6. Poopćenja Newton Leibnizove formule

Transcript

1 STOKES 5 6. oopćenja Newton Leibnizove formule 6.. Još neki važni operatori Doasad smo naučili operator ili grad, koji od skalarnog polja radi vektorsko polje: ( U gradu U(x, y, z) x,, ). z Sada ćemo upoznati još dva operatora: rot i div. Operator rot od vektorskog polja pravi drugo vektorsko polje: rotf F x z F x F y F z ( Fz F y z, F x z F z x, F y x F ) x. Rotacija mjeri vrtložnost polja F. rimjer 6... Izračunajte rot F ako je F (x + y + z, x z, y + z). rijedi rot F ( Fz F y z, F x z F z x, F y x F ) x (y +, z, x ). Divergencija od vektorskog polja pravi skalarno polje i definira se kao: div F F ( x,, ) (F x, F y, F z ) F x z x + F y + F z z. Divergencija mjeri ima li polje F izvor.

2 OOĆENJA NEWTON LEIBNIZOE FORMULE STOKES 5 rimjer 6... Izračunajte div F ako je F (x + y + z, x z, y + z). rijedi 6.. Stokesov teorem -dimenzionalni slučaj div F F x x + F y + F z z + +. risjetimo se, ako imamo konzervativno polje, onda se F može napisati kao gradijent nekog skalarnog polja U, a integral vektorskog polja F od točke A do točke B takve funkcije uopće ne ovisi o putu. A k B Označimo s k krivulju od A do B, a s k rub krivulje k, tj. krajnje točke krivulje k. Onda imamo: k U d r k du U B U A. k Što mjeri U? Brzinu rasta (pazite brzina je vektor, a ne broj!) polja U. U U const. -dimenzionalni slučaj Stokesov teorem Stokesov teorem omogućava nam da umjesto po plohi integriramo po rubu plohe (krivulji!), u oznaci i obratno. Neka je definirano vektorsko polje F i F na plohi. Orijentirajmo zatvorenu krivulju tako da je orijentacija suprotna od kazaljke na satu. Jednako

3 OOĆENJA NEWTON LEIBNIZOE FORMULE STOKES 5 tako, u svakoj točki plohe, kad pogledamo s vrha d, prema krivulji, krivulja mora biti pozitivno orijentirana (obrnuto od kazaljke na satu). Tada vrijedi ( F) d rot F d F d r. Što mjeri rot F F? Mjeri rotaciju, odnosno vrtložnost polja F. Ako je mala površina na koju je n jedninični vektor normale i ako rub od označimo s, n onda imamo F d r ( F) d ( F) n d ( F) n. ribližna jednakost vrijedi zato što je ploha mala, pa se niti n, niti F ne mijenja puno. Drugim riječima, zaključili smo da je ( F) n lim F d r. Limes s desne strane predstavlja rotaciju polja F. Imamo tri moguće situacije. d r F F d r > ( F) n > + vrtlog

4 OOĆENJA NEWTON LEIBNIZOE FORMULE STOKES 53 d r F F d r < ( F) n < vrtlog F d r d r F ( F) n protok Ako je F u svakoj točki nekog dijela prostora, onda je polje F bezvrtložno u tom dijelu prostora. okažimo sad da su potencijalna (konzervativna) polja bezvrtložna. Zbog potencijalnosti imamo F U, pa je U x x z z. osljednja nula na desnoj strani slijedi zbog toga što kad funkcije imaju dovoljno neprekidnih derivacija, poredak deriviranja po različitim varijablama nije bitan. otencijalna (konzervativna) polja su bezvrtložna. rijedi i obrat, bezvrtložna polja su potencijalna (konzervativna). rimjer 6... Ispitajte je li polje F (y cosx + z 3, y sin x 4, 3xz + ) konzervativno, potencijalno, bezvrtložno polje. rema već zaključenom, ta tri pitanja predstavljaju isto pitanje, pa možemo dokazati bilo što od toga.

5 OOĆENJA NEWTON LEIBNIZOE FORMULE STOKES 54 Konzervativnost polja Ovo je vjerojatno najteže direktno dokazati, jer treba vidjeti da za svaki par točaka A, B i svaku krivulju k koja ih spaja vrijedi F d r. otencijalnost polja Treba naći skalarno polje U, takvo da vrijedi k F U. Dakle, imamo: x y cosx + z 3, y sin x 4, z 3xz +. Iz posljednje jednadžbe izlazi da je U(x, y, z) (3xz + ) dz xz 3 + z + g(x, y). Deriviranjem po y imamo a s druge strane mora biti što zajedno daje odnosno g(x, y) Uvrstimo li to u U(x, y, z), dobivamo: g(x, y), y sin x 4, y sin x 4, g(x, y) y sin x 4y + h(x). U(x, y, z) xz 3 + z + y sin x 4y + h(x). Konačno, moramo odrediti još funkciju h, deriviranjem U po x. rijedi: x z3 + y cosx + dh(x) dx,

6 OOĆENJA NEWTON LEIBNIZOE FORMULE STOKES 55 i što zajedno daje da je odnosno da je rema tome, Zaključujemo da je polje potencijalno. Bezvrtložnost polja Treba provjeriti je li uvijek rot F. x y cosx + z 3, dh(x) dx, h(x) c. U(x, y, z) xz 3 + z + y sin x 4y + c. rot F F x z F x F y F z x z y cosx + z 3 y sin x 4 3xz + ( (3xz + ) ) (y sin x 4) ı z ( x (3xz + ) ) z (y cos x + z 3 ) j ( ) + (y sin x 4) x (y cosx + z 3 ) k ( ) ı (3z 3z ) j + (y cos x y cos x) k. Zaključujemo da je polje bezvrtložno. rimjer 6... Izračunajmo k F d r

7 OOĆENJA NEWTON LEIBNIZOE FORMULE STOKES 56 ako je k zatvorena krivulja (dijelovi pravaca) koji spajaju točke (,, ), (,, ) i (,, ), z (,,) x (,,) y a F vektorsko polje F(x, y, z) (y + z, z + x, x + y ). Ovaj primjer možemo riješiti direktno i primjenom Stokesovog teorema. Direktno rješenje Da bismo direktno dobili rješenje, moramo parametrizirati sve tri dužine. rvo, parametrizirajmo dužinu od (,, ) do (,, ). ravac koji prolazi zadanim točkama je: x y z t, odnosno x t, ritom se parametar t kreće od do. Odmah vidimo da je y t, z. F( r(t)) ( (t) +, + t, t + (t) ) (8t, t, 6t ), dr(t) (,, ). dt Integral od (,, ) do (,, ) jednak je: I (8t, t, 6t ) (,, ) dt t dt 3 t3 3. Sada parametrizirajmo dužinu od (,, ) do (,, ). Odmah vidimo da je x, y, z t,

8 OOĆENJA NEWTON LEIBNIZOE FORMULE STOKES 57 parametar t se kreće od do. Sada je F( r(t)) ( () + t, t +, + () ) (t, t, ), dr(t) (,, ). dt Integral od (,, ) do (,, ) jednak je: I (t, t, ) (,, ) dt dt. Konačno, treba još parametrizirati dužinu od (,, ) do (,, ). Jednadžba pravca kroz te dvije točke je: odnosno ritom se t kreće od do. Sada je x y x t, y t, z t +. z t, F( r(t)) ( (t) + ( t + ), ( t + ) + t, t + (t) ) (9t t +, 3t 4t +, 6t ), dr(t) (,, ). dt Integral od (,, ) do (,, ) jednak je: I 3 (9t t +, 3t 4t +, 6t ) (,, ) dt (9t t + 5) dt (3t 3 5t + 5t) rema tome, naš integral jednak je I I + I + I

9 OOĆENJA NEWTON LEIBNIZOE FORMULE STOKES 58 Rješenje pomoću Stokesovog teorema Za računanje pomoću Stokesovog teorema treba nam rot F F x z y + z z + x x + y (y 4z) ı (4x z) j + (x 4y) k. Sada s integrala po stranicama trokuta prelazimo na integral po trokutu. z (,,) n x (,,) y rvo moramo znati parametrizirati dio ravnine kojoj pripada zadani trokut. Toj ravnini pripadaju točka (,, ), a razapeta je vektorima (,, ) i (,, ). Normala te ravnine je n (,, ). rimijetite da je normala te ravnine dobro orijentirana obzirom na orijenataciju trokuta. Jednadžba te ravnine je arametrizaciju možemo napisati kao x + y. x u, y u, z v. Tada naš trokut u u, v ravnini izgleda ovako: v u

10 OOĆENJA NEWTON LEIBNIZOE FORMULE STOKES 59 Zadani trokut ima parametrizaciju: o definiciji nam još samo treba x u, u z v, v u. r(u, v) r u (,, ) u r(u, v) r v (,, ), v i r u r v, no to smo već izračunali kad smo računali n. Osim toga, ustanovili smo da moramo napraviti vektorski produkt u drugom smjeru da normala gleda na pravu stranu. Konačno, u F treba uvrstiti izabranu parametrizaciju: ( F)(u, v) ( u 4 v, v 4 u, u 4 (u)) (4u 4v, v 4u, 6u). Sada je ( F) d u u (4u 4v, v 4u, 6u) (,, ) dv du ( 8u + 8v + v 4u) dv du ( uv + 5v ) u du ( u + u + 5 u + 5u ) du u ( u + v) dv du ( u( u) + 5( u) ) du ( ) 7 3 u3 u ( ) 7 + 5u (7u u + 5) du rimjer Izračunajmo ako je k dio Arhimedove spirale k F d r r(t) (a cost, a sin t, bt),

11 OOĆENJA NEWTON LEIBNIZOE FORMULE STOKES 6 pri čemu su a, b neke konstante, za t π, 4 3 a F vektorsko polje F(x, y, z) (x yz, y xz, z xy). onovno, zadatak se može riješiti direktno, ali i korištenjem činjenice da je polje F konzervativno. Direktno rješenje arametrizacija krivulje k već je zadana, pa treba još izračunati F( r(t)) (a cos t abt sin t, a sin t abt cos t, b t a sin t cost), dr(t) ( a sin t, a cost, b), dt F( r(t)) d r(t) a 3 sin t cos t + a bt sin t + a 3 sin t cost dt a bt cos t + b 3 t a b sin t cost. Samo računanje integrala kojemu posljednja funkcija podintegralna, postaje prilično dugotrajan posao (obavite ga za vježbu). Rješenje korištenjem konzervativnosti polja okažimo da je zadano polje bezvrtložno, pa onda i konzervativno: rotf F x z x yz y xz z xy ( x + x) ı ( y + y) j + ( z + z) k. Kod konzervativnih polja, integral ne ovisi o putu, nego samo o krajnjim točkama puta. rema tome, možemo odabrati neki jednostavniji put, kao što je dio

12 OOĆENJA NEWTON LEIBNIZOE FORMULE STOKES 6 pravca od točke (a,, ) do točke (a,, bπ) (plava spojnica). arametrizacija tog dijela pravca je x a, pri čemu se t kreće od do bπ. i Sada je I y, z t, F( r(t)) (a, at, t ), dr(t) (,, ), dt F( r(t)) d r(t) t, dt k F d r bπ t dt t3 3 bπ 8b3 π 3. 3 rimjer Zadano je vektorsko polje ( ) y x F x + y, x + y,. okažite, da iako je F, svugdje gdje je F definirano, ipak je F d r, ( F) d. ako je gornja polusfera x + y + z a, odnosno je rub te polusfere, tj. to je kružnica x + y a u xy ravnini. romatramo li polje F, vidjet ćemo da ono nije definirano čim je x y. Ima li na našoj sferi takva točka? Ima! To je točka (,, a). Kad nije definiran F u toj točki, ne može biti definiran niti rot F. Za sve ostale točke (gdje je F definiran) je: rotf F x z y x x + y x + y ( ) ı ( ) j + ( y x (x + y ) x y ) k. (x + y )

13 OOĆENJA NEWTON LEIBNIZOE FORMULE STOKES 6 S druge strane, direktnim računom iz parametrizacije kružnice x a cosϕ, y a sin ϕ, z, ϕ < π izlazi pa je F( r(ϕ)) ( sin ϕ a, cosϕ a, ), dr(ϕ) ( a sin ϕ, a cosϕ, ), dϕ F( r(ϕ)) d r(ϕ) dϕ, F d r dϕ ϕ π π Gaussov teorem 3-dimenzionalni slučaj Ovaj teorem mnogi nazivaju i teorem o divergenciji ili teorem Gauss Green Ostrogradski. Slično kao što smo u dvodimenzionalnom slučaju, umjesto po plohi integrirali po krivulji (i obratno), Gaussov teorem omogućava da vektorsko polje F umjesto po zatvorenoj plohi integriramo po volumenu i obratno (pri čemu je rub volumena ): F d div F d F d. ritom je d tzv. vanjska normala, jer gleda izvan zatvorene plohe. Što mjeri div F F? Mjeri divergenciju, odnosno izviranje polja F. Ako je mali volumen onda je F d F d F d F. ribližna jednakost vrijedi zato što je volumen mali, pa se niti F ne mijenja puno.

14 OOĆENJA NEWTON LEIBNIZOE FORMULE STOKES 63 Drugim riječima, zaključili smo da je F lim F d. Ako je div F >, onda ćemo imati izvor polja F, ako je div F < onda ćemo imati ponor polja F, a ako je div F onda polje F nema ni izvor ni ponor. rimjer Za vektorsko polje F (x, y, z). izračunajte tok tog polja kroz oplošje paraboloida (bez baze!) omedenog ravninom z. z x + y onovno, račun možemo provesti direktno i korištenjem Gaussovog teorema. Direktno rješenje arametrizirajmo paraboloid: x ρ cosϕ, y ρ sin ϕ, z ρ, ϕ < π, ρ.

15 OOĆENJA NEWTON LEIBNIZOE FORMULE STOKES 64 Sada je r ρ (cosϕ, sin ϕ, ρ), r ϕ ( ρ sin ϕ, ρ cosϕ, ) r ρ r ϕ cosϕ sin ϕ ρ ρ sin ϕ ρ cosϕ ı( ρ cosϕ) j(ρ sin ϕ) + k(ρ cos ϕ + ρ sin ϕ) ( ρ cosϕ, ρ sin ϕ, ρ). rimijetite da je z-komponenta ove normale pozitivna, pa će normala gledati prema unutrašnosti paraboloida. Želimo li normalu koja gleda na van, (kao što nam to treba kod Gaussovog teorema), moramo joj promijeniti znak u suprotan, drugim riječima, za vanjsku normalu trebamo Nadalje, rema tome, imamo: r ϕ r ρ (ρ cosϕ, ρ sin ϕ, ρ). F( r(ρ, ϕ)) (ρ cosϕ, ρ sin ϕ, ρ ) F( r(ρ, ϕ)) ( r ϕ r ρ ) ρ 3 cos ϕ + ρ 3 sin ϕ + ρ 3 3ρ 3. I 3ρ 3 dρ dϕ 3ρ 4 4 dϕ 3 dϕ 3ϕ π 6π. Rješenje korištenjem Gaussovog teorema Da bismo mogli iskoristiti Gaussov teorem, moramo zatvoriti plohu. Najjednostavnije zatvaranje je dodavanjem baze B paraboloida (crveno)

16 OOĆENJA NEWTON LEIBNIZOE FORMULE STOKES 65 Ako s I označimo traženi intergal po otvorenom paraboloidu, onda je F d I + B F d. rvo izračunajmo pri čemu krug B parametriziramo s B F d, x ρ cosϕ, y ρ sin ϕ, z, ϕ < π, ρ. Sada je r ρ (cosϕ, sin ϕ, ), r ϕ ( ρ sin ϕ, ρ cosϕ, ) r ρ r ϕ cosϕ sin ϕ (,, ρ). ρ sin ϕ ρ cosϕ Normala na krug gleda prema gore (z komponenta pozitivna), tako da normale na rub gledaju prema van. Nadalje je rema tome, imamo: F( r(ρ, ϕ)) (ρ cosϕ, ρ sin ϕ, ) F( r(ρ, ϕ)) ( r ρ r ϕ ) ρ. B F d ρ dρ dϕ ρ dϕ dϕ ϕ π 4π. Moramo još izračunati i F d, gdje je zatvoreni paraboloid. Imamo: F +,

17 OOĆENJA NEWTON LEIBNIZOE FORMULE STOKES 66 a paraboloid parametriziramo u cilindarskim koordinatama x ρ cosϕ, y ρ sin ϕ, z z, ϕ π, ρ, ρ z. rema tome izlazi F d ρ ρ dz dρ dϕ (ρ ρ 3 ) dρ dϕ dϕ ϕ π π. ρz dρ dϕ ρ π( ρ ρ4 4 ) dϕ Konačno, uvrštavanjem, dobivamo I F d F d π ( 4π) 6π. B