποµακρύνουµε διαδοχικά από τη λίστα ζεύγη σηµείων και σχεδιάζουµε τα pixels ανάµεσά τους (τα δύο σηµεία έχουν κοινό Υ και συνεχόµενα Χ) " Οι οριζόντιες γραµµές αγνοούνται Υ Γραµµή σάρωσης X

23 Χρωµατισµός - Πρόβληµα των Αλγορίθµων µε Ταξινόµηση " Η πολυπλοκότητά τους αυξάνει µη γραµµικά µε το µέγεθος των πολυγώνων! " Χρειάζεται να δεσµευτεί δυναµικά αρκετή µνήµη για τη σχεδίαση, γεγονός που φορτώνει τη µνήµη και εισάγει καθυστερήσεις

24 Χρωµατισµός - Αλγόριθµος Τυφλής Σάρωσης " Ξεκινάει από εξωτερικό σηµείο κάθε scan-line και σαρώνει προς την ίδια κατεύθυνση Χ τις γραµµές " Σε κάθε σηµείο, ελέγχει αν βρίσκεται αριστερά ή δεξιά των πλευρών " Αν έχει συναντήσει περιττό αριθµό πλευρών, τότε σχεδιάζει το pixel, αλλιώς προχωράει στο επόµενο Υ Γραµµή σάρωσης X

25 Χρωµατισµός - Προβλήµατα Αλγόριθµου Τυφλής Σάρωσης " Απαιτεί συνεχείς ελέγχους " Οι γραµµές των πολυγώνων πρέπει να έχουν σταθερή φορά (πχ δεξιόστροφη)

26 Γρήγορη αντιγραφή περιοχής Pixels (Bit-Blitting) Κρίσιµης σηµασίας σε γραφικά περιβάλλοντα µε επικαλυπτόµενα παράθυρα ή scrolling (πχ. Windows) Υ X

27 Εσωτερική δοµή του Frame Buffer Οι εικόνες στην κύρια µνήµη ή στην µνήµη της κάρτας γραφικών γράφονται σαν µονοδιάστατοι πίνακες: Γραµµή 0, Γραµµή 1, Γραµµή y length x 0 1*length 2*length-1 y*length length y*length+x width x,y

28 Aliasing (Ταύτιση) " Aliasing: Παραγωγή ίδιου ψηφιακού σήµατος από δύο αναλογικά σήµατα διαφορετικής συχνότητας " Στα γραφικά προκύπτει το φαινόµενο όταν αναλυτικές µορφές (όπως ευθύγραµµα τµήµατα κλπ) µετατρέπονται σε διακριτές, δηλαδή pixels

29 Aliasing και Γραφικά Κύριες περιπτώσεις εµφάνισης aliasing: H τεθλασµένη εµφάνιση ακµών πολυγώνων και γραµµών Η λανθασµένη εµφάνιση επαναλαµβανόµενων λεπτοµερειών (πχ υφή)

30 Αντιµετώπιση Aliasing " Κατασκευαστικοί αλγόριθµοι για γραµµές: χρωµατίζουν και γειτονικά pixels µε λιγότερο χρώµα πρόβληµα µε επικαλυπτόµενα σχήµατα " Low-pass post-filtering " Supersampling " Pre-filtering πολυγώνων " Low-pass Pre-filtering για textures (mip-mapping)

31 MxN Supersampling " Παράγουµε MxN δείγµατα (subpixels) για κάθε pixel τα οποία αποθηκεύονται στον Frame Buffer " Στη συνέχεια η υπερδειγµατοληπτηµένη εικόνα φιλτράρεται αποτυπώνοντας σε κάθε pixel το µέσο όρο των ΜΧΝ σηµείων " Η µέθοδος απαιτεί αρκετή µνήµη (ΜxΝ) για real-time απεικόνιση και ΜxΝ µεγαλύτερη ισχύ " Δηµοφιλής µέθοδος για σύγχρονες κάρτες γραφικών (πχ Nvidia GeForce, ATI Radeon chipsets)

32 Supersampling