MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
|
|
- Φωτινή Αλιβιζάτος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak. 1. U standardnom pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini odredite krajnju točku i 1 nacrtajte radij-vektore OA, OB, OA, 2 OA i OB ako je: 2 a) A = (1, 0), B = (0, 1) b) A = ( 1, 0), B = (0, 1) c) A = (1, 0), B = (0, 1) d) A = ( 1, 0), B = (0, 1) e) A = (1, 0), B = (1, 1) f) A = (0, 1), B = ( 1, 1) g) A = (0, 1), B = (1, 1) h) A = (2, 0), B = (0, 3) i) A = ( 4, 0), B = (0, 2) j) A = (1, 1), B = (2, 3) k) A = ( 1, 2), B = ( 2, 1) l) A = ( 1, 3), B = ( 3, 1) m) A = (1, 2), B = (3, 4) n) A = (1, 3), B = ( 1, 2) o) A = (3, 1), B = ( 4, 2) p) A = (1, 4), B = (1, 3) q) A = ( 1, 1), B = (1, 2) r) A = ( 1, 4), B = ( 1, 2) s) A = ( 2, 3), B = (3, 2) t) A = ( 2, 5), B = (3, 4) u) A = ( 2, 4), B = ( 4, 2) v) A = ( 3, 2), B = (4, 3) w) A = (4, 3), B = (1, 4) x) A = (2, 3), B = ( 4, 1) y) A = (5, 2), B = ( 5, 3) z) A = (2, 3), B = ( 2, 5). 2. Izračunajte 1 OA 2 OB 2 ako je: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 1
2 a) A = (2, 0, 0), B = (1, 0, 0) b) A = (0, 4, 0), B = ( 1, 0, 0) c) A = (0, 0, 6), B = (0, 1, 0) d) A = (2, 4, 0), B = (0, 1, 0) e) A = (0, 2, 4), B = (0, 0, 1) f) A = (4, 0, 2), B = (0, 0, 1) g) A = ( 2, 0, 0), B = (0, 1, 1) h) A = (0, 4, 0), B = (1, 0, 1) i) A = (0, 0, 6), B = (1, 1, 0) j) A = ( 2, 4, 0), B = (1, 1, 1) k) A = (0, 2, 4), B = ( 1, 0, 1) l) A = ( 4, 0, 2), B = (0, 1, 1) m) A = ( 2, 4, 6), B = ( 1, 1, 0) n) A = ( 2, 6, 4), B = (1, 0, 1) o) A = (6, 4, 2), B = (0, 1, 1) p) A = (6, 4, 2), B = ( 1, 1, 1) q) A = (2, 4, 6), B = ( 1, 1, 1) r) A = (6, 2, 4), B = (1, 1, 1) s) A = (2, 6, 4), B = ( 1, 1, 1) t) A = ( 4, 2, 6), B = (1, 3, 3) u) A = (2, 6, 4), B = (1, 2, 3) v) A = ( 2, 6, 4), B = ( 1, 2, 3) w) A = (2008, 2010, 2012), B = (1003, 1004, 1005) x) A = ( 2010, 2012, 2014), B = ( 1006, 1005, 1008) y) A = (2014, 2012, 2010), B = ( 1008, 1007, 1006) z) A = ( 2016, 2014, 2012), B = ( 1007, 1006, 1008). 1 1 OA OB + OC, 2 OA OC OB i OC OB ( 4) OA Izračunajte ( ) je: a) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) b) A = ( 1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) c) A = ( 1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) d) A = ( 1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) e) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) f) A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 1), C = (2, 0, 2) g) A = (0, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = ( 2, 0, 2) h) A = (1, 1, 1), B = ( 1, 1, 0), C = (2, 2, 2) ako mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 2
3 i) A = (1, 2, 3), B = (3, 2, 1), C = ( 2, 4, 6) j) A = ( 1, 2, 3), B = (3, 2, 1), C = (2, 4, 6) k) A = ( 1, 2, 3), B = (3, 2, 1), C = (4, 2, 6) l) A = ( 1, 2, 3), B = ( 3, 2, 1), C = ( 6, 2, 4) m) A = (2, 1, 3), B = (2, 3, 1), C = ( 4, 2, 6) n) A = ( 3, 2, 1), B = (1, 2, 3), C = (6, 4, 2) o) A =,,, B = ( 1, 3,5 ), C = (2, 4,6) p) A =,,, B = ( 1, 2,1), C = (2, 4,6) q) A =,,, B = (1,2, 1), C = ( 4,6,2) r) A =,,, B = ( 1,3, 2), C = (6,2,4) s) A =,,, B = ( 1, 4,7), C = (8,6,4) t) A =,,, B = (1, 3, 2), C = 2,( 2) 3, u) A = 3,,, B = ( 3,1, 2), C = ( 4,2 3,2) 5 7 v) A = 3,,, B = ( 3, 5, 7), C = ( 12, 20, 28) 2 2 w) 7 11 A = 5,,, B = ( 5, 7, 11), C = ( 80, 112, 176) 2 2 π π A = π,,, B = ( π, 1, π ), C = 2 π,4,( 2) π 2 2, 3, 1 A = π π π, B = (1, π, π ), C = ( 4) π,( 2) π,2 2 2, 3, 1 A = π π π, B = ( 1, π, π ), C = ( 2) π,( 4) π, x) [ ] y) [ ] z) [ ] mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 3
4 4. Izračunajte OA ( OB OC),( OA OC) OB i ( OA OB) ( OB OC ) ako je: a) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) b) A = ( 1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) c) A = (1, 0, 1), B = (1, 1, 0), C = (1, 1, 1) d) A = (2, 0, 0), B = (0, 2, 0), C = ( 2, 2, 0) e) A = (0, 0, 2), B = ( 2, 0, 0), C = (2, 0, 2) f) A = ( 2, 0, 0), B = (0, 2, 0), C = ( 2, 2, 0) g) A = (1, 3, 5), B = (2, 4, 6), C = (3, 7, 11) h) A = (1, 2, 3), B = (3, 2, 1), C = ( 1, 2, 3) i) A = ( 1, 2, 3), B = (1, 2, 3), C = (1, 2, 3) j) A = (3, 2, 1), B = (2, 3, 1), C = ( 1, 3, 2) k) A = (7, 4, 5), B = ( 9, 4, 1), C = (2, 2, 1) l) A =,,, B = ( 2,2,4 ), C = ( 4,4, 2) m) A =,,, B = ( 6,9, 3 ), C = ( 3,6,9) n) A =,,, B = ( 10,5, 5 ), C = (5, 5, 10) o) A =,,, B = ( 7, 49, 35 ), C = ( 14, 21, 28) p) A =,,, B = ( 6,9,3 ), C = (12, 15, 18) q) A =,,, B = ( 2,6,4 ), C = (3, 9, 6) r) A =,,, B = ( 2,2, 2 ), C = ( 2,2,2) s) A =,,, B = ( 6, 3, 3 ), C = ( 18, 27, 48) t) A =,,, B = ( 10, 125, 80 ), C = ( 50, 5, 5) u) A =,,, B = ( 28, 63, 7 ), C = (1, 3,2) mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 4
5 v) ( ) A =,,, B = 2 5,3 2, 10, C = ( 2, 5, 1) π w) A =,,, 2 3 B = ( 2, 2 π, π ), C = π,, π π π π x) A =,,, B = ( π π, π, π ), C =, π, π 3 2 π π π π π y) A = (π 1, π, 1 π), B = (π + 1, π, 1 π), C = (0, 1, 1) z) A = (π 2 1, π, 1 π 2 ), B = (1, 0, 1), C = ( π, 1, 1) 5. Zadane su tri nekolinearne točke O, A i B u pravokutnom koordinatnom sustavu u prostoru. Neka je C točka u ravnini takva da je OC = OA + OB. Pokažite da su točke O, A, B i C vrhovi usporednika. (Naputak: Četverokut OABC je usporednik ako obje njegove dijagonale imaju isto polovište.) 6. Zadane su tri nekolinearne točke O, A i B u pravokutnom koordinatnom sustavu u prostoru. Neka je C točka u ravnini takva da je OC = OA OB. Pokažite da su točke O, A, B i C vrhovi usporednika. 7. Zadani su radijvektori a = 5 i + 2 j k, b = i 3 j + 4 k, c = ( 2) i + 6 j 2 k i d = 2 i + 11 j 7 k. Pokažite da su krajnje točke tih radijvektora vrhovi usporednika. 8. Tri vrha usporednika ABCD A = (3, 2, 0), B = ( 3, 3, 1) i C = ( 5, 0, 2). Odredite koordinate vrha D, pa izračunajte šiljasti kut koji zatvaraju dijagonale toga usporednika. 9. Zadani su radijvektori a = (3,0,2), b = (1, 3, 4), c = ( 1, 2, 5) i d = (0,3, 4). Izračunajte: a) (3 a) c + 5 ( a c) b) (3 a) c 5 ( a c) c) ( b a) ( c + d ) ( b a) d c d) ( ) a b c a b c e) ( 5 ) ( 6 ) mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 5
6 10. Zadani su radijvektori a = (2, 4,3), b = (3, 1,5) i c = (1, 2, 4) Odredite vektor x tako da vrijede jednakosti x a = 1, x b = 2 i x c = Zadani su radijvektori a = (0,2 α, α), b = (2,2,1), c = ( 1, 2, 1) i d = ( α,0,1). Odredite vrijednost realnoga broja α tako da vrijedi jednakost a b c d = Zadani su radijvektori a = (6,8,10) i b = (10, 24, 26). Izračunajte duljine tih radijvektora, te kut kojega oni zatvaraju. 13. Izračunajte skalarni umnožak radijvektora OA i OB, te kut koji zatvaraju ti radijvektori ako je: a) A = (0, 0, 0), B = (1, 2, 3) b) A = (1, 2, 3), B = (2, 4, 6) c) A = ( 1, 2, 3), B = (4, 8, 12) d) A = (1, 0, 1), B = ( 3, 6,3) e) A = ( 1, 1, 0), B = (0, 0, 1) f) A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 1) g) A = ( 5, 3, 4), B = (7, 9, 2) h) A = ( 1, 1, 0), B = (1, 0, 1) i) A = ( 1, 0, 1), B = (0, 0, 1) j) A = ( 3,1,0), B = (1, 0, 0). 14. Odredite vrijednost realnoga broja α tako da radijvektor a = (2 α,1,1 α) jednake kutove s radijvektorima b = ( 1,3,0) i c = (5, 1,8). zatvara 15. Odredite vrijednost realnoga parametra α tako da duljine radijvektora a = (2 e α, α,1 α) i radijvektora b = ( α + 1, α 2) budu jednake, pa izračunajte kut izmeñu tih dvaju radijvektora. 16. Odredite vrijednosti parametara α, β R tako da trokut OAB bude pravokutan s pravim kutom kod vrha O ako je zadano: a) A = (50, 100, α), B = (2, 1, 0) mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 6
7 b) A = (1, 2, α + 1), B = ( 3, 0, 1 α) c) A = (α + 1, 1, 3), B = (1 α + α 2, 2, 3) d) A = (α, 1, 2013), B = (α, β 2, 0) e) A = (α β, β, α), B = (α + β, β, α) f) A = (2 α, 3 α β, β), B = (3 α, α + 3 β, 11 β). 17. Zadani su radijvektori a = (6,1,1), b = (0,3, 1) i c = ( 2, 3,5). Odredite vrijednost realnoga parametra α tako da radijvektori a + α b i c budu okomiti. 18. Odredite linearnu kombinaciju radijvektora: a) a = (1,0,0), b = (0,1,0) i c = (0,0,1) s koeficijentima 1, 1, 1 b) a = ( 1,0,0), b = (0, 1,0) i c = (0,0,1) s koeficijentima ( 1), ( 3) i ( 2) c) a = (1,0,0), b = (0, 1, 0) i c = (0, 0, 1) s koeficijentima 1, ( 2) i ( 3) d) a = ( 1,0, 0), b = (0,1, 0) i c = (0, 0, 1) s koeficijentima 1, 2 i ( 3) e) a =,,, b =,, i c =,, s koeficijentima ( 2), 4 i ( 6) f) a =,,, b =,, i c =,, s koeficijentima 6, ( 9) i ( 3) g) a,,, b,, = = i c =,, s koeficijentima h) 8, 27 i a,,, b,, = = i c =,, s koe ficijentima , 1728 i 2880 i) ( 1, 0, 2), (3, 2, 1) i (0, 1, 3) s koeficijentima 2, 1 2 i j) ( 1 3,2 + 3,2 3),,,, ( 27, 12, 48) s koeficijentima , 3 12 i 1. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 7
8 19. Prikažite radijvektor OD kao linearnu kombinaciju radijvektora OA, OB i OC ako je: a) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1), D = (3, 2, 1) b) A = ( 1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1), D = (1, 2, 3) c) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1), D = (2, 1, 3) d) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1), D = (3, 1, 2) e) A = ( 1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1), D = ( 1, 2, 3) f) A = ( 1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1), D = (1, 3, 2) g) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1), D = (1, 2, 3) h) A = (1, 2, 0), B = (3, 2, 1), C = ( 1, 1, 1), D = ( 3, 1, 2) i) A = (1, 2, 1), B = (0, 1, 1), C = (1, 4, 3), D = (0, 0, 0) j) A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 3), C = (0, 1, 4), D = (1, 2, 4) k) A = (2, 3, 4), B = ( 1, 2, 2), C = (1, 0, 2), D = ( 2, 4, 8) l) A = (1, 3, 0), B = (2, 1, 4), C = ( 2, 1, 4), D = (2, 4, 8) m) A = ( 8, 4, 2), B = (3, 2, 1), C = (4, 5, 0), D = ( 1, 3, 1) n) A = ( 1, 2, 3), B = (1, 2, 3), C = (1, 2, 3), D = ( 9, 2, 57) o) A = ( 1, 2, 3), B = (1, 2, 3), C = ( 1, 2, 3), D = ( 19, 18, 33) p) A = (3, 4, 5), B = (6, 7, 8), C = (9, 10, 11), D = (0, 0, 0) q) A = (1, 2, 3), B = (1, 4, 9), C = (1, 8, 27), D = (2,2,3) r) A = ( 4, 3, 6), B = ( 6, 3, 4), C = (2, 2, 1), D = (11, 2, 11). 20. Neka su a, b, c V 3 (O). Pretpostavimo da je vektor c linearna kombinacija vektora a i b s koeficijentima 2011 i Može li se tada i vektor 2013 c prikazati kao linearna kombinacija vektora a i b? Ako može, odredite koeficijente u tom prikazu. Ako ne može, obrazložite svoj odgovor. 21. Neka su a, b, c, d V 3 (O). Pretpostavimo da je vektor d linearna kombinacija vektora a, b i c s koeficijentima α 1, α 2 i α 3, te neka je k bilo koji realan broj različit od nule. Može li se tada i vektor k d prikazati kao linearna kombinacija vektora a, b i c? Ako može, odredite koeficijente u tom prikazu. Ako ne može, obrazložite svoj odgovor. 22. Ispitajte jesu li sljedeći ureñeni skupovi radijvektora linearno nezavisni i precizno obrazložite svoje odgovore: a) S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} b) S = {( 1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} c) S = {( 1, 0, 1), (0, 1, 1), ( 1, 1, 0)} d) S = {( 1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} e) S = {(0, 0, 0), (2010, 2011, 2012), (2013, 2014, 2015)} mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 8
9 f) S = {(1, 2, 3), (3, 6, 9), (2010, 2012, 2014)} g) S = {(1, 9, 7), (2, 1, 1), ( 1, 8, 6)} h) S = {(1, 3, 4), ( 2, 1, 7), (8, 9, 13)} i) S = {(2009, 2010, 2011), (2012, 2013, 2014), ( 2015, 2016, 2017), (2018, 2019, 2020)} j) S = {(2009, 0, 1), (0, 2010, 1), (1, 0, 2011)} k) S = {(π, π 2, π 3 ), (0, 0, 0), (1 π, π π 2, π 2 π 3 )} l) S = {( 2009, 2010, 2011), (2009, 2010, 2011), (0, 1, 1)}. 23. Odredite realne brojeve a, b R tako da skup S = {(a 1, 0, 0), (1, b 2 1, 0)} bude linearno zavisan. 24. Dokažite da je dvočlani skup S = { OA, OB } linearno zavisan ako i samo ako su radijvektori OAi OB kolinearni. 25. Neka je a R proizvoljan, ali fiksiran realan broj. Pokažite da je skup S = {(a 1, 2), ( 1, a + 1)} linearno nezavisan. 26. Neka je S = {a, b, c} V 3 (O) linearno nezavisan skup vektora. Dokažite da je tada i skup {2011 a, ( 2012) b, 2013 c} linearno nezavisan. Vrijedi li analogna tvrdnja ako koeficijente 2011, ( 2012) i 2013 zamijenimo općim brojevima α, β i γ takvima da je njihov umnožak različit od nule? Obrazložite svoj odgovor. 27. Neka je S = {a, b, c} V 3 (O) linearno nezavisan skup vektora. Ispitajte jesu li i skupovi A = {a, a + b, a + b + c}, B = {a + b, b + c, c + a} i C = {a b, b c, c a} takoñer linearno nezavisni. 28. Ispitajte je li ureñen skup B baza prostora V 3 (O) i precizno obrazložite sve svoje tvrdnje ako je: a) B = ((1, 0, 0), (0, 1, 0)) b) B = ((0, 1, 0), (0, 0, 1)) c) B = ((1, 0, 0), (0, 0, 1)) d) B = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) e) B = (( 1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) f) B = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) g) B = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) h) B = ((1, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 0, 1)) i) B = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 2, 0)) mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 9
10 j) B = ((1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 2)) k) B = ((1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 3)) l) B = ((1, 2, 3), (1, 3, 2), ( 5, 2, 3)) m) B = ((1, 2, 3), ( 1, 2, 3), ( 3, 2, 1)) n) B = ((2, 1, 3), (3, 2, 5), (1, 1, 1)) o) B = ((0, 1, 1), (1, 0, 2), (1, 2, 0)) p) B = ((1, 0, 1), (0, 1, 1), (2011, 2010, 1)) q) B = ((1, 0, 1), (2, 0, 2), (2010, 2011, 2012)) r) B = ((π, 0, 0), (0, π, 2 π), (0, 0, 0)) s) B = ((π, 0, 0), (0, 2 π, π), (1, 0, 1)) t) B = ((6, 2, 7), ( 2, 1, 3), ( 1, 1, 1)) u) B = ((6, 9, 14), (1, 1, 1), ( 1, 2, 3)) v) B = ((0, 7, 1), ( 12, 8, 1), ( 1, 2, 0)) w) B = ((1003, 1005, 1007), (2010, 2011, 2012), (3013, 3016, 3020)) x) B = ((π, π 2, π 3 ), (1 π, 1 π 2, 1 π 3 ), (1, 1, 1)) π π π y) B =,,,,,,,, z) B = ((log 2, log 3, log 4), (ln 2, ln 3, ln 4), (sin 2, sin 3, sin 4 )) (Naputak: log x ln x = ) log e 29. Neka su a 1 a 2 i a 3 proizvoljni realni brojevi različiti od nule. Dokažite da je ureñeni skup S = ((a 1, 0, 0), (0, a 2, 0), (0, 0, a 3 )) baza prostora V 3 (O). 30. Neka je B = (b 1, b 2, b 3 ) bilo koja baza prostora V 3 (O). Jesu li tada i skupovi B 1 = (b 1, b b 2, b 1 + b 2 + b 3 ) i B 2 = (b 1 2b 2, b 2 2b 3, b 3 2b 1 ) baze istoga prostora? Obrazložite svoj odgovor. 31. Neka je (b 1, b 2, b 3 ) bilo koja baza prostora V 3 (O). Uz koji uvjet na vektor b 4 će i skup (b 1, b 2, b 4 ) biti baza toga prostora? Obrazložite svoj odgovor. 32. Zadane su točke A = (1, 0, 2) i B = (a 2, 0, 3 a), gdje je a R realan parametar. Odredite vrijednost realnoga parametra a tako da vrijedi jednakost OA OB = Zadane su točke A = (a + 1, 1 a, a) i B = (2,1,0), gdje je a R realan parametar. Odredite vrijednost realnoga parametra a tako da vrijedi jednakost OA OB = 3 5. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 10
11 34. Zadane su točke A = (1, 3, 2), B = (0, 3, 1) i C = (0, 0, 1). a) Dokažite da je ureñeni skup S ( OA, OB, OC) = baza prostora V 3 (O). b) Prikažite radijvektor kojemu je krajnja točka D = (4,3,6) kao linearnu kombinaciju radijvektora koji tvore bazu S. c) Pokažite da su točke O, A, B i C vrhovi tetraedra. d) Izračunajte oplošje i obujam tetraedra OABC. e) Izračunajte duljine svih četiriju visina tetraedra OABC. 35. Zadane su točke A = ( 1, 2, 1), B = (2, 0, 1) i C = (1, 0, 2). a) Dokažite da je ureñeni skup S ( OA, OB, OC) = baza prostora V 3 (O). b) Prikažite radijvektor kojemu je krajnja točka D = (1, 4, 3) kao linearnu kombinaciju radijvektora koji tvore bazu S. c) Pokažite da su točke O, A, B i C vrhovi tetraedra. d) Izračunajte oplošje i obujam tetraedra OABC. e) Izračunajte duljine svih četiriju visina tetraedra OABC. 36. Zadane su točke A = (1, 0, a), B = ( 1, 1, 1) i C = (1, 0, 1), gdje je a R realan parametar. a) Odredite vrijednost realnoga parametra a tako da točke O, A, B i C tvore četverokut. b) Izračunajte opseg i površinu četverokuta OABC. c) Izračunajte mjeru kuta uz svaki pojedini vrh četverokuta OABC. d) Izračunajte mjeru kuta kojega zatvaraju dijagonale četverokuta OABC. 37. Zadane su točke A = (a, 0, 1), B = (2, 0, 1) i C = (1, 2, 1), gdje je a R realan parametar. a) Odredite vrijednost realnoga parametra a tako da točke O, A, B i C budu komplanarne. b) Dokažite da su za vrijednost parametra a iz a) zadatka točke O, A i B kolinearne, pa odredite omjer u kojemu točka O dijeli dužinu AB. c) Izračunajte opseg i površinu trokuta ABC. d) Izračunajte sva tri unutrašnja kuta trokuta ABC. e) Izračunajte duljine svih triju visina trokuta ABC. 38. Zadane su točke A = (0, a, 1) i B = ( 2, 2, a), gdje je a R realan parametar. a) Odredite vrijednost realnoga parametra a tako da točke O, A i B budu vrhovi pravokutnika, pa izračunajte koordinate četvrtoga vrha toga pravokutnika. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 11
12 b) Izračunajte oplošje i obujam paralelepipeda kojemu je osnovka pravokutnik iz a) podzadatka, a jedna stranica OA OB. 39. Zadane su točke A = (a, 1, a) i B = (2, 3, 1), gdje je a R realan parametar. a) Odredite vrijednost realnoga parametra a tako da točke O, A i B budu vrhovi pravokutnoga trokuta s pravim kutom kod vrha O. b) Izračunajte mjere svih unutrašnjih kutova trokuta OAB. c) Izračunajte oplošje i obujam tetraedra kojemu je osnovka pravokutan trokut iz a) podzadatka, a jedna stranica OA OB. 40. Zadane su točke A = (1, 1, 2) i B = (0, 1, 1). Odredite sve točke na osi aplikata tako da obujam prizme razapete radijvektorima OA, OB i OC bude 1 kub. jed. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 12
RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Vektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Analitička geometrija Zadaci. 13. siječnja 2014.
Analitička geometrija Zadaci 13. siječnja 2014. 2 Sadržaj 1 Poglavlje 5 1.1 Ponavljanje. Uvod............................ 5 1.2 Koordinatizacija............................. 6 1.3 Skalarni produkt.............................
4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Matematika 1. kolokviji. Sadržaj
Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
AB rab xi y j. Formule. rt OT xi y j. xi y j. a x1 i y1 j i b x2 i y 2 j. Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y)
Formule Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y) r xi y j r T0 T rt x y 1 x y xi y j Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) rt OT xi y j Vektor AB ako su: AB rab ( x x1 )i ( y y1
Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.
r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira
Matematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Pošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Analitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Priprema za ispit znanja Vektori
Priprema za ispit znanja Vektori 1. Dan je pravilni šesterokut ABCDEF. Ako je =, = izrazi pomoću vektore,,. + + =0 = E D = + F S C + + =0 = = A B + + =0 = = =+ 2. Točke A, B, C, D, E i F vrhovi su pravilnog
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Analitička geometrija afinog prostora
Analitička geometrija afinog prostora Linearno zavisan i linearno nezavisan skup točaka U realnom afinom prostoru A n dane točke A i (r i ), i =,,, k, k +, k + pripadaju istoj s ravnini π s, s k, ako i
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Matematika Zbirka zadataka
Matematika Zbirka zadataka Kristina Devčić Božidar Ivanković Veleučilište Nikola Tesla u Gospiću Uvod Unaprijed se zahvaljujemo na svakom komentaru o propustima i nedosljednostima, a svaka primjedba glede
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
2 Mature i državni ispiti iz matematike u europskim zemljama ( a) 4,zaa = 2 i. 27b. b = 3. 2 x sin. 2 +x. 1. Mature u Sloveniji
Ljetni rok, 995. godine Osnovna razina Zadatak. Ako od broja b oduzmemo dvokratnik broja a, dobije se 2. Ako se peterokratnik broja a umanji za (b + ), dobije se 6. Izračunajte brojeve a i b. Rješenje:
1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički
Ljiljana Arambašić MATEMATIKA 3 Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i tehnike, smjer nastavnički SADRŽAJ
Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Vektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
15. domaća zadaća. Matematika 1 (preddiplomski stručni studij elektrotehnike)
Maemaika 5.. Koriseći definiciju derivacije funkcije u očki izračunaje sljedeće granične vrijednosi: c) f) h) i) j) k) n) o) q) r) e 0 e 0 e 0 ln( + ) 0 ln( + ) 0 4 ln sin e 0 5 g e 0 6 cos e cg e ln(
Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru
Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Darija Brajković 2. prosinca 2013. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Operacije s vektorima 4 2.1 Zbrajanje vektora...............................
Geometrijski trikovi i metode bez imena
Geometrijski trikovi i metode bez imena Matija Bašić lipanj 2016. U ovom tekstu želimo na jednom mjestu navesti vrlo klasične ideje u rješavanju planimetrijskih zadataka. Primjeri variraju od jednostavnih
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.