Emilija Krempuš. Osnovne planimetrijske konstrukcije. Priročnik
|
|
- Ευμελια Αγγελίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Emilija Krempuš Osnovne planimetrijske konstrukcije Priročnik
2 2 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE Osnovne planimetrijske konstrukcije Priročnik Priročnik Osnovne planimetrijske konstrukcije je nastal s finančno pomočjo Evropskega socialnega sklada. Avtorica: Emilija Krempuš, univ. dipl. inž. arh. Sodelovala: Meta Petriček, univ. dipl. inž. arh. Rokopis so pregledali: Maja Capuder, univ. dipl. inž. arh. Smiljan Čujež, prof. matematike Lektorirala: Metka Fendre, prof. slovenščine in angleščine Računalniška obdelava: program ArchiCAD in program Word Oblikovanje in grafična priprava: Designpro, d. o. o. Ljubljana, 26
3 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 3 KAZALO UVOD ČRTE IN KOTI Risanje planimetrijskih konstrukcij s pomočjo dveh trikotnikov Risanje vzporednice in pravokotnice s pomočjo dveh trikotnikov Risanje črt s pomočjo priložnega ravnila in trikotnika Črte Risanje vzporednice dani premici skozi dano zunanjo točko Risanje premice skozi dano točko in nedostopno presečišče dveh danih premic Risanje premice dana točka je med premicama Risanje premice dana točka je zunaj premic Simetrala daljice 1. način Simetrala daljice 2. način Delitev daljice na 2, 4, 8, 16 enakih delov Delitev daljice na n enakih delov Delitev daljice v razmerju m : n 1. način Delitev daljice v razmerju m : n 2. način Zlati rez Podaljšanje daljice v zlatem rezu Zlati pravokotnik Formatiranje listov po DIN-u Pravokotnica na premico v dani točki na premici 1. način Pravokotnica na premico v dani točki na premici 2. način Pravokotnica na premico v dani točki na premici 3. način Pravokotnica na premico skozi dano zunanjo točko Kot Načrtovanje kota Delitev pravega kota na tretjine Prenos kota risanje danemu kotu skladnega kota Delitev kota na enake dele Simetrala kota 1. način Delitev kota na 4, 8, enakih delov 1. način Simetrala kota 2. način Določitev četrtine, osmine, šestnajstine... danega kota 2. način Delitev kota na tretjine s papirnim trakom Metode za delitev kota na poljubno število enakih delov Približna konstrukcija delitve ostrega kota na liho število enakih delov Delitev ostrega kota na 3 enake dele Delitev ostrega kota na 5 enakih delov Približna konstrukcija delitve topega kota na liho število enakih delov Delitev topega kota na 3 enake dele Delitev topega kota na 5 enakih delov
4 4 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 2 KROG, KROŽNICA IN KROŽNI LOK Krog, krožnica in krožni lok Elementi kroga Deli kroga Središčni in obodni kot Kot v polkrogu, Talesov izrek Risanje krožnega loka z danim polmerom skozi dani točki Označevanje središča kroga in krožnega loka Določanje središča danega krožnega loka Risanje krožnega loka skozi tri dane točke Tangenta na krožnico v dani točki krožnice Tangenti na krožnico iz dane zunanje točke Zravnanje polovice krožnice z danim polmerom (A. Kochansky) Določanje središča in dotikališč dane krožnice z danima tangentama Krožni prehod v ostrem kotu Krožni prehod v topem kotu Izbočeni krožni prehod v pravem kotu Vbočeni krožni prehod v poljubnem kotu Zunanji tangenti na krožnici z različnima polmeroma Notranji tangenti na krožnici z različnima polmeroma Trikotniku očrtani krog Določanje središča včrtanemu krogu, ki se dotika treh danih tangent Trikotniku včrtani krog Pravokotniku očrtani krog Kvadratu očrtani in včrtani krog Rombu včrtani krog Deltoidu včrtani krog Pravilnemu mnogokotniku očrtani in včrtani krog TRIKOTNIKI Načrtovanje trikotnika, če so dane tri stranice (sss) Načrtovanje trikotnika, če sta dani stranici in kot med njima (sks) Načrtovanje trikotnika, če sta dana stranica in njej priležna kota (ksk) Načrtovanje trikotnika, če sta dani stranici in kot, ki leži daljši stranici nasproti (SsK) Dani sta stranici in ostri kot, ki leži daljši stranici nasproti (SsK) Dani sta stranici in topi kot, ki leži daljši stranici nasproti (SsK) Načrtovanje trikotnika, če sta dani stranici in kot, ki leži krajši stranici nasproti (Ssk) osnovni postopek Možnost 1: V trikotniku je dolžina stranice a krajša od dolžine v c Možnost 2: V trikotniku je dolžina stranice a enaka dolžini v c Možnost 3: V trikotniku je dolžina stranice a večja od dolžine v c... 51
5 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 5 4 PRAVILNI MNOGOKOTNIK V OČRTANEM KROGU Načrtovanje pravilnih mnogokotnikov Enačbe za izračun elementov v pravilnem mnogokotniku Enakostranični trikotnik Pravilni šestkotnik Kvadrat Pravilni dvanajstkotnik Pravilni petkotnik in pravilni desetkotnik osnovni postopek Pravilni petkotnik Pravilni desetkotnik Pravilni osemkotnik v očrtanem krogu Pravilni osemkotnik v očrtanem kvadratu Približna konstrukcija pravilnega sedemkotnika Približna konstrukcija pravilnega devetkotnika Približna konstrukcija pravilnega enajstkotnika Približna konstrukcija pravilnega mnogokotnika v očrtanem krogu splošni način Pravilni 2n-kotnik Pravilni petnajstkotnik Pravilni sedemnajstkotnik Pravilni enainpetdesetkotnik Pravilni petinosemdesetkotnik PRAVILNI MNOGOKOTNIK Z ZNANO STRANICO Enakostranični trikotnik Kvadrat Pravilni petkotnik Pravilni šestkotnik Približna konstrukcija pravilnega petkotnika splošni način Približna konstrukcija pravilnega mnogokotnika, če je število stranic večje od 6 splošni način Konstrukcija pravilnega mnogokotnika z znano stranico z upoštevanjem pravil podobnosti splošni način ELIPSA Oznake pri elipsi Načrtovanje elipse po definiciji Načrtovanje elipse na osnovi»vrtnarske metode« Načrtovanje elipse s pomočjo velike in male krožnice Načrtovanje elipse s temenskimi pritisnjenimi krožnimi loki Načrtovanje elipse s papirnim trakom Elipsa je dana s konjugiranima premeroma Določanje osi elipse, če sta znana konjugirana premera (Rytzova metoda) Tangenta in normala na elipso v dani točki elipse Tangenti na elipso iz dane zunanje točke
6 6 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 7 OVALNE KRIVULJE Oval HIPERBOLA Oznake pri hiperboli Načrtovanje hiperbole po definiciji Tangenta in normala na hiperbolo v dani točki hiperbole Tangenti na hiperbolo iz dane zunanje točke PARABOLA Oznake pri paraboli Načrtovanje parabole po definiciji Parabola je dana z dvema tangentama in njunima dotikališčema na paraboli Parabola je dana s temensko tangento in z goriščem Parabola je dana s konjugiranim premerom in tetivo Tangenta in normala na parabolo v dani točki parabole Tangenti na parabolo iz dane zunanje točke LOKI V STAVBARSTVU Oblike lokov Oblike lokov Oblike lokov Oblike lokov Dvigajoči lok Eliptični lok Košarasti lok 1. način konstrukcije Košarasti lok 2. način konstrukcije VIRI IN LITERATURA
7 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 7 UVOD Pred vami je priročnik, v katerem boste našli napotke za ročno risanje osnovnih planimetrijskih konstrukcij, risanih z ravnilom in s šestilom. S pomočjo vsebin, ki jih prinaša, boste pridobili ali obnovili znanje pravilnega izražanja konstruktivnih zamisli s tehničnimi risbami. Priročnik je namenjen dijakom srednjih poklicnih in strokovnih šol, tehniških gimnazij, študentom višjih šol tehniške smeri ter kandidatom pri pripravljanju na delovodske in mojstrske izpite. Pri svojem nadaljnjem poklicnem usposabljanju ga bodo lahko uporabljali zaposleni kot tudi tisti, ki želijo le obnoviti znanje načrtovanja planimetrijskih konstrukcij. Namen priročnika je pomagati uporabniku poiskati metode, ki mu bodo omogočile reševanje grafičnih problemov in risanje zahtevnejših tehničnih risarskih kompozicij v praksi, dijakom pa bo v pomoč pri predmetih, kot so opisna geometrija, tehnično risanje, visoke zgradbe, inženirske zgradbe in praktični pouk. Vsebina je razdeljena na deset poglavij. V prvem in drugem poglavju so predstavljene osnovne planimetrijske konstrukcije, risane na osnovi ravnih črt, krogov in krožnih lokov. V tretjem poglavju so opisane konstrukcije trikotnikov z znanimi podatki o stranicah in kotih trikotnika. V četrtem in petem poglavju so prikazane konstrukcije pravilnih mnogokotnikov v očrtanem krogu in pravilnih mnogokotnikov z znano stranico. V naslednjih štirih poglavjih so predstavljene osnovne konstrukcije elipse, ovala, hiperbole in parabole. V desetem, zadnjem poglavju, pa so zbrane konstrukcije lokov v stavbarstvu. Posamezne konstrukcije so po poglavjih oštevilčene in ustrezno naslovljene. Vsaka je podana s sliko in z opisom načina njene izdelave. Na sliki je končna rešitev poudarjena z močnejšimi črtami, pomožne konstrukcije pa so narisane s tanjšimi. V opisu slike so pomembnejši pojmi in delovni postopki poudarjeni ali izpisani v poševnem tisku. Uporabnikom želim veliko uspeha pri uporabi pričujoče knjige, saj sem njeno vsebino zbrala in uredila na podlagi izkušenj pri delu v izobraževanju in v praksi. Za sodelovanje pri izdelavi priročnika se zahvaljujem gospe Meti Petriček, univ. dipl. inž. arh., ter recenzentoma gospe Maji Capuder, univ. dipl. inž. arh., in gospodu Smiljanu Čuježu, prof. matematike. Gospe Ireni Posavec, univ. dipl. inž. grad., se zahvaljujem za svetovanje pri oblikovanju vsebine, gospodoma Smiljanu Čuježu, prof. matematike, in Igorju Kastelicu, dipl. inž. grad., pa za svetovanje pri računalniški obdelavi podatkov. Vse dobronamerne kritike in pripombe za izboljšanje vsebine bodo dobrodošle. Emilija Krempuš Ljubljana, 25
8 8 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE
9 1 ČRTE IN KOTI 1 ČRTE IN KOTI %ÿ&'()*%+,)-.%ÿ.+,/.)-%ÿ ÿÿ2,+%ÿ)ÿ.+)ÿÿ Risanje planimetrijskih konstrukcij s pomočjo dveh trikotnikov Planimetrijske konstrukcije in tudi tehnične risbe, ki jih rišemo s pomočjo šestila 141ÿ,56789:ÿ;<785=:>?596@5Aÿ@B86>?C@D59ÿ6ÿ;B=BE9BÿFG:Aÿ>?5@B>85@BG in ravnila, lahko v praksi rišemo tudi s pomočjo šestila in dveh tipskih trikotnikov. En trikotnik je enakokraki pravokotni trikotnik (kota ob hipotenuzi merita po 45 ), drugi pa je raznostranični pravokotni trikotnik (kota ob hipotenuzi merita 3 in 6 ). Nekatere konstrukcije je na ta način mogoče narisati enostavno in hitreje. Z omenjenima trikotnikoma lahko narišemo kote 3, 45, 6 in 9 tudi brez uporabe šestila. Risanje tehničnih risb bomo še poenostavili, če bomo risali z risalnimi orodji ob priložnem ravnilu na risalni deski ali če bomo uporabljali tipske risalne mize. AB> <=> %& FB> <=> %& CB> AB> ' ' CB> I%,ÿJKÿ9,-,),ÿ6)7-,-('ÿ ()*+,ÿ-.ÿ>1,+7+8,+*ÿ68,47+7;1*ÿ ()%,-(%, ;8*+7;1*+ I%,ÿLK I%,ÿJKÿG;-+()%2'ÿ6)7-,-(' ()*+,ÿ<. /,517;8,1*=1*ÿ68,47+7;1*ÿÿÿ ;8*+7;1*+ ()%,-(%, Risanje vzporednice in pravokotnice s pomočjo dveh trikotnikov 14141ÿ,56789:ÿGH;B?:F85D:ÿ58ÿ;?7GB@B>85D:ÿ6ÿ;B=BE9BÿFG:Aÿ>?5@B>85@BG 6)7-,-(%/ )) )) ) ) ))) 68,47+7;1*:, )) 7;6-)'%/ ))) ))) ) )) *:, ))) ) I%,ÿJKÿG%+*'ÿ7;6-)'%/' I%,ÿLK G%+*'ÿ6)7-,-(%/' ()*+,ÿ-.ÿ/*,123ÿ *:3 ()*+,ÿ<. /*,123ÿ68,47+7;1*:3
10 1 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE Risanje črt s pomočjo priložnega ravnila in trikotnika )%+ÿ'+, FB> )%+ÿ'+, FB> JA=> 6)%-H-ÿ)7%- <=> 6)%-H-ÿ)7%-
11 1 ČRTE IN KOTI Črte / +123/ 5 7 %&,/. :/&'23/ Premica je neomejena ravna črta. Poltrak je enostransko omejena ravna črta. Poltraku včasih rečemo tudi žarek (npr. v opisni geometriji). Daljica je obojestransko omejena ravna črta. Premica (A, B) je nosilka daljice AB. AB Med navpičnima črticama označujemo absolutno vrednost dolžine daljice AB. 1.3 Risanje vzporednice dani premici skozi dano zunanjo točko 8%+:*23/ / 3 / Dana točka T leži izven dane premice p. Iz poljubne točke A na premici p narišemo krožni lok s polmerom r skozi točko T. Krožni lok seka premico p v točki B. Iz točk B in T narišemo krožna loka z istim polmerom r. Krožna loka se sekata v točki C. Premica p 1, ki jo narišemo skozi točki T in C, je vzporedna dani premici p.
12 12 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 1.4 Risanje premice skozi dano točko in nedostopno presečišče dveh danih premic Dana točka T leži zunaj danih premic p in q. Skozi dano točko T narišemo pravokotnico na eno izmed danih premic (tukaj na premico p) in določimo presečišče B te pravokotnice z drugo dano premico q. Nato narišemo pravokotnico skozi dano točko T še na drugo dano premico (tukaj na premico q) in določimo presečišče A te pravokotnice s prvo dano premico p. Skozi presečišči A in B narišemo premico u. Pravokotnica na premico u, ki jo narišemo skozi dano točko T, je usmerjena točno v nedosegljivo presečišče premic p in q Risanje premice dana točka je med premicama / BCD 1 BCD BCD = ; Risanje premice dana točka je zunaj premic / BCD BCD = BCD ; 1
13 1 ČRTE IN KOTI Simetrala daljice 1. način 621+,/&/ BCD /FG ) /FG N EFG EFG Dana je daljica a s krajiščema A in B. Iz krajišč A in B daljice narišemo krožna loka z istim polmerom r, ki je večji od polovice dolžine daljice AB, in določimo njuni presečišči C in D. Premica skozi točki C in D je simetrala daljice a. Simetrala razpolavlja daljico AB v točki E in oklepa z njo pravi kot Simetrala daljice 2. način N 621+,/&/ 3 > BCD /FG ) /FG EFG EFG Dana je daljica a s krajiščema A in B. Iz krajišč A in B daljice narišemo krožna loka s polmerom r 1, ki je večji od polovice dolžine daljice AB, in določimo njuno presečišče C. Nato narišemo še krožna loka s polmerom r 2, ki je večji od r 1, in določimo njuno presečišče D. Premica skozi točki C in D je simetrala daljice a. Simetrala razpolavlja daljico AB v točki E in oklepa z njo pravi kot.
14 14 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 1.6 Delitev daljice na 2, 4, 8, 16 enakih delov 2 G 2 E 2 K EFL EFL EFL EFL Dana je daljica AB. Narišemo simetralo daljice AB, da dobimo točko M 1, ki razpolavlja daljico AB. Nato narišemo simetrali daljic AM 1 in M 1 B, da dobimo točki M 2 in M 3. Tako razdelimo daljico AB na 4 enake dele. Če postopek ponavljamo, razdelimo daljico AB na 8, 16 enakih delov. 1.7 Delitev daljice na n enakih delov ÿ ( I-? I- I<? I< I'? I' I%? I% I ÿ 67)2AB17ÿC;34*)7ÿ93)74ÿ 31,+3ÿ97)D*13ÿÿ ÿÿÿÿ 1,ÿ67E7D13Eÿ67);8,+A 1 M N J Oÿ444 ( I - I < I ' I % I -@& -@& -@& -@& -@& Dana je daljica AB. V enem izmed krajišč daljice AB (npr. v krajišču A) narišemo pomožni poltrak v poljubni smeri. Na poltrak s šestilom nanesemo od izbranega krajišča A toliko delov enake dolžine, na kolikor delov želimo razdeliti daljico AB (npr. 5 delov). Zadnjo delilno točko na pomožnem poltraku (točko 5) zvežemo s še prostim krajiščem B daljice AB, da dobimo zveznico točk 5 in B. Iz ostalih delišč na pomožnem poltraku (iz točk 4, 3, 2 in 1) narišemo pomožne vzporednice zveznici točk 5 in B. Vzporednice sekajo daljico AB v točkah B 1, B 2, B 3 in B 4 in jo delijo na zahtevano število enakih delov (tukaj je daljica AB razdeljena na 5 enakih delov).
15 1 ČRTE IN KOTI Delitev daljice v razmerju m : n 1. način <@& '@& ( I 1 I<ÿJÿ % HÿKÿI'ÿJÿ%H <F% 'F % % % M N % J % O G5B8,1* 7ÿ93)*ÿ31,+3ÿ 97)D*13 %& Dano daljico AB moramo razdeliti v razmerju m : n = 2 : 3. V enem izmed krajišč daljice AB (npr. v krajišču A) narišemo pomožni poltrak v poljubni smeri. Na poltrak s šestilom nanesemo od izbranega krajišča A toliko delov enake dolžine, kot znaša vsota števil obeh vrednosti iz danega razmerja (m + n = = 5). Zadnjo delilno točko na pomožnem poltraku (točko 5) zvežemo s še prostim krajiščem B daljice AB, da dobimo zveznico točk 5 in B. Pomožna vzporednica zveznici točk 5 in B iz točke 2 na pomožnem poltraku seka daljico AB v točki C in jo razdeli v razmerju AC : CB = 2 : 3. Na enak način razdelimo daljico v razmerju, izraženem v odstotkih (npr. daljico AB razdelimo v razmerju 4 % : 6 %), pri čemer izberemo za odstotek primerno, velikosti risbe prilagojeno merilo.
16 16 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE %ÿ>=I;> Delitev daljice v razmerju m : n 2. način EFI EFI EFI EFI EFI GFI KFI <Gÿÿÿÿÿÿÿÿÿ>ÿÿ D )ÿÿ E7PCCC ) ) & ; 6 6 ) ) ) : & <Kÿÿÿÿÿÿÿÿÿ>ÿÿ D )ÿÿ )/*2 6%ÿ:+&2ÿ+*/.+ÿ :%&52*+ ). - Dano daljico AB moramo razdeliti v razmerju m : n = 2 : 3. Iz krajišč daljice AB narišemo nasprotno usmerjena in vzporedna poltraka. V skladu z danim razmerjem nanesemo od krajišča A na poltrak u dva dela enake dolžine, od krajišča B pa nanesemo na poltrak v tri prav take dele. Zveznica točke 2 s točko 3 na obeh poltrakih seka daljico AB v točki C in jo deli v razmerju AC : CB = 2 : 3. Na enak način razdelimo daljico v razmerju, izraženem v odstotkih (npr. daljico AB razdelimo v razmerju 4 % : 6 %), pri čemer izberemo za odstotek primerno, velikosti risbe prilagojeno merilo.
17 1 ČRTE IN KOTI Zlati rez Zlati rez je geometrijska delitev daljice na dva dela tako, da je razmerje celotne dolžine daljice proti daljšemu delu daljice enako razmerju med daljšim in krajšim delom te daljice. Predmeti, ki so proporcionirani v zlatem rezu, imajo lepe in harmonične oblike. To so izkoristili mnogi arhitekti, slikarji in drugi umetniki, ki so uporabili zlati rez za proporcioniranje arhitektonskih, slikarskih in drugih umetniških stvaritev Delitev daljice v zlatem rezu ÿ % & >ÿ & &% ÿφ ÿ ÿφ ÿÿ%ÿ &'() ÿ ÿφ.+,ÿ- Dana je daljica AB. V krajišču B narišemo pravokotnico in nanjo nanesemo polovico dolžine daljice AB, da dobimo presečišče C. Točki A in C zvežemo z daljico AC. Iz presečišča C narišemo krožni lok skozi točko B, da dobimo presečišče D na daljici AC. Dolžino daljice AD prenesemo na daljico AB, da dobimo točko T, ki deli daljico AB v zlatem rezu Podaljšanje daljice v zlatem rezu ( &ÿ> % D2 JKL & % % ' %ÿÿd2 ÿ ÿ ÿ ÿ ÿφ ÿ * ÿφ ÿÿ%ÿ &'() )* ÿφ *+,ÿ- &ÿ> &ÿ> JKL ) Dana je daljica EF. Narišemo simetralo daljice EF, da dobimo razpolovišče N. V točki F narišemo pravokotnico in nanjo nanesemo dolžino daljice EF. Iz razpolovišča N narišemo krožni lok skozi točko M do premice, ki je nosilka daljice EF, da dobimo presečišče R. Tako dobimo daljico ER, ki jo točka F deli v zlatem rezu.
18 18 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE Zlati trikotnik Zlati trikotnik je enakokraki trikotnik, v katerem sta dolžini kraka b in osnovnice a v razmerju zlatega reza (slika 1.9.3). Konstrukciji kraka b in osnovnice a sta opisani pod točko in V pravilnem petkotniku sta dolžina diagonale in dolžina stranice v razmerju zlatega reza. Stranica pravilnega petkotnika in njegovi diagonali, ki izhajata iz oglišč stranice, tvorijo zlati trikotnik. V pravilnem desetkotniku sta dolžina polmera očrtanega kroga in dolžina stranice v razmerju zlatega reza. Stranica pravilnega desetkotnika in polmera očrtanega kroga, ki izhajata iz oglišč stranice, tvorijo zlati trikotnik Zlati pravokotnik V zlatem pravokotniku sta dolžini stranice b in stranice a v razmerju zlatega reza (slika 1.9.4). Po mnenju mnogih strokovnjakov je oblika zlatega pravokotnika»najlepša«med oblikami pravokotnikov. Konstrukciji stranice b in a sta opisani pod točko in Tÿ& RÿΦ TÿE ) U F ÿφ Rÿ<EÿSÿ I>FG ÿφ E7PEOÿQ N 2 + F F EBKÿJ&/,2,2.%,*2. EBLÿJ&/,2 /8%.%,*2. Konstrukcija zlatega pravokotnika, če je znan kvadrat ABCD. Razpolovimo stranici AD in BC, da dobimo središči M in N. Krožni lok s središčem v točki M in polmerom MC seka podaljšano stranico AD v točki E, krožni lok s središčem v točki N in polmerom ND pa seka podaljšano stranico BC v točki F. Dolžini stranic AE in AD sta v razmerju zlatega reza. Enako velja za razmerje dolžin stranic BF in BC (konstrukcija 1.9.2). Ker je dolžina stranice AB enaka dolžinama stranic AD in BC, velja pravilo, da sta v zlatem pravokotniku dolžini stranice BF (tukaj stranice b) in stranice AB (tukaj stranice a) v razmerju zlatega reza.
19 1 ČRTE IN KOTI Formatiranje listov po DIN-u Za formatiranje listov je dr. Porstmann (Nemčija) izbral obliko pravokotnika, v katerem sta stranici a in b v razmerju 1: 2. N1,=*)17;ÿ;,+7ÿ7B)*+74,13O,ÿ 68,47+7;1*+,ÿ23F 9,ÿ7ÿ;8,1*:3ÿ 68,47+7;1*+74F +* 2*Pÿ97B*E7ÿÿ 6794,2,123Eÿ,)*ÿ5ÿ8,567),4)2,123Eÿ O,ÿ68,47+7;1*+,F 5763;ÿ4ÿ 8,5E382Aÿ-ÿ.ÿ <Mÿ ÿ < -F%-%ÿL ÿ <ÿ ÿ <ÿ ÿ1 Izhodiščna oblika lista v formatu A je po DIN-u pravokotnik s površino 1 m 2, kjer sta dolžini stranic v razmerju 1 : 2. a : b = 1 : 2 a b = 1 m 2 dolžina stranice a =,841 m dolžina stranice b = 1,189 m Formati listov po DIN-u Ti normativi veljajo tudi v naši državi. Format Razred Format A mm Format B mm 841 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 22 DIN»Deutsche Industrie Norm«nemške norme v industriji
20 2 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE Pravokotnica na premico v dani točki na premici 1. način '. BCD / Dana je točka T na premici p. Zunaj premice p izberemo poljubno točko S. Narišemo krožnico k skozi točko T in s središčem v točki S, tako da seka dano premico p v točki A. Skozi točki A in S narišemo premer AB, ki seka krožnico k v točki B. Premica, ki jo narišemo skozi točko T in presečišče B, je pravokotna na premico p Pravokotnica na premico v dani točki na premici 2. način N BCD / Dana je točka T na premici p. Iz dane točke T na premici p narišemo krožni lok s poljubnim polmerom r, da dobimo na premici točko A. Na ta lok nanesemo iz točke A krožni lok z istim polmerom r dvakrat zapored, da dobimo točki B in C. Iz točk B in C narišemo krožna loka z istim polmerom r, da dobimo presečišče D. Premica, ki jo narišemo skozi točki T in D, je pravokotna na premico p.
21 1 ČRTE IN KOTI Pravokotnica na premico v dani točki na premici 3. način > > 3 3 BCD / 3 3 Dana je točka T na premici p. Iz dane točke T na premici p s šestilom narišemo točki A in B, tako da je dolžina daljice AT enaka dolžini daljice TB. Iz točk A in B narišemo krožna loka s polmerom r 2, ki je večji od polovice dolžine daljice AB. Oba krožna loka se sekata v točki C. Premica, ki jo narišemo skozi točki T in C, je pravokotna na premico p Pravokotnica na premico skozi dano zunanjo točko * + 3 Dana točka T leži zunaj dane premice p. Iz zunanje točke T narišemo krožni lok s poljubnim polmerom r 1, ki je dovolj velik, da seka premico p v dveh točkah (tukaj v točkah A in B). Nato iz točk A in B narišemo krožna loka s polmerom r 2, ki je večji od polovice dolžine daljice AB. Krožna loka se sekata v točki C. Premica, ki jo narišemo skozi točki T in C, je pravokotna na premico p.
22 22 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 1.13 Kot Kot je množica točk v ravnini, ki je omejena z dvema poltrakoma s skupnim izhodiščem. Skupno točko imenujemo vrh kota, poltraka pa sta njegova kraka. V... vrh kota h, k... kraka kota α, β... označba kota z grško črko kot α, kot AVB, kot (h, k)... opis kota 1.14 Načrtovanje kota 6 ABC Narišemo poltrak z vrhom v točki V, ki je že vrh kota. Iz vrha V narišemo krožni lok s poljubnim polmerom r, da dobimo na poltraku presečišče A. Iz točke A narišemo krožni lok s polmerom r, ki je enak dolžini daljice VA in seka prvi krožni lok v točki B. Kot AVB meri 6. Trikotnik AVB je enakostraničen, zato so njegovi notranji koti enaki in merijo po 6.
23 1 ČRTE IN KOTI Delitev pravega kota na tretjine ' I L ' 9 α?ÿ α@' 9 9 ' ( Dan je pravi kot α. V pravem kotu iz vrha V narišemo krožni lok s poljubnim polmerom r, ki seka kraka kota v točkah A in B. Nato iz presečišč A in B narišemo krožna loka z istim polmerom r. Ta krožna loka sekata prvi krožni lok v točkah C in D. Poltraka, ki ju narišemo iz vrha V skozi presečišči C in D, delita pravi kot na tretjine.
24 24 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 1.16 Prenos kota risanje danemu kotu skladnega kota 5 89 / [ 6 ( 6ÿ9 ( 7 /[ [ 79 V/*2ÿ.%, 9+*%6ÿ.%,/ÿ_ÿ.%*6,(.32'/ÿ :/*+1(ÿ.%,(ÿ6.&/:*+=/ÿ.%,/ Dan je kot α, ki ga omejujeta kraka h in j. Narišemo poltrak h' z vrhom V', kamor prenašamo kot α. V danem kotu α iz vrha V narišemo krožni lok k l s polmerom primerne dolžine r. Ta krožni lok seka kraka kota v točkah A in B. Krožni lok k l ' z istim polmerom r narišemo tudi iz točke V' na poltraku h', da dobimo presečišče A'. Nato v danem kotu α krožnemu loku k l odmerimo s šestilom pripadajočo dolžino tetive AB in jo prenesemo na krožni lok k l ' z začetkom v točki A'. Tako dobimo točko B'. Zatem iz vrha V' skozi točko B' narišemo poltrak, ki je nosilec kraka j'. Kraka h' in j' omejujeta kot α'. S tem postopkom je krožni lok A'B' enak krožnemu loku AB, zato je tudi kot α' skladen z danim kotom α Delitev kota na enake dele V naslednjih primerih bomo obravnavali dva načina delitve kotov na enake dele. Pri reševanju nalog izberemo tisti način, ki v nalogi najbolj ustreza. 1. način: Kotne simetrale dobimo s povezovanjem vrha kota s presečišči ustreznih krožnih lokov (konstrukciji 1.18 in 1.19). 2. način: Kotne simetrale dobimo s povezovanjem vrha kota s presečišči ustreznih daljic (konstrukciji 1.2 in 1.21).
25 1 ČRTE IN KOTI Simetrala kota 1. način % B 5)&%/ α α@b % α@a Dan je kot α. Iz vrha kota α narišemo krožni lok s poljubnim polmerom r. Krožni kot seka kraka kota v točkah A in B. Iz točk A in B narišemo krožna loka z istim polmerom r 1, ki je dovolj velik, da se krožna loka sekata. Njuno presečišče je v točki C. Poltrak, ki ga narišemo iz vrha V skozi točko C, je simetrala kota α in deli kot na dva enaka dela Delitev kota na 4, 8, enakih delov 1. način E L B 9 α α@c Dan je kot α. Narišemo simetralo kota α in na njej odmerimo dolžino VD, ki je enaka dolžinama VA in VB. Nato narišemo simetrali kota AVD in kota DVB. Simetrale, ki so narisane iz vrha V kota α skozi točke E, C in F, delijo kot α na štiri enake dele. Če postopek ponavljamo, razdelimo dani kot α na 8, 16 enakih delov.
26 26 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 1.2 Simetrala kota 2. način > ( I α α@< 7 Dan je kot α. Na enem kraku kota α izberemo poljubno točko A in narišemo skozi vzporednico drugemu kraku. Na vzporednico nanesemo razdaljo AB, ki je enaka razdalji VA. Zveznica točk V in B je simetrala kota α Določitev četrtine, osmine, šestnajstine... danega kota 2. način > ( I α α@% 7 Dan je kot α. Narišemo simetralo kota α po prejšnjem postopku in nanesemo na vzporednico od točke B dalje razdaljo BC, ki je enaka razdalji VB. Zveznica točk V in C ter krak h oklepata kot, ki je enak četrtini kota α. Če postopek ponavljamo, dobimo osmino, šestnajstino kota α.
27 1 ČRTE IN KOTI Delitev kota na tretjine s papirnim trakom ÿ ÿÿ ÿ A B I α@' L ( 9 Y 9 (Y Dan je kot α. Iz vrha V kota α narišemo krožni lok k l s poljubnim polmerom r, da dobimo presečišči A in B s krakoma danega kota α. Krak skozi točki V in A podaljšamo s premico p. Na ravnem robu papirnega traku (ali ravnila) označimo krajišči polmera r, ki je enak dolžini VA, s točkama V' in A'. Nato položimo papirni trak na risbo tako, da poteka rob papirja skozi točko B, hkrati pa se točka A' dotika krožnega loka k l v presečišču C, točka V' pa se dotika premice p v presečišču D. V tem primeru je razdalja DC enaka dolžini daljice VA. Skozi točki C in D narišemo premico q. Notranji kot VDB z vrhom v točki D, ki ga oklepata premici p in q, je enak tretjini danega kota α. Opomba: To konstrukcijo lahko narišemo z ravnilom in s šestilom s souporabo papirnega traku (ali ravnila) Metode za delitev kota na poljubno število enakih delov Delitev kota na sodo število enakih delov s pomočjo šestila in ravnila: Če delimo kot na sodo število enakih delov, lahko uporabljamo 1. način (konstrukciji 1.18 in 1.19) ali 2. način (konstrukciji 1.2 in 1.21) delitve kota na enake dele. Primernejša je uporaba 1. načina, ker je potrebnih manj delovnih operacij. Delitev kota na liho število enakih delov s pomočjo šestila in ravnila: Kadar ima dani kot takšne dimenzije, da ga s šestilom in z ravnilom ne moremo razdeliti natanko na liho število enakih delov, uporabljamo približne konstrukcije, ki nam dajo risarsko dovolj natančne rezultate. V obravnavanih konstrukcijah upoštevamo, da je dolžina loka vsakega kota v premem razmerju s pripadajočim polmerom. Pri opisanih konstrukcijah sta ločeni konstrukciji delitve ostrega in topega kota na liho število enakih delov.
28 28 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 1.24 Približna konstrukcija delitve ostrega kota na liho število enakih delov To metodo uporabljamo za delitev ostrega kota na poljubno liho število enakih delov. Na en krak danega kota nanesemo toliko enakih enot (vključno s krožnim lokom 4) primerne dolžine, na kolikor delov želimo razdeliti kot. Krožne loke označimo po prikazani shemi. Pri delitvi ostrega kota na krožnem loku s polmerom 4 določimo pripadajočo tetivo četrtine krožnega loka Delitev ostrega kota na 3 enake dele %&ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ'ÿ*ÿ%&)ÿÿÿÿÿÿÿ 1(ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ1* * 2O1ÿA<:@ 3O1ÿA<:@ ( α α* 3 2 % % Delitev danega ostrega kota na tretjine: Tetivo četrtine krožnega loka 4 nanesemo na krožni lok 3, da dobimo velikost krožnega loka 3A, ki risarsko ustreza tretjini krožnega loka 3M. Če želimo razdeliti dani kot na 3 enake dele, nanašamo tetivo, ki je enaka dolžini daljice 3A, na krožni lok 3M Delitev ostrega kota na 5 enakih delov 5ODÿA<:@ 1ODÿA<:@ %&ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ'ÿ(ÿ%&)ÿÿÿÿÿÿÿ DNÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿD α α( ODÿA<:@ + N P3ODÿA<:@Q % % 5 D Delitev danega ostrega kota na petine: Tetivo četrtine krožnega loka 4 nanesemo na krožni lok 5, da dobimo velikost krožnega loka 5B, ki risarsko ustreza petini krožnega loka 5N. Če želimo razdeliti dani kot na 5 enakih delov, nanašamo tetivo, ki je enaka dolžini daljice 5B, na krožni lok 5N.
29 1 ČRTE IN KOTI Približna konstrukcija delitve topega kota na liho število enakih delov To metodo uporabljamo za delitev topega kota na poljubno liho število enakih delov. Na en krak danega kota nanesemo toliko enakih enot (vključno s krožnim lokom 4) primerne dolžine, na kolikor delov želimo razdeliti kot. Krožne loke označimo po prikazani shemi. Pri delitvi topega kota krožnemu loku s polmerom 4 določimo pripadajočo tetivo osmine krožnega loka Delitev topega kota na 3 enake dele %&ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ'ÿ*ÿ%&)ÿÿÿÿÿÿÿ 1ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ1& & 2O1ÿA<:@ + P3O1ÿA<:@Q α α* %& %& %& , Delitev danega topega kota na tretjine: Tetivo osmine krožnega loka 4 dvakrat nanesemo na krožni lok 3, da dobimo velikost krožnega loka 3C, ki risarsko ustreza tretjini krožnega loka 3P. Če želimo razdeliti dani kot na 3 enake dele, nanašamo tetivo, ki je enaka dolžini daljice 3C, na krožni lok 3P Delitev topega kota na 5 enakih delov 5ODÿA<:@ 1ODÿA<:@ %&ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ'ÿ(ÿ%&)ÿÿÿÿÿÿÿ D6ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿD,, 2ODÿA<:@ + 6 P3ODÿA<:@Q, α 3 2 α( 1 5 %& %& %& D Delitev danega topega kota na petine: Tetivo osmine krožnega loka 4 dvakrat nanesemo na krožni lok 5, da dobimo velikost krožnega loka 5D, ki risarsko ustreza petini krožnega loka 5R. Če želimo razdeliti dani kot na 5 enakih delov, nanašamo tetivo, ki je enaka dolžini daljice 5D, na krožni lok 5R.
30 3 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 2 KROG, KROŽNICA IN KROŽNI LOK 2.1 Krog, krožnica in krožni lok Krožnica je množica točk v ravnini, ki so za razdaljo r oddaljene od izbrane središčne točke S. Krožnica omejuje krožno ploskev, ki jo imenujemo krog. Krog ali disk je del ravnine, ki ga krožnica omejuje. Krog je tudi množica vseh tistih točk v ravnini, katerih razdalja od središča je največ r. Krožni lok je del krožnice med dvema različnima točkama na krožnici. S... središče ali center r... polmer ali radij d = 2r... premer ali diameter 2.2 Elementi kroga I( 9767)1*)1*ÿ +87D1*ÿ)7+ÿ ( ;3;*4, I E*E7B3D1*:, 3+,1;, 67)E38ÿ8 683E38.ÿ9ÿ?ÿ<8 L ;,1O31;, (I +87D1*ÿ)7+ÿ Tetiva je daljica, ki povezuje dve različni točki na krožnici. Premer ali diameter je najdaljša tetiva, ki poteka skozi središče krožnice. Sečnica ali sekanta je premica, ki seka krožnico v dveh točkah. Sekanta deli krog na dva dela. Dotikalnica ali tangenta je premica, ki se dotika krožnice v eni točki. Mimobežnica ali pasanta je premica, ki s krožnico nima nobene skupne točke.
31 2 KROG, KROŽNICA IN KROŽNI LOK Deli kroga.%5*2 %:6+..%5*2ÿ.%&%)/.. >. 3.%5*2ÿ26+. Krožni odsek ali krožni segment je del kroga med krožnim lokom in tetivo. Krožni izsek ali krožni sektor je del kroga med krožnim lokom in dvema polmeroma. Krožni kolobar je področje med dvema istosrediščnima krožnicama z različnima polmeroma. 2.4 Središčni in obodni kot [ %.. 6+:24-*2ÿ.%, % [[ %)%:*2ÿ.%, Središčni kot je kot v krogu, ki ima vrh v središču krožnice, za kraka pa dva polmera iz tega središča. Nastala kraka oklepata dva središčna kota, ki se dopolnjujeta do polnega kota (α + β = 36 ). Obodni kot je kot v krogu, ki ima vrh v točki na krožnici, za kraka pa tetivi iz te točke. Dani tetivi krožnice lahko vedno priredimo obodna kota α in β, katerih vrha ležita na različnih straneh iste tetive na nasprotnih krožnih lokih. Vsota obeh obodnih kotov je enaka 18. Obodni kot je enak polovici pripadajočega središčnega kota.
32 32 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 2.5 Kot v polkrogu, Talesov izrek 2 :;< ' :;< B Kot v polkrogu je kot, ki ima vrh na krožnici, njegova kraka pa potekata skozi krajišči premera te krožnice. Kot v polkrogu meri 9. Pripadajoči središčni kot meri 18. Talesov izrek: Obodni kot, katerega krožni lok je polovica krožnice, je pravi kot. Iz tega sledi: Vsak trikotnik, katerega osnovnica je premer krožnice k, tretje oglišče trikotnika pa leži na krožnici k, je pravokoten.
33 2 KROG, KROŽNICA IN KROŽNI LOK Risanje krožnega loka z danim polmerom skozi dani točki. ' ( Krožni lok k l z danim polmerom r poteka skozi dani točki A in B. Iz točk A in B narišemo krožna loka s polmerom r. Presečišče krožnih lokov je središče S iskanega krožnega loka k l. Sedaj narišemo krožni lok k l z istim polmerom r in s središčem v točki S skozi dani točki A in B. Opisano konstrukcijo uporabljamo tudi za risanje krožnice z danim polmerom skozi dani točki A in B Označevanje središča kroga in krožnega loka (839*C=3ÿ23ÿ751,=317ÿÿ;7=+7M (839*C=3ÿ23ÿ 751,=317ÿÿ 6833=*C=3Eÿ 943Pÿ 68,47+7;1*:M (839*C=3ÿ23ÿ 751,=317ÿÿ 6833=*C=3Eÿ 943Pÿ=8;M (839*C=3ÿ23ÿ 751,=317ÿÿ 6833=*C=3Eÿ 943Pÿ+87D1*Pÿ )7+74F +8*4A)2ÿMMM V risbi moramo pred risanjem kroga ali krožnega loka središče označiti, sicer ga bomo kasneje zaman iskali.
34 34 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 2.7 Določanje središča danega krožnega loka. ' ( Dan je krožni lok k l. Narišemo dve poljubni tetivi krožnega loka k l in njuni simetrali. Presečišče simetral je iskano središče S krožnega loka k l. Opisano konstrukcijo uporabljamo tudi za določanje središča dane krožnice. 2.8 Risanje krožnega loka skozi tri dane točke ' (. Krožni lok k l poteka skozi dane točke A, B in C. Točke povežemo med seboj z dvema tetivama, ki ju razpolovimo s simetralama. Presečišče simetral je iskano središče S krožnega loka. Iz tako dobljenega središča narišemo krožni lok k l skozi dane točke A, B in C. Opisano konstrukcijo uporabljamo tudi za risanje krožnice skozi dane točke A, B in C.
35 2 KROG, KROŽNICA IN KROŽNI LOK Tangenta na krožnico v dani točki krožnice N BCD. ' ÿ,/*=+*,/ Dana točka D je na dani krožnici k z znanim polmerom r. Tangenta v dani točki D krožnice k je premica, pravokotna na polmer r, ki povezuje dotikališče D na krožnici s središčem S krožnice k. 2.1 Tangenti na krožnico iz dane zunanje točke N E 3 - BCD BCD. ' > N G 7ÿÿÿÿÿÿÿ,/*=+*,2 3 > Dani sta krožnica k z znanim polmerom r in točka T zunaj krožnice k. Povežemo točko T zunaj krožnice k s središčem S. Razpolovimo daljico ST, da dobimo središče O. Narišemo Talesovo krožnico skozi točki T in S in s središčem v točki O, da dobimo presečišči D 1 in D 2 s krožnico k. Točki D 1 in D 2 na krožnici k sta iskani dotikališči obeh tangent. Premici, narisani skozi zunanjo točko T ter skozi dotikališči D 1 in D 2, sta iskani tangenti t 1 in t 2.
36 36 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 2.11 Zravnanje polovice krožnice z danim polmerom (A. Kochansky) ( 7B3O@<ÿ?ÿ > ' I L Dana je krožnica k s polmerom r. Narišemo premer AB krožnice k. V točki B narišemo tangento na krožnico. Iz središča S nanesemo ob premeru AB drugi krak središčnega kota 3, ki seka tangento v točki C. Na tangento nanesemo iz točke C trikratno dolžino polmera r. Dolžina hipotenuze AD v trikotniku ABD je enaka polovici krožnega obsega, določenega na pet decimalnih mest natančno.
37 2 KROG, KROŽNICA IN KROŽNI LOK Določanje središča in dotikališč dane krožnice z danima tangentama > G BCD N G BCD. / N E BCD ' E BCD 3 Dani sta tangenti t 1 in t 2 ter polmer r včrtane krožnice k. Na tangenti t 1 in t 2 narišemo v poljubnih točkah pravokotnici v notranjost kota, ki ga oklepata tangenti. Na pravokotnicah odmerimo polmer r in narišemo vzporednici danima tangentama. V presečišču vzporednic je iskano središče S krožnice k. Dotikališči krožnice k s tangentama dobimo tako, da narišemo pravokotnici iz središča S na tangenti. Presečišči D 1 in D 2 na krožnici k sta dotikališči tangent t 1 in t 2. Opomba: To konstrukcijo uporabljamo za risanje včrtanih krožnih lokov z danim polmerom ostrim in topim kotom. Na ta način dobimo krožne prehode v»ogliščih«ostrih in topih kotov (sliki 2.13 in 2.14).
38 38 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 2.13 Krožni prehod v ostrem kotu BCD. %6,+1ÿ.%,( Dana sta ostri kot z vrhom v točki V in krožni lok s polmerom r. Krožni prehod v ostrem kotu narišemo na osnovi opisa konstrukcije Krožni prehod v topem kotu. BCD Dana sta topi kot z vrhom v točki V in krožni lok s polmerom r. Krožni prehod v topem kotu narišemo na osnovi opisa konstrukcije 2.12.
39 2 KROG, KROŽNICA IN KROŽNI LOK Izbočeni krožni prehod v pravem kotu. Dan je polmer r krožnega loka izbočenega krožnega prehoda v pravem kotu z vrhom v točki A. Iz vrha A narišemo krožna loka s polmerom r, ki sekata kraka kota v točkah B in C. Iz presečišč B in C narišemo krožna loka z istim polmerom r, ki se sekata v središču S. Skozi točki B in C in s središčem v točki S narišemo krožni lok z istim polmerom r. Ta krožni lok tvori krožni prehod med krakoma pravega kota ob vrhu A Vbočeni krožni prehod v poljubnem kotu Dan je polmer r krožnega loka vbočenega krožnega prehoda v kotu z vrhom v točki A. Iz vrha A narišemo krožni lok s polmerom r, ki seka kraka kota v točkah B in C ter tvori vbočen krožni prehod med krakoma danega kota ob vrhu A.
40 4 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 2.17 Zunanji tangenti na krožnici z različnima polmeroma 9-9 C > C 9 C ( - < 4 4 A A 4 4 C - > A I I 6 L L C > - 4 Dÿ4 MMMMMÿ;,1O31;* C - Dani sta krožnici k 1 in k 2 s polmeroma r 1 < r 2 in medsebojno središčno razdaljo S 1 S 2. V središču S 2 večje krožnice k 2 narišemo istosrediščno pomožno krožnico k p s polmerom, ki je enak razliki dolžin polmerov (r 2 r 1 ) danih krožnic. Iz središča S 1 manjše krožnice k 1 narišemo pomožni tangenti t p na pomožno krožnico k p. Pomožni dotikališči B p in D p določimo s Talesovo krožnico skozi središči S 1 in S 2 ter s središčem v točki O. Določanje dotikališč tangent na manjši krožnici k 1 : Iz središča S 1 manjše krožnice narišemo pravokotnici na pomožni tangenti t p. Presečišči teh pravokotnic z manjšo krožnico k 1 sta dotikališči A in C tangent t 1 in t 2. Določanje dotikališč tangent na večji krožnici k 2 : Iz središča S 2 večje krožnice narišemo pravokotnici na pomožni tangenti t p skozi pomožni dotikališči B p in D p do večje krožnice k 2. Presečišči teh pravokotnic z večjo krožnico k 2 sta dotikališči B in D tangent t 1 in t 2. Premici, ki ju narišemo skozi ustrezni dotikališči na mali in veliki krožnici, sta iskani zunanji tangenti t 1 in t 2.
41 2 KROG, KROŽNICA IN KROŽNI LOK Notranji tangenti na krožnici z različnima polmeroma ' + % K ' % + % % ', % J %, %ÿÿ& 4 Dÿ4% MMMMMÿ;,1O31;* &&&&&ÿ'()*+',- )+'./')- C - Dani sta krožnici k 1 in k 2 s polmeroma r 1 < r 2 in medsebojno središčno razdaljo S 1 S 2. V središču ene izmed danih krožnic (tukaj v središču S 1 prve krožnice k 1 ) narišemo istosrediščno pomožno krožnico k p s polmerom, ki je enak vsoti dolžin polmerov (r 1 + r 2 ) danih krožnic. Iz središča druge krožnice (iz središča S 2 krožnice k 2 ) narišemo pomožni tangenti t p na pomožno krožnico k p. Dotikališči A p in C p na pomožni krožnici k p določimo s Talesovo krožnico skozi središči S 1 in S 2 danih krožnic ter s središčem v točki O. Določanje dotikališč na manjši krožnici k 1 : Iz središča S 1 manjše krožnice narišemo pravokotnici na pomožni tangenti t p do pomožnih dotikališč A p in C p na pomožni krožnici k p. Presečišči teh pravokotnic z manjšo krožnico k 1 sta dotikališči A in C tangent t 1 in t 2. Določanje dotikališč na večji krožnici k 2 : Iz središča S 2 večje krožnice narišemo pravokotnici na pomožni tangenti t p. Presečišči teh pravokotnic z večjo krožnico k 2 sta dotikališči B in D tangent t 1 in t 2. Premici, ki ju narišemo skozi ustrezni dotikališči na mali in veliki krožnici, sta iskani notranji tangenti t 1 in t 2.
42 42 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 2.19 Trikotniku očrtani krog 7?ÿ839*C=3ÿ7=8;,13O,ÿ+87O, 9 <?ÿ67)e38ÿ7=8;,13o,ÿ+87o, >?ÿ7=8;,1*ÿ+87o < > < 9 < 7 I ( Dan je trikotnik ABC. V trikotniku je središče očrtanega kroga v presečišču simetral stranic trikotnika. Središče je že določeno, če poiščemo presečišče vsaj dveh simetral stranic. Polmer r o očrtanega kroga je enak razdalji od središča S o očrtanega kroga do enega izmed oglišč trikotnika. 2.2 Določanje središča včrtanemu krogu, ki se dotika treh danih tangent 2.21 Trikotniku včrtani krog /?ÿ839*c=3ÿ4=8;,13o,ÿ+87o, 9 /?ÿ67)e38ÿ4=8;,13o,ÿ+87o, > /?ÿ4=8;,1*ÿ+87o 4 + L ' > / 4 L < 4 ( α@< α@< 4 C 9 L / - - I Dane so tangente t 1, t 2 in t 3. Poiščemo presečišča tangent, ki so tudi oglišča trikotnika ABC. Dotikalni krog tangent je hkrati včrtani krog trikotniku ABC. Središče dotikalnega kroga je v presečišču simetral notranjih kotov v trikotniku ABC. Središče je že določeno, če poiščemo presečišče vsaj dveh simetral kotov. Polmer r v včrtanega kroga je enak pravokotni razdalji od središča S v včrtanega kroga do dotikališča D na tangenti oziroma stranici trikotnika.
43 2 KROG, KROŽNICA IN KROŽNI LOK Pravokotniku očrtani krog * E B 8, * Dan je pravokotnik ABCD. Središče S o očrtanega kroga je v presečišču diagonal. Polmer r o je enak polovici dolžine diagonale Kvadratu očrtani in včrtani krog ' ' Gÿ,/+')ÿ-/; & Gÿ.,/+')ÿ-/; L B & 8 ' DEF & : Dan je kvadrat ABCD. V kvadratu se sekajo simetrale kotov in stranic v isti točki, ki je središče kvadrata. Diagonali sta tudi simetrali kotov. Polmer r o očrtanega kroga je enak polovici dolžine diagonale. Polmer r v včrtanega kroga je enak polovici dolžine stranice kvadrata. Dotikališče P je v presečišču pravokotnice na stranico iz središča S kvadrata in stranice kvadrata.
44 44 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 2.24 Rombu včrtani krog E B. 8 2 BC. : Dan je romb ABCD. Središče S v včrtanega kroga je v presečišču diagonal, dotikališče P pa je v presečišču pravokotnice na stranico romba iz središča S v in stranice romba. Polmer r v včrtanega kroga je enak pravokotni razdalji od središča S v do dotikališča P Deltoidu včrtani krog L α@b α@b : DEF & 8. & B Dan je deltoid ABCD. Središče S v včrtanega kroga je v presečišču diagonale AC in simetrale kota v oglišču D, dotikališče P pa je v presečišču pravokotnice na stranico deltoida iz središča S v in stranice deltoida. Polmer r v včrtanega kroga je enak pravokotni razdalji od središča S v do dotikališča P.
45 /. 2 KROG, KROŽNICA IN KROŽNI LOK Pravilnemu mnogokotniku očrtani in včrtani krog : ' DEF 8 / 9 & α@b α@b B L Na sliki sta narisana očrtani in včrtani krog v danem pravilnem petkotniku. k o... očrtani krog r o... polmer očrtanega kroga k v... včrtani krog r v... polmer včrtanega kroga V pravilnem mnogokotniku se sekajo vse simetrale kotov in vse simetrale stranic v isti točki, ki jo imenujemo središče. Ta točka je središče pravilnemu mnogokotniku očrtanega in včrtanega kroga. Polmer r v včrtanega kroga je enak pravokotni razdalji od središča pravilnega mnogokotnika do ene izmed stranic mnogokotnika. Polmer r o očrtanega kroga je enak razdalji od središča pravilnega mnogokotnika do enega izmed oglišč mnogokotnika.
46 46 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE 3 TRIKOTNIKI 3.1 Načrtovanje trikotnika, če so dane tri stranice (sss) E ) F / F 2 2 F G Dane so stranice a, b in c. Pogoji: c < a + b, b < a + c, a < b + c Narišemo premico in na njej odmerimo dolžino stranice c, kjer sta krajišči A in B že oglišči trikotnika. Nato narišemo krožni lok s polmerom dolžine stranice b in s središčem v oglišču A. Zatem narišemo še krožni lok s polmerom dolžine stranice a in s središčem v oglišču B. Oba krožna loka se sekata v točkah C 1 in C 2, ki sta oglišči trikotnikov ABC 1 in ABC 2. Naloga ima dve rešitvi. Dobljena trikotnika ABC 1 in ABC 2 sta simetrična glede na premico, nosilko stranice AB.
47 3 TRIKOTNIKI Načrtovanje trikotnika, če sta dani stranici in kot med njima (sks) 2 F F F F 2 2 Dani sta stranici b, c in kot α med njima. Pogoj: α < 18 Narišemo premico in na njej odmerimo dolžino stranice c, kjer sta krajišči A in B že oglišči trikotnika. V oglišču A nanesemo dani kot α, tako da poteka krak c skozi oglišči A in B. Krožni lok s polmerom dolžine stranice b in s središčem v oglišču A seka prosti krak b kota α v točki C. Točke A, B in C so oglišča trikotnika ABC, daljica BC pa je iskana stranica a. Rešitev je samo ena. 3.3 Načrtovanje trikotnika, če so dani stranica in njej priležna kota (ksk) 2 F F ' ' Dana je stranica c in njej priležna kota α in β. Pogoj: α + β < 18 Narišemo premico in na njej odmerimo dolžino stranice c, kjer sta krajišči A in B že oglišči trikotnika. V oglišču A stranice c nanesemo kot α, tako da poteka krak c skozi oglišči A in B. V oglišču B stranice c nanesemo kot β, tako da poteka krak c skozi oglišči B in A. Kraka kotov, ki ne ležita na stranici c, se sekata v točki C, ki je tretje oglišče trikotnika ABC. Daljici AC in BC sta iskani stranici b in a. Rešitev je samo ena.
GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK
GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK 2 1 Geometrija v ravnini 1.1 Osnove geometrije Točka je tisto, kar nima delov. Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino. Osnovni zakoni,
Διαβάστε περισσότεραKotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek.
DN#3 (januar 2018) 3A Teme, ki jih preverja domača naloga: Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραDeljivost naravnih števil
Deljivost naravnih števil. D = {,,, 4, 6, }, V = {, 4, 6, 48, 60 }. (A) in (E). a) S številom so deljiva števila:, 0, 0 in 060. S številom so deljiva števila: 0, 460, 000 in 46. c) S številom 4 so deljiva
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραPravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica
Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru,
Διαβάστε περισσότερα1 3D-prostor; ravnina in premica
1 3D-prostor; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru, ki nimata skupne
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA NPZ
PONOVITEV SNOVI ZA NPZ ENAČBE 1. naloga : Ugotovi ali sta dani enačbi ekvivalentni! 5x 5 = 2x 2 in 5 ( x - 1 ) = 2 ( x 1 ) da ne 2. naloga : Reši linearni enačbi in napravi preizkusa! a) 5 4x = 2 3x PR:
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραLJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA
LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA Matematika za drugi letnik srednjega strokovnega izobraževanja -interno gradivo- Avtor: Samo Žerjal Nova Gorica, februar 016 KAZALO 1 Potenčna funkcija... 1.1 Kvadratna
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραSEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραUniverza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar
Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper Geometrija Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Koper, 2007 PREDGOVOR Pričujoče študijsko gradivo je povzeto po naslednjih knigah Richard S. Millman, George
Διαβάστε περισσότεραAfina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
Διαβάστε περισσότεραcot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.
TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center. Višja raven MATEMATIKA. Izpitna pola 2. Sobota, 4. junij 2011 / 90 minut
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M111401* Višja raven MATEMATIKA Izpitna pola SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 011 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese
Διαβάστε περισσότερα3.letnik - geometrijska telesa
.letnik - geometrijska telesa Prizme, Valj P = S 0 + S pl S 0 Piramide, Stožec P = S 0 + S pl S0 Pravilna -strana prizma P = a a + av 1 Pravilna -strana prizma P = a + a a Pravilna 6-strana prizma P =
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραKOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS Seminarska naloga pri predmetu Komuniciranje v matematiki Avtor: Zalka Selak Mentor: prof. dr. Tomaţ Pisanski KAZALO:
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραUporaba programa Cabri Geometre v sedmem razredu devetletne osnovne šole
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika praktična matematika (VSŠ) Urška Valenčič Uporaba programa Cabri Geometre v sedmem razredu devetletne osnovne šole Diplomska naloga Ljubljana,
Διαβάστε περισσότεραLJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA
LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 1. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 KAZALO 1 ŠTEVILA... 1 1.1 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA... 1 1.1.1
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center. Višja raven MATEMATIKA. Izpitna pola 1. Torek, 25. avgust 2009 / 90 minut
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M094011* Višja raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 JESENSKI IZPITNI ROK Torek, 5. avgust 009 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese
Διαβάστε περισσότεραŠOLSKI CENTER NOVO MESTO
ŠOLSKI CENTER NOVO MESTO Srednja elektro šola in tehniška gimnazija M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 006/007 NARAVNA ŠTEVILA Katera števila imenujemo naravna števila? Naštejte
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραPOLINOMI ČETRTE STOPNJE IN ZLATI REZ
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Smer (Matematika UN-BO) - 1. stopnja Belma Delić POLINOMI ČETRTE STOPNJE IN ZLATI REZ Delo seminarja 1 Mentor: prof. dr. Milan Hladnik Ljubljana,
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότερα3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z.
3. VAJA IZ TRDNOSTI (tenzor deformacij) (pomiki togega telesa, Lagrangev in Eulerjev opis, tenzor velikih deformacij, tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Gumijasti
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραLetnik 0, številka 5
Brihtnež Elektronska revija za mlade matematike Letnik 0, številka 5 c Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije http://www.dmfa.si/brihtnez/brihtnezindex.html Vsebina Vsebina Olimpijski kotiček:
Διαβάστε περισσότεραSkripta za matematiko v 2. letniku srednjega poklicnega, srednjega strokovnega in poklicno tehniškega izobraževanja INTERNO GRADIVO
Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad - Ljubljana Ptujska ulica 6 1000 Ljubljana Slovenija Nikolaj Lipič in Mojca Rožič 1. naloga: Poimenujte geometrijske like in telesa: pravokotnik romb trikotnik
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani FS & FKKT. Varnost v strojništvu
Univerza v Ljubljani FS & FKKT Varnost v strojništvu doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str. Govorilne ure: pisarna: FS - 414 telefon: 01/4771-414 boris.jerman@fs.uni-lj.si, (Tema/Subject: VDPN -...)
Διαβάστε περισσότεραFakulteta za matematiko in fiziko Jadranska Ljubljana SEMINAR II ZLATI REZ
Fakulteta za matematiko in fiziko Jadranska 19 1000 Ljubljana SEMINAR II ZLATI REZ Rok Lipnik 4.letnik, pedagoška matematika Celje, 15.10.2006 1 Uvod Kaj naredi število tako popularno, da se z njim ukvarjajo
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραKunci, jabolka in zlatnina
Kunci, jabolka in zlatnina Marko Razpet, PeF UL Kunci Matematik Fibonacci ali Leonardo iz Pise (r okoli 70, u okoli 240) je znan po svojih delih Liber Abaci, Practica Geometriae, Flos in Liber Quadratorum
Διαβάστε περισσότεραK U P M Metka Jemec. Konferenca o učenju in poučevanju matematike, M a r i b o r, 2 3. i n 2 4. avgusta
U K 20 P K U P M 2 0 1 2 ROZETA 12 M Metka Jemec Konferenca o učenju in poučevanju matematike, M a r i b o r, 2 3. i n 2 4. avgusta 2 0 1 2 Kaj je rozeta? Rozeta je oblika vzorca, narejena v obliki simetrične
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραOpisna geometrija II. DVO^RTNI POSTOPEK
Opisna geometrija II. DVO^RTNI POSTOPEK 1 Dvo~rtni postopek Pridru`ni ortogonalni projekciji na: - tlorisno ravnino π 1, - narisno ravnino π 2, - prese~na os x 12. Imena: - Monge-ov postopek (Gaspard Monge,
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότερα= Števila 264, 252, 504 zapiši kot produkt praštevil in poišči njihov skupni največji delitelj in
PRIPRAVA NA POM REALNA ŠTEVILA in PKS. Izračunaj: ( ( ) ( )) (( ) ) [ ] ( ( ) ) 4 0 ( ) ( ) 4 + 6 7 4 + + 4 + = 0 4 0 ( + ) 5 + ( 0) ( ) + (( 5) + ( ) ( ) ) = [ ]. Poenostavi in rezultat razstavi: ( +
Διαβάστε περισσότεραPOROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL
POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči
Διαβάστε περισσότεραOPISNA GEOMETRIJA NAVODILA ZA IZDELAVO VAJ V 1. SEMESTRU
OPISNA GEOMETRIJA NAVODILA ZA IZDELAVO VAJ V 1. SEMESTRU Pravilno rešene in ustrezno narisane vaje so pogoj, da kandidat lahko pristopi k opravljanju kolokvija. Pozitivno opravljen kolokvij je nujen pogoj
Διαβάστε περισσότερα*P101C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Sobota, 5. junij 2010 / 120 minut SPOMLADANSKI IZPITNI ROK
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P101C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 5. junij 010 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA NPZ Matematika 6. razred
PONOVITEV SNOVI ZA NPZ Matematika 6. razred Avtorica: Jelka Županec Šola: VIZ II. OŠ Rogaška Slatina Kazalo. NARAVNA ŠTEVILA... 4. DESETIŠKE ENOTE... 4.2 RAČUNSKE OPERACIJE... 5.2. SEŠTEVANJE... 5.2.2
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραJože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič. Skrivnosti števil in oblik. Priročnik v 6. razredu osnovne šole
Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič Skrivnosti števil in oblik Priročnik v 6. razredu osnovne šole 6 Jože Berk, Jana Draksler, Marjana Robič Skrivnosti πtevil in oblik 6 PriroËnik za 6. razred osnovne
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO ZDENKA MIHELIČ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO ZDENKA MIHELIČ UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Študijski program: matematika
Διαβάστε περισσότεραTRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ ( )
TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ (17. 12. 03) Pazljivo preberite besedilo vsake naloge! Naloge so točkovane enakovredno (vsaka 25%)! Pišite čitljivo! Uspešno reševanje! 1. Deformiranje telesa je podano s poljem
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότερα*P091C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Sobota, 6. junij 2009 / 120 minut SPOMLADANSKI IZPITNI ROK
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P09C0* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 6. junij 009 / 0 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani FS & FKKT. Varnost v strojništvu
Univerza v Ljubljani FS & FKKT Varnost v strojništvu doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str. Govorilne ure: med šolskim letom: srede med 9:00 in 11:30 pisarna: FS - 414 telefon: 01/4771-414 boris.jerman@fs.uni-lj.si,
Διαβάστε περισσότεραDr`avni izpitni center MATEMATIKA. Izpitna pola. Sobota, 2. junij 2007 / 120 minut brez odmora
[ifra kandidata: Dr`avni izpitni center *P071C10111* SPOMLADANSKI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota,. junij 007 / 10 minut brez odmora Dovoljeno dodatno gradivo in pripomo~ki: kandidat prinese s seboj
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija je del t.i. uporabne matematike in se obširno uporablja v: geodeziji, astronomiji, matematični geografiji, navigaciji, navtiki itd.
M. Kuhar: Trigonometrija, okt. 009 1 Trigonometrija Trigonometrija je del geometrije, ki se ukvarja z reševanjem geometrijskih problemov v ravnini, na krogli ali v prostoru po računski poti, na podlagi
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραVAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič
VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva Martin Raič OSNUTEK Kazalo 1. Ponovitev 2 2. Ravninska in prostorska geometrija 5 3. Linearna algebra 7 4. Ponavljanje pred kolokvijem 8 M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO)
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center MATEMATIKA PREIZKUS ZNANJA. Torek, 8. maja 2007 / 60 minut. NACIONALNO PREVERJANJE ZNANJA ob koncu 2. obdobja NAVODILA U^ENCU
Š i f r a u ~ e n c a: Državni izpitni center *N0710121* REDNI ROK MATEMATIKA PREIZKUS ZNANJA Torek, 8. maja 2007 / 60 minut Dovoljeno gradivo in pripomo~ki: u~enec prinese s seboj modro/~rno nalivno pero
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραVPRAŠANJA ZA POKLICNO MATURO IZ MATEMATIKE
VPRAŠANJA ZA POKLICNO MATURO IZ MATEMATIKE ŠTEVILSKE MNOŽICE NARAVNA ŠTEVILA 1. Naštej lastnosti osnovnih računskih operacij v N. Osnovne računske operacije so seštevanje in množenje (+, *): a) ZAKON O
Διαβάστε περισσότεραTekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Jadranska ulica 19 1000 Ljubljana Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev v elektronski
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Matematika in tehnika. Heronova formula DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Matematika in tehnika Heronova formula DIPLOMSKO DELO Mentor: dr. Marko Razpet Kandidatka: Ana Malavašič Ljubljana, februar 013 Zahvala Iskreno
Διαβάστε περισσότεραKoordinatni sistemi v geodeziji
Koordinatni sistemi v geodeziji 14-1 Koordinatni sistemi v geodeziji Koordinatni sistemi v geodeziji 2 Vrste koordinatnih sistemov Vzpostavitev koordinatnega sistema je potrebna zaradi pridobitve primernega
Διαβάστε περισσότερα*P093C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Četrtek, 11. februar 2010 / 120 minut ZIMSKI IZPITNI ROK
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P093C10111* ZIMSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Četrtek, 11. februar 010 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center. Osnovna raven MATEMATIKA. Izpitna pola 1. Sobota, 4. junij 2011 / 120 minut
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M11140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 011 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat
Διαβάστε περισσότερα3. AMPEROV ZAKON. SLIKA: Zanka v magnetnem polju. Integral komponente magnetnega polja v smeri zanke je sorazmeren toku, ki ga zanka oklepa.
3. AMPEROV ZAKON Equation Section 3 Vsebina poglavja: Integral polja po zaključeni zanki je sorazmeren toku, ki ga zanka objame. Izračuni polja s pomočjo Amperovega zakona za: tokovno premico, solenoid,
Διαβάστε περισσότερα