Skalarni umnozak vektora je skalar: a b = a b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor a i b.

Transcript

1 5. VEKTORI U PROSTORU 5. Opcenito o vektorima a Jedinicni vektor (ort) je vektor sa intenzitetom. a a a Zbroj dva vektora je vektor: a+ b c. Graficki, zbroj se dobije ulancavanjem dva vektora. Na kraj prvog translacijom se doda pocetak drugog vektora. Rezultat je vektor koji ima duzinu od pocetka prvog do kraja drugog vektora. Oduzimanje vektora je dano izrazom: a b a+ b c. Oduzimanje se izvodi tako sto se na pocetak prvog vektora translacijom doda pocetak drugog vektora. Rezultat, vektor c, ima duzinu od kraja drugog do kraja prvog vektora (vidi zadatak u nastavku) Linearno nezavisni vektori su oni vektori za koje vrijedi: λ a + λ a 3 Linearno nezavisni vektori cine bazu vektorskog prostora: V za ravninu i V za prostor. 3 Svaki vektor se moze rastaviti na komponente. Za prostor V ima oblik: a axi + ay j + azk a ( ax, ay, az) Apsolutna vrijednost vektora racuna se prema: a ax + ay + az Skalarni umnozak vektora je skalar: a b a b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor a i b. Za ϕ ili a b ( axi + ay j + azk) ( bxi + by j + bzk) axbx + ayby + azbz i i j j k k i j j k k i Vektorski umnozak dva vektora je vektor: a b c koji je okomit na a i b. Vektori ab, i c cine desni sustav. c a b a b sin a, b Vektorski umnozak jedinicnih vektora u desnom sustavu: ixi jxj kxk ixj k jxk i kxi j jxi k kxj i ixk j a b a b ax ay az S sinϕ a b b b b x y z Apsolutna vrijednost vektorskog produkta dva vektora jednaka je povrsini paralelograma sto ga zatvaraju zadani vektori. Vektori u prostoru

2 Mjesoviti umnozak vektora oznacava se sa abc,, a ( b c) ( a b) c a a a a b c a b c V a b c b b b sinϕ cosψ x y z x y z c c c x y z Apsolutna vrijednost mjesovitog umnoska vektora, jednaka je volumenu prizme koju zatvaraju vektori. Tocka T( x, y, z) u prostoru, odredjena je sa radijvektorom r xi + yj + zk Udaljenost tocke T( x, y, z) od ishodista iznosi : r x + y + z Udaljenost dviju tocaka, u prostoru T( x, y, z) i T( x, y, z) dano je sa: d ( x ) x + y y + z z Usmjerene komponente vektora a u smjeru i, j, k iznose: i a i a cosα j a j a cos β k a k a cosγ odnosno: i a a a x j a y k a az cosα cos β cosγ ili: a a a a a a a + a + a a u i cosα + jcos β + k cosγ x y z cos α + cos β + cos γ Vektor u je tada paralelan sa a: Pravac u prostoru, koji prolazi tockom T,, i paralelan sa a definiran je sa: ( x y z ) x x y y z z r r ka k skalar a a a x y z a a x y a z Usmjereni brojevi pravca su: ( ax, ay, az) odnosno usmjereni kosinusi:,, a a a Povrsina u prostoru, koja prolazi tockom T ( x, y, z) i koja je okomita na dani pravac a definiran je sa: r r a ax+ ay+ az+ D A a; B a; C a; x y z x y z ( x y z ) D a x + a y + a z Ax+ By+ Cz D Usmjerena derivacija za funkciju F( x, y, z) u tocki T( x, y, z) u smjeru odredjenim sa kutevima F F F F α, β i γ: cosα + cos β + cosγ s z z z Odnosno za f ( x, y) : cosθ + sinθ s x y Vektor smjera je: cos j + cosγ k Odnosno: cosθ i + sinθ j ( α) i + ( cos β) Vektori u prostoru

3 Vektorska funkcija je funkcija koja za svaku vrijednost skalara u ima asocirani vektor F : Fu F ui F u j F uk F xyz F xyzi F xyz j F xyzk F x y z Φ (,, ) (,, ) + (,, ) + 3(,, ) (,, ) Predstavlja vektorsko polje jer je svakoj tocki regije pridruzen vektor ( xyz,, ) Predstavlja skalarno polje jer je svakoj tocki regije pridruzen skalar df F( u+ u) F( u) Derivacija vektorske funkcije: lim ili za du u u df df df df 3 F( u) F( u) i + F( u) j + F3( u) k i + j + k ili opcenito: du du du du F F F d F dx + dy + dz Vektorske funkcije slijede pravila skalarnih funkcija: d df dφ ( Φ F) Φ + F du du du d B A ( A B) A + B dy y y d B A ( A B) A + B dz z z Geometrijski, ako se funkcija u mijenja, radijvektor vektorske funkcije r( u) opisuje prostornu dr krivulju, s. Tada je: T gdje je T jedinicni vektor u smjeru tangente. ds dr Ako je s vrijeme s t, tada je: v brzina kojom se krece tocka radijvektora po s. dt dr dr ds ds d r v T vt a predstavlja akceleraciju tocke radijvektora po s. dt ds dt dt ds Operator nabla (del) je vektor : i + j + k Φ Φ Φ Gradijent funkcije Φ( xyz,, ): gradφ Φ i + j + k Φ i + j + k Φ Φ Φ gradφ i + j + k Za Φ x, y, z const. funkcija predstavla plohu i gradφ Φ je okomica na plohu. Vektori u prostoru 3

4 Divergencija funkcije F : divf F i + j + k F divf i + j + k F i + F j + F k F F F 3 divf F i + j+ k ( 3 ) Rotor (curl) funkcije F : rotf F i + j + k F rotf i + j + k ( Fi + F j + F3k ) rotf i y z j x z + k x y F F F3 F3 F F F F F 3 Pravila za racunanje sa operatorom nabla: U + V U + V grad U + V gradu + gradv ( A B) A B div( A B) diva divb ( A B) A B rot ( A B) rota rotb ( UA) ( U ) A U ( A) ( UA) ( U ) A U ( A) ( A B) B ( A) A ( B) ( A B) ( B ) A B( A) ( A ) B A( B) ( A B) ( B ) A ( A ) B B ( A) A ( B) U U U ( ) + + Laplace od U U U U U U + + ( U ) rot gradu div rota ( A) A A A Laplace operator Vektori u prostoru 4

5 . Odredi vektor i njegov intenzitet ako prolazi tockama M( x, y, z ) M(,,3) i N( x, y, z) N(4,5,6). Radijvektor sa vrhom u tocki M(,,3) : r xi + yj + zk i + j + 3k Radijvektor sa vrhom u tocki N(4,5,6): r xi + y j + zk 4i + 5j + 6k Vektor MN r r ( xi + y j + zk ) ( xi + yj + zk ) r r ( x -x) i + ( y - y) j + ( z -z) k MN r r x -x i + y - y j + z -z k MN Odredi udaljenost tocke M( x, y, z ) M(,,3) od ishodista, osi x, osi z, ravnine xy i tocke N( x, y, z) N(3,,5). Radijvektor sa vrhom u tocki M(,,3) : r xi + yj + zk i + j + 3k Udaljenost tocke M od ishodista: OM r Udaljenost tocke M od osi x: AM AB+ BM j + 3k AM Udaljenost tocke M od osi z: CM CE + EM i + j CM + 5 Udaljenost tocke M od ravnine xy: BM 3k BM 3 3 Vektori u prostoru 5

6 3. Odredi kut izmedju vektora koji imaju zajednicki pocetak u ishodistu a vrhove u tockama A(,,3) i B(, 3, ). Prvi vektor neka je r OA i + j + 3k Drugi vektor neka je: r OB i 3 j k r r Iz r r r r cosϕ cosϕ r r + ( ) + ( ) cosϕ ϕ arccos ϕ Odredi jednadzbu pravca koji prolazi kroz tocku T (,,3) i paralelan je sa 9 a i j 4 k. Koja od tocaka lezi na pravcu: A(3,, ); B(,, 4); C(,,) 4 k( i j 4k ) Postavimo: ( r r ) ka ( xi + yj + zk ) ( i + j + 3k ) ( x ) i + ( y ) j + ( z ) k k( i j k) 3 4 Pravokutne jednadzbe jesu: ( x ) ( y ) ( z 3) Trazene tocke: A B 4 4 ( 3 ) ( ) ( 3) ( 4 3) 5. Odredi jednadzbu ravnine koja prolazi tockom T (,,3) i paralelna je sa ravninom 3x y+ 4z 5. Vektor a 3i j + 4 k je okomit na zadanu i trazenu ravninu, pa mora biti zadovoljen uvjet: ( r r ) a ( xi + yj + zk) ( i + j + 3k) ( 3i j + 4k) ( x ) i ( y ) j ( z 3) k ( 3i j + 4k) 3( x ) ( y+ ) + 4( z+ 3) Trazena jednadzba ravnine: 3x y+ 4z 6. Odredi jednadzbu ravnine koja prolazi tockom T (,3,) i okomita je na pravac koji lezi na tockama: A(,, ) i B(,,3). Vektor na ravnini: 3 Vektor kroz tocke A i B: BA x i y y j z z k BA i+ j+ 3 k i + j 4k ( r r ) ( x ) i + ( y ) j + ( z ) k ( xa B) + ( A B) + ( A B) Vektori u prostoru 6

7 BA Trazena jednadzba ravnine glasi: x + y 3 + z 4 x+ y 4z 5 ( r r ) ( x ) i ( y ) j ( z ) k ( ) 7. Odredi jednadzbu ravnine koja prolazi tockama T (,,3) i T (3,,) i okomita je na ravninu 3x y+ 4z 5 Vektor kroz tocke T i T: T T ( 3 ) i + ( ) j + ( 3) k i 4 j k Vektor zadane ravnine: a 3i j + 4 k i T T su paralelni trazenoj ravnini. Vektor TT aje okomit na tu ravninu pa mozemo napisati: ( r r) TT a i j ( r r ) 4 ( x ) i + ( y ) j + ( z 3) k ( x ) i ( y ) j ( z 3) k i 4j 8k x + 6 y + z 3 x+ 4y 8z 4 8. Odredi jednadzbu pravca koji prolazi ishodistem a okomit je na pravce koji ima krajnje tocke: a A(,,); B(3,,) i b C(,5,); D(,,) Vektor a kroz tocke A i B: AB ( 3 ) i + ( ) j + ( ) k i j Vektor b kroz tocke C i D: CD ( 3) i + ( 5) j + ( ) k 3i 6 j k Vektor okomit na a i b : c a b i 4 j k 3 6 c i + 4 j 9k Trazeni pravac je okomit na oba vektora, znaci paralelan vektoru c : r c x y z 9y 4z i 9x z j + 4x y k 4 9 9y 4z y Rjesenje sistema jednadzbi daje: 9x z x z odnosno: 9 4x y x y z Trazena jednadzba pravca: 4 9 Vektori u prostoru 7

8 9. Odredi jednadzbu plohe koja prolazi kroz tri tocke: T (,,3); T(3,,) i T 3(5,, 4) Vektor r r 3 i + j + 3 k i 4 j k Vektor r r 5 i + j k 4i j 7k Vektori su u istoj rav r r 4 nini pa vrijedi: ( r r ) ( r r ) ( r r ) 4 7 ( x ) i + ( y ) j + ( z 3) k ( 8 4) i ( 4 + 8) j + ( 4 + 6) k x i + y j + z 3 k 4i + 6j + k ( x ) ( y ) ( z ) Trazena jednadzba ravnine: 4x+ y+ z. Izracunaj naj kracu udaljenost izmedju tocke T (,,3) i ranine zadane sa 3x y+ 5z. Vektor normale na ravninu: a 3i j + 5k Izaberimo jednu tocku po volji, koja lezi na ravnini. To cemo uciniti metodom pokusaja: T (,3, ). Projekcija vektora TT na aje trazena udaljenost koju racunamo koristeci izraz: TT ( ) ( 3 5 ) a r r a i + j k i j + k ( ) d a a d Izracunaj jednadzbu ravnine, koja je paralelna sa ravninom 3x+ y+ z 7 i prolazi tockom T (,,3) Vektor normale na obje ravnine ima iste komponente: a 3 i + j + k, (ravnine su paralelne) pa mozemo pisati: ( r r ) a ( x ) i ( y ) j ( z 3) k x + y+ + z 3 3x+ y+ z 5. Izracunaj jednadzbu vektora, koji lezi na pravcu, presjecistu ravnina x+ y z 5 i 4x y z+ i prolazi tockom T (,5,). Postavimo uvjet: r r ka Vektori u prostoru 8

9 ( r r ) ka ( xi + yj + zk ) ( i + 5j + k ) k ( i + 5j + k ) ( x ) i + ( y ) j + ( z ) k k( i + j + k) 5 5 Pravokutne jednadzbe jesu: ( x ) ( y ) ( z 3) 5 x+ 3 y 6 z 3 3. Izracunaj udaljenost pravaca p + + i 4 3 x 4 y+ z+ 7 p + + ako p prolazi tockom T ( 3,6,3) a p prolazi tockom T (4,, 7). Vektor pravca p: p 4i 3 j + k Vektor pravca p: p 8i 3j + 3k Vektor koji lezi na spojnici dviju tocaka TT : TT (4 + 3) i + ( 6) j + ( 7 3)k TT 7i 7 j k. Trazena udaljenost je projekcija pravca T T na vektor normale ravnine na kojoj leze zadani pravci. Vektor normale: a n p p 4 3 i 9+ 6 j 6 + k a n 3i + 4 j + k Trazena udaljenost - projekcija TT na n: TT 7 n ( 3) + ( 7) 4 + ( ) 69 d 3 n Presjecnicom dviju ravnina: Π 4x y+ 3z i Π x+ 5y z+ polozi ravninu koja prolazi tockom T (,,). Vektor normale Π : a 4i j + 3k Π a i + 5 j k Vektor presjecnice je okomit na normale: r a a 4 3 i 5 j k + 5 r a a 4i + 7 j + k i + j + 3k Odredimo jos jednu tocku na presjecnici, kako bi mogli poloziti ravninu: uvrstimo z u jednadzbe ravnina: 4x y 3 3 x ; y Nasa tocka je T (,,) x+ 5y Vektori u prostoru 9

10 3 Sada polozimo ravninu na vektore: a i j; r 4i + 7 j + k 7 7 i opceg vektora: y z Spomenuti vektori zadovoljavaju uvjet: p a r i nasa ravnina ima oblik: x y z 3 9x+ 3y+ 5z Pravac odredjen ravninama: Π x z 3 i Π y z sijece (probada) ravninu Π x+ 3y z+ 4. Odredi koordinate probodista T. Vektor normala: Π : a i j Π a j k Vektor presjecnice je okomit na normale: r a a i j + k i + j + k Trazeni pravac je paralelan sa pravcem predstavljenim sa r. Odredimo jos jednu tocku na presjecnici: uvrstimo z u jednadzbe ravnina: x 3 y ; x 3 Pomocna tocka je: T (3,,) Sada mozemo pisati: y p x x i + y y j + z z k x 3 i + yj + zk x 3 y z x 3 y z paralelan sa r : p Odnosno: t x t + 3 y t z t Uvrstimo u jednadzbu za Π: Π x+ 3y z+ 4 t t t + 4 7t 7 t x ; y ; z Trazena tocka je: T(,, ) 6. Odredi jednadzbe tangente i normale za plohu: (,, ) 3 u tocki T (,,3) Jednadzba tangente: F( x, y, z) ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) x y 6x 4y 4 x y x + 4 y z 3 x+ 4y z 5 F x y z x + y z Vektori u prostoru

11 Jednadzba normale: F( x, y, z) x x y y z z x y z 3 4 x y z 7. Odredi jednadzbe tangente i normale za plohu: x y z xy yz x z u tocki T (,,) Jednadzba tangente: F( x, y, z) ( x x ) + ( y y ) + ( z z) x y z x + 3y x y ( x x ) ( y y ) ( z z ) 6y+ 3x z z y z x 9 y+ + 7 z 9y 7z+ 45 Jednadzba normale: F( x, y, z) x y z 8. Odredi jednadzbu tangentne povrsine za plohe: F( x, y, z) x + 4y 4z 4 i G( x, y, z) x + y + z 6x 6y+ z+ koje se sijeku u tocki T (,,) Jednadzba tangente: ( x x ) + ( y y ) + x y z ( z z ) x 4 8y 8 8z 8 x y z G G G x 6 y 6 4 z+ 4 x y z [ ] Usmjereni brojevi normala na ravnine su proporcionalni: 4,8, 8 i [, 4, 4]. Ravnine imaju zajednicku tangnetnu ravninu: ( r r ) a a 4i + 8j 8k i + j k Vektori u prostoru

12 r r a x i + y j + z k i + j k x + y z x+ y z 9. Dokazi da se zadane povrsine: F( x, y, z) xy+ yz 4zx i xyz x+ y+ z T G(,, ) 5 3 sijeku pod pravim kutem u tocki (,,). Treba dokazati da se normale na plohe sijeku pod pravim kutem. y 4z 4 x+ z + x y y 4x 4 z G G G 5 6z 6 x y z Skalarni umnozak normala mora biti nula, ako je ϕ 9 ll + mm + nn Vektori u prostoru

13 . Izracunaj jednadzbe tangente i ravnine normale na plohe: F x y z x + y + z x y z x+ y+ z T (,, ) 4 i G(,, ) 6 u tocki (,,3). Tangenta na plohu iz tocke T (,,3): x- x y y z z y z z x x y G G G G G G y z z x x y y z y z G G y z z x G G z x z x 6 x y x y 4 G G x y x y z 3 x y z 3 Ravnina normale: 4 Π x + y 4+ z 3 x y+ z 4 5. Derivacija u danom smjeru. Odredi derivaciju funkcije z x 6 y u tocki T(7, ) u smjeru 45 i 35. θ θ Odredi maksimalnu vrijednost derivacije i njen smjer. z z z z Iz cosθ + sinθ xcosθ ysinθ s x y s z xt cos 45 yt sin s z xt cos35 yt sin s Vektori u prostoru 3

14 d z Maksimalna vrijednost derivacije u smjeru θ dobije se iz uvjeta : s d z d 4 ( 4 cosθ 4sinθ) 4sinθ 4 cosθ tanθ s 4 7 tan θ θ je u drugom kvadrantu ili u cetvrtom kvadrantu. 7 Za drugi kvadrant: tanθ 7 7 sinθ cosθ + tan θ 93 + tan θ Za cetvrti kvadrant: tanθ 7 sinθ cosθ + tan θ 93 + tan θ 93 Odredimo i drugu derivaciju: d z d ( 4sinθ 4cosθ) 4cosθ + 4sinθ s d z Vidimo da je vrijednost za vrijednosti u cetvrtom kvadrantu. < s Funkcija ima maksimum. Maksimalna vrijednost usmjerene derivacije z 7 4cosθ 4sinθ 4 4 s 93 z 93 u smjeru: tanθ s 7 max θ 7 93 tan cetvrti kvadrant. x. Odredi derivaciju funkcije z ye u tocki T(,3) u smjeru θ. Odredi maksimalnu vrijednost derivacije i njen smjer. z z z z x x Iz cosθ + sinθ ye cosθ + e sinθ s x y s z xt x 3 T ye T cos + e sin 3cosθ + sinθ s Maksimalna vrijednost derivacije u smjeru θ u tocki T, dobije se iz uvjeta : d z d z d ( 3cosθ + sinθ) 3sinθ + cosθ tanθ s s 3 Vektori u prostoru 4

15 tan θ θ je u prvom ili trecem kvadrantu. 3 d z d Odredimo i drugu derivaciju: ( 3sinθ + cosθ) 3cosθ sinθ s d z Vidimo da je vrijednost za vrijednosti u prvom kvadrantu. < s tanθ Funkcija ima maksimum. Iz relacije imamo: sinθ 3 + tan θ cosθ Maksimalna vrijednost usmjerene derivacije + tan θ z 3 3cosθ + sinθ 3 + s z u smjeru: tanθ θ tan 8.43 prvi kvadrant. s 3 3 max 3. Potencijal elektrickog polja dan je jednadzbom V ln x y. Izracunaj promjenu potencijala u tocki T (3,4) u smjeru tocke (,6). Postavimo jednadzbu: V V V V x y cosθ + sinθ cosθ + s x y s x + y x + y ( θ ) + V x y cosθ + sinθ Odredimo kut θ u smjeru (, 6) : s x + y x + y y 6 4 tanθ Kut θ je u drugom kvadrantu : x 3 + sinθ tanθ sinθ cosθ cos 5 5 V x y 3 4 cosθ + sinθ + s x + y x + y sinθ 5 5 Vektori u prostoru 5