1. ΔΙΑΒΑΖΩ ΣΗ ΘΕΩΡΙΑ 2. ΞΑΝΑΒΛΕΠΩ ΑΠΟ ΣΟ ΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΙ ΑΚΗΕΙ: 3. ρ. 4. Δυνάμεις του 1±i, α±αi, α±α 3 i, α 3 ± αi.

Transcript

1 . ΔΙΑΒΑΖΩ ΣΗ ΘΕΩΡΙΑ Ορισμοί, Αποδείξεις, χόλια, Πλαίσια. ΞΑΝΑΒΛΕΠΩ ΑΠΟ ΣΟ ΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΙ ΑΚΗΕΙ: ελ. 96: Α, Α, Α4, Β3, Β4, Β5, Β6, Β7, Β8 ελ.97: Β9 ελ.0: Α3, Α7, Α8, Β, Β, Β3 ελ.0: Β4, Β5, Β6, Β7, Β8, Β9, Β0 ΠΡΟΕΞΕ ΚΑΙ ΣΑ ΠΑΡΑΚΑΣΩ: ά i 3. ρ ν 4ρ + υ 4ρ υ 4 υ υ i = i = i i = i i = i =, αν υ = 0 i, αν υ = -, αν υ = - i, αν υ = 3 π.χ i 00 = 4. Δυνάμεις του ±i, α±αi, α±α 3 i, α 3 ± αi Βρες τα παρακάτω: a ai a i a ai a i a ai a i 3 a a i a i i... i i i

2 5. Να θυμάσαι: + = α δηλαδή + = Re() ή Re() = + - = βi δηλαδή - = i Im() ή Im() = - i π.χ w + w =... w - w = w w... w w 6. Πρόσεξε: Αν είναι i με, C τότε: i i Είναι λάθος να πούμε ότι: i διότι ο δεν είναι σε κανονική μορφή. 7. Επίλυση της Εξίσωσης : α + β + γ = 0 με α,β,γ και α 0 Πρόσεξε ότι για να πάρεις τον παρακάτω τύπο πρέπει τα α,β,γ να είναι πραγματικοί αριθμοί!!!!!!! Αν Δ < 0 τότε έχει δύο συζυγείς μιγαδικές λύσεις : i,. Παρατήρηση Ισχύουν οι σχέσεις: και. - -

3 π.χ. άσκηση Α4 σελίδα 96 σχολικού.. Να λυθεί η εξίσωση: i + = 0, C. 8. Για την επίλυση εξισώσεων στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών: α) Αν η εξίσωση περιέχει μόνο τον μιγαδικό και είναι δευτεροβάθμια με πραγματικούς συντελεστές, χρησιμοποιούμε τους τύπους της δευτεροβάθμιας,ενώ αν είναι μεγαλυτέρου βαθμού κάνουμε παραγοντοποίηση. β) Αν η εξίσωση περιέχει τους, ή δυνάμεις του (π.χ. 3, ),τότε θέτουμε x yi και βρίσκουμε τα xy., 9. Για να δείξουμε ότι ο είναι πραγματικός : τον γράφουμε στη μορφή = α + βi και αποδεικνύουμε ότι: β = 0 ή δείχνουμε ότι: =. Για να δείξουμε ότι ο είναι φανταστικός : τον γράφουμε στη μορφή = α + βi και αποδεικνύουμε ότι: α = 0 ή δείχνουμε ότι: = -. π.χ Αν, w μιγαδικοί με w 3 είναι φανταστικός., να δείξετε ότι ο w 3 w - 3 -

4 0. Προσοχή. το σύνολο των μιγαδικών αριθμών μπορεί να αληθεύει μια ισότητα της μορφής: + = 0 και όταν 0 και 0.Όταν δίνεται η σχέση 0, τότε μπορούμε να τη γράψουμε ως εξής: 0 i i 0 ( i )( i ) 0 i 0 ή i 0 i ή i i. ΘΤΜΑΜΑΙ ΕΠΙΗ: i i i. Αντισυζυγής Αν = α + βi, α, β τότε ως αντισυζυγής του ορίζεται ο μιγαδικός: w = β αi (ή w = - β + αi ). Παρατηρούμε ότι: β αi = -i(α + βi) δηλ w = -i α + βi = i(β αi) δηλ = i w -β + αi = i(α + βi) δηλ -w = i Για παράδειγμα: 4κ+ + w 4κ+ = ( i w ) 4κ+ + w 4κ+ = - w 4κ+ + w 4κ+ = 0 Τπολόγισε το παρακάτω: (3-i) 00 + (+3i) 00 Οι διανυσματικές ακτίνες των και w είναι κάθετες

5 . Προσοχή Δεν ισχύει η διάταξη στους μιγαδικούς. Επομένως αν μου δοθεί η ανισότητα: 3 + > 0 σημαίνει ότι: 3 + R Δηλαδή: 3 3 Μια άσκηση με δυνάμεις: Δίνονται οι μιγαδικοί, 0 με. Να δείξετε ότι: α. 3 3 β = - 5 -

6 3. Μέτρο μιγαδικού αν = α + β i, τότε: = α + β και ΟΧΙ = α + βi ΝΑ ΘΤΜΑΑΙ ΠΑΝΣΑ ΣΙ ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΣΟΤ ΜΕΣΡΟΤ α) = = - β) = γ) = δ) = ε) =, 0 π.χ = 3 =... i =... και μία άσκηση: Δίνονται οι μιγαδικοί,, 3 με: =, =3, 3=5. Να δείξετε ότι:

7 4. Μέτρο αθροίσματος μιγαδικών Χρησιμοποιείται κυρίως για απόδειξη ανισοτικών σχέσεων. π.χ Αν και w = 3-4i να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του +w 5. Μέτρο διαφοράς μιγαδικών Αν, είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί και Μ, Μ οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο αντίστοιχα, τότε - = MM ΠΡΟΟΧΗ: Για το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών ισχύει επίσης:. Άρα: ( ) ( ) ( ). υνεπώς: π.χ Αν για τους μιγαδικούς,, 3 ισχύει: και =, να δείξετε ότι: α). β)

8 - = - 6. Η εξίσωση: παριστάνει τη μεσοκάθετο του Μ Μ, όπου Μ, Μ είναι οι εικόνες των, αντίστοιχα. Η εξίσωση: - 0 = ρ, ρ > 0 παριστάνει κύκλο με κέντρο την εικόνα Ρ(x 0,y 0 ) του 0 και ακτίνα ρ. Π.χ. Η εξίσωση 3i παριστάνει:. ε ποια γραμμή κινούνται οι εικόνες του μιγαδικού για τον οποίο ισχύει: i i ; - 8 -

9 7. Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου μιγαδικού Αν για τον μιγαδικό ισχύει:, ρ > 0 και μας 0 ζητούν να βρούμε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του, τότε: max = (KO) + ρ min = (KO) ρ, όπου Κ η εικόνα του 0 και ρ η ακτίνα του κύκλου με κέντρο το Κ. Α Κ Β Ο Όταν η εικόνα του μιγαδικού κινείται σε ευθεία (ε), τότε έχει μόνο ελάχιστο μέτρο. Για να βρούμε το μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο, φέρνουμε κάθετη από την αρχή των αξόνων στην ευθεία (ε) Μ Ο ε min ( ) d( O, ) π.χ εφαρμογή σελ.99, Α7 σελ.0, Β8 σελ.0, Γ3 σελ. 3 σχολικού - 9 -

10 8. Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς μιγαδικών. Αν Μ,Ν είναι οι εικόνες των μιγαδικών w, τότε: α) Αν ο μιγαδικός κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και ο w είναι σταθερός,τότε μέγιστη τιμή του w, είναι η ΝΒ=ΝΚ+ρ και ελάχιστη η ΝΑ=. y O B K A N x β) Αν ο μιγαδικός κινείται σε ευθεία ε και ο w είναι σταθερός,τότε ελάχιστη τιμή της w, είναι η d(, ) (μέγιστη τιμή δεν υπάρχει). y O ε Ν x γ) Αν οι μιγαδικοί w, κινούνται σε κύκλο (Κ,ρ), τότε μέγιστη τιμή της w,είναι η ΜΝ=ρ. (ελάχιστη τιμή δεν υπάρχει). y Ν Κ Μ O x δ) Αν ο μιγαδικός κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και ο w σε ευθεία ε,τότε η ελάχιστη τιμή y της w, είναι η ΝΑ= d(, ) (μέγιστη τιμή δεν υπάρχει). Κ ε O x ε) Αν ο μιγαδικός κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και ο w σε κύκλο (Λ,R), τότε η ελάχιστη τιμή της w, είναι η ΚΛ-ρ-R και η μέγιστη ΚΛ+ρ+R. x y στ) Αν οι μιγαδικοί κινούνται σε έλλειψη, τότε μέγιστη τιμή της w,είναι η ΑΑ =,δηλ. ο μεγάλος άξονας και ελάχιστη τιμή η ΒΒ =, δηλ. ο μικρός άξονας

11 9. ΘΤΜΑΜΑΙ:. f (, w) 0 f (, w) 0, δηλαδή αν μια παράσταση με μιγαδικούς είναι ίση με μηδέν,τότε και η συζυγής παράστασης αυτής είναι ίση με μηδέν. π.χ Αν + = 3 και οι εικόνες των μιγαδικών αυτών κινούνται σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα, να δείξετε ότι: =. f (, w) f (, w), δηλαδή μια παράσταση μιγαδικών και η συζυγής της έχουν ίσα μέτρα. π.χ Αν οι εικόνες των μιγαδικών,, 3 κινούνται σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα, να δείξετε ότι:

12 3. Όταν έχουμε μια ισότητα μιγαδικών, σε πολλές περιπτώσεις χρησιμοποιούμε ότι και τα μέτρα των μιγαδικών είναι ίσα (χωρίς να ισχύει το αντίστροφο). Μετά υψώνουμε στο τετράγωνο τα δύο μέλη και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα.δηλαδή: α) Αν, w w w w. β) Αν, w w w w w ww γ) Γενικά: f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f g g. π.χ.άσκηση Γ6 σελίδα 3 σχολικού. Αν ( + i) ν = ( i) ν να δείξετε ότι R. - -

13 4. Αν Α,Β,Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών, w, u,τότε: α) ΑΒΓ ισόπλευρο ΑΒ=ΒΓ=ΓΑ w wu u. β) ΑΒΓ ισοσκελές ΑΒ=ΒΓ w w u. 0 γ) ΑΒΓ ορθογώνιο με 90 w u w u. π.χ Αν για τους μιγαδικούς,, 3 ισχύουν οι σχέσεις : = 0 και 3 = = =, να δείξετε ότι οι εικόνες των,, 3 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας

14 0. Για να βρούμε το μέτρο ενός μιγαδικού : α) Γράφουμε τον μιγαδικό στη μορφή x yi και χρησιμοποιούμε τον τύπο x y. β) Αν ο μιγαδικός βρίσκεται σε μια παράσταση με πράξεις μιγαδικών τότε χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του μέτρου. γ) Βρίσκουμε πρώτα το κάνοντας χρήση της ιδιότητας α α α α και μετά βρίσκουμε το μέτρο του δ) Αν έχουμε μια ισότητα μέτρων,τότε υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο, κάνουμε χρήση της ιδιότητας α α α α και μετά βρίσκουμε το μέτρο του. ΠΡΟΟΧΗ σε ασκήσεις που μας ζητούν να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων ενός μιγαδικού αριθμού ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση ή συνδέεται με μια σχέση με ένα άλλο μιγαδικό w τότε: Α. Προσπαθώ να καταλήξω σε μια σχέση της μορφής: - = - ή - 0 = ρ, ρ > 0 και επομένως γνωρίζω σε ποια γραμμή κινούνται οι εικόνες του. π.χ Αν για τους μιγαδικούς και w ισχύουν = και w=(- 3 +i)i, τότε να βρείτε το γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w

15 Β. Αν δεν μπορεί να συμβεί το Α. τότε θέτουμε στη σχέση μας όπου = x+yi το μιγαδικό του οποίου το γεωμετρικό τόπο των εικόνων θέλουμε να βρούμε και w= κ+λi το μιγαδικό για τον οποίο συνήθως γνωρίζουμε σε ποια γραμμή ανήκουν οι εικόνες του, άρα γνωρίζουμε μια σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ. τόχος μας είναι να εκφράσουμε τα κ, λ συναρτήσει των x και y και να τα αντικαταστήσουμε στη σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ. π.χ Αν για τους μιγαδικούς και w ισχύουν = και w=+, τότε να βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w

16 ΘΤΜΑΜΑΙ ΧΡΗΙΜΟΤ ΣΤΠΟΤ: Αριθμητική Πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδος Μια ακολοσθία λέγεηαι αριθμηηική πρόοδος, αν κάθε όρος ηης προκύπηει από ηον προηγούμενό ηοσ με πρόζθεζη ηοσ ίδιοσ πάνηοηε αριθμού. Μια ακολοσθία λέγεηαι γεωμεηρική πρόοδος, αν κάθε όρος ηης προκύπηει από ηον προηγούμενό ηοσ με πολλαπλαζιαζμό επί ηον ίδιο πάνηοηε μη μηδενικό αριθμό. α ν+ = α ν + ω ή α ν+ - α ν = ω α ν+ = α ν λ ή α ν = α + (ν )ω α ν = α λ ν- α, β, γ διαδοτικοί όροι αριθμητικής προόδοσ αν και μόνο αν α, β, γ 0 διαδοτικοί όροι γεωμετρικής προόδοσ αν και μόνο αν S = S, - 6 -

17 Π.χ Αν = 0 με και C, να δείξετε ότι: 00 =. Κέντρο κύκλου ΣΟΝ ΚΤΚΛΟ Εξίσωση κύκλου O(0, 0) C : x + y = ρ Κ(x 0, y 0 ) C : (x x 0 ) + (y y 0 ) = ρ, C : x + y + Ax + By + Γ = 0 με Α + Β 4Γ > 0 Ακτίνα : 4 Απόσταση σημείου από ευθεία Αν Μ (x,y ) και ε:αx+by+γ = 0 τότε : Αx + By + Γ d(m,ε) = Α + Β - 7 -