ODABRANA POGLAVLjA ALGEBARSKE TOPOLOGIJE (Doma i zadaci)
|
|
- Φιλοκράτης Καλλιγάς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ODABRANA POGLAVLjA ALGEBARSKE TOPOLOGIJE (Domai zadaci) 1. (a) Neka je {A α } familija Abelovih grupa, B Abelova grupa i f α : A α B, α A, homomorfizmi. Oznaqimo sa f α : ( ) A α B homomorfizam dat sa f α (a) = f α (a α ), a A α. ( Ako je G proizvoljna Abelova grupa i Φ : Hom ) A α, G Hom(A α, G) kanonski izomorfizam ( ) (konstruisan na predavanjima), dokazati da je Φ f α = fα, tj. da komutira levi dijagram na narednoj slici. ( ) f α ( ) Hom(B, G) Hom A α, G f Φ α Hom(A α, G) (f,g) Hom(B C, G) Hom(A, G) Φ f +g Hom(B, G) Hom(C, G) (b) Neka su A, B i C Abelove grupe, a f : A B i g : A C homomorfizmi. Ako je G proizvoljna Abelova grupa i Φ : Hom(B C, G) Hom(B, G) Hom(C, G) kanonski izomorfizam, dokazati da je (f + g ) Φ = (f, g), tj. da komutira desni dijagram na prethodnoj slici. 2. Neka je R komutativan prsten (s jedinicom). Ako je M slobodan R-modul ranga 1 (tj. slobodan cikliqan R-modul) i {m 0 } jedna njegova baza, onda pixemo M = R m 0. (a) Neka je M R-modul i m 0 M. Dokazati da je M = R m 0 ako i samo ako postoji izomorfizam R-modula φ : R M takav da je φ(1) = m 0 (spoljno mnoжenje u R-modulu R je definisano pomou unutraxnjeg mnoжenja u prstenu R: rs := r s, r, s R). (b) Ako su M i N slobodni cikliqni R-moduli i f Hom R (M, N), dokazati da su sledea qetiri uslova međusobno ekvivalentna: (1) f je epimorfizam; (2) f je izomorfizam; (3) ako je M = R m 0, onda je N = R f(m 0 ) ; (4) Hom R (M, N) = R f. 3. Neka je A Abelova grupa. Za proizvoljne Abelove grupe G i H i homomorfizam φ : G H, definisati homorfizam : Ext(A, G) Ext(A, H) tako da Ext(A, ) bude kovarijantan, desno-taqan funktor iz kategorije Abelovih grupa i homomorfizama u tu istu kategoriju. Ako je jox i α : A B homomorfizam Abelovih grupa, dokazati da je α = α, tj. da komutira dijagram na sledeem crteжu. Ext(B, G) Ext(B, H) α Ext(A, G) Ext(A, H) α 4. Dokazati prirodnost kratkog taqnog niza iz teoreme o univerzalnim koeficijentima,,po grupi koeficijenata. Preciznije, ako je C lanqasti kompleks slobodnih Abelovih grupa, φ : G H homomorfizam Abelovih grupa i n Z, dokazati da komutiraju oba kvadrata na narednom dijagramu. 1
2 0 Ext(H n 1 (C), G) l κ H n (C; G) Hom(H n (C), G) 0 0 Ext(H n 1 (C), H) l H n κ (C; H) Hom(H n (C), H) 0 5. Neka je C lanqasti kompleks Abelovih grupa, n Z i R komutativan prsten s jedinicom. Neka je ϵ : H n (C) R H n (C; R) homomorfizam R-modula dat sa ϵ([τ] 1) = [τ 1], gde je τ C n proizvoljan cikl (ovaj homomorfizam se javlja u teoremi o univerzalnim koeficijentima za homologiju). Ako je θ : H n (C) H n (C) R dato sa θ(x) = x 1, x H n (C), zna se da je Ψ : Hom R (H n (C) R, R) Hom(H n (C), R), definisano sa Ψ(f) = f θ, izomorfizam. (a) Dokazati da komutira dijagram na sledeem crteжu, gde su κ i κ R odgovarajui Kronekerovi homomorfizmi. κ H n (C; R) Hom(H n (C), R) κ R Ψ Hom R (H n (C) R, R) ϵ Hom R (H n (C; R), R) (b) Ako je C lanqasti kompleks slobodnih Abelovih grupa i ako je homoloxka grupa H n 1 (C) slobodna, dokazati da je κ R : H n (C; R) Hom R (H n (C; R), R) izomorfizam. 6. Neka je X proizvoljan, Y putno povezan prostor i f : X Y neprekidno preslikavanje. (a) Ako je f : H 0 (X) H 0 (Y ), dokazati da je ker f = H 0 (X). (b) Ako je G Abelova grupa i f : H 0 (X; G) H 0 (Y ; G), dokazati da je ker f = H 0 (X; G). (v) Ako je G Abelova grupa i f : H 0 (Y ; G) H 0 (X; G), dokazati da je coker f = H 0 (X; G). 7. Formulisati i dokazati svojstvo prirodnosti Majer-Vijetorisovog niza. 8. Neka je X putno povezan prostor i R komutativan prsten (s jedinicom). (a) Oznaqimo sa γ : H 0 (X) Z kanonski izomorfizam, dat sa γ[x] = 1, gde je x X proizvoljna taqka, viđena kao singularni 0-simpleks u prostoru X; sa Ψ : R Hom(Z, R) kanonski izomorfizam, dat sa Ψ(r)(1) = r, r R; i sa κ : H 0 (X; R) Hom(H 0 (X), R) Kronekerov izomorfizam. Dokazati da pri (kanonskom) izomorfizmu k : H 0 (X; R) R, datom kao sledea kompozicija H 0 (X; R) κ Hom(H 0 (X), R) Hom(Z, R) Ψ R, γ jedinici u H 0 (X; R) (neutralu za,,kap proizvod) odgovara jedinica u prstenu R (k(1) = 1). (b) Dokazati da se, pomou kanonskog izomorfizma k,,,kap proizvod H 0 (X; R) H 0 (X; R) H 0 (X; R) svodi na mnoжenje u prstenu R, a,,kap proizvod H 0 (X; R) H n (X; R) H n (X; R) (n N 0 ) na mnoжenje skalarom u R-modulu H n (X; R). 9. Neka je A X, i : A X inkluzija, R komutativan prsten i δ : H n (A; R) H n+1 (X, A; R) (n 0) povezujui homomorfizam iz dugog taqnog kohomoloxkog niza para (X, A). H n (X; R) i H n (A; R) δ H n+1 (X, A; R) Ako je x H (X; R) i a H (A; R), dokazati da je δ(a i x) = δ(a) x, gde taqka na levoj strani jednakosti oznaqava,,kap proizvod H (A; R) H (A; R) H (A; R), a taqka na desnoj,,kap proizvod H (X, A; R) H (X; R) H (X, A; R). Kakva je veza između klasa δ(i x a) i x δ(a)? 10. Ako je M g orijentabilna povrx roda g i R komutativan prsten, opisati kohomoloxku algebru H (M g ; R). (Za uputstvo, videti 1. zadatak kod Heqera na strani 228.)
3 11. Neka je X putno povezan prostor i R komutativan prsten takav da je graduisani R-modul H (X; R) slobodan i konaqnog tipa. (a) Ako je i Y putno povezan prostor, i 1 : X X Y utapanje dato sa i 1 (x) = (x, y 0 ), x X (za neko y 0 Y ) i sliqno, i 2 : Y X Y, i 2 (y) = (x 0, y), y Y (za neko x 0 X), dokazati da se svaka pozitivno-dimenziona klasa a H (X Y ; R) moжe predstaviti u obliku a = i 1(a) i 2(a) + i a i a i, gde su a i H (X; R) i a i H (Y ; R) neke pozitivno-dimenzione klase (suma u ovoj jednakosti je konaqna, a moжe biti i prazna, tj. jednaka nuli). (b) Ako je X (slabi) H-prostor, uoqimo homomorfizam graduisanih R-algebri : H (X; R) H (X; R) R H (X; R) dat kao kompozicija H (X; R) µ H (X X; R) H (X; R) R H (X; R), gde je µ : X X X operacija H-prostora, a,,kros proizvod (koji je izomorfizam po Kinetovoj formuli). Dokazati da za svaku pozitivno-dimenzionu klasu α H (X; R) postoje pozitivno-dimenzione klase α i, α i H (X; R) takve da je (α) = α α + i α i α i. Napomena: Tvrđenje (b) jedanaestog zadatka zapravo kazuje da je, pod navedenim uslovima, H (X; R) jedna (povezana) Hopfova algebra (otuda i slovo,,h u nazivu H-prostora). 12. Neka su X i Y putno povezani prostori s baznim taqkama x 0 X i y 0 Y takvim da su parovi (X, x 0 ) i (Y, y 0 ) dobri i neka je j : X Y X Y prirodno utapanje (j(x Y ) = X {y 0 } {x 0 } Y ). Ako je R komutativan prsten takav da je bar jedan od graduisanih R-modula H (X; R) i H (Y ; R) slobodan i konaqnog tipa, kao i da je H k (X; R) = 0 za sve k < m i H k (Y ; R) = 0 za sve k < n (m, n N), dokazati je j : H k (X Y ; R) H k (X Y ; R) izomorfizam za sve k < m + n. 13. Ako se kratak taqan niz Abelovih grupa 0 G H K 0 cepa, dokazati da je odgovarajui Bokxtajnov homomorfizam β : H n (C; K) H n+1 (C; G) trivijalan za sve lanqaste komplekse slobodnih Abelovih grupa C i sve n Z. 14. Ako je M n-mnogostrukost i K njen kompaktan podskup, dokazati da je grupa H n (M, M \K) torziono slobodna. 15. Neka je M n-mnogostrukost i U njen otvoren (neprazan) potprostor. (a) Ako je x µ x, x M, orijentacija mnogostrukosti M (dakle, za sve x M, µ x H n (M, M \ {x}) je odabrani generator), onda za x U i inkluziju l x : (U, U \ {x}) (M, M \ {x}) uoqimo klasu µ U x := (l x ) 1 (µ x ) H n (U, U \ {x}) ((l x ) je izomorfizam po teoremi o isecanju). Dokazati da je pridruжivanje x µ U x, x U, jedna orijentacija mnogostrukosti U. (b) Neka je K kompaktan podskup od U, l K : (U, U \ K) (M, M \ K) inkluzija i R neki komutativan prsten. Pretpostavimo jox da vaжi i sledei uslov: M je orijentisana ili R = Z 2 (ako je M orijentisana, onda se i U orijentixe na naqin opisan pod (a)). Ako su µ K H n (M, M \ K; R) i µ U K H n(u, U \ K; R) klase uvedene na predavanjima (za sve x K, restrikcija klase µ K na H n (M, M \ {x}; R) je odgovarajua klasa µ x i sliqno za µ U K ), dokazati da je (l K) (µ U K ) = µ K. 16. Dokazati da povezana orijentabilna mnogostrukost ima taqno dve orijentacije. 17. Neka je M zatvorena mnogostrukost dimenzije n. (a) Dokazati da M ima konaqno mnogo komponenata povezanosti i da je svaka od njih zatvorena mnogostrukost dimenzije n. (b) Dokazati da je M orijentabilna ako i samo ako je svaka njena komponenta orijentabilna. (v) Neka su M 1, M 2,..., M k sve komponente povezanosti od M, R komutativan prsten i neka vaжi sledei uslov: M je orijentisana ili R = Z 2 (ako je M orijentisana, onda se, na prirodan naqin, orijentixu i komponente M 1, M 2,..., M k ). Ako su [M] H n (M; R) i [M j ] H n (M j ; R), j = 1, k, odgovarajue fundamentalne klase i i j : M j M, j = 1, k, inkluzije, dokazati da je [M] = (i 1 ) [M 1 ] + (i 2 ) [M 2 ] + + (i k ) [M k ]. 18. Neka je {G α } usmeren sistem Abelovih grupa (ili opxtije, R-modula) i neka je A 0 A takav da za svako α A postoji β A 0 takvo da je α β. Dokazati da se struktura usmerenog sistema {G α }
4 prirodno prenosi na {G α } 0, kao i da je preslikavanje izomorfizam. Φ : lim G α lim G α, Φ[g] := [g], gde je g G α za neko α A 0, Neka je A usmeren skup, {A α } i {B α } usmereni sistemi Abelovih grupa (ili opxtije, R- modula). Za α, β A takve da je α β, oznaqimo, redom, sa f α,β : A α A β i g α,β : B α B β odgovarajue homomorfizme u usmerenim sistemima {A α } i {B α }. Neka su jox C i D Abelove grupe (ili R- moduli) i ψ : C D homomorfizam. Pretpostavimo da za sve α A imamo homomorfizme φ α : A α B α, i α : A α C i j α : B α D takve da, kad god je α β za neka dva indeksa α, β A, sledei dijagram komutira. i α A α f α,β i β 5 C A β φ α φ β ψ B β B α j α j β D (Komutativnost levog trougla, zapravo, kazuje da homomorfizmi i α : A α C, α A, na osnovu jednog stava s predavanja, indukuju homomorfizam i : lim A α C (za α A i a A α, i[a] = i α (a)). Sliqno, komutativnost desnog trougla daje homomorfizam j : lim B α D. Komutativnost gornjeg trapeza predstavlja qinjenicu da je φ α : A α B α, α A, morfizam usmerenih sistema, dok komutativnost donjeg, u stvari, kazuje da za sve indekse α A komutira levi dijagram na sledeoj slici.) Dokazati da onda komutira i desni dijagram na sledeoj slici. g α,β A α φ α B α lim A α lim φ α lim B α i α j α i j C ψ D C ψ D 20. Neka je A usmeren skup, {A α } i {B α } usmereni sistemi Abelovih grupa (ili opxtije, R- modula) i φ α : A α B α, α A, morfizam između tih usmerenih sistema. Na prirodan naqin definisati usmeren sistem {coker φ α } i dokazati da je lim(coker φ α ) = coker(lim φ α ). 21. Neka je (X, A) topoloxki par, R komutativan prsten i k N 0. Ako je γ : H 0 (X; R) R kanonski epimorfizam R-modula (definisan na predavanjima) i, R : H k (X, A; R) H k (X, A; R) R Kronekerov indeks, dokazati da komutira naredni dijagram. H k (X, A; R) H k (X, A; R) H 0 (X; R), R γ R 22. Neka je X topoloxki prostor, A, B, C X njegovi otvoreni potprostori i R komutativan prsten. Ako su k, l, m N 0, a H k (X, A; R), b H l (X, B; R) i µ H k+l+m (X, A B C; R), dokazati da je a ako je jox i C = i m = 0, dokazati da je b (a µ) = (a b) µ, b, a µ R = a b, µ R.
5 23. (a) Neka je X topoloxki prostor i R komutativan prsten. Koristei identifikaciju H i c(x; R) = lim H i (X, X \ K; R), i N 0, za k, l N 0 definisati (bilinearan),,kap proizvod Hc k (X; R) H l (X; R) H k+l (X; R). (b) Neka su n-mnogostrukost M, komutativan prsten R i k {0, 1,..., n} takvi da su ispunjeni uslovi jedne posledice Poenkareove dualnosti, koji obezbeđuju da vaжi H n k (M; R) = Hom R (H k c (M; R), R). Dokazati da je jedan takav izomorfizam Φ : H n k (M; R) Hom R (H k c (M; R), R) dat na sledei naqin: homomorfizam Φ(a) : H k c (M; R) R koji odgovara klasi a H n k (M; R), proizvoljnu klasu b H k c (M; R) preslikava u,,integral klase b a; tj. Φ(a) = γ(d M ( a)). 24. (a) Neka su X i Y topoloxki prostori, f : X Y homeomorfizam i R komutativan prsten. Za m Z (koristei identifikaciju Hc m (X; R) = lim H m (X, X \ K; R), i odgovarajuu za Y ), konstruisati izomorfizam f : Hc m (Y ; R) Hc m (X; R). (b) Neka je f : M N homeomorfizam između n-mnogostrukosti M i N. Neka je jox R komutativan prsten i pretpostavimo da vaжi sledei uslov: M je orijentisana ili R = Z 2 (ako je M orijentisana, pokazati da se orijentacija sa M, na prirodan naqin (pomou f), prenosi na N). Dokazati da je, za sve k Z, D N = f D M f, tj. da komutira sledei dijagram. c H k c (M; R) f H c k (N; R) D M D N H n k (M; R) f H n k (N; R) 25. (a) Dokazati da je, kao graduisana Z-algebra, H (RP ; Z) = Z[α]/(2α), α = 2. (b) Opisati kohomoloxke algebre H (RP n ; Z), n N. (v) Dokazati da su kohomoloxke algebre H (RP 2k+1 ; Z) i H (RP 2k S 2k+1 ; Z) međusobno izomorfne. (g) Da li su za sve komutativne prstene R, kohomoloxke algebre H (RP 2k+1 ; R) i H (RP 2k S 2k+1 ; R) izomorfne? (d) Da li je RP 2k+1 RP 2k S 2k+1? 26. Ako je n N, X (n 1)-povezan prostor koji ima homotopski tip CW -kompleksa, G Abelova grupa takva da je π n (X) = G i f : X K(G, n) preslikavanje koje reprezentuje fundamentalnu klasu od X, dokazati da je f : π n (X) π n (K(G, n)) izomorfizam. 27. Neka je X putno povezan prostor koji ima homotopski tip CW -kompleksa, G Abelova grupa takva da je π 1 (X) = G i f : X K(G, 1) preslikavanje koje reprezentuje fundamentalnu klasu od X. Ako je F homotopski sloj preslikavanja f, a X univerzalno natkrivanje od X, dokazati da je F X. Napomena: Pod navedenim uslovima, i F i X moraju imati homotopski tip CW -kompleksa. 28. Neka je (X, A) CW -par, G Abelova grupa, n N i a, b H n (X, A; G). Za kanonski izbor Ajlenberg- Meklejnovog prostora K(G, n) (i njegove bazne taqke y 0 ), ako su f, g : (X, A) (K(G, n), y 0 ) preslikavanja koja reprezentuju klase a i b, dokazati da je klasa a + b H n (X, A; G) reprezentovana preslikavanjem (X, A) (f,g) ( K(G, n) K(G, n), (y 0, y 0 ) ) µ ( K(G, n), y 0 ), gde je µ (kanonski odabrana) operacija H-prostora K(G, n). 29. Dokazati da, za dato n N, postoji taqno jedna netrivijalna kohomoloxka operacija tipa (Z 2, n; Z 2, n + 1). Koja je to kohomoloxka operacija? 30. Neka su (X, A) i (Y, B) topoloxki parovi takvi da je definisan,,kros proizvod H (X, A; Z 2 ) H (Y, B; Z 2 ) H (X Y, A Y X B; Z 2 ), tj. takvi da je (A Y X B; A Y, X B) isecajua trojka. Dokazati da za sve k N 0 i sve pozitivnodimenzione klase x H (X, A; Z 2 ) i y H (Y, B; Z 2 ) vaжi da je k Sq k (x y) = Sq i x Sq k i y. i=0
6 31. Ako je u proizvoljna pozitivno-dimenziona kohomoloxka klasa, dokazati da za sve n, k N 0 vaжi da je ( Sq n u 2k) ( ) 2 = Sq n k 2 k u, 2 k n. 0, 2 k n 32. Ako je (X, A) topoloxki par i u H 2 (X, A; Z 2 ) klasa takva da je Sq 1 u = 0, dokazati da za sve n N i sve k N 0 vaжi ( ) n Sq 2k (u n ) = u n+k i Sq 2k+1 (u n ) = 0. k 33. Neka je i : CP 3 CP 6 prirodno utapanje i q : CP 6 CP 6 /CP 3 prirodna surjekcija. (a) Dokazati da je za sve m N sledei kratak niz taqan. 0 H m (CP 6 /CP 3 ; Z 2 ) q H m (CP 6 ; Z 2 ) i H m (CP 3 ; Z 2 ) 0 (b) Dokazati da je za sve n N preslikavanje Sq n : H 8 (CP 6 /CP 3 ; Z 2 ) H n+8 (CP 6 /CP 3 ; Z 2 ) trivijalno. (v) Dokazati da je Sq 2 : H 10 (CP 6 /CP 3 ; Z 2 ) H 12 (CP 6 /CP 3 ; Z 2 ) izomorfizam. 34. Dokazati da su stabilne homotopske grupe sfere π S 3 i π S 7 netrivijalne. 35. Dokazati da u Stinrodovoj algebri A 2 vaжe sledee relacije: Sq 2m 3 Sq m = Sq 2m 1 Sq m 2 (m 2); Sq 2m 4 Sq m = Sq 2m 1 Sq m 3 + Sq 2m 2 Sq m 2 (m 3). 36. Neka je n N i M zatvorena povezana mnogostrukost dimenzije 2n takva da je H i (M; Z 2 ) = 0 za 1 i n 1 i H n (M; Z 2 ) = Z 2. Dokazati da je n stepen dvojke. 37. Neka su topoloxki prostor X, m N i α H m (X; Z) takvi da je, kao graduisana Z-algebra, H (X; Z) = Z[α] ili H (X; Z) = Z[α]/(α n+1 ) za neko n 2. Dokazati da je m = 2 k za neko k N. Napomena: Pod navedenim uslovima, sve homoloxke grupe prostora X moraju biti konaqno generisane (propozicija 3F.12 kod Heqera, str. 318). 38. Neka je n 2, f : S 2n 1 S n i φ : S n S n neprekidna preslikavanja. Ako su h(f) i h(φ f) Hopfove invarijante odgovarajuih preslikavanja, dokazati da je h(φ f) = (deg φ) 2 h(f).
Zadaci iz Topologije A
Zadaci iz Topologije A 1. Neka je X neprazan skup i Φ : P(X P(X funkcija za koju vaжi: (1 Φ( = ; (2 A Φ(A za sve A P(X; (3 Φ(A B = Φ(A Φ(B za sve A, B P(X; (4 Φ(Φ(A = Φ(A za sve A P(X. Dokazati da postoji
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραx + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture
i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα1 Algebarske operacije i algebraske strukture
1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA 1. Grupe. Konaqno generisane Abelove grupe. Zoran Petrovi 11. i 18. decembar ρ = 0. nρ = 0
ALGEBRA 1 Grupe Konaqno generisane Abelove grupe Zoran Petrovi 11 i 18 decembar 2012 Podsetimo se diedarske grupe: Njena abelizacija zadata je sa: D n = σ, ρ σ 2 = ε, ρ n = ε, σρ = ρ n 1 σ D Ab n = σ, ρ,
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραU n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematiqki fakultet GRADUISANE SLOBODNE REZOLVENTE
U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u Matematiqki fakultet GRADUISANE SLOBODNE REZOLVENTE M a s t e r r a d Student: Maja Roslavcev Mentor: prof. dr Aleksandar Lipkovski B e o g r a d, 2011 S a d r ж
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. imaju istu vrednost.
00200 Prvi razred A kategorija Neka su a 1 < a 2 < < a n dati realni brojevi. Na i sve realne brojeve x za koje je izraz x a 1 + x a 2 + + x a n najmanji. Na i sve trojke međusobno razliqitih dekadnih cifara
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka logika u raqunarstvu, Januar 3. februar 2016.
Matematiqka logika u raqunarstvu, Januar 3. februar 2016. 1. Na jeziku L = { }, gde je binarni relacijski simbol, posmatrajmo teoriju T koju qine sledee dve aksiome teorije skupova: x y (y x); i xy (x
Διαβάστε περισσότεραPolinomske jednaqine
Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Linearne algebre (2003/4)
Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Srdjan Vukmirović May 22, 2004 1 Matematička indukcija 1.1 Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi 3 / (5 n + 2 n+1 ). 1.2 Dokazati da sa svake m Z i n N postoje
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Analize za d(x, y) 0 (ako je d(x, y) = 0 onda je x = y pa oqigledno vai nejednakost
1 Zadaci iz Analize Kako vreme prolazi to u i nasumiqno rexavati ove zadatke. Do tada, savetujem da sami uradite xto vixe moete. Sve vas pozdrav a vax asistent Milan Lazarevi. 1. Neka je (X, d) metriqki
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture. Braslav Rabar. 5. srpnja 2007.
Algebarske strukture Braslav Rabar 5. srpnja 2007. Def 1 Neka je S neprazni skup tada pod binarnom operacijom na skupu S razumijevamo svako preslikavanje : S S S, a ureden par (S, ) skupa i neke binarne
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραMorsova homologija, diferencijalno-topoloxki i analitiqki pristup
Morsova homologija, diferencijalno-topoloxki i analitiqki pristup Aleksandra Perixi Mentor: dr Darko Milinkovi Matematiqki fakultet decembar, 2009. Sadrжaj Predgovor 2 1 Klasiqan pristup teoriji Morsa
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραZadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.
Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραPOLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti
POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA 1 ZORAN PETROVI. Predavanja za xkolsku 2014/15 godinu
ALGEBRA 1 ZORAN PETROVI Predavanja za xkolsku 2014/15 godinu Grupe Osnovni pojmovi i primeri Grupe su jedan od centralnih objekata u ovom kursu i nekoliko nedelja e biti posveeno upravo njima. Pojam grupe
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Trigonometrija
Glava 1 Trigonometrija 1.1 Teorijski uvod Neka su u ravni Oxy dati krug k = {x, y) R R : x +y = 1} i prava p = {x, y) R R : x = 1}. Predstavimo skup realnih brojeva na pravoj p, kao brojevnoj pravoj, tako
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart 2016.
Prvi razred A kategorija 1. Neka je operacija,, na skupu G = {1, 2, 3,..., 2016} zadata donjom tablicom. 1 2 3 4 2016 1 5 5 5 5 5 2 1 2 5 5 5 3 4 3 5 5 5 4 5 5 5 5 5......... 2016 5 5 5 5 5 (Unutar tablice
Διαβάστε περισσότεραDejstvo grupe na skup
1 Dejstvo grupe na skup 1.1 Teorijski uvod Definicija Neka je G grupa i S skup. Dejstvo grupe G na skup S je preslikava e : G S S, koje zadovo ava dve aksiome: 1. e x = x, za sve x S, 2. (gh) x = g (h
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSpektralna teorija ograničenih linearnih operatora
Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku Spektralna teorija ograničenih linearnih operatora Mentor prof. Dragana Cvetković Ilić Niš, oktobar 2013. Student Maja Ţivković
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα