ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΥΘΕΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑ Β.,.,. ΠΡΟΣΘΕΣΗ & ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ - ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. σελ.. ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ.. σελ. 5.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ... σελ. 8 ΘΕΜΑ Δ. σελ. 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΘΕΜΑ Β.,. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ - ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ.. σελ.. ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ - ΕΜΒΑΔΟ ΤΡΙΓΩΝΟΥ σελ. ΘΕΜΑ Δ. σελ. 8 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΥΘΕΙΑ ΘΕΜΑ Β σελ. 55 ΘΕΜΑ Δ σελ. 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. ΚΥΚΛΟΣ: ΘΕΜΑ Β.. σελ. 6. ΚΥΚΛΟΣ: ΘΕΜΑ Δ.. σελ. 66. ΠΑΡΑΒΟΛΗ: ΘΕΜΑ Β.. σελ. 75. ΠΑΡΑΒΟΛΗ: ΘΕΜΑ Δ.. σελ. 78. ΕΛΛΕΙΨΗ: ΘΕΜΑ Β σελ. 8. ΕΛΛΕΙΨΗ: ΘΕΜΑ Δ σελ. 8

2 . ΥΠΕΡΒΟΛΗ: ΘΕΜΑ Β σελ. 85. ΥΠΕΡΒΟΛΗ: ΘΕΜΑ Δ.. σελ. 86

3 KEΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β.,.,.: ΠΡΟΣΘΕΣΗ & ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ - ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ Β_86 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε: AΔAB5AΓ και AΕ 5ABAΓ. α) Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΓ. β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα. α) Με σημείο αναφοράς το Α έχουμε: ΔΕ ΑΕ ΑΔ 5ΑΒ ΑΓ ΑΒ 5ΑΓ 5ΑΒ ΑΓ ΑΒ 5ΑΓ ΑΒ ΑΓ () β) Είναι ΒΓ ΑΓ ΑΒ () ( ) Από (α) έχουμε: ΑΒ ΔΕ ΑΓ ΑΓ ΑΒ ΒΓ. Άρα ΔΕ //ΒΓ ΘΕΜΑ Β_5 Θεωρούμε τα σημεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5 ΡΛ ΡΚ ΡΜ α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. β) Για τα παραπάνω σημεία Κ, Λ και Μ να δείξετε ότι ισχύει AΛ BΛ ΜΒ AΚ AΜ ΒΚ όπου Α και Β είναι σημεία του επιπέδου. α) 5 ΡΛ ΡΚ ΡΜ Θεωρώ σημείο αναφοράς το Κ. Οπότε: ( ΚΛ ΚΡ) ΚΡ ΚΜ ( ΚΡ) 5ΚΛ 5ΚΡΚΡ ΚΜ ΚΡ 5 Οπότε ΚΛ // ΚΜ, άρα τα σημεία Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά. 5 ΚΛ ΚΜΚΛ β) AΛ BΛ ΜΒ AΚ AΜ ΒΚ Θεωρώ σημείο αναφοράς το Ρ. Οπότε: ( ΡΛ ΡΑ) ΡΛ ( ΡΒ) ΡΒ ( ΡΜ) ΡΚ ΡΑ ΡΜΡΑ ΡΚΡΒ ΡΛ ΡΑ ΡΛ ΡΒ ΡΒ ΡΜ ΡΚ ΡΑ ΡΜΡΑ ΡΚ ΡΒ 5 ΡΛ ΡΚ ΡΜ που ισχύει από ερώτημα (α) (Μονάδες ) (Μονάδες ) Θυμίζουμε ότι: ΑΒ ΟΑ ΟΒ α // βα β, λ R, β (Μονάδες ) (Μονάδες 5) ΚΜ 5

4 ΘΕΜΑ Β_58 Θεωρούμε τα διανύσματα α, β, γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν ΟΒ α β γ και ΟΓ α β 6γ, ΟΑ α β 5γ, α) Να εκφράσετε τα διανύσματα AB, AΓ συναρτήσει των διανυσμάτων α, β, γ. β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. α) Έχουμε: ΑΒ OBOA α β γ ( α β 5γ) α β γα β 5γα βγ και ΑΓ OΓ OA α β 6γα β 5γ α β γ β) Παρατηρούμε ότι ΑΒ α βγ( α β γ) ΑΓ, οπότε AB // AΓ. Άρα τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. (Μονάδες ) (Μονάδες ) Β_86 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και E, Z σημεία τέτοια ώστε: AE AΔ, AZ AΓ 5 7 α) Να γράψετε τα διανύσματα EZ και ZB ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΔ. (Μονάδες ) β) Να αποδείξτε ότι τα σημεία B, Z και E είναι συνευθειακά. (Μονάδες ) α) Με σημείο αναφοράς το Α έχουμε: Δ Γ Ζ EZ AZAE AΓ AΔ ( AΒ AΔ) AΔ Ε Α AΒ AΔ AΔ AΒ AΔ () Β ZB ABAZ AB AΓ AB ( AB AΔ) AB AB AΔ AB AΔ ( ) () () 5 5 β) Είναι ZB AB AΔ ΕΖ 7 5 ΑΓ ΑΒ, λ R. Άρα ΖΒ// ΕΖ και επειδή έχουν κοινό σημείο το Ζ τα σημεία Β, Ζ και Ε είναι συνευθειακά. Μεθοδολογία Για να δείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να δείξουμε ότι δύο διανύσματα με άκρα αυτά τα σημεία, π.χ. ΑΓ, ΑΒ είναι συγγραμικά ΑΓ // ). ΑΒ Γι αυτό αρκεί να δείξουμε ότι: Πράγματι, αν //ΑΓ ΑΒ θα έχουν κοινό φορέα, άρα τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

5 .: ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΘΕΜΑ Β5_865 Δίνονται τα διανύσματα OA i j, OB i j και OΓ 5i5 j, όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των AB και BΓ. β) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α, B και Γ μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου. α) ΑΒ ΟΒΟΑ i j( i j) i j Άρα ΑΒ (, ) (ή OA (,), OB (,), οπότε: (,) (,) (, ) AB ΟBΟA ) ΒΓ ΟΓ ΟB 5i5 j Άρα ΒΓ (, 6) ( i j) i6 j (Μονάδες ) (Μονάδες ) Αν α (,ψ ) και β ( ),ψ ισχύει: ψ α//β ψ - β) Είναι det( ΑΒ,BΓ) (-6) -6 Άρα ΑΒ // ΒΓ τριγώνου.. Άρα τα σημεία Α, Β,Γ είναι συνευθειακά και επομένως δεν μπορεί να είναι κορυφές ΘΕΜΑ Β6_8 Δίνονται τα διανύσματα α i j, β i5 j και γ ( 7,) α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α, β, γ είναι μη συγγραμμικά ανά δύο. β) Να γραφεί το διάνυσμα γ ως γραμμικός συνδυασμός των α και β. Έχουμε: α i j (, ) και β i5 j (, 5) - α) Έχουμε det( α,β) 5 Άρα α β -5 - det( α,γ) 7 Άρα α γ 7-5 det( β,γ) 65 Άρα β γ 7 (Μονάδες ) (Μονάδες 5) 5

6 β) Το διάνυσμα γ γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α και β, αν και μόνο αν, υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί λ, μ, τέτοιοι ώστε: γ λα μβ λ, μ R. Έχουμε: γ λα μβ(7,) λ(, ) μ(, 5) (7,) (λ μ, λ5μ) λ μ 7 λ λ5μ μ 7 Άρα γ α7 β είναι ο γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α, β ΘΕΜΑ Β7_55 Θεωρούμε τα σημεία Α(α, ), Β(α, ) και Γ(, 5α), α R. α) Να βρείτε τα διανύσματα ΑΒ, ΑΓ. β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. γ) Αν α, να βρείτε αριθμό λ ώστε ΑΓ λαβ. α) ΑΒ ( α α, ) (,) ΒΓ ( α,5α / / ) ( α,5α) β) ΑΒ //ΒΓ 5α ( α ) 5α α γ) Για α είναι: α 5α -α - α Α(,), Β(,), Γ(, 9) και ΑΒ (, ) (,) και ΑΓ (,9 ) ( 6,6). 6λ Άρα ΑΓ λαb( 6,6) λ(,) ( 6,6) ( λ,λ) λ 6. 6 λ (Μονάδες 8) (Μονάδες ) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Β8_7 Θεωρούμε τα σημεία Α(α, α) και Β(5α, α), α Z. α) Να γράψετε το ΑΒ συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε ΑΒ. (Μονάδες ) β) Έστω α. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. (Μονάδες ) α) ΑΒ ( α, 5α ) ΑΒ ( α) ( 5α ) και λύνοντας ως προς α βρίσκουμε α. β) Για α είναι Α(5, 6) και Β(, -). Έστω Μ(, ). 6

7 Πρέπει (ΜΑ) (ΜΒ) ( 5) ( 6) ( ) ( ) 6 Άρα M,... 6 ΘΕΜΑ Β9_6 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α(,), Γ(,) και Δ(,). α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ. (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β. (Μονάδες 6) Έχουμε: ΑΔ ( Δ A,Δ A) (,) (,) άρα και (,) Επίσης, ΒΓ, αφού ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο. ΔΓ ( Γ Δ,Γ Δ) (,) (,) άρα και ΑΒ (,). α) Τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ είναι τα μέτρα των διανυσμάτων. Έχουμε λοιπόν: (ΑΒ) ΑΒ (ΔΓ) και (ΑΔ) ΑΔ 5 (ΒΓ) β) Επειδή οι διαγώνιοι του παραλληλόγραμμου ΒΔ, ΑΓ διχοτομούνται, το Κ είναι μέσο του ΑΓ. A Γ 5 A Γ Οπότε: K και K 5 Άρα K, Το Κ είναι μέσο και της ΒΔ οπότε για τον υπολογισμό της κορυφής Β έχουμε: B Δ 5 B K 5 B B Β Δ Β B B K Άρα Β(, ) 7

8 .5: ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Β_8556 π Δίνονται τα διανύσματα α και β με α,β και α, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα α β και κ α β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες ) γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος α β. (Μονάδες 7) π α) α β α βσυν α,β συν β) Αφού είναι κάθετα έχουμε: ( α β)( κα β) κα αβ καβ β κα αβ καβ β α β αβ (α) κ κ 8 κ κ 8 6κ κ γ) α β ( α β) α αβ β α αβ β Άρα α β 6 8 Όταν ζητείται το ν, βρίσκουμε πρώτα το ν. Θυμίζουμε ν ν ΘΕΜΑ Β_858 Έστω τα διανύσματα α και β για τα οποία : α β και α,β 6. α) Να αποδείξετε ότι α β. (Μονάδες ) β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α βκαι α β. (Μονάδες 5) α) Είναι α α. Έχουμε: α β α βσυν α,β συν6. β) α β ( α β) α αβ β α β 8 Άρα α β α β Άρα α β 6 ( αβ) α αβ β α αβ β 8 6 8

9 ΘΕΜΑ Β_8558 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: AΒ (-,-6), (, -8 ) AΓ. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος AΜ, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 7) β) Να αποδείξετε ότι η γωνία A είναι οξεία. (Μονάδες ) γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(,), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. (Μονάδες 8) α) Είναι AΜ ( AB AΓ) [(, 6) (, 8)] (, 6 ( 8)) Αν Μ µέσο του ΑΒ τότε: (-,-) (-,-7). ΟΜ ( ΟΑ ΟΒ) β) AB AΓ - (-6)(-8) -8 8 () Όμως AB AΓ AB AΓσυν AB,AΓ συνα > AB AΓ Άρα η γωνία A είναι οξεία. γ) Είναι AΒ ( Β -Α,ψΒ-ψΑ) (, 6) ( -, ψ -) Β Β B B ψb 6ψB 5. Άρα Β (-, -5) Αν α (,ψ) τότε: α ψ ΘΕΜΑ Β_8598 Δίνονται τα διανύσματα AΒ ( κ -6κ 9,κ-) α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο AΒ AΓ και AΓ (,6) όπου κ R β) Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε τα διανύσματα AΒ και AΓ να είναι κάθετα. γ) Για κ να βρείτε το διάνυσμα ΒΓ. κ 6κ 9 6κ 8 κ 9 α) AΒ AΓ ( κ 6κ 9) ( κ) 6 (α) κ β) Για να είναι AΒ AΓAΒ AΓ 9 κ ή κ- γ) Για κ είναι AΒ (, ), οπότε: ΒΓ AΓ AΒ (,6) (, ) (,8) (Μονάδες 8) (Μονάδες 9) (Μονάδες 8) 9

10 ΘΕΜΑ Β_5 Δίνονται τα διανύσματα α και β με β α και α β 8. α) Να υπολογίσετε τη γωνία α, β. β) Να αποδείξετε ότι β α α β 8 α) συν α,β. Άρα α,β 8. α β β) α β οπότε α λβμε λ<, οπότε α λ β λ Άρα α βα ββ α λ (Μονάδες ) (Μονάδες 5) λ (αφού λ<). ΘΕΜΑ Β5_5 Δίνονται τα διανύσματα α (, 7) και β (, ). α) Να βρεθεί η προβολή του α πάνω στο β. (Μονάδες ) β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλληλη στο β. (Μονάδες 5) α) Είναι βα β προβ α () Όμως προβ β α λβ (), γιατί προβ β α// β β α Η () γίνεται: β α λβ, β β ( ). Οπότε: 7 λ λ προβ β α, Από () έχουμε: ( ) (,6) β) Έχουμε: α α α () και α α Είναι α προβ α (,6) (από (α) ερώτημα) β Από (): αα (,7) (,6) (,) α χ ν ν προβ ψ β α α β α α β χ ψ

11 ΘΕΜΑ Β6_5 Δίνονται τα διανύσματα α, β με α) Να υπολογίσετε τα α και β. α, ( α ββ ) 7 β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος α β και α β γ) Να βρείτε την προβολή του α β στο διάνυσμα β. α) α α (Μονάδες 6) (Μονάδες 9) (Μονάδες ) ( α ββ ) 7αβ β 7 β β) α β.... Άρα α β. γ) Έστω προβ β ( α β ) v Είναι: ( α ββ ) β v 7 Άρα v β. και v λβ. Οπότε αβ β λβ λ 7 ΘΕΜΑ Β7_56 Έστω α, β δυο διανύσματα με α, β, α) Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα α β και β u. β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u. Απάντηση α) α β 6 και β u 6 β) u 6 5π α,β και u α β. 6 (Μονάδες 6) (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ Β8_57 Δίνονται τα διανύσματα α, β με α, β και α,β π. Να υπολογίσετε τα εξής: α) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α, β και κατόπιν την τιμή της παράστασης α α ( β) β) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α β και β α. (Μονάδες ) (Μονάδες 5)

12 Απάντηση α) α β, α α ( β) ( α β)( β α) β) συν αβ, β α αβ β α () Θυμίζουμε ότι: συν δ,δ δ δ δ δ ( α β)( β α)... 9 α β και β α 9 Από () συν αβ, β α ΘΕΜΑ Β9_58 Δίνονται τα διανύσματα α (, ) και (,) β. Να βρείτε: α) τη γωνία α, β (Μονάδες ) β) τις συντεταγμένες του διανύσματος u α β( α β) α (Μονάδες 5) Απάντηση α) α, β, α β Άρα συν α,β β) u (, ). Άρα α,β π ΘΕΜΑ Β_59 Δίνονται τα διανύσματα α (,) και β,. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u αβ. (Μονάδες ) β) Να βρείτε τον θετικό αριθμό για τον οποίο τα διανύσματα u και v (,) κάθετα. Απάντηση α) u (,) β) Πρέπει u v είναι (Μονάδες 5)

13 ΘΕΜΑ Β_7 Έστω α, β δυο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν α β 9, α β και α,β α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων α, β και το εσωτερικό γινόμενο α, β. β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u α β. Απάντηση α) Λύνουμε το (Σ) και βρίσκουμε α και β. Από ορισμό α β. π (Μονάδες ) (Μονάδες ) β) α β 6 ΘΕΜΑ Β_69 Δίνονται τα διανύσματα α (, ) και β,. α) Να βρείτε την προβολή του α πάνω στο β. (Μονάδες ) β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη με το β. Απάντηση α) Εργαζόμαστε όπως στο Β5 και βρίσκουμε προβ β α, β) α, και α, ΘΕΜΑ Β_55 Δίνονται τα διανύσματα α, β και α) Να αποδείξετε ότι α β. β) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα u ν και α) Έχουμε: u α β, ν 5α β για τα οποία ισχύουν: u ν και α β α β είναι αντίρροπα και ότι u ν ( α β) ( 5α β) 5α α β α β8β... u νu ν 6 α β α β (Μονάδες 5) (Μονάδες ) (Μονάδες )

14 β) Έχουμε: u ν ( uν) u 6uν 9ν ( α β) 6 9( 5α β) Οπότε u ν 96 Επίσης, α β Άρα α β Επίσης, ( αβ) α αβ β... ( u ν) ( αβ)... ( ) ( uν)( αβ) συν uν,αβ Επομένως uν αβ ( u ν,α β) 8 ή π rad και ( u ν) ( αβ) ΘΕΜΑ Β_59 Έστω α, β δύο διανύσματα για τα οποία ισχύουν: β, και α 7β ( μ,7μ), μ R. 7 α) Να γράψετε το διάνυσμα α ως συνάρτηση του μ. β) Αν μ, τότε: i. να αποδείξετε ότι α (, ) και ότι το α είναι κάθετο στο α 7β ii. Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων α, β. α) Έχουμε: α 7β 7 ( μ,7μ) α 7, ( μ,7μ)... α (μ, μ) β) i) Aν μ, τότε έχουμε: α (μ, μ) (, ) Για να δείξουμε ότι Οπότε α α 7β ( α 7β) (, )(,) α (Μονάδες ) (Μονάδες ) (Μονάδες 5) και α 7β ( μ,7μ) (,7 ) (,) αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει α ( α 7β). ii) Για να βρούμε τη γωνία των α, β θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση ( α, β) α β α βσυν ()

15 Έχουμε: 5 α β (, ), α ( ) 5 και β Από τη σχέση () έχουμε: α β α βσυν 5 5 ( α,β) 5 συν( α,β)... συν( α,β) 7 7 Άρα η γωνία των διανυσμάτων α, β είναι π ΘΕΜΑ Β5_5 Έστω α (, ) και β ( 5,) δύο διανύσματα. α) Να βρείτε το α β και να υπολογίσετε την παράσταση β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος α β. α β. αβ (Μονάδες ) (Μονάδες ) α) Είναι α β ( 5) ( ) Είναι α ( ) και β ( 5) Επομένως η παράσταση γίνεται α β αβ ( ) β) Είναι α β (, ) ( 5,) (9, 9) Επομένως α β 9 ( 9) 6 8 β τρόπος: Έχουμε: α β ( α β) ( α) α β ( β) α α β 9β... Επομένως είναι α β 5

16 ΘΕΜΑ Β6_57 α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε διανύσματα α, β ισχύει: α β αβ α β β) Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με πλευρά ίση με τη μονάδα και ΑΒ α, έχει μήκος, να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΒΔ. α) Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελ. 8 άσκηση. β) Από υπόθεση έχουμε: ΑΒ α και ΑΔ β Είναι γνωστό (κανόνας παραλληλογράμμου) ότι: ΑΓ α β και ΔB αβ οπότε το μήκος της διαγωνίου ΒΔ θα είναι το Από ερώτημα (α) ισχύει ότι: α β αβ α β ή AΓ ΒΔ ΑΒ ΑΔ ΔΒ αβ ( ) ΒΔ... ΒΔ (Μονάδες ) ΑΔ β. Αν η διαγώνιος του ΑΓ (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Β7_5 Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ ώστε ΑΒ (,), και ΑΓ (,6). α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο και να βρείτε αν η γωνία Α του τριγώνου είναι οξεία, ορθή ή αμβλεία. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου. (Μονάδες ) α) Έχουμε det( AΒ,AΓ ) 8 6 Οπότε τα διανύσματα σχηματίζουν τρίγωνο. ΑΒ, ΑΓ δεν είναι παράλληλα και επομένως τα τρία σημεία Α, Β, Γ ΑΒ ΑΓ ( ΑΒ,ΑΓ) συν > ΑΒ ΑΓ 7 5 Άρα η γωνία Α του τριγώνου είναι οξεία. β) Είναι γνωστό ότι: ΑΜ ( ΑΒ ΑΓ) οπότε: ΑΜ ((,) (,6)) (,5) και ΑΜ 5 6 6

17 ΘΕΜΑ Δ_56 KEΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Δ Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ α και ΑΔ β. Θεωρούμε σημεία Ε, Ζ την ΑΔ και τη διαγώνιο ΑΓ αντίστοιχα, ώστε ΑΕ ΑΔ και ΑΖ ΑΓ. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΖ ( α β) (Μονάδες 8) β) ΕΖ α β και να υπολογίσετε με τη βοήθεια των α, β το ΕΒ. (Μονάδες ) γ) Τα σημεία Ε, Ζ, Β είναι συνευθειακά. (Μονάδες 5) α) Αφού ΑΖ ΑΓ ( AB AΔ) ( α β) β) Είναι ΕΖ ΑΖ ΑΕ ΑΓ ΑΔ α β Ακόμη ΕΒ ΑΒΑΕ α β γ) Έχουμε ΕΖ α β ΕΒ άρα ΕΒ ΕΖ δηλαδή Ε, Β, Ζ συνευθειακά. ΘΕΜΑ Δ_866 Δίνονται τα διανύσματα α, β και γ για τα οποία ισχύουν: α, β, κ α,β 6 και γ αβ, όπου κ R. α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο α β (Μονάδες ) β) Αν ισχύει β γ κ, τότε: i) να αποδείξετε ότι: κ (Μονάδες 6) ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ (Μονάδες 8) iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α γ και β γ είναι κάθετα. (Μονάδες 8) α) α β α βσυν6 κ κ β) i) β γ κβ αβ κ αββ κ κ κ β κ κκ κ κ 7

18 ii) Για κ είναι γ α β, οπότε: γ ( α β) α β α α β α β β 7. Άρα γ 7 iii) Αρκεί να δείξουμε ότι: ( α γ) ( γ) Έχουμε: β. [ α ( α β) ][ β( α β) ] ( α β)( α β) α β α β ΘΕΜΑ Δ_868 α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες: u v u v και u v u v. β) Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν: α β γ και α β γ. 7 (Μονάδες ) i) Να αποδείξετε ότι: α β και β γ (Μονάδες 8) ii) Να αποδείξετε ότι: 7 α γ (Μονάδες 7) α) u v u v u v u v u v u v Υπόδειξη: υψώνουμε τα δύο μέλη της ισότητας στο τετράγωνο, βλ. σχολ. βιβλ. σελ, 8, ασκ. 5 α β γ β) i) Έχουμε: α β γ () και λ (λ>) Άρα: α λ, 7 Από () α β γ άρα α β γ γ 7λ () β λ, γ 7λ. Επίσης α β λ λ 7λ () Από () και () α β α β, οπότε από (α) ερώτημα α β. Από () β γ α άρα β γ α α λ () Επίσης β γ λ7λ λ λ(λ>) (5) Από () και (5) β γ β γ, οπότε από (α) ερώτημα β γ ii) Αφού α β και β γ, άρα α γ δηλ. α κγ, κ<. α γ Όμως α γ. Άρα κ κ (αφού κ<) Άρα α γ7αγ 7α γ 7 8

19 ΘΕΜΑ Δ_869 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AΒ (λ, λ ), AΓ (λ, λ ), όπου λ και λ, και Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ. α) Να αποδείξετε ότι AM (λ, λ) (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα AM είναι κάθετο στο διάνυσμα α, λ. λ (Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα (β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες ) α) AM ( AΒ AΓ) [( λ,λ ) ( λ,λ) ] (λ,λ) (λ, λ) β) Θα πρέπει AM α (λ,λ), λ λ λ ή λ - (απορρίπτεται) λ Άρα λ. γ) Για λ είναι: AΒ (,) και AΓ (6,) ( ΑΒΓ ) det( AΒ,AΓ ). Είναι det( AΒ,AΓ ) 8 6 τ.μ. Άρα ( ΑΒΓ ) ΘΕΜΑ Δ5_866 Δίνονται τα διανύσματα OA (, ) και OB (,), όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα OA και OB είναι κάθετα. β) Αν Γ (α,β) είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, τότε: i) να αποδείξετε ότι: AB (,) και AΓ (α, β ) ii) να αποδείξετε ότι: α β (Μονάδες ) (Μονάδες 5) (Μονάδες 6) iii) αν επιπλέον τα διανύσματα OΓ και AB είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ. (Μονάδες ) α) OA OΒ ( ) Άρα OA OΒ β) i) ΑΒ OΒOΑ (,) (, ) (,) ( α,β) (, ) (α,β ) ΑΓ OΓOΑ 9

20 ii) Αφού το Γ είναι σημείο της ευθείας ΑΒ, άρα τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. - Άρα: ΑΒ//ΑΓ ( β ) ( α) α- β β6α 6 α β () iii) OΓ ΑΒ ΟΓ ΑΒ ( α,β)(,) α β () 8 6 Λύνοντας το σύστημα των () και () βρίσκουμε α και β Άρα Γ, 5 5

21 KEΦΑΛΑΙΟ Ο : H EYΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΘΕΜΑ Β. -.: ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ - ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΘΕΜΑ B_8575 Δίνονται τα σημεία Α(,) και Β(5,6). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και B. (Μονάδες ) β) Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει εξίσωση την ψ χ 7 (Μονάδες 5) 6 α) λ ΑΒ Άρα Ψ ( χ ) ψ χ β) Αν Μ μέσο ΑΒ, τότε: χ Μ, ψ Μ Άρα Μ(, ), λ μεσ. Άρα: ψ ( χ ) ψχ 7. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α(χ,ψ ) και έχει κλίση λ είναι: ψψ λ(χχ ) ΘΕΜΑ B_66 Δίνονται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(,), Β(, ) και Γ(, ). α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ. β) Να βρείτε τις εξισώσεις του ύψους ΒΔ και της διαμέσου ΑΜ. α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΓ είναι λ Άρα η εξίσωση της ΑΓ είναι ( ) β) Επειδή ΒΔ ΑΓ είναι λβδ λαγ λβδ Άρα η εξίσωση του ύψους ΒΔ είναι: ( ) 5 Οι συντεταγμένες του μέσου Μ της ΒΓ είναι M, Οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της διαμέσου ΑΜ είναι: λ 5 Άρα η εξίσωση της ΑΜ είναι ( ) 5 5 (Μονάδες 7) (Μονάδες 8)

22 ΘΕΜΑ B_7 Θεωρούμε μια ευθεία (ε) και ένα σημείο Α(6, ) εκτός της (ε). Έστω Μ(, ) η προβολή του Α στην (ε). Να βρείτε: α) Την εξίσωση της ευθείας (ε). (Μονάδες ) β) Το συμμετρικό του Α ως προς την (ε). (Μονάδες ) α) Αρχικά έχουμε λ AM Εφόσον το Μ είναι η προβολή του Α στην (ε) η ΑΜ θα είναι κάθετη στην (ε) και θα ισχύει ότι AM (ε) λ λ λ ΑΜ ε ε Η εξίσωση της (ε) είναι: () β) Έστω Α το συμμετρικό του Α ως προς την (ε). Το σημείο Μ θα είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΑ. Οπότε: A Α 6 A M A και A Α A M A Άρα το συμμετρικό του Α ως προς την (ε) είναι το Α (, ) ΘΕΜΑ B_7 Δίνονται τα σημεία Α(, ), Β(, 5) και Γ(, ). α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο. β) Να βρείτε το συμμετρικό Δ του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ. γ) Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. α) Έχουμε AΒ (,) και ΒΓ (, 9) det. Παρατηρούμε ότι: ( AΒ,ΒΓ) ( 9) ( ) (Μονάδες 8) (Μονάδες ) (Μονάδες 7)

23 Οπότε τα διανύσματα AΒ και ΒΓ είναι μη συγγραμμικά, δηλαδή τα Α, Β, Γ είναι μη συνευθειακά, άρα σχηματίζουν κορυφές τριγώνου. β) Το σημείο Μ είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ. Έτσι έχουμε: M και M Άρα έχουμε το μέσο M, της ΑΓ. Το σημείο Μ θα είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΔ. Έτσι έχουμε: B Δ M Δ και Β Δ M Δ 6 Οπότε το συμμετρικό του σημείου Β ως προς το Μ είναι το Δ(, 6) γ) Παρατηρούμε ότι το σημείο Μ διχοτομεί τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ και ΒΔ, οπότε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. ΘΕΜΑ B5_858 Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε : χ ψ 8, ε :χ ψ και το σημείο Α της ε που έχει τετμημένη το. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ε. (Μονάδες ) γ) Αν Β είναι το σημείο τομής των ευθειών ε και ε, τότε να βρείτε τις συντεταγμένες του Β. (Μονάδες ) α) Για χ στην (ε ) ψ 8 ψ, άρα Α(, ) β) Είναι λε, άρα λ ε Άρα: ψ ( χ ) ψχ 6, η εξίσωση της (ε) 7 ψχ 6 χ γ) Λύνουμε το (Σ) των 5 χ ψ 6 ψ Άρα Β, 5 5 Θυμίζουμε: ε //ε λ λ ε ε λ. λ

24 ΘΕΜΑ B6_8587 Δίνονται οι ευθείες ε : χ 8ψ6 και ε :χ ψ5 οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ. Αν οι ευθείες ε και ε τέμνουν τον άξονα ψ ψ στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε: α) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Μ, A και B (Μονάδες ) β) αν Κ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος MK Απάντηση α) Είναι Μ(8, ), Α(, ), Β(, 5) β) Είναι K,, 5 MK 8,. Οπότε λ MK 5 6 (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ B7_8589 Δίνονται οι ευθείες ε : 8χ ψ8 και ε : χ ψ οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ και, στη συνέχεια, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Μ και είναι κάθετη στον άξονα χ χ. (Μονάδες ) β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από το Μ και έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ έχουν εξίσωση την: λχ ψ λ, όπου λ R. (Μονάδες 5) Απάντηση α) Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ε και ε και είναι Μ(, ). Η ευθεία είναι η χ. β) Είναι ψ λ( χ ) λχ ψλ ΘΕΜΑ B8_859 Δίνονται οι ευθείες ε : χ ψ 5 και ε : χ ψ 5 α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε και ε είναι κάθετες μεταξύ τους. (Μονάδες 9) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α και την αρχή Ο των αξόνων. (Μονάδες 7) Απάντηση α) λε, λ ε. Άρα λε λε. Για να βρούμε το σημείο τομής δύο ευθειών β) Λύνουμε το (Σ) των εξισώσεων των ε και ε και βρίσκουμε Α(, ). λύνουμε το σύστημα των γ) Αφού διέρχεται από το Ο(, ) είναι της μορφής ψλχ, εξισώσεών τους. όπου λ άρα είναι ψχ

25 ΘΕΜΑ B9_8595 Δίνονται οι ευθείες ε : χ ψ και ε : χ ψ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε (Μονάδες 8) β) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο Β και η ευθεία ε τέμνει τον άξονα χ χ στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ. (Μονάδες 8) ii) να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ έχει εξίσωση την χ ψ (Μονάδες 9) Απάντηση α) Είναι Α(, ) β) i) B(, ) και Γ(, ) ii) Είναι λ ΒΓ, Ψ ( χ )... χ ψ. ΘΕΜΑ B_86 Θεωρούμε την ευθεία ε που τέμνει τους άξονες χ χ και ψ ψ στα σημεία Α(,) και Β(,6) αντίστοιχα. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε (Μονάδες 8) β) Αν ε είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ε, τότε να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας ε (Μονάδες 9) ii) τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ε και ε (Μονάδες 8) Απάντηση 6 α) Είναι λ AB, και η εξίσωση είναι ψχ6 β) i) Είναι της μορφής ψλχ με λ. Άρα είναι ε :ψ ii) Λύνουμε το (Σ) των εξισώσεων των ε και ε και είναι το σημείο χ 6 Κ,. 5 5 ΘΕΜΑ B_86 Έστω Μ(,5) το μέσο ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με Α(, ). α) Να βρείτε: i) τις συντεταγμένες του σημείου Β. (Μονάδες 6) ii) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Κ του άξονα χ χ έτσι, ώστε να ισχύει (ΚΑ) (ΚΒ). (Μονάδες ) 5

26 χ Α χβ χβ α) i) χμ χβ 5 ψα ψβ ψβ ψμ 5ψΒ 9 Άρα Β(5, 9) ii) λ και είναι ψχ β) α τρόπος: Έστω Κ(χ, ). Πρέπει ( ΚΑ ) ( ΚΒ)... χ. β τρόπος: Το Κ είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του ΑΒ με τον χ χ. ΘΕΜΑ B_86 Δίνεται η ευθεία (ε): και το σημείο Α(,). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην (ε). (Μονάδες ) β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία (ε). (Μονάδες 5) α) Είναι λ ε, άρα λ καθ. Άρα ψ(χ) ψχ6 β) Η προβολή του Α πάνω στην (ε) είναι το κοινό σημείο της (ε) με την κάθετο από το Α στην (ε). Άρα λύνουμε το σύστημα 7 ψ χ χ... ψ χ 6 5 ψ Άρα η προβολή είναι το σημείο 7 5 Ρ,. ΘΕΜΑ B_6 Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μέσο Μ και Α(, -), Μ(-, 5). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β. (Μονάδες ) β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου ε του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, καθώς και τα κοινά σημεία αυτής με τους άξονες και. (Moνάδες 5) α) Το Μ είναι μέσον του τμήματος ΑΒ οπότε θα έχουμε Β(5, ). ( ) 7 β) Έχουμε: λ AB, 5 6 Είναι εμ ΑΒ λε λ λ μ ΑΒ ε μ 7 6

27 Γνωρίζω σημείο Μ και συντελεστή διεύθυνσης όποτε η εξίσωση της μεσοκαθέτου είναι: ( ε μ ): 5 ( ( )) 7 7 Σημεία τομής της (ε μ ) με τους άξονες. Για το Γ((ε μ ) με άξονα ) θέτω στην εξίσωση της (ε μ ) όπου και λύνω ως προς. Επομένως Άρα Γ, Για το Δ((ε μ ) με άξονα ) θέτω την εξίσωση της (ε μ ) όπου και λύνω ως προς δηλαδή, 7 7 Άρα Δ, 7 ΘΕΜΑ B_65 Δίνεται η ευθεία (ε): και το σημείο Α(5, ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, η οποία διέρχεται από το Α και είναι κάθετη προς την ευθεία ε. (Μονάδες 9) β)να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, η οποία διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς τον άξονα. (Moνάδες 7) γ) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών η και η και την απόστασή του από την αρχή των αξόνων. (Μονάδες 9) α) Έχουμε (ε): με λ ε. Είναι: η ε λ λ λ η ε η Γνωρίζω σημείο Α και συντελεστή διεύθυνσης οπότε η εξίσωση της ευθείας η είναι: : ( 5) ( ) 5 η Άρα (η ): β) Επειδή η // είναι λη, οπότε η εξίσωση της ευθείας η είναι: : ( 5 ( ) ) η Άρα (η ): γ) Το κοινό σημείο Μ θα το βρούμε από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των δύο ευθειών η και η, δηλ.: M : 5 Επομένως: Μ(5, ). Η απόσταση του Μ από την αρχή των αξόνων είναι: (OM) ( 5) ( ) 5 6 7

28 ΘΕΜΑ B5_56 Θεωρούμε τα σημεία Α(α, ) και Β(, β), όπου α β> και α β. β α) Να αποδείξετε ότι AB : β α (Μονάδες 7) β) Αν ε είναι η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Μ(α, β) και είναι κάθετη προς την ευθεία ΑΒ, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση ε (Μονάδες 9) ii) αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα στο σημείο Κ και τον άξονα στο σημείο Λ, να (α β ) αποδείξετε ότι (ΟΚΛ), όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων αβ β β α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ είναι: λ AB : α α β β Επομένως η ευθεία έχει εξίσωση ε AB : ( α) β α α α β) i) ε ΑΒλε λαβ λε β Άρα η ευθεία ε έχει εξίσωση ε: β α ( β α β α ε: α ii) Έχουμε: β β... : Όμοια για τις συντεταγμένες του σημείου Λ α β α ε: β β : β... α β α) β β α α β Άρα Άρα α β α Κ β Λ, β α α β, (Μονάδες 9) α β Τέλος, (ΟΚ) και α (ΟΛ) β α β Άρα α β β α (α β ) (ΟΚΛ) (ΟΚ) (ΟΛ)... (α β> ) α β αβ 8

29 ΘΕΜΑ B6_57 Θεωρούμε τα σημεία Α(6, μ) και Β(μ, μ) μ R. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε μ R, τα σημεία είναι διαφορετικά μεταξύ τους και να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα Α και Β. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε για ποια τιμή του μ, το σημείο Γ(,) περιέχεται στην ευθεία ΑΒ. (Μονάδες ) α) Έστω ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται, τότε: 6 μ μ μ μ μ,αδύνατο Άρα τα σημεία Α και Β είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Η ευθεία (ε) που διέρχεται από τα ΑΒ θα έχει τη μορφή (ε ): λ ΑΒ ( ) μ μ Αν μ, τότε έχουμε λ ΑΒ και μ 6 μ μ μ 6 μ Α(6, μ) (ε ): : μ ( 6) μ Αν μ, τότε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(6,) και Β(6, 5) θα έχει τη μορφή (ε ):6 β) Aν μ, τότε το Γ(, ) ανήκει στην ευθεία (ε ) αν και μόνο αν 6 μ... μ 6μ 6 μ m 6± Δ, μ, ± Επομένως για μ και το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία ΑΒ. Αν μ, τότε το σημείο Γ δεν ανήκει στην ευθεία (ε ):6 μ ΘΕΜΑ B7_5 Έστω Α(, ), Β(, ) και Γ(, ) τρία σημεία του επιπέδου. α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(, ) ώστε: AM 5BM ΓM είναι η ευθεία ε: 5 - (Moνάδες ) β) Να βρείτε ευθεία κάθετη στην (ε) που διέρχεται από το μέσο Κ του τμήματος ΑΓ. (Μονάδες ) ( )... ( ( ) ( ) )... ( ( ( ) ) ( ) )... 6 α) Έχουμε: AM ( ( ) ) ( ) BM ΓM 9

30 Οπότε: AM 5ΒM ΓM ( ) 5( ) ( 6 ) β) Έχουμε: ( ) K και K Οπότε το μέσο του ΑΓ είναι το Κ(,). Έστω (δ): δ): λ ( ) η ευθεία που είναι κάθετη στην (ε) και διέρχεται από το σημείο Κ. Επειδή ( δ ε δ ισχύει Επίσης Κ(, ) (δ): ( ) 5 5 λδ λε λδ λδ : () ΘΕΜΑ B8_55 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ οι πλευρές του ΑΒ και ΑΔ βρίσκονται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις ε : και ε : 6 αντίστοιχα. Αν το κέντρο του είναι το σημείο Κ(, ), τότε: α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α και να αποδείξετε ότι Γ(, 6). (Μονάδες ) β) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΓΔ και τις συντεταγμένες της κορυφής Δ. (Μονάδες ) α) Το σημείο Α είναι το σημείο τομής των πλευρών ΑΒ και ΑΔ. Για να το βρούμε λύνουμε το σύστημα. Άρα Α(-, ) 6 Θα βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι Κ(, ), άρα A Γ A Γ K Γ και K Γ 6 άρα Γ(, 6) β) Έχουμε: λ λ λ Άρα η εξίσωση της ευθείας ΓΔ είναι: ( 6) ( ) 6 ΓΔ ΑΒ ΓΔ

31 ΘΕΜΑ B9_5 Θεωρούμε την εξίσωση (λ) (8λ)9λ7, λ R () α) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ R παριστάνει ευθεία. (Μονάδες ) β) Αν (ε ), (ε ) είναι οι ευθείες που προκύπτουν από την () για λ, λ αντίστοιχα, να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν. (Μονάδες 5) α) Είναι: Αλ, Β8 λ και Γ9λ7 8 A λ λ και Β 8λ λ Επειδή δεν υπάρχουν τιμές του λ R ώστε να μηδενίζονται ταυτόχρονα οι συντελεστές Α και Β, η εξίσωση () είναι εξίσωση ευθείας για κάθε τιμή του λ R. β) Για λ έχουμε την ευθεία ε : 78 και για λ έχουμε την ευθεία ε : Θεωρούμε τα διανύσματα: δ (7, )//(ε ) και δ (, )//(ε ) Τότε η οξεία γωνία θ των ευθειών ε, ε είναι ίση ή παραπληρωματική της γωνίας των διανυσμάτων δ, δ. Οπότε: δ δ 7( ) ( ) ( ) 8 5 δ δ 7 ( ) ( ) ( ) συν δ,δ π συν δ,δ συν δ,δ συν συνδ Άρα π δ,δ 5 π (,δ ) συν π Οπότε η οξεία γωνία των ευθειών είναι η παραπληρωματική της δηλαδή θ ε,ε 5

32 .: ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΑ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ - ΕΜΒΑΔΟ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΜΑ B_6 Δίνονται τα σημεία Α(, ) και Β(, ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα σημεία Α και B. (Μονάδες ) β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΛ, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων και Κ, Λ είναι τα σημεία τομής της (ε) με τους άξονες χ χ και αντίστοιχα. (Μονάδες ) α) Βρίσκουμε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα Α, Β. λ ε λ ΑΒ 5 Έχουμε λοιπόν συντελεστή διεύθυνσης λ ε 5 και γνωστό σημείο Α(, ), οπότε η εξίσωση της (ε) είναι: (ε): 5 7 Άρα: (ε): 5 7 β) Σημεία τομής της (ε) με τους άξονες. Για το Κ ((ε) με άξονα χ χ) θέτω στην εξίσωση της (ε) όπου 7 και λύνω ως προς. Άρα K, 5 Για το Λ ((ε) με άξονα ) θέτω στην εξίσωση της (ε) όπου και λύνω ως προς. Άρα Λ(, 7) Έχουμε ( OKΛ) ( ΟΚ) (ΟΛ) 7 τ.μ. ΘΕΜΑ B_ Δίνονται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(, ), Β(, ), Γ(, ). α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ. (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους ΓΔ καθώς και την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται αυτό. (Μονάδες 6)

33 α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της πλευράς ΑΒ είναι λ ΑΒ 6 Άρα η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι, ( ) β) Αρχικά θα βρούμε την απόσταση του ύψους ΓΔ. 6 9 Έχουμε (ΓΔ) d(γ, ΑΒ) 6 Εύρεση εξίσωση ευθείας του ύψους ΓΔ. 7 7 Επειδή ΓΔ ΑΒ, τότε: λ λ λ 6 ΓΔ ΑΒ Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης του ύψους ΓΔ είναι 6. Άρα η εξίσωση της ευθείας ΓΔ είναι, 6( ) 6 ΓΔ ΘΕΜΑ B_5 Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οχ θεωρούμε την ευθεία ε: και τα σημεία Α(, ) και Β(6, ). α) Να προσδιορίσετε σημείο Γ της ευθείας ε ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την ΒΓ. (Μονάδες 5) β) Έστω Γ(, ). Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες ) α) Έστω Γ( Γ, Γ ). Αφού το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία ε θα επαληθεύει την εξίσωση της, επομένως Γ Γ () και άρα Γ( Γ, Γ ). Για να είναι το τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο με υποτείνουσα την ΒΓ θα πρέπει να ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή: ΒΓ ΑΒ ΑΓ Άρα Γ Γ ( 6 ) ( ) ( 6) ( ) ( ) ( ) Γ Γ 5Γ Γ 8 () Γ Eπομένως το σημείο Γ έχει συντεταγμένες Γ, β) Έχουμε AB (6, ) (, ) και AΓ (, ) (,). Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ισούται με: 5 ( AB,AΓ) τ.μ. ( ΑΒΓ) det Γ Γ

34 ΘΕΜΑ B_5 Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οχ θεωρούμε την ευθεία ε: κ όπου κ θετικός ακέραιος μεγαλύτερος της μονάδας. α) Να βρείτε με τη βοήθεια του κ τα σημεία τομής Α, Β της ευθείας με τους άξονες χ χ, και το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. (Μονάδες ) β) Αν ισχύει (ΟΑΒ)<, να αποδείξετε ότι κ (Μονάδες ) α) Η ευθεία ε: κ τέμνει τον άξονα χ χ για κ κ, άρα Α( κ, ) Η ευθεία ε: κ τέμνει τον άξονα για κ κ, άρα B(, κ ) Eπομένως το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι: (ΟΑΒ) (ΟΑ)(ΟΒ) (κ ) κκ (κ ) β) Έχουμε: (ΟΑΒ) < < (κ ) < κ < < κ< < κ< Όμως ο κ είναι θετικός ακέραιος μεγαλύτερος της μονάδας, άρα κ. ΘΕΜΑ B_59 Θεωρούμε την ευθεία ε: και τo σημείo Α(, ). α) Να αποδείξετε ότι το Α δεν ανήκει στην (ε) και να βρείτε την απόστασή του από αυτή. (Μονάδες ) β) Να βρείτε όλες τις ευθείες που είναι παράλληλες στην (ε) και απέχουν από το Α απόσταση ίση με μονάδες. (Μονάδες 5) α) Θέτω στην εξίσωση της ευθείας (ε) όπου και ( ) 6 8 oπότε, Α (ε) αφού οι συντεταγμένες του δεν επαληθεύουν τον τύπο της (ε). β) Επειδή d(a,ε) ( ) λ ε όλες οι ευθείες (η) που είναι παράλληλες προς την (ε) έχουν: και θα είναι της μορφής: ( η): βή ( η): β () 8 5 λη λε

35 Δίνεται ότι d(a, η), οπότε: ( ) β d(a,η) 6 β 5 Άρα οι ζητούμενες ευθείες είναι: (η ): 5 ή (η ): 5 β 5 β 5β± 5 β 5 ΘΕΜΑ B5_5 Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων στο οποίο απεικονίζεται ο χάρτης του νομού Αρκαδίας. Τα χωριά Δόξα (Δ), Λευκοχώρι (Λ) και Κακουρέϊκα (Κ) έχουν αντίστοιχες συντεταγμένες Δ(, ), Λ(, ) και Κ(, ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα χωριά Δόξα (Δ) και Λευκοχώρι (Λ). (Μονάδες 8) β) Να βρείτε την απόσταση του Κ από την ευθεία (ε). (Μονάδες 8) γ) Να εξετάσετε, με βάση τα δεδομένα του προβλήματος, ποιο από τα χωριά Δόξα και Λευκοχώρι απέχει τη μικρότερη απόσταση από τα Κακουρέικα. (Μονάδες 9) α) Έχουμε λ ΔΛ ( ) Οπότε η εξίσωση (ε) που διέρχεται από τα χωριά Δόξα και Λευκοχώρι είναι: ( ε): ( ( )) 8 6 ( ) ( ) β) Έχουμε: d(k,ε) 9 5 γ) Έχουμε: (ΔΚ) (ΛΚ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Άρα το Λευκοχώρι είναι πιο κοντά στα Κακουρέικα από το χωριό Δόξα. 5

36 6 ΘΕΜΑ B6_57 Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Ο θεωρούμε τα σημεία Α(λ, λ) και Β(μ, μ) λ, μ R. α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β κινούνται στις ευθείες ε : και ε : αντίστοιχα. (Μονάδες ) β) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών ε, ε. (Μονάδες ) α) Για το σημείο Α έχουμε: λ λ λ λ A A A A Άρα A A A A Δηλαδή το σημείο Α βρίσκεται στην ευθεία ε : Για το σημείο Β έχουμε: Β A Β B μ μ μ μ Άρα Β Β Β Β Δηλαδή, το σημείο Β βρίσκεται στην ευθεία ε : β) α τρόπος: Αφού τα σημεία Α(λ, λ ) για κάθε λ R κινούνται στην ευθεία ε, θεωρούμε π.χ. για λ το Α(, ). Επίσης τα σημεία Β(μ, μ) για κάθε μ R κινούνται στην ευθεία ε, θεωρούμε π.χ. για μ το Β(, ). Το μέσο Μ του ΑΒ είναι το σημείο Μ(, ) και ανήκει στη μεσοπαράλληλη (ε) των (ε ) και (ε ). Είναι: λ ε λε λε Άρα η (ε) έχει εξίσωση: ψ() ψ. β τρόπος: Το σημείο M(, ψ) ανήκει στη μεσοπαράλληλη των (ε ) και (ε ) αν και μόνο αν ( ) ( ) ψ ψ αδύνατη ψ ψ ή ψ ψ ψ ψ ) d M,(ε ) M,(ε d

37 ΘΕΜΑ B7_58 Δίνονται τα σημεία Α(, ), Β(, 5) και Γ(t, t ), t R. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ. (Μονάδες 7) β) Να δείξετε ότι η απόσταση του σημείου Γ από την ευθεία ΑΒ καθώς και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι ανεξάρτητα του t. (Μονάδες 8) α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ θα είναι AB A 5 λ AB AB A Άρα η εξίσωση της ευθείας ΑΒ θα είναι: ( ) ή στη γενική της μορφή β) Η απόσταση του σημείου Γ(t, t) από την ευθεία ΑΒ δίνεται από τον τύπο d(γ, ΑΒ) Γ Γ ( ) και είναι ανεξάρτητη του t R ( t) ( t) tt Είναι AB (,5) (,) και ΑΓ (( t), ( t) ) ( t,t ) Συνεπώς, det ( AB,AΓ) t( t ). tt t t Και άρα το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ θα είναι: ( ΑΒΓ) det AB,AΓ τ.μ ( ). 7

38 KEΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΘΕΜΑ Δ ΘΕΜΑ Δ_86 Δίνονται οι ευθείες ε :χ ψλ 6 και ε :χ ψλ, όπου λ R. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ οι ευθείες ε και ε τέμνονται, και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους M (Μονάδες 7) β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ το σημείο M ανήκει στην ευθεία ε : 8χ ψ 6 (Μονάδες 7) γ) Αν η ευθεία ε τέμνει τους άξονες χ χ και ψ ψ στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και είναι παράλληλη προς την ευθεία AB (Μονάδες 5) ii) αν Κ είναι τυχαίο σημείο της ευθείας ζ, να αποδείξετε ότι (ΚΑΒ) 9 (Μονάδες 6) ψ λ6 α) Αρκεί να δείξουμε ότι το ( Σ) έχει μοναδική λύση για κάθε λ R. ψ λ Πράγματι D ( ) λ6 Είναι D X λ6 λ λ λ λ6 D ψ λ 8λ 696λ 68 λ D D ψ Άρα: M λ, ψm 8λ D D Οπότε Μ(λ, 8λ), λ R. β) Αρκεί να δείξουμε ότι Μ, ψ Μ επαληθεύουν την εξίσωση της (ε). Πράγματι: 8 (λ ) 8λ 6 γ) i) Για ψ Α, και για Β(, 6) λ ζ λ ΑΒ λ ε 8. Άρα η (ζ) έχει εξίσωση ψ8. ii) Αφού Κ (, ψ ) τυχαίο σημείο της (ζ) είναι ψ 8, δηλ. Κ (, -8 ), KA K Β (,6 8 ), ψ 8

39 8 6 8 ( 6 8 ) Άρα KAB τ.μ. 9 ΘΕΜΑ Δ_86 Δίνεται η ευθεία ε : χ ψ 7 και τα σημεία Α(,) και B(,6) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου M της ευθείας ε το οποίο ισαπέχει από τα σημεία A και B (Μονάδες 7) β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ (Μονάδες 8) γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ (χ, ψ) για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) (ΜΑΒ) ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: χ ψ 5 και χ ψ 5 (Μονάδες ) α) Το Μ είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του ΑΒ με την (ε). λ ΑΒ λ μεσ Αν Γ μέσο ΑΒ, τότε Γ(,5) οπότε η μεσοκάθετος είναι: ψ 5 ψ ( ) 5 ψ7 Λύνουμε (Σ) ψ 5 ψ Άρα Μ(, ) 5 5 β) MA ( 5,5), MB (,7) (ΜΑΒ) 5τ.μ. γ) KA (,ψ), ΚB (,6ψ) ψ (ΚΑΒ) ψ ψ 6ψ Ισχύει (ΚΑΒ)(ΜΑΒ) ψ 5 ψ 5 ή ψ 5 ψ 5 ή ψ 5 Άρα τα σημεία Κ(, ψ) ανήκουν στις παραπάνω ευθείες. 9

40 ΘΕΜΑ Δ_86 Δίνεται η εξίσωση: χ χψψ 6χ 6ψ 8 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά δύο ευθείες γραμμές ε και ε οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους. (Μονάδες 7) β) Αν ε : χ ψ και ε : χ ψ, να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ε των ε και ε. (Μονάδες 8) γ) Αν Α είναι σημείο της ευθείας ε με τεταγμένη το και Β σημείο της ευθείας ε με τετμημένη το, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων A και Β (Μονάδες ) ii) να βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων Γ και Δ της ευθείας ε έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο. (Μονάδες 8) α) ( ψ6) ψ 6ψ 8 Δ,, τριώνυμο του ( ψ6) ψ ( 6ψ 8) ψ ψ 6ψ ψ ψ 6± ψ, ψ Έτσι γράφεται: ( ψ)( ψ) ψ ή ψ β) Είναι ε //ε. Έστω τυχαίο σημείο Μ της (ε ), π.χ. για, ψ Μ (,). Έστω τυχαίο σημείο Μ της (ε ), π.χ. για, ψ Μ (,). Το μέσο Μ του Μ Μ είναι σημείο της μεσοπαραλλήλου και είναι Μ(, ) λ μεσ λ ε Άρα η (ε) έχει εξίσωση: ψ ( ) ψ γ)i) Για ψ από (ε ) είναι, άρα Α(,) Για από (ε ) είναι ψ, άρα Β(,) ii) Αφού Γ, Δ ανήκουν στην (ε) είναι Γ (, ) και Δ (, ). Για να είναι ΑΓΒΔ τετράγωνο πρέπει οι διαγώνιες του να διχοτομούνται, να είναι ίσες και κάθετες. Κάθετες είναι αφού ΑΒ κάθετη στην ΓΔ (λ ΑΒ ) Αν Ρ το μέσο του ΑΒ, τότε 5 P,.

41 5 Άρα πρέπει (ΓΔ) (ΑΒ) ( ). Άρα Γ(,) και Δ(, ). ( ) ( ) ΘΕΜΑ Δ_86 Δίνεται η εξίσωση λλλ, με λ διαφορετικό του. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο, δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση ίση με. (Μονάδες ) β) Αν το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες του ερωτήματος (α) είναι ίσο με, να βρείτε την τιμή του λ. (Μονάδες ) α) ( ψλ) ψ λψ λ, λ ( ψ λ) ( ψ λψ λ ) ψ 9λ λψψ λψ8λ λ Δ ψ λ ± λ ψ λ, ψ λ, λ ψλ (ε) Γίνεται: ( ψλ)( ψλ) που είναι ευθείες παράλληλες ψλ (ε) με κλίση ίση με. β) Η πλευρά του τετραγώνου ισούται με την απόσταση των παραλλήλων ευθειών. Αν Α τυχαίο σημείο της (ε ), π.χ. για ψ, λ, είναι Α(λ, ) Οπότε d(ε, ε ) ( A,(ε )) λ λ d. λ λ Είναι E λ λ±. ΘΕΜΑ Δ5_86 Δίνονται οι ευθείες ε : χ ψ και ε : χ ψ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε (Μονάδες 5) β) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο Β και η ευθεία ε τέμνει τον άξονα χ χ στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ (Μονάδες 5)

42 ii) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 5) γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ (χ, ψ) για τα οποία ισχύει (ΚΒΓ ) (ΑΒΓ ) ανήκουν σε δύο παράλληλες ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις. (Μονάδες ) α) Λύνουμε το (Σ) των εξισώσεων των (ε ) και (ε ) είναι Α(,). β) i) Για στην (ε ), ψ- άρα Β(, -) Για ψ στην (ε ), άρα Γ(, ) λ ΒΓ άρα η ΒΓ έχει εξίσωση: ψ ( ) ψ ii) AB (, 6) AΓ ( 6, ) (ΑΒΓ) 5τμ γ) Όπως Θέμα Δ ερώτημα (γ) ΘΕΜΑ Δ6_865 Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που είναι παράλληλο προς την ευθεία ε : ψ χ, με Α(χ, ψ ), Β(χ, ψ ) και χ < χ. Αν το σημείο Μ(,5) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και το γινόμενο των τετμημένων των σημείων Α και Β ισούται με 5, τότε: α) να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β. (Μονάδες ) β) να αποδείξετε ότι (ΟΑΒ), όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 5) γ) να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ(χ, ψ) για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) (ΟΑΒ) ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: χ ψ και χ ψ 6 (Μονάδες 7) ψ ψ α) Αφού Μ(, 5) μέσο του ΑΒ έχουμε, 5 6 Άρα 5 5 Άρα τα, είναι ρίζες της 6 5 και αφού < είναι και 5. ψ ψ Είναι λ ΑΒ (αφού ΑΒ//ε) ψ ψ ψ ψ Άρα ψ ψ ψ ψ 5 ψ ψ ψ ψ ψ ψ 7 Άρα Α(, ) και Β(5, 7)

43 β) Ο A (,) ΟΒ ( 5,7) 5 (ΟΑΒ) 8 τμ γ) Όπως θέμα Δ ερώτημα (γ) ΘΕΜΑ Δ7_86 Δίνονται οι ευθείες ε : (λ)5, ε : (λ )5 με λ R και το σημείο Α(,). α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε τιμή του λ R οι ευθείες τέμνονται. (Μονάδες 7) β) Αν οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Α, να βρείτε την τιμή του λ R. (Μονάδες ) γ) Έστω λ και Β, Γ τα σημεία που οι ε και ε τέμνουν τον άξονα. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 8) (λ ) ψ 5 α) (λ ) ψ 5 λ Είναι D... λ λ< για κάθε λ R αφού είναι τριώνυμο με Δ< λ Άρα το (Σ) έχει μοναδική λύση, δηλαδή οι ευθείες τέμνονται για κάθε λ R. β) α τρόπος Αφού τέμνονται στο Α(, ) οι συντεταγμένες του Α θα επαληθεύουν και τις εξισώσεις. Άρα ( λ ) 5 λ8 και και λ 5 λ 8 ( λ ) β τρόπος 5 λ 5 Είναι D, Dψ... 5λ λ 5 λ 5 Αφού το Α(, ) είναι το σημείο τομής έχουμε: D λ D λ λ και και Dψ 5λ λ D 6λ λ λ λ8 και 8λ λ

44 γ) Για λ ε : ψ5 (για ) ψ5 Άρα Β(, 5) AB (,6) AΓ (, ) ε : 7 - ψ5 (για ) ψ5 Άρα Γ(, 5) 6 Άρα (ΑΒΓ) τμ ΘΕΜΑ Δ8_86 Δίνονται οι ευθείες ε :κχ ( κ)ψ κ και ζ : ( κ) χ (κ )ψ 6κ, όπου κ R α) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του κ, ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες. β) Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες (ε) και (ζ ). α) Έστω // ε δ είναι ( κ, κ) δ και δ //ζ είναι ( κ, κ) δ Για να είναι ε//ζ πρέπει και αρκεί δ // δ κ κ κ κ Άρα δεν υπάρχει τιμή του κ R ώστε ε//ζ β) συν δ,δ δ δ δ δ ( κ)( κ) κ( κ) 5κ κ () ( κ)( κ) ( κ)( κ) κ κ κ κ 6κ 5κ κ δ δ δ δ ( κ) ( κ) κ κ κ 5κ κ, όμως Δ6< (Μονάδες ) (Μονάδες 5) ( κ) ( κ) κ κ 9κ 6κ κ κ 5κ κ Από () Οπότε συν δ,δ δ,δ π, άρα η αμβλεία γωνία των ε και ζ είναι π.

45 ΘΕΜΑ Δ9_7 Δίνονται τα σημεία Α(λ, λ), Β(, ) και Γ(, 6), λ R. α) Να βρείτε τη μεσοκάθετο του τμήματος ΒΓ. β) Αν το σημείο Α ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ, να βρείτε την τιμή του λ. γ) Για λ, να βρείτε σημείο Δ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ να είναι ρόμβος. α) Το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ είναι Μ(, ). Είναι λ ΒΓ λ μ λ ΒΓ λ μεσ. (Μονάδες 7) (Μονάδες 8) (Μονάδες ) Η εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ είναι : ( ). β) Επειδή το Α ισαπέχει από τα σημεία Β, Γ σημαίνει ότι ανήκει στη μεσοκάθετο του ΒΓ, άρα ανήκει στην ευθεία, oπότε οι συντεταγμένες του θα την επαληθεύουν, δηλαδή λ (λ ) λ, άρα Α(5, ). γ) Έστω Δ( Δ, Δ ) οι συντεταγμένες του σημείου Δ, τότε το Μ είναι και μέσο του ΑΔ, οπότε M M A A Δ και Δ Δ Δ Άρα Δ(, 5) 5 5

46 ΘΕΜΑ Δ_56 Θεωρούμε τα σημεία Α(t6, ), Β(, t ), t R α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ. (Μονάδες 5) β) Να δείξετε ότι το Μ κινείται σε ευθεία την οποία να προσδιορίσετε. (Μονάδες ) γ) Αν (ΑΒ)d, να αποδείξετε ότι d και κατόπιν να βρείτε τα Α, Β ώστε η απόσταση (ΑΒ) να είναι ελάχιστη. (Μονάδες ) α) Αφού το Μ είναι μέσο του ΑΒ έχουμε Έτσι: Μ(t, t ) με t R β) Έστω Μ(, ), oπότε: M M A A B B M M t 6 t t t t t t t Έτσι: 5 Άρα το Μ κινείται στην ευθεία (ε): 5 M M t t γ) (AB) ( t 6) ( t)... t t Αφού (AB) dd t t Έτσι d t t H d είναι συνάρτηση ως προς t Άρα έχουμε d (t) t με t R H συνάρτηση d (t) έχει την ελάχιστη τιμή της για β t α Η ελάχιστη τιμή της d (t) είναι d () Άρα d με d για t, oπότε Α(, ), Β(, ). 6

47 ΘΕΜΑ Δ_56 Θεωρούμε τις εξισώσεις ε λ : (λ) (λ)λ, λ R α) Να αποδείξετε ότι καθεμιά από τις (ε λ ) παριστάνει ευθεία και κατόπιν ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο. (Μονάδες ) β) Έστω λ και λ. Αν η (ε λ ) τέμνει τους άξονες και στα σημεία Α(α, ) και Β(, β) αντίστοιχα, τότε: i) Nα εκφράσετε τα α, β συναρτήσει του λ. (Μονάδες 5) ii) Να βρείτε την ευθεία της παραπάνω μορφής ώστε να ισχύει α β (Μονάδες ) α) Έχουμε, Α λ λ και Β λ λ Άρα δεν υπάρχει καμία πραγματική τιμή του λ που να μηδενίζει ταυτόχρονα τα Α και Β, άρα η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθείες (οικογένεια ευθειών) για τις διάφορες τιμές του λ. Για λ βρίσκουμε την ευθεία: Για λ βρίσκουμε την ευθεία: Oι ευθείες αυτές τέμνονται στο σημείο Μ(, ). Θα αποδείξουμε ότι το σημείο αυτό ανήκει σε όλες τις ευθείες (ε λ ), άρα είναι το σταθερό σημείο που διέρχονται οι ευθείες. Για και γίνεται η αρχική εξίσωση: (λ ) () ( λ ) λ λ λ λ Άρα την επαληθεύει, οπότε το σημείο Μ(, ) είναι το σταθερό σημείο που διέρχονται όλες οι ευθείες (δέσμη ευθειών). β) i) Η εξίσωση (λ ) (λ ) λ γίνεται για, λ λ (λ) (λ )λ Άρα β λ λ λ λ (λ) (λ )λ Άρα α λ λ ( λ) ii) α β λ λ ( λ) λ λ ( λ) ( λ) ( λ) ( λ) ( λ)... λ Για η λ αρχική εξίσωση γίνεται:

48 ΘΕΜΑ Δ_ Θεωρούμε σημεία Μ(α, α), α R α) Να δείξετε ότι κινούνται στην ευθεία (Μονάδες 5) β) Nα βρείτε το συμμετρικό Μ (α, β ) του Μ ως προς την ευθεία (Μονάδες ) γ) Να δείξετε ότι το Μ κινείται, για τις διάφορες τιμές του α, στην ευθεία 7 7 (Μονάδες 5) δ) Να εξετάσετε αν οι τρεις ευθείες συντρέχουν και κατόπιν να αιτιολογήσετε το αποτέλεσμα, αφού πρώτα σχεδιάσετε τις τρεις ευθείες. (Μονάδες 5) α) Έστω M(, ) οπότε έχουμε: α α Άρα α α Οπότε τα σημεία Μ(α, α) κινούνται στην ευθεία (ε): β) Από το Μ(α, α) φέρνουμε ευθεία (κ) κάθετη στην ευθεία (ζ): () Βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας (κ) Είναι λ ζ και αφού (κ) (ζ) είναι λ η Οπότε: α(α) α α α () Βρίσκουμε το σημείο τομής της (κ) με τη (ζ) λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων τους των σχέσεων () και (), 6α ( α ) 6α 5 6α 5 6α Για η () γίνεται, 5 6α α 8 α 8 5α 5 α α α α α Άρα η (κ) και η (ζ) τέμνονται στο σημείο Κ, 5 5 Έτσι το Μ (α, β ) θα είναι το συμμετρικό του Μ ως προς το Κ, άρα το Κ είναι μέσο του ΜΜ, άρα Κ Κ Μ Μ Μ Μ 7α 8 δηλαδή Μ 5 6α α Μ 5 α α 5 α, 5 Μ α 8 5α 5Μ 6α 6 5α 5 5 Μ 7α 8 5 α 5 Μ Μ 7α 8 5 α 5 Μ Μ 8

49 7α γ) Έστω Μ (, ) άρα 5 5 7α 8 α... α 5 α 7 5 α Άρα δ) Βρίσκουμε το σημείο τομής των (ε) και (ζ). Λύνουμε το σύστημα: (η) Άρα η (ε) και η (ζ) τέμνονται στο σημείο Α(, ). Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του Α στην εξίσωση της ευθείας (η) έχουμε 7 () 7 Οπότε και η (η) διέρχεται από το Α. Οι ε και ζ τέμνονται στο σημείο Α, το Α έχει συμμετρικό ως προς τη ζ το Α, οπότε η συμμετρική ευθεία της ε ως προς τη ζ θα περνά κατ ανάγκη από το Α. Έτσι λοιπόν η (η) θα περνά κατ ανάγκη από το Α. Για αυτό το λόγο οι τρεις ευθείες συντρέχουν. ΘΕΜΑ Δ_56 Θεωρούμε το σημείο Μ(, ) και ευθεία που διέρχεται από το Μ και τέμνει τους αρνητικούς ημιάξονες στα σημεία Α, Β. α) Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής λ της ευθείας είναι αρνητικός. (Μονάδες ) β) Έστω Ε(λ) το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. i) Nα αποδείξετε ότι Ε(λ) για κάθε λ<. (Μονάδες ) ii) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που σχηματίζει με τους ημιάξονες τρίγωνο με ελάχιστο εμβαδόν. (Μονάδες 5) α) Έστω ότι η ευθεία (ε) που διέρχεται από το Μ(, ) τέμνει τον αρνητικό ημιάξονα των στο σημείο Α( A, ) με A < και τον αρνητικό ημιάξονα των στο σημείο Β(, B ) με B <. B A B Oπότε λ B A A B B Αφού B < και A < είναι > < λ< A A β) i) Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το Μ(, ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ (από το α) ερώτημα) είναι: (ε): λ() λ λ () 9

50 λ λ Για γίνεται λ λ λ λ λ Άρα A, λ Για, () έχουμε λ Άρα Β(, λ ) Έτσι : OAB Δ λ λ λ λ ( OA)( OB) λ λ... λ λ ( ) λ Άρα Ε(λ) με λ< λ Έχουμε ( λ ) ( λ ) λ< ( λ ) ( λ) λ λ 9λ λ Ε(λ) λ λ ( λ ) 9λ λ που ισχύει για κάθε λ<. ii) Στο προηγούμενο ερώτημα δείξαμε ότι Ε(λ) για κάθε λ< Για να δείξουμε ότι η ελάχιστη τιμή του εμβαδού είναι πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει λ< ώστε Ε(λ). Λύνουμε την εξίσωση Ε(λ) ( λ) λ 9λ Άρα mine(λ) για λ Τότε από τη σχέση () η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας είναι λ λ... λ λ 5

51 ΘΕΜΑ Δ_565 Δίνεται η εξίσωση ( ) α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους. (Μονάδες 8) Έστω ε : και ε : οι δύο ευθείες. β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου που σχηματίζεται από τους άξονες και τις ευθείες. (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή Ο και τέμνει τις ε και ε στα σημεία Α, Β ώστε (ΑΒ). α) Έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ή Άρα προκύπτουν οι ευθείες με εξισώσεις ε : και ε : που είναι παράλληλες μεταξύ τους γιατί έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης (λ λ ) β) Η ε τέμνει τους άξονες στα σημεία Γ(, ) και Δ(, ) ενώ η ε στα Α(, ) και Β(, ). Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ότι το ζητούμενο εμβαδό είναι το (ΑΒΓΔ) για το οποίο ισχύει: ( ΑΒΓΔ ) ( ΟΑΒ) ( ΟΓΔ) τ.μ. γ) Από το Ο(, ) διέρχεται η κατακόρυφη ευθεία με εξίσωση. Η ευθεία αυτή επαληθεύει την υπόθεση του ερωτήματος γιατί τέμνει τις ευθείες ε, ε στα σημεία Γ, Β και είναι (ΓΒ). Κάθε άλλη ευθεία ε που διέρχεται από το Ο(, ) έχει εξίσωση ε: λ, λ (γιατί για λ η ε θα είναι παράλληλη με τις άλλες δύο ευθείες) λ Για λ, η ε γράφεται ( λ ) και λ λ λ Άρα οι ευθείες ε, ε τέμνονται στο σημείο A,. λ λ Ομοίως βρίσκουμε ότι και οι ευθείες ε, ε τέμνονται στο σημείο Β λ, λ λ. Τότε ( λ ) ( λ ) ( λ ) λ λ ΑΒ). λ λ ( Άρα ε:. Eπομένως οι ζητούμενες ευθείες είναι οι ε: και ε : 5

52 ΘΕΜΑ Δ5_568 Σε καρτεσιανό σύστημα αξόνων Ο θεωρούμε τα σημεία Μ(, ), Α(, ) και Β(, ) ώστε να σχηματίζουν τρίγωνο με εμβαδόν (ΜΑΒ). α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι δύο ευθείες ε, ε παράλληλες μεταξύ τους. (Μονάδες 8) β) Να βρείτε την απόσταση των ε, ε. (Μονάδες 5) γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα Α, Β είναι η μεσοπαράλληλη των ε και ε. Πώς αιτιολογείται γεωμετρικά το συμπέρασμα αυτό; (Μονάδες ) α) Είναι AM (, ) και AB (, ) (, ), άρα det AM,AB ( ) ( ) ( ) 5 Και ( MAB ) det( AM,AB) 5, αλλά ( MAB ) 5... ή Άρα ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι οι ευθείες με εξισώσεις ε : και ε : που είναι παράλληλες αφού και οι δύο έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ β) Βρίσκω ένα τυχαίο σημείο πάνω στην ε : Για είναι: 8 Άρα το Γ, είναι σημείο της ε, τότε: ( ) 6 d(ε,ε) d(γ,ε) 5 γ) Έστω ε η ευθεία που διέρχεται από τα Α, Β τότε: λ ε ( ) δηλαδή είναι παράλληλη προς τις ε, ε αφού και οι τρεις έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. 9 8 d(ε,ε ) Ακόμα d(α,ε ) 5 οπότε η ευθεία ΑΒ είναι μεσοπαράλληλη των ε, ε. Άρα ε: λ ( ). Από Α(, ) και ε λ έχουμε Υπολογίζω την d(α,ε ) και d(α,ε )

53 Επειδή ε5ε 5ε και ένα σημείο της (ε) το Α ισαπέχει από τις ευθείες ε και ε τότε η (ε) θα είναι η μεσοπαράλληλη των ευθειών ε και ε. Η ευθεία ε που διέρχεται από τα Α, Β έχει εξίσωση ε : ( ) 5 Έστω Μ σημείο της μεσοπαράλληλης τότε θα ισχύει d(m,ε ) d(m,ε )... 5 Άρα η ευθεία που διέρχεται από τα Α, Β είναι όντως η μεσοπαράλληλη των ε, ε. ΘΕΜΑ Δ6_57 Δίνονται τα σημεία Α(, ), Β(, ) και Γ(λ, λ), λ R α) Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του λ, τα Α, Β, Γ σχηματίζουν τρίγωνο και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι σταθερό. (Μονάδες ) β) Να αποδείξετε ότι η κορυφή Γ κινείται σε ευθεία παράλληλη στην ΑΒ. (Μονάδες 6) γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του Γ ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την ΒΓ. (Μονάδες 7) α) Eίναι AB (,) και AΓ ( λ, λ ). Άρα det AΒ,AΓ λ λ λ λ ( ) Άρα AB μη παράλληλο με A Γ δηλαδή τα Α, Β, Γ σχηματίζουν τρίγωνο. Ακόμα ( ΑΒΓ) det( AΒ,AΓ) τμ. Άρα το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι σταθερό. β) Έστω Γ(, ). Τότε λ και λ. Θα έχουμε λ και () ή Άρα το σημείο Γ κινείται στην ευθεία ε: Eπίσης, λ ΑΒ λε Δηλαδή η ε είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ. γ) Επειδή τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο με υποτείνουσα την ΒΓ θα είναι Αˆ 9. Άρα AB AΓ οπότε: AB AΓ λ ( λ) λ 5 5

54 ΘΕΜΑ Δ7_577 Σε ορθοκανονικό σύστημα Ο θεωρούμε τις ευθείες: ε λ : (λ ) λ, λ R α) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο Μ. (Μονάδες 7) β) Να αποδείξετε ότι d(o, ε λ ). (Μονάδες 8) γ) Να βρείτε ποια από τις ευθείες της παραπάνω μορφής απέχει από τη μέγιστη απόσταση από το Ο. (Μονάδες ) α) Είναι: ε λ : (λ ) λ... λ() () Για να δείξουμε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας () διέρχονται από το ίδιο σημείο, αρκεί να βρούμε ένα σημείο Μ(, ) του οποίου οι συντεταγμένες να επαληθεύουν την () για όλες τις τιμές του λ. Το ζητούμενο σημείο είναι εκείνο του οποίου οι συντεταγμένες μηδενίζουν τις παραστάσεις και, δηλαδή η λύση του συστήματος (,) (,) Άρα όλες οι ευθείες της οικογένειας () διέρχονται από το Μ(, ). β) Έχουμε ( λ ) λ d(ο,ε λ). Αρκεί να δείξουμε ότι: ( λ ) [ ]... (λ 7) λ λ ( λ ) ( λ) ( λ ) που ισχύει. γ) Θα πρέπει d(ο, ε λ ) Άρα λ (λ 7) 7 λ ( λ ) Για 7 λ 7 7 η ευθεία ε έχει εξίσωση: 5

55 ΘΕΜΑ B _6 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΘΕΜΑ Β Δίνονται τα διανύσματα α (, ) και β (,). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u α β (Μονάδες ) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης σημείο Α (,α β ) α) Έχουμε: u u 9 6 β) Είναι Επίσης α β ( ) u α β (, ) (,) (, ) u και διέρχεται από το 5 (Μονάδες 5) Άρα θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης 5 και διέρχεται από το σημείο Α(, 5). Είναι: 5 5( ) 5 ΘΕΜΑ B _68 Δίνονται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(5, ), Β(, 6), Γ(, ) και σημείο Μ της πλευράς ΑΒ για το οποίο ισχύει ΑΜ ΑΒ. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΑΒ (Μονάδες 6) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ (Μονάδες 9) γ) Αν το σημείο Μ έχει συντεταγμένες 9,, να υπολογίσετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Γ, Μ. (Μονάδες ) α) Είναι ΑΒ (,) β) Έχουμε: ΑΜ ΑΒ (,) (, ). Όμως, ΑΜ (M 5,M ) 9 Άρα M 5 M και M M. Επομένως, 9 M,. 55

56 γ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΓΜ είναι: 9 λ Άρα η εξίσωση της ΓΜ είναι: ( ) ΘΕΜΑ B _5 Θεωρούμε τα σημεία Α(λ, λ), Β(λ, ) και Γ(, ), λ R. α) Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό λ, τα σημεία σχηματίζουν τρίγωνο. (Μονάδες ) β) Έστω ότι για το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ισχύει (ΑΒΓ). i) Nα αποδείξετε ότι λ ή λ. (Μονάδες ) ii) Nα βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων ΓΑ, ΓΒ όταν λ. (Μονάδες 5) α) Για να σχηματίζουν τα σημεία Α, Β, Γ τρίγωνο για κάθε πραγματικό αριθμό λ θα πρέπει να μην είναι συνευθειακά δηλαδή θα πρέπει τα διανύσματα ισχύει det( ΑΒ,ΑΓ) για κάθε πραγματικό αριθμό λ. Είναι ΑΒ ( λ,λ), ΑΓ ( λ,λ). ΑΒ, ΑΓ να μη είναι παράλληλα επομένως να λ λ det( ΑΒ,ΑΓ) ( λ)( λ) ( λ)( λ)... ( λ λ 5) γιατί Δ< λ λ Επομένως λ λ 5 > για κάθε πραγματικό λ. Συνεπώς τα σημεία Α, Β, Γ σχηματίζουν τρίγωνο για κάθε πραγματικό αριθμό λ., 56

57 β) i) Είναι: (ΑΒΓΔ) det( ΑΒ,ΑΓ) λ 6λ λ λ λ 5 λ λ λ ή λ ή λ 8 αδύνατη λ ή λ ii) Για λ είναι Α(,), Β(, ), Γ(,). Επομένως ΓΑ (,). Επίσης έχουμε: ΓΑ ΓΒ ΓΑ ΓΒ ΓΑ ΓΒ συν ΓΑ ΓΒ συν ΓΑ ΓΒ... ΓΑ ΓΒ Άρα συν ΓΑ ΓΒ και επομένως η γωνία των διανυσμάτων π ΓΑ, ΓΒ ισούται με. 57

58 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΘΕΜΑ Δ ΘΕΜΑ Δ 867 Δίνονται τα διανύσματα α και b με μέτρα, 6 αντίστοιχα και φ [,π] η μεταξύ τους γωνία. Επίσης δίνεται η εξίσωση ( α b ) ( αbψ ) 5 (). α) Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε φ [,π]. (Μονάδες ) β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα ψ ψ, να αποδείξετε ότι b α (Μονάδες 7) γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα χ χ, να αποδείξετε ότι b α (Μονάδες 7) δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στην διχοτόμο πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων, να αποδείξετε ότι b α. (Μονάδες 8) α) Είναι της μορφής Α ΒψΓ με A αb, B αb και Γ-5 και για κάθε φ [, π] δεν είναι συγχρόνως Α και Β. β) Αν είναι παράλληλη στον ψ ψ θα πρέπει B αb α bσυνφ συνφ φ. Άρα Όμως Άρα b α, άρα b λα με λ>. b α δηλαδή λ λ (λ>). b α γ) Αν είναι παράλληλη στον χ χ θα πρέπει Α αb α bσυνφσυνφφ π. Άρα Όμως b α, άρα b λα με λ<. b α δηλαδή λ λ (λ<). Άρα b α δ) Η εξίσωση της διχοτόμου είναι ψχ και έχει κλίση λ. Άρα θα πρέπει και η κλίση της παραπάνω ευθείας να είναι λ. Όμως για αb είναι: λ αb αb αbαb α b αb (Αν α b η ευθεία είναι παράλληλη στον ψ ψ από ερώτημα (β).) Έστω ευθεία (ε) με εξίσωση: ΑχΒψΓ με Α ή Β (ε)//ψ ψβ (ε)//χ χ Α Είναι λε Α (Β ) Β 58

59 ΘΕΜΑ Δ 86 Δίνονται τα σημεία, A, (, ) μ B και Γ μ,, όπου μ R. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ και ΒΓ. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι για κάθε μ R το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. (Μονάδες 8) γ) Να βρείτε την τιμή του μ έτσι, ώστε μ ΒΓ ΑΒ (Μονάδες 6) δ) Για την τιμή του μ που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι (ΟΒΓ ), όπου O είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες ) μ α) ΑΒ, και B Γ μ, β) λ ΑΒ Η εξίσωση της ΑΒ είναι: ψ ( ) ψ () Πράγματι, οι συντεταγμένες του Γ επαληθεύουν την (), άρα για κάθε μ R, το Γ ανήκει στην ΑΒ. Θυμίζουμε ότι: Αν Α(χ,ψ ) και Β(χ,ψ ) ΑΒ (,ψ ψ) Ψ Ψ λ AB (Αν χ χ ) Χ Χ μ μ μ γ) μ ΒΓΑΒμ μ,, μ μ,, μ μ και μ μ μ δ) Για μ είναι Γ, ΟΒ (, ), ΟΓ, det, OB Γ τμ 6 ( ΟΒ,ΟΓ) Άρα ( ) 59

60 ΘΕΜΑ Δ 86 Δίνονται τα σημεία Α(,), B(5,7) και Γ (μ,μ ), όπου μ R. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ και A Γ και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, B και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του μ. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι: i) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δεν εξαρτάται από το μ. (Μονάδες 5) ii) για κάθε τιμή του μ το σημείο Γ ανήκει σε ευθεία ε, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. (Μονάδες 7) γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του μ; (Μονάδες 5) α) ΑΒ (,), ΑΓ (μ,μ 6) det ( AB,ΑΓ) 6 μ μ 6 Άρα ΑΒ ΑΓ, άρα τα σημεία Α, Β και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του μ. β) i) ( AB Γ) det( AB,ΑΓ) 6 τμ, δηλαδή ανεξάρτητο του μ. χ μ χ 6μ ii) Αν Γ(χ, ψ), τότε: ψ μ ψ6μ Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: χ ψ 7 Άρα το Γ ανήκει στην παραπάνω ευθεία (ε) ψ Β γ) Είναι λ ΑΒ και λ ε, δηλ. ΑΒ//ε. (ε) Α Γ Οπότε ( ΑΒΓ) ( ΑΒ) υ Γ Αλλά υd(γ, ΑΒ)d(ΑΒ, ε) που είναι σταθερή χ Ο χ για κάθε σημείο Γ αφού ΑΒ//ε. ψ 6

61 ΘΕΜΑ Δ 869 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α B (λ,λ ), ΑΓ (λ,λ ) όπου λ και λ και Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ. α) Να αποδείξετε ότι Α M (λ,λ). (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα ΑΜ είναι κάθετο στο διάνυσμα α (, λ) λ (Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες ) ΑΒ ΑΓ (λ,λ) α) Ισχύει ΑΜ.. (λ,λ) β) Είναι ΑΜ ααμ α λ λ( λ) λ... λ± λ Αφού λ, τότε λ γ) Για λ είναι ΑΒ (,) και ΑΓ (6,). Τότε: (ΑΒΓ) det( ΑΒ,ΑΓ) 8 6 8τ.μ. 6 ΘΕΜΑ Δ5 588 Θεωρούμε τα σημεία Α(, ), Β(, ) και Γ(,). α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(, ) ώστε ΑM BM ΓM είναι η ευθεία ε:. (Μονάδες ) β) Να βρείτε: i) Σημείο Κ στον άξονα ώστε το συμμετρικό του ως προς την ευθεία του ερωτήματος α) να είναι σημείο Λ του άξονα. (Μονάδες ) ii) Το εμβαδόν του τριγώνου ΚΛΣ όπου Σ είναι το σημείο τομής της ευθείας ε με τον άξονα. (Μονάδες 5) α) Yπολογίζουμε αρχικά τις συντεταγμένες των τριών διανυσμάτων και έχουμε: ΑM ΑΜ (,), B Μ (,), ΓΜ (,) BM ΓM ΑM BM ΓM ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( )... Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(, ) είναι η ευθεία: (ε): β) i) Αφού το Κ ανήκει στον άξονα των είναι της μορφής Κ(κ,). Έστω Λ το συμμετρικό του Κ ως προς την (ε) του α) ερωτήματος. Όμως το Λ ανήκει στον άξονα των και είναι της μορφής Λ(, λ).

62 κ λ Έστω ΚΜ ε. Τότε το Μ είναι μέσο του ΚΛ, οπότε είναι: M,. Έστω Δ το σημείο τομής της (ε) με τον άξονα των, επομένως θα πρέπει Δ(,). Αφού το Μ ανήκει στην (ε) επαληθεύει την εξίσωσή της, οπότε: κ λ κ ( λ) λ Επομένως Μ λ, και Κ(λ, ) λ λ Έχουμε ΑΜ ΜΚ, όπου ΑΜ λ,, ΜΚ λ, Επομένως, λ ΑΜ ΜΚ λ λ Οπότε κ κ λ λ Έτσι έχουμε τις συντεταγμένες των σημείων: ( λ) λ, ή λ απορ. Κ,, Λ, και Μ,. ii) Αφού Σ είναι το σημείο τομής της (ε) με τον άξονα των είναι: Σ,. Είναι: (ΚΛΣ) det( KΛ,ΚΣ) όπου ΚΛ,, ΚΣ, 5 8 Άρα (ΚΛΣ) det( KΛ,ΚΣ) τ.μ

63 KEΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ.: ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Β_57 Δίνεται η εξίσωση: 6 () α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο K(, 5) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) β) Από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων να προσδιορίσετε εκείνες που εφάπτονται του παραπάνω κύκλου. (Μονάδες ) α) Η εξίσωση () είναι της μορφής ΑB Γ με Α, Β και Γ6 Είναι: Α Β Γ 6> Άρα η εξίσωση () παριστάνει κύκλο με κέντρο K(, 5) και ακτίνα ρ. β) Όλες οι ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων Ο(, ) είναι οι: ε : (, ) d(k, ε ) ρ επομένως η ε δεν ικανοποιεί το ζητούμενο. ε : λ( ), λ R λ λ Άρα λ ( ) ( 5) 5 5 d(k,ε) λ λ λ ( ) Eπίσης 5 d(k,ε ) ρ λ 5... λ ± λ Άρα οι ζητούμενες ευθείες είναι οι και ΘΕΜΑ Β_58 Σε καρτεσιανό επίπεδο Ο θεωρούμε κύκλο C που διέρχεται από το σημείο Α(, ) και έχει κέντρο το Κ(, 8). α) Να αποδείξετε ότι: C:() (8) 5 και έπειτα να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Ο και Κ. (Μονάδες ) β) Από τα σημεία του κύκλου C να βρείτε τις συντεταγμένες: i) του σημείου που απέχει τη μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων (Μονάδες 6) ii) του σημείου που απέχει τη μεγαλύτερη απόσταση από την αρχή των αξόνων (Μονάδες 6) 6

64 α) Είναι ρ (ΚΑ) ( ) ( Επομένως λ ΟΚ β) Λύνουμε το σύστημα C: () ( 8) επομένως ε: ( ) C:( ) ( 8) ε: και βρίσκουμε τα σημεία τομής της ευθείας ε και του κύκλου C που είναι τα Μ(5, ) και Ν(, 6) με (ΟΜ) και (ΟN) ) 5 5 Αφού (ΟΝ)<(ΟΜ) το σημείο που απέχει τη μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων είναι το Ν, ενώ το σημείο που απέχει τη μεγαλύτερη απόσταση από την αρχή των αξόνων είναι το Μ. ΘΕΜΑ B_5 Σε καρτεσιανό επίπεδο Ο θεωρούμε τα σημεία Α(, ), B(, ) και Γ(, ). Αν τα σημεία αυτά σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα τη ΒΓ, τότε: α) Να αποδείξετε ότι το Α κινείται στον κύκλο C :( ) ( ) (Μονάδες ) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του Α, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι και ισοσκελές. (Μονάδες ) α) α τρόπος: Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΑΒΓ: (AB) ( AΓ) (ΒΓ) ( ) ( ψ) ( )... ( ) β τρόπος: (, ψ) ( ψ) ΑΓ και ΑΒ (, ΑΓ ΑΒΑΓ ΑΒ ( )( ) ψ( ψ) ψ ψ ψ ψ ( ) ( ψ) ψ ψ) γ τρόπος: Αφού ΑΒΓ ορθογώνιο με υποτείνουσα την ΒΓ, τα σημεία Α κινούνται σε κύκλο με διάμετρο τη ΒΓ. Το κέντρο του κύκλου είναι το μέσο Κ της ΒΓ, δηλαδή Κ(, ) και ρ (ΓΒ) και άρα τα σημεία Α κινούνται στον κύκλο: ( ) (ψ ) 6

65 β) α τρόπος: Θα πρέπει (ΑΓ)(ΑΒ) ( ) ( ψ) ( ) ( ψ)... ψ. Λύνουμε το (Σ) με την εξίσωση του κύκλου και βρίσκουμε Α(, ) ή Α(, ). β τρόπος: Για να είναι ΑΒΓ ισοσκελές τα σημεία Α θα βρίσκονται στη μεσοκάθετο της διαμέτρου ΒΓ. Είναι λ ΒΓ άρα λ μεσ. Άρα η μεσοκάθετος είναι: ψ ( ) ψ Από τη λύση του (Σ) με την εξίσωση του κύκλου βρίσκουμε Α(, ) ή Α(, ). ΘΕΜΑ B_5 Σε καρτεσιανό επίπεδο O θεωρούμε τα σημεία K(, ) και A(6, 5). α) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με κέντρο Κ που διέρχεται από το Α, έχει εξίσωση C : ( ) ( ) (Μονάδες ) β) Να βρείτε την εξίσωση κύκλου που εφάπτεται εσωτερικά στον κύκλο C στο σημείο Α και έχει ακτίνα ίση με το μισό της ακτίνας του C. (Μονάδες ) α) Είναι της μορφής ( ) (ψψ ) ρ () Κ(, ), άρα, ψ ρ(κα) ( 6) ( 5 ) Άρα έχει εξίσωση: () (ψ) β) Ο ζητούμενος κύκλος έχει κέντρο Λ το μέσο της ΚΑ, δηλαδή Λ(-, ) και ακτίνα ρ ρ 5. Άρα έχει εξίσωση () (ψ) 5 Κ Λ Α ΘΕΜΑ B5_56 Σε καρτεσιανό επίπεδο O θεωρούμε τα σημεία A(, ), B(, ) και την ευθεία ε :. Nα βρείτε: α) Την εξίσωση της μεσοκάθετης του τμήματος ΑΒ. (Μονάδες ) β) Την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α, Β και έχει το κέντρο του στην ευθεία ε. (Μονάδες 5) α) Αν Μ μέσο του ΑΒ, τότε Μ(, ) λ ΑΒ, άρα λ μεσ Άρα η μεσοκάθετος έχει εξίσωση: ψ() ψ Θυμηθείτε ότι η μεσοκάθετος χορδής ΑΒ διέρχεται από το κέντρο του κύκλου 65

66 β) Η μεσοκάθετη της χορδής ΑΒ Κ του κύκλου. Έτσι λύνουμε το (Σ) ψ (από ερώτημα α) ψ Άρα το κέντρο είναι Κ(, ) ρ(κα) διέρχεται από το κέντρο ψ Άρα η εξίσωση του κύκλου είναι () (ψ).: ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΜΑ Δ_557 ΘΕΜΑ Δ Έστω η εξίσωση (λ 6) ( λ) λ 8λ (), όπου λ R. α) Τι παριστάνει γεωμετρικά σε καρτεσιανό επίπεδο Ο η εξίσωση () όταν λ και τι όταν λ6; (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του λ από το διάστημα (, 6) η εξίσωση () στο καρτεσιανό επίπεδο Ο παριστάνει κύκλο. (Μονάδες 8) γ) Καθώς το λ μεταβάλλεται στο διάστημα (, 6), να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων οι οποίοι προκύπτουν από την εξίσωση () ανήκουν σε ένα ευθύγραμμο τμήμα από το οποίο εξαιρούνται τα άκρα του. (Μονάδες 9) α) Όταν λ τότε η () γίνεται: ( ) ( ) Άρα η () παριστάνει σημείο με συντεταγμένες (, ). Όταν λ6 τότε η () γίνεται: ( ) Άρα η () παριστάνει πάλι σημείο με συντεταγμένες (, ). β) Έχουμε από την (): ( λ 6) ( λ) λ 8λ... ( λ) λ 6λ λ 8 Για να παριστάνει κύκλο πρέπει: Α Β Γ> ( λ) (λ) (6λ λ8)> λ 8λ < <λ< 6 γ) Άρα αφού για λ (, 6) παριστάνει κύκλο η εξίσωση (), τότε το κέντρο του είναι Κ(λ6, λ) 66

67 Άρα κ λ 6 κ λ λ κ κ 6 ( 6) κ κ κ Οπότε τα κέντρα των κύκλων ανήκουν στην ευθεία. Όμως < κ 6< 6 < κ < < λ < 6 κ < < 6 < κ < Άρα τα κέντρα Κ των κύκλων ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, χωρίς τα άκρα Α(, ) και Β(, ). ΘΕΜΑ Δ_558 Σε καρτεσιανό επίπεδο Ο θεωρούμε τον κύκλο C : και μία τυχούσα διάμετρό του ΑΒ με Α(, ) και Β(, ). α) Nα δικαιολογήσετε γιατί ισχύει και (Μονάδες 5) β) Nα αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ν(κ, λ) για τα οποία ισχύει NA NB 5 είναι ο κύκλος C : 9 (Μονάδες ) γ) Στο καρτεσιανό επίπεδο να προσδιορίσετε τη θέση των σημείων του Μ(, ) για τα οποία ισχύει 9 (Μονάδες 8) α) Τα αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου C : είναι συμμετρικά ως προς το Ο(, ) επειδή ο παραπάνω κύκλος έχει κέντρο του το Ο(, ). Άρα και τα σημεία Α(, ) και Β(, ) ως σημεία μιας τυχαίας διαμέτρου του θα είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο των αξόνων. Άρα και () β) α τρόπος Έστω Ν(κ, λ) σημείο του επιπέδου. Τότε NA (κ,λ) και NB (κ,λ ) Ισχύει επίσης ότι: Άρα () ( ) ( ) OA OB (,) (,) () NA NB 5 ( κ ) ( κ ) ( λ ) ( λ ) 5... κ λ 9 Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ν είναι ο κύκλος C : 9. 67

68 β τρόπος Επειδή Ο μέσο ΑΒ έχουμε: NA NB 5( NΟ ΟΑ ) ( NΟ ΟΒ) 5( NΟ ΟΑ) ( NΟΟΑ) NΟ ΟΑ 5 NΟ Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ν είναι ο κύκλος C : 9. 5 γ) Επειδή ισχύει 9 (OM) R (OM) 5... R ΘΕΜΑ Δ_58 τα σημεία Μ(, ) αποτελούν την περιοχή ανάμεσα στους κύκλους C και C συμπεριλαμβα- νομένων και των κύκλων αυτών. Δίνεται η εξίσωση. Να αποδείξετε ότι: α) Η εξίσωση παριστάνει κύκλο C του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. (Μονάδες 8) β) Ο κύκλος C εφάπτεται στον άξονα και να προσδιορίσετε το σημείο επαφής τους. (Μονάδες 7) γ) Το σημείο M(, ) βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον κύκλο σε δυο σημεία Α, Β ώστε η χορδή AB του κύκλου να έχει μέσο το Μ. (Μονάδες ) α) Είναι Α, Β και Γ. Έστω κύκλος με κέντρο Κ(χ,ψ ) και ακτίνα ρ Θα πρέπει να ισχύει Α Β Γ> >. εφάπτεται στον χ χ d(k, χ χ) ψ ρ Πράγματι Α Β Γ6>. εφάπτεται στον ψ ψ d(k, ψ ψ) χ ρ Το κέντρο είναι Κ(, ) και ρ β) Είναι d(k, χ χ)ρ, άρα εφάπτεται του χ χ στο σημείο Γ(, ). γ) Είναι (ΜΚ) <ρ, άρα Μ εσωτερικό σημείο του κύκλου. λ ΜΚ, όμως ΜΚ ΑΒ, άρα λ AB. Άρα η εξίσωση είναι: ψ () ψ 68

69 ΘΕΜΑ Δ_58 Δίνονται οι εξισώσεις ( - )( ) () και (λ - ) (λ ) λ - 5 () λ R α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει κύκλο C με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι, για κάθε λ R η εξίσωση () παριστάνει ευθεία. Κατόπιν να αποδείξετε ότι οι ευθείες που προκύπτουν από την () για τις διάφορες τιμές του λ διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο να προσδιορίσετε. (Μονάδες ) γ) Έστω Α και Β τα σημεία τομής του κύκλου C με τους θετικούς ημιάξονες O και O αντίστοιχα. Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του λ, ώστε η ευθεία ΑΒ να προκύπτει από την εξίσωση (). (Μονάδες 7) α) Η () ισοδύναμα γράφεται ( ) ( ) Άρα παριστάνει κύκλο C με κέντρο Ο(, ) και ακτίνας R (μοναδιαίος κύκλος). λ λ β) Είναι λ λ Δηλαδή οι συντελεστές των, της ευθείας δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα, άρα η () παραστάνει ευθεία για κάθε λ R. α τρόπος Η () ισοδύναμα γράφεται: λ λ λ 5 λ( ) ( 5) για κάθε λ R. Δηλαδή ως πολυώνυμο του λ είναι το μηδενικό πολυώνυμο, άρα πρέπει 5 Άρα το σημείο ( ) M, είναι το σημείο που διέρχονται όλες οι ευθείες της () αφού την 5 5 επαληθεύει για κάθε λ R. β τρόπος Για λ η (): 5 και 5 για λ η (): Άρα το σημείο M, είναι το σημείο που διέρχονται όλες οι ευθείες της () αφού την 5 5 επαληθεύει για κάθε λ R. Πράγματι 6 ( λ ) 5 5 ( λ ) λ5 6λ 6 6λ 9 λ5 69

70 γ) α τρόπος Τα σημεία που ο C τέμνει τους άξονες είναι Α(, ) και Β(, ). Αν υπάρχει λ R ώστε η ΑΒ να προκύπτει από τη (), πρέπει να επαληθεύεται για το ίδιο λ από τα Α και Β. Δηλαδή, για, η () γίνεται: λ λ 5 λ και για, η () γίνεται: λ λ 5 λ Άρα δεν υπάρχει λ R ώστε η ΑΒ να προκύπτει από τη (). β τρόπος Η ΑΒ έχει εξίσωση ( ) Έστω ότι η ΑΒ ορίζεται από τη (). 6 Οι ευθείες που ορίζονται από τη () διέρχονται από τη σημείο M, άρα και από την ΑΒ, 5 5 δηλαδή, 6 που είναι άτοπο Άρα δεν υπάρχει λ R ώστε η ΑΒ να προκύπτει από τη (). ΘΕΜΑ Δ5_586 Σε καρτεσιανό επίπεδο O θεωρούμε την εξίσωση (α ) α, α R. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε α R, η εξίσωση παριστάνει κύκλο. Κατόπιν, να βρείτε για ποιες τιμές του α, ο κύκλος διέρχεται από την αρχή Ο. (Μονάδες ) β) Έστω C ο κύκλος που προκύπτει από την παραπάνω εξίσωση όταν α και λ, λ R μια ευθεία που τέμνει τον κύκλο C σε σημείο Α διαφορετικό από το Ο. i. Να βρείτε τις συντεταγμένες του Α συναρτήσει του λ. (Μονάδες ) ii. Να αποδείξετε ότι το μέσο Μ του τμήματος ΟΑ κινείται σε κύκλο σταθερής ακτίνας ο οποίος διέρχεται από το Ο. (Μονάδες 5) α) Η εξίσωση (α ) α θα παριστάνει κύκλο αν (α ) (α ) > 9α α α 6> 5α α >, αληθής για κάθε α R αφού το τριώνυμο 5α α έχει Δ 5 56 < α Άρα παριστάνει κύκλο C κέντρου K, και ακτίνας R Ακόμη ο C θα διέρχεται από την αρχή των αξόνων αν (Γ) α α α ± 5α α 7

71 7 β) i. Για α ο C: 8 έχει κέντρο Κ(, ) και ακτίνα R και από το (α) ερώτημα διέρχεται από το Ο(, ). Τα σημεία τομής της ευθείας ε: λ, λ R και του κύκλου C έχουν συντεταγμένες τις λύσεις του συστήματος ( ) [ ] λ 8λ λ 8 ή λ λ 8 ή λ 8 λ λ 8 (λ) λ 8 Επειδή το Α είναι διαφορετικό από το Ο η λύση (, )(, ) απορρίπτεται. Άρα λ 8λ, λ 8 A ii. Το μέσον Μ του ΟΑ θα έχει συντεταγμένες λ 8λ, λ 8, δηλαδή είναι λ λ, λ Μ, με λ R Έστω λ Άρα () λ λ () λ, τότε η () ισοδύναμα, ( )... Άρα το σημείο Μ ανήκει σε κύκλο κέντρου Λ(, ) και ακτίνας ρ και διέρχεται από την αρχή των αξόνων αφού για, είναι ( ) αληθής. ΘΕΜΑ Δ6_587 Σε καρτεσιανό σύστημα Ο, θεωρούμε τα σημεία Μ(, ), A(5, ) και B(, ) για τα οποία ισχύει: BM 5 AM. α) Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ ανήκει στον κύκλο C : 5. (Μονάδες ) β) Θεωρούμε το σημείο Σ(7, ). i. Να εξετάσετε αν το σημείο Σ βρίσκεται στο εσωτερικό ή το εξωτερικό του κύκλου C. (Μονάδες 5) ii. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες, από το σημείο Σ προς τον κύκλο, είναι μεταξύ τους κάθετες. (Μονάδες )

72 α) Υπολογίζουμε αρχικά τα μέτρα των δύο διανυσμάτων και έχουμε: ( 5) και BM ( ) AM αντικαθιστούμε στη δοθείσα σχέση και έχουμε: AM 5BM ( 5) 5 ( ) ( 5) 5( ) ( ) 6 5 β) i) Υπολογίζουμε την απόσταση του σημείου Σ από το κέντρο του κύκλου και τη συγκρίνουμε με την ακτίνα του. OΣ ( 7) ( ) > 5 επομένως το σημείο Σ βρίσκεται εξωτερικά του κύκλου. ii) Έστω (, ) σημείο του κύκλου, τότε η εξίσωση εφαπτομένης του κύκλου θα δίνεται από την εξίσωση 5, την οποία το σημείο Σ(7,) την επαληθεύει. Επομένως, To σημείο (, ) επαληθεύει την εξίσωση του κύκλου, επομένως θα ισχύει: ( 7 5) από τη λύση της δευτεροβάθμιας βρίσκουμε ή Επομένως έχουμε αντίστοιχα 7 5 ή 7 5 Επομένως οι δύο εφαπτόμενες του κύκλου που διέρχονται από το σημείο Σ θα είναι οι: ε : 5 και ε : 5 από όπου βρίσκουμε ότι οι αντίστοιχοι συντελεστές διεύθυνσης είναι: λ λ,λ λ λ Άρα οι δύο εφαπτομένες είναι μεταξύ τους κάθετες. ΘΕΜΑ Δ7_589 Σε καρτεσιανό επίπεδο O θεωρούμε τα σημεία M(, ), A(, ) και B(, ) ώστε να ισχύει AM BM AM BM α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι ο κύκλος C :. (Μονάδες ) ΓΔ β) Έστω Γ, Δ σημεία του κύκλου C ώστε 5 i. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Γ, Δ και η αρχή των αξόνων Ο, είναι συνευθειακά. (Μονάδες ) ii. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο ΜΔ ΜΓ όταν το Μ κινείται στον κύκλο. (Μονάδες 5) 7

73 α) Υπολογίζουμε αρχικά τις συντεταγμένες των δύο διανυσμάτων και έχουμε: (,) και BM (,) AM Και στη συνέχεια το εσωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων Η δοθείσα σχέση γίνεται: AM BM AM BM AM ( )( ) AM BM BM AM BM ( ) ( ) ( ) Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(, ) είναι ο κύκλος με κέντρο το Ο(, ) και ακτίνα ρ 5 β) i) Ισχύει: ( ΓΔ) ΓΔ ( ΓΔ) 8( ΓΔ) 5 Παρατηρούμε ότι (ΓΔ)ρ και με δεδομένο το ότι τα Γ, Δ είναι σημεία του κύκλου, έχουμε ότι τα Γ και Δ είναι αντιδιαμετρικά. Επομένως τα σημεία Γ, Ο, Δ είναι συνευθειακά. ii) Έστω Γ( Γ, Γ ), Δ( Δ, Δ ) και Μ(, ). Από (i) τα Γ και Δ αντιδιαμετρικά, επομένως Ο μέσο του ΓΔ. Έτσι: Επομένως Δ( Γ, Γ ) Γ Δ Δ Γ και Γ Δ Δ Γ Eίναι ΜΓ (, ) και ΜΔ (, ) Γ Γ Αφού Γ σημείο του κύκλου ισχύει η σχέση Γ Γ Είναι ΜΓ ΜΔ ( ) ( ) ( ) ( ) Γ Γ Γ Δ ( ) ( ) ( ) ( ) Γ Γ Γ Γ Γ Γ ΘΕΜΑ Δ8_59 Δίνεται η εξίσωση (λ ) (λ 7) λ, λ R. α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του λ, με λ 5, παριστάνει κύκλο. Κατόπιν να βρείτε τι παριστάνει η εξίσωση, όταν λ 5. (Μονάδες ) β) Έστω C, C οι κύκλοι που προκύπτουν από την παραπάνω εξίσωση όταν λ και λ 9 αντίστοιχα. i. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C και C εφάπτονται εξωτερικά. (Μονάδες 6) ii. Να βρείτε το σημείο επαφής των κύκλων. (Μονάδες 7) α) Έχουμε Α (λ ), Β (λ 7), Γ λ. Άρα: Α Β Γ (λ) (λ7) λ λ λ 5 (λ λ 5) (λ 5) 7

74 7 Οπότε για κάθε λ R {5} παριστάνει κύκλο, με κέντρο 7 λ, λ B, A K και ακτίνα 5 λ Γ Β Α ρ Για λ5, έχουμε: 5 ( ) ( ) ( ) ( ) και και δηλαδή είναι το σημείο (, ) β) Ο κύκλος C για λ έχει κέντρο Κ (, ) και ακτίνα ρ, ενώ ο κύκλος C για λ 9 έχει κέντρο Κ (, ) και ακτίνα ρ. i) Θα δείξουμε ότι: (Κ Κ ) ρ ρ Έχουμε (Κ Κ ) ( ) ( ) ρ ρ ii) Έχουμε ) ( ) ( ) ( Άρα το σημείο τομής των δύο κύκλων είναι το (, ).

75 . ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΜΑ Β_5 ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε την παραβολή C: και την κατακόρυφη ευθεία ε: της παραβολής C. α) Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής p, όπου p η παράμετρος (Μονάδες ) β) Αν η ευθεία ε τέμνει την παραβολή C στα σημεία Β και Γ, τότε: i) Να βρείτε τις συντεταγμένες των Β και Γ, καθώς και τις εξισώσεις των εφαπτομένων ε και ε της παραβολής C στα σημεία της αυτά αντίστοιχα. (Μονάδες ) ii) να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των ε και ε ανήκει στη διευθετούσα της C. (Μονάδες 5) α) Η παραβολή με τύπο p p έχει εστία E, και διευθετούσα (δ): Είναι C: άρα p p p p Οπότε η εστία είναι E, άρα Ε(, ) και η διευθετούσα (δ):, άρα (δ): p p β) i) Είναι ε: Λύνουμε το σύστημα: ± ± Άρα τα σημεία τομής είναι το Β(, ) και Γ(, ) Η εξίσωση της εφαπτομένης σ ένα σημείο Α(, ) δίνεται από τον τύπο p ( ) Άρα στο Β(, ) η εξίσωση της εφαπτομένης είναι ε : () ( ) ε : στο Γ(, ) η εξίσωση της εφαπτομένης είναι ε : ( ) ε : ii) Για να βρούμε το σημείο τομής των δύο ευθειών ε, ε λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους δηλαδή Για, με αντικατάσταση προκύπτει ότι: Άρα το σημείο τομής των δύο εφαπτομένων είναι Κ(, ) που ανήκει στην διευθετούσα (δ):. 75

76 ΘΕΜΑ Β_5 Δίνεται η εξίσωση 6 () α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει δύο παραβολές C : και C : και να βρείτε για κάθε μία από αυτές την εστία και τη διευθετούσα της. (Μονάδες ) β) Αν Ε και Ε είναι οι εστίες των παραβολών C και C αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα Ε Ε. (Μονάδες ) α) Είναι 6 () ( ) ( ) ή ή Άρα η εξίσωση () παριστάνει δύο παραβολές, τις C : και C : H παραβολή με τύπο p p έχει εστία E, και διευθετούσα (δ): Είναι C : άρα p p Oπότε η εστία είναι p E, άρα Ε (, ) και η διευθετούσα είναι (δ ):, άρα (δ ): Eίναι C : άρα p p Άρα η εστία είναι E, άρα Ε (, ) και η διευθετούσα είναι (δ ):, άρα (δ ): β) Το κέντρο Κ του κύκλου θα βρίσκεται στο μέσο του Ε Ε. Έχουμε: E E ( ) E E K K K, K K K Άρα το κέντρο του κύκλου είναι η αρχή των αξόνων Ο(, ) και θα έχει ακτίνα: (ΕΕ ρ ρ ) ρ Άρα C: ρ C: ( ( ) ) ( ) ρ ρ ρ 76

77 ΘΕΜΑ Β_5 Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζονται οι παραβολές C : p και C : p οι οποίες έχουν εστίες τα σημεία Ε και Ε αντίστοιχα. Η απόσταση των σημείων Ε και Ε είναι ίση με μονάδες. α) Να βρείτε την εστία, τη διευθετούσα και την εξίσωση καθεμίας από τις παραβολές C και C. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα Ε Ε. (Μονάδες ) α) Η παραβολή με τύπο C : p p έχει εστία E, Η παραβολή με τύπο C : p p έχει εστία E, Επειδή η C έχει εστία στο ημιάξονα Ο άρα p> p> p p ( E E ), ( ) p p Oπότε για p είναι: E, άρα Ε (, ) E, άρα Ε (, ) Η παραβολή με τύπο C : p έχει διευθετούσα (δ ): ( δ ): 77 p p p p δ Η παραβολή με τύπο C : p έχει διευθετούσα (δ ): ( ): Για p είναι C : 8 και C : 8 β) Το κέντρο Κ του κύκλου θα βρίσκεται στο μέσο του Ε Ε. Έχουμε

78 ( ) E E E E K K K, K K K Άρα το κέντρο του κύκλου είναι η αρχή των αξόνων Ο(, ) και θα έχει ακτίνα: (ΕΕ) ρ ρ ρ ρ Άρα C: ρ C:. ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΜΑ Δ ΘΕΜΑ Δ_559 Σε καρτεσιανό επίπεδο Ο θεωρούμε κύκλο C ο οποίος έχει το κέντρο του στην ευθεία ε:. Έστω επίσης Α(5, ) και Β(, 5) δύο σημεία του κύκλου C. α) Να αποδείξετε ότι C : ( ) 5 (Μονάδες 9) β) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής C που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και εστία το κέντρο του κύκλου C. (Μονάδες 7) γ) Αν Μ και Μ είναι τα σημεία τομής των C και C, τότε: i) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων ε και ε της παραβολής C στα σημεία αυτά. (Μονάδες 5) ii) Nα αποδείξετε ότι οι ε και ε τέμνονται σε σημείο που ανήκει στον κύκλο C. (Μονάδες ) α) Έστω Κ(, ) ε οπότε θα ισχύει () ( Eπίσης ισχύει: KA) (KB) ( 5) ( ) ( ) ( 5) () Λύνοντας το (Σ) των (), ():, Άρα το K(, ) αποτελεί κέντρο του κύκλου, ενώ ακτίνα αυτού είναι: ρ (KA) Οπότε ο ζητούμενος κύκλος είναι C : ( ) 5 ( 5) ( ) 5 78

79 β) Επειδή η εστία της παραβολής συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου, δηλαδή Ε(, ) και η κορυφή της είναι στην αρχή των αξόνων, τότε θα έχει εξίσωση της μορφής p με p. Άρα η παραβολή θα έχει εξίσωση C : γ) Εφόσον τα Μ και Μ αποτελούν τα κοινά σημεία των C και C αντίστοιχα, τότε: ( 5 ) > ( ) 5 Άρα θα έχουμε Μ (, ) και Μ (, ). i) Η εφαπτομένη ε της C : στο Μ (, ) έχει εξίσωση:, ( ) ( ) Όμοια η εφαπτομένη ε της στο Μ (, ) έχει εξίσωση:, ( ) ( ), 6 απορ. ± ii) Οι ε και ε τέμνονται στο σημείο Μ του οποίου οι συντεταγμένες είναι Άρα το σημείο τομής των παραπάνω ευθειών είναι το Μ(, ). Εξετάζουμε αν το σημείο αυτό ανήκει στον C : ( ) 5 αντικαθιστώντας τις τιμές των συντεταγμένων και. Οπότε θα έχουμε () Άρα το σημείο τομής των εφαπτομένων είναι σημείο του παραπάνω κύκλου. ΘΕΜΑ Δ_56 Σε καρτεσιανό επίπεδο O θεωρούμε κύκλο C που διέρχεται από τα σημεία A(,), B(,) και Γ (,6). α) Να αποδείξετε ότι C: ( ). (Μονάδες ) β) Από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων να προσδιορίσετε εκείνες που εφάπτονται του κύκλου C. (Μονάδες 9) γ) Αν M και M είναι τα σημεία επαφής του κύκλου C με τις εφαπτόμενες του ερωτήματος β), να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και διέρχεται από τα σημεία M και M (Μονάδες 6) α) Έστω Κ( Κ, κ ) το κέντρο του κύκλου C. Τότε θα ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( ) K K K K K K 6 ( KA) (KB) (KΓ) K K ( ( K K ) ) και K ( K 6) ± ( και 6) ( ) K (K ) K K 6 K K K K 79

80 Άρα το κέντρο του κύκλου είναι το Κ(,) και η ακτίνα του είναι: ρ (ΚΑ) ( ) Οπότε ο κύκλος θα έχει εξίσωση: C: () β) Εφόσον οι εφαπτόμενες του κύκλου που αναζητούμε είναι ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε θα πρέπει να είναι της μορφής λ (η κατακόρυφη ευθεία με εξίσωση δεν είναι εφαπτόμενη του κύκλου γιατί διέρχεται από το κέντρο του). Επίσης, αυτές οι ευθείες θα έχουν ένα κοινό σημείο με τον κύκλο C, οπότε: λ (λ ) λ 8λ ( ) Δ ( 8λ) ( λ) λ ± Άρα ± 8 με Δ(±8 ) ± 8 Οπότε, ± 8 ( ) και ( ± ) ( ) ( ) ± Άρα Μ (, ) και Μ (, ) 5 απορρίπτεταιδιότι στο( Άρα οι εφαπτομένες του C που διέρχονται από την αρχή των αξόνων είναι: ε : και ε :,5)ηεφαπ/νη δεν διέρχεται από το(,) γ) Εφόσον τα M και M είναι συμμετρικά ως προς τον και αποτελούν σημεία της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων, τότε η εξίσωσή της θα είναι της μορφής: C : p όμως M C, τότε ( ) p p Οπότε C : ΘΕΜΑ Δ_ Σε καρτεσιανό επίπεδο Ο θεωρούμε τα σημεία A(, ), B(, ), την παραβολή και έστω Μ(, ) τυχαίο σημείο της παραβολής. α) Να αποδείξετε ότι: i. ( MAB) ( 6) ii. ( MAB ) (Μονάδες ) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του Μ ώστε το εμβαδόν (MAB) του τριγώνου ΜΑΒ να γίνεται ελάχιστο. (Μονάδες 5) γ) Έστω ότι το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται ελάχιστο όταν Μ(, ). Να εξετάσετε αν η εφαπτομένη της παραβολής στο Μ είναι παράλληλη στην πλευρά AB του τριγώνου ΜΑΒ. (Μονάδες ) 8

81 α) i) Αν Μ(, ) σημείο της παραβολής C: τότε M,, R Ακόμη AM, και AB (, ) οπότε: ( MAB) det( AM,AB)... ( 6) Αφού 6 ( ) > για κάθε R ii) α τρόπος Από το (α(i)) ερώτημα ( ) [ ] ( MAB) ( ) για κάθε R και το ισχύει μόνο για β τρόπος To τριώνυμο f() 6 παρουσιάζει ελάχιστο στο, το f()() () 6. Άρα για κάθε R είναι ( MAB) ( 6) f() f( ) (Η κορυφή της παραβολής α β β γ είναι στο σημείο ) α β) α τρόπος Το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ είναι, άρα MAB 6 6 Άρα για είναι Μ(, ) β τρόπος Το (ΜΑΒ) γίνεται ελάχιστο όταν το τριώνυμο f() 6 γίνεται ελάχιστο, που γίνεται για ( ) ( ) ( ) ( ). Οπότε Μ(, ) γ) Η εφαπτομένη της παραβολής C: με σταθερά p, στο σημείο της Μ(, ) έχει εξίσωση ε: () () και η ΑΒ έχει εξίσωση ( ) AB ( ) ( ) και είναι λ ε λ ΑΒ άρα ε//αβ ( ( ) ) 8

82 . ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Β_59 Δίνονται οι ελλείψεις C : και C : α) Να αποδείξετε ότι οι ελλείψεις C και C έχουν την ίδια εκκεντρότητα. (Μονάδες ) β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής των ελλείψεων C και C ανήκουν στον κύκλο C: 8 (Μονάδες ) α) Έχουμε 5 C : με εκκεντρότητα ε : και 5 5 C : με εκκεντρότητα ε : 5 Άρα οι ελλείψεις C και C έχουν την ίδια εκκεντρότητα. β) Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των δύο ελλείψεων: C C : : Επομένως 5 6 ± Για έχουμε: ± Για έχουμε: ± ( ) Άρα τα σημεία τομής των ελλείψεων C και C είναι Κ(, ), Λ(, ), Μ(, ), Ν(, ) τα οποία επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου C: 8 ΘΕΜΑ Β_ Δίνεται ο κύκλος C :, έλλειψη C : και η κατακόρυφη ευθεία ε:. 5 Aν Γ και Δ είναι τα σημεία του πρώτου τεταρτημορίου στα οποία η ευθεία ε τέμνει τον κύκλο C και την έλλειψη C αντίστοιχα, τότε: α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των Γ και Δ. (Μονάδες ) β) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου C στο σημείο Γ και της έλλειψης C στο σημείο Δ, καθώς και το σημείο τομής των εφαπτομένων αυτών. (Μονάδες ) α) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του Γ λύνουμε το σύστημα: ε: ±... Γ(,) > C :

83 Για να βρούμε τις συντεταγμένες του Δ λύνουμε το σύστημα: C : ± > 5... ε: Δ(,) β) Η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων C : ρ στο σημείο Α(, ) δίνεται από τον τύπο: ε: ρ Άρα η εξίσωση εφαπτομένης του κύκλου C στο σημείο Γ είναι: ε : ε : Η εξίσωση της έλλειψης C : στο σημείο Α( α β, ) δίνεται από τον τύπο: : α β ε Άρα η εξίσωση εφαπτομένης της έλλειψης C στο σημείο Δ είναι: ε : ε : 5 5 Για να βρούμε το σημείο τομής των δύο ευθειών ε, ε λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους, δηλαδή 5 5 Για 5 με αντικατάσταση προκύπτει ότι: Άρα το σημείο τομής των δύο εφαπτομένων είναι Κ(5, ) ΘΕΜΑ Β_56 Θεωρούμε την έλλειψη με εστίες τα σημεία E ( 5,),E( 5,) μονάδων. α) Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης. β) Αν Μ είναι σημείο της έλλειψης για το οποίο ισχύει ΜΕ ΜΕ, τότε: i) να βρείτε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων ΜΕ και ΜΕ ii) να αποδείξετε ότι η γωνία Ε ΜΕ είναι ορθή και μεγάλο άξονα μήκους 6 (Μονάδες ) (Μονάδες 9) α) Έχουμε γ 5 και α 6 α Επίσης β α γ 5 95 Οι εστίες βρίσκονται στον άξονα άρα η έλλειψη θα έχει τη μορφή (Μονάδες 6) 8

84 ή 9 β) Ξέρουμε ότι ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο έλλειψης αν και μόνο αν ΜΕ ΜΕ α Από την υπόθεση έχουμε ότι ΜΕ ΜΕ οπότε: ΜΕ ΜΕ α ΜΕ ΜΕ ΜΕ 6 ΜΕ ME Επίσης ΜΕ Άρα ΜΕ και ΜΕ γ) Παρατηρούμε ότι ισχύει ( EE ) ( 5) 5 και (ΜΕ) (ΜΕ ) 6 Άρα το τρίγωνο Ε ΜΕ είναι ορθογώνιο και η γωνία Ε ΜΕ είναι ορθή.. ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΜΑ Δ ΘΕΜΑ Δ_59 Σε καρτεσιανό επίπεδο O θεωρούμε τα σημεία M(,) για τα οποία ισχύει η ισότητα 6 AM BM ( OA OB), όπου A(,) και B(,). 9 α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία M ανήκουν στον κύκλο C : 5 (Μονάδες ) β) Αν Γ και Δ είναι τα σημεία τομής του κύκλου C με τον άξονα, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C η οποία έχει μεγάλο άξονα το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ και εστίες τα σημεία A και B. (Μονάδες ) ii) να παραστήσετε γραφικά τον κύκλο C και την έλλειψη C (Μονάδες ) α) Έχουμε AM (,), BM (, ), OA (,), OA (,) Άρα η δεδομένη σχέση γίνεται 6 6 AM BM ( OA OB) (,) (,) (,) (,)... 5, 9 9 β) Για έχουμε 5 ±5, άρα τα σημεία τομής με τον άξονα είναι Γ(5, ) και Δ(5, ). i) Έχουμε ΓΔα α α5 Όμως γ γ 9 α β 9 β 5 9 β 6 β Άρα η εξίσωση της έλλειψης είναι C :, 5 ii) Η γραφική παράσταση του κύκλου C και της έλλειψης C είναι η παρακάτω 8