Πρόβλεψη και ανάλυση σήµατος φωνής µε µεθόδους ανάλυσης χαοτικών χρονοσειρών. ιπλωµατική εργασία. Ιάσονας Κόκκινος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πρόβλεψη και ανάλυση σήµατος φωνής µε µεθόδους ανάλυσης χαοτικών χρονοσειρών. ιπλωµατική εργασία. Ιάσονας Κόκκινος"

Transcript

1 Πρόβλεψη και ανάλυση σήµατος φωνής µε µεθόδους ανάλυσης χαοτικών χρονοσειρών ιπλωµατική εργασία Ιάσονας Κόκκινος Επιβλέπων: καθηγητής Πέτρος Μαραγκός Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η.Υ. Τοµέας Σηµάτων, Ροµποτικής και Ελέγχου Οκτώβριος 2

2 Εισαγωγή 3 2 Γραµµική - µη γραµµική ανάλυση χρονοσειρών 5 2. Γραµµική ανάλυση χρονοσειρών Μη-γραµµική ανάλυση χρονοσειρών Προσδιορισµός χρονικής καθυστέρησης T Προσδιορίσµός διάστασης εµβύθισης d e Προσέγγιση της δυναµικής του συστήµατος στο χώρο φάσης 5 3. Προσέγγιση της δυναµικής του συστήµατος µε local polynomials Προσέγγιση της δυναµικής του συστήµατος µε global polynomials Προσέγγιση της δυναµικής του συστήµατος µε τοπικά µοντέλα σε συστάδες του ελκυστή Προσέγγιση της δυναµικής του συστήµατος µε νευρωνικά δίκτυα ακτινικών συναρτήσεων βάσης Συµπεράσµατα -σύγκριση MSE πρόβλεψης Aναλλοιώτες ποσότητες ενός χαοτικού δυναµικού συστήµατος 4 4. Kλασµατική διάσταση (fractal dimension) Εκθέτες Lyapunov Προσδιορισµός του φάσµατος Lyapunov ενός συστήµατος Ιδιοτιµές πίνακα OSL-τεχνική αποσύνθεσης QR Τοπικοί εκθέτες Lyapunov Υπολογισµός Jacobians Tοπική διάσταση συστήµατος Εφαρµογή µη γραµµικών µεθόδων στην πρόβλεψη/ανάλυση σήµατος φωνής 6 5. Φωνήεντα Τυρβώδεις ήχοι Κρουστικοί ήχοι Συµπεράσµατα - κατευθύνσεις µελλοντικής έρευνας 89 2

3 Εισαγωγή Ο σκοπός της ανάλυσης µίας χρονοσειράς είναι κυρίως να προβλέψουµε τις επόµενες τιµές της καθώς και να χαρακτηρίσουµε(αναγνωρίσουµε) το σύστηµα που την παρήγαγε. Στα πλαίσια της ανάλυσης σήµατος φωνής µπορούµε να πούµε ότι ο χαρακτηρισµός του συστήµατος που παρήγαγε ένα φώνηµα αντιστοιχεί στην αναγνώριση του φώνηµατος ή του εκφωνητή του, ενώ αν καταφέρουµε να προβλέψουµε τις επόµενες τιµές του µπορούµε να πετύχουµε τη συµπίεση του σήµατος, αφού χρειαζόµαστε µόνο την πληροφορία για τη διαφορά µεταξύ της προβλεπόµενης και της επόµενης τιµής του, η οποία είναι µικρότερη από το αρχικό σήµα. Οι καθιερωµένες µέθοδοι που χρησιµοποιούνται στην ανάλυση σηµάτων φωνής (βλ. π.χ. [7] ή [8]) θεωρούν ότι η περιγραφή του ανθρώπινου συστήµατος παραγωγής φωνής µε γραµµικές διαφορικές εξισώσεις επαρκεί για την περιγραφή του. Η πεποίθηση αυτή στηρίζεται κυρίως στην καλή πίστη των µηχανικών στην ισχύ του γραµµικού µοντέλου που οφείλεται στην ύπαρξη των διαδεδοµένων και καθιερωµένων εργαλείων για την ανάλυση σηµάτων,του µετασχηµατισµού Fourier και της ανάλυσης στο πεδίο της συχνότητας, αλλά και στην απουσία και άγνοια µεθόδων για την µη-γραµµική ανάλυση χρονοσειρών. Αποτελέσµατα σύγχρονης πειραµατικής έρευνας έχουν αποδείξει, ωστόσο, ότι το σήµα φωνής χαρακτηρίζεται από πολύπλοκη δοµή,η οποία δεν είναι δυνατό να προέρχεται από ένα γραµµικό σύστηµα, αφού αφ ενός η µέτρηση της ροής του αέρα στην στοµατική κοιλότητα κατέδειξε ότι η γραµµική σχέση που συνδέει τη ροή του αέρα µε την πίεση παραβιάζεται [], αφ έταίρου ο ανακατασκευασµένος ελκυστής του συστήµατος έχει κλασµατική διάσταση [3].Καθώς την τελευταία δεκαετία η µη-γραµµική ανάλυση χρονοσειρών έχει γνωρίσει µεγάλη πρόοδο, ενδιαφέρον έχει να εξεταστεί αν και κατά πόσο δουλεύουν καλύτερα από τις γραµµικές οι µη-γραµµικές µέθοδοι. Στην εργασία αυτή χρησιµοποιήθηκαν µεθόδοι που εφαρµόζονται στην ανάλυση µη γραµµικών (ή χαοτικών ) χρονοσειρών και εξετάστηκε κατά πόσο µπορεί να επιτευχθεί µικρότερο σφάλµα πρόβλεψης για το σήµα φωνής µε τις µεθόδους αυτές, καθώς και αν µπορούµε µέσω ορισµένων χαρακτηριστικών της δυναµικής του µη γραµµικού µοντέλου που χρησιµοποιούµε να αναγνωρίσουµε τα διάφορα φωνήµατα. Προηγούµενη δουλεία στo συγκεκριµένο αντικείµενο υπάρχει(απ όσο γνωρίζουµε) στο [9] καθώς και στο [] αλλά καθώς από τότε που δηµοσιεύτηκαν τα παραπάνω άρθρα έχουν υπάρξει αρκετές εξελίξεις στο χώρο της µη γραµµικής ανάλυσης χρονοσειρών στην εργασία αυτή, χρησιµοποιώντας πρόσφατες µεθόδους, πήραµε καλύτερα αποτελέσµατα από αυτά που υπάρχουν στις παραπάνω δηµοσιεύσεις, ενώ εξετάστηκαν διεξοδικότερα οι επιδόσεις των διαφόρων αλγορίθµων και η δυνατότητα χαρακτηρισµου του συστήµατος παραγωγής φωνής. Οι τελευταίες έννοιες θα εξηγηθούν στη συνέχεια 3

4 H διάρθρωση της διπλωµατικής εργασίας είναι η εξής: Στο 2 o κεφάλαιοπαρουσιάζονταιοικύριεςιδέεςτηςµηγραµµικήςανάλυσηςσηµάτων µετά από µία σύντοµη αναφορά στη γραµµική ανάλυση. Στο 3 o κεφάλαιο αναπτύσσονται οι µέθοδοι ανακατασκευής της δυναµικής του συστήµατος που χρησιµοποιήθηκαν και συγκρίνονται οι επιδόσεις τους. Στο 4 o κεφάλαιοαναφερόµαστεστιςαναλλοίωτεςτωνµη-γραµµικώνδυναµικώνσυστηµάτων, στη σηµασία τους καθώς και στον τρόπο υπολογισµού τους. Στο 5 o κεφάλαιο εφαρµόζονται οι µέθοδοι που παρουσιάστηκαν στα προηγούµενα κεφάλαια σε διαφορετικά φωνήµατα. Στο 6 o κεφάλαιοπαρουσιάζονταιτασυµπεράσµαταταοποίαβγήκαναπότηνεργασία αυτή και προτείνονται µελλοντικές κατευθύνσεις έρευνας. Aκολουθούν οι κυρίοτερες συµβάσεις για τους συµβολισµούς στη συνέχεια του κειµένου: X : πίνακας X :διάνυσµα x i :i-οστή συνιστώσα διανύσµατος X x :βαθµωτή ποσότητα 4

5 2 Γραµµική - µη γραµµική ανάλυση χρονοσειρών 2. Γραµµική ανάλυση χρονοσειρών Η γραµµική ανάλυση χρονοσειρών έχει δύο πολύ επιθυµητά χαρακτηριστικά: δίνει µοντέλα που µπορούν να κατανοηθούν άµεσα και είναι εύκολο να υλοποιηθούν. Φυσικά υπάρχει, όπως θα δούµε, και το τίµηµα ότι και για ελάχιστα πολυπλοκότερα συστήµατα από τα γραµµικά µπορεί και να αποτύχει πλήρως. Το γραµµικό µοντέλο το οποίο χρησιµοποιείται κυρίως στην επεξεργασία φωνής είναι το αυτοπαλινδροµικό µοντέλο (Auto Regressive - AR).Σύµφωναµεαυτότοµοντέλοθεωρείταιότιγιαµίαχρονοσειρά xητιµήτηςτηχρονική στιγµή k µπορεί να εκφραστεί ως ένας γραµµικός συνδυασµός των προηγούµενων m τιµών της (Αυτοπαλινδροµικό µοντέλο m-οστής τάξης): M x(k) = a j x(k j) + e(k) (2.) j= Ανάλογα µε την περίπτωση που χρησιµοποιείται η (2.),το e(k) αποτελεί είτε το σφάλµα πρόβλεψης είτε τη διέγερση που δίνουµε στο σύστηµα.παραλείποντας την ποσότητα e(k) και παίρνοντας τον µετασχηµατισµό Fourier και των δύο πλευρών της παραπάνω σχέσης έχουµε : x(f) = F x (f) = M a j x(f)e i2πjf j= (2.2) a e i2πf a 2 e i2π2f a M e i2 2 όπου x(f)οµετασχηµατισµόςfourierτηςχρονοσειράς x(k)και F x τοpowerspectrumτης. Αυτό το οποίο πετυχαίνουµε µε το µετασχηµατισµό Fourier είναι να µεταφέρουµε την ανάλυση µίας χρονοσειράς από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας,όπου και αναδεικνύονται ορισµένα ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά της (περιοδικότητες κ.α.). Στο σχήµα 2. βλέπουµε για ένα σύστηµα µε συντελεστές A = [.4,.2,.,.3] τη xρονοσειρά xπουπαίρνουµεαντοσήµα eτηςεξίσωσης(2.)είναιπεριοδικόςπαλµόςήθόρυβος καθώς και το µέτρο του µετασχηµατισµού Fourier της προκύπτουσας χρονοσειράς. Παρατηρούµε ότι και στις δύο περιπτώσεις ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος έχει το µέγιστο στην περιοχή των 5-2. Αυτό αποτελεί µία ιδιότητα αυτού του συστήµατος, που είναι ανεξάρτητη από το σήµα που υπάρχει στην είσοδό του και που χρησιµοποιείται για την αναγνώριση και για τον χαρακτηρισµό του συστήµατος. 5

6 First case:e(k) is a periodic pulse Second case:e(k) is random (noise) e(k).5 e(k) x versus k plot x versus k plot 3.5 x(k) F x (f) F versus f plot x x(k) F x (f) F versus f plot x Σχήµα 2.: Συµπεριφορά AR συστήµατος,µε συντελεστές A = [.4,.2,.,.3] Στα πλαίσια της επεξεργασίας σήµατος φωνής µπορούµε να πούµε ότι χρησιµοποιώντας τη σχέση (2.) µοντελοποιούµε το σύστηµα παραγωγής φωνής κατά το διάστηµα ενός φώνηµατος µε ένα σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς 2 H(f) = A(f) = M i= a i e i2πjf (2.3) στην είσοδό τoυ οποίου βρίσκεται είτε µία περιοδική διέγερση από κρουστικούς παλµούς για έµφωνους ήχους,(π.χ. /a/,/e/) είτε ένα σήµα θορύβου για άφωνους ήχους(π.χ./s/,/d/). Για µία διεξοδική παρουσιάση του µοντέλου αυτού δύο καθιερωµένα βιβλία είναι τα [7],[8]. Οι συντελεστές της σχέσης (2.) ορίζονται κατά τέτοιο τρόπο ώστε να ελαχιστοποιείται το N i e(n) 2 το οποίο ειναι το µέσο τετραγωνικό σφάλµα (Mean Squared Error -MSE ) µεταξύ της πρόβλεψης και του σήµατος φωνής σε ένα παρατηρούµενο διάστηµα. Για τον υπολογισµό τους υπάρχουν πολύ αποδοτικοί αλγόριθµοι (βλ. π.χ. [8]) οι οποίοι σε µεγάλο βαθµό έχουν συµβάλει στην καθιέρωση της εφαρµογής του µοντέλου αυτού στην ανάλυση των σηµάτων φωνής. Η παραπάνω µοντελοποίηση του συστήµατος παραγωγής φωνής βασίζεται στην παραδοχή ότι η συµπεριφορά του µπορεί να περιγραφεί από γραµµικές εξισώσεις, οπότε Tο παραπάνω µοντέλο εφαρµόζεται για χρονικά διαστήµατα -2 msec οπότε είναι βάσιµη η παραδοχή ότι στο διάστηµα αυτό το σύστηµα παραγωγής φωνής παραµένει αµετάβλητο. 2 Η συνάρτηση µεταφοράς έχει µόνο πόλους οι οποίοι αντιστοιχούν στις συχνότητες συντονισµού του συστήµατος παραγωγής φωνής, δηλαδή τις συχνότητες εκείνες των οποίων τη διέλευση επιτρέπει περισσότερο από τις αλλές. Για την περίπτωση που το σύστηµα παραγωγής φωνής έχει και ρίζες εκτός από πόλους(π.χ. για τα φωνήµατα/m/,/n/) θεωρούµε ότι µπορούµε να προσεγγίσουµε τη συµπεριφορά του εισάγοντας πολλούς πόλους. 6

7 είναι δυνατή η ανάλυση του στο πεδίο της συχνότητας. Αν η παραδοχή αυτή όµως δεν ανταποκρίνεται στην πραγµατικότητα ακόµα και για απλά συστήµατα το γραµµικό µοντέλο µπορεί να αποτύχει. Ένα πολύ απλό µη-γραµµικό συστήµα είναι η λογιστική εξίσωση: x(k + ) = a x(k) ( x(k)) (2.4) Αν το a έχει κατάλληλη τιµή (π.χ. 3.9) δεν υπάρχει κάποια περιοδικότητα στο σήµα - x n evolution for a=2.2 x n evolution for a= fft of x n for a=2.2 2 fft of x n for a= Σχήµα 2.2: Εξέλιξη συστήµατος 2.4 για διάφορες τιµές του a βλ.σχήµα 2., οπότε και το φάσµα του σήµατος δεν είναι περιορισµένο σε µία περιοχή -οπότε θα προσφερόταν για ανάλυση µε γραµµικές µεθόδους. Στα πλαίσια της γραµµικής ανάλυσης, η ύπαρξη µη µηδενικού φασµατικού περιεχοµένου στις υψηλές συχνότητες εκλαµβάνεται ως θόρυβος, ενώ ξέρουµε ότι το σύστηµα είναι απολύτως ντετερµινιστικό και τα δεδοµένα που χρησιµοποιήσαµε είναι καθαρά. Τα γραµµικά εργαλεία λοιπόν δεν είναι κατάλληλα ακόµα και για ένα τόσο απλό σύστηµα όπως αυτό που περιγράφει η εξίσωση (2.4). Προκύπτει, συνεπώς, η ανάγκη σε παρόµοιες περιπτώσεις τις εισαγωγής ενός µοντέλου το οποίο να µοντελοποιεί µε διαφορετικό τρόπο την συµπεριφορά µίας χρονοσειράς. Πρωτού προχωρήσουµε στην παρουσίαση των µοντέλων αυτών είναι χρήσιµο να παρουσιάσουµε ορισµένους όρους που χρησιµοποιούνται συχνά όταν αναφερόµαστε σε µηγραµµικά δυναµικά συστήµατα: Λέµε ότι ένα δυναµικό σύστηµα καταλήγει σε έναν ελκυστή αν µετά από την όποια µεταβατική του κατάσταση καταλήγει σε µία περιορισµένη υποπεριοχή A του χώρου στον οποίο λαµβάνει χώρα η δυναµική του (χώρος φάσης). Η υποπεριοχή αυτή του χώρου φάσης αποτελεί το σταθερό σηµείο της δυναµικής του συστήµατος, δηλαδή έχουµε A = f(a) (2.5) όπου f η συνάρτηση που περιγράφει τη δυναµική του συστήµατος. 7

8 Ενα χαοτικό δυναµικό σύστηµα χαρακτηρίζεται(µεταξύ άλλων) από εγγενή αδυναµία πρόβλεψης της εξέλιξής του πέρα από ένα χρονικό σηµείο. Η αδυναµία αυτή οφείλεται στην εξαιρετική του ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες, η οποία εκδηλώνεται µε τη µεγέθυνση µε την πάροδο του χρόνου και των µικρότερων διαφορών σε τέτοιο βαθµό, ώστε δύο τροχιές που ξεκινάνε από σηµεία που απέχουν ελάχιστα µεταξύ τους να καταλήγουν να µην έχει καµία συσχέτιση. ύο γνωστά παραδείγµατα χαοτικών δυναµικών συστηµάτων τα οποία και θα χρησιµοποιηθούν στα επόµενα κεφάλαια ως workbenches είναι τα παρακάτω:. H απεικόνιση Henon x (n + ) =.4x (n) 2 + x 2 (n) x 2 (n + ) =.3x (n) (2.6) Dynamincs of Henon map X (n+) X 2 (n+) X 2 (n).5 X (n) X 2 (n).5 X (n).5 Σχήµα 2.3: υναµική συστήµατος Henon 2. H απεικόνηση Ikeda Y (n + ) = +.9Y (n) e [.4ι 6 ι (+ Y (n) ) 2 ] (2.7) όπου Y είναι ένα µιγαδικό διάνυσµα. Oι ελκυστές των δύο συστηµάτων διακρίνονται από τα µαύρα στίγµατα. 8

9 Dynamincs of Ikeda map Re(Y(n+)) Im(Y(n+)) Re(Y(n)) Im(Y(n)).5 Re(Y(n)) Im(Y(n)) Σχήµα 2.4: υναµική συστήµατος Ikeda Στο κεφάλαιο αυτό θα χρησιµοποιήσουµε το σύστηµα του Lorenz (2.8) ẋ = σx + σy ẏ = Rx y xy ż = Bz + xy (2.8) Οι παραπάνω εξισώσεις χρησιµοποιήθηκαν πρώτη φορά από τον Lorenz το 962 για τη µοντελοποίηση καιρικών φαινοµένων και περιγράφουν το µάλλον πιο γνωστό χαοτικό δυναµικό σύστηµα.ο ελκυστής του συστήµατος Lorenz φαίνεται στο σχήµα Lorenz Attractor;σ=5 R=5 B=; t=.25; 2 iterations Σχήµα 2.5: Ελκυστής Lorentz ύο πολύ σηµαντικές ιδιότητες των χαοτικών δυναµικών συστηµάτων είναι η κλασµατική διάσταση του ελκυστή τους και οι εκθέτες Lyapunov. Για λογούς συνοχής και συνέχειας του κειµένου θα παρουσιαστούν σε ξεχωριστό κεφάλαιο το οποίο θεωρεί δεδοµένα τα περιεχόµενα του παρόντος και του επόµενου κεφαλαίου. 3 Το σχήµα είναι από το [3]. 9

10 2.2 Μη-γραµµική ανάλυση χρονοσειρών Κεντρικής σηµασίας στη µη γραµµική ανάλυση χρονοσειρών είναι η ιδέα ότι ο χώρος στον οποίο πραγµατοποιείται η εξέλιξη του συστήµατος από το οποίο προέρχεται η παρατηρούµενη χρονοσειρά δεν είναι αυτός ο µονοδιάστατος χώρος των παρατηρήσεων αλλά ένας χώρος τόσων διαστάσεων (έστω d k ) όσες είναι και οι εσωτερικές µεταβλητές του συστήµατος που καθορίζουν τη συµπεριφορά του (χώρος φάσης). Από το χώρο αυτό εµείς βλέπουµε µόνο µία προβολή του σε µία διάσταση που µπορεί να είναι µία οποιαδήποτε συνάρτηση F : R d k R των µεταβλητών αυτών (θεωρούµε πάντοτε µονοδιάστατες χρονοσειρές). Το γεγονός αυτό εξηγεί την εξαιρετικά περίπλοκη συµπεριφορά σε µία διάσταση συστήµατών τα οποία διέπονται από πολύ απλές εξισώσεις σε δύο ή περισσότερες διαστάσεις. Στα πλαίσια της µη γραµµικής ανάλυσης χρονοσειρών επιχειρούµε να ανακατασκευάσουµε το χώρο φάσης του συστήµατος. Λέγοντας ότι µε έναν µετασχηµατισµό R R de ανακατασκεύάζουµε το χώρο φάσης του συστήµατος εννοούµε ότι διατηρείται ο ντετερµινισµός του συστήµατος στον νέο χώρο φάσης που παίρνουµε, καθώς και οι εφαπτόµενες σε κάθε σηµείο, µε την έννοια ότι δεν έχουµε διασταυρώσεις µεταξύ εφαπτόµενων διευθύνσεων σε σηµεία του ανακατασκευασµένου χώρου φάσης που ήταν παράλληλες στον αρχικό χώρο φάσης. Ένας τέτοιος µετασχηµατισµός ονοµάζεται εµβύθιση. Ικανή συνθήκη για την ανακατασκευή του ελκυστή είναι d e > 2k όπου k η κλασµατική (fractal) διάσταση του ελκυστή στον οποίον έχει καταλήξει το σύστηµα. 4 Το θεώρηµα εµβύθισης του Takens µας εγγυάται ότι η ανακατασκευή του ελκυστή είναι εφικτή: Aς θεωρήσµουε ένα δυναµικό σύστηµα του οποίου η εξέλιξη καθορίζεται από έναν αριθµό d k µεταβλητών,οι οποίες συνιστούν το διάνυσµα κατάστασης Z = [z, z 2,..., z dk ] (2.9) και έστω Z(n + ) = f(z(n)) (2.) ησχέσηπουκαθορίζειτηνεξέλιξήτου. Ανηχρονοσειρά xπουεµείςπαρατηρούµεείναιη µονοδιάστατη προβολή h µίας διανυσµατικής συνάρτησής g των d K αυτών µεταβλητών, δηλαδή x = h(g(z)) (2.) ο ελκυστής του συστήµατος θα είναι διπλωµένος στη µία διάσταση που παρατηρούµε, αφού δεν είναι δυνατό να προβληθεί από δύο ή περισσότερες διαστάσεις σε µία διατηρώντας τις (σχετικές) αποστάσεις µεταξύ των σηµείων του στον αυθεντικό χώρο φάσης. Σύµφωνα όµως µε το θεώρηµα του Takens, υπό την προϋπόθεση ότι h,g C, µπορούµε να ανακατασκευάσουµε το χώρο φάσης του συστήµατος, όπου ξεδιπλώνεται ο ελκυστής του συστήµατος, χρησιµοποιωντας διανύσµατα X που προέρχονται από αυτές τις παρατηρήσεις : X(n) = [h(g(z(n)), h(g T (Z(n)),..., h(g T de (Z(n))] (2.2) όπουτανέαδιανύσµατα X ορίζουντώραµίανέατροχιάσεένα d e -διάστατοχώρο. Ηδιάσταση d e ονοµάζεται διάσταση εµβύθισης (embedding dimension) και δεν είναι υποχρεωτικά ίση µε την αρχική διάσταση d k στην οποία εξελίσσεται η δυναµική του συστήµατος. Η επιλογή των συναρτήσεων h,g η οποία εφαρµόζεται συνήθως για να πάρουµε τα διανύσµατα X είναι να θεωρήσουµε ότι η συνάρτηση h είναι η παρατηρούµενη µεταβλητή 4 γιαµίασύντοµηανάφοράστηνέννοιατηςκλασµατικήςδιάστασηςβλ. κεφάλαιο3,ενώγιαπεραιτέρωβλ. π.χ. [5][3]

11 δηλαδή ότι h(z(n)) = x(n) ενώ για την g επιλέγουµε την απεικόνιση η οποία υψωµένη σε δύναµη τ s σε ένα διάνυσµα Z(n) αντιστοιχεί το Z(n + τ s ) 5, δηλαδή: g(z(n)) = Z(n + τ s ) (2.3) Αν επιπλέον πάρουµε T dn = nt τότε καταλήγουµε στην παρακάτω εξής µορφή για το διάνυσµα X: X = [x(n), x(n + T),..., x(n + T (d e ))] (2.4) το οποίο είναι πολύ εύκολο να το αποκτήσουµε από το παρατηρούµενο σήµα (π.χ. µε ένα φίλτρο αποµάστευσης). Με µία κατάλληλη επιλογή δηλαδή των συναρτήσεων f, g µπορούµε αντί της εξωτικής µορφής της εξίσωσης (2.2) να πάρουµε µία πολύ απλούστερη έκφραση, όπως η (2.4) Πρoτού προχωρήσουµε στην περιγραφή µεθόδων για τον προσδιορισµό των παραµέτρων T και d e αξίζει να τονίσουµε τη διαφορετική προσέγγιση της χρήσης χρονικά καθυστερηµένων δειγµάτων του σήµατος στην γραµµική ανάλυση χρονοσειρών και στη µη γραµµική ανάλυση 6 : Στην πρώτη περίπτωση οι καθυστερήσεις χρησιµοποιούνται για να καθορίσουν την τιµή του επόµενου δείγµατος µέσω µίας γραµµικής εξίσωσης, για την οποία αρκεί να βρούµε τους βέλτιστους συντελεστές. Στη δεύτερη περίπτωση τα καθυστερηµένα δείγµατα χρησιµεύουν για να ανακατασκευάσουµε το χώρο φάσης, και να ξεδιπλώσουµε εκεί τον ελκυστή του συστήµατος, οπότε και να αναλύσουµε την δυνάµική του συστήµατος σε d e διαστάσεις. Αυτό το οποίο επιτυγχάνουµε χρησιµοποιώντας καθυστερηµένα δείγµατα είναι εκµεταλλευόµενοι πληροφορία σχετικά µε την ιστορία του συστήµατος στην πρόβλεψη που κάνουµε, κατά κάποιο τρόπο να ενσωµατώνουµε τη δυναµική του συστήµατος στο σηµείο X(n) -αφού το σύστηµα έχει διανύσει προηγουµένως µία συγκεκριµένη τροχία στο χώρο φάσης του, µπορούµε να πούµε πού θα πάει αργότερα; αυτό το πρόβληµα καλείται να επιλύσει η µή-γραµµική ανάλυση. Το θεώρηµα του Takens το οποίο αναφέρθηκε προηγούµένως εξασφαλίζει απλά τη δυνατότητα ανακατασκευής του ελκυστή. Ενα πρακτικό πρόβληµα µε µεγάλο ενδιαφέρον είναι ποιές είναι οι κατάλληλες τιµές για τις παραµέτρους T και d e (και ποιο είναι το κριτήριο για την καταλληλότητά τους). Για το σκοπό αυτό χρησιµοποιούµε τις µεθόδυς που αναφέρονται στο []: 2.2. Προσδιορισµός χρονικής καθυστέρησης T Η χρονική καθυστέρηση T πρέπει να έχει δύο αντικρουόµενα χαρακτηριστικά: Να είναι αρκετά µεγάλη ώστε το δείγµα x(n) να µην είναι πολύ κοντά στο δείγµα x(n + T). Αλλιώς δεν παίρνουµε αρκετή πληροφορία για την ιστορία του συστήµατος, πράγµα που καθιστά ανακριβή την πρόβλεψή µας, αφού δεν είµαστε σε θέση να ενσωµατώσουµε ικανοποιητικά την προηγούµενη τροχία του συστήµατος στην πρόβλεψη χρησιµοποιώντας µόνο σηµεία που έχουν προέλθει από τα τελευταία στιγµιότυπά της. 5 τ s είναι ο ρυθµός δειγµατοληψίας του σήµατος 6 Το ότι χρησιµοποιούνται τα επόµενα δείγµατα του x ως συνιστώσες του X δεν πρέπει να µπερδεύει τον αναγνώστη: στην πράξη χρησιµοποιούνται (ισοδύναµα) τα προηγούµενα δείγµατα για τον ορισµό του X και µπορούµε να πούµε ότι παίρνουµε αντί των X(n) τα Ẋ(n T (d e )) = [x(n), x(n T),..., x(n T (d e ))]

12 Να είναι αρκετά µικρή ώστε τα δείγµατα x(n), x(n + T) να µην είναι άσχετα µεταξύ τους, όπως είναι αναµενόµενο ότι θα είναι για µεγάλο T για ένα χαοτικό συστηµά. ιαφορετικά η πρόβλεψή µας βασίζεται πρακτικά αποκλειστικά στo x(n) οπότε είναι καταδικασµένη να αποτύχει (δεν παίρνει υπ οψιν καθόλου την ιστορία του συστή- µατος). Για τον προσδιορισµό της κατάλληλης τιµής της T χρησιµοποιείται η έννοια της αµοιβαίας πληροφορίας (Mutual Information), η οποία ποσοτικοποιεί το ποσό πληροφορίας MI που παίρνουµε για µία µέτρηση a από µία άλλη µέτρηση b το οποίο ισούται (σε bits) µε: MI(a, b) = log 2 P(a, b) P(a)P(b) (2.5) Έτσι π.χ. µία µέτρηση b η οποία είναι άσχετη µε την a µας δίνει µηδενική πληροφορία, καθώς P(a, b) = P(a)P(b). Παίρνοντας τη µέση τιµή της παραπάνω τιµής για όλες τις παρατηρήσεις a, b έχουµε τη συνάρτηση που µας δίνει την µέση αµοιβαία πληροφορία (Average Mutual Information -AMI) µεταξύ των µετρήσεων a, b: I AB = (a,b) P(a, b)log 2 P(a, b) P(a)P(b) (2.6) δηλαδή για κάθε δυνατό ζεύγος παρατηρήσεων ζυγίζουµε την αµοιβαία πληροφορία που µας δίνει µε την πιθανότητα να παρατηρηθεί(εφόσον έχουµε πάρει το µέσο της αµοιβαίας πληροφορίας). Στην περίπτωση που εξετάζουµε θέλουµε να βρούµε κατά πόσο η µέτρηση x(n) µας δίνει κάποια πληροφορία για την x(n + T). Για το σκοπό αυτό βρίσκουµε τη µέση αµοιβαίαπληροφορίαγιαταζεύγηµετρήσεων x(n), x(n + T)γιαδιαφορετικέςτιµέςτου T και σχηµατίζουµε τη συνάρτηση I(T) : I x(n),x(n+t) (T) = N T n= [ ] P(x(n), x(n+t)) P(x(n), x(n + T)) log 2 P(x(n))P(x(n+T)) (2.7) Υπολογίζοντας την I(T) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης T µπορούµε να βρούµε µία κατάλληλη τιµή της ώστε ναι µεν τα δείγµατα x(n), x(n + T) να µην είναι πολύ όµοια µεταξύ τους αλλά να µην είναι και τόσο αποµακρυσµένα ώστε να µην σχετίζονται. Μία εµπειρικήεπιλογήγιατην T είναινατεθείίσηµετο T στοοποίοπαρατηρείταιτοπρώτο ελάχιστο της συνάρτησης I(T). Στο σχήµα 2.2. φαίνεται η συνάρτηση µέσης αµοιβαίας πληροφορίας για δεδοµένα που προέρχονται από το σύστηµα εξισώσεων του Lorenz(συγκεκριµένα από την x συνιστώσα). Αν και δεν υπάρχει ξεκάθαρη επιστηµονική απόδειξη για την αναγκαιότητα της χρήσης της παραπάνω µεθόδου για τον προσδιορισµό της παραµέτρου T, υπάρχει αρκετή πρακτική τεκµηρίωση της χρησιµότητάς της και της υπεροχής της έναντι της εναλλακτικής της, που είναι η χρήση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης-που είναι κατάλληλη για γραµ- µικά συστήµατα, βλ. π.χ. [] [3] Προσδιορίσµός διάστασης εµβύθισης d e Όπως έχει ήδη αναφερθεί ο ελκυστής ενός d k -διάστατου δυναµικού συστήµατος βρίσκεται διπλωµένος από την προβολή του σε λιγότερες των d k διαστάσεων (π.χ. αν έχουµε µόνο µία παρατήρηση), δήλαδή αλλοιώνονται οι τοπολογικές του ιδιότητες. Αυτό έχει 2

13 5 I versus T plot 4.5 Average Mutual Information(I) Seperation between samples(t) Σχήµα 2.6: Συνάρτηση µέσης αµοιβαίας πληροφορίας για την συνιστώσα των λύσεων του συστήµατος (2.8 ως συνέπεια ότι σηµεία τα οποία βρίσκονται αποµακρυσµένα στον αρχικό χώρο φάσης µπορεί να βρεθούν πολύ κοντά µεταξύ τους, πράγµα που µας δίνει παραπλανητικά στοιχεία για τη δυναµική του συστήµατος. Για το λόγο αυτό αν θέλουµε να ανακατασκευάσουµε το χώρο φάσης του συστήµατος κατά τέτοιο τρόπο ώστε να διατηρείται ο ντετερµινισµός του, οφείλουµε να χρησιµοποιήσουµε µία τέτοια διάσταση εµβύθισης d e ώστε σηµεία τα οποία βρίσκονται κοντά να είναι κοντά και στον αρχικό ελκυστή. Υπενθυµίζουµε ότι από το θεώρηµα του Takens αρκεί να έχουµε d e > 2k, όπου k η κλασµατική διάσταση του ελκυστή, αλλά αυτό το κριτήριο δεν είναι πάντα κατάλληλο για δύο λόγους: Χρειάζεται να ξεδιπλώσουµε τον ελκυστή για να βρούµε την κλασµατική του διάσταση. Ακόµακαιανγνωρίζαµετην kεξαρχής,ησυνθήκη d e > 2kείναιικανήκαιόχιαναγκαία. Συνήθως προσπαθούµε να βρoύµε την ελάχιστη αναγκαία διάσταση εµβύθισης καθώς καθιστά το πρόβληµα της ανακτασκευής της δυναµικής του συστήµατος απλούστερο. Η µέθοδος που χρησιµοποιήσαµε είναι γνωστή ως µέθοδος των ψευδών γειτόνων(false neighbors), βλ. π.χ. []. Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή το διάνυσµα κατάστασης X σχη- µατίζεται από τόσα επόµενα δείγµατα, 7 όσα χρειάζονται για να µην υπάρχουν ψευδείς γείτονες. Για κάθε σηµείο X(n) = [x(n), x(n + T),..., x(n + T)], δηλαδή του M-διάστατου ελκυστή βρίσκουµε το πλησιέστερο προς αυτό στοιχείο του ελκυστή, έστω X NN (n), και εξετάζουµε σε ποιο βαθµό θα µεταβληθεί η απόστασή τους, αν τα θεωρήσουµε σε έναν ελκυστή µε διάσταση εµβύθισης d e = M +. Η µεταβολή της απόστασής τους δηλαδή δίνεται από τη σχέση: R D (X(n), X NN (n)) = = d2 D+(X(n), X NN (n)) d 2 D(X(n), X NN (n)) = d 2 D((n), X NN (n)) M+ i= [X i (n) Xi NN (n)] 2 M i= [X i (n) Xi NN (n)] 2 Mi= = [X i (n) Xi NN (n)] 2 7 Η χρονική απόσταση µεταξύ των δειγµάτων που χρησιµοποιούνται για την ανακατασκευή του ελκυστή θεωρούµε ότι έχει υπολογιστεί σύµφωνα µε τη µέθοδο της προηγούµενης παραγράφου 3

14 = X M+ (n) X NN M+(n) Mi= [X i (n) X NN i (n)] 2 (2.8) Ελέγχοντας αν R D > R thr, όπου R thr 5 2 8, συµπεραίνουµε αν η αποµάκρυνσή τους ήταν τέτοια ώστε να θεωρηθούν ψευδείς γείτονες. Με βάση το παραπάνω κριτήριο, λοιπόν, ξεκινάµε από M = και αυξάνουµε τη διάσταση εµβύθισης του ελκυστή εως ότου το παραπάνω κριτήριο ικανοποιηθελι για όλα τα στοιχεία του ελκυστή. Πρέπει να σηµειωθεί, επίσης, ότι παρουσία θορύβου είναι δύνατό ακόµα και στην ελάχιστη απαιτούµενη διάσταση εµβύθισης να υπάρχουν ορισµένα στοιχεία για τα οποία η ποσότητα R D να ξεπερνάει το R thr. Για το λόγο αυτό το κριτήριο το οποίο χρησιµοποιείται πρακτικά για την επιλογή της σωστής διάστασης εµβύθισης είναι ότι από τη διάσταση αυτή και πέρα δεν υπάρχει σηµαντική διαφοροποίηση του ποσοστού των σηµείων τα οποία δεν ικανοποιούν το αρχικό µας κριτήριο. Παρακάτω φαίνεται το ποσοστό των σηµείων της x συνιστώσας µίας λύσης του συστήµατος Lorenz που δεν ικανοποιούν τη σχέση R D < R thr ως συνάρτηση της διάστασης εµβύθισης για διαφορετικές τιµές του R thr. Παρατηρούµε ότι η επιλογή της D δεν επηρεάζεται από την τιµή του R thr. Το σχήµα είναι από το [3]. % False Neighbors Lorenz System,σ=5 R=5 B=, t=.25,2pts % False Neighbors Lorenz System,σ=5 R=5 B=, t=.25,2pts Embedding Dimension D E Embedding Dimension D E Σχήµα 2.7: Ποσοστό µη πραγµατικών γειτώνων Στο σηµείο αυτό νιώθω υποχρεωµένος να ευχαριστήσω το Βασίλη Πιτσικάρη ο οποίος προσέφερε τον πηγαίο κώδικα για τα προγράµµατα µε τα οποία γίνεται η επιλογή των παραµέτρων T και d e καιτουοποίουηβοήθειασεόποιαάλληπερίστασηχρειάστηκεήταν σηµαντική για την πρόοδο της διπλωµατικής. 8 Η επιλογή του Rthr είναι εµπειρική 4

15 3 Προσέγγιση της δυναµικής του συστήµατος στο χώρο φάσης Έχοντας καθορίσει τη διάσταση εµβύθισης του σήµατος καθώς και την χρονική καθυστέρηση µεταξύ των δειγµάτων που χρησιµοποιούνται για την ανακατασκευή του χώρου φάσης του δυναµικού συστήµατος, σκοπός µας είναι πλέον να προσεγγίσουµε τη συνάρτηση που απεικονίζει το διάνυσµα κατάστασης του συστήµατος τη χρονική στιγµή k X(k) = [x(k), x(k ), x(k 2),..., x(k d e )] (3.) σε αυτό την στιγµή k +,δηλαδή την f για την οποία έχουµε X(k + ) = f(x(k)) (3.2) Μπορούµε, αν θέλουµε αποκλειστικά να κάνουµε πρόβλεψη για το επόµενο βήµα, αντί τουδιανύσµατος ναπροβλέψουµεµόνοτηνεπόµενητιµητηςπρώτηςσυνιστώσαςτου x και να θεωρήσουµε ότι οι υπόλοιπες συνιστώσες του προκύπτουν κάνοντας µία ολίσθηση προς τα δεξιά του αρχικού διανύσµατος. Καθώς όµως, όπως θα φανεί στην ανάλυση για τους εκθέτες Lyapunov, είναι χρήσιµο να έχουµε µία συνάρτηση που να απεικονίζει διάνυσµα σε διάνυσµα θα αναφερόµαστε στο εξής σε συναρτήσεις R de R de Η µόνη πληροφορία που έχουµε για τη συνάρτηση f είναι ότι µπορεί να είναι µη γραµ- µική (για λόγους απλότητας χρειάζεται και η υπόθεση ότι είναι συνεχής) και στόχος µας είναι να προσεγγίσουµε τη συνάρτηση f µε µία συνάρτηση F η οποία να βασίζεται στα ζεύγη παρατηρήσεων < X(k), X(k + ) > που έχουµε. Μία εκτίµηση της ποιότητας της εκτίµητριας συνάρτησης F είναι το κανονικοποιηµένο µέσο τετραγωνικό σφάλµα (Normalised Mean Squared Error -NMSE) που ορίζεται ως NMSE = σ prediction µǫ (3.3) σ data Ni= (x i F(x i )) 2 σ prediction = σ data = N Ni= (x i x) 2 Η τακτική που ακολουθείται γενικότερα για την εκτίµηση της συνάρτησης F είναι αφού εκπαιδευτεί µε ένα µέρος των δεδοµένων να εξεταστεί η επίδοσή της µε το υπόλοιπο µέρος των δεδοµένων µας(cross-validation). Στα πλαίσια της επεξεργασίας φωνής, όµως, σκοπός µας δεν είναι να κατασκευάσουµε ένα µοντέλο το οποίο να µπορεί να ανταποκριθεί σε άλλα δεδοµένα εκτός από αυτά τα οποία χρησιµοποιήθηκαν στην εκπαίδευσή του - πράγµα που εξετάζουµε µε τη µέθοδο της cross validation, αλλά χρησιµοποιώντας όσα 5 N

16 δεδοµένα έχουµε να ελαχιστοποιήσουµε το σφάλµα πρόβλεψης. Συνεπώς το κριτήριο της καταλληλότητας ενός µοντέλου που θα χρησιµοποιούµε είναι το µέσο τετραγωνικό σφάλµα της πρόβλεψης πάνω σέ όλα τα δεδοµένα. Βέβαια υπάρχουν και άλλα κριτήρια για την καταλληλότητα µίας συνάρτησης F για να προσεγγίσει την συνάρτηση f, όπως το κατα πόσο µπορεί να συλλάβει ορισµένα χαρακτηριστικά του συστήµατος, όπως οι εκθέτες Lyapunov κ.α. Από τις µεθόδους που έχουν προταθεί για την προσέγγιση της f υλοποιήθηκαν και δοκιµάστηκαν οι παρακάτω. Τοπικά πολυώνυµα (local polynomials) 2. Καθολικά πολυώνυµα (global polynomials) 3. Τοπικά πολυώνυµα για συστάδες σηµείων του ελκυστή 4. Νευρωνικά δίκτυα µε συναρτήσεις ακτινωτής βάσης τα οποία διακρίνονται σε ίκτυα RBF (συναρτήσεων ακτινωτής βάσης) ίκτυα GRNN (General Regression Neural Networks) ίκτυα WLP (Weighted Linear Predictors) Αναφέρεται ότι µία άλλη συχνά εφαρµοζόµενη µέθοδος είναι να χρησιµοποιηθούν και Multi-Layer Perceptrons (βλ. π.χ. [2], [2]) στην είσοδο των οποίων έχουµε το διάνυσµα X και στην έξοδο τους µας δίνουνε την επόµενη θέση του συστήµατος στο χώρο φάσης. Πολλές διαφοροποιήσεις της παραπάνω ιδέας έχουν προταθεί(βλ. π.χ. [25][23][22][38]) που σε πολλές περιπτώσεις δίνουν και καλύτερα αποτελέσµατα από τις µεθόδους που υλοποιήθηκαν, αλλά καθώς τα MLPs χαρακτηρίζονται από µεγάλο χρόνο εκπαίδευσης, δεν υλοποιήθηκε καµία από αυτές αφού δεν έχουν πρακτικό ενδιαφέρον για σήµατα φωνής. Αξίζει να σηµειωθεί, επίσης, πριν προχωρήσουµε στην ανάλυση κάθε µίας από τις παρακάτω µεθόδους, ότι υπάρχει ένας εξαιρετικά µεγάλος αριθµός από προτάσεις για το ποιές συναρτήσεις θα ήταν οι καταλληλότερες για την πρσέγγιση της συνάρτησης f. Ήδη από το 992 στο [3] αναφερόταν ότι υπάρχουν πολύ περισσότερες µέθοδοι παρά εφαρµογές της µη γραµµικής ανάλυσης χρονοσειρών, ενώ το 993 διεξήχθη ένας διαγωνισµός [2], µε στόχο να ξεχωρίσουν οι µέθοδοι που είχαν εκ των πραγµάτων καλά αποτελέσµατα από αυτές που απλά τα υπόσχονταν. Παρ αυτα, το τοπίο δεν έχει ξεκαθαρίσει ακόµα και για το λόγο αυτό υλοποιήθηκαν µόνο οι µέθοδοι αυτές που κρίθηκαν οι πλέον κατάλληλες για τους σκοπούς αυτής της διπλωµατικής εργασίας. Σηµειώνουµε, τέλος, ότι ενώ στο κύριο µέρος της βιβλιογραφίας χρησιµοποιείται µεγάλοςαριθµόςαπόσηµεία(τηςτάξηςτου 4 )απόταδιάφοραtestσήµαταγιαναεξεταστεί η επίδοση των αλγορίθµων, εµείς χρησιµοποιήσαµε χρονοσειρές µε περίπου 6 σηµεία, καθώς τέτοιο είναι και η τάξη µεγέθους των χρονοσειρών που αντιστοιχούν σε διάφορα φωνήµατα. Για το λόγο αυτό µοντέλα που απαιτούν µεγάλο αριθµό δεδοµένων, όπως τα τοπικά πολυώνυµα, αν και θεωρούνται standard κατά κάποιο τρόπο, ενδεχοµένως να µην δώσουν και τα καλύτερα αποτελέσµατα. Επίσης τα σήµατα Ikeda και Henon µολύνθηκαν µε θόρυβο µε σχετικό MSE.5 έτσι ώστε να αντισταθµίσουµε τα όποια αποτελέσµατα κβαντισµού του σήµατος φωνής. Προσπαθήσαµε, δηλαδή, να δοκιµάσουµε τους αλγορίθµους σε καταστάσεις παρόµοιες µε αυτές που θα κληθούν να λειτουργήσουν. Ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης για την επίδοση των αλγορίθµων µε καθαρά, µεγάλα σήµατα παραπέµπεται στη βιβλιογραφία. 6

17 3. Προσέγγιση της δυναµικής του συστήµατος µε local polynomials Η κεντρική ιδέα στην οποία βασίζονται τα τοπικά µοντέλα είναι ότι ξέροντας πού απεικονίζονται τα σηµεία που βρίσκονται σε µία γειτονιά στον ελκυστή µπορούµε περίπου να προβλέψουµε ποια θα είναι η επόµενη τιµή ενός σηµείου X(k) που βρίσκεται στη γειτονιά αυτή (παίρνοντας ως δεδοµένη τη συνέχεια της συνάρτησης f). Υπάρχουν δύο εναλλακτικές: η πρώτη και απλούστερη είναι να βρούµε το σηµείο X(n) που είναι το κοντινότερο στο σηµείο X(k) και να θεωρήσουµε ότι η εξέλιξη του X(k) θα είναιτο X(n + ). Αυτήηµέθοδοςείναιγνωστήωςµέθοδοςτωναναλογιώνκαιέχειπολύ περιορισµένες δυνατότητες για πρόβλεψη πέρα από ένα αριθµό βηµάτων. Η µέθοδος που χρησιµοποιείται ευρύτερα είναι να χρησιµοποιηθούν τα σηµεία που βρίσκονται στη γειτονιά του X(k) για να βρεθεί οι πρώτοι όροι του αναπτύγµατος Taylor της συνάρτησης f στην περιοχή του X(k). Το σκεπτικό στο οποίο βασίζεται η µέθοδος είναι ότι το σύστηµα επισκέπτεται την περιοχή κάθε σηµείου το οποίο ανήκει στον ελκυστή αρκετές φορές κατά την εξέλιξή του (είναι µία από τις ιδιότητες των χαοτικών συστµηάτων), οπότε παρατηρώντας πώς απεικονίζει κάθε σηµείο της περιοχής αυτής στο επόµενό του µπορούµε να υπολογίσουµε περίπου πού θα απεικονίσει το σηµείο X(k). Η γειτονία µπορεί να οριστεί είτε από όλα τα σηµεία που βρίσκονται µέσα σε µία σφαίρα που έχει κέντρο το σηµείο X(k) (η ακτίνα της σφαίρας µπορεί να οριστεί ως ένα κλάσµα της ακτίνας του ελκυστή) ή από τα N B πλησιέστερα σηµεία του X(k). Η ακτίνα καιοαριθµός N B είναιπροσδιοριστέεςποσότητεςκαιστιςδύοπεριπτώσεις. Προτιµάται συνήθως να χρησιµοποιείται ένας συγκεκριµένος αριθµός από στοιχεία, καθώς η χρήση των σηµείων που βρίσκονται εντός µίας σφαίρας συγκεκριµένης ακτίνας µπορεί σε αραιές περιοχές του ελκυστή να δώσει πολύ λίγους γείτονες οπότε δεν έχουµε αρκετά δεδοµένα ώστε να προσεγγισουµε ικανοποιητικά τη συνάρτησή f. Σκοπός µας,λοιπόν είναι να βρούµε τους συντελεστές C(k) οι οποίοι δίνουν την καλύτερη προσέγγιση F: M F(x) = C(k) f k (x) (3.4) k= Το διάνυσµα C(k) εκφράζει τον τρόπο µε τον οποίο η ποσότητα f k (X) επηρεάζει την έξοδο, ενώ f k είναι είναι ένα µονώνυµο το οποίο προκύπτει υψώνοντας την κάθε συνιστώσα του διανύσµατος X σε µία δύναµη και εν συνεχεία πολλαπλασιάζοντας τις προκύπτουσες συνιστώσες. Ο αριθµός k προκύπτει από την ανάγκη για απλότητα στους τύπους µας και αποτελεί µία κωδικοποίηση του διανύσµατος των εκθετών του k-οστού µονωνύµου: ηβάσητωνπολυµεταβλητώνπολυωνύµων, x x 2 x d e, x x 2,...µπορείναεκφραστεί απλούστερα κωδικοποιώντας µε µία αντιστοιχία - το διάνυσµα των εκθετών σε έναν ακέραιο: x e x e 2 2 x e de d e = f k (x, x 2..., x de ) (3.5) [e, e 2,..., e de ] = decode(k) Η συνάρτηση decode µπορεί να είναι π.χ. η συνάρτηση αποκωδικοποίησης του Cantor [26] και απλουστεύει σηµαντικά τις εξισώσεις µας, όπως θα φανεί ιδιαίτερα στην επόµενη παράγραφο. Το ανάπτυγµα Taylor είναι, προφανώς για συνάρτηση de µεταβλητών 7

18 Η (3.5) µας δίνει: f (X) = = f (X) = x = x. f d+2 (X) = x 2 = x 2 f d+3 (X) = x x 2 = x x 2. (3.6) Για τον υπολογισµό των συντελεστών C(k) ζητάµε να ελαχιστοποιείται το µέσο τετραγωνικόσφάλµαµεταξύπρόβλεψηςκαιπαρατηρούµενηςτιµήςγιατα N B σηµείατηςγειτονιάς. Το πρόβληµα αυτό λύνεται µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, όπου πρέπει να βρούµετουςσυντελέστέςεκείνουςγιατουςοποίουςτοµέσοτετραγωνικόσφάλµα 2 µεταξύ της πρόβλεψης F µε βάση τις τιµές των f (X(k)), f 2 (X(k)),..., f M (X(k)) και του X(k + ) θα είναι ελάχιστο. Η λύση του προβλήµατος ανάγεται στην αντιστροφή ενός πίνακα M διαστάσεων M M. To m ij στοιχείο αυτού του πίνακα θα είναι: m ij = N B n= f i (X(n))f j (X(n)) 3 (3.7) Aν θεωρήσουµε ότι οι συναρτήσεις f k, k =...M σε κάθε στοιχείο µας δίνουν ένα διάνυσµα F,M διαστάσεων µπορούµε να γράψουµε τον πίνακα στη µορφή M = N B n= F(n) F T (n) (3.8) Η λύση που προκύπτει από την απαίτηση να ελαχιστοποιείται το µέσο τετραγωνικό σφάλµα πρόβλεψης είναι N B C = M F(X(i))X(i + ) (3.9) i= όπου ο πίνακας C έχει ως στύλες τα d e M διάστατα διανύσµατα C(), C(2),..., C(d e ) 4 Αυτή η διαδικασία εκετελείται για όλα τα σηµεία, οπότε έχουµε για κάθε σηµείο του ελκυστή έναν πίνακα από σταθερές που εκφράζουν την προσέγγιση της δυναµικής του συστήµατος στην γειτονιά του. Ετσι, όταν θέλουµε να προσεγγίσουµε την επόµενη κατάσταση του συστήµατος από την τρέχουσα, αναζητούµε το πλησιέστερο σηµείο του ελκυστή και µε βάση τις σταθερές που έχουν υπολογιστεί για τη δυναµική στην περιοχή του βρίσκουµε την επόµενη τιµή. Μπορούµε,στηνπερίπτωσηπουοισυναρτήσεις f i δενχρησιµοποιούνδυνάµειςµεγαλύτερες της µονάδας, να πούµε ότι βρίσκουµε ένα πολυδιάστατο τοπικό AR µοντέλο για να ταιριάξει στα δεδοµένα της γειτονιάς κάθε σηµείου (οι εξισώσεις που µας δίνουν το διάνυσµα σταθερών C είναι οι ίδιες που µας δίνουν τους συντελεστές ενός AR µοντέλου). Φαίνεται λοιπόν η ευελεξία που µας παρέχεται από την µέθοδο αυτή σε αντίθεση µε τo AR µοντέλο το οποίο υποχρεώνει όλα τα στοιχεία του ελκυστή να συµµετάσχουν στον υπολογισµό των διανυσµάτων C. 2 H µέση τιµή θεωρείται πάνω στα σηµεία της γειτονιάς 3 X(n) είναι ο n-οστός πλησιέστερος γείτονας του σηµείου X(k) 4 Oπίνακας είναι M M οπότεκαιηποσότηταστοδεξίµέροςτηςεξίσωσηςείναι (M M) (M de ) = M d e. 8

19 Σηµειώνεται ότι στις περισσότερες περιπτώσεις τα γραµµικά τοπικά πολυώνυµα έχουν αποτελέσµατα παραπλήσια µε τα µοντέλα υψηλότερου βαθµού, οπότε και προτιµώνται, καθώς τα τελευταία απαιτούν έναν µεγαλύτερο αριθµό από γείτονες. Η µέθοδος αυτή έχει παραλλαχθεί µε πολλούς τρόπους για να αντιµετωπιστεί το πρόβληµα του θορύβου καθώς και των ασταθειών που προκύπτουν όταν έχουµε πολύ µεγάλη διάσταση εµβύθυσης, οπότε και προκύπτουν προβλήµατα αστάθειας των πινάκων που πρέπει να αντιστραφούν, καθώς ο ελάχιστος αριθµός γειτόνων που απαιτούνται για να είναι καλά ορισµένο το πρόβληµα µας είναι ανάλογος του d 2 e. Για το σκοπό αυτό έχουν εφαρµοστεί τεχνικές της θεωρίας κανονικοποίησης, σκοπός της οποίας είναι να αντιµετωπίσειπροβλήµαταπαλινδρόµισης 5,σταοποίαεµφανίζονταιπίνακεςµεµεγάλο δείκτη κατάστασης (ill-conditioned). Αιτία για την ύπαρξη τέτοιων πινάκων στην περίπτωση µας είναι, εκτός από τον περιορισµένο αριθµό γειτόνων σε σχέση µε τον αριθµό προσδιοριστέων παραµέτρων, το γεγονός ότι η χρονοσειρά µας ενδεχοµένως να έχει εµβυθιστεί σε έναν χώρο µεγαλύτερης διάστασης από αυτήν η οποία είναι η πραγµατική διάσταση του συστήµατος (d L ). Για να δώσουµε µία εξήγηση του πώς µπορεί να συµβαίνει κάτι τέτοιο θεωρούµε µία ταινία η οποία κάνει µισή περιστροφή (8 µοίρες) και καταλήγει στον εαυτό της (ταινία του Moebius). Ένα σύστηµα που ζει σε αυτήν την ταινία έχει προφανώς δύο βαθµούς ελευθερίας, αλλά για να µπορέσει να προσδιοριστεί µονοσήµαντα µία κατάσταση του συστήµατος χρειάζονται 3 µεταβλητές(άρα η ελάχιστη διάσταση εµβύθυσής του είναι 3). Ένα ακόµη χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι αν έχουµε τη χρονοσειρά x(n) = sin(ωnτ s ). Ενώ ξέρουµε ότι είµαστε σε θέση να περιγράψουµε πλήρως την κατάσταση του σύστηµατος σε µία διάσταση µέσω της φάσης του, αν έχουµε µόνο τη χρονοσειρά x(n) και θέλουµε να κάνουµε πρόβλεψη για την επόµενη τιµή της, χρειάζόµαστε και ένα προηγούµενο δείγµα (ώστε να ξέρουµε αν η φάση του x(n) είναι αρνητική ή όχι). Αναµενόµενο είναι ότι ο ελκυστής του συστήµατος δεν θα έχει κάποιο πάχος παρα µόνο σε d L διαστάσεις,οπότεκαθίσταταιπροβληµατικήηδηµιουργίαµοντέλωντηςδυναµικής τουσυστήµατοςαπό d e σε d e διαστάσεις(αφούζητάµεκάτιαντιφατικό,ναβρούµεδηλαδή τους συντελεστές που εκφράζουν την συνεισφορά στην επόµενη τιµή του συστήµατος για µία µεταβλητή που δεν επηρεάζει την µελλοντική εξέλιξη του συστήµατος). Αυτό µπορεί να φανεί εύκολα στην περίπτωση όπου ζητάµε από µία περιοχή Ι της ταινίας του Moebius να προβλέψουµε την επόµενη τιµή, αν το πεδίο τιµών της περιοχής J είναι κάθετο στην Ι: τότε ακόµα και αν η πρόβλεψη µπορεί (δυνητικά) να δώσει σωστά αποτελέσµατα, ο πίνακας M θα έχει µηδενική (ή πολύ µικρή) ορίζουσα, αφού µία στύλη του πίνακα θα αποτελείται από αθροίσµατα γινοµένων άσχετων µεταξύ τους ποσοτήτων (των προβολών των δεδοµένων στις δύο κάθετες διαστάσεις) τα οποία θα είναι σχεδόν µηδενικά. Έτσι η επίλυση του προβλήµατος παλινδρόµισης καθίσταται εξαιρετικά ευαίσθητη σε λάθη και µπορεί να δώσει εύκολα λάθος αποτελέσµατα. Οτρόποςµετονµπορούµεναβρούµετηνπραγµατικήδιάσταση(d L )τηςδυναµικήςτου συστήµατος είναι το αντικείµενο επόµενης παραγράφου καθώς συνδέεται εν µέρει µε τους εκθέτες Lyapunov που παρουσιάζονται παρακάτω, οπότε το θεωρούµε -προς στιγµήδεδοµένο ότι η πραγµατική διάσταση της δυναµικής του συστήµατος µπορεί να βρεθεί και ότι είναι d L. Για να αποφευχθούν τα προαναφαρθέντα προβλήµατα, σύµφωνα µε µία τεχνική της θεωρίας κανονικοποίησης που ονοµάζεται principal components regression (παλινδρόµηση κύριων συνιστωσών) τα δεδοµένα προβάλλονται στις d L διαστάσεις στις οποίες συγκεντρώνονται τα περισσότερα δεδοµένα. Η προβολή γίνεται τοπικά για κάθε 5 Έτσι ονοµάζονται όλα τα προβλήµατα στα οποία έχουµε να ταιριάξουµε ένα µοντέλο σε ορισµένα δεδοµένα 9

20 δείγµα, όπου σχηµατίζεται ο πίνακας αυτοσυσχέτισης των στοιχείων της γειτονιάς του Cov = N B óπoυ X = N B N B (X(i) X)(X(i) X) T (3.) i= N B X(i) i= Οι κατάλληλες κατευθύνσεις για προβολή καθορίζονται από τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Cov,e, e 2,..., e dl, που έχουν τις d L µεγαλύτερες ιδιοτιµές. Έτσι µπορούµε να κάνουµε τοπικές R d L R d L απεικονίσεις χωρίς να εµπλέκονται πίνακες κακής κατάστασης στον υπολογισµό των παραµέτρων 6. Αλλες τεχνικές κανονικοποίησης που έχουν εφαρµοστεί µε σχετική επιτυχία είναι: Ridge Regression, Partial least Squares (για περισσότερες πληροφορίες βλ. [35]). Εµείς επιµείναµε στην Principal Components Regression που εκτός του ότι έδωσε τα καλύτερα αποτελέσµατα για πραγµατικά δεδοµένα στο συγκεκριµένο άρθρο, είναι µάλλον η απλούστερη και πλέον καθιερωµένη από τις µεθόδους αυτές. Συνοψίζοντας έχουµε: Πλεονεκτήµατα της χρήσης τοπικών πολυωνύµων οκιµασµένη µέθοδος που έχει δώσει σωστά αποτελέσµατα σε πολλές περιπτώσεις που έχει εφαρµοστεί. Πολύ µεγάλη ακρίβεια στις προβλέψεις -µεγαλύτερη από αυτή ορισµένων νευρωνικών δικτύων που µπορεί να χρειαστούν για την επαίδευσή τους χρονικά διαστήµατα τάξεις µεγέθους µεγαλύτερα. Μειονεκτήµατα Μεγάλος χρόνος εκπαίδευσης. Απαιτείται πολύ µεγάλος αριθµός από δείγµατα για να έχουµε ικανοποιητικά αποτελέσµατα. Εξαιρετικά µεγάλος αριθµός από προσδιοριστέες παραµέτρους. Ασυνέχειες από περιοχή σε περιοχή. Ενώ έχουµε ένα πολύπλοκο µοντέλο δεν έχουµε µία αίσθηση της δυναµική του συστήµατος αφού είναι κατακερµατισµένη σε τέτοιο βαθµό που δεν µπορούµε να βγάλουµε κάποιο συµπέρασµα. Παρακάτω βλέπουµε πώς ανακατασκευάζεται η δυναµική των απεικονίσεων Henon /Ikeda µε τοπικά πολυώνυµα. Παρατηρούµε ότι η ανακατασκευή είναι πολύ ακριβής αλλά σε ορισµένες περιοχές υπάρχει εµφανής ασυνέχεια: αυτό παρατηρείται στο σύνορο µεταξύ δύο περιοχών στις οποίες αντιστοιχούν διαφορετικά µοντέλα και προκαλεί προβλήµατα αν χρειαζόµαστε µία συνεχώς διαφορίσιµη συνάρτηση που να εκφράζει τη δυναµική του συστήµατος. Kαθώς όµως αυτό σπάνια χρειάζεται για τα µή-γραµµικά συστήµατα τα τοπικά πολυώνυµα µπορούν να θεωρηθούν κατάλληλα για τους σκοπούς µας. 6 Tο παράδειγµα που χρησιµοποιήσαµε µε την ταινία του Moebius δεν είναι το πλέον ρεαλιστικό: σπάνια (αν όχι ποτέ) ξέρουµε τόσο ακριβώς το σύστηµά µας όταν έχουµε πειραµατικά δεδοµένα, οπότε δεν µπορούµε να είµαστε σίγουροι ότι προβάλλοντας τα δεδοµένα στις κατευθύνσεις που ορίζουν τα d L ιδιοδιανύσµατα του πίνακα αυτοσυσχέτισης (που στην περίπτωση της ταινίας του Moebius θα ήταν δύο διευθύνσεις εφαπτόµενες στην επιφάνεια), έχουµε και τις σωστές καινούργιες µεταβλητές. Αυτό όµως που έχουµε εξασφαλίσει είναι ότι δεν τα προβάλλουµε κατά λάθος σε µία διεύθυνση όπου δεν υπάρχουν δεδοµένα,όπως θα ήταν για παράδειγµα η κάθετη στην επιφάνεια του Moebius. 2

21 Reconstruction model:local Yn+ Xn Yn.5 Yn Xn Xn Σχήµα 3.: Ανακατασκευή δυναµικής της απεικόνισης Ikeda µε local polynomials Reconstruction model:local Yn+ Xn Yn.2.5 Yn Xn.5 Xn Σχήµα 3.2: Ανακατασκευή δυναµικής της απεικόνισης Henon µε local polynomials 2

22 3.2 Προσέγγιση της δυναµικής του συστήµατος µε global polynomials Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση F εκφράζεται ως ένα ανάπτυγµα σε µία βάση π ορθογώνιων πολυµεταβλητών πολυώνυµων φ. Η ορθογωνιότητα των πολυωνύµων βασίζεται στην πράξη του εσωτερικού γινοµένου η οποία ορίζεται ως εξής: < φ i φ j >= x ρ(x)φ i (X)φ j (X) dx d 2 dx de (3.) x 2 x de Η ποσότητα ρ(x) που υπάρχει στη σχέση (3.) είναι η φυσική πυκνότητα του ελκυστή και ισούται µε N ρ(x) = /N δ(x Y (n)) (3.2) j= Στην παραπάνω σχέση η συνάρτηση δ είναι η συνάρτηση Heavyside, Y (n) είναι το n-οστο διάνυσµα δεδοµένων ενώ N είναι το πλήθος των δεδοµένων µας. Για να είναι ορθογώνια τα πολυώνυµα απαιτούµε να ισχύει: < φ i, φ j >= δ i,j (3.3) Καθώς τα δεδοµένα µας είναι πολυδιάστατα, οι δείκτες των πολυωνύµων στις παραπάνω σχέσεις είναι κωδικοποιήσεις των διανυσµάτων των οποίων κάθε συνιστώσα δείχνει σε ποια δύναµη υψώνεται η αντίστοιχη µεταβλητή (όπως στην προηγούµενη παράγραφο). Έχοντας βρει µία ορθογώνια βάση πολυωνύµων µπορούµε να προσεγγίσουµε τη συνάρτηση f στη βάση αυτή ικανοποιητικά χρησιµοποιώντας έναν σχετικά µικρό αριθµό από παραµέτρους: f(x) = C(i)φ i (X) i= M F(X) = C(i)φ i (X) f(x) (3.4) i= Τα διανύσµατα C(i),i =...M είναι οι συντελεστές Fourier της συνάρτησης f ως προς την ορθογώνια βάση π και ορίζονται ως εξής: C(i) = < f φ i >= = N = N N k= N k= x f(x)φ i (X)ρ(X)dx d 2 dx de (3.2)= x 2 x de f(x(k))φ i X(k)) f(x(k))=x(k+) = X(k + )φ i (X(k)) (3.5) Η σχέση(3.5) προκύπτει πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές του πρώτου µέρους της σχέσης (3.4) µε το φ i (x) και παίρνοντας το ολοκλήρωµα τους κατα µήκος του ελκυστή. Χρησιµοποιώντας την ορθογωνιότητα των πολυωνύµων από τα M πολυώνυµα που υπάρχουν στη σχέση (3.4) µένει µόνο το i-οστό. Ο λόγος για τον οποίο χρησιµοποιείται η οικογένεια ορθογώνιων πολυώνυµων π φαίνεται από την απλότητα µε την οποία αποκτούµε τους συντελεστές του αναπτύγµατος της 22

23 f σεαυτή.αναντίγιατηβάση πχρησιµοποιούσαµεαπλάτηνβάση <, f (X), f 2 (X),... > 7 το πρόβληµα θα αποκτούσε µεγάλη πολυπλοκότητα αφου έχουµε να κάνουµε µε πολυµεταβλητά πολυώνυµα). εν έχουµε ακόµη αναφερθεί στον τρόπο µε τον οποίο βρίσκουµε τους συντελεστές από τα ορθογώνια πολυώνυµα: το πιο γνωστό άρθρο σχετικά είναι από τους [6], καθώς όµως οι τύποι στους οποίους καταλήγουν είναι τόσο πολύπλοκοι που δύσκολα µπορούν να κατανοηθούν (για διδιάστατα δεδοµένα!) προτιµήθηκε η συστηµατικότερη και απλούστερη µέθοδος που προτείνεται στο [9]. Τα αποτελέσµατα στα οποία καταλήγουν και οι δύο µέθοδοι είναι τα ίδια, όπως αναφέρεται στο τελευταίο άρθρο. H οικογένεια πολυµεταβλητών πολυωνύµων φ παρουσιάζεται ως εξής: Θα είναι δηλαδή k φ k (X) = A k nf n (X) (3.6) n= φ = A φ 2 = A 2 + A 2 2x,. (3.7) Kάθεµονώνυµοτηςβάσηςτωνπολυωνύµων f k (X)αποδεικνύεταιότιµπορείναεκφραστεί ως άθροισµα ορισµένων πολυωνύµων της παραπάνω οικογένειας,δηλαδή έχουµε k f k (X) = Bi k φ k (X) (3.8) i= Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι η παραπάνω οικογένεια είναι µία πλήρης βάση του χώρου των πολυµεταβλητών πολυωνυµικών συναρτήσεων. Για την ορθογωνιοποίηση θεωρούµε ότι έχουν ήδη βρεθεί οι συντελεστές των προηγούµενων N πολυωνύµων, και ζητάµε το N + -οστο πολυώνυµο να είναι κάθετο στα υπόλοιπα NΤο φ N+ (X) όπως είδαµε είναι δυνατόν να εκφραστεί ως εξής: φ N+ (X) = N+ i= A N+ i f i (X) (3.9) Ηαπόδειξηµαςεπιτρέπειναθέσουµε AN+ N+ = A N N οπότεηπαραπάνωέκφρασηµπορείνα γραφεί και ως φ N+ (X) = N i= A N+ i f i (X) + A N Nf N+ (X) (3.2) οπότε αποµένει να ορίσουµε N παράγοντες έχοντας τις N σχέσεις ορθογωνιότητας < φ N+ φ i >=, i =,..., N (3.2) Εδώ απλοποιούνται οι εξισώσεις που προκύπτουν για τους συντελεστές χάρις στη σχέση (3.8) µε την οποία ο κάθε παράγοντας της µορφής f p (X) εκφραζεται συναρτήσει των πολυώνύµωντηςοικογένειας φμεβάσητησχέσηαυτή,το φ N+ µπορείναγραφείκαιως: φ N+ (X) = N i= A N+ i 7 Οι συναρτήσεις fi έχουν οριστεί στην προηγούµενη παράγραφο i N+ Bjφ i j (X) + A N N j= j= φ j (X) (3.22) 23

24 Από τη σχέση αυτή απαιτώντας να ισχύει ότι < φ N+ φ i >= τη σχέση που ορίζει τον -οστό συντελεστή A N+ N = AN N < f N+ φ N > B N N < φ N φ N > i =,..., N παίρνουµε (3.23) Οµοίως, από τις υπόλοιπες συνθήκες ορθογωνιότητας παίρνουµε αναδροµικά 8 : A N N k = A N N < f N+ φ N k > N BN k N k < φ N k φ N k > (A N+ i BN k) i (3.24) i=n k+ γιατουςυπόλοιπουςσυντελεστές.πρέπειεπίσηςναπροσδιοριστούνοισυντελεστές Bi N+ καθώς χρησιµοποιούνται για να προσδιοριστούν τα πολυώνυµα µεγαλύτερης τάξης.θέτοντας Bk k = /A k k παίρνουµε για τους υπόλοιπους συντελεστές τις σχέσεις: B k r = B k k k i=r A k i B i r r =,..., k (3.25) Συνοψίζοντας, χρησιµοποιώντας την οικογένεια των πολυωνύµων φ k µπορέσαµε να απλοποιήσουµε τις σχέσεις που εκφράζουν τους συντελεστές των ορθοκανονικών πολυωνύµων, εκφράζοντας το N + -στο πολυώνυµο συναρτήσει των N προηγούµενων πολυωνύµων (οπότε και να απλοποιήσουµε σηµαντικά την έκφραση που απαιτεί το γινόµενό τους να είναι µηδενικό). Κύρια πλεονεκτήµατα της µεθόδου αυτής είναι Ειναι ανθεκτική στην παρουσία θορύβου εν λαµβάνει υπ οψιν τις αποστάσεις µεταξύ των σηµείων (όπου ο θόρυβος µπορεί να αλλοιώσει σηµαντικά τα αποτελέσµατα) ίνει αποτελέσµατα σε πολύ σύντοµο χρονικό διάστηµα ίνει µία συνεχή συνάρτηση σε όλο το χώρο φάσης Μπορεί να δώσει ικανοποιητικά αποτελέσµατα ακόµα και όταν υπάρχει ένας µικρός αριθµός από δεδοµένα Απαιτεί να προσδιοριστεί συνολικά ένας σχετικά µικρός αριθµός από παραµέτρους Τα κύριο µειονέκτηµά της είναι ότι αν έχουµε ένα µεγάλο αριθµό από καθαρά δεδοµένα µπορεί να χάνουµε ένα πολύτιµο µέρος από πληροφορία, περιορίζοντας την έκφραση της δυναµικής των δεδοµένων σε πολυωνυµικές συναρτήσεις. Αντιθέτως, στην περίπτωση αυτή τα τοπικά πολυώνυµα θα µπορούσαν να δώσουν πολύ καλύτερα αποτελέσµατα. Παρακάτω βλέπουµε την ανακατασκευή της δυναµικής των συστηµάτων Henon/Ikeda µε καθολικά πολυώνυµα. Αν και στην περίπτωση του συστήµατος Henon (το οποίο εκφράζεται και από τη φύση του µέσω πολυωνυµικών εξισώσεων) η ανακατασκευή είναι τέλεια, για το σύστηµα Ikeda βλέπουµε ότι σε περιοχές πέρα από τον ελκυστή η πρόβλεψη δεν είναι τόσο πετυχηµένη. Βέβαια, αυτό δεν µας ενδιαφέρει άµεσα, αλλά είναι ενδεικτικό του ότι τα καθολικά πολυώνυµα δεν είναι πάντα το καταλληλότερο µοντέλο. 8 Οι αποδείξεις για τους τύπους που ακολουθούν παραλείπονται για λόγους συντοµίας του κειµένου 24

25 Reconstruction model:global Yn+ Xn Y n.5 Y n Xn Xn Σχήµα 3.3: Ανακατασκευή δυναµικής της απεικόνισης Ikeda µε global polynomials Reconstruction model:global Yn+ Xn Yn.2.5 Yn Xn.5 Xn Σχήµα 3.4: Ανακατασκευή δυναµικής της απεικόνισης Henon µε global polynomials 25

26 3.3 Προσέγγιση της δυναµικής του συστήµατος µε τοπικά µοντέλα σε συστάδες του ελκυστή Μία τεχνική η οποία έχει προταθεί στο [24] είναι να χρησιµοποιηθεί σε ένα πρώτο στάδιο ένα νευρωνικό δίκτυο SOM (βλ παρακάτω) για την οµαδοποίηση των δεδοµένων πάνω στον ελκυστή του συστήµατος, και στη συνέχεια, έχοντας εντοπίσει τις συστάδες του, να βρούµε ένα τοπικό πολυωνυµικό µοντέλο το οποίο να αποδίδει τη δυναµική του σε κάθε συστάδα. Η µέθοδος αυτή αποτελεί κατά κάποιο τρόπο την ενδιάµεση λύση µεταξύ των προηγούµενων µεθόδων: συνδυάζει την ακρίβεια του τοπικού µοντέλου µε την ανοχή σε θόρυβο και την ευστάθεια των λύσεων σε αραιές περιοχές του ελκυστή του καθολικού µοντέλου. Απο εδώ και στο εξής για λόγους συντοµίας θα αποκαλούµε τη µέθοδο αυτή SLH (Som Local Hybrid). Το νευρωνικό δίκτου SOM Τα νευρωνικά δίκτυα SOM(Self Organizing Maps) εισήχθησαν απο τον Kohonen τη δεκαετία του 98 και χρησιµοποιούνται για την οπτικοποίηση πολυδιάστατων δεδοµένων σε µικρό αριθµό διαστάσεων -συνήθως δύο- και κατ επέκταση για οµαδοποίηση πολυδιάστατων δεδοµένων: αφού σε κάθε M-διάστατο σηµείο αντιστοιχίζεται µία θέση σέ ένα διδιάστατο πλέγµα, µπορούµε να οµαδοποιήσουµε τα δεδοµένα µε βάση τη θέση τους στο πλέγµα. Αποτελείταιαπό N νευρώνες 9 οκαθέναςεκτωνοποίωναντιδράδιαφορετικάσε κάθε ερέθισµα(δηλαδή σε µία M διάστατη είσοδο). Οι νευρώνες είναι τοποθετηµένοι έτσι ώστε να σχηµατίζουν ένα 2-διάστατο πλέγµα (αν χρησιµοποιούµε δύο διαστάσεις στην έξοδο), το οποίο µετά από τη διαδικασία εκπαίδευσης έχει τέτοια δοµή ώστε να περιέχει πληροφορία για την κατανοµή των δεδοµένων εισόδου. Η θέση του i-οστού νευρώνα στο χώρο εισόδου δίνεται από το διάνυσµα W i = [ w i w i 2... w i M ] (3.26) Κατά τη διαδικασία µάθησης ο κάθε νευρώνας αναλαµβάνει µία πυκνή πέριοχή του χώρου εισόδου ενώ οι γειτονικοί του (στην έξοδο) νευρώνες αναλαµβάνουν µία σχετικά κοντινή περιοχή. Αυτό φαίνεται στο σχήµα (3.3) όπου για λόγους απλότητας χρησιµοποιήθηκαν και διδιάστατα δεδοµένα εισόδου που σηµειώνονται µε σταυρούς. Map in output space.6 Map in input space.6 Trained map Σχήµα 3.5: Εκµάθηση διδιάστατων δεδοµένων από το νευρωνικό δίκτυο SOM 9 Έναςνευρώναςµπορείναθεωρηθείωςµίαυπολογιστικήµονάδαµεορισµένεςεσωτερικέςµεταβλητέςκαιµίασυνάρτηση µεταφοράς 26

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση μη-γραμμικών χαρακτηριστικών

Εκτίμηση μη-γραμμικών χαρακτηριστικών Εκτίμηση μη-γραμμικών χαρακτηριστικών Μη-γραμμικά χαρακτηριστικά ή αναλλοίωτα μέτρα Διάσταση. Ευκλείδια. Τοπολογική 3. Μορφοκλασματική (συσχέτισης, πληροφορίας, μέτρησης κουτιών, ) Εκθέτες Lypunov (μεγαλύτερος,

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1 Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1.1 Ηλεκτρικά και Ηλεκτρονικά Συστήµατα Μετρήσεων Στο παρελθόν χρησιµοποιήθηκαν µέθοδοι µετρήσεων που στηριζόταν στις αρχές της µηχανικής, της οπτικής ή της θερµοδυναµικής.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR.

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR. Τα IIR φίλτρα είναι επαναληπτικά ή αναδροµικά, µε την έννοια ότι δείγµατα της εξόδου χρησιµοποιούνται από το σύστηµα για τον υπολογισµό τν νέν τιµών της εξόδου σε επόµενες χρονικές στιγµές. Για να επιτύχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κωδικοποίηση ήχου. Κωδικοποίηση καναλιού φωνής Κωδικοποίηση πηγής φωνής Αντιληπτική κωδικοποίηση Κωδικοποίηση ήχου MPEG

Κωδικοποίηση ήχου. Κωδικοποίηση καναλιού φωνής Κωδικοποίηση πηγής φωνής Αντιληπτική κωδικοποίηση Κωδικοποίηση ήχου MPEG Κωδικοποίηση ήχου Κωδικοποίηση καναλιού φωνής Κωδικοποίηση πηγής φωνής Αντιληπτική κωδικοποίηση Κωδικοποίηση ήχου MPEG Τεχνολογία Πολυµέσων και Πολυµεσικές Επικοινωνίες 10-1 Κωδικοποίηση καναλιού φωνής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

υναμικός Προγραμματισμός

υναμικός Προγραμματισμός υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων; ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ Είδαµε ότι η φυσική κίνηση ενός σωµατιδίου σε συντηρητικό πεδίο ικανοποιεί την αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton µε Λαγκρανζιανή, όπου η κινητική ενέργεια του

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Εισαγωγή Ηεµφάνιση ηλεκτρονικών υπολογιστών και λογισµικού σε εφαρµογές µε υψηλές απαιτήσεις αξιοπιστίας, όπως είναι διαστηµικά προγράµµατα, στρατιωτικές τηλεπικοινωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστηµιο Πατρων Τµηµα Μηχανικων Ηλεκτρονικων Υπολογιστων & Πληροφορικης Εργαστηριο Επεξεργασιας Σηµατων και Τηλεπικοινωνιων

Πανεπιστηµιο Πατρων Τµηµα Μηχανικων Ηλεκτρονικων Υπολογιστων & Πληροφορικης Εργαστηριο Επεξεργασιας Σηµατων και Τηλεπικοινωνιων Πανεπιστηµιο Πατρων Τµηµα Μηχανικων Ηλεκτρονικων Υπολογιστων & Πληροφορικης Εργαστηριο Επεξεργασιας Σηµατων και Τηλεπικοινωνιων Ταυτοποίηση Μη Γραµµικών Συστηµάτων Υψηλής Τάξης : Μία προσέγγιση ϐασισµένη

Διαβάστε περισσότερα

Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1

Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1 Ήχος και φωνή Φύση του ήχου Ψηφιοποίηση µε µετασχηµατισµό Ψηφιοποίηση µε δειγµατοληψία Παλµοκωδική διαµόρφωση Αναπαράσταση µουσικής Ανάλυση και σύνθεση φωνής Μετάδοση φωνής Τεχνολογία Πολυµέσων 4-1 Φύση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα Κεφάλαιο T3 Ηχητικά κύµατα Εισαγωγή στα ηχητικά κύµατα Τα κύµατα µπορούν να διαδίδονται σε µέσα τριών διαστάσεων. Τα ηχητικά κύµατα είναι διαµήκη κύµατα. Διαδίδονται σε οποιοδήποτε υλικό. Είναι µηχανικά

Διαβάστε περισσότερα

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου Κινητές επικοινωνίες Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου 1 Σχεδίαση συστήματος Η εταιρία μας θέλει να καλύψει με κυψελωτό σύστημα τηλεφωνίας μία πόλη επιφάνειας 20000 km 2 (συχνότητα

Διαβάστε περισσότερα

«Πρόβλεψη» «Forecasting»

«Πρόβλεψη» «Forecasting» «Πρόβλεψη» «Forecasting» Σηµειώσεις για το µάθηµα του 6 ου εξαµήνου «Αρχές ιοίκησης και Οργάνωση Παραγωγής» 2005 Μιχάλης Βαϊδάνης 1 I. Πρόβλεψη (Forecasting) Η πρόβλεψη είναι µια από τις σηµαντικότερες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Συγχρονισμός Συμβόλων Εισαγωγή Σε ένα ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα, η έξοδος του φίλτρου λήψης είναι μια κυματομορφή συνεχούς χρόνου y( an x( t n ) n( n x( είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Θέµα 1 ο Α. Να απαντήσετε τις παρακάτω ερωτήσεις τύπου Σωστό Λάθος (Σ Λ) 1. Σκοπός της συγχώνευσης 2 ή περισσοτέρων ταξινοµηµένων πινάκων είναι η δηµιουργία

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Επιδόσεις της σύνδεσης για κάλυψη µε κεραία πολλαπλής δέσµης σε σχέση µε κάλυψη µε κεραία απλής δέσµης

Επιδόσεις της σύνδεσης για κάλυψη µε κεραία πολλαπλής δέσµης σε σχέση µε κάλυψη µε κεραία απλής δέσµης Επιδόσεις της σύνδεσης για κάλυψη µε κεραία πολλαπλής δέσµης σε σχέση µε κάλυψη µε κεραία απλής δέσµης Η συνολική ποιότητα της σύνδεσης µέσω ραδιοσυχνοτήτων εξαρτάται από την 9000 απολαβή της κεραίας του

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 3 ΙΙ. ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ ΤΑ Ε ΟΜΕΝΑ. Σχολείο Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Συχνότητα Γυµνάσιο 773 37.93% Λύκειο 1006 49.36% ΤΕΕ 259 12.71%

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μετασχηµατισµός Laplace ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 4 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας του µετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD Εισαγωγή To παρόν κεφάλαιο χωρίζεται σε μέρη. Στο (Α), μεταξύ άλλων, εξηγούμε γιατί μας ενδιαφέρει η λεγόμενη ανάλυση σε παράγοντες ειδικούς πίνακες (decompositio)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα