ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ ОЛИЙ ВА ЎРТА МАХСУС ТАЪЛИМ ВАЗИРЛИГИ ҚОРАҚАЛПОҚ ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ. Математика, амалий математика ва физика йўналишлари учун

Transcript

1 ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ ОЛИЙ ВА ЎРТА МАХСУС ТАЪЛИМ ВАЗИРЛИГИ ҚОРАҚАЛПОҚ ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ Математика амалий математика ва физика йўналишлари учун ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР фанидан МАЪРУЗАЛАР МАТНИ Тузувчилар: доц. НУРЖАНОВ О доц. ҚУРБАНБАЕВ Ө HУКУС 8

2 АСОСИЙ ТУШУНЧАЛАР. КОШИ МАСАЛАСИ Ҳозирги кунда фан-техника ривожланиб борган сари математиканинг роли ортиб бормоқда. Шу жумладан математикадан физика механика ва астрономия ҳамда иқтисодий масалаларни ечишда биологик жараёнларни тахлил этишда ва бошқа кўп соҳаларда фойдаланилади. Бу соҳалардаги жараёнларнинг математик модели дифференциал тенгламалар номи билан юритилади.8 Номаълум функциянинг ҳосиласи ёки дифференциали қатнашган тенглама дифференциал тенглама дейилади. Агар номаълум функция бир аргументли бўлса у ҳолда тенглама оддий дифференциал тенглама деб агар номаълум функция кўп ўзгарувчили бўлса у ҳолда тенглама хусусий ҳосилали дифференциал тенглама деб айтилади. Мисол : Фараз қилайлик моддий нуқта ОX ўқи бўйлаб харакат қилсин. Харакат функцияси f( бўлсин. Бундан ташқари бирор моментда унинг абсциссаси қийматни қабул қилсин. Шу моддий нуқтани харакат қонунини топинг. Бу масаланинг математик модели d d f ( ( кўриниш билан ифодаланади. МИСОЛ : Радиактив модда ҳисобланган радийнинг парчаланиш тезлиги унинг миқдорига тўғри пропорциолнал. Фараз қилайлик моментда R г радий бор бўлсин. Ихтиёрий моментда R г радий миқдорини аниқланг. Агар пропорционаллик коэффициенти (>га тенг бўлса у ҳолда масала ушбу дифференциал тенгламани ечишга келтирилади. R l Бу тенгламани да RR га тенг бўладиган ечими RR e -(- функция билан ифодаланади. Юқоридаги масалалардан кўринадики битта дифференциал тенгламани бир неча функциялар қаноатлантириши мумкин шунинг учун дифференциал тенгламалар назариясининг асосий мақсади берилган тенгламанинг барча ечимларини топиш ва уларнинг хусусиятларини ўрганишдан иборат. Дифференциал тенгламаларни тартиби тенгламада қатнашган энг юқори тартибли ҳосила тартиби билан аниқланади. ТАЪРИФ:. Ушбу F ( ( тенглама ҳосилага нисбатан ечилмаган биринчи тартибли оддий дифференциал тенглама дейилади. ТАЪРИФ : Ушбу f ( ; ( кўринишдаги тенглама ҳосилага нисбатан ечилган биринчи тартибли оддий дифференциал тенглама дейилади. ТАЪРИФ 3: Битта ўзгармас сонга боғлиқ m( (3 ( тенгламанинг ечимлари оиласини ифодаловчи функция тенгламанинг умумий ечими дейилади ёки ТАЪРИФ 4: Агар w( ' ' w ( муносабатлардан параметрни йўқотиш мумкин бўлиб натижада (

3 тенглама ҳосил бўлса у ҳолда (3 функция ( тенгламанинг умумий ечими дейилади. ТАЪРИФ 5: Умумий (3 ечимдан параметрни аниқ сонли қийматлари учун ҳосил бўлган ечими хусусий ечим деб аталади. Юқорида келтирилган ва масалалардаги ( ( R нуқталардан ўтувчи ечимларни ягоналиги муҳим аҳамиятга эга шунинг учун берилган ( нуқтадан битта ечим ўтса шу нуқтада ягоналик ўринли деб юритилади. ТАЪРИФ 6: Ягоналик ўринли бўлмаган ечим махсус ечим дейилади. МИСОЛ 3: Тенгламани ечинг ' ( Бу ерда деб олиб ёки ( тенгликка эга бўламиз. Бундан ( > ёки ( ( умумий ечимга эга бўламиз. Бундан ташқари ҳам тенгламанинг ечими бу махсус ечим бўлади. ни яъни ОХ ўқини ихтиёрий нуқтасидан ( ( ярим параболар ўтади. Дифференциал тенгламалар назариясининг асосий масалалардан бири Коши масаласи деб юритилади. d d ( f (4 кўринишидаги тенглама учун Коши масаласи қуйидагича қўйилади. Коши масаласи : ( тенгламанинг ( (5 шартни қаноатлантирадиган ечимини топиш масаласи Коши масаласи дейилади ёки бошланғич масала деб юритилади. Бунда ва берилган сонлар бўлиб f( функция аниқланган соҳага тегишли бўлади. (4 тенгламанинг ечими бўлган ϕ( ёки ошкормас кўринишда ϕ( функцияни мос эгри чизиғи (графиги интеграл чизиқ деб аталади. Коши масаласи геометрик нуқтаий-назардан қараганда барча интеграл чизиқлар ичидан берилган ( нуқтадан ўтувчи интеграл чизиқни топиш масаласидир. МИСОЛ: Коши масаласининг ечими мавжудми? ( ( кўриш мумкинки бу Коши масаласини ечими мавжуд эмас. Демак Коши масаласи ҳар доим ҳам ечимга эга эмас агар ечим мавжуд бўлса у ягона бўладими? каби савол берилиши табиий. Ечимининг ягоналиги дифференциал тенгламалар олинган жараёнларда бирор қонун мавжуд бўлиб бошқа қонун йўқлигини ҳаракат ёки жараён фақат шу қонун орқали амалга ошишини билдиради. Юқорида қўйилган саволга қуйидаги Пикар теоремаси жавоб беради. ТЕОРЕМА (Пикар теоремаси Агар (4 тенгламада f( функция. D{(: - - } тўғри тўртбурчакда узлуксиз (демак унда чегараланган яьни f( M M> (6. у ўзгарувчи бўйича Липшиц шартини қаноатлантирса у ҳолда (4 тенгламанинг (5 шартини қаноатлантирадиган ва h h mi M интервалда аниқланган ягона ечими мавжуд. Теоремада келтирилган Липшиц шарти D соҳада аниқланган икки ўзгарувчили f( функция учун қуйидагича бўлади. Ихтиёрий ( ( D нуқталар учун ушбу f ( f ( L (7

4 тенгсизлик ўринли бўлса f( D соҳада у бўйича Липшиц шартини қаноатлантиради дейилади. L Липшиц ўзгармаси. ЭСЛАТМА. Теоремадаги Липшиц шартининг бажарилишини талаб қилиш ўрнига f( функциядан у бўйича ҳосилани узлуксизлигини талаб қилиш мумкин. Яъни f ( K K o >. Энди Пикар теоремасини исбот қилишга ўтамиз. Бунинг учун авва-ло қуйидаги иккита леммани келтирамиз. ЛЕММА. (эквивалентлик леммаси Агар ϕ( функция нуқтани ўз ичига олган бирор J интервалда аниқланган бўлиб (4 (5 Коши масаласининг ечими бўлса у ҳолда ϕ( функция J интервалда f ( d интеграл тенгламанинг ечими бўлади ва аксинча агар ϕ( функция (8 тенгламанинг ечими бўлса у ҳолда ϕ( функция (4 (5 Коши масаласини ечими бўлади. ИСБОТ. ϕ( функция ( тенгламанинг ечими бўлганлиги учун dϕ f ( ϕ d айният ўринли бўлади. Бу айниятни дан гача интеграллаймиз ( J ϕ ϕ( f ( ϕ (5 шартдан фойдалансак f ( ϕ d ϕ d. Бу тенгликдан кўринадики ϕ( функция (8 тенгламанинг ечими. Энди тескарисига исботлаймиз ϕ( функция (8 нинг ечими бўлса ϕ( ни (8га қўямиз ва ундан ҳосила оламиз. d d ϕ f ( ϕ( d o f ( ϕ( d f ( ϕ d d Демак ϕ f ( ϕ бу тенглик ϕ( функция (4 тенгламанинг ечими эканлигини кўрсатади. Лемма исбот бўлди. ЛЕММА. (Гронуолл леммаси Агар u( функция h интервалда манфиймас узлуксиз бўлиб шу интервалда ушбу u A B u( d A B интеграл тенгсизликни қаноатлантирса шу u( функция учун қуйидаги B( u Ae h тенгсизлик ўринли бўлади. Хусусий ҳолда агар A бўлса u(. B( Ушбу лемманинг исботи u e v белгилаш киритиб (9 га қўйиш билан исботланади. Юқоридаги икки леммадан фойдаланиб теоремани исботлаш мумкин. Пикар теоремасининг исботи мавжудлиги.. Леммага кўра (4 (5 масала ўрнига унга эквивалент бўлган f ( ( d (8 (9

5 интеграл тенгламани ечиш масаласини кўрамиз. Ечимни кетма-кет яқинлашиш усули билан излаймиз. - h интервалда аниқланган функциялар кетма-кетлигини тузамиз. f ( ( f ( ( f ( ( d d Бу функцияларнинг графиги кўрилаётган - h интервалда D h {( : h } тўғри тўрт бурчакдан чиқиб кетмаслигини асослаб қўямиз яъни учун ( D h бўлиб бўлсин унда ( D h да f ( d f ( ( d f ( ( M Mh h mi Худди шундай да ихтиёрий учун M d d M d f ( d f ( ( d M Mh f ( d f ( d M d M Mh эслатиб ўтамизки бунда биз қуйидаги формуладан фойдаландик f d f Шундай қилиб кўрилган { } d. функциялар кетма-кетлиги - h оралиқда аниқланган ва узлуксиз. Бу функционал кетма-кетликни текис яқинлашувчи эканлигини исботлаймиз. Ушбу функционал қаторни қарайлик ( (... (... ( Унинг - хусусий йиғиндиси S ( ( ва h l M (! h lim lim l < бўлиб яқинлашувчи. h l M! Математик анализ фанидаги Даламбер аломатининг формуласи q < якинлашувчи lim q q > узоклашувчи Хулоса қилиб шуни айтишимиз мумкинки сонли қаторни яқинлашувчилигидан Вейерштрасс теоремасига кўра ( функционал қатор ϕ( функцияга текис яқинлашувчи ва лимит функцияси ҳам узлуксиз функция бўлади. Эндиги босқичда ϕ( лимит функция исботлаймиз. Бунинг учун да тенгликдан f ( d (4(5 масаланинг ечими эканлигини (

6 ϕ f ( ϕ тенглик келиб чиқишини исботлаш зарур. Равшанки f d ( ϕ ( d f ( d f ( ϕ( f ( d l ϕ( (d ( кетма-кетлик ϕ( функцияга текис яқинлашганлигидан ихтиёрий ε> берилганда ҳам шундай номер топиладики > бўлганда ε ϕ lh тенгсизлик ўринли бўлади. Шунинг учун ε ε ε l ϕ lh h h тенгсизлик ўринли бундан ( ( d l d h ε lim f ϕ ( ( d f lim d f ( ( d ε яoни f ϕ( d f бу эса ( тенгликдан ( келиб чиқишини кўрсатади. Юқорида кўрсатилган исботлардан қисқа қилиб шуни айтиш мумкин (4(5 Коши масаласининг ечимини мавжудлигини - h оралиқда -леммага кўра интеграл тенгламага келтирилади ҳамда бу интеграл тенгламанинг ечими кетма-кет яқинлашиш усули ёрдамида мавжудлигини ва бу функция лимит функция эканлигини кўрсатилади. Энди (4 (5 Коши масаласининг ечими мавжуд бўлса ягона эканлигини кўрсатамиз. Масала ечимининг ягоналиги: Фараз қилайлик (4 (5 масаласининг иккита ечими мавжуд бўлсин. ϕ( ва ( лар - h интервалда аниқланган бўлиб - h интервал уларнинг умумий аниқланиш интервали бўлсин. Шу интервалда ϕ( ( эканлигини кўрсатамиз. ϕ( ва ( ечим бўлганлиги учун dϕ d f ( ϕ f (. d d h интервал учун Бундан [ ] яъни l ϕ( ( f ( ϕ( d f ( d l ϕ( ( ϕ d ϕ d Бу тенгсизликка Гронуолл леммасини A деб олиб қўлласак у ҳолда ϕ(( эканлиги келиб чиқади яъни леммадаги u( функция сифатида u(ϕ(-( айирмани олиб леммадаги тенгсизликда A бўлса u( бўлади ёки ϕ(( Биз [ h] учун кўрсатдик. Шунга ўхшаш [ h ] учун ҳам мулохаза юритиш мумкин. Шундай қилиб Пикар теоремаси тўла исбот этилди. МИСОЛ: Қуйидаги Коши масаласининг ечимига яқинлашувчи ечимнинг биринчи учта ҳадини топинг. Бунда f ( да да ( d d d (

7 4 5 да d d 4 5 Демак. Бу ечим теорема шартига кўра фақат нуқтанинг бирор атрофида мавжуд бўлади. f( функция бутун ( текисликда аниқланган ва узлуксиз бўлганлиги учун ихтиёрий D{(: - - } соҳани яъни ва ни олиш мумкин. Унда M m бўлади. Ечим эса mi интервалда мавжуд ва ягона бўлади. ТЕКШИРИШ УЧУН САВОЛЛАР Дифференциал тенглама деб қандай тенгламага айтилади?тенгламани тартиби қандай аниқланади?ечим ва умумий ечим таърифини айтинг.ҳосилага нисбатан ечилган тенглама учун Коши масаласини қўйинг.эквивалентлик леммасини айтинг.гронуолл леммасини айтинг. Пикар теоремаси.липшиц шартини келтиринг. ТАЯНЧ ИБОРАЛАР Биринчи тартибли тенгламалар умумий ечим Коши масаласи эквивалентлик леммаси Гронуолл леммаси Пикар теоремаси Липшиц шарти. АДАБИЁТЛАР.М.С.Салохитдинов Г.Н.Насриддинов. Оддий дифференциал тенгламалар. Т. Ўқитувчи.99й.. К.Б.Бойқўзиев. Дифференциал тенгламалар. Т.Ўқитувчи.988й. 3.Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Высшая школа. 967г. ЎЗГАРУВЧИСИ АЖРАЛАДИГАН ТЕНГЛАМАЛАР. БИР ЖИНСЛИ ТЕНГЛАМАЛАР Ҳосилага нисбатан ечилган дифференциал тенгламаларда f(f (d ( кўринишдаги функция бўлса у ҳолда тенглама f d ( кўринишга эга бўлади. Бунда f ( бирор J интервалда d ( эса J интервалда аниқланган функциялардир. ( кўринишдаги дифференциал тенглама ўзгарувчилари ажраладиган дифференциал тенглама дейилади. ТЕОРЕМА: Агар d ўзгарганда f (d ( функция узлуксиз ҳамда d ( бўлса у ҳолда q{(: d}тўғри тўртбурчак соҳанинг ихтиёрий ( нуқтасидан тенгламанинг битта ва фақат битта графиги ўтади. d d эканлигидан фойдаланиб ( тенгламани кўринишда ёзиб оламиз. Сўнгра интеграллаб K (-F (C ёки F(C кўринишдаги умумий интеграл топилади. МИСОЛ: Тенгламани ечинг d унда f d бўлиб d - d d кўринишда ўзгарувчиларни ажратамиз ва интеграллаймиз у ҳолда C ёки C кўринишдаги умумий интегралга эга бўламиз. Ўзгарувчилари ажраладиган тенгламалар ушбу кўринишда ҳам бўлиши мумкин. M (N (dm (N (d ( бу кўринишдаги тенгламани ҳам ( кўринишга келтирамиз яoни d d f d

8 d M N d M N Агар M N f d белгилаш киритсак ( тенглама ( кўринишни олади. Уни M N юқорида кўрилган усулда ечимини топиш мумкин. Қуйидаги дифференциал тенглама берилган бўлсин. М(хуdN(d (3 Агар М(ху ва N(ху функциялар бир хил тартибдаги бир жинсли фунциялар бўлса у ҳолда (3 тенглама бир жинсли тенглама дейилади. Математик анализ курсидан маълумки берилган f( функция - тартибли бир жинсли функция дейилади агар ихтиёрий учун f( m f ( (4 тенглик ўринли бўлса. Энди ушбу маълумотдан фойдаланиб (3 тенгламани тахлил этамиз ( 4 тенгликда х алмаштириш бажарамиз ёки f ( у f ( х m х f ( f (5 формуладан фойдаланиб ( 3 ни қуйидагича ёзамиз. d d M ( N ( m (5 m m M M ϕ N N Демак бир жинсли тенглама d ϕ. (6 d Бу тенгламадан кўринадики координата бошидан бирорта ҳам интеграл чизиқ ўтмайди. Бир жинсли тенгламани ечиш учун z (7 алмаштириш қиламиз бунда zz( янги номаълум функция (7 ни (6 тенгламага қўямиз бунинг учун ddzzd ( z z кўринишда ёзиш мумкин. Дифференциални (ҳосилани топамиз. dz zd ϕ( z d соддалаштирсак dz z ϕ (z d ёки dz d ϕ( z z кўринишга келади Бу ўзгарувчилари ажраладиган тенгламадир сўнги тенгламани интеграллаб Ф(z функцияни оламиз. Сўнг (7 алмаштиришдан z ни топиб Ф( ёки F(хус умумий интегралга эга бўламиз. МИСОЛ: Тенгламани ечинг. ( d d аввало бу тенглама бир жинсли эканлигини кўрсатамиз. (4 формулага кўра хх деб оламиз

9 (( ( ( d d d d d d бундан келиб чиқадики [ ] [ ] d d d d ( ( бўлиб m бўлади. У ҳолда берилган тенглама учун z алмаштириш қилиш мумкин. Бундан dzddz бўлиб тенгламага қўйилса а z z d z z dz интеграллаб топамиз: z z l l l l ёки z z ёки (-. б z z бўлса у ҳолда ( z z бўлиб z z ундан юқоридаги алмаштиришга кўра ифодаларга эга бўламиз. Демак умумий интеграл (. Бир жинсли тенгламаларга келтириладиган дифференциал тенгламалардан бири f d d (8 кўринишдаги тенглама бўлиб унда с ва с лардан камида биттаси нолдан фарқли бўлсин. Унда ҳолни қараймиз -ҳол: а бўлсин Бу ҳолда системани ечиб хх уу ечимни топамиз ва η ξ η ξ (9 алмаштириш бажарамиз. (9 алмаштиришни (8 тенгламага қўйсак f d d η ξ η η ξ η η ξ η ξ ξ η f d d кўринишга келади. Бундан (6 кўринишдаги бир жинсли тенгламани оламиз яъни ξ η ϕ ξ η ξ η ξ η f d d. Бу тенгламани олдинги усулда ечиш мумкин. -ҳол. Агар бўлса у ҳолда тенгликка эга бўламиз. Бундан эса бўлади. (8 тенгламага қўйсак ( f f d d (

10 кўринишдаги тенгламага эга бўламиз. ( тенгламада z алмаштириш бажарамиз у ҳолда ўзгарувчиларни ажраладиган dz f( z d тенгламага ҳосил бўлади. ТЕКШИРИШ УЧУН САВОЛЛАР тенглама Ўзгарувчилари ажраладиган тенгламанинг умумий кўриниши. f ( қандай ечилади? f тенгламани ечинг. i тенгламани ечинг. f тенгламани ечинг. Бир жинсли функция тушунчаси.бир жинсли тенглама кўриниши.бир жинсли тенгламага келтириладиган тенгламалар.умумлашган бир жинсли тенгламани бир жинсли тенгламага келтириш усули. e тенгламани ечинг. ТАЯНЧ ИБОРАЛАР Ўзгарувчилари ажираладиган тенглама. Бир жинсли функция. Бир жинсли тенглама. АДАБИЕТЛАР.М.С.Салохитдинов Г.Н.Насриддинов. Оддий дифференциал тенгламалар. Т. Ўқитувчи.99й.. К.Б.Бойқўзиев. Дифференциал тенгламалар. Т.Ўқитувчи.988й. 3.Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Высшая школа. 967г. Қуйидаги ЧИЗИҚЛИ ТЕНГЛАМАЛАР. ЎЗГАРМАСНИ ВАРИАЦИЯЛАШ УСУЛИ p(f ( кўринишдаги ва га нисбатан чизиқли бўлган тенглама чизиқли тенглама дейилади. Тенгламадаги p( ва f ( функциялар ( интервалда узлуксиз (. Агар ( тенгламада f ( (х ( бўлса у ҳолда p( ( тенглама бир жинсли дейилади. Агар ( тенгламада f ( бўлса бир жинсли бўлмаган тенглама дейилади. Бу тенглама учун бошланғич шарт қўйиб Коши масаласини ҳосил қиламиз. Пикар теоремасига кўра агар p( ва f ( функциялар ( интервалда узлуксиз бўлса у ҳолда ( шартни қаноатлантирувчи ягона ечими мавжуд шунингдек бир жинсли тенгламаларнинг интеграл чизиқлари ОX ўқини кесиб ўтмайди. Ҳақиқатдан ҳам агар ОX ўқини кесиб ўтса у ҳолда Коши масаласининг ечимини ягоналиги бузилади чунки ( ОX ўқи ҳам ( тенгламанинг ечими. Шундай қилиб қуйидаги хулосага келамиз. Агар ( тенгламани бирон-бир ечими ( интервални битта нуқтасида нолга айланса у ҳолда бутун ( интервалда нолга тенг ва аксинча ( интервални битта нуқтасида нолга тенг бўлмаса бутун интервалда нолдан фарқли. Чизиқли тенглама хоссалари.чизиқли тенгламада аргументни ихтиёрий ϕ( алмаштирилганда ҳам ўз кўринишини (яъни чизиқлилигини ўзгартирмайди.. Чизиқли тенгламада номаълум функция ихтиёрий (z(

11 чизиқли алмаштирилганда ҳам ўз кўринишини (яъни чизиқлилигини ўзгартирмайди. Бир жинсли ( тенгламанинг умумий ечимини изланиш учун уни қуйидагича ёзиб оламиз. d-p(d тенгликдан d pd буни интеграллаб p d e (3 кўринишдаги ечимини оламиз бунда сo (3 кўринишидаги ечим ушбу хоссаларга эга.. Агар ( тенгламанинг хусусий ечими бўлса у ҳолда p( (4 айният ўринли ҳамда (5 функция ҳам унинг ечими бўлади. ИСБОТ: функцияни ( тенгламага қўямиз ( p(( с( p( (4 тенгликка кўра юқоридагининг ўнг томони нолга тенг яъни с( p( Демак (5 кўринишдаги функция тенгламанинг ечими.. Агар ( ни нолдан фарқли хусусий ечими бўлса у ҳолда (5 кўринишдаги функция ( нинг умумий ечими бўлади. Маъруза давомида бир жинсли бўлмаган тенглама учун ўзгармасни вариациялаш усули билан танишамиз. Бу усул баoзан Лагранж усули деб юритилади. ( тенгламанинг ечимини (3 кўринишида қидирамиз яъни p d e (6 бунда ўзгармасни ўрнига ( узлуксиз дифференциалланувчи функция деб (6дан ҳосила оламиз p d p d e p e (7 (6 ва (7 ни ( тенгламага қўямиз. p d p d p d e p с e p с e f бундан p d e f ёки p d f e тенгликка эга бўламиз. Сўнгги тенгликни интеграллаб p d f e d o Бу кўринишдаги ( функция қийматини (6га қўйсак p d p d e с f e d (8 кўринишдаги ( тенгламанинг умумий ечимини топамиз. (8 ни ёйиб ёзсак p d p d p d e f e d e (9 кўринишга келади. Бунинг биринчи ҳади ( тенгламани бирор хусусий ечимини билдирса иккинчи қўшилувчи ( тенгламанинг умумий ечимини ифодалайди. ЭСЛАТМА:. Юқоридаги (3 ва (9 формулалардаги интегрални дан гача аниқ интегралга алмаштириш мумкин бунда (

12 яoни p d p d e с f e d Агар ( бошланғич шарт берилса у ҳолда p d p d e f e d ( Коши кўринишидаги умумий ечимга эга бўламиз. ЭСЛАТМА:. Агар p( ва f ( функциялар ( интервалда аниқланган ва узлуксиз бўлса у ҳолда ихтиёрий бошланғич шарт билан аниқланган ечим ҳам узлуксиз ва узлуксиз дифференциалланувчи бўлади яoни ( формула аниқлаган интеграл эгри чизиқ ( интервалда силлиқ бўлади. Бернулли тенгламаси. Ушбу p(f ( ( ( кўринишдаги тенглама Бернулли тенгламаси дейилади. Бернулли тенгламасини чизиқли тенгламага келтириш мумкин. Бунинг учун ( ни га бўламиз у ҳолда - p( - f ( ( тенгламани оламиз. Бунда - z z (3 алмаштириш бажарамиз.(3 ни ( га қуйиш учун ни топамиз. Яъни (3 дан ҳосила олиб z ( z (4 ( Энди (3 ва (4 ни ( га қўямиз z p z f ( ёки z ( p z ( f Бу чизиқли тенглама ушбу чизиқли тенгламани юқоридаги усулда ечиб сўнг яна ( ўзгарувчиларга ўтсак Бернулли тенгламасининг ечими қуйидагича кўринишга эга бўлади. ( p d p d ( e с f e d (5 f( МИСОЛ: тенгламани ечинг. Бу Бернулли тенгламаси бўлиб p(. Тенгламани га бўлиб юборамиз Бу ерда - z ( тенгламага қўямиз соддалаштирсак z алмаштириш қиламиз ҳосила олсак z z ва ( z z

13 z z. Бу чизиқли тенгламани ўзгармасни вариацияллаш усулида ечиб z ( ечимга эга бўламиз. у ўзгарувчига ўтсак умумий ечим ҳосил бўлади. ЭСЛАТМА: Бернулли тенгламасини га бўлганда (> ечим йўқотишимиз мумкин. Шунинг учун > да ечимни (5 формуладан бўлганда олиш мумкин бу хусусий ечим бўлади. Агар << бўлса ечим (4 формуладан келиб чиқмайди ва махсус ечим бўлади. ТЕКШИРИШ УЧУН САВОЛЛАР Чизиқли тенгламанинг умумий уўриниши.бир жинсли кисми.чизиқли тенгламани ечишни ўзгармасни вариациялаш усули.чизиқли тенгламани ечишни ўрнига қўйиш усули. 3 Бернулли тенгламасининг умумий кўриниши.бернулли тенгламасини ечишда алмаштиришнинг кўриниши.риккати тенгламасининг умумий кўриниши.рикаати тенгламасини ечич усули. Риккати тенгламаси қандай тенгламага келтирилади. ТАЯНЧ ИБОРАЛАР Чизиқли тенглама Бернулли тенгламаси ўзгармасни вариациялаш (Лагранж усули. АДАБИЁТЛАР. М.С.Салохитдинов Г.Н.Насриддинов. Оддий дифференциал тенгламалар. Т. Ўқит. 99й. К.Б.Бойқўзиев. Дифференциал тенгламалар. Т.Ўқитувчи. 988й. 3. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Высшая школа 967г ТЎЛА ДИФФЕРЕНЦИАЛЛИ ТЕНГЛАМАЛАР. ИНТЕГРАЛЛОВЧИ КЎПАЙТУВЧИ Бизга M(dN(d ( кўринишидаги тенглама берилган бўлсин. Бунда M( N( функциялар бирор D тўпламда аниқланган ва узлуксиз. Агар ( тенгламани чап томони бирор F( функцияни тўлиқ дифференциали бўлса яoни dfm(dn(d у ҳолда ( тенглама тўлиқ дифференциалли тенглама дейилади. Фараз қилайлик ( тенглама тўлиқ дифференциалли тенглама бўлсин у ҳолда M(dN(ddF F F d d тенглик ўринли. Бундан эса F M( F N( эканлиги келиб чиқади. Сўнги тенгликларни мос ҳолда ва бўйича дифференциаллаймиз F M ( F N ( (3

14 Математик анализ курсидан маълумки аралаш ҳосилалар узлуксиз у ҳолда ҳосила олиш тартибига боғлиқ бўлмайди. Шунинг учун (3ни чап томонлари тенг бўлади. Демак ўнг томонлари ҳам тенг M N (4 (4 шарт ( тенгламани тўлиқ дифференциалли тенглама бўлиши учун зарурий ва етарли шарт бўлиб Эйлер-Даламбер шарти деб аталади. ( тенгламани интеграллаш қуйидагича амалга оширилади. (3ни биринчи айниятини олиб бўйича интеграллаймиз яъни F M( F ( M ( d ϕ (5 D соҳадан олинган бирор нуқта. Бундан бўйича ҳосила оламиз F M ( d ϕ ёки M( функция аниқланган соҳа бир боғламли бўлганлиги учун ҳосила билан интеграл тартибини алмаштириш мумкин F dm d ϕ d (3ни иккинчи тенглигидан фойдаланиб F ўрнига N( қўямиз M d ϕ N( Бу ерда (4 тенгликдан фойдалансак N( d ϕ N( тенглик ўринли бўлади. Интеграллаб N(-N( ϕ N( топамиз. Бундан эса ёки интеграллаб ϕ N( ϕ N( d (6 формулага эга бўламиз o ϕ(у ни ифодасини (5 ифодага қўйиб F ( M ( d N( d кўринишда изланаётган функцияни топамиз. Бу формулада деб қуйидаги кўринишда ёзамиз. M ( d N( d (7 ифода ( тенгламанинг умумий интегралини ифодалайди. ЭСЛАТМА: (3 тенгликни иккинчи тенглигини олиб у бўйича интеграллаб юқоридаги ишларни бажарсак у ҳолда умумий интеграл кўринишда бўлади. M ( d N( d (7

15 МИСОЛ: ( 3 d(-d M 3 N - dm dn d d (4 шарт бажарилди F M 3 F N - деб олсак у ҳолда (7 формуладан фойдаланиб 3 ( d ( d ( интеграллаб қуйидагини топамиз. 4 4 ёки 4 4 Бу берилган тенгламанинг умумий интеграли. Юқорида тўлиқ дифференциалли тенглама тўғрисида фикр юритдик агар Эйлер-Даламбер шарти бажарилмаса у ҳолда тенглама тўлиқ дифференциалли бўлмайди. Баъзи ҳолларда тенгламани тўлиқ дифференциалли тенгламага келтириш мумкин. Агар ( тенгламанинг чап томони тўлиқ дифференциалли бўлмаса шундай µ( ( D функция топиш мумкинки тенгламанинг чап томонини шу функцияга кўпайтирилса тўлиқ дифференциалли тенглама ҳосил бўлади яoни dfµmdµnd ( Шундай хоссага эга бўлган µ( функцияга интегралловчи кўпайтувчи дейилади. F( функцияга M (dn(d ( тенгламанинг интеграли дейилади Фараз қилайлик M ва N функциялар M N ҳосилалари билан узлуксиз у ҳолда Эйлер- Даламбер шартига кўра ( µ M ( N µ (3 тенглик ўринли бундан кўринадики µм µn лар биринчи тартибли ҳосилалари билан узлуксиз. (3 ни ёйиб ёзасак. M µ N µ M µ N µ ёки µ µ M N N M µ (4 кўринишга келади. Бу µ( функцияга нисбатан хусусий ҳосилали биринчи тартибли тенглама бўлиб бу тенгламани ечиш осон эмас. Шунинг учун баъзи хусусий ҳолларини кўриб чиқамиз. µ -ҳол: µµ( бўлсин. У ҳолда (4 да бўлади ва dµ M N N µ d кўринишга эга бўлади. Бундан (N тенгликни оламиз. M N µ ( l µ эканлигидан фойдаланиб белгилаш киритсак µ N µ ёки ( l µ µ тенгламага келамиз. Уни интеграллаб

16 d µ e ечимга эга бўламиз. ихтиёрий ўзгармас сон эканлигидан деб олсак d µ e (5 интегралловчи кўпайтувчининг (5 кўринишига эга бўламиз. (5 ни ( га кўпайтирсак тўла дифференциалли тенгламага келамиз. -ҳол: µµ( бўлсин унда (4 тенглик dµ M N M µ d кўринишни олади. Бунда M N M белгилаш киритиб -ҳолдаги каби фикр юритиб d µ e интегралловчи кўпайтувчи кўринишини оламиз. 3-ҳол: µµ(w( кўринишда бўлсин. У ҳолда (4 тенглик µ w µ w M N N M µ ( w w w кўринишга келади. Сўнгги тенгликдан M N µ µ w w N M ифодани ҳосил қилиб ва унг томонини (w функция билан белгиласак ( w dw µ e кўринишдаги интегралловчи кўпайтувчини топамиз. Хусусий ҳолда агар w( бўлса: M N а ( га тенг N M (бунда dw dw d d б агар w( бўлса M N ( N M dw dw кўринишда бўлади (бунда d d ЭСЛАТМА: µ( интегралловчи кўпайтувчини билган ҳолда умумий ва махсус ечимлар топилади. Ҳақиқатдан ҳам (тенглама берилган бўлиб µ( унинг интегралловчи кўпайтувчиси бўлса dfµmdµnd тенглик ўринли бундан µ(mdnddf ёки (MdNd қўйсак df µ тенгликка эга бўламиз ҳамда df µ буни (3 тенгламага

17 df (6 µ тенгликларга келамиз (6дан F (o умумий интегрални ва µ дан махсус ечимни олишимиз мумкин. ТЕКШИРИШ УЧУН САВОЛЛАР. Тўлик дифференциал тушунчаси.тўлик дифференциал тенгламани умумий кўриниши. Тўлиқ дифференциал тенглама бўлиши шарт.тўлик дифференциал тенгламани ечиш ҳақида тушунча.тўлик дифференциал тенгламага мисол келтиринг.интегралловчи кўпайтувчи ҳақида тушунча.интегралловчи кўпайтувчи µ µ( бўлса уни кўринишини ёзинг.интегралловчи кўпайтувчи µ µ( бўлса уни кўринишини ёзинг.интегралловчи кўпайтувчи µ бўлса уни кўринишини ёзинг.интегралловчи кўпайтувчи µ бўлса уни кўринишини ёзинг. ТАЯНЧ ИБОРАЛАР. Тўла дифференциалли тенглама интегралловчи кўпайтувчи Эйлер - Даламбер шарти. АДАБИЁТЛАР.М.С.Салохитдинов Г.Н.Насриддинов. Оддий дифференциал тенгламалар. Т. Ўқитувчи.99й.. К.Б.Бойқўзиев. Дифференциал тенгламалар. Т.Ўқитувчи.988й. 3.Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Высшая школа. 967г. ҲОСИЛАГА НИСБАТАН ЕЧИЛМАГАН ТЕНГЛАМАЛАР Ҳосилага нисбатан ечилмаган тенглама F( ( кўринишда бўлади. Бу тенгламани га нисбатан ечиш мумкин бўлса f ( ( ( кўринишдаги тенгламага келади. Бу тенгламаларни ечиб умумий ечимни топиш мумкин. Агар (ни га нисбатан ечиш мумкин бўлмаса у ҳолда ( ни ечимини турли усулларда топиш мумкин. Бунинг учун баъзи ҳолларни алоҳида қараймиз. -ҳол: FF( бўлсин яoни F( (3. Бу тенгламанинг камида битта i ечими мавжуд i ўзгармас сон: i ни интеграллб i ёки i тенгликларни оламиз. i ечим эканлигини назарда тутсак (3 тенгламани F кўринишдаги интегралга келамиз. -ҳол: FF( бўлсин яъни F( (4 Бу тенгламани га нисбатан ечиш мумкин бўлса f i ( (i тенгламани оламиз ва уни интеграллаб ечимини топамиз. Агар га нисбатан ечиш мумкин бўлмаса ϕ( ( (5 кўринишда параметр киритиб (4 ни ўрнига та (5 кўринишидаги тенгламани қараймиз. d d бўлганлиги (5 ни биринчи тенглигидан dϕ(d эканлиги учун d(ϕ (d ёки ( ( d ϕ тенгликни оламиз ва (4 нинг ечими параметрик кўринишда

18 ( ( ϕ ( ϕ ифодаланади. d ЭСЛАТМА: Агар (4 ни ϕ( кўринишида ёзиш мумкин бўлса параметр киритилади. 3-ҳол: FF( бўлсин яъни F( (6 Бу ҳолда ϕ( ( кўринишида параметр киритилади. Бунда d d d d ϕ ( ( d тенгликлардан ϕ ( d d ( тенгликка эга бўламиз. Демак (6 нинг ечими параметрик кўринишда ϕ ( d d ( ϕ ( ифодаланади. ЭСЛАТМА: Агар ϕ(' кўринишида ёзиш мумкин бўлса у ҳолда ' алмаштириш амалга оширилади. 4-ҳол: FF( бўлсин яъни F( (7 Бунда агар f(' (8 кўринишида ёзиш мумкин бўлса параметр p киритилади. (8 ни дифференциаллаб f f dp d d d ёки d га бўлиб d f f dp d d тенгламага келамиз алмаштиришдан фойдалансак f f dp p d p га нисбатан дифференциал тенгламага келамиз буни интеграллаб Ф(p интеграл топамиз. Шундай қилиб f ( p Φ( p функциялар (7 нинг интеграллари оиласини аниқлайди. ЭСЛАТМА: (7 ни f( кўринишда ёзиш мумкин бўлса p алмаштириш бажарилади. Бунда f(p параметрик кўринишдаги тенгламани оламиз бу тенгламага d d d f d f p dp қийматларни қўйиб d p( ϕ d ϕ pdp тенгламага келамиз. ни ўзгарувчи деб қараб d га бўламиз dp pϕ ϕ ёки dp p ϕ ϕ d p p d тенглама ҳосил бўлади. Сўнгги тенгламадан

19 бўлиб умумий ечим кўринишда ёзилади. p ϕ махсус ечим бўлса Агар махсус ечим бўлади. Ушбу ( p ω ( ω( ϕ ϕ ( γ ( ( ϕ (8 кўринишидаги тенглама Лагранж тенгламаси дейилади ва бу тенгламада p параметр киритамиз. У ҳолда (8 ϕ(p (p p (9 d d да d ва ни (9 дан фойдаланиб ϕ p d ϕ p p dp ёки ( pd ( ϕ ( p p d ( ϕ( p ( p dp тенгламани оламиз. Бу тенгламада олдидаги коэффициент га боғлиқ эмас d олдидаги коэффициент эса га нисбатан чизиқли шунинг учун уни га нисбатан чизиқли тенгламага келтирамиз. Бунинг учун уни dp га ва ϕ(p -p га бўламиз d ϕ( p ϕ( p dp ϕ( p p p ϕ( p Бу чизиқли тенглама бўлиб ечими A(p B(p кўринишига эга буни (9 га қўямиз A( p ϕ ( p B( p ϕ( p ( p ёки A ( p B ( p A( p B( p параметрик кўринишидаги ечимини топамиз. ЭСЛАТМА: Агар ϕ(p -p бўлса у ҳолда (9дан pϕ(p ( кўринишга келади. ϕ(p-p деб бўлинганда бу тенгламани p p i ечимларини йўқотган бўлишимиз мумкин. Шунинг учун бу қийматларни ( га қўйиб p i ϕ(p i (i кўринишдаги хусусий ёки махсус ечимларини оламиз. Сўнги тенгликдан кўринадики Лагранж тенгламасининг махсус ечимлари тўғри чизиқлардан иборат. Қуйидаги ( ( тенглама Клеро тенгламаси дейилади. Лагранж тенгламасида ϕ( ' деб олинган. ( тенгламада ҳам p параметр киритилади. Унда p (p p ( бўлиб d d га кўра ( ни дифференциаллаб ёки ( ( p pd pd ( p dp тенгламага келтирилади. Сўнгги тенгламадан

20 dp ( p та тенгламага келамиз. Уларни биринчисидан p ни топиб ( ни биринчи тенгламасига қўямиз ва (с кўринишдаги тўғри чизиқлар оиласини ҳосил қиламиз. Иккинчи тенгламадан ( p тенгликни олиб Клеро тенгламасини ( p p p p параметрик кўринишдаги ечимини ёзиш мумкин. ТЕКШИРИШ УЧУН САВОЛЛАР Ҳосилага нисбатан ечилмаган тенгламалар умумий кўриниши. F F холни ечинг. F( F холни ечинг. хосилага нисбатан ечиладиган тенгламани ечинг. Лагранж тенгламасини умумий кўриниши. Клеро тенгламаси умумий кўриниши. Лагранж тенгламаси ечиш ҳақида тушунча.клеро тенгламаси ечиш ҳақида тушунча. Ечимни параметрик кўриниши. тенгламани ечинг. ТАЯНЧ ИБОРАЛАР Тенглама ечимнинг параметрик кўриниши Клеро тенгламаси Лагранж тенгламаси АДАБИЁТЛАР.М.С.Салохитдинов Г.Н.Насриддинов. Оддий дифференциал тенгламалар. Т.. К.Б.Бойқўзиев. Дифференциал тенгламалар. Т. Ўқитувчи 988й. 3.Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных Высшая школа. 967г. Ўқит. 99 й уравнений. ТАРТИБИНИ ПАСАЙТИРИШ МУМКИН БЎЛГАН ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР Юқори тартибли тенгламаларни баъзи ҳолларда тартибини пасайтириш мумкин. Хозир шундай тенгламаларнинг бир неча типларини кўриб ўтамиз.. Ушбу ( ( ( ( F ( ( ( тенгламада (- тартибли ҳосилалар қатнашмайди. Бу ҳолда ( z кўринишда янги z функция киритамиз унда ( тенглама ( F ( z z... z ( кўринишга келиб тартиби (- га тенг. Бирор усул билан ( тенгламани ечиб умумий ечимини топамиз. z w(... алмаштиришга кўра ( w(... кўринишига келади. Сўнги тенгламани интеграллаб ϕ(... кўринишдаги умумий ечимини оламиз.

21 z МИСОЛ: 4 4 Унда z деб олсак 4z z 4z ёки z z 4 Клеро тенгламасига келади. Клеро тенгламасининг ечими z бўлиб ундан 4 тенгламага келамиз. Интеграллаб қуйидаги 4 (- ( кўринишдаги умумий ечимни топамиз. ЭСЛАТМА: Агар ( тенглама ( ( ( F кўринишида бўлса z алмаштириш қиламиз. Агар ( ( ( F кўринишда бўлса z алмаштириш киритиб z f ( z кўринишдаги тенгламага келтирилади. Агар -тартибли тенгламани f кўринишда ёзиш мумкин бўлса уни интеграллаш осон амалга оширилади. Бунда f( ( интервалда узлуксиз функция. Бу тенгламани интеграллашда тенгликдан кетма-кет фойдаланиб интеграллаймиз яъни f ( d f( dd ( шу жараённи -марта такрорлаб умумий ечимни ҳосил қиламиз.. ( тенгламада эркли ўзгарувчи қатнашмаса яъни F (... (3 бўлса у ҳолда z кўринишда янги ўзгарувчи киритамиз ва уни эркли ўзгарувчи сифатида оламиз ҳамда кетма-кет ҳосила ҳисобламиз: d dz dz d dz d d d d d d d d d Бу ҳосилаларни (3 тенгламага қўйиб dz d d dz d d z z z d d d d dz d z w z K d d dz d z F z z... w d d - тартибли тенгламага келамиз. Бу тенгламанинг умумий ечимини топсак zϕ( - кўринишида ифодаланади. Бундан эса dz d

22 ϕ( - тенгламага келамиз. Сўнгги тенгламани интеграллаб (3 тенгламани умумий ечими топилади. 3. ( тенгламада F функция... ўзгарувчиларга нисбатан бир жинсли бўлсин яoни бир жинсли тенгламалар мавзусида берилган таoрифга кўра ихтиёрий учун ( ( m ( ( F K F... тенглик ўринли бўлсин. Бундай тенгламалар учун z алмаштириш қиламиз унда z z z ( z z z ( z z 3 ( ( z 3zz z... w( z z K z бўлиб ( тенглама F( z ( z z... w( z z K z бу бир жинсли эканлигини назарда тутсак m F( z z z... w( z z K z Бу тенгламани m га бўлиб юборсак - тартибли тенгламага келамиз. Уни ечиб z ϕ ( K ечимга эга бўламиз ёки алмаштиришга кўра ϕ ( K тенгламани ечамиз буни умумий ечими ϕ ( K d e кўринишда бўлиб ( тенгламанинг бир жинсли бўлган ҳолдаги умумий ечимини ифодалайди. Фараз қилайлик тенглама P ( Q( (4 кўринишда бўлиб P ва Q функциялар мос ҳолда ва m тартибли бир жинсли функциялар бўлсин. У ҳолда (5 алмаштириш қилиб (4 ни га нисбатан ечамиз ва ни ўрнига хϕ ( параметр киритамиз уни (5 га қўйиб кўринишни ҳосил қиламиз. Шундай қилиб ϕ ( ϕ ( ϕ ( параметрик кўринишдаги тенгламани ҳосил қиламиз. d d тенгликдан фойдаланиб кетма-кет интеграллаймиз. ЭСЛАТМА: F функция бир жинсли бўлган ҳолда zdz алмаштириш киритиш ҳам тенглама тартибини камайтиришига олиб келади. e МИСОЛ: 6 Текширамиз: ( 6 бундан ( 6 Энди тенгламани ечинг. демак берилган тенглама ни нисбатан бир жинсли экан.

23 белгилаш киритамиз: zdz e e ze zdz e zdz ( z z zdz ( zdz e z z z e 6 e zdz ҳосилалар билан бирга тенгламага қўямиз. zdz ёки z z z 6 бўлади. z 6 тенгламани ечиб z 3 топамиз. Алмаштириши кўра ( 3 d e 3 e умумий ечим ҳосил бўлади. ТЕКШИРИШ УЧУН САВОЛЛАР Юкори тартибли тенгламаларнинг тартибини пасайтириш ҳақида тушунча. ( F( ( кўринишидаги тенгламани ечиш усули. F функция бир жинсли бўлса қандай алмаштириш бажарилади. Тенглама F ( кўринишида бўлса тенгламанинг тартиби қандай пасайтирилади. ( F (... тенгламани тартибини пасайтириш.қайси ҳолда P( P( алмаштириш бажарилади?қайси ҳолда алмаштириш бажарилади?умумлашган бир жинсли функция тушунчаси.қандай тенгламалар учун ( 6 тенгламани ечинг. zdz e алмаштириш бажарилади? ТАЯНЧ ИБОРАЛАР Тартибини камайтириш мумкин бўлган тенглама турлари. Алмаштириш кўринишлари. АДАБИЁТЛАР. М.С.Салохитдинов Г.Н.Насриддинов. Оддий дифференциал тенгламалар. Т. Ўқит. 99й.. К.Б.Бойқўзиев. Дифференциал тенгламалар. Т.Ўқитувчи. 988й. 3. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обқкновенных дифференциальных уравнений. Высшая школа. 967г -ТАРТИБЛИ ЧИЗИҚЛИ ТЕНГЛАМАЛАР -чи тартибли чизиқли тенглама деб қуйидаги тенгламага айтилади. ( ( K f ( агар f( бўлса бир жинсли тенглама агар f( бўлса бир жинсли бўлмаган тенглама дейилади. [] учун ( тенгламада ( бўлса у ҳолда бир жинсли тенгламани ( p... p кўринишида ёзиш мумкин. (ни ( L[ ] p... p деб белгиланса L[] бўлади. L - тартибли чизиқли оператор деб аталиб ушбу хоссаларга эга:.l[]l[] o.l[ ] L[ ] L[ ] Бу хоссаларни исботи мос ҳолда ( u ( u ва ( v u v исботланади. Бу хоссаларни умумлаштириб ( u формулалар ёрдамида

24 L i i il[ i ] i i o (3 формулани ёзишимиз мумкин. Энди ушбу хоссалардан фойдаланиб бир жинсли тенглама ечимларининг ушбу икки хоссасини исботлаймиз.. Агар I ϕ функция L[] тенгламанинг ечими бўлса у ҳолда ϕ( (o функция ҳам тенгламанинг ечими бўлади. Ҳақиқатдан ҳам L операторни биринчи хоссасига кўра L[ϕ(]L[ϕ(] ўринли Демак ϕ( тенгламанинг ечими бўлганлиги учун ихтиёрий o бўлганда L[ϕ(]. Шартга кўра L[ϕ (] L[ϕ (]. L операторнинг иккинчи хоссасига кўра L[ϕ (ϕ (]L[ϕ (]L[ϕ (] Юқоридаги хоссалардан ва (3 формуладан фойдалансак ϕ (ϕ ( ϕ ( функциялар L[] тенгламанинг ечими бўлса. i i i ϕ функция ҳам шу тенгламанинг ечими бўлиши келиб чиқади. Функцияларни чизиқли боғлиқлиги ва эрклилиги ТАЪРИФ. Агар [] интервалда α α... α айният α i ўзгармас сонларни камида биттаси нолдан фарқли бўлганда бажарилса у ҳолда функциялар чизиқли боғлиқ дейилади агар айният фақат α i (i бўлганда бажарилса функциялар чизиқли эркли дейилади. МИСОЛ: e e тенглик фақат α α бўлганда бажарилишини кўриш мумкин. Шунинг учун бу функциялар чизиқли эркли. ТАЪРИФ: тартибли чизиқли тенгламани та чизиқли эркли ечимлари шу тенгламанинг фундаментал ечимлари системаси деб аталади. Шу ўринда ушбу теорема ўринли. ТЕОРЕМА. Коэффициентлари [] интервалда узлуксиз бўлган ихтиёрий бир жинсли чизиқли тенглама фундаментал ечимлар системасига эга. ВРОНСКИЙ ДЕТЕРМИНАНТИ Қуйидаги кўринишдаги детерминантга Вронский детерминанти дейилади: W W (... ( ( (... Бу детерминант учун ушбу теоремалар ўринли. ТЕОРЕМА : Агар... функциялар бирор I интервалда чизиқли боғлиқ бўлса шу интервалда W( тенглик ўринли ИСБОТИ: I интервалда камида биттаси нолдан фарқли α α... α сонлар учун α α... α ўринли ( лар чизиқли боғлиқ бўлганлиги учун Бу айниятни п- марта дифференциаллаймиз унда

25 α α... α α α... α ( ( ( α α... α α i ларга нисбатан системани оламиз. α i лардан камида биттаси нолдан фарқли бўлганлиги учун система нолдан фарқли ечимга эга. Демак алгебра курсидан маълумки бу системани детерминанти нолга тенг (теорема исбот бўлади. ТЕОРЕМА 3. Агар чизиқли эркли функциялар бир жинсли тенгламанинг I интервалда аниқланган ечимлари бўлса у ҳолда мос Вронский детерминанти бирор нуқтада ҳам нолга тенг эмас. Энди бир жинсли тенгламанинг умумий ечимни ҳақидаги теоремани келтирамиз. ТЕОРЕМА 4: Агар функциялар L[] тенгламани фундаментал ечимлари системаси бўлса бу тенгламанинг умумий ечими... i i (4 i формула билан аниқланади. ИСБОТ: Теоремани исботлаш учун ихтиёрий ( (... (5 шартни қаноатлантирувчи хусусий ечим ( формуладан келиб чиқишини кўрсатамиз. (5ни ( j ( j ( j i i кўринишда белгилаймиз ва (4 га қўямиз: ( j ( j ( ( j i Буни ёйиб чиқсак тенгламалар системаси ҳосил бўлади. Унинг детерминанти Вронский детерминанти бўлиб лар чизиқли эркли ечим бўлганлиги учун нолдан фарқли (3- теоремага кўра. У ҳолда система i ихтиёрий I учун i ларга нисбатан ягона ечимга эга яoни бу системадан i ларни аниқ қийматини топиш мумкин. Уни (4 қўйсак хусусий ечими ҳосил бўлади. Теорема исботланди. нчи тартибли тенгламани хусусий ҳоли сифатида бўлганда (6 тенгламани қарайлик. Бу тенгламани битта хусусий ечими маoлум бўлса уни умумий ечими d e (7 кўринишида ифодаланади. (7 кўринишидаги формула Остроградский-Лиувилл формуласи деб аталади. (7ни ёйиб ёзсак d e бўлиб уни чап томони бўлинмани ҳосиласи формуласини Буни интегралласак ёки e e d ( ( d тенгликка эга бўламиз. d e га бўлсак ( ифодалайди унда d ( d

26 эканлиги келиб чиқади. Бу (6 нинг умумий ечимини ифодалайди. ТЕКШИРИШ УЧУН САВОЛЛАР -тартибли бир жинсли тенглама.-тартибли бир жинсли тенгламаларнинг хоссалари. Функцияни чизиқли боғликлиги.функцияни чизиқли эрклилиги.фундаментал ечимлар системаси таoрифи.вронский детерминанти.вронский детерминантини хоссаси (теорема. Вронский детерминантини хоссаси (теорема.остроградский-лиувилл формуласи (. х е х функцияларни чизиқли боғлик ёки чизиқли эркли эканлигини аниқланг. ТАЯНЧ ИБОРАЛАР тартибли чизиқли тенгламалар. Функцияни чизиқли боғлиқлилиги. Вронский детерминанти. Иккинчи тартибли ўзгарувчан коэффициентли тенглама. АДАБИЁТЛАР.М.С.Салохитдинов Г.Н.Насриддинов. Оддий дифференциал тенгламалар. Т. Ўқит. 99й..К.Б.Бойқўзиев. Дифференциал тенгламалар. Т.Ўқитувчи. 988й. 3.Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Высшая школа 967г. ЧИЗИҚЛИ БИР ЖИНСЛИ ЎЗГАРМАС КОЭФФИЦИЕНТЛИ ТЕНГЛАМАЛАР. Олдинги мавзуда п чи тартибли тенгламани умумий назарияси билан танишдик. Энди коэффициентлари ўзгармас сонлар бўлганда кўриб чиқамиз.... i o ( кўринишдаги тенглама ўзгармас коэффициентли п-чи тартибли чизиқли бир жинсли тенглама деб аталади. Бу тенгламанинг хусусий ечими λ e ( кўринишида қидирилади. λo ( ни (га қўйиш учун ҳосила оламиз. λ λ λ буларни тенгламага қўйиб ёки тенгликка келамиз бу ердан λ e λ e... λ e λ e e e λ λ λ λ λ λ e... e ( λ λ... бўлганлиги учун унга қисқартириб λ (3 λ... кўринишда λ га нисбатан алгебраик тенгламага келамиз. (3 тенглама ( тенгламанинг характеристик тенгламаси деб аталади. Маълумки (3 тенгламани п та илдизи бор улар ҳақиқий комплекс бўлиши мумкин. Шунинг учун алоҳида кўриб чиқамиз. -ҳол: (3 характеристик тенглама λ λ... λ илдизлари ҳақиқий ва хар хил бўлсин. Бу ҳолда барча илдизларни (га қўйиб λ λ λ e e... e кўринишдаги хусусий ечимларни ҳосил қиламиз. Бундан

27 i i i λ e λ e λ... e (4 умумий ечимини ёзамиз. 3 МИСОЛ:. Характеристик тенгламаси λ λ бўлиб λ λ λ 3 - илдизларга эга (4 формулага кўра умумий ечим e e 3 -ҳол: (3ни илдизлари ҳақиқий ва ичида карралиси бор. Агар (3 ни λ i илдизи i каррали бўлса (бунда... у ҳолда чизиқли эркли ечимлар сони дан кам биз -та чизиқли эркли ечимларини топамиз. Фараз қилайлик i каррали илдиз A i лар i каррали бўлсин. (3 тенглама λ λ i... λ кўринишига эга бўлади. Бу характеристик тенгламага мос тенглама i... кўринишда бўлиб уни хусусий ечимлари i кўринишда бўлади. Агар λ i бўлса у ҳолда e i алмаштириш билан нолp ҳолга келтирилади λ i га нисбатан олинган тенглама илдизлари i бўлиб i e e i λ... e ечимлар мос келади. Унда умумий ечим m i (... i i i e i i кўринишида бўлади. Бунда m чизиқли эркли ечимлар сони. МИСОЛ: тенгламани ечинг. Характеристик тенглама: λ λ ёки (λ λ - λ - бу илдизга мос умумий ечим ( e - формула билан ифодаланади. 3-ҳол: (3ни илдизлари тенг эмас аммо ичида комплекс илдизлари бор. Илдизлар комплекс бўлса улар ўзаро қўшма бўлади. ( α iβ ( α iβ λ α ± iβ уларга e e ( α iβ ( α iβ. Хусусан e e бўлган ечимлар мос ( келади. Бу комплекс ечимларни Эйлер формуласидан фойдаланиб α ± iβ α у e ( o β ± i β α α кўринишида ёзиш мумкин яoни e o β e i β. эрклидир. Худди шундай α iβ ечимга α α Бу ечимлар ( ; оралиқда чизиқли e o β e i β ечимлар мос келади. Бу ечимлар янги ечимлар тўпламини ҳосил қилмайди. Демак комплекс қўшма ечимларга иккита ҳақиқий ечим мос келади. Комплекс ечимларни ҳақиқий ечим билан ифодалаш учун қуйидаги теоремани келтирамиз. ТЕОРЕМА: Агар коэффициентлари узлуксиз бўлган L[] тенглама u(iv( ечимга эга бўлса у ҳолда шу ечимни ҳақиқий қисми u( ва мавхум қисми v( функциялар ҳам тенгламанинг ечими бўлади. Шу теоремага кўра α α e o β ва e i β функциялар тенгламанинг ечимлари бўлади. МИСОЛ: 4 5 тенглама учун (3 тенглама қуйидагича бўлади. λ 4λ 5 Бунинг ечимлари λ -i λ --i у ҳолда умумий ечим

28 e ( i o кўринишга эга. 4-ҳол: (3 нинг илдизлари комплекс ва каррали бўлсин. Агар (3нинг илдизлари α iβ кўринишида бўлса унга қўшма α iβ илдизга ҳам эга. Шунинг учун α iβ к i каррали бўлса α iβ илдиз ҳам i - каррали бўлади яoни e α α o β e α α o β... i e i β e i β... e i β кўринишидаги та ҳақиқий ечим олишимиз мумкин. Бу тенгламалар ( m λ i e i e α α o β ; оралиқда чизиқли эркли бунга Эйлер формуласидан фойдаланиб кўринишда ёзиб ишонч ҳосил қилиш мумкин ( ҳолга қаранг. Шундай қилиб α ± iβ i каррали комплекс қўшма ечимларга та ечим мос келади. Умумий ечимни ҳақиқий ва комплекс ечимларни хар бири учун ёзиб олиб жами та чизиқли эркли ечимлардан ҳосил қиламиз. МИСОЛ: IV тенглама характеристик тенгламасининг илдизлари λ 4 i λ -i λ 3 i λ 4 -I бўлиб умумий ечим ( o( 3 4 i кўринишида ифодаланади. ТЕКШИРИШ УЧУН САВОЛЛАР -тартибли умумий кўриниши.-тартибли узгармас коэффициентли бир жинсли тенгламалар. Характеристик тенглама кўриниши.характеристик тенглама илдизлари ҳақиқий ва ҳар ҳил бўлганда ечим кўриниши.характеристик тенглама илдизлари ҳақиқий ва хар хидд ечим кўриниши.характеристик тенглама илдизлари ҳақиқий ва ичида карралиси бор бўлган холда. Эйлер формуласи.характеристик тенгламани илдизлари комплекс бўлган m хол тенгламани ечинг. IV 4 тенгламани ечинг. ТАЯНЧ ИБОРАЛАР тартибли тенгламанинг умумий ечими характеристик тенглама Эйлер формуласи комплекс ечим каррали ечим. АДАБИЁТЛАР.М.С.Салохитдинов Г.Н.Насриддинов. Оддий дифференциал тенгламалар. Т. Ўқит. 99й..К.Б.Áîé3 çèåâ. Дифференциал тенгламалар. Т.Ўқитувчи. 988й. 3.Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Высшая школа 967г. Ушбу ЎЗГАРМАС КОЭФФИЦИЕНТЛИ ЧИЗИҚЛИ БИР ЖИНСЛИ БЎЛМАГАН ТЕНГЛАМАЛАР... q ( тенгламани ечиш масаласи билан танишамиз. Умуман ( тенгламани умумий ечимини q( функциянинг кўринишига боғлиқ бўлмаган ҳолда ўзгармасни вариациялаш усулида (Лагранж усулида ечиш мумкин. Бунинг учун ( га мос бир жинсли тенгламани ечиб умумий ечим топилади яoни... ( бу ерда i i ( деб оламиз ва (ни (га қуйиш учун кетма-кет ҳосила оламиз

29 ... (3 (3да... деб колган қисмидан яна ҳосила оламиз... бунда ҳам i ( ларни ҳосиласи қатнашганларини нолга тенглаймиз... Шу тартибда п марта ҳосила оламиз ва ҳосилаларни (га қўямиз. Унда q (4 кўринишидаги системага келамиз. (4 системадан алгебра курсидаги бирор усул билан i ( ларни топиб (га қўямиз ва ( нинг умумий ечимини ҳосил қиламиз. ( тенгламани умумий ечими мос бир жинсли... (5 тенгламанинг умумий ечими билан ( тенгламанинг хусисий ечими йиғиндисига тенг бўлади яoни ж б / (6 - ( нинг хусусий ечими. ж б / - (5 нинг умумий ечими. Бундан ташқари q( махсус кўринишга эга бўлса - хусусий ечимни номаoлум коэффициентлар усулида топиш мумкин: A A A q... кўринишда бўлса B B B... (7 деб олиб ( тенгламага қўйилади ва мос коэффициентлар тенгланади A B A B B A B... : : (8 (8 дан B i - ўзгармаслар топилиб (7га қўйилади. (нинг умумий ечими (6 кўринишда ифодаланади. б e A A A q γ... кўринишда бўлса у ҳолда γ - характеристик тенгламани илдизи бўлмаса e B B B γ... кўринишда γ - характеристик тенгламани - каррали илдизи бўлса B B B e... γ кўринишда изланади ва а ҳолдаги каби B i - коэффициентлар топилади. Агар Q P e q m m i o (9

30 кўринишда бўлса (бунда P m ва Q m лар х га нисбатан m- тартибли кўпҳад бўлиб камида биттасининг даражаси m га тенг. Бунда ушбу формуладан фойдаланамиз: i i i i e e e e o i ( i шунга кўра (9 ни қуйидагича ёзамиз i i i i e e e e q ( Pm ( e Q m ( e i ( i ( i Pm e Q m e q( функцияни ( га қўйсак тенгламанинг ўнг томони та функция йиғиндисидан иборат бўлади. Шу ўринда ушбу маoлумотни келтирамиз: Агар ( тенгламанинг ўнг томони иккита функция йиғиндисидан иборат бўлса q(f (f ( бўлиб функция L(уf ( тенгламанинг функция L(уf ( тенгламанинг ечимлари бўлса у ҳолда у у функция L(уf (f ( тенгламанинг ечими бўлади. Ушбу маoлумотни эoтиборга олиб қуйидаги иккита ҳолни қараймиз а λ i сони ( тенгламага мос характеристик тенгламанинг илдизи бўлмаса у ҳолда хусусий ечим ( i ( R i m e N m e ( кўринишда қидирилади. б λ i сони ( тенгламага мос характеристик тенгламанинг каррали илдизи бўлса у ҳолда хусусий ечим ( i ( i Rm e Nm e ( кўринишда қидирилади. Бунда R m ( ва N m ( лар m тартибли номаoлум коэффициентли кўпҳадлар. ( ( формулаларни ҳақиқий ечимларга ўтказсак мос ҳолда ва e ( R o N i m ( R o N i e m m кўринишларни олади. R m ( ва N m ( кўпҳадларнинг коэффициентлари юқорида кўрсатилган усулда топилади. ТЕКШИРИШ УЧУН САВОЛЛАР Ўзгармас коэффицентли -тартибли бир жинсли бўлмаган тенглама умумий кўриниши. Бир жинсли тенглама ечимини структураси.ўзгармасни вариациялаш (Лагранж усули. Ноoмалум с i (х функцияларга нисбатан тенгламалар системасини кўриниши.тенгламани ўнг томони махсус кўринишга эга бўлган хол. q A A... A бўлганда ноoмалум j коэффициентлар усули. q ( A A... A e кўрини шида бўлса ечим қандай кўринишида қидирилади.юқоридаги саволда j характеристик тенгламани илдизи бўлса ечими кўриниши.j характеристик тенгламани илдизи бўлмаган ҳолда ечимни кўриниши. 4 q9 тенгламани ечинг. 3 e тенгламани ноoмалум коэффициентлар усулида ечинг. ТАЯНЧ ИБОРАЛАР Лагранж усули умумий ечим структураси номаoлум коэффициентлар усули. АДАБИЁТЛАР..М.С.Салохитдинов Г.Н.Насриддинов. Оддий дифференциал тенгламалар. Т. Ўқит.99й.. К.Б.Бойқўзиев. Дифференциал тенгламалар. Т.Ўқитувчи.988й. 3.Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Высшая школа. 967г. m

31 НОРМАЛ СИСТЕМА УЧУН КОШИ МАСАЛАСИ ЕЧИМИ ҲАҚИДАГИ ТЕОРЕМА f f f (... ( кўринишидаги дифференциал тенгламалар системани нормал система дейилади бу ерда i лар нинг номаoлум функциялари f i лар бирор Q чегараланган соҳада аниқланган узлуксиз функциялар. ТАOРИФ: Агар бирор I интервалда аниқланган ( ϕ ϕ ϕ... ϕ 3 функциялар системаси учун. ( ϕ ϕ ϕ... ϕ. ϕ i ( C (I 3 Q 3. ϕ i ( f i ( ϕ ( ϕ ( ϕ ( I шартлар бажарилса бу функциялар ( системани I да аниқланган ечими дейилади. КОШИ МАСАЛАСИ: (... бўлиб ( системанинг ва ( ϕ ( ϕ ( ϕ... ( шартларни қаноатлантирувчи ечимини топиш масаласи ( система учун К.М. дейилади. ТЕОРЕМА: Агар ( система учун (... бошланғич қийматлар берилган бўлиб. (f f f функциялар қуйидаги П (... { : } ёпик соҳада узлуксиз (Демак чегараланган f i M.. П соҳада f i функция (... аргументлар бўйича Липшиц шартини қаноатлантирса у ҳолда ( система ( h интервалда ( шартни қаноатлантирувчи ягона ечимга эга. h mi Бу ҳолда Липшиц шарти M нукталар учун ( ( f i (... f i (... L i i i кўринишда бўлади. Ушбу теорема ҳам биринчи тартибли тенглама учун Пикар теоремасини исботига ўхшаш исботланади. МИСОЛ: Коши масаласини ечинг. ( ( λ λ ± i o i i i o i o o i. хусусий ечим. ( ( λ o i i (

32 ВРОНСКИЙ ДЕТЕРМИНАНТИ Агар I интервалда аниқланган ( ϕ ϕ... ϕ вектор функциялар учун бир вактда нолга тенг бўлмаган α α... α ўзгармас сонлар мавжуд бўлсаки шу сонлар учун (... ( α ϕ α ϕ α ϕ ( айният ўринли бўлса у ҳолда берилган функциялар I да чизиқли боғлиқ дейилади. Акс ҳолда чизиқли эркли дейилади. бу ерда ϕ ( ϕ ( ϕ (. : ϕ ( айниятни очиб ёзамиз α ϕ α ϕ α 3ϕ 3... α ϕ α ϕ α ϕ α 3ϕ 3... α ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α ϕ. Бу система α i ларга нисбатан чизиқли тенгламалар системаси ҳосил қилади. Унинг детерминантини ёзиб оламиз ϕ ϕ... ϕ W ( ϕ ϕ... ϕ ϕ... ϕ ϕ... ϕ ϕ... ϕ Бу детерминантга система учун Вронский детерминанти дейилади. Бизга A (3 A (4 чизиқли система берилган бўлсин. ТЕОРЕМА: Агар (4 системада A( I да узлуксиз бўлиб шу система ечимларидан тузилган Вронский детерминанти I интервалда камида битта ( нуқтада нолга тенг бўлса у ҳолда ( ( ( ( ϕ ϕ... ϕ функциялар I да чизиқли боғлиқ бўлади. ( ТЕОРЕМА. Агар ( ϕ ϕ... ϕ ечимлар учун W( бўлса ( I W( I ўринли. МИСОЛ: e e ϕ ϕ e e α e α e W α e α e e e 3 3 ( ϕ ϕ e e α α e e (4нинг чизиқли эркли ечимлари системаси фундаментал ечимлар системаси дейилади. Энди системани механик маoносига қисқача тўхталиб ўтамиз. ( кўринишдаги нормал системани... (5 ечимга ўлчовли фазода х нуқтанинг харакати мос келади.

33 Бу фазога ҳолатлар фазоси ( да ҳолатлар текислиги харакат натижасида ҳосил бўлган эгри чизиқ харакат територияси дейилади. (5 тенгламалар харакат территориясининг параметрик тенгламаларидир. Бу тенгламалар нафақат нуқтанинг геометрик ўрнини аниқлайди балки шу нуқтани ихтиёрий вактда траекториядаги ҳолатини аниқлаб траектория бўйича вакт ўзгариши билан нуқтанинг харакатини кўрсатади. (6 система (... фазонинг f f... f функциялар аниқланган қисмида тезликлар майдонини аниқлайди. Умуман (6 системани интеграллашдан мақсад барча харакат траекторияларини топиш ва уларнинг хоссаларини ўрганишдан иборат. ТЕКШИРИШ УЧУН САВОЛЛАР Нормал системани умумий кўринишини ёзинг.нормал системанинг ечими деб нимага айтилади?нормал системани учун Коши масаласини қўйинг.ечимни мавжудлиги ва ягоналиги ҳақидаги теоремани айтинг. Бу холда Липшиц шарти қандай кўринишда бўлади?функцияларнинг чизиқли боғлиқлилига таoриф беринг.чизиқлди боғлик функцияларга мисол келтиринг.вронский детерминантини ёзинг.вронский детерминантини хоссаси. Вронский детерминантини хоссаси. ТАЯНЧ ИБОРАЛАР Нормал система. Коши масаласи. Функцияларнинг чизиқли боғлиқлиги. Система учун Вронский детерминанти. Фундаментал ечимлар системаси. АДАБИЁТЛАР.М.С.Салохитдинов Г.Н.Насриддинов. Оддий дифференциал тенгламалар. Т. Ўқит. 99й..К.Б.Бойқўзиев. Дифференциал тенгламалар. Т.Ўқитувчи. 988й. 3.Матвеев Н.М. Методы интегрирования обқкновеннқх дифференциальных уравнений. Высшая школа 967г. ЧИЗИҚЛИ ЎЗГАРМАС КОЭФФИЦИЕНТЛИ ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИ. ЭЙЛЕР УСУЛИ. Энди тенгламалардаги коэффициентлар ўзгармас сонлар бўлганда системани ечиш усули билан танишамиз (... кўринишдаги ёки ёзишга қулай d i i f ( ( а ij o d i кўринишдаги система ўзгармас коэффициентли чизиқли система дейилади. Агар f( бўлиб d i ( i d i кўринишида бўлса бир жинсли система дейилади. Ўзгармас коэффициентли тенгламаларни хусусий ечимини топиш усулини эсга олиб ( системанинг ечимини λ γ e (3 (... кўринишда излаймиз бунда γ ва λ - лар ўзгармас сонлар. Бу ерда шунга эoтибор бериш керакки барча лар учун λ бир хил. (3ни (га қўямиз.