Geometrija (I smer) deo 1: Vektori
|
|
|
- Πράξις Τρικούπη
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013.
2 Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo da su dve usmerene duži ekvivalentne, tj. predstavljaju isti vektor, ako imaju isti pravac, smer i intenzitet.
3 Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo da su dve usmerene duži ekvivalentne, tj. predstavljaju isti vektor, ako imaju isti pravac, smer i intenzitet. Za svaku tačku A i vektor v postoji jedinstvena usmerena duž AB takva da je v = AB. Usmerenu duž AB je predstavnik vektora AB.
4 Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo da su dve usmerene duži ekvivalentne, tj. predstavljaju isti vektor, ako imaju isti pravac, smer i intenzitet. Za svaku tačku A i vektor v postoji jedinstvena usmerena duž AB takva da je v = AB. Usmerenu duž AB je predstavnik vektora AB. kolinearni vektori, komplanarni vektori, nula vektor
5 Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo da su dve usmerene duži ekvivalentne, tj. predstavljaju isti vektor, ako imaju isti pravac, smer i intenzitet. Za svaku tačku A i vektor v postoji jedinstvena usmerena duž AB takva da je v = AB. Usmerenu duž AB je predstavnik vektora AB. kolinearni vektori, komplanarni vektori, nula vektor Sa V 2 označavamo skup svih vektora ravni, a sa V 3 skup svih vektora prostora. Ako nam nije važno da li radimo u ravni ili prostoru, skup vektora označavamo sa V.
6 Definicija (Sabiranje vektora) Neka je v = AB, u = BC. Zbir vektora v i u je vektor v + u := AC.
7 Definicija (Sabiranje vektora) Neka je v = AB, u = BC. Zbir vektora v i u je vektor v + u := AC. Definicija (Množenje vektora skalarom (brojem)) Neka je α R broj i v V vektor. Proizvod α v broja i vektora je vektor u koji ima: (P) isti pravac kao vektor v ; (I) intenzitet u = α v ; (S) smer vektora u je isti kao smer vektora v ako α > 0, a suprotan ako α < 0.
8 Razlika dva vektora v u := v +( 1) u je zbir vektora v i vektora 1 u, suprotnog vektoru u.
9 Razlika dva vektora v u := v +( 1) u je zbir vektora v i vektora 1 u, suprotnog vektoru u. Ako su α 1,..., α n R brojevi, a v 1,..., v n vektori, tada se izraz α 1 v1 + + α n vn naziva linearna kombinacija vektora.
10 Razlika dva vektora v u := v +( 1) u je zbir vektora v i vektora 1 u, suprotnog vektoru u. Ako su α 1,..., α n R brojevi, a v 1,..., v n vektori, tada se izraz α 1 v1 + + α n vn naziva linearna kombinacija vektora. Primer Vektori v = AB, u = CD su zadati svojim predstavnicima (na papiru). Odrediti predstavnika vektora v 2 u.
11 Skup V svih vektora (ravni ili prostora) je vektorski prostor u smislu Linearne algebre, tj. važi Teorema Ako su v, u, w V vektori, a α, β R realni brojevi tada važi: (S1) (S2) (S3) (S4) v +( u + w ) = ( v + u )+ w, (M1) α( v + u ) = α v +α u, v + 0 = v = 0 + v, (M2) α(β v ) = (αβ) v, v +( v ) = 0, (M3) (α + β) v = α v +β v, v + u = u + v ; (M4) 1 v = v.
12 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora
13 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija Vektori a 1,..., a n su linearno nezavisni ako iz relacije α 1 a1 + + α n an = 0 sledi α 1 = = α n = 0. U suprotnom, kada je bar jedan od brojeva α i različit od nule vektori se nazivaju linearno zavisnim.
14 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija Vektori a 1,..., a n su linearno nezavisni ako iz relacije α 1 a1 + + α n an = 0 sledi α 1 = = α n = 0. U suprotnom, kada je bar jedan od brojeva α i različit od nule vektori se nazivaju linearno zavisnim. Primer Vektori odredjeni stranicama trougla su linearno zavisni.
15 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija Vektori a 1,..., a n su linearno nezavisni ako iz relacije α 1 a1 + + α n an = 0 sledi α 1 = = α n = 0. U suprotnom, kada je bar jedan od brojeva α i različit od nule vektori se nazivaju linearno zavisnim. Primer Vektori odredjeni stranicama trougla su linearno zavisni. Teorema Nenula vektori a i b su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni.
16 Teorema U vektorskom prostoru V 2 postoje dva linearno nezavisna vektora, a svaka tri vektora su linearno zavisna.
17 Teorema U vektorskom prostoru V 2 postoje dva linearno nezavisna vektora, a svaka tri vektora su linearno zavisna. Teorema U vektorskom prostoru V 3 postoje tri linearno nezavisna vektora, a svaka četiri vektora su linearno zavisna. Primer Dat je paralelogram ABCD, a tačke P, Q, R, S su redom središta ivica AB, BC, CD, DA. a) Izraziti PQ +2 PS preko vektora AB i AD. b) Izraziti QS PR preko vektora AB i AD.
18 Koordinate vektora i tačaka
19 Koordinate vektora i tačaka baza i dimenzija vektorskog prostora
20 Koordinate vektora i tačaka baza i dimenzija vektorskog prostora Neka je e = ( e 1, e 2 ) neka baza vektora ravni. Ako za neki vektor v važi v = v1 e1 +v 2 e2 tada kažemo da su (v 1, v 2 ) koordinate vektora v u bazi e i pišemo [ v ] e = (v 1, v 2 ). Slično je u prostoru.
21 Koordinate vektora i tačaka baza i dimenzija vektorskog prostora Neka je e = ( e 1, e 2 ) neka baza vektora ravni. Ako za neki vektor v važi v = v1 e1 +v 2 e2 tada kažemo da su (v 1, v 2 ) koordinate vektora v u bazi e i pišemo [ v ] e = (v 1, v 2 ). Slično je u prostoru. Primer Dat je paralelogram OABC. Tačke P i Q su središta ivica AB i BC, redom. Odrediti koordinate vektora PQ u bazi e = ( e 1, e 2 ), ako je e 1 = OA, e 2 = OC.
22 Neka je e baza vektorskog prostora i O fiksirana tačka. Tada se Oe naziva koordinatni sistem ili reper.
23 Neka je e baza vektorskog prostora i O fiksirana tačka. Tada se Oe naziva koordinatni sistem ili reper. Definicija Koordinate tačke M reperu Oe definišemo kao koordinate vektora OM u bazi e, tj. [M] Oe := [ OM] e.
24 Neka je e baza vektorskog prostora i O fiksirana tačka. Tada se Oe naziva koordinatni sistem ili reper. Definicija Koordinate tačke M reperu Oe definišemo kao koordinate vektora OM u bazi e, tj. Primer [M] Oe := [ OM] e. Neka je OABC paralelogram, i neka je e = ( OA, OB) baza. Odrediti koordinate temena paralelograma u reperu Oe.
25 Neka je e baza vektorskog prostora i O fiksirana tačka. Tada se Oe naziva koordinatni sistem ili reper. Definicija Koordinate tačke M reperu Oe definišemo kao koordinate vektora OM u bazi e, tj. Primer [M] Oe := [ OM] e. Neka je OABC paralelogram, i neka je e = ( OA, OB) baza. Odrediti koordinate temena paralelograma u reperu Oe. Koordinate vektora se dobijaju oduzimanjem koordinata tačaka: [ MN] e = [ MO + ON] e = [ ON] e [ OM] e = [N] Oe [M] Oe.
26 Skalarni proizvod
27 Skalarni proizvod Definicija Skalarni proizvod vektora je preslikavanje koje dvama vektorima dodeljuje broj v u := v u cos φ gde je φ [0, π) (neorjentisani) ugao izmedju vektora v i u.
28 Skalarni proizvod Definicija Skalarni proizvod vektora je preslikavanje koje dvama vektorima dodeljuje broj v u := v u cos φ gde je φ [0, π) (neorjentisani) ugao izmedju vektora v i u. Znak skalarnog proizvoda nam govori da li je ugao medju vektorima oštar, prav ili tup.
29 Skalarni proizvod Definicija Skalarni proizvod vektora je preslikavanje koje dvama vektorima dodeljuje broj v u := v u cos φ gde je φ [0, π) (neorjentisani) ugao izmedju vektora v i u. Znak skalarnog proizvoda nam govori da li je ugao medju vektorima oštar, prav ili tup. Pomoću skalarnog proizvoda vektora mogu se računati dužine i uglovi v = v v, cos ( v, u ) = v u v u.
30 Ortonormirana baza je ona baza čiji su svi vektori medjusobno ortogonalni i jedinični, tj. Dakle, baza e = ( e 1,..., e n ) ortonormirana ako važi e i e i = 1 za iste vektore i e i e j = 0 za različite vektore.
31 Ortonormirana baza je ona baza čiji su svi vektori medjusobno ortogonalni i jedinični, tj. Dakle, baza e = ( e 1,..., e n ) ortonormirana ako važi e i e i = 1 za iste vektore i e i e j = 0 za različite vektore. Odatle sledi da je skalarni proizvod vektora v = v 1 e1 +v 2 e2 i u = u 1 e1 +u 2 e2 datih u ortonormiranoj bazi jednak v u = v1 u 1 + v 2 u 2. U prostoru važi slična formula v u = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3.
32 Ortonormirana baza je ona baza čiji su svi vektori medjusobno ortogonalni i jedinični, tj. Dakle, baza e = ( e 1,..., e n ) ortonormirana ako važi e i e i = 1 za iste vektore i e i e j = 0 za različite vektore. Odatle sledi da je skalarni proizvod vektora v = v 1 e1 +v 2 e2 i u = u 1 e1 +u 2 e2 datih u ortonormiranoj bazi jednak v u = v1 u 1 + v 2 u 2. U prostoru važi slična formula v u = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3. Zadatak Dati su vektori v = ( 6 6, 2 2, 3 3 ) i u = ( 2 2, 6 6, 3 3 ) iz V3 svojim koordinatama u ortonormiranoj bazi. Odrediti: a) v ; b) ( v, u ).
33 Orjentacija u ravni i prostoru
34 Orjentacija u ravni i prostoru Orjentaciju uvodimo intuitivno. Šta je pozitivna, a šta negativna orjentacija je stvar dogovora.
35 Orjentacija u ravni i prostoru Orjentaciju uvodimo intuitivno. Šta je pozitivna, a šta negativna orjentacija je stvar dogovora. Trougao ABC u ravni je pozitivne orjentacije ako je smer obilaska njegovih temena suprotan smeru kretanja kazaljke na satu.
36 Orjentacija u ravni i prostoru Orjentaciju uvodimo intuitivno. Šta je pozitivna, a šta negativna orjentacija je stvar dogovora. Trougao ABC u ravni je pozitivne orjentacije ako je smer obilaska njegovih temena suprotan smeru kretanja kazaljke na satu. Baza ravni ( OA, OB) je pozitivne orjentacije, ako je trougao OAB pozitivne orjentacije.
37 Orjentacija u ravni i prostoru Orjentaciju uvodimo intuitivno. Šta je pozitivna, a šta negativna orjentacija je stvar dogovora. Trougao ABC u ravni je pozitivne orjentacije ako je smer obilaska njegovih temena suprotan smeru kretanja kazaljke na satu. Baza ravni ( OA, OB) je pozitivne orjentacije, ako je trougao OAB pozitivne orjentacije. Orjentacija baze prostora ( e 1, e 2, e 3 ) se odredjuje pravilom desne ruke.
38 Vektorski proizvod Definicija Vektorski proizvod je operacija koja dvama vektorima prostora v i u dodeljuje vektor v u kome su intenzitet, pravac i smer odredjeni sa: (I) v u = v u sin φ, gde je φ ugao izmedju v i u. (P) vektor v u je normalan na svaki od vektora v i u. (S) smer vektora v u je takav da je baza ( v, u, v u ) pozitivne orjentacije.
39 Vektorski proizvod Definicija Vektorski proizvod je operacija koja dvama vektorima prostora v i u dodeljuje vektor v u kome su intenzitet, pravac i smer odredjeni sa: (I) v u = v u sin φ, gde je φ ugao izmedju v i u. (P) vektor v u je normalan na svaki od vektora v i u. (S) smer vektora v u je takav da je baza ( v, u, v u ) pozitivne orjentacije. Primetimo da je na osnovu (I) intenzitet vektorskog proizvoda jednak površini paralelograma razapetog vektorima koje množimo.
40 Vektorski proizvod Definicija Vektorski proizvod je operacija koja dvama vektorima prostora v i u dodeljuje vektor v u kome su intenzitet, pravac i smer odredjeni sa: (I) v u = v u sin φ, gde je φ ugao izmedju v i u. (P) vektor v u je normalan na svaki od vektora v i u. (S) smer vektora v u je takav da je baza ( v, u, v u ) pozitivne orjentacije. Primetimo da je na osnovu (I) intenzitet vektorskog proizvoda jednak površini paralelograma razapetog vektorima koje množimo. Dakle, vektori v i u prostora su linearno nezavisni ako i samo ako je v u 0.
41 Teorema (osobine vektorskog proizvoda) Za vektore v, u, w prostora i brojeve α, β R važi: 1) v u = u v (antisimetričnost), 2) (α v +β u ) w= α( v w) + β( u w) (linearnost), Primetimo da vektorski proizvod nije komutativan, već antikomutativan. Vektorski proizvod nije ni asocijativan.
42 Teorema (osobine vektorskog proizvoda) Za vektore v, u, w prostora i brojeve α, β R važi: 1) v u = u v (antisimetričnost), 2) (α v +β u ) w= α( v w) + β( u w) (linearnost), Primetimo da vektorski proizvod nije komutativan, već antikomutativan. Vektorski proizvod nije ni asocijativan. To sledi iz formule za dvostruki vektorski proizvod: v (u w) = (v w)u (v u)w.
43
44 Za ortonormiranu bazu e = ( e 1, e 2, e 3 ) pozitivne orjentacije važe sledeći proizvodi e 1 e2 e3 e 1 0 e3 e 2 e 2 e 3 0 e1 e 3 e2 e 1 0
45 Za ortonormiranu bazu e = ( e 1, e 2, e 3 ) pozitivne orjentacije važe sledeći proizvodi e 1 e2 e3 e 1 0 e3 e 2 e 2 e 3 0 e1 e 3 e2 e 1 0 Neka je v = v 1 e1 +v 2 e2 +v 3 e3, u = u 1 e1 +u 2 e2 +u 3 e3 v u = (v2 u 3 v 3 u 2 ) e 1 +(v 3 u 1 v 1 u 3 ) e 2 +(v 1 u 2 v 2 u 1 ) e 3 = e1 e 2 e3 = v 1 v 2 v 3. u 1 u 2 u 3
46 Neka su A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ) i C(c 1, c 2 ) tačke ravni. Ako stavimo da je treća koordinata tih tačaka jednaka 0, dobijamo
47 Neka su A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ) i C(c 1, c 2 ) tačke ravni. Ako stavimo da je treća koordinata tih tačaka jednaka 0, dobijamo AB AC= b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e 3 =: D ABC e3.
48 Neka su A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ) i C(c 1, c 2 ) tačke ravni. Ako stavimo da je treća koordinata tih tačaka jednaka 0, dobijamo AB AC= b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e 3 =: D ABC e3. Lako se proverava da važi: površina trougla ABC je P ABC = 1 2 D ABC. tačke A, B, C ravni su kolinearne ako i samo ako D ABC = 0. trougao ABC je pozitivne orjentacije ako D ABC > 0.
49 Neka su A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ) i C(c 1, c 2 ) tačke ravni. Ako stavimo da je treća koordinata tih tačaka jednaka 0, dobijamo AB AC= b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e 3 =: D ABC e3. Lako se proverava da važi: Primer površina trougla ABC je P ABC = 1 2 D ABC. tačke A, B, C ravni su kolinearne ako i samo ako D ABC = 0. trougao ABC je pozitivne orjentacije ako D ABC > 0. Odrediti površinu trougla ABC, ako je A(1, 2), B(2, 3), C( 3, 4). Da li je trougao ABC pozitivne orjentacije?
50 Teorema Tačka M pripada trouglu ABC ako i samo ako su D ABM, D BCM i D CAM istog znaka.
51 Teorema Tačka M pripada trouglu ABC ako i samo ako su D ABM, D BCM i D CAM istog znaka. Primer Da li tačka M(2, 3) pripada trouglu ABC, ako je A(1, 7), B( 3, 3), C(3, 3)?
52 Mešoviti proizvod Definicija Mešoviti proizvod je operacija koja trima vekorima prostora dodeljuje broj [ v, u, w] := ( v u ) w.
53 Mešoviti proizvod Definicija Mešoviti proizvod je operacija koja trima vekorima prostora dodeljuje broj [ v, u, w] := ( v u ) w. Teorema Apsolutna vrednost mešovitog proizvoda [ v, u, w] jednaka je površina paralelepipeda odredjenog vektorima v, u, w.
54 Mešoviti proizvod Definicija Mešoviti proizvod je operacija koja trima vekorima prostora dodeljuje broj [ v, u, w] := ( v u ) w. Teorema Apsolutna vrednost mešovitog proizvoda [ v, u, w] jednaka je površina paralelepipeda odredjenog vektorima v, u, w. Tri vektora su linearno nezavisna (nekomplanarna) ako i samo ako im je mešoviti proizvod različit od nule.
55 Teorema (osobine mešovitog proizvoda) Za vektore v, u, w, t V 3 i α, β R važi: 1) [ v, u, w] = [ u, v, w], 2) [ v, u, w] = [ u, w, v ] = [ w, v, u ], 3) [α v +β u, w, t ] = α[ v, w, t ] + β[ u, w, t ] (linearnost).
56 Teorema (osobine mešovitog proizvoda) Za vektore v, u, w, t V 3 i α, β R važi: 1) [ v, u, w] = [ u, v, w], 2) [ v, u, w] = [ u, w, v ] = [ w, v, u ], 3) [α v +β u, w, t ] = α[ v, w, t ] + β[ u, w, t ] (linearnost). U ortonormiranoj bazi pozitivne orjentacije, mešoviti proizvod se računa pomoću determinante: [ v, u, w] v 1 v 2 v 3 = u 1 u 2 u 3 w 1 w 2 w 3.
57 Teorema (osobine mešovitog proizvoda) Za vektore v, u, w, t V 3 i α, β R važi: 1) [ v, u, w] = [ u, v, w], 2) [ v, u, w] = [ u, w, v ] = [ w, v, u ], 3) [α v +β u, w, t ] = α[ v, w, t ] + β[ u, w, t ] (linearnost). U ortonormiranoj bazi pozitivne orjentacije, mešoviti proizvod se računa pomoću determinante: [ v, u, w] v 1 v 2 v 3 = u 1 u 2 u 3 w 1 w 2 w 3. Primer Odrediti zapreminu tetraedra ABCD ako je A(1, 2, 3), B(0, 1, 1), C( 1, 2, 3), D(1, 0, 0).
Matematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Vektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Drugi deo (uvoda) Vektori
Drugi deo (uvoda) Vektori Vektori i skalari Skalar je običan broj. Vektor je lista (uređena n-torka) skalara (komponente vektora). Pomeranje (recimo, 10 koraka prema zapadu) izražavamo vektorom. Rastojanje
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Vektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Analitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA
LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
VEKTORI. Opera u Sidneju, Australija
VEKTORI Ciljevi poglavlja Sabiranje i razlaganje vektora na komponente, množenje i deljenje vektora skalarom Predstavljanje vektora u Dekartovom koordinatnom sistemu i operacije sa vektorima koji su izraženi
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Vektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Analitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Slika 9: Izometrijske transformacije koordinata. Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom
e 2 f 2 e 2 φ + π 2 Q f 1= f 1 φ e 1 O e 1 f 2 Slika 9: Izometrijske transformacije koordinata Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom Teorema 3.1 Formule transformacija koordinata ravni iz ortonormiranog
Vektorska algebra i analiza
Glava 1 Vektorska algebra i analiza Uvod U prostoru oko nas susrećemo se sa raznim pojavama. Da bismo ih opisali, definišemo pojmove koji ih karakterišu. Me - dutim, primećeno je da i različite pojave
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora
Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno
Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Zadaci iz Linearne algebre (2003/4)
Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Srdjan Vukmirović May 22, 2004 1 Matematička indukcija 1.1 Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi 3 / (5 n + 2 n+1 ). 1.2 Dokazati da sa svake m Z i n N postoje
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
10 Afina preslikavanja ravni
0 Afina preslikavanja ravni 0 Definicija i osobinea afinih preslikavanja Reč afini označava da se pojam odnosi na prostor tačaka koji je vezan za odgovarajući vektorski prostor Intuitivno, afino preslikavanja
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
EUKLIDSKA GEOMETRIJA
EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Algebarske strukture
i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
I Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
![PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).](/thumbs/74/70316766.jpg "PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).")
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Linearna algebra. skripta. Januar 2013.
Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 2009.
Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 009. Autori: Mr Nada Damljanović Mr Rale Nikolić Recenzenti: Prof. dr Mališa
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Linearna algebra. skripta. Januar 2013.
Linearna algebra skripta Januar 03. Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Jednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije