Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

Transcript

1 Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών Νικολαΐδη Αντωνίου-Γεωργίου του Γεωργίου Αριθμός Μητρώου: 6161 Θέμα «Βέλτιστος Έλεγχος Μη Γραμμικού Συστήματος Σφαίρας-Ράβδου με Χρήση Γραμμικού Νόμου Ελέγχου» Επιβλέπων Καζάκος Δημοσθένης Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Πάτρα, Οκτώβριος 2017

2 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασία με θέμα «Βέλτιστος Έλεγχος Μη Γραμμικού Συστήματος ΣφαίραςΡάβδου με Χρήση Γραμμικού Νόμου Ελέγχου» Του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Νικολαΐδη Αντωνίου-Γεωργίου του Γεωργίου Αριθμός Μητρώου: 6161 Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις.../../ Ο Επιβλέπων Ο Διευθυντής του Τομέα 2

3 Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Θέμα: «Βέλτιστος Έλεγχος Μη Γραμμικού Συστήματος Σφαίρας-Ράβδου με Χρήση Γραμμικού Νόμου Ελέγχου» Φοιτητής: Αντώνιος-Γεώργιος Νικολαΐδης Επιβλέπων: Καζάκος Δημοσθένης Περίληψη Στην παρούσα διπλωματική εργασία, παρουσιάζεται το πρόβλημα σταθεροποίησης του μη γραμμικού συστήματος σφαίρας-ράβδου με βέλτιστο νόμο ελέγχου. Πρόκειται για ένα κλασσικό σύστημα ελέγχου, που το χαρακτηρίζει η απλότητα της λειτουργίας του, αλλά και η αστάθεια ανοικτού βρόχου, που απαιτεί την εισαγωγή ανάδρασης για να διορθωθεί. Η μελέτη ξεκινά από τα συστατικά μέρη του συστήματος και συνεχίζει με την εξαγωγή των εξισώσεων που περιγράφουν τη συμπεριφορά του, μέσω της προσέγγισης των εξισώσεων Hamilton για μηχανικά δυναμικά συστήματα. Για το σκοπό αυτό, λαμβάνονται κάποιες προσεγγίσεις που απλοποιούν το πρόβλημα. Αυτές, θα οδηγήσουν στη γραμμικοποίησή του γύρω από ένα εύρος λειτουργίας και κατά συνέπεια στην απλοποίηση της επίλυσης του ζητούμενου προβλήματος. Το γραμμικό σύστημα που θα προκύψει, θα είναι επιπλέον και χρονικά αμετάβλητο, γεγονός που διευκολύνει σημαντικά τον έλεγχό του. Στη συνέχεια, γίνεται μία εισαγωγή στη Θεωρία Βελτιστοποίησης, που σκοπό έχει να εισάγει τον αναγνώστη στις βασικές έννοιες του Λογισμού των Μεταβολών, που αποτελεί θεμέλιο του αντικειμένου του Βέλτιστου Ελέγχου. Κάθε ενότητα παρουσιάζεται με τρόπο που να συνδέει τις μεθόδους εύρεσης ακροτάτου για συναρτήσεις, με εκείνες που αφορούν την εύρεση ακροτάτου για συναρτησοειδή. Έτσι, η ανάλυση καταλήγει στην προσέγγιση των μεταβολών για την επίλυση προβλημάτων βέλτιστου ελέγχου, όπου στην ουσία σκοπός είναι η ελαχιστοποίηση ενός συναρτησοειδούς, του κριτηρίου κόστους που έχει επιλεγεί ως δείκτης απόδοσης για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Στην παρούσα εργασία, το κριτήριο θα επιλεγεί να είναι γραμμικό και τετραγωνικό (Linear Quadratic Regulator LQR). Εν τέλει, παρουσιάζεται η εξομοίωση του προβλήματος με τη χρήση του λογισμικού Matlab και της εντολής lqr. Το σύστημα ελέγχεται, ώστε να επιβεβαιωούν οι προϋποθέσεις εφαρμογής της μεθόδου για το τετραγωνικό κριτήριο κόστους. Μεταβάλλονται κάποιες παράμετροι των μητρών βάρους και παρουσιάζονται τα αντίστοιχα αποτελέσματα στην απόκριση του συστήματος, για να προκύψουν τα τελικά συμπεράσματα για την αποτελεσματικότητα της χρήσης του τετραγωνικού κριτηρίου. 3

4 Abstract In the present thesis project, the problem presented is that of the stabilization of a non-linear ball beam system using an optimal control law. The system is characterized by it's operating simplicity and also it's open-loop instability, which requires introducing a feedback element to make it stable. The analysis begins from the parts that construct the system and proceeds with the extraction of the mathematical equations which describe the system's behavior, by utilizing Hamilton's equations for mechanical dynamic systems. For this purpose, several approximations are considered, leading to a slightly simplified mathematical model of the original non-linear dynamics. These approximations lead to the plant's linearization around an operating point and consequently to the simplification of the solution of the initial problem. The linear system that is derived is also time invariant, which makes it easier to achieve stabilization by well known control methods. Further on, Optimization Theory is introduced, so that the reader becomes familiar with basic concepts of the Calculus of Variations, a fundamental concept that relates directly to Optimal Control. At each step, optimization methods for functions are presented in parallel with the methods used to optimize functionals, so that the reader relates the two notions. The analysis then concludes with the variational approach to optimal control problems, in which the objective is to minimize a functional, the performance index that has been chosen as a measure of cost efficiency for the particular problem. In the present thesis project, the performance index is selected to be linear and quadratic in nature (Linear Quadratic Regulator LQR). Finally, the simulation of the system is presented, using Matlab and the lqr command. The system is checked, so that all conditions required in order to apply the LQR method, are met. Some parameters of the weighted matrices are varied, in order to present the relative variations in the system's response, so that a conclusion can be formed concerning the quadratic cost functional's effectiveness. 4

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ (Table of Contents) Περίληψη σελ. (Abstract)... 3 Κεφάλαιο Μοντελοποίηση του Συστήματος Σφαίρας-Ράβδου (System Modeling)... 8 Εισαγωγική Περιγραφή του Συστήματος (Introductory Description of the System)... 8 Φυσικές Παράμετροι (Physical Parameters) Μαθηματική Μοντελοποίηση (Mathematical Modeling) Χαμιλτονιανή Μηχανική (Hamiltonian Mechanics) Συνάρτηση Μεταφοράς και Εξισώσεις Κατάστασης (Transfer Function and State-Space Representation) Κεφάλαιο Θεωρία Βελτιστοποίησης - Λογισμός των Μεταβολών (Optimization Theory - Calculus of Variations) Βασικές Έννοιες (Fundamental Concepts) Συνάρτηση και Συναρτησοειδές (Function and Functional) Διαφορά Τιμών Συνάρτησης και Συναρτησοειδούς (Increment of a Function and a Functional) Διαφορικό Συνάρτησης και Μεταβολή Συναρτησοειδούς (Differential of a Function and Variation of a Functional) Ακρότατα Συνάρτησης και Συναρτησοειδούς (Optimum of a Function and a Functional) Βελτιστοποίηση χωρίς Περιορισμούς (Unconstrained Optimization) Αναγκαία Συνθήκη για Ακρότατο Εξαγωγή της εξισώσεως Euler Lagrange (Necessary Condition for Optimum Euler-Lagrange Equation) Ικανή Συνθήκη για Ακρότατο - Δεύτερη Μεταβολή (Sufficient Condition for Optimum - Second Variation) Βελτιστοποίηση με Περιορισμούς (Constrained Optimization) Ακρότατα Συναρτήσεων με Περιορισμούς (Extrema of Functions with Conditions) Άμεση Μέθοδος (Direct Method) Πολλαπλασιαστές Lagrange (Lagrange Multiplier Method) Ακρότατα Συναρτησοειδών με Περιορισμούς (Extrema of Functionals with Conditions) Προσέγγιση Μεταβολών στο Πρόβλημα του Βέλτιστου Ελέγχου Συστημάτων (Variational Approach to Optimal Control Systems) Τελικά όρια χρονικής στιγμής tf και κατάστασης xf - Τύποι συστημάτων (Final Time tf and Final State xf Types of Systems) Ικανή Συνθήκη για Ακρότατο με όρους Χαμιλτονιανής (Sufficient Condition for Optimum in terms of Hamiltonian)

6 Κεφάλαιο Βέλτιστος Έλεγχος με Τετραγωνικό Κριτήριο (LQR Optimal Control) Περίπτωση γραμμικού χρονικά μεταβαλλόμενου συστήματος με προκαθορισμένο τελικό χρόνο (Linear Time Varying LTV System with Finite-Time LQR) Περίπτωση γραμμικού χρονικά μεταβαλλόμενου συστήματος απείρου τελικού χρόνου (Linear Time Varying LTV System with Infinite-Time LQR) Περίπτωση γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος απείρου τελικού χρόνου (Linear Time Invariant LTA System with Infinite-Time LQR) Κεφάλαιο Εξομοίωση του Συστήματος σε περιβάλλον Matlab Συμπεράσματα (Simulation in Matlab Environment Comments) Μοντελοποίηση Καταστατικών Εξισώσεων στο Matlab (State-Space Modeling in Matlab) Ελεγξιμότητα και Παρατηρισιμότοτα (Controllability and Observability) Χρήση της εντολής lqr (Usage of lqr command) Απόκριση του Συστήματος (Response of the System) Σχολιασμός Αποτελεσμάτων (Comments on Results) Παράρτημα (Appendix) Εξαγωγή Εξισώσεων Συστήματος με Δυναμική του Hamilton (Hamiltonian Dynamics of the System) Βιβλιογραφία (References)

7 7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μοντελοποίηση του Συστήματος Σφαίρας-Ράβδου 1.1 Εισαγωγική Περιγραφή του Συστήματος Το σύστημα σφαίρας-ράβδου είναι ένα από τα πλέον κλασσικά συστήματα ελέγχου που συναντά κανείς είτε στη βιβλιογραφία, είτε σε εργαστήρια για την πρακτική εκμάθηση των τεχνικών ελέγχου και της συμπεριφοράς συστημάτων. Ένα από τα χαρακτηριστικά που το καθιστούν τόσο δημοφιλές, είναι η απλότητά του στην κατανόηση. Αποτελείται από μία ράβδο, με εγκάρσια εγκοπή, πάνω στην οποία κυλάει μία μεταλλική σφαίρα. Η σφαίρα ισορροπεί σε κατά τόπους σημεία κατά μήκος της ράβδου, με την προϋπόθεση να ελέγξω σωστά τη γωνία στρέψης της ράβδου. Αυτό επιτυγχάνεται με τον έλεγχο του σερβοκινητήρα που ευθύνεται για την περιστροφή της. Παρότι απλό, το σύστημα έχει τέτοιες εγγενείς ιδιότητες που μου επιτρέπουν να εφαρμόσω πολλαπλές τεχνικές ελέγχου για τη σταθεροποίησή του, είτε κλασσικές, είτε περισσότερο σύγχρονες. Είναι σύστημα εκ φύσεως μη γραμμικό, όμως η ανοικτού βρόχου αστάθειά του (open loop instability) είναι εκείνη η ιδιότητα που με ενδιαφέρει περισσότερο. Αν εφαρμόσω σταθερή είσοδο στο σύστημα (δηλαδή σταθερή γωνία στρέψης), τότε είναι προφανές πως η σφαίρα θα αποκλίνει από το σημείο ισορροπίας της και θα συνεχίσει να κυλάει στην κατεύθυνση στην οποία το οδηγεί η κλίση της ράβδου. Χωρίς την εισαγωγή κατάλληλης ανάδρασης (feedback), το σύστημα δε μπορεί να ελεγχθεί αποτελεσματικά. Στην παρακάτω εικόνα φαίνονται τα κυριότερα στοιχεία που το απαρτίζουν. Στην εργασία αυτή, με την επιστράτευση των κατάλληλων προσεγγίσεων, θα γραμμικοποιήσω το σύστημα γύρω από τη θέση ισορροπίας που βρίσκεται στο κέντρο της ράβδου, για να απλοποιηθούν οι δυναμικές εξισώσεις που το περιγράφουν. Στη συνέχεια, θα εφαρμόσω βέλτιστο έλεγχο για τη σταθεροποίησή του. Η τεχνική που θα εφαρμόσω είναι τόσο απλή, αλλά ταυτόχρονα εξαιρετικά χρήσιμη, ώστε να μου επιτρέψει να λύσω το πρόβλημα χωρίς καν να πρέπει πρώτα να μεταβάλλω τις εγγενείς ιδιότητες του συστήματος ώστε να το καταστήσω ευσταθές. Θα εφαρμοστεί απ' ευθείας στο ασταθές μοντέλο και θα εξεταστεί η αποτελεσματικότητά του στα τελικά συμπεράσματα της εργασίας. 8

9 Η ράβδος θα θεωρηθεί πως περιστρέφεται γύρω απο το κέντρο μάζας της (θεωρώντας προφανώς ότι η μάζα της ράβδου είναι ομοιογενώς κατανεμημένη), καθώς αυτή αποτελεί την απλούστερη περίπτωση, χωρίς ωστόσο να χάνονται και να υποτιμώνται προς χάριν απλουστέυσεως τα ιδιαίτερα δυναμικά χαρακτηριστικά του συστήματος. Επίσης στην μελέτη μας θα αποφύγουμε να περιγράψουμε, να αναλύσουμε και να μοντελοποιήσουμε το ηλεκτρικό κομμάτι που αφορά τον σερβοκινητήρα αλλά και τον σχεδιασμό των ηλεκτρονικών που χρειάζονται για την κατασκευή του συστήματος. Απλώς θα περιοριστούμε στο μηχανικό κομμάτι που αφορά την δυναμική συμπεριφορά του συστήματος που είναι άλλωστε και το αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Θεωρούμε ότι η θέση της κυλιόμενης σφαίρας βρίσκεται με έναν αισθητήρα υπερήχων, ο οποίος στέλνει ένα ηχητικό κύμα και μετρά το χρόνο που χρειάζεται η ηχώς για να επιστρέψει. Με τον τρόπο αυτό, η απόσταση της σφαίρας μπορεί να εντοπίζεται κατα μήκος της ράβδου. Επίσης με ένα γωνιόμετρο προσαρμοσμένο στο ένα άκρο της ράβδου μπορούμε να συλλέγουμε την πληροφορία που αφορά την γωνία στρέψεως αυτής. 9

10 1.2 Φυσικές Παράμετροι Παρακάτω, απαριθμώνται οι σταθερές παράμετροι του υπό εξέταση συστήματος σφαίρας-ράβδου, εκείνες δηλαδή οι οποίες έχουν να κάνουν με τις εγγενείς του ιδιότητες, τα φυσικά του χαρακτηριστικά και τη γεωμετρία του. Καθορισμένες Παράμετροι L (m) R (m) r (m) m (kg) M (kg) C1 (N/(m/sec)) Jράβδου (kg m2) μήκος της ράβδου μήκος της ακτίνας της σφαίρας μήκος της ακτίνας της νοητής σφαίρας που βρίσκεται σε επαφή με την ράβδο μάζα της σφαίρας μάζα της δοκού συντελεστής τριβής μεταξύ της σφαίρας και της δοκού ροπή αδράνειας της δοκού 2 Jσφαίρας (kg m ) ροπή αδράνειας της σφαίρας g (m/sec ) επιτάχυνση της βαρύτητας 2 Ακολουθεί πίνακας με τις ακριβείς τιμές των παραπάνω παραμέτρων. Αφορούν την πραγματική πειραματική διάταξη. Είναι εκείνες οι τιμές με τις οποίες θα προχωρήσει η ανάλυση που ακολουθεί στη συνέχεια, της μελέτης για τον βέλτιστο έλεγχο του συστήματος σφαίρας-ράβδου. Όλες οι τιμές έχουν δοθεί από προηγηθείσα διπλωματική εργασία συναδέλφου [4], ο οποίος μελέτησε το ίδιο σύστημα για να εφαρμόσει τη μεθοδολογία του Hamilton στην εξαγωγή δυναμικών εξισώσεων για φυσικά συστήματα. 10

11 Για την ακτίνα της νοητής σφαίρας r, που θεωρώ πως έρχεται σε επαφή με τη ράβδο, παρατίθεται το παρακάτω διευκρινιστικό σχήμα, που επεξηγεί με σαφήνεια τί εννοείται με τον όρο ακτίνα νοητής σφαίρας σε επαφή με τη ράβδο. Επιπλέον, διακρίνεται και η κάθετη τομή της ράβδου για να διευκρινιστεί ο τρόπος με τον οποίο κινείται η σφαίρα στην εγκοπή της ράβδου. Ανεξάρτητες Μεταβλητές x m αποτελεί την αριθμητική τιμή της θέσης της σφαίρας στη ράβδο, θεωρώντας ως μηδενική τιμή θέσης, το σημείο εκείνο που βρίσκεται στο μέσο της ράβδου. Ως θετική τιμή της θέσης θεωρούμε την κατεύθυνση για την οποία η σφαίρα βρίσκεται στα δεξιά του σημείου ισορροπίας θ rad είναι η γωνιακή θέση της ράβδου, όπου παίρνουμε ως θετική την ανθωρολογιακή φορά Οι δύο ανεξάρτητες μεταβλητές που παρατέθηκαν επάνω, θα μου χρησιμεύσουν ως γενικευμένες μεταβλητές του συστήματος. Θα τις εισάγω στη μεθοδολογία, η οποία θα μου επιτρέψει να εξάγω τις δυναμικές εξισώσεις του συστήματος, σε μορφή μάλιστα βολική για την επίτευξη του τελικού μου στόχου, που είναι ο έλεγχος του συστήματος με βέλτιστα κριτήρια. 11

12 1.3 Μαθηματική Μοντελοποίηση Για την εξαγωγή των δυναμικών εξισώσεων του συστήματος, χρησιμοποιείται η μέθοδος Αναλυτικής Μηχανικής, όπου γίνεται χρήση των εξισώσεων του Hamilton. Η παρούσα εργασία δεν έχει σκοπό να διεισδύσει σε βάθος στη συγκεκριμένη μεθοδολογία, παρά να λάβει τα αποτελέσματα μίας τέτοιας ανάλυσης από τη βιβλιογραφία [ 4] και να εστιάσει στη σταθεροποίηση του συστήματος με βέλτιστο νόμο ελέγχου. Παρ' όλα αυτά, κάποια από τα σημαντικότερα στοιχεία της ανάλυσης του συστήματος από τη σκοπιά των Hamiltonian Δυναμικών Συστημάτων θα παρατεθούν στην επόμενη ενότητα, για να γίνει κατανοητή η όλη διαδικασία της μοντελοποίησης. Για περισσότερο αναλυτικές σχέσεις που οδηγούν στις δυναμικές εξισώσεις του συστήματος, μπορεί να καταφύγει ο αναγνώστης στο Παράρτημα όπου περιγράφονται με μεγαλύτερη λεπτομέρεια κάποια από τα εν λόγω βήματα της προαναφερθείσας μεθοδολογίας. Πολύ μεγάλη σημασία έχει να εξηγηθεί ποιές είναι εκείνες οι προσεγγίσεις που είναι αναγκαίες, ώστε η δυναμική του συστήματος να απλοποιηθεί σε τέτοιο βαθμό, που να καθιστά το σύστημα γραμμικό και χρονικά αμετάβλητο. Αυτό θα μου επιτρέψει να λάβω τη συνάρτηση μεταφοράς και το καταστατικό μοντέλο με σταθερές χρονικά αμετάβλητες παραμέτρους, διευκολύνοντας σημαντικά την ανάλυση Χαμιλτονιανή Μηχανική Με τις εξισώσεις Hamilton, καταφέρνω να εκφράσω τη δυναμική του συστήματος, με χρήση των γενικευμένων συντεταγμένων q1=x q2=θ Στόχος της διαδικασίας που θα ακολουθηθεί, είναι να καταλήξω, μετά τις σχετικές απλοποιήσεις σε τέσσερις πρωτοβάθμιες εξισώσεις των δύο γενικευμένων συντεταγμένων. Αυτές, μετά την εφαρμογή της μεθόδου, είναι εύκολο να τις χειριστώ για να πάρω το μοντέλο του συστήματος. 12

13 Πρώτα, εκφράζω σε καρτεσιανές συντεταγμένες τη θέση του κέντρου της σφαίρας και με διαδοχικές παραγωγίσεις των σχέσεων, λαμβάνω επίσης την ταχύτητα και την επιτάχυνσή της. Κατόπιν, εισάγω τη γωνία στρέψης της σφαίρας, ώστε να εκφράσω όλα τα μεγέθη που σχετίζονται με την περιστροφή της, όπως ροπή αδράνειας, γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση. Η ερμηνεία της γωνίας στρέψης διακρίνεται στην εικόνα που ακολουθεί. Ορίζω, με τα μεγέθη που έχω πλέον στη διάθεσή μου, τη δυναμική και κινητική ενέργεια του συστήματος. Η δυναμική ενέργεια του συστήματος εξαρτάται μόνο από τις γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος και είναι της μορφής V(x,θ), οπότε δεν εξαρτάται από γενικευμένες ταχύτητες. Η κινητική ενέργεια του συστήματος εκφράζεται με μία ομογενή διαφορική εξίσωση δευτέρου βαθμού. Οι δύο αυτές συνθήκες που ισχύουν για τη δυναμική και την κινητική ενέργεια του συστήματος, μου δίνουν τη δυνατότητα να εκφράσω τη Χαμιλτονιανή του συστήματος σαν άθροισμα της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας του μηχανικού δυναμικού συστήματος. Η=Eκιν +Εδυν Στη συνέχεια, ορίζω το δυναμικό του Rayleigh, στο οποίο περιέχονται όλες οι παράμετροι που χρειάζομαι, ώστε να μοντελοποιηθεί η τριβή στο σύστημα. Πλέον, έχοντας ορίσει τις γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος, μένει μόνο να ορισθούν οι γενικευμένες ορμές. Αυτές, θα μου δώσουν τη Λαγκρανζιανή, που εκφράζεται ως η διαφορά της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας με τη σχέση L=Eκιν-Εδυν Σε αυτό το σημείο, θα λάβω υπ' όψιν τις δύο παρακάτω προσεγγίσεις, με στόχο να απλοποιηθούν οι εκφράσεις για τη Χαμιλτονιανή και τη Λαγκρανζιανή του μηχανικού δυναμικού συστήματος. 1η προσέγγιση: Υποθέτουμε ότι η γωνία θ, για την οποία στρέφεται η δοκός, είναι ιδιαίτερα μικρή (κάτι που θα μπορούσαμε να το έχουμε σαν ζητούμενο αν υποθέταμε ότι η ράβδος επιτρέπεται να περιστρέφεται κατά μικρή γωνία θ ή αν κάναμε την υπόθεση ότι ο σερβοκινητήρας στρέφεται κάθε φορά κατά μικρή γωνία, όπως στην περίπτωση ενός βηματικού κινητήρα). Επομένως αφού θ μικρό τότε sin θ θ και cos θ 1. 2η προσέγγιση: Αγνοούμε τις παραγώγους της γωνίας θ, εκτιμώντας ότι η ταχύτητα για μικρές μεταβολές της γωνίας θ είναι είτε μικρή, είτε σταθερή. Αν τώρα εκφράσω τις γενικευμένες ορμές συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων, τότε μπορώ να 13

14 πάρω σχέση για τη Χαμιλτονιανή που να εξαρτάται μόνο από γενικευμένες συντεταγμένες του μηχανικού συστήματος. Αυτό μου επιτρέπει να λύσω τελικά τις εξισώσεις του Hamilton: και να λάβω τις σχέσεις και αντίστοιχα για τις γενικευμένες ορμές 3η προσέγγιση: Στο σημείο αυτό, θα πάρω την τρίτη προσέγγιση για τη απλοποίηση των σχέσεων, εκείνη για το τεράγωνο της γωνίας θ. Εφ' όσον μιλάω για μικρή μεταβολή της γωνίας θ, τότε αν υψωθεί στο τετράγωνο, ο τετραγωνικός όρος θ2 μπορεί να θεωρηθεί αμελητέος, ώστε να αποφύγω τους μη γραμμικούς όρους στις σχέσεις των τεσσάρων πρωτοβάθμιων εξισώσεων που μου δίνει η μέθοδος. Εν τέλει, οι τέσσερις προκύπτουσες πρωτοβάθμιες σχέσεις είναι οι εξής 14

15 1.3.2 Συνάρτηση Μεταφοράς και Εξισώσεις Κατάστασης Σε αυτήν την ενότητα, θα αξιοποιήσω τις σχέσεις που μου έδωσε η προσέγγιση Hamilton για να βρω μία έκφραση για τη συνάρτηση μεταφόράς του συστήματος και για το καταστατικό του μοντέλο. Ξεκινάω από τις σχέσεις και με παραγώγιση της πρώτης, λαμβάνω όπου έχω εκμεταλλευθεί και τις δύο προηγούμενες σχέσεις. Αν, τώρα, υποθέσω μηδενικές αρχικές συνθήκες και ακινησία της σφαίρας στο σημείο όπου x=0 (δηλαδή στο κέντρο της ράβδου), τότε παίρνω Εισάγοντας στις εξισώσεις τις τιμές των φυσικών παραμέτρων που παρουσιάστηκαν στην ενότητα 1.2, παίρνω τη συνάρτηση μεταφοράς 15

16 Για να πάρω τις καταστατικές εξισώσεις του συστήματος, χρησιμοποιώ το λογισμικό Matlab και την εντολή tf2ss που θα μου δώσει τους πίνακες A, B, C, D του μοντέλου >> num=[-1.472] den=[ ] [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) num = den = A= B= 1 0 C= D= 0 Από την εκτέλεση του κώδικα, λαμβάνω τις καταστατικές εξισώσεις στο πεδίο του χρόνου: x& = Ax + Bu y = Cx + Du æ x&1 ö æ ö æ x1 ö æ1 ö ç & =ç ç + ç u x 1 0 ø è x2 ø è 0 ø è 2ø è æx ö y = ( ) ç 1 è x2 ø 16

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Θεωρία Βελτιστοποίησης Λογισμός των Μεταβολών 2.1 Βασικές Έννοιες Συνάρτηση και Συναρτησοειδές Μία μεταβλητή x είναι συνάρτηση μιας μεταβαλόμενης ποσότητας t, x(t)=f(t), αν για κάθε τιμή του t μέσα σε ένα εύρος τιμών στο σύνολο στο οποίο ανήκει το t, αντιστοιχεί μία τιμή του x σε ένα άλλο σύνολο. Υπάρχει δηλαδή μία αντιστοιχία από κάθε αριθμό t σε κάθε αριθμό x. Μία μεταβλητή ποσότητα J είναι ένα συναρτησοειδές, εξαρτώμενο από τη συνάρτηση f(x), εκφρασμένο ως J=J(f(x)), αν για κάθε συνάρτηση f(x), αντιστοιχεί μία τιμή J. Υπάρχει δηλαδή μία αντιστοιχία από κάθε συνάρτηση f(x) σε κάθε αριθμό x Διαφορά Τιμών Συνάρτησης και Συναρτησοειδούς (Increment of a Function and a Functional) Για τη διαφορά τιμών μίας συνάρτησης f, εκφραζόμενη ως Δf, που προκαλείται από μία μεταβολή Δt στο όρισμά της, δηλαδή στην ανεξάρτητη μεταβλητή t, ισχύει: Ανάλογα, για την περίπτωση του συναρτησοειδούς, ισχύει: Εδώ, η ποσότητα δx(t) καλείται μεταβολή (variation) της συνάρτησης x(t). Αφού η μεταβολή ενός συναρτησοειδούς εξαρτάται από τη συνάρτηση x(t) και τη μεταβολή της συνάρτησης x(t), θα πρέπει να εκφράσουμε τη διαφορά τιμών του J ως ΔJ( x(t),δx(t) ) Διαφορικό Συνάρτησης και Μεταβολή Συναρτησοειδούς (Differential of a Function and Variation of a Functional) Ορίζω στο σημείο t* τη διαφορά τιμών μίας συνάρτησης f, ως εξής: Επεκτείνοντας το f(t*+δt) σε μία σειρά Taylor γύρω από το σημείο t*, λαμβάνω τη σχέση Αμελώντας τους όρους ανώτερης τάξης στην παραπάνω εξίσωση, παίρνω 17

18 Εδώ, df είναι το διαφορικό της συνάρτησης f στο σημείο t* και f (t*) είναι η παράγωγος (derivative) ή η κλίση (slope) της f στο σημείο t*. Η παρακάτω εικόνα επιδεικνύει τη διαφορά μεταξύ των προαναφερθέντων εννοιών. Για τη διαφορά τιμών του συναρτησοειδούς J, εκφραζόμενο ως ΔJ, έχω: Επεκτείνοντας τον όρο J ( x(t)+δx(t) ) σε σειρά Taylor, λαμβάνω τη σχέση όπου οι ποσότητες καλούνται αντίστοιχα πρώτη μεταβολή (first variation) και δεύτερη μεταβολή (second variation) του συναρτησοειδούς J. Να σημειωθεί πως η πρώτη μεταβολη δj είναι στην ουσία η γραμμική (ή πρώτης τάξης) προσέγγιση της διαφοράς τιμών ΔJ του συναρτησοειδούς. Η παρακάτω εικόνα δείχνει σχηματικά πώς σχετίζονται οι όροι ΔJ και δj. 18

19 2.1.4 Ακρότατα Συνάρτησης και Συναρτησοειδούς Μία συνάρτηση f λέγεται ότι έχει τοπικό ακρότατο σε ένα σημείο t*, αν υπάρχει μία θετική παράμετρος ε, τέτοια ώστε για κάθε σημείο t που ανήκει στο πεδίο ορισμού D και για το οποίο ισχύει t-t* < ε, η μεταβολή τιμών (increment) Δf της f(t) να έχει το ίδιο πρόσημο (θετικό ή αρνητικό). Με άλλα λόγια, αν τότε, το σημείο f(t*) είναι τοπικό ελάχιστο. Απεναντίας, εάν τότε, το σημείο f(t*) είναι τοπικό μέγιστο. Είναι γνωστό πως η αναγκαία συνθήκη για να έχει μία συνάρτηση ακρότατο σε ένα σημείο, είναι το διαφορικό της συνάρτησης, df, να τείνει στο μηδέν στο σημείο που εξετάζεται ως τοπικό ακρότατο. H ικανή συνθήκη για την ύπαρξη ακροτάτου, εξαρτάται από το πρόσημο του διαφορικού δεύτερης τάξης ή της δεύτερης παραγώγου. Αν d2f > 0, τότε έχω ελάχιστο, ενώ αν d2f < 0, τότε έχω μέγιστο. Τέλος, στάσιμο σημείο (stationary or inflection point) έχω όταν d2f =0. Όταν οι παραπάνω ανισότητες ικανοποιούνται για μία οποιαδήποτε αυθαίρετη τιμή της παραμέτρου ε, τότε λέμε ότι το ακρότατο δεν είναι πλέον τοπικό, αλλά ολικό ακρότατο (global optimum), δηλαδή ακρότατο ολόκληρου του χώρου αναζήτησης. Από την άλλη, ένα συναρτησοειδές J λέγεται πως παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο x*, εάν υπάρχει μία θετική παράμετρος ε, τέτοια ώστε για κάθε συνάρτηση x προερχόμενη από το σύνολο συναρτήσεων Ω και η οποία ικανοποιεί τη συνθήκη x-x* < ε, η διαφορά τιμών (increment) ΔJ να έχει το ίδιο πρόσημο. Με άλλα λόγια, εάν 19

20 τότε το σημείο J(x*) είναι τοπικό ελάχιστο, ενώ εάν τότε το σημείο J(x*) είναι τοπικό μέγιστο. Όταν οι παραπάνω ανισότητες ικανοποιούνται για μία οποιαδήποτε αυθαίρετη τιμή της παραμέτρου ε, τότε λέμε ότι η τιμή J(x*) είναι ολικό απόλυτο ακρότατο (global absolute optimum). Σε αναλογία με τις συνθήκες που ισχύουν για ακρότατα συναρτήσεων, για τα συναρτησοειδή ισχύουν και πάλι παρόμοιες συνθήκες για την ύπαρξη ακροτάτου. Αυτές εκφράζονται στο παρακάτω θεώρημα του Λογισμού των Μεταβολών (Calculus of Variations). Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού των Μεταβολών Αναγκαία συνθήκη για να είναι η συνάρτηση x*(t) υποψήφια για ακρότατο, είναι η πρώτη μεταβολή δj του συναρτησοειδούς J, να είναι ίση με μηδέν για x*(t), δηλαδή δj (x*(t),δx(t))=0, για κάθε επιτρεπτή τιμή (admissible value) της πρώτης μεταβολής δx(t). Ικανή συνθήκη για ύπαρξη ακροτάτου, είναι η δεύτερη μεταβολή δ2j>0 για ελάχιστο και δ2j>0 για μέγιστο. 2.2 Βελτιστοποίηση χωρίς Περιορισμούς Αναγκαία Συνθήκη για Ακρότατο Εξαγωγή της εξίσωσης Euler Lagrange Εδώ, για να βοηθηθώ στην εξαγωγή συμπερασμάτων για την ευρύτερη μεθοδολογία του προβλήματος του Βέλτιστου Ελέγχου ενός συστήματος, μελετάω αρχικά την περίπτωση ενός συστήματος, για το οποίο η αρχική και τελική κατάσταση, καθώς και τα αρχικά και τελικά χρονικά σημεία του πειράματος, θεωρούνται δοσμένα και προκαθορισμένα a priori (fixed-end time and fixed-end state system). Έστω x(t) μία βαθμωτή συνάρτηση με συνεχείς παραγώγους πρώτης τάξης. Η περίπτωση διανυσματικής συνάρτησης x(t) αντιμετωπίζεται με παρόμοιο τρόπο. Το πρόβλημα έγκειται στην ανεύρεση της βέλτιστης συνάρτησης x*(t), για την οποία το συναρτησοειδές έχει τοπικό ακρότατο. Υποθέτω πως ο όρος V εντός του ολοκληρώματος έχει συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης ως προς κάθε ένα από τα ορίσματά του. Ο αρχικός και τελικός χρόνος t0 και tf είναι προκαθορισμένοι και δοσμένοι, όπως επίσης ισχύει και για την αρχική και τελική κατάσταση του συστήματος. Γνωρίζω πως η αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη ακροτάτου συναρτησοειδούς, είναι η πρώτη μεταβολή δj να είναι μηδέν για τη συνάρτηση x*(t). Επομένως, στην προσπάθειά μου να βρω το ακρότατο της x(t), πρώτα θα ορίσω τη διαφορά τιμών (increment) του συναρτησοειδούς J, θα βρώ την πρώτη μεταβολή του (first variation) και μετέπειτα θα εφαρμόσω το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού των Μεταβολών, με την αναγκαία και ικανή συνθήκη που το απαρτίζει και την πρώτη και δεύτερη μεταβολή του κριτηρίου J. Ακολουθούν ξεχωριστά κάθε ένα από τα βήματα που θα ακολουθήσω. 20

21 Βήμα 1 Υποθέτω την ύπαρξη ακροτάτου : Υποθέτω πως η συνάρτηση x*(t) είναι το ακρότατο που βρήκα για τη συνάρτηση x(t). Θα ορίσω μία οικογένεια συναρτήσεων, τις οποίες χαρακτηρίζω αποδεκτές ή επιτρεπτές (admissible), με τον ίδιο τρόπο που ορίζω για την περίπτωση της συνάρτησης την έννοια της γειτονιάς γύρω από ένα σημείο που εξετάζω ως ακρότατο. Αυτές οι συναρτήσεις θεωρούνται κοντά στη συνάρτηση x(t). Παίρνω λοιπόν την αποδεκτή συνάρτηση xa(t)= x*(t)+δx(t), που θεωρείται κοντά στη συνάρτηση x*(t), όπου δx(t) είναι η πρώτη μεταβολή του x*(t), όπως απεικονίζεται στην παρακάτω εικόνα. Στην ίδια εικόνα, φαίνεται και οι προκαθορισμένες παράμετροι της κατάστασης και του χρόνου, για τις δύο διαφορετικές συναρτήσεις x*(t) και xa(t). Η συνάρτηση xa(t) πρέπει επίσης να ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες πράγμα που διακρίνω στη παραπάνω εικόνα. Βήμα 2 Ορίζω τη διαφορά τιμών (increment) ΔJ του συναρτησοειδούς J : η οποία, συνδυάζοντας τα ολοκληρώματα, μπορεί να γραφεί ως 21

22 όπου και επεκτείνοντας τον όρο V μέσα στο ολοκλήρωμα στη σχέση για το ΔJ, σε σειρά Taylor γύρω από το σημείο x(t) και x'* (t), η διαφορά τιμών ΔJ γίνεται Εδώ, οι μερικές παράγωγοι ως προς x και x παραλείπονται χάριν απλότητος. Βήμα 3 Βρίσκω σχέση για την πρώτη μεταβολή (first variation) δj : Τώρα, θα λάβω τη σχέση για την πρώτη μεταβολή δj, αξιοποιώντας μόνο τους γραμμικούς όρους (πρώτης τάξης) στις σχέσεις για τις μεταβολές δx(t) και δx'(t) και με παραγοντική ολοκλήρωση για να απαλλαγώ από τον όρο δx'(t), παίρνω 22

23 οπότε η σχέση για το δj γίνεται Αξιοποιώντας τώρα τις οριακές συνθήκες που δόθηκαν αρχικά για τη μεταβολή δx, έχω τελικά Βήμα 4 Εφαρμόζω το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού των Μεταβολών : Για να υπάρχει το ακρότατο x*(t), πρέπει δj(x*(t),x(t))=0, επομένως η παραπάνω σχέση γίνεται Βήμα 5 Εφαρμόζω το Βασικό Λήμμα του Λογισμού των Μεταβολών : Αν για κάθε συνάρτηση g(t) που είναι συνεχής, ισχύει 23

24 όπου η συνάρτηση δx(t) είναι συνεχής στο διάστημα [ t0,t f ], τότε η συνάρτηση g(t) πρέπει να είναι ίση με μηδέν σε όλο το εύρος του διαστήματος. Υποθέτω πως η g(t) είναι μη μηδενική στο διάστημα [ ta,t b]. Έπειτα, επιλέγω μία αυθαίρετη συνάρτηση δx(t), τέτοια ώστε να είναι μη μηδενική σε όλο το εύρος του διαστήματος στο οποίο και η g(t) ειναι μη μηδενική. Παρατίθεται εικόνα από κάτω, που επεξηγεί τις επιλογές των συναρτήσεων. Με αυτή την επιλογή της αυθαίρετης δx(t), θα πρέπει το ολοκλήρωμα να μη μηδενίζεται, πράγμα άτοπο, άρα η υπόθεσή μου είναι λανθασμένη και τελικά η g(t) πρέπει να είναι μηδενική σε ολόκληρο το διάστημα στο οποίο ολοκληρώνω. Έτσι, αποδεικνύεται το βασικό λήμμα. Βήμα 6 Εξάγω την εξίσωση Euler Lagrange : Εφαρμόζοντας το βασικό λήμμα στην εξίσωση που προέκυψε στο Βήμα 4, προκύπτει η αναγκάια συνθήκη ώστε το x*(t) να είναι ακρότατο του κριτηρίου J και έτσι λαμβάνω την ή με πιο απλή αναπαράσταση, απαλείφοντας τα ορίσματα της V, παίρνω την που ισχύει για κάθε t που ανήκει στο διάστημα [ t0,t f ]. Η εξίσωση αυτή ονομάζεται εξίσωση Euler Lagrange. Είναι γενικά μία διαφορική εξίσωση μη γραμμική, 24

25 χρονικά μεταβαλόμενη, δύο συνοριακών τιμών, δεύτερης τάξης. Μπορεί όμως με την επιστράτευση των κατάλληλων μεθόδω να απλοποιηθεί και να διευκολυνθεί η επίλυσή της, ανάλογα με τα χαρακτηριστικά της συνάρτησης V Ικανή Συνθήκη για Ακρότατο - Δεύτερη Μεταβολή (Second Variation) Η εξίσωση Euler Lagrange είναι εκείνη που αν δεν ικανοποιείται, γνωρίζω με βεβαιότητα πως δεν υφίσταται ακρότατο. Είναι λοιπόν αναγκαία, αλλά όχι ικανή συνθήκη για την ύπαρξη ακροτάτου. Για να εξάγω συμπέρασμα τόσο για την ύπαρξη ακροτάτου, όσο και για τη φύση του (ελάχιστο ή μέγιστο), εξετάζω τη δεύτερη μεταβολή δ2j. Χρησιμοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση και τις αρχικές οριακές συνθήκες που δόθηκαν για την πρώτη μεταβολή δx( t0 ) = δx( tf ) = 0, απαλείφω τον τελευταίο όρο της εξίσωσης και παίρνω την Σύμφωνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού των Μεταβολών, ικανή συνθήκη για ελάχιστο είναι να ισχύει δ2j > 0,το οποίο σημαίνει Για μέγιστο, οι ανισότητες αντιστρέφονται. Εναλλακτικά, μπορώ να ξαναγράψω τις εξισώσεις αυτές χρησιμοποιώντας αναπαράσταση με πίνακες 25

26 όπου Αν η μήτρα Π είναι θετικά ορισμένη, έχω ελάχιστο. Αν είναι αρνητικά ορισμένη έχω μέγιστο. Στις περισσότερες περιπτώσεις, αφού δx(t) είναι αυθαίρετα επιλεγμένο, τότε ο συντελεστής του (δx'(t))2 καθορίζει το πρόσημο του δ2j. Άρα για ελαχιστοποίηση, πρέπει Για μέγιστο, η ανισότητα αντιστρέφεται. Η συνθήκη αυτή καλείται στη βιβλιογραφία συνθήκη Legendre ή συνθήκη Legendre Jacobi. 2.3 Βελτιστοποίηση με Περιορισμούς Ακρότατα Συναρτήσεων με Περιορισμούς Προχωρώντας στη μελέτη του προβλήματος Βέλτιστου Ελέγχου ενός συστήματος, θεωρώ πλέον όχι μόνο το συναρτησοειδές που αποτελεί το κριτήριο βελτιστοποίησης, αλλά και το ίδιο το φυσικό σύστημα που εξετάζω. Για το λόγο αυτό, πρέπει να ασχοληθώ με τη βελτιστοποίηση συναρτησοειδούς το οποίο όμως υφίσταται περιορισμούς. Οι περιορισμοί αυτοί εισάγονται με τη μορφή εξισώσεων κατάστασης του συστήματος. Για να εξάγω τις κατάλληλες μεθοδολογίες, εκκινώ ξανά από την περίπτωση της συνάρτησης για να φθάσω σε συμπεράσματα για το συναρτησοειδές. Για την εύρεση ακροτάτου συναρτήσεως με περιορισμούς, επιστρατεύω δύο γνωστές μεθόδους, την άμεση μέθοδο και τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange Άμεση Μέθοδος Έστω το ακρότατο συνάρτησης f ( x1, x2 ) με δύο αλληλένδετες μεταβλητές x1 και x2, που υφίσταται τον περιορισμό 26

27 Ως αναγκαία συνθήκη για ακρότατο, παίρνω την όμως αφού τα dx1 και dx2 δεν είναι αυθαίρετα, αλλά σχετίζονται με την δεν είναι εφικτό να συμπεράνω (όπως έκανα στην περίπτωση συναρτήσεων χωρίς περιορισμούς) ότι στην αναγκαία συνθήκη df = 0. Ακόμη κι αν έλυνα τις δύο παραπάνω ισότητες για τις βέλτιστες τιμές x1* και x2*, δε γνωρίζω με βεβαιότητα αν αυτές θα ικανοποιύσαν την περιοριστική συνθήκη Για να βρω λοιπόν βέλτιστες λύσεις και για τη συνθήκη του περιορισμού και για την αναγκαία συνθήκη για ακρότατο, επιλέγω τη μία από τις δύο μεταβλητές, έστω τη x1 και τη θεωρώ ανεξάρτητη. Υποθέτωντας πως η μερική παράγωγος της g ως προς x2 είναι διάφορη του μηδενός, παίρνω από τη σχέση dg = 0 τη σχέση και χρησιμοποιώντας την αναγκαία συνθήκη, παίρνω Καθώς επέλεξα το dx1 να είναι ανεξάρτητο, μπορώ να το θεωρήσω αυθαίρετο, άρα πρέπει ο συντελεστής του dx1 να είναι μηδέν. Οπότε που μπορεί να γραφεί με αναπαράσταση πινάκων ως 27

28 Αυτή είναι η Ιακωβιανή Μήτρα των f και g ως προς τις x1 και x2. Με την άμεση μέθοδο, καταφέρνω να λύσω τις δύο συνθήκες που με απασχολύν ταυτόχρονα, για τις βέλτιστες λύσεις x1* και x2* Μέθοδος Πολλαπλασιαστών Lagrange Έστω πάλι το ακρότατο συνάρτησης f ( x1, x2 ) με δύο αλληλένδετες μεταβλητές x1 και x2, που υφίσταται τον περιορισμό Σε αυτή τη μέθοδο, σχηματίχω μία επαυξημένη συνάρτηση, τη λεγόμενη Λαγκρανζιανή (Lagrangian) όπου λ, είναι ο πολλαπλασιαστής Lagrange, που πρέπει να βρεθεί. Από τον περιορισμό, προκύπτει ξεκάθαρα και συνεπώς η αναγκαία συνθήκη για ύπαρξη ακροτάτου, γίνεται και η εξίσωση για τη Λαγκρανζιανή γίνεται με διαφόριση οπότε η οποοία είναι η ίδια συνθήκη που βρέθηκε με χρήση της άμεσης μεθόδου. Η επιστράτευση της μεθόδου Lagrange μου επέτρεψε να θεωρήσω όλες τις μεταβλητές της επαυξημένης συνάρτησης L(x1,x2) ως ανεξάρτητες. Προκύπτει λοιπόν από τα παραπάνω το εξής συμπέρασμα: 28

29 Θεώρημα: Έστω το ακρότατο μίας συνεχούς, πραγματικής συνάρτησης πολλών μεταβλητών f(x)=f(x1,x2,...,xn) η οποία υπόκειται στους περιορισμούς όπου f και g έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους και m < n. Έστω λ1,λ2,...,λm οι πολλαπλασιαστές Lagrange που αντιστοιχούν στους m περιορισμούς, ώστε η επαυξημένη Λαγκρανζιανή συνάρτηση να παίρνει τη μορφή όπου λ' το ανάστροφο διάνυσμα του λ. Τότε οι βέλτιστες τιμές x* και λ* είναι οι λύσεις του συστήματος των ακόλουθων n+m εξισώσεων Ακρότατα Συναρτησοειδών με Περιορισμούς Σε αυτήν την ενότητα, επεκτείνουμε τα συμπεράσματα από την προηγούυμενη ανάλυση, στην περίπτωση των συναρτησοειδών. Θεωρώ συναρτησοειδές κόστους δύο μεταβλητών, x1(t) και x2(t), για να χρησιμοποιήσω τις προηγούμενες μεθόδους και τελικά εξάγω συμπεράσματα για συναρτησοειδή n μεταβλητών. Έστω το πρόβλημα βελτιστοποίησης του συναρτησοειδούς που υφίσταται τον περιορισμό (εξίσωση συστήματος) 29

30 με οριακές συνθήκες πεπερασμένων σημείων (fixed-end-point) Ακολουθούν τα βήματα στα οποία θα προβώ για την εύρεση ακροτάτου Βήμα 1 Λαγκρανζιανή: Σχηματίζω το επαυξημένο συναρτησοειδές όπου λ(t) ο πολλαπλασιαστής Lagrange και η Λαγκρανζιανή ορίζεται ως όπου παρατηρώ πως Ja=J αν ικανοποιείται ο βασικός περιορισμός του συστήματος g=0 για κάθε λ(t). Βήμα 2 Μεταβολές και Διαφορά Τιμών (Variations and Increment) Υποθέτω βέλτιστες τιμές και θεωρώ τις μεταβολές και τη διαφορά τιμών ΔJa για i=1,2. Βήμα 3 Πρώτη Μεταβολή: Επεκτείνω σε σειρά Taylor και κρατάω μόνο τους πρωτοβάθμιους γραμμικούς όρους, οπότε η πρώτη μεταβολή του επαυξημένου κριτηρίου γίνεται 30

31 Όπως και στην προηγούμενη ενότητα, απαλοίφω τις μεταβολές των παραγώγων, χρησιμοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση και παίρνω και με βάση την παραπάνω σχέση, παίρνω τελικά Εφ' όσον αναφέρομαι σε σύστημα με προκαθορισμένα σημεία τελικού χρόνου και τελικής κατάστασης, εννοείται πως οι μεταβολές στα τελικά όρια θα είναι και χρησιμοποιώντας τις οριακές αυτές συνθήκες στην παραπάνω σχέση, λαμβάνω την Βήμα 4 Θεμελιώδες Θεώρημα: Επιστρατεύω το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού των Μεταβολών και θέτω δja=0. Όπως και στην περίπτωση της συνάρτησης, έτσι και εδώ, οι μεταβολές δx1(t) και δx2(t) δεν είναι ανεξάρτητες. Επιλέγω την δx2(t) ως ανεξάρτητη και έτσι πρέπει να εισάγω αυθαίρετα έναν πολλαπλασιαστή Lagrange λ*(t), τέτοιον 31

32 ώστε ο συντελεστής της εξαρτημένης μεταβολής δx1(t) να μηδενίζεται Με αυτές τις επιλογές, η πρώτη μεταβολή γίνεται Βήμα 5 Θεμελιώδες Λήμμα: Χρησιμοποιώ το Θεμελιώδες Λήμμα του Λογισμού των Μεταβολών και από τη στιγμή που η μεταβολή δx2(t) είναι αυθαίρετη και ανεξάρτητη, θα πρέπει και ο δικός της συντελεστής να μηδενίζεται Επίσης, από τη σχέση για τη Λαγκρανζιανή, με παραγώγιση ως προς λ, βλέπω πως η μου δίνει τον αρχικό περιορισμό, την εξίσωση του συστήματος. Βήμα 6 Εξίσωση Euler-Lagrange: Συνδυάζοντας όλες τις σχέσεις από τα προηγούμενα βήματα, βλέπω πως οι αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη ακροτάτου είναι οι Αυτές τις σχέσεις θα τις έπαιρνα ούτως ή άλλως, εξ αρχής, εάν είχα θεωρήσει και τις δύο μεταβολές δx1(t) και δx2(t) ανεξάρτητες. Δηλαδή, η μέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange μου επέτρεψε να θεωρήσω τις καταστάσεις x1(t) και x2(t) ανεξάρτητες, παρότι αυτές συνδέονται με την σχέση του περιορισμού g=0. 32

33 Τώρα, μπορώ να γενικέυσω για τη n-διάστατη περίπτωση. Για το σύστημα n τάξης, θεωρώ το συναρτησοειδές όπου x(t) το n-διάστατο διάνυσμα κατάστασης, που υφίσταται τον περιορισμό και οριακές συνθήκες x(0) και x(tf ). Θεωρώ το επαυξημένο κριτήριο απόδοσης όπου η Λαγκρανζιανή δίνεται από την και ο πολλαπλασιαστής Lagrange είναι λ(t)=[λ1(t), λ2(t),, λm(t)]'. Εφαρμόζω τώρα την εξίσωση EulerLagrange στο κριτήριο Ja και έχω και αφού η Λαγκρανζιανή L είναι ανεξάρτητη της παραγώγου λ', τότε έχω την ισοδυναμία Προσέγγιση Μεταβολών στο Πρόβλημα του Βέλτιστου Ελέγχου Συστημάτων Έστω το σύστημα που περιγράφεται από τη σχέση με κριτήριο απόδοσης 33

34 και δοσμένες οριακές συνθήκες όπου x(t) το n-διάστατο διάνυσμα κατάστασης και u(t) το m-διάστατο διάνυσμα ελέγχου. Προτού παραθέσω την προσέγγιση του Pontryagin για αυτό το πρόβλημα, σημειώνω πως ισχύει Αντικαθιστώντας στην εξίσωση αυτή, τη σχέση για το κριτήριο απόδοσης, παίρνω Αφού ο όρος S(x(t0 ),t0 ) είναι προκαθορισμένος, η βελτιστοποίηση του αρχικού κριτηρίου είναι ισοδύναμη με τη βελτιστοποίηση του κριτηρίου J2. Αυτό δε σημαίνει πως τα βέλτιστα κόστη που υπολογίζονται είναι ίδια για τα δύο κριτήρια. Απλώς μας διευκολύνουν στον υπολογισμό του βέλτιστου ελέγχου, που είναι ίδιος στις δύο περιπτώσεις. Για τον υπολογισμό του βέλτιστου κόστους, χρησιμοποείται το αρχικό κριτήριο απόδοσης. Επίσης, σημειώνεται πως Τώρα, παρατίθενται τα βήματα που ακολουθώνται για τη διαδικασία του Pontryagin: Βήμα 1 Υποθέτω τις βέλτιστες συνθήκες: Υποθέτω την ύπαρξη βέλτιστων τιμών x*(t) και u*(t) για την κατάσταση και τον έλεγχο αντίστοιχα. Τότε, ισχύει: Βήμα 2 Μεταβολές των διανυσμάτων κατάστασης και ελέγχου: Θεωρώ τις μεταβολές (διακυμάνσεις) στην κατάσταση και τον έλεγχο αντίστοιχα. 34

35 Τότε, η εξίσωση κατάστασης και το κριτήριο απόδοσης, παίρνουν τη μορφή Οι μεταβολές της κατάστασης και του ελέγχου, σχηματικά, δίδονται στο παρακάτω σχήμα Βήμα 3 Διάνυσμα Πολλαπλασιαστών Lagrange: Εισάγοντας το διάνυσμα των πολλαπλασιαστών Lagrange, το οποίο αποκαλείταιεπίσης διάνυσμα συμπληρωματικών καταστάσεων και χρησιμοποιώντας τη σχέση λαμβάνουμε τον επαυξημένο δείκτη απόδοσης στη βέλτιστη συνθήκη που έχει τη μορφή που σε κάθε άλλη συνθήκη (αποκλίνουσα από τη βέλτιστη) παίρνει τη μορφή 35

36 Βήμα 4 Λαγκρανζιανή: Ορίζω τη Λαγκρανζιανή στη βέλτιστη συνθήκη ως και σε κάθε άλλη συνθήκη, που αποκλίνει από τη βέλτιστη, ως Με βάση αυτές τις σχέσεις, το επαυξημένο κριτήριο απόδοσης στη βέλτιστη συνθήκη και σε κάθε άλλη συνθήκη που αποκλίνει από τη βέλτιστη, γίνεται αντίστοιχα Κάνοντας χρήση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής και της σειράς Taylor και ανακτώντας μονάχα τους γραμμικούς όρους των παραπάνω σχέσεων, συμπεραίνω πως 36

37 Βήμα 5 Πρώτη Μεταβολή: Ορίζοντας τη διαφορά τιμών ΔJ και επεκτείνοντας σε σειρά Taylor, εξάγω την πρώτη μεταβολή δj (αφού πρώτα ανακτήσω μόνο τους όρους πρώτης τάξης), λαμβάνω τις σχέσεις Θεωρώντας τον όρο δx'(t) στην πρώτη μεταβολή και ολοκληρώνοντας κατά μέλη, παίρνω Από τη στιγμή που η αρχική συνθήκη x(t0 ) είναι προκαθορισμένη, δx(t0 )=0. Συνεπώς, η πρώτη μεταβολή γίνεται 37

38 Βήμα 6 Συνθήκες για ακρότατο: Για την ύπαρξη ακροτάτου του συναρτησοειδούς J, το θεμελιώδες θεώρημα του Λογισμού των Μεταβολών προϋποθέτει το μηδενισμό της πρώτης μεταβολής δj στο σημείο που υπάρχει ακρότατο. Επίσης, σε ένα τυπικό σύστημα ελέγχου, ο όρος δu(t) είναι η ανεξάρτητη μεταβολή ελέγχου και ο όρος δx(t) η εξαρτημένη μεταβολή της κατάστασης. Αρχικά, επιλέγω λ(t)=λ*(t) που βρίσκεται στη διάθεσή μας και έτσι ισοδύναμα επιλέγω L* τέτοιο ώστε ο συντελεστής της εξαρτημένης μεταβολής στην προηγηθείσα σχέση να μηδενίζεται. Τότε, λαμβάνω την εξίσωση Euler-Lagrange όπου οι μερικές παράγωγοι υπολογίζονται στη βέλτιστη (*) συνθήκη. Έτσι, έχω Τελικά, η πρώτη μεταβολή γίνεται Να σημειωθεί πως η αρχική εξίσωση του συστήματος μπορεί να γραφεί, με όρους Λαγκρανζιανής, με τη μορφή Για να μετατρέψω την έκφραση που εμπεριέχει τον όρο δx(t) σε έκφραση που εμπεριέχει τον όρο δxf, 38

39 σημειώνω πως η κλίση του x'(t)+δx'(t) στο χρονικό σημείο tf, προσεγγίζεται με τη σχέση που μπορεί να ξαναγραφεί ως και ανακτώντας μονάχα τους γραμμικούς (ως προς δ) όρους, λαμβάνω Χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση μαζί με τις οριακές συνθήκες του προβλήματος, παίρνω την που μου δίνει ουσιαστικά τη γενικευμένη έκφραση των οριακών συνθηκών, με όρους Λαγκρανζιανής. Σχηματικά, οι διάφορες ποσότητες μεταβολών και τα αντίστοιχα χρονικά σημεία στα οποία αναφερόμαστε, απεικονίζονται στο σχήμα που ακολουθεί. Βήμα 7 Χαμιλτονιανή: 39

40 Ορίζουμε τη Χαμιλτονιανή H* (που καλείται επίσης συνάρτηση H του Pontryagin) στο σημείο της βέλτιστης συνθήκης ως εξής όπου Τότε, εκφράζοντας τη Λαγκρανζιανή L* με όρους Χαμιλτονιανής H*, λαμβάνω τη σχέση Αυτό που έχω καταφέρει, είναι να εκφράσω τις εξισώσεις για τον έλεγχο, την κατάσταση και τη συμπληρωματική κατάσταση ως προς τη Χαμιλτονιανή του συστήματος, αν αντικαταστήσω την παραπάνω σχέση που δίνει την L* σε κάθε μία αντίστοιχη σχέση για τα προαναφερθέντα μεγέθη. Για τον βέλτιστο έλεγχο, έχω Για τη βέλτιστη κατάσταση, έχω που με οδηγεί στη σχέση Για τη συμπληρωματική κατάσταση έχω 40

41 Η ομοιότητα που παρουσιάζεται στις δύο παραπάνω σχέσεις, εξηγεί και το λόγο που χρησιμοποιώ τον όρο συμπληρωματική κατάσταση για το διάνυσμα λ(t). Τέλος, για τις οριακές συνθήκες, έχω τη σχέση Αυτή, είναι η γενική έκφραση για οριακές συνθήκες ως προς τη Χαμιλτονιανή, για συστήματα ελεύθερου τελικού χρόνου και ελεύθερης τελικής κατάστασης Τελικά όρια χρονικής στιγμής tf και κατάστασης xf - Τύποι συστημάτων Στην εικόνα που ακολουθεί, εμφανίζονται τέσσερις περιπτώσεις για την τελική κατάσταση και την τελική χρονική στιγμή του προβλήματος. Σε κάθε περίπτωση αντιστοιχεί και μία διαφορετική εξίσωση των οριακών συνθηκών. a) Δεδομένης τελικής χρονικής στιγμής και δεδομένης τελικής κατάστασης: αφού τα τελικά όρια είναι 41

42 δεδομένα, έχω δtf=0 και δxf=0, άρα η γενική σχέση για τις οριακές συνθήκες δεν εισάγει καμία επιπλέον οριακή συνθήκη στο πρόβλημα, παρά μόνο τις αρχικώς δοσμένες. b) Ελεύθερης χρονικής στιγμής και δεδομένης τελικής κατάστασης: αφού η τελική χρονική στιγμή είναι ελεύθερη, συνεπάγεται πως ο όρος δtf είναι αυθαίρετος, εξαναγκάζοντας το συντελεστή του να είναι μηδέν. Την ίδια στιγμή, δxf=0, άρα έχω c) Δεδομένης τελικής χρονικής στιγμής και ελεύθερης τελικής κατάστασης: ο τελικός χρόνος είναι ελεύθερος, άρα δtf=0 και ο συντελεστής του όρου δxf είναι μηδέν, αφού η τελική κατάσταση είναι ελεύθερη d) Ελεύθερης τελικής χρονικής στιγμής και εξαρτημένης τελικής κατάστασης: αν tf και x(tf ) σχετίζονται με τέτοιο τρόπο, ώστε η τελική κατάσταση x(tf ) να βρίσκεται πάνω σε καμπύλη θ(t), όπως φαίνεται και στην προηγηθείσα εικόνα, τότε και χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση σε συνδυασμό με τη γενική έκφραση για τις οριακές συνθήκες, λαμβάνω και από τη στιγμή που ο τελικός χρόνος είναι ελεύθερος, ο όρος δtf είναι αυθαίρετος, άρα ο συντελεστής του μηδενίζεται e) Ελεύθερης τελικής χρονικής στιγμής και ανεξάρτητης τελικής κατάστασης: αν οι όροι tf και x(tf )δε σχετίζονται με κάποια εξίσωση καμπύλης όπως στην περίπτωση (d), τότε λαμβάνω 42

43 2.3.5 Ικανή Συνθήκη για Ακρότατο με όρους Χαμιλτονιανής Η σχέση για τη δεύτερη μεταβολή, αν εκφραστεί με όρους Χαμιλτονιανής, γίνεται Για την ύπαρξη ελαχίστου, πρέπει η δεύτερη μεταβολή του κριτηρίου απόδοσης δ2j να είναι θετική, επομένως η μήτρα Π πρέπει να είναι θετικά ορισμένη Η σημαντικότερη όμως συνθήκη, είναι ο συντελεστής του όρου (δu(t))2 να είναι θετικός. Άρα η δεύτερη μερική παράγωγος της Χαμιλτονιανής ως προς u, πρέπει να είναι θετική Για μέγιστο, αντιστρέφεται η ανισότητα στην παραπάνω σχέση. 43

44 ΚΕΦΑΛAIΟ 3 Βέλτιστος Έλεγχος με Τετραγωνικό Κριτήριο (LQR) Σε αυτήν την ενότητα, παρουσιάζω τον βέλτιστο έλεγχο κλειστού βρόχου του γραμμικού συστήματος, που έχω λάβει μετά τις αναγκαίες προσεγγίσεις. Το κριτήριο απόδοσης στην μεθοδολογία αυτή είναι τετραγωνικό. Η μέθοδος LQR (Linear Quadratic Regulator) απλοποιεί την επίλυση του προβλήματος και διευκολύνει την επίτευξη του τελικού στόχου, εκείνου της ρύθμισης της κατάστασης, ρύθμισης της εξόδου και της παρακολούθησης (tracking) της τροχιάς του συστήματος. Στη δική μου περίπτωση, το πρόβλημα αφορά γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα, στο οποίο η αρχική κατάσταση είναι στο μηδέν και η τελική κατάσταση είναι επίσης στο μηδέν. Σε ό,τι αφορά στο χρόνο, θα πάρω την περίπτωση απείρου χρόνου, αφού δε με ενδιαφέρει η σφαίρα να υπόκειται σε αυστηρό προκαθορισμένο χρονικό περιορισμό ώσπου να καταλήξει στην τελική της θέση. Για να καταλήξω στη μεθοδολογία που αφορά τα γραμμικά χρονικά ανεξάρτητα συστήματα, πρώτα θα ορίσω το πρόβλημα για την περίπτωση χρονικά μεταβαλλόμενου συστήματος με προκαθορισμένο τελικό χρόνο και κατόπιν θα καταλήξω στην περίπτωση που με ενδιαφέρει. 3.1 Περίπτωση γραμμικού χρονικά μεταβαλλόμενου συστήματος με προκαθορισμένο τελικό χρόνο Έστω το γραμμικό χρονικά μεταβαλόμενο σύστημα με συναρτησοειδές κόστους όπου x(t) το διάνυσμα κατάστασης, y(t) το διάνυσμα εξόδου, z(t) το διάνυσμα αναφοράς, u(t) το διάνυσμα εισόδου και e(t)=z(t)-y(t) (ή e(t)=z(t)-x(t) στην περίπτωση που η κατάσταση είναι άμεσα διαθέσιμη) το διάνυσμα σφάλματος. Υποθέτουμε πως ο έλεγχος u(t) δεν υπόκειται σε περιορισμούς και ότι όλες οι καταστάσεις και είσοδοι είναι απολύτως μετρήσιμες. Το συναρτησοειδές κόστους περιέχει τετραγωνικούς όρους ως προς το σφάλμα e(t) και την είσοδο u(t) και για αυτό χαρακτηρίζεται ως τετραγωνικό κριτήριο κόστους. Παρακάτω, θα προβώ σε κάποιες υποθέσεις για τις μήτρες που ενφανίζονται στο κριτήριο κόστους. Οι υποθέσεις αυτές είναι εκείνες που εξασφαλίζουν πως ο βέλτιστος έλεγχος που θα προκύψει είναι κλειστού βρόχου εκ φύσεως, αφού το προκύπτον u*(t) είναι συνάρτηση είτε της κατάστασης x(t) είτε της εξόδου y(t). α) Μήτρα βάρους σφάλματος Q(t): για να κρατηθεί το σφάλμα μικρό και το τετράγωνο του σφάλματος μη αρνητικό, πρέπει το ολοκλήρωμα της έκφρασης 1/2e'(t)Q(t)e(t) να είναι μη αρνητικό και μικρό. Αυτό προϋποθέτει η μήτρα Q(t) να είναι θετικά ημιορισμένη. 44

45 β) Μήτρα βάρους ελέγχου R(t): Η τετραγωνική φύση της έκφρασης του κόστους ελέγχου 1/2u'(t)R(t)u(t) υποδεικνύει πως όσο αυξάνεται η προσπάθεια να ελέγξω το σύστημα, τόσο αυξάνεται και το κόστος ελέγχου του. Αφού ο έλεγχος πρέπει να είναι θετική ποσότητα, η μήτρα βάρους R(t) πρέπει να είναι θετικά ορισμένη. γ) Μήτρα βάρους κόστους μόνιμης κατάστασης F(tf ): Ο κύριος σκοπός αυτού του όρου είναι η διατήρηση του σφάλματος e(t) στο χρονικό σημείο tf της μόνιμης κατάστασης σε χαμηλά επίπεδα. Έτσι πρέπει η μήτρα F(tf ) να είναι θετικά ημιορισμένη. Όταν ο τελικός χρόνος θεωρηθεί ότι βρίσκεται στο άπειρο, είναι προφανές πως το μέτρο αυτό του σφάλματος δεν έχει καμία πρακτική αξία. Στην περίπτωση αυτή θεωρείται ίσο με το μηδέν. Επιπλέον, χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε πως οι παραπάνω μήτρες είναι όλες συμμετρικές. Αν τώρα θεωρήσω πως z(t)=0, τότε το σφάλμα e(t)=0-x(t) άρα είναι η ίδια η κατάσταση. Το κριτήριο κόστους μπορεί λοιπόν να γραφεί τώρα ως εξής Ακολουθώ τώρα τη διαδικασία του Pontryagin που περιγράφηκε σε προηγούμενη ενότητα. Βήμα 1 Χαμιλτονιανή: Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της Χαμιλτονιανής, λαμβάνω την εξίσωση Βήμα 2 Βέλτιστος έλεγχος: Παίρνω το βέλτιστο έλεγχο u*(t) από την παραγώγιση της Χαμιλτονιανής ως προς τον έλεγχο u(t) που με οδηγεί στην 45

46 όπου φαίνεται ξεκάθαρα η ανάγκη να είναι η μήτρα βάρους R(t) θετικά ορισμένη (και όχι ημιορισμένη), ώστε να μπορεί να αντιστραφεί. Εδώ, έχω χρησιμοποιήσει τις σχέσεις και Βήμα 3 Εξισώσεις Κατάστασης και Συμπληρωματικής Κατάστασης: Παίρνουμε τις εξισώσεις κατάστασης και της εξισώσεις συμπληρωματικής κατάστασης με τις σχέσεις Αντικαθιστώ τον βέλτιστο έλεγχο που βρήκα στο βήμα 2 στις παραπάνω σχέσεις και προκύπτει το κανονικό σύστημα εξισώσεων κατάστασης και συμπληρωματικής κατάστασης ή αλλιώς Χαμιλτονιανό σύστημα εξισώσεων όπου E(t)=B(t)R-1(t)B'(t). Η γενική έκφραση για την οριακή συνθήκη, δίνεται από την όπου S είναι το συνολικό κόστος μόνιμης κατάστασης. Εδώ, στην περίπτωση πεπερασμένου τελικού χρόνου, το tf είναι προκαθορισμένο κάνοντας τη μεταβολή δtf ίση με μηδέν, ενώ η τελική κατάσταση x(tf) δεν είναι προκαθορισμένη οπότε δx(tf) αυθαίρετο και ο συντελεστής της μεταβολής δx(tf) μηδενίζεται, οπότε 46

47 Η υλοποίηση στο χώρο κατάστασης φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Βήμα 4 Βέλτιστος Έλεγχος Κλειστού Βρόχου: Για να σχηματίσω τον ελεγκτή κλειστού βρόχου, πρέπει να λάβω το βέλτιστο έλεγχο u*(t) (που είναι συνάρτηση του λ*(t)) ως συνάρτηση του x*(t). Η τελευταία σχέση που πήρα στο Βήμα 3 μου έδωσε τη συμπληρωματική κατάσταση στον τελικό χρόνο ως συνάρτηση της κατάστασης στον τελικό χρόνο. Μπορώ όμως να λάβω μία συσχέτιση των δύο καταστάσεων σε ολόκληρο το διάστημα του χρόνου που διεξάγω το πείραμα, αν συσχετίσω τα λ*(t) και x*(t) με το μετασχηματισμό Η μήτρα P(t) μένει να υπολογιστεί. Ο βέλτιστος έλεγχος γίνεται και εκφράζεται ως αρνητική ανάδραση της κατάστασης x*(t). Η αρνητική ανάδραση δεν εισήχθη στο πρόβλημα σκοπίμως, αλλά προέκυψε από τη θεώρηση του μαθηματικού προβλήματος. Διαφορίζοντας τη σχέση του μετασχηματισμού που εισάγει τη μήτρα P ως προς το χρόνο, παίρνω και τελικά έχω 47

48 και αντικαθιστώντας στη σχέση για την παράγωγο της λ*(t) λαμβάνω Ουσιαστικά, με την εισαγωγή του μετασχηματισμού, έφυγε η συμπληρωματική κατάσταση από τις εξισώσεις κατάστασης, συμπληρωματικής κατάστασης και ελέγχου. Βήμα 5 Διαφορική Εξίσωση Riccati: Η τελευταία σχέση που πήρα στο Βήμα 4 πρέπει να ισχύει για κάθε χρονική στιγμή, από την αρχική μέχρι την τελική και για κάθε επιλογή της αρχικής κατάστασης x*(t0 ). Επίσης, η μήτρα P(t) δεν εξαρτάται από την αρχική κατάσταση. Άρα η σχέση πρέπει να ισχύει για κάθε τιμή της x*(t). Αυτό σημαίνει πως η μήτρα P(t) πρέπει να ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση Αυτή η διαφορική εξίσωση μητρών είναι τύπου Riccati και ονομάζεται Διαφορική Εξίσωση Riccati (Differential Riccati Equation - DRE). Ο μετασχηματισμός ονομάζεται μετασχηματισμός Riccati. Η μήτρα P(t) ονομάζεται μήτρα συντελεστών Riccati ή μήτρα Riccati ή πιο απλά συντελεστής Riccati. Η διαφορική εξίσωση Riccati μπορεί να γραφεί σε πιο συμπτηγμένη μορφή με την έκφραση όπου E(t)=B(t)R-1(t)B'(t). Συγκρίνοντας την οριακή συνθήκη από το βήμα 3 με το μετασχηματισμό Riccati, παίρνω την τελική συνθήκη για τη μήτρα P(t) Κατά συνέπεια, η διαφορική εξίσωση Riccati επιλύεται ανάποδα στο χρόνο, εκκινώντας από την τιμή που λαμβάνω από την αμέσως προηγούμενη σχέση. 48

49 Τέλος, να σημειωθεί πως η μήτρα αυντελεστών Riccati P(t) είναι συμμετρική. Ικανή Συνθήκη για Βέλτιστο Έλεγχο Για να είναι όμως ο έλεγχος βέλτιστος, πρέπει η μήτρα να είναι θετικά (αρνητικά) ορισμένη για την περίπτωση ελαχίστου (μεγίστου). Στις περισσότερες περιπτώσεις, αυτό εξασφαλίζεται αν η μήτρα είναι θετικά (αρνητικά) ορισμένη για την περίπτωση ελαχίστου (μεγίστου). Υπολογίζοντας τις επιμέρους μερικές παραγώγους, παίρνω και αντικαθιστώντας στη μήτρα Π παίρνω Από τη στιγμή που η μήτρα R(t) είναι θετικά ορισμένη και η Q(t) θετικά ημιορισμένη, προκύπτει πως η μήτρα Π είναι αναγκαστικά θετικά ημιορισμένη. Όμως, η συνθήκη για τη δεύτερη παράγωγο της Χαμιλτονιανής ως προς u, εξασφαλίζει ότι ο έλεγχος u*(t) είναι βέλτιστος. Η έκφραση για το κριτήριο κόστους παίρνει τη μορφή 49

50 3.2 Περίπτωση γραμμικού χρονικά μεταβαλλόμενου συστήματος απείρου τελικού χρόνου Θεωρώ ξανά το σύστημα με κριτήριο κόστους Το πρόβλημα για τελικό χρόνο που πηγαίνει στο άπειρο, προϋποθέτει κάποιες συνθήκες για να είναι επιλύσιμο. Αν κάποια κατάσταση είναι είτε ασταθής, είτε μη ελέγξιμη, τότε το κριτήριο κόστους απειρίζεται και δεν έχει καμία φυσική υπόσταση. Στην περίπτωση πεπερασμένου χρόνου, το κριτήριο κόστους δεν παρουσιάζει τέτοια συμπεριφορά, καθώς τα όρια ολοκλήρωσης είναι πεπερασμένα. Επομένως, το σύστημα πρέπει να είναι πλήρως ελέγξιμο. Το σφάλμα τελικού χρόνου δεν έχει, επίσης, φυσική σημασία στην περίπτωση απείρου χρόνου με τον τρόπο που έχει οριστεί. Η μεθοδολογία όμως για την περίπτωση πεπερασμένου χρόνου, έχει και κοινά σημεία με εκείνη του απείρου τελικού χρόνου. Κάνοντας χρήση των ίδιων αποτελεσμάτων με την περίπτωση πεπερασμένου χρόνου, λαμβάνω τη σχέση για το βέλτιστο έλεγχο απείρου χρόνου όπου είναι η nxn συμμετρική θετικά ορισμένη μήτρα, που αποτελεί τη λύση της διαφορικής εξίσωσης Riccati και η οποία ικανοποιεί την τελική συνθήκη Το βέλτιστο κριτήριο κόστους δίνεται από την 50

51 3.3 Περίπτωση γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος απείρου τελικού χρόνου Για ένα γραμμικό, ελέγξιμο, χρονικά αμετάβλητο σύστημα έχω και το συναρτησοειδές κόστους, που αντιστοιχεί στην περίπτωση απείρου χρόνου είναι στην οποία ο βέλτιστος έλεγχος δίνεται από την όπου P ο σταθερός nxn θετικά ορισμένος συμμετρικός πίνακας, που αποτελεί τη λύση της μη γραμμικής Αλγεβρικής Εξίσωσης Riccati (Algebraic Riccati Equation - ARE) Η βέλτιστη τροχιά είναι η λύση της και το βέλτιστο κόστος δίνεται από την Εδώ, οι υποθέσεις i) για την ελεγξιμότητα του συστήματος (πρέπει να είναι πλήρως ελέγξιμο) και ii) για το μηδενισμό του σφάλματος τελικού χρόνου (λόγω απείρου τελικού χρόνου), έχουν ως συνέπεια να ισχύει Η αλγεβρική εξίσωση Riccati εκφράζεται ως ή εναλλακτικά ως 51

52 Στην περίπτωση λοιπόν χρονικά μεταβαλλόμενου συστήματος, έχουμε τη διαφορική εξίσωση Riccati, ενώ στην περίπτωση χρονικά αμετάβλητου συστήματος, έχουμε την αλγεβρική εξίσωση Riccati. Ο συντελεστής Riccati μπορεί να ερμηνευτεί σχηματικά, αν θεωρήσω το μετασχηματισμό τ= tf-t. Με το μετασχηματισμό αυτόν, θεωρώ τον τελικό χρόνο tf ως τον αρχικό χρόνο, αν ιδωθεί από τη σκοπιά του τ, αφού τ=0 για t= tf. Άρα tf μπορεί να ιδωθεί πλέον ως ο χρόνος εκκίνησης, P(tf ) ως η αρχική κατάσταση και η λύση P' ως η λύση μόνιμης κατάστασης της Διαφορικής Εξίσωσης Riccati. Όσο ο χρόνος τείνει στο άπειρο, η μεταβατική λύση ωθείται προς το χρόνο tf που βρίσκεται στο άπειρο, επομένως για το μεγαλύτερο πρακτικό χρονικό διάστημα, η μήτρα P(t)είναι μήτρα μόνιμης κατάστασης, δηλαδή η μήτρα-λύση P' είναι χρονικά σταθερή. Τότε, ο έλεγχος δίνεται από την όπου είναι το κέρδος Kalman. Εναλλακτικά, μπορώ να γράψω όπου Η βέλτιστη κατάσταση είναι η λύση του συστήματος που προκύπτει αν εφαρμοσθεί ο βέλτιστος έλεγχος και δίνεται από την 52

53 όπου η μήτρα πρέπει να έχει ευσταθείς ιδιοτιμές, ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να είναι ευσταθές. Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται η υλοποίηση του συστήματος. Να σημειωθεί εδώ ότι το υπό εξέταση αρχικό σύστημα δεν πρέπει υποχρεωτικά να είναι ευσταθές. Ευσταθές πρέπει να είναι το βέλτιστο σύστημα. 53

54 Κεφάλαιο 4 Εξομοίωση του Συστήματος σε περιβάλλον Matlab Συμπεράσματα 4.1 Μοντελοποίηση Καταστατικών Εξισώσεων στο Matlab Για την υλοποίηση της συνάρτησης μεταφοράς, εισάγω τον αριθμητή και τον παρανομαστή της συνάρτησης μεταφοράς, που δίνεται από τη σχέση >> num=[-1.472]; >> den=[ ]; Για να μετατρέψω τη συνάρτηση μεταφοράς σε καταστατικό μοντέλο, χρησιμοποιώ την εντολή tf2ss. Με χρήση της εντολής ss κατασκευάζω το αντικείμενο SYS το οποίο αντιπροσωπεύει το σύστημα και τελικά λαμβάνω >> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den); >> SYS = ss(a,b,c,d) SYS = A= x1 x2 x x2 1 0 B= u1 x1 1 x2 0 C= y1 x1 x D= u1 y1 0 Continuous-time state-space model Στη συνέχεια, θα υπολογιστούν και θα αποτυπωθούν οι πόλοι και τα μηδενικά του συστήματος, με χρήση 54

55 της εντολής pzmap >> [P,Z]=pzmap(SYS) P= Z= 0 1 empty double column vector Το σύστημα έχει δύο πόλους, έναν στο και έναν στο μηδέν, που ευθύνεται και για την αστάθειά του. Αυτοί, φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Για τη βηματική απόκριση, χρησιμοποιώ την εντολή step >> [Y,T,X] = step(sys); plot(t,y) grid και παίρνω τη βηματική απόκριση του συστήματος, όπου διακρίνεται ξεκάθαρα η αστάθεια ανοικτού βρόχου του συστήματος. 55

56 Για τις καταστάσεις, πληκτρολογώ τις εντολές >> [Y,T,X] = step(sys); plot(t,χ) grid και λαμβάνω την απεικόνιση των καταστάσεων, στην οποία φαίνεται ξεκάθαρα η απομάκρυνση της σφαίρας από το σημείο ισορροπίας, με γραμμικό μάλιστα τρόπο. 56

57 4.2 Ελεγξιμότητα και Παρατηρησιμότητα Η ελεγξιμότητα και η παρατηρησιμότητα του συστήματος είναι προϋποθέσεις που πρέπει να ικανοποιούνται, ώστε το σύστημα να μπορεί να ελεγχθεί με χρήση γραμμικού τετραγωνικού κριτηρίου. Για το λόγο αυτό, ορίζονται παρακάτω οι δύο έννοιες και γράφεται κώδικας στη Matlab για να ελεγχθούν οι δύο συνθήκες. Το σύστημα σφαίρας-ράβδου και κάθε σύστημα, λέγεται πως είναι ελέγξιμο σε μία χρονική στιγμή t0, αν μία είσοδος μπορεί να μεταφέρει το σύστημα από μία αρχική κατάσταση x(t0) σε οποιαδήποτε άλλη κατάσταση σε πεπερασμένο χρόνο. Για τον έλεγχο της συνθήκης ελεγξιμότητας, εξετάζεται η τάξη της μήτρας ελεγξιμότητας. Η μήτρα ελεγξιμότητας είναι η για την οποία πρέπει να ισχύει rank(r)=n. Χρησιμοποιώ την εντολή ctrb του Matlab, που σχηματίζει αυτόματα τη μήτρα, δεχόμενη σαν είσοδο τις μήτρες A,B και μετέπειτα την εντολή rank για να βρω την τάξη της >> Co=ctrb(A,B) Co = >> rank(co) ans = Αφού λοιπόν η τάξη της μήτρας ελεγξιμότητας είναι ίση με τον αριθμό των μεταβλητών κατάστασης, το σύστημά μου είναι πλήρως ελέγξιμο. Το σύστημα λέγεται πως είναι παρατηρήσιμο σε μία χρονική στιγμή t0 αν, με την κατάσταση στο x(t0), είναι εφικτό να διαπιστωθεί αυτή η κατάσταση από την παρατήρηση της εξόδου για ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Η μήτρα παρατηρησιμότητας είναι η και κάνοντας χρήση της εντολής obsv του Matlab, που δέχεται ως είσοδο τις μήτρες A,C και σχηματίζει τη μήτρα ελεγξιμότητας, βρίσκω μετέπειτα την τάξη της 57

58 >> Ob=obsv(A,C) Ob = >> rank(ob) ans = Άρα το σύστημά μου είναι επίσης παρατηρήσιμο. 4.3 Χρήση της εντολής lqr Η αλγεβρική εξίσωση Riccati δε θα λυθεί αναλυτικά εδώ. Αντ' αυτού, θα χρησιμοποιηθεί η εντολή lqr του Matlab. Η εντολή υπολογίζει τη βέλτιστη μήτρα κέρδους Κ, ώστε να ελαχιστοποιείται το τετραγωνικό κριτήριο κόστους. Δέχεται σαν είσοδο τις μήτρες βάρους Q και R, καθώς και τις μήτρες Α, Β του συστήματος και στην έξοδο, δίνει τη μήτρα κέρδους Κ, τη μήτρα P, που είναι η λύση της αλγεβρικής εξίσωσης Riccati, καθώς και τη μήτρα EV, με τις ιδιοτιμές του προκύπτοντος συστήματος κλειστού βρόχου. Πληκτρολογώ στο περιβάλλον εργασίας του Matlab τον παρακάτω κώδικα, που αντιστοιχεί σε τιμές των μητρών βάρους æ ö Q=ç è ø και R = (15 ) >> x10=3; %% initial condition on state x1 x20=3; %% initial condition on state x2 X0=[x10;x20]; A=[ ;1 0]; %% system matrix A B=[1;0]; %% system matrix B Q=[100 10;10 100]; %% performance index weighted matrix R=[15]; %% performance index weighted matrix [K,P,EV]=lqr(A,B,Q,R) %% K = feedback matrix; %% P = Riccati matrix; %% EV = eigenvalues of closed loop system A - B*K BIN=[0;0]; % dummy BIN for "initial" command C= [0-7.01]; D= [0] ; tfinal=10; t=0:0.05:10; 58

59 [Y,X,t]=initial(A-B*K,BIN,C,D,X0,tfinal); x1t=[1 0]*X'; %% extracting xi from vector X x2t=[0 1]*X'; %% extracting x2 from vector X ut=-k*x' ; plot(t,x1t, 'b',t,x2t, 'k') xlabel ( ' t ' ) gtext ('x_1 (t)') gtext ('x_2(t)') plot (t, ut, ' k ' ) και παίρνω τα εξής αποτελέσματα, μετά την εκτέλεση του κώδικα K= P= EV = Όπως είναι προφανές και από το σχήμα, και οι δύο καταστάσεις είναι ευσταθείς (με αρχικές τιμές ίσες με 59

60 3). Με μπλε χρώμα, απεικονίζεται η x1. Εξάλλου, οι ιδιοτιμές που περιέχονται στο διάνυσμα EV, είναι και οι δύο αρνητικές. Ο χρόνος απόκρισης, από την άλλη, δεν είναι ικανοποιητικός, αφού δέκα δευτερόλεπτα μετά τον αρχικό χρόνο, το σύστημα, δεν έχει ισορροπήσει στο μηδέν. Για την είσοδο με την οποία ελέγχω το σύστημα και την οποία βελτιστοποιώ, παίρνω το γράφημα που ακολουθεί. 4.4 Απόκριση του Συστήματος Δίνοντας τις κατάλληλες τιμές στις παραμέτρους Q και R, μπορώ να βελτιώσω την απόκριση του συστήματος. Τώρα, θα μεταβάλλω μόνο τη μήτρα R (δεκαπλασιάζω), αφήνοντας τη μήτρα Q ίδια με πριν, οπότε για τιμές æ ö Q=ç è ø R = (150 ) παίρνω την απόκριση των καταστάσεων 60

61 Η επαναφορά της σφαίρας στο σημείο ισορροπίας, έχει καθυστερήσει ακόμη περισσότερο. Θα κοιτάξω λοιπόν να μειώσω την τιμή της μήτρας R, στο μισό, δηλαδή 7.5. Η απόκριση των καταστάσεων φαίνεται παρακάτω Είναι φανερά καλύτερη από την περίπτωση R=[150], αλλά ελαφρώς καλύτερη από την περίπτωση R=[15]. Θα δοκιμάσω την τιμή R=[0.1]. Τώρα, παίρνω 61

62 Η απόκριση αυτήν τη φορά, είναι εμφανώς βελτιωμένη. Το σύστημα σταθεροποιείται σε λιγότερο από 5 δευτερόλεπτα. Για τον έλεγχο, σε αυτήν την περίπτωση, έχω Εισάγοντας για R=[0.1] διάφορες τιμές του Q, η απόκριση φαίνεται να μη μεταβάλλεται σημαντικά. 62

63 4.5 Σχολιασμός Αποτελεσμάτων Η χρήση βέλτιστου νόμου ελέγχου σταθεροποίησε το σύστημα, το οποίο αρχικά, ήταν ασταθές. Η ελεγξιμότητά του όμως, επέτρεψε να χρησιμοποιηθεί το τετραγωνικό κριτήριο, αφού εξαναγκάζει το κριτήριο κόστους να παραμείνει πεπερασμένο. Το γραμμικό τετραγωνικό κριτήριο απλοποίησε σημαντικά την επίλυση του προβλήματος, αφού ο βέλτιστος ελεγκτής ήταν τελικά γραμμικός ως προς την κατάστασή του. Το πλεονέκτημα αυτό έρχεται να προστεθεί στη συνεισφορά της γραμμικοποίησης του συστήματος, που μου επιτρέπει να χειριστώ και τη μέθοδο LQR, καθώς και πληθώρα άλλων μεθόδων που θα διευκόλυναν περαιτέρω βελτίωση της απόκρισής του. Τα αποτελέσματα από τη χρήση της εντολής lqr στο Matlab, είναι τα ίδια με τα αποτελέσματα που θα λάμβανα, αν έλυνα το σύστημα των εξισώσεων κατάστασης και συμπληρωματικής κατάστασης, με τη μέθοδο του Pontryagin. Υπάρχει λοιπόν ισοδυναμία μεταξύ των δύο λύσεων, του βέλτιστου νόμου ελέγχου ανοικτού βρόχου και κλειστού βρόχου, απλώς η επίλυση της αλγεβρικής εξίσωσης Riccati είναι φανερά πιο απλή. 63

64 64

65 Παράρτημα Α.1 Εξαγωγή Εξισώσεων Συστήματος με Δυναμική του Hamilton Αξιοποιώντας την γεωμετρία της σφαίρας και της ράβδου μπορούμε να ορίσουμε την θέση του κέντρου της σφαίρας σε καρτεσιανές συντεταγμένες (x-y). Έτσι βάσει του παραπάνω σχήματος που φαίνεται το σύστημα σφαίρας-δοκού έχουμε για την θέση της σφαίρας: Αν διαφορίσουμε τις παραπάνω εξισώσεις ως προς τον χρόνο παίρνουμε την ταχύτητα της μπάλας σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (x-y) Ξαναδιαφορίζοντας ως προς το χρόνο τις εξισώσεις που μας δίνουν την ταχύτητα της μπάλας, προκύπτει η επιτάχυνσή της στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων 65

66 Aξιοποιώντας την γεωμετρία προσδιορίζουμε την γωνία που σχηματίζει η μπάλα καθώς κινείται. Αν αρχικά η μπάλα ισορροπεί στο μέσο της δοκού και στρέψουμε την δοκό κατα γωνία έστω θ, τότε αμέσως μετά η σφαίρα θα σχηματίζει γωνία με τον κάθετο άξονα, α=θ. Aν μείνει εκεί η δοκός και η σφαίρα αρχίσει να κινείται, όταν διασχίσει η μπάλα απόσταση r, όση η νοητή περιφερειά του κυκλικού δίσκου που εφάπτεται με την δοκό, τότε θα έχει σχηματίσει μια γωνία 360 μοιρών. Συνεπώς μπορούμε να εκφράσουμε την γωνία α που σχηματίζει συναρτήσει της γωνίας στρέψεως της δοκού και της θέσης της πάνω στην δοκό ως Διαφορίζοντας την ανωτέρω σχέση ως προς το χρόνο μας δίνεται η γωνιακή ταχύτητα της μπάλας: και διαφορίζοντας ξανά ως προς το χρόνο εξάγεται η γωνιακή επιτάχυνση της μπάλας: H ροπή αδράνειας της μπάλας είναι αυτή για μια οποιαδήποτε σφαίρα και ισούται με Έχοντας εξάγει τις βασικές δυναμικές εξισώσεις του συστήματος ορίζουμε στην συνέχεια την δυναμική και την κινητική ενέργεια του συστήματος. Αρχικά ορίζουμε την δυναμική ενέργεια του συστήματος Eδυν, θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται απο το κέντρο βάρος της 66

67 ράβδου (άξονας xc ). Η δυναμική ενέργεια της ράβδου, με την υπόθεση ότι το κέντρο μάζας της ράβδου είναι συγκεντρωμένη στο σημείο στρέψεώς της, είναι μηδενική. Επομένως για την δυναμική ενέργεια του συστήματος εστιάζουμε αποκλειστικά στην δυναμική ενέργεια της μπάλας λόγω της υψομετρικής διαφοράς που σχηματίζεται με την στρέψη της ράβδου. Σύμφωνα με το πρώτο σχήμα, η δυναμική ενέργεια της μπάλας και επομένως του συστήματος είναι ίση με: Επιπλεόν ορίζουμε την κινητική ενέργεια του συστήματος Eκιν Αντικαθιστώντας τις σχέσεις που μας δίνουν τις ταχύτητες στην εξίσωση (1.2) στην σχέση (1.8), καθώς και στην σχέση (1.5) που μας δίνει την γωνιακή ταχύτητα της μπάλας α στην (1.8), η κινητική ενέργεια στην (1.8) μας δίνεται συνάρτηση της μετατόπισης x και της γωνίας θ: Απο τα ανωτέρω αποτελέσματα παρατηρούμε τα εξής: Διαπιστώνουμε ότι η δυναμική ενέργεια V εξαρτάται μόνο απο τις γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος, x και θ, καθώς είναι της μορφής V x,θ και όχι απο τις γενικευμένες ταχύτητες, οπότε Επίσης για την κινητική ενέργεια είναι ομογενής εξίσωση δευτέρου βαθμού αφού μιλάμε για μηχανικό δυναμικό σύστημα, επομένως : Όπως δείχθηκε παραπάνω κατα την θεμελίωση των εξισώσεων του Χάμιλτον, οι δύο ανωτέρω συνθήκες σημαίνουν ότι η Χαμιλτονιανή του μηχανικού συστήματος μπορεί να γραφεί σαν το άθροισμα της δυναμικής και κινητικής ενέργειας του συστήματος. Επομένως ορίζουμε την εξίσωση Χάμιλτον, H, του συστήματος: 67

68 Στην συνέχεια ορίζουμε το δυναμικό του Rayleigh για το σύστημα Σε αυτό περιέχονται ουσιαστικά οι συντελεστές που αποτελούν στοιχεία τριβής (στοιχεία απόσβεσης) C 1 για την γενικευμένη συντεταγμένη q1=x, και C2 για την γενικευμένη συντεταγμένη q2=θ. Επομένως για το δυναμικό του Rayleigh ορίζουμε την εξίσωση δυναμικού του Rayleigh για το σύστημα σφάιρας-ράβδου την συνάρτηση Πλέον έχοντας ορίσει τις γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος είμαστε σε θέση να ορίσουμε την γενικευμένη ορμή pi για τις γενικευμένες συντεταγμένες q1=x, q2=θ. Η γενικευμένη ορμή δίνεται, όπως εξηγήσαμε προηγουμένως, απο τον τύπο Για τη Λαγκρανζιανή του συστήματος έχουμε Eπομένως για την q1=x η αντίστοιχη γενικευμένη ορμή px προκύπτει: Eπειδή το μοντέλο στην γενική περίπτωση όπως περιγράφεται παραπάνω είναι ιδιαίτερα πολύπλοκο και δεν οδηγεί σε αναλυτική μορφή τις γενικευμένες ορμές θα κάνουμε κάποιες υποθέσεις οι οποίες ωστόσο δεν καταργούν την γενίκευση των ιδιοτήτων που εξάγονται απο το αναλυτικό μοντέλο. Προς χάριν της απλοποιήσεως της ανάλυσης μας, λοιπόν, υποθέτουμε ότι η γωνία θ για την οποία στρέφεται η δοκός είναι ιδιαίτερα μικρή (κάτι που θα μπορούσαμε να το έχουμε σαν ζητούμενο αν υποθέταμε ότι η ράβδος επιτρέπεται να στρέφεται κατα μικρό θ η αν κάναμε την υπόθεση ότι ο σερβοκινητήρας στρέφεται κάθε φορά κατα μικρή γωνία όπως στην περίπτωση ενός βηματικού κινητήρα). Επομένως αφού θ μικρό τότε sin θ θ και cos θ 1. Επίσης αγνοούμε τις παραγώγους της γωνίας θ, εκτιμώντας ότι η ταχύτητα για μικρές μεταβολές της γωνίας θ είναι μικρή είτε σταθερή. 68

69 Έτσι οδηγούμαστε σε απλούστερες μορφές για την Χαμιλτονιανή εξίσωση του συστήματος H, και την Λαγκρανζιανή του συστήματος L. Μετά την απλοποίηση της Λαγκρανζιανής η Λαγκρανζιανή του συστήματος δίνεται: H γενικευμένη ορμή px δίνεται λοιπόν: Oμοίως βρίσκουμε και την γενικευμένη ορμή p θ Παραπάνω εκφράσαμε τις γενικευμένες ορμές συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων του συστήματος. Ξαναγράφουμε την Χαμιλτονιανή εξίσωση του συστήματος στην απλοποιημένη της μορφή λαμβάνοντας υπόψιν μας τις παραδοχές που θέσαμε σε ισχύ και κατα την εξαγωγή της Λαγκρανζιανής του συστήματος. Πλέον για να καταλήξουμε στις εξισώσεις του Hamilton, είναι απαραίτητο να εκφράσουμε την Χαμιλτονιανή εξίσωση του συστήματος H συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων και των γενικευμένων ορμών του συστήματος, δηλαδή στην μορφή H q 1,q2,p1,p2 =H x,θ,px, pθ. Για το λόγο αυτό λύνουμε τις τρεις προηγούμενες εξισώσεις ως προς τις ποσότητες x' και θ'. Ξαναγράφουμε τις σχέσεις, αμελώντας αυτή την φορά τις παραγώγους της γωνίας θ, εκτιμώντας ότι για μικρές μεταβολές της γωνίας θ η ταχύτητα με την οποία στρέφεται ο άξονας της ράβδου είναι είτε πολύ μικρή για να εκτιμηθεί στο συνολικό μοντέλο είτε σχεδόν σταθερή. Ξαναγράφουμε επομένως τις απλοποιημένες σχέσεις όπως παρακάτω: Δηλαδή καταλήγουμε για την Χαμιλτονιανή, στην απλή σχέση: 69

70 Λύνουμε τη σχέση για την pθ ως προς x' Επίσης, λύνουμε και τη σχέση για την px ως προς x' Στην συνέχεια αντικαθιστούμε το x' απο τη σχέση για την pθ, στην έκφραση για την Χαμιλτονιανή εξίσωση, επομένως μας δίνεται η Χαμιλτονιανή ως παρακάτω. Αν αντικαταστήσουμε το x' απο τη σχέση για την px, μας ξαναδίνεται η Χαμιλτονιανή Πλέον, έχουμε τη δυνατότητα να λύσουμε τις εξισώσεις του Χάμιλτον Για την γενικευμένη συντεταγμένη q1=x προκύπτει 70

71 Για την γενικευμένη συντεταγμένη q2=θ προκύπτει: Αντίστοιχα για τις γενικευμένες ορμές px, pθ έχουμε απο την εξίσωση τα αποτελέσματα Στο σημείο αυτό θα κάνουμε μια τελευταία απλοποίηση. Εφ'όσον μιλάμε για μικρή μεταβολή της γωνίας θ, έστω μέγιστη τιμή 20 μοίρες, η γωνία που αντιστοιχεί σε ακτίνια ισούται με 0,349 rad. Αν την τετραγωνίσουμε, η τετραγωνισμένη ποσότητα δίνεται 0,122 rad. Επομένως στις ανωτέρο σχέσεις μπορούμε με ασφάλεια να αμελήσουμε τους τετραγωνικούς όρους της γωνίας θ. Καταλήξαμε επομένως σε 4 πρωτοβάθμιες εξισώσεις για πλήθος 2 γενικευμένων συντεταγμένων που ήταν το ζητούμενο. Εκλέγοντας κατάλληλα τις γενικευμένες συντεταγμένες και ορίζοντας την Χαμιλτονιανή του συστήματος καταφέρνουμε με απλό και συνοπτικό τρόπο να οδηγηθούμε σε πρωτοβάθμιες διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν πλήρως την δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Το μόνο βήμα που απομένει είναι η λύση των διαφορικών εξισώσεων. 71