Funkcije više varijabli, nastavak
|
|
- Θεοφιλά Γεννάδιος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Funkcije više varijabli, nastavak Franka Miriam Brückler
2 Ponovimo: što je to b a f (x) dx?
3 Ponovimo: što je to b a f (x) dx? Koliko iznosi b a dx?
4 Ponovimo: što je to b a f (x) dx? Koliko iznosi b a skup A = [a, b] [c, d] u (x, y)-ravnini! dx? Skicirajte
5 Ponovimo: što je to b a f (x) dx? Koliko iznosi b a dx? Skicirajte skup A = [a, b] [c, d] u (x, y)-ravnini! Kako izgleda graf funkcije f : A R, f (x, y) = 1, u prostornom Kks-u?
6 Ponovimo: što je to b a f (x) dx? Koliko iznosi b a dx? Skicirajte skup A = [a, b] [c, d] u (x, y)-ravnini! Kako izgleda graf funkcije f : A R, f (x, y) = 1, u prostornom Kks-u? Pišemo: dx dy = (b a)(d c) 1. A
7 Ponovimo: što je to b a f (x) dx? Koliko iznosi b a dx? Skicirajte skup A = [a, b] [c, d] u (x, y)-ravnini! Kako izgleda graf funkcije f : A R, f (x, y) = 1, u prostornom Kks-u? Pišemo: dx dy = (b a)(d c) 1. A Skicirajte graf neke druge nenegativne funkcije f : A R u prostornom Kks-u!
8 Dvostruki integral nenegativne skalarne funkcije f dviju varijabli po pravokutniku (ili općenitijem podskupu domene od f ) A je (u prostornom Kks-u) volumen omeden grafom te funkcije, skupom A (područje integriranja) i vertikalama povučenim na A u svim točkama ruba od A ( cilindar ); označavamo ga s f (x, y) dx dy ili f (x, y) da. A A
9 Tako je na slici s prethodnog slide-a graf funkcije f (x, y) = 2x 3 y , područje integriranja je A = [ 2, 2] [ 1, 1], a volumen tijela prikazanog slikom je
10 Tako je na slici s prethodnog slide-a graf funkcije f (x, y) = 2x 3 y , područje integriranja je A = [ 2, 2] [ 1, 1], a volumen tijela prikazanog slikom je (2x 3 y ) dx dy. A
11 Tako je na slici s prethodnog slide-a graf funkcije f (x, y) = 2x 3 y , područje integriranja je A = [ 2, 2] [ 1, 1], a volumen tijela prikazanog slikom je (2x 3 y ) dx dy. A Dijelovi volumena ispod (x, y)-ravnine (za funkcije koje nisu nenegativne) pribrajaju se s negativnim predznakom: y dx dy = 0. x 2 +y 2 1
12 Tako je na slici s prethodnog slide-a graf funkcije f (x, y) = 2x 3 y , područje integriranja je A = [ 2, 2] [ 1, 1], a volumen tijela prikazanog slikom je (2x 3 y ) dx dy. A Dijelovi volumena ispod (x, y)-ravnine (za funkcije koje nisu nenegativne) pribrajaju se s negativnim predznakom: y dx dy = 0. x 2 +y 2 1 Za dvostruke integrale kao i za jednostruke vrijedi linearnost: (f (x, y) + g(x, y)) dx dy = f (x, y) dx dy + g(x, y) dx dy, A A Cf (x, y) dx dy = C f (x, y) dx dy A za sve funkcije f i g koje su integrabilne na A i svaku konstantu C. A A
13 Fubinijev teorem Volumen kvadra [a, b] [c, d] [0, 1] dx dy = (b a)(d c) 1 A
14 Fubinijev teorem Volumen kvadra [a, b] [c, d] [0, 1] dx dy = (b a)(d c) 1 A možemo to zamisliti i kao ( b ) d x=a y=c dy dx, tj. kao zbroj beskonačno bliskih površina pravokutnikâ {x} [c, d] [0, 1] (nacrtajte dva takva za dva različita x-a!).
15 Fubinijev teorem Volumen kvadra [a, b] [c, d] [0, 1] dx dy = (b a)(d c) 1 A možemo to zamisliti i kao ( b ) d x=a y=c dy dx, tj. kao zbroj beskonačno bliskih površina pravokutnikâ {x} [c, d] [0, 1] (nacrtajte dva takva za dva različita x-a!). Ako je područje integriranja pravukutnik i podintegralna funkcija neprekidna na njemu, takav pristup vrijedi i općenito: b ( d ) d ( b ) f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx = f (x, y) dx a c c a [a,b] [c,d] Tu tvrdnju zovemo Fubinijevim teoremom za funkcije dviju varijabli.
16 Zadatak Izračunajte [ 5,4] [0,3] (2x 4y 3 ) da.
17 Zadatak Izračunajte [ 5,4] [0,3] (2x 4y 3 ) da. Zadatak Izračunajte [0,1] [0,2] xy 2 dx dy;
18 Zadatak Izračunajte [ 5,4] [0,3] (2x 4y 3 ) da. Zadatak Izračunajte [0,1] [0,2] xy 2 dx dy; [0,1] [0,2] g(x)h(y) dx dy;
19 Zadatak Izračunajte [ 5,4] [0,3] (2x 4y 3 ) da. Zadatak Izračunajte [0,1] [0,2] xy 2 dx dy; [0,1] [0,2] g(x)h(y) dx dy; g(x)h(y) dx dy. [a,b] [c,d]
20 Zadatak Izračunajte [ 5,4] [0,3] (2x 4y 3 ) da. Zadatak Izračunajte [0,1] [0,2] xy 2 dx dy; [0,1] [0,2] g(x)h(y) dx dy; g(x)h(y) dx dy. Što primjećujete? [a,b] [c,d] Ako je funkcija f ne samo neprekidna na pravokutniku [a, b] [c, d], nego se i može faktorizirati kao f (x, y) = g(x)h(y), onda vrijedi [a,b] [c,d] ( b f (x, y) dx dy = a ) ( d ) g(x) dx h(y) dy. c
21 Zadatak Skicirajte područje integriranja za integral x 2 +4y 2 4 f (x, y) dx dy.
22 Zadatak Skicirajte područje integriranja za integral x 2 +4y 2 4 f (x, y) dx dy. Zadatak Imate li ideju kako biste integrirali funkciju zadanu s f (x, y) = x + y po dijelu (x, y)-ravnine omedenom s y-osi, pravcem y = 9 i parabolom y = x 2? Ako je područje integriranja A omedeno pravcima x = a, x = b i grafovima funkcija y = f 1 (x) i y = f 2 (x), onda je ( b ) f2(x) f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx. A a Slično, ako je područje integriranja A omedeno pravcima y = c, y = d i grafovima funkcija x = g 1 (y) i x = g 2 (y), onda je ( d ) g2(x) f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy. A c f 1(x) g 1(x)
23 Zadatak Izračunajte integral iz prethodnog zadatka!
24 Zadatak Izračunajte integral iz prethodnog zadatka! Zadatak Kako biste što jednostavnije opisali četvrtinu jediničnog kruga koja se nalazi u prvom kvadrantu?
25 Zadatak Izračunajte integral iz prethodnog zadatka! Zadatak Kako biste što jednostavnije opisali četvrtinu jediničnog kruga koja se nalazi u prvom kvadrantu? Neka područja lakše je opisati u polarnim koordinatama. To se posebice odnosi na kružne isječke iz kružnica sa središtem u ishodištu ili pak kružne vijence sa središtem u ishodištu. Kako izgledaju opisi takvih skupova u polarnim koordinatama?
26 Zadatak Izračunajte integral iz prethodnog zadatka! Zadatak Kako biste što jednostavnije opisali četvrtinu jediničnog kruga koja se nalazi u prvom kvadrantu? Neka područja lakše je opisati u polarnim koordinatama. To se posebice odnosi na kružne isječke iz kružnica sa središtem u ishodištu ili pak kružne vijence sa središtem u ishodištu. Kako izgledaju opisi takvih skupova u polarnim koordinatama? Kružni isječak iz kruga polumjera a izmedu polupravaca ϕ = α i ϕ = β: 0 r a, α ϕ β. Kružni vijenac izmedu kružnica r = a i r = b: a r b, 0 ϕ 2π.
27 Koliko iznosi površina isječka kružnog vijenca izmedu kružnica polumjera r i R, ako isječak odreden kutom γ? P = γ 360 (R2 r 2 )π. Ako uzmemo da je γ = ϕ malen i da je R = r + r gdje je r malen, ta je površina A približno površina pravokutnika sa stranicama r ϕ i r. Dakle, A = r r ϕ. Stoga je u polarnim koordinatama Zadatak da = r dr dϕ. Izračunajte A e x 2 +y 2 dx dy ako je A četvrtina jediničnog kruga koja se nalazi u prvom kvadrantu.
28 Zamjena varijabli u dvostrukim integralima Vidjeli smo da je prijelaz iz Kartezijevih u polarne koordinate u ravnini moguće shvatiti kao vektorsko polje i da mu je Jakobijan jednak r. Kao i u tom slučaju vrijedi i općenito: f (x, y ) (x, y) (x, y ) dx dy = f (x, y) dx dy, S gdje je S skup u koji se promjenom varijabli transformira skup A. Posebno, formula za promjenu iz Kartezijevih u polarne koordinate u dvostrukom integralu je f (r, ϕ)r dr dϕ = f (x, y) dx dy. S A A
29 Povećanjem dimenzije za još jedan dobivamo trostruke integrale u kojima se integrira skalarna funkcija tri varijable po trodimenzionalnom skupu V : f (x, y, z) dx dy dz ili V f (x, y, z) dv. V Po analogiji s jedno- i dvostrukim integralima, što očekujete: koliko iznosi V dx dy dz?
30 Povećanjem dimenzije za još jedan dobivamo trostruke integrale u kojima se integrira skalarna funkcija tri varijable po trodimenzionalnom skupu V : f (x, y, z) dx dy dz ili V f (x, y, z) dv. V Po analogiji s jedno- i dvostrukim integralima, što očekujete: koliko iznosi V dx dy dz? I za trostruke integrale vrijedi Fubinijev teorem: ako je područje integriranja kvadar V = [a, b] [c, d] [p, q] i f neprekidna na V, onda je b ( d ( q ) ) f (x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dz dy dx V ili slično za neki drugi odabir redoslijeda integriranja. a c p
31 Takoder, ako je dodatno f moguće faktorizirati kao f (x, y, z) = g(x)h(y)k(z) vrijedi ( b f (x, y, z) dx dy dz = V a ) ( d ) ( q ) g(x) dx h(y) dy k(z) dz. c p Zadatak Izračunajte [2,3] [1,2] [0,1] 8xyz dv.
32 Takoder, ako je dodatno f moguće faktorizirati kao f (x, y, z) = g(x)h(y)k(z) vrijedi ( b f (x, y, z) dx dy dz = V a ) ( d ) ( q ) g(x) dx h(y) dy k(z) dz. c p Zadatak Izračunajte [2,3] [1,2] [0,1] 8xyz dv. U primjenama se česte varijante višestrukih integrala koji spadaju u neprave integrale (integrali kod kojih područje integriranja nije ograničeno ili pak podintegralna funkcija nije ograničena na području integriranja). U slučaju da se područje integriranja može zapisati kao Cartesiusov produkt tri intervala, makar neki bio neograničen, gornje formule su i dalje primjenjive i pojedini integrali obzirom na jednu varijablu računaju se na uobičajen način.
33 Primjerice: integral neke funkcije f po čitavom prostoru R 3 može se opisati kao Zadatak R 3 f dv = + x= + y= + z= Skicirajte skup 0, +, 0 u Kks-u. f (x, y, z) dz dy dx.
34 Promjena koordinata x = x(x, y, z ), y = y(x, y, z ), z = z(x, y, z );
35 Promjena koordinata x = x(x, y, z ), y = y(x, y, z ), z = z(x, y, z ); F (x, y, z ) = (u(x, y, z ), v(x, y, z ), w(x, y, z )) f (x, y, z ) (x, y, z) (x, y, z ) dx dy dz = f (x, y, z) dx dy dz W Specijalno, za prijelaz u sferne: f (r, ϕ, z)r 2 sin θ dr dθ dϕ = f (x, y, z) dx dy dz. W V V
36 Trostruki integrali u vjerojatnosnom računu R f (x, y, z) dx dy dz = 3 + r=0 2π φ=0 π θ=0 f (r, φ, θ)r 2 sin θ dr dθ dϕ.
37 Trostruki integrali u vjerojatnosnom računu R f (x, y, z) dx dy dz = 3 + r=0 2π φ=0 π θ=0 f (r, φ, θ)r 2 sin θ dr dθ dϕ.ako je f funkcija gustoće vjerojatnosti za nalaženje nekog objekta na poziciji (x, y, z) u prostoru, vjerojatnost da se taj objekt nalazi unutar podskupa V prostora je P = f (x, y, z) dx dy dz. V Kako se taj objekt sigurno nalazi negdje u prostoru, funkcija f mora biti normirana, tj. zadovoljavati R 3 f (x, y, z) dx dy dz = 1. Prema Bornovoj interpretaciji valne funkcije, kvadrat apsolutne vrijednosti valne funkcije je funkcija gustoće vjerojatnosti za nalaženje tom valnom funkcijom opisanog elektrona u nekoj točki prostora. Prosječna vrijednost veličine opisane operatorom ˆΩ dobiva se trostrukim integralom Ω = R 3 ψ ˆΩψ dx dy dz.
38 Prosječna udaljenost elektrona do jezgre Posebno, prosječna vrijednost udaljenosti elektrona opisanog valnom funkcijom ψ do jezgre dobije se kao r = rψ ψ dx dy dz = R 3 + 2π π r=0 φ=0 θ=0 r 3 ψ(r, ϕ, θ) 2 sin θ dr dθ dϕ Odredimo prosječnu (očekivanu) udaljenost elektrona 1s-orbitale do jezgre atoma H. ψ 1,0,0 (r, θ, ϕ) = 1 e r/a 0, πa0 3 (a 0 = 52,9 pm je Bohrov radijus).
39 r = r ψ 2 dx dy dz = rψ 2 dx dy dz. R 3 R 3 Prijelazom na sferne koordinate dobivamo r = 2π π φ=0 θ=0 + r=0 = 1 2π π πa0 3 dϕ sin θ dθ πa re 2r/a0 r 2 sin θ dr dθ dϕ = Pritom je korištena formula + 0 x n e ax dx = n! a n+1. r 3 e 2r/a 0 dr = 1 3! πa0 3 2π 2 ( ) 4 = a 0. a0
40 Ortogonalnost vodikovih 1s i 2s orbitala ψ 1,0,0 (r, θ, ϕ) = 1 e r/a 0, ψ 2,0,0 (r, θ, ϕ) = πa0 3 f, g = f g ds. S 1 4 2πa0 3 (2 ra0 ) e r/2a 0
41 Ortogonalnost vodikovih 1s i 2s orbitala ψ 1,0,0 (r, θ, ϕ) = 1 e r/a 0, ψ 2,0,0 (r, θ, ϕ) = πa0 3 f, g = f g ds. ψ 1,0,0, ψ 2,0,0 = 1 1 πa πa0 3 2π π φ=0 2π 0 dϕ + θ=0 r=0 π 0 S sin θ dθ 1 4 2πa0 3 (2 ra0 ) e r/2a 0 ψ 1,0,0 ψ 2,0,0 r 2 sin 2 θ dr dθ dϕ = + 0 r 2 e r/a 0 (2 ra0 ) e r/2a 0 dr.
42 Ortogonalnost vodikovih 1s i 2s orbitala ψ 1,0,0 (r, θ, ϕ) = 1 e r/a 0, ψ 2,0,0 (r, θ, ϕ) = πa0 3 f, g = f g ds. ψ 1,0,0, ψ 2,0,0 = 1 1 πa πa r 2 e r/a 0 2π π φ=0 2π 0 dϕ + θ=0 r=0 π 0 S sin θ dθ (2 ra0 ) e r/2a 0 dr = 1 4 2πa0 3 (2 ra0 ) e r/2a 0 ψ 1,0,0 ψ 2,0,0 r 2 sin 2 θ dr dθ dϕ = + 0 r 2 e r/a 0 (2 ra0 ) e r/2a 0 dr. ( 2 23 a0 3 2! a0 4 3! ) a = 0
43 Primjer Molarna provodnost u pravilu se mjeri indirektno mjerenjem otpora, a njihova veza dana je s Λ m = K cell Rc, gdje je K cell konstanta konduktometrijske ćelije. U nekom mjerenju otpora niza vodenih otopina NaCl u ćeliji s K cell = 0,2 cm 1 dobiveni su sljedeći parovi podataka (c/(mol L 1 ), R/Ω): (5,0 10 4, 3314), (5,0 10 3, 342), (2,0 10 2, 89) i (5,0 10 2, 37). Želimo, primjerice, procijeniti molarnu provodnost pri koncentraciji od 1, mol/l. x i = 10 2 c/m y i Λ m /(S dm 2 /mol) 0, 05 1,207 0,5 1, , ,081
44
45 Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja.
46 Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja. Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnu grešku obzirom na zadane parove (x i, y i ), i = 1,..., n?
47 Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja. Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnu grešku obzirom na zadane parove (x i, y i ), i = 1,..., n? e i = y i f (x i ); f (x i ) y i?
48 Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja. Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnu grešku obzirom na zadane parove (x i, y i ), i = 1,..., n? e i = y i f (x i ); f (x i ) y i?e i = f (x i ) y i?
49 Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja. Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnu grešku obzirom na zadane parove (x i, y i ), i = 1,..., n? e i = y i f (x i ); f (x i ) y i?e i = f (x i ) y i?e i = (f (x i ) y i ) 2. Ukupna greška aproksimacije: E = n E i = i=1 n (f (x i ) y i ) 2 min i=1
50 Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja. Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnu grešku obzirom na zadane parove (x i, y i ), i = 1,..., n? e i = y i f (x i ); f (x i ) y i?e i = f (x i ) y i?e i = (f (x i ) y i ) 2. Ukupna greška aproksimacije: E = n E i = i=1 n (f (x i ) y i ) 2 min i=1 Problem 3: Ako smo pretpostavili oblik funkcije f, s nepoznatim parametrima a, b, c,..., kako minimizirati E?
51
52
53
54
55 f (x) = ax + b: E(a, b) = n (ax i + b y i ) 2 min i=1 f (x) = ax 2 + bx + c: E(a, b, c) = n (axi 2 i=1 + bx i + c y i ) 2 min
56 f (x) = ax + b: E(a, b) = n (ax i + b y i ) 2 min i=1 f (x) = ax 2 + bx + c: E(a, b, c) = n (axi 2 i=1 + bx i + c y i ) 2 min Funkcije E su diferencijabilne, dakle su jedine kritične točke stacionarne: E = 0.
57 MNK: Aproksimacija afinom funkcijom n E(a, b) = (ax i + b y i ) 2, i=1 E n a = 2 (ax i + b y i )x i = 2 i=1 E n b = 2 (ax i + b y i ) = 2 i=1 n n xi 2 a + 2 x i b 2 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 n x i y i = 0, n n x i a + 2nb 2 y i = 0.
58 MNK: Aproksimacija afinom funkcijom n E(a, b) = (ax i + b y i ) 2, i=1 E n a = 2 (ax i + b y i )x i = 2 i=1 E n b = 2 (ax i + b y i ) = 2 i=1 n s x 2 = xi 2 ; s x = i=1 n s xy = x i y i ; s y = n n xi 2 a + 2 x i b 2 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 n x i y i = 0, n n x i a + 2nb 2 y i = 0. n i=1 n i=1 i=1 x i y i
59 Imamo dakle sustav: s x 2 a + s x b = s xy Cramerovo pravilo daje: s x a + n b = s y a = ns xy s x s y ns x 2 s 2 x b = s x 2s y s x s xy ns x 2 s 2 x Nije preteško dokazati da je ova stacionarna točka (a, b) stvarno točka minimuma za E..
60 x i y i x 2 i x i y i s x = s y = s x 2 = s xy = a = ns xy s x s y ns x 2 s 2 x b = s x 2s y s x s xy ns x 2 s 2 x.
61 Primjer x i y i x 2 i x i y i 0,05 1,207 0,0025 0, ,5 1,170 0,25 0, , , , ,405 s x = 7,55 s y = 4,582 s x 2 = 29,2525 s xy = 8,29835 z = ns x 2 s 2 x = 4 29,2525 7,55 2 = 60,0075 a = ns xy s x s y z b = s x 2s y s x s xy z = 0, = 1,
62
63 Primjer Za polazni primjer odredimo Λ 0 m ako znamo da se ovisnost molarne provodnosti Λ m o koncentraciji c jakog elektrolita opisuje Kohlrauschovim zakonom gdje su Λ 0 m i K konstante. Λ m = Λ 0 m K c, x i = 10 c/m y i Λ m /(S dm 2 /mol) 0,2236 1,207 0,7071 1,170 1,4142 1,124 2,2361 1,081
64
65 Zadatak Arrheniusova jednadžba k = Ae Ea/(RT ) opisuje temperaturnu ovisnost koeficijenta k brzine reakcije. Vrijednosti A i E a (i naravno R = 8,3145 J/(K mol)) su konstantne. Mjerenjima tokom raspada CH 3 CO dobiveni su sljedeći parovi podataka (T /K, k/(l/(mol s)): (700, 0,0110), (760, 0,105), (810, 0,789) i (910, 20,0). Arrheniusovu zakon brzine interpretirajte kao jednadžbu pravca y = ax + b. Zatim metodom najmanjih kvadrata izračunajte koeficijente a i b. Koliko iznosi energija aktivacije E a?
66 Nabla-operator Upoznali smo se s skalarnim funkcijama više varijabli i njihovim parcijalnim derivacijama te s vektorskim funkcijama i parcijalnim derivacijama njihovih koordinatnih funkcija. Skalarne i vektorske funkcije ponajviše se u fizici koriste kao funkcije triju varijabli (pozicije) i to kao tzv. skalarna polja ( r = [x, y, z] f (x, y, z)) i vektorska polja triju varijabli ( r = [x, y, z] F (x, y, z) = [F 1 ( r ), F 2 ( r ), F 3 ( r )]). Od velikog su fizikalnog značenja skalarnim i vektorskim funkcijama, tj. poljima, po odredenim principima iz pripadnih parcijalnih derivacija konstruirana nova skalarna i vektorska polja. Ti principi se nazivaju različitim načinima djelovanja nabla-operatora. Djelovanja nabla-operatora mogu se opisati tako da poistovjetimo s vektorom operatorâ deriviranja ( ),..., x 1 x n i ponašamo se kao da s tim vektorom na različite načine množimo.
67 Gradijent skalarne funkcije Gradijent skalarnoj funkciji pridružuje vektorsko polje po pravilu: ( f grad f (X ) = f (X ) = (X ),..., f ) (X ). x 1 x n Primjer Ako je f (x, y) = x ln y, onda je f (x, y) = (ln y, x y ) pa je f (1, e) = 1 i f (1, e) = (1, 1/e), dakle je vektor normale na nivo-liniju x ln y = 1 (u Kks-u u ravnini) u točki (1, e) na njoj jednak i + 1 e j. Primijetimo: f (X ) [ x 1, x 2,..., x n ] = n i=1 f x i (X ) x i f
68 Primjer Potencijalna energija medudjelovanja dvaju naboja Q 1 i Q 2 udaljenih za r je V = Q 1Q 2 4πε 0 r. Sila koja djeluje na drugi naboj uslijed postojanja prvog je F = V = Q 1 Q 2 4πε 0 1 r. No, r = r(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 pa je (1/r) x = 1 r x 2 + y 2 + z 2 2x = x r 3 i analogno za deriviranje po y i z.
69 Stoga je F = Q 1 Q 2 4πε 0 1 r 3 [ x, y, z] = Q 1Q 2 r 4πε 0 r 3 = Q 1Q 2 r1 4πε 0 r 2, gdje je r 1 jedinični vektor smjera i orijentacije kao r (vektor pozicije drugog naboja u odnosu na prvi), odnosno iznos sile kojom prvi naboj djeluje na drugi je F = Q 1Q 2 4πε 0. Sila po jedinici drugog r 2 naboja (dakle, sila kojom prvi naboj djeluje na jedinicu naboja na poziciji r ) je elektrostatsko polje naboja Q 1 : E = 1 Q 2 F = Q 1 4πε 0 r 2 r1. Primijetimo: E = φ gdje je φ = V /Q 2 pripadno skalarno polje elektrostatskog potencijala.
70 Divergencija vektorskog polja Primjer Neka je F (x, y) = (ln y, x y ) = (F 1(x, y), F 2 (x, y)). Jacobijeva matrica vektorskog polja F je ( ) 0 1/y JF (x, y) = 1/y x/y 2. Zbroj dijagonalnih elemenata u Jacobijevoj matrici vektorskog polja, tj. zbroj parcijalnih derivacija koordinatnih funkcija redom po odgovarajućoj varijabli (prve po prvoj, druge po drugoj,... ) zove se divergencijom vektorskog polja F : div F (X ) = F (X ) = F 1 x 1 (X ) F n x n (X ).
71 Primjer Divergencija se može shvatiti kao mjera koliko se vektorsko polje u nekoj točki ponaša kao izvor ili ponor. Recimo da promatramo brzinu stlačivog fluida u svakoj njegovoj točki. Linije strujanja sastoje se od slijeda pozicija pojedine čestice fluida. U područjima u kojima se te linije šire u smjeru toka, gustoća fluida se smanjuje i divergencija brzine je pozitivna. Divergencija je u tom kontekstu mjera širenja linija strujanja. Jednadžba koja opisuje stlačivi fluid obzirom na taj efekt je (ρv) = ρ t, gdje je ρ gustoća fluida, v brzina (obje su funkcije pozicije) i t vrijeme. Primjer Gaussov zakon za magnetsko polje B ima oblik B = 0. Ta formula iskazuje da nema točkastih izvora magnetskog polja.
72 Konzervativna vektorska polja Vidjeli smo: gradijent skalarne funkcije je vektorsko polje, tj. neka vektorska polja su gradijenti skalarnih funkcija (usporedi: neke funkcije jedne varijable su derivacije neke funkcije). Je li F (x, y, z) = (x, y 2, xz) gradijent neke skalarne funkcije?
73 Konzervativna vektorska polja Vidjeli smo: gradijent skalarne funkcije je vektorsko polje, tj. neka vektorska polja su gradijenti skalarnih funkcija (usporedi: neke funkcije jedne varijable su derivacije neke funkcije). Je li F (x, y, z) = (x, y 2, xz) gradijent neke skalarne funkcije? Pretpostavimo da jest: F = f za neku f. To znači da je dakle (integriranjem po x) f x = x, i stoga f (x, y, z) = x 2 + C(y, z) 2 y 2 = f y = C y,
74 odnosno (integriranjem po y) pa je C(y, z) = y D(z), f (x, y, z) = x y D(z) i xz = f z = D (z), što je nemoguće. Dakle, nije svako vektorsko polje gradijent neke skalarne funkcije.
75 Definicija Vektorsko polje F zove se konzervativnim ako postoji skalarna funkcija f takva da je F = f. U tom slučaju f se zove potencijalom od F. Uoči: po definiciji je f uvijek konzervativno vektorsko polje. Primijetimo: ako je F = f, znači da je F 1 = f x 1,...,F n = f x n, pa po Schwartzovom teoremu mora vrijediti F i x j = F j x i, i, j = 1, 2,..., n. Gornji uvjet zove se Eulerovim uvjetom: vektorsko polje zadovoljava Eulerov uvjet ako mu je Jacobijeva matrica simetrična. Vektorsko polje koje ne zadovoljava Eulerov uvjet sigurno nije konzervativno.
76 Teorem Ako je domena od F otvorena i povezana a, vektorsko polje F je konzervativno točno ako njegove koordinatne funkcije zadovoljavaju Eulerov uvjet. a Primjerice, cijeli R n, 0, n, otvoreni pravokutnik, otvoreni krug,... Zadatak Je li F (x, y) = (2x 3 y 4 + x, 2x 4 y 3 + y) konzervativno vektorsko polje? Ako da, odredite mu potencijal! Napomena Ako vektorsko polje F opisuje neku silu i ako je konzervativno, govorimo o konzervativnoj sili.
77 Rotacija vektorskog polja Rotacija vektorskog polja se definira samo za vektorska polja F = (F x, F y, F z ) : Ω R 3, Ω R 3 : i j k rot F (X ) = F (X ) = x y z. F x F y F z Je li rotacija skalarna ili vektorska funkcija?
78 Rotacija vektorskog polja Rotacija vektorskog polja se definira samo za vektorska polja F = (F x, F y, F z ) : Ω R 3, Ω R 3 : i j k rot F (X ) = F (X ) = x y z. F x F y F z Je li rotacija skalarna ili vektorska funkcija? Je li vektorsko polje?
79 Rotacija vektorskog polja Rotacija vektorskog polja se definira samo za vektorska polja F = (F x, F y, F z ) : Ω R 3, Ω R 3 : i j k rot F (X ) = F (X ) = x y z. F x F y F z Je li rotacija skalarna ili vektorska funkcija? Je li vektorsko polje? Primjer Ako je F (x, y, z) = (y, z, x) = y i + z j + x k, onda je rot F = i j k. Primjer Ako je v vektorsko polje koje opisuje brzinu fluida, onda njegova rotacija v u svakoj točki (x, y, z) opisuje sklonost čestica fluida da rotiraju oko osi definirane vektorom v(x, y, z).
80 Sažetak o nabla-operatoru Koje vrste produkata vezane za vektore u R n smo dosad upoznali?
81 Sažetak o nabla-operatoru Koje vrste produkata vezane za vektore u R n smo dosad upoznali? Označimo s vektor (operatora), tzv. nabla-operator, ( ) =,...,. x 1 x n Množenje vektora skalarom f, gdje je f skalarna funkcija Skalarni produkt vektora F, gdje je F vektorsko polja Za n = 3: vektorski produkt vektor F,, gdje je F vektorsko polja Zbog linearnosti deriviranja slijedi da je nabla-operator linearan u sva tri svoja načina djelovanja na funkcije. Vrijede i mnoga druga zgodna svojstva (vidjeti skriptu za formule).
82 Rotacija gradijenta, divergencija rotacije i divergencija gradijenta Neka je f skalarna funkcija triju varijabli f. Odredite ( f ).
83 Rotacija gradijenta, divergencija rotacije i divergencija gradijenta Neka je f skalarna funkcija triju varijabli f. Odredite ( f ). ( f ) = rot gradf = [0, 0, 0] Dakle, rotacija konzervativnog vektorskog polja je nul-polje. Primjerice, rotacija elektrostatskog polja točkastog naboja je nul-polje: E = φ = 0.
84 Rotacija gradijenta, divergencija rotacije i divergencija gradijenta Neka je f skalarna funkcija triju varijabli f. Odredite ( f ). ( f ) = rot gradf = [0, 0, 0] Dakle, rotacija konzervativnog vektorskog polja je nul-polje. Primjerice, rotacija elektrostatskog polja točkastog naboja je nul-polje: E = φ = 0. Neka je F vektorsko polje triju varijabli. Odredite ( F ).
85 Rotacija gradijenta, divergencija rotacije i divergencija gradijenta Neka je f skalarna funkcija triju varijabli f. Odredite ( f ). ( f ) = rot gradf = [0, 0, 0] Dakle, rotacija konzervativnog vektorskog polja je nul-polje. Primjerice, rotacija elektrostatskog polja točkastog naboja je nul-polje: E = φ = 0. Neka je F vektorsko polje triju varijabli. Odredite ( F ). ( F ) = div rotf = 0 Dakle, ako je neko polje rotacija drugog polja, divergencija mu je nul-funkcija.
86 Rotacija gradijenta, divergencija rotacije i divergencija gradijenta Neka je f skalarna funkcija triju varijabli f. Odredite ( f ). ( f ) = rot gradf = [0, 0, 0] Dakle, rotacija konzervativnog vektorskog polja je nul-polje. Primjerice, rotacija elektrostatskog polja točkastog naboja je nul-polje: E = φ = 0. Neka je F vektorsko polje triju varijabli. Odredite ( F ). ( F ) = div rotf = 0 Dakle, ako je neko polje rotacija drugog polja, divergencija mu je nul-funkcija.
87 Ako je f skalarna funkcija, f je vektorsko polje te je f = 2 f skalarna funkcija. Operator 2 naziva se Laplaceovim operatorom. Raspišimo njegovo djelovanje na funkciju triju varijabli: ( f 2 f (x, y, z) = x, f y, f ) = z Općenito: = f x x + f y y + f z z = 2 f x f y f z 2 2 f = n 2 f x 2 i=1 i Zadatak Koje su još kombinacije dvostrukog djelovanja nabla-operatora smislene osim rot grad, div rot i div grad?
88 Primjer Za f (x, y, z) = A sin(ax) sin(by) sin(cz) je 2 f (x, y, z) = (a 2 + b 2 + c 2 )f (x, y, z), tj. funkcija f je svojstveni vektor Laplaceovog operatora koji odgovara svojstvenoj vrijednosti a 2 b 2 c 2. Napomena Laplaceov operator se pojavljuje u mnogim važnim jednadžbama u fizici: Laplaceova jednadžba 2 φ = 0, Helmholtzova jednadžba 2 φ + k 2 φ = 0, 2 φ t 2, valna jednadžba 2 φ = 1 v Schrödingerova jednadžba (za stacionarna stanja): Ĥψ = E ψ, Ĥ = 2m 2 + V.
89 Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Termodinamička motivacija Svako stanje (termodinamičkog) sustava opisuje se preko odredenih skalarnih svojstava, dakle stanje opisano sa m svojstava možemo poistovjetiti s nekim elementom X R m. (Termodinamički) sustav onda poistovjećujemo sa skupom svih svojih mogućih stanja, tj. nekim (otvorenim) podskupom Ω R m. Primjer Plin stalnog sastava opisujemo podacima o tlaku, volumenu i temperaturi, tj. možemo ga promatrati kao Ω( R 3, pri čemu ) elemente od Ω (pojedina moguća stanja) označavamo p p, V 1 L, T 1 K. Procesi su promjene stanja sustava. U infinitezimalnim procesima se te promjene dogadaju u beskonačno malim iznosima. Svaki infinitezimalni proces može se vizualizirati kao glatka orijentirana krivulja γ u skupu Ω; točke na toj krivulji predstavljaju sva moguća stanja tokom procesa. Reverzibilan proces je onaj čiji smjer možemo obrnuti infinitezimalnom promjenom nekog od svojstava.
90 Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Krivulje Parametarski definirane funkcije koje smo spominjali u poglavlju o deriviranju funkcija jedne varijable i koje su bile zadane formulama oblika x = x(t), y = y(t), t I (gdje je I neki interval u skupu realnih brojeva) zapravo su vektorske funkcije γ : I R 2, γ(t) = (x(t), y(t)).
91 Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Krivulje Parametarski definirane funkcije koje smo spominjali u poglavlju o deriviranju funkcija jedne varijable i koje su bile zadane formulama oblika x = x(t), y = y(t), t I (gdje je I neki interval u skupu realnih brojeva) zapravo su vektorske funkcije γ : I R 2, γ(t) = (x(t), y(t)). Definicija (Krivulja) Krivulja u R n je skup svih točaka oblika γ(t) R n za a t b, gdje je γ : [a, b] R n neprekidna funkcija a. Kad govorimo o funkciji γ takoder ćemo ju nazivati krivuljom. a U pravilu: derivabilna s neprekidnom derivacijom. Primjer γ(t) = (cos t, sin t), 0 t π:
92 Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Za krivulju γ : [a, b] R n : A = γ(a) zovemo početkom krivulje, B = γ(b) zovemo krajem krivulje; ako je A = B kažemo da je γ zatvorena. Ako je za svako t γ(t) element neke plohe, govorimo o krivulji na toj plohi. Krivulje su prirodno orijentirane, tj. postoji prirodan smjer obilaska krivulje: u smjeru porasta varijable t (tj. od γ(a) prema γ(b)). 2D krivulja γ(t) = (x(t), y(t)) γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) tangencijalni vektor 1 γ (T ) = (x (T ), x (T )) γ (T ) = (x (T ), y (T ), z (T 3D 1 Vektor smjera tangente na krivulju u njenoj točki γ(t ).
93 Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Duljina krivulje; normalna ravnina Duljina krivulje: l(γ) = b a γ (t) dt. Pritom je γ (t) (pozitivni) drugi korijen sume kvadrata koordinata od γ (t): γ (t) = γ (t), γ (t).
94 Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Duljina krivulje; normalna ravnina Duljina krivulje: l(γ) = b a γ (t) dt. Pritom je γ (t) (pozitivni) drugi korijen sume kvadrata koordinata od γ (t): γ (t) = γ (t), γ (t). Ako je γ : [a, b] R 3, ravnina koja je u točki γ(t ) okomita na krivulju (normalna ravnina) je odredena jednadžbom
95 Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Duljina krivulje; normalna ravnina Duljina krivulje: l(γ) = b a γ (t) dt. Pritom je γ (t) (pozitivni) drugi korijen sume kvadrata koordinata od γ (t): γ (t) = γ (t), γ (t). Ako je γ : [a, b] R 3, ravnina koja je u točki γ(t ) okomita na krivulju (normalna ravnina) je odredena jednadžbom x (T )(x x(t )) + y (T )(y y(t )) + z (T )(z z(t )) = 0.
96 Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Promjena orijentacije, spajanje krivulja Primjer Kružnicu zadanu parametarski s x(t) = cos t, y(t) = sin t, 0 t 2π obilazimo u pozitivnom smjeru. Kako postići da ju obilazimo u negativnom smjeru?
97 Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Promjena orijentacije, spajanje krivulja Primjer Kružnicu zadanu parametarski s x(t) = cos t, y(t) = sin t, 0 t 2π obilazimo u pozitivnom smjeru. Kako postići da ju obilazimo u negativnom smjeru? x(t) = cos( t) = cos t, y(t) = sin( t) = sin t, 0 t 2π Općenito: γ(t) = γ(a + b t), a t b. Zadatak Opišite parametarski krivulju ABCA, gdje je dio AB dužina od A = (0, 0) do B = (1, 0), a C četvrtina jedinične kružnice od B do C = (0, 1).
98 Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Promjena orijentacije, spajanje krivulja Primjer Kružnicu zadanu parametarski s x(t) = cos t, y(t) = sin t, 0 t 2π obilazimo u pozitivnom smjeru. Kako postići da ju obilazimo u negativnom smjeru? x(t) = cos( t) = cos t, y(t) = sin( t) = sin t, 0 t 2π Općenito: γ(t) = γ(a + b t), a t b. Zadatak Opišite parametarski krivulju ABCA, gdje je dio AB dužina od A = (0, 0) do B = (1, 0), a C četvrtina jedinične kružnice od B do C = (0, 1). Krivulja γ = γ 1 γ 2 nastala spajanjem dvije krivulje γ 1 i γ 2 : γ(t) = γ 1 (t) za a t c i γ(t) = γ 2 (t) za c t b.
99 Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Radna motivacija Znamo: mehanički rad izvršen duž ravnog puta (dužine) može se opisati integralom b w = F (x) dx = F dx a I =[a,b] koji prestavlja (do na predznak) površinu omedenu dužinom [a, b], dijelom grafa od F iznad te dužine i vertikalama povučenim u krajevima dužine. Što ako put nije ravan, nego je nekakva krivulja γ u ravnini ili prostoru? Opet će rad geometrijski biti (do na predznak) površina omedenu krivuljom, dijelom grafa od F iznad te krivulje i vertikalama povučenim u krajevima krivulje, u notaciji w = F ds, gdje ds predstavlja infinitezimalni djelić od γ. No, što bi to značilo γ... ds? γ
100 Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Krivuljni integrali prve vrste Definicija (Krivuljni integral prve vrste) Neka je f : Ω R n R neka neprekidna skalarna funkcija od n varijabli te neka je γ krivulja u Ω (dakle, γ : [a, b] Ω). Tada je krivuljni integral od f (poznat i kao krivuljni integral prve vrste skalarne funkcije f ) duž γ definiran s γ f ds = b a f (γ(t)) γ (t) dt.
101 Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Za krivulje u R 2 i R 3 : γ f ds = f ds = γ b a b a f (x(t), y(t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt, f (x(t), y(t), z(t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 dt.
102 Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Za krivulje u R 2 i R 3 : γ f ds = f ds = γ b a b a f (x(t), y(t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt, f (x(t), y(t), z(t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 dt. γ f ds = γ f ds. f ds = γ 1 γ 2 f ds + γ 1 f ds. γ 2 Oznaka umjesto koristi se kad se želi naglasiti da se integrira po zatvorenoj krivulji. Zadatak γ xy 4 ds =? ako je γ rub polukruga x 2 + y 2 4, y 0.
103 Diferencijali Diferencijal varijable dx x!!!
104 Diferencijali Diferencijal varijable dx x!!! d je linearan funkcional na R n koji n-torci pridružuje iznos koordinate koja odgovara varijabli : Primjer dx i (x 1, x 2,..., x n ) = x i, i = 1, 2,..., n Ako promatramo R 3 s koordinatama (x, y, z), onda je dy(1, 2, 3) = 2. No, nije da dx nema veze s x: dx i ( X ) = dx i ( x 1, x 2,..., x n ) = x i, tj. u sluçaju male promjene točke u R n diferencijal dx i ukupnoj promjeni pridružuje promjenu i-te koordinate.
105 Diferencijali Diferencijal je uvijek odreden nekim vektorskim poljem. Ako je F = (F 1,..., F n ) vektorsko polje varijabli (x 1,..., x n ), izraz (funkciju) oblika ω F = F 1 dx F n dx n = i F i dx i zovemo diferencijalom odredenim vektorskim poljem F (oprez: to NIJE isto što i diferencijal polja F, u oznaci df!!!). Primjer F (x, y) = (x + y, x 2 y 2 ) ω F = (x + y) dx + (x 2 y 2 ) dy
106 Diferencijali Diferencijal je uvijek odreden nekim vektorskim poljem. Ako je F = (F 1,..., F n ) vektorsko polje varijabli (x 1,..., x n ), izraz (funkciju) oblika ω F = F 1 dx F n dx n = i F i dx i zovemo diferencijalom odredenim vektorskim poljem F (oprez: to NIJE isto što i diferencijal polja F, u oznaci df!!!). Primjer F (x, y) = (x + y, x 2 y 2 ) ω F = (x + y) dx + (x 2 y 2 ) dy ω F (1, 2) = (1 + 2) dx + ( ) dy = 3 dx 3 dy
107 Diferencijali Diferencijal je uvijek odreden nekim vektorskim poljem. Ako je F = (F 1,..., F n ) vektorsko polje varijabli (x 1,..., x n ), izraz (funkciju) oblika ω F = F 1 dx F n dx n = i F i dx i zovemo diferencijalom odredenim vektorskim poljem F (oprez: to NIJE isto što i diferencijal polja F, u oznaci df!!!). Primjer F (x, y) = (x + y, x 2 y 2 ) ω F = (x + y) dx + (x 2 y 2 ) dy ω F (1, 2) = (1 + 2) dx + ( ) dy = 3 dx 3 dy ω F (1, 2)(3, 4) = 3 dx(3, 4) 3 dy(3, 4) = = 3. F : Ω R n R n ω F : Ω L(R n, R) ω F (X ) : R n R, X Ω
108 Diferencijali Uvrštavanje u diferencijale Za vektorsko polje F s domenom ω pripadni diferencijal ω F = F 1 dx F n dx n = i F i dx i je funkcija koja točki X 0 Ω R n pridružuje linearni funkcional definiran na R n, dakle se u ω F (X 0 ) (koji je sad linearna kombinacija dx i -ova s konstantnim koeficijentima) ponovno može uvrstiti bilo koji X R n i tako dobiti realan broj ω F (X 0 )(X ). Uočite: prvi argument, X 0, je u domeni od F, te se uvrštava u F i -ove, a drugi je bilo gdje u R n te se uvrštava u dx i -ove. Primjer F (x, y, z) = (x y, y z, z x) ω F = (x y) dx + (y z) dy + (z x) dz X 0 = (4, 3, 1) ω F (X 0 ) = dx + 4 dy 5 dz
109 Krivuljni integrali druge vrste ω F = i F i }{{} dx i }{{} skalarna funkcija lin.funkcional ω F (X 0 ) = i F i (X 0 ) }{{} broj dx i }{{} lin.funkcional ω F (X 0 )(X ) = i F i (X 0 ) }{{} broj x }{{} i broj ω F (X 0 )( X ) = i F i (X 0 ) x i Termodinamički gledano, stoga diferencijali predstavljaju infinitezimalne promjene termodinamičkih svojstava, tj. indirektno opisuju ne samo svojstvo, već njegovu promjenu. Ukupnu promjenu odgovarajućeg svojstva tijekom procesa γ dobijemo kao γ ω F. Definicija (Krivuljni integral druge vrste) Neka je F = (F 1,..., F n ) : Ω R n neko vektorsko polje i γ krivulja u Ω. Tada je krivuljni integral druge vrste diferencijala ω F (odnosno vektorskog polja F = (F 1,..., F n )) duž γ definiran s γ ω F = γ F 1 dx F n dx n = b a F (γ(t)), γ (t) dt.
110 Krivuljni integrali druge vrste Primjer Izračunajmo integral γ x dx + xy 2 dy po dijelu pravca y = 2x + 1 za x izmedu 0 i 1.
111 Krivuljni integrali druge vrste Primjer Izračunajmo integral γ x dx + xy 2 dy po dijelu pravca y = 2x + 1 za x izmedu 0 i 1. Rješenje: 37/6.
112 Krivuljni integrali druge vrste Primjer Izračunajmo integral γ x dx + xy 2 dy po dijelu pravca y = 2x + 1 za x izmedu 0 i 1. Rješenje: 37/6. Primjer ω = γ 1 γ 2 ω + γ 1 ω. γ 2 Izračunajmo krivuljni integral diferencijala y 2 dx + xy dy po krivulji ABC koja je unija dvije dužine AB i BC gdje je A = ( 1, 1), B = (0, 0) i C = (2, 2), s tim da se krivulja obilazi od A preko B do C. Koliko taj integral iznosi ako se krivulja obide obrnutim smjerom? AB: x(t) = t, y(t) = t, 1 t 0; BC: x(t) = t, y(t) = t, 0 t 2. ABC y 2 dx+xy dy = 0 1 ( t) 2 1+t ( t) ( 1) dt+ 2 0 ( t) 2 1+t t 1 dt = 6.
113 Krivuljni integrali druge vrste Za obilazak u suprotnom smjeru imamo: CB je x(t) = t, y(t) = t za 0 t 2, a BA je x(t) = t, y(t) = t za 1 t 0. Slijedi y 2 dx + xy dy = 6. CBA
114 Krivuljni integrali druge vrste Za obilazak u suprotnom smjeru imamo: CB je x(t) = t, y(t) = t za 0 t 2, a BA je x(t) = t, y(t) = t za 1 t 0. Slijedi y 2 dx + xy dy = 6. Zadatak CBA γ ω = ω. γ f (x, y) = x 2 y; F (x, y) = f (x, y) = (2xy, x 2 ); izračunajte B A 2xy dx + x 2 dy za A = ( 1, 0), B = (1, 0) ako (a) od A do B idemo najkraćim putem; (b) preko donje jedinične polukružnice.
115 Krivuljni integrali druge vrste Još malo termodinamike Svako svojstvo sustava možemo shvatiti kao skalarnu funkciju Y definiranu na sustavu Ω čije vrijednosti Y (X ) su iznosi tog svojstva u stanjima X. U termodinamici često ne raspolažemo pravilom funkcije Y, već samo diferencijalom ω koji opisuje promjene funkcije Y, ali ne i njene apsolutne iznose. Medu svojstvima sustava neka su istaknuta i zovu se funkcije stanja: svojstva sustava čija promjena tokom bilo kojeg procesa ne ovisi o samom procesu, nego samo o početnom i konačnom stanju. Dakle: Y je funkcija stanja ako γ ω ne ovisi o γ, već samo o početnoj i krajnjoj točki od γ. Takve diferencijale ω nazivamo egzaktnim diferencijalima: termodinamička funkcija Y opisana diferencijalom ω je funkcija stanja točno ako je ω egzaktan.
116 Egzaktni diferencijali Egzaktni diferencijali Neka je F konzervativno vektorsko polje i ω F pridruženi diferencijal. Tada je F = f za neki potencijal f, odnosno F i = f x i za sve i, pa je b f ω F = (γ i (t))γ i (t) dt =... = f (B) f (A). x i γ a i Dakle, diferencijali pridruženi konzervativnim vektorskim poljima imaju traženo svojstvo. Definicija Diferencijal ω F zovemo egzaktnim (ili potpunim) ako je F konzervativno vektorsko polje, tj. to je diferencijal pridružen gradijentu f neke skalarne funkcije f te se označava s df. df = ω f = f x i dx i
117 Egzaktni diferencijali Primjer f (x, y, z) = e x y z 2 f (x, y, z) = (e x y z 2, e x y z 2, 2e x y z) f (0, 0, 1) = (1, 1, 2) df (x, y, z) = f (0, 0, 1) (x, y, z) = x y + z. Znamo: za odabrani vektor a R n je s f a (x) = a x definiran linearan funkcional na R n. Takoder znamo: ako je dana skalarna funkcija n varijabli, njen gradijent izračunat u nekoj točki njene domene je vektor u R n. Dakle: za svaku skalarnu funkciju f od n varijabli i svaki element X 0 iz njene domene je s X f (X 0 ) X definiran linearan funkcional na R n. Takav linearan funkcional zove se diferencijalom skalarne funkcije f u točki X 0 i označava se s df (X 0 ). Vidimo: diferencijal skalarne funkcije i egzaktan diferencijal su sinonimi.
118 Egzaktni diferencijali Teorem Za diferencijal ω ekvivalentne su tvrdnje: (i) Integral od ω ne ovisi o putu, tj. γ 1 ω = γ 2 ω za svake dvije krivulje γ 1 i γ 2 koje imaju zajedničke početke i zajedničke krajeve. (ii) γ ω = 0 za sve zatvorene krivulje. (iii) ω je egzaktan diferencijal. Napomena: Eulerov kriterij egzaktnosti Ako su sve F i glatke fukcije s otvorenom povezanom domenom, diferencijal ω = i F i dx i je egzaktan ako i samo ako je za sve i, j = 1,..., n. F i x j = F j x i
119 Egzaktni diferencijali Zadatak Ako je f konstantna funkcija na R n i X 0 proizvoljni element iz R n, što je df (X 0 )?
120 Egzaktni diferencijali Zadatak Ako je f konstantna funkcija na R n i X 0 proizvoljni element iz R n, što je df (X 0 )? df (X 0 )( X ) = ω F = (F 1,..., F n ) ( dx 1,..., dx n ) df = f ( dx 1,..., dx n ) n i=1 f x i (X 0 ) dx i ( X ) = n i=1 f x i (X 0 ) x i. Svaki član u gornjoj sumi je procjena promjene vrijednosti funkcije kad se samo jedna od varijabli malo promijeni u odnosu na vrijednost koju ima u X 0, pa stoga cijela suma procjenjuje ukupnu promjenu funkcije kad se svaka od tih varijabli malo promijeni. Primjer f : R R, f (x) = x 2 ; f x (c) = f (c) = 2c; df (c) = f x (c) dx = 2c dx;
121 Neke primjene u kemijskoj termodinamici Neke primjene u kemijskoj termodinamici Uočimo: ako znamo pravilo, odnosno formulu za Y, uvijek je dy egzaktan jer je to po definiciji diferencijal odreden s Y. Funkcije stanja su sva svojstva koja su odrediva na tzv. apsolutnoj ljestvici. To su npr. volumen, tlak, temperatura, množina,... To u osnovi (sjetite se MNK!) znači da je takvim funkcijama načelno moguće odrediti pravilo. Primjer Ukoliko je dana jednadžba stanja plina, tlak p je moguće opisati kao funkciju n, T i V s konkretnom formulom i stoga odrediti i pripadni egzaktni diferencijal dp. Primjerice, za idealni plin je dp = RT V dn + nr V dt nrt V 2 dv. Za rad i toplinu poznato je da iznos promjene (tj. izvršeni rad odnosno razmijenjena toplina) ovisi o načinu na koji je ta promjena postignuta pa odgovarajući diferencijali nisu egzaktni. Usprkos tome, uobičajeno ih je označavati s dw i dq. Volumni rad je definiran diferencijalom p dv.
122 Neke primjene u kemijskoj termodinamici Prvi i drugi glavni stavak termodinamike 1 Unutrašnja energija je funkcija stanja sustava jednoznačno (za infinitezimalne procese) odredena egzaktnim diferencijalom du = dw + dq. 2 Entropija je funkcija stanja sustava jednoznačno (za reverzibilne procese) odredena egzaktnim diferencijalom Primjer ds = dq T. Ukoliko je jedini mogući rad u nekom sustavu volumni te ako se odvija reverzibilni proces, za svako stanje X tog sustava (poistovjećeno s parom (V, S)) vrijedi du(x ) = dw(x ) + dq(x ) = p(x ) dv + T (X ) ds.
123 Neke primjene u kemijskoj termodinamici Primjer Termodinamički potencijal za odredene termodinamičke uvjete je funkcija stanja a Φ takva da je dφ = 0 (ako je jedini mogući rad volumni). Za izobarno izotermne uvjete (p =const., T =const.) termodinamički potencijal je Gibbsova energija definirana kao G = U + pv TS : dg = d(u +pv TS) = dw + dq +p dv +V dp T ds S dt = = p dv + T ds + p dv T ds = 0. a Koja ima (lokalni) minimum u ravnotežnom stanju. Zadatak Raspišite diferencijal entalpije H = U + pv (uz pretpostavku da je jedini mogući rad volumni). Koje su varijable entalpije u tom kontekstu?
124 Neke primjene u kemijskoj termodinamici Druga Gibbs-Helmholtzova relacija Kako je G = H TS funkcija stanja, slijedi da je egzaktan diferencijal, dg = V dp S dt
125 Neke primjene u kemijskoj termodinamici Druga Gibbs-Helmholtzova relacija Kako je G = H TS funkcija stanja, slijedi da je dg = V dp S dt egzaktan diferencijal, dakle je oblika ( ) G dg = dp + p Slijedi: ( ) G p T T = V, ( ) G dt. T p ( ) G = S. T p Uvrštavanje posljednje jednakosti u definiciju G = H TS daje drugu Gibbs-Helmholtzovu relaciju
126 Neke primjene u kemijskoj termodinamici Druga Gibbs-Helmholtzova relacija Kako je G = H TS funkcija stanja, slijedi da je dg = V dp S dt egzaktan diferencijal, dakle je oblika ( ) G dg = dp + p T ( ) G dt. T p Slijedi: ( ) ( ) G G = V, = S. p T T p Uvrštavanje posljednje jednakosti u definiciju G = H TS daje drugu Gibbs-Helmholtzovu relaciju G = H + T ( ) G T p odnosno ( ) G H = G T. T p
127 Neke primjene u kemijskoj termodinamici Maxwellove formule Svaka od Maxwellovih formula dobiva se iz egzaktnosti jednog od diferencijalâ du, dh, da i dg. Primjerice, kako je dg = S dt + V dp, budući je dg egzaktan, mora zadovoljavati Eulerov uvjet egzaktnosti pa je ( ) ( ) S V =. p T T p To je jedna od Maxwellovih formula.
128 Neke primjene u kemijskoj termodinamici Reakcijski gradijenti Ako je Y neko ekstenzivno svojstvo sustava, pripadni reakcijski gradijent je r Y = Y ξ, gdje je doseg ξ definiran sa dξ = 1 ν J dn J, a J bilo koji sastojak sustava. Osobito često se koristi reakcijski gradijent Gibbsove energije, zvan reakcijska Gibbsova energija. Imamo dakle r G = G ξ.
129 Neke primjene u kemijskoj termodinamici Primjer Ako U smatramo funkcijom temperature, volumena i množine, vrijedi ( ) ( ) ( ) U U U du = dt + dv + dn T V,n V T,n n T,V (zašto?).
130 Neke primjene u kemijskoj termodinamici Primjer Ako U smatramo funkcijom temperature, volumena i množine, vrijedi ( ) ( ) ( ) U U U du = dt + dv + dn T V,n V T,n n T,V (zašto?). Ako pak U smatramo funkcijom temperature, tlaka i množine, bit će
131 Neke primjene u kemijskoj termodinamici Primjer Ako U smatramo funkcijom temperature, volumena i množine, vrijedi ( ) ( ) ( ) U U U du = dt + dv + dn T V,n V T,n n T,V (zašto?). Ako pak U smatramo funkcijom temperature, tlaka i množine, bit će ( ) ( ) ( ) U U U du = dt + dp + dn. T p,n p T,n n T,p Kolika je razlika izmedu relativnih promjena unutrašnje energije obzirom na promjenu temperature (iskazanih parcijalnim derivacijama U T ) u ova dva slučaja?
132 Neke primjene u kemijskoj termodinamici ( ) U = T V,n ( ) U +?. T p,n
133 Neke primjene u kemijskoj termodinamici + ( U p ( ) ( ) U U = T V,n T ( ) ( ) ( ) U U T = T V,n T p,n T ) ( ) ( ) p U + T n T,n V,n +?. p,n T,p + V,n ( n T ), V,n
134 Neke primjene u kemijskoj termodinamici ( ) ( ) U U = +?. T V,n T p,n ( ) ( ) ( ) U U T = + T V,n T p,n T V,n ( ) ( ) ( ) ( ) U p U n + + p T,n T V,n n T,p T ( ) ( ) ( ) ( ) U U U p = + T T p T V,n p,n T,n, V,n. V,n
135 Neke primjene u kemijskoj termodinamici ( ) ( ) U U = +?. T V,n T p,n ( ) ( ) ( ) U U T = + T V,n T p,n T V,n ( ) ( ) ( ) ( ) U p U n + + p T,n T V,n n T,p T ( ) ( ) ( ) ( ) U U U p = + T T p T V,n p,n T,n, V,n. V,n
136 Neke primjene u kemijskoj termodinamici Izohorni i izobarni toplinski kapacitet definirani su s ( ) ( ) ( ) q S q C V = = T, C p = T V,n T V,n T p,n = T ( ) S. T p,n Primjer U izotermnim okolnostima definirana je izotermna kompresibilnost (stlačivost) κ T = 1 ( ) V, V p T,n a u izoentropijskim uvjetima adijabatska kompresibilnost κ S = 1 ( ) V V p. S,n Vrijedi: Dokažite! C p C V = κ T κ S.
137 Neke primjene u kemijskoj termodinamici C p C V = ( S T ( S T Korištenjem Eulerovog cikličkog pravila u brojniku i u nazivniku dobije se da je prethodni kvocijent dalje jednak ( ) ( ) S p ( V ) ( ) ( ) S V p T S p p ( S V ) T,n T,n ( V T ) S,n S,n = ( V T ) T,n S,n ) ) p,n V,n ( T p ). T,n S,n = ( V p ) T,n S,n = κ T κ S. U zadnjem redu smo za dobivanje prve jednakosti koristili formulu, za dobivanje druge lančano pravilo, a za dobivanje y x = 1 x y zadnje smo razlomak proširili faktorom 1 V.
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραUvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραPlohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli
Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli Franka Miriam Brückler f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. Dakle, za svaki par (x, y) u domeni
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα1. Vektorske i skalarne funkcije
VEKTORSKE I SKALARNE FUNKCIJE 1 1. Vektorske i skalarne funkcije 1.1. Što su to skalarne i vektorske funkcije? Ako svakoj točki u nekom dijelu prostora pridružimo broj, ili drugim riječima skalar zadali
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραIntegrali Materijali za nastavu iz Matematike 1
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.
1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραSustav dvaju qubitova Teorem o nemogućnosti kloniranja. Spregnuta stanja. Kvantna računala (SI) 17. prosinca 2016.
17. prosinca 2016. Stanje qubita A prikazujemo vektorom φ A u Hilbertovom prostoru H A koristeći ortonormiranu bazu { 0 A, 1 A }. Stanje qubita B prikazujemo vektorom φ B u H B... Ako se qubitovi A i B
Διαβάστε περισσότερα6. Poopćenja Newton Leibnizove formule
STOKES 5 6. oopćenja Newton Leibnizove formule 6.. Još neki važni operatori Doasad smo naučili operator ili grad, koji od skalarnog polja radi vektorsko polje: ( U gradu U(x, y, z) x,, ). z Sada ćemo upoznati
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότερα6. Redovi potencija. a 0 + a 1 (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) a n (z z 0 ) n +, (6.0.1)
REDOVI POTENCIJA 3 6. Redovi potencija Rekli smo da je funkcija f analitička na nekom skupu R ako ona ima derivaciju u svakoj točki R i ako je ta derivacija neprekidna funkcija. Tipične primjere analitičkih
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA /2012.
MATEMATIKA 2 2011./2012. 1 MATEMATIKA 2 1 MATEMATIKA 2 2 MATEMATIKA 2 3 MATEMATIKA 2 4 2 ρ O 0 1 ϕ T=(ϕ,ρ) MATEMATIKA 2 5 MATEMATIKA 2 6 z z T'' 1 O ϕ ρ T=(ϕ,ρ,z) T'=(ϕ,ρ) Π z z z0 T'' 0 z0=z0 ravnina
Διαβάστε περισσότεραRedovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler
Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραVektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
Διαβάστε περισσότεραPredavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun
Predavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je
Διαβάστε περισσότεραMatrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler
Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραVVR,EF Zagreb. November 24, 2009
November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Gordan Radobolja. 22. rujna PMF. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
MATEMATIKA 2 Gordan Radobolja PMF 22. rujna 2013. Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 1 / 70 Dekompozicija kvadra Zatvoreni n-dimenzionalni kvadar K je kartezijev produkt od n zatvorenih
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότερα