ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ. Διάνυσμα δύναμης F. Ιδιότητες διανυσμάτων. Fcos. Fsin. Καρτεσιανές Συντεταγμένες / Συνιστώσες. Νόμος Παραλληλογράμμου: F= Fx+ Fy Fxi

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ. Διάνυσμα δύναμης F. Ιδιότητες διανυσμάτων. Fcos. Fsin. Καρτεσιανές Συντεταγμένες / Συνιστώσες. Νόμος Παραλληλογράμμου: F= Fx+ Fy Fxi"

Transcript

1 Διάνυσμα δύναμης F Καρτεσιανές Συντεταγμένες / Συνιστώσες F F j j i F Ιδιότητες διανυσμάτων Πρόσθεση B Αφαίρεση ' B ( B) F F i ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ F Fcos Νόμος Παραλληλογράμμου: F= F+ F Fi Fj F Fsin Μοναδιαία διανύσματα βάσης: i, j F F F B ή B B ' B B B B ή ' B

2 Συνιστώσες διανύσματος: : Διάνυσμα θέσης: r i j k k (k ) r j i P (,, ) ( j ) Τριγωνομετρικές ιδιότητες: ( i ) α) Νόμος Ημιτόνων: β) Νόμος Συνημιτόνων: B C sin sin sin C B Bcos β γ C α B

3 Συντρέχον σύστημα δυνάμεων F F F F F F β F F 3 F 3 Γι αυτήν την περίπτωση (συντρέχουσες δυνάμεις) γίνεται αλγεβρική πρόσθεση των συνιστωσών ώστε να υπολογιστεί η συνισταμένη δύναμη F όπως φαίνεται στο σχήμα: F FF F Fi+Fj= F i F j, αφού F F, F F Το μέτρο της δύναμης δίνεται από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο οαβ: F F F F 3 F Το συνημίτονο κατεύθυνσης της δύναμης δίνεται από τη σχέση: F tan F ο θ F α 3

4 Γινόμενα διανυσμάτων Εσωτερικό γινόμενο Το εσωτερικό γινόμενο δύο τυχαίων διανυσμάτων είναι βαθμωτό μέγεθος και δίνεται από τη σχέση: B Bcos Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου B B B (ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα) B C B C (ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα) B ( i j) (B i B j) B B Με βάση τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου, για τα μοναδιαία διανύσματα ισχύουν οι εξής σχέσεις: α) i i ()()cos0, β) i j ()()cos90 0 και ομοίως για τα υπόλοιπα μοναδιαία. B Γωνία μεταξύ δύο τυχαίων διανυσμάτων: cos όπου,, B B B B 4

5 Γινόμενα διανυσμάτων Εξωτερικό γινόμενο Το εξωτερικό γινόμενο δύο τυχαίων διανυσμάτων είναι διανυσματικό μέγεθος και δίνεται από τη σχέση: C B CBBsinn, όπου το διάνυσμα n n είναι μοναδιαίο και κάθετο στο επίπεδο ΑΒ (η φορά του διανύσματος C προσδιορίζεται με το κανόνα του μοχλού του δεξιού χεριού) Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου: B B B +BBB i j k B B B i B B j B B k= B B B Για τα μοναδιαία διανύσματα ισχύουν οι εξής σχέσεις: α) i j ()()(sin 90 )k k β) ji k γ) ii 0 και ομοίως για τα υπόλοιπα μοναδιαία. 5

6 Διάνυσμα Ροπής Δύναμης Μ M o M o Η ροπή είναι διανυσματικό μέγεθος και δίνεται από τη σχέση: Mo rf όπου r διάνυσμα θέσης από το σημείο Ο σε κάθε σημείο της γραμμής δράσης της F. F r O F r d O Η δύναμη F προκαλεί περιστροφή της ράβδου ως προς το σημείο Ο (μέτρο Μ ο ). M rfsin F(rsin ) Fd Το μέτρο της ροπής υπολογίζεται από το τύπο: o όπου d = βραχίονας ροπής (κάθετη απόσταση από το σημείο Ο στη γραμμή δράσης της F). Η κατεύθυνση του M oκαθορίζεται από τον κανόνα του μοχλού όπως εφαρμόζεται και στο εξωτερικό γινόμενο r F. i j k M rf r F r F i r F r F j rf rf k= r r r o F F F 6

7 Αρχή Μετατόπισης της Δύναμης F Η δύναμη F μπορεί να μετατοπιστεί στη γραμμή δράσης χωρίς να μεταβληθεί η ροπής της ως προς το O. Δηλαδή ισχύει η παρακάτω ισότητα: M r F r F o B Αρχή Ροπών Η ροπή δύναμης ως προς το σημείο Ο είναι ίση με το άθροισμα των ροπών των συνιστωσών της ως προς το σημείο Ο: M rf rf r (F F ) rf o Το μέτρο της ροπής υπολογίζεται από την ήδη γνωστή σχέση, λαμβάνοντας υπόψη και τη γεωμετρία του προβλήματος που φαίνεται στο διπλανό σχήμα: M Fd (F F )d (FsinFcos )d o (k ) O ( i ) r B F r B F ( j ) Γραμμή δράσης της δύναμης F (k ) d O ( i ) F F F r d d ( j ) 7

8 Ροπή Δύναμης (M e ) ως προς Άξονα e Η ροπή της Δύναμης F ως προς το σημείο Ο δίνεται από τη σχέση: M rf o H ροπή της Δύναμης F ως προς τον άξονα e, είναι η προβολή του διανύσματος Μ ο στον άξονα e. Δηλαδή: M em e (rf) [μεικτό τριπλό γινόμενο] e o i j k e e e (e i e j e k) r r r r r r Μ e [e (rf)]e e e e F F F F F F αα = Γραμμή δράσης ροπής Μ e ά e β M M F e o θ r O α β ββ = Γραμμή δράσης ροπής Μ ο 8

9 Ροπή Ζεύγους Ζεύγος Δυο παράλληλες δυνάμεις ίσου μεγέθους και αντίθετης φοράς με απόσταση r. Η ροπή παραγόμενη από ζεύγος είναι ίση με το άθροισμα των ροπών και των δυο δυνάμεων ως προς τυχαίο σημείο Ο: Mo rbfr ( F) (rb r ) FMo rf F B r r rb r Το διάνυσμα M o είναι ελεύθερο μιας και εξαρτάται F r B r από το διάνυσμα θέσης, οριζόμενο από δυο τυχαία σημεία Α και Β και μπορεί να ενεργεί σε κάθε σημείο. Η κατεύθυνση του M o καθορίζεται από το κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία (κανόνας του δεξιού χεριού). M Συνισταμένη Ροπών Οι ροπές ζευγών είναι ελεύθερα διανύσματα και μπορούν να μετατοπισθούν σε ένα κοινό σημείο P και να προστεθούν διανυσματικά. Δηλαδή: M M M M M P 9

10 Μετατόπιση Δύναμης σ ένα Στερεό ) Μετατόπιση της F σε ένα σημείο Ο στη γραμμή δράσης της. Αρχή μετατόπισης: Το αποτέλεσμα δράσης της δύναμης σε ένα στερεό σώμα δεν αλλάζει, όταν η δύναμη εφαρμόζεται σε ένα άλλο σημείο που βρίσκεται στη γραμμή δράσης. Η F είναι ένα μετατοπιζόμενο διάνυσμα. ) Μετατόπιση της F σε ένα σημείο Ο που δεν βρίσκεται στη γραμμή δράσης της. Το μέτρο και η κατεύθυνση της M προσδιορίζονται F υπολογίζοντας τη ροπή ως προς το Ο όταν η δύναμη βρίσκεται στην αρχική της θέση. Το M F είναι κάθετο στο επίπεδο που σχηματίζουν τα διανύσματα r και F. r F F F F F F M rf F P F 0

11 Συνισταμένη Συστημάτων Δύναμης Ζεύγους Ροπών F F M r F M F M r O r M F O F M r F O ) 3D (Διανυσματική Ανάλυση) Το μέτρο και η κατεύθυνση της F είναι ανεξάρτητα από τη θέση του Ο. Το M o είναι ένα ελεύθερο διάνυσμα αλλά το μέτρο και η κατεύθυνση του εξαρτώνται από τη θέση του Ο. F F, M M (rf) M o 0 ) D (Βαθμωτή ανάλυση) F F F F F F, tan, M M o F F F o

12 F 3 3) Ειδική Περίπτωση: Όταν τα F και F M F F r r 3 O r r 4 M o είναι κάθετα. F a b d a b 4 M Και σε αύτη τη περίπτωση οι συνισταμένες F, M 0 προκύπτουν απ τις σχέσεις: F F, M M (rf) M 0 o Η M o μπορεί πάντα να εξαλειφθεί μετακινώντας την F στο σημείο Ρ. Το Ρ βρίσκεται έτσι ώστε η σωστή φορά της M να διατηρείται, δηλ. η ροπή της F ως προς το σημείο Ο είναι ίση με το M o. b' o O M o a' b' F με μέτρο P O F M d o a'

13 Παράλληλες Δυνάμεις F 3 r 3 O r r F F M (rf) o O F F r, r και M F M F rf M M, M M rf M M 3

14 ιανεµηµένα Φορτία Σηµειακές υνάµεις οριακή περίπτωση κατανεµηµένων δυνάµεων. Συνισταµένη Γραµµικού Φορτίου. w = w() = df w = w() ύναµη/μήκος d df = w()d = d όπου d είναι το εµβαδό της γραµµοσκιασµένης επιφάνειας. Ολοκληρώνοντας τη παραπάνω σχέση στο µήκος της ράβδου παίρνουµε µια σχέση για το µέτρο της δύναµης: F= w()d = d= 0 0 Η συνισταµένη δύναµη F του κατανεµηµένου φορτίου ασκείται σε ένα σηµείο C που αποτελεί τη τετµηµένη του γεωµετρικού κέντρου C της επιφάνειας Α. d d F = df = d = = F d F C 4

15 Γεωµετρικό Kέντρο (Γ.Κ.) επίπεδων επιφανειών Αν η γεωµετρική επιφάνεια έχει άξονα συµµετρίας, το Γ.Κ βρίσκεται πάνω στον άξονα συµµετρίας. Αν η γεωµετρική επιφάνεια έχει άξονες συµµετρίας, το Γ.Κ είναι η τοµή τους. d C =, C = d C d Σύνθετη Επιφάνεια Στη περίπτωση σύνθετης επιφανείας, το Γ.Κ. υπολογίζεται από τα επιµέρους Γ.Κ. των επιφανειών της συνολικής επιφανείας. d Σ C d i i Α Σ i C i i C = = = ΣΑi ΣΑi d Σ C d i i Α Σ i C i i C = = = ΣΑ ΣΑ i i,c i i ολ,cολ 5

16 Παραδείγµατα Υπολογισµού Γ.Κ. επιφανειών Ορθογώνιο Παραλληλόγραµµο Το Γ.Κ. είναι η τοµή των αξόνων συµµετρίας της επιφανείας. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: b b h h d d d d d h b b C = = = = = = b h b h b h b h C h h h b b d d d d d b h h C = = = = = = b b h b h b h b h Παραδείγµατα άλλων επιφανειών Κύκλος C C = 0 = 0 C Τρίγωνο b a C C a = 3 b = 3 6

17 Ισορροπία Υλικού Σηµείου Υλικό Σηµείο ~ Σώµα µε µηδενικές διαστάσεις όλες οι δυνάµεις συντρέχουσες. Συνισταµένη Υλικού Σηµείου: ΣF = 0 ΣF X = 0 ΣF Y = 0 Συνδετικά Μέσα ) Καλώδια T ) Ελατήρια o B W B T T W F= k = k( o) 7

18 Παράδειγµα σε ύο ιαστάσεις Να βρεθούν οι δυνάµεις των καλωδίων D και B, που ασκούνται στο κρίκο Α ώστε αυτός να ισσοροπεί. Τ Β B Τ Β D 0 Τ θ = 30 D W = 00Ν W Η ισορροπία των καθέτων δυνάµεων για το βάρος C µας δίνει: Σ F = 0 T W = 0 T = 00[N] C C Η ισορροπία των καθέτων δυνάµεων για το κρίκο Α µας δίνει: 0 Σ F = 0 T T = 0 T sin(30 ) = 00 T = 00[N] B C B B Η ισορροπία των οριζοντίων δυνάµεων για το κρίκο Α µας δίνει: 0 Σ F = 0 T T = 0 T cos(30 ) = T T = 73[N] B D B D D C ΕΣ... Τ C Τ C Τ Β 8

19 Παράδειγµα σε Τρεις διαστάσεις Κύλινδρος µάζας 00 Kg αναρτάται από δύο νήµατα και ένα ελατήριο σταθεράς K=,5 ΚΝ/m. Να βρεθούν οι δυνάµεις των νηµάτων και η επιµήκυνση του ελατήριου. Οι γωνίες κατεύθυνσης για το νήµα C είναι: θ X =0 0, θ Y =35 0, θ Z =60 0. θ C θ Z θ Y D(,,) ΕΣ... B M W T B Η ισορροπία των δυνάµεων για το κύλινδρο µας δίνει: Σ F= TB + TC + TD + W= 0 Αναλύουµε τα διανύσµατα του προβλήµατος µε βάση τα µοναδιαία διανύσµατα των κυρίων αξόνων. Έτσι προκύπτει για τα T B, T C, T D και W : T C T D 9

20 TB = TB i T C = [TC cos(0 )]i + [TC cos(35 )] j + [TC cos(60 )]ktc = = 0,5TC i 0,707 TC j + 0,5TC k i + j + k TD = TD = 0,33T D i + 0,67 TD j + 0,67 TD k ( ) + + W = 98k Γράφουµε τις εξισώσεις ισορροπίας του σώµατος, ώστε να υπολογίσουµε τις άγνωστες δυνάµεις και στη συνέχεια την επιµήκυνση του ελατηρίου: Σ FX = 0 TB-0,5TC-0,33TD = 0 T B = 694[N] Σ FY = 0 0,707 T C + 0,67 TD = 0 T C = 83[N] FZ 0 0,5T C + 0,67 TD 98 0 Σ = = T D = 86[N] TB 694[N] TB = K lb l B = = = 0,46[m] 3 K,5 0 [N / m] 0

21 Ισορροπία Στερεού Σώµατος Η ισορροπία δυνάµεων στο σηµείο i µας δίνει: Σ Fi = 0 Fi +Σ Fij = 0, όπου F i εξωτερική και F ij εσωτερική. Η ισορροπία δυνάµεων σε όλο το σώµα µας δίνει: ΣΣ [ F] =Σ [F +Σ F ] = 0 Σ F +ΣΣ F = 0 Σ F=Σ F = 0 i i ij i ij i 0, νόµος δράσης-αντίδρασης Το συµπέρασµα που προκύπτει από τη παραπάνω σχέση είναι ότι το άθροισµα των εξωτερικών δυνάµεων είναι ίσο µε µηδέν. Οµοίως για τις ροπές ως προς το σηµείο i: ΣΜ =0 r (F +Σ F ) = r F + r Σ F = 0 i i i ij i i i ij Η ισορροπία ροπών για όλο το σώµα µας δίνει: ΣΣΜ [ i] = 0 Σ ri Fi + ri Σ F ij =Σ [ri F] i = 0 Σ MO = 0 δηλαδή το άθροισµα των ροπών ως προς το Ο είναι ίσο µε το µηδέν. O j r i F ij i F j F i

22 Σύνδεσµοι / Αντιδράσεις συνδέσµων Τύποι συνδέσµων/αντιδράσεις ) Καλώδιο Προκύπτει ένας άγνωστος η δύναµη F, η οποία είναι εφελκυστική και στη διεύθυνση του καλωδίου. θ θ F ) εσµική ράβδος Προκύπτει ένας άγνωστος η δύναµη F, η οποία είναι στη διεύθυνση της ράβδου. θ θ Ή F θ F 3) Κύλιση Προκύπτει ένας άγνωστος η δύναµη F, η οποία είναι κάθετη στην επιφάνεια στήριξης. F Ή F

23 4) Άρθρωση Προκύπτει ένας άγνωστος η δύναµη F, η οποία είναι παράλληλη στην επιφάνεια στήριξης. Η δύναµη F αναλυόµενη δίνει άγνωστες δυνάµεις. F F θ Ή F θ 5) Πάκτωση Προκύπτουν τρείς άγνωστοι, οι συνιστώσες της δύναµης F και η ροπή M. Μ F θ Ή M F F 3

24 ιάγραµµα Ελευθέρου Σώµατος (.Ε.Σ.) Σχεδιάζουµε το σώµα ελεύθερο από συνδέσµους και στις θέσεις τους βάζουµε άγνωστες αντιδράσεις. Το βάρος του σώµατος ασκείται στο Κ.Β. που για οµογενή σώµατα συµπίπτει µε το Γ.Κ. Γράφουµε τις εξισώσεις ισορροπίας για το σώµα: Σ F = 0 Σ F= 0 Σ F = 0 ΣΜ ο = 0 ΣΜ ο = 0 Σε ισοδυναµία µε τις παραπάνω εξισώσεις ισορροπίας θα µπορούσαµε να γράψουµε: Σ Fa = 0 ΣΜ Α = 0 όπου F a συνιστώσες σε κάποιο τυχαίο άξονα a και Α, Β τυχαία σηµεία έτσι ώστε το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ να ΜΗΝ είναι κάθετο στον άξονα a. ΣΜ Β = 0 4

25 Παράδειγµα ο Γράφουµε τις εξισώσεις ισορροπίας. Από την ισορροπία στον άξονα : Σ F = 0 Προκύπτει η άγνωστη X X X F F F 3 B F 4 B Y Y Από την ισορροπία των ροπών ως προς το σηµείο Α: ΣΜ = 0 Προκύπτει η άγνωστη Β Α Από την ισορροπία των ροπών ως προς το σηµείο B: ΣΜ = 0 Προκύπτει η άγνωστη Α Β Υ Υ Επίσης θα µπορούσαµε να γράψουµε ισοδύναµα το ακόλουθο σύστηµα εξισώσεων ισορροπίας για το προσδιορισµό των αγνώστων αντιδράσεων: ΣΜ Α = 0 ΣΜ Β = 0, όπου C είναι ένα σηµείο που ΕΝ ανήκει στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ. ΣΜ C = 0 5

26 Παράδειγµα 0 600N 00N 00N 0 θ= 45 B. ΕΣ cos sin m 3m m m 3m m Έχοντας σχεδιάσει σωστά το ιάγραµµα Ελευθέρου Σώµατος, γράφουµε τις εξισώσεις ισορροπίας για το προσδιορισµό των αγνώστων αντιδράσεων: 0 Σ F = 0 600cos(45 ) = 0 = 44N 0 Σ MB = 0 (00) + 600sin(45 ) 5 7 = 0 = 33 N Σ F 0 B = sin(45 ) B 0 = 393N + = Τα θετικά πρόσηµα για τα µέτρα των αντιδράσεων δείχνουν ότι σωστά υποθέσαµε αρχικά τις φορές τους στο ιάγραµµα Ελευθέρου Σώµατος. Α X Α Y B Y 6

27 ικτυώµατα ικτύωµα: Κατασκευή που αποτελείται από λεπτές ράβδους που ενώνονται στα άκρα τους. Τα σηµεία ενώσεώς τους καλούνται κόµβοι. Στο διπλανό σχήµα παρουσιάζεται ένα επίπεδο δικτύωµα. Όλες οι δυνάµεις εφαρµόζονται στους κόµβους και το βάρος των ράβδων αµελείται. Οι ράβδοι ενώνονται στους κόµβους µε αρθρώσεις. Κάθε ράβδος δέχεται στα άκρα της ίσες και αντίθετες δυνάµεις κατά τη διεύθυνση του άξονά της. Η εντατική κατάσταση των ράβδων ενός δικτυώµατος είναι είτε εφελκυστική είτε θλιπτική. Οι ράβδοι ενός δικτυώµατος ΕΝ πρέπει να καταπονούνται από στρέψη ή κάµψη. T T T T Εφελκυστική εντατική κατάσταση. Όπου Τ η τάση της ράβδου. Θλιπτική εντατική κατάσταση. Όπου Τ η τάση της ράβδου. 7

28 Υπολογισµός ικτυωµάτων Το απλό δικτύωµα προκύπτει από απλή παράθεση τριγώνων. Για τα δικτυώµατα ισχύει γενικά η σχέση: ρ = κ 3, όπου ρ = αριθµός των ράβδων του δικτυώµατος και κ = αριθµός των κόµβων. Αν το δικτύωµα είναι απλό τότε οι κ εξισώσεις των κόµβων είναι αρκετές για τον υπολογισµό των ρ = κ 3 τάσεων των ράβδων και των τριών αντιδράσεων. Η µεθοδολογία υπολογισµού έχει ως εξής: ) Αρχικά υπολογίζουµε τις αντιδράσεις του δικτυώµατος. ) Κατόπιν, ξεκινάµε από τον κόµβο µε το πολύ άγνωστες δυνάµεις Από τις εξισώσεις ισορροπίας βρίσκουµε τις άγνωστες δυνάµεις και προχωρούµε. Κόµβος i T 3 T T FX 0 (*) Σ = Σ FY = 0 Αν ο κόµβος εµφανίζει δύο αγνώστους τότε η ( ) είναι αρκετή. Αν ο κόµβος εµφανίζει περισσότερους αγνώστους τότε χρησιµοποιούµε το αποτέλεσµα της ( ) σε γειτονικούς κόµβους. Fi εξωτερική δύναµη 3) Υποθέτουµε συµβατικά όλες τις τάσεις στις ράβδους εφελκυστικές, εποµένως οι δυνάµεις στους κόµβους κατευθύνονται προς τις ράβδους ή αποµακρύνονται από τους κόµβους (όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήµα). 4) Αν προκύψουν αρνητικές δυνάµεις κατευθύνονται στον κόµβο (θλιπτικές). 8

29 Παράδειγµα Υπολογισµού Απλού ικτυώµατος 3m B 400N 3m C D 600N 4m. ΕΣ.. Βήµα ο : Υπολογίζουµε τις άγνωστες αντιδράσεις του δικτυώµατος. Οι εξισώσεις ισορροπίας για όλο το δικτύωµα µας δίνουν: Σ FΧ = CX = 0 CX = 600 [N] ΣΜ C = 0 Y(6) 400(3) 600(4) = 0 Y = 600 [N] FY 0 Y 400 CY 0 Σ = = CY = 00 [N] () Y 3m B 400N (4) (5) () 3m (3) C C Y C X D 600N 4m + M 9

30 Βήµα ο : Εφαρµόζουµε τη µέθοδο των κόµβων. Αρχικά εντοπίζουµε το κόµβο ο οποίος να έχει το πολύ άγνωστες δυνάµεις. Υπάρχουν δύο κόµβοι που συγκεντρώνουν άγνωστες δυνάµεις, οι κόµβοι Α και C, ενώ οι κόµβοι Β και D συγκεντρώνουν 3 άγνωστες δυνάµεις. Ξεκινούµε από το κόµβο Α: Σ = + T = 0 5 T = T = = 750[N] FY Σ FX = 0 T5 + T = 0 T5 + T = = = 5 T T 450 [N] 5 Γνωρίζοντας τώρα την T 5 ο κόµβος D έχει δύο άγνωστες δυνάµεις: 5 Σ FX = T5 T4 = 0 T 4 = (600 T 5) 3 Σ F T Y = T4 = 0 T3 = T4 T4 = 50[N] 4 T3 = T4 = 00 [N] 5 T 5 T T 4 T 4 T T T 3 T 4 D + T N 30

31 Τέλος υπολογίζουµε το κόµβο C για να υπολογιστεί και η τελευταία τάση T της ράβδου : Σ FX = 0 C T = 0 T = C = 600[N] C Τ Σ F C Y = 0 T3 = 0 T3 = C = 00 [N] (έλεγχος) Μετά τον υπολογισµό των τάσεων των ράβδων στους κόµβους, σχεδιάζουµε τα διαγράµµατα ελευθέρου σώµατος όλων των ράβδων του δικτυώµατος, σηµειώνοντας αντίστοιχα εφελκυστική ή θλιπτική φόρτιση, έχοντας υπόψη το νόµο της δράσης αντίδρασης µεταξύ των ράβδων και των κόµβων. Ράβδος ) Ράβδος ) Ράβδος 3) Ράβδος 4) Ράβδος 5) T T T3 T4 T5 = 750[N] = 600 [N] = 00 [N] = 50[N] = 450 [N] T T T3 T4 T5 = 750[N] = 600[N] = 00[N] = 50[N] = 450[N] Τ 3 C C Θλιπτική εντατική κατάσταση Θλιπτική εντατική κατάσταση Θλιπτική εντατική κατάσταση + Εφελκυστική εντατική κατάσταση Εφελκυστική εντατική κατάσταση 3

32 Φορτία ιατοµής οκού Επίπεδο τοµής στον άξονα ΟΟ Ο Ο Ο Ο Ι ΙI Οι εσωτερικές δυνάµεις που αναπτύσσονται µετά τη τοµή σε κάθε ένα από τα τµήµατα I και II είναι ίσες και αντίθετες (νόµος δράσης αντίδρασης). Μεταφέρουµε όλες τις δυνάµεις των τµηµάτων I και II στο γεωµετρικό τους κέντρο (σηµεία C και C πάνω στον άξονα OO ) και τις συνθέτουµε στη συνιστώσα δύναµη και ροπή M που συνεπάγεται η µεταφορά τους. M Ο C I M C II O 3

33 Εξετάζουµε το τµήµα Ι: Η συνισταµένη δύναµη αναλύεται σε τρεις συνιστώσες στους άξονες,, : = N (αξονική δύναµη // OC), = V (τέµνουσα δύναµη επίπεδο ), = V (τέµνουσα δύναµη επίπεδο ). Εξετάζουµε το τµήµα Ι: Η συνισταµένη ροπή M αναλύεται σε τρεις συνιστώσες στους άξονες,, : M = T (ροπή στρέψης, // OC), M (ροπή κάµψης, επίπεδο ), M (ροπή κάµψης, επίπεδο ). Ο M I M M T C Μ Μ Μ Μ T Μ Ο V C I Μ T T Μ V T N Κανόνας µοχλού δεξιού χεριού Κανόνας µοχλού δεξιού χεριού Μ 33

34 Υπολογισµός φορτίων διατοµής σε τυχαία θέση της δοκού Προσδιορίζουµε τις εξωτερικές αντιδράσεις της δοκού. Κάνουµε µια τοµή κάθετη στον οριζόντιο άξονα της δοκού. Σε κάθε ένα από τα δύο τµήµατα της δοκού που προκύπτουν, εφαρµόζουµε ίσα και αντίθετα φορτία της διατοµής µε κάποια υποθετική φορά. Γράφουµε τις εξισώσεις ισορροπίας για το ένα από τα δύο τµήµατα και υπολογίζουµε τα άγνωστα φορτία της διατοµής. Αν τα φορτία προκύψουν αρνητικά έχουν αντίθετη φορά από αυτή που αρχικά υποθέσαµε. 34

35 -D: ιάτµηση και καµπτική ροπή σε δοκό Θεωρούµε ένα τµήµα της δοκού µεταξύ του άξονα (όπου ασκείται η αντίδραση ) και του άξονα aa, και οµοιόµορφη εντατική κατάσταση στο. Στο επίπεδο του σχήµατος στην τοµή aa (κάθετη στο ) σχεδιάζουµε τις εσωτερικές δυνάµεις V (διάτµηση) και M (καµπτική ροπή). Σύµβαση προσήµων M M M M V V V V Ίνα αναφοράς Εφελκυσµός ίνας αναφοράς Από τις εξισώσεις στατικής ισορροπίας της δοκού προκύπτει: V + P+ w = 0 Σ F = 0 M Σ O = 0 M + P( h) + w = 0 h P + b b w a O a Θλίψη ίνας αναφοράς V 35 + M

36 Σχέσεις µεταξύ φορτίου ιάτµησης και Ροπής Θεωρούµε ένα στοιχειώδες κοµµάτι d µιας ράβδου, στο οποίο ασκείται ένα κατανεµηµένο φορτίο w. Αν στο ένα άκρο του στοιχειώδους τµήµατος d εφαρµόζεται διάτµηση V και ροπή M, υποθέτουµε ότι στο άλλο άκρο θα έχουµε διάτµηση V+ dv και ροπή M+ dm, όπως ακριβώς παριστάνεται στο παρακάτω σχήµα. Από τη στατική ισορροπία του σώµατος w + στο κατακόρυφο άξονα προκύπτει: V Σ F = 0 V + wd (V + dv) = 0 M O M+ dm V dv V w dv V = = = V V V = wd d d V+ dv V Από τη στατική ισορροπία του σώµατος για τις ροπές ως προς το σηµείο Ο προκύπτει: d Σ MO = 0 M Vd wd + (M+ dm) = 0 dm d M M V= dm = M = M M M = Vd M 36

37 Παράδειγµα ο Να υπολογιστούν τα διαγράµµατα N, V, M [δηλαδή οι συναρτήσεις M()] για τη δοκό του παρακάτω σχήµατος. 00 KN \ m 500 KN 3000 KNm 3m 0m m Γράφουµε τις εξισώσεις στατικής ισορροπίας της δοκού ώστε να υπολογίσουµε τις άγνωστες αντιδράσεις και. Για να υπολογίσουµε εύκολα µια από τις δύο αντιδράσεις, παίρνουµε την εξίσωση στατικής ισορροπίας των ροπών, ως προς ένα από τα δύο σηµεία που ενεργούν οι αντιδράσεις, για παράδειγµα ως προς το σηµείο που ενεργεί η αντίδραση. 0 Σ M = (0) () = 0 = 00 [KN] Σ F = 0 00 (0) = 0 = 300 [KN] + 37

38 Υπολογίζουµε τις τέµνουσες δυνάµεις (εγκάρσιες) και τις καµπτικές ροπές στη δοκό. Κάνουµε εγκάρσια τοµή στη δοκό κάθε φορά που έχουµε µεταβολή στη φόρτισή της. Τµήµα ο 0 3 Σ F = 0 V() = 0 Σ M = Μ () = 0 Μ () = 3000 [KNm] τοµη Τµήµα ο 3 3 Σ F = ( 3) + V () = 0 V () = [KN] ( 3) Σ Mτοµη = ( 3) + 00( 3) + M () = 0 = + M () 00( 3) 00( 3) 3000 [KNm] Στη θέση της τοµής εφαρµόζουµε τις εσωτερικές δυνάµεις 3000 KNm 3000 KNm 3m 3m V M 0m 00 KN \ m V M 38

39 Τµήµα 3 ο 3 5 Σ F = 0 V () 500 = 0 3 V 3() = 500 [KN] Σ M = 0 Μ () (5 ) = 0 Μ () = 500( 5) [KNm] 3 τοµη KNm 3m 0m m 00 KN \ m V 3 M KN Κάναµε τη τοµή στο τρίτο τµήµα της δοκού και εφαρµόσαµε τις εσωτερικές δυνάµεις στο δεξί κοµµάτι και όχι στο αριστερό, όπως κάναµε στα υπόλοιπα δύο τµήµατα. Οι δυνάµεις που εφαρµόσαµε εδώ ( V,M 3 3) ήταν ίσες και αντίθετες (δράση αντίδραση) µε τις ( V,M ) και ( V,M ). Αυτό έγινε διότι αν κοιτάξουµε τη τοµή από δεξιά έχουµε λιγότερες δυνάµεις να αθροίσουµε στην εξίσωση ισορροπίας δυνάµεων και ροπών. 39

40 Κατασκευή διαγράµµατος εγκάρσιων δυνάµεων Q() και καµπτικών ροπών M(). 00 KN \ m 500 KN 3000 KNm 3m 0m m Α(3,0), Β(3,00), Γ(9,0) (3, 800), Ε(3,500), Ζ(5,500) V[KN] 00 KN 300 KN B + θ Γ Ε Ζ dv () d(800 00) d d εφθ = = εφθ= 00 θ= 89,7 0 M[KNm] B Γ i i i Ε Ζ Η Α(0, 3000), Β(3, 3000), Γ(3.55,0) (9,600), Ε(8.45,0), Ζ(3, 000) Η(5, 0) 40

41 Παράδειγµα ο Να υπολογιστούν τα διαγράµµατα V() και M().για τη πρόβολο του παρακάτω σχήµατος. wkn\m + M Στη πρόβολο δεν ασκούνται αξονικές δυνάµεις, οπότε η πάκτωση «αντιδρά» µε µια τέµνουσα δύναµη και µια καµπτική ροπή M. Υπολογίζουµε τις αντιδράσεις της πάκτωσης από τις εξισώσεις στατικής ισορροπίας. w w = 0 = Σ F = 0 Σ M = 0 w w M (+ ) = 0 M = 3 3 4

42 Υπολογίζουµε τις τέµνουσες δυνάµεις και τις καµπτικές ροπές στη δοκό. Κάνουµε εγκάρσια τοµή στη δοκό κάθε φορά που έχουµε µεταβολή στη φόρτισή της. Τµήµα ο 0 wkn\m + Σ F = 0 V() = 0 w V() = Σ M = 0 Μ + M () = 0 τοµη w w M() = + 3 wkn\m Τµήµα ο M M w ( X) Σ F = 0 V () ( ) = 0 V w V() = ( ) w 3 Σ Mτοµη = 0 Μ () + ( ) ( ) M () = ( ) 3 6 M V M + 4

43 Κατασκευή διαγράµµατος εγκάρσιων δυνάµεων V() και καµπτικών ροπών M(). wkn\m M + w V + M w 3 w 6 43

44 ΤΑΣΗ n n s n n n n s

45 Δι-διάστατη Εντατική Κατάσταση ( D) Ισορροπία ) ΣΜ=0 και τείνουν να περιστρέψουν το στοιχειώδες τετράγωνο ( d) d ( d) d d ) ΣF=0 d d d d d ( d ) d ( d ) d d d 0 d dd d 0 0 d d 0 Εξισώσεις Ισορροπίας d d 0

46 Μετασχηματισμός Τάσης (,, )? (,, ), d cos d cos d sin d sin d n d nt t n ή n cos sin cos sin nt ( )sin cos (cos sin ) n cos sin nt sin cos 3

47 ma n? ma nt d n d nt 0 n( p) p, 0 nt ( T ) p d d p T d n 0 ( )sin cos 0 tan p d d nt 0 ( )cossin 0 tant d cos( p T ) 0 tant tan sin cos p p T T p 4 cos p ( )/, sin p p,, p..... κύριες τάσεις p, T..... μέγιστη διατμητική τάση 4

48 p p, p p p T p 4 d n nt 0 δηλ. διατμητική τάση μηδέν στα επίπεδα p d : (-) θλιπτική ; (+) εφελκυστική : (+) ; (-) : (+) αριστερόστροφη από t n 5

49 Κύκλος του Mohr: n nt n, nt κύκλος (C, ): C,0 ; nt p H (, ) p C p B p n p, C p (, ) V (, ) n nt p tan tan / BV CB p στο κύκλο του Mohr p στο φυσικό χώρο / p p στο κύκλο του Mohr /4 στο φυσικό χώρο ( ) για στροφή ( ) για στροφή 6

50 Παραμόρφωση Α Α' ΟΑ ΟΑ' Αλλαγή μήκους και γωνίας Ο Αξονική: n n F n n n n d n d Διατμητική: s s μικρό tan ( ) επιμήκυνση ; ( ) d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d dn dn n dn nt nt 7

51 ( n ) dn B n Δι-διάστατη (-D) Παραμόρφωση ( ) d t d dn B C O d C ( ) d ( OB ) ( OC ) ( C B ) ( OC )( C B )cos ( n) dn ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d sin d dn cos, d dn sin, sin,,, Ορθή και διατμητική παραμόρφωση σε τυχαίο επίπεδο, n cos sin sin cos nt ( )sin cos (cos sin ),, 8

52 Ομοίως, n cos sin nt ( )sin cos Κύριες παραμορφώσεις, Κύκλος Mohr κ.λπ. p,, tan p nt / p / H (, /) p C p B p n p p, C C, p V, / 9

53 a cos a sin a sin acos a b cos b sin b sin bcos b Επιμηκυνσιόμετρα c c b c cos c sin c sin ccos c,, από τα a, b, c Παράδειγμα c 45 o 45 o b a 0, 3.50, a b c 4 a 0, c 8 0, 4 O a b a o o o o b cos 45 sin 45 sin 45 cos45 nt.65 V (,.5) p 8.35 n H (8,.5) p p tan p 3.3 5, o C 4 5 0, p C o 0 4, 4

54 Νόμος του Hooke E G E G Μεταβολή μήκους (παραμόρφωση) στη διεύθυνση d d E E d E E ( ) E G ( ) E G ( ) E G D, E E E ; 0 E E,

55 p p Καθαρή Διάτμηση H (0, ) / (0, / ) p 0 p p V (0, ) / p 0 / p (0, / ) 45 o E Νόμος του Hooke: p p p ( ) p, / p, / E E ( ) E ( ) ( ) ( )( ) E ( ) ( ) ( )( ) E ( ) ( ) ( )( ),,, G E ( ) G E ( ) G E ( ) E ( ) E ( ) G ( ) E ( ) E ( ) E Επίπεδη ένταση: 0 E E [ ] ( ) Επίπεδη παραμόρφωση: 0 E ( ) ( )( ) E ( ) ( )( ) E ( ) ( )( ) ( )

56 Αξονική Φόρτιση δ P, E P E P δ C Υπερστατικοί Φορείς CD E 00GPa, 500MPa, 50mm,,,,? Y YB Y B B B YB B E 00GPa, 400 MPa, 00 mm MD 0 P(0.5m) P B(0.5m) P (0.05m) 0 P 3PB 0kN () c B B c δ B 3 δ B P B B P P(0.4m) B P(0.m) 3 3 BEB E (0.m)(0.m) (0.5m)(0.m) P PB () () () P P 30 kn B 3 P 30(0) N 6 00(0) N / m 00MPa ( ), 6 B 50MPa ( ), 50(0) m P B B 5 30(0) (0.400)Nm 3 C B (0) m mm BEB 300(0) (00)(0) m Pa C B 400 mm 00 mm 00 mm 00 mm 50 mm P = 4 kn P B Y YB k.5, kb B 50 P D

57 Στρέψη r d df d Ασκούμενη Ροπή M Παραμόρφωση M M r d... M 0 B B B D O D r tan BB DD r, tan tan (διατμητική παραμόρφωση) r, B r Τάση G G G r r r M r d r d r d J r d... πολική ροπή αδράνειας Mr ; J J r d 4 3 r J r d r d( r ) r dr r M r, r, J M JG rg 4

58 F 0 M O 0 P O V r M r Κάμψη O d Ουδέτερος άξονας (Ο.Α.) V r d M r d Καμπτική Παραμόρφωση O.. c b b O.. c c c c c c c c O.. c c Στατική: F 0, M 0 F F M c T r 5

59 Καμπτική Τάση P F c F 0 d0 O.. V r M r F T E Hooke: ( ) ( ) E ( )( ) c c E E c c c c M Mr d d d d I c c M I Και από την d 0 d 0 K.. O.. (Κεντρικός άξονας Ουδέτερος άξονας) d I d Ο. Α. ; I d ; I = ροπή αδράνειας ως προς κεντρικό άξονα O.. 6

60 Ροπή Αδράνειας h h b h d d( b) bh bh 0 0 h h / 3 h / 3 bh I IO db d 3 h/ h / b 3 3 O.. 3 O.. O i 3 i i i i O.. d I I d O cm cm h b O h bh bh I IO bh bh mm 0mm 8cm 3cm cm cm i i (8 ) 4 (86) 5 3cm (8) (86) i IO ()(5) ()(3) (8)() 7cm mm 45mm 80 90mm... άξονας συμμετρίας I (00)(80) (45)(60) mm

61 Διατμητική Τάση P O.. M V d V dv M dm, ( ) ; F 0 d d d0 B O O O Q: B d t M dm M dm dm,, I I ( d) t d I I I d d I t dm V VQ I t ( ) 0 (επειδή d 0 Q d d d d Σύνθετες Διατομές: N Q d i i i ) O.. B d και d d Q α) Q 0 στην κορυφή και στην βάση Q T Q 0 B β) ma Vma Q ma t γ) Q ma στον Ο.Α. αν t σταθ. h h h b h Q ( ) b O.. Q ma Q bh 8 h O.. b 8

62 Κάμψη Δοκών Ελαστική Γραμμή Σαν ελαστική γραμμή δοκού ορίζεται ο παραμορφωμένος ουδέτερος άξονας της δοκού ή αλλιώς η γραμμή των βυθίσεων της δοκού d () Απειροστό τμήμα της δοκού μεταξύ και d c Κ d d d ακτίνα καμπυλότητας '' ( ') d '' 3/ d d d d d c d d ( c) d d d E EI d M EI d c c Mc d c c d d d Εξισωση ελαστικης γραμμης 0 0 Η ελαστική γραμμή στρέφει τα κοίλα άνω. d d 0 0 Η ελαστική γραμμή στρέφει τα κοίλα κάτω. d c 9

63 Κοίλα άνω: Κοίλα κάτω: Κλίση ελαστικής γραμμής: Υπολογισμός ελαστικής γραμμής d M d M M d c ( ) d d c c d EI d EI EI Οι c και c προσδιορίζονται από οριακές συνθήκες: d Πάκτωση: (0) (0) 0 d Άρθρωση ή κύλιση: (0) 0 d d Αν δυο τμήματα της δοκού έχουν διαφορετικά γεωμετρικά χαρακτηριστικά ή φυσικές ιδιότητες, τότε η βύθιση υπολογίζεται για τα επιμέρους τμήματα και οι πρόσθετες σταθερές ολοκλήρωσης προσδιορίζονται από τις συνθήκες συνέχειας στα κοινά σημεία. Ι I ( ) Α di dii Πρέπει: I( ) II( ) και ( ) ( ) d d ΙΙ II ( ) 0

64 Παράδειγμα P EI σταθερό P P Φορτίο: dv w d EI 4 d d 4 P P P P P 4 Διάτμηση: V DM d EI 3 d d 3 Ροπή: M d EI d P 6EI P 6EI Παραμόρφωση (Βύθιση): d Κλίση: d 3 P 48EI

65 Υπολογισμός βύθισης P d P d M EI d P EI c d 4 P 3 EI c c () () Συνοριακές συνθήκες: (0) 0 c 0 d P ( ) 0c d 6 Τελικά: d P 0, (0) 0, (0) 0 d P P 6 3 () d EI P P () 3 P d EI 4 6 d EI 6, ( ), ( ) 0 48EI d

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η Ανάλυση Ισοστατικών οκών και Πλαισίων Τρίτη,, 21, Τετάρτη,, 22 και Παρασκευή 24 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 016 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 13-15 Εισαγωγή στις Παραµορφώσεις και Μετακινήσεις Τρίτη, 5, και Τετάρτη, 6 και Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 017 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Σχήμα 2 Παραγόμενη Μονάδες S.I. όνομα σύμβολο Εμβαδό Τετραγωνικό μέτρο m 2 Όγκος Κυβικό μέτρο m 3 Ταχύτητα Μέτρο ανά δευτερόλεπτο m/s Επιτάχυνση Μέτρο ανά δευτ/το στο τετράγωνο m/s 2 Γωνία Ακτίνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 015 3. Δοκοί (φορτία NQM) Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής με τα διάφορα είδη φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 011 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) 371 AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) ΑΣΚΗΣΗ 1 Το µηκυνσιόµετρο στο σηµείο Α της δοκού του σχήµατος καταγράφει θλιπτική παραµόρφωση ίση µε 0.05. Πόση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΚΟΥΝΤΑΣ Δ. ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΣΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης CreatveCommons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη μαθήματος Ι

Περίληψη μαθήματος Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΛΙΚΩΝ, ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ, ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ, ΑΠΘ Περίληψη μαθήματος Ι Τυπολόγιο μεθοδολογία στατικής Περίληψη Ι: Ισορροπία υλικού σημείου & στερεού σώματος, δικτυώματα,

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Η εντατική κατάσταση στην οποία βρίσκεται μία δοκός, που υποβάλλεται σε εγκάρσια φόρτιση, λέγεται κάμψη. Αμφιέριστη δοκός Πρόβολος Κατά την καταπόνηση σε κάμψη αναπτύσσονται καμπτικές ροπές, οι

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση 2ας. Προόδου & ιάλεξη 12 η. Τρίτη 5 Οκτωβρίου,,

Επίλυση 2ας. Προόδου & ιάλεξη 12 η. Τρίτη 5 Οκτωβρίου,, ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 12 η Επίλυση 2ας Προόδου & Εισαγωγή στις Παραµορφώσεις και Μετακινήσεις Τρίτη 5 Οκτωβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης 5.1. Μορφές κάµψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης Η γενική κάµψη (ή κάµψη), κατά την οποία εµφανίζεται στο φορέα (π.χ. δοκό) καµπτική ροπή (Μ) και τέµνουσα δύναµη (Q) (Σχ. 5.1.α).

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΚΗ 1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Παράδειγμα 1.1

ΣΤΑΤΙΚΗ 1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Παράδειγμα 1.1 ΣΤΤΙΚΗ 1 ΥΝΜΕΙΣ Στατική είναι ο κλάδος της μηχανικής που μελετά την ισορροπία των σωμάτων. Κατά την μελέτη δεχόμαστε ότι τα σώματα δεν παραμορφώνονται από τις δυνάμεις που ασκούνται σ αυτά. Οι παραμορφώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 202 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ( η περίοδος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Εισαγωγή Παραμορφώσεις Ισοστατικών Δοκών και Πλαισίων: Δ22-2 Οι κατασκευές, όταν υπόκεινται σε εξωτερική φόρτιση, αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 7. Στρέψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 2015 1 Εισαγωγή Σε προηγούμενα κεφάλαια μελετήσαμε πώς να υπολογίζουμε τις ροπές και τις τάσεις σε δομικά μέλη τα

Διαβάστε περισσότερα

1 η Επανάληψη ιαλέξεων

1 η Επανάληψη ιαλέξεων ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 η Επανάληψη ιαλέξεων Στατική Ανάλυση Ισοστατικών Φορέων Τρίτη,, 28 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk ΠΠΜ

Διαβάστε περισσότερα

F r. www.ylikonet.gr 1

F r. www.ylikonet.gr 1 3.5. Έργο Ενέργεια. 3.5.1. Έργο δύναµης- ροπής και Κινητική Ενέργεια. Το οµοαξονικό σύστηµα των δύο κυλίνδρων µε ακτίνες R 1 =0,1m και R =0,5m ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο. Τυλίγουµε γύρω από τον κύλινδρο

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 24-27 Αρχή υνατών Έργων (Α Ε) Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 και Τρίτη, 9 Νοεµβρίου, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις προηγούμενων εξετάσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις προηγούμενων εξετάσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΚΑΙ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις προηγούμενων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή 1-1 Η Επιστήµη της Αντοχής των Υλικών, 1-2 Γενικές παραδοχές, 1-3 Κατάταξη δυνάµεων, 1-4 Είδη στηρίξεων, 1-5 Μέθοδος τοµών, Παραδείγµατα, 1-6 Σχέσεις µεταξύ εσωτερικών και εξωτερικών δυνάµεων, Παραδείγµατα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Επίλυση υπερστατικών φορέων Για την επίλυση των ισοστατικών φορέων (εύρεση αντιδράσεων και μεγεθών έντασης) αρκούν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ. Δοκοί, Πλαίσια, Δικτυώματα, Γραμμές Επιρροής και Υπερστατικοί Φορείς

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ. Δοκοί, Πλαίσια, Δικτυώματα, Γραμμές Επιρροής και Υπερστατικοί Φορείς ΤΧΝΟΛΟΙΚΟ ΚΠΑΙΥΤΙΚΟ ΙΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΧΝΟΛΟΙΚΩΝ ΦΑΡΜΟΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής ΑΣΚΗΣΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ οκοί, Πλαίσια, ικτυώματα, ραμμές πιρροής και Υπερστατικοί Φορείς, Ph.D. Μάρτιος 11 Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016 A2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1 Τι είναι ένα δικτύωμα Είναι ένα σύστημα λεπτών,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 30 Ιουνίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 30 Ιουνίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουνίου 11 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ- Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 0 Μαΐου 05 Ώρα : 0:0 - :00 ΘΕΜΑ 0 (µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΠΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΡΟΠΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΡΟΠΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Ροπή Δύναμης Θα έχετε παρατηρήσει πως κλείνετε ευκολότερα μια πόρτα, αν την σπρώξετε σε μια θέση που βρίσκεται σχετικά μακρύτερα από τον άξονα περιστροφής της (τους μεντεσέδες

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. ΘΕΜΑ 1 ο (35%) Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων.

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. ΘΕΜΑ 1 ο (35%) Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων. ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΟ ΕΚΠΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜ ΘΗΝΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΩΝ ΕΦΡΜΟΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 8 Φεβρουαρίου Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΤΩΝ ΡΠΤΗ ΕΞΕΤΣΗ ( η περίοδος χειμερινού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ 2. ΣΤΑΤΙΚΗ Να χαραχθούν τα διαγράμματα [Ν], [Q], [M] στη δοκό του σχήματος: Να χαραχθούν τα διαγράμματα [Ν], [Q], [M] στον φορέα του σχήματος: Ασκήσεις υπολογισμού τάσεων Άσκηση 1 η (Αξονικός εφελκυσμός

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να είναι σε θέση ο φοιτητής να μπορεί να ελέγχει την ισο-στατικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/ E-mail: gloudos@teiath.gr Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2005 ΘΕΜΑ 1

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2005 ΘΕΜΑ 1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΘΕΜΑ 1 Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα Μ, Q, N (3.5 μονάδες) β) η κατακόρυφη βύθιση του κόμβου 7 λόγω της φόρτισης και μιας ομοιόμορφης μείωσης της θερμοκρασίας

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός οµογενούς δίσκου που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Κ. Β. ΣΠΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής ΕΜΠ Πορεία επίλυσης. Ευρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΡΕΨΗ

Κεφάλαιο 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΡΕΨΗ 119 Κεφάλαιο 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΡΕΨΗ 6.1 Εισαγωγή Όταν ένα δομικό στοιχείο καταπονείται με ροπές των οποίων τα διανύσματα είναι παράλληλα προς τον άξονα του στοιχείου, δηλαδή προκαλούν συστροφή του στοιχείου

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική

Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική Π. Γ. Αστερής Αθήνα, Μάρτιος 017 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Ελατήρια σε σειρά... 1.1 Επιλογή μονάδων και καθολικού

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Υποχωρήσεις Στηρίξεων Μέθοδος των Δυνάμεων: Οι υποχωρήσεις στηρίξεων, η θερμοκρασιακή μεταβολή και τα κατασκευαστικά λάθη προκαλούν ένταση στους υπερστατικούς φορείς. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ ΥΝΑΜΕΩΝ. Απόστολος Κ. Ζαφειρόπουλος, Ph.D. Εαρινό Εξάµηνο

ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ ΥΝΑΜΕΩΝ. Απόστολος Κ. Ζαφειρόπουλος, Ph.D. Εαρινό Εξάµηνο ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ ΥΝΑΜΕΩΝ Όπως είναι γνωστό απο την θεωρία η συνισταµένη δύναµη πολλών δυνάµεων F1, F2, F3,..., F n, οι οποίες ενεργούν σε ένα υλικό σηµείο (έστω Ο), έχουν συνισταµένη, η οποία πολλές φορές στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ έκδοση DΥΝI-DCMB_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 6 Οκτωβρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 6 Οκτωβρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 6 Οκτωβρίου 11 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Μέθοδος των υνάμεων (συνέχεια) Παράδειγμα Π8-1 Μέθοδος των υνάμεων: 08-2 Να υπολογιστούν οι αντιδράσεις και να σχεδιαστεί το διάγραμμα ροπών κάθε μέλους του πλαισίου. [ΕΙ σταθερό] Το πλαίσιο στο σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Άξονες περιστροφής στερεού

Άξονες περιστροφής στερεού Άξονες περιστροφής στερεού Πραγματικοί και νοητοί. Μιλάµε συνεχώς για περιστροφή ενός στερεού γύρω από άξονα, αλλά συνήθως ξεχνάµε να πούµε αν αυτός ο άξονας είναι πραγµατικός ή νοητός. εν είναι το ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή. Στροφορµή Έστω ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ και έστω ένα σηµείο Ο. Ορίζουµε στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόµενο: L= r p= m r υ Όπου r η απόσταση του υλικού σηµείου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ. Αντοχή Υλικού

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ. Αντοχή Υλικού ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Αντοχή Υλικού Ερρίκος Μουρατίδης (BSc, MSc) Σεπτέμβριος 015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Λούντος Π. Ασβεστάς Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Γ. Λούντος Π. Ασβεστάς Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Γ. Λούντος Π. Ασβεστάς Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://www.teiath.gr/stef/tio/medisp/gr_downloads.htm E-mail: gloudos@teiath.gr Ροπή Η τάση για περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; ή Η επιτάχυνση και ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας. Ένα σώµα Σ ηρεµεί, δεµένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε µια στιγµή συγκρούεται µε ένα άλλο κινούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Lab. MEchanics Applied TECHNICAL UNIVERSITY OF CRETE ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ 1 η Συνέχεια διαλέξεων B Μέρος 1 ΒΑΣΙΚΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 77 Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 4.1 Εισαγωγή Στα προηγούμενα κεφάλαια υπολογίσαμε τάσεις και παραμορφώσεις που αναπτύσσονται σε ένα σημείο (σε μια πολύ μικρή περιοχή ) ενός δομικού

Διαβάστε περισσότερα

A F B A F B. α. Τα σώµατα Α και Β έλκονται β. Τα σώµατα Α και Β απωθούνται. Σχήµα 1. Η δύναµη ασκείται πάντα µεταξύ δύο σωµάτων

A F B A F B. α. Τα σώµατα Α και Β έλκονται β. Τα σώµατα Α και Β απωθούνται. Σχήµα 1. Η δύναµη ασκείται πάντα µεταξύ δύο σωµάτων 1. ύναµη 1.1. Ορισµοί ύναµη είναι το αίτιο που προκαλεί µεταβολή στην κινητική κατάσταση ενός σώµατος ή την παραµόρφωσή του. Σύµφωνα µε τη θεωρία του Νεύτωνα (αξίωµα δράσης αντίδρασης) για να εµφανιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης. ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης. ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ηκατανόησητωνδιαδικασιώνκατάτηκαταπόνησηστρέψης, η κατανόηση του διαγράµµατος διατµητικής τάσης παραµόρφωσης η ικανότητα

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι επίλυσης υπερστατικών φορέων: Μέθοδοι των δυνάµεων Τρίτη, 16, Τετάρτη, 17, Παρασκευή 19 Τρίτη, 23, και Τετάρτη 24 Νοεµβρίου 2004 Πέτρος

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΕΙΣ. Φυσική Β Γυµνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Αν Fολική = 0 τότε ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Μέγεθος Τύπος Μεγέθη Μονάδες στο S.I. Κωνσταντίνος Ιατρού Φυσικός

ΥΝΑΜΕΙΣ. Φυσική Β Γυµνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Αν Fολική = 0 τότε ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Μέγεθος Τύπος Μεγέθη Μονάδες στο S.I. Κωνσταντίνος Ιατρού Φυσικός Φυσική Β Γυµνασίου Κωνσταντίνος Ιατρού Φυσικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΝΑΜΕΙΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Μέγεθος Τύπος Μεγέθη Μονάδες στο S.I. Βάρος w w = m.g w βάρος σε Ν m µάζα σε kg g επιτάχυνση βαρύτητας m/s 2 1ος νόµος Νεύτωνα

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (N, Q, M)

Γ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (N, Q, M) . ΥΠΟΛΟΙΣΜΟΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (N, Q, M). Ορισμοί φορτίσεων μίας δοκού Οι φορτίσεις που μπορεί να εμφανισθούν σ'ένα σώμα είναι ο εφελκυσμός (ή η θλίψη με κίνδυνο λογισμού), η διάτμηση, η κάμψη και η στρέψη.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΟΡΦΩΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΟΡΦΩΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΟΡΦΩΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ Στην Τεχνική Μηχανική Ι μελετώνται επίπεδα δικτυώματα. Τα δικτυώματα είναι φορείς που απαρτίζονται από ευθύγραμμες ράβδους

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,

Διαβάστε περισσότερα

Τάσεις λόγω απλής κάμψης-επίπεδο φόρτισης περιέχει άξονα συμμετρίας της διατομής

Τάσεις λόγω απλής κάμψης-επίπεδο φόρτισης περιέχει άξονα συμμετρίας της διατομής Τάσεις λόγω απλής κάμψης-επίπεδο φόρτισης περιέχει άξονα συμμετρίας της διατομής Διατομή με άξονα συμμετρίας στο επίπεδο φόρτισης Δεν αναπτύσσονται διατμητικες τάσεις με εφαρμογή μόνο ροπής Διάνυσμα ροπής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1 EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1. Από την ίδια γραµµή αφετηρίας(από το ίδιο ύψος) ενός κεκλιµένου επιπέδου αφήστε να κυλήσουν, ταυτόχρονα προς τα κάτω, δύο κυλίνδροι της

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα διατήρησης στροφορµής

Παράδειγµα διατήρησης στροφορµής Παράδειγµα διατήρησης στροφορµής ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 Κολόνα πέφτει σε γίγαντα. Δίνονται η µάζα του γίγαντα Μ, της κολόνας m, το µήκος της κολόνας l, η ταχύτητα της κολόνας v. H κίνηση γίνεται σε λεία επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΙΑ ΙΑΦΑΝΕΙΩΝ ΙΑΛΕΞΗΣ ΜΕ ΤΙΤΛΟ: «ΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ»

ΣΧΟΛΙΑ ΙΑΦΑΝΕΙΩΝ ΙΑΛΕΞΗΣ ΜΕ ΤΙΤΛΟ: «ΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ» ΣΧΟΛΙΑ ΙΑΦΑΝΕΙΩΝ ΙΑΛΕΞΗΣ ΜΕ ΤΙΤΛΟ: «ΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ» ιαφάνεια 4 Ας θυµηθούµε τι είναι η ροπή. Στο σχήµα έχουµε µια ράβδο, η οποία µπορεί να περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι των Μετακινήσεων

Μέθοδοι των Μετακινήσεων Μέθοδοι των Μετακινήσεων Εισαγωγή Μέθοδοι των Μετακινήσεων: Δ14-2 Στη Μέθοδο των Δυνάμεων (ή Ευκαμψίας), που έχουμε ήδη μελετήσει, επιλέγουμε ως άγνωστα υπερστατικά μεγέθη αντιδράσεις ή εσωτερικές δράσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα Φ. Καραντώνη, Δρ. Πολ. Μηχανικός Επίκουρος Καθηγήτρια 1 Σημαντική σημείωση Δεδομένου ότι θα διδαχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 3.1 Στο σχήμα φαίνεται μία πόρτα και οι δυνάμεις που δέχεται. Ροπή ως προς τον άξονα z z έχει η δύναμη:

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 3.1 Στο σχήμα φαίνεται μία πόρτα και οι δυνάμεις που δέχεται. Ροπή ως προς τον άξονα z z έχει η δύναμη: 3.1 Στο σχήμα φαίνεται μία πόρτα και οι δυνάμεις που δέχεται. Ροπή ως προς τον άξονα z z έχει η δύναμη: α. F 1 β. F 2 γ. F 3 δ. F 4 3. 2 Ένα σώμα δέχεται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις. Τότε: α. οι ροπές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΧΩΡΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων

Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 5 η και 6 η Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων Τετάρτη,, 15, Παρασκευή, 17 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

15/12/2016. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Εργαστηριακές Σημειώσεις Στρέψη Μεταλλικής Δοκού. Πολιτικός Μηχανικός (Πανεπιστημιακός Υπότροφος) Εισαγωγή

15/12/2016. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Εργαστηριακές Σημειώσεις Στρέψη Μεταλλικής Δοκού. Πολιτικός Μηχανικός (Πανεπιστημιακός Υπότροφος) Εισαγωγή 15/1/016 Εργαστηριακές Σημειώσεις Στρέψη Μεταλλικής Δοκού Δρ. Σωτήρης Δέμης Πολιτικός Μηχανικός (Πανεπιστημιακός Υπότροφος) Εισαγωγή Αρχή: Δομικό στοιχείο καταπονείτε σε στρέψη όταν διανύσματα ροπών είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ασκήσεις με δοκό που ισορροπεί, και το ένα άκρο της συνδέεται με άρθρωση Έστω ότι έχουμε ομογενή δοκό η οποία συνδέεται στο ένα άκρο της με άρθρωση.

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΝΟΜΟΣ COULOMB Πριν την ανάπτυξη της μεθοδογίας κρίνεται σκόπιμο να τονίσουμε τον τρόπο γραφής της δύναμης Coulomb που ασκείται μεταξύ δύο φορτίων. Συγκεκριμένα για αποφυγή των λαθών των μαθητών στις δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης ύναµη σε ρευµατοφόρους αγωγούς (β) Ο αγωγός δεν διαρρέεται από ρεύμα, οπότε δεν ασκείται δύναμη σε αυτόν. Έτσι παραμένει κατακόρυφος. (γ) Το µαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ B B1. Σωστή απάντηση είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs. Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός hp://www.perifysikhs.com Αναζητώντας την αιτία των κινήσεων Η µελέτη των κινήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

β. διαδίδεται προς τα δεξιά γ. είναι στάσιµο δ. µπορεί να διαδίδεται και προς τις δύο κατευθύνσεις (δεξιά ή αριστερά) Μονάδες 5 Α4. Το Σχήµα 2 παριστά

β. διαδίδεται προς τα δεξιά γ. είναι στάσιµο δ. µπορεί να διαδίδεται και προς τις δύο κατευθύνσεις (δεξιά ή αριστερά) Μονάδες 5 Α4. Το Σχήµα 2 παριστά ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στην επιλογή η οποία συµπληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 5 Ιουνίου 1 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΡΑΠΤΗ

Διαβάστε περισσότερα