Meranie tiažového zrýchlenia PaedDr. Klára Velmovská, PhD. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky, FMFI UK, Bratislava

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Meranie tiažového zrýchlenia PaedDr. Klára Velmovská, PhD. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky, FMFI UK, Bratislava"

Transcript

1 Názov projektu: CIV Centrum Internetového vzdelávania FMFI Číslo projektu: SOP ĽZ 2005/1-046 ITMS: Meranie tiažového zrýchlenia PaedDr. Klára Velmovská, PhD. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky, FMFI UK, Bratislava Žiaci prostredníctvom rôznych aktivít riešia úlohu nasledovného znenia: Navrhnite čo najoriginálnejšiu metódu na meranie veľkosti tiažového zrýchlenia a meranie uskutočnite. Aktivity zamerané na meranie tiažového zrýchlenia by mali viesť k rozvoju tvorivosti u žiakov, ako aj rozvoju manuálnych zručností, ktoré vyžaduje samotné meranie. Žiaci nemajú predpísaný návod na meranie, ale spôsob a postup merania si navrhujú sami. Úloha samotná žiakov vedie aj k zopakovaniu si poznatkov a ich utvrdeniu. V niektorých prípadoch sa žiaci možno dopracujú k hodnote tiažového zrýchlenia, ktorá sa blíži k hodnote tabuľkovej, avšak pri niektorých metódach sa dopustia pomerne veľkej nepresnosti. Tým vzniknú námety k diskusii o hľadaní zdrojov nepresností, ich kritickom zhodnotení a navrhovaní spôsobov ich eliminácie. Teda tvorivosť sa okrem úrovne, kedy žiaci metódy navrhujú a uskutočňujú, rozvíja i na vyššej úrovni na úrovni verifikácie. Tým, že žiaci nemajú daný postup merania, sa vlastne hrajú na vedcov a na hodine simulujú vedeckú činnosť. A vedecká činnosť je vo svojej podstate tvorivá. Žiaci síce objavujú, čo už objavené bolo, ale s daným stupňom poznatkov nie je možné objaviť niečo neobjavené. V tomto prípade ide o tvorivosť subjektívnu. Predpokladom je, že žiaci po tejto úlohe ľahšie a s väčším záujmom prijmú presnejšie metódy merania, ako napr. meranie pomocou reverzného kyvadla, a ocenia metódy umožňujúce merať s veľkou presnosťou. Aktivity, ktoré riešenie úlohy vyžaduje: - navrhnúť metódu vhodnú na meranie, spôsob a postup merania; - navrhnúť potrebné pomôcky (správny počet, veľkosť, ); - pripraviť pomôcky na meranie; - vhodným spôsobom zaznamenávať namerané hodnoty; - namerané hodnoty vyhodnotiť a vypočítať veľkosť tiažového zrýchlenia; - vyjadriť sa k presnosti merania; - vyhotoviť záznam o meraní; - práca v skupine. 1. Zaradenie Učivo 1. ročníka gymnázia je zamerané na mechaniku a žiaci sa často stretávajú s pojmom tiažové zrýchlenie. Úlohu je vhodné žiakom zadať na konci školského roka, keď už

2 žiaci majú dostatočné skúsenosti s laboratórnymi prácami. Túto úlohu je možné riešiť i na seminári z fyziky, prípadne na inom type škôl. Platí vzťah medzi úrovňou vedomostí a navrhnutými metódami. 2 Metodické pokyny Cieľom laboratórneho cvičenia je obyčajne vyšetriť daný fyzikálny jav alebo namerať nejakú fyzikálnu veličinu, pričom sa kladie dôraz na presnosť merania, t.j. aby sa hodnota fyzikálnej veličiny čo najviac približovala k hodnote tabuľkovej. Tieto metódy sú niekedy náročné ako pre žiakov, tak i kvôli technickému vybaveniu. Cieľom učiteľa fyziky by malo byť žiakov k týmto metódam priviesť a predstaviť im ich, či už sú to merania známe z histórie alebo merania využívajúce elektronické meracie prístroje. Pre tento prípad je to meranie Galileovo a meranie veľkosti tiažového zrýchlenia pomocou reverzného kyvadla. Ale predtým by žiaci mali mať šancu vymyslieť metódu vhodnú na meranie, aby si uvedomili problémy s ňou späté. Takto môžeme prispieť k rozvoju tvorivosti žiakov a pripraviť si pôdu pre predstavenie presnejších metód. Laboratórne cvičenia obyčajne predstavujú dve vyučovacie hodiny. Pri riešení tejto úlohy je dobré rozčleniť si hodiny na teoretickú a experimentálnu. Teoretická hodina by mala byť zameraná na návrh a rozpracovanie metódy, experimentálna na meranie, zaznamenávanie a spracovávanie hodnôt. Na úvod teoretickej časti učiteľ žiakov informuje o tom, čo je cieľom laboratórneho cvičenia. Úlohou žiakov je pri práci v skupinách vymyslieť čo najoriginálnejšiu metódu merania veľkosti tiažového zrýchlenia, podľa možnosti takú, ktorá by nikoho iného nenapadla. Pri navrhovaní žiaci môžu používať zošity i knihy, riešenie úlohy ako takej v nich nenájdu. Treba žiakom zdôrazniť, že použitie pomôcok je obmedzené vybavením kabinetu fyziku, t.j. napr. radar na meranie rýchlosti k dispozícii nie je. Učiteľ by mal žiakov požiadať, aby mu na konci teoretickej hodiny, t.j. po uplynutí 45 minút, odovzdali zoznam pomôcok, ktoré budú pri meraní potrebovať. Voľbu pomôcok a presný postup merania si žiaci majú premyslieť tak, aby sa pri meraní dopúšťali čo najmenších nepresností. Ich úlohou je dostať sa ku vzťahu pre veľkosť tiažového zrýchlenia, do ktorého budú namerané hodnoty dosadzovať. Žiaci sa do skupín môžu rozdeliť dobrovoľne, ale i náhodne, napr. ťahaním papierikov s rovnakými symbolmi. Najvhodnejšie je rozdelenie do maximálne 4-členných skupín. Výstupom prvej hodiny by mal byť pripravený záznam z laboratórneho cvičenia. Jeho štruktúra by mala byť podobná ako záznamy, ktoré už žiaci vyhotovovali. Je dobré žiakov upozorniť na to, že na meranie budú mať pomerne málo času (1 vyučovaciu hodinu), preto by si už na teoretickej hodine mali meranie detailne rozpracovať - premyslieť si, koľko meraní urobia, pripraviť si vopred tabuľku, do ktorej budú namerané hodnoty zaznamenávať, odvodiť si potrebné vzťahy. Na záver teoretickej hodiny (cca 5 min pred koncom) učiteľ vyzve žiakov, aby každá skupina prezentovala svoju metódu merania. 3 Návrh hodnotenia práce žiakov Žiaci vyhotovujú záznam z merania v písomnej podobe, ktorý po skončení experimentálnej hodiny odovzdajú učiteľovi. Pri vyhodnocovaní záznamov učiteľ sleduje, či žiaci dodržali štruktúru záznamu z laboratórneho cvičenia. Pri teoretickej časti musí sledovať, či sa žiaci nedopustili fyzikálnych nepresností, či dodržiavali fyzikálnu terminológiu. Pomôcky uvedené v zázname, by mali byť zhodné s pomôckami, ktoré žiaci od učiteľa požadovali na záver teoretickej hodiny. Keďže postup merania si žiaci navrhujú sami, učiteľ by mal dať pozor, či žiaci pri zápise niektorý dôležitý krok nepreskočili. Na záver záznamu sa žiaci majú

3 vyjadriť k presnosti merania a zaujať postoj k prípadným nepresnostiam, navrhnúť možnosti ich eliminácie. Pri vyhodnocovaní treba brať do úvahy, nielen blízkosť žiakmi určenej hodnoty tiažového zrýchlenia k hodnote tabuľkovej, ale treba oceniť aj navrhnutú metódu, dobré nápady, vhodnosť použitých pomôcok, Učiteľ by nemal zabudnúť do celkového hodnotenia zahrnúť aj prácu žiaka pri meraní v skupine. Po vyhodnotení záznamov je nevyhnutné so žiakmi o jednotlivých metódach diskutovať. Učiteľ môže na tabuľu napísať hodnoty veľkostí tiažového zrýchlenia, ktoré určili jednotlivé skupiny, a žiaci sa môžu vyjadrovať k presnosti jednotlivých metód, navrhovať možnosti ich vylepšenia, ktoré by prispeli k ich spresneniu alebo zjednodušeniu. 4 Skúsenosti Na tomto mieste by som na konkrétnom príklade chcela ukázať, ako sme merali určovali tiažového zrýchlenia so žiakmi dvoch prvých tried na Gymnáziu J Papánka v Bratislave. Rozdelenie do skupín prebehlo náhodne a to tak, že si žiaci ťahali z vopred pripravených očíslovaných papierikov. Žiaci s rovnakými číslami patrili do jednej skupiny, pričom ich počet v skupine nepresahoval štyri. Je dôležité spomenúť, že na tomto gymnáziu majú žiaci každý týždeň na laboratórne cvičenia určenú 1 delenú hodinu. Takto sme mali jeden týždeň hodinu teoretickú, kde navrhovali metódy merania a druhý týždeň meranie vykonávali. Výhodou bolo to, že na prípravu pomôcok som mala čas 1 týždeň. Ako sa však ukázalo, žiaci na svoje merania nepožadovali pomôcky, príprava ktorých by si vyžadovala takýto čas. Myslím, že učiteľ vystačí zo sadou pomôcok na mechaniku. Nemôže zabudnúť na guľôčky s háčkom aj bez neho, na pevnejšiu niť, na silomery, váhy, stopky, odmerné valce, pravítko, dĺžkové meradlo, stojan z laboratórneho cvičenia o premenách energie. Ak bude mať tieto pomôcky vopred pripravené (samozrejme v dostatočnom množstve), bude mať dostatok času na pohľadanie ostatných pomôcok. Je zaujímavé, že žiaci sa prísne držali pomôcok, ktoré sú súčasťou vybavenia fyzikálneho kabinetu, hoci ich mohli nahradiť vecami zo svojho okolia. Na meranie pomocou Archimedovho zákona mohli žiaci použiť akékoľvek teleso (pero, gumu na gumovanie...). Oni sa však rozhodli pre závažie. Rovnako pri točení telesa na nitke mohli na koniec nitky priviazať čokoľvek. Žiaci však použili guľôčku zo súpravy na mechaniku. Niektoré skupiny navrhli vychádzať pri meraní z tiažovej sily. Asi po 10 minútach práce v skupinách každá skupina prišla s návrhom využiť na meranie voľný pád. V tomto prípade zohráva dôležitú úlohu učiteľ, ktorý musí žiakov donútiť vymyslieť aj iné riešenie. V triede pomohol argument o originalite metódy: Vidíte, toto riešenie napadlo každú skupinu. Vašou úlohou však je vymyslieť niečo, čo by iného nenapadlo, niečo originálne. A skupiny vymýšľali ďalej... Jedna skupina ostala síce pri meraní času voľného pádu, ale využila na to vodorovný vrh. Učiteľ by mal vystupovať ako konzultant, na ktorého sa žiaci môžu kedykoľvek obrátiť. Zároveň by mal sledovať prácu skupín. Ako príklad uvediem skupinu, ktorá na meranie navrhla využiť zákon zachovania energie a naklonenú rovinu. Svoju metódu dopodrobna rozpracovali, avšak si neuvedomili, že gulička koná aj otáčavý pohyb - pri kinetickej energii neuvažovali o člene 1/2 I ω 2. Neuvažovali o ňom aj napriek tomu, že pri preberaní otáčavého pohybu tuhého telesa prepočítali niekoľko príkladov, kde tento člen vystupoval. Pri tejto laboratórnej práci sa ukázalo, že s pojmom kinetická energia otáčavého pohybu nie sú žiaci celkom zžití. Žiaci si pri meraní uvedomili, že niečo nie je v poriadku, keď pre veľkosť tiažového zrýchlenia dostali hodnotu veľmi odlišnú od skutočnej, hoci očakávali hodnotu blížiacu sa ku nej. I pri

4 opakovanom meraní sa ich podozrenie potvrdilo. Teda ďalším prínosom tejto úlohy je skutočnosť, že žiaci si skutočne uvedomili význam člena 1/2 I ω 2 a utvrdili si svoje poznatky. Na prvej hodine si žiaci mali premyslieť postup merania a zachytiť ho v záznamoch. Avšak pri meraní sa ukázalo, že meranie uskutočniť nie je až také jednoduché. Na ilustráciu uvediem prípad skupiny, ktorá navrhla naozaj originálnu metódu využívajúcu poznatky z dynamiky. Pri točení guličky na špagáte chceli polomer otáčania guličky merať pomocou pravítka. Pri samotnom meraní prišli na to, že točiť guličku tak, aby opisovala stále rovnako veľkú kružnicu nie je také jednoduché. Preto to vyriešili tak, že na stôl položili pravítko, určili si polomer otáčania, ktorý potom vedeli lepšie dodržať. Podobne to bolo s určovaním uhla, ktorý pri otáčaní zviera niť so zvislým smerom. Na teoretickej hodine na otázku, ako určia tento uhol, odpovedali, že pomocou uhlomera. Pri meraní však prišli na to, že keď si dobre zvolia dĺžku špagátu, uhol bude rovný 45 a vo výslednom vzťahu pre g nemusia počítať tg α, lebo bude rovný 1. Preto guľôčku podržali nad určeným polomerom - kolmo na stôl postavili ešte jedno pravítko a špagát natiahli tak, aby guľôčku spojil s hodnotou polomeru na zvislom pravítku. Pri tejto hodnote určili dĺžku špagátu. Takto vlastne vytvorili rovnoramenný pravouhlý trojuholník. Pri tomto meraní im vyšla hodnota pre veľkosť tiažového zrýchlenia 24,8 ms -2. Tento pomerne veľký rozdiel sa dá vysvetliť, ak si uvedomíme, aká nepresnosť vznikne pri zväčšení polomeru otáčania 20 cm (hodnota zvolená žiakmi) o 1 cm. 5 Riešenia Uvádzam iba niektoré riešenia, ktoré navrhli žiaci, a teda s ktorými sa učiteľ s veľkou pravdepodobnosťou môže stretnúť. Meranie veľkosti tiažového zrýchlenia pomocou silomera, páky a pomocou poznatkov o voľnom páde neuvádzam. Na meranie možno využiť i vodorovný vrh, pri ktorom zostavíme zariadenie podobné ako pri laboratórnej úlohe o premenách energie, a meriame čas dopadu guľôčky zo stola. Meriame vlastne čas dopadu ako pri voľnom páde. Tieto metódy sú pomerne jednoduché. Návod na meranie veľkosti tiažového zrýchlenia pomocou voľného pádu možno nájsť napr. v [1]. Rovnako neuvádzam ani metódu určenia veľkosti tiažového zrýchlenia pomocou doby kmitu kyvadla. Predpokladám, že na túto metódu nemajú žiaci 1. ročníka potrebné poznatky. Pri opise metód merania navrhnutých žiakmi som vychádzala zo záznamov, ktoré mi žiaci odovzdali. Uvádzam aj konkrétne hodnoty, ktoré získali meraním. meranie využitím Archimedovho zákona Pomôcky: odmerný valec, silomer, guľôčka, nitka, rovnoramenné váhy Na silomer si zavesíme guľôčku. Odmeriame F g guľôčky. Potom ju ponoríme do vody. Silomer nám ukáže hodnotu výslednej sily. Podľa vzorca F VZ =F g -F V, vypočítame veľkosť vztlakovej sily. Ak vieme, z akého materiálu je zhotovená guľôčka, odvážime ju a pomocou vzorca V = m / ρ, vypočítame jej objem. Podľa vzorca g = F VZ / (ρv) vypočítame g. Objem guľôčky môžeme zistiť aj tak, že ju ponoríme zavesenú na nitke do vody v odmernom valci. Objem guľôčky je daný hodnotou, o koľko stúpne hladina vody. m = 42,25 g ρ = kg.m -3 F g /N F V /N V/.10-6 m 3 F vz /N g/ms -2 0,45 0,3 16 0,15 9,375 0,45 0,3 16 0,15 9,375 0,45 0, ,16 9,412 Tab. 1 Tabuľka hodnôt získaná pri určovaní tiažového zrýchlenia pomocou Archimedovho zákona

5 g = 9,39 ms -2 meranie pomocou zvislého vrhu nahor Pomôcky: guľôčka, meter, stopky Pomocou vzorca pre čas t, za ktorý z výšky H teleso dopadne: t = 2 H / g, vypočítame hodnotu g takto. Guľôčku vyhodíme do výšky a odmeriame, do akej výšky vyletela. Zároveň odmeriame i čas, za ktorý sa vráti. Pri počítaní g použijeme iba polovičný čas, lebo telesu trvá rovnaký čas výstup do výšky H ako voľný pád z tejto výšky. Výšku výstupu určujeme tak, že jeden žiak sa postaví na lavicu a sleduje, do akej výšky guľôčka vystúpi. t /s t/2 / s H / m g / m.s -2 1,21 0,605 1,7 9,28 1,35 0,675 2,01 8,82 1,18 0,59 1,55 8,91 1,22 0,61 1,8 9,67 1,28 0,64 1,8 8,79 Tab.2 Tabuľka hodnôt získaných pri meraní pomocou zvislého vrhu nahor g = 9,09 m.s -2 meranie založené na zákone zachovania energie Pomôcky: guľôčka, pravítko, naklonená rovina, stopky Odmeriame výšku h naklonenej roviny, z ktorej guľôčku s hmotnosťou m púšťame. Keď guľôčka opustí naklonenú rovinu, pôjde ďalej rovnomerným pohybom (pričom trenie zanedbávame). Stopkami odmeriame čas t, za aký prejde guľôčka dráhu s a podľa vzťahu v = s/t vypočítame rýchlosť guľôčky na konci naklonenej roviny. Všetky zistené hodnoty dosadíme do vzťahu, ktorý vyplýva zo zákona zachovania energie. Guľôčka koná aj otáčavý pohyb, preto musíme uvažovať aj o kinetickej energii otáčavého pohybu 1/2 I ω 2, kde I je moment zotrvačnosti gule (I = 2/5 m r 2 ) a ω uhlová rýchlosť guľôčky. Platí: E K = E P 1/2 m v 2 + 1/2 I ω 2 = m g h Po úpravách sa dostaneme ku vzťahu pre veľkosť tiažového zrýchlenia: g = 7 v 2 / (10 h). m = 26 g h = 2,7 cm čas, za ktorý guľôčka prešla dráhu 0,4 m: 0,65s 0,75s 0,75s 0,66s 0,78s 0,75s 0,81s 0,75s 0,70s 0,79s 0,79s priemer časov: t = 0,744 s v = s / t = 0,4m / 0,744s = 0,538 ms -1 g = 7 v 2 / (10 h) = 7 (0,538ms -1 ) 2 / ( 10 0,027m) = 7,5 ms -2 meranie využitím poznatkov z dynamiky Pomôcky: pravítko, niť, kovová guľôčka, stopky Kovovú guľôčku zavesenú na niti roztočíme vo vodorovnej rovine nad daným priemerom. Určíme čas t, kým vykoná 10 otáčok. Pokus opakujeme 3-krát a do výpočtov dosadíme priemernú hodnotu. Určíme uhol α, ktorý zviera niť pri točení so zvislým smerom. Rýchlosť guľôčky v určíme pomocou obvodu kružnice o, ktorú pri točení opisuje:

6 o = 2 π r v = 10 o / t Ďalej platí: tg α = F O / F g, kde F O je odstredivá sila (F O = m v 2 / r) a F g je tiažová sila. Po dosadení dostávame pre g vzťah: g = v 2 / (r tgα). r = 0,2m o = 1,256m α = 45 (pri špeciálne zvolenej dĺžke nite) namerané časy: 5,70s 5,70s 5,51s priemerná hodnota: t = 5,63s v = 12,56m / 5,63s = 2,23 ms -1 g = (2,23ms -1 ) 2 / 0,2m = 24,8 ms -2 6 Iné zaujímavé riešenia: meranie využitím poznatkov z dynamiky kvapalín Pomôcky: vodovod, pravítko, nádoba so stupnicou (odmerný valec), stopky Pri vytekaní vody z kohútika si môžeme všimnúť, že sa prúd vody smerom nadol zužuje. Pre objem V pretečenej vody cez plochu S rýchlosťou veľkosti v za čas t platí rovnica kontinuity: V = S v t. Obr. 1 Meranie tiažového zrýchlenia pomocou vody vytekajúcej z kohútika Keď si prierez prúdu v hornej, dolnej časti označíme S 1, S 2, veľkosť rýchlosti prúdenia v hornej, dolnej časti v 1, v 2, potom pre vytečený objem vody V za čas t platí: S 1 v 1 = S 2 v 2 = V t. Pre vytekajúcu vodu platí i zákon zachovania energie: E p1 + E k1 = E k2, kde E p1 je potenciálna energia vody vo výške h, E k1, E k2 sú kinetické energie v hornej a dolnej časti prúdu. Platí (g je veľkosť tiažového zrýchlenia): m g h + 1/2 m v 1 2 = 1/2 m v 2 2. Po dosadení za v 2 z rovnice kontinuity a po úprave, dostaneme pre veľkosť tiažového zrýchlenia vzťah:

7 2 V 1 1 g = ht S2 S1 Keď uvážime kruhový prierez prúdu vody s priemerom v hornej časti prúdu d 1 a v dolnej d 2, potom pre veľkosť tiažového zrýchlenia platí vzťah: 2 8V 1 1 g = h π t d2 d1 Na určenie veľkosti tiažového zrýchlenia potrebujeme mať v prvom rade k dispozícii vodovodný kohútik. Vodu pustíme tak, aby tiekla pekným prúdom. Pod kohútik umiestime nádobu, najlepšie odmerný valec a stopkami určujeme čas t, za ktorý do nádoby natečie voda s objemom V. Odmeriame priemer prúdu v hornej časti d 1 a rovnako v dolnej d 2. Výška h zodpovedá vzdialenosti miest, v ktorých sme priemery prúdov merali. Pri meraní sme dostali pre veľkosť tiažového zrýchlenia hodnotu 7,507 ms -2. Je to spôsobené tým, že pri odvádzaní vzťahu pre určenie veľkosti tiažového zrýchlenia sme uvažovali o ideálnom prípade bez odporu prostredia. meranie využitím poznatkov o kruhovom pohybe Pomôcky: hlavolam, stopky Hlavolam pozostáva z dvoch telies, z ktorých je oveľa ťažšie ako druhé (aspoň 10-krát), navzájom spojených špagátom. Na zostrojenie hlavolamu môžeme použiť obaly z kindervajíčok, pričom do jedného vložíme napr. kancelárske spony. Na špagáte je navlečená voľne pohyblivá slamka (cca 15 cm, napr. z malých džúsov). Obr.2 Hlavolam Východzou pozíciou poloha, pri ktorej držíme slamku tak, že ťažšie teleso sa nachádza dole. Úlohou je posunúť ťažšie teleso smerom ku slamke bez dotyku čohokoľvek iného než slamky a bez položenia tohoto telesa na stôl. Riešenie je jednoduché. Roztočením ľahšieho telesa vo vodorovnej rovine okolo slamky začne ťažšie stúpať. Čím väčšia bude uhlová rýchlosť otáčania, tým rýchlejšie bude teleso stúpať. Určite sa nám podarí dosiahnuť takú uhlovú rýchlosť otáčania, pri ktorej sa ťažšie teleso už nebude pohybovať. Pri takomto kruhovom pohybe je dostredivou silou tiažová sila pôsobiaca na ťažšie teleso. Preto platí: F d = F g m 1 g = m 2 ω 2 r

8 m 1 g = m 2 4 π 2 r / T 2. Z čoho g = 4 π 2 m 2 r / (m 1 T 2 ), kde m 1 je hmotnosť ľahšieho telesa, m 2 hmotnosť ťažšieho, r polomer otáčania a T je perióda. Teda tiažové zrýchlenie môžeme určiť, ak budeme tieto hodnoty poznať. Určiť hmotnosti m 1 a m 2 nie je problém. A ako určiť T a r? V momente, keď dosiahneme, že ťažšie teleso ostane stáť, pomocou stopiek určíme dobu trvania 20 otáčok (20 T) a zachytením telesa v tejto polohe môžeme určiť i polomer otáčania r. Pri tomto meraní sme zanedbávali trenie medzi špagátom a slamkou, čo sa prejavilo v pomerne širokom intervale hodnôt tiažového zrýchlenia. Vplyvom trenia bolo totiž pomerne ťažké odhadnúť vhodnú uhlovú rýchlosť. Z pomerne fluktuujúcich hodnôt sme pri meraní získali hodnotu pre veľkosť tiažového zrýchlenia 9,5 ms -2. Použitá literatúra: [1] Koubek, V. a kol.: Školské pokusy z fyziky. SPN, Bratislava 1980

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania 2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

URČENIE MOMENTU ZOTRVAČNOSTI FYZIKÁLNEHO KYVADLA

URČENIE MOMENTU ZOTRVAČNOSTI FYZIKÁLNEHO KYVADLA 54 URČENE MOMENTU ZOTRVAČNOST FYZKÁLNEHO KYVADLA Teoretický úvod: Fyzikálnym kyvadlom rozumieme teleso (napr. dosku, tyč), ktoré vykonáva periodický kmitavý pohyb okolo osi, ktorá neprechádza ťažiskom.

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK

Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I Úloha č.:...viii... Název: Meranie momentu zotrvačnosti kolesa Vypracoval:... Viktor Babjak... stud. sk... F 11.. dne...

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3 ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v

Διαβάστε περισσότερα

Laboratórna práca č.1. Meranie dĺžky telesa. Úloha : Odmerajte priemer a výšku valcového telesa posúvnym meradlom s nóniom

Laboratórna práca č.1. Meranie dĺžky telesa. Úloha : Odmerajte priemer a výšku valcového telesa posúvnym meradlom s nóniom Laboratórna práca č.1 Meranie dĺžky telesa Princíp : Určovanie rozmerov telies, meranie dĺžok môžeme previesť rôznymi spôsobmi a s rôznou presnosťou. V tejto práci sa naučíte používať dve meradlá a určovať

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.2 Vzdelávacia

Διαβάστε περισσότερα

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

Priezvisko: Ročník: Katedra chemickej fyziky. Krúžok: Meno: Dátum cvičenia: Dvojica:

Priezvisko: Ročník: Katedra chemickej fyziky. Krúžok: Meno: Dátum cvičenia: Dvojica: Katedra chemickej fyziky Dátum cvičenia: Ročník: Krúžok: Dvojica: Priezvisko: Meno: Úloha č. 7 URČENIE HUSTOTY KVPLÍN Známka: Teória Tabuľka Výpočet Zaokrúhľovanie Záver Meranie 1. Úlohy: a) Určte hustotu

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

1 Meranie dĺžky posuvným meradlom a mikrometrom Meranie hustoty tuhej látky Meranie veľkosti zrýchlenia priamočiareho pohybu 23

1 Meranie dĺžky posuvným meradlom a mikrometrom Meranie hustoty tuhej látky Meranie veľkosti zrýchlenia priamočiareho pohybu 23 Obsah 1 Laboratórny poriadok 5 2 Meranie fyzikálnych veličín 7 2.1 Metódy merania.............................. 8 2.2 Chyby merania.............................. 9 2.3 Spracovanie nameraných hodnôt.....................

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si

Διαβάστε περισσότερα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.

Διαβάστε περισσότερα

Pevné ložiská. Voľné ložiská

Pevné ložiská. Voľné ložiská SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky

Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický

Διαβάστε περισσότερα

Meranie na jednofázovom transformátore

Meranie na jednofázovom transformátore Fakulta elektrotechniky a informatiky TU v Košiciach Katedra elektrotechniky a mechatroniky Meranie na jednofázovom transformátore Návod na cvičenia z predmetu Elektrotechnika Meno a priezvisko :..........................

Διαβάστε περισσότερα

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv

Διαβάστε περισσότερα

2. Dva hmotné body sa navzájom priťahujú zo vzdialenosti r silou 12 N. Akou silou sa budú priťahovať zo vzdialenosti r/2? [48 N]

2. Dva hmotné body sa navzájom priťahujú zo vzdialenosti r silou 12 N. Akou silou sa budú priťahovať zo vzdialenosti r/2? [48 N] Gravitačné pole 1. Akou veľkou silou sa navzájom priťahujú dve homogénne olovené gule s priemerom 1 m, ktoré sa navzájom dotýkajú? Hustota olova je 11,3 g cm 3. [2,33 mn] 2. Dva hmotné body sa navzájom

Διαβάστε περισσότερα

Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom

Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom Demonštračný modul Úlohy. Zostavte matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom 2. Vytvorte simulačný model robota v simulačnom

Διαβάστε περισσότερα

MOSTÍKOVÁ METÓDA 1.ÚLOHA: 2.OPIS MERANÉHO PREDMETU: 3.TEORETICKÝ ROZBOR: 4.SCHÉMA ZAPOJENIA:

MOSTÍKOVÁ METÓDA 1.ÚLOHA: 2.OPIS MERANÉHO PREDMETU: 3.TEORETICKÝ ROZBOR: 4.SCHÉMA ZAPOJENIA: 1.ÚLOHA: MOSTÍKOVÁ METÓDA a, Odmerajte odpory predložených rezistorou pomocou Wheastonovho mostíka. b, Odmerajte odpory predložených rezistorou pomocou Mostíka ICOMET. c, Odmerajte odpory predložených

Διαβάστε περισσότερα

Kmitavý pohyb telesa zaveseného na pružine (Aktivity súvisiace s kmitaním uskutočnené pomocou programu Coach 6) Michal Kriško FMFI UK

Kmitavý pohyb telesa zaveseného na pružine (Aktivity súvisiace s kmitaním uskutočnené pomocou programu Coach 6) Michal Kriško FMFI UK Názov projektu: CIV Centrum Internetového vzdelávania FMFI Číslo projektu: SOP ĽZ 2005/1-046 ITMS: 11230100112 Kmitavý pohyb telesa zaveseného na pružine (Aktivity súvisiace s kmitaním uskutočnené pomocou

Διαβάστε περισσότερα

GYMNÁZIUM V ŽILINE, HLINSKÁ 29 ALTERNATÍVNA ZBIERKA ÚLOH Z FYZIKY PRE 1. ROČNÍK. Spracovali: Mgr. Andrea Bednárová, PhD., Mgr.

GYMNÁZIUM V ŽILINE, HLINSKÁ 29 ALTERNATÍVNA ZBIERKA ÚLOH Z FYZIKY PRE 1. ROČNÍK. Spracovali: Mgr. Andrea Bednárová, PhD., Mgr. GYMNÁZIUM V ŽILINE, HLINSKÁ 29 ALTERNATÍVNA ZBIERKA ÚLOH Z FYZIKY PRE 1. ROČNÍK Spracovali: Mgr. Andrea Bednárová, PhD., Mgr. Zuzana Durná 27 Milá študentka, milý študent. Dostáva sa Vám do rúk Alternatívna

Διαβάστε περισσότερα

Integrovanie racionálnych funkcií

Integrovanie racionálnych funkcií Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie

Διαβάστε περισσότερα

4 Dynamika hmotného bodu

4 Dynamika hmotného bodu 61 4 Dynamika hmotného bodu V predchádzajúcej kapitole - kinematike hmotného bodu sme sa zaoberali pohybom a pokojom telies, čiže formou pohybu. Neriešili sme príčiny vzniku pohybu hmotného bodu. A práve

Διαβάστε περισσότερα

DOMÁCE ZADANIE 1 - PRÍKLAD č. 2

DOMÁCE ZADANIE 1 - PRÍKLAD č. 2 Mechanizmy s konštantným prevodom DOMÁCE ZADANIE - PRÍKLAD č. Príklad.: Na obrázku. je zobrazená schéma prevodového mechanizmu tvoreného čelnými a kužeľovými ozubenými kolesami. Určte prevod p a uhlovú

Διαβάστε περισσότερα

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh 16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a ) Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

ZBIERKA ÚLOH Z FYZIKY PRE 3. ROČNÍK

ZBIERKA ÚLOH Z FYZIKY PRE 3. ROČNÍK Kód ITMS projektu: 26110130519 Gymnázium Pavla Jozefa Šafárika moderná škola tretieho tisícročia ZBIERKA ÚLOH Z FYZIKY PRE 3. ROČNÍK (zbierka úloh) Vzdelávacia oblasť: Predmet: Ročník: Vypracoval: Človek

Διαβάστε περισσότερα

Model redistribúcie krvi

Model redistribúcie krvi .xlsx/pracovný postup Cieľ: Vyhodnoťte redistribúciu krvi na začiatku cirkulačného šoku pomocou modelu založeného na analógii s elektrickým obvodom. Úlohy: 1. Simulujte redistribúciu krvi v ľudskom tele

Διαβάστε περισσότερα

DVE ÚROVNE VYUČOVANIA FYZIKY NA STREDNEJ ŠKOLE ENERGIA ROTAČNÉHO POHYBU

DVE ÚROVNE VYUČOVANIA FYZIKY NA STREDNEJ ŠKOLE ENERGIA ROTAČNÉHO POHYBU vorivý učiteľ fyziky III, Smolenice 4. - 7. máj 010 DVE ÚROVNE VYUČOVANIA FYZIKY NA SREDNEJ ŠKOLE ENERGIA ROAČNÉHO POHYBU Peter Horváth Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK Bratislava Abstrakt:

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI

ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI 1. Zadanie: Určiť odchýlku kolmosti a priamosti meracej prizmy prípadne vzorovej súčiastky. 2. Cieľ merania: Naučiť sa merať na špecializovaných

Διαβάστε περισσότερα

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

Úloha 3.7 Teleso hmotnosti 2 kg sa pohybuje pozdĺž osi x tak, že jeho dráha je vyjadrená rovnicou

Úloha 3.7 Teleso hmotnosti 2 kg sa pohybuje pozdĺž osi x tak, že jeho dráha je vyjadrená rovnicou 3 Dynamika Newtonove pohybové zákony Úloha 3.1 Teleso tvaru kvádra leží na horizontálnej doske stola. Na jeho prednej stene sú pripevnené dve lanká v strede steny. Lanká napneme tak, že prvé zviera s čelnou

Διαβάστε περισσότερα

Príklady z Fyziky týždeň

Príklady z Fyziky týždeň Príklady z Fyziky 1 1. týždeň 1. Uvažujme vektory A = 3i + 3j, B = i j, C = 2i + 5j umiestnené v jednej rovine. Prepíšte vektory do súradnicového tvaru a graficky ich znázornite a graficky ich spočítajte.

Διαβάστε περισσότερα

Ročník: šiesty. 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích hodín

Ročník: šiesty. 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích hodín OKTÓBER SEPTEMBER Skúmanie vlastností kvapalín,, tuhých látok a Mesiac Hodina Tematic ký celok Prierezo vé témy Poznám ky Rozpis učiva predmetu: Fyzika Ročník: šiesty 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

6. V stene suda naplneného vodou je v hĺbke 1 m pod hladinou otvor veľkosti 5 cm 2. Aká veľká tlaková sila pôsobí na zátku v otvore?

6. V stene suda naplneného vodou je v hĺbke 1 m pod hladinou otvor veľkosti 5 cm 2. Aká veľká tlaková sila pôsobí na zátku v otvore? Mechanika tekutín 1. Aká je veľkosť tlakovej sily na kruhový poklop ponorky s priemerom 1 m v hĺbke 50 m? Hustota morskej vody je 1,025 g cm 3. [402 kn] 2. Obsah malého piesta hydraulického zariadenia

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE. Chemickotechnologická fakulta. Doc. RNDr. Viliam Laurinc, CSc. a kolektív FYZIKA I

SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE. Chemickotechnologická fakulta. Doc. RNDr. Viliam Laurinc, CSc. a kolektív FYZIKA I SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE Chemickotechnologická fakulta Doc. RNDr. Viliam Laurinc, CSc. a kolektív FYZIKA I Zbierka príkladov a problémov Predslov Cieľom výpočtových cvičení z fyziky

Διαβάστε περισσότερα

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008) ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály

Διαβάστε περισσότερα

5 Trecie sily. 5.1 Šmykové trenie

5 Trecie sily. 5.1 Šmykové trenie 79 5 Trecie sily S trením sa stretávame doslova na každom kroku. Bez trenia by nebola možná naša chôdza, pohyb auta či bicykla, nemohli by sme písať perom, prípadne ho držať v ruke. Skrutky by nespĺňali

Διαβάστε περισσότερα

6 Gravitačné pole. 6.1 Keplerove zákony

6 Gravitačné pole. 6.1 Keplerove zákony 89 6 Gravitačné pole Pojem pole patrí k najzákladnejším pojmom fyziky. Predstavuje formu interakcie (tzv. silového pôsobenia) v prostredí medzi materiálnymi objektmi ako sú častice, atómy, molekuly a zložitejšie

Διαβάστε περισσότερα

Tematický výchovno - vzdelávací plán

Tematický výchovno - vzdelávací plán Tematický výchovno - vzdelávací plán Stupeň vzdelania: ISCED 2 Vzdelávacia oblasť: Človek a príroda Predmet: Fyzika Školský rok: 2016/2017 Trieda: VI.A, VI.B Spracovala : RNDr. Réka Kosztyuová Učebný materiál:

Διαβάστε περισσότερα

A) práca, mechanická energia

A) práca, mechanická energia A) práca, mechanická energia (MMF, s. 95) 1. Vypočítajte prácu, ktorú vykoná sila pri urýchlení telesa z 0 na rýchlosť v. Uvažujte nasledovné sily: 1 a) F konšt. mv 1 b) F k.t mv 1 c) F F 0 + k.x mv (MMF,

Διαβάστε περισσότερα

RIEŠENIA 3 ČASŤ

RIEŠENIA 3 ČASŤ RIEŠENIA 3 ČASŤ - 2009-10 1. PRÁCA RAKETY Raketa s hmotnosťou 1000 kg vystúpila do výšky 2000 m nad povrch Zeme. Vypočítajte prácu, ktorú vykonali raketové motory, keď predpokladáme pohyb rakety v homogénnom

Διαβάστε περισσότερα

Metódy vol nej optimalizácie

Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných

Διαβάστε περισσότερα

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.5. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.5. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.5 Vzdelávacia

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

Zložené funkcie a substitúcia

Zložené funkcie a substitúcia 3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka

Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Ak máme nepravidelný mnohouholník, tak skúsime ho rozdeliť na útvary, ktorým vieme vypočítať obsah z daných údajov najvšeobecnejší spôsob: rozdeliť

Διαβάστε περισσότερα

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.7. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.7. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.7 Vzdelávacia

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

Fyzika. Úvodný kurz pre poslucháčov prvého ročníka bakalárskych programov v rámci odboru geológie. 3. prednáška energia, práca, výkon

Fyzika. Úvodný kurz pre poslucháčov prvého ročníka bakalárskych programov v rámci odboru geológie. 3. prednáška energia, práca, výkon Fyzika Úvodný kurz pre poslucháčov prvého ročníka bakalárskych programov v rámci odboru geológie 3. prednáška energia, práca, výkon V súvislosti s gravitačným poľom (minulá prednáška) môžeme uvažovať napr.

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK

Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II Úloha č.:...xviii... Název: Prechodové javy v RLC obvode Vypracoval:... Viktor Babjak... stud. sk... F.. dne... 6.. 005

Διαβάστε περισσότερα

Fyzikálna olympiáda. 52. ročník. školský rok 2010/2011. Kategória D. Úlohy školského kola

Fyzikálna olympiáda. 52. ročník. školský rok 2010/2011. Kategória D. Úlohy školského kola Fyzikálna olympiáda 52. ročník školský rok 2010/2011 Kategória D Úlohy školského kola (ďalšie informácie na http://fpv.utc.sk/fo a www.olympiady.sk) Odporúčané študijné témy pre kategóriu D 52. ročníka

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies. ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,

Διαβάστε περισσότερα

Mocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník

Mocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5

Διαβάστε περισσότερα

9 Mechanika kvapalín. 9.1 Tlak v kvapalinách a plynoch

9 Mechanika kvapalín. 9.1 Tlak v kvapalinách a plynoch 137 9 Mechanika kvapalín V predchádzajúcich kapitolách sme sa zaoberali mechanikou pevných telies, telies pevného skupenstva. V nasledujúcich kapitolách sa budeme zaoberať mechanikou kvapalín a plynov.

Διαβάστε περισσότερα

STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY

STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =

Διαβάστε περισσότερα

Kinematika hmotného bodu

Kinematika hmotného bodu Kinematika hmotného bodu 1. Automobil potrebuje na vykonanie cesty dlhej 120 km spolu s 15-minútovou prestávkou celkove 2h 40 min. Časť cesty išiel rýchlosťou v 1 = 40 km/h a časť rýchlosťou v 2 = 60 km/h.

Διαβάστε περισσότερα

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový

Διαβάστε περισσότερα

1. Určenie tiažového zrýchlenia reverzným kyvadlom

1. Určenie tiažového zrýchlenia reverzným kyvadlom 1. Určenie tiažového zrýchlenia reverzným kyvalom Autor pôvoného textu: ozef Lasz Úloha: V mieste fyzikálneho laboratória experimentálne určiť veľkosť tiažového zrýchlenia Teoretický úvo Kažé teleso upevnené

Διαβάστε περισσότερα

FYZIKÁLNA OLYMPIÁDA. 53. ročník, 2011/2012 školské kolo kategória C zadanie úloh

FYZIKÁLNA OLYMPIÁDA. 53. ročník, 2011/2012 školské kolo kategória C zadanie úloh FYZIKÁLNA OLYMPIÁDA 53. ročník, 011/01 školské kolo kategória C zadanie úloh 1. Posed Deti sa rozhodli, že si urobia k posedu v korune stromu výťah potravín. Cez pevnú kladku na posede bolo prevesené silné,

Διαβάστε περισσότερα

Povrch a objem zrezaného ihlana

Povrch a objem zrezaného ihlana Povrch a objem zrezaného ihlana Ak je daný jeden ihlan a zobereme rovinu rovnobežnú s postavou, prechádzajúcu ihlanom, potom táto rovina rozdelí teleso na dve telesá. Jedno teleso je ihlan (pôvodný zmenšený

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27

Διαβάστε περισσότερα

SKUPINOVÁ PRÁCA ŽIAKOV GYMNÁZIA, VEDENIE ŽIAKOV K TAKEJTO PRÁCI PROSTREDNÍCTVOM METODICKÝCH MATERIÁLOV

SKUPINOVÁ PRÁCA ŽIAKOV GYMNÁZIA, VEDENIE ŽIAKOV K TAKEJTO PRÁCI PROSTREDNÍCTVOM METODICKÝCH MATERIÁLOV SKUPINOVÁ PRÁCA ŽIAKOV GYMNÁZIA, VEDENIE ŽIAKOV K TAKEJTO PRÁCI PROSTREDNÍCTVOM METODICKÝCH MATERIÁLOV Bianka Gergeľová, Klára Velmovská Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK v Bratislave

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky z hydrostatiky a hydrodynamiky

Kontrolné otázky z hydrostatiky a hydrodynamiky Verzia zo dňa 28. 10. 2008. Kontrolné otázky z hydrostatiky a hydrodynamiky Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte

Διαβάστε περισσότερα