Ένα διάνυζμα παριστάνεται ως μια μονοδιάστατη λίστα. a = {x 1, x 2,..., x n } Πράξεις με δυανύσματα. b = Map[y # &, Range[3]] ή διαφορετικά
|
|
- Αταλάντη Στεφανόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΔΙΑΝΥΣΜΑ, ΠΙΝΑΚΑ Ένα διάνυζμα παριστάνεται ως μια μονοδιάστατη λίστα a = {x 1, x 2,..., x n } Πράξεις με δυανύσματα Με την χρήση Map[f,expr] ή f /@ εφαρμόζουμε f σε κάθε στοιχείο στο πρωτο επίπεδο για την expr Αν έχουμαι 2 δυανύσματα a και b In[1]:= a = Map[x # &, Range[3]] Out[1]= {x 1, x 2, x 3 } ή διαφορετικά In[2]:= a = x # & /@ Range[3] Out[2]= {x 1, x 2, x 3 } In[3]:= b = Map[y # &, Range[3]] Out[3]= {y 1, y 2, y 3 } ή διαφορετικά In[4]:= b = y # & /@ Range[3] Out[4]= {y 1, y 2, y 3 } In[5]:= a + b Out[5]= {x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 }
2 2 lecture5.nb In[6]:= a - b Out[6]= {x 1 - y 1, x 2 - y 2, x 3 - y 3 } In[7]:= a * b Out[7]= {x 1 y 1, x 2 y 2, x 3 y 3 } Dot[a, b] ή a.b Εσωτερικό ή βαθμωτό γινόμενο In[8]:= Dot[a, b] Out[8]= x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ή διαφορετικά In[9]:= a.b Out[9]= x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 Cross[a, b] ή a b Εξωτερικό ή διανυσματικό γινόμενο In[10]:= Cross[a, b] Out[10]= {-x 3 y 2 + x 2 y 3, x 3 y 1 - x 1 y 3, -x 2 y 1 + x 1 y 2 } ή διαφορετικά με το σύμβολο, με την χρήση Esc cross Esc In[11]:= a b Out[11]= {-x 3 y 2 + x 2 y 3, x 3 y 1 - x 1 y 3, -x 2 y 1 + x 1 y 2 } Norm[a] Μέτρο διανύσματος a In[12]:= Norm[a]
3 lecture5.nb 3 Out[12]= Abs[x 1 ] 2 + Abs[x 2 ] 2 + Abs[x 3 ] 2 Total[a] Αθροισμα συνιστώσων διανύσματος a In[13]:= Total[a] Out[13]= x 1 + x 2 + x 3 ή διαφορετικά In[14]:= Apply[Plus, a] Out[14]= x 1 + x 2 + x 3 ή διαφορετικά In[15]:= a Out[15]= x 1 + x 2 + x 3 παράδειγμα In[16]:= Out[16]= a.cross[a, b] 0 // Simplify ή διαφορετικά In[17]:= Out[17]= a.(a b) 0 // Simplify Γενικοί ορισμοί για τους πινάκες Α(n x m) και B(n x m) In[18]:= ClearAll[a, b, A, B] In[19]:= A[n_Integer, m_integer] := Array[a #1,#2 &, {n, m}]
4 4 lecture5.nb In[20]:= {MatrixForm[A[2, 2]], MatrixForm[A[3, 3]], MatrixForm[A[4, 4]]} Out[20]= a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2, a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3, a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 a 4,1 a 4,2 a 4,3 a 4,4 In[21]:= B[n_Integer, m_integer] := Array[b #1,#2 &, {n, m}] In[22]:= {MatrixForm[B[2, 2]], MatrixForm[B[3, 3]], MatrixForm[B[4, 4]]} Out[22]= b 1,1 b 1,2 b 2,1 b 2,2, b 1,1 b 1,2 b 1,3 b 2,1 b 2,2 b 2,3, b 3,1 b 3,2 b 3,3 b 1,1 b 1,2 b 1,3 b 1,4 b 2,1 b 2,2 b 2,3 b 2,4 b 3,1 b 3,2 b 3,3 b 3,4 b 4,1 b 4,2 b 4,3 b 4,4 Άλλα παραδείγματα με την χρήση Table[ ] and Array[ ] Άσκηση 1 Δημιουργήστε πίνακα A(3 4) με στοιχεία a ij = i - j Λύση In[23]:= Table[Sqrt[i] - Sqrt[j], {i, 1, 3}, {j, 1, 4}] // MatrixForm
5 lecture5.nb 5 Out[23]//MatrixForm= In[24]:= Array[Sqrt[#1] - Sqrt[#2] &, {3, 4}] // MatrixForm Out[24]//MatrixForm= Random[...] Δημιουργία του πίνακα με τυχαίους αριθμούς In[25]:= Table[Random[Integer, {0, 9}], {3}, {3}] // MatrixForm Out[25]//MatrixForm= IdentityMatrix[n] Δημιουργία μοναδιαίου πίνακα In[26]:= IdentityMatrix[3] // MatrixForm Out[26]//MatrixForm= DiagonalMatrix[{a, b, c}] Δημιουργία διαγώνιου πίνακα In[27]:= DiagonalMatrix[{x, y, z}] // MatrixForm
6 6 lecture5.nb Out[27]//MatrixForm= x y z Δημιουργία του πίνακα με στοιχεία μηδέν In[28]:= DiagonalMatrix[{0, 0, 0}] // MatrixForm Out[28]//MatrixForm= Επιλογή των στοιχείων του πίνακα In[29]:= {MatrixForm[A[3, 3]], A[3, 3][[1, 1]], A[3, 3][[2, 2]]} Out[29]= a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3, a 1,1, a 2,2 a 3,1 a 3,2 a 3,3 Επιλογή της γραμμής του πίνακα In[30]:= A[3, 3][[1]] Out[30]= {a 1,1, a 1,2, a 1,3 } ή διαφορετικά In[31]:= Take[A[3, 3], {1}] // MatrixForm Out[31]//MatrixForm= ( a 1,1 a 1,2 a 1,3 ) Επιλογή της στήλης του πίνακα In[32]:= {MatrixForm[A[3, 3]], Transpose[A[3, 3]][[1]] // MatrixForm}
7 lecture5.nb 7 Out[32]= a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3, a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 1,1 a 2,1 a 3,1 In[33]:= ή διαφορετικά Out[33]//MatrixForm= a 1,1 a 2,1 a 3,1 Transpose[Take[Transpose[A[3, 3]], {1}]] // MatrixForm Άσκηση Κόψτε το πίνακα Α Α = a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 σε μορφή a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 2,2 a 2,3 a 3,2 a 3,3 In[34]:= Take[A[3,3], {1,3}, {1,3}]//MatrixForm Out[34]//MatrixForm= a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 In[35]:= Take[A[3,3], {2,3}, {2,3}]//MatrixForm Out[35]//MatrixForm= a 2,2 a 2,3 a 3,2 a 3,3
8 8 lecture5.nb Ένωση των πινάκων Α και Β In[36]:= Join[A[3,3], B[3,3], 2]//MatrixForm Out[36]//MatrixForm= a 1,1 a 1,2 a 1,3 b 1,1 b 1,2 b 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 b 2,1 b 2,2 b 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 b 3,1 b 3,2 b 3,3 In[37]:= Join[A[3,3], B[3,3], 1]//MatrixForm Out[37]//MatrixForm= a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 b 1,1 b 1,2 b 1,3 b 2,1 b 2,2 b 2,3 b 3,1 b 3,2 b 3,3 Άσκηση 2 Δημιουργήστε το πίνακα είναι πίνακές. A B B 0 όπου Α(3,3), Β(3,3) και 0 In[38]:= (M1=Join[A[3,3], B[3,3], 2]) //MatrixForm Out[38]//MatrixForm= a 1,1 a 1,2 a 1,3 b 1,1 b 1,2 b 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 b 2,1 b 2,2 b 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 b 3,1 b 3,2 b 3,3 In[39]:= (M2 = Join[B[3, 3], {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}, 2]) // MatrixForm
9 lecture5.nb 9 Out[39]//MatrixForm= b 1,1 b 1,2 b 1, b 2,1 b 2,2 b 2, b 3,1 b 3,2 b 3, In[40]:= (M12 = Join[M1, M2, 1]) // MatrixForm Out[40]//MatrixForm= a 1,1 a 1,2 a 1,3 b 1,1 b 1,2 b 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 b 2,1 b 2,2 b 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 b 3,1 b 3,2 b 3,3 b 1,1 b 1,2 b 1, b 2,1 b 2,2 b 2, b 3,1 b 3,2 b 3, Πράξεις με πίνακες A+B Άθροισμα των πινάκων A και B In[41]:= {MatrixForm[A[2, 2]], MatrixForm[B[2, 2]], MatrixForm[A[2, 2] + B[2, 2]]} Out[41]= a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2, b 1,1 b 1,2 b 2,1 b 2,2, a 1,1 + b 1,1 a 1,2 + b 1,2 a 2,1 + b 2,1 a 2,2 + b 2,2 λ*a Πολλαπλασιασμος τον πίνακα A με αριθμό λ In[42]:= {MatrixForm[A[2, 2]], MatrixForm[λ * A[2, 2]], MatrixForm[A[2, 2] * λ]} Out[42]= a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2, λ a 1,1 λ a 1,2 λ a 2,1 λ a 2,2, λ a 1,1 λ a 1,2 λ a 2,1 λ a 2,2 Tr[A] Ίχνος του πίνακα Α
10 10 lecture5.nb In[43]:= Out[43]//MatrixForm= {Tr[A[1, 1]], Tr[A[2, 2]], Tr[A[3, 3]]} // MatrixForm a 1,1 a 1,1 + a 2,2 a 1,1 + a 2,2 + a 3,3 Αν ο πίνακας Α(n x m) έχει στηχεία a ij (i=1,2,..,n ; j=1,2,...,m), και ο πίνακας Β(m x q) έχει στηχεία b jk (j=1,2,..,m ; k=1,2,...,q) τότε C=A.B είναι ο πίνακας C(n x q) και έχει στηχεία c ik (i=1,2,..,n; k=1,2,...,q) c ik = m j=1 a i j b jk Dot[A,B] ή A.B Πολλαπλασιασμός των πινάκων In[44]:= {A[2, 2] // MatrixForm, B[2, 2] // MatrixForm, A[2, 2].B[2, 2] // MatrixForm} Out[44]= a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2, b 1,1 b 1,2 b 2,1 b 2,2, a 1,1 b 1,1 + a 1,2 b 2,1 a 1,1 b 1,2 + a 1,2 b 2,2 a 2,1 b 1,1 + a 2,2 b 2,1 a 2,1 b 1,2 + a 2,2 b 2,2 In[45]:= A[2, 2].B[2, 2] B[2, 2].A[2, 2]
11 lecture5.nb 11 Out[45]= {{a 1,1 b 1,1 + a 1,2 b 2,1, a 1,1 b 1,2 + a 1,2 b 2,2 }, {a 2,1 b 1,1 + a 2,2 b 2,1, a 2,1 b 1,2 + a 2,2 b 2,2 }} {{a 1,1 b 1,1 + a 2,1 b 1,2, a 1,2 b 1,1 + a 2,2 b 1,2 }, {a 1,1 b 2,1 + a 2,1 b 2,2, a 1,2 b 2,1 + a 2,2 b 2,2 }} Πολλαπλασιασμός των πινάκων γενικώς δεν ικανοποεί την αντιμεταθετική ιδιότητα!! A.B B.A αλλά για το ίχνος τους έχουμε Tr[A.Β]=Tr[Β.Α] n Tr[A.B]= i=1 n j=1 a ij b ji = b ji a ij =Tr[B.A] In[46]:= Tr[A[2, 2].B[2, 2]] Tr[B[2, 2].A[2, 2]] Out[46]= Transpose[A] Ανάστροφος του πινάκα Α Αν ο πίνακας Α(n x m) έχει στηχεία a ij (i=1,2,..,n ; j=1,2,...,m) τότε ανάστροφος πίνακας A T (m x n) έχει στηχεία a ji. Οι πίνακες A.A T, A T.A είναι τετραγωνικές και διαφορετικές διαστασείς!!. In[47]:= {MatrixForm[A[2, 3]], MatrixForm[Transpose[A[2, 3]]]}
12 12 lecture5.nb Out[47]= a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3, a 1,1 a 2,1 a 1,2 a 2,2 a 1,3 a 2,3 In[48]:= A[2, 3].Transpose[A[2, 3]] // MatrixForm Out[48]//MatrixForm= a 1,1 + a 1,2 + a 1,3 a 1,1 a 2,1 + a 1,2 a 2,2 + a 1,3 a 2, a 1,1 a 2,1 + a 1,2 a 2,2 + a 1,3 a 2,3 a 2,1 + a 2,2 + a 2,3 In[49]:= {MatrixForm[Transpose[A[2, 3]]], MatrixForm[A[2, 3]]} Out[49]= a 1,1 a 2,1 a 1,2 a 2,2, a 1,3 a 2,3 a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 In[50]:= Transpose[A[2, 3]].A[2, 3] // MatrixForm Out[50]//MatrixForm= 2 2 a 1,1 + a 2,1 a 1,1 a 1,2 + a 2,1 a 2,2 a 1,1 a 1,3 + a 2,1 a 2,3 2 2 a 1,1 a 1,2 + a 2,1 a 2,2 a 1,2 + a 2,2 a 1,2 a 1,3 + a 2,2 a 2,3 2 2 a 1,1 a 1,3 + a 2,1 a 2,3 a 1,2 a 1,3 + a 2,2 a 2,3 a 1,3 + a 2,3 Ο πίνακας A είναι συμμετρικός όταν a ij = a ji, A = A T Ο πίνακας A είναι αντισυμμετρικός όταν a ij = -a ji, A = -A T Ο πίνακας a ij +a ji είναι συμμετρικός ως προς αλλαγή i με j
13 lecture5.nb 13 A + A T T = A T + A T T = A T + A = A + A T In[51]:= A[3, 3] + Transpose[A[3, 3]] // MatrixForm Out[51]//MatrixForm= 2 a 1,1 a 1,2 + a 2,1 a 1,3 + a 3,1 a 1,2 + a 2,1 2 a 2,2 a 2,3 + a 3,2 a 1,3 + a 3,1 a 2,3 + a 3,2 2 a 3,3 In[52]:= SymmetricMatrixQ[A[3, 3] + Transpose[A[3, 3]]] Out[52]= Ο πίνακας a ij - a ji είναι αντισυμμετρικός ως προς αλλαγή i με j A - A T T = A T - A T T = A T - A = - A - A T In[53]:= A[3, 3] - Transpose[A[3, 3]] // MatrixForm Out[53]//MatrixForm= 0 a 1,2 - a 2,1 a 1,3 - a 3,1 -a 1,2 + a 2,1 0 a 2,3 - a 3,2 -a 1,3 + a 3,1 -a 2,3 + a 3,2 0 In[54]:= AntisymmetricMatrixQ[A[3, 3] - Transpose[A[3, 3]]] Out[54]= (A.B) T = B T.A T (A.B) T = a ij b jk T = a kj b ji = b ji a kj = b ij T a jk T = B T.A T
14 14 lecture5.nb In[55]:= Transpose[A[3, 3].B[3, 3]] Transpose[B[3, 3]].Transpose[A[3, 3]] Out[55]= ο πίνακας A.A T είναι συμμετρικός A.A T T = A T T.A T = A.A T In[56]:= Transpose[A[3, 3].Transpose[A[3, 3]]] A[3, 3].Transpose[A[3, 3]] Out[56]= In[57]:= SymmetricMatrixQ[A[3, 3].Transpose[A[3, 3]]] Out[57]= Inverse[A] Αντίστροφος τετραγωνικού πινάκα Α Ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος αν υπάρχει πίνακα A -1 τέτoιο ώστε έχουμε A.A -1 = A -1.A = I Η ορίζουσα του Α δεν να είναι μηδέν (nonsingular matrix)!! In[58]:= A[3, 3].Inverse[A[3, 3]] == Inverse[A[3, 3]].A[3, 3] == IdentityMatrix[3] // Simplify
15 lecture5.nb 15 Out[58]= (A.B) -1 = B -1.A -1 (A.B) -1.(A.B) = I (A.B) -1.(A.B).B -1 = I.B -1 (A.B) -1.A = B -1 (A.B) -1.A.A -1 = B -1.A -1 (A.B) -1.I = B -1.A -1 (A.B) -1 = B -1.A -1 In[59]:= Inverse[A[3, 3].B[3, 3]] Inverse[B[3, 3]].Inverse[A[3, 3]] // Simplify Out[59]= Tr B -1.A.B = Tr[A] In[60]:= Tr[Inverse[B[3, 3]].A[3, 3].B[3, 3]] Tr[A[3, 3]] // Simplify Out[60]= A T -1 = A -1 T A.A -1 = I A.A -1 T = I T A -1 T.A T = I Άρα A T είναι αντιστρέψιμος και A T -1 = A -1 T In[61]:= Inverse[Transpose[A[3, 3]]] Transpose[Inverse[A[3, 3]]] // Simplify Out[61]= MatrixPower[A, n] Πίνακας A.A...A n-φορές In[62]:= A[3, 3].A[3, 3] MatrixPower[A[3, 3], 2]
16 16 lecture5.nb Out[62]= Θα συγκρίνουμε τον αντίστροφο του Α 2 με τον (αντίστροφο του Α) 2 A 2-1 = A -1 2 A 2-1 = (A.A) -1 = A -1.A -1 = A -1 2 In[63]:= Inverse[MatrixPower[A[3, 3], 2]] MatrixPower[Inverse[A[3, 3]], 2] // Simplify Out[63]= Γενικά έχουμε με την μέθοδο μαθηματικής επαγωγής για το n N (A n ) -1 = A -1 n 1) για το n=1, A -1 = A -1, ok 2) για το n=2, A 2-1 = A -1 2, ok ) ισχύει για το n (A n ) -1 = A -1 n, ok 4) να αποδείξουμε ότι ισχύει και για το n+1 A n+1-1 = A.A n ) -1 = (A n ) -1.A -1 = A -1 n.a -1 = A -1 n+1 Det[A] Ορίζουσα τετραγωνικού πινάκα Α In[64]:= Table[Det[A[i, i]], {i, 1, 3}] // Simplify // MatrixForm
17 lecture5.nb 17 Out[64]//MatrixForm= a 1,1 -a 1,2 a 2,1 + a 1,1 a 2,2 a 1,3 (-a 2,2 a 3,1 + a 2,1 a 3,2 ) + a 1,2 (a 2,3 a 3,1 - a 2,1 a 3,3 ) + a 1,1 (- Det(A) = Det A T In[65]:= Out[65]= Det[A[3, 3]] == Det[Transpose[A[3, 3]]] // Simplify Det(A.B) = Det(A) * Det(B) In[66]:= Det[A[3, 3].B[3, 3]] == Det[A[3, 3]] * Det[B[3, 3]] // Simplify Out[66]= Det A -1 = 1 = 1 Det[A] Det A T In[67]:= Out[67]= Det[Inverse[A[3, 3]]] == 1 / Det[A[3, 3]] 1 / Det[Transpose[A[3, 3]]] // Simplify Συζυγής και προσαρτημένος του πίνακα A Έστω Α και Β είναι 3 3 πίνακες. Να δείξετε ότι (A.B) * A *. B * και (A.B) == B.A Ο μιγαδικός πίνακας είναι ο πίνακας με μιγαδικούς αριθμούς.
18 18 lecture5.nb αριθμο ς Συζυγής του πίνακα A λέγεται ο πίνακας που έχει στοιχεία του τα μιγαδικά συζυγή των στοιχείων του A. Θα τον συμβολίζουμε με A *. In[68]:= Conjugate[A[3, 3]] // MatrixForm Out[68]//MatrixForm= Conjugate[a 1,1 ] Conjugate[a 1,2 ] Conjugate[a 1,3 ] Conjugate[a 2,1 ] Conjugate[a 2,2 ] Conjugate[a 2,3 ] Conjugate[a 3,1 ] Conjugate[a 3,2 ] Conjugate[a 3,3 ] Με την χρήση Esc conj Esc In[69]:= A == Conjugate[A] Out[69]= για κάθε στηχείο (i,j) του πίνακα A.B έχουμε (A.B) * n = aik b kj * n = k=1 a * ik b * kj = A *. B * k=1 In[70]:= Conjugate[A[3, 3].B[3, 3]] == Conjugate[A[3, 3]].Conjugate[B[3, 3]] // FullSimplify Out[70]= ή διαφορετικά In[71]:= (A[3, 3].B[3, 3]) == A[3, 3].B[3, 3] // FullSimplify Out[71]= Προσαρτημένος του πίνακα A λέγεται ο ανάστροφος του συζυγούς τού A (ή ο συζυγής του αναστρόφου του A). Θα
19 lecture5.nb 19 συζυγο ς το ο συζυγ ς του αναστρ φου του Θα τον συμβολίζουμε με A A = def (A ) Τ In[72]:= ConjugateTranspose[A[3, 3]] // MatrixForm Out[72]//MatrixForm= Conjugate[a 1,1 ] Conjugate[a 2,1 ] Conjugate[a 3,1 ] Conjugate[a 1,2 ] Conjugate[a 2,2 ] Conjugate[a 3,2 ] Conjugate[a 1,3 ] Conjugate[a 2,3 ] Conjugate[a 3,3 ] Με την χρήση Esc ct Esc In[73]:= A[3, 3] == ConjugateTranspose[A[3, 3]] Out[73]= Να δείξουμαι ότι (A.B) = B.A (A.B) = ((A.B) * ) T = (A *.B * ) T = (B * ) T.(A * ) T = B.A In[74]:= ConjugateTranspose[A[3, 3].B[3, 3]] == ConjugateTranspose[B[3, 3]]. ConjugateTranspose[A[3, 3]] // FullSimplify Out[74]= ή διαφορετικά In[75]:= (A[3, 3].B[3, 3]) == B[3, 3].A[3, 3] // FullSimplify Out[75]= Ασκηση 3
20 20 lecture5.nb Ασκηση Έστω Α και Β είναι (3 3) πίνακες. Να δείξετε ότι A -1 BA 3 = A -1 B 3 A Λύση In[76]:= ClearAll[a, b, A, B] In[77]:= A[n_Integer, m_integer] := Array[a #1,#2 &, {n, m}] In[78]:= B[n_Integer, m_integer] := Array[b #1,#2 &, {n, m}] In[79]:= Out[79]= MatrixPower[Inverse[A[3, 3]].B[3, 3].A[3, 3], 3] Inverse[A[3, 3]].MatrixPower[B[3, 3], 3]. A[3, 3] // Simplify Άσκηση 4 Να δείξτε ότι για τους πίνακες A(3x3) και B(3x3) έχουμε Det A B B 0 = - (Det (B)) 2 In[80]:= ClearAll[a, b, A, B] In[81]:= A[n_Integer, m_integer] := Array[a #1,#2 &, {n, m}] In[82]:= B[n_Integer, m_integer] := Array[b #1,#2 &, {n, m}]
21 lecture5.nb 21 In[83]:= (M1=Join[A[3,3], B[3,3], 2]) //MatrixForm Out[83]//MatrixForm= a 1,1 a 1,2 a 1,3 b 1,1 b 1,2 b 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 b 2,1 b 2,2 b 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 b 3,1 b 3,2 b 3,3 In[84]:= (M2 = Join[B[3, 3], {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}, 2]) // MatrixForm Out[84]//MatrixForm= b 1,1 b 1,2 b 1, b 2,1 b 2,2 b 2, b 3,1 b 3,2 b 3, In[85]:= (M12 = Join[M1, M2, 1]) // MatrixForm Out[85]//MatrixForm= a 1,1 a 1,2 a 1,3 b 1,1 b 1,2 b 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 b 2,1 b 2,2 b 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 b 3,1 b 3,2 b 3,3 b 1,1 b 1,2 b 1, b 2,1 b 2,2 b 2, b 3,1 b 3,2 b 3, In[86]:= Det[M12] -Det[B[3, 3]]^2 // Simplify Out[86]=
0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,
I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικά συστήματα. - όπου Α είναι ένας (m x n) πίνακας, ο οποίος περιέχει. - όπου Β είναι ένας (m x 1) πίνακας που περιέχει τους
Γραμμικά συστήματα Η γενική μορφή ενός τέτοιου συστήματος είναι Α.Χ=Β - όπου Α είναι ένας (m x n) πίνακας, ο οποίος περιέχει τους συντελεστές των αγνώστον. - όπου Χ είναι ένας (n x 1) πίνακας που περιέχει
Διαβάστε περισσότεραΕκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ
Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017
ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.
Διαβάστε περισσότεραΕάν A = τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό. det( A) = = ( 2)4 3 1 = 8 3 = 11. τότε η ορίζουσά του πίνακα ισούται με
Κεφάλαιο Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί a b Εάν A τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό a b ad bc Συμβολίζουμε την ορίζουσα του πίνακα και ως A Εάν A τότε ( ) 8 Εάν a a a A a a a a a a τότε η
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες
Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010-2011 ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ Ένας πίνακας Α με στοιχεία από το σύνολο F (συνήθως θεωρούμε τα σύνολα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai208/lai208html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 208 Ασκηση Να γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/liearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου 2018 Ασκηση 1
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται
Διαβάστε περισσότερα, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j
Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραπραγματικών (μιγαδικών αριθμών) σε m γραμμές και n στήλες. Αν m= πίνακας Α είναι ένας τετραγωνικός πίνακας τάξης n.
Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου
Διαβάστε περισσότεραn! k! (n k)!, = k k 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n ) τον n n ταυτοτικό πίνακα,
Διαβάστε περισσότερα= k. n! k! (n k)!, k=0
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές
Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση
Διαβάστε περισσότεραΟμογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν.
Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,
Διαβάστε περισσότερα21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn
Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και
Διαβάστε περισσότερα( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.
http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 13: Η ορίζουσα και το ίχνος μιας μήτρας (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών
Διαβάστε περισσότεραΜήτρες Ειδικές μήτρες. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας
Μήτρες Ειδικές μήτρες Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Το διάνυσμα ως μήτρα Είδαμε ότι ένα διάνυσμα u = (u 1, u 2, u 3 ) μπορεί να γραφεί και ως μήτρα 3x1, δηλ. μήτρα με 3 γραμμές x 1 στήλη: 1 η γραμμή 2 η
Διαβάστε περισσότεραNovember 27, v + u V
Γραμμική Άλγεβρα Προετοιμασία Seemous-IMC 2019 Παναγιώτης Μισιακός - pmisiakos@hotmailcom November 27, 2018 Εισαγωγή Η γραμμική άλγεβρα αποτελεί κλάδο των μαθηματικών με μεγάλη επιρροή και σημασία τόσο
Διαβάστε περισσότερα( A = A = 3 5 A 2 + B 2.
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Χειμερινό Εξάμηνο 25 Ασκήσεις Για πίνακες A R m n και B R p q ορίζονται οι πίνακες AB και BA και ισχύει AB = BA Τι συμπεραίνετε για τα m, n, p, q; 2 Για A, B R n n : (α Δείξτε ότι (A
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές
Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 07, 2 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Η ανάλυση Cholesky 2. Νόρμες
Διαβάστε περισσότεραΚ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές
Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a
Διαβάστε περισσότερα, ορίζουμε deta = ad bc. Πρόταση Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε και μόνο αν deta 0.
Για κάθε πίνακα Α ορίζουμε μία τιμή που λέγεται ορίζουσα και συμβολίζεται deta ή Α Ο ορισμός γίνεται επαγωγικά για = 2, 3, 4, και ισχύουν τα εξής: a b Για 22 πίνακα Α = c d, ορίζουμε deta = ad bc a 1 b
Διαβάστε περισσότεραΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Εισαγωγή Σύστημα γραμμικών εξισώσεων a x a x a x b 11
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.
Διαβάστε περισσότερα2 3x 5x x
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων
Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα
Διαβάστε περισσότεραΟρισμοί και πράξεις πινάκων
Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες
Διαβάστε περισσότεραΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ. Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί (Linear Transformations) Τονισµός χαρακτηριστικών εικόνας (image enhancement)
Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί (Linear Transformations) Τονισµός χαρακτηριστικών εικόνας (image enhancement) Συµπίεση εικόνας (image compression) Αποκατάσταση εικόνας (Image restoration) ηµήτριος. ιαµαντίδης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο
Διαβάστε περισσότερα1 Ορίζουσες. Άσκηση 1.1 Θεωρούμε τον πίνακα. 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 A =
1 Ορίζουσες Άσκηση 1.1 Θεωρούμε τον πίνακα 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1, όπου x είναι τυχόν στοιχείο του σώματος R. Να βρεθούν όλες οι τιμές του x για τις οποίες ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιμος.
Διαβάστε περισσότερα7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)
77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα
Διαβάστε περισσότεραΠίνακες Γραμμικά Συστήματα
Πίνακες Γραμμικά Συστήματα 1. Είδη Πινάκων Οι πίνακες είναι ένα χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο, με εφαρμογές και διασυνδέσεις σε πολλές επιστήμες. Η σημαντικότερη εφαρμογή των πινάκων είναι στην επίλυση συστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πίνακες και Γραμμικά Συστήματα: Ο Αλγόριθμος Guss Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραt t Αν κάποιος από αυτούς είναι αντιστρέψιμος, υπολογίστε τον αντίστροφό του. 2. Υπολογίστε την ορίζουσα του Δείξτε τα εξής.
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις4: Ορίζουσες Βασικά σημεία Ορισμός και ιδιότητες οριζουσών (ιδιότητες γραμμών και στηλών, αναπτύγματα οριζουσών, det( B) det( )det( B)) Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι
Διαβάστε περισσότερα,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΠίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.
1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ή ΜΗΤΡΩΝ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ή ΜΗΤΡΩΝ Η άλγεβρα πινάκων μας επιτρέπει: Να γράψουμε με περιεκτικό τρόπο ένα μεγάλο σύστημα γραμμικών εξισώσεων Να ελέγξουμε την ύπαρξη λύσης σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με τη χρησιμοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Πίνακες. 2.1 Πράξεις Πινάκων A = [ 1 1 1
Κεφάλαιο 2 Πίνακες Η χρήση των πινάκων αποτελεί ουσιαστικό εργαλείο της Γραµµικής Άλγεβρας µε ποικίλες εφαρµογές Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε τους πίνακες ως αυτοτελή αντικείµενα και ϑα αναπτύξουµε
Διαβάστε περισσότεραGauss. x + y + z = 2 3x + 3y z = 6 x y + z = 1. x + y + z = r x y = 0 3x + y + sz = s 0
Γραμμική Άλγεβρα Κεφάλαιο Πίνακες και απαλοιφή Gauss. Ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν τα y, y 2, y 3 ώστε τα διανύσματα (0, y ), (, y 2 ), (2, y 3 ) να είναι στην ίδια ευθεία; Η ευθεία που περνάει από
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα Ι,
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 207-8 Ασκήσεις2 και Ασκήσεις3: Γραμμοϊσοδύναμοι Πίνακες και Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Βασικά σημεία Γραμμοϊσοδυναμία πινάκων o Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών o Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος 3
Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία
Διαβάστε περισσότερα2x y = 1 x + y = 5. 2x y = 1. x + y = 5. 2x y = 1 4x + 2y = 0. 2x y = 1 4x + 2y = 2
Σημειώσεις μαθήματος Μ22 Γραμμική Άλγεβρα Ι Βασισμένες στο βιβλίο του GStrang Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2 Εισαγωγή Αυτές οι σημειώσεις καλύπτουν την ύλη του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 06, 26 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Η ανάλυση LU 2. Η ανάλυση LDM T και η ανάλυση LDL T 3. Συμμετρικοί
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )
Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,
Διαβάστε περισσότερα!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα
Συστήματα με Ν βαθμούς ελευθερίας ΦΥΣ 211 - Διαλ.25 1 Ø Συστήµατα µε Ν βαθµούς ελευθερίας που βρίσκονται κοντά σε µια θέση ισσορροπίας τους συµπεριφέρονται σαν Ν ανεξάρτητοι αρµονικοί ταλαντωτές Γιατί
Διαβάστε περισσότεραΔιανύσµατα στο επίπεδο
Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ - Διατύπωση προβλημάτων - Κατηγορίες εφαρμογών - Πράξεις με πίνακες ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ (in short) Που
Διαβάστε περισσότερα(Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/2004) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις:
1 η Εργασία 004-005 (Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/004) Άσκηση 1 (7 µονάδες) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις: (α) A+ B C µε A + B C (β) A+ B AB
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν
Διαβάστε περισσότεραΠίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων
Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 16 Μαρτίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα II. Ασκήσεις με Υποδείξεις - Απαντήσεις. Περιεχόμενα
Γραμμική Άλγεβρα II Ασκήσεις με Υποδείξεις - Απαντήσεις ΜΜ Περιεχόμενα Ασκήσεις0: Όμοιοι Πίνακες Ασκήσεις: Πολυώνυμα 6 Ασκήσεις: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ασκήσεις: Διαγωνισιμότητα Ασκήσεις4: Τριγωνισιμότητα
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Υπολογιστών: Βασικά Μαθηματικά
1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Βασικά Μαθηματικά Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Εισαγωγή Ένα μεγάλο κομμάτι των γραφικών αφορά βασίζονται-
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 9: Γεωμετρία του Χώρου των Μεταβλητών, Υπολογισμός Αντιστρόφου Μήτρας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραn, C n, διανύσματα στο χώρο Εισαγωγή
Θα περιοριστούμε σε διανύσματα των οποίων τα στοιχεία προέρχονται από τον χώρο και τον C, χωρίς καμία δυσκολία όμως μπορούν να αναχθούν σε οποιοδήποτε χώρο K Το πρώτο διάνυσμα: Τέρματα που έχουν πέτυχει
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13
Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/2014 1 / 13 Εισαγωγή Τι έχουμε μάθει; Στο πρώτο μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (3) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (3) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότερα(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac
Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml 21-2 - 2012
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο
Διαβάστε περισσότεραMatrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου
Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού
Διαβάστε περισσότερα1 1 A = x 1 x 2 x 3. x 4. R 2 3 : a + b + c = x + y + z = 0. R 2 3 : a + x = b + y = c + z = 0
Γραμμική Άλγεβρα Ι Θέματα Εξετάσεων Ιανουαρίου 6. (α Υπολογίστε τον πίνακα X R και την ορίζουσα det(x 5 αν AX = B + C και ( ( ( 3 3 A = B = C =. 4 3 (β Θεωρούμε πίνακα A R n n τέτοιον ώστε A = 4A 4I n.
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας
Νικόλαος Ατρέας Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας ΑΠΘ Γενικό Τµήµα Πολυτεχνικής σχολής Θεσσαλονίκη 3 Περιεχόµενα Κεφάλαιο : Πίνακες σελ 4 Γενικά Είδη πινάκων Τετραγωνικοί πίνακες 3
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 6 Μαρτίου 8 Ασκηση Εστω E
Διαβάστε περισσότεραΕυκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x
Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότερα