#6 Istosmjerne struje

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "#6 Istosmjerne struje"

Φιλοκράτης Μπότσαρης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 #6 Istosmjerne struje I Jednadžbe za istosmjerne struje II Gibbsov potencijal u vodičima predavanja 20**

2 Drudeov model za vodljive elektrone Jouleov zakon Makroskopske jednadžbe za istosmjerne struje Gibbsov potencijal za ω 0 Boltzmannove jednadžbe

3 Motivacija I u kojim sve eksperimentima u FČS istosmjerne struje imaju važnu ulogu? - odred ivanje elektrostatskog potencijala i pripadnog električnog polja u vježbi električno polje? - [u elektromagnetima i] nigdje drugdje - istosmjerne struje ω 0 (npr. ω = 22 Hz)

4 Motivacija I usporedba elektrostatike i istosmjernih struja u vodičima - geometrija problema - elektrostatika δl 0 - istosmjerne struje δl = 0 - model želea za δl 0 L x 2a z ρ +σ ind σ ind ρc δl U I δl 0 L ρion z

5 Drudeov model za vodljive elektrone Lorentzova sila u sustavu od jedne i od čestica - jednadžba gibanja jedne nabijene čestice (q = +e, e,...) m ( d/dt + 1/τ ) v = F = q ( E + (1/c)v H ) - jednadžbe gibanje za nabijenih čestica (ω = 0) nqv = nq2 τ m E + nq2 τ m 1 nqc nqv H - gustoća struje, dc vodljivost i Hallova konstanta J = nqv, σ dc = nq 2 τ/m, R H = (1/nqc) - poopćenje Ohmovog zakona J = σ dc E + σ dc R H J H E = ρ dc J R H J H

6 Drudeov model za vodljive elektrone tenzor vodljivosti σ αβ (ω) - rješenje Drudeovih jednadžbi za ω = 0 J x = σ dc E x + q q τω c σ dc E y σ xx E x + σ xy E y J y = σ dc E y q q τω c σ dc E x σ yy E y + σ yx E x - ciklotronska frekvencija ω c = ( q H z /mc) - renormalizirana dc vodljivost σ dc = σ dc /(1 + (τω c ) 2 ) - rješenje za H z = 0 i ω 0 σ xx (ω) = σdc 1 iωτ

7 Jouleov zakon zašto u vodičima iščezava elektrostatsko polje? - Maxwellova jednadžba IV za ρ ext = J ext = 0, H 0 te D 0 = (1 + 4πˆχ b )E 4π c Jc (x) = 1 D 0 (x,t) c t - skalarni produkt sa E(x) i integracija preko volumena vodiča d 3 x J c E = 1 d 3 x E D 0 4π t - Jouleov zakon (susceptibilnost χ b neovisna o vremenu) d 3 x J c E = { } 1 d 3 x E D 0 = W t 8π t

8 Makroskopske jednadžbe za istosmjerne struje kako riješiti makroskopske jednadžbe za istosmjerne struje? - (homogene) jednadžbe i rubni uvjeti J c,(i) (x) = 0, (J c,(2) J c,(1) ) n 21 = 0 E (i) (x) = 0, n 21 (E (2) E (1) ) = 0 - rješavanje jednadžbi pomoću skalarnog potencijala E (i) (x) = 0 E (i) (x) = Φ (i) (x) - rješavanje jednadžbi pomoću vektorskog potencijala J c,(i) (x) = 0 J c,(i) (x) = (c/4π) H (i) (x) x V J V2 σ(2) z (1) V1 σ U I

9 Motivacija II na koji način ovise otpornost i Hallov koeficijent o temperaturu? - na primjer, u poddopiranim supravodičima La 2 x Sr x CuO 4? [Ando et al., 2004] i [Ono et al., 2007] - kako objasniti rezultate pomoću dva parametra, n i τ, u Drudeovom modelu?

10 Gibbsov potencijal za ω 0 postoji li mogućnost da se elementarna pobud enja u sustavu vezanih elektrona i u sustavu vodljivih elektrona formalno tretiraju na isti način? - jednadžba kontinuiteta za J c (k,ω) ωρ c (k,ω) = k J c (k,ω), ik P c (k,ω) = ρ c (k,ω) - imaginarne polarizacije (i imaginarne struje) P c (k,ω) = (i/ω)j c (k,ω) - zapis termodinamičkih potnecijala u {k} reprezentaciji (Z1.2 VJ ) d 3 x P c (x) E(x) = k Pc (k ) E( k ) - Gibbsov potencijal u vodičima s jednom vrpcom? F(P c,e) = { P c (k ) 2 2χ c (k ) Pc (k ) E( k ) 1 E(k ) } 2 8π k

11 Gibbsov potencijal za ω 0 - provjera I ( F/ P c ( k) = 0) J c (k,ω) = iωχ c (k,ω)e(k,ω) = σ c (k,ω)e(k,ω) - provjera II ( 4π F/ E c ( k) = D c (k)) - rezultat? D c (k,ω) = ( 1 + (4πi/ω)σ c (k,ω) ) E(k,ω) F(J c,e) = 1 D c (k ) E( k ) 8π k = k { i 2ω Jc (k ) E( k ) 1 8π E(k ) } 2

12 Aproksimacija slučajnih faza veza prethodnog izraza s mikroskopskom fizikom čvrstog stanja - prijelaz u {ρ, Φ} reprezentaciju P c α(k,ω) = (i/k α )ρ c (k,ω), E α (k,ω) = ik α Φ tot (k,ω) - Gibbsov potencijal [ χ = (k α) 2 χ] F(ρ c,φ tot ) = { ρ c (k ) 2 2 χ(k ) + ρc (k )Φ tot ( k ) k2 α Φ tot (k ) } 2 8π k - provjere [V 11 (k ) = 4π/(k ) 2 ] F/ ρ c = ρ c / χ + Φ tot = 0, F/ Φ tot = ρ c Φ tot /V 11 = ρ ext - RPA rezultat ρ ind (k,ω) = χ(k,ω)φ tot (k,ω) Φ tot (k,ω) = V 11 (k) [ ρ ext (k,ω) + ρ ind (k,ω) ] = Φext (k,ω) ε(k, ω)

13 Boltzmannove jednadžbe vodljivi elektroni opisani vektorom položaja r i kvaziimpulsom p - semiklasična neravnotežna funkcija raspodjele (f 0 (p) f 0 [ε(p)]) df (r,t,p) dt = f (r,t,p) f 0(p) τ - Boltzmannove jednadžbe (I(f ) - integral kolizije) df dt = f t + r t f r + p t f p I(f ) - ili (u najgrubljoj aproksimaciji) f t + v f (E r + q + 1c ) v H f p = f f 0 τ

14 Boltzmannove jednadžbe rješavanje jednadžbi za τ neovisan o p - longitudinalno monokromatsko električno polje E(r,t) = E(k,ω)e ik r iωt - pretpostavka rješenja f (r,t,p) = f (p)e ik r iωt, f (p) = f 0 (p) + g(p) - Boltzmannove jednadžbe za veličinu g(p) g[v(p)] i(ω k v(p) + iγ)g(p) = α qe α v α (p) f 0(p) ε(p) + αβ q cm αβ (p) (v(p) H) g(p) α v β (p) - uz v α (p) = ε(p)/ p α, 1/m αβ (p) = 2 ε(p)/ p α p β te Γ = 1/τ

15 Boltzmannove jednadžbe primjer: Hallov koeficijent u La 2 x Sr x CuO 4 - [Ono et al., 2007] - problem 6.1 [F. Kos, Seminar iz..., 2010]; R H = (1/n H qc) δ= /n H T (K)

16 Tenzor vodljivosti rješenje Boltzmannovih jednadžbi za B = 0 - gustoća struje J(k) = 1 V qv(p)f (p) = 1 V pσ qv(p)g(p) pσ - frekventno ovisna unutarvrpčana vodljivost izvan Drudeovog modela σ αα (ω) = q2 τn αα m - istosmjerna vodljivost σ dc αα = q2 τn αα m 1 1 iωτ, n αα = 1 V = q2 τ m 1 V pσ pσ m m αα (p) f 0(p) mv 2 α (p)( ) f 0(p) ε(p)

Σχετικά έγγραφα

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ), Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i