BIOLOŠKA TERAPIJA PSORIJAZE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "BIOLOŠKA TERAPIJA PSORIJAZE"

Transcript

1 1 BIOLOŠKA TERAPIJA PSORIJAZE I Psorijaza je hronična, sistemska imunski posredovana inflamatorna bolest čije su promene na koži njena najvidljivija komponenta. Ona zahvata približno 1 3 % svetske populacije, zahvatajući podjednako oba pola. Psorijaza primarno zahvata kožu, opterećujući pacijente upaljenim, ponekad bolnim promenama, često sa osećajem svraba i pečenja, koje traju godinama. Prema kliničkoj formi psorijaza može da se klasifikuje kao Psoriasis vulgaris (plak tip psorijaza, PV), koja je najčešća i javlja se u oko 80 90% pacijenata, i kao druge, ređe forme ove bolesti: Psoriasis inversa(koja zahvata pregibe), Psoriasis erythrodermica (koju karakteriše izražena inflamatorna komponenta sa zahvaćenošću velikih površina kože), Psoriasis pustulosa ( sa razvojem grupisanih pustula uz ostale znake psorijaze) i Psoriasis guttata (akutna eruptivna forma, često kao posledica streptokoknih infekcija). Plak psorijaza se manifestuje eritemo- infiltrovanim plažama pokrivenim sedefastim skvamama, lokalizovanim pretežno na ekstenzornim površinama ekstremiteta (laktovi, kolena), ali i u sakralnoj regiji i u kapilicijumu. Psorijatične lezije su karakteristično lako uzdignute, simetrične, jasno ograničene, iregularnog ili ovalnog oblika, različitih dimenzija od nekoliko santimetara u dijametru do plaža koje pokrivaju velike površine kože. Boja lezija se često upoređuje sa bojom sirovog lososa (ružičasto narandžasta). Psorijatične plaže su uglavnom simetrične, pokrivene tankim, suvim, slab adherentnim, srebrno belim naslagama koje mogu biti različite debljine. Jedna od karakterističnih pojava kod psorijaze je tzv Kebnerov fenomen - pojava psorijatične lezije na mestu nespecifične povrede kože. Oboleli od psorijaze se često žale na izražen osećaj svraba, bola ili pečenja. U oko 50% obolelih od plak psorijaze postoje i psorijazno izmenjeni pojedini ili svi nokti. Iz nepoznatgih razloga češće su zahvaćeni nokti na rukama nego nokti na nogama. Promene na noktima

2 2 se manifestuju najčešće kao rupice na nokatnoj ploči (znak naprstka), oniholiza (odlubljivanje nokatne ploče od nokatnog ležaja), koja se manifestuje žućkastom prebojenošću nokatne ploče (znak uljne mrlje), trošna slobodna ivica nokta, zadebljanje nokatne ploče (subungvalna hiperkeratoza). Zahvatanje nokatnih ploča se javlja u skoro 90% obolelih od psorijatičnog artritisa. Ne postoje specifični laboratorijski markeri za dijagnozu psorijaze, i iskusan dermatolog može da dijagostikuje psorijazu najčešće na osnovu kliničke slike. U težim slučajevima biopsija promena sa histopatološkim pregledom omogućava postavljanje tačne dijagnoze. U histološkoj slici najčešće srećemo zadebljanje epiderma sa akantozom, parakeratozom, psorijaziformnom hiperplazijom sa elongacijom epidermalnih prečki, elongaciju i dilataciju krvnih sudova u dermu i formiranje Munroovih subkornealnih mikroabscesa i spongiformnih pustula Kogoj. Dijagnoza psorijaze obično ne predstavlja posebne teškoće, ali u pojedinim slučajevima treba u diferencijalnoj dijagnozi razmotriti i neke druge bolesti koje se mogu karakterisati eritemom i deskvamacijom, kao što su morbus Bowen, Mycosis fungoides, akutni i hronični ekcemi, gljivične infekcije kože, seboroični dermatitis i sl. U oko 40 70% slučajeva (prema različitim autorima) psorijaza se javlja kao familijarno oboljenje i tada se javlja najčešće u drugoj i trećoj dekadi života. Ova forma bolesti se naziva Psorijaza tip 1. Kod Psorijaza tip 2 bolesti na postoji porodična predispozicija, a najčešće se pojavljuje u petoj i šestoj dekadi. U oko 35% pacijenata bolest je umerena ili teška i zahteva sistemsku terapiju, a u oko 6 42% pacijenata postoji pridružena inflamatorna artropatija (Arthritis psoriatica), u zavisnosti od proučavane populacije. Oko 50% obolelih ima umeren ili izražen svrab. Obzirom na dužinu trajanja bolesti ( u skoro polovini svih slučajeva javlja se u ranoj mladosti) ), sa ciklusima pogoršavanja i potrebom za stalnom negom i lečenjem, oboleli od Psoriasis vulgaris imaju znatno poremećen kvalitet života a društvo u celini podnosi značajan finansijski teret, kada je reč o lečenju obolelih od ove bolesti. Iako nisu potpuno poznati razlozi za nastanak psorijaze, danas se smatra da je psorijaza posledica interakcije razlicitih gena, koji, potaknuti različitim faktorima iz spoljašnje sredine na neadekvatan

3 3 način aktivišu imuni sistem, bolešću. te tako možemo da psorijazu smatramo i najčešćom autoimunom Do danas je registrovano devet genetskih lokusa za psorijazu od kojih je najvažniji PSORS 1 na hromozomu 6p21. Takođe, nađen je polimorfizam gena za različite citokine (TNF-alfa, IL 12, IL 23 receptor) za koje se smatra da imaju važnu ulogu u psorijatičnom inflamatornom procesu. U prvoj pojavi bolesti, kao i u pogoršanjima, aktiviraju se specifične ćelije (tzv antigen prezentujuće ćelije) u epidermu i dermu. One produkuju određene citokine (TNF alfa i IL 23), koji sa svoje strane dovode do formiranja određenih podtipova T limfocita (uglavnom Th-1 i Th-17 ), koji produkuju brojne citokine ( IL-22, interferon gama, TNF beta, kao i IL-6, IL-17 ), koji, sa svoje strane aktiviraju epidermalne keratinocite. To dovodi do proliferacije keratinocita, ćelija koje sačinjavaju najpovršniji sloj kože, kao i do produkcije drugih citokina (TNF alfa, faktor rasta) koji indukuju zapaljenje kože sa ubrzanom proliferacijom i diferencijacijom keratinocita i stvaranjem novih krvnih sudova u koži. Faktori iz spoljašnje sredine uglavnom služe kao «okidači», koji iniciraju kliničku pojavu bolesti i mogu da budu veoma raznovrsni. Najčešći su fizički i emocionalni stres, povrede kože, bakterijske, virusne i gljivične infekcije kože, hormonski poremećaji, prekomeran unos alkohola, pušenje i dr. Odavno je poznato da je psorijaza, posebno teški klinički oblici, udružena sa mnogim bolestima sa kojima deli slične patogenetske faktore, ali različite ciljne organe. Ovo mogu da budu onesposobljavajuće i životno ugrožavajuće bolesti, kao što su, artritis, Kronova bolest, okluzivna vaskularna bolest, dijabet, depresija, neki tipovi maligniteta i druge hronične inflamatorne bolesti koje su mnogo ređe kod kontrola koje nemaju psorijazu. Takođe, psorijaza veoma mnogo remeti kvalitet života obolelih i uticaj ove bolesti može da se uporedi sateškim, životno ugrožavajućim bolestima kao što su kancer, artritis, hipertenzija, srčane bolesti, dijabet i dr. Iako veoma česta (samo u Evropi ima oko 20 miliona ljudi obolelih od psorijaze) i relativno jednostavna za dijagnostikovanje, psorijaza i danas predstavlja jednu od najizazovnijih bolesti kada je reč o lečenju i prognozi. Terapijske mogućnosti za tretman psorijaze su brojne i veoma raznovrsne, a zahvaljujući najnovijim saznanjima o imunopatogenezi psorijaze u terapijske protokole je uključeno nekoliko novih modaliteta, pre svega biološki lekovi i inhibitori fosfodiesteraze. Terapijski protokol treba da se određuje za svakog pacijenta procenjujući nekoliko parametara. Pre svega treba proceniti težinu kliničke slike psorijaze, koristeći neko od prihvaćenih oruđa za procenu težine, proceniti prisustvo eventualnih komorbiditeta koji mogu da prate osnovnu bolest, kao i poremećaj kvaliteta života oboleleg od psorijaze. Težina kliničke slike plak psorijaze se određuje na osnovu površine kože zahvaćene promenama, uzimajući u obzir i osobine samih lezija. Oruđa za procenu kliničke slike ima mnogo, ali se najčešće koristi tzv PASI skor (Psoriasis Area and Severity Index), koji je razvijen 1978 godine, sa ciljem da proceni efekat terapije na psorijatične lezije. Brojčano izražena zahvaćenost površine i karakteristike promena se unose u formulu i dobija konačni skor koji može da bude u rasponu od 0 72 i danas je prihvaćen kao standard za procenu efikasnosti primenjene antipsorijatične terapije.

4 4 Na osnovu površine tela zahvaćene lezijama psorijaza se deli na blagu, kod koje je zahvaćenost površine tela do 3%, umerenu, gde je zahvaćenost površine tela od 3 10% i tešku, gde je zahvaćenost površine tela preko 10 %. Terapija psorijaze je raznovrsna i može biti lokalna (topikalna), fototerapija i sistemska terapija. Izbor terapije se vrši na osnovu težine kliničke slike, po principu «stepenika», gde se za blage oblike koristi uglavnom lokalna terapija, za umerene forme se koristi fototerapija, a za teške oblike (više od 10% površine tela), kod jako poremećenog kvaliteta života i ukoliko prethodne terapijske procedure ne daju efekat, koristi se sistemska terapija. Najviši «stepenik» u terapiji obolelih od psorijaze je korišćenje sistemske terapije i ono se primenjuje kod teških oblika (više od 10% zahvaćenosti površine), kada bolest ne može da se kontroliše lokalnom ili fototerapijom, kada znatno remeti kvalitet života obolelog, ili kada posle drugih terapija dolazi do vrlo brzih relapsa. II Najveći proboj u terapiji psorijaze zadnjih godina načinjen je uvođenjem bioloških lekova u terapiju kod pacijenata sa umerenom i teškom psorijazom. Biološki lekovi ili biologici su sve obimnija i vrlo raznovrsna grupa proizvoda koji se koriste u preventivi, dijagnostikovanju ili terapiji mnogih bolesti i njihova primena je svakim danom sve značajnija i sve prisutnija u svakodnevnoj praksi. Biologici se razlikuju od «klasičnih» preparata pre svega po tome što se laboratorijski generišu kroz biotehnološke procese. Izvori za njihovu proizvodnju su humanog ili animalnog porekla, ili mikroorganizmi. Sama ideja korišćenja biololoških preparata uopšte nije nova i mnogi (po definiciji) biološki lekovi, kao što su insulin, hormon rasta, vakcine, krv i krvni derivati se koriste već decenijama. Međutim, zadnjih desetak godina došlo je do naglog porasta u primeni biologika, što se objašnjava sa jedne strane boljim razumevanjem patogenetskih mehanizama pojedinih patoloških stanja, preciznijim genetskim informacijama o pojedinim činiocima i subcelularnim i molekularnim osnovama pojedinih učesnika kaskadnih procesa, a sa druge strane velikim napretkom u biotehnološkim proizvodnim procesima. Šta je to što pravi tako jasnu razliku između bioloških i klasičnih preparata koji se koriste savremenoj medicini? u Biološki preparati su građeni od šećera, proteina ili nukleinskih kiselina, najčešće kao kompleksne kombinacije ovih supstanci, ali mogu biti i živi entiteti, kao ćelije ili tkiva. Izvori za njihovu proizvodnju mogu a budu humanog ili mišijeg porekla, ćelijske kulture sisara, ptica, insekata ili biljaka, bakterije, gljivice ili transgenični produkti. Postoji mnogo tipova bioloških produkata koji se koriste u humanoj medicini i to su :

5 5 1. Krv i derivati krvi, 2. Terapijske i preventivne vakcine, 3. Ekstrakti alergena, 4. Proizvodi za ćelijsku i gensku terapiju, 5. Proteini, 6. Ksenotransplantacioni proizvodi, 7. Humana tkiva. Za razliku od uobičajenih lekova koji su obično male molekulske težine, poznate strukture i dobijeni organskom ili hemijskom sintezom, biološki lekovi su jako velike molekulske težine i dobijeni iz živih ćelija ili tkiva. To nosi sa sobom veliki rizik od kontaminacije, uz brojne kritične faze u proizvodnji, kojih nema pri sintezi lekova male molekulske težine. Takođe, njihova struktura često nije u potpunosti definisana ili poznata, tako da može da dođe do pojave heterogenih mešavina u različitim varijantama. Takvi produkti su veoma često imunogeni. Monoklonalno antitelo - približno Da Aspirin 180 Da Zbog svega navedenog biološki produkti se proizvode u striktno kontrolisanim uslovima, da bi proizvod bio siguran, čist i efikasan i da bi se sprečila kontaminacija iz spoljašnje sredine. Obzirom na svoju strukturu i način dobijanja biološki produkti su najčešće osetljivi na svetlo, visoku temperaturu i potrese, što nameće potrebu za specijalnim uslovima čuvanja bioloških lekova, najčešće na niskoj temperaturi.

6 6 Pošto se radi o velikim proteinskim molekulima, oni pored primarne imaju i sekundarnu, tercijarnu ili i kvaternernu strukturu, koje su najčešće esencijalne za efikasnost tog biologika, a čak i minimalne izmene ovih struktura mogu značajno da utiču na terapijski efekat datog biološkog leka, a često i na rok njegove upotrebe. Drugi važan aspekt bioloških lekova je njihova izražena sposobnost da izazivaju snažan imunski odgovor, zbog čega značajan broj pacijenata ne reaguje povoljno na terapiju biološkim lekovima ili terapijski odgovor slabi vremenom. Bitan činilac u upotrebi bioloških produkata jeste proces testiranja i evaluacija efikasnosti i bezbednosti preparata. Za razliku od standardnih lekova čiji se hemijski sastav može precizno kontrolisati, a efikasnost se može iskazati dozom, kod bioloških lekova se konzistencija, kvalitet i čistoća preparata mogu obezbediti i kontrolisati isključivo samim proizvodnim procesom koji mora da ostane potpuno isti tokom vremena, pa se zato često navodi da u stvari proizvod jeste proces. Procesi kontrole za biološke produkte se uspostavljaju za svaki proizvodni proces posebno i nisu primenjivi na proizvodne procese drugih proizvođača, te su uglavnom poslovna tajna. Stoga je vrlo teško, ako ne i nemoguće za drugog proizvođača da načini isti biološki produkt, a time se delimično objašnjava i jako visoka cena ovih preparata. Obzirom na sve veći broj bioloških produkata u upotrebi i još veći broj potencijalnih preparata koji su u procesu ispitivanja, uvedena je precizna nomenklatura da bi se izbegla konfuzija, obzirom da nije moguće koristiti klasični sistem generičkih imena. Kada je reč o monoklonalnim antitelima koristi se natavak mab (monoclonal antibody), koje se dalje karakteriše kao himerično (nastavak ximab), humanizovano (nastavvak zumab) ili humano (nastavak umab). Himerična monnoklonalna antitela su komponovana od delova mišijih antitela i konstantne regije humanog porekla, a ako je i deo varijabilne regije zamenjen humanom sekvencom antitela su humanizovana. Humana antitela nemaju sekvence drugih vrsta. Fuzioni proteini se završavaju nastavkom cept. Mišje antitelo Himerično Humanizovano Humano antitelo antitelo antitelo Svakodnevni napredak u istraživanju i razvoju kako novih produkata, tako i novih biotehnoloških procesa omogućava da se zahvaljujući boljem razumevanju bolesti na ćelijskom i molekularnom

7 7 nivou preciznije odrede terapijski ciljevi i bolje predvide efekti pojedinih bioloških lekova. Trenutno je u toku veliki broj ispitivanja različitih biologika (monoklonalna antitela, terapijske vakcine, antisens lekovi, stem ćelije, genska terapija), sa očekivanjima da revolucionizuju terapiju mnogih bolesti. III Prvi biološki lekovi za lečenje umerene i teške plak psorijaze registrovani su godine, Alefacept u januaru, a Efalizumab u oktobru (povučeni u međuvremenu) i od tada se broj biologika za tretman psorijaze (i psorijatičnog artritisa) stalno povećava. Opšta pravila proizvodnje i osnovne karakteristike bioloških lekova važe i za biološke preparate koji se koriste u terapiji psorijaze i psorijatičnog artritisa. Sa promenom gledišta o psorijazi kao posledici abnormalne proliferacije keratinocita, ka shvatanju da se radi o imunski posredovanom poremećaju, boljim poznavanjem strukture pojedinih učesnika kaskadnih procesa koji dovode do kliničkog ispoljavanja bolesti i napretkom u biotehnološkim procesima dobijeno je više bioloških lekova koji deluju na definisane (pato)fiziološke puteve koji regulišu ključne imunološke procese, kao što su aktivacija limfocita, interakcija sa antigen prezentujućim ćelijama, endotelijalnim ćelijama (adhezija i migracija) i produkcija i delovanje citokina i hemokina Svi biološki lekovi koji se koriste u terapiji psorijaze mogu grubo da se podele u tri grupe: a) monoklonalna antitela; b) fuzioni proteini ; c) rekombinantni citokini (faktori rasta) i interleukini. Ovi lekovi su indikovani za primenu kod pacijenata koji boluju od psorijaze sa PASI skorom 10 i/ili BSA 10, i DLQI 10, u slučaju neadekvatnog reagovanja ili kontraindikacija za standardnu sistemsku terapiju sa bar dva sistemska leka, uključujući ciklosporin, metotreksat, acitretin ili puva terapiju. Pošto modifikuju imuni odgovor, biološki lekovi su kontraindikovani kod pacijenata sa aktivnim infekcijama i pre njihovog uvođenja u terapiju mora da se uradi skrining na tuberkulozu i infekciju virusom hepatitisa. Najveći broj kliničara takođe traži grafiju pluća, pregled krvne slike i osnovne biohemijske analize, uključujući jetrine funkcionalne testove, pre uvođenja biologika Dejstvo biologika u trudnoći i dojenju nije poznato, a njihova upotreba u ovim slučajevima je moguća samo ako je to zaista neophodno. Najčešći sporedni efekti pri upotrebi biologika u psorijazi su respiratorne infekcije, simptomi slični gripu (malaksalost,bolovi u mišićima, groznica, gubitak apetita), kao i lokalne reakcije na mestu uboda. Neželjene reakcije su uglavnom blage i najčešće ne zahtevaju prekid terapije. Izuzetno retko se mogu javiti simptomi od strane centralnog nervnog sistema (multipla skleroza, epileptični napadi, upala očnog živca), hematološki poremećaji ili karcinomi.

8 8 Biološki preparati za psorijazu i/ili psorijazni artritis mogu da deluju preko tri mehanizma: blokirajući Tumor Necrosis Factor α (TNFα ), blokirajući interleukine 12 i 23 (IL 12/23) ili blokirajući interlukin 17A (IL 17A). IV TNF α, otkriven godine, je ćelijski signalni protein koji učestvuje u akutnoj fazi sistemskog inflamatornog odgovora organizma, i lokalno povećana koncentracija ovog citokina izaziva osnovne znake inflamacije: tumor, calor, dolor, rubor et functio laesa. Uglavnom ga produkuju aktivisani makrofagi, mada mogu da ga produkuju i CD4+ lifociti, NK ćelije, neutrofili, mastociti, eozinofili i dr. Primarna uloga TNF alfa je regulacija imunskih procesa, i kao endogeni pirogen, on izaziva groznicu, ćelijsku apoptozu, inflamaciju, povećanu vaskularnu permeabilnost, pojačanu koagulabilnost krvi, uz inhibiciju tumorogeneze i virusne replikacije, kao i dejstvo kod bakterijskih, gljivičnih i parazitarnih infekcija. Sekretovan u visokoj koncentraciji učestvuje u nastanku sepse. TNF alfa se primarno sintetiše kao transmembranski protein u obliku trimera, od koga pod dejstvom metaloproteinaznih enzima nastaje solubilna forma ovog citokina. TNF alfa ima dva receptora za koja se vezuje. TNFR1 se nalazi na skoro svim tkivima i može da veže i transmembranski i solubilni TNF, dok se TNFR2 nalazi uglavnom na ćelijama imunskog sistema i vezuje samo membranski TNF alfa. Podaci o dejstvima TNF alfa uglavnom su dobijeni ispitivanjem aktivacije R1 receptora, dok su posledice aktivecije R2 receptora znatno slabije poznate. Nađeno je da disregulacija TNF alfa učestvuje u patogenezi mnogih bolesti, kao što su različiti karcinomi, Alchajmerova bolest, inflamatorne bolesti creva, psorijaza i druge. U psorijazi i psorijaznom artritisu nađena je visoka koncentracija TNF alfa u koži i zglobovima, koji učestvuje u inflamatornim procesima i oštećenju ovih tkiva. FDA je trenutno registrovala pet bioloških lekova koji deluju kao antagonisti TNF alfa za lečenje psorijaze i/ili psorijaznog artritisa. To su Etanercept, Adalimumab, Infliksimab, Cetrolizumab pegol i Golimumab. Etanercept je fuziuoni protein građen od ekstracelularnog domena humanog TNF receptora fuzionisanog sa Fc delom humanog IgG. Infliksimab je mišje/humano himerično monoklonalno IgG antitelo, a Adalimumab je prvo humano monoklonalno antitelo, Cetrolizumab je rekombinantno humanizovano monoklonalno antitelo, konjugovano sa polietilen glikolom, a Golimumab humano monoklonalno antitelo. Poslednja dva preparata su registrovana za psorijazni artritis, ali ne i za psorijazu. V Interleukin 23, član familije Interleukina 12, je heterodimerni citokin sastavljen od Il12p40 podjedinice, koja je zajednička sa Interleukinom 12 i specifične podjedinice p19. Uglavnom ga sekretuju aktivisani makrofagi i dendritične ćelije, lokalizovane u perifernim tkivima (koža, intestinalna mukoza i pluća. Dejstva su mu slična efektima Interleukina 12, ali se danas smatra dominantnim činiocem u kontroli inflamacije u perifernim tkivima, koji povezuje reakcije urođenog i stečenog imuniteta. Oba citokina

9 9 su odgovorna za produkciju Interferona gama, zaduženog za intracelularne patogene i celularni imuni odgovor. Nađene su povišene koncentracije ovog citokina u brojnim autoimunskim bolestima kao što su psorijaza, inflamatorna bolest creva, reumatoidni artritis, multipla skleroza. Ustekinumab je humano monoklonalno antitelo, koje se vezuje za p40 podjedinicu, koja je zajednička i za Il 12 i Il 23, blokirajući njihovo vezivanje za ćelijski receptor i pokazalo je odličan rezultat pri primeni kod obolelih sa plak psorijazom i psorijaznim artritisom. VI Jedan od mehanizama po kojima se Interleukin 23 razlikuje od Il 12 je njegovo svojstvo da omogućava proliferaciju i maturaciju subpopulacije CD 4+ memorijskih T limfocita koji sekretuju Interleukin 17 Th 17 limfocita. Pored ove subpopulacije limfocita Il 17 sintetišu i neutrofili, mastociti i neke druge subpopulacije limfocita. Interleukin 17A je član porodice Interleukina 17( Il17B, Il 17C, Il 17D, Il 17 E, i Il 17F), slične proteinske strukture, i ima značajnu ulogu u daljoj produkciji hemokina i citokina koji učestvuju u inflamatornom procesu, kao i alergijskim reakcijama. Secukinumab je humano monoklonalno antitelo koje neutrališe Il 17A, a registrovano je za primenu kod obolelih od psorijaze i psorijaznog artritisa. Pored registrovanih, u ovom trenutku je veliki broj bioloških lekova u procesu ispitivanja, sa perspektivom da se jednom koriste i kod psorijaze i drugih dermatoloških oboljenja.

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Modul za konstrukcije PROJEKTOVANJE I GRAĐENJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 NOVI NASTAVNI PLAN

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Modul za konstrukcije PROJEKTOVANJE I GRAĐENJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 NOVI NASTAVNI PLAN GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit Modul za konstrukcije 16.06.009. NOVI NASTAVNI PLAN p 1 8 /m p 1 8 /m 1-1 POS 3 POS S1 40/d? POS 1 d p 16 cm 0/60 d? p 8 /m POS 5 POS d p 16 cm 0/60 3.0 m

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα