MATEMATIKA 3. Vera & Rade

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MATEMATIKA 3. Vera & Rade"

Transcript

1 MATEMATIKA 3 Vera & Rade

2 1. Diferencijalne jednačine prvog reda - osnovni pojmovi Oznake: x - nezavisno promenljiva y - nepoznata funkcija, y = y(x) y = dy dx - izvod funkcije Opšti oblik diferencijalne jednačine prvog reda: (1) F (x, y, y ) = Normalni oblik diferencijalne jednačine prvog reda: (2) y = f(x, y) Napomena: (1) i (2) su funkcionalne jednačine

3 Primer: 1g šećera topi se u vodi brzinom proporcionalnom nerastvorenom delu. Naći jednačinu topljenja šečera. q(t) - broj istopljenih grama u trenutku t q (t) - brzina topljenja q = k(1 q), q() = Definicija: Funkcija y = y(x) je rešenje jednačine (2) na (a, b) ako je y (x) f(x, y(x)), x (a, b) Primer: q(t) = 1 1e kt q = 1ke kt = k( e kt ) = = k(1 q), t [, )

4 Primer iz ekonomije (funkcija mortaliteta u osiguranju): Populacija se sastoji od ljudi iste starosti. l(x) - veličina populacije u u trenutku x l(x) (uzrok je mortalitet) Brzina promene populacije proporcionalna je veličini populacije: l (x) = (p + qr x ) l(x) }{{} µ(x) µ(x) > - intenzitet smrtnosti p, q, r - parametri ( ) Rešenje: l(x) = Cs x q rx Gomperdtz-Makeham-ov zakon smrtnosti p = ln s, q ln r = ln q, C slobodan parametar Domaći: Proveriti da je l(x) = Cs x q rx opšte rešenje jednačine ( ).

5 Napomena: U principu, jednačina (2) ima beskonačno rešenja Definicija: Opšte rešenje j-ne (2) je eksplicitno zadata familija funkcija y = y(x, C) ili implicitno zadata familija ϕ(x, y, C) = koja identički zadovoljava (2) po x i C Primer: q(t) = 1 + Ce kt q = Cke kt = k(1 1 Ce kt ) = = k(1 q), C (, ), t (, ) Definicija: Partikularno rešenje j-ne (2) je svako rešenje koje se dobija iz opšteg za fiksiranu vrednost konstante C Primer: Za C = 1 dobija se partikularno rešenje q = 1 1e kt Definicija: Singularno rešenje j-ne (2) je rešenje koje se ne može dobiti iz opšteg ni za jednu vrednost konstante C Pitanje: Kako doći do opšteg rešenja?

6 Primer: y = x 2 (f(x, y) = x 2 ne zavisi od y) Skup svih rešenja je skup svih primitivnih funkcija f-je x 2 : y = x 2 dx = x3 3 + C y x Sl. 1 Opšte rešenje y = x3 3 + C sadrži sva rešenja. Za C = dobija se partikularno rešenje y = x3 3.

7 Napomena: Ako je data familija y = x3 3 + C, parametar C se može eliminisati diferenciranjem: y = 3 x2 3 = x2 Dobija se diferencijalna j-na čije je opšte rešenje polazna familija. Ova napomenena važi u opštem slučaju: y = y(x, C), y = d y(x, C) dx Eliminacija C iz dve veze daje diferencijalnu j-nu čije je rešenje polazna familija y = f(x, y) y = y(x, C) Primer: y = (x C) 3 y = 3(x C) 2 x C = 3 y y = 3( 3 y) 2 Dobijena je jednačina: y = 3 3 y 2

8 Opšte rešenje j-ne: y = (x C) 3 y y=(x-c) 3 x Sl. 2 Postoji još beskonačno mnogo rešenja koja nisu obuhvaćena opštim (Sl. 3): y y a,b = (x a) 3, x a, a x b (x b) 3, x b

9 y a b (x,) x Sl. 3 Kroz svaku tačku (x, ) prolazi beskonačno mnogo rešenja. 2. Egzistencija rešenja y = f(x, y) f(x, y) je definisana na oblasti D R 2, (x, y ) D Osnovni problem: postoji li rešenje jednačine y = f(x, y) koje zadovoljava uslov y(x ) = y? Ako postoji, da li je jedinstveno?

10 Ovo je tzv. Košijev problem: (KP ) y = f(x, y), y(x ) = y Primer 1. y = 3 3 y 2 Kroz tačke (x, y ), y prolazi jedno rešenje y = (x x + 3 y ) 3 : y y x x Sl. 4 Kroz tačke (x, ) prolazi beskonačno mnogo rešenja (sl.5):

11 (x a) 3, x a y =, y a,b =, a x b (x b) 3, x b y a x b x Sl.5 Primer 2. y = y x Može se proveriti da je y = C x opšte rešenje jednačine

12 Sl. 6 Kroz tačke (, y ) ne prolazi ni jedno rešenje Teorema (Pikar): Neka je P a,b = {(x, y) : x x a, y y b}. Ako je f(x, y) na P a,b : neprekidna ograničena, tj. f(x, y) M, (x, y) P a,b zadovoljava Lipšicov uslov f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) L y 1 y 2, (x, y 1 ), (x, y 2 ) P a,b,

13 tada na (x h, x + h), h = min{a, b/m}, postoji jedinstveno rešenje (KP ) i to rešenje je jedinstveno. y y + b y(x) y y -b x -a x -h x x +h x + a x Sl. 7 Napomena: Ako na P a,b postoji f y i važi f y L, tada važi Lipšicov uslov: f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) = f y (x, ξ)(y 1 y 2 ) L y 1 y 2 Primer: y = x + y, y() = 1 P a,b = {(x, y) : x a, y 1 b}

14 Funkcija f(x, y) = x + y na P a,b je: neprekidna f(x, y) = x+y x + y 1 +1 a+b+1 = M f y = 1 Zaključak: Na intervalu ( h, h), h = min{a, postoji rešenje jednačine i jedinstveno je. b a+b+1 }, Skica dokaza Pikarove teoreme - metoda sukcesivnih aproksimacija: (KP ) dy dx = f(x, y), y(x ) = y dy(x) = f(x, y(x))dx x x dy(x) = f(x, y(x))dx x x x y(x) y(x ) = f(x, y(x))dx }{{} y x

15 Integralna jednačina: y(x) = y + x x f(x, y(x))dx Sukcesivne aproksimacije: y (x) y x y 1 (x) = y + f(x, y (x))dx x. x y n+1 (x) = y + f(x, y n (x))dx x. Rezultat: y n (x) y(x), x (x h, x + h) gde je y(x) jedinstveno rešenje (KP ) Ocena greške: y n (x) y(x) ML n x x n+1 (n + 1)! e L x x

16 Primer: y = x + y, y() = 1 y (x) 1 y 1 (x) = 1 + x = 1 + x2 2 + x y 2 (x) = 1 +. x f(x, y (x))dx = 1 + (x x2 2 x (x + 1)dx + x)dx = 1 + x3 6 + x2 + x Domaći: Ispitati uslove Pikarove teoreme za Košijev problem y = x y, y(2) = 4 Napomena: Ako je poznato opšte rešenje, rešenje (KP ) se dobija zamenom početnih uslova u opštem rešenju:

17 y = y(x, C) y = y(x, C) C = C Traženo rešenje (KP ): y = y(x, C ) Primer: y = 3 3 y 2, y(1) = 1 y = (x C) 3 1 = (1 C) 3 C = y = x 3 y y= x 3 x Sl. 8

18 METODE REŠAVANJA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA PRVOG REDA a) Jednačina koja razdvaja promenljive y = g(x)h(y) g, h - neprekidne funkcije dy = g(x)h(y) h(y) dx dy = g(x)dx h(y) dy = g(x)dx (OR) h(y) Napomene: Ako je h, j-na je trivijalna: y = Ako je h, ali postoji y t. d. h(y ) =, onda je y = y rešenje koje se ne sadrži u opštem

19 Primer: y = x3 (y + 1) 2 g(x) = x3 h(y) = 1 (y + 1) 2 (y + 1) 2 dy = x 3 dx (y + 1) 2 dy = x 3 dx (y+1) 3 3 = x4 4 + C implicitno zadato rešenje ( ) y = 3 3 C x4 4 1 eksplicitno zadato rešenje (KP ) y() = 1 : 1 = 3 3C 1 C = 8/3 y = 3 3(8/3 x 4 /4) 1

20 b) Homogena jednačina y = g ( y) x x, g neprekidna funkcija Smena: z = y x dz g(z) z y = zx y = z x + z z x + z = g(z) z x = g(z) z dz g(z) z = dx x, g(z) z = ln x + C Primer: y = y2 +xy x 2 x 2 opšte rešenje = ( y) 2 x + y x 1 y x = z z x + z = z 2 + z 1 z x = z 2 1 dz z 2 1 = dx x 1 2 ln z 1 z + 1 = ln x + C 1 2 ln y x y + x = ln x + C

21 c) Jednačina koja se svodi na homogenu ( ) y = F αx+βy+γ ax+by+c F neprekidna; γ ili c 1 α β a b = αb βa Smene: x = X + h X- nova nezavisno promenljiva y = Y + k Y - nova nepoznata funkcija dy dx = dy ( ) α(x + h) + β(y + k) + γ dx = F a(x + h) + b(y + k) + c αh + βk + γ = dy dx = F ah + bk + c =, (det ) ( αx + βy ax + by ) = F ( α + β Y X a + b Y X )

22 2 αb βa = Smena: z = αx + βy (ili z = ax + by) Jednačina se svodi na j-nu koja razdvaja promenljive u odnosu na novu nepoznatu f-ju z Domaći (jun 25): y = (2y+1)2 (x+2y 2) 2 d) Linearna diferencijalna jednačina prvog reda (LNH) y + p(x)y = q(x) (LH) y + p(x)y = p, q - neprekidne funkcije dy = p(x)y, (y ) dx dy = p(x)dx y ln y = p(x)dx + C 1 y = e p(x)dx e C 1 (e C 1 > )

23 C = { e C 1 za y > e C 1 za y < y = Ce p(x)dx y rešenje (C ) y h = Ce p(x)dx, C R - opšte rešenje (LH) Metoda varijacije konstanata za (LN H) jednačinu: (LNH): y nh = C(x)e p(x)dx y nh = C e p(x)dx Ce p(x)dx p(x) C e p(x)dx Ce p(x)dx p(x) }{{} y nh + p(x)ce p(x)dx }{{} y nh C (x) = e p(x)dx q(x) C(x) = q(x)e p(x)dx dx + C y nh = e ( ) p(x)dx q(x)e p(x)dx dx + C = q(x)

24 Primer: y + 2xy = 4x (LH) : y + 2xy = dy y = 2xdx ln y = x2 + C 1 y h = Ce x2 y nh = C(x)e x2 C e x2 2xe x2 C + 2xCe x2 = 4x C = 4xe x2 ( ) y nh = e x2 2e x2 + C C(x) = 2e x2 + C = Ce }{{ x2 } + }{{} 2 y h y p Važi u opštem slučaju: y nh = e p(x)dx q(x)e p(x)dx dx }{{} y p + Ce p(x)dx }{{} y h

25 e) Bernulijeva jednačina y + p(x)y = q(x)y α α = : linearna α = 1 : razdvaja promenljive y y α + p(x)y 1 α = q(x) Smena: z = y 1 α z = (1 α)y α y y y α = z 1 α z 1 α + p(x)z = q(x) (1 α) z + p 1 (x)z = q 1 (x), linearna p 1 = (1 α)p, q 1 = (1 α)q Napomena: Ako je y 1 jedno rešenje Rikatijeve jednačine y + p(x)y 2 + q(x)y = r(x), smena y = y 1 + z svodi jednačinu na Bernulijevu

26 f) Jednačina sa totalnim diferencijalom Ako F (x, y) ima neprekidne parcijalne izvode na D R 2,onda je df (x, y) = F F dx + x y dy Obratno: ako su P (x, y) i Q(x, y) date funkcije, postoji li F (x, y) tako da je df (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy? Teorema: Neka su P (x, y) i Q(x, y) neprekidne zajedno sa parcijalnim izvodima na D. Tada je izraz P (x, y)dx+q(x, y)dy totalni diferencijal neke funkcije F (x, y) ako i samo ako je P y = Q x na D

27 Dokaz. ( ) : P dx + Qdy je tot. dif. F t.d. F x = P, F y = Q 2 F x y = P y, 2 F y x = Q x P y = Q x ( ) : (1) P y = Q x. Tražimo F t.d. F x = P (x, y) (2) F y = Q(x, y) (1) F (x, y) = x a P (x, y)dx + ϕ(y) F y = x a P y dx + ϕ (y) = x a Q x dx + ϕ (y) = Q(x, y) Q(a, y) + ϕ (y) = Q(x, y)

28 ϕ (y) = Q(a, y) ϕ(y) = F (x, y) = x a P (x, y)dx + y b y b Q(a, y)dy + C 1 Q(a, y)dy + C 1 Primena na diferencijalne jednačine: y P (x, y) = f(x, y) = Q(x, y) dy dx = P (x, y) Q(x, y) (3) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = P Ako je y x, jednačina (3) je jednačina sa totalnim diferencijalom i može se zapisati u obliku = Q (4) df (x, y) =

29 Opšte rešenje jednačine (4) : F (x, y) = C 2, tj. x y P (x, y)dx + Q(a, y)dy = C a b Primer: (3x 2 + 6xy }{{ 2 )dx + (6x } 2 y + 4y 2 ) dy = }{{} P Q P y = 12xy = Q x F (x, y) = P (x, y)dx + ϕ(y) = (3x 2 + 6xy 2 )dx + ϕ(y) = x 3 + 3x 2 y 2 + ϕ(y) F y = Q(x, y) : 6x2 y+ϕ (y) = 6x 2 y+4y 2 ϕ (y) = 4y 2 ϕ(y) = 4 3 y3 +C 1 F (x, y) = x 3 +3x 2 y y3 +C 1 Opšte rešenje: x 3 + 3x 2 y y3 = C

30 Integracioni faktor: sa P y Q x P (x, y)dx + Q(x, y)dy =, r(x, y) P 1 = P r, Q 1 = Q r P 1 (x, y)dx + Q 1 (x, y)dy =, r(x, y) je integracioni faktor ako je P 1 y = Q 1 x Ako je: P 1 y Q x Q(x, y) = f(x) r = e f(x)dx je int. faktor P 2 y Q x P (x, y) = g(y) r = e g(y)dy je int. faktor Dokaz 1 : P 1 = P e f(x)dx, Q 1 = Qe f(x)dx

31 P 1 y Q 1 x = P y e f(x)dx = Q x e f(x)dx + Qe = Q x e f(x)dx + Qe = P y e f(x)dx = P 1 y Domaći (januar 5): Rešiti jednačinu f(x)dx f(x) = 2y sin 2y tan x + cos 2 x = nalaženjem integracionog faktora r(y) P f(x)dx y Q x Q = 4. Singularne tačke Tačke u kojima su za jednačine dy dx = f(x, y) i dx dy = 1 f(x, y) narušeni uslovi Pikarove teoreme

32 Primer: dy dx = Ax+By Cx+Dy (, ) je sing. tačka Tipovi singulariteta (kroz primere): 1 dy dx = 2y x ( ) dx dy = 2y x Opšte rešenje: y = Cx 2, y (x ) y x čvor - kroz (, ) prolaze sve integralne krive

33 2 dy dx = y x ( ) dx dy = x y Opšte rešenje: y = C x, y (x ) sedlo - kroz (, ) ne prolazi ni jedna integralna kriva (osim degenerisanih)

34 3 dy dx = x y ( dx dy = y ) x Opšte rešenje: x 2 + y 2 = C y x centar - kroz (, ) ne prolazi ni jedna integralna kriva

35 4 dy dx = x+y x y ( dx dy = x y ) x+y Opšte rešenje: x 2 + y 2 = Ce arctan y x (C > ) x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ ρ = Ce ϕ y x fokus

36 DIFERENCIJALNE JEDNAČINE VIŠEG REDA

37 1. Osnovni pojmovi. Egzistencija rešenja Opšti oblik diferencijalne j-ne n tog reda: (1) F (x, y, y,..., y (n) ) = Normalni oblik: (2) y (n) = f(x, y, y,..., y (n 1) ) Definicija: Funkcija y = y(x) je rešenje jednačine (2) na (a, b) ako identički zadovoljava jednačinu (2) na (a, b) Definicija: Funkcija y = y(x, C 1,..., C n ) (ϕ(x, y, C 1,..., C n ) = ) je opšte rešenje j-ne (2) na (a, b) ako identički zadovoljava (2) po x i po C 1,..., C n na (a, b)

38 Košijev problem: (KP ) y (n) = f(x, y, y,..., y (n 1) ) y(x ) = y y (x ). = y y (n 1) (x ) = y (n 1) Pitanje: Da li postoji rešenje (KP )? Ako postoji, da li je jedinstveno? Pikarova teorema: Neka je P a,b = {(x, y, y,..., y (n 1) ) : x x a, y y b,..., y (n 1) y (n 1) b} Ako je 1 f neprekidna na P a,b 2 f(x, y,..., y (n 1) ) M na P a,b 3 f(x, y, y,..., y (n 1)) f(x, ȳ, ȳ,..., ȳ (n 1) ) L( y ȳ + + y (n 1) ȳ (n 1) ), ( Lipšicov uslov) tada na (x h, x + h), h = min{a, b/m}, postoji rešenje y = y(x) (KP ) i jedinstveno je.

39 Napomena: f y, f y,..., f ograničeni Lipšicov uslov y (n 1) 2. Snižavanje reda 1 F (x, y, y ) = ne sadrži y Smena: y = z y = z F (x, z, z ) = z = z(x, C 1 ) j-na prvog reda opšte rešenje y = z(x, C 1 )dx + C 2 opšte rešenje polazne j-ne 2 F (y, y, y ) = ne sadrži x x y p y

40 Smena: y = p(y) p - nova nepoznata funkcija koja zavisi od y y = d dx p(y) }{{} y p = p(y, C 1 ) = dp dy dy dx = dp dy p F (y, p, dp dy p) = dy p(y,c 1 ) = dx dif. j-na prvog reda opšte rešenje dy dx = p(y, C 1) dy p(y,c 1 ) = x+c 2 o.r. polazne j-ne 3. Linearna diferencijalna jednačina drugog reda a) Definicija, egzistencija rešenja (LNH) y + p(x)y + q(x)y = f(x) (LH) y + p(x)y + q(x)y = (KP ) za (LNH) ili (LH) : y(x ) = y, y (x ) = y

41 Teorema (Pikarova, globalni iskaz): Ako su p(x), q(x) i f(x) neprekidne na (a, b) i ako x (a, b), tada postoji jedno i samo jedno rešenje (KP ) definisano na (a, b) Napomena: moguće je a =, b = + Primer: y + 1 x y x y = ln x; y(1) =, y (1) = 1 p(x) = 1 x, q(x) = 1, f(x) = ln x 5 x p je nepr. za x, q je nepr. za x 5 f je nepr. za x > o 1 5 o x Na (a, b) = (, 5) je definisano rešenje (KP ) i jedinstveno je. Napomena: Teorema važi i za n = 1: y + p(x)y = q(x)

42 b) Osobine rešenja linearne homogene jednačine (LH) y + p(x)y + q(x)y = Napomena: y je rešenje, tzv. trivijalno Teorema: Ako su y 1 (x) i y 2 (x) rešenja (LH), a C 1 i C 2 proizvoljne konstante, onda je rešenje (LH) y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) Dokaz: y = C 1 y 1 + C 2y 2, y = C 1 y 1 2y (LH) : C 1 y 1 + C 2y = C 1 (y } 1 + p(x)y {{ 1 + q(x)y 1) } p(x)(c 1y 1 + C 2y 2 ) + q(x)(c 1y 1 + C 2 y 2 ) = +C 2 (y } 2 + p(x)y {{ 2 + q(x)y 2) } Napomena : y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) je opšte rešenje (LH) ( slabo )

43 Definicija: Rešenja y 1 (x) i y 2 (x) su linearno zavisna na (a, b) ako je y 2 (x) y 1 (x) const, x (a, b), a linearno nezavisna na (a, b) ako je y 2 (x) u(x), x (a, b) y 1 (x) Napomena: y 2 = const C 1 y 1 + C 2 y 2 (C 1 ili C 2 ) y 1 y 2 = u(x) C 1 y 1 + C 2 y 2, x (a, b) y 1 (osim za C 1 = C 2 = ) Definicije (alternativne): Rešenja y 1 (x) i y 2 (x) su linearno zavisna na (a, b) ako postoje konstante C 1 i C 2, koje nisu obe nule, takve da je C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) =, x (a, b) Rešenja y 1 (x) i y 2 (x) su linearno nezavisna na (a, b) ako važi implikacija C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x) =, x (a, b) C 1 =, C 2 =

44 Primer: y 1 (x) = x i y 2 (x) = x+1 su rešenja jednačine y = C 1 x + C 2 (x + 1) = (C 1 + C 2 )x + C 2 C 1 +C 2 =, C 2 = C 1 =, C 2 = (lin. nez. reš.) ( y2 (x) y 1 (x) = x+1 x ) = u(x) Definicija: Neka su y 1 (x) i y 2 (x) rešenja (LH) jednačine. Vronskijan rešenja y 1 (x) i y 2 (x) je determinanta W (x) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) Teorema: Rešenja y 1 (x) i y 2 (x) (LH) jednačine su linearno nezavisna na (a, b) ako i samo ako je W (x), x (a, b) Dokaz: ( ) Neka su y 1 (x) i y 2 (x) lin. nezavisna na (a, b). Pretpostavimo, suprotno tvrdnji teoreme, da x (a, b) : W (x ) =

45 Posmatramo homogeni sistem (S) linearnih algebarskih jednačina po C 1, C 2 C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) =. Zbog det(s) = W (x ) =, imaće netrivijalno rešenje C 1, C 2. Tada je y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) rešenje j-ne koje zadovoljava početne uslove y(x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = (S) y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = (S) Iste početne uslove zadovoljava i rešenje y (Pikarova teorema) C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x), x (a, b) Ovo je kontradiktorno pretpostavci o linearnoj nezavisnosti rešenja y 1 i y 2. Pretpostavka W (x ) = se mora odbaciti, pa je W (x), x (a, b)

46 ( ) W (x), x (a, b) Pretpostavimo Sledi C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) =, x (a, b). C 1 y 1 (x) + C 2y 2 (x) =, x (a, b) Za fiksirano x = x (a, b) : C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = Homogen sistem, det = W (x ) C 1 =, C 2 =, tj. y 1 i y 2 su linearno nezavisni Primer: y 1 = x, y 2 = x + 1 W (x) = y =, (a, b) = (, ) x x = x (x+1) = 1, x (, )

47 Teorema: Neka su y 1 (x) i y 2 (x) linearno nezavisna rešenja (LH) jednačine. Tada opšte rešenje (LH) jednačine y h = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) sadrži sva rešenja (LH) jednačine. ( jako rešenje) Dokaz: Neka je y(x) proizvoljno rešenje (LH) jednačine koje zadovoljava početne uslove y(x ) = y, y (x ) = y. Pokazaćemo da se mogu naći konstante C 1 i C 2 takve da i C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x) zadovolji iste te početne uslove, tj. da bude C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = y C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = y Nehomogen sistem, det = W (x ) jedinstveno rešenje: C 1 = C 1, C 2 = C 2. Sada C 1 y 1(x) + C 2 y 2(x) i y(x) zadovoljavaju iste početne uslove (Pikarova t.) C 1 y 1(x) + C 2 y 2(x) y(x), x (a, b)

48 c) Rešavanje (LH) jednačine ako je poznato jedno rešenje (LH) y + p(x)y + q(x)y = Teorema: Ako je y 1 (x) netrivijalno partikularno rešenje (LH) jednačine,tada se linearno nezavisno rešenje y 2 (x) može dobiti rešavanjem (DJ) prvog reda. Dokaz: y 2 (x) = u(x)y 1 (x) y 2 = u y 1 + uy 1 y 2 = u y 1 + 2u y 1 + uy 1 (LH) u y 1 + 2u y 1 + uy 1 + p(x)(u y 1 + uy 1 ) + q(x)uy 1 = u + 2u y 1 + p(x)u y 1 + u(y } 1 + py {{ 1 + qy 1) = } u y 1 + u (2y 1 + p(x)y 1) = Smena: z = u z = u z y 1 + z(2y 1 + p(x)y 1) = z = z 2y 1 + p(x)y 1 y 1 j-na prvog reda razdvaja prom.

49 z = z(x) jedno partikularno rešenje u = z(x)dx jedna primitivna funkcija y 2 (x) = u(x)y 1 (x) y h = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x)

50 d) Linearna homogena jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima (LHC) y + py + qy = p, q const; (a, b) = (, ) Rešenje tražimo u obliku y = e λx y = λe λx y = λ 2 e λx λ 2 e λx + pλe λx + qe λx = (KJ) λ 2 + pλ + q = karakteristična jednačina λ 1, λ 2 koreni (KJ) : 1 λ 1 λ 2 realni 2 λ 1 = λ 2 = a realno 3 λ 1, 2 = α ± iβ

51 1 y 1 (x) = e λ 1x, y 2 (x) = e λ 2x y 2 y 1 = e (λ 2 λ 1 )x const y h = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x 2 y 1 = e ax, y 2 = u(x)y 1 (x) c) u y 1 + u (2y 1 + py 1) = Medjutim, λ 2 + pλ + q = (λ a) 2 = λ 2 2aλ + a 2 p = 2a, q = a 2 pa je y 1 = e ax, y 1 = aeax, u e ax + u (2ae ax 2a }{{} e ax ) = u = p u = A u = Ax + B. Spec. A = 1, B = u = x y 2 (x) = xy 1 (x) = xe ax y h = C 1 e ax + C 2 xe ax

52 3 λ 1 = α + iβ, λ 2 = α iβ y(x) = e (α+iβ)x je kompleksno rešenje y(x) = e αx e iβx = e αx (cos βx + i sin βx) Teorema: Ako je y = u(x) + iv(x) rešenje (LHC), onda su i y = u(x) i y = v(x) rešenja (LHC). Dokaz: domaći Posledica: y 1 (x) = e αx cos βx, y 2 (x) = e αx sin βx su rešenja (LHC) Ona su lin. nezavisna: y 1 y 2 y 1 y 2 = βe2αx, (β ) (proveriti) y h = C 1 e αx cos βx + C 2 e αx sin βx

53 Primer: y + y 2y = λ 2 + λ 2 = λ 1 = 1, λ 2 = 2 y 1 (x) = e x, y 2 (x) = e 2x y h = C 1 e x + C 2 e 2x e) Struktura opšteg rešenja (LN H) (LNH) y + p(x)y + q(x)y = f(x) (LH) y + p(x)y + q(x)y = Teorema: Neka je y h = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) opšte rešenje (LH), a y p (x) jedno partikularno rešenje (LNH). Tada je y nh = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) +y }{{} p (x) y h opšte rešenje (LN H). Dokaz: y nh = y h + y p y nh = y h + y p, y nh = y h + y p (LNH)

54 y h + y p + p(x)(y h + y p ) + q(x)(y h + y p ) = = y h } + py {{ h + qy h + y } p + py p + qy p = f(x) }{{} f(x) Napomena: Može se pokazati da je y nh "jako" rešenje (sadrži sva rešenja) Ostaje da se reši problem nalaženja y p. f) Metoda varijacije konstanti za (LN H) (LNH) y + p(x)y + q(x)y = f(x) (LH) y + p(x)y + q(x)y = y h = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) y nh = C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) y nh = C 1 y 1 + C 1 y 1 + C 2 y 2 + C 2 y 2

55 Neka je C 1 y 1 + C 2 y 2 = (1) y nh = C 1y 1 + C 2y 2 y nh = C 1 y 1 + C 1y 1 2 y 2 + C 2y 2 C } 1 y 1 + C 1y 1 {{ + C 2 y 2 + C 2y 2 +p(x)(c } 1 y 1 + C 2y 2 ) + }{{} y nh y nh +q(x)(c } 1 y 1 {{ + C 2 y 2 } ) = f(x) y nh Medjutim, C 1 (y 1 +p(x)y 1 +q(x)y 1) =, C 2 (y 2 +p(x)y 2 +q(x)y 2) = pa je C 1 y 1 + C 2 y 2 = f(x) (2) Nepoznate funkcije C 1 (x) i C 2 (x) odredjuju se iz sistema (1), (2) C 1 y 1 + C 2 y 2 = C 1 y 1 + C 2 y 2 = f(x) za koji je det = W (x).

56 C 1 = u 1(x), C 2 = u 2(x) C 1 (x) = C 2 (x) = u 1 (x)dx + C 1 u 2 (x)dx + C 2 y nh = ( u 1 (x)dx + C 1 )y 1 (x) + ( u 2 (x)dx + C 2 )y 2 (x) = Primer: = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) }{{} + ( u 1 (x)dx)y 1 (x) + ( u 2 (x)dx)y 2 (x) } {{ y p } y h + y 4y 12y = e 6x y 4y 12y = λ 2 4λ 12 = λ 1 = 6, λ 2 = 2 y h = C 1 e 6x +C 2 e 2x, W (x) = e 6x 6e 6x y nh = C 1 (x)e 6x +C 2 (x)e 2x e 2x = 8e4x 2e 2x

57 D 1 = e 6x C 1 e6x + C 2 e 2x = 6C 1 e6x 2C 2 e 2x = e 6x e 2x = e4x C 1 (x) = 8 1 2e 2x D 2 = e6x 6e 6x e 6x = e12x C 2 (x) = 1 8 e8x C 1 (x) = 1 8 x + C 1, C 2 (x) = 1 64 e8x + C 2 y nh = C } 1 e 6x + {{ C 2 e 2x } xe6x 1 64 e6x y h }{{} y p 4. Linearna diferencijalna jednačina n tog reda a) Definicija. Egzistencija rešenja (LNH) y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n (x)y = f(x) (LH) y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n (x)y =

58 (KP ) za (LNH) ili (LH) : y(x ) = y,..., y (n 1) (x ) = y (n 1) Teorema (Pikarova, globalna): Ako su p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x), f(x) neprekidne na (a, b), onda za bilo koje x (a, b) postoji rešenje (KP ) na (a, b) i jedinstveno je. b) Osobine rešenja (LH) jednačine n tog reda y trivijalno rešenje (LH) Teorema: Ako su y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) rešenja (LH) jednačine, a C 1, C 2,..., C n proizvoljne konstante,onda je i y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x) rešenje te jednačine. Definicija: Rešenja y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) (LH) jednačine su linearno zavisna na (a, b) ako postoje

59 konstante C 1, C 2,..., C n, koje nisu sve jednake nuli, takve da je C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x) =, x (a, b) Rešenja y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) su linearno nezavisna na (a, b) ako važi implikacija C 1 y 1 (x) + + C n y n (x), x (a, b) C 1 = = C n = Definicija: Vronskijan rešenja y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) (LH) jednačine je determinanta y 1 (x)... y n (x) y W (x) = 1 (x)... y n (x)..... y (n 1) 1 (x)... y n (n 1) (x) Teorema: Rešenja y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) (LH) su linearno nezavisna na (a, b) ako i samo ako je W (x), x (a, b).

60 Teorema: Ako su y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) linearno nezavisna rešenja (LH) jednačine, tada njeno opšte rešenje y h = C 1 y 1 (x) + + C n y n (x) sadrži sva rešenja (LH) jednačine. ("jako" rešenje) c) Linearna homogena jednačina n tog reda sa konstantnim koeficijentima (LHC) y (n) + p 1 y (n 1) + + p n y = p i = const; (a, b) = (, ) Rešenje tražimo u obliku y = e λx y = λe λx. y (n) = λ n e λx (LHC) : λ n e λx +p 1 λ n 1 e λx + +p n e λx = (KJ) λ n + p 1 λ n p n = karakt. j-na λ n + p 1 λ n p n = (λ λ 1 ) (λ λ n )

61 Teorema: Svakom m tostrukom realnom korenu λ = a odgovara m linearno nezavisnih rešenja y = e ax, y = xe ax,..., y = x m 1 e ax Svakom r tostukom konjugovano kompleksnom paru λ = α ± iβ odgovara 2r rešenja y = e αx cos βx, y = xe αx cos βx,..., y = x r 1 e αx cos βx y = e αx sin βx, y = xe αx sin βx,..., y = x r 1 e αx sin βx Svih n rešenja su linearno nezavisni. Primer: y IV 16y = λ 4 16 = (λ 2 4)(λ 2 + 4) = (λ 2)(λ + 2)(λ 2i)(λ + 2i) = λ 1 = 2 : y = e 2x, λ 2 = 2 : y = e 2x λ 3 = 2i : (α =, β = 2) y = e x cos 2x = cos 2x λ 4 = 2i : y = sin 2x y h = C 1 e 2x + C 2 e 2x + C 3 cos 2x + C 4 sin 2x

62 Domaći: y V II + 3y V I + 3y V + y IV = d) Struktura opšteg rešenja (LNH) (LNH) y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n (x)y = f(x) (LH) y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n (x)y = Teorema: Neka je y h = C 1 y 1 (x) + + C n y n (x) opšte rešenje (LH), a y p (x) jedno partikularno rešenje (LN H) jednačine. Tada je y nh = C 1 y 1 (x) + + C n y n (x) + y p (x) opšte rešenje (LNH) jednačine ( jako je - sadrži sva rešenja te jednačine). e) Metoda varijacije konstanti za (LN H) jednačinu y h = C 1 y 1 (x) + + C n y n (x) y nh = C 1 (x)y 1 (x) + + C n (x)y n (x)

63 Funkcije C 1 (x),..., C n (x) se dobijaju iz sistema C 1 y C n y n = C 1 y C n y n =. C 1 y(n 1) C n y(n 1) n = f(x) det = W (x) C 1 = u 1(x),..., C n = u n(x) C 1 (x) = u 1 (x)dx + C 1. C n (x) = u 1 (x)dx + C n y nh = ( u 1 dx + C 1 )y ( = C 1 y C n y n }{{} u n dx + C n )y n = + y 1 u 1 dx + + y n u n dx y h }{{} y p

64 f) Metoda neodredjenih koeficijenata za (LN HC) (LNHC) y (n) + p 1 y (n 1) + + p n y = f(x) p i = const, i = 1,..., n 1 f(x) = e αx [P (x) cos βx + Q(x) sin βx] P (x), Q(x) polinomi, st(p ) = p, st(q) = q y p (x) = x s e αx [R(x) cos βx + S(x) sin βx] R(x), S(x) polinomi sa neodr. koeficijentima: st(r) = st(s) = max{p, q} s = {, ako α ± iβ nije koren (KJ) red (višestrukost) korena α ± iβ Koeficijenti se odredjuju uvrštavanjem u samu jednačinu

65 Specijalni slučajevi: α =, β = f(x) = P (x) α =, β f(x) = P (x) cos βx+q(x) sin βx (P ili Q moguće) α, β = f(x) = e αx P (x) Primeri: f(x) = sin 3x : α =, β = 3; P, Q(x) = x, st(p ) =, st(q) = 1 y p = x s [(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x] f(x) = x 2 : α =, β =, P (x) = x 2, st(p ) = 2 y p = x s (Ax 2 + Bx + C) f(x) = e x cos x : α = 1, β = 1; P 1, Q st(p ) =, st(q) = y p = x s e x (A cos x + B sin x)

66 2 f(x) = f 1 (x) + + f m (x) f i (x) = e α ix (P i (x) cos β i x+q i (x) sin β i x), i = 1,..., m y p = y p1 + + y pm ; y pi se dobija prema 1 Domaći: y V y IV + y y = e x + sin 2x

67 SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA

68 1. Definicija. Egzistencija rešenja x 1,..., x n - nepoznate funkcije t - nezavisno promenljiva (vreme) Opšti oblik sistema diferencijalnih jednačina prvog reda: Normalni oblik: F 1 (t, x 1, x 1,..., x n, x n ) = F n (t, x 1, x 1,..., x n, x n ) = x 1 = dx 1 dt,, x n = dx n dt x 1 = f 1(t, x 1,..., x n ). (1). (2) x n = f n(t, x 1,..., x n ), Simetrični oblik: dx 1 f 1 = = dx n f n = dt 1 (3)

69 Definicija: Skup funkcija x 1 (t),..., x n (t) je rešenje sistema (2) na (a, b) ako je x 1 (t) f 1(t, x 1 (t),..., x n (t)). x n (t) f n(t, x 1 (t),..., x n (t)), t (a, b) Definicija: Skup funkcija x 1 = x 1 (t, C 1,..., C n ). x n = x n (t, C 1,..., C n ) je opšte rešenje sistema (2) na (a, b) ako identički zadovoljava (2) po t i C 1,..., C n na (a, b) Primer: Da li je familija x = C 1 + C 2 e t y = C 1 + C 3 e t z = C 1 + C 2 e t + C 3 e t o. r. sistema x = y z y = z x z = y x? x = C 2 e t = (C } 1 + {{ C 3 e } t ) (C } 1 + C 2 e {{ t + C 3 e } t ) y z

70 y = C 3 e t = (C } 1 + C 2 e {{ t + C 3 e } t ) (C } 1 + {{ C 2 e t } ) z x z = C 2 e t + C 3 e t = (C } 1 + {{ C 3 e } t ) (C } 1 + {{ C 2 e t } ) y x Košijev problem: Neka (t, x 1,..., x n ) Rn+1. Postoji li rešenje sistema (2) koje zadovoljava početne uslove x 1 (t ) = x 1,..., x n(t ) = x n? Ako postoji, da li je jedinstveno? Teorema (Pikarova): Neka je P a,b = {(t, x 1,..., x n ) : t t a, x i x i b, i = 1,..., n} i neka su 1 f 1,..., f n neprekidne na P a,b 2 f i (t, x 1,..., x n ) M, i = 1,..., n 3 f i (t, x 1,..., x n ) f i (t, x 1,..., x n ) L( x 1 x x n x n ), i = 1,..., n (Lipšicov uslov)

71 Tada na (t h, t + h), h = min{a, b/m} postoji rešenje x 1 = x 1 (t),..., x n = x n (t) (KP ) i ono je jedinstveno. Napomena: Ako funkcije f i, i = 1,..., n imaju ograničene parcijalne izvode na P a,b, tj. f i x N; i, j = 1,..., n, j onda one zadovoljavaju Lipšicov uslov. 2. Rešavanje (KP ) 1 Približne metode 2 Iz opšteg rešenja: x 1 = x 1 (t, C 1,..., C n ). x n = x n (t, C 1,..., C n ) x 1 (t, C 1,..., C n ) = x 1. x n (t, C 1,..., C n ) = x n C 1,..., C n Rešenje (KP ): x 1 = x 1 (t, C 1,..., C n ). x n = x n (t, C 1,..., C n )

72 Primer: U prethodnom primeru naći rešenje koje zadovoljava uslov x() = 1, y() = 2, z() = x = C 1 + C 2 e t y = C 1 + C 3 e t z = C 1 + C 2 e t + C 3 e t C 1 + C 2 = 1 C 1 + C 3 = 2 C 1 + C 2 + C 3 = C 1 = 3, C 2 = 2, C 3 = 1. Traženo rešenje: x = 3 2e t y = 3 e t z = 3 2e t e t Mogućnosti nalaženja opšteg rešenja: a) Svodjenjem na diferencijalnu j-nu n tog reda b) Preko prvih integrala sistema c) Metodama za rešavanje linearnih sistema

73 3. Veza sistema n diferencijalnih jednačina n tog reda sa jednom diferencijalnom jednačinom n tog reda a) Od (DJ) n tog reda ka sistemu od n (DJ) : x (n) = f(t, x, x,..., x (n 1) ) x 1 x 2 x n Smena: x 1 = x, x 2 = x,..., x n = x (n 1) Dobijen je sistem: x 1 = x = x 2 x 2 = x = x 3. x n = x(n) = f(t, x 1,..., x n ) x 1 = x 2 x 2 = x 3. x n 1 = x n x n = f(t, x 1,..., x n )

74 b) Od sistema n (DJ) ka (DJ) n tog reda - Metoda uzastopnog diferenciranja x 1 = f 1(t, x 1,..., x n ). (S) x n = f n(t, x 1,..., x n ) 1 Jedna od jednačina, npr. prva, se diferencira n 1 put: x 1 = f 1(x 1,..., x n ) x 1 = f 1 t + f 1 x 1 x f 1 x n x n = = f 1 t + f 1 f f 1 f n = x 1 x n =. ϕ 2 (t, x 1,..., x n ) x (n) 1 = ϕ n (t, x 1,..., x n ) 2 Prvih n 1 jednačina u 1 posmatramo kao sistem od n 1 jednačina sa n 1 nepoznatih x 2,..., x n : x 1 = f 1(t, x 1,..., x n ) x 1 = ϕ 2(t, x 1,..., x n ). x (n 1) 1 = ϕ n 1 (t, x 1,..., x n )

75 Prema teoremi o implicitnoj funkciji, ako je f 1 f x x n ϕ 2 ϕ x x n.. ϕ n 1 x... 2 ϕ n 1 x n sistem ima jedinstveno rešenje po x 2,..., x n 3 Neka je rešenje dato sa x 2 = λ 2 (t, x 1, x 1,..., x(n 1) 1 ). x n = λ n (t, x 1, x 1,..., x(n 1) 1 ) 4 Zamena x 2,..., x n u poslednju j-nu u 1 : x (n) 1 = ϕ n (t, x 1, λ 2 (t, x 1,..., x (n 1) 1 ),...,..., λ n (t, x 1,..., x (n 1) 1 )) Dobijena jednačina je oblika x (n) 1 = ϕ(t, x 1,..., x (n 1) 1 ) i predstavlja jednačinu n tog reda po x 1

76 Važi: x 1 = x 1 (t) je rešenje j-ne 4 x 1 = x 1 (t) x 2 = λ 2 (t, x 1 (t),..., x (n 1) 1 (t)). x n = λ n (t, x 1 (t),..., x (n 1) 1 (t)) je rešenje sistema (S) Problem: rešivost sistema 2, tj. efektivno nalaženje funkcija λ 2,..., λ n Primer: x = x 2y y = 4y + x 1 x = x 2y x = x 2y = x 2y 2(4y + x) = x 1y 2 x = x 2y ( f 1 y 3 y = x x 2 4 x = x 1 x x 2 = 2 ) (= λ 2 (x, x )) = 6x + 5x

77 x 5x + 6x = λ 2 5λ + 6 = λ 1 = 3, λ 2 = 2 x = C 1 e 3t + C 2 e 2t } y = x x 2 = C 1 e 3t C 2 2 e 2t opšte rešenje sistema Primer: x = y z y = z x z = y x domaći Napomena: U opštem slučaju važi: sistem od n jednačina se može svesti na r jednačina reda k 1,..., k r, k k r = n 3. Prvi integrali sistema diferencijalnih jednačina (S) x 1 = f 1(t, x 1,..., x n ). x n = f n(t, x 1,..., x n ) D Ispunjeni su uslovi Pikarove teoreme u svakoj tački oblasti D

78 Definicija: Funkcija ϕ(t, x 1,..., x n ), neprekidno diferencijabilna i različita od konstante na oblasti D, je integral sistema (S) ako je ϕ(t, x 1 (t),..., x n (t)) const, t I gde je x 1 (t),..., x n (t), t I proizvoljno rešenje sistema (S) Primer: sistema Ispitati da li je ϕ = (x + y)e 2t integral x = x 2y y = 4y + x "Proizvoljno rešenje" je opisano opštim rešenjem (prethodni rešeni primer): x = C 1 e 3t + C 2 e 2t y = C 1 e 3t C 2 2 e2t ϕ(x(t), y(t)) = (C 1 e 3t + C 2 e 2t C 1 e 3t C 2 2 e2t )e 2t = = C 2 2 const

79 Teorema: Funkcija ϕ(t, x 1,..., x n ), neprekidno diferencijabilna i različita od konstante na oblasti D, je integral sistema (S) ako i samo ako je ( ) ϕ t + ϕ x 1 f ϕ x n f n =, (t, x 1,..., x n ) D Dokaz: ( ) Neka je ϕ(t, x 1,..., x n ) integral sistema (S), a (t, x 1,..., x n ) proizvoljna tačka oblasti D. Tada postoji rešenje x 1 = x 1 (t),..., x n = x n (t), t I t. d. Sledi: x 1 (t ) = x 1,..., x n(t ) = x n. ϕ(t, x 1 (t),..., x n (t)) const, t I d dt ϕ(t, x 1(t),..., x n (t)) =, t I (I = (t h, t +h)) (Pikar) ϕ t + ϕ x ϕ 1 (t) + + x n (t) =, t I x 1 x n ϕ t + ϕ f 1 (t, x 1 (t),..., x n (t)) + x 1 + ϕ x n f n (t, x 1 (t),..., x n (t)) =, t I

80 Specijalno, za t = t je (t, x 1 (t ),..., x n (t )) = (t, x 1,..., x n ), pa ( ) važi u (t, x 1,..., x n ). Kako je to proizvoljna tačka, to ( ) važi na D. ( ) : Neka ( ) važi na D. Specijalno,tada ( ) važi u tačkama (t, x 1 (t),..., x n (t)), t I, gde je x 1 (t),..., x n (t) proizvoljno rešenje sistema (S). Čitajući ekvivalencije unazad dobijamo ϕ(t, x 1 (t),..., x n (t)) const, t I, tj. ϕ je integral sistema (S). Primer: ϕ = (x+y)e 2t, x = x 2y y = 4y + x } D = R 3 ϕ t + ϕ x f 1 + ϕ y f 2 = 2e 2t (x + y) + e 2t (x 2y) + + e 2t (4y + x) Definicija: Jednakost (J) ϕ(t, x 1,..., x n ) = C gde je ϕ integral, a C konstanta, naziva se prvi integral sistema (S).

81 Primer: Proveriti da li su x + y z = C 1, x 2 + y 2 z 2 = C 2, z 2 +xy xz yz = C 3 prvi integrali sistema x = y z y = z x (domaći) z = y x Definicija: Prvi integrali ϕ 1 = C 1,..., ϕ k = C k su nezavisni na D ako ni za jedno i = 1,..., k ne postoji neprekidno diferencijabilna funkcija Φ i oblast D D t.d. je ϕ i = Φ(ϕ 1,..., ϕ i 1, ϕ i+1,..., ϕ k ) na D. Teorema: Neka su ϕ 1 = C 1,..., ϕ n = C n prvi integali sistema (S). (i) Ako je ϕ 1 ϕ x x n J =. ϕ n x ϕ n x n ϕ 1 = C 1,..., ϕ n = C n su nezavisni na D

82 (ii) Ako je J na D ϕ 1 = C 1,..., ϕ n = C n su zavisni Teorema: Ako je rang ϕ 1 x ϕ k x... 1 ϕ 1 x n. ϕ k x n ϕ 1 = C 1,..., ϕ k = C k su nezavisni = k na D 4. Rešavanje sistema (DJ) pomoću prvih integrala (S) x 1 = f 1(t, x 1,..., x n ). x n = f n(t, x 1,..., x n ) 1 Ako je poznato n prvih integrala ϕ 1 (t, x 1,..., x n ) = C 1. ϕ n (t, x 1,..., x n ) = C n koji su nezavisni, tj. J na oblasti D, sistem (S) je u potpunosti rešen

83 a) Opšte rešenje: b) Rešenje (KP ): x 1 = x 1 (t, C 1,..., C n ). x n = x n (t, C 1,..., C n ) ϕ 1 (t, x 1,..., x n ) = C 1. ϕ n (t, x 1,..., x n ) = C n Traženo rešenje (implicitno zadato): ϕ 1 (t, x 1,..., x n ) = C 1. ϕ n (t, x 1,..., x n ) = C n x = x 1 (t). x n = x n (t) 2 Ako je poznato k prvih integrala ϕ 1 (t, x 1,..., x n ) = C 1. ϕ k (t, x 1,..., x n ) = C k t.d. ϕ 1 x ϕ k x... 1 ϕ 1 x n. ϕ k x n,

84 broj jednačina u sistemu se snižava za k: x 1 = λ 1 (t, x k+1,..., x n, C 1,..., C k ). x k = λ k (t, x k+1,..., x n, C 1,..., C k ) x k+1 = f k+1(t, λ 1 ( ),..., λ k ( ), x k+1,..., x n ). x n = f n(t, λ 1 ( ),..., λ k ( ), x k+1,..., x n ) Dobija se n k jednačina sa n k nepoznatih funkcija Primer: x = y z y = z x z = y x x + y z = C 1 x = C 1 y + z y = z C 1 + y z = C 1 + y z = y C 1 + y y = 2y C 1 z } 2 j-ne

85 5. Nalaženje prvih integrala dx 1 f 1 (t, x 1,..., x n ) = = t x n+1 : ( ) dx n f n (t, x 1,..., x n ) = dt 1 dx 1 X 1 = = dx n X n = dx n+1 X n+1 gde je X i = X i (x 1,..., x n+1 ), i = 1,..., n + 1 a) U ( ) učestvuju "jednostavni izrazi": dx i F i (x i, x j ) = dx j F j (x i, x j ) Obična DJ, opšte rešenje daje prvi integral Primer: dy y = dy x = dt 1 dx y = dy x x2 + y 2 = C 1

86 b) Osobina proporcije: a 1 b 1 = = a n b n k 1a k n a n k 1 b k n b n = a i b i, i = 1,..., n Nekad se može doći do veze oblika du U(u, v) = dv V (u, v), u = u(x 1,..., x n+1 ) v = v(x 1,..., x n+1 ) Rešavanjem DJ dobija se prvi integral sistema Primer: dx y z = dy z x = y x dz = dt 1 dx dz y z y+x = dt 1 d(x z) x z = dt du u = dt u = C 1 e t (x z)e t = C 1 Slično: dy dz z y = dt 1 (y z)et = C 2

87 c) Osobina proporcije: k 1 a k n a n = a 1 b 1 k 1 a k n a n = Nekad se može doći do veze oblika P 1 (x 1,..., x n+1 )dx P n+1 (x 1,..., x n+1 )dx n+1 }{{} dϕ(x 1,...,x n+1 ) ϕ(x 1,..., x n+1 ) = C = Primer: dx y z = dy z x = y x dz = dt 1 dx+dy dz = = dt 1 d(x + y z) = x + y z = C 1 6. Sistemi diferencijalnih jednačina višeg reda F 1 (t, x 1,..., x (k 1) 1,..., x n,..., x (k n) n ) =. F n (t, x 1,..., x (k 1) 1,..., x n,..., x (k n) n ) =

88 x (k 1) 1 = f 1 (t, x 1,..., x (k 1 1) 1,..., x n,..., x (k n 1). x (k n) n = f n (t, x 1,..., x (k 1 1) 1,..., x n,..., x (k n 1) x 11 x k1,1 x 1n x kn,n Smene: x 11 = x 1, x 21 = x 1,..., x k 1,1 = x (k 1 1) 1. x 1n = x n, x 2n = x n,..., x k n,n = x (k n 1) n n ) n ) x 11 = x 21. x k 1 1,1 = x k 1,1 x k 1,1 = f 1(t, x 11,..., x kn,n) x 1n = x 2n. x k n 1,n = x k n,n x k n,n = f n(t, x 11,..., x kn,n) Primer: x 1 = x x 2 = x x = 2x + 3y y = x + y + e t y 1 = y y 2 = y x 1 = x y 1 = y 2 2 y 3 = y x 2 = 2x y 1 + 3y 2 = y 3 2 y 3 = x 2 + y 3 + e }{{ t } 5 j-na prvog reda

89 SISTEMI LINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA

90 1. Definicija. Egzistencija rešenja (L) x 1 = a 11(t)x a 1n (t)x n + b 1 (t). x n = a n1(t)x a nn (t)x n + b n (t) (LNH) : b i (t) za bar jedno i (LH) : b i (t), i = 1,..., n (KP ) : x 1 (t ) = x 1,..., x n(t ) = x n Teorema (Pikar, globalna): Neka su a ij (t), b i (t), i, j = 1,..., n neprekidne na (c, d) i t (c, d). Tada za proizvoljne x 1,..., x n postoji rešenje x 1 = x 1 (t),..., x n = x n (t) (KP ) definisano na (c, d). To rešenje je jedinstveno. Vektorski zapis sistema (L): A = a 11(t) a 1n (t).. a n1 (t) a nn (t), X = x 1. x n,

91 X = dx dt = x 1. x n, B(t) = b 1(t). b n (t) : (L) dx dt = A(t)X + B(t) (KP ) X(t ) = X, X = x 1. x n Primer: x 1 = 5x 1 + 4x 2 + e 2t [ x 1 x 2 ] }{{} dx dt = x 2 = 4x 1 + 5x 2 [ ] [ ] [ ] 5 4 x1 e 2t x }{{}}{{ 2 }}{{} A X B 2. Osobine rešenja linearnih homogenih sistema dx (LH) = A(t)X, A(t) nepr. na (c, d) dt

92 Teorema: Ako su X 1 = x 11(t).,..., X n (t) = x 1n(t). x n1 (t) x nn (t) rešenja (LH) sistema, a C 1,..., C n proizvoljne konstante, onda je X(t) = C 1 X 1 (t) + + C n X n (t) = = rešenje (LH) sistema. C 1x 11 (t) + + C n x 1n (t). C 1 x n1 (t) + + C n x nn (t) (1) Dokaz: dx dt = C 1 dx C n }{{} dt AX 1 dx n = C 1 AX C n AX n } dt {{} AX n = A(C 1 X C n X n ) = AX

93 Definicija: Rešenja X 1 (t),..., X n (t) su linearno nezavisna rešenja (LH) sistema na (c, d) ako važi implikacija C 1 X 1 (t)+ +C n X n (t), t (c, d) C 1 = = C n = Rešenja X 1 (t),..., X n (t) su linearno zavisna na (c, d) ako postoje konstante C 1,..., C n, koje nisu sve nule, takve da je C 1 X 1 (t) + + C n X n (t) =, t (c, d) Teorema: Neka su X 1 (t) = x 11(t).,..., X n (t) = x 1n(t). x n1 (t) x nn (t) rešenja (LH) sistema. Potreban i dovoljan uslov za linearnu nezavisnost tih rešenja na (c, d) dat je sa x 11 (t) x 1n (t) W (t) =.., t (c, d) x n1 (t) x nn (t)

94 Dokaz: ( ) Neka su X 1,..., X n linearno nezavisna rešenja (LH) sistema. Pretpostavimo, suprotno tvrdjenju teoreme, da Posmatrajmo sistem t (c, d) t.d. W (t ) = C 1 x 11 (t ) + + C n x 1n (t ) =. C 1 x n1 (t ) + + C n x nn (t ) = Homoge sistem linearnih jednačina po C 1,..., C n sa det = W (t ) = postoji netrivijalno rešenje C 1,..., C n. Neka je X(t) = C 1 X 1 (t) + + C n X n (t) Važi: X(t) je rešenje (LH) sistema X(t ) = O Isti početni uslov zadovoljava i rešenje X

95 Iz Pikarove teoreme sledi C 1 X 1 (t) + + C n X n (t), t (c, d) Ovo je u kontradikciji sa linearnom nezavisnošću rešenja, a do koje je dovela pretpostavka W (t ) =. ( ): Neka je W (t), t (c, d). Pretpostavimo da je C 1 X 1 (t) + + C n X n (t) =, t (c, d) Za fiksirano t = t je: C 1 X 1 (t ) + + C n X n (t ) =, t.j. C 1 x 11 (t ) + + C n x 1n (t ) =. C 1 x n1 (t ) + + C n x nn (t ) = Homogeni sistem sa det = W (t ) C 1 =,..., C n =.

96 Napomena: Postoje dve mogućnosti: W (t) ili W (t), t (c, d) Teorema: Neka su X 1 (t),..., X n (t) linearno nezavisna rešenja (LH) sistema. Tada opšte rešenje X h = C 1 X 1 (t) + + C n X n (t) sadrži sva rešenja tog sistema. Dokaz: Neka je X(t) proizvoljno rešenje, a t (c, d) fiksirano. Tražimo C 1,..., C n t.d. t.j. C 1 X 1 (t ) + + C n X n (t ) = X(t ), C 1 x 11 (t ) + + C n x 1n (t ) = x 1 (t ). C 1 x n1 (t ) + + C n x nn (t ) = x n (t ) Nehomogen sistem, det = W (t ) postoji jedinstveno rešenje C1,..., C n.

97 Rešenja X(t) i C 1 X 1(t) + + C n X n(t) zadovoljavaju isti početni uslov u t (Pikar) X(t) C 1 X 1(t) + + C n X n(t), t (c, d) Definicija: Matrica Φ(t) = [x ij (t)] n n je fundamentalna matrica sistema (LH) ako su kolone matrice Φ(t) linearno nezavisna rešenja (LH) Φ(t) = x 11(t)... x 1n (t).. x 1n (t)... x nn (t) X 1 (t) X n (t) Napomena: Kolone matrice Φ(t) su rešenja (LH) sistema ako i samo ako Φ(t) zadovoljava pridruženu matričnu diferencijalnu jednačinu (M) dφ dt = A(t)Φ

98 [ ] x11 x Primer: Φ(t) = 12 x, 1 = a 11x 1 + a 12 x 2 x 21 x 22 x 2 = a 21x 1 + a 22 x 2 [ x (M) 11 x ] [ ] [ ] 12 a11 a = 12 x11 x 12 a 21 a 22 x 21 x 22 x 21 x 22 x 11 = a 11x 11 + a 12 x 21 x 21 = a 21x 11 + a 22 x 21 } prva kolona zadov. sistem x 12 = a 11x 12 + a 12 x 22 x 22 = a 21x 12 + a 22 x 22 } druga kolona zadov. sistem Teorema: Matrica Φ(t) je fundamentalna matrica sistema (LH) ako i samo ako je Φ(t) rešenje (M) i ako je detφ(t), t (c, d). Dokaz: Φ(t) je rešenje (M) kolone su rešenja (LH) detφ(t) = W (t) rešenja su lin. nezavisna Teorema: Ako je Φ(t) fundamentalna matrica, a P nesingularna matrica, onda je Ψ(t) = Φ(t)P fundamentalna matrica.

99 Dokaz: Napomena: Φ(t)C = dψ dt = dφ P = A(t)ΦP = A(t)Ψ dt detψ = detφ detp = = C 1 x 11 x 1n.. x n1 x nn C 1x C n x 1n. C n x n1 + + C n x nn x 11. x n1 C 1. C n + + C n = C 1 X C n X n Načini zapisa opšteg rešenja: = = x 1n. x nn = X h = Φ(t)C X h = C 1 X C n X n x 1 = C 1 x C n x 1n. x n = C 1 x n1 + + C n x nn matrični zapis vektorski zapis skalarni zapis

100 Primer: Da li je matrica [ e t e Φ(t) = 9t e t fundamentalna matrica sistema e 9t ] x 1 = 5x 1 + 4x 2 A = [ x 2 = 4x 1 + 5x 2? ] [ ] e t ; X 1 = ; X 2 = e t [ e 9t e 9t ] dφ dt = A Φ(t) = [ e t 9e 9t e t [ e 9t ] ] [ e t e 9t e t e 9t ] = [ e t 9e 9t e t 9e 9t ] det Φ(t) = 2e 1t, t (, ) [ e t e X h = 9t ] [ e t 9e e t e 9t = 9t e t 9e 9t [ ] e t = C 1 e t ] [ C1 C 2 ] + C 2 [ e 9t e 9t = ]

101 x 1 = C 1 e t + C 2 e 9t x 2 = C 1 e t + C 2 e 9t } opšte rešenje Napomena: Rešenje (KP ) X(t ) = X, t (c, d) : X(t) = Φ(t) C X(t ) }{{} X = Φ(t ) C C = Φ 1 (t )X X(t) = Φ 1 (t )X 3. Homogeni linearni sistemi DJ sa konstantnim koeficijentima (LHC) dx dt = AX, A = const, (c, d) = (, ), ili, skalarno: x 1 = a 11x a 1n x n. x n = a n1x a nn x n Reš. tražimo u obliku: x 1 = A 1 e λt,..., x n = A n e λt x 1 = A 1λe λt,..., x n = A nλe λt (LHC)

102 λa 1 e λt = a 11 A 1 e λt + + a 1n A n e λt. λa n e λt = a n1 A 1 e λt + + a nn A n e λt (S) (a 11 λ)a a 1n A n = a n1 A (a nn λ)a n =. Homogeni sistem lin. alg. jednačina po A 1,..., A n. Netrivijalno rešenje postoji ako i samo ako je det(s) =, tj. a 11 λ a 1n (KJ).. a n1 a nn λ =, odnosno (KJ) det(a λi) = Polinom n tog stepena po λ čiji su koreni λ 1,..., λ n.

103 1 λ = a je realan jednostruk koren: x 1 = A 1 e at,..., x n = A n e at rešenje A 1,..., A n se odredjuju iz sistema (S) za λ = a. Pokazuje se: rang matrice sistema (S) je n 1 (1 slobodna, n 1 vezanih promenljivih) Primer: 5 λ λ λ 1 = 1 : x 1 = 5x 1 + 4x 2 x 2 = 4x 1 + 5x 2 A = [ = λ2 1λ + 9 = x 1 = A 1 e t x 2 = A 2 e t ; ] 4A 1 + 4A 2 = 4A 1 + 4A 2 = { λ1 = 1 λ 2 = 9 } (S) A 2 = 1 (proizv.) A 1 = 1, X 1 = λ 2 = 9 : x 1 = A 1 e 9t x 2 = A 2 e 9t ; [ e t e t ] 4A 1 + 4A 2 = 4A 1 4A 2 = } (S)

104 [ e 9t A 2 = 1 (proizv.) A 1 = 1, X 2 = e 9t ] Φ(t) = [ e t e 9t e t e 9t ] ; X h = Φ(t)C 2 λ = α ± iβ jednostruk kompleksan par: x 1 = A 1 e (α+iβ)t,..., x n = A n e (α+iβ)t rešenje A 1,..., A n se odredjuju iz sistema (S) koji, posle uvrštavanja λ, ima 1 slobodnu i n 1 vezanih promenljivih. Rešenja su kompleksna. Razdvajanjem Re i Im delova dobijamo 2 realna rešenja Primer: x = 2y y = 2x domaći 3 λ = a je realan koren reda k: x 1 = P 1 (t)e at,..., x n = P n (t)e at rešenje P 1 (t),..., P n (t) polinomi stepena k 1 sa neodredjenim koeficijentima (LHC) : sistem od n k jedn. sa n k nepoznatih

105 Pokazuje se: rang matrice sistema je nk k (k slobodnih, nk k vezanih promenljivih) Izbor slobodnih promenljivih: 1. vezane X 1 } {{ 1 } vezane X k k Primer: x = y y = x + 2y A = [ linearno nez. reš. ] λ λ = λ2 2λ + 1 = λ 1 = λ 2 = 1 x = (A 1 + A 2 t)e t y = (B 1 + B 2 t)e t x = A 2 e t + (A 1 + A 2 t)e t y = B 2 e t + (B 1 + B 2 t)e t } (LHC) (A 1 + A 2 + A 2 t)e t = (B 1 + B 2 t)e t (B 1 + B 2 + B 2 t)e t = (A 1 + A 2 t)e t + 2(B 1 + B 2 t)e t

106 A 1 + A 2 B 1 = A 2 B 2 = A 1 B 1 + B 2 = A 2 B 2 = A 1 + A 2 B 1 = A 2 B 2 = } a) B 1 = 1, B 2 = : A 2 =, A 1 = 1 X 1 = [ e t e t ] b) B 1 =, B 2 = 1 : A 2 = 1, A 1 = 1 [ ( 1 + t)e t X 2 = te t ] Φ(t) = [ e t ( 1 + t)e t e t te t ], X h = Φ(t)C 4 λ = α ± iβ konjugovano kompl. par reda r: x 1 = P 1 (t)e (α+iβ)t,..., x n = P n (t)e (α+iβ)t Na isti način kao u 3 dobija se r linearno nezavisnih kompleksnih rešenja. Razdvajanjem Re i Im delova dobija se 2r linearno nezavisnih rešenja.

107 4. Nehomogeni sistemi (LNH) dx dt = A(t)X+B(t); A, B nepr. na (c, d) (LH) dx dt = A(t)X Teorema: Neka su X 1 (t),..., X n (t) linearno nezavisna rešenja (LH), a X p (t) jedno rešenje (LNH). Tada opšte rešenje X nh = C 1 X 1 (t) + + C n X n (t) + X p (t) sadrži sva rešenja (LN H). Dokaz: a) X nh je rešenje (LNH): dx nh dt dx = C 1 dx n dx p C n + = }{{} dt } dt {{}}{{} dt AX 1 AX n AX p +B = C 1 AX C n AX n + AX p + B = = A(C 1 X C n X n + X p ) + B = = AX nh + B

108 b) Ako je X(t) proizvoljno rešenje (LN H), slično kao u homogenom slučaju, pokazuje se da postoje C 1,..., C n t.d. X(t) = C 1 X 1(t) + + C n X n(t) + X p (t) 5. Metoda varijacije konstanti X nh = C 1 (t)x 1 (t) + + C n (t)x n (t) dx nh dt = C 1 X 1 + C 1 X }{{} C n X n + C n X }{{} n AX 1 AX n = = C 1 X C n X n + A(t)(C 1 X C n X n ) = C 1 X C n X n + A(t)X nh (LNH) : C 1 X 1+ +C n X n+a(t)x nh = A(t)X nh +B(t) tj. C 1 X C n X n = B(t) C 1 x 11. x n1 + + C n x 1n. x nn = b 1. b n,

109 x 11 C x 1nC n = b 1. x n1 C x nnc n = b n Sistem lin. alg. jednačina, det = W (t) C 1 = v 1(t),..., C n = v n(t) jedinstv. reš. C 1 (t) = v 1 (t) dt+c 1,..., C n (t) = v n (t) dt+c n X nh = ( v 1 dt, +C 1 )X ( = C 1 X C n X n }{{} X h + + ( v 1 dt)x ( v n dt)x n } {{ } X p v n dt, +C n )X n = x 1 = 5x 1 + 4x 2 + e 2t x x 2 = 4x 1 = 5x 1 + 4x x 2 x 2 = 4x (rešen ranije): 1 + 5x 2 [ e t e Φ(t) = [X 1 (t) X 2 (t)] = 9t ], W = detφ = 2e 1t e t e 9t

110 D 1 = e t C 1 + e9t C 2 = e2t e t C 1 + e9t C 2 = e2t e 9t e 9t, D 2 = et e t e 2t C 1 (t) = D 1 W = 1 2 et C 1 (t) = 1 2 et + C 1 C 2 (t) = D 2 W = 1 2 e 7t C 2 (t) = 1 14 e 7t + C 2 X nh = ( 1 [ ] e t 2 et + C 1 ) e t + ( 1 [ e 9t 14 e 7t + C 2 ) e 9t [ ] [ ] [ ] e t e 9t 37 e = C 1 e }{{ t +C 2 e }}{{ 9t + 2t } 7 4 }{{ e2t } X 1 X 2 X p ] = 6. Matrični zapis metode varijacije konstanti Sledi: X h = Φ(t)C, X nh = Φ(t)C(t)

111 dx nh dt = dφ dt }{{} A(t)Φ(t) C+Φ dc dt = A(t)Φ(t) }{{} C(t)+B(t) Φ dc dt = B(t) dc dt = Φ 1 B(t) C(t) = Φ 1 (t)b(t) dt + C X nh = Φ(t)[ Φ 1 (t)b(t) dt + C] = Φ(t)C }{{} X h + Φ(t) + Φ(t)[ Φ 1 (t)b(t) dt] } {{ } X p 7. Matrični zapis rešenja (KP ) dx dt = A(t)X + B(t), X(t ) = X X(t) = Φ(t)C(t)

112 1) X(t ) = Φ(t )C(t ) = X C(t ) = Φ 1 (t )X 2) C(t) zadovoljava dc dt = Φ 1 (t)b(t) Integracijom od t do t: t t dc = t t C(t) C(t ) = Φ 1 (t)b(t) dt t Φ 1 (t)b(t) dt t C(t) = Φ 1 (t )X + t t Φ 1 (t)b(t) dt X(t) = Φ(t)[Φ 1 (t )X + t Φ 1 (t)b(t) dt] t

113 8. Stabilnost sistema LDJ sa konstantnim koeficijentima x 1 = a 11x a 1n x n + b 1 (t). x n = a n1x a nn x n + b n (t) (KP ) Reš. (KP ) Reš. x 1 (t ) = x 1,..., x n(t ) = x n x 1 = x 1 (t),..., x n = x n (t) x 1 (t ) = x 1,..., x n(t ) = x n x 1 = x 1 (t),..., x n = x n (t) x _ x i x i _ xi(t) x i (t) t t Pitanje: Ako su x i i x i i = 1,..., n "bliski", da li će rešenja ostati "bliska" u budućnosti?

114 Ispitivanje stabilnosti proizvoljnog rešenja se svodi na ispitivanje stabilnosti trivijalnog rešenja homogenog sistema x 1 = a 11x a 1n x n. x n = a n1x a nn x n Definicija: Trivijalno rešenje je stabilno ako ( ε > )( δ > )( x i < δ, i = 1,..., n x i (t) < ε, i = 1,..., n; t t ) x - - e d d e t t

115 Definicija: Trivijalno rešenje je asimptotski stabilno ako je: a) stabilno b) δ > : x i < δ lim t x i(t) =, i = 1,..., n Teorema 1. Trivijalno rešenje je asimptotski stabilno ako i samo ako svi koreni (KJ) imaju negativne realne delove. Teorema 2. Ako bar jedan koren (KJ) ima pozitivan realni deo, onda trivijalno rešenje nije stabilno.

116 9. Matrični eksponent e a = e A = e At = k= k= k= a k k! = 1 + a + a2 2! + a3 3! A k + (Mc Laurin) k! = I + A + A2 2! + A3 3! + ; det ea, A (At) k k! = I + At + A2 2! t2 + A3 3! t3 + d dt eat = d dt = A + A2 2! (I + At + A2 2! t2 + A3 3! t3 + ) = 2t + A3 3! 3t2 + = A(I + At + A2 2! t2 + ) = Ae At }{{} e At

117 1. Primena na homogene sisteme sa konstantnim koeficijentima Φ(t) = e At zadovoljava: dx dt = AX (i) dφ dt = AeAt = AΦ (ii) det e At Φ(t) = e At je fundamentalna matrica "Težina" problema nalaženja fundamentalne matrice prebačena je na sumiranje Košijev problem: X(t ) = X, X = Φ(t)C = e At C, X(t ) = e At C = X C = e At X Rešenje (KP ): X = e At e At X = e A(t t ) X

118 Primer: x 1 = 2x 2 A = [ x 2 = x 1 3x 2 ] [ ], A =, A 3 = 3 7 [ ] Φ(t) = I + At 1! + A2 t 2 2! = + A3 t 3 3! + = 1 2t2 2! + 6t3 3! + 2t 1! + 6t2 2! 14t3 3! + t 1! 3t2 2! + 7t3 3! + 1 3t 1! + 7t2 2! 15t3 3! + Domaći: Naći Φ(t) = e At za sistem x 1 = 5x 1 + 4x 2 x 2 = 4x 1 + 5x 2

119 11. Izračunavanje matrice e At 1 A = 2 A = a 1 a 2 a 3 a a a, e At =, e At = e a 1t e a 2t e a 3t e at te at e at t 2 2! eat te at e at 3 A = a 1 a 1 a, e At = e a 1t e at te at e at Opšti slučaj: Svodjenje matrice A na (knjiga) Žordanov oblik Domaći: Proveriti 2

120 PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA

121 1. Osnovni pojmovi x 1,..., x n - nezavisno promenljive u(x 1,..., x n ) - nepoznata funkcija (P ) F (x 1,..., x n, u, u x 1,..., u x n ) = Definicija: Funkcija u(x 1,..., x n ) je rešenje jednačine (P ) na oblasti D R n ako identički zadovoljava (P ) na D. (HL) P 1 (x 1,..., x n ) u x 1 + +P n (x 1,..., x n ) u x n = linearna homogena parcijalna jed. prvog reda u const je trivijalno rešenje (LH) (KL) P 1 (x 1,..., x n, u) u x P n (x 1,..., x n, u) u x n = = P n+1 (x 1,..., x n, u) kvazilinearna homogena parcijalna jed. prvog reda

122 2. Linearna homogena parcijalna jednačina prvog reda Neka su P 1,..., P n neprekidno diferencijabilne na D i neka je bar jedna od njih, npr. P n na D. (HL) (S) dx 1 P 1 (x 1,...,x n ) = = dx n P n (x 1,...,x n ) Teorema: Neka je u = ϕ(x 1,..., x n ) neprekidno diferencijabilna funkcija i u const. Važi: ϕ je rešenje (LH) ϕ(x 1,..., x n ) = C je prvi integral sistema (S) Dokaz: P n na D (S) dx i = P i(x 1,..., x n ), i = 1,..., n 1 dx n P n (x 1,..., x n ) (x n nez. pr.) Neka je ϕ = C prvi integral sistema (S) ϕ + ϕ + + x n x 1 P1 ϕ =, (x 1,..., x n ) D P n x n 1 Pn 1 P n

123 P 1 ϕ x P n ϕ x n =, (x 1,..., x n ) D tj. ϕ je rešenje (HL) Teorema: Neka su ϕ 1 = C 1,..., ϕ k = C k prvi integrali sistema (S), a F proizvoljna neprekidno diferencijabilna funkcija k promenljivih. Tada je rešenje (LH) jednačine. Dokaz: u = F (ϕ 1,..., ϕ k ) u = F ϕ F ϕ k x 1 ϕ 1 x 1 ϕ k x 1. u = F ϕ F ϕ k x n ϕ 1 x n ϕ k x n P 1 u x P n u x n = P 1 ( F ϕ 1 ϕ 1 x F ϕ k ϕ k x 1 ) + + P n ( F ϕ 1 ϕ 1 x n + + F ϕ k ϕ k x n ) =

124 = F ϕ 1 (P 1 ϕ 1 x P n ϕ 1 x n ) + + F ϕ k (P 1 ϕ k x P n ϕ k x n ) = na D, tj. u = F (ϕ 1,..., ϕ k ) je rešenje (HL). Teorema: Ako su ϕ 1 = C 1,..., ϕ n 1 = C n 1 nezavisni prvi integrali sistema (S), a F proizvoljna neprekidno diferencijabilna funkcija, tada je u = F (ϕ 1,..., ϕ n 1 ) opšte rešenje (HL) jednačine. Postupak: 1 (HL) (S) 2 ϕ 1 = C 1,..., ϕ n 1 = C n 1 nez. prvi int. sistema (S) 3 u = F (ϕ 1,..., ϕ n 1 ) opšte rešenje (HL) Napomena: Umesto proizvoljne konstante pojavljuje se proizvoljna funkcija Primer: u x y 2 z u y x2 z + u z x2 y = D = {(x, y, z) : x >, y >, z > }

125 (S) dx y 2 z = dx y 2 z = dy x 2 z = dz x 2 y dy x 2 z x3 + y 3 = C 1 dy x 2 z = dz x 2 y y2 + z 2 = C 2 nezavisni su Opšte rešenje: u = F (x 3 + y 3, y 2 + z 2 ) 3. Problem sa početnim uslovom za (LH) (HL) P 1 u x P n u x n =, P i neprekidno diferencijabilne funkcije na D, P n Problem: ako (x 1,..., x n ) D, naći ono rešenje (LH) jednačine koje za x n = x n zadovoljava uslov u(x 1,..., x n 1, x n ) = ϕ(x 1,..., x n 1 ) gde je ϕ data funkcija.

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

DIFERENCIJALNE JEDNAČINE I G L A V A DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Pri razmatranju i rešavanju raznih problema iz mehanike, fizike, hemije, geometrije i drugih naučnih disciplina i njihovih primena, nailazi se na jednačine u kojima

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković MATEMATIKA II VEŽBE Dr Boban Marinković 1 Neodredjeni integral dx = x + C, dx x = ln x + C, dx = arcsin x + C, 1 x 2 a x dx = ax ln a + C, cos x dx = sin x + C, dx x 2 a = 1 2 2a ln x a x + a + C, dx x2

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Vežbe iz diferencijalnih jednačina

Vežbe iz diferencijalnih jednačina Vežbe iz diferencijalnih jednačina Vežbe. Familije krivih. Familija krivih je zadata funkcijom f(x, y, c, c 2,..., c n ) = 0. Naći diferencijalnu jednačinu koja opisuje tu familiju. Rešenje: Diferenciranjem

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006.

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE JEDNAČINE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr Lidija Stefanović, mr Marjan Matejić, dr Slad ana Marinković DIFERENCIJALNE

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijabilnost funkcije više promenljivih

Diferencijabilnost funkcije više promenljivih Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t) Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

1 Obične diferencijalne jednadžbe

1 Obične diferencijalne jednadžbe 1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

4 Izvodi i diferencijali

4 Izvodi i diferencijali 4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 64 Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA 4 Osnovni pojmovi Činjenica da se mnogi zakoni fizike i drugih nauka iskazuju uz pomoć diferencijalnih jednačina

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Parcijalne diferencijalne jednačine prvog reda

Parcijalne diferencijalne jednačine prvog reda I. Vojnović Glava 1 Parcijalne diferencijalne jednačine prvog reda 1.1 Oznake Za funkciju u : R n R parcijalni izvod po x i označavamo sa u xi, odnosno u xi = u/ x i, pri čemu je x = (x 1,..., x n ). Radi

Διαβάστε περισσότερα

Svojstva metoda Runge-Kutta

Svojstva metoda Runge-Kutta Svojstva metoda Runge-Kutta KP: y x = fx,y, yx 0 = y 0, x 0 x X. Na segmentu [x 0,X] uzimamo niz ekvidistantnih tačaka x 0 < x 1 < x 2 < < x N < x N+1 = X gde je x n = x 0 +nh, n = 0,1,2,...,N +1, h =

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE VIŠE REALNIH PROMENLJIVIH

FUNKCIJE VIŠE REALNIH PROMENLJIVIH I G L A V A FUNKCIJE VIŠE REALNIH PROMENLJIVIH U nauci i praksi često se javljaju situacije u kojima postoji zavisnost izmedju nekoliko realnih veličina a, b, c,, h pri čemu je jedna od njih potpuno odredjena

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Diferencne jednačine

Diferencne jednačine Diferencne jednačine Ana Manojlović Marko Mladenović Sandra Hodžić Uvod Aritmetički i geometrijski niz su primeri nizova zadatih rekurentnim vezama. Oba niza su odredjena ponavljanjem prvog člana u neke

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije

Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije Glava 1 Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije 1.1 Funkcionalni redovi. Potencijalni redovi Neka su date realne funkcije f 0 x), f 1 x),, f k x),,

Διαβάστε περισσότερα

Bulove jednačine i metodi za njihovo

Bulove jednačine i metodi za njihovo Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Bulove jednačine i metodi za njihovo rešavanje Master rad Mentor: Slavko Moconja Student: Nevena Dordević Beograd, 2017. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Bulova algebra 3

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Parcijalne diferencijalne jednačine. Marko Nedeljkov

Parcijalne diferencijalne jednačine. Marko Nedeljkov Parcijalne diferencijalne jednačine Marko Nedeljkov Sadržaj Sadržaj............................................ 3 1 Klasifikacija PDJ................................... 5 1.1 Klasifikacija evolucionih

Διαβάστε περισσότερα

6 Neodreženi integrali. F (x) = f(x). Primer 38 Funkcija F (x) = sin x je primitivna funkcija funkcije f(x) = cos x na (, + ), jer je

6 Neodreženi integrali. F (x) = f(x). Primer 38 Funkcija F (x) = sin x je primitivna funkcija funkcije f(x) = cos x na (, + ), jer je 6 Neodreženi integrali 39 6 Neodreženi integrali Funkcija F (x) na intervalu (a, b) R je primitivna ili prvobitna funkcija funkcije f(x), ako je x (a, b) F (x) = f(x). Primer 38 Funkcija F (x) = sin x

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje Hijavata 1 Predgovor Pismeni ispit iz matematike 3 obuhvata

Διαβάστε περισσότερα