ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ"

Transcript

1 77 Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 4.1 Εισαγωγή Στα προηγούμενα κεφάλαια υπολογίσαμε τάσεις και παραμορφώσεις που αναπτύσσονται σε ένα σημείο (σε μια πολύ μικρή περιοχή ) ενός δομικού στοιχείου βάσει επιπέδων ενός συγκεκριμένου συστήματος αναφοράς x y z (Σχ. 4.1), το οποίο μπορεί να επιλεγεί αυθαιρέτως. Επειδή τα αποτελέσματα για τις τάσεις και τις παραμορφώσεις εξαρτώνται σημαντικά από την επιλογή του συστήματος αυτού, στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε πώς οι τάσεις και οι παραμορφώσεις που αναφέρονται σε ένα σύστημα συντεταγμένων αλλάζουν ( μετασχηματίζονται ) όταν το σύστημα αυτό αλλάξει. 4. Μετασχηματισμοί τάσεων στην επίπεδη εντατική κατάσταση Παρόλο που η εντατική κατάσταση σε ένα στοιχειώδες τμήμα ενός φορτιζόμενου φορέα μπορεί να είναι γενικά τρισδιάστατη (Σχ. 4.1α), αρχικά περιοριζόμαστε σε τάσεις πάνω σε ένα επίπεδο, έστω αυτό που ορίζουν οι άξονες x y του Σχ. 4.1β. Η επίπεδη εντατική κατάσταση απεικονίζεται παραστατικά στο Σχ. 4.1γ. (α) (β) (γ) Σχ. 4.1 Τάσεις για (α) γενική τρισδιάστατη εντατική κατάσταση, (β) επίπεδη εντατική κατάσταση και (γ) συμβολισμός στο επίπεδο.

2 78 Στο Σχ. 4.α φαίνεται ένα επίπεδο στοιχειώδες τμήμα μοναδιαίου πάχους, με τις ορθές και διατμητικές τάσεις σε επίπεδα κάθετα στο σύστημα αξόνων x y. Οι ορθές τάσεις σ x και σ y είναι θετικές (εφελκυστικές) όταν έχουν τη θετική φορά των αξόνων, ενώ οι διατμητικές τάσεις τ είναι θετικές όταν έχουν τη θετική φορά του άξονα y και του άξονα x στις πλευρές (επίπεδα) του στοιχειώδους τμήματος προς τα δεξιά (DE) και προς τα πάνω (CD). Ακολούθως θεωρούμε ένα τυχαίο επίπεδο BC, το οποίο σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφη διεύθυνση (ΑC ή άξονας y ). Η προς τα έξω κάθετη στο ' ' ' επίπεδο αυτό συμπίπτει με τον άξονα x ενός συστήματος x y, το οποίο σχηματίζει επίσης γωνία θ με το αρχικό σύστημα αξόνων x y. Το ζητούμενο είναι να υπολογιστούν οι τάσεις σ x' και τ x'y' στο επίπεδο αυτό. Από το αρχικό στοιχειώδες τμήμα αποκόπτουμε το σκιασμένο τριγωνικό στοιχείο του Σχ. 4.α, το οποίο ορίζεται από το επίπεδο BC, το κάθετο στον άξονα y επίπεδο AB (κάτω οριζόντιο επίπεδο του αρχικού στοιχειώδους τμήματος) και το κάθετο στον άξονα x επίπεδο AC. Το μικρό αυτό τριγωνικό στοιχείο δείχνεται στο Σχ. 4.β, μαζί με τις ορθές και διατμητικές τάσεις σε κάθε επίπεδο. Οι (άγνωστες μέχρι στιγμής) τάσεις σ x' και τ x'y' θα προκύψουν βάσει των εξισώσεων ισορροπίας του τριγωνικού στοιχείου, προσέχοντας φυσικά ώστε η διατύπωση των εξισώσεων να γίνει χρησιμοποιώντας δυνάμεις και όχι τάσεις. Οι δυνάμεις αυτές θα υπολογιστούν πολλαπλασιάζοντας τις τάσεις επί την αντίστοιχη επιφάνεια. Αν θεωρήσουμε ότι στο επίπεδο BC οι τάσεις σ x' και τ x'y' ασκούνται σε επιφάνεια da, τότε στο επίπεδο AC οι σ x και τ ασκούνται σε επιφάνεια da cosθ και στο επίπεδο AB οι σ y και τ ασκούνται σε επιφάνεια da sinθ. Οι δυνάμεις σε κάθε ένα από τα τρία επίπεδα του τριγωνικού τμήματος δίνονται στο Σχ. 4.γ. (α) (β) (γ) Σχ. 4. Τάσεις σε κεκλιμένο επίπεδο. Οι εξισώσεις στατικής ισορροπίας για το τμήμα ABC δίνουν:

3 79 F x' = 0 : σ x ' da = σ xda cosθ cosθ + σ yda sinθ sinθ + τ da cosθ sinθ + τ da sinθ cosθ 1+ cos θ 1 cos θ σ x ' = σ x cos θ + σ y sin θ + τ sinθ cosθ = σ x + σ y + τ sin θ σ x + σ y σ x σ y σ x ' = + cos θ + τ sin θ (4.1) Ομοίως, από F y' = 0 μπορούμε να λύσουμε για την τ x'y' : σ x σ y τ x ' y' = sinθ + τ cos θ (4.) Αν θέσουμε στην εξ. (4.1) όπου θ τη γωνία θ + 90 ο μπορούμε να υπολογίσουμε την ορθή τάση στη διεύθυνση του άξονα y ', δηλαδή σ x + σ y σ x σ y σ y' = cos θ τ sin θ (4.3) Επομένως, με γνωστή την εντατική κατάσταση στο σύστημα αξόνων x y, οι εξ. (4.1) (4.3) δίνουν τις τάσεις σε οποιοδήποτε σύστημα αξόνων που έχει στραφεί αριστερόστροφα κατά γωνία θ ως προς το αρχικό. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται μετασχηματισμός τάσεων. Αν προσθέσουμε τις εξ. (4.1) και (4.3) προκύπτει ότι σ σ σ + σ x' + y' = x y (4.4) δηλαδή το άθροισμα των ορθών τάσεων σε οποιαδήποτε κάθετα μεταξύ τους επίπεδα είναι σταθερή, δηλαδή αναλλοίωτη ποσότητα, ανεξάρτητη του προσανατολισμού των επιπέδων αυτών. Ακόμα μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι στην περίπτωση επίπεδης παραμόρφωσης, πλέον των σ x, σ y και τ υπάρχει μία ακόμα μη μηδενική τάση, η σ z, η οποία όμως δεν υπεισέρχεται στις παραπάνω εξισώσεις ισορροπίας. Επομένως οι εξισώσεις μετασχηματισμού τάσεων (4.1) (4.3) ισχύουν όχι μόνο στην επίπεδη εντατική κατάσταση αλλά και στην επίπεδη παραμόρφωση. Τέλος σημειώνουμε ότι η σ z, βάσει της τρίτης των εξ. (3.1), είναι δηλαδή σταθερή και ανεξάρτητη του θ. ( σ σ ) σ ν + z = x y (4.5)

4 Κύριες τάσεις στην επίπεδη εντατική κατάσταση Από άποψη πρακτικού ενδιαφέροντος, συνήθως η ανάλυση τάσεων σε ένα δομικό μέλος στοχεύει στην εύρεση των μέγιστων και ελάχιστων τιμών που μπορούν να λάβουν οι εξ. (4.1) (4.) και στην εύρεση των επιπέδων όπου αναπτύσσονται οι τάσεις αυτές. Η σ x' γίνεται μέγιστη ή ελάχιστη θέτοντας την παράγωγό της ως προς θ ίση με μηδέν, δηλαδή: σ σ dσ x y x' = sin θ + τ cos θ = 0 tan θ1 = (4.6) dθ σ x σ y τ όπου θ 1 η γωνία που ορίζει το επίπεδο της μέγιστης ή ελάχιστης ορθής τάσης. Όπως φαίνεται γραφικά και στο Σχ. 4.3, η εξ. (4.6) έχει δύο ρίζες που διαφέρουν κατά 90 ο, ' δεδομένου ότι οι ρίζες θ 1 και θ 1 προσδιορίζει το επίπεδο στο οποίο δρα η μέγιστη ορθή τάση, ( '' θ 1 για την θ 1 διαφέρουν κατά 180 ο. Η μία λύση για την x' ) max δεύτερη λύση προσδιορίζει το επίπεδο στο οποίο δρα η ελάχιστη ορθή τάση, ( σ. σ ή σ 1, και η σ ή ) min x' Σχ. 4.3 Γραφική εύρεση των κυρίων διευθύνσεων. Στη συνέχεια αναζητούμε το επίπεδο εκείνο πάνω στο οποίο η διατμητική τάση μηδενίζεται. Αυτό βρίσκεται θέτοντας την εξ. (4.) ίση με μηδέν, που οδηγεί και πάλι στην τελευταία εξίσωση της σχέσης (4.6). Επομένως συμπεραίνουμε ότι στα επίπεδα που η ορθή τάση είναι μέγιστη ή ελάχιστη οι διατμητικές τάσεις είναι μηδέν. Τα επίπεδα αυτά ονομάζονται κύρια επίπεδα και οι αντίστοιχες ορθές τάσεις κύριες τάσεις, σ 1 (η μέγιστη) και σ (η ελάχιστη).

5 81 Το μέγεθος των κυρίων τάσεων βρίσκεται αντικαθιστώντας στην εξ. (4.1) τις λύσεις ' '' που βρήκαμε για τη γωνία θ 1 ( θ 1 και θ 1 ), οπότε (με τη βοήθεια και του Σχ. 4.3) προκύπτει: x y x y ( σ ) σ = + + τ x' max σ + σ σ σ = 1 (4.7α) σ x + σ y σ x σ y ( σ ) σ = + τ y' max = (4.7β) 4.4 Μέγιστες διατμητικές τάσεις στην επίπεδη εντατική κατάσταση Σε ορισμένα προβλήματα ανάλυσης τάσεων ενδιαφέρει η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή που μπορεί να λάβει η διατμητική τάση της εξ. (4.) και ο προσδιορισμός των αντίστοιχων επιπέδων. Παραγωγίζοντας την εξ. (4.) ως προς θ και θέτοντας το αποτέλεσμα ίσο με μηδέν προκύπτει: tan θ σ x σ y = (4.8) τ όπου θ η γωνία που ορίζει το επίπεδο της μέγιστης ή ελάχιστης διατμητικής τάσης. Όπως και η εξ. (4.6), η εξ. (4.8) έχει δύο ρίζες που διαφέρουν κατά 90 ο, δεδομένου ότι οι ' '' ρίζες θ και θ για την θ διαφέρουν κατά 180 ο. Η μία λύση για την θ προσδιορίζει το επίπεδο στο οποίο δρα η μέγιστη διατμητική τάση, τ max, και η δεύτερη λύση προσδιορίζει το επίπεδο στο οποίο δρα η ελάχιστη διατμητική τάση, τ min. Παρατηρώντας ότι tan θ = 1/ tan θ1 συμπεραίνουμε ότι οι λύσεις για το θ διαφέρουν κατά 90 o ως προς τις λύσεις για το θ 1, άρα τα επίπεδα της μέγιστης και ελάχιστης διατμητικής τάσης σχηματίζουν 45 ο ως προς τα κύρια επίπεδα. Το μέγεθος της μέγιστης και ελάχιστης διατμητικής τάσης βρίσκεται αντικαθιστώντας ' '' στην εξ. (4.) τις λύσεις που βρήκαμε για τη γωνία θ ( θ και θ ), οπότε προκύπτει: σ x σ y τ max = + + τ (4.9α) σ x σ y τ min = + τ (4.9β)

6 8 Οι εξ. (4.9) δηλώνουν ότι η μέγιστη και ελάχιστη διατμητική τάση έχουν την ίδια αριθμητική τιμή αλλά διαφέρουν μόνο ως προς το πρόσημο. Λαμβάνοντας όμως υπόψη ότι το πρόσημο στις διατμητικές τάσεις δεν έχει καμία φυσική σημασία (κάτι που δεν ισχύει για τις ορθές τάσεις, όπου το πρόσημο καθορίζει αν το υλικό εφελκύεται ή θλίβεται) μπορούμε να παραλείπουμε το πρόσημο στις εξ. (4.9) και να αναφερόμαστε μόνο σε μέγιστες διατμητικές τάσεις, με τιμή αυτή που δίνει η εξ. (4.9α). Σε αντίθεση με την περίπτωση των κυρίων τάσεων, οι οποίες δρουν σε επίπεδα όπου οι διατμητικές τάσεις είναι μηδέν, οι μέγιστες διατμητικές τάσεις δρουν σε επίπεδα όπου οι ορθές τάσεις είναι (εν γένει) μη μηδενικές. Αντικαθιστώντας την θ από την εξ. (4.8) στην εξ. (4.1) βρίσκουμε ότι οι ορθές τάσεις στο επίπεδο που δρα η μέγιστη διατμητική τάση είναι ' σ x + σ y σ x' ( θ = θ ) = σ = (4.10) Στο παραπάνω αποτέλεσμα φθάνουμε και για τις δύο λύσεις της γωνίας θ. Από την εξ. (4.9) μπορούμε να δούμε και μία εναλλακτική διατύπωση για τη μέγιστη διατμητική τάση συναρτήσει των κυρίων τάσεων: τ max σ1 σ = (4.11) Κλείνουμε την ενότητα αυτή εξετάζοντας και πάλι την περίπτωση καθαρής διάτμησης ( σ x = σ y = 0, τ 0, Σχ. 4.4α), που στο Σχ. 3.9 απεδείχθη ισοδύναμη της δράσης ίσων εφελκυστικών και θλιπτικών τάσεων υπό γωνία 45 ο ως προς αυτή των διατμητικών. ' Πράγματι, η εξ. (4.6) για την περίπτωση καθαρής διάτμησης δίνει θ 1= 45 ο '' και θ 1 = 135 ο και η εξ. (4.7) δίνει σ 1 = τ και σ = τ (Σχ. 4.4β). (α) (β) Σχ. 4.4 Ισοδύναμες αναπαραστάσεις της καθαρής διάτμησης.

7 83 Παράδειγμα 4.1 Η εντατική κατάσταση σε ένα σημείο ενός φορέα δίνεται στο Σχ. 4.5α. Να βρεθούν: (α) οι τάσεις σε επίπεδο που σχηματίζει γωνία θ = -.5 ο με το κατακόρυφο, (β) οι κύριες τάσεις και τα κύρια επίπεδα και (γ) οι μέγιστες διατμητικές τάσεις και τα επίπεδα δράσης αυτών..5 ο.5 ο.5 ο (α) (β) (γ) ο ο 11.7ο (δ) (ε) (ζ) 76.7 ο 31.7 ο (στ) (θ) (η) Σχ. 4.5 Ανάλυση τάσεων. (α) Εφαρμόζουμε τις εξ. (4.1) (4.): σ x' = + cos(-45 o )+sin(-45 o ) = +1x0.707-x0.707 = +1.9 MPa τ x' y' 3 1 = sin(-45 o )+cos(-45 o ) = 1x0.707+x0.707 = +.1 MPa Τα αποτελέσματα δίνονται στα Σχ. 4.5β,γ. (β) Εφαρμόζουμε τις εξ. (4.7) (4.8): σ 1, = ± + = ±.4 άρα σ 1 = ΜPa, σ = 0. 4 MPa

8 84 tan θ 1 = = άρα θ1 = o ή θ1 = o ο '. θ1 = 31.7 ο, θ1 '' = 11.7 ο. 3 1 Για να βρούμε ποιά από τις δύο γωνίες αντιστοιχεί στην σ 1 εφαρμόζουμε την εξ. (4.1) χρησιμοποιώντας, π.χ. θ = 31.7 ο. Έτσι προκύπτει: σ x' = + cos(63.44 o )+sin(63.44 o ) = +4.4 ΜPa = σ 1. Με τον τρόπο αυτό επιτυγχάνεται όχι μόνο η αντιστοίχιση κύριας τάσης γωνίας κυρίου επιπέδου, αλλά και η επαλήθευση των πράξεων. Οι κύριες τάσεις και τα αντίστοιχα κύρια επίπεδα δίνονται στο Σχ. 4.5δ,ε, ενώ το Σχ. 4.5στ δίνει την πλήρη εικόνα των κυρίων τάσεων. (γ) Για τη μέγιστη διατμητική τάση εφαρμόζουμε τις εξ. (4.8) - (4.9): 3 1 τ max = + =.4 MPa 3 1 tan θ = = 0.5 άρα θ = o ή θ = o ο. ' Έτσι θ = 76.7 ο, θ '' = ο. Τα επίπεδα που δρουν οι μέγιστες διατμητικές τάσεις δίνονται στα Σχ. 4.5ζ,η. Για να βρούμε τη φορά των διατμητικών τάσεων στα επίπεδα αυτά εφαρμόζουμε την εξ. (4.) χρησιμοποιώντας, π.χ. θ = 76.7 ο. Έτσι προκύπτει: τ x' y' 3 1 = sin o +cos o = -.4 MPa που σημαίνει ότι η διατμητική τάση στο επίπεδο EF του Σχ. 4.5ζ έχει φορά αντίθετη από ' τη θετική του άξονα y. Η αντίστοιχη ορθή τάση δίνεται από την εξ. (4.10): ' σ = = MPa H πλήρης εικόνα των τάσεων στα επίπεδα που ασκούνται οι μέγιστες διατμητικές δίνεται στο Σχ. 4.5θ. ' ' Τέλος παρατηρούμε ότι σ + σ = σ x + σ y = σ1 + σ ( + = = ). Επίσης τονίζουμε και πάλι ότι οι τρεις εντατικές καταστάσεις των Σχ. 4.5α, 4.5στ και 4.5θ είναι ισοδύναμες. Σε μητρωική μορφή αυτές οι εντατικές καταστάσεις περιγράφονται ως εξής:

9 ή ή.4.4 ΜPa 4.5 Κύκλος Mohr για τις τάσεις στην επίπεδη εντατική κατάσταση Η διερεύνηση της επίπεδης εντατικής κατάστασης που επικρατεί σε ένα σημείο μιας κατασκευής μπορεί να γίνει, εκτός από αναλυτικά, και γεωμετρικά, με τη μέθοδο που είναι γνωστή ως κύκλος Mohr 1. Η βάση της μεθόδου είναι ένας κύκλος τάσεων, η περιφέρεια του οποίου είναι ο γεωμετρικός τόπος των εντατικών καταστάσεων που επικρατούν σε όλα τα επίπεδα που διέρχονται από ένα σημείο. Το ότι οι εξ. (4.1) (4.) μπορούν να παρασταθούν με ένα κύκλο αποδεικνύεται εύκολα γράφοντας: σ x + σ y σ x σ y σ x ' = cos θ + τ sinθ (4.1) σ x σ y τ x ' y' = sin θ + τ cos θ (4.13) Yψώνοντας στο τετράγωνο και προσθέτοντας κατά μέλη καταλήγουμε στην εξής σχέση: σ x + σ y σ x σ y σ x' τ x ' y ' + = + τ x ' x ' y ' = ή ( a) + τ b σ (4.14) όπου a = ( σ x + σ y ) / και b = [( σ x σ y ) / ] + τ είναι γνωστές (σταθερές) ποσότητες. Η εξ. (4.14) είναι εξίσωση κύκλου ακτίνας b και κέντρου στο σημείο (a, 0). Το ενδιαφέρον είναι δε ότι κάθε σημείο του κύκλου έχει συντεταγμένες ( σ x', τ x'y' ). Ο κύκλος αυτός ονομάζεται κύκλος Mohr για τις τάσεις. H διαδικασία που ακολουθείται για την κατασκευή του κύκλου Mohr και τη γραφική παράσταση της επίπεδης εντατικής κατάστασης σε ένα σημείο μιας κατασκευής, στο οποίο δρουν τάσεις σ x, σ y και τ ως προς ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων x y, δίνεται παρακάτω. Κατ αρχήν επιλέγουμε ένα δεξιόστροφο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιο άξονα σ και κατακόρυφο τ (Σχ. 4.6γ). Ορίζουμε το κέντρο του κύκλου C στο σημείο (a, 0) και γράφουμε κύκλο με ακτίνα b. Το σημείο Α του κύκλου με συντεταγμένες ( σ x, τ ) αντιστοιχεί στην εντατική κατάσταση στο δεξιό κατακόρυφο επίπεδο του Σχ. 4.6 α, για το οποίο θ = 0 ο (οπότε οι άξονες x y συμπίπτουν με τους 1 H μέθοδος αυτή αναπτύχθηκε το 1895 από το μηχανικό και καθηγητή Otto Mohr.

10 86 ' ' άξονες x y ). Το σημείο αυτό ονομάζεται πόλος. Από το Σχ. 4.6γ είναι AD/CD = τ /[( σ x σ y )/], οπότε σύμφωνα με την εξ. (4.6) η γωνία ACD ισούται με θ 1. Το αντιδιαμετρικό σημείο Β αντιστοιχεί στο πάνω επίπεδο του Σχ. 4.6α για το οποίο θ = 90 ο. Εναλλακτικά λοιπόν ο κύκλος θα μπορούσε να γραφεί ορίζοντας τα σημεία Α και B, με συντεταγμένες ( σ x, τ ) και ( σ y, τ ). Το τμήμα ΑΒ αποτελεί διάμετρο του κύκλου και η τομή του με τον άξονα σ ορίζει το κέντρο C. (α) (β) (γ) Σχ. 4.6 Κύκλος Mohr για τις τάσεις. Το παραπάνω σκεπτικό ισχύει για οποιονδήποτε προσανατολισμό του στοιχείου στο Σχ. 4.6β. Το σημείο J πάνω στον κύκλο με συντεταγμένες ( σ x', τ x'y' ) αντιπροσωπεύει ' την εντατική κατάσταση στο επίπεδο που είναι κάθετο στον άξονα x, δηλαδή στο πάνω δεξιά του Σχ. 4.6β, ενώ το αντιδιαμετρικό του Κ αντιστοιχεί στο πάνω αριστερά επίπεδο του Σχ. 4.6β. Έτσι, με βάση τον τρόπο κατασκευής του κύκλου Mohr διαπιστώνουμε τα εξής: 1. Η μέγιστη κύρια τάση σ 1 βρίσκεται στο σημείο που ο κύκλος τέμνει τον άξονα σ προς τα δεξιά. Αυτή αποτελεί τη μέγιστη δυνατή τιμή που μπορεί να λάβει η ορθή τάση, ενώ η διατμητική τάση που αντιστοιχεί στην τιμή αυτή είναι μηδέν. Ομοίως, η ελάχιστη κύρια τάση σ βρίσκεται στο σημείο που ο κύκλος τέμνει τον άξονα σ προς τα αριστερά.. Η μέγιστη διατμητική τάση τ max είναι αριθμητικά ίση με την ακτίνα του κύκλου, επίσης ίση με ( σ1 σ )/. Η ορθή τάση που δρα σε καθένα από τα επίπεδα των μέγιστων διατμητικών τάσεων είναι η τετμημένη του κέντρου, ίση με ( σ 1 + σ )/.

11 87 3. Αν σ 1 = σ ο κύκλος εκφυλίζεται σε σημείο και δεν αναπτύσσεται πουθενά διατμητική τάση. 4. Αν σ x + σ y = 0, το κέντρο του κύκλου συμπίπτει με την αρχή του συστήματος αξόνων σ τ και η αντίστοιχη εντατική κατάσταση είναι καθαρή διάτμηση. 5. Το άθροισμα των ορθών τάσεων σε οποιαδήποτε κάθετα μεταξύ τους επίπεδα αποτελεί αναλλοίωτη ποσότητα, δηλαδή σ x + σ y = σ1 + σ = σ x' + σ y' = σταθερό. 4.6 Μετασχηματισμός τάσεων με τη βοήθεια του κύκλου Mohr Ο κύκλος Mohr μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως εναλλακτική μέθοδος μετασχηματισμού των τάσεων γραφικά. εδομένης της εντατικής κατάστασης σε ένα σημείο (Σχ. 4.7α), δηλαδή με γνωστές τις τάσεις σ x, σ y και τ, το ζητούμενο είναι ο ' προσδιορισμός των τάσεων σε τυχαίο επίπεδο a-a, κάθετο σε άξονα x που σχηματίζει γωνία θ με τον οριζόντιο άξονα x. Πόλος (αρχή επιπέδων) Αρχή επιπέδων (α) Ακτίνα (γ) (δ) (β) Σχ. 4.7 Κύκλος Mohr για τον προσδιορισμό τάσεων σε τυχαίο επίπεδο. Πρώτο βήμα είναι η κατασκευή του κύκλου Mohr σύμφωνα με την προηγούμενη παράγραφο. Αρχικά ορίζεται το κέντρο C του κύκλου, σε απόσταση ( σ x + σ y )/ από την αρχή των αξόνων σ τ, ακολούθως ορίζεται το σημείο Α του κύκλου, ο πόλος, με συντεταγμένες ( σ x, τ ) και τέλος γράφεται ο κύκλος με ακτίνα CA = R (Σχ. 4.7β). Στο επόμενο βήμα φέρουμε μία ευθεία από το σημείο Α με διεύθυνση αυτήν του επιπέδου a-a στο οποίο επιθυμούμε τον προσδιορισμό των τάσεων. Η τομή της ευθείας

12 88 αυτής με τον κύκλο ορίζει το σημείο J, που έχει ως συντεταγμένες τις τάσεις που δρουν στο επίπεδο a-a. Αυτό θα εξηγηθεί περαιτέρω. Στην προηγούμενη ενότητα δείξαμε ότι η γωνία ACF του Σχ. 4.7β είναι θ 1. Επιπλέον, αφού η CH είναι κάθετη στην AJ, διχοτομεί τη γωνία ACJ και α = θ1 θ. Έτσι η γωνία JCF είναι θ α = θ θ1. Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι το σημείο J έχει συντεταγμένες τις τάσεις που δρουν στο κεκλιμένο επίπεδο a-a. Από το Σχ. 4.7β είναι R cos θ1 =( σ x σ y )/ και R sin θ 1 = τ. Από τα γεωμετρικά στοιχεία του Σχ. 4.7β και γνωστές τριγωνομετρικές ταυτότητες γράφουμε και σ x + σ y σ + σ J = + R cos 1 R 1 1 x y ( θ θ ) = + ( cosθ cosθ sinθ sin θ ) σ + σ x + σ y σ x σ y = + cos θ + τ sinθ (4.15) τ J = R sin ( θ θ1 ) = R sinθ cos θ1 R cos θ sinθ1 σ x σ y = sinθ τ cos θ (4.16) Παρατηρούμε ότι οι εξ. (4.15) (4.16) είναι ίδιες με τις εξ. (4.1) (4.), με μόνη εξαίρεση το πρόσημο της τ J. Οι εξ. (4.15) (4.16) ορίζουν τις τάσεις που ασκούνται στο επίπεδο που δείχνεται πάνω δεξιά στο Σχ. 4.7β. Το επίπεδο αυτό είναι παράλληλο στην AJ, η οποία με τη σειρά της είναι παράλληλη στη γραμμή a-a του Σχ. 4.7α. Επομένως, το σημείο J έχει πράγματι ως συντεταγμένες την ορθή τάση και την αντίθετη της διατμητικής τάσης που δρουν στο επίπεδο AJ. Βάσει του παραπάνω συμπεράσματος, ένας εύκολος τρόπος να θυμόμαστε τον προσανατολισμό της διατμητικής τάσης πάνω σε ένα επίπεδο είναι ο εξής: αν το σημείο J βρίσκεται πάνω από τον άξονα σ, τότε τα διανύσματα της διατμητικής τάσης στο επίπεδο ΑJ και στο ακριβώς απέναντί του δίνουν δεξιόστροφη ροπή, ενώ αν το σημείο J βρίσκεται κάτω από τον άξονα σ, τότε η αντίστοιχη ροπή είναι αριστερόστροφη. Για παράδειγμα, αν ως J ληφθεί το σημείο G του Σχ. 4.7β, οι διατμητικές τάσεις στο επίπεδο AG και στο απέναντί του θα έχουν φορά όπως δείχνει το Σχ. 4.7δ. Αν όμως ως J ληφθεί το σημείο Ε του Σχ. 4.7β, οι διατμητικές τάσεις στο επίπεδο AΕ και στο απέναντί του θα έχουν φορά όπως δείχνει το Σχ. 4.7γ. Κλείνουμε την ενότητα αυτή εφαρμόζοντας τη μέθοδο του κύκλου Mohr για το μετασχηματισμό τάσεων με στόχο την εύρεση των κυρίων τάσεων και των μέγιστων διατμητικών. Στην εντατική κατάσταση του Σχ. 4.8α αντιστοιχεί το σημείο Α του κύκλου

13 89 Mohr στο Σχ. 4.8β. Ο προσανατολισμός των κυρίων επιπέδων βρίσκεται συνδέοντας το Α με τις σ 1 και σ (Σχ. 4.8β), ενώ ο προσανατολισμός των επιπέδων που δρουν οι μέγιστες διατμητικές τάσεις βρίσκεται συνδέοντας το σημείο Α με τα σημεία των μέγιστων διατμητικών τάσεων (Σχ. 4.8γ). Συντεταγμένες του σημείου (α) (β) (γ) Σχ. 4.8 Προσδιορισμός κύριων και μέγιστων διατμητικών τάσεων, καθώς επίσης και των επιπέδων όπου αυτές δρουν, με τη βοήθεια του κύκλου Mohr. Παράδειγμα 4. Με γνωστή την εντατική κατάσταση του Σχ. 4.9α να προσδιοριστούν με τη βοήθεια του κύκλου Mohr (α) οι κύριες τάσεις και τα κύρια επίπεδα και (β) οι μέγιστες διατμητικές τάσεις, οι αντίστοιχες ορθές και τα επίπεδα δράσης τους. Για την κατασκευή του κύκλου Mohr υπολογίζεται πρώτα η τετμημένη του κέντρου του: (-+4)/ = 1 MPa. Οι συντεταγμένες του πόλου είναι (-, -4) ΜPa. Έτσι γράφεται ο κύκλος, με ακτίνα CA = CD + DA = 5 ΜPa, και μετρώνται σ 1= 6 ΜPa, σ = -4 ΜPa και τ max = 5 ΜPa (Σχ. 4.9β). Η γραμμές ΑΒ και ΑΕ προσδιορίζουν τον προσανατολισμό των κυρίων επιπέδων όπου δρουν οι σ 1 και σ, αντίστοιχα. Η γωνία θ 1 είναι 6.56 ο, αφού tanθ 1= AD/BD = 4/8 = 0.5.

14 90 Ένα από τα επίπεδα όπου δρα η μέγιστη διατμητική τάση έχει τον προσανατολισμό της AG. Στο επίπεδο αυτό και στο απέναντί του η τ max έχει προσανατολισμό τέτοιον ώστε να δίνει αριστερόστροφη ροπή, μιας και το G είναι κάτω από τον άξονα σ. Η ορθή τάση στα επίπεδα αυτά είναι σ ' = 1 ΜPa. Πλήρη αποτελέσματα για τάσεις και αντίστοιχα επίπεδα δίνονται υπό μορφή κατάλληλα προσανατολισμένων στοιχείων στο Σχ. 4.9β. (α) 6.56 o (β) Σχ. 4.9 Επίλυση Παραδείγματος 4. με τη μέθοδο του κύκλου Mohr. Παράδειγμα 4.3 Με τη μέθοδο του κύκλου Mohr να γίνει μετασχηματισμός των τάσεων του Σχ. 4.10α σε τάσεις πάνω σε επίπεδο που σχηματίζει γωνία.5 ο με τον κατακόρυφο άξονα. Για την κατασκευή του κύκλου Mohr υπολογίζεται πρώτα η τετμημένη του κέντρου του: (1+3)/ = MPa. Οι συντεταγμένες του πόλου είναι (3, 3) ΜPa. Έτσι γράφεται ο κύκλος με ακτίνα R = = 3.16 ΜPa (Σχ. 4.10β). Ακολούθως φέρεται ευθεία από το Α έτσι ώστε να σχηματίζει γωνία.5 ο με τον κατακόρυφο άξονα. Η τομή της με τον κύκλο είναι το σημείο J. Για τη γωνία β του Σχ. 4.10β είναι tan β = AD/CD = 3, οπότε β = ο. Έτσι η γωνία α = ο.5 ο = ο και η γωνία FCJ είναι α -.5 ο = 6.57 ο, οπότε προσδιορίζεται το σημείο J. Οι συντεταγμένες του J είναι σ = R cos (-6.57 ο ) = + J +

15 x0.894 = 4.84 MPa και τ J = R sin (-6.57 ο ) = 3.16x(-0.447) = MPa. Tα αποτελέσματα για την εντατική κατάσταση στο επίπεδο ΑJ δίνονται στο Σχ. 4.10γ. (α) (γ) (β) Σχ Επίλυση Παραδείγματος 4.3 με τη μέθοδο του κύκλου Mohr. 4.7 Κύριες τάσεις σε τρισδιάστατη εντατική κατάσταση Μέχρι τώρα έχουμε καλύψει την εντατική κατάσταση στο επίπεδο. Παρόλο που στα περισσότερα πρακτικά προβλήματα η εντατική κατάσταση είναι κατά καλή προσέγγιση επίπεδη, στην ενότητα αυτή θα αναφέρουμε, για λόγους πληρότητας, ορισμένα βασικά στοιχεία για τη γενική τρισδιάστατη εντατική κατάσταση του Σχ. (4.1α). (α) (β) Σχ Τετράεδρο για την εύρεση της κύριας τάσης σε κεκλιμένο επίπεδο.

16 9 Αντί να κάνουμε μία τομή στο επίπεδο x y (π.χ. ΒD στο Σχ. 8.β), θεωρούμε ότι το στοιχείο του Σχ. 4.1α τέμνεται από το κεκλιμένο επίπεδο ABC του Σχ. 4.11α έτσι ώστε να σχηματίζεται το τετράεδρο ΟΑΒC. Το επίπεδο ABC έχει προσανατολισμό που ορίζεται από το κάθετο σε αυτό μοναδιαίο διάνυσμα n, το οποίο έχει συνημίτονα διεύθυνσης l, m και n, με l = cosα, m = cos β και n = cosγ (Σχ. 4.11β). Για τα συνημίτονα διεύθυνσης ισχύει l + m + n = 1 (4.17) Ορίζοντας τη στοιχειώδη επιφάνεια της πλευράς ΑΒC ως da ABC = da, οι υπόλοιπες τρεις επιφάνειες του τετραέδρου είναι da BOC = da l, = da m και da AOC da AOB = da n (ως προβολές της ΑΒC στα τρία κάθετα μεταξύ τους επίπεδα). Ακολούθως γράφουμε τις εξισώσεις στατικής ισορροπίας για το τετράεδρο, πολλαπλασιάζοντας τις τάσεις σε κάθε πλευρά επί το αντίστοιχο εμβαδόν. Για την πλευρά ABC θεωρούμε ότι δρα μόνο ορθή τάση (κάτι που δεν ισχύει για τυχαίο προσανατολισμό του επιπέδου ABC), δηλαδή κύρια τάση, με σύμβολο σ n, οπότε το επίπεδο ABC είναι κύριο επίπεδο. Οι εξισώσεις ισορροπίας δίνουν: x F = 0 : σ da l σ da l τ da m τ da n = 0 y n x F = 0 : σ da m σ da m τ da n τ da l = 0 (4.18) z n y F = 0 : σ da n σ da n τ da l τ da m = 0 n z xz yz xz yz Απλοποιώντας και αλλάζοντας πρόσημα μπορούμε να γράψουμε: ( σ σ ) l + τ m + τ n = 0 x n xz ( σ σ ) m + τ n = 0 τ l + (4.19) τ l + τ xz y yz n m + yz ( σ σ ) n = 0 z n Λόγω της εξ. (4.17) τα l, m και n δε μπορεί να είναι όλα μηδενικά, γιαυτό το σύστημα των εξ. (4.19) έχει λύση αν και μόνο αν η διακρίνουσα μηδενίζεται: σ σ x τ τ xz n τ y σ σ τ yz n τ τ z xz yz σ σ n = 0 (4.0) Από την ανάπτυξη της διακρίνουσας γράφουμε

17 93 3 σ n Ι 1σ n + Ι σ n Ι 3 = 0 (4.1) όπου Ι + 1 = σ x + σ y σ z (4.) ( σ σ + σ σ + σ σ ) ( τ + τ τ ) Ι + = x y y z z x yz zx (4.3) ( σ τ + σ τ σ τ ) Ι + 3 = σ xσ yσ z + τ τ yzτ xz x yz y xz z (4.4) Παρατηρούμε ότι ακόμα και αν το αρχικό σύστημα συντεταγμένων ήταν διαφορετικό, οπότε τα τρία κάθετα μεταξύ τους επίπεδα (ΟΑΒ, ΟΒC, OAC) θα είχαν διαφορετικό προσανατολισμό, η τάση σ n στο κεκλιμένο επίπεδο θα πρέπει να είναι ίδια. Συνεπώς οι ποσότητες Ι 1, Ι και Ι 3 της εξ. (4.1) πρέπει να παραμείνουν και αυτές σταθερές. Οι σταθερές Ι 1, Ι και Ι 3 ονομάζονται αναλλοίωτες των τάσεων. Το μητρώο της εξ. (4.0) είναι συμμετρικό και τα στοιχεία του είναι πραγματικά, επομένως η εξ. (4.1) έχει τρεις πραγματικές ρίζες. Οι ρίζες αυτές είναι οι ιδιοτιμές της ορίζουσας και αποτελούν τις κύριες τάσεις του προβλήματος που αναλύσαμε. Έστω ότι οι ρίζες αυτές είναι σ 1, σ και σ 3, με σ 1> σ > σ 3. Αντικατάσταση κάθε μίας σε οποιεσδήποτε δύο από τις εξ. (4.19), μαζί με την εξ. (4.17) δίνουν ένα σύστημα τριών εξισώσεων με αγνώστους τα τρία συνημίτονα διεύθυνσης που αντιστοιχούν στη συγκεκριμένη ρίζα, οπότε ορίζεται η διεύθυνση της συγκεκριμένης κύριας τάσης (κύρια διεύθυνση ή κύριος άξονας) και το αντίστοιχο επίπεδο πάνω στο οποίο δρα η τάση αυτή (κύριο επίπεδο). Τα τρία κύρια επίπεδα που προκύπτουν με τον τρόπο αυτό είναι μεταξύ τους κάθετα. Τέλος, αν δύο ή τρεις από τις κύριες τάσεις είναι ίσες, οι κύριες διευθύνσεις είναι άπειρες (αυτό αναλύεται περαιτέρω στην αμέσως επόμενη ενότητα). 4.8 Κύκλος Mohr σε τρισδιάστατη εντατική κατάσταση Αν οι δύο από τις τρεις κύριες τάσεις είναι ίσες, η τρίτη έχει καθορισμένη διεύθυνση. Στην περίπτωση αυτή οποιεσδήποτε δύο διευθύνσεις κάθετες σε αυτήν αλλά και μεταξύ τους ορίζουν μία τριάδα κυρίων διευθύνσεων. Η αντίστοιχη εντατική κατάσταση ονομάζεται αξονοσυμμετρική (ή κυλινδρική). Αν και οι τρεις κύριες τάσεις είναι ίσες, τότε οποιαδήποτε τριάδα κάθετων μεταξύ τους διευθύνσεων αποτελεί κύριες διευθύνσεις και η αντίστοιχη εντατική κατάσταση ονομάζεται υδροστατική (ή σφαιρική). Έστω η γενική τριαξονική εντατική κατάσταση του Σχ. 4.1α, με κύριες τάσεις σ 1> σ > σ 3 στις διευθύνσεις των κυρίων αξόνων 1, και 3. Η όψη του στοιχείου από κάθε έναν εκ των κυρίων αξόνων δίνεται στο Σχ. 4.1β, μέσω διαγραμμάτων στις δύο

18 94 διαστάσεις (στο επίπεδο). Σε καθένα από τα στοιχεία του Σχ. 4.1β αντιστοιχεί και ένας κύκλος Mohr, οπότε οι τρεις κύκλοι μπορούν να γραφούν παραστατικά στο ίδιο σύστημα αξόνων, όπως δίνει το Σχ. 4.1γ. Για το επίπεδο 1-3 (α) Θεωρούμε (γ) Όψεις του στοιχείου από διαφορετικούς κύριους άξονες (β) Σχ. 4.1 (α) Στοιχείο σε γενική τριαξονική εντατική κατάσταση, (β) κύκλοι Mohr και (γ) όψεις του στοιχείου από τους τρεις κύριους άξονες. Τέλος, έχοντας ορίσει τους τρεις κύκλους Mohr διαπιστώνουμε εύκολα ότι στην τρισδιάστατη εντατική κατάσταση η απόλυτα μέγιστη διατμητική τάση ισούται με την ημιδιαφορά της μέγιστης και της ελάχιστης κύριας τάσης, τ max σ1 σ = 3 (4.5) Παράδειγμα 4.4 Για τα δεδομένα του Παραδείγματος 4. (Σχ. 4.13α), το οποίο αφορά πρόβλημα επίπεδης εντατικής κατάστασης, να κατασκευαστούν όλοι οι κύκλοι Mohr και να δοθούν όψεις του στοιχείου από τους τρεις κύριους άξονες.

19 95 (α) 6.57 ο (β) (ζ) (γ) (δ) (ε) (στ) Σχ Κύκλοι Mohr και όψεις στοιχείου για το Παράδειγμα 4.4. Οι κύριες τάσεις για το πρόβλημα αυτό έχουν ήδη προσδιοριστεί και δίνονται στο Σχ. 4.13β. Η τάση κάθετα στο επίπεδο του στοιχείου είναι μηδέν, συνεπώς οι τρεις κύριες τάσεις είναι σ 1= 6 MPa, σ = 0 και σ 3 = -4 MPa. Η εντατική κατάσταση στις τρεις διαστάσεις δίνεται στο Σχ. 4.13γ και οι όψεις του στοιχείου από τους τρεις κύριους άξονες δίνονται στα Σχ. 4.13δ-στ. Οι τρεις κύκλοι Mohr δίνονται στο Σχ. 4.13ζ. Σημειώνουμε ότι αν το πρόβλημα του Σχ. 4.13α αναφερόταν σε επίπεδη παραμόρφωση η σ θα ήταν μη μηδενική, σ = ν (6 4) = ν, όπου ν ο λόγος Poisson [εξ. (4.5)]. Παράδειγμα 4.5 Για την επίπεδη εντατική κατάσταση του Σχ. 4.14α να γίνουν οι τρεις κύκλοι Mohr τάσεων και να προσδιoριστεί η μέγιστη διατμητική τάση. Οι δύο από τις τρεις κύριες τάσεις δίνονται, ενώ η τρίτη είναι μηδέν, δηλαδή σ 1= 10 MPa, σ = 6 MPa και σ 3 = 0. Oι κύκλοι Mohr κατασκευάζονται στο Σχ. 4.14β. Η μέγιστες

20 96 διατμητικές τάσεις αντιστοιχούν στα σημεία D και E του εξωτερικού κύκλου, οπότε τα επίπεδα όπου δρουν οι μέγιστες διατμητικές τάσεις σχηματίζουν γωνία 45 ο με την οριζόντια (Σχ. 4.14γ). Οι τάσεις στα επίπεδα αυτά (επίπεδα μέγιστης διάτμησης) δίνονται στο Σχ. 4.14δ. (α) Επίπεδα μέγιστης διάτμησης (γ) (β) (δ) Σχ Κύκλοι Mohr και μέγιστη διατμητική τάση για το Παράδειγμα Μετασχηματισμοί παραμορφώσεων στην επίπεδη εντατική κατάσταση Μέχρι τώρα στο κεφάλαιο αυτό ασχοληθήκαμε με το μετασχηματισμό των τάσεων. Αντίστοιχη ανάλυση μπορεί να γίνει και για το μετασχηματισμό των παραμορφώσεων, ο οποίος για την περίπτωση επίπεδης εντατικής κατάστασης περιγράφεται παρακάτω. Για να διευκολυνθούμε στους υπολογισμούς θα πρέπει να επισημάνουμε ότι η μελέτη παραμορφώσεων γίνεται θεωρώντας μόνο σχετικές μετακινήσεις σημείων σε ένα δομικό στοιχείο. Μετατοπίσεις και στροφές ολόκληρου του δομικού στοιχείου (γνωστές και ως μετακινήσεις στερεού σώματος), χωρίς μεταβολή όγκου ή σχήματος, δεν αντιστοιχούν σε τάσεις, οπότε η μελέτη τους δεν έχει πρακτικό ενδιαφέρον. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε το στοιχείο του Σχ. 4.15α πριν και μετά την παραμόρφωση (Σχ. 4.15β), θα διαπιστώσουμε ότι η μελέτη του παραμορφωμένου στοιχείου (με συνεχείς γραμμές στο Σχ. 4.15β) μπορεί να γίνει επαναφέροντάς το έτσι ώστε να έχει ένα κοινό σημείο με το αρχικό (Σχ. 4.15γ). Αν οι παραμορφώσεις και η στροφή του στοιχείου είναι

21 97 μικρές, η μελέτη της παραμορφωμένης κατάστασης του στοιχείου στο Σχ. 4.15γ μπορεί να γίνει είτε στο στοιχείο με τη διακεκομμένη γραμμή είτε σε αυτό με την εστιγμένη γραμμή. Η μεταβολή, για παράδειγμα, της διαγωνίου του στοιχείου είναι και στις δύο περιπτώσεις (περίπου) ίση με d Δ. Αρχικό στοιχείο (α) (β) (γ) Σχ Οι παραμορφώσεις προσδιορίζονται βάσει σχετικών μετακινήσεων. Πριν προχωρήσουμε στην εξαγωγή των σχέσεων μετασχηματισμού των παραμορφώσεων θα πρέπει να υπενθυμίσουμε τη σημασία των προσήμων: οι ορθές παραμορφώσεις ε x και ε y που αντιστοιχούν σε μήκυνση στη διεύθυνση των αξόνων x και y θεωρούνται θετικές (και αρνητικές για βράχυνση), ενώ η μείωση της ορθής γωνίας μεταξύ δύο αρχικά κάθετων πλευρών που ταυτίζονται με το σύστημα αξόνων x y δηλώνει θετική διατμητική παραμόρφωση. Επομένως, για τη μελέτη παραμορφώσεων του αρχικού στοιχείου στο Σχ. 4.16β το εικονιζόμενο παραμορφωμένο στοιχείο έχει θετική διατμητική παραμόρφωση. Ακολούθως υποθέτουμε ότι οι παραμορφώσεις ε x, ε y και γ ενός στοιχείου σε επίπεδη εντατική κατάσταση με σύστημα αναφοράς το x y είναι γνωστές. Το ζητούμενο είναι οι παραμορφώσεις ως προς ένα νέο σύστημα αξόνων x' y' (Σχ. 4.16β). Αρχικά θα υπολογίσουμε την ορθή παραμόρφωση στο άξονα x '. Στο νέο σύστημα αξόνων, το μήκος ΟΑ, ίσο με dx ', μπορούμε να το φανταστούμε ως διαγώνιο ενός ορθογωνικού στοιχείου dx επί dy στο αρχικό σύστημα αξόνων. Η μετακίνηση του σημείου Α στη διεύθυνση x είναι AA = ε xdx και στη διεύθυνση y είναι A A = ε ydy. Βάσει του Σχ. 4.16α, η διατμητική παραμόρφωση προκαλεί οριζόντια μετακίνηση A A = γ dy. Αθροιζόμενες, οι τρεις μετακινήσεις δίνουν την τελική θέση A του σημείου Α, όπως δίνεται στο Σχ. 4.16β. Η συνολική μήκυνση της διαγωνίου ΟΑ του αρχικού ορθογωνίου είναι, εξ ορισμού, ε x'dx', οπότε γράφουμε: ε dx' = AA cosθ + A A sinθ + A A cosθ x '

22 98 Αντικαθιστώντας για τις τρεις μετακινήσεις και διαιρώντας με ε dx dy = ε x cosθ + ε y sinθ dx' dx' x ' + γ dx ' έχουμε: dy cosθ dx' Επειδή όμως dx / dx' = cosθ και dy / dx' = sinθ, είναι: ε x ' x y + = ε cos θ + ε sin θ γ sinθ cosθ (4.6) Η εξ. (4.6) δίνει την ορθή παραμόρφωση στον άξονα x ', ο οποίος σχηματίζει γωνία με τον x, συναρτήσει των παραμορφώσεων στο σύστημα αξόνων x y. Με βάσει τριγωνομετρικές σχέσεις η εξ. (4.6) εναλλακτικά γράφεται και ως εξής: ε x + ε y ε x ε y γ ε x ' = + cos θ + sin θ (4.7) Παραμορφωμένο στοιχείο Αρχικό στοιχείο (α) (β) Σχ Παραμορφώσεις στοιχείου σε αρχικό και σε νέο σύστημα αξόνων. Ακολούθως γίνεται ο μετασχηματισμός της διατμητικής παραμόρφωσης, θεωρώντας το στοιχείο ΟACB με πλευρές ΟΑ και OB πάνω στους άξονες x ' και y ', Σχ. 4.16β. Εξ ορισμού, η διατμητική παραμόρφωση του στοιχείου αυτού είναι η μεταβολή της γωνίας ΑΟΒ, δηλαδή το άθροισμα των μικρών γωνιών α + β. Για μικρές παραμορφώσεις, η

23 99 γωνία α υπολογίζεται από τις προβολές των ΟΑ: A A, A A και A A πάνω στην κάθετη της α tanα = AA sinθ + A A cosθ A A sinθ dx dy = ε x sinθ + ε y cosθ γ dx' dx' dx' dy sinθ dx' = ( ε ε ) sinθ cosθ γ sin θ x y Αντίστοιχα, για τη γωνία β γράφουμε: β ( ε ε ) sinθ cosθ γ cos θ x y + Άρα γ x ' y' ( ε ε ) sinθ cosθ + γ ( cos θ sin θ ) = x y α + β = ή γ ( ε ε ) sin θ γ cos θ = (4.8) x ' y' x y + Οι εξ. (4.7) (4.8) επιτρέπουν το μετασχηματισμό των παραμορφώσεων σε νέο σύστημα αξόνων, όπως ακριβώς κάνουν οι εξ. (4.1) (4.) για το μετασχηματισμό των τάσεων. ιαιρώντας κατά μέλη την εξ. (4.8) με το έχουμε: γ x' y' ε x ε y γ = sin θ + cos θ (4.9) Συγκρίνοντας το ζεύγος των εξ. (4.1) (4.) με το ζεύγος των εξ. (4.7) (4.9) παρατηρούμε ότι οι σχέσεις αυτές είναι ανά ζεύγη μαθηματικά όμοιες, υπό την έννοια ότι τα σύμβολα σ και τ αντιστοιχούν στα σύμβολα ε και γ / Κύκλος Mohr για τις παραμορφώσεις Η τελευταία παρατήρηση της προηγούμενης ενότητας επιτρέπει το γραφικό μετασχηματισμό παραμορφώσεων με τη βοήθεια του κύκλου Mohr, όπως ακριβώς έγινε και για τις τάσεις, αρκεί όπου σ και τ να χρησιμοποιηθεί ε και γ /. Ο κύκλος αυτός ονομάζεται κύκλος Mohr για τις παραμορφώσεις και δίνεται στο Σχ Τα συμπεράσματα από τη μελέτη του κύκλου Mohr για τις παραμορφώσεις είναι αντίστοιχα με αυτά για τις τάσεις. Η μέγιστη και η ελάχιστη ορθή παραμόρφωση είναι ε 1 και ε, αντίστοιχα. Οι παραμορφώσεις αυτές ονομάζονται κύριες παραμορφώσεις και έχουν διευθύνσεις που συμπίπτουν με αυτές των κυρίων τάσεων:

24 100 ε x + ε y ε x ε y γ ' max 1 ε x = ε = + + (4.30α) ( ) ( ) x' min = = x + ε y ε x ε y γ + ε ε ε (4.30β) γ tan θ1 = (4.31) ε x ε y Η μέγιστη διατμητική παραμόρφωση είναι ίση με το διπλάσιο της ακτίνας του κύκλου Mohr. Στη μέγιστη διατμητική παραμόρφωση αντιστοιχούν ορθές παραμορφώσεις ( ε 1 + ε )/, σε δύο κάθετα μεταξύ τους επίπεδα. Επίσης, το άθροισμα των ορθών παραμορφώσεων σε δύο οποιαδήποτε κάθετα μεταξύ τους επίπεδα είναι ποσότητα αναλλοίωτη, δηλαδή ε x ' + ε y' = ε x + ε y = ε1 + ε = σταθερό. Σχ Κύκλος Mohr για τις παραμορφώσεις. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, μαθηματικά οι μετασχηματισμοί παραμορφώσεων γίνονται όπως και οι μετασχηματισμοί τάσεων. Επομένως σε ένα πρόβλημα γενικής τρισδιάστατης παραμόρφωσης υπάρχουν τρεις κύριες διευθύνσεις, στις οποίες αναπτύσσονται αντίστοιχα οι κύριες παραμορφώσεις ε 1, ε και ε 3. Με βάση αυτές μπορούμε πάντα να γράψουμε τρεις κύκλους Mohr, εκ των οποίων οι δύο βρίσκονται εντός του τρίτου, αντίστοιχα με την περίπτωση των τάσεων.

25 101 Στο Παράδειγμα 3.3 δείξαμε ότι στην επίπεδη εντατική κατάσταση η ε z είναι ίση με ν ( ε x + ε y ) /(1 ν ) [εξ. (3.18)]. Αφού όμως η ποσότητα ( ε x + ε y ) είναι σταθερή, θα είναι σταθερή και η ε z. Επίσης, στην περίπτωση επίπεδης παραμόρφωσης η ε z είναι και πάλι σταθερή (ίση με μηδέν). Γενικώς λοιπόν σε προβλήματα δύο διαστάσεων, η εκτός επιπέδου παραμόρφωση είναι σταθερή και ανεξάρτητη του συστήματος συντεταγμένων x' y', οπότε η μέθοδος του κύκλου Mohr παραμορφώσεων, ή, ισοδύναμα, οι αλγεβρικοί μετασχηματισμοί που προαναφέρθηκαν, ισχύουν για οποιοδήποτε τέτοιο πρόβλημα. Παράδειγμα 4.6 Ένα στοιχείο σε κατάσταση επίπεδης παραμόρφωσης υφίσταται παραμόρφωση 500 μm/m κατά μήκος του άξονα x, +300 μm/m κατά μήκος του άξονα y και στροφή κατά 600 μrad, όπως φαίνεται στο Σχ. 4.18α. Με τη βοήθεια του κύκλου Mohr να προσδιορίσετε τις εντός του επιπέδου x y κύριες παραμορφώσεις και τις αντίστοιχες κύριες διευθύνσεις. Στο ίδιο γράφημα να γίνει η κατασκευή όλων των κύκλων Mohr. Παραμορφωμένο στοιχείο (α) ο (γ) (β) Σχ Παράδειγμα 4.6. Τα δεδομένα του προβλήματος είναι: ε x = -500 μm/m (ή -500x10-6 ), ε y = 300 μm/m και γ = -600 μm/m (αρνητικό πρόσημο διότι η αρχική γωνία των 90 ο αυξάνεται). Στο σύστημα αξόνων ε γ / ορίζεται πρώτα το κέντρο του κύκλου, C, σε απόσταση ( )/ ε x + ε y = -100 μm/m από την αρχή των αξόνων Ο. Ο πόλος του κύκλου ορίζεται στο σημείο Α (-500 μm/m, -300 μm/m) και η ακτίνα ΑC είναι 500 μm/m (Σχ. 4.18β), οπότε γράφεται ο κύκλος που αντιστοιχεί στους άξονες x y. Συνεπώς η ε 1= 400 μm/m

26 10 αναπτύσσεται στη διεύθυνση που είναι κάθετη στην ευθεία που ενώνει το Α με το σημείο ε 1 και η ε 3 = -600 μm/m αναπτύσσεται κάθετα σε αυτή (Σχ. 4.18γ). Από τη γεωμετρία του Σχ. 4.18β είναι θ = tan / 900 = ο. Τέλος, δεδομένου ότι το πρόβλημα είναι επίπεδης παραμόρφωσης, είναι ε = 0 (σημείο Ο, αρχή των αξόνων). Έτσι γράφονται και οι υπόλοιποι δύο κύκλοι (διακεκομμένες γραμμές του Σχ. 4.18β) Ροζέτα μηκυνσιομέτρων Στην Ενότητα. περιγράψαμε το μηκυνσιόμετρο, το οποίο επιτρέπει τη μέτρηση ορθών παραμορφώσεων στη διεύθυνση όπου τοποθετείται. Ο συνδυασμός μηκυνσιομέτρων σε διάφορες διευθύνσεις ονομάζεται ροζέτα και επιτρέπει τη μέτρηση όλων των ορθών παραμορφώσεων στις διευθύνσεις αυτές. Όπως θα δείξουμε παρακάτω, οι ορθές παραμορφώσεις σε τρεις διευθύνσεις (Σχ. 4.19) μπορεί να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό της πλήρους παραμορφωσιακής και εντατικής κατάστασης σε προβλήματα δύο διαστάσεων. (α) (β) (γ) Σχ Ροζέτες μηκυνσιομέτρων. Έστω μία ροζέτα με τρία μηκυνσιόμετρα σε διευθύνσεις που σχηματίζουν γωνίες θ 1, θ και θ 3 ως προς οριζόντιο άξονα ( x ). Οι ορθές παραμορφώσεις που μετρώνται από τα μηκυνσιόμετρα σχετίζονται με τις παραμορφώσεις ε x, ε y και γ μέσω της εξ. (4.6): ε θ ε θ 1 = ε x cos θ1 + ε y sin θ1 + γ sinθ1 cosθ1 = ε x cos θ + ε y sin θ + γ sinθ cosθ (4.3) ε θ 3 = ε x cos θ3 + ε y sin θ3 + γ sinθ cosθ 3 3

27 103 Επίλυση του συστήματος των εξ. (4.3) για τις τρεις άγνωστες παραμορφώσεις ε x, ε y και γ επιτρέπει τον προσδιορισμό της παραμορφωσιακής κατάστασης. Η σχετική υπολογιστική εργασία περιορίζεται σημαντικά με προσεκτική επιλογή των γωνιών. Έτσι η διατάξη με θ 1= 0 ο, θ = 45 ο και θ 3 = 90 ο (ροζέτα 45 ο, Σχ. 4.19β, Σχ. 4.0) δίνει ε = ε 0 0 ε = ε 90 ε ε + γ = + ε x y x y δηλαδή γ = ε 0 ( ε ε ) (4.33) (α) (β) Σχ. 4.0 Ροζέτες 45 ο. Άλλη διάταξη ροζέτας είναι αυτή του Σχ. 4.19γ, γνωστή ως ροζέτα Δ ή ροζέτα 60 ο. Για τη διάταξη αυτή είναι ε = ε 0 0 x ε = ( ε 0 + ε 0 0 )/ 3 y (4.34α) ε0 και γ = ( 0 )/ 3 0 ε 60 ε 10 (4.34β) Η χρήση μηκυνσιομέτρων σε δομικά στοιχεία αποσκοπεί κατά κανόνα στην εύρεση της εντατικής κατάστασης. Έτσι σε περιπτώσεις επίπεδης εντατικής κατάστασης ( σ = 0) μπορούμε να υπολογίσουμε π.χ. τις κύριες τάσεις συναρτήσει των κύριων παραμορφώσεων, μέσω των δύο πρώτων από τις εξ. (3.1): z σ1 σ ε 1 = ν και E E ε σ σ = ν 1 (4.35) E E Λύνοντας ως προς τις κύριες τάσεις έχουμε: E σ 1 = ν ( ε νε ) και σ = ( ε + νε ) E 1 ν 1 (4.36)

28 104 Παράδειγμα 4.7 Σε ένα σημείο της κύριας δοκού μίας μεταλλικής γέφυρας έχει τοποθετηθεί ροζέτα 45 ο, η οποία έδωσε τις εξής μετρήσεις: ε 0 0 = 500 x10-6, ε 0 45 = 00x10-6 και ε 0 90 =300x10-6. Για το υλικό της δοκού (χάλυβας) είναι E = 00 GPa και ν = 0.3. Να προσδιοριστεί η εντατική κατάσταση στο εν λόγω σημείο. 6 Είναι ε = και x ε y = Από την εξ. (4.33) βρίσκουμε γ = ε 6 6 ( ε 0 + ) = [ 00 ( ) ] 10 = 600 ε Οι κύριες παραμορφώσεις υπολογίζονται ε 1 = και ε = και από τις εξ. (4.36) οι κύριες τάσεις (στις διευθύνσεις των κυρίων παραμορφώσεων) είναι: σ 1 = [ ( 600) ] 10 = MPa (εφελκυστική) σ = ( ) 10 = 105 MPa (θλιπτική) 1 0.3

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ds ds ds = τ b k t (3)

ds ds ds = τ b k t (3) Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΕΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ

ΘΕΩΡΙΕΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ 105 Κεφάλαιο 5 ΘΕΩΡΙΕΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ 5.1 Εισαγωγή Στα προηγούμενα κεφάλαια αναλύσαμε την εντατική κατάσταση σε δομικά στοιχεία τα οποία καταπονούνται κατ εξοχήν αξονικά (σε εφελκυσμό ή θλίψη) ή πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 3 1.1 Διανύσματα 1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΗ 1.1 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα î + ĵ + ˆk και î + ĵ ˆk. z k i j y x Τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Δρ Παντελής Λιόλιος Σχολή Μηχανικών Ορυκτών Πόρων Πολυτεχνείο Κρήτης http://minelabmredtucgr Τελευταία ενημέρωση: 28 Φεβρουαρίου 2017 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) Του Κώστα Βακαλόπουλου Στο άρθρο που ακολουθεί παραθέτουμε μια σειρά από ασκήσεις στις οποίες συνυπάρχουν άλλοτε αρμονικά και άλλοτε ανταγωνιστικά οι δύο βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΠΙΠΛΕΥΣΗ

ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΠΙΠΛΕΥΣΗ ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΠΙΠΛΕΥΣΗ ΔΎΝΑΜΗ ΣΕ ΕΠΙΦΆΝΕΙΑ Μέτρο υδροστατικής δύναμης σε βυθισμένη επιφάνεια ΘΑ ΑΠΟΔΕΙΧΘΕΙ ΟΤΙ: ΘΈΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική

Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική Π. Γ. Αστερής Αθήνα, Μάρτιος 017 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Ελατήρια σε σειρά... 1.1 Επιλογή μονάδων και καθολικού

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟ ΟΣ "ΛΟΦΟΣ-ΤΡΙΒΗ" ( Friction-Hill Method, Slab Analysis)

Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΛΟΦΟΣ-ΤΡΙΒΗ ( Friction-Hill Method, Slab Analysis) Η ΜΕΘΟ ΟΣ "ΛΟΦΟΣ-ΤΡΙΒΗ" ( Friction-Hill Metod, Slab Analysis) Α. Προβλήµατα επίπεδης παραµορφωσιακής κατάστασης A. ιπλή συµµετρία γεωµετρίας και φόρτισης Θεωρούµε τη σφυρηλάτηση ορθογωνικής µπιγέτας µε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. i) Μία ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το μηδέν, θα είναι παράλληλη στον άξονα των y.

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. i) Μία ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το μηδέν, θα είναι παράλληλη στον άξονα των y. ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης ευθείας στο επίπεδο της μορφής x y 0, με 0, 0 θα δίνεται από τον τύπο. ( μονάδες) Β. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Εισαγωγή Παραμορφώσεις Ισοστατικών Δοκών και Πλαισίων: Δ22-2 Οι κατασκευές, όταν υπόκεινται σε εξωτερική φόρτιση, αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016 A2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1 Τι είναι ένα δικτύωμα Είναι ένα σύστημα λεπτών,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 015 3. Δοκοί (φορτία NQM) Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής με τα διάφορα είδη φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/ E-mail: gloudos@teiath.gr ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Κέντρο βάρους μάζας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 Β5. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 016 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η εξίσωση με και 0 ή 0 λέγεται γραμμική εξίσωση. Οι μεταβλητές είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής. Οι αριθμοί λέγονται συντελεστές των αγνώστων

Διαβάστε περισσότερα

AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) 371 AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) ΑΣΚΗΣΗ 1 Το µηκυνσιόµετρο στο σηµείο Α της δοκού του σχήµατος καταγράφει θλιπτική παραµόρφωση ίση µε 0.05. Πόση

Διαβάστε περισσότερα

Λύση: Η δύναμη σε ρευματοφόρο αγωγό δίνεται από την

Λύση: Η δύναμη σε ρευματοφόρο αγωγό δίνεται από την 1) Στο παρακάτω σχήμα το τμήμα της καμπύλης ΚΛ μεταξύ x = 1 και x = 3.5 αντιστοιχεί σε ένα αγωγό που διαρρέεται από ρεύμα Ι = 1.5 Α με τη φορά που δείχνεται. Η καμπύλη είναι δευτεροβάθμια ως προς x με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 017 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 x y

x 2 + y 2 x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : 8-9-, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :......

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Άλγεβρα 1. Τι ονομάζεται ακέραια αλγεβρική παράσταση και τι είναι μονώνυμο; Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα; 3xa,, 5, x 3, 5 x a (σελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

Θέση και Προσανατολισμός

Θέση και Προσανατολισμός Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax:

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 A2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1 Τι είναι ένα δικτύωμα Είναι ένα σύστημα λεπτών,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ» ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.

Διαβάστε περισσότερα

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y

Διαβάστε περισσότερα