Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.

Transcript

1 Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1

2 Dvostruki vektorski proizvod Važi formula za dvostruki vektorski proizvod v u w v w u v u w. Kako je ovaj izraz različit od v u w koji se izražava preko v i u, vidimo da vektorski proizvod nije asocijativan. Zadatak 3 Dati su vektori: v 3, 2, 1, u 1, 5, 0, w 0, 4, 1 svojim koordinatama u ortonormiranoj bazi pozitivne orjentacije. Izračunati v u w na dva načina a upotrebom formule za dvostuki vektorski proizvod b korišćenjem samo vektorskog proizvoda. 2

3 Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da su data dva koordinatna sistema Oe i O f. Neka su bazni vektori vezani relacijama f 1 c 11 e1 +c 21 e2, f 2 c 12 e1 +c 22 e2 Matrica C c ij je tzv. matrica prelaska sa baze e na bazu f. Neka su koordinate novog koord. početka su [O ] Oe b 1, b 2. Za koordinate proizvoljne tačke M u tim sistemima važi:, y [M] Oe [ OM] e, odnosno OM e 1 +y e 2,, y [M] O f [ O M] f, odnosno O M f 1 +y f 2. 3

4 Odatle imamo e 1 +y e 2 OM OO + Zato važe formule: O M b 1 e1 +b 2 e2 + f 1 +y f 2 b 1 e1 +b 2 e2 + c 11 e1 +c 21 e2 + y c 12 e1 +c 22 e2 c 11 + c 12 y + b 1 e 1 +c 21 + c 22 y + b 2 e 2 c 11 + c 12 y + b 1, y c 21 + c 22 y + b 2. Te formule predstavljaju transformaciju koordinata tačaka ravni, tj. vezu koordinata, y i, y iste tačke M u dva različita koordinatna sistema. Matrično ih zapisujemo ovako: y c11 c 12 c 21 c 22 y + b1 b 2, 4

5 Primer 1 Neka je OABC paralelogram i e OA, OC, f OB, CA dve baze. Odrediti formule transformacija koordinata u reperima Oe i Bf, kao i inverzne formule. 5

6 Transformacije koordinata ortonormiranih repera Formule transformacija koordinata ravni iz ortonormiranog repera Oe u ortonormiran reper O f iste orjentacije su: cos φ sin φ 1 q1 y sin φ cos φ q 2 Ovo je kompozicija rotacije za ugao φ i translacije za vektor q 1, q 2. Ukoliko su reperi različitih orjentacija formule su: cos φ sin φ 1 q1 y sin φ cos φ + 2 q 2 Ovo je kompozicija refleksije koja gradi ugao φ 2 translacije za vektor q 1, q sa -osom i 6

7 Afina preslikavanja Definicija 1 Afino preslikavanje ravni je preslikavanje koje tački M, y preslikava u tačku M, y po pravilu a11 a y 12 q1 +, 3 a 21 a 22 y q 2 uz uslov deta ij 0. Algebarski gledano, formule afinih preslikavanja su istog oblika kao formule transformacija koordinata. Kolone matrice su slike baznih vektora pri tom preslikavanju, a q 1, q 2 je slika kooridnatnog početka. Slično se definiše i afino preslikavanje prostora. 7

8 Teorema Osobine afinih preslikavanja ravni Bijekcije su; Preslikavaju prave na prave, a krive drugog reda na krive drugog reda; Čuvaju razmeru tri tačke; Dakle, slika paralelograma je par- Čuvaju paralelnost. alelogram. Afinim preslikavanjem možemo preslikati proizvoljan trougao na proizvoljan drugi trougao. Odnos zapremina neke figure i njene slike pri afinom preslikavanju je V F : V F det A. 8

9 Primer 2 Date su tačke A 1, 1, B1, 1, C1, 1, D 1, 1; A 4, 5, B 8, 7, C 6, 9, D 2, 7. 1 Odrediti jednačine afinog preslikavanja koje kvadrat ABCD preslikava u paralelogram A B C D. 2 Odrediti jednačinu slike kruga upisanog u kvadrat. 3 Kolika je površina slike kruga. 9

10 Predstavljanje afinih preslikavanja matricama Afino preslikavanje y a11 a 12 a 21 a 22 možemo predstaviti matricom: A q y a 11 a 12 q 1 a 21 a 22 q q1 q 2, 4 5 Teorema Proizvod matrica 5 odgovara kompoziciji afinih preslikavanja. Drugim rečima, podgrupa svih matrica oblika 5 je izomorfna podgrupi afinih preslikavanja ravni. 10

11 Translacija Translacija τ q za vektor q q 1, q 2 data je formulama + q 1, y y + q 2, ili u matričnom obliku y odnosno τ q : y + q1 q q q Kompozicija translacija je translacija, tj. sve translacije čine komutativnu podgrupu grupe afinih transformacija. 11

12 Rotacija oko koordinatnog početka R φ : y cos φ sin φ sin φ cos φ y. Rotacija oko proizvoljne tačke R Q,φ τ OQ R φ τ OQ. R Q,φ : 1 0 q q cos φ sin φ 0 sin φ cos φ q q

13 Istezanje H Q,λ1,λ 2 u pravcu koordinatnih osa, sa centrom u tački Q Ako je tačka Q koordinatni početak H λ1,λ 2 : za λ 1, λ 2 > 0 y λ1 0 0 λ 2 y, Ako je tačka Q proizvoljna, primenjujemo sličan trik kao sa rotacijom H Q,λ1,λ 2 τ OQ H λ1,λ 2 τ QO. Primetimo da je homotetija specijalan slučaj ovog preslikavanja za λ 1 λ 2. 13

14 Preslikavanje dato formulama 1 λ 0 1 y y naziva se smicanje sa koeficientom λ u pravcu ose. 14